Inverse Problems for Jacobi Operators II: Mass Perturbations of Semi-Infinite Mass-Spring Systems
We consider an inverse spectral problem for infinite linear mass-spring systems with different configurations obtained by changing the first mass. We give results on the reconstruction of the system from the spectra of two configurations. Necessary and suficient conditions for two real sequences to...
Збережено в:
Дата: | 2013 |
---|---|
Автори: | , , |
Формат: | Стаття |
Мова: | English |
Опубліковано: |
Фізико-технічний інститут низьких температур ім. Б.І. Вєркіна НАН України
2013
|
Назва видання: | Журнал математической физики, анализа, геометрии |
Онлайн доступ: | http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/106744 |
Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
Цитувати: | Inverse Problems for Jacobi Operators II: Mass Perturbations of Semi-Infinite Mass-Spring Systems / R. del Rio, M. Kudryavtsev, L.O. Silva // Журнал математической физики, анализа, геометрии. — 2013. — Т. 9, № 2. — С. 165-190. — Бібліогр.: 28 назв. — англ. |
Репозитарії
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraineid |
irk-123456789-106744 |
---|---|
record_format |
dspace |
spelling |
irk-123456789-1067442016-10-05T03:02:02Z Inverse Problems for Jacobi Operators II: Mass Perturbations of Semi-Infinite Mass-Spring Systems del Rio, R. Kudryavtsev, M. Silva, L.O. We consider an inverse spectral problem for infinite linear mass-spring systems with different configurations obtained by changing the first mass. We give results on the reconstruction of the system from the spectra of two configurations. Necessary and suficient conditions for two real sequences to be the spectra of two modified systems are provided. Рассматривается обратная спектральная задача для бесконечной системы масс и пружин в двух разных конфигурациях, полученных изменением первой массы. Получены результаты о восстановлении системы по спектрам двух конфигураций. Даются необходимые и достаточные условия, которым должны удовлетворять две вещественные последовательности, чтобы быть спектрами двух конфигураций механической системы. 2013 Article Inverse Problems for Jacobi Operators II: Mass Perturbations of Semi-Infinite Mass-Spring Systems / R. del Rio, M. Kudryavtsev, L.O. Silva // Журнал математической физики, анализа, геометрии. — 2013. — Т. 9, № 2. — С. 165-190. — Бібліогр.: 28 назв. — англ. 1812-9471 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/106744 en Журнал математической физики, анализа, геометрии Фізико-технічний інститут низьких температур ім. Б.І. Вєркіна НАН України |
institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
collection |
DSpace DC |
language |
English |
description |
We consider an inverse spectral problem for infinite linear mass-spring systems with different configurations obtained by changing the first mass. We give results on the reconstruction of the system from the spectra of two configurations. Necessary and suficient conditions for two real sequences to be the spectra of two modified systems are provided. |
format |
Article |
author |
del Rio, R. Kudryavtsev, M. Silva, L.O. |
spellingShingle |
del Rio, R. Kudryavtsev, M. Silva, L.O. Inverse Problems for Jacobi Operators II: Mass Perturbations of Semi-Infinite Mass-Spring Systems Журнал математической физики, анализа, геометрии |
author_facet |
del Rio, R. Kudryavtsev, M. Silva, L.O. |
author_sort |
del Rio, R. |
title |
Inverse Problems for Jacobi Operators II: Mass Perturbations of Semi-Infinite Mass-Spring Systems |
title_short |
Inverse Problems for Jacobi Operators II: Mass Perturbations of Semi-Infinite Mass-Spring Systems |
title_full |
Inverse Problems for Jacobi Operators II: Mass Perturbations of Semi-Infinite Mass-Spring Systems |
title_fullStr |
Inverse Problems for Jacobi Operators II: Mass Perturbations of Semi-Infinite Mass-Spring Systems |
title_full_unstemmed |
Inverse Problems for Jacobi Operators II: Mass Perturbations of Semi-Infinite Mass-Spring Systems |
title_sort |
inverse problems for jacobi operators ii: mass perturbations of semi-infinite mass-spring systems |
publisher |
Фізико-технічний інститут низьких температур ім. Б.І. Вєркіна НАН України |
publishDate |
2013 |
url |
http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/106744 |
citation_txt |
Inverse Problems for Jacobi Operators II: Mass Perturbations of Semi-Infinite Mass-Spring Systems / R. del Rio, M. Kudryavtsev, L.O. Silva // Журнал математической физики, анализа, геометрии. — 2013. — Т. 9, № 2. — С. 165-190. — Бібліогр.: 28 назв. — англ. |
series |
Журнал математической физики, анализа, геометрии |
work_keys_str_mv |
AT delrior inverseproblemsforjacobioperatorsiimassperturbationsofsemiinfinitemassspringsystems AT kudryavtsevm inverseproblemsforjacobioperatorsiimassperturbationsofsemiinfinitemassspringsystems AT silvalo inverseproblemsforjacobioperatorsiimassperturbationsofsemiinfinitemassspringsystems |
first_indexed |
2025-07-07T18:56:07Z |
last_indexed |
2025-07-07T18:56:07Z |
_version_ |
1837015570935971840 |
fulltext |
������� �� �
��
�
���� �������� ��������� ���
�
��
����� ���
� �� �� �� �
���
�
������� ���
��� ���
��� � ��������� ���
���� ������ ������ �� ������������ �����������
�������
�� ��� ���1� �
���
������2� ��� ���� �����1∗
1�����������
� ����
����������
� ��������
��
�����
� ����
������ ��
�� �����������
������
�
� �� ��
����
������
�
�
���� ��� ���� � ��
� ������
���� �� !�" ������ ��#�
������� � �
���� �
�����������������
������� �
�����������������
2���$������
����
� �" %� &��'�� ��
������ ( � ) * +���������� �$�
��
��
,����������
���� ��� ���
��� ( �������
( �'�����
�- )���� ����" .$��'��" /!!�0" �'�����
������� ���
����� ���� ��������
�������� �������� �� ����� ������� ��� ��� ����
�� �������
� ���� �� ����
� � ����� �� �����
� ����
�
����� ���
���
��� ��
� ���� ��
������
���� ��
���� �� ��
�����
�� � �
�
���
�� ���� ����
� ��
�� �����
��
��� ��
�� ���
�� � ��
�� ����
��
��
������
����� ������
�
�� �������
�����
���� ��
�� �
� ���������
�
��
�� ����
��
�� ������� ���
���
� � �������
��� ������ �����
� �
����� ��� ���
���
���� �
�����
�������
���� �� � ������
���
���� ������� ��
�����
���� ����� !"#$%� "&'&(� "&)!*� &+,-&�
�� ������
����
�� ���� ��
� �� � �
� ��� ��� �����
���� �� � ����� �� �
���� ���
�� �
�� l2(N)� ��� �
���� ���
�� � ������� �� �� �
� ���
���� � �� �
�� ���� ��
�
�����
��� ��
�
���� �� �� �
����� ��� �����
� �� � �� ��� �� �� �
����
�
�
������
� �����
����� �� �� ��� ��������� �� ��� ������������ �
�� ��
� ���� ��
� ����� �� ��� ����� �
����� ��� ������� ������� �� !"
�� #$"�
∗��
������ �����
� �
� ������ !"# ����$ �%
��&% &
��� �'�())*�)+�,,+))
�© �� ��� ���
� ���
������� ��� ���� ����� ����
�� ��� ���� �
���
������� ��� ���� �����
��� �
���� ���
�� J �� ��� %���� � ��
�� l2(N) �� ��� ���
�� ����� �
� ��
�� �����
���� ���� ������ �� ��� �
�����
� �
��� �� l2(N) ��
������������ �
����
�
� �� �� ��� �� � ⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝
q1 b1 0 0 · · ·
b1 q2 b2 0 · · ·
0 b2 q3 b3
0 0 b3 q4
� � �
���
���
� � �
� � �
⎞⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎠
, &'�'(
��� � qn ∈ R
�� bn > 0 ��
�� n ∈ N &��� ��� ��������� �� ��� �
� �� �� ��
����
���� ��
� ��������� ������ �� ���
�� �� #"(� J �� ������ �� ���������
�� �� �
� �� �����
�)���� � �
�� ��������� ������� &'�'(� �� ���� ��
� �� ��
�
���� �����
�)���� ���
�� �� ��� �� J �= J∗� �� ������� ��� �����
�)���� ����������
������� J (g)� ��� � g ∈ R ∪ {∞} &��� *�������� '
((� �� J = J∗� ��
�����
J (g) = J ��
�� g ∈ R ∪ {∞} &��� *�������� ' �((�
��� ��� �����
���� �� � ����� �� �
���� ���
�� � J (g) �
��
� ����� �
�
��� �����
�� ��� ���
�� � ��
� ���
�� �
���� ���
���� �� �� �� ���� J (g)
��
�� �
�� �
�� ��� �������� �� ��� � ����� �� ��� ������ �� ��� �
� �� &'�'(
�� ��� +�����
� ���������
� �������, g �� ������
�� ��� �
�� �� ��� ���
��
�
���� ���������� ��
�
���� �� �� �
����� ��
�����
�)���� �
���� ���
�� �
�
����
���� ������� �� -� '#� '."
��� �� ��� �� � ����
� ������� �� ���
�
����
�� �� �
����� �� J (g)� �� ##� #/"� ���
�
���� �� �� �
����� �
� �� ������
�
��
��� �� ��� +�����
� ���������
� ��� � ����, �� ��� �� ��������� ��0� ����
�1�
���� &��� ##� 2�������"(� 3� ��
��
� ��� �
�� �� ����� �
���� �
� ����
�
�
��� ���� ��� ������ ������� &��� 4� /� 5� ''� '6"(�
�� ��
���� ��
� ��� ���
���� ��
����� �
����� ��� ������ �� ��
��� �7��
�� ��� �����
� � ��� ���� ��
����� �
���� �
� �� ''"� 2��� ������� �� ������� ���
���� �� � ����� �� �
����� ��� ������� ���������
����� #$" � ������ ������
�
�� ��8����� ���������� �� ��� ����� ���� �� �� ��� �����
�� ��� ����� �
����
�
� ���� �� ��������� �� ��� �
����� ��� �������� ��� �� ����� �
�
�
��
��
�� ��� �������� ��� ������ �� #$"
� ��
��� �� ��� ����� �� ��� ��
������� �
#6� #4"� �����
� ������� ��
�� �����
�� ������ ����� �
����
�� �� ����
�����
��� �� ������ �� ��� ����
���
� �
���� � �� ��� ������� ��� ���� ��
� ����� � �
��� �� #$" ����� �� ����
�
���� ����
� �
����
�� ��� � �����
�� ��
�� ��� ��� ��
���� ����
���� �� ��� ��
������� � #6� #4"�
9�� �� �������
������������ �� �����
�� ������ ���� �
���� {mj}∞j=1
��
�� ��� �����
��� {kj}∞j=1
� �� :��� '� ;�
��
��
� �
������ &��� ''� '!� '-"(�
��� �� ���� ��
� ��� ������� ������ �� :��� ' �� ������� �� ��� �����
� � ��� ����
'// ������� � ��!"���!���� #"������ $�������� %����!��� ����� ���
� �� �
������� �������� ��� ������ ��������� ��
m3m2m1
k1 k2 k3 k4
:��� '� <����������� �
����� ��� ������
�� ��� �
���� ���
�� J ����
qj = −kj+1 + kj
mj
, bj =
kj+1√
mjmj+1
, j ∈ N . &'�#(
3� ��
��
� �� ''� '!� '-" ��� ���
���� �
� �� �� ������� �� −J � 2�
��� �
�
���� ������
� ���� � ��
���� �� � ������ ��
�������������
� �
����� � ���
�
#!� <��� '�4"�
�� ���� ��
� �� ������� ��� ����� �� �� J (g) �� �� ���� ��� &�� J �= J∗ ����
��
��
�� ��� �
��(� ;����� �� =��
� .
�� 6 �� ������� �� �
� ���� �� ���
�� � &'�'( ����� �� ��������� ���
�� J (g) �
� ���� ��� ����� ���
��� ���� ������� �� σ(J (g)) ������� ��
� ��� �������� �� �� ����
���
� ����
��� ��
���� �������� �� �
����� ������
����� ����� � �1�������
� ��� �1�
�
���� �� ��� ������� �� ��� ������
�����
2���� ���� ��� �����
�)���� ���
�� J (g), �� ������� ��� �
���� �� ���
�� �
J (g)(θ) &θ > 0( ����� �����
�)���� ���������� �� ��� �
���� ���
�� ����� �
� ��
�� �����
���� ���� ������ �� ��� �
�����
� �
��� �� l2(N) ��⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝
θ2q1 θb1 0 0 · · ·
θb1 q2 b2 0 · · ·
0 b2 q3 b3
0 0 b3 q4
� � �
���
���
� � �
� � �
⎞⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎠
. &'�.(
%� � J (g)(θ) &θ > 0( �� ��� �
���� �� �� �� ��� �
���� ���
�� �� >��� ��
� ��� ���
�
�� � �� ��� �
����
� ��� ���
���� � �� �
�� ���� ��
�
���� �� �� �
����
&��� &#�6( �����(�
?���� � �� J (g) �� J (g)(θ) �� ������� �� ��
����� ��� � �� �
�� �� Δm =
m1(θ−2 − 1)� �� ���� �� ��� θ2 �� ���
��� �� ��� � ����
� �
�� m1 �� ��� ���
�
�� m1 + Δm� ���� �� ������
��� �� :��� #� �� �� �� �� ���������� ��
� ��
��� ������� �� � ��� �
��� ���� Δm < 0� �1���
������� θ > 1�
������� ������
�
�����
����� �� ������ �� θ < 1 #6� #4"�
��� � ����� �� ������ ������ ��� �����
�
�� ��� �� �� ��� �
� ���� �� ����
�����
�
� �� ���� ���� � ���� � �� ��� ������
� ����� �� ����
� ��� � ����� ��
������� � ��!"���!���� #"������ $�������� %����!��� ����� ���
� �� � '/!
�� ��� ���� �
���
������� ��� ���� �����
m3m2m1
Δm
k1 k2 k3 k4
:��� #� @� �� ��� ������������ �
����� ��� ������
������ ��� ����
���
� �
���� � �� ��� �� �����
�� ������ � �� ��� � �1�������
�� ��� ������
����� ���� �
��
��� ��� ������
�����
3� ����
��7� ��
��
������� ��� ���
�� �
�� ��� �
�����
��� �� �� �� �
�
���� ������� �� �� � �� � �����
��� ��
������
� ������� ��� ����
� �
����
�
���
� ������� �� ������� �� �� ������� ��� ��
� ����� ��� ��� ��� �� &'�'( �
��
�� ��� ������ ���� ��
� J �����
�
���� ���
�� &qn ∈ R� bn > 0(
�� J (g)
�
���� ���� ��� ����� �� &��� =��
� .� 6(� >��� ��
� J �� ���� ��� ������
���
����������� ������ ��
���
��� �� ���� J �� ������� ��
�
����� ��� �������
���� ��
�� � �
��7��
� �������� �� <������ #� �� �
� ���� ��� ���
����� ��� ��
���� ��� �
���� ���
�� �
�� ���� �� �� �
������
�� � ����� ���� � ��
�� �
�
��� ��
��� ���� ��� ���� �� �����
� � ������ �� ����� ���
�� �� <������ .�
�����
�
������ �� ��� �����
� � ��� ���� �� ��� �
���� �� �� �� ��� �
���� ��� �
�� � J (g)(θ)� ��� � ����� �� ������ ������ �� � �
��� �� <������ 6� ���� �������
����� ���� ������
� ���������� �� ��� �����
�� J (g)(θ)� � ������
�
��� ����
�� ������ ������ �� ��� �
� ��
�� ���
������� ���1������ �� ��� ������ �������
:��
���� <������ 4 ����� ������
�
�� ��8����� ���������� �� ��� ��1������ ��
�
� ����� � �� �� ��� �����
�� J (g)
�� ��� �� �� �
���� J (g)(θ) &θ �= 1(�
��
������������
9�� Υ ��
������ � �� ������ �� ��0� ���� ��� ������ ���� ��
� ��
��
��1����� f = {fk}∞k=1
(Υf)1 := q1f1 + b1f2 , &#�'(
(Υf)k := bk−1fk−1 + qkfk + bkfk+1 , k ∈ N \ {1}, &#�#(
��� �� �� n ∈ N� bn �� ��������
�� qn �� �
�� 9�� lfin(N) �� ��� ����
��
��
�� ������� ��1������ ����
����� ����� �� ����7� � ��������� �� ��� %���� �
��
�� l2(N)� ��� �� ������� ��� ���
�� ����� ���
�� �� lfin(N)
��
���
�
��� ��� ������ � ���� ���
�� �� ������ �� ����� �� �� ������� ������
��
%� ����
��
�� ���� �� �� ����
���� >��� ��� J �� ��� ����� � �� ���� ���
�� �
3� �
�� ������ ��� ���
�� J ���� ��
� ��� ������������ �
���� �
� ��
&'�'( �� ��� �
� �� �� �����
���� ���� ������ �� ��� �
�����
� �
��� {δn}∞n=1
�� l2(N) &��� #� <��� 6!" �� ��� ��������� �� ��� �
� �� �� �����
���� ��
�
'/- ������� � ��!"���!���� #"������ $�������� %����!��� ����� ���
� �� �
������� �������� ��� ������ ��������� ��
��������� ������ �� ���
�� (� ������� J �� ��� �����
� ������ ������ ��
���
�� �
��������
〈δn, Jδn〉 = qn , 〈δn+1, Jδn〉 = 〈δn, Jδn+1〉 = bn ,
〈Jδn, δn+k〉 = 〈δn, Jδn+k〉 = 0 ,
n ∈ N , k ∈ N \ {1} .
3� ��
�� ��� �� J
� ��� ������ ��� �
�
�� �� &'�'(
� ���
�����
��� �
� ���
��� ���
�� J∗ �� �� ��� �� �� ����� ��
dom(J∗) = {f ∈ l2(N) : Υf ∈ l2(N)}, J∗f = Υf ,
����� ������� �� ����� � �� ��� ��������� �� J '� A�
�� 6 <��� '�'"� #.� ���� #�!"�
�� ��� ����� ��� ������� ����� f1� ���� ��� �������� �� ��� ��0� ���� �1�
����
Υf = ζf , ζ ∈ C ,
�� ���1���� ���� ����� � �� &#�'(
�� &#�#( �� ��� ����� :� ��� �������� �� ����
�������� ���� f1 = 1� ��� ��������� ���
���� �� ��
��
� '� A�
�� '� <��� #�'"B
Pk−1(ζ) := fk , k ∈ N ,
��� � ��� ��������
� Pk(ζ) &�� ��� �� k( �� ��� �� ��
� ��� k��� � ������
�
��������
� �� ��� � ��
���
�����
��� ���� ��� �
� �� &'�'(� >��� ��� �� �����
��� ��0� ���� �1�
����
(Υf)k = ζfk, k ∈ N \ {1},
���� ���
��������� ��
� f1 = 0
�� f2 = b−1
1 �
�� �����
Qk−1(ζ) := fk , k ∈ N .
Qk(ζ) ��
��������
� �� ��� �� k− 1
�� �� �� �
���� ��� k��� � ������
� �������
��
� �� ��� ������
���
�����
��� ���� ��� �
� �� &'�'(�
��� ��1����� P (ζ) := {Pk−1(ζ)}∞k=1 �� ��� �� lfin(N)� ��� �� �
� �
���� ��
�
∞∑
k=0
|Pk(ζ)|2 < ∞ , &#�.(
�� ����� �
�� P (ζ) ∈ ker(J∗ − ζI)� <���� J �� ������ ��� �� ��� �� ��� �� &#�.( ��
����� ���� �� ��� ζ �� ��� ���� �
�����
�� C+ &��� ���� �
�����
�� C−(� ����
�� �� ����� ���� ��
�� C+ &C−(� 2���
���� ���
��� �� ��� �
���� �� ��� ���8������
�� Pk−1(ζ) ��
�� k ∈ N� ��� �� ��� �� &#�.( �� ���� ����� ���� ��
�� C \ R
��
J �
� ��������� ������� (1, 1)� 3��� ��� �� ��� �� &#�.( �� ���� ���� �� ��� ζ ��
C \ R� J �
� ��������� ������� (0, 0)
�� ��� ���
�� �� �����
�)���� ����� J ��
������� � ��!"���!���� #"������ $�������� %����!��� ����� ���
� �� � '/5
�� ��� ���� �
���
������� ��� ���� �����
������� ��� �
�
���� ���������� �� ��� �
� �� &'�'( ����� ��
���� ��
� J
�� �����
�)���� '� 2�����
'"� .� A�
�� !� ����� '�#C'�6"�
3� ��� ��� ����� ��� ���
�� � ��
� ���� ��
� ��� ����� �� �� �������
�����
�� ���� ��
�
��������� � ��
�� ��� �
� J (g) ��
����
�� ��������
a) �� ���� J �= J∗�
����
�� �������� v(g) = {vk(g)}∞k=1 ����
��
∀k ∈ N
vk(g) := Pk−1(0) + gQk−1(0) , g ∈ R,
��
vk(∞) := Qk−1(0) .
��
J (g) ��
�� ��
��
��� �� J∗
�
�� ��
{
f = {fk}k∈N ∈ dom(J∗) : lim
k→∞
bk(vk(g)fk+1 − fkvk+1(g)) = 0
}
.
���� g ∈ R∪{∞}� J (g) ��� ��� ��� ������
����
��
������� �� J � �� ���� �
� � ��
������ �� g �!��"
� � ��
������
����
��
������� #!� ��!!� #�#$"�
b) �� ���� J = J∗�
���� J (g) := J �� ��� g ∈ R ∪ {∞}�
2�������� ��� ���
�� J (g), �� ������� ��� ���
�� � J
(g)
n &n ∈ N( �� ���
%���� � ��
�� l2(N)� span{δ1, . . . , δn} ������ �� ��� ������ J (g) �� l2(N)�
span{δ1, . . . , δn}� ����� J
(g)
n ��
�����
�)���� ��������� �� ��� �
���� ���
��
�����
�����
��� �
� �� �� &'�'( ���� ��� � �� n �������
�� n ��� �������
:��
��� �� ��� ����� ��� �� �� ��� ���
�� � J (g)(θ)� ����
� ������
�
�������� A������ J (g) ���� ���� g ∈ R ∪ {∞}
�� �
�
�� θ > 0� ����
J (g)(θ) := J (g) + q1(θ2 − 1) 〈δ1, ·〉 δ1 + b1(θ − 1)(〈δ1, ·〉 δ2 + 〈δ2, ·〉 δ1) , &#�6(
��� � �� �
� ��� ���� � ����� �� ��
�������
�� ��� � ��
������� ;� ����
���������� J (g)(θ) ��
�����
�)���� ��������� �� ��� �
���� ���
�� �����
������
��� �
� �� �� &'�.(� >��� ��
� J (g)(θ) ��
������
�
�� �� �
���� �� J (g)
��
���� dom(J (g)) = dom(J (g)(θ))�
:�� g ∈ R ∪ {∞}
�� �
� ��� ��������� �� ��� �������� E(g)(t) �� J (g)� ��
J (g) =
∫
R
tdE(g)(t) .
<���� J (g) �� ������ '� <��� #�#� A�
�� 6"� �� �� �
�����
�� ������ �� ������� ���
��������
ρ(g)(t) :=
〈
δ1, E
(g)(t)δ1
〉
, t ∈ R . &#�4(
'!$ ������� � ��!"���!���� #"������ $�������� %����!��� ����� ���
� �� �
������� �������� ��� ������ ��������� ��
�� �� �� ��� ��
�
�� ��� ������� �� ��� ��
�� � ����
��� �� ρ(g)
� ����� '�
���� 6�'�."� ��
� ���
sk =
∫
R
tkdρ(g)(t) < ∞ ∀k ∈ N ∪ {0} , &#�/(
�� ��� ��������
��
� ����� �� L2(R, dρ(g)) '� ����� #�.�#� 6�'�6"� #.� @ ��� 6�'4"�
�� ���� ��
��
��� �
� ��� �� ��� ����
���� 3��� m���������
m(g)(ζ) :=
〈
δ1, (J (g) − ζI)−1δ1
〉
, ζ �∈ σ(J (g)) . &#�!(
��� ��������� &#�4(
�� &#�!(
� ��
��� �� ��� ;� �� �
���� �� ��7��
m(g)(ζ) =
∫
R
dρ(g)(t)
t − ζ
,
�� m(g) ��
%� ����7 ��������� �� ���
Im m(g)(ζ)
Imζ
> 0 , Imζ > 0 .
D���� ��� ��� >���
�� ���
����� �� ��� �������� &��� #!� A�
�� /� <��� /�'"(
(J (g) − ζI)−1 = −
N−1∑
k=0
(J (g))k
ζk+1
+
(J (g))N
ζN
(J (g) − ζI)−1 ,
��� � ζ ∈ C \ σ(J (g))� ��� �
� �
���� ���
�� ���
��������� �� ���
m(g)(ζ) = −1
ζ
− q1
ζ2
− b2
1 + q2
1
ζ3
+ O(ζ−4) , &#�-(
� ζ → ∞ &Imζ ≥ ε� ε > 0(�
��� ���� �� <�����)�� �
���� �
����� �� ����� ��� �����
� �������� &#�4(
� �� ��� �� ��������� 3��� m��������� &#�!(� <� ����
� �� ���������� �� �
����������� :� ��� �� �� ����� &#�4( � &#�!( ���1���� ���� ����� ��� �
����
���
�� J (g)� �� ��� ��� �
� �� &'�'(
�� ��� �
���� g �� ��� ���������
�)����
�
��� ������� ��� �
� ��� ����
� ������� �� ����� ��� ��� �
� �� &'�'( ��
�
��
�������
��
��������� �� ��� ����� ��� E�� ������� ��������� �� 5"
&���
��� #/"(� �
�� ��� �� ���
��������� ���
��� �� ��� 3��� m���������
��
��� =���
�� �1�
���� 5� F1� #�'4"� #/� F1� #�#."�
b2
nm(g)
n (ζ) = qn − ζ − 1
m
(g)
n−1(ζ)
, n ∈ N , &#�5(
��� � m
(g)
n (ζ) �� ��� 3��� m��������� �� ��� �
���� ���
�� J
(g)
n &m0 = m(�
������� � ��!"���!���� #"������ $�������� %����!��� ����� ���
� �� � '!'
�� ��� ���� �
���
������� ��� ���� �����
��� ���� ������ �� ������ ������ &��� .� A�
�� !� <��� '�4"
��� �
�����
���
.� A�
�� !� ���� '�''"( �
� ��� ��
���� ����� �� ��� ��1����� {tk}∞k=0� t ∈ R� : ��
&#�/(
�� ��� �������� �� ��� ��1����� {tk}∞k=0
� �� L2(R, dρ(g))
�� ��� �
�
����� �� ���� %���� � ��
��� ��� ?
��<������ � ����� � �� � ����� �
��7
����
�� ��� ��1����� {tk}∞k=0� E��� ����� ���
���
��1����� �� ��������
�� {Pk(t)}∞k=0
�� �
��7��
�� � ������
� �� L2(R, dρ(g))� ����� ��������
�� �
�����
�� ����� �
��� ���� �1�
���� .� A�
�� !� <��� '�4"� #.� <��� '"
tPk−1(t) = bk−1Pk−2(t) + qkPk−1(t) + bkPk(t) , k ∈ N \ {1} , &#�'$(
tP0(t) = q1P0(t) + b1P1(t) , &#�''(
��� �
�� ��� ���8������ bk &k ∈ N( �� � ��� �� �� ��������
�� qk &k ∈ N(
�
�
� ����� �� ��� ������ &#�'$(
�� &#�''( ������
�
���� �
� �� ����� �� ���
�
� �� �� �����
���� �� ����� J (g) �
��� ������ �� J (g) ��������� �� ������
J = J∗ � ����
��� �������� &#�!(� �1���
������ &#�4(� ���� ����� ��� �
���� g ����� ���
���� ��� �����
�)���� ��������� ���� ��� ������ ����� �
� �� �� �� ��� �� �� ���
�
� �� �� �����
���� ��
���������
�)���� ���
�� � ������� �������
���� γ ��
m(g) &��� =��
' ������(
�� ��
��
�� Pk(γ)� k ∈ N� ���� �����
lim
k→∞
bk(Qk−1(0)Pk(γ) − Pk−1(γ)Qk−1(0)) = 0,
����� ��
�� ��
� g = ∞� �
g =
limk→∞ bk(Pk−1(0)Pk(γ) − Pk−1(γ)Pk−1(0))
limk→∞ bk(Qk−1(0)Pk(γ) − Pk−1(γ)Qk−1(0))
.
��� ���
��� �� ���� ������1��
� ����
����� �� ����
���� �� ##� <��� #"�
<����
�� ������ �����
�)���� ���
�� ��
� ������� ���������
� %���� � ��
��
�� ����
��� �1���
���� �� ���� ���
�� J = J∗ '� ���� 6�#�."� #� <��� /5"� �� ���
�
�� J = J∗� σ(J (g)) �
� ��
�� ��������� ������ ������� ��� �� R� �� �
�����
�
J (g) �
� �
�� ���� ��� ����� ��� ��
� ��� σess(J (g)) = ∅� 3��� J �= J∗� ���� ��
��
�� ��� �
��� ��
� ���
�� �����
�)���� ���������� J (g) �� ��� ���������
�)����
���
�� J �
��
���� ��� ����� �� #!� 9��� #�'5"�
2����� ��
� J �
� ���� ��� ����� �� &����
��
�� �
����� �� J �= J∗(� �� ���
����� �� ��
��1����� �� �
� ����� �� {λk}k� ������� ����� ������ ��
������
�
����� ��� ���������� �� J (g) ������� ��
�
�� ������
����
� �� ������������ ����
�� ���� �
�� ��� �������� ρ(g)(t)� ������ �� &#�4(� �
� �� � �����
� �������B
ρ(g)(t) =
∑
λk<t
1
αk
, &#�'#(
'!# ������� � ��!"���!���� #"������ $�������� %����!��� ����� ���
� �� �
������� �������� ��� ������ ��������� ��
��� � ��� ���8������ {αk}k
� �
���� ��� �� �
��7��� �����
���
��
��� ����
�� .� A�
�� !� ���� '�'!"
� ����� ��
αn =
∞∑
k=0
|Pk(λn)|2 . &#�'.(
����� � �� &#�'#(
�� &#�!( ��� �
� ��
�
m(g)(ζ) =
∑
k
1
αk(λk − ζ)
. &#�'6(
= � �
'� �� ��� �
�� �� ���� ��� ����� ��� ��� ��� �� ����� �� ���
�� ��� ���� 3��� m��������� ��������� ���� σ(J (g))� ;� &#�5(� ��� ��� �� 7� ��
��������� ���� σ(J (g)
1 )� ��� 7� ��
�� ����� �� ��� 3��� m���������
� ������
�� ���� �
��
� ���� �� ��
�� ��������
�� �� ��� ���� %� ����7 ���������
���� �
���� ��
�� ��
� ������� ��� ���������� ����� ��� � �� ��
���� ��� 7� �
�� ������� ��� ���������� 7� �� ��� � �� ��
���� ��� ���� &��� ��� � ��� �� '/�
A�
�� !� ���� '"(�
= � �
#� ;� �������
� �� �� �
���� ���� � &3��� ���� ��(� J (g) �
�
���� ��� ����� �� ��
�� ���� �� J (g)(θ) �
�
���� ��� ����� ��� >��� ��
� J (g)(θ)
�
� ������ ����� �� ����� �� ��
�����
�)���� ���������� ��
�
���� ���
�� �
= � �
.� 9�� �� ������� � ��G� �� ��� � ��� �
�� ���� ������� �� σ(J (g))
�� ��� �
��� �� ��� �
� �� ��� ��� �� &'�'( ���� J = J∗� A������
�
� �� �����
�
�� ��
���
� ��
��1����� {qk}∞k=1 �� �
� ���� �������� �
� ����� � �������
�����
������
���� ������
�� ��� ��1����� ������� ��� �0���
���
�� {bk}∞k=1 ��
���� ��
� bk = o(qk)
� k → ∞� ���� �� �
� �� ����� ��
� J �� ��� ��� �� ��� ���
�
�� D ����� �
� �� �� �����
���� �� diag{qk}∞k=1
��
�� �� �
���� ��
������
����
�� ���� ������ �� D� ;� �� �� �
���� ���� �� J �� ���� �����
�)����
��
�
� ���� ��� ����� ��� E� ��� ��� ��� �
� ���� ��
����� �� �����
�)���� �
����
���
�� � �
���� ���� ��� ����� ��
�� ����� �
� �� �� �����
���� ��
���
�� ��
��� �
����� ��� ���������� )��� ����� &���� �� ����
���� '5� #'"(
= � �
6� ��� �
� ���������� �� ��� ��� ��� �� &'�'( ����� ��
����
��
� J �= J∗ &���� �� ����
���� '� 2�����
'"
�� .� ���� !�'�4"(� ����� �� &'�'(
�
�������� ����� ����������� J (g) �
� ���� ��� ����� �� #!� 9��� #�'5"�
= � �
4� A������ ��� �
����� ��� ������ �� ��� ��� ��������� E� ���
�
��� �� =��
� .� 6�
�� �� ��
�� �� ��� ��� ���� �1�
����� ����� ����� ��
=��
''� ��� �
� ����� ���
�
����� ��� ������ ����� �� ��������� ���
��
J (g) �
�
���� ��� ����� ���
������� � ��!"���!���� #"������ $�������� %����!��� ����� ���
� �� � '!.
�� ��� ���� �
���
������� ��� ���� �����
�� ����
� ���
���� �������� �� J (g) ��� J (g)(θ)
3� ����� ���� ������� �� ������ ��
�
J
(g)
1 = J
(g)
1 (θ) , ∀θ > 0 .
:�� g ∈ R∪{∞}
�� ������� ��� 3��� m���������� m(g)� m(g,θ) �� ��� ���
�� �
J (g)
�� J (g)(θ)� ��� ��� �� �
��� ����
������ ��
� m
(g)
1
�� m
(g,θ)
1 ���������
&#�5( ������� ��
�
θ2
(
ζ +
1
m(g)(ζ)
)
= ζ +
1
m(g,θ)(ζ)
. &.�'(
9�� �� ��� ������� ��� ��������
m(ζ) :=
m(g)(ζ)
m(g,θ)(ζ)
. &.�#(
= � �
/� �� ���� �� =��
#� �� J (g) �
� ���� ��� ����� ��� ���� ���
�������� m �� �� ��� ���� �� &.�#(� <���� ��� 7� �� �� m(g)
�� m(g,θ)
� ���
�
�� &��� =��
'(� �� ������� ��
� ��
�� θ > 0 ��� ��� �� ����� �� m ��
������
�� σ(J (g))� ����� σ(J (g)(θ)) ����
���
�� ��� 7� �� �� m� E��� ��
��� ��
�� � ��
&.�'(� 0 ∈ σ(J (g)) ��
�� ���� �� 0 ∈ σ(J (g)(θ))� H� ���� � ������� θ �= 1� &.�'(
������� ��
� ��� ���� σ(J (g))
�� σ(J (g)(θ)) �
� ���� ���� ����
� 0�
= � �
!� ;� '4� A�
�� !� ���� .�5"� ��� 7� �� �� m
�
�
����� ���������
�� ��� �
���� θ� ��� �
�� �� � �� �� ��� ���������� � �� J (g)(θ)�
����
����� � � ��
J (g) ���� �
��� �
� ����
�! ��
��
{λk(θ)}k ��
��
��
�� ��#�������� �� J (g)(θ) $θ > 0%� &� � ���
k
�� ��������# ���
��
d
dθ
λk(θ) =
2λk(θ)
θαk(θ)
,
��� � αk(θ) ��
�� �� !���'��# ����
��
�� �����
��#
� λk(θ)�
@ � � �� 9�� �� ������ �� f(θ) ��� ���������� �� J (g)(θ) �� ��������� ��
λk(θ)� 3�
����� ��
� f(θ) �� �� �
��7�� �� ����
�
� ��
�
〈δ1, f(θ)〉 = 1 . &.�.(
@��
�� ��
�� �
� τ &�� ��8��� ��
� |τ | < θ(� ����� �
��� ����
������ ��
�
dom(J (g)) = dom(J (g)(θ))
�� ��� �����
�)�������� �� J (g)(θ) ��
�� θ > 0� ��
'!6 ������� � ��!"���!���� #"������ $�������� %����!��� ����� ���
� �� �
������� �������� ��� ������ ��������� ��
�
�� ��
�
(λk(θ + τ) − λk(θ)) 〈f(θ), f(θ + τ)〉 =
〈
f(θ), J (g)(θ + τ)f(θ + τ)
〉
−
〈
J (g)(θ)f(θ), f(θ + τ)
〉
=
〈
f(θ), (J (g)(θ + τ) − J (g)(θ) + J (g)(θ))f(θ + τ)
〉
−
〈
J (g)(θ)f(θ), f(θ + τ)
〉
=
〈
f(θ), (J (g)(θ + τ) − J (g)(θ))f(θ + τ)
〉
.
: �� &.�.( �� ������� ��
� ��� ��� ��� f(θ + τ)
�� f(θ)
� ��� ��������
�� �� ���
� ��
���
�����
��� �� ��� �
� �� �� J (g)(θ + τ)
�� J (g)(θ)� ��
f2(θ + τ) =
λk(θ + τ) − (θ + τ)2q1
(θ + τ)b1
, f2(θ) =
λk(θ) − θ2q1
θb1
.
>��� �
��� ����
������ ����� �
�� �1�
������
�� &.�.(� ������� ����
J (g)(θ + τ) − J (g)(θ) =
⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝
(2θτ + τ2)q1 τb1 0 0 · · ·
τb1 0 0 0 · · ·
0 0 0 0
0 0 0 0
� � �
���
���
� � �
� � �
⎞⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎠
,
��� ���
��� ��
�
(λk(θ + τ) − λk(θ)) 〈f(θ), f(θ + τ)〉 = τ
(
λk(θ + τ)
θ + τ
+
λk(θ)
θ
)
.
��� ��� �� �� ��� �
��� �� =��
!� ��� �
�
lim
τ→0
λk(θ + τ) − λk(θ)
τ
= lim
τ→0
1
〈f(θ), f(θ + τ)〉
(
λk(θ + τ)
θ + τ
+
λk(θ)
θ
)
=
2λk(θ)
θαk(θ)
.
��� � ��������� ����� �
� �� � ���� �� ��
�� �� =��
/� !�
�� @ ������
���� .�'� %����� � �� � �����
�
��� �
���� � ��� �
��� �� ��� ��� ������
m(ζ) = ζ(θ2 − 1)m(g)(ζ) + θ2 , &.�6(
����� ������� � �� &.�'(
�� &.�#(�
������� � ��!"���!���� #"������ $�������� %����!��� ����� ���
� �� � '!4
�� ��� ���� �
���
������� ��� ���� �����
����
����� � � &�� g ∈ R∪{∞} ��
��
J (g) ���� �
��� �
� ����
�!� (��
����
� σ(J (g))� σ(J (g)(θ)) ��
� ���� �� R+ ��
R−� �� ���� � σ(J (g)(θ)) �� R+
$R−% �� ����
�
��
� �����
� σ(J (g))
�
�� ���
$ �#�
% �� θ < 1� ��
�
�� �#�
$���
% �� θ > 1�
@ � � �� �� ���� �� =��
/� ��� ���� ����� �� �� ��� ��
� ������� ���
��������
�� ���������� ������
���� �� J (g) ��� � �� ���� ��� ������
��� �� J (g)(θ)
�� ���� �� �
� �
� ��� ��������
�� ���������� ������
���� �� σ(J (g))� λ < λ̃�
*�� �� &#�'6(� ��� �
�
lim
t→λ̃−
t∈R
m(g)(t) = +∞ , lim
t→λ+
t∈R
m(g)(t) = −∞ . &.�4(
>��� �� &.�6(
����� ��
� θ > 1� ����� ���
��� �� ��� ���������� �� λ, λ̃� &.�6(
�� &.�4( ����� ��
�
lim
t→λ̃−
t∈R
m(t) = +∞ , lim
t→λ+
t∈R
m(t) = −∞ .
<���� m ��
�
����� �� ��� ���� �
� (λ, λ̃)� �� ������ � ��� ��� $�
���
� ��� �����
�� ������ �� �� � ����� ����
��� �� �� � �� � �����
� �� :��� . &a(� ����� ��
=��
� '
�� /� ��� �
�
� ��
�� ��� �������� �� σ(J (g)
1 ) �� (λ, λ̃)� ;���
���
��� �� =��
'� ���� ����� ����
���� ��� �
�� ��
� λ, λ̃
� �����������
a b c
:��� .� ���������� � ������� �� ��� $�
��� �� m
E��� �� ��
� ��� ������ ����
� ��� ����������� �� ��� � ������ �� ��� $�
���
��
�
������
� ����� �� ��
� �� :��� . &b(
�� &c(� ;��
�
�� ��� �������������
�� ���� ������� � �� ��� �
�� ��
� ��� ����� �� m(g,θ)
� ������ &��� =��
'(�
2�
��������� ������� ��� ���������� ������
���� �� J (g)(θ)� ��� �������� 1
m �R
� ����� ��� 0�
��� ��
���� ����� ����� ��� ���� �
���� �� R+ �
� ���� ���
��������
;� ��� �
�� ��
��� ��� �����
���� �
�� �� R−� ��� �
�� θ < 1 �� � �
��� ��
�����
�
�� ��� ������
��� ���� ������� �� ����� � �� @ ��������� .�'�
= � �
-� 3� ���� ��
� σ(J (g)) ∩ R+� σ(J (g)) ∩ R−� �
� �� ����� �
������
'!/ ������� � ��!"���!���� #"������ $�������� %����!��� ����� ���
� �� �
������� �������� ��� ������ ��������� ��
�� ������� ���
���� �������� ��� J (g) ��� J (g)(θ)
�� ���� ������� �� ��� ���� ������
� ���������� �� ��� �����
�� J (g)(θ)
&θ > 0(� 2��� �� � �����
������ ������
��� ���� �� ��� �
���� �
� ��
��
���
����� ���1������ �� ��� ������ ������� <��� �� ��� �� ���
� ���
���� �� ����
������� &���� �� ����
���� A� ���
� 6�'( �
�� ����
�
������ �� ��� ����� �
�� !"�
#$"�
2 ����
� �
� �� ��
�� �
�� �� ��� 3��� m���������
�� ��� � ��� ����� 3�
����� �� ���������� �� ������� ���
���������� �� �����
���� ��� �������� ��
��� �����
�
���������� :�
����� �����
��� ��� �� �
� ����� � S ������� ����� ������
��
������
����� ��� M ��
� ������� ������ �� ����������� ������ � ���� ��
�
��� � ��
���������� ��� �
���� �������� h : M → S ���� ��� � ��� �� ��
�
h−1(0) = {0} ���� 0 �� �� S� ����� M �� ������������ � ��
���� &�����( ��
�� ���� �� ��� �
�� ����� �� S� 3� � ��� S = {λk}k∈M � ��� � λk = h(k)� >���
��
� �� ��� ��1����� {λk}k∈M ���� λ0 ��
������ �� �� 7� �� ����� �� −1, 1 ∈ M �
����
λ−1 < 0 < λ1 .
�� ��� ��1���� ��� �����
��
�� ���
�� � ���� �� �����
���
��� ���� �� ����
�����������
3��� {λk}k∈M �� ������� �� ������� ����
��1����� ���� �
���� ���� ��� ��
��� ��� �
�� ��� M �� �����
���� ���� ��1������� :� ����
���� �� {λk}k∈M
�� {μk}k∈M
� ���� �
����
�� ��� ������������� ���� ��� �
�
����� ��
�
λk < μk < λk+1 , ∀k ∈ M.
��� ���������
�����
� ����� �
� �� ����� �� ##� <��� 6"� 3� �
���� ��� � ���
�� � �� ��� �
�� I� ������������
����� � � ��
J (g) ���� �
��� �
� ����
�! ��
����!�
��
σ(J (g)) =
{λk}k∈M � ��
σ(J (g)
1 ) = {ηk}k∈M � (����
�� ��������# �� !��� ���
� ��
��
��"� m�����
��� �� J (g)�
m(g)(ζ) = C
ζ − η0
ζ − λ0
∏
k∈M
k �=0
(
1 − ζ
ηk
)(
1 − ζ
λk
)−1
. &6�'(
�� ���� � C < 0 ��
ηk < λk < ηk+1 ∀k ∈ M &6�#(
�� σ(J (g)) �� ��!������
�
� �! ������ ������ C > 0 ��
λk < ηk < λk+1 ∀k ∈ M &6�.(
�
�� �����
������� � ��!"���!���� #"������ $�������� %����!��� ����� ���
� �� � '!!
�� ��� ���� �
���
������� ��� ���� �����
@ � � �� 2����� � �� ��
� σ(J (g)) �� ������������ � �� ������ <����
��� � �
���� ���� ����� �� J ���� ��� ������ ��� � �
���� ���� ����� �� J
(g)
1 �
��� ��
����� ������� �� {λk}k∈M �� ���� ��
� ��� ��
����� ��� �� {ηk}k∈M &��� 6�
A�
�� /� <��� '�."(� ���� ��� �
� �����
�� ��� ��1������ {λk}k∈M
�� {ηk}k∈M
�� ��
� ���� ���� �� ����������
�� &6�.(� 2��� ���� �� '/� A�
�� !� ���� '"�
&6�'( ����� ���� C > 0�
A��
��� ���� σ(J (g)) �� ��� ������������� ��� ��1������ �
� ��
���� ��
���� &6�.(�
�� ���� &6�'( ����� ���� C > 0�
>�� ������� ��
� σ(J (g)) �� ������������ � ��
����� ���� σ(−J (g)) ��
������������ � �� �����
��� �����1������� ��� � �
���� ������� �� {ηk}k∈M ��
���� ��
� ��� � �
���� ��� �� {λk}k∈M � ���� {λk}k∈M �
�� {ηk}k∈M �
���� ��
����
��� ���� �� &6�.(� %����� � ��
� �����
��� �� ��� &6�.( ��
�����
��� 7� ��
�� ����� �� ��� �� ��� ���� %� ����7 �������� − 1
m(g) � ��
� ��� �� ���
&6�#(� ��� ��� � '/� A�
�� !� ���� '" �����
− 1
m(g)(ζ)
= C̃
ζ − λ0
ζ − η0
∏
k∈M
k �=0
(
1 − ζ
λk
)(
1 − ζ
ηk
)−1
, C̃ > 0 .
:� ���������� ��� � ��� �� ���� ��
��� �� ���� ��
� ��� �
�� �1�
���� �
� ��
�� �����
�
��� ��� �� ��� ����
� ��� ������� � ����� �� &6�'( �� ����� ����
���
��� �� &6�#( &��� ��� � ��� �� '/� A�
�� !� ���� '"(�
2�����
�����
� ������ ����� �� �� ���� �
�� �� ��� ��������� ����
�
����� � � ��
J (g) ���� �
��� �
� ����
�! ��
{λk(θ)}k ��
�� ��
��
��#�������� �� J (g)(θ)� (����
�� �� ���∑
k∈M
λk(θ)
αk(θ)
&6�6(
����� #�� ����� !�" �� [θ1, θ2] ⊂ R+
� s1(θ) $��� $)�*%%�
@ � � �� : �� &#�/(
�� &#�'#(� �� ������� ��
� ��� �� ��� ����� ��� ���������
�� s1(θ)� ��� �� ��� ∑
k∈M
λ2
k(θ)
αk(θ)
&6�4(
����� ���
��� ��������� �� ��� �������� s2(θ)� <���� ���� �������� �� ����������
�� [θ1, θ2]� ���� &6�4( �� ����� ��� ����� ���� �� ��
� ���� �
� &��� #-� <��� '�.'"(�
>��� ��
�� θ ∈ [θ1, θ2]
�� |λk| > 1� ��� �
�
|λk| < λ2
k ,
�� &6�6( �� ����� ��� ����� ���� �� [θ1, θ2]�
'!- ������� � ��!"���!���� #"������ $�������� %����!��� ����� ���
� �� �
������� �������� ��� ������ ��������� ��
= � �
5� @ ��������� .�# ����� ��
� ��� ���� �
���� �� ��� ��1������
σ(J (g)) = {λk}k
�� σ(J(θ)) = {μk}k �� ��0� ��� �� R+
�� R−� <� ��� ��
� �� �� �����
�� ��� ��1������
��� ���� �� �� ���������� &��� ����� ���� ��
��� ��1������ �� ��� M
�� ���� ��� ������
���� ���� ����� ��� �1�
� 7� �
�
������ �� �� 7� �(
�� �������
λk < μk < λk+1 �� R+ , μk < λk < μk+1 �� R− ,
���� θ > 1�
��
μk < λk < μk+1 �� R+ , λk < μk < λk+1 �� R− ,
�� θ < 1�
����
����� � � &�� g ∈ R∪ {∞} ��
0 < θ1 < θ2� ��
J (g) ���� �
��� �
�
����
�! ��
����!�
��
σ(J (g)(θ1)) = {λk}k∈M ��
σ(J (g)(θ2)) = {μk}k∈M �
��� �
�� ��������� ���� ���� � ��#�
����
��#
� +�!� , -� (����∑
k∈M
(μk − λk) = q1(θ2
2 − θ2
1) .
@ � � �� E��� �� ��
� � �� @ ��������� .�' �� ������� ��
�
μk − λk = 2
θ2∫
θ1
λk(θ)dθ
θαk(θ)
.
A������
��1����� {Mn}∞n=1 �� ��� ������� �� M ���� ��
� Mn ⊂ Mn+1
��
∪nMn = M � ����
∑
k∈M
(μk − λk) = 2 lim
n→∞
θ2∫
θ1
⎛⎝ ∑
k∈Mn
λk(θ)
αk(θ)
⎞⎠ dθ
θ
.
;� 9���
6�#
�� ��� �
�� ��
�
s1(θ) =
〈
δ1, J
(g)(θ)δ1
〉
= q1θ
2 ,
��� ���
��� ∑
k∈M
(μk − λk) = 2q1
θ2∫
θ1
θdθ = q1(θ2
2 − θ2
1).
������� � ��!"���!���� #"������ $�������� %����!��� ����� ���
� �� � '!5
�� ��� ���� �
���
������� ��� ���� �����
����
����� � � &�� g ∈ R ∪ {∞} ��
0 < θ �= 1� ��
J (g) ���� �
��� �
�
����
�! ��
����!�
��
σ(J (g)) = {λk}k∈M ��
σ(J (g)(θ)) = {μk}k∈M � ��� �
�� ��������� ���� ���� � ��#�
����
��#
� +�!� , -� (����
m(ζ) =
∏
k∈M
ζ − μk
ζ − λk
.
@ � � �� A������
��1����� {Mn}∞n=1 �� ������� �� M ���� ��
� Mn ⊂ Mn+1
�� ∪nMn = M � : �� &6�'(
�� &.�#( �� ������� ��
�
m(ζ) = C
ζ − μ0
ζ − λ0
lim
n→∞
∏
k∈Mn
k �=0
(
1 − ζ
ηk
)(
1 − ζ
λk
)−1
∏
k∈Mn
k �=0
(
1 − ζ
ηk
)(
1 − ζ
μk
)−1
= C
ζ − μ0
ζ − λ0
∏
k∈M
k �=0
(
1 − ζ
μk
)(
1 − ζ
λk
)−1
. &6�/(
E� ��� ���� �
��� �� @ ��������� 6�'� �� ����� � �� ��
�
∏
k∈M
k �=0
(
1 − ζ
μk
)(
1 − ζ
λk
)−1
=
∏
k∈M
k �=0
λk
μk
∏
k∈M
k �=0
ζ − μk
ζ − λk
. &6�!(
: �� &#�-(
�� &.�6( �� ������� ��
�
lim
ζ→∞
Imζ≥ε>0
m(ζ) = 1 . &6�-(
2���� �� ��� �
��� ��
� ��� ������ � ����� �� ��� � �� � �� &6�!( ����� ��� ����
�� ���� ��� �
�
lim
ζ→∞
Imζ≥ε
∏
k∈M
ζ − μk
ζ − λk
= lim
ζ→∞
Imζ≥ε
∏
k∈M
(
1 +
μk − λk
λk − ζ
)
= 1 . &6�5(
����� &6�/(� &6�!(� &6�-(�
�� &6�5( ����� ��
�
C =
∏
k∈M
k �=0
μk
λk
�� ��� � ��������� �� � �����
'-$ ������� � ��!"���!���� #"������ $�������� %����!��� ����� ���
� �� �
������� �������� ��� ������ ��������� ��
��������� � � &�� g ∈ R ∪ {∞} ��
θ > 0� ��
J (g) ����
��� �
� ����
�!
��
����!�
��
σ(J (g)) = {λk}k ��
σ(J (g)(θ)) = {μk}k� ��� �
�� ���������
���� ���� � ��#�
����
��#
� +�!� , -� (����
θ2 =
∏
k∈M
η − μk
η − λk
,
��� � η �� ��" ���!��
�� σ(J (g)
1 )� �� ���� � ���� 0 �∈ σ(J (g))�
θ2 =
∏
k∈M
μk
λk
&6�'$(
��
� �� 0 ∈ σ(J (g))�
θ2 =
1
α0 − 1
⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩α0
∏
k∈M
k �=0
μk
λk
− 1
⎫⎪⎪⎬⎪⎪⎭ , &6�''(
��� � α0 �� #���� �� $)�./%�
@ � � �� ��� � �� ��� ���������� �� θ2
�
��
������ �
� �����1����� ��
@ ��������� 6�#
�� &.�6(� 2� ��
�� �� &6�''(� ���� ��
� � �� &#�'6( ��� �
�
α−1
k = − Res
ζ=λk
m(ζ) . &6�'#(
�����
��� ���� �� &.�6(�
θ2 − α−1
0 (θ2 − 1) = m(0) =
∏
k∈M
k �=0
μk
λk
. &6�'.(
= � �
'$� 0��
� $1�./% ��
�� � ���
��� ��
�� �� !���'��# ����
��
��
���� 0 ∈ σ(J (g))� ��� ��
�� ��������# ��������
��� ���
�
����
��# ��
�� �����
�� θ �= 1�
θ2 < m(0) =
∏
k∈M
k �=0
μk
λk
< 1, 1 < m(0) =
∏
k∈M
k �=0
μk
λk
< θ2 .
������� � � &�� g ∈ R ∪ {∞} ��
θ > 0� ��
J (g) ����
��� �
� ����
�!
��
����!�
��
0 �∈ σ(J (g))� (�� ����
� σ(J (g))� σ(J (g)(θ)) $θ �= 1% �������"
�
� !���
�� ������ !�
�� $.�.%�
��
��
�� ��� �
� J �
�� �� �!�
� θ
�����#
�� ��
� ��
���� ��
�� �� �!�
� g ������"��#
�� ������
����
��
������ ����
J �= J∗�
������� � ��!"���!���� #"������ $�������� %����!��� ����� ���
� �� � '-'
�� ��� ���� �
���
������� ��� ���� �����
@ � � �� ?���� ��� ��1������ σ(J (g))
�� σ(J (g)(θ))� ��� ���� ��� �
����
θ � �� &6�'$(� @ ��������� 6�# ������ ��� �������� m
�� �1�
���� &.�6(� ��� 3���
�������� m(g)� 2��� ���� �� ��� @ ������
���� ���� ��������
����� �� ����� ���
�
� ��
�����
��� �� ��� �
���� ���
��
�� ��� �
���� g ����� ���� �����
��� �����
�)���� ��������� ���� J �= J∗�
������� � � &�� g ∈ R∪{∞} ��
θ > 0� ��
J (g) ���� �
��� �
� ����
�!
��
����!�
��
0 ∈ σ(J (g))� (�� ����
� σ(J (g))� σ(J (g)(θ)) $θ �= 1%�
�#�
��
��
� ��
�� q1 � α0� �������"
�
� !���
�� !�
�� �������
�
� J �
�� �� �!�
�
θ� ��
�� �� �!�
� g ���� J �= J∗� 2�
� ��
����"�
�� ����
� σ(J (g))� σ(J (g)(θ))
��
�� �� �!�
� θ �= 1 �������"
�
� !���
�� !�
�� �� �����
��#
� J ��
�� �� �!�
� g ���� J
� �� ��
� �� ���������
����
�
@ � � �� ���� ������� ������
���� � �� ��� � ��� �� ��� � ������ ���� ���
�
��� ����
������ &6�''(� >��� ��
� θ �
� �� ���� ����� ����� �� @ ���������
6�' � �� ���
��������� �� ���
m(ζ) = 1 +
q1(1 − θ2)
ζ
+ O(ζ−2) ,
� ζ → ∞ &Imζ ≥ ε� ε > 0(� ���
���� �� ��������� &#�-(
�� &.�6(�
= � �
''� ���� ��� 6�'
�� 6�# ����� ��� � ����� �� ������ ������
��� �
� �� � �� �����
� �
�
� %����� � �� � �� �� ����� ��� ���� �� � ����� ��
��� �
����� ��� ������� ��� ������
��� ����� ��� �
����
�� �� ��� �����
���
� �� ��� �
� �� ��� ���� ���� ��
���
��� ��� ��8����
� �� �� ����� ����� &��� '!�
A�
�� -"(�
E� ��� �
��� �� &'�#(� ��� ���� ��� �1�
�����
kj+1 = −(kj + qjmj),
mj+1 =
k2
j+1
mjb2
j
,
�����
���� �� ��� ��� ������
�� �� ��� �����
���
�� �
���� �� ��� ������ � ��
��� � �� �� ��� �����
��
�� �
��� >��� ��
�� ���� ��� �
���� � k1
�� m1
� ������ ���� ��� 1������� k1
m1
���� ��� ������ �� ��� ������ �� �
�� �����
���� 1������� �
�
���� ��� ������
� ��
����B �� �1�
�� ��� �1�
�� �
��
�
� �1����� �� ��� �
�� m1
��
���� ���� ��� �� ��� k1 ��
���� ����� �� �����
�� �� ������
��� ���������� �� ���
�
� �� ��� ������ kj/mj �� �� �� �� k1/m1�
���� ��
������� �� ��
�� �� ��� ��������� ��������� �
�����B
kj+1
mj+1
=
− b2
j
qj −
b2
j−1
· · · q2 −
b2
1
q1 + k1
m1
,
'-# ������� � ��!"���!���� #"������ $�������� %����!��� ����� ���
� �� �
������� �������� ��� ������ ��������� ��
����� �� ����� ����� � �� k1
m1
���
�� &��� '! �� !/"(� 3� ��
��
�� ����
�
��� ����� �
� �� �
��� �� � ��� �
����
���� ������� �����
���
� ��
����� ���
������ ��������� �� '!� A�
�� -" �� ���� ������ ��� ��� ��
��������� �
���� ��
��� 1������� k1
m1
� 2��������� �
���� �� k1
m1
� ����� �� �����
kj+1
mj+1
��
��������
�
� ����� ��
�� j ∈ N�
�� ��
������ ��� � �
���� ���������� ��� � � ���
��� �� J (g)
��� J (g)(θ)
��� ��������� ��
������ �����
� ���
���������� � ��� ��� �� ��� ��1������ ��
�� ��� �����
�� J (g)
�� J (g)(θ)� �� ��� ����� �
�� ��� ���� �
���� ���������
����� ��
( &��� �����( �� ������
�
�� ��8����� !"� #$"�
������� � � 3����
�� �����
� ��� ��������� {λk}k ��
{μk}k ��
���
���
� ����
� �� ����!���
���� ����
��
���� ��
��! ���
����
�� '� ��
�� � ��
� ������ ����
��� θ� � ������ ��� �
� J � ��
� ������ g ∈ R ∪ {∞} �� J �= J∗�
����
��
{μk}k ��
�� ����
�! �� J (g)(θ) ��
{λk}k ��
�� ����
�! �� J (g) ��
��
���" ��
�� ��������# ���
�
���� � � ��
����
�
a) {λk}k ��
{μk}k ��
� ���� �� R+� R− ��
� ��� �������� ����
�
�
�� �#�
$���
% �� R+� $R−% ��
� �����
�
�� �
�� ���� (����
�� ��������� ��� ��
�
� �
����
��#
� +�!� , -�
b) (�� ��������# �� ��� ����� #��∑
k∈M
(μk − λk).
4" ���
�
��� �%
�� � �
��
�
∏
k∈M
k �=n
μk − λn
λk − λn
�
∏
k∈M
μk
λk
� � ����� #��
� ��
����
τn :=
(μn − λn)
∏
k∈M
k �=n
μk − λn
λk − λn
λn
(∏
k∈M
μk
λk
− 1
) , ∀n ∈ M . &4�'(
c) (�� �������� {τn}n∈M �� ����
��
� �� m = 0, 1, 2, . . . �
�� �� ���∑
k∈M
λ2m
k τk ����� #���
������� � ��!"���!���� #"������ $�������� %����!��� ����� ���
� �� � '-.
�� ��� ���� �
���
������� ��� ���� �����
d) �� � �������� �� ��!���� ��!�� � {βk}k∈M �� ����
��
�� �� ���∑
k∈M
|βk|2 τk ����� #��
��
� �� m = 0, 1, 2, . . . � ∑
k∈M
βkλ
m
k τk = 0 ,
��� βk = 0 �� ��� k ∈ M �
@ � � �� �� ���� �� @ ���������� .�#
�� 6�'� �� � ����� ��� ��������� �� ���
����������� �� ���� ��
��� �� ���� ��
� ��
�� n ∈ M � τn = α−1
n � ������ �(
��
�( ���� ������ � �� ��� �
�� ��
�
�� ������� �� ��� �����
� ��
�� � &#�'#( �����
�� ��
� ��� ��������
��
� ����� �� L2(R, ρ(g))�
: �� &.�6(� &6�'#(�
�� @ ��������� 6�# � �� ������� ��
�
α−1
n =
1
θ2 − 1
lim
ζ→λn
λn − ζ
ζ
m(ζ)
=
μn − λn
λn(θ2 − 1)
∏
k∈M
k �=n
λn − μk
λn − λk
.
%����� �� A� ���
� 6�'� ��� �� ���� ��
� τn = α−1
n �
3� ��� � ��� ��
� ����������
(� �(� �(
�� �(
� ��8������
��� ���������
( ������� ��
�
λn − μk
λn − λk
> 0, ∀k ∈ M , k �= n.
E� ��� ���� �
��� �� �( ��� �
� ����� ��� �����
κ =
∏
k∈M
μk
λk
, &4�#(
����� �� ���
�� ��������
��
��� κ > 1 �� |μk| > |λk| ��
�� k ∈ M
�� κ < 1 ��
|μk| < |λk| ��
�� k ∈ M � �����
μn − λn
λn(κ − 1)
> 0 ∀n ∈ M.
%����� ��
�� n ∈ M � τn > 0� �� ����� ��� ��������
ρ(t) :=
∑
λk<t
τk . &4�.(
'-6 ������� � ��!"���!���� #"������ $�������� %����!��� ����� ���
� �� �
������� �������� ��� ������ ��������� ��
�� ������� � �� �( ��
� ��� ������� �� ��� ��
�� � �� ��������� �� ρ
� ������
>��� �� ��� �
��� ��
(
�� �(� ����� ��� �� ��� ���� ���������
m̃(ζ) :=
∏
k∈M
ζ − μk
ζ − λk
��
m̃(ζ) :=
m̃(ζ) −
∏
k∈M
μk
λk
ζ
(∏
k∈M
μk
λk
− 1
) . &4�6(
����� �
��� ����
������ &4�'(� ��� �
�
Res
ζ=λn
m̃(ζ) =
(∏
k∈M
μk
λk
− 1
)−1
lim
ζ→λn
ζ − λn
ζ
m̃(ζ) = −τn . &4�4(
�� ���� �� ��
� �
� ���� �
��� �
lim
ζ→∞
Imζ≥ε>0
m̃(ζ) = 1 . &4�/(
��� ��� ��
lim
ζ→∞
Imζ≥ε>0
m̃(ζ) =
(∏
k∈M
μk
λk
− 1
)−1
lim
ζ→∞
Imζ≥ε>0
m̃(ζ)
ζ
= 0. &4�!(
;� &4�4(
�� &4�!(� '/� A�
�� !� ���� #" ������� ��
�
m̃(ζ) =
∑
k∈M
τk
λk − ζ
. &4�-(
E� ��� ���� �
��� ����� &4�/(� ��� ���
���
lim
ζ→∞
Imζ≥ε>0
ζm̃(ζ) =
(∏
k∈M
μk
λk
− 1
)−1
lim
ζ→∞
Imζ≥ε>0
(
m̃(ζ) −
∏
k∈M
μk
λk
)
= −1 .
;��
lim
ζ→∞
Imζ≥ε>0
ζm̃(ζ) = −
∑
k∈M
τk ,
������� � ��!"���!���� #"������ $�������� %����!��� ����� ���
� �� � '-4
�� ��� ���� �
���
������� ��� ���� �����
�� �� �
� ���� � ���� ��
�� �� ��� �������� ����� �� &4�.(�∫
R
dρ(t) = 1 .
���� ��� ��
�� � �� ��������� �� ρ ��
�� �� �
���� �� �
��7��
��
�� ���
������� ������ �� �� L2(R, ρ)
���� ��� ?
�C<������ � ����� � �� � ����� �
�
��7
���� �� ��� ��1����� {tk}∞k=0 �� ���
��
�
���� �
� ��
� �
� ����
���� ��
��� @ ������
���� *����� �� J ��� ���
�� ����� �
� �� �� �����
���� �� ���
���
���� �
� �� &��� #� <��� 6!"(� >��� ��������� �� ��� ��1����� �� ��������
J �� �����
�)���� � ���� �� J = J∗� ��� �������� ρ �� ��� ��������� �� ��� ��������
�� J � ����� �� J �= J∗� ρ �� ������� �� ��� ��������� �� ��� �������� ��
�����
�)���� ��������� �� J � ���� ��
�����1����� �� ��������� �( ����� �� ��
�� ��
�
��� ��������
��
� ����� �� L2(R, ρ) #.� @ ��� 6�'4"�
:��
���� ������ �� J (g) ��� �����
�)���� ��������� �� J �� ��������� �� ρ
��
������� ��� ���
�� J (g)(θ) ���
���� � �� J (g)
� �����
��� �� ��� @ ������
���
���� θ ����� �� &6�'$(� ;� ��� ����� ������� ��� ��1����� {λk}k∈M �� ��� ����� ��
�� J (g)� :� ��� � ��� �� �� �������� �� ���� ��
��� �� ���� ��
� {μk}k∈M ��
��� ����� �� �� J (g)(θ)� :� ��� �������� ����� �� &.�#(� �
��� ����
������ &.�6(
�� &#�'6(� ��� �
�
m(ζ) = θ2 + ζ
(
θ2 − 1
) ∑
k∈M
1
αk(λk − ζ)
.
E� ��� ���� �
��� � �� &4�6(
�� &4�-(� �� ������� ��
�
m̃(ζ) = θ2 + ζ
(
θ2 − 1
) ∑
k∈M
τk
λk − ζ
.
;�� �� �
��
� �
�� � ���� ��
� α−1
k = τk �� k ∈ M � ���� m = m̃� ��
����
��
� ��� 7� �� �� m
� ����� �� ��� ��1����� {μk}k∈M �
������� � � ��
{λk}k ��
{μk}k ��
�� �����
� ��� ��������� ��
���
���
� ����
� �� ����!���
��� ����
��
���� ��
��! ���
���� ����
�" ��� ���!��
����� '� �� ��
�����
� ��" ����
��� ��� ��!�� θ �= 1� (�� � ����
� � ������
��� �
� J � ��
� ������ g ∈ R∪{∞} �� J �= J∗� ����
��
{μk}k ��
�� ����
�!
�� J (g)(θ) ��
{λk}k ��
�� ����
�! �� J (g) �� ��
���" ��
�� ���
�
���� a)� b)�
'-/ ������� � ��!"���!���� #"������ $�������� %����!��� ����� ���
� �� �
������� �������� ��� ������ ��������� ��
c)� ��
d) ���
��
�
τn :=
μn − λn
λn (θ2 − 1)
∏
k∈M
k �=n
μk − λn
λk − λn
, n ∈ M ,n �= 0 ,
τ0 := (θ2 − 1)−1
⎛⎜⎜⎝θ2 −
∏
k∈M
k �=0
μk
λk
⎞⎟⎟⎠ ,
��� �
θ2
⎧⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎩
<
∏
k∈M
k �=0
μk
λk
�� {μk}k �� ����
�
�
�� ���
�� R+ �� �
� {λk}k ,
>
∏
k∈M
k �=0
μk
λk
�
�� ����.
&4�5(
@ � � �� ��� � ��� ��
�
������ �� ��� � ��� �� ���� �� 4�'� =��
�� ��
� ��
�� ���������� �� �����
���� ��� ��1������ λ0 = μ0 = 0� ����� �� � ����� ���
��������� �� ��� ����������
(C�(� ��� ���� ������ �� ��� ��
� τ0 = a−1
0
�� &4�5(
������ ���� �� ������
�� �� ���� �� &6�'.(
�� =��
'$� ��� ��8������ �� ���
���������� �� ���
�������
� �� ��� � ��� �� ���� �� 4�'� %� �� ��� �����������
&4�#( ��
κ =
∏
k∈M
k �=0
μk
λk
�� &4�6( ��
m̃(ζ) :=
m̃(ζ) − θ2
ζ (θ2 − 1)
, ζ �= 0 .
����� ��� �� ���� ��
� Resζ=λn m̃(ζ) = −τn ��
�� n ∈ M
��
∑
k∈M τk = 1�
>��� ��
� &4�5( ��
����� ��
� τn > 0 ��
�� n ∈ M � ��� ��� �� ��� � ���
���
�� ��
� �� ���� �� 4�' �
��� ����
������ ��
� ��� ��� 7� �� �� m
� �����
�� {μk}k∈M \ {0}�
������� � � 3����
�� �����
� ��� ��������� {λk}k ��
{μk}k ��
���
���
� ����
� �� ����!���
��� ����
��
���� ��
��! ���
����
�� '� ��
�� � �� �
������ ����
��� θ ��
� ������ ��� �
� J = J∗ ����
��
{μk}k ��
�� ����
�! ��
J (g)(θ) ��
{λk}k ��
�� ����
�! �� J �� ��
���" �� ���
�
���� a)� b)� c)�
�#�
��
������� � ��!"���!���� #"������ $�������� %����!��� ����� ���
� �� � '-!
�� ��� ���� �
���
������� ��� ���� �����
��
�
5% lim
n→∞
det
⎛⎜⎜⎜⎝
s0 s1 · · · sn
s1 s2 · · · sn+1
. . . . . . . . . . . . . . .
sn sn+1 · · · s2n
⎞⎟⎟⎟⎠
det
⎛⎜⎜⎜⎝
s4 s5 · · · sn+2
s5 s6 · · · sn+3
. . . . . . . . . . . . . . . .
sn+2 sn+3 · · · s2n
⎞⎟⎟⎟⎠
= 0 ,
��� � sn :=
∑
k∈M λn
kτk �� n �� N∪{0} � � �������
� 6�
�
��
�" �� ������
���
��
�� ��
�
��� J (g)(θ) �� � �������#��� ���
�� ��, ��
� ��
��� �� J �����
���
��
����
�� g�
@ � � �� 3�
�
�� ���
� ��� �
������ �� ��� � ��� �� ���� �� 4�'�
A��
��� sn &n ∈ N ∪ {0}(
� ��� ����� � ����� �� &#�/(� ����� �� ��� �
��� ��
%
��� �� I� � ��� ��� &��� '� 2�����
#� <��� 5"(�
5% ����� ���� J = J∗� :� ���
��8������� ���� ��
� ��� �� '� 2�����
#� <��� 5"�
5% ������� ��
� ��� ��
�� �
�� ��������� �� ��� �������� ����� �� &4�.( �� ��� ���1�� �������� �� ��� ������
� ������ �� J = J∗
��
% �� ��� �������
= � �
'#� 2����������
5% �� ��� �
�� �� ����
� ������ ��
����� ��
���� ��� ������
�
�� ��8����� ���������� �� ��� �����
�)���� �
��� >��� ��
� ���
�
�
��� ���� ���
�
������ �����
�)���� �� ���� �� ���� �� 4�# �� ������������
���������
% ��
5%�
��������� ����
���
���� � ��
�
��� ��� �� ����� �������� �
��
��� ��
� ��� ���� � �����
���� �� ���� ��
�
!�"������
.-/ ���� ����� ��� 0�� 1�
����
� 2����
3 �����
�� 4��� ��
�� 5���
���� �� '�
��
����� 6
��� 3��������� 1��� ��� 7� 8� -%*(�
.$/ ���� ����� ��
�� �� � !�
�� 0��� � �� 9���
:��
� � �� 6����
4�
���
;��� 3�����
���� <���� ��� 7� 8� -%%!�
.!/ "� � #���
��′��$%� =>�
������ �� =��������
���� �� 4���
�?���
:��
� �� &�
����
��� ���'�
(�� ��� '�� � 2
�� 4���� 3 ��������� @<� -%*A�
."/ ���� #��
�
�� �)� ����
�
�� 4���
� 0��� � �� 4���
�?���
:��
� � ��
6����
4�
���
��� �((�� *��+��� ������, ;� @������ ;� � ���
� -%A&�
'-- ������� � ��!"���!���� #"������ $�������� %����!��� ����� ���
� �� �
������� �������� ��� ������ ��������� ��
.(/ �&� ���
�� !�-� !����� <��� �� =�����
��� 3 ������� 0��� � '��� �
���
��
'�����
����� ���� ��
� 2
���
���
�� 4����
��� 1����
���� :>�� � B���� �
��
� 3 ���� ��� 7� 8� $++(�
.*/ �� �� #���
�� !�-� !����� 0�� ���� ��
��� 4
��� @�����
��
��� ��
����
2
�> � �� 4���
� ;
� C .���
� ��'� �((�� �� D-%&AE� ��� !� $"(F$*+�
.&/ /� ��� /��
�� � �����
+���+� <��� �� 3 ������ ��
���� :��
� � <� <�
� ��
2
���4� ��� 3�
� �
���� �� ,���
� 4��
���� ���������
� ���
.A/ .� 0�
�� -� -�����
��� <��� �� 0��� ��� ��
���� 2
����� C "�
��� ��
��
�((�� �� D-%&"E� -*$F-*A�
.%/ 0� !�� ����
�� #� ��
��� m�����
����
�� <��� �� 4���
� '�
����� �� ,���
�
��
4����<����
�
���� 2
����� C "� ��
��
��� �� D-%%&E� $*&F$%&�
.-+/ 0� !�� ����
�� #� ��
��� :� 9��
� )� �F2
����8� B��������� @����
�� C
��
�
��� 1���� ��� D$+++E� $&!F$A&�
.--/ !� �.� !�
������ <��� �� 3 ������ �� G��
���� 4����� ��� ����� ���� �((�� ����
#���� '�
������ ;� � ���
� $++"�
.-$/ !� !���$%��+� 0�� ;�
� ���
��� ��
�� <����
�
���� 2
�> � �� 0�� 4���
�
C
�� )
���� �� D-%&AE� &+%F&$+�
.-!/ /�)� -
����+
� '� <��� �� 3 ������ C � +� ��
�� �
�� � ��/ ���� 0� �2&����
��
�
�� ���� D-%*&E� ��� !�"� -*%F-&(� D@����
�E
.-"/ -� -�����
��� :�
�� 1���
��
��� ��
���� 2
�> � �� 4���
� ;
� C .���
�
��'� �((�� � D-%&"E� "!(F""*�
.-(/ &� �
��� 3�
� �
��� 0��� � �� 9���
:��
� �� 4����� ��� !���������� ���
���
������� 3��������
4���� ���� 4� ���� � )� ���F��� 7� 8� -%&*�
.-*/ #�"
� .�+��� ;��
���
��� �� H� �� �� =�
� � ,���
����� &�
����
��� ���� �
'�� � 2
�� 4���� 3 ��������� @<� -%A+�
.-&/ 5���
�������� <�
����
���
�
�� 0��� � �� <��� �� 3 ������ �� 4���
� '�
��
����� '8
� #�
8��� $++(�D @����
�E
.-A/ 5���
�������
�� &�5� �����
� 4�I�
�
����
�� 2�
����J������ � ;��J
�
����
� 0��
� 3 �����
� <��� ��� �� �
0�� J�
=����
� �� :��
�� �� �� ;������J��
,���
� C ���'�
46�
� �� ��27�� �� D$++"E� ��� $A�
.-%/ �� �
����8 �� 1���������+
8
�� .�9� ���+
� ;��� �
� 4���
�� ��
1 �
��
� 1�������
1
�� ��
���� 2
���� ��
� 4���
� 3�
�� 0
���
���� �� B���� � '����
�
��
'�
������ C "� �((��:� &����� ��� D$++%E� ��� -� !-"F!!*�
.$+/ ;� � /
� <��� �� =�����
��� 3 ����� ��
2������ G��
��� 4��
��� C ���
�((��
��� � D-%%!E� -&*!F-&&(�
.$-/ .�9� ���+
�� "�-� &���
�
���� 2
���� ��
� @
����� K ����� �����
� 6
����
:��� ;��� �
� 4���
��� C "�
��� ��
�� �((�� ��� D$++&E� ��� $� -+A&F--+&�
.$$/ .�9� ���+
�� /� 3����� :�
�� 0�� 4���
<��� �� 3 ����� �� 4����<����
�
���� 2
����� C
��� 1���� ��
�� !��
� � D$++*E� ��� %� $*!F$%+�
������� � ��!"���!���� #"������ $�������� %����!��� ����� ���
� �� � '-5
�� ��� ���� �
���
������� ��� ���� �����
.$!/ #� ��
��� 0�� 1�
����
� 2����
3 �����
�
4����
�?���
,���
� ;��� ���� :�� �
� � C ��+�
��� ��� D-%%AE� ��� -� A$F$+!�
.$"/ � �(��� ��8 �� /
�8 -� ��
��8
�� "�1� �����+
�� 6����� 4����
��� 2
�� ;��
��
���
�� <���
���
��� B���� G��
��� 9��
��L
��� �� 1������ 2�� ��
�
�����
'
��� C �((�� 1���� .���� �� D$++AE� --"-+$�
.$(/ � �(��� ��8 �� /
�8 ��< 3�8
�� =� =�� B�
�����
��� 2
�� 4������ B����
2��� 9��
��L
��� �� 1������ 2�� ��
�
����� �� C �((�� 1���� .���� �� D$++*E�
$("-+$�
.$*/ !� &������ 0
�� ,� ���
�
�� <��� �� 4���
� 0��� � ��
���� :��
� �� C
��
�
��� 1���� ��� D-%%AE� ��� -� -&(F$+$�
.$&/ !� &������
���� :��
� �
�� 1�����
��� <�
��
��� �������
9
�����
���
���+� ���� ��� '�� � 2
�� 4���� 3 ��������� @<� $+++�
.$A/ >��� &����
���� 0�� 0��� � �� ,���
����� :>�� � B���� ��
� 3 ���� 9������ -%($�
'5$ ������� � ��!"���!���� #"������ $�������� %����!��� ����� ���
� �� �
<<
/ASCII85EncodePages false
/AllowTransparency false
/AutoPositionEPSFiles true
/AutoRotatePages /All
/Binding /Left
/CalGrayProfile (Dot Gain 20%)
/CalRGBProfile (sRGB IEC61966-2.1)
/CalCMYKProfile (U.S. Web Coated \050SWOP\051 v2)
/sRGBProfile (sRGB IEC61966-2.1)
/CannotEmbedFontPolicy /Warning
/CompatibilityLevel 1.4
/CompressObjects /Tags
/CompressPages true
/ConvertImagesToIndexed true
/PassThroughJPEGImages true
/CreateJDFFile false
/CreateJobTicket false
/DefaultRenderingIntent /Default
/DetectBlends true
/DetectCurves 0.0000
/ColorConversionStrategy /LeaveColorUnchanged
/DoThumbnails false
/EmbedAllFonts true
/EmbedOpenType false
/ParseICCProfilesInComments true
/EmbedJobOptions true
/DSCReportingLevel 0
/EmitDSCWarnings false
/EndPage -1
/ImageMemory 1048576
/LockDistillerParams false
/MaxSubsetPct 100
/Optimize true
/OPM 1
/ParseDSCComments true
/ParseDSCCommentsForDocInfo true
/PreserveCopyPage true
/PreserveDICMYKValues true
/PreserveEPSInfo true
/PreserveFlatness true
/PreserveHalftoneInfo false
/PreserveOPIComments false
/PreserveOverprintSettings true
/StartPage 1
/SubsetFonts true
/TransferFunctionInfo /Apply
/UCRandBGInfo /Preserve
/UsePrologue false
/ColorSettingsFile ()
/AlwaysEmbed [ true
]
/NeverEmbed [ true
]
/AntiAliasColorImages false
/CropColorImages true
/ColorImageMinResolution 300
/ColorImageMinResolutionPolicy /OK
/DownsampleColorImages true
/ColorImageDownsampleType /Bicubic
/ColorImageResolution 300
/ColorImageDepth -1
/ColorImageMinDownsampleDepth 1
/ColorImageDownsampleThreshold 1.50000
/EncodeColorImages true
/ColorImageFilter /DCTEncode
/AutoFilterColorImages true
/ColorImageAutoFilterStrategy /JPEG
/ColorACSImageDict <<
/QFactor 0.15
/HSamples [1 1 1 1] /VSamples [1 1 1 1]
>>
/ColorImageDict <<
/QFactor 0.15
/HSamples [1 1 1 1] /VSamples [1 1 1 1]
>>
/JPEG2000ColorACSImageDict <<
/TileWidth 256
/TileHeight 256
/Quality 30
>>
/JPEG2000ColorImageDict <<
/TileWidth 256
/TileHeight 256
/Quality 30
>>
/AntiAliasGrayImages false
/CropGrayImages true
/GrayImageMinResolution 300
/GrayImageMinResolutionPolicy /OK
/DownsampleGrayImages true
/GrayImageDownsampleType /Bicubic
/GrayImageResolution 300
/GrayImageDepth -1
/GrayImageMinDownsampleDepth 2
/GrayImageDownsampleThreshold 1.50000
/EncodeGrayImages true
/GrayImageFilter /DCTEncode
/AutoFilterGrayImages true
/GrayImageAutoFilterStrategy /JPEG
/GrayACSImageDict <<
/QFactor 0.15
/HSamples [1 1 1 1] /VSamples [1 1 1 1]
>>
/GrayImageDict <<
/QFactor 0.15
/HSamples [1 1 1 1] /VSamples [1 1 1 1]
>>
/JPEG2000GrayACSImageDict <<
/TileWidth 256
/TileHeight 256
/Quality 30
>>
/JPEG2000GrayImageDict <<
/TileWidth 256
/TileHeight 256
/Quality 30
>>
/AntiAliasMonoImages false
/CropMonoImages true
/MonoImageMinResolution 1200
/MonoImageMinResolutionPolicy /OK
/DownsampleMonoImages true
/MonoImageDownsampleType /Bicubic
/MonoImageResolution 1200
/MonoImageDepth -1
/MonoImageDownsampleThreshold 1.50000
/EncodeMonoImages true
/MonoImageFilter /CCITTFaxEncode
/MonoImageDict <<
/K -1
>>
/AllowPSXObjects false
/CheckCompliance [
/None
]
/PDFX1aCheck false
/PDFX3Check false
/PDFXCompliantPDFOnly false
/PDFXNoTrimBoxError true
/PDFXTrimBoxToMediaBoxOffset [
0.00000
0.00000
0.00000
0.00000
]
/PDFXSetBleedBoxToMediaBox true
/PDFXBleedBoxToTrimBoxOffset [
0.00000
0.00000
0.00000
0.00000
]
/PDFXOutputIntentProfile ()
/PDFXOutputConditionIdentifier ()
/PDFXOutputCondition ()
/PDFXRegistryName ()
/PDFXTrapped /False
/Description <<
/CHS <FEFF4f7f75288fd94e9b8bbe5b9a521b5efa7684002000500044004600206587686353ef901a8fc7684c976262535370673a548c002000700072006f006f00660065007200208fdb884c9ad88d2891cf62535370300260a853ef4ee54f7f75280020004100630072006f0062006100740020548c002000410064006f00620065002000520065006100640065007200200035002e003000204ee553ca66f49ad87248672c676562535f00521b5efa768400200050004400460020658768633002000d>
/CHT <FEFF4f7f752890194e9b8a2d7f6e5efa7acb7684002000410064006f006200650020005000440046002065874ef653ef5728684c9762537088686a5f548c002000700072006f006f00660065007200204e0a73725f979ad854c18cea7684521753706548679c300260a853ef4ee54f7f75280020004100630072006f0062006100740020548c002000410064006f00620065002000520065006100640065007200200035002e003000204ee553ca66f49ad87248672c4f86958b555f5df25efa7acb76840020005000440046002065874ef63002000d>
/CZE <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>
/DAN <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>
/DEU <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>
/ESP <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>
/FRA <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>
/GRE <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>
/HRV <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>
/HUN <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>
/ITA <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>
/JPN <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>
/KOR <FEFFc7740020c124c815c7440020c0acc6a9d558c5ec0020b370c2a4d06cd0d10020d504b9b0d1300020bc0f0020ad50c815ae30c5d0c11c0020ace0d488c9c8b85c0020c778c1c4d560002000410064006f0062006500200050004400460020bb38c11cb97c0020c791c131d569b2c8b2e4002e0020c774b807ac8c0020c791c131b41c00200050004400460020bb38c11cb2940020004100630072006f0062006100740020bc0f002000410064006f00620065002000520065006100640065007200200035002e00300020c774c0c1c5d0c11c0020c5f40020c2180020c788c2b5b2c8b2e4002e000d>
/NLD (Gebruik deze instellingen om Adobe PDF-documenten te maken voor kwaliteitsafdrukken op desktopprinters en proofers. De gemaakte PDF-documenten kunnen worden geopend met Acrobat en Adobe Reader 5.0 en hoger.)
/NOR <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>
/POL <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>
/PTB <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>
/RUM <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>
/RUS <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>
/SLV <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>
/SUO <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>
/SVE <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>
/TUR <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>
/ENU (Use these settings to create Adobe PDF documents for quality printing on desktop printers and proofers. Created PDF documents can be opened with Acrobat and Adobe Reader 5.0 and later.)
>>
/Namespace [
(Adobe)
(Common)
(1.0)
]
/OtherNamespaces [
<<
/AsReaderSpreads false
/CropImagesToFrames true
/ErrorControl /WarnAndContinue
/FlattenerIgnoreSpreadOverrides false
/IncludeGuidesGrids false
/IncludeNonPrinting false
/IncludeSlug false
/Namespace [
(Adobe)
(InDesign)
(4.0)
]
/OmitPlacedBitmaps false
/OmitPlacedEPS false
/OmitPlacedPDF false
/SimulateOverprint /Legacy
>>
<<
/AddBleedMarks false
/AddColorBars false
/AddCropMarks false
/AddPageInfo false
/AddRegMarks false
/ConvertColors /NoConversion
/DestinationProfileName ()
/DestinationProfileSelector /NA
/Downsample16BitImages true
/FlattenerPreset <<
/PresetSelector /MediumResolution
>>
/FormElements false
/GenerateStructure true
/IncludeBookmarks false
/IncludeHyperlinks false
/IncludeInteractive false
/IncludeLayers false
/IncludeProfiles true
/MultimediaHandling /UseObjectSettings
/Namespace [
(Adobe)
(CreativeSuite)
(2.0)
]
/PDFXOutputIntentProfileSelector /NA
/PreserveEditing true
/UntaggedCMYKHandling /LeaveUntagged
/UntaggedRGBHandling /LeaveUntagged
/UseDocumentBleed false
>>
]
>> setdistillerparams
<<
/HWResolution [2400 2400]
/PageSize [612.000 792.000]
>> setpagedevice
|