Степенной ряд ∑n!zⁿ и голоморфные решения некоторых дифференциальных уравнений в банаховом пространстве
Пусть А ограниченный оператор в банаховом пространстве. Изучен вопрос о существовании голоморфных решений уравнения z²Aω' + g(z) = ω.
Gespeichert in:
| Datum: | 2005 |
|---|---|
| Hauptverfasser: | , |
| Format: | Artikel |
| Sprache: | Russian |
| Veröffentlicht: |
Фізико-технічний інститут низьких температур ім. Б.І. Вєркіна НАН України
2005
|
| Schriftenreihe: | Журнал математической физики, анализа, геометрии |
| Online Zugang: | http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/106564 |
| Tags: |
Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Zitieren: | Степенной ряд ∑n!zⁿ и голоморфные решения некоторых дифференциальных уравнений в банаховом пространстве / С.Л. Гефтер, В.Н. Мокренюк // Журнал математической физики, анализа, геометрии. — 2005. — Т. 1, № 1. — С. 53-70. — Бібліогр.: 24 назв. — рос. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
irk-123456789-106564 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
irk-123456789-1065642016-10-01T03:02:06Z Степенной ряд ∑n!zⁿ и голоморфные решения некоторых дифференциальных уравнений в банаховом пространстве Гефтер, С.Л. Мокренюк, В.Н. Пусть А ограниченный оператор в банаховом пространстве. Изучен вопрос о существовании голоморфных решений уравнения z²Aω' + g(z) = ω. Нехай А обмежений оператор у банаховому просторі. Вивчено питання про існування голоморфних розв’язків рівняння z²Aω' + g(z) = ω. Let A be a bounded operator on a Banach space. A question about the existence of holomorphic solutions of the equation z²Aω' + g(z) = ω is studied. 2005 Article Степенной ряд ∑n!zⁿ и голоморфные решения некоторых дифференциальных уравнений в банаховом пространстве / С.Л. Гефтер, В.Н. Мокренюк // Журнал математической физики, анализа, геометрии. — 2005. — Т. 1, № 1. — С. 53-70. — Бібліогр.: 24 назв. — рос. 1812-9471 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/106564 ru Журнал математической физики, анализа, геометрии Фізико-технічний інститут низьких температур ім. Б.І. Вєркіна НАН України |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| language |
Russian |
| description |
Пусть А ограниченный оператор в банаховом пространстве. Изучен вопрос о существовании голоморфных решений уравнения z²Aω' + g(z) = ω. |
| format |
Article |
| author |
Гефтер, С.Л. Мокренюк, В.Н. |
| spellingShingle |
Гефтер, С.Л. Мокренюк, В.Н. Степенной ряд ∑n!zⁿ и голоморфные решения некоторых дифференциальных уравнений в банаховом пространстве Журнал математической физики, анализа, геометрии |
| author_facet |
Гефтер, С.Л. Мокренюк, В.Н. |
| author_sort |
Гефтер, С.Л. |
| title |
Степенной ряд ∑n!zⁿ и голоморфные решения некоторых дифференциальных уравнений в банаховом пространстве |
| title_short |
Степенной ряд ∑n!zⁿ и голоморфные решения некоторых дифференциальных уравнений в банаховом пространстве |
| title_full |
Степенной ряд ∑n!zⁿ и голоморфные решения некоторых дифференциальных уравнений в банаховом пространстве |
| title_fullStr |
Степенной ряд ∑n!zⁿ и голоморфные решения некоторых дифференциальных уравнений в банаховом пространстве |
| title_full_unstemmed |
Степенной ряд ∑n!zⁿ и голоморфные решения некоторых дифференциальных уравнений в банаховом пространстве |
| title_sort |
степенной ряд ∑n!zⁿ и голоморфные решения некоторых дифференциальных уравнений в банаховом пространстве |
| publisher |
Фізико-технічний інститут низьких температур ім. Б.І. Вєркіна НАН України |
| publishDate |
2005 |
| url |
http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/106564 |
| citation_txt |
Степенной ряд ∑n!zⁿ и голоморфные решения некоторых дифференциальных уравнений в банаховом пространстве / С.Л. Гефтер, В.Н. Мокренюк // Журнал математической физики, анализа, геометрии. — 2005. — Т. 1, № 1. — С. 53-70. — Бібліогр.: 24 назв. — рос. |
| series |
Журнал математической физики, анализа, геометрии |
| work_keys_str_mv |
AT geftersl stepennojrâdnznigolomorfnyerešeniânekotoryhdifferencialʹnyhuravnenijvbanahovomprostranstve AT mokrenûkvn stepennojrâdnznigolomorfnyerešeniânekotoryhdifferencialʹnyhuravnenijvbanahovomprostranstve |
| first_indexed |
2025-07-07T18:38:47Z |
| last_indexed |
2025-07-07T18:38:47Z |
| _version_ |
1837014481498013696 |
| fulltext |
Æóðíàë ìàòåìàòè÷åñêîé ôèçèêè, àíàëèçà, ãåîìåòðèè
2005, ò. 1, � 1, c. 53�70
Ñòåïåííîé ðÿä
1P
n=0
n!z
n è ãîëîìîðôíûå ðåøåíèÿ
íåêîòîðûõ äèôôåðåíöèàëüíûõ óðàâíåíèé
â áàíàõîâîì ïðîñòðàíñòâå
Ñ.Ë. Ãåôòåð
Ôèçèêî-òåõíè÷åñêèé èíñòèòóò íèçêèõ òåìïåðàòóð èì. Á.È. Âåðêèíà ÍÀÍ Óêðàèíû
ïð. Ëåíèíà, 47, Õàðüêîâ, 61103, Óêðàèíà
E-mail:gefter@univer.kharkov.ua
Â.Í. Ìîêðåíþê
ÎÎÎ "ÎÌÅÃÀ-Àâòîïîñòàâêà"
óë. Ïðîìûøëåííàÿ, 1, ïãò Âàñèùåâî, Õàðüêîâñêèé ð-í, Õàðüêîâñêàÿ îáë., 62495, Óêðàèíà
E-mail:mokr@ukr.net
Ñòàòüÿ ïîñòóïèëà â ðåäàêöèþ 29 èþíÿ 2004 ã.
Ïóñòü A � îãðàíè÷åííûé îïåðàòîð â áàíàõîâîì ïðîñòðàíñòâå. Èçó-
÷åí âîïðîñ î ñóùåñòâîâàíèè ãîëîìîðôíûõ ðåøåíèé óðàâíåíèÿ z2Aw0 +
g(z) = w: Êðîìå òîãî, ðàññìîòðåíû îáùèå ñâîéñòâà ñòåïåííûõ ðÿäîâ
âèäà
1X
n=0
cnA
nzn; cn 2 C .
Íåõàé A � îáìåæåíèé îïeðàòîð ó áàíàõîâîìó ïðîñòîði. Âèâ÷åíî ïè-
òàííÿ ïðî iñíóâàííÿ ãîëîìîðôíèõ ðîçâ'ÿçêiâ ðiâíÿííÿ z2Aw0+g(z) = w:
Êðiì òîãî, ðîçãëÿíóòî çàãàëüíi âëàñòèâîñòi ñòåïåíåâèõ ðÿäiâ, ùî ìàþòü
âèãëÿä
1X
n=0
cnA
nzn; cn 2 C :
Ââåäåíèå
×àñòî ïðè íàõîæäåíèè ðåøåíèÿ äèôôåðåíöèàëüíîãî óðàâíåíèÿ ñ àíà-
ëèòè÷åñêèìè êîýôôèöèåíòàìè â âèäå ñòåïåííîãî ðÿäà êîýôôèöèåíòû ðÿ-
äà îäíîçíà÷íî îïðåäåëÿþòñÿ, íî ïîëó÷åííûé ñòåïåííîé ðÿä èìååò íóëåâîé
Mathematics Subject Classi�cation 2000: 34A20, 34A25, 34G10.
c
Ñ.Ë. Ãåôòåð, Â.Í. Ìîêðåíþê, 2005
Ñ.Ë. Ãåôòåð, Â.Í. Ìîêðåíþê
ðàäèóñ ñõîäèìîñòè (ñì., íàïð., [1, 2] ). Ïî-âèäèìîìó, ïåðâûé òàêîé ïðèìåð
áûë èññëåäîâàí Ýéëåðîì [3] â ñâÿçè ñ ñóììèðîâàíèåì ðàñõîäÿùåãîñÿ ðÿäà
1X
n=0
(�1)nn!: Îí ðàññìîòðåë óðàâíåíèå x2y0 + y = x è ïîëó÷èë åãî ðåøåíèå â
âèäå y = x (x); ãäå (x) =
1X
n=0
(�1)nn!xn (îáñóæäåíèå ýòîãî ïðèìåðà è èñòî-
ðè÷åñêèå ñâåäåíèÿ ñì. â [4, 5]). Î÷åâèäíî, ÷òî íàéäåííûé ðÿä ðàñõîäèòñÿ ïðè
âñåõ x 6= 0:  äàëüíåéøåì òàêèå ðåøåíèÿ ïîëó÷èëè èíòåðïðeòàöèþ â ðàìêàõ
òåîðèè àñèìïòîòè÷åñêèõ ðÿäîâ (ñì. [2, 5�9]).
 íàñòîÿùåé ðàáîòå èçó÷àåòñÿ ñëåäóþùèé îïåðàòîðíûé àíàëîã óðàâíå-
íèÿ, ðàññìîòðåííîãî Ýéëåðîì (äëÿ óäîáñòâà ïåðåä íåèçâåñòíîé ôóíêöèåé èç-
ìåíåí çíàê):
z
2
Aw
0 + g(z) = w: (�)
Çäåñü A� ëèíåéíûé îãðàíè÷åííûé îïåðàòîð â êîìïëåêñíîì áàíàõîâîì ïðîñò-
ðàíñòâå è g(z) � âåêòîð-ôóíêöèÿ, ãîëîìîðôíàÿ â íåêîòîðîé îêðåñòíîñòè íó-
ëÿ. Ïîä ðåøåíèåì óðàâíåíèÿ ïîíèìàåòñÿ ãîëîìîðôíàÿ â îêðåñòíîñòè íóëÿ
âåêòîð-ôóíêöèÿ, êîòîðàÿ óäîâëåòâîðÿåò â ýòîé îêðåñòíîñòè óðàâíåíèþ.
Ñôîðìóëèðóåì îñíîâíîé ðåçóëüòàò ñòàòüè.
Òåîðåìà 3.8. Ñëåäóþùèå óñëîâèÿ ýêâèâàëåíòíû:
(1) óðàâíåíèå (�) èìååò ðåøåíèå äëÿ ëþáîé âåêòîð-ôóíêöèè g(z);
(2) óðàâíåíèå z2Aw0 + bz = w èìååò ðåøåíèå äëÿ ëþáîãî âåêòîðà b 2 E;
(3) îïåðàòîð A êâàçèíèëüïîòåíòåí (ò.å. èìååò ñïåêòð, ñîñòîÿùèé èç åäèíñò-
âåííîé òî÷êè � = 0) è åãî ôðåäãîëüìîâà ðåçîëüâåíòà (1� zA)�1 ÿâëÿåòñÿ
öåëîé ôóíêöèåé ýêñïîíåíöèàëüíîãî òèïà.
 êà÷åñòâå ñëåäñòâèÿ, ìû ïîëó÷àåì óñëîâèå ñóùåñòâîâàíèÿ ãîëîìîðôíîãî
â îêðåñòíîñòè 1 ðåøåíèÿ óðàâíåíèÿ Aw0 + w = h(z) (ñì. ñëåäñòâèå 3.10).
Òåîðåìó 3.8 ìîæíî ðàññìàòðèâàòü êàê åùå îäíó èëëþñòðàöèþ íåîáû÷-
íûõ ñâîéñòâ îáúåêòîâ, ñâÿçàííûõ ñ êâàçèíèëüïîòåíòíûìè îïåðàòîðàìè (ñì.,
íàïð., [10, ïï. 4.6 è 4.10], [11, ãë. IV] è [12]).
Èññëåäîâàíèå óðàâíåíèÿ (�) îñíîâàíî íà ïîíÿòèè A-ãîëîìîðôíîãî ôîð-
ìàëüíîãî ñòåïåííîãî ðÿäà (ñì. îïðåäåëåíèå 1.1), êîòîðîå äëÿ ñëó÷àÿ âîëüòåð-
ðîâûõ îïåðàòîðîâ ðàññìàòðèâàëîñü â ðàáîòå Ïåðå [13] (ñì. òàêæå [14, ï. 8]) è
â îáùåì ñëó÷àå áûëî ââåäåíî â [15]. Òàê, óñëîâèÿ òåîðåìû 3.8 ýêâèâàëåíòíû
A�ãîëîìîðôíîñòè ðÿäà '(z) =
1X
n=0
n!zn (ñì. ïðåäëîæåíèå 3.1 è òåîðåìó 1.5).
Îòìåòèì, ÷òî äëÿ ëþáîé çàìêíóòîé êîììóòàòèâíîé ïîäàëãåáðû àëãåáðû âñåõ
îãðàíè÷åííûõ ëèíåéíûõ îïåðàòîðîâ â ïðîñòðàíñòâå E; ñîäåðæàùåé îïåðàòîð
A; âîçíèêàþùàÿ çäåñü ôóíêöèÿ îïåðàòîðíîãî àðãóìåíòà 'A(T ) =
1X
n=0
n!An
T
n
54 Æóðíàë ìàòåìàòè÷åñêîé ôèçèêè, àíàëèçà, ãåîìåòðèè, 2005, ò. 1, � 1
Ñòåïåííîé ðÿä
1P
n=0
n!zn è ãîëîìîðôíûå ðåøåíèÿ...
ÿâëÿåòñÿ àíàëèòè÷åñêîé ïî Ëîðõó â íåêîòîðîé îêðåñòíîñòè íóëÿ ýòîé ïîäàë-
ãåáðû (ñì. [10, ï. 3.19] è çàìå÷àíèå 1.9). Ïîíÿòèå A-ãîëîìîðôíîñòè èçó÷àåòñÿ
â ïåðâûõ äâóõ ðàçäåëàõ ñòàòüè.
Óðàâíåíèå (�) íå ÿâëÿåòñÿ ðàçðåøåííûì îòíîñèòåëüíî ïðîèçâîäíîé. Îò-
ìåòèì, ÷òî íà ïîëóîñè t � 0 çàäà÷à Êîøè äëÿ òàêèõ óðàâíåíèé ñ ïîñòîÿííûìè
îïåðàòîðíûìè êîýôôèöèåíòàìè áûëà èçó÷åíà À.Ã. Ðóòêàñîì [16, 17].
1. (A; b)-ãîëîìîðôíûå ñòåïåííûå ðÿäû
Ïóñòü E � êîìïëåêñíîå áàíàõîâî ïðîñòðàíñòâî, A : E ! E � îãðàíè÷åí-
íûé ëèíåéíûé îïåðàòîð, b 2 E è f(�) =
1P
n=0
cn�
n � ôîðìàëüíûé ñòåïåííîé
ðÿä íàä ïîëåì C : Ïîëîæèì
f(zA) :=
1X
n=0
cnA
n
z
n
; z 2 C ; (1.1)
f(zA)b :=
1X
n=0
cnA
n
bz
n
; z 2 C : (1.2)
Òîãäà f(zA) � ñòåïåííîé ðÿä ñ êîýôôèöèåíòàìè èç àëãåáðû B(E) âñåõ îãðà-
íè÷åííûõ îïåðàòîðîâ â ïðîñòðàíñòâå E, à f(zA)b � ñòåïåííîé ðÿä ñ êîýôôè-
öèåíòàìè èç E. Ðàäèóñ ñõîäèìîñòè ðÿäà (1.1) áóäåì îáîçíà÷àòü ÷åðåç RA(f),
à ðÿäà (1:2) � ÷åðåç RA;b(f):
Îïðåäåëåíèå 1.1. Ñòåïåííîé ðÿä f(�) áóäåì íàçûâàòü A-ãîëîìîðôíûì,
åñëè RA(f) > 0, è (A; b)-ãîëîìîðôíûì, åñëè RA;b(f) > 0.
Î÷åâèäíî, ÷òî A-ãîëîìîðôíûé ñòåïåííîé ðÿä ÿâëÿåòñÿ (A; b)-ãîëîìîðô-
íûì äëÿ âñåõ âåêòîðîâ b 2 E; ïðè÷åì RA;b(f) � RA(f): Ïðè ýòîì, åñëè jzj <
RA(f); òî ñóììà ðÿäà â ïðàâîé ÷àñòè ðàâåíñòâà (1.2) ïîëó÷àåòñÿ ïðèìåíåíèåì
îïåðàòîðà f(zA) ê âåêòîðó b:
Ç à ì å ÷ à í è å 1.2. Ïóñòü ñòåïåííîé ðÿä f èìååò ïîëîæèòåëüíûé
ðàäèóñ ñõîäèìîñòè R(f): Òîãäà òàêîé ðÿä ÿâëÿåòñÿ A-ãîëîìîðôíûì äëÿ ëþ-
áîãî îãðàíè÷åííîãî îïåðàòîðà A, ïðè÷åì, åñëè �(A) � ñïåêòðàëüíûé ðàäèóñ
îïåðàòîðà A, è jzj�(A) < R(f); òî îáîçíà÷åíèå f(zA) èìååò îáû÷íûé ñìûñë:
îïåðàòîð f(zA) ÿâëÿåòñÿ ðåçóëüòàòîì ïðèìåíåíèÿ ãîëîìîðôíîé ôóíêöèè f
ê îïåðàòîðó zA (ñì., íàïð., [10, ï. 5.2]).
Ï ð è ì å ð 1.3. Ïðåäïîëîæèì, ÷òî b 2 kerA
m äëÿ íåêîòîðîãî m 2 N:
Òîãäà
f(zA)b =
m�1X
n=0
cnA
n
bz
n
;
Æóðíàë ìàòåìàòè÷åñêîé ôèçèêè, àíàëèçà, ãåîìåòðèè, 2005, ò. 1, � 1 55
Ñ.Ë. Ãåôòåð, Â.Í. Ìîêðåíþê
ò.å. ëþáîé ñòåïåííîé ðÿä f(�) ÿâëÿåòñÿ (A; b)-ãîëîìîðôíûì.
Åñëè ïðîñòðàíñòâî êîíå÷íîìåðíî, òî â íàèáîëåå èíòåðåñíîì äëÿ íàøåé
ñèòóàöèè ñëó÷àå âåðíî è îáðàòíîå.
Ïðåäëîæåíèå 1.4. Ïóñòü dimE < 1 è f(�) =
1P
n=0
cn�
n � ñòåïåííîé
ðÿä ñ íóëåâûì ðàäèóñîì ñõîäèìîñòè. Åñëè f ÿâëÿåòñÿ (A; b)-ãîëîìîðôíûì,
òî b 2 kerAm äëÿ íåêîòîðîãî m 2 N:
Ä î ê à ç à ò å ë ü ñ ò â î. Ïóñòü RA;b(f) > 0: Ñîãëàñíî âåêòîðíîìó
âàðèàíòó ôîðìóëû Êîøè�Àäàìàðà [10, òåîðåìà 3.11.4]
1
RA;b(f)
= lim
n!1
n
p
jcnjkA
nbk <1:
Òàê êàê ïðîñòðàíñòâî E êîíå÷íîìåðíî, òî ñóùåñòâóåò lim
n!1
n
p
kAnbk (ñì. [18,
ï. 9.1] èëè [19, òåîðåìà 5.1]). Ñ äðóãîé ñòîðîíû, lim
n!1
n
p
jcnj = 1. Ïîýòîìó
lim
n!1
n
p
kAnbk = 0, ò.å. ôóíêöèÿ FA;b(z) :=
1P
n=0
A
n
bz
n � öåëàÿ. Ïóñòü òåïåðü
RA(z) = (A � zI)�1 � ðåçîëüâåíòà îïåðàòîðà A. Ïîñêîëüêó dimE < 1; òî
RA(z) � ðàöèîíàëüíàÿ ôóíêöèÿ [20, ãë. I, �5, ï. 3], ò.å. åå ìîæíî ïðåäñòàâèòü
â ñëåäóþùåì âèäå:
RA(z) =
1
Q(z)
lX
k=0
Bkz
k
;
ãäå B0; B1; : : : ; Bl � îïåðàòîðû â E, Q(z) � ñêàëÿðíûé ïîëèíîì. Åñëè òåïåðü
FA(z) = (I � zA)�1 � ôðåäãîëüìîâà ðåçîëüâåíòà îïåðàòîðà A, òî FA;b(z) =
FA(z)b ïðè jzj <
1
kAk
è FA(z) = �
1
z
RA(
1
z
): Ñëåäîâàòåëüíî, ôóíêöèÿ FA;b(z)
ðàöèîíàëüíà. Ïîýòîìó îíà ÿâëÿåòñÿ ïîëèíîìîì, ò.å. íàéäåòñÿ òàêîå m 2 N,
÷òî An
b = 0; åñëè n � m.
Èñïîëüçóÿ 1.3, íåòðóäíî ïðèâåñòè ïðèìåðû (A; b)-ãîëîìîðôíûõ ôîðìàëü-
íûõ ñòåïåííûõ ðÿäîâ, êîòîðûå íå ÿâëÿþòñÿ A-ãîëîìîðôíûìè. Îäíàêî ñïðà-
âåäëèâî ñëåäóþùåå óòâåðæäåíèå.
Òåîðåìà 1.5. Åñëè ôîðìàëüíûé ñòåïåííîé ðÿä f ÿâëÿåòñÿ (A; b)-ãîëî-
ìîðôíûì äëÿ âñåõ b 2 E; òî îí A-ãîëîìîðôåí.
Ä î ê à ç à ò å ë ü ñ ò â î. Äëÿ k 2 N ïîëîæèì
Fk = fx 2 E : jcnjkA
n
xk � k
n
; n 2 Ng:
56 Æóðíàë ìàòåìàòè÷åñêîé ôèçèêè, àíàëèçà, ãåîìåòðèè, 2005, ò. 1, � 1
Ñòåïåííîé ðÿä
1P
n=0
n!zn è ãîëîìîðôíûå ðåøåíèÿ...
Î÷åâèäíî, ÷òî ìíîæåñòâî Fk çàìêíóòî. Ïîêàæåì, ÷òî E =
1S
k=1
Fk: Ïóñòü
b 2 E: Òàê êàê f ÿâëÿåòñÿ (A; b)-ãîëîìîðôíûì, òî ðÿä
1X
n=0
cnA
n
bz
n ñõîäèòñÿ
ïðè íåêîòîðîì z 6= 0: Ïîýòîìó ñóùåñòâóåò òàêîå M > 0; ÷òî
kcnA
n
bz
n
k � M; ò.å. jcnjkA
n
bk �
M
jzjn
; n 2 N: Òåïåðü ìîæíî íàéòè òàêîå
k 2 N; ÷òî jcnjkA
n
bk � k
n äëÿ âñåõ n 2 N: Òàêèì îáðàçîì, b 2 Fk; è ðàâåíñòâî
E =
1S
k=1
Fk äîêàçàíî. Ñîãëàñíî òåîðåìå Áýðà íàéäåòñÿ k0 2 N; äëÿ êîòîðîãî
ìíîæåñòâî Fko ñîäåðæèò øàð kx � x0k � r: Ñëåäîâàòåëüíî, åñëè khk � r; òî
jcnjkA
n(x0+h)k � k
n
0
: Îòñþäà ïîëó÷àåì jcnjkA
n
hk = jcnjkA
n(x0+h)�A
n
x0k �
2k0
n
: Ïîýòîìó
jcnjkA
n
k =
1
r
sup
kuk�1
jcnjkA
n(ru)k
=
1
r
sup
khk�r
jcnjkA
n
hk �
2
r
k0
n
; n = 1; 2; : : : :
Ñëåäîâàòåëüíî, lim
n!1
n
p
jcnjkA
n
k � k0; ò.å. ñòåïåííîé ðÿä f(zA) =
1X
n=0
cnA
n
z
n
èìååò ïîëîæèòåëüíûé ðàäèóñ ñõîäèìîñòè. Òåîðåìà äîêàçàíà.
Ç à ì å ÷ à í è å 1.6. Ïðèìåíÿÿ ðàññóæäåíèå, èñïîëüçîâàííîå ïðè äî-
êàçàòåëüñòâå òåîðåìû 1.5, ê ôîðìàëüíîìó ñòåïåííîìó ðÿäó ñ ïðîèçâîëüíû-
ìè êîýôôèöèåíòàìè èç áàíàõîâà ïðîñòðàíñòâà, ìîæíî ïîëó÷èòü òàêîé àíà-
ëîã òåîðåìû Äàíôîðäà�Õèëëå î ñèëüíîé ãîëîìîðôíîñòè ñëàáî ãîëîìîðôíîé
âåêòîð-ôóíêöèè (ñì. [10, òåîðåìà 3.10.1]):
Ïóñòü E � áàíàõîâî ïðîñòðàíñòâî è f(z) =
1P
n=0
cnz
n, cn 2 E � ôîðìàëü-
íûé ñòåïåííîé ðÿä. Åñëè äëÿ êàæäîãî ôóíêöèîíàëà l 2 E
� ñòåïåííîé ðÿä
1P
n=0
l(cn)z
n èìååò ïîëîæèòåëüíûé ðàäèóñ ñõîäèìîñòè, òî è ðÿä f èìååò
ïîëîæèòåëüíûé ðàäèóñ ñõîäèìîñòè.
Ñëåäóþùåå óòâåðæäåíèå ïîêàçûâàåò, ÷òî â ñëó÷àå, êîãäà îïåðàòîð A íå
ÿâëÿåòñÿ êâàçèíèëüïîòåíòíûì, ïîíÿòèå A-ãîëîìîðôíîñòè ñîâïàäàåò ñ îáû÷-
íûì ïîíÿòèåì ãîëîìîðôíîñòè, à íåòðèâèàëüíûì (ïî ñðàâíåíèþ ñ îáû÷íîé
òåîðèåé ãîëîìîðôíûõ ôóíêöèé) ÿâëÿåòñÿ ñëó÷àé, êîãäà îïåðàòîð A êâàçè-
íèëüïîòåíòåí.
Ïðåäëîæåíèå 1.7. Åñëè îïåðàòîð A èìååò ïîëîæèòåëüíûé ñïåêòðàëü-
íûé ðàäèóñ �(A), òî ñòåïåííîé ðÿä f(�) ÿâëÿåòñÿ A-ãîëîìîðôíûì òîãäà è
Æóðíàë ìàòåìàòè÷åñêîé ôèçèêè, àíàëèçà, ãåîìåòðèè, 2005, ò. 1, � 1 57
Ñ.Ë. Ãåôòåð, Â.Í. Ìîêðåíþê
òîëüêî òîãäà, êîãäà îí èìååò íåíóëåâîé ðàäèóñ ñõîäèìîñòè. Òàêèì îáðàçîì,
åñëè f(�) èìååò íóëåâîé ðàäèóñ ñõîäèìîñòè è ÿâëÿåòñÿ A-ãîëîìîðôíûì, òî
îïåðàòîð A êâàçèíèëüïîòåíòåí.
Ä î ê à ç à ò å ë ü ñ ò â î. Ïóñòü R(f) � ðàäèóñ ñõîäèìîñòè ðÿäà f .
Òàê êàê �(A) > 0; òî èñïîëüçóÿ âåêòîðíûé âàðèàíò ôîðìóëû Êîøè�Àäàìàðà
äëÿ ðàäèóñà ñõîäèìîñòè è ôîðìóëó Ãåëüôàíäà äëÿ ñïåêòðàëüíîãî ðàäèóñà,
ïîëó÷àåì
1
RA(f)
= lim
n!1
(jcnjkA
n
k)
1
n = lim
n!1
jcnj
1
n lim
n!1
kA
n
k
1
n =
1
R(f)
�(A):
Ñëåäîâàòåëüíî, óñëîâèÿ RA(f) > 0 è R(f) > 0 ýêâèâàëåíòíû.
Ç à ì å ÷ à í è å 1.8. Îòìåòèì, ÷òî, åñëè îïåðàòîð A êâàçèíèëüïîòåíòåí
è ðàäèóñ ñõîäèìîñòè ðÿäà f ïîëîæèòåëåí, òî f(zA) � öåëàÿ ôóíêöèÿ (ñì.
çàìå÷àíèå 1:2).
Ç à ì å ÷ à í è å 1.9. Ïîíÿòèå A-ãîëîìîðôíîñòè ôîðìàëüíîãî ñòåïåí-
íîãî ðÿäà ñëåäóþùèì îáðàçîì ñâÿçàíî ñ ïîíÿòèåì àíàëèòè÷åñêîé ïî Ëîðõó
ôóíêöèè â êîììóòàòèâíîé áàíàõîâîé àëãåáðå. Ïóñòü f(�) =
1X
n=0
cn�
n
; cn 2 C
� A-ãîëîìîðôíûé ñòåïåííîé ðÿä è M � çàìêíóòàÿ êîììóòàòèâíàÿ ïîäàë-
ãåáðà àëãåáðû âñåõ îãðàíè÷åííûõ îïåðàòîðîâ â ïðîñòðàíñòâå E, ñîäåðæà-
ùàÿ îïåðàòîð A è åäèíè÷íûé îïåðàòîð. Ïîëîæèì fA(T ) =
1X
n=0
cnA
n
T
n
; T 2
M; kTk < RA(f): Òîãäà ôóíêöèÿ fA ÿâëÿåòñÿ àíàëèòè÷åñêîé ïî Ëîðõó â îò-
êðûòîì øàðå kTk < RA(f) àëãåáðû M (ñì. [10, ï. 3.19]).
2. Ðÿä Ýéëåðà
1P
n=0
n!�
n
 ýòîì ðàçäåëå ìû îáñóäèì îäíî óñëîâèå A-ãîëîìîðôíîñòè ôîðìàëüíîãî
ñòåïåííîãî ðÿäà
'(�) = 1 + � + 2!�2 + 3!�3 + : : : ; (2.1)
ïî-âèäèìîìó, âïåðâûå ðàññìîòðåííîãî Ýéëåðîì [3], è ïðèâåäåì ïðèìåðû îïå-
ðàòîðîâ A, äëÿ êîòîðûõ ðÿä ' ÿâëÿåòñÿ A-ãîëîìîðôíûì.
Íàïîìíèì, ÷òî öåëàÿ ôóíêöèÿ g(z) ñî çíà÷åíèÿìè â áàíàõîâîì ïðîñò-
ðàíñòâå íàçûâàåòñÿ ôóíêöèåé ýêñïîíåíöèàëüíîãî òèïà � (0 � � <1); åñëè
lim
z!1
lnkg(z)k
jzj
= �
58 Æóðíàë ìàòåìàòè÷åñêîé ôèçèêè, àíàëèçà, ãåîìåòðèè, 2005, ò. 1, � 1
Ñòåïåííîé ðÿä
1P
n=0
n!zn è ãîëîìîðôíûå ðåøåíèÿ...
(ñì. [21, ñ. 95]).
Ïðåäëîæåíèå 2.1. Ïóñòü FA(z) = (1�zA)�1 � ðåçîëüâåíòà Ôðåäãîëüìà
îïåðàòîðà A. Ðÿä Ýéëåðà ' ÿâëÿåòñÿ A-ãîëîìîðôíûì òîãäà è òîëüêî òîãäà,
êîãäà FA(z) � öåëàÿ ôóíêöèÿ ýêñïîíåíöèàëüíîãî òèïà. Ïðè ýòîì, åñëè � �
ýêñïîíåíöèàëüíûé òèï FA(z), òî RA(') =
1
�
è '(zA) =
1
z
A(
1
z
); ãäå
A(z) =
1X
n=0
n!An
zn+1
; jzj > � � ïðåîáðàçîâàíèå Áîðåëÿ ôóíêöèè FA(z).
Ä î ê à ç à ò å ë ü ñ ò â î. Ïóñòü ðÿä ' ÿâëÿåòñÿ A-ãîëîìîðôíûì. Òîãäà
1
RA(')
= lim
n!1
n
p
n!kAn
k < +1 (2.2)
è îïåðàòîð A êâàçèíèëüïîòåíòåí (ñì. ïðåäëîæåíèå 1.7). Ñëåäîâàòåëü-
íî, ôóíêöèÿ FA(z) =
1X
n=0
A
n
z
n ÿâëÿåòñÿ öåëîé. Òåïåðü (2:2) ïîêàçûâàåò,
÷òî ýòà ôóíêöèÿ èìååò ýêñïîíåíöèàëüíûé òèï �, ãäå � =
1
RA(')
(ñì. [21,
ñ. 95]). Îáðàòíî, åñëè FA(z) � öåëàÿ ôóíêöèÿ ýêñïîíåíöèàëüíîãî òèïà �, òî
lim
n!1
n
p
n!kAn
k = �; ò.å. RA(') =
1
�
> 0:
Ïðåäëîæåíèå 2.2. Ïóñòü ýêñïîíåíöèàëüíûé òèï ðåçîëüâåíòû Ôðåä-
ãîëüìà (1� zA)�1 ðàâåí �. Òîãäà
'(zA) =
1Z
0
(1� tzA)�1e�tdt; jzj <
1
�
: (2.3)
Ä î ê à ç à ò å ë ü ñ ò â î. Ñîãëàñíî ïðåäëîæåíèþ 2.1 ôóíêöèÿ
'(zA) =
1X
n=0
n!An
z
n ãîëîìîðôíà â êðóãå jzj <
1
�
: Ôóíêöèåé, àññîöèèðîâàííîé
ïî Áîðåëþ ñ '(zA), ÿâëÿåòñÿ ôðåäãîëüìîâà ðåçîëüâåíòà FA(z) =
1X
n=0
A
n
z
n
(â ýòîì äîêàçàòåëüñòâå ìû èñïîëüçóåì òåðìèíîëîãèþ èç ï. 7.8 êíèãè [22]).
Ïîâòîðÿÿ äîêàçàòåëüñòâî òåîðåìû Áîðåëÿ (ñ íåîáõîäèìîé çàìåíîé ìîäóëåé
íà íîðìû), ïîëó÷àåì ðàâåíñòâî '(zA) =
1Z
0
FA(tz)e
�t
dt; jzj <
1
�
(ñì. [22,
ï. 7.8], à òàêæå [23, ãë. I, �20]). Óòâåðæäåíèå äîêàçàíî.
Æóðíàë ìàòåìàòè÷åñêîé ôèçèêè, àíàëèçà, ãåîìåòðèè, 2005, ò. 1, � 1 59
Ñ.Ë. Ãåôòåð, Â.Í. Ìîêðåíþê
Ïðèâåäåì äâà ïðèìåðà ÿâíîãî âû÷èñëåíèÿ ôóíêöèè '(zA):
Ï ð è ì å ð 2.3. (Îïåðàòîð èíòåãðèðîâàíèÿ).
Ïóñòü E = L
2(0; 1): Äëÿ � 2 L2(0; 1) ïîëîæèì
(A�)(x) =
xZ
0
�(y)dy: (2.4)
Òîãäà
(An
�)(x) =
1
(n� 1)!
xZ
0
(x� y)n�1�(y)dy è kA
n
k �
1
n!
; n � 1 (2.5)
(ñì., íàïð., [24, ðåøåíèå çàäà÷è 641]).
Ïîêàæåì, ÷òî ðÿä Ýéëåðà (2:1) ÿâëÿåòñÿ A-ãîëîìîðôíûì, ïðè÷åì RA(') = 1:
Ñîãëàñíî ôîðìóëå Êîøè�Àäàìàðà èìååì
1
RA(')
= lim
n!1
(n!kAn
k)
1
n � 1;
ò.å. RA(') � 1: Ïîêàæåì òåïåðü, ÷òî RA(') � 1: Äëÿ ýòîãî ïðîâåðèì, ÷òî ðÿä
1P
n=0
n!An
z
n ðàñõîäèòñÿ ïî îïåðàòîðíîé íîðìå, åñëè jzj > 1: Ïóñòü �0(x) = 1;
x 2 (0; 1): Òîãäà
(An
�0)(x) =
1
(n� 1)!
xZ
0
(x� y)n�1dy =
x
n
n!
; x 2 (0; 1);
è
hA
n
�0; �0i =
1Z
0
(An
�0)(x)�0(x)dx =
1Z
0
x
n
n!
dx =
1
n � n!
:
Ñëåäîâàòåëüíî,
1X
n=0
n!hAn
�0; �0iz
n =
1X
n=0
z
n
n
; è ïîëó÷åííûé ðÿä ðàñõîäèòñÿ ïðè
jzj > 1: Òàêèì îáðàçîì, ïðè jzj > 1 ðÿä ðàñõîäèòñÿ äàæå â ñëàáîé îïåðàòîð-
íîé òîïîëîãèè.
Íàéäåì òåïåðü ÿâíóþ ôîðìóëó äëÿ '(zA): Ñíà÷àëà ðàññìîòðèì âñïîìîãà-
òåëüíûé ðÿä (�) =
1P
n=1
(n � 1)!�n: Òîãäà '(�) = 1 + �
0(�); ÿâëÿåòñÿ
A-ãîëîìîðôíûì è RA( ) = 1: Èç (2.5) íåòðóäíî âûâåñòè, ÷òî
( (zA)�)(x) =
xZ
0
z�(y)dy
1� z(x� y)
; jzj < 1: (2.6)
60 Æóðíàë ìàòåìàòè÷åñêîé ôèçèêè, àíàëèçà, ãåîìåòðèè, 2005, ò. 1, � 1
Ñòåïåííîé ðÿä
1P
n=0
n!zn è ãîëîìîðôíûå ðåøåíèÿ...
Ñëåäîâàòåëüíî,
('(zA)�)(x) = �(x) +
xZ
0
z�(y)dy
(1� z(x� y))2
; jzj < 1: (2.7)
Ï ð è ì å ð 2.4. Ïóñòü H � ãèëüáåðòîâî ïðîñòðàíñòâî ñ îðòîíîðìè-
ðîâàííûì áàçèñîì fek : k = 0; 1; 2; : : :g: Çàäàäèì îïåðàòîð A ñëåäóþùèìè
ðàâåíñòâàìè:
Ae0 = 0; Aek =
1
k
ek�1; k � 1:
Íåòðóäíî ïðîâåðèòü, ÷òî
A
n
ek =
8<
:
(k � n)!
k!
ek�n ; k � n
0 ; 0 � k < n
è kA
n
k =
1
n!
:
Ïîýòîìó ðÿä Ýéëåðà (2.1) ÿâëÿåòñÿ A�ãîëîìîðôíûì, ïðè÷åì RA(') = 1:
Äàëåå, â áàçèñå ek îïåðàòîð A èìååò ìàòðèöó
A =
0
BBBBBBBB@
0 1 0 0 0 0 : : :
0 0
1
2
0 0 0 : : :
0 0 0
1
3
0 0 : : :
0 0 0 0
1
4
0 : : :
: : : : : : : : : : : : : : : : : :
1
CCCCCCCCA
:
Òàê êàê n!An
ek =
n!(k � n)!
k!
ek�n =
1
Cn
k
ek�n; k � n; òî äëÿ îïåðàòîðà '(zA)
ïîëó÷àåì ìàòðèöó
'(zA) =
0
BBBBBBBBB@
1 z z
2
z
3
z
4
: : :
0 1
1
C
1
2
z
1
C
2
3
z
2
1
C
3
4
z
3
: : :
0 0 1
1
C
1
3
z
1
C
2
4
z
2
: : :
0 0 0 1
1
C1
4
z : : :
: : : : : : : : : : : : : : :
1
CCCCCCCCCA
; jzj < 1:
Æóðíàë ìàòåìàòè÷åñêîé ôèçèêè, àíàëèçà, ãåîìåòðèè, 2005, ò. 1, � 1 61
Ñ.Ë. Ãåôòåð, Â.Í. Ìîêðåíþê
3. Óðàâíåíèå z
2
Aw
0
+ g(z) = w
Ïóñòü E � áàíàõîâî ïðîñòðàíñòâî, A : E ! E � îãðàíè÷åííûé ëèíåéíûé
îïåðàòîð è g(z) � E-çíà÷íàÿ ôóíêöèÿ, ãîëîìîðôíàÿ â íåêîòîðîé îêðåñòíîñòè
íóëÿ. Â ýòîì ðàçäåëå ìû ðàññìàòðèâàåì âîïðîñ î ñóùåñòâîâàíèè ðåøåíèÿ
óðàâíåíèÿ z2Aw0+g(z) = w: Ïðè ýòîì ïîä ðåøåíèåì óðàâíåíèÿ ìû ïîíèìàåì
âåêòîð-ôóíêöèþ, êîòîðàÿ ãîëîìîðôíà â îêðåñòíîñòè íóëÿ, è óäîâëåòâîðÿåò
â ýòîé îêðåñòíîñòè óðàâíåíèþ.
Ñíà÷àëà ðàññìîòðèì ñëó÷àé, êîãäà g(z) = zb; ãäå b � âåêòîð èç E. Îòìå-
òèì, ÷òî â ýòîì ñëó÷àå ðåøåíèå óðàâíåíèÿ óäîâëåòâîðÿåò óñëîâèþ w(0) = 0:
Ïðåäëîæåíèå 3.1. Óðàâíåíèå
z
2
Aw
0 + zb = w (3.1)
èìååò ðåøåíèå òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà ðÿä Ýéëåðà '(�) =
1P
n=0
n!�n
ÿâëÿåòñÿ (A; b)-ãîëîìîðôíûì. Ïðè ýòîì ðåøåíèå åäèíñòâåííî è èìååò âèä
w(z) = z'(zA)b =
1X
n=0
n!An
bz
n+1
; jzj < RA;b('):
Ä î ê à ç à ò å ë ü ñ ò â î. Ïóñòü w(z) =
1X
n=1
wnz
n � ðåøåíèå óðàâíåíèÿ
(3.1). Òîãäà ïîñëå ïîäñòàíîâêè â óðàâíåíèå ïîëó÷àåì
1X
n=2
(n� 1)Awn�1z
n + zb =
1X
n=1
wnz
n
:
Ñëåäîâàòåëüíî, w1 = b, wn = (n � 1)Awn�1, n � 2, ò.å. wn = (n � 1)!An�1
b,
n � 1. Òàêèì îáðàçîì,
w(z) =
1X
n=1
(n� 1)!An�1
bz
n = z
1X
n=0
n!An
bz
n
:
Òàê êàê ðÿä w(z) èìååò íåíóëåâîé ðàäèóñ ñõîäèìîñòè, òî ðÿä '(�)
ÿâëÿåòñÿ (A; b)-ãîëîìîðôíûì. Îáðàòíî, åñëè ðÿä Ýéëåðà '(�) ÿâëÿåòñÿ
(A; b)-ãîëîìîðôíûì, òî ðÿä
1X
n=0
n!An
bz
n+1 èìååò íåíóëåâîé ðàäèóñ ñõîäèìîñ-
òè è íåòðóäíî ïðîâåðèòü, ÷òî ýòîò ðÿä ÿâëÿåòñÿ ðåøåíèåì óðàâíåíèÿ (3.1).
62 Æóðíàë ìàòåìàòè÷åñêîé ôèçèêè, àíàëèçà, ãåîìåòðèè, 2005, ò. 1, � 1
Ñòåïåííîé ðÿä
1P
n=0
n!zn è ãîëîìîðôíûå ðåøåíèÿ...
Ï ð è ì å ð 3.2. Ïóñòü A � îïåðàòîð èíòåãðèðîâàíèÿ â ïðîñòðàíñòâå
E = L
2(0; 1) (ñì. ïðèìåð 2.3). Áóäåì ðàññìàòðèâàòü ãîëîìîðôíûå âåêòîð-
ôóíêöèè w(z) ñî çíà÷åíèÿìè â E êàê ôóíêöèè äâóõ ïåðåìåííûõ: w(z; x) :=
w(z)(x); x 2 (0; 1): Òîãäà óðàâíåíèå (3.1) ìîæíî çàïèñàòü â ñëåäóþùåì âèäå:
z
2
xZ
0
@w
@z
(z; y)dy + zb(x) = w(z; x);
ãäå b 2 L
2(0; 1). Òàê êàê ðÿä Ýéëåðà '(�) ÿâëÿåòñÿ A-ãîëîìîðôíûì è
RA(') = 1 (ñì. ïðèìåð 2.3), òî èñïîëüçóÿ 3.1 è ôîðìóëó (2.7), ïîëó÷àåì, ÷òî
â êðóãå jzj < 1 ýòî óðàâíåíèå èìååò ðåøåíèå
w(z; x) = z('(zA)b)(x) = zb(x) +
xZ
0
z
2
b(y)dy
(1� z(x� y))2
:
Èñïîëüçóÿ óòâåðæäåíèå 1.4, èç 3.1 ïîëó÷àåì
Ñëåäñòâèå 3.3. Ïóñòü ïðîñòðàíñòâî E êîíå÷íîìåðíî. Óðàâíåíèå (3:1)
èìååò ðåøåíèå òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà âåêòîð b ëåæèò â ÿäðå íåêî-
òîðîé ñòåïåíè îïåðàòîðà A. Ïðè ýòîì, åñëè b 2 kerAm, òî ðåøåíèå èìååò
âèä
w(z) =
m�1X
n=0
n!An
bz
n+1
:
Ðàññìàòðèâàÿ â óðàâíåíèè (3.1) âìåñòî âåêòîðà b âåêòîð Ab, èç 3.1 ïîëó-
÷àåì
Ñëåäñòâèå 3.4. Åñëè ðÿä Ýéëåðà '(�) =
1X
n=0
n!�n ÿâëÿåòñÿ A-ãîëîìîðô-
íûì, òî óðàâíåíèå
z
2
Aw
0 + zAb = w(z) (3.2)
èìååò åäèíñòâåííîå ðåøåíèå w(z) =
1X
n=1
(n� 1)!An
bz
n, jzj < RA('):
 ñëåäóþùåì ïðèìåðå ñóìììà ðÿäà
1X
n=1
(n�1)!An
bz
n íåÿâíî ïðèñóòñòâóåò
â ôîðìóëå äëÿ ðåøåíèÿ íåêîòîðîãî äèôôåðåíöèàëüíîãî óðàâíåíèÿ ñ ÷àñòíû-
ìè ïðîèçâîäíûìè.
Æóðíàë ìàòåìàòè÷åñêîé ôèçèêè, àíàëèçà, ãåîìåòðèè, 2005, ò. 1, � 1 63
Ñ.Ë. Ãåôòåð, Â.Í. Ìîêðåíþê
Ï ð è ì å ð 3.5. Ïóñòü E = C[0; 1] è A � îïåðàòîð èíòåãðèðîâàíèÿ:
(Au)(x) =
xZ
0
u(y)dy. Òîãäà ðÿä Ýéëåðà '(�) ÿâëÿåòñÿ A-ãîëîìîðôíûì
è RA(') = 1 (äîêàçàòåëüñòâî àíàëîãè÷íî ïðèâåäåííîìó â ïðèìåðå 2.3). Äëÿ
b 2 C[0; 1] ðàññìîòðèì óðàâíåíèå (3.2) íà ïîëóîñè t � 0: Â íàøåì ïðèìåðå
åãî ìîæíî çàïèñàòü â ñëåäóþùåì âèäå:
t
2
xZ
0
@w
@t
(t; y)dy + t
xZ
0
b(y)dy = w(t; x): (3.3)
Òàêèì îáðàçîì, ôóíêöèÿ w(t; x) óäîâëåòâîðÿåò äèôôåðåíöèàëüíîìó óðàâíå-
íèþ ñ ÷àñòíûìè ïðîèçâîäíûìè
t
2
@w
@t
+ tb(x) =
@w
@x
(3.4)
è óñëîâèÿì w(0; x) = 0, w(t; 0) = 0, x 2 [0; 1], t � 0. Íåòðóäíî ïðîâåðèòü, ÷òî
ëþáîå íåïðåðûâíî äèôôåðåíöèðóåìîå ðåøåíèå ñîîòâåòñòâóþùåãî îäíîðîä-
íîãî óðàâíåíèÿ t2
@w
@t
=
@w
@x
; óäîâëåòâîðÿþùåå ýòèì óñëîâèÿì, èìååò âèä
w0(t; x) = �(x�
1
t
); t > 0; x 2 [0; 1];
ãäå � 2 C
1(�1; 1) è �(s) = 0; åñëè s < 0: Òàê êàê x �
1
t
< 0 ïðè t 2 (0; 1)
è x 2 [0; 1]; òî w0(t; x) = 0; åñëè (t; x) 2 [0; 1) � [0; 1]. Èñïîëüçóÿ ñëåäñòâèå
3.3 è ôîðìóëó (2.6), ïîëó÷àåì, ÷òî ïðè (t; x) 2 [0; 1) � [0; 1] óðàâíåíèå (3.4)
ñ óêàçàííûìè íóëåâûìè óñëîâèÿìè èìååò åäèíñòâåííîå íåïðåðûâíî äèôôå-
ðåíöèðóåìîå ðåøåíèå
w(t; x) =
xZ
0
tb(y)dy
1� t(x� y)
:
Âåðíåìñÿ ê óðàâíåíèþ z
2
Aw
0 + g(z) = w è ðàññìîòðèì òåïåðü ñëó÷àé,
êîãäà g(z) = z
k
bk, bk 2 E, k 2 N. Íåòðóäíî ïîëó÷èòü ñëåäóþùèé àíàëîã
óòâåðæäåíèÿ 3.1.
Ëåììà 3.6. Óðàâíåíèå
z
2
Aw
0 + z
k
bk = w (3.5)
64 Æóðíàë ìàòåìàòè÷åñêîé ôèçèêè, àíàëèçà, ãåîìåòðèè, 2005, ò. 1, � 1
Ñòåïåííîé ðÿä
1P
n=0
n!zn è ãîëîìîðôíûå ðåøåíèÿ...
èìååò ðåøåíèå òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà ðÿä '(�) ÿâëÿåòñÿ (A; b)-ãîëî-
ìîðôíûì. Ïðè ýòîì ðåøåíèå åäèíñòâåííî è èìååò âèä
w(z) =
1X
n=k
(n� 1)!
(k � 1)!
A
n�k
bkz
n
: (3.6)
Êðîìå òîãî, åñëè Rk � ðàäèóñ ñõîäèìîñòè ðÿäà (3:6); òî Rk � RA(').
Ç à ì å ÷ à í è å 3.7. Ïðè k = 0 óðàâíåíèå (3.5) áóäåò èìåòü âèä
z
2
Aw
0 + b0 = w:
Ëåãêî ïðîâåðèòü, ÷òî äëÿ ëþáûõ A è b0 ýòî óðàâíåíèå èìååò åäèíñòâåííîå
ðåøåíèå w(z) = b0:
Íàêîíåö, ðàññìîòðèì ïðîèçâîëüíîå íåîäíîðîäíîå óðàâíåíèå
z
2
Aw
0 + g(z) = w; (3.7)
ãäå âåêòîð-ôóíêöèÿ g(z) ãîëîìîðôíà â êðóãå jzj < R(g) (íàïîìíèì, ÷òî ìû
èçó÷àåì ãîëîìîðôíûå â îêðåñòíîñòè íóëÿ ðåøåíèÿ óðàâíåíèÿ). Îòìåòèì,
÷òî îäíîðîäíîå óðàâíåíèå (3.7) ìîæåò èìåòü òîëüêî íóëåâîå ðåøåíèå (ñì.
ïðåäëîæåíèå 3.1).
Òåîðåìà 3.8. Ñëåäóþùèå óñëîâèÿ ýêâèâàëåíòíû:
(1) óðàâíåíèå (3:1) èìååò ðåøåíèå äëÿ ëþáîãî âåêòîðà b 2 E;
(2) óðàâíåíèå (3:7) èìååò ðåøåíèå äëÿ ëþáîé âåêòîð-ôóíêöèè g(z);
(3) îïåðàòîð A êâàçèíèëüïîòåíòåí è åãî ôðåäãîëüìîâà ðåçîëüâåíòà
(1� zA)�1 ÿâëÿåòñÿ öåëîé ôóíêöèåé ýêñïîíåíöèàëüíîãî òèïà.
Ïðè ýòîì, åñëè âûïîëíåíî îäíî èç ýòèõ óñëîâèé, òî óðàâíåíèå (3:7) èìååò
åäèíñòâåííîå ðåøåíèå
w(z) = g(0) +
1X
k=1
1X
n=k
(n� 1)!
k!(k � 1)!
A
n�k
g
(k)(0)zn;
îïðåäåëåííîå â êðóãå jzj <
1
2
minfR(g); RA(')g:
Ä î ê à ç à ò å ë ü ñ ò â î. Ñîãëàñíî ïðåäëîæåíèþ 3.1 è òåîðåìå 1.5 óñëîâèå
(1) ýêâèâàëåíòíî A-ãîëîìîðôíîñòè ðÿäà Ýéëåðà '(�): Ñëåäîâàòåëüíî, óñëî-
âèÿ (1) è (3) ýêâèâàëåíòíû (ñì. ïðåäëîæåíèÿ 1.7 è 2.1). Î÷åâèäíî òàêæå, ÷òî
èç (2) ñëåäóåò (1). Ïîêàæåì òåïåðü, ÷òî âûïîëíåíî óñëîâèå (2), åñëè ðÿä '(�)
Æóðíàë ìàòåìàòè÷åñêîé ôèçèêè, àíàëèçà, ãåîìåòðèè, 2005, ò. 1, � 1 65
Ñ.Ë. Ãåôòåð, Â.Í. Ìîêðåíþê
ÿâëÿåòñÿ A-ãîëîìîðôíûì. Ïóñòü g(z) =
1X
k=0
bkz
k, w0(z) = b0 è wk(z) � ðå-
øåíèå óðàâíåíèÿ (3.5), k = 1; 2; : : : : Äîñòàòî÷íî ïðîâåðèòü, ÷òî ðÿä
1X
k=0
wk(z)
ñõîäèòñÿ ðàâíîìåðíî â êðóãå jzj � r äëÿ âñåõ r <
1
2
minfRA('); R(g)g: Ïóñòü
ñíà÷àëà jzj < r1 < RA('): Òàê êàê ðÿä
1X
n=0
n!kAknrn
1
ñõîäèòñÿ, òî ñóùåñòâóåò
òàêàÿ êîíñòàíòà M1 > 0; ÷òî n!kAn
kr
n
1
�M1, ò.å. n!kA
n
k �
M1
rn
1
, n = 0; 1; 2 : : :.
Ïîýòîìó äëÿ k � 1 ïîëó÷àåì
kwk(z)k �
1
(k � 1)!
1X
n=k
(n� 1)!kAn�k
bkkjzj
n
=
1
(k � 1)!
1X
n=0
(n+ k � 1)!kAn
bkkjzj
n+k
�
kbkkjzj
k
(k � 1)!
1X
n=0
n!kAn
k(n+ 1)(n+ 2) : : : (n+ k � 1)jzjn
�
M1kbkkjzj
k
(k � 1)!
1X
n=0
(n+ 1)(n+ 2) : : : (n+ k � 1)
�
jzj
r1
�
n
=
M1kbkkjzj
k
(k � 1)!
(k � 1)!�
1�
jzj
r1
�
k
=
M1kbkkjzj
k�
1�
jzj
r1
�
k
:
Äàëåå, äëÿ 0 < r2 < R(g) íàéäåòñÿ òàêàÿ êîíñòàíòà M2 > 0; ÷òî kbkk �
M2
rk
2
,
k = 0; 1; 2; : : : . Ïîýòîìó, åñëè jzj < r0 < minfRA('); R(g)g; òî
kwk(z)k �
M1kbkkjzj
k�
1�
jzj
r0
�
k
�
M1M2
�
jzj
r0
�
k
�
1�
jzj
r0
�
k
:
66 Æóðíàë ìàòåìàòè÷åñêîé ôèçèêè, àíàëèçà, ãåîìåòðèè, 2005, ò. 1, � 1
Ñòåïåííîé ðÿä
1P
n=0
n!zn è ãîëîìîðôíûå ðåøåíèÿ...
Åñëè òåïåðü jzj � r <
1
2
r0 <
1
2
minfRA('); R(g)g, òî
r
r0
<
1
2
;
r
r0
1�
r
r0
< 1 è
kwk(z)k �M1M2
0
BB@
jzj
r0
1�
jzj
r0
1
CCA
k
�M1M2
0
B@
r
r0
1�
r
r0
1
CA
k
:
Òàêèì îáðàçîì, â êðóãå jzj � r ðÿä
1X
k=0
wk(z) ñõîäèòñÿ ðàâíîìåðíî. Òåîðåìà
äîêàçàíà.
Ç à ì å ÷ à í è å 3.9. Åñëè A 6= 0 è b 6= 0; òî â ñêàëÿðíîì ñëó÷àå óðàâíåíèå
èç (3.1) íå èìååò ðåøåíèÿ, ãîëîìîðôíîãî â îêðåñòíîñòè íóëÿ. Îäíàêî íåêîòî-
ðûå íåîäíîðîäíûå óðàâíåíèÿ âèäà (3.7) ìîãóò èìåòü ðåøåíèÿ è â ñêàëÿðíîì
ñëó÷àå. Íàïðèìåð, óðàâíåíèå z2w0 + z � z
2 = w èìååò ðåøåíèå w(z) = z:
Ââåäÿ â óðàâíåíèå èç (3.7) ïåðåìåííóþ
1
z
âìåñòî ïåðåìåííîé z, èç òåîðåìû
3.8 è ïðåäëîæåíèÿ 3.1 ïîëó÷àåì
Ñëåäñòâèå 3.10. Ïóñòü h(z) = c0 +
c1
z
+
c2
z2
+ : : : � âåêòîð-ôóíêöèèÿ,
ãîëîìîðôíàÿ â îêðåñòíîñòè áåñêîíå÷íîñòè. Ðàññìîòðèì óðàâíåíèå
Aw
0 + w = h(z): (3.8)
Åñëè îïåðàòîð A êâàçèíèëüïîòåíòåí è åãî ôðåäãîëüìîâà ðåçîëüâåíòà ÿâ-
ëÿåòñÿ öåëîé ôóíêöèåé ýêñïîíåíöèàëüíîãî òèïà, òî óðàâíåíèå (3.8) èìååò
åäèíñòâåííîå ðåøåíèå, ãîëîìîðôíîå â îêðåñòíîñòè áåñêîíå÷íîñòè.  ÷àñò-
íîñòè, åñëè h(z) =
b
z
, b 2 E, òî ðåøåíèå óðàâíåíèÿ Aw0 +w =
b
z
èìååò âèä
w(z) =
1
z
'(
1
z
A)b =
1X
n=0
n!An
b
zn+1
, jzj >
1
RA(')
.
Ïîêàæåì, ÷òî ðÿä Ýéëåðà ìîæåò âîçíèêàòü è ïðè íàõîæäåíèè è èññëåäî-
âàíèè ðåøåíèé óðàâíåíèÿ (3.8), êîòîðûå ãîëîìîðôíû â îêðåñòíîñòè íóëÿ.
Ï ð è ì å ð 3.11. Ïóñòü H � ãèëüáåðòîâî ïðîñòðàíñòâî ñ îðòîíîðìè-
ðîâàííûì áàçèñîì fen : n = 0; 1; 2; : : :g; A � îïåðàòîð èç ïðèìåðà 2.5 è
A
� � ñîïðÿæåííûé ê íåìó îïåðàòîð. Ðàññìîòðèì ñëåäóþùóþ çàäà÷ó Êîøè(
Aw
0 = w
w(0) = e0
: Íåòðóäíî ïðîâåðèòü, ÷òî îäíî èç ðåøåíèé ýòîé çàäà÷è èìååò
Æóðíàë ìàòåìàòè÷åñêîé ôèçèêè, àíàëèçà, ãåîìåòðèè, 2005, ò. 1, � 1 67
Ñ.Ë. Ãåôòåð, Â.Í. Ìîêðåíþê
âèä w(z) =
1X
n=0
enz
n, jzj < 1. Òàê êàê A�en =
1
n+ 1
en+1; òî
w(z) =
1X
n=0
n!A�
n
e0z
n = '(zA�)e0; jzj < 1:
 ïðèìåðå 3.11 ñòåïåííîé ðÿä w(z) èìåë êîíå÷íûé ðàäèóñ ñõîäèìîñòè.
Ýòî ÿâëåíèå ñâÿçàíî ñî ñëåäóþùèì îáùèì íàáëþäåíèåì.
Ïðåäëîæåíèå 3.12. Ïóñòü w0 2 E è w0 6= 0. Ðàññìîòðèì çàäà÷ó Êîøè(
Aw
0 = w
w(0) = w0
: (3:9)
Åñëè ðÿä Ýéëåðà A-ãîëîìîðôåí, òî çàäà÷à (3.9) íå èìååò öåëûõ ðåøåíèé.
Ä î ê à ç à ò å ë ü ñ ò â î. Ïóñòü w(z) =
1X
n=0
wnz
n � ðåøåíèå çàäà÷è Êîøè
(3.9). Ïîäñòàâëÿÿ ðÿä w(z) â óðàâíåíèå Aw0 = w; ïîëó÷àåì, ÷òî
Awn =
1
n
wn�1; n = 1; 2; : : : :
Ñëåäîâàòåëüíî, An
wn =
1
n!
w0 è kw0k = kn!An
wnk � n!kAn
kkwnk: Îòñþäà
n
p
n!kAn
k
n
p
kwnk �
n
p
kw0k:
Òàê êàê n
p
kw0k ! 1; òî âòîðîé ñîìíîæèòåëü â ëåâîé ÷àñòè ïîñëåäíåãî íåðà-
âåíñòâà ìîæåò ñòðåìèòüñÿ ê íóëþ òîëüêî ïðè ñòðåìëåíèè ïåðâîãî ñîìíîæè-
òåëÿ ê áåñêîíå÷íîñòè. Óòâåðæäåíèå äîêàçàíî.
 çàêëþ÷åíèå ïðèâåäåì ïðèìåð îïåðàòîðà, äëÿ êîòîðîãî ðÿä Ýéëå-
ðà A-ãîëîìîðôåí, íî çàäà÷à Êîøè (3.9) íå èìååò íåíóëåâîãî ãîëîìîðôíîãî
ðåøåíèÿ.
Ï ð è ì å ð 3.13. Â L
2(0; 1) ðàññìîòðèì ñëåäóþùèé îïåðàòîð èíòåãðè-
ðîâàíèÿ:
(A�)(x) = �
1Z
x
�(y)dy:
68 Æóðíàë ìàòåìàòè÷åñêîé ôèçèêè, àíàëèçà, ãåîìåòðèè, 2005, ò. 1, � 1
Ñòåïåííîé ðÿä
1P
n=0
n!zn è ãîëîìîðôíûå ðåøåíèÿ...
Òîãäà çàäà÷à Êîøè íà ïîëóîñè t � 0(
Aw
0 = w
w(0) = w0
èìååò åäèíñòâåííîå ðåøåíèå
w(t)(x) =
�
w0(x+ t); x+ t 2 [0; 1];
0; x+ t =2 [0; 1];
ïðè÷åì îïåðàòîð A
�1 áóäåò ïðîèçâîäÿùèì äëÿ ñèëüíî íåïðåðûâíîé íèëü-
ïîòåíòíîé ïîëóãðóïïû (ñì. [12, ñ. 432�435]). Ñëåäîâàòåëüíî, ýòà çàäà÷à íå
ìîæåò èìåòü ãîëîìîðôíîãî ðåøåíèÿ, åñëè w0 6= 0:
Ñïèñîê ëèòåðàòóðû
[1] E.A. Coddington and N. Levinson, Theory of ordinary di�erential equations. McGraw-Hill
Book Company, Inc., New York�Toronto�London, 1955.
[2] F.W J. Olver, Asymptotics and special functions. Computer Science and Applied Mathe-
matics. Academic Press, New York�London, 1974.
[3] L. Euler, De Seriebus Divergentibus. Leonardi Euleri Opera Omnia I.14, Teubner, Leipzig�
Berlin, 1925.
[4] G.H. Hardy, Divergent Series. Clarendon Press, Oxford, 1949.
[5] J.-P. Ramis, Divergent series and asymptotic theories. Suppl. au bulletin de la SMF.
Societe Mathematique de France, 1993. (French)
[6] V. Vazov, Asymptotic expansions of solutions of ordinary di�erential equations. Mir,
Moscow, 1968. (Russian)
[7] M.V. Fedoryuk, Asymptotic methods for linear ordinary di�erential equations. Nauka,
Moscow, 1983. (Russian)
[8] N.I. Shkil', I.I. Starun, and V.P. Yakovets, Asymptotic integration of linear systems of
ordinary di�erential equations. Vyshcha Shkola, Kiev, 1989. (Russian)
[9] N.I. Shkil', I.I. Starun, and V.P. Yakovets, Asymptotic integration of linear systems of
ordinary di�erential equations with degeneracies. Vyshcha Shkola, Kiev, 1991. (Russian)
[10] E. Hille and R.S. Phillips, Functional analysis and semi-groups. AMS, Providence, RI,
1957.
[11] V. Volterra, Theory of functionals and of integral and integro-di�erential equations. Dover
Publ., Inc., New York (1959).
[12] I.C. Gohberg and M.G. Kre��n, Theory of Volterra operators in Hilbert space and its appli-
cations. Nauka, Moscow, 1967. (Russian)
[13] J. P�er�es, Sur les fonctions permutables de premiere espece de M. Vito Volterra. These de
doctorat. Gauthier�Villars, Paris (1915).
[14] V.Volterra and J. P�er�es, Le�cons sur la composition et les fonctions permutables. Gauthier�
Villars, Paris, 1924.
Æóðíàë ìàòåìàòè÷åñêîé ôèçèêè, àíàëèçà, ãåîìåòðèè, 2005, ò. 1, � 1 69
Ñ.Ë. Ãåôòåð, Â.Í. Ìîêðåíþê
[15] S.L. Gefter, On formal power series in Banach algebras. � Abstracts Int. Conf. Funct.
Anal., Kyiv (2001), 29�30. (Russian)
[16] A.G. Rutkas, The Cauchy problem for the equation Ax0(t) +Bx(t) = f(t). � Di�. Uravn.
11 (1975), 1996�2010. (Russian)
[17] A.G. Rutkas, Classi�cation and properties of solutions of the equation Ax0 + Bx = f(t).
� Di�. Uravn. 25 (1989), 1150�1155.
[18] M.A. Krasnosel'skij, G.M. Vainikko, P.P. Zabrejko, Ya.B. Rutitskij, and V.Ya. Stetsenko,
Approximate solution of operator equation. Nauka, Moscow, 1969. (Russian)
[19] A. Atzmon, Power regular operators. � Trans. Amer. Math. Soc. 347 (1995), 3101�3109.
[20] T. Kato, Perturbation theory for linear operators. Mir, Moscow, 1972. (Russian)
[21] Yu.L. Daletskij and M.G. Krejn, Stability of solutions of di�erential equations in Banach
space. Nauka, Moscow, 1970. (Russian)
[22] E.T. Whittaker and G.N. Watson, A course of modern analysis. Univ. Press, Cambridge,
1927.
[23] B.Ya. Levin, Distribution of zeros of entire functions. AMS, Providence, RI, 1964.
[24] A.A. Kirillov, A.D. Gvishiani, Theorems and problems of functional analysis. Second ed.
Nauka, Moscow, 1988. (Russian)
The power series
1X
n=0
n!zn and holomorphic solutions
of some di�erential equations in a Banach space
S.L. Gefter, V.N. Mokrenyuk
B. Verkin Institute for Low Temperature Physics and Engineering
National Academy of Sciences of Ukraine, 47 Lenin Ave., Kharkov, 61103, Ukraine
Let A be a bounded operator on a Banach space. A question about the ex-
istence of holomorphic solutions of the equation z2Aw0+g(z) = w is studied.
Moreover, general properties of power series of the form
1X
n=0
cnA
nzn; cn 2 C
are considered.
Key words: divergent series, di�erential equations, Banach space.
70 Æóðíàë ìàòåìàòè÷åñêîé ôèçèêè, àíàëèçà, ãåîìåòðèè, 2005, ò. 1, � 1
|