Нестационарный отклик моды круглого волновода на изменение диэлектрической проницаемости в сердцевине
С помощью строгого математического метода изучено преобразование направляемой моды круглого диэлектрического волновода в результате скачкообразного изменения во времени показателя преломления сердцевины. Предположение резкого изменения показателя преломления позволило построить аналитическое решение...
Збережено в:
| Дата: | 2012 |
|---|---|
| Автор: | |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Russian |
| Опубліковано: |
Інститут радіофізики і електроніки ім. А.Я. Усикова НАН України
2012
|
| Назва видання: | Радіофізика та електроніка |
| Теми: | |
| Онлайн доступ: | http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/105908 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Цитувати: | Нестационарный отклик моды круглого волновода на изменение диэлектрической проницаемости в сердцевине / Н.К. Сахненко // Радіофізика та електроніка. — 2012. — Т. 3(17), № 3. — С. 24-29. — Бібліогр.: 9 назв. — рос. |
Репозитарії
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
irk-123456789-105908 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
irk-123456789-1059082016-09-13T03:02:44Z Нестационарный отклик моды круглого волновода на изменение диэлектрической проницаемости в сердцевине Сахненко, Н.К. Микроволновая электродинамика С помощью строгого математического метода изучено преобразование направляемой моды круглого диэлектрического волновода в результате скачкообразного изменения во времени показателя преломления сердцевины. Предположение резкого изменения показателя преломления позволило построить аналитическое решение в виде преобразования Лапласа. Обратное преобразование во временную область получено с помощью теоремы о вычетах и оценки интегралов вдоль разрезов комплексной плоскости. Полученные решения позволили изучить переходные процессы и установившийся режим, продемонстрировать возможность сдвига частоты, а также установить возможность преобразования направляемой моды в моды излучения, быстро покидающие сердцевину волновода. За допомогою строгого математичного методу вивчено перетворення напрямленої моди круглого діелектричного хвилеводу в результаті стрибкоподібної зміни у часі показника заломлення серцевини. Припущення різкої зміни показника заломлення дозволило побудувати аналітичний розв’язок у вигляді перетворення Лапласа. Обернене перетворення у часовий простір отримано за допомогою теореми про лишки та оцінки інтегралів уздовж розрізів комплексної площини. Одержані розв’язки дозволили вивчити перехідні процеси та усталений режим, продемонструвати можливість зсуву частоти, а також виявити можливість перетворення напрямленої моди в моди випромінювання, що швидко залишають серцевину хвилеводу. This paper investigates transformation of the guided mode of the circular waveguide due to abrupt time change of the refractive index of the core on the basis of rigorous mathematical approach. Assumption of the sharp time change of the medium parameters allows obtaining the analytical solution in the Laplace transform domain. The inverse transform is derived by virtue of the residues estimation at singular points and evaluation of the integral along branch cut of the complex plane. Transient behavior of the processes, steady state regime, possibility of the frequency shift and chance to transform the guided mode into leaky modes have been studied in details. 2012 Article Нестационарный отклик моды круглого волновода на изменение диэлектрической проницаемости в сердцевине / Н.К. Сахненко // Радіофізика та електроніка. — 2012. — Т. 3(17), № 3. — С. 24-29. — Бібліогр.: 9 назв. — рос. 1028-821X http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/105908 621.372.823:621.315.61 ru Радіофізика та електроніка Інститут радіофізики і електроніки ім. А.Я. Усикова НАН України |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| language |
Russian |
| topic |
Микроволновая электродинамика Микроволновая электродинамика |
| spellingShingle |
Микроволновая электродинамика Микроволновая электродинамика Сахненко, Н.К. Нестационарный отклик моды круглого волновода на изменение диэлектрической проницаемости в сердцевине Радіофізика та електроніка |
| description |
С помощью строгого математического метода изучено преобразование направляемой моды круглого диэлектрического волновода в результате скачкообразного изменения во времени показателя преломления сердцевины. Предположение резкого изменения показателя преломления позволило построить аналитическое решение в виде преобразования Лапласа. Обратное преобразование во временную область получено с помощью теоремы о вычетах и оценки интегралов вдоль разрезов комплексной плоскости. Полученные решения позволили изучить переходные процессы и установившийся режим, продемонстрировать возможность сдвига частоты, а также установить возможность преобразования направляемой моды в моды излучения, быстро покидающие сердцевину волновода. |
| format |
Article |
| author |
Сахненко, Н.К. |
| author_facet |
Сахненко, Н.К. |
| author_sort |
Сахненко, Н.К. |
| title |
Нестационарный отклик моды круглого волновода на изменение диэлектрической проницаемости в сердцевине |
| title_short |
Нестационарный отклик моды круглого волновода на изменение диэлектрической проницаемости в сердцевине |
| title_full |
Нестационарный отклик моды круглого волновода на изменение диэлектрической проницаемости в сердцевине |
| title_fullStr |
Нестационарный отклик моды круглого волновода на изменение диэлектрической проницаемости в сердцевине |
| title_full_unstemmed |
Нестационарный отклик моды круглого волновода на изменение диэлектрической проницаемости в сердцевине |
| title_sort |
нестационарный отклик моды круглого волновода на изменение диэлектрической проницаемости в сердцевине |
| publisher |
Інститут радіофізики і електроніки ім. А.Я. Усикова НАН України |
| publishDate |
2012 |
| topic_facet |
Микроволновая электродинамика |
| url |
http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/105908 |
| citation_txt |
Нестационарный отклик моды круглого волновода на изменение диэлектрической проницаемости в сердцевине / Н.К. Сахненко // Радіофізика та електроніка. — 2012. — Т. 3(17), № 3. — С. 24-29. — Бібліогр.: 9 назв. — рос. |
| series |
Радіофізика та електроніка |
| work_keys_str_mv |
AT sahnenkonk nestacionarnyjotklikmodykruglogovolnovodanaizmeneniediélektričeskojpronicaemostivserdcevine |
| first_indexed |
2025-07-07T17:37:24Z |
| last_indexed |
2025-07-07T17:37:24Z |
| _version_ |
1837010618474823680 |
| fulltext |
ММИИККРРООВВООЛЛННООВВААЯЯ ЭЭЛЛЕЕККТТРРООДДИИННААММИИККАА
_________________________________________________________________________________________________________________
__________
ISSN 1028−821X Радиофизика и электроника. 2012. Т. 3(17). № 3 © ИРЭ НАН Украины, 2012
УДК 621.372.823:621.315.61
Н. К. Сахненко
Харьковский национальный университет радиоэлектроники
14, пр. Ленина, Харьков, 61166, Украина
E-mail: n_sakhnenko@yahoo.com
НЕСТАЦИОНАРНЫЙ ОТКЛИК МОДЫ КРУГЛОГО ВОЛНОВОДА
НА ИЗМЕНЕНИЕ ДИЭЛЕКТРИЧЕСКОЙ ПРОНИЦАЕМОСТИ В СЕРДЦЕВИНЕ
С помощью строгого математического метода изучено преобразование направляемой моды круглого диэлектрического
волновода в результате скачкообразного изменения во времени показателя преломления сердцевины. Предположение резкого изме-
нения показателя преломления позволило построить аналитическое решение в виде преобразования Лапласа. Обратное преобразо-
вание во временную область получено с помощью теоремы о вычетах и оценки интегралов вдоль разрезов комплексной плоскости.
Полученные решения позволили изучить переходные процессы и установившийся режим, продемонстрировать возможность сдвига
частоты, а также установить возможность преобразования направляемой моды в моды излучения, быстро покидающие сердцевину
волновода. Ил. 7. Библиогр.: 9 назв.
Ключевые слова: диэлектрический волновод, меняющиеся во времени среды.
Динамические структуры, в которых при
помощи воздействия стороннего поля возможен
контроль параметров материала, представляют
большие возможности для их использования в
устройствах полностью оптического переключе-
ния, перенастраиваемых фильтрах и системах
замедления и остановки света [1–2]. Изменение
во времени диэлектрической проницаемости на
практике может быть реализовано, например,
лазерной накачкой, приложением напряжения [3],
ионизацией [4] или изменением температурного
режима [5].
Известно, что изменение показателя пре-
ломления неограниченной среды ведет к пре-
образованию частоты и амплитуды первичного
поля [6]. Смещение частоты наблюдается также
при изменении показателя преломления в волно-
ведущих [7] и резонансных структурах [8–9].
В настоящей работе исследуется преобра-
зование моды диэлектрического волновода круг-
лого сечения в результате скачкообразного изме-
нения диэлектрической проницаемости в сердце-
вине. Предположение такого изменения позволи-
ло построить аналитическое решение в виде пре-
образования Лапласа. Обратное преобразование
получено в виде суммы вычетов в особых точках,
соответствующих модам волновода, и интегралов
вдоль разрезов комплексной плоскости, которые
описывают потери на излучение.
1. Постановка задачи и метод решения.
Рассматривается однородный диэлектрический
волновод бесконечной протяженности кругового
поперечного сечения. Пусть сердцевина волново-
да радиусом a имеет диэлектрическую проницае-
мость 1ε , а внешняя область имеет диэлектриче-
скую проницаемость ε. Все среды будем считать
линейными и немагнитными. Введем цилиндри-
ческую систему координат ρ, ϕ, z, в которой ось z
совпадает с осью волновода. Примем общую для
всех компонент поля зависимость от z в виде
−i ze β . Зависимость от времени предполагается
равной 0i te ω .
Ограничимся рассмотрением аксиально-
симметричных негибридных мод. В качестве пер-
вичного поля рассматривается ТМ-мода, для ко-
торой 0=zH , либо ТЕ-мода, для которой 0=zE .
Запишем выражение для поля в виде
>
<
=
.),(
,),(
0
0
abK
aJ
U
ργρ
ρκρ
(1)
Здесь U представляет собой zE (для ТМ-моды)
либо zH (для ТЕ-моды); 2 2 2
0 1= −vκ ω β являет-
ся поперечным волновым числом, а
2 2 2
0= − vγ β ω – продольным волновым числом;
1v и v – фазовые скорости сердцевины и оболоч-
ки соответственно. Из граничных условий, тре-
бующих непрерывности на границе тангенциаль-
ных составляющих поля, следует, что
0 0( ) ( )=b J a K aκ γ , а также дисперсионные соот-
ношения
1 1
0 1 0
( ) ( )
( ) ( )
= −
J a K a
J a K a
κ ε γ
κ κ ε γ γ
(для ТМ-мод); (2)
1 1
0 0
( ) ( )
( ) ( )
= −
J a K a
J a K a
κ γ
κ κ γ γ
(для ТЕ-мод). (3)
Предположим, что в нулевой момент
времени под действием некоторого стороннего
источника в сердцевине волновода однородно
изменяется диэлектрическая проницаемость от
значения 1ε до значения 2ε . После нулевого мо-
мента времени преобразованное поле должно
удовлетворять волновым уравнениям
2 2 2
2 2 2
2
0, ,
0, ,
∆ − − ∂ = >
∆ − − ∂ = <
tt
tt
U U U v a
U U U v a
β ρ
β ρ
(4)
mailto:n_sakhnenko@yahoo.com
Н. К. Сахненко / Нестационарный отклик моды…
_________________________________________________________________________________________________________________
25
где оператор ∆, относящийся к поперечным коор-
динатам, в цилиндрической системе координат
имеет вид
2 2
2 2 2
1 1∂ ∂ ∂
∆ = + +
∂∂ ∂ρ ρρ ρ ϕ
. (5)
Перейдем в уравнениях (4) к преобразованию
Лапласа
0
( ) ( )
∞
−= ∫ ptL p U t e dt , включая в них
начальные условия, которые состоят в требова-
нии непрерывности векторов электрической и
магнитной индукции в момент скачка параметров
среды. Для z-составляющих векторов напряжен-
ностей электрического и магнитного полей
начальные условия могут быть записаны следу-
ющим образом:
ar
tEtE
tEtE
ztzt
zz <
=∂==∂
===
−+
−+
),0()0(
),0()0(
21
21
εε
εε (6)
в нестационарной сердцевине в случае ТМ-полей, и
ar
tHtH
tHtH
ztzt
zz <
=∂==∂
===
−+
−+
),0()0(
),0()0(
21 εε
(7)
в случае ТЕ-полей. В стационарном внешнем
пространстве начальные условия для двух поля-
ризаций одинаковы:
;
),0()0(
),0()0( ar
tEtE
tEtE
ztzt
zz >
=∂==∂
===
−+
−+
(8)
.
),0()0(
),0()0( ar
tHtH
tHtH
ztzt
zz >
=∂==∂
===
−+
−+
(9)
Преобразованное поле представим в виде
суммы двух слагаемых, одно из которых соответ-
ствует решению начальной задачи, а второе соот-
ветствует влиянию нестационарной границы [7–8].
Исходя из этого решение будем искать в виде
aAIJpML <+= ρρϕκρ ),()()( 100 ; (10)
aBKipKbL >+−= ρϕρωγρ ),()()( 000 , (11)
где 2 2 2= + p vϕ β ; 2 2 2
1 2= + p vϕ β . Первое
слагаемое в (10) соответствует решению началь-
ной задачи. Функция ( )M p не зависит от формы
границы, но, в силу того что для ТЕ- и ТМ-полей
начальные условия разные:
2
2 0
2 2 2 2
1 0 2
( )( ) +
=
+
v p iM p
p v v
ω
ω
(для ТМ-моды); (12)
2 2
1 0 2
2 2 2 2
1 0 2
( ) +
=
+
v p iM p
p v
ω ν
ω ν
(для ТЕ-моды). (13)
Неизвестные коэффициенты A и B могут быть
найдены из граничных условий. Требование не-
прерывности тангенциальных компонент поля
приводит к системе уравнений для аксиально
симметричных ТМ-полей:
′=
=′−′
=−
GFaJ
BaKAaI
FaJpBaKAaI
TMTM
TMTM
)(
)()(
,)()()(
0
2
0
01102
0
2
010
κω
ϕϕϕϕεε
κϕϕ
(14)
и аксиально симметричных ТЕ-полей:
′−=
=′−′
=−
.)(
)()(
,)()()(
01
0110
00010
FaJ
BaKAaI
FapJiBaKAaI
TETE
TETE
κκϕϕ
ϕϕϕϕ
κωϕϕ
(15)
Здесь также
2 2
1 2
2 2 2 2
0 1 0 2( )( )
−
=
− +
v vF
p i p v vω ω
; (16)
κϕϕ1
2
1
2 vvG = . (17)
Далее приведем выражения для коэффициентов
разложения:
;
)()()()(
)()()()(
01010102
00
2
100
2
0
aKaIaKaI
aKaJpaKaJG
ATM
ϕϕϕϕϕϕεε
ϕκϕϕκω
′−′
′−′
=
=
(18)
.
)()()()(
)()()()(
01010102
00
2
100
2
0
aKaIaKaI
aKaJpaKaJG
BTM
ϕϕϕϕϕϕεε
ϕκϕϕκω
′−′
′−′
=
=
(19)
Коэффициенты TEA и TEB могут быть получены
из (15) аналогичным образом.
Обращение полученных решений во вре-
менную область осуществляется по формуле
Меллина
1( ) ( )
2
∞
−∞
= ∫
i
ptU t L p e dp
iπ
. (20)
Оригинал для решения начальной задачи (первое
слагаемое в (10)) может быть записан в аналити-
ческом виде для z-составляющих векторов ТМ- и
ТЕ-полей, соответственно:
);(
2
0
1
12
1
12
1
2 11
κρβ
ωω
Je
e
v
vve
v
vv
v
vE
zi
titi
z
−
−
×
×
−
+
+
=
(21)
),(
2
1
0
1
21
1
12 11
κρβ
ωω
Je
e
v
vve
v
vvH
zi
titi
z
−
−
×
×
−
+
+
=
(22)
где 1 2 1 0= v vω ω .
Н. К. Сахненко / Нестационарный отклик моды…
_________________________________________________________________________________________________________________
26
После скачка диэлектрической проница-
емости первичная мода преобразуется в суперпо-
зицию прямой (прошедшей во времени) и обрат-
ной (отраженной во времени) волн. При этом
преобразуется частота волны и амплитуда. Сме-
щенная частота 1ω не зависит от формы границы,
а только от относительного изменения диэлект-
рической проницаемости.
Поведение составляющих поля, учиты-
вающих влияние границы на ранних этапах пере-
ходного периода, может быть изучено с учетом
формулы
0
lim ( ) lim ( )
→∞ →
=
p t
pL p U t . (23)
Используя асимптотические оценки для
модифицированных функций Бесселя при боль-
ших значениях аргумента p, получим
;,)(
)(
2
0
2
2
2
1
2
2
2
1
10
aeaJa
vv
v
v
vv
IpA
v
ap
TM
<
+
−
≈
≈
−
−
ρκ
ρ
ρϕ
ρ (24)
.,)(
)(
0
2
2
1
2
2
2
1
0
aeaJa
vv
v
v
vv
KpB
v
ap
TM
>
+
−
−≈
≈
−
−
ρκ
ρ
ϕρ
ρ (25)
Очевидно, что интеграл Меллина от функции (24)
сходится при 2( )> −t a vρ , а от функции (25) при
( )> −t a vρ . Это означает, что во временной об-
ласти данные выражения описывают нестацио-
нарные волны, образующиеся у границы и рас-
пространяющиеся в противоположных от нее
направлениях. Функции TMA , TEA , TMB , TEB
имеют конечное число полюсов, соответствую-
щих модам волновода, а также точку ветвления
( 0=ϕ ). Данные функции являются четными от-
носительной переменой 1ϕ , поэтому 01 =ϕ точ-
кой ветвления не является. Обратное преобразо-
вание во временную область будем вычислять в
виде суммы вычетов во всех особых точках и ин-
тегралов вдоль разрезов. Разрезы комплексной
плоскости следует проводить вдоль мнимой оси
плоскости комплексной переменной p вдоль полу-
прямых ( )Im ,∈ +∞p vβ и ( )Im ,∈ −∞ −p vβ .
Переходный процесс в сердцевине волно-
вода можно описать следующим образом: на
промежутке времени 20 ( )< < −t a vρ поле опи-
сывается только первым слагаемым в (10) и пред-
ставляет собой суперпозицию прямой и обратной
волн с новой частотой и амплитудами (21)–(22).
У границы образуется нестационарная волна, ко-
торая распространяется по направлению к оси
волновода, достигает ее, продолжает распростра-
няться, снова отражается от стенки волновода и т. д.
Волны, соответствующие вычетам в полюсах
120 vvip ω±= , существуют только в течение ко-
роткого переходного интервала времени
( 20 ( )≤ ≤ −t a vρ , до достижения точки наблюде-
ния нестационарным волновым фронтом), так что
в установившемся режиме компоненты с такими
частотами отсутствуют. Во внешнем простран-
стве на начальном этапе нестационарности поле
описывается только первым слагаемым в (11),
соответствующим первичной волне. В момент
времени ( )= −t a vρ нестационарная волна от
границы достигает точки наблюдения, и полное
поле описывается суперпозицией вычетов и инте-
гралов вдоль разрезов, соответствующих времен-
ному представлению формулы (11). Особая точка
0=p iω является устранимой, что означает заме-
щение первичной частоты на преобразованную во
внешнем пространстве, после того как возмуще-
ние достигло точки наблюдения.
2. Результаты и обсуждение. Для даль-
нейших вычислений будем считать, что волновод
находится в вакууме =v c, где c – скорость света
в свободном пространстве. Также будут исполь-
зоваться такие нормированные величины:
=w a cω – нормированная частота, =T tc a – нор-
мированное время. Сначала рассмотрим случай
волновода в одномодовом режиме. Пусть до ну-
левого момента времени в волноводе с показате-
лем преломления 5,111 == εn распространяется
мода 1TM , ее нормированная частота 7116,30 =w ,
а нормированная продольная константа распро-
странения 5,4=cβ . В нулевой момент времени
показатель преломления изменяется до величины
55,122 == εn . На рис. 1 представлена спект-
ральная плотность поля до и после нулевого мо-
мента времени. Очевидно смещение частоты пре-
образованного поля. После нулевого момента
времени пик в спектре соответствует TM1-моде
волновода с новым значением показателя пре-
ломления и частотой ′w = 3,6092. Следует отме-
тить, что смещенная частота, которая соответ-
ствует решению начальной задачи (22), принима-
ет значение 1w = 3,5918. Значит, в результате рез-
кого изменения показателя преломления сердце-
вины первичная мода преобразуется в моду с та-
ким же пространственным распределением; при
этом наблюдается смещение частоты на началь-
ном интервале времени до значения 1w , а затем,
когда от границы в точку наблюдения приходит
нестационарная волна, до значения ′w .
Н. К. Сахненко / Нестационарный отклик моды…
_________________________________________________________________________________________________________________
27
3 3,5 4 4,5
0
50
100
150
200
250
300
w
|E
|
Рис. 1. Смещение частоты при изменении показателя прелом-
ления в случае одномодового режима (n1 = 1,5, n1 = 1,55,
первичное поле –TM1-мода w0 = 3,7116, β / c = 4,5): спектр
поля до нулевого момента времени (пунктирная линия) и
после (сплошная линия)
Смещение частоты будет зависеть не
только от величины показателя преломления, но
и от значения продольной постоянной распро-
странения. На рис. 2 представлена зависимость
величины смещения частоты 1 ′∆ = −w w w от из-
менения показателя преломления для различных
значений β .
1,4 1,42 1,44 1,46 1,48
-0,25
-0,2
-0,15
-0,1
-0,05
0
0,05
0,1
0,15
0,2
n
∆
w
Рис. 2. Сдвиг частоты в зависимости от относительного изме-
нения показателя преломления: ТМ-мода, βa = 3 (линия 1);
ТЕ-мода, βa = 3 (линия 2); ТМ-мода, βa = 5 (линия 3); ТЕ-
мода, βa = 5 (линия 4)
Очевидно, что уменьшение показателя
преломления ведет к увеличению частоты, и
наоборот. Также сдвиг частоты увеличивается с
возрастанием значения продольной постоянной
распространения. Это связано с тем, что при
больших значениях β поле сильнее локализова-
но в сердцевине волновода, а значит, степень пе-
рекрытия моды и нестационарной области выше.
Также величина сдвига частоты для ТЕ-мод не-
сколько выше, чем для ТМ-мод.
Далее рассматривается спектральная
плотность поля до и после нулевого момента
времени в случае двухмодового режима (рис. 3).
До нулевого момента времени показатель пре-
ломления сердцевины волновода 1n = 1,5; в качест-
ве первичного поля рассматривается TM1-мода
( 2162,50 =w , 7=cβ ). В нулевой момент времени
показатель преломления изменяется до значения
55,12 =n . При таких значениях параметров после
нулевого момента времени наблюдается возбужде-
ние двух мод ( ′w = 5,0559 (TM1) и ′′w = 6,0896
(TM2)), но амплитуда возбуждаемой TM2-моды
невелика.
4 4,5 5 5,5 6 6,5 7
0
50
100
150
200
250
300
w
|E
|
Рис. 3. Смещение частоты при изменении показателя прелом-
ления в случае двухмодового режима (n1 = 1,5, n1 = 1,55, пер-
вичное поле – TM1-мода, w0 = 5,2162, β / c = 7): спектр поля до
нулевого момента времени (пунктирная линия) и после
(сплошная линия)
Вычисление вычетов на соответствую-
щих смещенных частотах наглядно иллюстрирует
характер преобразованного поля: абсолютная
величина вычета на частоте моды TM1 равна
0,9683 (для прямой волны) и 0,0151 (для обратной),
для TM2-моды 0,0304 (для прошедшей волны) и
0,0024 (для обратной). Все величины нормирова-
ны амплитудой падающего поля, т. е. даже в
двухмодовом режиме максимальную амплитуду
имеет мода с тем же пространственным распре-
делением, что и первичная волна.
На рис. 4 представлена зависимость дейст-
вительной части z-составляющей электрического
поля от нормированного времени =T tc a (точка
наблюдения расположена на оси волновода).
На промежутке времени 20 < <T n поле соответст-
вует решению начальной задачи (21), после мо-
мента времени 2=T n – это суперпозиция мод
(прямых и обратных), описываемых вычетами и
нестационарной составляющей, которой соответст-
вует интеграл вдоль разреза комплексной плоскости.
Наглядно эти процессы показаны на рис. 5, где
Е
300
250
200
150
100
50
0
3 3,5 4 4,5
w
Е
300
250
200
150
100
50
0
4 4,5 5 5,5 6 6,5 7
w
1,4 1,42 1,44 1,46 1,48
n
0,2
0,15
0,1
0,05
0
–0,05
–0,1
–0,15
–0,2
–0,25
∆
w
1
2
3
4
Н. К. Сахненко / Нестационарный отклик моды…
_________________________________________________________________________________________________________________
28
представлен модуль поля. Отчетливо видны раз-
личия на разных этапах нестационарности, а так-
же биения возбуждаемых мод.
-5 0 5 10 15 20 25 30
-1,5
-1
-0,5
0
0,5
1
1,5
T
R
e(
E
)
Рис. 4. Зависимость действительной части электрического
поля от времени (все параметры, как на рис. 3)
-5 0 5 10 15 20 25 30
0,85
0,9
0,95
1
1,05
1,1
T
|E
|
Рис. 5. Зависимость модуля электрического поля от времени
(все параметры, как на рис. 3)
На рис. 6 отдельно представлен вклад в
полное поле интеграла вдоль разреза комплекс-
ной плоскости. Отчетливо виден всплеск поля в
момент прихода нестационарного фронта от грани-
цы ( 2=T n = 1,55), а также в момент ( 23=T n = 4,65)
прихода в точку наблюдения волнового фронта
после первого отражения от границы. Однако,
сравнив амплитуды этих волн (вертикальная
шкала на рис. 4 и 6), приходим к выводу, что
вклад нестационарной составляющей в общее
поле невелик. Основной вклад дает возбуждаемая
TM1-мода.
Для оптического управления сигналами и
полностью оптического переключения особый
интерес представляет возможность преобразова-
ния направляемой моды в моды излучения, быст-
ро покидающие сердцевину волновода. Пред-
ставляется возможным подобрать значения пара-
метров таким образом, что после преобразования
свойств среды смещенная частота 1 2 1 0= v vω ω
окажется выше частоты отсечки. Ниже приведен
пример такого преобразования. Допустим, в волно-
воде с показателем преломления 1n = 1,6 рас-
пространяется мода 6TM ( 0w = 14,8088, cβ = 15).
При изменении во времени показателя преломле-
ния до величины 2n = 1,5 смещенная частота
1 2 1 0=w n n w = 15,7960> cβ . В своем новом состоя-
нии волновод поддерживает только 5 направляе-
мых мод, значит, часть энергии распределяется
между возбуждаемыми направляемыми модами, а
основная часть энергии покидает волновод.
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
-0,1
-0,08
-0,06
-0,04
-0,02
0
0,02
0,04
0,06
T
R
e(
E
)
Рис. 6. Вклад интеграла вдоль разреза комплексной плоскости
(параметры задачи, как на рис. 3)
Поведение преобразованного поля пока-
зано на рис. 7. Очевидно быстрое падение ампли-
туды поля, однако оно не убывает до нуля, а
представляет собой биение возбужденных мод
волновода, хотя в данном случае их амплитуды
невелики. Так, модуль вычета (нормированный
амплитудой первичного поля) для TM5-моды ра-
вен 0,1307, для мод с меньшим числом вариаций
по радиусу эта величина еще меньше.
-5 0 5 10 15 20
-1,5
-1
-0,5
0
0,5
1
1,5
T
R
e(
E
)
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
T
–5 0 5 10 15 20 25 30
T
Е
1,1
1,05
1
0,95
0,9
0,85
–5 0 5 10 15 20 25 30
T
1,5
1
0,5
0
–0,5
–1
–1,5
R
e(
E)
0,06
0,04
0,02
0
–0,02
–0,04
–0,06
–0,08
–0,1
R
e(
E)
–5 0 5 10 15 20
T
1,5
1
0,5
0
–0,5
–1
–1,5
R
e(
E)
Н. К. Сахненко / Нестационарный отклик моды…
_________________________________________________________________________________________________________________
29
Рис. 7. Зависимость действительной части электрического
поля от времени (n1 = 1,6, n2 = 1,5, первичное поле – мода
TM6 (w0 = 14,8088, β / c = 15)
Выводы. Таким образом, исследован не-
стационарный отклик моды круглого волновода
на скачкообразное изменение диэлектрической
проницаемости в сердцевине. Предположение
резкого изменения свойств среды позволило по-
строить аналитическое решение в виде преобра-
зования Лапласа. Обращение во временную об-
ласть произведено с помощью оценки вычетов в
особых точках, соответствующих собственным
частотам волновода и интегралов вдоль разрезов
комплексной плоскости, которые описывают по-
тери на излучение. Анализ полученных решений
позволил описать детали переходного процесса и
установившегося режима. Показано, что при из-
менении показателя преломления направляемая
мода волновода может быть преобразована в
направляемую моду волновода с новым показате-
лем преломления в сердцевине. При этом проис-
ходит смещение частоты. Также показано, что
при определенных условиях возможно преобра-
зование направляемой моды в моды излучения,
быстро покидающие сердцевину волновода.
Библиографический список
1. Heebner J. Slow light, induced dispersion, enhanced nonline-
arity, and optical solitons in a resonant-array waveguide / J.
Heebner // Phys. Rev. E. – 2002. – 65, iss. 3. – 036619 (4 p.).
2. Yanik M. Time Reversal of Light with Linear Optics and
Modulators / M. Yanik, S. Fan // Phys. Rev. Lett. – 2004. –
93, N 17. – 173903 (4 p.).
3. High-Order Tunable Filters Based on a Chain of Coupled
Crystalline Whispering Gallery-Mode Resonators / A. Savchen-
kov, V. Ilchenko, A. Matsko, L. Maleki // IEEE Photon.
Technol. Lett. – 2005. – 17, N 1. – P. 136–138.
4. Microdisk. Tunable Resonant Filters and Switches / K. Djordjev,
S. J. Choi, S. J. Choi, P. Dapkus // IEEE Photon. Technol. Lett. –
2002. – 14, N 6. – P. 828–830.
5. Strongly coupled semiconductor microcavities: A route to couple
artificial atoms over micrometric distances / M. Benyoucef,
S. Kiravittaya, Y. Mei et al. // Phys. Rev. B. – 2008. – 77,
iss. 3. – 035108 (5 p.).
6. Morgenthaler F. R. Velocity modulation of electromagnetic
wave / F. R. Morgenthaler // IRE Trans. on Microwave Theory
and Technique. – 1958. – 6, N 2. – P. 167–172.
7. Investigations of electromagnetic field in a layer with time-
varying medium by Volterra integral equation method / F. Fedo-
tov, A. G. Nerukh, T. M. Benson, P. Sewell // J. of Lightwave
Technol. – 2003. – 21, N 1. – P. 305–314.
8. Transient transformation of Whispering Gallery resonator
modes due to time variations in dielectric permittivity /
N. K. Sakhnenko, T. M. Benson, P. Sewell, A. G. Nerukh //
Optical and Quantum Electronics. – 2006. – 38, N 1–3. – P. 71–81.
9. Sakhnenko N. Rigorous Analysis of Whispering Gallery Mode
Frequency Conversion Due to Time Variation of Refractive
Index in a Spherical Resonator / N. Sakhnenko, A. Nerukh //
J. Opt. Soc. Am. A. – 2012. – 29, N 1. – P. 99–104.
Рукопись поступила 22.05.2012.
N. K. Sakhnenko
TRANSIENT RESPONSE OF CIRCULAR
WAVEGUIDE MODE TO THE CHANGE
OF DIELECTRIC PERMITTIVITY
IN THE CORE
This paper investigates transformation of the guided
mode of the circular waveguide due to abrupt time change of the
refractive index of the core on the basis of rigorous mathematical
approach. Assumption of the sharp time change of the medium
parameters allows obtaining the analytical solution in the Laplace
transform domain. The inverse transform is derived by virtue of
the residues estimation at singular points and evaluation of the
integral along branch cut of the complex plane. Transient behavior
of the processes, steady state regime, possibility of the frequency
shift and chance to transform the guided mode into leaky modes
have been studied in details.
Key words: dielectric waveguide, time varying media.
Н. К. Сахненко
НЕСТАЦІОНАРНИЙ ВІДГУК МОДИ
КРУГЛОГО ХВИЛЕВОДУ НА ЗМІНУ
ДІЕЛЕКТРИЧНОЇ ПРОНИКНОСТІ В СЕРЦЕВИНІ
За допомогою строгого математичного методу ви-
вчено перетворення напрямленої моди круглого діелектрично-
го хвилеводу в результаті стрибкоподібної зміни у часі показ-
ника заломлення серцевини. Припущення різкої зміни показ-
ника заломлення дозволило побудувати аналітичний розв’язок
у вигляді перетворення Лапласа. Обернене перетворення у
часовий простір отримано за допомогою теореми про лишки
та оцінки інтегралів уздовж розрізів комплексної площини.
Одержані розв’язки дозволили вивчити перехідні процеси та
усталений режим, продемонструвати можливість зсуву часто-
ти, а також виявити можливість перетворення напрямленої
моди в моди випромінювання, що швидко залишають серце-
вину хвилеводу.
Ключові слова: діелектричний хвилевод, змінні за
часом середовища.
0BС помощью строгого математического метода изучено преобразование направляемой моды круглого диэлектрического волновода в результате скачкообразного изменения во времени показателя преломления сердцевины. Предположение резкого изменения показателя пр...
1BThis paper investigates transformation of the guided mode of the circular waveguide due to abrupt time change of the refractive index of the core on the basis of rigorous mathematical approach. Assumption of the sharp time change of the medium param...
2BЗа допомогою строгого математичного методу вивчено перетворення напрямленої моди круглого діелектричного хвилеводу в результаті стрибкоподібної зміни у часі показника заломлення серцевини. Припущення різкої зміни показника заломлення дозволило побуд...
|