Двумерно-периодические решетки. Часть 3. Элементы спектральной теории

Представлены результаты, необходимые для построения спектральной теории трехмерных периодических структур. Получено аналитическое представление канонической функции Грина, определена естественная область вариации спектрального параметра (комплексной частоты) – бесконечнолистная риманова поверхность,...

Ausführliche Beschreibung

Gespeichert in:

Bibliographische Detailangaben
Datum:	2012
Hauptverfasser:	Величко, Л.Г., Кривчикова, А.А., Сиренко, Ю.К.
Format:	Artikel
Sprache:	Russian
Veröffentlicht:	Інститут радіофізики і електроніки ім. А.Я. Усикова НАН України 2012
Schriftenreihe:	Радіофізика та електроніка
Schlagworte:	Микроволновая электродинамика
Online Zugang:	http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/105905
Tags:	Tag hinzufügen Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
Назва журналу:	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
Zitieren:	Двумерно-периодические решетки. Часть 3. Элементы спектральной теории / Л.Г. Величко, А.А. Кривчикова, Ю.К. Сиренко // Радіофізика та електроніка. — 2012. — Т. 3(17), № 3. — С. 3-7. — Бібліогр.: 11 назв. — рос.

Institution

Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine

id	irk-123456789-105905
record_format	dspace
spelling	irk-123456789-1059052016-09-13T03:02:40Z Двумерно-периодические решетки. Часть 3. Элементы спектральной теории Величко, Л.Г. Кривчикова, А.А. Сиренко, Ю.К. Микроволновая электродинамика Представлены результаты, необходимые для построения спектральной теории трехмерных периодических структур. Получено аналитическое представление канонической функции Грина, определена естественная область вариации спектрального параметра (комплексной частоты) – бесконечнолистная риманова поверхность, сформулированы утверждения, позволяющие оценить области локализации элементов спектрального множества. Наведено результати, що є необхідними для побудови спектральної теорії тривимірних періодичних структур. Отримано аналітичне зображення канонічної функції Гріна, визначено природну область варіації спектрального параметра (комплексної частоти) – нескінченнолистову ріманову поверхню, сформульовано твердження, що дозволяють оцінити області локалізації елементів спектральної множини. The results required for constructing a spectral theory of three-dimensional periodic structures are presented in the paper. An analytical representation for the canonical Green function is derived, the natural domain for the spectral parameter (complex-valued frequency) is determined in the form of the infinite-sheeted Riemann surface. Some statements allowing one to estimate the location of the spectral set members are formulated. 2012 Article Двумерно-периодические решетки. Часть 3. Элементы спектральной теории / Л.Г. Величко, А.А. Кривчикова, Ю.К. Сиренко // Радіофізика та електроніка. — 2012. — Т. 3(17), № 3. — С. 3-7. — Бібліогр.: 11 назв. — рос. 1028-821X http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/105905 517.954:537.874 ru Радіофізика та електроніка Інститут радіофізики і електроніки ім. А.Я. Усикова НАН України
institution	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
collection	DSpace DC
language	Russian
topic	Микроволновая электродинамика Микроволновая электродинамика
spellingShingle	Микроволновая электродинамика Микроволновая электродинамика Величко, Л.Г. Кривчикова, А.А. Сиренко, Ю.К. Двумерно-периодические решетки. Часть 3. Элементы спектральной теории Радіофізика та електроніка
description	Представлены результаты, необходимые для построения спектральной теории трехмерных периодических структур. Получено аналитическое представление канонической функции Грина, определена естественная область вариации спектрального параметра (комплексной частоты) – бесконечнолистная риманова поверхность, сформулированы утверждения, позволяющие оценить области локализации элементов спектрального множества.
format	Article
author	Величко, Л.Г. Кривчикова, А.А. Сиренко, Ю.К.
author_facet	Величко, Л.Г. Кривчикова, А.А. Сиренко, Ю.К.
author_sort	Величко, Л.Г.
title	Двумерно-периодические решетки. Часть 3. Элементы спектральной теории
title_short	Двумерно-периодические решетки. Часть 3. Элементы спектральной теории
title_full	Двумерно-периодические решетки. Часть 3. Элементы спектральной теории
title_fullStr	Двумерно-периодические решетки. Часть 3. Элементы спектральной теории
title_full_unstemmed	Двумерно-периодические решетки. Часть 3. Элементы спектральной теории
title_sort	двумерно-периодические решетки. часть 3. элементы спектральной теории
publisher	Інститут радіофізики і електроніки ім. А.Я. Усикова НАН України
publishDate	2012
topic_facet	Микроволновая электродинамика
url	http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/105905
citation_txt	Двумерно-периодические решетки. Часть 3. Элементы спектральной теории / Л.Г. Величко, А.А. Кривчикова, Ю.К. Сиренко // Радіофізика та електроніка. — 2012. — Т. 3(17), № 3. — С. 3-7. — Бібліогр.: 11 назв. — рос.
series	Радіофізика та електроніка
work_keys_str_mv	AT veličkolg dvumernoperiodičeskierešetkičastʹ3élementyspektralʹnojteorii AT krivčikovaaa dvumernoperiodičeskierešetkičastʹ3élementyspektralʹnojteorii AT sirenkoûk dvumernoperiodičeskierešetkičastʹ3élementyspektralʹnojteorii
first_indexed	2025-07-07T17:37:09Z
last_indexed	2025-07-07T17:37:09Z
_version_	1837010602474602496
fulltext	ММИИККРРООВВООЛЛННООВВААЯЯ ЭЭЛЛЕЕККТТРРООДДИИННААММИИККАА _________________________________________________________________________________________________________________ __________ ISSN 1028−821X Радиофизика и электроника. 2012. Т. 3(17). № 3 © ИРЭ НАН Украины, 2012 УДК 517.954:537.874 Л. Г. Величко, А. А. Кривчикова, Ю. К. Сиренко Институт радиофизики и электроники им. А. Я. Усикова НАН Украины 12, ул. Ак. Проскуры, Харьков, 61085, Украина E-mail: lgv@ire.kharkov.ua; kryvchikova@ire.kharkov.ua; yks@ire.kharkov.ua ДВУМЕРНО-ПЕРИОДИЧЕСКИЕ РЕШЕТКИ ЧАСТЬ 3. ЭЛЕМЕНТЫ СПЕКТРАЛЬНОЙ ТЕОРИИ Представлены результаты, необходимые для построения спектральной теории трехмерных периодических структур. Получено аналитическое представление канонической функции Грина, определена естественная область вариации спектрального параметра (комплексной частоты) – бесконечнолистная риманова поверхность, сформулированы утверждения, позволяющие оце- нить области локализации элементов спектрального множества. Ил. 1. Библиогр.: 11 назв. Ключевые слова: трехмерная дифракционная решетка, каноническая функция Грина, точечный спектр, спектральная задача, теорема единственности. В работах [1, 2] мы получили результаты, использование которых позволяет строить и те- стировать строгие алгоритмы для решения трех- мерных векторных начально-краевых задач элек- тродинамической теории решеток. Были представ- лены точные поглощающие условия, существенно сокращающие пространство счета модельных за- дач, описаны основные соотношения закона сохра- нения энергии и соотношения взаимности, которым удовлетворяют амплитуды монохроматических волн, формируемых периодическими структурами. Доказано, что все импульсные поля, воз- никающие в зонах отражения и прохождения ре- шетки (в регулярных отрезках канала Флоке), од- нозначно определяются своими продольными компонентами. Этот результат позволяет, в част- ности, описывать рассеивающие свойства трех- мерных решеток в терминах операторов преобра- зования, которые действуют в пространстве эво- люционных базисов сигналов [3], т. е. в простран- стве бесконечных последовательностей простран- ственно-временных амплитуд импульсных волн, распространяющихся в регулярных отрезках кана- ла Флоке. В рамках такого подхода анализ слож- ных многослойных периодических структур мож- но вести с использованием операторного метода [3], который существенно сокращает пространство счета, исключая из него регулярные отрезки кана- ла Флоке, разделяющие различные «элементар- ные» (однослойные) структуры. В частотной обла- сти аналог такого операторного метода носит название метода обобщенных матриц рассеяния. Перечисленные результаты обеспечивают эффективную алгоритмизацию решаемых задач, корректную постановку соответствующих вычис- лительных экспериментов и получение численных данных, характеризующих изучаемые простран- ственно-временные и пространственно-частотные трансформации электромагнитных волн. Опыт работы с двухмерными периодическими структу- рами доказывает, что верная физическая трактовка численных результатов, относящихся к процессам резонансного рассеяния волн, невозможна без опоры на результаты спектральной теории, в рам- ках которой решетки рассматриваются как откры- тые периодические резонаторы или открытые пе- риодические волноводы. Спектральная теория решеток изучает особенности аналитического продолжения реше- ний краевых задач частотной области (см., напри- мер, задачи (23), (24) и (30), (31) в работе [2]) в область комплексных (нефизичных) значений раз- личных действительных параметров – частоты, постоянных распространения и т. д. – и роль этих особенностей в реализации резонансных и ано- мальных режимов рассеяния монохроматических и импульсных волн. Основные результаты этой тео- рии для двухмерных решеток представлены в ра- ботах [3–5]. Опираясь на них, а также на наши предыдущие работы [1, 2], мы сформулируем не- которые общие утверждения спектральной теории трехмерных решеток. Роль спектрального пара- метра отводится частотному параметру λπ2=k (λ – длина волны в свободном пространстве) – трехмерная периодическая структура рассматрива- ется как открытый периодический резонатор. 1. Функция Грина. Назовем каноничес- кой функцией Грина для трехмерной решетки решение ( )0 , ,G g p k скалярной задачи ___________________________________________ [ ] ( )[ ] ( ) { } { } [ ] ( ) [ ]( ) [ ] ( ) [ ]( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )                 ∈×       = ≤≤= ≤≤= ∈=∈=−=+∆ ∑ ∞ −∞= Γ± Φ Φ .,, , , ,,~ ,0,0,~,~ ,0,,0~,~ ,,,,,,,,,~ , 0 0 2 0 0 2 0 0 2 B A gyxe kpB kpA kpgG lxxGDelxGD lyyGDeylGD QzyxpRzyxgpgkpgGk ggnm mn Lzi nm nm xgg i yg ygg i gx Lpppgggg gnm y x µ δ π π  (1) mailto:lgv@ire.kharkov.ua mailto:kryvchikova@ire.kharkov.ua mailto:yks@ire.kharkov.ua Л. Г. Величко и др. / Двумерно-периодические решетки… ________________________________________________________________________________________________________________ 4 Все обозначения, использованные в задаче (1) и далее в тексте статьи, подробно описаны в рабо- тах [1, 2]. В случае простейшей периодической структуры (какие-либо материальные рассеиватели отсутствуют) к задачам такого типа, но с произ- вольными правыми частями в уравнении Гельм- гольца, мы приходим при изучении поля моно- хроматических волн, порождаемых квазиперио- дическими токовыми источниками, локализован- ными в области z L< . Построим ( )0 , ,G g p k как суперпозицию ( ) [ ] { }pypxpnm mn imin nm nm zmlynlxp ee pg pgik kpgG yx ,, , exp 4 1 ,,~ , 22 0 ++= − − −= = ∑ ∞ −∞= ΦΦ ππ π (2) из функций Грина свободного пространства 3R . Используя в (2) формулу суммирования Пуас- сона [6] ( ) ( )∑ ∫∑ ∞ −∞= ∞ ∞− −− ∞ −∞= =− n int n inx n n dtetfexnf π π 2 1 2 и табличные интегралы [7] ( )      −= +      + ∫ ∞ ∞− 221 022 22exp bpaiHdxe ax axip ibx π , ( ) 22 22 221 0 exp 2 bp bpia dxeaxpH ibx −      − =     +∫ ∞ ∞− (здесь ( ) ( )1 0H x – цилиндрическая функция Хан- келя), получим ( ) ( ) ( )[ ] [ ] . exp 2 ,,~ , 0 nm nmpg mn yy+xxi yx zzi e ll i kpgG pgmpgn Γ Γ− × ×−= = ∑ ∞ −∞= −− βα (3) Поверхность Κ аналитического продол- жения канонической функции Грина (3) с дейст- вительной оси Im 0k = в область комплексных значений k представляет собой бесконечнолист- ную риманову поверхность, состоящую из комплексных плоскостей Ck∈ с разрезами вдоль направлений ( ) ( ) 0ImRe 222 =−− nmkk λ ( , 0, 1, 2,...n m = ± ± , Im 0k ≤ ) (рисунок). Первый (физический) лист kC поверхности Κ однозначно определен условиями излучения для ( )0 , ,G g p k в областях A и B, т. е. выбором значений Re Re 0nm kΓ ≥ и Im 0nmΓ ≥ на оси Im 0k = [2]. На этом листе на интервале π<< karg0 мы имеем: Im 0nmΓ > и Re 0nmΓ ≥ для 2arg0 π≤< k и Re 0nmΓ ≤ для ππ <≤ karg2 . На интервале ππ 2arg23 <≤ k для конечного числа функций ( )nm kΓ (с n и m такими, что ( ) ( ) 0ImRe 222 >−− nmkk λ ) выполняются нера- венства Im 0nmΓ < , Re 0nmΓ > ; для всех осталь- ных функций мы имеем Im 0nmΓ > и Re 0nmΓ ≤ . На интервале 23arg ππ ≤< k ситуация анало- гична, но с противоположными знаками при Re nmΓ . Следующие листы (каждый из них со своим собственным набором пар ( ){ }kk nmΓ→ , задающих связь между положением точки k на листе и значениями функций ( )Im nm kΓ и ( )Re nm kΓ в этой точке) имеют, в отличие от пер- вого, противоположные знаки (ветви корня) ( )nm kΓ для конечного числа значений индексов n и m. Разрезы (сплошные линии на рисунке) начинаются в вещественных алгебраических точ- ках ветвления nmnmk λ±=± . Область изменения спектрального параметра k: первый лист поверхности Κ В окрестности любой фиксированной точки Κ∈K функция ( )0 , ,G g p k разлагается в ряд Лорана по степеням локальной переменной [8] { } { }    ∈− ∉− = ± ± ., ,, nm nm kKKk kKKk κ Следовательно, это мероморфная (на поверхности Κ) функция. Вычисляя вычеты ( )0Res , , k k G g p k =  в ее простых полюсах { }nmk k±∈ , получаем ( ) { } ( )[ ] ( ) ( ) ( )±−±± ± = = = nmnmnm mnzyxzyx zyxnm kgEikkgH y+xiaE EEEkgE , ~ rot, ~ ,exp~ ,~,~,~, ~ 1 0 или,или,   η βα (4) ± nmk kIm kRe Л. Г. Величко и др. / Двумерно-периодические решетки… ________________________________________________________________________________________________________________ 5 ( zyxa или, – произвольные константы) – нетривиаль- ные решения однородных ( ( ), 0iU g k ≡  ) канони- ческих ( ( ) 1, ≡kgε , ( ) 1, ≡kgµ и ∅=Sint – пустое множество) задач (23), (24) и (30), (31) работы [2]. Эти решения определяют возможные свободные колебания поля в свободном пространстве, удовлетворяющие условиям квазипериодичности: ( ) ( ) ( ) ( )., ~~ , ~~ ,, ~~ , ~~ 2 2 yxHEDe lyxHED yxHEDe ylxHED y x i y i x         = =+                 = =+         Φ Φ     π π (5) 2. Точечный спектр. Определим теперь точечный спектр kΩ решетки как множество точек { } Κ∈ ∞ =1jjk таких, что для всех { }j j k k∈ однородная (спектральная) задача ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )                  == <≤≤        = =         ≤≤        = =         ∈ = −= ∈∈ Φ Φ ;0,~,0,~ ,,0,0, ~~ , ~~ ,0,,0 ~~ , ~~ , ,, ~ ,, ~ rot ,, ~ ,, ~ rot 2 2 0 0 SgnrSgtg x i y y i x L kgHkgΕ LzlxxHEDe lxHED lyyHEDe ylHED Qg kgHkgikkgE kgEkgikkgH y x       π π µη εη (6) ( ) ( ) ( )( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )( ) ( ) ( ) , ,, ,~ ,~ , ,, ,~ ,~ , , Bg yxe kB kB kgH kgE Ag yxe kA kA kgH kgE mn nm Lzi Hnm Enm z z mn nm Lzi Hnm Enm z z nm nm ∈       = =       ∈       = =       ∑ ∑ ∞ −∞= +Γ− ∞ −∞= −Γ µ µ (7) имеет нетривиальное (не обязательно единственное) решение ( ) ( ) ( ){ }jjj kgHkgEkgU , ~ ,, ~ , ~  = . Очевидно, что такие решения описывают так называемые свободные колебания поля в решетке, основные характеристики которых (конфигурация поля ко- лебаний, качественный состав их пространствен- ных гармоник и поведение этих гармоник при больших z и t) определяются величиной Re Imj j jk k i k= + и положением точки jk (собст- венной частоты, отвечающей свободному коле- банию ( ), jU g k  ) на поверхности Κ [4, 6, 7]. Продолжая задачи (23), (24) и (30), (31) работы [2] и их решения ( ) ( ) ( ){ }, , , ,U g k E g k H g k=      в об- ласть Κ комплексных значений k, мы обнаружим в точках jk k= полюса функций ( ),U g k  , в окрестности которых искомые решения могут быть представлены рядами Лорана по степеням локальной на поверхности Κ переменной κ [8]. Такие представления (локальные теоремы о раз- ложимости решений ( ),U g k  ) дают основания для аналитического исследования физических особенностей резонансного рассеяния монохро- матических и импульсных волн одномерно- и двумерно-периодическими структурами [3–5, 9, 10]. 3. Локализация точечного спектра. Получим теперь ряд условий, ограничивающих возможность существования нетривиальных ре- шений задачи (6), (7). Эти условия могут рас- сматриваться как теоремы единственности реше- ний задач (23), (24) и (30), (31) из работы [2], сформулированные для различных участков по- верхности Κ. Отметим, что изучение вопроса о единственности позволяет оценить области лока- лизации элементов множества kΩ на Κ, а в по- следующем – существенно упростить или уско- рить численное решение спектральных задач за счет сужения зоны поиска собственных частот. Теоремы единственности служат также основой для применения «аналитической» теоремы Фред- гольма [11] при построении строго обоснованных алгоритмов решения дифракционных задач и ис- следовании качественных характеристик полных спектров решеток [3, 5]. Пусть рассеивающие элементы решетки не являются дисперсными ( ( ) ( )gkg εε =, , ( ) ( )gkg µµ =, и ( ) ( )gkg σσ =, ) – это значительно упрощает ситуацию с аналитическим продолже- нием спектральной задачи (6), (7) в область ком- плексных значений k. Из интегральной формы теоремы о комплексной мощности, которая для нетривиальных решений ( ), jU g k  этой задачи принимает вид Л. Г. Величко и др. / Двумерно-периодические решетки… ________________________________________________________________________________________________________________ 6 , ~ ~~ ~~ div ~~ 2 0 2 0 2 0 dgE dgEikdgHik dgHEdsHE L LL LL Q QQ QS ∫ ∫∫ ∫∫ − −−= =    ×=      ⋅    × ∗ ∗ → ∗    σ ε η µη (8) вытекают следующие соотношения: ( ) ( ) ( ) ( )( )[ ( ) ( )( )] ( ) ( ) . Re Im1 ImReReIm ImImReRe1 23 123 0 222 0 22 , 2       − −+− = =+± ±+× ×       Γ−Γ Γ+Γ∑ ∞ −∞= VVk VVVk BA BA kk kk HnmHnm EnmEnm mn nmnm nmnm nm ε η λ (9) Здесь jk k= ; ( ), jE E g k=    ; ( )nm nm jkΓ = Γ ; ( ) ( ) ( )jnm E nm EA A k= и так далее, и введены обо- значения . ~ , ~ , ~ 2 03 2 02 2 01 dgHV dgEV dgEV L L L Q Q Q ∫ ∫ ∫ = = =    µµ εε σε Не существует свободных колебаний поля, ампли- туды которых не удовлетворяют уравнениям (9). Из этого общего утверждения вытекает ряд важ- ных следствий, частично сформулированных для решеток, выполненных из обычных материалов ( ( ) 0>gε , ( ) 0>gµ и ( ) 0≥gσ ). • Не существует свободных колебаний по- ля, собственные частоты jk которых расположе- ны в верхней полуплоскости (Im 0k > ) первого листа поверхности Κ. В этом можно убедиться, рассматривая верхнее из соотношений (9) и при- нимая во внимание распределение значений ( )nm kΓ на kC и неравенства 1 0V ≥ , 2 0V > , 3 0V > . • При ( ) 0≡gσ (решетка не поглощает энергию поля) не существует и свободных колеба- ний, собственные частоты jk которых располо- жены в нижней полуплоскости (Im 0k < ) листа kC между разрезами, отвечающими наименьшим по модулю значениям nmk± . На рисунке эта область первого листа поверхности Κ и область, которую мы упоминали выше, заштрихованы горизон- тальными линиями. • Если ( ) 0>gσ на каком-либо множест-ве точек LQg∈ ненулевой меры, то на действи- тельной оси плоскости kC нет элементов jk то- чечного спектра решетки kΩ . Выводы. Изучение физических процес- сов резонансного рассеяния импульсных и моно- хроматических волн периодическими структура- ми различного типа не ограничивается расчетом их электродинамических характеристик. Анализ аномальных пространственно-временных и про- странственно-частотных трансформаций электро- магнитного поля требует привлечения результатов спектральной теории, которая изучает особенно- сти аналитического продолжения краевых задач в область комплексных (нефизичных) значений различных параметров. Настоящая работа посвя- щена разработке элементов такой теории для трехмерных решеток. В ней получено аналитиче- ское представление канонической функции Грина, определена естественная область вариации спект- рального параметра (комплексной частоты), сформулированы утверждения, позволяющие оценить области локализации элементов спектраль- ного множества. Библиографический список 1. Величко Л. Г. Двумерно-периодические решетки. Часть I. Начально-краевые задачи и точные поглощающие усло- вия для прямоугольного канала Флоке / Л. Г. Величко, А. А. Кривчикова, Ю. К. Сиренко // Радиофизика и элек- трон. – 2012. – 3(17), № 2. – С. 3–9. 2. Величко Л. Г. Двумерно-периодические решетки. Часть II. Свойства нестационарных и установившихся полей в прямоугольном канале Флоке / Л. Г. Величко, А. А. Крив- чикова // Там же. – С. 10–19. 3. Sirenko Y. K. Modeling and analysis of transient processes in open resonant structures. New methods and techniques / Y. K. Sirenko, S. Strom, N. P. Yashina. – N. Y.: Springer, 2007. – 362 p. 4. Шестопалов В. П. Динамическая теория решеток / В. П. Шестопалов, Ю. К. Сиренко. – К.: Наук. думка, 1989. – 216 с. 5. Sirenko Y. K. Modern theory of gratings. Resonant scattering: analysis techniques and phenomena / Y. K. Sirenko, S. Strom (eds). – N. Y.: Springer, 2010. – 390 p. 6. Титчмарш Э. Ч. Введение в теорию интегралов Фурье / Э. Ч. Титчмарш. – М.: КомКнига, 2007. – 480 с. 7. Градштейн И. С. Таблицы интегралов, сумм, рядов и произведений / И. С. Градштейн, И. М. Рыжик. – М.: Физматгиз, 1963. – 1100 с. 8. Гурвиц А. Теория функций / А. Гурвиц, Р. Курант. – М.: Наука, 1968. – 648 с. 9. Sirenko Y. K. Time-domain and frequency-domain methods combined in the study of open resonance structures of com- plex geometry / Y. K. Sirenko, L. G. Velychko, F. Erden // Progress in Electromagnetics Research. – 2004. – 44. – P. 57–79. 10. Velychko L. G. Time-domain analysis of open resonators. Analytical grounds / L. G. Velychko, Y. K. Sirenko, O. S. Shafa- lyuk // Progress in Electromagnetics Research. – 2006. – 61. – P. 1–26. Л. Г. Величко и др. / Двумерно-периодические решетки… ________________________________________________________________________________________________________________ 7 11. Рид М. Методы современной математической физики. Том 4. Анализ операторов / М. Рид, Б. Саймон; пер. с англ. – М.: Мир, 1982. – 428 с. Рукопись поступила 10.11.11. L. G. Velychko, A. A. Kryvchikova, Yu. K. Sirenko TWO-DIMENSIONALLY PERIODIC GRATINGS PART 3. ELEMENTS OF THE SPECTRAL THEORY The results required for constructing a spectral theory of three-dimensional periodic structures are presented in the paper. An analytical representation for the canonical Green function is derived, the natural domain for the spectral parameter (complex- valued frequency) is determined in the form of the infinite-sheeted Riemann surface. Some statements allowing one to estimate the location of the spectral set members are formulated. Key words: three-dimensional diffraction grating, canonical Green function, point spectrum, spectral problem, uniqueness theorem. Л. Г. Величко, Г. О. Кривчікова, Ю. К. Сіренко ДВОВИМІРНО-ПЕРІОДИЧНІ ҐРАТКИ ЧАСТИНА 3. ЕЛЕМЕНТИ СПЕКТРАЛЬНОЇ ТЕОРІЇ Наведено результати, що є необхідними для побу- дови спектральної теорії тривимірних періодичних структур. Отримано аналітичне зображення канонічної функції Гріна, визначено природну область варіації спектрального параметра (комплексної частоти) – нескінченнолистову ріманову повер- хню, сформульовано твердження, що дозволяють оцінити області локалізації елементів спектральної множини. Ключові слова: двовимірно-періодична ґратка, канонічна функція Гріна, точковий спектр, спектральна задача, теорема єдиності.

Двумерно-периодические решетки. Часть 3. Элементы спектральной теории

Institution

Ähnliche Einträge