Уточнения аналога изопериметрического неравенства и теорема устойчивости его экстремального решения
Gespeichert in:
| Datum: | 2005 |
|---|---|
| 1. Verfasser: | |
| Format: | Artikel |
| Sprache: | Russian |
| Veröffentlicht: |
Фізико-технічний інститут низьких температур ім. Б.І. Вєркіна НАН України
2005
|
| Schriftenreihe: | Журнал математической физики, анализа, геометрии |
| Online Zugang: | http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/106572 |
| Tags: |
Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Zitieren: | Уточнения аналога изопериметрического неравенства и теорема устойчивости его экстремального решения / В.И. Дискант // Журнал математической физики, анализа, геометрии. — 2005. — Т. 1, № 2. — С. 181-191. — Бібліогр.: 8 назв. — рос. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
irk-123456789-106572 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
irk-123456789-1065722016-10-01T03:02:11Z Уточнения аналога изопериметрического неравенства и теорема устойчивости его экстремального решения Дискант, В.И. 2005 Article Уточнения аналога изопериметрического неравенства и теорема устойчивости его экстремального решения / В.И. Дискант // Журнал математической физики, анализа, геометрии. — 2005. — Т. 1, № 2. — С. 181-191. — Бібліогр.: 8 назв. — рос. 1812-9471 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/106572 ru Журнал математической физики, анализа, геометрии Фізико-технічний інститут низьких температур ім. Б.І. Вєркіна НАН України |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| language |
Russian |
| format |
Article |
| author |
Дискант, В.И. |
| spellingShingle |
Дискант, В.И. Уточнения аналога изопериметрического неравенства и теорема устойчивости его экстремального решения Журнал математической физики, анализа, геометрии |
| author_facet |
Дискант, В.И. |
| author_sort |
Дискант, В.И. |
| title |
Уточнения аналога изопериметрического неравенства и теорема устойчивости его экстремального решения |
| title_short |
Уточнения аналога изопериметрического неравенства и теорема устойчивости его экстремального решения |
| title_full |
Уточнения аналога изопериметрического неравенства и теорема устойчивости его экстремального решения |
| title_fullStr |
Уточнения аналога изопериметрического неравенства и теорема устойчивости его экстремального решения |
| title_full_unstemmed |
Уточнения аналога изопериметрического неравенства и теорема устойчивости его экстремального решения |
| title_sort |
уточнения аналога изопериметрического неравенства и теорема устойчивости его экстремального решения |
| publisher |
Фізико-технічний інститут низьких температур ім. Б.І. Вєркіна НАН України |
| publishDate |
2005 |
| url |
http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/106572 |
| citation_txt |
Уточнения аналога изопериметрического неравенства и теорема устойчивости его экстремального решения / В.И. Дискант // Журнал математической физики, анализа, геометрии. — 2005. — Т. 1, № 2. — С. 181-191. — Бібліогр.: 8 назв. — рос. |
| series |
Журнал математической физики, анализа, геометрии |
| work_keys_str_mv |
AT diskantvi utočneniâanalogaizoperimetričeskogoneravenstvaiteoremaustojčivostiegoékstremalʹnogorešeniâ |
| first_indexed |
2025-07-07T18:39:31Z |
| last_indexed |
2025-07-07T18:39:31Z |
| _version_ |
1837014526394892288 |
| fulltext |
Æóðíàë ìàòåìàòè÷åñêîé ôèçèêè, àíàëèçà, ãåîìåòðèè
2005, ò. 1, � 2, c. 182�191
Óòî÷íåíèÿ àíàëîãà èçîïåðèìåòðè÷åñêîãî íåðàâåíñòâà
è òåîðåìà óñòîé÷èâîñòè åãî ýêñòðåìàëüíîãî ðåøåíèÿ
Â.È. Äèñêàíò
×åðêàññêèé ãîñóäàðñòâåííûé òåõíîëîãè÷åñêèé óíèâåðñèòåò
áóëüâ. Øåâ÷åíêî, 460, ×åðêàññû, 18006, Óêðàèíà
E-mail:diskant@chiti.uch.net
diskant@chstu.cherkassy.ua
Ñòàòüÿ ïîñòóïèëà â ðåäàêöèþ 29 äåêàáðÿ 2004 ã.
Äîêàçàíî ñëåäóþùåå íåðàâåíñòâî:
V
n=(n�m)
m (A;B)� V m=(n�m)(B)V (A) � (V
1=(n�m)
m (A;B)
��V 1=(n�m)(B))n � V m=(n�m)(B)V (A
��(B)); 0 � � � q;
åãî ñëåäñòâèÿ è òåîðåìà óñòîé÷èâîñòè ðåøåíèÿ X óðàâíåíèÿ V n
m
(X;B)�
V m(B)V n�m(X) = 0 ïðè V (X) = V (B). Â ïðèâåäåííîì íåðàâåíñòâå
V (A), V (B) � îáúåìû âûïóêëûõ òåë A è B â Rn (n � 2), Vm(A;B) �
m-é ñìåøàííûé îáúåì òåë A è B, 1 � m � n � 1, q � êîýôôèöèåíò
âìåñòèìîñòè òåëà B â òåëî A, A
��(B) � âíóòðåííåå òåëî, ïàðàëëåëüíîå
òåëó A îòíîñèòåëüíî B ñ êîýôôèöèåíòîì �.
Äîâåäåíî íàñòóïíó íåðiâíiñòü:
V
n=(n�m)
m (A;B)� V m=(n�m)(B)V (A) � (V
1=(n�m)
m (A;B)
��V 1=(n�m)(B))n � V m=(n�m)(B)V (A
��(B)); 0 � � � q;
¨ ¨ íàñëiäêè i òåîðåìó ñòiéêîñòi ðîçâ'ÿçêó X ðiâíÿííÿ V n
m
(X;B)�
V m(B)V n�m(X) = 0 ïðè V (X) = V (B). Ó íàâåäåíié íåðiâíîñòi V (A),
V (B) � îá'¹ìè îïóêëèõ òië A i B â Rn (n � 2), Vm(A;B) � m-é ìiøàíèé
îá'¹ì òië A i B, 1 � m � n � 1, q � êîåôiöi¹íò ìiñòêîñòi òiëà B â
òiëî A, A
��(B) � âíóòðiøí¹ òiëî, ÿêå ïàðàëåëüíå òiëó A âiäíîñíî B ç
êîåôiöi¹íòîì �.
Mathematics Subject Classi�cation 2000: 52A38, 52A40.
Êëþ÷åâûå ñëîâà: èçîïåðèìåòðè÷åñêîå íåðàâåíñòâî, àíàëîã èçîïåðèìåòðè÷åñêîãî
íåðàâåíñòâà, óñòîé÷èâîñòü ýêñòðåìàëüíîãî ðåøåíèÿ ãåîìåòðè÷åñêîãî íåðàâåíñòâà.
Âûïóêëûì òåëîì â n-ìåðíîì åâêëèäîâîì ïðîñòðàíñòâå Rn (n � 2) áóäåì
íàçûâàòü çàìêíóòîå îãðàíè÷åííîå âûïóêëîå ìíîæåñòâî Rn. Âûïóêëîå òåëî,
ñîäåðæàùåå âíóòðåííèå òî÷êè, áóäåì íàçûâàòü ñîáñòâåííûì.
c
Â.È. Äèñêàíò, 2005
Óòî÷íåíèÿ àíàëîãà èçîïåðèìåòðè÷åñêîãî íåðàâåíñòâà ...
Ïóñòü H1;H2; : : : ;Hs � âûïóêëûå òåëà â R
n, �1; �2; : : : ; �s � íåîòðèöà-
òåëüíûå ÷èñëà. Ã. Ìèíêîâñêèé ââåë â ðàññìîòðåíèå ëèíåéíóþ êîìáèíàöèþ
òåë H1;H2; : : : ;Hs ñ êîýôôèöèåíòàìè �1; �2; : : : ; �s ñëåäóþùèì îáðàçîì. Ïî-
ëàãàÿ, ÷òî â R
n âûáðàíî íà÷àëî êîîðäèíàò, ðàññìîòðèì ìíîæåñòâî H âñåõ
òàêèõ òî÷åê R
n, êîòîðûå ÿâëÿþòñÿ êîíöàìè ðàäèóñ-âåêòîðîâ âèäà �1�x1 +
�2�x2+ � � �+�s�xs, ãäå �x1; �x2; : : : ; �xs � ðàäèóñ-âåêòîðû òî÷åê òåë H1;H2; : : : ;Hs
ñîîòâåòñòâåííî. Íàçîâåì H ëèíåéíîé êîìáèíàöèåé òåë H1;H2; : : : ;Hs ñ êîýô-
ôèöèåíòàìè �1; �2; : : : ; �s è ïîëîæèì H = �1H1 + �2H2 + � � � + �sHs. Ìîæíî
ïîêàçàòü, ÷òî H � âûïóêëîå òåëî â Rn, à èçìåíåíèå ïîëîæåíèÿ íà÷àëà êî-
îðäèíàò â Rn âëå÷åò ïàðàëëåëüíûé ïåðåíîñ òåëà H [1, ñ. 78].
Ã. Ìèíêîâñêèé ïîêàçàë [2, ñ. 59], ÷òî îáúåì V (H) òåëà H =
sP
i=1
�iHi
ÿâëÿåòñÿ îäíîðîäíûì ìíîãî÷ëåíîì ñòåïåíè n îòíîñèòåëüíî ïåðåìåííûõ
�1, �2; : : : ; �s, ò.å.
V (H) =
sX
i1=1
sX
i2=1
: : :
sX
in=1
Vi1i2:::in�i1�i2 : : : �in ; (1)
ãäå èíäåêñû i1; i2; : : : ; in ïðèíèìàþò íåçàâèñèìî äðóã îò äðóãà çíà÷åíèÿ îò
1 äî s, à êîýôôèöèåíòû Vi1i2:::in îäíîçíà÷íî îïðåäåëÿþòñÿ òðåáîâàíèåì: îíè
íå äîëæíû çàâèñåòü îò ïîðÿäêà èíäåêñîâ. Òîãäà êîýôôèöèåíò Vi1i2:::in ìíîãî-
÷ëåíà (1) çàâèñèò òîëüêî îò òåë Hi1
;Hi2
; : : : ;Hin è îïðåäåëÿåòñÿ îäíîçíà÷íî
çàäàíèåì ýòèõ òåë. Êîýôôèöèåíò Vi1i2:::in íàçûâàåòñÿ ñìåøàííûì îáúåìîì
òåë Hi1
;Hi2
; : : : ;Hin è îáîçíà÷àåòñÿ ÷åðåç V (Hi1
;Hi2
; : : : ;Hin).
 ñëó÷àå, åñëè H = �1H1 + �2H2, èç (1) èìååì
V (H) = V (�1H1 + �2H2) =
nX
m=0
C
m
n
Vn�m(H1;H2)�
m
1 �
n�m
2 ; (2)
ãäå Vn�m(H1;H2) = V (H1; : : : ;H1| {z }
m
;H2; : : : ;H2| {z }
n�m
).
Ïóñòü òåïåðü A è B � âûïóêëûå òåëà â R
n. Äëÿ îáúåìà òåëà A�(B) =
A+ �B, � � 0, � âíåøíåãî òåëà, ïàðàëëåëüíîãî òåëó A îòíîñèòåëüíî òåëà B
ñ êîýôôèöèåíòîì � [3, ñ. 209], èç (2) ñëåäóåò ôîðìóëà Ìèíêîâñêîãî
V (A�(B)) = V (A+ �B) =
nX
m=0
C
m
n Vm(A;B)�m; (3)
â êîòîðîé Vm(A;B) = V (A; : : : ; A| {z }
n�m
; B; : : : ; B| {z }
m
) � m-é ñìåøàííûé îáúåì òåë
A è B.
Åñëè â (3) ïîëîæèòü B = E, ãäå E � åäèíè÷íûé øàð R
n, òî (3) ïðåîá-
ðàçóåòñÿ â ôîðìóëó Øòåéíåðà [4, ñ. 57]. Èçâåñòíî, ÷òî â ôîðìóëå Øòåéíåðà
Æóðíàë ìàòåìàòè÷åñêîé ôèçèêè, àíàëèçà, ãåîìåòðèè, 2005, ò. 1, � 2 183
Â.È. Äèñêàíò
êîýôôèöèåíò ïðè � ðàâåí F (A), ãäå F (A) � ïëîùàäü ïîâåðõíîñòè òåëà A.
Ýòî ïðèâîäèò ê ðàâåíñòâó F (A) = nV1(A;E). Ïîýòîìó âåëè÷èíó nV1(A;B)
íàçûâàþò ïëîùàäüþ ïîâåðõíîñòè òåëà A îòíîñèòåëüíî òåëà B è îáîçíà÷àþò
÷åðåç F (A;B) [5, ñ. 100].
Îòíîñèòåëüíîå èçîïåðèìåòðè÷åñêîå íåðàâåíñòâî äëÿ òåë A è B â Rn èìååò
âèä
F
n(A;B)� n
n
V (B)V n�1(A) � 0: (4)
Íåðàâåíñòâî (4) ðàâíîñèëüíî ïåðâîìó íåðàâåíñòâó Ìèíêîâñêîãî äëÿ ñìå-
øàííûõ îáúåìîâ [4, ñ. 113]
�1(A;B) = V
n
1 (A;B)� V (B)V n�1(A) � 0: (5)
Çíàê ðàâåíñòâà â (5) äëÿ ñîáñòâåííûõ âûïóêëûõ òåë A è B èìååò ìåñòî òîãäà
è òîëüêî òîãäà, êîãäà A è B ïîëîæèòåëüíî ãîìîòåòè÷íû.
 íàñòîÿùåé ðàáîòå ïîä èçîïåðèìåòðè÷åñêèì íåðàâåíñòâîì áóäåì ïîíè-
ìàòü íåðàâåíñòâî (5).
Íåðàâåíñòâî
�m(A;B) = V
n
m(A;B)� V
m(B)V n�m(A) � 0; 2 � m � n� 1; (6)
íàçûâàåòñÿ m-ì àíàëîãîì èçîïåðèìåòðè÷åñêîãî íåðàâåíñòâà. Çíàê ðàâåíñòâà
â (6) äëÿ ñîáñòâåííûõ âûïóêëûõ òåë A è B èìååò ìåñòî òîãäà è òîëüêî òîãäà,
êîãäà A è B ïîëîæèòåëüíî ãîìîòåòè÷íû [5, ñ. 104].
Îòìåòèì, ÷òî (6) ÿâëÿåòñÿ ñëåäñòâèåì îáùåãî íåðàâåíñòâà À.Ä. Àëåêñàíä-
ðîâà äëÿ ñìåøàííûõ îáúåìîâ âûïóêëûõ òåë [6, ñ. 1220]
V
k(H1; : : : ;Hn) �
kY
i=1
V (Hi; : : : ;Hi;Hk+1; : : : ;Hn); (7)
åñëè â íåì ïîëîæèòü
k = n;H1 = : : : = Hn�m = A;Hn�m+1 = : : : = Hn = B; 2 � m � n� 1:
 ðàáîòå ïîä àíàëîãîì èçîïåðèìåòðè÷åñêîãî íåðàâåíñòâà áóäåì ïîíèìàòü
íåðàâåíñòâî �m(A;B) � 0 ïðè 1 � m � n�1, âêëþ÷èâ òåì ñàìûì (5) â ÷èñëî
ñâîèõ àíàëîãîâ. Êðîìå òîãî, çàìåòèì, ÷òî íåðàâåíñòâî
�m;k(A;B) = V
n
k
m (A;B)� V
m
k (B)V
n�m
k (A) � 0
ðàâíîñèëüíî íåðàâåíñòâó �m(A;B) � 0 ïðè ëþáîì íàòóðàëüíîì k è
�m(B;A) = �n�m(A;B). Ïîýòîìó óòî÷íåíèÿ íåðàâåíñòâ �m;k(A;B) � 0 è
�m;k(B;A) � 0 ïðè 1 � m � n�1 òàêæå áóäåì íàçûâàòü óòî÷íåíèÿìè àíàëîãà
184 Æóðíàë ìàòåìàòè÷åñêîé ôèçèêè, àíàëèçà, ãåîìåòðèè, 2005, ò. 1, � 2
Óòî÷íåíèÿ àíàëîãà èçîïåðèìåòðè÷åñêîãî íåðàâåíñòâà ...
èçîïåðèìåòðè÷åñêîãî íåðàâåíñòâà. Âåëè÷èíó �m;k(A;B) áóäåì íàçûâàòü m-ì
àíàëîãîì èçîïåðèìåòðè÷åñêîé ðàçíîñòè.
Ïóñòü q = q(A;B) � êîýôôèöèåíò âìåñòèìîñòè òåëà B â òåëî A, ò.å. íàè-
áîëüøåå èç ÷èñåë � òàêèõ, ÷òî òåëî �B ïàðàëëåëüíûì ñäâèãîì ïîìåùàåòñÿ
â òåëî A, Q = Q(A;B) � êîýôôèöèåíò îõâàòà òåëà A òåëîì B, ò.å. íàè-
ìåíüøåå èç ÷èñåë � òàêèõ, ÷òî òåëî A ïàðàëëåëüíûì ñäâèãîì ïîìåùàåòñÿ â
òåëå �B. Â [5, ñ. 101] äëÿ ñîáñòâåííûõ âûïóêëûõ òåë A è B ïðè ëþáîì m
(1 � m � n � 1) äîêàçàíû ñëåäóþùèå óòî÷íåíèÿ àíàëîãà èçîïåðèìåòðè÷åñ-
êîãî íåðàâåíñòâà:
�m;n�m(A;B) = V
n
n�m
m (A;B)� V
m
n�m (B)V (A)
� (V
1
n�m
m (A;B)� qV
1
n�m (B))n;
(8)
�m;n�m(B;A) = V
n
n�m
m (B;A)� V
m
n�m (A)V (B)
� (V
1
n�m
m (B;A)� 1
Q
V
1
n�m (A))n:
(9)
Îáîçíà÷èì ÷åðåç A=B ðàçíîñòü Ìèíêîâñêîãî âûïóêëûõ òåë A è B â Rn
[3, ñ. 202]. Òåëî A
��(B) = A=(�B); 0 � � � q, íàçûâàåòñÿ âíóòðåííèì òåëîì,
ïàðàëëåëüíûì òåëó A îòíîñèòåëüíî òåëà B ñ êîýôôèöèåíòîì � [3, ñ. 209].
 íàñòîÿùåé ðàáîòå äëÿ ñîáñòâåííûõ òåë A è B ïðè ëþáîì m (1 � m �
n � 1) áóäåò äîêàçàíî ñëåäóþùåå óòî÷íåíèå àíàëîãà èçîïåðèìåòðè÷åñêîãî
íåðàâåíñòâà:
�m;n�m(A;B) � (V
1
n�m
m (A;B)� �V
1
n�m (B))n � V
m
n�m (B)V (A
��(B)); (10)
åãî ñëåäñòâèÿ
�m;n�m(A;B) � �m;n�m(A��(B); B); (11)
�m;n�m(A;B) � (V
1
n�m
m (A;B)� qV
1
n�m (B))n � V
n
n�m
m (A
�q(B); B); (12)
�m;n�m(B;A) � (V
1
n�m
m (B;A)�
1
Q
V
1
n�m (A))n � V
n
n�m
m (B
�
1
Q
(A); A) (13)
è òåîðåìà óñòîé÷èâîñòè ýêñòðåìàëüíîãî ðåøåíèÿ íåðàâåíñòâà �m(X;B) � 0,
óäîâëåòâîðÿþùåãî óñëîâèþ V (X) = V (B).
Ä î ê à ç à ò å ë ü ñ ò â î í å ð à â å í ñ ò â à (10). Â [7, ñ. 45] äëÿ ñîáñòâåí-
íûõ âûïóêëûõ òåë A è B äîêàçàíî, ÷òî
dV (A
��(B))
d�
= �nV1(A��(B); B); � 2 (0; q):
Æóðíàë ìàòåìàòè÷åñêîé ôèçèêè, àíàëèçà, ãåîìåòðèè, 2005, ò. 1, � 2 185
Â.È. Äèñêàíò
Èíòåãðèðóÿ ýòî ðàâåíñòâî íà ïðîìåæóòêå [0; �], 0 � � � q, è ó÷èòûâàÿ, ÷òî
Ao(B) = A, ïîëó÷èì
V (A)� V (A
��(B)) = n
�Z
0
V1(A��(B); B)d� : (14)
Ïîëàãàÿ â îáùåì íåðàâåíñòâå À.Ä. Àëåêñàíäðîâà (7) k = n � 1, H1 = : : : =
Hn�m = A, Hn�m+1 = : : : = Hn = B, ïðèäåì ê íåðàâåíñòâó
V
n�1
m
(A;B) � V
m�1(B)V n�m
1 (A;B):
Çàìåíÿÿ â ïîñëåäíåì íåðàâåíñòâå A íà A
��(B) è ó÷èòûâàÿ, ÷òî V (B) > 0,
ïîëó÷èì ñëåäóþùóþ îöåíêó ñâåðõó äëÿ V1(A��(B); B):
V1(A��(B); B) � [V
1
n�m
m (A
��(B); B)]n�1=V
m�1
n�m (B) (15)
ïðè 1 � m � n� 1.
Ñîãëàñíî îáùåé òåîðåìå Áðóííà [2, ñ. 67] ôóíêöèÿ f(t) = V
1
n�m
m (Ct; B)
(ãäå Ct = (1 � t)K + tL, K è L � âûïóêëûå òåëà â Rn, 0 � m � n � 1) ïðè
t 2 [0; 1] âûïóêëà ââåðõ. Èç ýòîé òåîðåìû ñëåäóåò
V
1
n�m
m (A
��(B) + �B;B) � V
1
n�m
m (A
��(B); B) + �V
1
n�m (B): (16)
Òàê êàê ðàçíîñòü Ìèíêîâñêîãî D = K=L âûïóêëûõ òåë K è L ÿâëÿåòñÿ
ìíîæåñòâîì âñåõ òàêèõ òî÷åê d 2 R
n, äëÿ êàæäîé èç êîòîðûõ d+ L � K, òî
èç ðàâåíñòâà A
��(B) = A=(�B) âûòåêàåò, ÷òî A
��(B) + �B � A. Èç ýòîãî
âêëþ÷åíèÿ è ñâîéñòâà ìîíîòîííîñòè ñìåøàííîãî îáúåìà ïî êàæäîìó èç ñâîèõ
àðãóìåíòîâ [4, ñ. 49] èìååì
V
1
n�m
m (A
��(B) + �B;B) � V
1
n�m
m (A;B):
Ñëåäñòâèåì ïîñëåäíåãî íåðàâåíñòâà è íåðàâåíñòâà (16) ÿâëÿåòñÿ íåðà-
âåíñòâî
V
1
n�m
m (A
��(B); B) � V
1
n�m
m (A;B)� �V
1
n�m (B): (17)
Ïîäñòàâëÿÿ ýòó îöåíêó ñâåðõó äëÿ V
1
n�m
m (A
��(B); B) ëèíåéíîé ôóíêöèåé
îò � â (15), à çàòåì ïîëó÷åííóþ îöåíêó äëÿ V1(A��(B); B) â (14), ïðèäåì ê
íåðàâåíñòâó
V (A)� V (A
��(B)) �
n
V
m�1
n�m (B)
�Z
0
(V
1
n�m
m (A;B)� �V
1
n�m (B))n�1d�:
186 Æóðíàë ìàòåìàòè÷åñêîé ôèçèêè, àíàëèçà, ãåîìåòðèè, 2005, ò. 1, � 2
Óòî÷íåíèÿ àíàëîãà èçîïåðèìåòðè÷åñêîãî íåðàâåíñòâà ...
Ïîñëåäíåå íåðàâåíñòâî, ïîñëå èíòåãðèðîâàíèÿ åãî ïðàâîé ÷àñòè, ñîâïàäàåò
ñ íåðàâåíñòâîì (10).
Ä î ê à ç à ò å ë ü ñ ò â î í å ð à â å í ñ ò â à (11). Ïîëàãàÿ â (17) � = �,
ïðèäåì ê íåðàâåíñòâó
V
1
n�m
m (A;B)� �V
1
n�m (B) � V
1
n�m
m (A
��(B); B); (18)
êîòîðîå ÿâëÿåòñÿ îöåíêîé ñíèçó äëÿ îñíîâàíèÿ ñòåïåíè â ïðàâîé ÷àñòè (10).
Ïðèìåíåíèå ýòîé îöåíêè ïðèâîäèò ê (11). Çàìåòèì, ÷òî èç íåðàâåíñòâà (11)
ñëåäóåò óòâåðæäåíèå: m-é àíàëîã èçîïåðèìåòðè÷åñêîé ðàçíîñòè ïðè ïåðåõîäå
îò òåëà A ê A
��(B) � âíóòðåííåìó òåëó, ïàðàëëåëüíîìó òåëó A îòíîñèòåëüíî
B ñ êîýôôèöèåíòîì �, íå óâåëè÷èâàåòñÿ.
Ä î ê à ç à ò å ë ü ñ ò â î í å ð à â å í ñ ò â à (12). Èç (10) è (18) èìååì
�m;n�m(A;B) � (V
1
n�m
m (A;B)� �V
1
n�m (B))n � V
m
n�m (B)V (A
��(B))
� V
n
n�m
m (A
��(B); B)� V
m
n�m (B)V (A
��(B)):
Ïîëàãàÿ â ïîñëåäíèõ íåðàâåíñòâàõ � = q è ó÷èòûâàÿ, ÷òî V (A
�q(B)) = 0,
ïðèäåì ê íåðàâåíñòâó (12).
Ç à ì å ÷ à í è å. Íåðàâåíñòâî (12) ðàâíîñèëüíî íåðàâåíñòâó
V
1
n�m
m (A;B)� (�m;n�m(A;B))
1
n
V
1
n�m (B)
� q �
V
1
n�m
m (A;B)� V
1
n�m
m (A
�q(B); B)
V
1
n�m (B)
;
(19)
â êîòîðîì âûïèñàíû îöåíêè äëÿ q. Îöåíêè äëÿ q ìîæíî ïîëó÷èòü è èç (8),
åñëè ó÷åñòü, ÷òî ïðàâàÿ ÷àñòü (8) íåîòðèöàòåëüíà. Îöåíêà ñâåðõó äëÿ q â
(19) ïðè Vm(A�q(B); B) > 0 ÿâëÿåòñÿ óòî÷íåíèåì îöåíêè ñâåðõó äëÿ q èç (8).
Îòìåòèì, ÷òî Vm(A�q(B); B) > 0, åñëè ðàçìåðíîñòü A
�q(B) íå ìåíüøå n�m
[4, ñ. 50].
Ä î ê à ç à ò å ë ü ñ ò â î í å ð à â å í ñ ò â à (13). Êîýôôèöèåíò q(B;A)
ÿâëÿåòñÿ íàèáîëüøèì èç ÷èñåë �1 òàêèõ, ÷òî òåëî �1A ïàðàëëåëüíûì ïåðå-
íîñîì ïîìåùàåòñÿ â òåëî B. Îòñþäà ñëåäóåò, ÷òî 1
q(B;A)
ÿâëÿåòñÿ íàèìåíü-
øèì èç ÷èñåë � òàêèõ, ÷òî òåëî A ïàðàëëåëüíûì ïåðåíîñîì ïîìåùàåòñÿ â
òåëî �B, ò.å. 1
q(B;A)
= Q(A;B) = Q. Óñëîâèÿ, êîòîðûì óäîâëåòâîðÿþò A è B
â (12), îäèíàêîâû. Ïîýòîìó, çàìåíÿÿ â (12) A íà B, B íà A, q íà 1
Q
, ïðèäåì
ê íåðàâåíñòâó (13).
Ç à ì å ÷ à í è å. Òàê êàê Vm(B;A) = Vn�m(A;B), òî �m;n�m(B;A) =
V
n
n�m
m (B;A) � V
m
n�m (A)V (B) = V
n
n�m
n�m (A;B) � V
m
n�m (A)V (B). Ïîëàãàÿ â (13)
Æóðíàë ìàòåìàòè÷åñêîé ôèçèêè, àíàëèçà, ãåîìåòðèè, 2005, ò. 1, � 2 187
Â.È. Äèñêàíò
n�m = k, ïðèäåì ê íåðàâåíñòâàì
V
n
k
k
(A;B)� V
n�k
k (A)V (B) � (V
1
k
k
(A;B)�
1
Q
V
1
k (A))n � V
n
k
k
(A;B
�
1
Q
(A));
ãäå 1 � k < n� 1, ò.ê. 1 � m � n� 1.
Ïðèíèìàÿ â ïîñëåäíèõ íåðàâåíñòâàõ k = m, ïîëó÷èì íåðàâåíñòâà
�m;m(A;B) � (V
1
m
m (A;B)�
1
Q
V
1
m (A))n � V
n
m
m (A;B
�
1
Q
(A)):
Ïîñëåäíåå íåðàâåíñòâî ðàâíîñèëüíî íåðàâåíñòâó
V
1
m
m (A;B)� (�m;m(A;B))
1
n
V
1
m (A)
�
1
Q
�
V
1
m
m (A;B)� V
1
m
m (A;B
�
1
Q
(A))
V
1
m (A)
: (20)
Îöåíêà ñâåðõó äëÿ 1
Q
â (20) ÿâëÿåòñÿ óòî÷íåíèåì îöåíêè ñâåðõó äëÿ 1
Q
èç (9).
Îòìåòèì, ÷òî ñëåäñòâèåì íèæíèõ îöåíîê äëÿ q èç (19) è 1
Q
èç (20) ÿâëÿ-
åòñÿ ñëåäóþùàÿ îöåíêà ñâåðõó äëÿ âåëè÷èíû Q� q:
Q�q �
V
1
m (A)
V
1
m
m (A;B)� (�m;m(A;B))
1
n
�
V
1
n�m
m (A;B)� (�m;n�m(A;B))
1
n
V
1
n�m (B)
; (21)
îáîáùàþùàÿ îöåíêó äëÿ Q� q â [8, ñ. 156]. Ìîæíî ïîêàçàòü, ÷òî íåðàâåíñòâî
(21) ÿâëÿåòñÿ ñëåäñòâèåì íåðàâåíñòâ (8) è (9).
Äëÿ ñîáñòâåííûõ âûïóêëûõ òåë X è B â Rn èõ m-é àíàëîã èçîïåðèìåò-
ðè÷åñêîãî íåðàâåíñòâà èìååò âèä
�m(X;B) = V
n
m(X;B)� V
m(B)V n�m(X) � 0: (22)
Áóäåì ñ÷èòàòü X ïåðåìåííûì òåëîì. Òåëà X, äëÿ êîòîðûõ �m(X;B) = 0,
áóäåì íàçûâàòü ýêñòðåìàëüíûìè ðåøåíèÿìè àíàëîãà (22). Êàê ïîêàçàíî â [5,
ñ. 104], ýêñòðåìàëüíûìè ðåøåíèÿìè (22) áóäóò òåëà, ïîëîæèòåëüíî ãîìîòå-
òè÷íûå òåëó B, è òîëüêî òàêèå òåëà.  ñëó÷àå, åñëè V (X) = V (B), ýêñòðå-
ìàëüíîå ðåøåíèå (22) åäèíñòâåííî. Ýòî ðåøåíèå, ñ òî÷íîñòüþ äî ïàðàëëåëü-
íîãî ïåðåíîñà, èìååò âèä X = B. Åäèíñòâåííîñòü ýêñòðåìàëüíîãî ðåøåíèÿ
(22) ïðè V (X) = V (B) ïîðîæäàåò âîïðîñ îá åãî óñòîé÷èâîñòè â êëàññå âû-
ïóêëûõ òåë R
n.
Îáîçíà÷èì ÷åðåç Æ(X;B) âåëè÷èíó, ðàâíóþ
Æ(X;B) = min
~X2f ~Xg
�( ~X;B);
188 Æóðíàë ìàòåìàòè÷åñêîé ôèçèêè, àíàëèçà, ãåîìåòðèè, 2005, ò. 1, � 2
Óòî÷íåíèÿ àíàëîãà èçîïåðèìåòðè÷åñêîãî íåðàâåíñòâà ...
ãäå
n
~X
o
� ìíîæåñòâî òåë, êîòîðûå ïîëó÷àþòñÿ èç X ñ ïîìîùüþ ïàðàëëåëü-
íîãî ïåðåíîñà, �( ~X;B) � õàóñäîðôîâî ðàññòîÿíèå ìåæäó òåëàìè ~X è B â Rn
[1, ñ. 144]. Âåëè÷èíà Æ(X;B) íàçûâàåòñÿ îòêëîíåíèåì òåë X è B.
 ñëåäóþùåé òåîðåìå óñòîé÷èâîñòè ýêñòðåìàëüíîãî ðåøåíèÿ (22) rB �
ðàäèóñ íàèáîëüøåãî øàðà, êîòîðûé ìîæåò áûòü âëîæåí â B, RB � ðàäèóñ
íàèìåíüøåãî øàðà, â êîòîðûé ìîæíî ïîìåñòèòü B. Çàìåòèì, ÷òî V (rBE) �
V (B) � V (RBE).
Òåîðåìà. Ïóñòü X è B � ñîáñòâåííûå âûïóêëûå òåëà â R
n, n � 2.
Íàéäóòñÿ òàêèå âåëè÷èíû "0 > 0, C > 0, çàâèñÿùèå îò n, rB, RB, ÷òî èç
âûïîëíåíèÿ óñëîâèé
�m(X;B) < "; 0 < " < "0; V (X) = V (B);m 2 1;n� 1
ñëåäóåò
Æ(X;B) < C"
1
n :
Ä î ê à ç à ò å ë ü ñ ò â î. Îöåíèì ñâåðõó â óñëîâèÿõ òåîðåìû âåëè÷èíó
(�m;k(X;B))
1
n
V
1
k (B)
=
(V
n
k
m (X;B)� V
m
k (B)V
n�m
k (X))
1
n
V
1
k (B)
: (23)
Ïîëîæèì a = V
n
k
m (X;B), b = V
m
k (B)V
n�m
k (X) è îòìåòèì, ÷òî a
k � b
k =
�m(X;B), 0 < b � a. Òîãäà
(�m;k(X;B))
1
n
V
1
k (B)
=
(a� b)
1
n
V
1
k (B)
=
(a� b)
1
n (ak�1 + a
k�2
b+ : : :+ ab
k�2 + b
k�1)
1
n
V
1
k (B)(ak�1 + ak�2b+ : : :+ abk�2 + bk�1)
1
n
�
(�m(X;B))
1
n
V
1
k (B)(bk�1)
1
n
�
"
1
n
V (B)
�
"
1
n
V (rBE)
= C1"
1
n :
(24)
Èç m-ãî àíàëîãà èçîïåðèìåòðè÷åñêîãî íåðàâåíñòâà (22) è ðàâåíñòâà V (B)
= V (X) ñëåäóåò, ÷òî ïðè ëþáîì k 2 1;n� 1 èìååò ìåñòî íåðàâåíñòâî
V
1
k
m (X;B)
V
1
k (B)
=
V
1
k
m (X;B)
V
1
k (X)
� 1: (25)
Òîãäà, ïîëàãàÿ â óìåíüøàåìîì ïðàâîé ÷àñòè íåðàâåíñòâà (21) A = X, èç
îöåíêè (24) äëÿ âåëè÷èíû (23) è îöåíêè (25) ïðè k = m ïîëó÷àåì îöåíêó
ñâåðõó äëÿ óìåíüøàåìîãî â (21) âåëè÷èíîé 1
1�C1"
1
n
. Ïîëàãàÿ A = X â âû÷è-
òàåìîì ïðàâîé ÷àñòè (21), èç îöåíêè (24) äëÿ âåëè÷èíû (23) è îöåíêè (25) ïðè
Æóðíàë ìàòåìàòè÷åñêîé ôèçèêè, àíàëèçà, ãåîìåòðèè, 2005, ò. 1, � 2 189
Â.È. Äèñêàíò
k = n�m ïîëó÷àåì îöåíêó ñíèçó äëÿ âû÷èòàåìîãî â (21) âåëè÷èíîé 1�C1"
1
n .
Âåëè÷èíà C1 > 0. Ïîýòîìó ïðè C1"
1
n <
1
2
äëÿ óìåíüøàåìîãî ïðàâîé ÷àñòè
(21) èìååò ìåñòî îöåíêà ñâåðõó âåëè÷èíîé 1+2C1"
1
n , ò. ê. 1
1�C1"
1
n
� 1+2C1"
1
n .
Èç îöåíêè ñâåðõó 1 + 2C1"
1
n äëÿ óìåíüøàåìîãî â (21) è îöåíêè ñíèçó
1�C1"
1
n äëÿ âû÷èòàåìîãî â (21) ïðèõîäèì ê ñëåäóþùåé îöåíêå äëÿ âåëè÷èíû
Q� q:
Q� q � 1 + 2C1"
1
n � (1� C1"
1
n ) = 3C1"
1
n ;
ãäå Q = Q(X;B), q = q(X;B).
Íå óìàëÿÿ îáùíîñòè ìîæåì ñ÷èòàòü, ÷òî qB � X � QB. Òîãäà èç óñëîâèÿ
òåîðåìû V (B) = V (X) èìååì q � 1, Q � 1. Èç âêëþ÷åíèÿ qB � QB ñëåäóåò,
÷òî öåíòð ãîìîòåòèè ýòèõ òåë ïðèíàäëåæèò qB. Çíà÷èò, qB � B � QB è
Æ(X;B) � �(X;B) � �(qB;QB) � (Q � q)d(B), ãäå d(B) äèàìåòð B. Òàê êàê
d(B) � 2RB , òî
Æ(X;B) � 3C1"
1
n 2RB = C"
1
n :
Ç à ì å ÷ à í è å. Óñëîâèå V (B) = V (X) â òåîðåìå ìîæåò áûòü çàìåíåíî
íà óñëîâèå V (X) = V (sB), s > 0. Äåéñòâèòåëüíî,
�m(X; sB) = V
n
m
(X; sB)� V
m(sB)V n�m(X) = s
mn�m(X;B) � C2":
Ñëåäîâàòåëüíî, òåëà X è sB óäîâëåòâîðÿþò óñëîâèÿì òåîðåìû. Ïîýòî-
ìó Æ(X; sB) < C3"
1
n , ãäå C3 çàâèñèò îò s, n, m, rB è RB . Ýòî óòâåðæäåíèå
ÿâëÿåòñÿ òåîðåìîé óñòîé÷èâîñòè ýêñòðåìàëüíîãî ðåøåíèÿ X = sB àíàëîãà
�m(X;B) � 0.
References
[1] K. Leichtweis, Convex sets. Nauka, Moscow (1985). (Russian)
[2] H. Busemann, Convex surfaces. Nauka, Moscow (1964). (Russian)
[3] H. Hadwiger, Lectures about volume, area surface and isoperimetry. Nauka, Moscow
(1966). (Russian)
[4] T. Bonnesen and W. Fenchel, Theory of convex bodies. Fazis, Moscow (2002),
XIV+210. (Russian)
[5] V. Diskant, Re�nements of the isoperimetric inequality and stability theorems in
the theory of convex bodies. � Tr. Inst. Mat. Nauka, Novosibirsk 14 (1989), 98�132.
(Russian)
[6] A. Alexandrov, New inequalities between mixed volumes and its applications. �
Mat. sb. 2(44) (1937), No. 6, 1205�1235. (Russian)
190 Æóðíàë ìàòåìàòè÷åñêîé ôèçèêè, àíàëèçà, ãåîìåòðèè, 2005, ò. 1, � 2
Óòî÷íåíèÿ àíàëîãà èçîïåðèìåòðè÷åñêîãî íåðàâåíñòâà ...
[7] V. Diskant, About the behavior of isoperimetric di�erence when turning to parallel
body and proving the generalized inequality of Hadwiger. � Mat. �z., analiz, geom.
10 (2003), 40�48. (Russian)
[8] Ju. Burago and V. Zalgaller, Geometric Inequalities. Nauka, Leningrad (1980).
(Russian)
Improvements of the analogy isoperimetric inequality
and the theorem of stability of its extremal solution
V.I. Diskant
Cherkassy State Technological University
460 Blvd. Schevchenko, Cherkassy, 18006, Ukraine
E-mail:diskant@chiti.uch.net
diskant@chstu.cherkassy.ua
Received December 29, 2004
The following inequality is proved:
V
n=(n�m)
m (A;B)� V m=(n�m)(B)V (A) � (V
1=(n�m)
m (A;B)
��V 1=(n�m)(B))n � V m=(n�m)(B)V (A
��(B)); 0 � � � q;
his consequents and the theorem of stability of solutionX equation V n
m(X;B)
�V m(B)V n�m(X) = 0 at V (X) = V (B). In given inequality V (A), V (B) �
the volumes of convex bodies A and B in Rn(n � 2), Vm(A;B) � m-mixed
volume of bodies A and B, 1 � m � n � 1, q � a capacity coe�cient of
a body B in a body A, A
��(B) � internal body which is parallel to body
A relatively to B with coe�cient �.
Mathematics Subject Classi�cation 2000: 52A38, 52A40.
Key words: isoperimetric inequality, analogy of isoperimetric inequality, stability
of extremal solution of geometric inequality.
Æóðíàë ìàòåìàòè÷åñêîé ôèçèêè, àíàëèçà, ãåîìåòðèè, 2005, ò. 1, � 2 191
|