Допустимые преобразования мер

Рассмотрены алгебраические и теоретико-множественные свойства разложения типа Лебега. Если G = X локально-компактная группа, то получена информация о "размере” A(μ)....

Повний опис

Збережено в:

Бібліографічні деталі
Дата:	2005
Автор:	Габриелян, С.С.
Формат:	Стаття
Мова:	Russian
Опубліковано:	Фізико-технічний інститут низьких температур ім. Б.І. Вєркіна НАН України 2005
Назва видання:	Журнал математической физики, анализа, геометрии
Онлайн доступ:	http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/106571
Теги:	Додати тег Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
Назва журналу:	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
Цитувати:	Допустимые преобразования мер / С.С. Габриелян // Журнал математической физики, анализа, геометрии. — 2005. — Т. 1, № 2. — С. 155-181. — Бібліогр.: 9 назв. — рос.

Репозитарії

Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine

id	irk-123456789-106571
record_format	dspace
spelling	irk-123456789-1065712016-10-01T03:02:08Z Допустимые преобразования мер Габриелян, С.С. Рассмотрены алгебраические и теоретико-множественные свойства разложения типа Лебега. Если G = X локально-компактная группа, то получена информация о "размере” A(μ). Розглянуто алгебраїчні та теоретико-множинні властивості розкладання типу Лебега. Якщо G = X локально-компактна група, то отримано інформацію про "розмір" A(μ). It is done the Lebesgue-type decomposition. If G = X is a locally compact group, we give some informations about the measure theoretical size of A(μ). 2005 Article Допустимые преобразования мер / С.С. Габриелян // Журнал математической физики, анализа, геометрии. — 2005. — Т. 1, № 2. — С. 155-181. — Бібліогр.: 9 назв. — рос. 1812-9471 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/106571 ru Журнал математической физики, анализа, геометрии Фізико-технічний інститут низьких температур ім. Б.І. Вєркіна НАН України
institution	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
collection	DSpace DC
language	Russian
description	Рассмотрены алгебраические и теоретико-множественные свойства разложения типа Лебега. Если G = X локально-компактная группа, то получена информация о "размере” A(μ).
format	Article
author	Габриелян, С.С.
spellingShingle	Габриелян, С.С. Допустимые преобразования мер Журнал математической физики, анализа, геометрии
author_facet	Габриелян, С.С.
author_sort	Габриелян, С.С.
title	Допустимые преобразования мер
title_short	Допустимые преобразования мер
title_full	Допустимые преобразования мер
title_fullStr	Допустимые преобразования мер
title_full_unstemmed	Допустимые преобразования мер
title_sort	допустимые преобразования мер
publisher	Фізико-технічний інститут низьких температур ім. Б.І. Вєркіна НАН України
publishDate	2005
url	http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/106571
citation_txt	Допустимые преобразования мер / С.С. Габриелян // Журнал математической физики, анализа, геометрии. — 2005. — Т. 1, № 2. — С. 155-181. — Бібліогр.: 9 назв. — рос.
series	Журнал математической физики, анализа, геометрии
work_keys_str_mv	AT gabrielânss dopustimyepreobrazovaniâmer
first_indexed	2025-07-07T18:39:26Z
last_indexed	2025-07-07T18:39:26Z
_version_	1837014520752504832
fulltext	Æóðíàë ìàòåìàòè÷åñêîé ôèçèêè, àíàëèçà, ãåîìåòðèè 2005, ò. 1, � 2, c. 155�181 Äîïóñòèìûå ïðåîáðàçîâàíèÿ ìåð Ñ.Ñ. Ãàáðèåëÿí Õàðüêîâñêèé íàöèîíàëüíûé òåõíè÷åñêèé óíèâåðñèòåò "ÕÏÈ" óë. Ôðóíçå, 21, Õàðüêîâ, 61002, Óêðàèíà E-mail:gabrss@kpi.kharkov.ua Ñòàòüÿ ïîñòóïèëà â ðåäàêöèþ 2 ñåíòÿáðÿ 2004 ã. Ïóñòü òîïîëîãè÷åñêàÿ ïîëóãðóïïà G äåéñòâóåò íà òîïîëîãè÷åñêîì ïðîñòðàíñòâå X . Ýëåìåíò g 2 G íàçûâàåòñÿ äîïóñòèìûì ïðåîáðàçîâà- íèåì (÷àñòè÷íî äîïóñòèìûì, ñèíãóëÿðíûì, ýêâèâàëåíòíûì, èíâàðèàíò- íûì) äëÿ ìåðû � îòíîñèòåëüíî ìåðû �, åñëè �g � � (ñîîòâåòñòâåí- íî: �g 6? �, �g ? �, �g � �, �g = c � �), ãäå �g(E) := �(g�1E). Èõ ìíîæåñòâî îáîçíà÷èì ÷åðåç A(�j�) (ñîîòâåòñòâåííî: AP (�j�), S(�j�), E(�j�), I(�j�)). Ðàññìîòðåíû, â ÷àñòíîñòè, àëãåáðàè÷åñêèå è òåîðåòèêî- ìíîæåñòâåííûå ñâîéñòâà, ðàçëîæåíèÿ òèïà Ëåáåãà. Åñëè G = X � ëî- êàëüíî-êîìïàêòíàÿ ãðóïïà, òî ïîëó÷åíà èíôîðìàöèÿ î �ðàçìåðå� A(�). Íåõàé òîïîëîãi÷íà ïiâãðóïà G äi¹ íà òîïîëîãi÷íîìó ïðîñòîði X . Åëå- ìåíò g 2 G íàçèâà¹üòñÿ ïðèïóñòèìèì ïåðåòâîðåííÿì (÷àñòêîâî ïðèïó- ñòèìèì, ñèíãóëÿðíèì, åêâiâàëåíòíèì, iíâàðiàíòíèì) äëÿ ìiðè � âiäíîñíî ìiðè �, ÿêùî �g � � (âiäïîâiäíî: �g 6? �, �g ? �, �g � �, �g = c � �), äå �g(E) := �(g�1E). �õ ìíîæèíó ïîçíà÷èìî ÷åðåç A(�j�) (âiäïîâiä- íî: AP (�j�), S(�j�), E(�j�), I(�j�)). Ðîçãëÿíóòî, çîêðåìà, àëãåáðà¨÷íi òà òåîðåòèêî-ìíîæèííi âëàñòèâîñòi, ðîçêëàäàííÿ òèïó Ëåáåãà. ßêùî G = X � ëîêàëüíî-êîìïàêòíà ãðóïà, òî îòðèìàíî iíôîðìàöiþ ïðî �ðîç- ìið� A(�). Mathematics Subject Classi�cation 2000: 28C99, 37A99. Key words: òîïîëîãè÷åñêîå G-ïðîñòðàíñòâî, ìåðà, äîïóñòèìîå ïðåîáðàçîâàíèå, ðàçëîæåíèå òèïà Ëåáåãà. 1. Ââåäåíèå Ïðè èçó÷åíèè ñâîéñòâ ìåð âàæíóþ ðîëü èãðàþò òå ïðåîáðàçîâàíèÿ ïðîñò- ðàíñòâà X, êîòîðûå ïåðåâîäÿò äàííóþ ìåðó â ìåðó, àáñîëþòíî íåïðåðûâíóþ èñõîäíîé. Òàêèå ïðåîáðàçîâàíèÿ íàçûâàþòñÿ äîïóñòèìûìè. Åñëè ïðîñòðàíñò- âî X ÿâëÿåòñÿ òîïîëîãè÷åñêîé ãðóïïîé, òî ïðîñòåéøèìè åå ïðåîáðàçîâàíèÿ- ìè ÿâëÿþòñÿ ñäâèãè. Åñëè ñäâèã äàííîé ìåðû � íà g 2 X àáñîëþòíî íåïðåðû- âåí îòíîñèòåëüíî �, òî ýëåìåíò g íàçûâàåòñÿ äîïóñòèìûì. Îáîçíà÷èì ÷åðåç c Ñ.Ñ. Ãàáðèåëÿí, 2005 Ñ.Ñ. Ãàáðèåëÿí A(�) ìíîæåñòâî äîïóñòèìûõ ñäâèãîâ ìåðû �. Äîïóñòèìûå ñäâèãè åñòåñòâåí- íî âîçíèêàþò, íàïðèìåð, â òåîðèè ñëó÷àéíûõ ïðîöåññîâ. Îáùåå îïðåäåëåíèå äîïóñòèìîãî ñäâèãà è ïðîñòåéøèå ñâîéñòâà A(�) äëÿ ìåð, ñîîòâåòñòâóþùèõ ñëó÷àéíûì ïðîöåññàì, èìåþòñÿ â ðàáîòå T.S. Pitcher [9]. Íåêîòîðûå àëãåá- ðàè÷åñêèå è òîïîëîãè÷åñêèå ñâîéñòâà ìíîæåñòâà òàêèõ ýëåìåíòîâ â ñëó÷àå ãèëüáåðòîâà ïðîñòðàíñòâà ïîäðîáíî èññëåäîâàíû â ìîíîãðàôèè À.Â. Ñêî- ðîõîäà [3, ãë. 4], à â ñëó÷àå ñåïàðàáåëüíîé ìåòðè÷åñêîé ãðóïïû � â ñòàòüå Y. Okazaki [8]. Îêàçàëîñü, ÷òî îò �îáúåìà� A(�) ñóùåñòâåííî çàâèñèò ñòðóêòóðà ñàìîé ìåðû �. Òàê, À.Â. Ñêîðîõîä [2] äîêàçàë, ÷òî åñëè X = R è [0;1) � A(�), òî � àáñîëþòíî íåïðåðûâíà îòíîñèòåëüíî ìåðû Ëåáåãà, à åå íîñèòåëü èìååò âèä [a;1). Ýòîò ðåçóëüòàò áûë îáîáùåí íà ñëó÷àé ëîêàëüíî- êîìïàêòíîé �-êîìïàêòíîé ãðóïïû P.L. Brockett [5]. Êðîìå òîãî, èçâåñòíàÿ òåîðåìà Ìàêêè�Âåéëÿ [7] óòâåðæäàåò ÷òî, åñëèX � ñòàíäàðòíàÿ áîðåëåâñêàÿ ãðóïïà è A(�) = X, òî X äîïóñêàåò ëîêàëüíî-êîìïàêòíóþ òîïîëîãèþ è � âçàèìíî àáñîëþòíî íåïðåðûâíà ñ ìåðîé Õààðà. Ýòè ðåçóëüòàòû äàþò îñíîâàíèÿ äëÿ áîëåå äåòàëüíîãî èçó÷åíèÿ ìíîæåñò- âà A(�) è àíàëîãè÷íûõ åìó ìíîæåñòâ è çàâèñèìîñòè îò íèõ ñòðóêòóðû ñàìîé ìåðû �, ÷åìó è ïîñâÿùåíà äàííàÿ ðàáîòà. 2. Ïðåäâàðèòåëüíûå ñâåäåíèÿ è îñíîâíûå îïðåäåëåíèÿ Ïîä áîðåëåâñêèì ïðîñòðàíñòâîì ìû áóäåì ïîíèìàòü ïðîñòðàíñòâîX ñ âû- äåëåííîé �-àëãåáðîé åãî ïîäìíîæåñòâ B (êîòîðûå íàçûâàþòñÿ áîðåëåâñêè- ìè) è îáîçíà÷àòü ÷åðåç (X;B). Íå îãðàíè÷èâàÿ îáùíîñòè áóäåì ñ÷èòàòü, ÷òî ïðîñòðàíñòâî X îòäåëèìîå, ò.å.: åñëè x; y 2 X è x 6= y, òî ñóùåñòâóåò E 2 B òàêîå, ÷òî x 2 E 63 y. Îïðåäåëåíèå 2.1. Ïàðà (G;X) íàçûâàåòñÿ (ïîëó)ãðóïïîé ïðåîáðàçîâà- íèé, åñëè: 1) G � (ïîëó)ãðóïïà, à X � áîðåëåâñêîå ïðîñòðàíñòâî. 2) Îòîáðàæåíèå g : (X;B) ! (X;B), x 7! g � x áîðåëåâñêîå è òàêîå, ÷òî (gh) � x = g � (h � x), è åñëè e � åäèíèöà â G, òî e � x = x, 8g, h 2 G, 8x 2 X. Ïóñòü G � òîïîëîãè÷åñêàÿ (ïîëó)ãðóïïà, à X � òîïîëîãè÷åñêîå ïðîñò- ðàíñòâî. Òîãäà (ïîëó)ãðóïïà ïðåîáðàçîâàíèé (G;X) íàçûâàåòñÿ òîïîëîãè- ÷åñêîé, åñëè îòîáðàæåíèå (g; x) 7! g � x íåïðåðûâíî. Îïðåäåëåíèå 2.2. Ìîðôèçìîì èç (G;X) â (H;Y ) íàçûâàåòñÿ ïàðà (p; �), ãäå p : G ! H � ãîìîìîðôèçì, à � : X ! Y � áîðåëåâñêîå îòîáðàæåíèå, óäîâëåòâîðÿþùåå óñëîâèþ ñîãëàñîâàííîñòè: �(g � x) = p(g) � �(x) ; 8g 2 G; 8x 2 X: (2.1) Åñëè (G;X) è (H;Y ) � òîïîëîãè÷åñêèå (ïîëó)ãðóïïû ïðåîáðàçîâàíèé, òî p è � ïðåäïîëàãàþòñÿ íåïðåðûâíûìè. 156 Æóðíàë ìàòåìàòè÷åñêîé ôèçèêè, àíàëèçà, ãåîìåòðèè, 2005, ò. 1, � 2 Äîïóñòèìûå ïðåîáðàçîâàíèÿ ìåð Òåì ñàìûì ìíîæåñòâî [òîïîëîãè÷åñêèõ] (ïîëó)ãðóïï ïðåîáðàçîâàíèé îá- ðàçóþò êàòåãîðèþ. Â äàëüíåéøåì áóäåì îáîçíà÷àòü îáðàç ìíîæåñòâà E ÷åðåç g �E, à ïðîîáðàç � ÷åðåç g�1E. Åñëè G � ãðóïïà, òî g �E áóäåì îáîçíà÷àòü ïðîñòî gE. Ïóñòü M(X) � ìíîæåñòâî âñåõ êîíå÷íûõ ìåð íà X, îïðåäåëåííûõ íà B. Ìíîæåñòâî íåîòðèöàòåëüíûõ êîíå÷íûõ ìåð îáîçíà÷èì ÷åðåç M+(X). Ìåðó � 2 M+(X) íàçîâåì âåðîÿòíîñòíîé èëè ðàñïðåäåëåíèåì, åñëè �(X) = 1. Âåðîÿòíîñòíóþ ìåðó, ñîñðåäîòî÷åííóþ â òî÷êå x, îáîçíà÷èì ÷åðåç Æx. Äëÿ �; � 2 M(X) ìû ïèøåì � � � (ñîîòâåòñòâåííî � ? �), êîãäà � àáñîëþòíî íåïðåðûâíà (ñèíãóëÿðíà) îòíîñèòåëüíî �. Âçàèìíóþ àáñîëþòíóþ íåïðåðûâ- íîñòü (ýêâèâàëåíòíîñòü) � è � îáîçíà÷èì ÷åðåç � � �. Åñëè � = �1 + �2, ãäå �1 ? �2, òî �1 è �2 íàçîâåì ÷àñòÿìè ìåðû �. Çàìêíóòîå ïîäïðîñòðàíñò- âî N � M(X) íàçûâàåòñÿ L-ïîäïðîñòðàíñòâîì, åñëè L1(�) � N äëÿ ëþáîé ìåðû � 2 N . Ïóñòü X = G � ãðóïïà, ïîëîæèì _ � (E) := �(E�1). Åñëè X � òîïîëîãè÷åñêîå ïðîñòðàíñòâî, òî íîñèòåëü ìåðû � îáîçíà÷èì ÷åðåç supp�. Ïóñòü � 2 M(X): ×åðåç �g, g 2 G, îáîçíà÷èì ìåðó íà (X;B), îïðåäåëåí- íóþ ñîîòíîøåíèåì: �g(E) = �(g�1E); E 2 B: Òîãäà (�g)h(E) = �g(h �1E) = �(g�1h�1E) = �hg(E), ò.å. (�g)h = �hg: (2.2) Ïóñòü f(Gi;Xi)g � êîíå÷íîå èëè ñ÷åòíîå ñåìåéñòâî (ïîëó)ãðóïï ïðåîá- ðàçîâàíèé è �i ìåðû íà Xi. Îáîçíà÷èì ÷åðåç G0, X0, B0 è � èõ ïðÿìûå ïðîèçâåäåíèÿ. Òîãäà (ïîëó)ãðóïïà G0 äåéñòâóåò íà X0 ñëåäóþùèì îáðàçîì: g�x = (g1 �x1; g2 �x2; : : : ); ãäå g = (g1; g2; : : : ) 2 G0; x = (x1; x2; : : : ) 2 X0; (2.3) ïðè ýòîì äåéñòâèå ÿâëÿåòñÿ íåïðåðûâíûì, åñëè âñå Gi äåéñòâóþò íåïðåðûâíî íà Xi. Òàê êàê ìåðà � îäíîçíà÷íî îïðåäåëÿåòñÿ íà öèëèíäðè÷åñêèõ ìíîæåñò- âàõ è ïðè E = E1 �E2 � : : : èìååì g�1E = g�11 E1 � g�12 E2 � : : : , òî �g = (�1)g1 � (�2)g2 � : : : ; ãäå g = (g1; g2; : : : ): (2.4) Ïóñòü (Gi;BGi ; pij) � ïðîåêòèâíàÿ ñèñòåìà (ïîëó)ãðóïï è (G;BG) � åå ïðîåêòèâíûé ïðåäåë. Ïóñòü (Xi;Bi; �ij) � ïðîåêòèâíàÿ ñèñòåìà áîðåëåâñêèõ ïðîñòðàíñòâ, íà êîòîðûõ äåéñòâóþò Gi, è (X;B) � åå ïðîåêòèâíûé ïðåäåë. Äëÿ òîãî ÷òîáû ìîæíî áûëî îïðåäåëèòü äåéñòâèå G íàX ñëåäóþùèì îáðàçîì (êàê â (2.3)) g � x = (g1 � x1; g2 � x2; : : : ); ãäå g = (g1; g2; : : : ) 2 G;x = (x1; x2; : : : ) 2 X; (2.5) Æóðíàë ìàòåìàòè÷åñêîé ôèçèêè, àíàëèçà, ãåîìåòðèè, 2005, ò. 1, � 2 157 Ñ.Ñ. Ãàáðèåëÿí íåîáõîäèìî è äîñòàòî÷íî, ÷òîáû âûïîëíÿëîñü óñëîâèå ñîãëàñîâàííîñòè �ij(gj � xj) = pij(gj) � �ij(xj); i < j: (2.6) Òîãäà G äåéñòâóåò íåïðåðûâíî, åñëè âñå îòîáðàæåíèÿ pij , �ij � íåïðåðûâ- íûå. Ïîëóãðóïïà ïðåîáðàçîâàíèé (G;X) ñ äåéñòâèåì (2.5) íàçûâàåòñÿ ïðîåê- òèâíûì ïðåäåëîì ïðîåêòèâíîé ñèñòåìû (Gi;Xi). Ïóñòü �; � 2M(X). Òîãäà èõ ìîæíî ïðåäñòàâèòü â âèäå � = �1 + �2; � = �1 + �2; ãäå �1 � �1; �2 ? �; �2 ? � � ðàçëîæåíèå Ëåáåãà ìåð � è � îòíîñèòåëüíî äðóã äðóãà. ×åðåç d� d� áóäåì îáîçíà÷àòü ïðîèçâîäíóþ ìåðû � îòíîñèòåëüíî �. Òîãäà d� d� = d�1 d�1 ; �1 � ï.â. ; è d� d� = 0; (�2 + �2)� ï.â. ×åðåç mG îáîçíà÷èì ëåâóþ ìåðó Õààðà ëîêàëüíî-êîìïàêòíîé ãðóïïû G. Ïóñòü E 2 B, òîãäà, â ñèëó êîíå÷íîñòè ìåðû, íà íåêîòîðîé ïîñëåäîâà- òåëüíîñòè fgig N i=1 äîñòèãàåòñÿ ñóïðåìóì supfj�j( NX i=1 g�1 i E); N � 1; gi 2 Gg: Ìíîæåñòâî eE = [N i=1g �1 i E íàçûâàåòñÿ ìíîæåñòâîì �-ìàêñèìàëüíîé ìå- ðû, ïîðîæäåííûì ìíîæåñòâîì E îòíîñèòåëüíî äåéñòâèÿ (ïîëó)ãðóïïû G. Ìíîæåñòâî ìàêñèìàëüíîé ìåðû îòíîñèòåëüíî äåéñòâèÿ ïîëóãðóïïû áóäåì íàçûâàòü ïðîñòî ìíîæåñòâîì �-ìàêñèìàëüíîé ìåðû, à ñîâîêóïíîñòü òàêèõ ìíîæåñòâ îáîçíà÷èì ÷åðåç F . ßñíî, ÷òî eE îïðåäåëåíî íåîäíîçíà÷íî. Îäíà- êî, åñëè eE1 è eE2 ïîðîæäåíû E, òî, î÷åâèäíî, �j eE1 = �j eE2 . Â ñëåäóþùèõ îïðåäåëåíèÿõ óñòàíîâëåíû ìíîæåñòâà, èçó÷åíèþ êîòîðûõ ïîñâÿùåíà äàííàÿ ðàáîòà. Îïðåäåëåíèå 2.3. Ýëåìåíò g 2 G íàçûâàåòñÿ äîïóñòèìûì ïðåîáðà- çîâàíèåì (÷àñòè÷íî äîïóñòèìûì, ñèíãóëÿðíûì, ýêâèâàëåíòíûì, èíâàðè- àíòíûì) äëÿ ìåðû �, åñëè �g � � (ñîîòâåòñòâåííî: �g 6? �, �g ? �, �g � �; �g = �). Èõ ìíîæåñòâî îáîçíà÷èì ÷åðåç A(�) (ñîîòâåòñòâåííî: AP (�), S(�), E(�), I(�)). Î÷åâèäíî, ÷òî I(�) � E(�) � A(�) � AP (�); AP (�) \ S(�) = ;; AP (�) [ S(�) = G: (2.7) ßñíî, ÷òî åñëè G èìååò åäèíè÷íûé ýëåìåíò e, òî e 2 I(�). Ñëåäóþùåå îïðåäåëåíèå ÿâëÿåòñÿ åñòåñòâåííûì îáîáùåíèåì ïðåäûäóùåãî. 158 Æóðíàë ìàòåìàòè÷åñêîé ôèçèêè, àíàëèçà, ãåîìåòðèè, 2005, ò. 1, � 2 Äîïóñòèìûå ïðåîáðàçîâàíèÿ ìåð Îïðåäåëåíèå 2.4. Ýëåìåíò g 2 G íàçûâàåòñÿ äîïóñòèìûì ïðåîáðàçî- âàíèåì (÷àñòè÷íî äîïóñòèìûì, ñèíãóëÿðíûì, ýêâèâàëåíòíûì, èíâàðèàíò- íûì) äëÿ ìåðû � îòíîñèòåëüíî ìåðû �, åñëè �g � � (ñîîòâåòñòâåííî: �g 6? �, �g ? �, �g � �, �g = c � �). Èõ ìíîæåñòâî îáîçíà÷èì ÷åðåç A(�j�) (ñîîòâåòñòâåííî: AP (�j�), S(�j�), E(�j�), I(�j�)). Ìíîæåñòâà èç îïðåäåëåíèÿ 2.3 ÿâëÿþòñÿ ÷àñòíûìè ñëó÷àÿìè âûøåîïðå- äåëåííûõ ìíîæåñòâ ïðè � = �. Î÷åâèäíî, ÷òî äëÿ ýòèõ ìíîæåñòâ òàêæå âûïîëíåíû ñîîòâåòñòâóþùèå âêëþ÷åíèÿ: I(�j�) � E(�j�) � A(�j�) � AP (�j�); AP (�j�) \ S(�j�) = ;; AP (�j�) [ S(�j�) = G: (2.8) ßñíî, ÷òî åñëè G � ãðóïïà, òî E(�j�) = E(j�jjj�j), A(�j�) = A(j�jjj�j), AP (�j�) = AP (j�jjj�j), S(�j�) = S(j�jjj�j). Ïîýòîìó ïðè èçó÷åíèè ýòèõ ìíî- æåñòâ ìû ÷àñòî áóäåì îãðàíè÷èâàòüñÿ ðàñïðåäåëåíèÿìè. Åñòåñòâåííî âûäåëèòü �ïàòîëîãè÷åñêèå� ïðåîáðàçîâàíèÿ. Îïðåäåëåíèå 2.5. Ïóñòü Z(g) = fx : g � x = xg. Ïîëîæèì I0(�) = fg : j�j(Z(g)) = k�kg: Îñîáûé èíòåðåñ ïðåäñòàâëÿåò ñëó÷àé, êîãäà X = G � ãðóïïà. Òîãäà åñ- òåñòâåííî îïðåäåëåíû îïåðàòîðû Lg(x) = gx ; Rg(x) = xg�1 ; Cg(x) = gxg�1 = LgRg(x); 8x; g 2 X; êîòîðûå, â ñâîþ î÷åðåäü, îïðåäåëÿþò ëåâîå, ïðàâîå è ñîïðÿæåííîå äåéñòâèÿ G íà X. Ïî óìîë÷àíèþ, äåéñòâèå G íà X ïîëàãàåì ëåâûì, ò.å. g � x = gx. Îïðåäåëåíèå 2.6. Ïóñòü G = X � ãðóïïà. Ìíîæåñòâà AP (�j�), S(�j�), A(�j�), E(�j�), I(�j�) îòíîñèòåëüíî ëåâîãî (ïðàâîãî, ñîïðÿæåííîãî) äåéñò- âèÿ áóäåì îáîçíà÷àòü ñ èíäåêñîì l (ñîîòâåòñòâåííî r, c) âíèçó, ò.å. APl(�j�); Sl(�j�); Ar(�j�); Ec(�j�) è ò.ä. Ïîëîæèì At(�j�) = Al(�j�) \ [Ar(�j�)] �1; At(�) = Al(�) \ [Ar(�)] �1 è ò.ä. Îòìåòèì, ÷òî äëÿ íåêîììóòàòèâíûõ ãðóïï P.L. Brockett [5] è Y. Okazaki [8] äîïóñòèìûìè ñäâèãàìè íàçûâàþò ýëåìåíòû èç At(�). Åñòåñòâåííî ðàññìàòðèâàòü àíàëîãè ðàçëîæåíèÿ Ëåáåãà ñ òî÷íîñòüþ äî �ñäâèãà�. Ïóñòü G� = G [ fidXg � ïîëóãðóïïà ñ åäèíèöåé. Ñîîòâåòñòâóþùèå ìíîæåñòâà îòíîñèòåëüíî G� îáîçíà÷èì ÷åðåç AP �(�j�); A�(�j�) è ò.ä. Æóðíàë ìàòåìàòè÷åñêîé ôèçèêè, àíàëèçà, ãåîìåòðèè, 2005, ò. 1, � 2 159 Ñ.Ñ. Ãàáðèåëÿí Îïðåäåëåíèå 2.7. Åñëè AP �(j�jjj�j) = ;, òî ìåðó � íàçîâåì d-ñèíãóëÿð- íîé îòíîñèòåëüíî ìåðû �. Îáîçíà÷åíèå � ?d �. Ìåðû � è � íàçîâåì âçàèìíî d-ñèíãóëÿðíûìè, åñëè � ?d � è � ?d �. Ïîëîæèì � �d �, åñëè ñóùåñòâóåò ïîñëåäîâàòåëüíîñòü gi (êîíå÷íàÿ èëè áåñêîíå÷íàÿ) òàêàÿ, ÷òî j�j � X i �ij�jgi ; �i > 0; X i �i <1; gi 2 G�: Ìåðû � è � íàçîâåì d-ýêâèâàëåíòíûìè, îáîçíà÷åíèå � �d �, åñëè ��d � è � �d �. Î÷åâèäíî, ÷òî îòíîøåíèå �d îïðåäåëÿåò ÷àñòè÷íûé ïîðÿäîê íà M(X), à îòíîøåíèå �d � îòíîøåíèå ýêâèâàëåíòíîñòè. Îòìåòèì, ÷òî åñëè G � ãðóïïà è � ?d �, òî AP (�j�) = AP (�j�) = ; è � ?d �, ò.å. � è � âçàèìíî d-ñèíãóëÿðíû. Òàê æå, â ñëó÷àå, êîãäà G � ãðóïïà, èìååì �g �d �. Äëÿ ïîëóãðóïï ýòî íåâåðíî (ñì. ïðèìåð 4.1 íèæå). Î÷åâèäíî, ÷òî åñëè E 2 F(�), òî �jE ?d �� jE : Îñîáûé èíòåðåñ ïðåäñòàâëÿþò ïðîñòåéøèå, îòíîñèòåëüíî d-ýêâèâàëåíò- íîñòè, ìåðû. Îïðåäåëåíèå 2.8. Ìåðà � íàçûâàåòñÿ t-ýðãîäè÷åñêîé, åñëè ëþáûå åå ÷à- ñòè d-ýêâèâàëåíòíû, ò.å., áîëåå ïîäðîáíî, äëÿ ëþáûõ åå ÷àñòåé � è � ñó- ùåñòâóþò g; h 2 G� òàêèå, ÷òî �g 6? � è � 6? �h. 3. Àëãåáðàè÷åñêèå ñâîéñòâà Ñëåäóþùàÿ òåîðåìà (ñïðàâåäëèâàÿ è äëÿ �-êîíå÷íîé ìåðû) óñòàíàâëèâà- åò íåêîòîðûå, â îñíîâíîì àëãåáðàè÷åñêèå, ñâîéñòâà ýòèõ ìíîæåñòâ. Îòìåòèì ÷òî ñâîéñòâî 4 è íåêîòîðûå âêëþ÷åíèÿ â 6, íå êàñàþùèåñÿ I(�), äëÿ ñëó÷àÿ êîãäà X = G � ãðóïïà, äîêàçàíû â [8]. Òåîðåìà 3.1. 1. Åñëè B(�) åñòü îäíî èç ìíîæåñòâ: I(�), E(�), A(�), AP (�) èëè S(�) è g � îáðàòèì, òî B(�g)g = gB(�) èëè B(�g) = gB(�)g�1: 2. Åñëè � � �, òî B(�) = B(�), ãäå B(:) åñòü îäíî èç ìíîæåñòâ: E(:), A(:), AP (:) èëè S(:). 3. Åñëè �� , òî AP (�) � AP (�); S(�) � S(�). 4. A(�), E(�), I(�) åñòü ïîäïîëóãðóïïû (ñ åäèíèöåé, åñëè G îáëàäàåò åþ), à åñëè G � ãðóïïà, òî I(�) è E(�) � ïîäãðóïïû (âîîáùå ãîâîðÿ, íå íîðìàëüíûå) ãðóïïû G. 160 Æóðíàë ìàòåìàòè÷åñêîé ôèçèêè, àíàëèçà, ãåîìåòðèè, 2005, ò. 1, � 2 Äîïóñòèìûå ïðåîáðàçîâàíèÿ ìåð 5. 1) Åñëè h � îáðàòèì è h 2 AP (�), òî h�1 2 AP (�). Åñëè æå G � ãðóïïà, òî AP (�) = (AP (�))�1 (çíà÷èò, è S(�) = (S(�))�1): Â ÷àñòíîñòè, åñëè AP (�) � ïîäïîëóãðóïïà, òî AP (�) � ïîäãðóï- ïà ãðóïïû G. 2) Åñëè h � îáðàòèì è fh; h�1g � A(�), òî h 2 E(�). Åñëè æå G � ãðóïïà, òî A(�) \ [A(�)]�1 = E(�): Ïîýòîìó A(�) ÿâëÿåòñÿ ãðóïïîé òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà A(�) = E(�). Êàê ñëåäñòâèå ïîëó÷àåì: åñëè h 2 A(�) è hn 2 E(�), òî h 2 E(�). 3) Åñëè G � ãðóïïà è A(�) = AP (�) , òî AP (�) = A(�) = E(�). 6. Åñëè G � ïîëóãðóïïà ñ åäèíèöåé, òî: 1) S(�) �A(�) = S(�); A(�) � S(�) � S(�); 2) AP (�) � A(�) � AP (�); A(�) � AP (�) = AP (�); 3) E(�) � A(�) = A(�) �E(�) = A(�) = I(�) �A(�) = A(�) � I(�); 4) E(�) � S(�) = S(�) � E(�) = S(�) = I(�) � S(�) = S(�) � I(�); 5) E(�) �AP (�) = AP (�) �E(�) = AP (�) = I(�) �AP (�) = AP (�) �I(�): Ä î ê à ç à ò å ë ü ñ ò â î. Áåç óñëîæíåíèÿ äîêàçàòåëüñòâà áóäåì ñ÷èòàòü ìåðû � è � âåðîÿòíîñòíûìè. 1. Ïóñòü h 2 S(�g), òîãäà ñóùåñòâóåò E 2 B òàêîå, ÷òî f�g(E) = 1 è �g(h �1E) = 0g ()f�(g�1E) = 1 è �(g�1h�1E) = 0g() (ïîëàãàÿ E = g�1E) f�(E) = 1 è �(g�1h�1gE) = 0g ()fg�1hg 2 S(�)g. Ïóñòü h 2 AP (�g), òîãäà, ó÷èòûâàÿ ðàâåíñòâî äëÿ S(�) è (2.7), èìååì G = g(AP (�)[S(�))g�1 = gAP (�)g�1 [ gS(�)g�1 = gAP (�)g�1 [S(�g), è ò.ê. gAP (�)g�1 \ S(�g) = ;, òî, ñíîâà ó÷èòûâàÿ (2.7), ïîëó÷àåì, ÷òî AP (�g) = gAP (�)g�1. Îñòàëüíîå äîêàçûâàåòñÿ àíàëîãè÷íî. 2.3.4. Î÷åâèäíî. 5. 1) Ïóñòü h 2 AP (�); òîãäà � = �1 + �2; �h = �1 + �2; ãäå �1 � �1 6= 0: Ïîýòîìó �h�1 = (�1)h�1 + (�2)h�1 � (�1)h�1 � (�1)h�1 � (�h)h�1 = �. Çíà÷èò, �h�1 6? � è h�1 2 AP (�): 2) Åñëè h; h�1 2 A(�) è E 2 B òàêîå, ÷òî �h(E) = �(h�1E) = 0, òî, ïîëàãàÿ E = h�1E, èìååì 0 = �h�1(E) = �(hE) = �(E), ò.å. h 2 E(�). Æóðíàë ìàòåìàòè÷åñêîé ôèçèêè, àíàëèçà, ãåîìåòðèè, 2005, ò. 1, � 2 161 Ñ.Ñ. Ãàáðèåëÿí Ïóñòü h 2 A(�) è hk 2 E(�). Åñëè E 2 B òàêîå, ÷òî �h(E) = 0, òî � hk(E) = 0. Çíà÷èò, �(E) = 0 è h 2 E(�). 3) Åñëè AP (�) = A(�) è g 2 A(�) òî, ïî 1), g�1 2 A(�): Ñëåäîâàòåëüíî, ïî 2), g 2 E(�). Ïîýòîìó AP (�) = A(�) = E(�): 6. 1) Ïóñòü g 2 S(�); h 2 A(�) è E 2 B òàêîå, ÷òî �(E) = 1 è �g(E) = �(g�1E) = 0. Òîãäà �gh(E) = �(h�1(g�1E)) = 0, ò.å. gh 2 S(�) è S(�) �A(�) � S(�): Òàê êàê e 2 A(�), òî âåðíî è îáðàòíîå âêëþ÷åíèå. Î÷åâèäíî, ÷òî A(�) � S(�) � S(�): 2) Ïóñòü h 2 A(�); g 2 AP (�): Åñëè �g = �1 + �2; ãäå �1 � �; �2 ? �; òî �hg = (�g)h = (�1)h + (�2)h: À òàê êàê (�1)h � �h � �, òî �hg 6? � è hg 2 AP (�): Ïîýòîìó A(�) � AP (�) � AP (�). Îáðàòíîå âêëþ÷åíèå î÷åâèäíî. ßñíî, ÷òî AP (�) � A(�) � AP (�): 3) Î÷åâèäíî. 4) S(�) � S(�) � I(�) � S(�) � E(�) � S(�) � A(�) = S(�). Ïóñòü h 2 E(�); g 2 S(�) è E 2 B òàêîå, ÷òî �g(E) = 0 è �(E) = 1. Ïîëîæèì E = E \ h�1E \ h�2E \ : : : . Òîãäà �(E) = 1 è �g(E) = 0. Çíà÷èò, �hg(E) = (�g)h(E) = 0 è hg 2 S(�). Åñëè G � ãðóïïà, òî äîêàçàòåëüñòâî óïðîùàåòñÿ: S(�) � I(�) � S(�) � E(�) � S(�) � (A(�))�1 � (S(�))�1 = (S(�) � A(�))�1 = (S(�))�1 = S(�): 5) AP (�) � I(�) �AP (�) � E(�) �AP (�) � A(�) � AP (�) = AP (�): Ïóñòü h 2 E(�); g 2 AP (�). Òîãäà �gh = (�h)g � �g 6? �, ò.å. gh 2 AP (�). Åñëè G � ãðóïïà, òî äîêàçàòåëüñòâî óïðîùàåòñÿ: AP (�) � AP (�) � I(�) � AP (�) � E(�) � (AP (�))�1 � (A(�))�1 = (A(�) � AP (�))�1 = (AP (�))�1 = AP (�): Òåîðåìà äîêàçàíà. Ç à ì å ÷ à í è å 3.1. Âñå óñëîâèÿ òåîðåìû ñóùåñòâåííû. Êðîìå òîãî, ïóñòü G � ãðóïïà, òîãäà, åñëè G àáåëåâà èëè ñîñòîèò èç ýëåìåíòîâ êîíå÷íîãî ïîðÿäêà, òî â ï. 6 âåðíû è îáðàòíûå âêëþ÷åíèÿ (â ñèëó ï. 5.2). Íî, âîîáùå ãîâîðÿ, ýòî íå âñåãäà âåðíî, äàæå åñëè X = G � ëîêàëüíî-êîìïàêòíàÿ ãðóïïà (åñëè äëÿ h 2 A(�), îáðàòíîå âêëþ÷åíèå íå âûïîëíÿåòñÿ, òî, â ñèëó ïï. 5.2 è 6.4, h�1 62 A(�)). Ðàññìîòðèì ïðèìåð. Ïóñòü X = G = F2 � ñâîáîäíàÿ ãðóïïà ñ îáðàçóþùèìè g è h. Ïóñòü H � ïîëóãðóïïà ñ åäèíèöåé, ïîðîæäåííàÿ g è h, à ìåðà � ñîñðåäîòî÷åíà íà H. Òîãäà g, h 2 A(�). Òàê êàê hH \ gH = ;, òî �h ? �g. Ïîýòîìó �g�1h ? � è g�1h 2 S(�). Â ÷àñòíîñòè, AP (�) íå ñîäåðæèò ïîäãðóïïû, ïîðîæäåííîé A(�). Ï ð è ì å ð 3.1. Ïóñòü � � äèñêðåòíàÿ âåðîÿòíîñòíàÿ ìåðà è S = fx : �(fxg) > 0g. Î÷åâèäíî, ÷òî AP (�) = fg : g � S \ S 6= ;g; A(�) = fg : g � S � Sg; E(�) = fg : g � S = Sg: 162 Æóðíàë ìàòåìàòè÷åñêîé ôèçèêè, àíàëèçà, ãåîìåòðèè, 2005, ò. 1, � 2 Äîïóñòèìûå ïðåîáðàçîâàíèÿ ìåð Â ñëåäóþùåé òåîðåìå óñòàíàâëèâàþòñÿ ñâîéñòâà ìíîæåñòâ èç îïðåäåëå- íèÿ 2.4, àíàëîãè÷íûå ñôîðìóëèðîâàííûì â òåîðåìå 3.1, åñëè îíè èìåþò ìåñòî. Òåîðåìà 3.2. 1. Åñëè B(�j�) åñòü îäíî èç ìíîæåñòâ îïðåäåëåíèÿ 2.4, è g, h � îáðàòèìû, òî B(�gj�h) = h �B(�j�) � g�1: 2. Åñëè �1 � �2 è �1 � �2, òî B(�1j�1) = B(�2j�2), ãäå B(:) � îäíî èç ìíîæåñòâ: E(:), A(:), AP (:) èëè S(:). Â ÷àñòíîñòè, åñëè g 2 E(�j�), ò.å. �g � � è g, h � îáðàòèìû, òî B(�j�) = g � B(�) = B(�) � g = g � B(�j�) � g è B(�gj�h) = h �B(�) � g�1; ãäå B(�) åñòü E(�)(A(�), AP (�), S(�)), à B(�j�) = E(�j�) (A(�j�), AP (�j�), S(�j�)). 3. Åñëè �1 � �2, �1 � �2, òî AP (�1j�1) � AP (�2j�2), S(�1j�1) � S(�2j�2). 4. Åñëè G � ãðóïïà è I(�j�), E(�j�) � íå ïóñòû, òî îíè ÿâëÿþòñÿ ëå- âûìè (ïðàâûìè) êëàññàìè ñìåæíîñòè I(�) è E(�) ñîîòâåòñòâåííî (ñîîòâåòñòâåííî I(�) è E(�)). 5. Åñëè G � ãðóïïà, g 2 E(�j�) � îáðàòèì è A(�j�) = AP (�j�), òî AP (�j�) = A(�j�) = E(�j�) = g �E(�). 6. Åñëè G � ãðóïïà, òî 1) I(�j�) = [I(�j�)]�1; E(�j�) = [E(�j�)]�1; AP (�j�) = [AP (�j�)]�1; 2) A(�j�) \ [A(�j�)]�1 = E(�j�). Â ÷àñòíîñòè, åñëè A(�j�) = [A(�j�)]�1, òî A(�) = E(�) è A(�) = E(�). 7. 1) Åñëè A(�j�) è A(�j�) � íå ïóñòû, òî A(�j�) � A(�j�) � A(�). 2) Åñëè G îáëàäàåò åäèíèöåé è g 2 H(�j�) � îáðàòèì, ãäå H(:) åñòü èëè I(:), èëè E(:), òî H(�j�) �B(�j�) = B(�) ; B(�j�) �H(�j�) = B(�) ; ãäå B(:) åñòü ëèáî E(:), ëèáî A(:), ëèáî S(:), ëèáî AP (:). Ä î ê à ç à ò å ë ü ñ ò â î. Áåç óñëîæíåíèÿ äîêàçàòåëüñòâà áóäåì ñ÷èòàòü ìåðû � è � âåðîÿòíîñòíûìè. 1. 2. 3. Î÷åâèäíî. Æóðíàë ìàòåìàòè÷åñêîé ôèçèêè, àíàëèçà, ãåîìåòðèè, 2005, ò. 1, � 2 163 Ñ.Ñ. Ãàáðèåëÿí 4. Ïóñòü I(�j�) 6= ; è g 2 I(�j�). Òîãäà, ïî 1, ìû èìååì I(�j�) = I(�j�g) = gI(�j�) = gI(�) è I(�j�) � ëåâûé êëàññ ñìåæíîñòè ãðóïïû I(�). Àíàëîãè÷íî è äëÿ I(�). Åñëè E(�j�) 6= ;, òî, ïî 2, E(�j�) = gE(�), ãäå g 2 E(�j�), îòêóäà ñëåäóåò òðåáóåìîå. (Äëÿ A(�j�) ïîäîáíîå óòâåðæäåíèå íåâåðíî.) 5. Åñëè g 2 E(�j�), ò.å. �g � �. Òîãäà, ïî 2, AP (�j�) = gAP (�); A(�j�) = gA(�); E(�j�) = gE(�). Çíà÷èò, AP (�) = A(�) è òðåáóåìîå âûòåêàåò èç ï. 5.3 òåîðåìû 3.1. 6. 1) Î÷åâèäíî. 2) Ïóñòü g ïðèíàäëåæèò ëåâîé ÷àñòè. Ýòî ðàâíîñèëüíî òîìó, ÷òî �g � � è �g�1 � �, ò.å. �g � �. Ïîýòîìó g 2 E(�j�). Îáðàòíî, åñëè g 2 E(�j�), òî g 2 A(�j�) è, ïî 1), g�1 2 E(�j�) � A(�j�) èëè g 2 [A(�j�)]�1, ÷òî è òðåáîâàëîñü. Åñëè A(�j�) = [A(�j�)]�1, òî A(�j�) = E(�j�), è åñëè g 2 E(�j�), òî, ïî ï. 2, ìû èìååì A(�j�) = gA(�) = gE(�), îòêóäà A(�) = E(�). Àíàëîãè÷íî A(�) = E(�). 7. 1) Åñëè g 2 A(�j�), ò.å. �g � �, è h 2 A(�j�), ò.å. �h � �, òî �hg = (�g)h � �h � � è hg 2 A(�). Åñëè g 2 E(�j�) � îáðàòèì, òî âêëþ÷åíèå ñòàíåò ðàâåíñòâîì. Ýòî ñëåäóåò èç ï. 2. è òåîðåìû 3.1: A(�j�) �A(�j�) = A(�)g�1 � gA(�) = A(�) �A(�) = A(�). 2) Ïóñòü g 2 H(�j�), òîãäà, ïî ï. 2 è òåîðåìå 3.1, èìååì H(�j�) �B(�j�) = H(�j�g) � B(�gj�) = gH(�) � B(�)g�1 = gB(�)g�1 = B(�gj�g) = B(�): B(�j�) �H(�j�) = B(�)g�1 � gH(�) = B(�): Òåîðåìà äîêàçàíà. Òàê æå, êàê è â ïðåäûäóùåé òåîðåìå, âñå óñëîâèÿ, âîîáùå ãîâîðÿ, ñóùåñò- âåííû, à âêëþ÷åíèÿ ñòðîãèå. Íåêîòîðàÿ ñâÿçü ìíîæåñòâ èç îïðåäåëåíèÿ 2.3 äëÿ ðàçëè÷íûõ äåéñòâèé ãðóïïû G íà ñåáå óñòàíàâëèâàåòñÿ â ñëåäóþùåé òåîðåìå. Òåîðåìà 3.3. Ïóñòü X = G � òîïîëîãè÷åñêàÿ ãðóïïà. 1. Ïóñòü B åñòü ëèáî AP , ëèáî S, ëèáî A, ëèáî E, ëèáî I. Òîãäà Br(Lg(�)) = Br(�); Bl(Rg(�)) = Bl(�) è êàê ñëåäñòâèå Bt(Lg(�)) = gBl(�)g �1 \Br(�) ; Bt(Rg(�)) = gBr(�)g �1 \Bl(�): 164 Æóðíàë ìàòåìàòè÷åñêîé ôèçèêè, àíàëèçà, ãåîìåòðèè, 2005, ò. 1, � 2 Äîïóñòèìûå ïðåîáðàçîâàíèÿ ìåð 2. Åñëè g 2 It(�j�), òî It(�j�) = gIl(�) \ Ir(�)g �1 = g�1Ir(�) \ Il(�)g: Åñëè g 2 Et(�j�), òî Et(�j�) = gEl(�) \Er(�)g �1 = g�1Er(�) \El(�)g: 3. 1) It(�j�) = [It(�j�)] �1; Et(�j�) = [Et(�j�)] �1; APt(�j�) = [APt(�j�)] �1. 2) At(�j�) \ [At(�j�)] �1 = Et(�j�) è At(�) � ïîëóãðóïïà. 4. 1) Åñëè At(�j�) è At(�j�) � íå ïóñòû, òî At(�j�) �At(�j�) � Al(�) \ A�1 r (�): 2) Åñëè Ht(:) åñòü èëè It(:), èëè Et(:) è Ht(�j�) � íå ïóñòî, òî Ht(�j�)�Bt(�j�) � Bl(�)\B �1 r (�); Bt(�j�)�Ht(�j�) � Bl(�)\B �1 r (�): 5. Br(��) = Bl(�). Â ÷àñòíîñòè, åñëè � ñèììåòðè÷íà, òî At(�) = El(�) = Er(�). Ä î ê à ç à ò å ë ü ñ ò â î. 1. ×åðåç � áóäåì îáîçíà÷àòü îäèí èç ñèìâîëîâ ?; 6?;� è ò.ä. Èìååì q 2 Br(Lg(�)), RqLg(�):Lg(�), Rq(�):�, q 2 Br(�): Àíàëîãè÷íî äîêàçûâàåòñÿ âòîðîå ðàâåíñòâî. Ïî òåîðåìå 3.1, èìååì Bt(Lg(�)) = Br(Lg(�)) \Bl(Lg(�)) = gBl(�)g �1 \Br(�): 2. Ïî òåîðåìå 3.2 (4), èìååì It(�j�) = Il(�j�) \ I �1 r (�j�) = gIl(�) \ Ir(�)g �1 = Il(�)g \ g �1Ir(�): 3. 1) g 2 I�1 t (�j�) , fg�1 2 Il(�j�), g 2 Ir(�j�)g , fg 2 Il(�j�), g �1 2 Ir(�j�)g , g 2 It(�j�). 2) g 2 At(�j�) \ A�1 t (�j�) , fg 2 Al(�j�) \ A�1 l (�j�), g�1 2 Ar(�j�) \ A�1r (�j�)g , fg 2 El(�j�), g 2 E�1 r (�j�)g , g 2 Et(�j�). 4. 1) Ïóñòü g 2 At(�j�) è h 2 At(�j�). Òîãäà g 2 Al(�j�), h 2 Al(�j�). Ïîýòîìó g � h 2 Al(�). Àíàëîãè÷íî, g �1 2 Ar(�j�), h �1 2 Ar(�j�). Ïîýòîìó h�1g�1 2 Ar(�) èëè gh 2 A�1r (�). 2) Ïóñòü h 2 Bt(�j�) è g 2 Ht(�j�). Òîãäà g 2 Hl(�j�), h 2 Bl(�j�). Ïîýòîìó g � h 2 Bl(�). Àíàëîãè÷íî, g �1 2 Hr(�j�), h �1 2 Br(�j�). Ïîýòîìó h�1g�1 2 Br(�j�) �Hr(�j�) = Br(�) èëè gh 2 B�1 r (�). Êðîìå òîãî, hg 2 Bl(�) è g�1h�1 2 Hr(�j�) � Br(�j�) = Br(�). Ïîýòîìó hg 2 B�1 r (�). 5. Î÷åâèäíî (ñì. è ñð. [8]). Òåîðåìà äîêàçàíà. Íåêîòîðûå ñâîéñòâà ìíîæåñòâ I0(�) ñîäåðæàòñÿ â ñëåäóþùåì ïðåäëîæå- íèè. Æóðíàë ìàòåìàòè÷åñêîé ôèçèêè, àíàëèçà, ãåîìåòðèè, 2005, ò. 1, � 2 165 Ñ.Ñ. Ãàáðèåëÿí Ïðåäëîæåíèå 3.1. 1. I0(�) ÿâëÿåòñÿ ïîä(ïîëó)ãðóïïîé (ïîëó)ãðóïïû G. 2. Åñëè G � ãðóïïà, òî I0(�) � íîðìàëüíàÿ ïîäãðóïïà â E(�). 3. Åñëè G ìåòðèçóåìà, òî I0(�) çàìêíóòà. Ä î ê à ç à ò å ë ü ñ ò â î. Áóäåì ñ÷èòàòü, ÷òî ìåðà � âåðîÿòíîñòíàÿ. 1) Ïóñòü g1; g2 2 I0(�). Òîãäà, åñëè x 2 Z(g1) \ Z(g2), òî (g1g2) � x = x. Ïîýòîìó �(Z(g1g2)) � �(Z(g1) \ Z(g2)) = 1. Çíà÷èò, g1g2 2 I0(�). Åñëè g � îáðàòèì, òî Z(g) = Z(g�1). Ïîýòîìó g�1 2 I0(�). 2) Ïóñòü g 2 E(�); h 2 I0(�). Ïîêàæåì, ÷òî ghg �1 2 I0(�). Òàê êàê (ghg�1) � x = x, hg�1 � x = g�1 � x, g�1 � x 2 Z(h), x 2 gZ(h); òî Z(ghg�1) = gZ(h). Íî g 2 E(�), ïîýòîìó �(X n gZ(h)) = �g�1(X n Z(h)) = �(X n Z(h)) = 0: 3) Ïóñòü gn ! g0. Òàê êàê x = gn �x! g0 �x, òî \nZ(gn) � Z(g0). Ïîýòîìó �(Z(g0)) = 1 è g0 2 I0(�). Â ñëåäóþùåì ïðåäëîæåíèè ìû êîñíåìñÿ ñâîéñòâ ïëîòíîñòåé ïðè äîïóñòè- ìûõ ïðåîáðàçîâàíèÿõ. Ýòè ðåçóëüòàòû îáîáùàþò àíàëîãè÷íûå óòâåðæäåíèÿ â ñëó÷àå ãèëüáåðòîâà ïðîñòðàíñòâà, ðàññìîòðåííûå â [3, ãë. IV, � 19], (ò.ê. äîêàçàòåëüñòâî íå èçìåíÿåòñÿ, òî îíî îïóùåíî). Äëÿ óïðîùåíèÿ çàïèñè ïî- ëîæèì ��(x; g) � d�g d� (x); H(x) � d� d� (x): Ïðåäëîæåíèå 3.2. Ïóñòü g 2 G � îáðàòèì. Òîãäà: 1) åñëè g; h 2 A(�), òî: ��(x; gh) = ��(x; g) � ��(g �1 � x; h)(mod�); 2) åñëè g 2 E(�), òî: ��(x; g �1) = 1 ��(g � x; g) (mod�); 3) åñëè �� è g 2 A(�), òî: ��(x; g) = H(g�1 � x) H(x) ��(x; g) (mod�). 4. Ðàçëîæåíèå òèïà ðàçëîæåíèÿ Ëåáåãà Îáîçíà÷èì ÷åðåç M� � è M? � ìíîæåñòâà M� � � f� 2M(X) : ��d �g M? � � f� 2M(X) : � ?d �g: Ïðåäëîæåíèå 4.1. M� � è M? � ÿâëÿþòñÿ L-ïîäïðîñòðàíñòâàìè è M� � \ M? � = f0g: 166 Æóðíàë ìàòåìàòè÷åñêîé ôèçèêè, àíàëèçà, ãåîìåòðèè, 2005, ò. 1, � 2 Äîïóñòèìûå ïðåîáðàçîâàíèÿ ìåð Ä î ê à ç à ò å ë ü ñ ò â î. Ïóñòü j�1j � P i �ij�jgi ; j�2j � P j �j j�jhj , òîãäà ja�1 + b�2j � jajj�1j+ jbjj�2j � X i �ij�jgi + X j �j j�jhj : Çíà÷èò, M� � � ïîäïðîñòðàíñòâî. Ïóñòü �i ! � è �i �d �. Åñëè �i �P k ai k j�j g i k (áåç îãðàíè÷åíèÿ îáùíîñòè ìû áóäåì ñ÷èòàòü, ÷òî idX 2 fgi k g ïðè ëþáîì i) è L = ftmg � ïîëóãðóïïà ñ åäèíèöåé â G�, ïîðîæäåííàÿ ýëåìåíòàìè gi k , òîãäà j�ij � X i X k �ia i k j�j g i k � X i �ij�jti : Îòêóäà ñëåäóåò, ÷òî j�j � P i �ij�jti , ò.å. � �d �. Ñëåäîâàòåëüíî, M� � çàìêíóòî. Ïóñòü �i ?d �, i = 1; 2; ò.å. j�ji ? j�jg, 8g 2 G�, i = 1; 2. Òîãäà î÷åâèäíî, ÷òî ja1�1+a2�2j ? j�jg, 8g 2 G�. Çíà÷èò,M? � � ïîäïðîñòðàíñòâî. Åñëè �i ! � è j�j 6? j�jg ïðè íåêîòîðîì g 2 G�, òîãäà, íà÷èíàÿ ñ íåêîòîðîãî i0, j�ij 6? j�jg, ÷òî íåâîçìîæíî. Çíà÷èò, M? � çàìêíóòî. Î÷åâèäíî, ÷òî M� � è M? � ÿâëÿþòñÿ L-ïîäïðîñòðàíñòâàìè è M� � \M? � = f0g: Ïðåäëîæåíèå äîêàçàíî. Äëÿ äîêàçàòåëüñòâà ñëåäóþùåé òåîðåìû, êîòîðóþ ìîæíî ðàññìàòðèâàòü êàê ðàçëîæåíèå Ëåáåãà îòíîñèòåëüíî îòíîøåíèÿ d-ýêâèâàëåíòíîñòè, íàì ïî- íàäîáÿòñÿ ñëåäóþùèå îïåðàòîðû: åñëè � è � � äâå ìåðû è � = �1 + �2, ãäå �1 � �, à �2 ? � � ðàçëîæåíèå Ëåáåãà ìåðû � îòíîñèòåëüíî ìåðû �, òî ïîëîæèì T�(�) = �1: Åñëè g 2 G ôèêñèðîâàíî, òî îïåðàòîð T�(�g) îáîçíà÷èì ÷åðåç T�;g(�). Òåîðåìà 4.1. Ëþáóþ ìåðó � ìîæíî åäèíñòâåííûì îáðàçîì ïðåäñòàâèòü â âèäå � = �1 + �2 ; ãäå �1 ? �2; �1 �d �; �2 ?d �; (4.1) ò.å. M(X) ðàçëàãàåòñÿ â ïðÿìóþ ñóììó M(X) = M� � �M? � : Åñëè G � ãðóïïà, òî ëþáûå ìåðû � è � ìîæíî ïðåäñòàâèòü åäèíñòâåí- íûì îáðàçîì â âèäå � = �1 + �2 � = �1 + �2; ãäå �1 �d �1, a îñòàëüíûå ïàðû ìåð �1 è �2, �1 è �2, �1 è �2, �1 è �2, �2 è �2 � âçàèìíî d-ñèíãóëÿðíû. Æóðíàë ìàòåìàòè÷åñêîé ôèçèêè, àíàëèçà, ãåîìåòðèè, 2005, ò. 1, � 2 167 Ñ.Ñ. Ãàáðèåëÿí Ä î ê à ç à ò å ë ü ñ ò â î. Ïóñòü a = supfkT (�)k, ãäå = P 1 2m j�jgm , gm 2 AP �(j�jjj�j)g. Òàê êàê ìåðà � êîíå÷íà, òî a < 1 è äîñòèãàåòñÿ íà íåêîòîðîé ïîñëåäîâàòåëüíîñòè fgmg. Îáîçíà÷èì ÷åðåç �1 = T (�) è �2 = �� 1. Î÷åâèäíî, ÷òî � = �1 + �2 � èñêîìîå ðàçëîæåíèå. Ïðåäïîëîæèì ÷òîG� ãðóïïà. Ïðåäñòàâèì � â âèäå � = �1+�2, ãäå �2 ?d � è �1 �d �. Ïîêàæåì, ÷òî íàéäåííûå ðàçëîæåíèÿ èñêîìûå. Èç ïîñòðîåíèÿ, î÷åâèäíî, ñëåäóåò, ÷òî íóæíî ïîêàçàòü òîëüêî d-ýêâèâàëåíòíîñòü ìåð �1 è �1, åñëè îíè îòëè÷íû îò íóëÿ. Íî �1 � P i �ij�1jgi + P i �ij�2jgi . Òàê êàê �2 ?d �1, òî �1 � P i �ij�1jgi . Çíà÷èò, �1 �d �1. Àíàëîãè÷íî ìîæíî ïîêàçàòü, ÷òî �1 �d �1. Ïîýòîìó �1 �d �1. Òåîðåìà äîêàçàíà. Ñëåäñòâèå 4.1. Ïóñòü � � t-ýðãîäè÷íà è � � ïðîèçâîëüíàÿ ìåðà. Òîãäà ëèáî ��d �, ëèáî � ?d �. Ä î ê à ç à ò å ë ü ñ ò â î. Ïóñòü � = �1 + �2 � ðàçëîæåíèå (4.1). Åñëè �1 6= 0, òî, ïî îïðåäåëåíèþ t-ýðãîäè÷íîñòè, �2 �d �1 �d �, ò.å. �2 = 0. Ñëåäñòâèå 4.2. Ïóñòü A 2 F(�) è B 2 B, òîãäà ñïðàâåäëèâî ðàçëîæåíèå �jA = �1 + �2 ; ãäå �1 �d �jB � �� 2 è �2 ?d (�� 2): Åñëè G � ãðóïïà, òî ñóùåñòâóþò åäèíñòâåííûå ðàçëîæåíèÿ �jA = �1 + �2 ; �jB = �1 + �2 ; ãäå �1 �d �1, �1 ÿâëÿåòñÿ ÷àñòüþ �1, �jB � ��2 ?d �2, �jA � ��2 ?d �2. Åñëè ê òîìó æå B 2 F(�), òî �1 = �1. Ä î ê à ç à ò å ë ü ñ ò â î. Äîñòàòî÷íî äîêàçàòü, ÷òî 1) �2 ?d (�� 2) è 2) �1 ÿâëÿåòñÿ ÷àñòüþ �1. Ïåðâàÿ ÷àñòü âûòåêàåò èç óòâåðæäåíèÿ (i) åñëè E 2 F(�) è �jE = �1 + �2 ; ãäå �1 ?d �2 ; òî �1 ?d (�� 1 ) (ýòî óòâåðæäåíèå íåòðóäíî äîêàçàòü: ò.ê. �1 ?d �2 è �jE ?d � � �jE , òî �1 ?d (�2 + (�� jE)) = �� 1). Äîêàæåì âòîðóþ ÷àñòü. Èìååì �1 � ÷àñòü � è �1 �d �1. Íî �1 � òîæå ÷àñòü �, ïðè÷åì, ïî óòâåðæäåíèþ (i), �1 ?d (��1). Ïîýòîìó �1 ?d (��1). Çíà÷èò, �1 � �� (�� 1) = �1 è �1 ÿâëÿåòñÿ ÷àñòüþ �1. Îòìåòèì, ÷òî äëÿ ïîëóãðóïïû ïîëó÷èòü ðàçëîæåíèÿ, àíàëîãè÷íûå ñëó- ÷àþ ãðóïïû, íåâîçìîæíî. Ï ð è ì å ð 4.1. Åñëè ïîëîæèòü X = R2 , G = End(X), � � ðàñïðåäåëåíèå Ãàóññà íà X, g � ïðîåêöèÿ íà îñü Ox è � = �g. Òîãäà î÷åâèäíî, ÷òî 1) ��d �, 168 Æóðíàë ìàòåìàòè÷åñêîé ôèçèêè, àíàëèçà, ãåîìåòðèè, 2005, ò. 1, � 2 Äîïóñòèìûå ïðåîáðàçîâàíèÿ ìåð íî � 6�d �; 2) � = �1, à � = �2. Åñëè ïîëîæèòü = � + � è ðàññìîòðåòü ïàðó � è , òî 1 = �, 2 = � è 1 6?d 2. Âîñïîëüçóåìñÿ ðàçëîæåíèåì ìåð � è � â òåîðåìå 4.1 äëÿ óñòàíîâëåíèÿ íåêîòîðûõ ñâîéñòâ ìíîæåñòâ, ââåäåííûõ â îïðåäåëåíèè 2.3 îòíîñèòåëüíî îïå- ðàöèè ñëîæåíèÿ ìåð. Ïðåäëîæåíèå 4.2. 1. Ïóñòü �i, �j 2 M+(X), i = 1; N , j = 1;M , ãäå N è M êîíå÷íû èëè áåñêîíå÷íû. Òîãäà AP 0@ NX i=1 �ij MX j=1 �j 1A = N[ i;j=1 AP (�ij�j); (4.2) â ÷àñòíîñòè, åñëè gi � îáðàòèìû, òî AP NX i=1 �i ! = N[ i;j=1 AP (�ij�j) AP NX i=1 �gi ! = N[ i;j=1 giAP (�)g�1 j : Ôîðìóëà (4.2) îñòàåòñÿ âåðíîé äëÿ ëþáûõ âçàèìíî ñèíãóëÿðíûõ ìåð �i è âçàèìíî ñèíãóëÿðíûõ ìåð �j. 2. Åñëè G � ãðóïïà, �, � 2M+(X) è � = �1+�2, � = �1+�2 � ðàçëîæåíèå ìåð � è � â òåîðåìå 4.1, òî: 1) A(�+ �) = A(�2) \A(�2) \A(�1 + �1); 2) E(�+ �) = E(�2) \E(�2) \E(�1 + �1); 3) I(�+ �) = I(�2) \ I(�2) \ I(�1 + �1). Ä î ê à ç à ò å ë ü ñ ò â î. 1. Îáîçíà÷èì ÷åðåç � = P N i=1 �i, � = P M j=1 �j . Òîãäà g 2 AP (�j�) , �g 6? � , (�i)g 6? �j ïðè íåêîòîðûõ i è j , g 2S N i;j=1AP (�ij�j). ×àñòíûé ñëó÷àé âûòåêàåò èç òåîðåìû 3.2 . 2. Âñå ðàâåíñòâà 1)�3), î÷åâèäíî, âûòåêàþò èç îïðåäåëåíèé �i è �i, i = 1; 2. Ñëåäñòâèå 4.3. Åñëè G � ãðóïïà è AP (�j�) 6= ;, òî ñóùåñòâóåò ñ÷åò- íîå ïîäìíîæåñòâî ýëåìåíòîâ gi 2 AP (�j�) òàêèõ, ÷òî AP (�j�) � [ i giAP (�): Æóðíàë ìàòåìàòè÷åñêîé ôèçèêè, àíàëèçà, ãåîìåòðèè, 2005, ò. 1, � 2 169 Ñ.Ñ. Ãàáðèåëÿí Ä î ê à ç à ò å ë ü ñ ò â î. Òàê êàê ìåðà � � êîíå÷íà, òî íà íåêîòîðîé ïîñëåäîâàòåëüíîñòè gi 2 AP (�j�) àáñîëþòíî íåïðåðûâíàÿ ÷àñòü �1 ìåðû � îòíîñèòåëüíî P i 1 2n �gi îáëàäàåò ñâîéñòâîì AP (�j� � �1) = ;: Ïîýòîìó AP (�j�) = AP (�j�1) � AP (�j X i 1 2n �gi) = [ i giAP (�): Óêàæåì ðàçëîæåíèå ìåðû � îòíîñèòåëüíî ìåðû � ïðè óñëîâèè ÷òî A(�j�) 6= ;. (Îòìåòèì, ÷òî åñëè E(�j�) 6= ; èëè I(�j�) 6= ;, òî ïîäîáíûå ðàçëîæåíèÿ, î÷åâèäíî, òðèâèàëüíû.) Òåîðåìà 4.2. Åñëè A(�j�) 6= ;, òî ìåðó � ìîæíî ïðåäñòàâèòü â âèäå � = �1 + �2; ãäå �1 ? �2; A(�j�) = A(�j�1); A(�j�2) = ;; (i) (íî AP (�j�2), âîîáùå ãîâîðÿ, íå ïóñòî) è ñóùåñòâóåò ïîñëåäîâàòåëüíîñòü gm 2 A(�j�) òàêàÿ, ÷òî �1 = T (�); ãäå = X 1 2m j�gm j (â ÷àñòíîñòè, �1 � ): Ýòî ðàçëîæåíèå ìèíèìàëüíî â òîì ñìûñëå, ÷òî åñëè � = �11 +�12 � ðàç- ëîæåíèå âèäà (i), òî �1 = T�1 (�11 ) (ò.å. � 1 1 = �1+�, ãäå � âçàèìíî ñèíãóëÿðíî ñ �1 è ÿâëÿåòñÿ îãðàíè÷åíèåì ìåðû � íà íåêîòîðîå ìíîæåñòâî). Ä î ê à ç à ò å ë ü ñ ò â î. Îáîçíà÷èì ÷åðåç a = supfkT (�)k, ãäå =P 1 2m j�gm j, gm 2 A(�j�)g. Òàê êàê ìåðà � êîíå÷íà, òî a êîíå÷íî è äîñòèãàåòñÿ íà íåêîòîðîé ïîñëåäîâàòåëüíîñòè fgmg. Îáîçíà÷èì ÷åðåç �1 = T (�), �2 = � � �1 è ïîêàæåì, ÷òî îíè èñêîìûå. Èç ïîñòðîåíèÿ ñðàçó ñëåäóåò, ÷òî A(�j�2) = ;, è åñëè g 2 A(�j�), òî �g � , ò.å. g 2 A(�j ). Òàê êàê �gm � �, òî �gm � �1. Ïîýòîìó � �1 è A(�j ) = A(�j�1), ò.å. A(�j�) � A(�j�1). Îáðàòíîå âêëþ÷åíèå î÷åâèäíî. Ïîêàæåì ìèíèìàëüíîñòü. Åñëè � = �11 +�12 � åùå îäíî òàêîå ðàçëîæåíèå, òî îáÿçàòåëüíî �gm � �11 . Çíà÷èò, �1 � �11 è �1 � T�1 (�11) = 0. Ñëåäñòâèå 4.4. Åñëè A(�j�) = AP (�j�), òî � = �1+�2, ãäå �1 � P 1 2m j�gm j, gm 2 A(�j�), AP (�j�) = A(�j�1) è AP (�j�2) = ;. Ä î ê à ç à ò å ë ü ñ ò â î. Åñëè g 2 AP (�j�2), ò.å. �g 6? �2, òî g 2 AP (�j�) = A(�j�). Ïîýòîìó �g � �1. Çíà÷èò, �2 6? �1. Ïðîòèâîðå÷èå. Åñëè G � ãðóïïà, òî â ñëó÷àå, êîãäà A(�j�) 6= ; è A(�j�) 6= ;, âñå ïàðû ìåð èç �, �1, �, �1 ÿâëÿþòñÿ d-ýêâèâàëåíòíûìè, íî âîçìîæíû ñëó÷àè, êîãäà (�1)g íå ýêâèâàëåíòíà �1 äëÿ ëþáîãî g 2 G. 170 Æóðíàë ìàòåìàòè÷åñêîé ôèçèêè, àíàëèçà, ãåîìåòðèè, 2005, ò. 1, � 2 Äîïóñòèìûå ïðåîáðàçîâàíèÿ ìåð 5. Ïðåîáðàçîâàíèÿ ìåð íà ïðÿìûõ ïðîèçâåäåíèÿõ è ïðîåêòèâíûõ ïðåäåëàõ Â ýòîì ðàçäåëå ìû óñòàíîâèì ñâÿçü ìíîæåñòâ B(�j�) íà ïðÿìûõ ïðîèçâå- äåíèÿõ è ïðîåêòèâíûõ ïðåäåëàõ ñ ñîîòâåòñòâóþùèìè ìíîæåñòâàìè ïðîåêöèé ìåð. Â êà÷åñòâå î÷åâèäíîãî ñëåäñòâèÿ (2.4) ïîëó÷àåì: Ïðåäëîæåíèå 5.1. Ïóñòü (Gi;Xi), i = 1; : : : ; n � (ïîëó)ãðóïïû ïðåîáðà- çîâàíèé, g = (g1; : : : ; gn) 2 G, � = �1 � � � � � �n, � = �1 � � � � � �n è B(�j�) � îäíî èç ìíîæåñòâ I(�j�), E(�j�), A(�j�), AP (�j�). Òîãäà: 1) g 2 B(�j�), gi 2 B(�ij�i), i = 1; : : : ; n; 2) g 2 S(�j�), 9i0 : gi0 2 S(�i0 j�i0). Äëÿ áåñêîíå÷íîãî ïðîèçâåäåíèÿ îòâåò íå ñòîëü ïðîñò è èñïîëüçóåò àëü- òåðíàòèâó Êàêóòàíè [6, 1]. Òåîðåìà 5.1. Ïóñòü � = �1 � �2 � : : : , � = �1 � �2 � : : : � áåñêîíå÷íûå ïðîèçâåäåíèÿ âåðîÿòíîñòíûõ ìåð è g = (g1; g2; : : : ) 2 G0. Òîãäà: 1. g 2 I(�j�), gi 2 I(�ij�i), i = 1; 2; : : : ; 2. g 2 B(�j�), ãäå B(�j�) åñòü îäíî èç ìíîæåñòâ E(�j�), A(�j�), AP (�j�) òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà âûïîëíåíû ñëåäóþùèå óñëîâèÿ: 1) gi 2 B(�ij�i); 2) ïðîèçâåäåíèå Q 1 i=1 R Xi � d(�i)gi d�i � � d�i ñõîäèòñÿ ïðè íåêîòîðîì � 2 (0; 1); 3. g 2 S(�j�) åñëè è òîëüêî åñëè íàðóøàåòñÿ îäíî èç óñëîâèé ï. 2 äëÿ ìíîæåñòâà AP (�j�). Ä î ê à ç à ò å ë ü ñ ò â î. Åñëè E = X1�� Xk�1�Ek�Xk+1� : : : ; Ek 2 Bk, òî �g(E) = (�k)gk(Ek) è �(E) = �k(Ek). Îòñþäà âûòåêàåò ïåðâàÿ ÷àñòü òåîðåìû è íåîáõîäèìîñòü óñëîâèÿ 1) âî âòîðîé ÷àñòè. Åñëè g 2 E(�j�) èëè g 2 A(�j�), òî íåîáõîäèìîñòü è äîñòàòî÷íîñòü óñëî- âèé 1) è 2) ïðåäñòàâëÿþò ñîáîé ñîäåðæàíèå àëüòåðíàòèâû Êàêóòàíè [6, 1]. Ðàññìîòðèì îáùèé ñëó÷àé ñ÷åòíîãî ïðîåêòèâíîãî ïðåäåëà. Ïðÿìûì ñëåä- ñòâèåì òåîðåìû èç [1] ÿâëÿåòñÿ ñëåäóþùàÿ òåîðåìà: Òåîðåìà 5.2. Ïóñòü (G;X) � ïðîåêòèâíûé ïðåäåë (Gi;Xi), i 2 N. Ïóñòü � è � � âåðîÿòíîñòíûå ìåðû íà X, g = (g1; g2; : : : ) 2 G, �i è �i � ïðîåêöèè � è � íà Xi. Òîãäà: Æóðíàë ìàòåìàòè÷åñêîé ôèçèêè, àíàëèçà, ãåîìåòðèè, 2005, ò. 1, � 2 171 Ñ.Ñ. Ãàáðèåëÿí 1. g 2 AP (�j�) òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà âûïîëíÿþòñÿ ñëåäóþùèå óñëîâèÿ: 1) gi 2 AP (�ij�i); 2) ïðè íåêîòîðîì � 2 (0; 1) ïðåäåë limi!1 R Xi � d(�i)gi d�i � � d�i > 0: 2. g 2 A(�j�) òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà âûïîëíÿþòñÿ ñëåäóþùèå óñëî- âèÿ: 1) gi 2 A(�ij�i); 2) R Xi � d(�i)gi d�i � � d�i ! 1 ðàâíîìåðíî ïðè �! 1. 3. g 2 E(�j�) òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà âûïîëíÿþòñÿ ñëåäóþùèå óñëî- âèÿ: 1) gi 2 E(�ij�i); 2) R Xi � d(�i)gi d�i � � d�i ! 1 ðàâíîìåðíî ïðè �! 1 è ïðè �! 0. 4. g 2 I(�j�) òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà gi 2 I(�ij�i). 5. g 2 S(�j�), åñëè è òîëüêî åñëè íàðóøàåòñÿ îäíî èç óñëîâèé ïóíêòà 1. 6. Îòîáðàæåíèÿ ãðóïï ïðåîáðàçîâàíèé Â ýòîì ðàçäåëå (G;X) � òîïîëîãè÷åñêàÿ ïîëóãðóïïà ïðåîáðàçîâàíèé, à âñå ìåðû ÿâëÿþòñÿ ðåãóëÿðíûìè áîðåëåâñêèìè. Â äàííîì ðàçäåëå íàì ïî- íàäîáèòñÿ áîëåå ñëàáîå, ÷åì L-ïîäïðîñòðàíñòâî, ïîíÿòèå. Îïðåäåëåíèå 6.1. Ïóñòü N � M(X). Áóäåì ãîâîðèòü, ÷òî N îáëàäà- åò L-ñâîéñòâîì, åñëè äëÿ ëþáûõ � 2 N è � 2 M(X) òàêèõ, ÷òî � � �, ñóùåñòâóåò 2 N òàêîå, ÷òî � �. Îïðåäåëåíèå 6.2. Ìíîæåñòâî N � M(X) íàçîâåì G-èíâàðèàíòíûì, åñëè �g 2 N äëÿ ëþáûõ g 2 G è � 2 N . Îïðåäåëåíèå 6.3. Ïóñòü N �M(X). Ëîêàëüíûì íîñèòåëåì N íàçîâåì ìíîæåñòâî òåõ x 2 X, ÷òî äëÿ ëþáîé îêðåñòíîñòè U òî÷êè x, ñóùåñòâó- åò ìåðà � 2 N , êîòîðàÿ ñîñðåäîòî÷åíà â U (ò.å. j�j(X nU) = 0). Ëîêàëüíûé íîñèòåëü N îáîçíà÷èì ÷åðåç lsupp(N). Î÷åâèäíî, ÷òî lsupp(N) çàìêíóò. 172 Æóðíàë ìàòåìàòè÷åñêîé ôèçèêè, àíàëèçà, ãåîìåòðèè, 2005, ò. 1, � 2 Äîïóñòèìûå ïðåîáðàçîâàíèÿ ìåð Ïðåäëîæåíèå 6.1. Ïóñòü N � M(X) îáëàäàåò L-ñâîéñòâîì è (p; �) � ìîðôèçì (ïîëó)ãðóïï ïðåîáðàçîâàíèé (G;X) è (H;Y ). Òîãäà: 1. �(N) îáëàäàåò L-ñâîéñòâîì. 2. [�2Nsupp(�) � lsupp(N). 3. Cl(�(lsupp(N))) = lsupp(�(N)). 4. Åñëè N ÿâëÿåòñÿ G-èíâàðèàíòíûì, òî lsupp(N) òàêæå G-èíâàðèàí- òåí. Ä î ê à ç à ò å ë ü ñ ò â î. 1. Ïóñòü � �(�). Òîãäà äëÿ íåêîòîðîé ôóíêöèè f 2 L1(�(�)) è òåîðåìå î çàìåíå ïåðåìåííûõ èìååì (E0) = Z E0 f(y)d�(�)(y) = Z ��1(E0) f(�(x))d�(x) è f(�(x)) 2 L1(�). Çíà÷èò, ñóùåñòâóåò � 2 N òàêîå, ÷òî � � f(�)�. Òîãäà �(�)� . Â ÷àñòíîñòè, åñëè N ÿâëÿåòñÿ L-ïðîñòðàíñòâîì, òî è �(N) ÿâëÿåòñÿ L-ïðîñòðàíñòâîì. 2. Ïóñòü x 2 supp(�) è U � îêðåñòíîñòü x. Òîãäà �jU 6= 0. Çíà÷èò, ñó- ùåñòâóåò 2 N òàêîå, ÷òî � �jU è ñîñðåäîòî÷åíà â U . Ñëåäîâàòåëüíî, x 2 lsupp(N). 3. Ïóñòü y0 2 �(lsupp(N)). Òîãäà äëÿ ëþáîé îêðåñòíîñòè U(y0) ñóùåñò- âóåò � 2 N òàêàÿ, ÷òî � ñîñðåäîòî÷åíà â ��1(U(y0)). Çíà÷èò, �(�) ñîñðåäî- òî÷åíà â U(y0) è y0 2 lsupp(�(N)). Òàê êàê ëîêàëüíûé íîñèòåëü çàìêíóò, òî Cl(�(lsupp(N))) � lsupp(�(N)). Îáðàòíî. Ïóñòü y0 2 lsupp(�(N)). Òîãäà äëÿ ëþáîé îêðåñòíîñòè U(y0) ñóùåñòâóåò ìåðà � = �(�) òàêàÿ, ÷òî supp(�) � U(y0). Èç ïóíêòà 2 ñëåäóåò, ÷òî ñóùåñòâóåò x 2 lsupp(N) \ ��1(U(y0)). Ñëåäîâàòåëüíî, �(x) 2 U(y0) è y0 2 Cl(�(lsupp(N))). 4. Ïóñòü x 2 lsupp(N), g 2 G è V � îêðåñòíîñòü òî÷êè g � x. Ïóñòü U � òàêàÿ îêðåñòíîñòü x, ÷òî g � U � V è ìåðà � 2 N ñîñðåäîòî÷åíà â U . Òîãäà �g 2 N è ñîñðåäîòî÷åíà â g � U 2 V . Çíà÷èò, g � x 2 lsupp(N). Ïðåäëîæåíèå äîêàçàíî. Ç à ì å ÷ à í è å 6.1. Îòìåòèì, ÷òî âêëþ÷åíèå â ï. 2, âîîáùå ãîâî- ðÿ, ñòðîãîå: äëÿ X = G = R è N = fÆrgr2Q î÷åâèäíî, ÷òî lsupp(N) = R, à [�2Nsupp(�) = Q . Êðîìå òîãî, èç âûïîëíåíèÿ ðàâåíñòâà â 2 íå ñëåäóåò, ÷òî N îáëàäàåò L-ñâîéñòâîì. Ïóñòü N = L1(R) + f��g, � 2 R, � âçàèìíî ñèíãóëÿðíà ñ mR Æóðíàë ìàòåìàòè÷åñêîé ôèçèêè, àíàëèçà, ãåîìåòðèè, 2005, ò. 1, � 2 173 Ñ.Ñ. Ãàáðèåëÿí è ��2 � mR. Òîãäà N � ïîäàëãåáðà â M(R), äëÿ êîòîðîé lsupp(N) = R = [�2Nsupp(�). Îäíàêî N , î÷åâèäíî, íå îáëàäàåò L-ñâîéñòâîì. Â ñëåäóþùåé òåîðåìå ìû ñâÿæåì óñëîâèå ñîãëàñîâàííîñòè ñ âêëþ÷åíèÿìè ìíîæåñòâ B(�j�). Òåîðåìà 6.1. Ïóñòü (p; �) � ìîðôèçì èç (G;X) â (H;Y ) è N � M(X) îáëàäàåò L-ñâîéñòâîì. Òîãäà ñëåäóþùèå óòâåðæäåíèÿ ýêâèâàëåíòíû. 1. �(g � x) = p(g) � �(x) ; 8x 2 lsupp(N); 8g 2 G. 2. �(�g) = (�(�))p(g) ; 8� 2 N; 8g 2 G. Ïðè ýòîì âûïîëíåíû ñëåäóþùèå óòâåðæäåíèÿ: 3. p(B(�j�)) � B(�(�)j�(�)) ; 8�; � 2 N , ãäå B(�j�) � îäíî èç ìíîæåñòâ I(:); E(:); A(:) èëè AP (:). 4. p�1(S(�(�)j�(�))) � S(�j�); 8�; � 2 N . 5. Ñïðàâåäëèâû âñå âêëþ÷åíèÿ ïï. 3 è 4. Â ÷àñòíîñòè, p(B(�)) � B(�(�)) è p�1(S(�(�))) � S(�). Êðîìå òîãî, åñëè N ÿâëÿåòñÿ G-èíâàðèàíòíûì, òî âñå óòâåðæäåíèÿ 1�5 ýêâèâàëåíòíû. Ä î ê à ç à ò å ë ü ñ ò â î. 1.) 2. Ïóñòü E 2 BY . Òàê êàê �(�g)(E) = �(g�1(��1(E))) è (�(�))p(g)(E) = �(��1(p(g)�1(E))), òî, ñîãëàñíî ïðåäëîæå- íèþ 6.1 (2), äîñòàòî÷íî ïîêàçàòü ðàâåíñòâî ìíîæåñòâ g�1(��1(E))\ lsupp(N) è ��1(p(g)�1(E)) \ lsupp(N), ÷òî âûòåêàåò èç ñëåäóþùåé âûêëàäêè: z 2 g�1(��1(E)) \ lsupp(N), �(g � z) 2 E è z 2 lsupp(N) , p(g) � �(z) 2 E è z 2 lsupp(N), z 2 ��1(p(g)�1(E)) \ lsupp(N): Ïóñòü ñóùåñòâóþò x0 2 lsupp(N) è g0 2 G, äëÿ êîòîðûõ �(g0 � U) \ p(g0) � �(U) = ; äëÿ íåêîòîðîé îêðåñòíîñòè U òî÷êè x0. Ïóñòü � 2 N ñîñðåäîòî÷åíà â U . Òîãäà: 2.) 1. Ìåðà �(�g0) ñîñðåäîòî÷åíà â �(g0 �U), à (�(�))p(g0) � â p(g0) � �(U). Ïîýòîìó �(�g0) è (�(�))p(g0) � âçàèìíî ñèíãóëÿðíû. Ïðîòèâîðå÷èå. 3.) 1. Åñëè N � G-èíâàðèàíòíî, òî ïîëîæèì � = �g0 2 N . Òîãäà g0 2 I(�j�). Íî �(�) = �(�g0) âçàèìíî ñèíãóëÿðíà ñ (�(�))p(g0). Ïðîòèâîðå÷èå. 2.) 5. Âûòåêàåò èç ñîõðàíåíèÿ îòíîøåíèé 6?;?;� è � ïðè îòîáðàæåíè- ÿõ. Íàïðèìåð, ïóñòü g 2 AP (�j�) è �g 6? �. Òîãäà (�(�))p(g) = �(�g) 6? �(�). Çíà÷èò, p(g) 2 AP (�(�)j�(�)). Âêëþ÷åíèå ï. 4 ñëåäóåò èç âêëþ÷åíèé ï. 3 è ðàâåíñòâà S(�j�) = G nAP (�j�). Òåîðåìà äîêàçàíà. 174 Æóðíàë ìàòåìàòè÷åñêîé ôèçèêè, àíàëèçà, ãåîìåòðèè, 2005, ò. 1, � 2 Äîïóñòèìûå ïðåîáðàçîâàíèÿ ìåð Ç à ì å ÷ à í è å 6.2. Îòìåòèì, ÷òî èç òðåáîâàíèé p(B(�)) � B(�(�)) íå âûòåêàåò óñëîâèÿ ñîãëàñîâàííîñòè. Íàïðèìåð, ïóñòü X = Y = Z, G = AutZ, H = feg, � = id è p âûðîæäåíî. Òîãäà p è � íåñîãëàñîâàíû, îäíàêî p(B(�)) = H = B(�(�)). ßñíî, ÷òî îáðàòíûå âêëþ÷åíèÿ â òåîðåìå 6.1, âîîáùå ãîâîðÿ, íåâåðíû. Ïðåäëîæåíèå 6.2. Ïóñòü N ÿâëÿåòñÿ L-ïðîñòðàíñòâîì è h 2 H np(G). Òîãäà ñëåäóþùèå óòâåðæäåíèÿ ýêâèâàëåíòíû. 1. h 62 B(�(�)j�(�)) ; 8�; � 2 N , ãäå B îáîçíà÷àåò îäíî èç ìíîæåñòâ AP (:), A(:), E(:), I(:). 2. h(�(N)) \ �(N) = ;. Ä î ê à ç à ò å ë ü ñ ò â î. 1.) 2. Åñëè 2 h(�(N))\ �(N), òî ñóùåñòâóþò �; � 2 N òàêèå, ÷òî = (�(�))h = �(�), ò.å. h 2 I(�(�)j�(�)). Ïðîòèâîðå÷èå. 2.) 1. Ïóñòü �1, �2 2 N òàêèå, ÷òî h 2 AP (�(�1)j�(�2)). Ïóñòü i � òàêàÿ ÷àñòü �(�i), ÷òî ( 1)h � 2. Òàê êàê �(N) òàêæå ÿâëÿåòñÿ L-ïðîñòðàíñòâîì, òî i; ( 1)h 2 �(N). Ïîëîæèì �1, �2 2 N òàêèå, ÷òî �(�1) = 1, �(�2) = ( 1)h, òîãäà h 2 I(�(�1)j�(�2)). Åñëè (�(�))h = �(�) = äëÿ �; � 2 N , òî 2 h(�(N)) \ �(N). Äàëüøå ÿñíî. Ñëåäñòâèå 6.1. Åñëè N = M(X) (ò.å. N äîñòàòî÷íî áîëüøîå), òî óñëî- âèÿ 1 è 2 ýêâèâàëåíòíû òîìó, ÷òî h(�(X)) \ �(X) = ;. Ä î ê à ç à ò å ë ü ñ ò â î. Äëÿ ìåð Æx èìååì h(Æx) = (Æx)h = Æh�x 62 �(N) òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà h � x 62 �(X), ò.å. h(�(X)) \ �(X) = ;: Ç à ì å ÷ à í è å 6.3. Îòìåòèì, ÷òî èç èíúåêòèâíîñòè � è óñëîâèÿ ñîãëàñî- âàííîñòè âûòåêàåò èíúåêòèâíîñòü p. Äåéñòâèòåëüíî, ïóñòü g 6= eG òàêîé, ÷òî p(g) = eH . Âûáåðåì x 2 X òàêîé, ÷òî g �x 6= x. Òîãäà �(g �x) = p(g)��(x) = �(x) è � íå èíúåêòèâíî. Ïðèìåíèì òåîðåìó 6.1 äëÿ óñòàíîâëåíèÿ íåêîòîðûõ ñâîéñòâ ìíîæåñòâà äîïóñòèìûõ ñäâèãîâ ïðè ñâåðòêå. Ïðåäâàðèòåëüíî äîêàæåì ëåììó. Ëåììà 6.1. Ïóñòü � � èçìåðèìîå îòîáðàæåíèå èç G � X â X. Òîãäà ñëåäóþùèå óòâåðæäåíèÿ ýêâèâàëåíòíû. 1. �(g; x) = g � x; 8(g; x) 2 G�X: 2. �(�� ) = � � �; 8� 2M(G); 8� 2M(X): Æóðíàë ìàòåìàòè÷åñêîé ôèçèêè, àíàëèçà, ãåîìåòðèè, 2005, ò. 1, � 2 175 Ñ.Ñ. Ãàáðèåëÿí Ä î ê à ç à ò å ë ü ñ ò â î. 1. ) 2. Èç òåîðåìû Ôóáèíè ñëåäóåò �(�� )(E) = Z G � � prX � ��1(E) \ fgg �X �� d�(g): Òàê êàê prX � ��1(E) \ fgg �X � = g�1E, òî �(� � �)(E) = Z G �(g�1E)d�(g) = (� � �)(E): 2. ) 1. Ïóñòü � = Æg; � = Æx: Òîãäà (Æg � Æx)(E) = Z G Æx(h �1E)dÆg(h) = Æx(g �1E); ò.å. Æg � Æx = Æg�x. Ïîýòîìó �(Æg � Æx) = �(Æ(g;x)) = Æ�(g;x) = Æg�x = Æg � Æx: Òàê êàê g è x ïðîèçâîëüíû, òî �(g; x) = g � x. Òåîðåìà 6.2. Ïóñòü B(:) îáîçíà÷àåò îäíî èç ìíîæåñòâ AP (:), A(:), E(:), I(:). Òîãäà: 1. B(�) � B(� � �), 8� 2M+(G), 8� 2M+(X). 2. Åñëè G àáåëåâà è � 2M+(G); � 2M+(X), òî B(�) �B(�) � B(� � �): 3. Åñëè X = G � ãðóïïà, òî Bl(�) � Bl(� � �); Br(�) � Br(� � �): Â ÷àñòíîñòè, åñëè � = ��, òî Al(�) � Et(� � ��). Ä î ê à ç à ò å ë ü ñ ò â î. 1. Îïðåäåëèì äåéñòâèå G íà G�X ñëåäóþùèì îáðàçîì: g � (h; x) := (gh; x) : Ïîëîæèì p = idG. Òîãäà �(g � (h; x)) = �(gh; x) = gh � x = g � (h � x) = p(g) � �(h; x): 176 Æóðíàë ìàòåìàòè÷åñêîé ôèçèêè, àíàëèçà, ãåîìåòðèè, 2005, ò. 1, � 2 Äîïóñòèìûå ïðåîáðàçîâàíèÿ ìåð Çíà÷èò, (p; �) � ìîðôèçì èç (G;G�X) â (G;X). Òîãäà, ïî òåîðåìå 6.1 è ëåììå 6.1, p(B(�� )) � B(� � �). Îñòàëîñü äîêàçàòü ðàâåíñòâî B(� � �) = B(�): Äëÿ E = E1 �E2 2 B(G)� B(X) èìååì g�1E = f(h; x) : (gh; x) 2 E1 �E2g = g�1E1 �E2: Ïîýòîìó (��)g(E1�E2) = �g(E1)��(E2). Òàê êàê ìåðà íà ïðÿìîì ïðîèçâåäå- íèè îäíîçíà÷íî îïðåäåëÿåòñÿ íà ìíîæåñòâàõ âèäà E1�E2, òî (��)g = �g��. Ïîýòîìó B(�� ) = B(�): 2. Ïóñòü (G�G;G�X) � ïðÿìîå ïðîèçâåäåíèå (ïîëó)ãðóïï ïðåîáðàçî- âàíèé. Ïîëîæèì �(t; x) = t � x, p(g; h) = gh. Òîãäà � ((g; h) � (t; x)) = gth � x = gh � (t � x) = p(g; h) � �(t; x); ò.å. (p; �)� ìîðôèçì. Èç ïðåäëîæåíèÿ 5.1 ñëåäóåò, ÷òî B(��) = B(�)�B(�): Ñîãëàñíî òåîðåìå 6.1 è ëåììå 6.1 ìû ïîëó÷èì B(�) � B(�) = p(B(�� )) � B(�(�� )) = B(� � �): 3. Ïåðâîå âêëþ÷åíèå ñëåäóåò èç ï. 1. Âòîðîå äîêàçûâàåòñÿ àíàëîãè÷íî, çàäàâàÿ ïðàâîå äåéñòâèå G íà G�X è G íà X: g � (h; x) = (h; xg�1); g � x = xg�1; p = idG: Ïîñëåäíåå âêëþ÷åíèå ñëåäóåò èç òåîðåìû 3.3. Óñëîâèå êîììóòàòèâíîñòè, êàê ïîêàçûâàåò ñëåäóþùèé ïðèìåð, ñóùåñò- âåííî. Ï ð è ì å ð 6.1. Ïóñòü X = G = SO3 è H1 èH2 � çàìêíóòûå ïîäãðóïïû G, ñîñòîÿùèå èç ìàòðèö âèäà: H1 = 8<: 0@ 1 0 0 t 1 0 0 0 1 1A ; t 2 R 9=; ; H2 = 8<: 0@ 1 0 r 0 1 0 0 0 1 1A ; r 2 R 9=; : Ïîëîæèì � � mH1 ; � � mH2 . Òîãäà � � �(H1H2) = Z G �(x�1H1H2)d�(x) = Z H1 �(x�1H1H2)d�(x) = 1; ò.å. � � � ñîñðåäîòî÷åíà íà H1H2. Äëÿ ëþáîãî h 2 G èìååì (� � �)h(H1H2) = Z H1 �(x�1h�1H1H2)d�(x): Æóðíàë ìàòåìàòè÷åñêîé ôèçèêè, àíàëèçà, ãåîìåòðèè, 2005, ò. 1, � 2 177 Ñ.Ñ. Ãàáðèåëÿí Ýëåìåíòàðíûå âûêëàäêè ïîêàçûâàþò, ÷òî åñëè h 2 H1, òî H2 � x�1h�1H1H2 è (� � �)h � � � �; åñëè h 62 H1, òî ïåðåñå÷åíèå x �1h�1H1H2 \H1 ñîñòîèò íå áîëåå ÷åì èç îäíîãî ýëåìåíòà è (� � �)h ? � � �. Ñëåäîâàòåëüíî, El(� � �) = H1 = El(�). Àíàëîãè÷íî: h(� � �)(H1H2) = Z H1 �(x�1H1H2h)d�(x) = �(H1H2h): Ïðÿìûå âûêëàäêè ïîêàçûâàþò, ÷òî åñëè h 62 H2, òî ïåðåñå÷åíèå H1H2h è H2 ñîñòîèò èç îäíîãî ýëåìåíòà, à åñëè h 2 H2, òî H2 � H1H2h. Ïîýòîìó APl(� � �) = El(� � �) = El(�) = Et(�) = H1 è APr(� � �) = Er(� � �) = Er(�) = Et(�) = H2: Ñëåäîâàòåëüíî, Et(� � �) = feg. Îòìåòèì, ÷òî äëÿ àáåëåâîé ãðóïïû ï. 2 òåîðåìû 6.2 íåñêîëüêî èíà÷å äî- êàçàí â [8]. 7. Ðàçìåð ìíîæåñòâà äîïóñòèìûõ ñäâèãîâ Äîêàæåì àíàëîã òåîðåìû À.Â. Ñêîðîõîäà. Ïðåäëîæåíèå 7.1. Ïóñòü G � ïîëüñêàÿ ëîêàëüíî-êîìïàêòíàÿ ãðóïïà è s îáîçíà÷àåò îäíó èç áóêâ l; r; t. Òîãäà: 1. Åñëè � è � àáñîëþòíî íåïðåðûâíû, òî APs(�j�) îòêðûòî. 2. mG(APs(�j�)) > 0, � 6? mG è � 6? mG. 3. Åñëè mG(As(�j�)) > 0, òî �� mG, � 6? mG è As(�j�) çàìêíóòî. 4. Åñëè mG(Al(�)) > 0, òî �� mG è äëÿ ëþáîãî g òàêîãî, ÷òî �(Al(�)g) > 0 íîñèòåëü îãðàíè÷åíèÿ � íà Al(�)g ÿâëÿåòñÿ çàìêíóòîé ïîëóãðóï- ïîé. Àíàëîãè÷íûå óòâåðæäåíèÿ ñïðàâåäëèâû è äëÿ Ar(�), è At(�). Ä î ê à ç à ò å ë ü ñ ò â î. Áóäåì ñ÷èòàòü ìåðû � è � âåðîÿòíîñòíûìè. 1. Ïóñòü � = fmG è � = FmG: Òîãäà T�(�g)(E) = Z E f(g�1x)�1 fF>0gdmG(x); T�(g�)(E) = Z E f(xg)�1 fF>0gdmG(x); è òðåáóåìîå ñëåäóåò èç íåïðåðûâíîñòè ñäâèãîâ â L1(mG) [4, òåîðåìà 20.4]. 178 Æóðíàë ìàòåìàòè÷åñêîé ôèçèêè, àíàëèçà, ãåîìåòðèè, 2005, ò. 1, � 2 Äîïóñòèìûå ïðåîáðàçîâàíèÿ ìåð 2. Äîêàæåì òîëüêî äëÿ s = l. Ïóñòü âåðîÿòíîñòíàÿ ìåðà m ýêâèâàëåíòíà mG. Åñëè � ? m, òî APl(�j�) = APl(�j�1), ãäå �1 ? m, � � �1 � m. Ïîýòîìó ìîæíî ñ÷èòàòü, ÷òî è � ? m. Âî âòîðîé ÷àñòè áóäåò äîêàçàíî, ÷òî ñóùåñò- âóåò áîðåëåâñêàÿ ôóíêöèÿ �(g; x) òàêàÿ, ÷òî äëÿ ëþáîãî g 2 G è ëþáîãî áîðåëåâñêîãî E ìû èìååì �(g; x) = d�g d� (x); � � ï.â., è òîãäà Z E �(g; x)d�(x) � �g(E): Âûáåðåì áîðåëåâñêîå ìíîæåñòâî E òàê, ÷òîáû �(E) = 1, m(E) = 0: ÒîãäàZ G 8<: Z E �(g; x)d�(x) 9=; dm(g) = Z APl(�j�) kT�;g(�)kdm(g) > 0: Ñ äðóãîé ñòîðîíû, � �m(E) = Z m(g�1E)d�(g) = 0: Òàê êàê � �m � m � m � �; òîZ G 8<: Z E �(g; x)d�(x) 9=; dm(g) � Z G �(g�1E)dm(g) = m � �(E) = 0: Ïðîòèâîðå÷èå. Îáðàòíî. Ïóñòü �1 è �1 � àáñîëþòíî íåïðåðûâíûå ÷àñòè ìåð � è � îòíîñèòåëüíî mG. Òîãäà APl(�1j�1) � APl(�j�) è òðåáóåìîå ñëåäóåò èç ï. 1. 3. Ïóñòü mG(Al(�j�)) > 0: Ïîëîæèì � = �1 + �, ãäå �1 � mG, � ? mG. Î÷åâèäíî, ÷òî Al(�j�) = Al(�1j�)\Al(�j�). Ïîýòîìó mG(Al(�j�)) > 0. Èç ï. 2 ñëåäóåò, ÷òî � = 0. Çàìêíóòîñòü Al(�j�), òàê æå, êàê è â ï. 1, ñëåäóåò èç íåïðåðûâíîñòè ëå- âûõ ñäâèãîâ â L1(mG) [4, òåîðåìà 20.4]. Ïîâòîðèì ñîîòâåòñòâóþùåå ìåñòî â äîêàçàòåëüñòâå ñëåäñòâèÿ 1 â [5]. Â ýòîì ñëó÷àå ôóíêöèÿ g 7! �(g�1E) íåïðå- ðûâíà äëÿ ëþáîãî áîðåëåâñêîãî E. Ïîýòîìó BE = fg 2 G : �(g�1E) = 0g çàìêíóòî. Ïóñòü N = fE 2 B(G) : �(E) = 0g. Òîãäà Al(�j�) = \E2NBE çàìêíóòî. 4. Ïóñòü �(Al(�)g) = g�(Al(�)) > 0: Ïîëîæèì � := g�jAl(�) . Äîêàæåì, ÷òî Al(�) � Al(�): Ïóñòü h 2 Al(�) è �(E) = 0. Òàê êàê hAl(�) � Al(�), òî èç �(E) = �((E \ Al(�)g) = 0 ñëåäóåò, ÷òî �((E \ hAl(�))g) = 0: Òàê êàê h 2 Al(�), òî �h(E) = g�(h �1E \Al(�)) = �h((E \ hAl(�))g) = 0: Æóðíàë ìàòåìàòè÷åñêîé ôèçèêè, àíàëèçà, ãåîìåòðèè, 2005, ò. 1, � 2 179 Ñ.Ñ. Ãàáðèåëÿí Ñëåäîâàòåëüíî, h 2 Al(�). Òàê êàê � ñîñðåäîòî÷åíà íà Al(�) è, ïî ï. 3, Al(�) çàìêíóòî, òî supp� � Al(�). Ïóñòü x; y 2 supp�. Åñëè xy 62 supp�, òî ñóùåñòâóåò îêðåñòíîñòü U òî÷êè y òàêàÿ, ÷òî �(xU) = 0 = �x�1(U). Òàê êàê �x � �, òî � � �x�1 . Ïîýòîìó �(U) = 0. Íî ýòî ïðîòèâîðå÷èò âûáîðó y. Ïðåäëîæåíèå äîêàçàíî. Îòìåòèì, ÷òî èìåííî ï. 4 ÿâëÿåòñÿ îáîáùåíèåì ðåçóëüòàòà À.Â. Ñêîðîõî- äà [2], ò.ê. ñîäåðæèò èíôîðìàöèþ î íîñèòåëå. Â ñëåäóþùåì ïðåäëîæåíèè ìû ðàññìîòðèì �ðàçìåð� El(�) îòíîñèòåëüíî � (ñð. ñ òåîðåìîé 1 èç [8]). Ïðåäëîæåíèå 7.2. Ïóñòü G � ñòàíäàðòíàÿ ãðóïïà. Òîãäà: 1. Ëèáî �(El(�)g) � 0, ëèáî El(�) äîïóñêàåò ëîêàëüíî-êîìïàêòíóþ òî- ïîëîãèþ è äëÿ ëþáîãî g 2 G òàêîãî, ÷òî �(El(�)g) > 0, îãðàíè÷åíèå g� = � � Æg íà El(�) ýêâèâàëåíòíî ìåðå Õààðà íà El(�). 2. Ëèáî �(g�1Er(�)) � 0, ëèáî Er(�) äîïóñêàåò ëîêàëüíî-êîìïàêòíóþ òî- ïîëîãèþ è äëÿ ëþáîãî g 2 G òàêîãî, ÷òî �(g�1Er(�)) > 0, îãðàíè÷åíèå �g = Æg � � íà Er(�) ýêâèâàëåíòíî ìåðå Õààðà íà Er(�). Ä î ê à ç à ò å ë ü ñ ò â î. 1. Ïóñòü �(El(�)g) = g�(El(�)) > 0. Ïî òåîðåìå 3.3, El(g�) = El(�). Òàê êàê îãðàíè÷åíèå g� íà El(�) ÿâëÿåòñÿ ëåâîêâàçèèíâàðèàíòíûì, òî òðåáóåìîå ñëåäóåò èç òåîðåìû Mackey�Weil [7]. 2. Äîêàçûâàåòñÿ àíàëîãè÷íî. Ç à ì å ÷ à í è å 7.1. Äîêàçàííûå ïðåäëîæåíèÿ õîðîøî èëëþñòðèðóåò ìåðà � íà ïëîñêîñòè, ñîñðåäîòî÷åííàÿ íà äâóõ ïàðàëëåëüíûõ îñè Ox ïðÿìûõ, íà êîòîðûõ îíà ýêâèâàëåíòíà ìåðå Ëåáåãà. References [1] S.S. Gabriyelyan, On absolutely continuity and singularity of probability measures. � Ukr. Mat. Zh. (2005). (Russian) (To be published) [2] A.V. Skorohod, On admissible translations of measures in Hilbert space. � Theory Probab. Appl. 15 (1970), No. 4, 577�598. [3] A.V. Skorohod, Integration in Hilbert space. Nauka, Moscow, 1975. (Russian) [4] E. Hewitt and K. Ross, Abstract harmonic analysis. V. 1. Academic Press, New York, 1963. [5] P.L. Brockett, Admissible transformations of measures. � Semigroup Forum 12 (1976), 21�33. 180 Æóðíàë ìàòåìàòè÷åñêîé ôèçèêè, àíàëèçà, ãåîìåòðèè, 2005, ò. 1, � 2 Äîïóñòèìûå ïðåîáðàçîâàíèÿ ìåð [6] S. Kakutani, On equivalence of in�nite product measures. � Ann. Math. 49 (1948), 214�224. [7] G.W. Mackey, Borel structure in groups and their duals. � Trans. Amer. Math. Soc. 85 (1957), 134�165. [8] Y. Okazaki, Admissible translates of measures on a topological group. � Mem. Fac. Sci. Kyushu Univ. A34 (1980), 79�88. [9] T.S. Pitcher, The admissible mean values of stochastic process. � Trans. Amer. Math. Soc. 108 (1980), 538�546. Admissible transformations of measures S.S. Gabriyelyan Kharkov National Technic University �KPI� 21 Frunze Str., Kharkov, 61002, Ukraine E-mail:gabrss@kpi.kharkov.ua Received September 2, 2004 Let a topological semigroup G acts on a topological space X . A transfor- mation g 2 G is called an admissible (partially admissible, singular, equiva- lent, invariant) transform for � relative to � if �g � � (accordingly: �g 6? �, �g ? �, �g � �, �g = c � �), where �g(E) := �(g�1E). We denote its collection by A(�j�) (accordingly: AP (�j�), S(�j�), E(�j�), I(�j�)). The algebraic and the measure theoretical properties of these sets are studied. It is done the Lebesgue-type decomposition. If G = X is a locally compact group, we give some informations about the measure theoretical size of A(�). Mathematics Subject Classi�cation 2000: 28C99, 37A99. Key words: topological G-space, measure, admissible transformation, Lebesgue-type decomposition. Æóðíàë ìàòåìàòè÷åñêîé ôèçèêè, àíàëèçà, ãåîìåòðèè, 2005, ò. 1, � 2 181

Допустимые преобразования мер

Репозитарії

Схожі ресурси