Анализ пространственных структур, возникающих при эвтектической кристаллизации и ячеистом распаде пересыщенных твёрдых растворов

Проанализированы условия возникновения различных структур для стационарных процессов эвтектической кристаллизации и ячеистого распада пересыщенных твёрдых растворов. Выполненное рассмотрение основывается на предложенном ранее подходе, в котором сравниваются скорости изменения свободной энергии, вычи...

Повний опис

Збережено в:

Бібліографічні деталі
Дата:	2014
Автори:	Иванов, М.А., Наумук, А.Ю.
Формат:	Стаття
Мова:	Russian
Опубліковано:	Інститут металофізики ім. Г.В. Курдюмова НАН України 2014
Назва видання:	Металлофизика и новейшие технологии
Теми:	Дефекты кристаллической решётки
Онлайн доступ:	http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/107069
Теги:	Додати тег Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
Назва журналу:	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
Цитувати:	Анализ пространственных структур, возникающих при эвтектической кристаллизации и ячеистом распаде пересыщенных твёрдых растворов / М.А. Иванов, А.Ю. Наумук // Металлофизика и новейшие технологии. — 2014. — Т. 36, № 12. — С. 1571-1595. — Бібліогр.: 32 назв. — рос.

Репозитарії

Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine

id	irk-123456789-107069
record_format	dspace
spelling	irk-123456789-1070692016-10-13T03:02:22Z Анализ пространственных структур, возникающих при эвтектической кристаллизации и ячеистом распаде пересыщенных твёрдых растворов Иванов, М.А. Наумук, А.Ю. Дефекты кристаллической решётки Проанализированы условия возникновения различных структур для стационарных процессов эвтектической кристаллизации и ячеистого распада пересыщенных твёрдых растворов. Выполненное рассмотрение основывается на предложенном ранее подходе, в котором сравниваются скорости изменения свободной энергии, вычисленные двумя методами, а также применяется определённый вариационный принцип выбора между различными путями реализации таких процессов. При этом оказывается, что наиболее выгодной при заданных внешних условиях является такая структура, для которой достигается минимальное значение произведения суммарной величины поверхностной энергии между образующимися фазами на возникающий в рамках такого подхода структурный фактор процесса, причём вид последнего существенно зависит от механизма реализации разделительной диффузии (объёмной или поверхностной). На основе таких представлений здесь выполнено сравнение ламельной и стержневой структур, возникающих как при эвтектической кристаллизации, так и при ячеистом распаде. Для стержневой структуры рассмотрены различные варианты размещения стержней в двумерной решётке, а именно, в виде правильных треугольных или прямоугольных ячеек, а также некоторые, отличные от круговой, огранки стержня, например, в виде правильного шестиугольника. Проаналізовано умови виникнення різноманітних структур для стаціонарних процесів евтектично ї кристалізаці ї та коміркового розпаду пересичених твердих розчинів. Виконаний розгляд ґрунтується на запропонованому раніше підході, основою якого є порівняння швидкостей зміни вільно ї енергі ї, знайдених двома методами, а також певний варіяційний принцип вибору між різними шляхами реалізаці ї таких процесів. При цьому виявляється, що найбільш вигідною при заданих зовнішніх умовах є така структура, для яко ї досягається мінімальне значення добутку сумарно ї величини поверхнево ї енергі ї між утворюваними фазами на структурний фактор процесу, що виникає в межах такого підходу, причому вигляд останнього істотно залежить від механізму реалізаці ї розділово ї дифузі ї (об’ємно ї або поверхнево ї). На основі таких уявлень тут виконано порівняння лямельно ї і стрижнево ї структур, що виникають як при евтектичній кристалізаці ї, так і при комірковому розпаді. Для стрижнево ї структури розглянуто різні варіянти розміщення стрижнів у двовимірній ґратниці, а саме, у вигляді правильних трикутніх або прямокутніх комірок, а також деякі, відмінні від кругового, огранювання стрижня, наприклад, у вигляді правильного шестикутника. The conditions for occurrence of different structures during stationary processes of eutectic crystallization and cellular decomposition of supersaturated solid solutions are analysed. This discussion is based on a previously proposed approach, which is composed of a comparison of the rates of change of free energy calculated by two different methods and a certain variational principle to choose between different ways of implementing such processes. It turns out that the most advantageous under given external conditions is such a structure, for which the minimum value is achieved for product of the total value of surface energy related to the formed phases on the structure factor of the process, which arises under this approach. Besides, the form of the structure factor depends essentially on the mechanism for the implementation of the separation (bulk or surface) diffusion. Based on such considerations, comparison of the lamellar and rod structures arising during eutectic crystallization and cellular decomposition of solid solutions is carried out. For a rod structure, various types of rods’ arrangements over a two-dimensional lattice are considered, namely, with the regular triangular or rectangular cells, and certain rod cross-section facetings different from circular one, for instance, in the form of regular hexagon, are also considered. 2014 Article Анализ пространственных структур, возникающих при эвтектической кристаллизации и ячеистом распаде пересыщенных твёрдых растворов / М.А. Иванов, А.Ю. Наумук // Металлофизика и новейшие технологии. — 2014. — Т. 36, № 12. — С. 1571-1595. — Бібліогр.: 32 назв. — рос. 1024-1809 PACS: 64.60.A-, 64.60.My, 64.70.dg, 65.40.gd, 65.40.gp, 66.30.Fq, 81.30.-t DOI: http://dx.doi.org/10.15407/mfint.36.12.1571 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/107069 ru Металлофизика и новейшие технологии Інститут металофізики ім. Г.В. Курдюмова НАН України
institution	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
collection	DSpace DC
language	Russian
topic	Дефекты кристаллической решётки Дефекты кристаллической решётки
spellingShingle	Дефекты кристаллической решётки Дефекты кристаллической решётки Иванов, М.А. Наумук, А.Ю. Анализ пространственных структур, возникающих при эвтектической кристаллизации и ячеистом распаде пересыщенных твёрдых растворов Металлофизика и новейшие технологии
description	Проанализированы условия возникновения различных структур для стационарных процессов эвтектической кристаллизации и ячеистого распада пересыщенных твёрдых растворов. Выполненное рассмотрение основывается на предложенном ранее подходе, в котором сравниваются скорости изменения свободной энергии, вычисленные двумя методами, а также применяется определённый вариационный принцип выбора между различными путями реализации таких процессов. При этом оказывается, что наиболее выгодной при заданных внешних условиях является такая структура, для которой достигается минимальное значение произведения суммарной величины поверхностной энергии между образующимися фазами на возникающий в рамках такого подхода структурный фактор процесса, причём вид последнего существенно зависит от механизма реализации разделительной диффузии (объёмной или поверхностной). На основе таких представлений здесь выполнено сравнение ламельной и стержневой структур, возникающих как при эвтектической кристаллизации, так и при ячеистом распаде. Для стержневой структуры рассмотрены различные варианты размещения стержней в двумерной решётке, а именно, в виде правильных треугольных или прямоугольных ячеек, а также некоторые, отличные от круговой, огранки стержня, например, в виде правильного шестиугольника.
format	Article
author	Иванов, М.А. Наумук, А.Ю.
author_facet	Иванов, М.А. Наумук, А.Ю.
author_sort	Иванов, М.А.
title	Анализ пространственных структур, возникающих при эвтектической кристаллизации и ячеистом распаде пересыщенных твёрдых растворов
title_short	Анализ пространственных структур, возникающих при эвтектической кристаллизации и ячеистом распаде пересыщенных твёрдых растворов
title_full	Анализ пространственных структур, возникающих при эвтектической кристаллизации и ячеистом распаде пересыщенных твёрдых растворов
title_fullStr	Анализ пространственных структур, возникающих при эвтектической кристаллизации и ячеистом распаде пересыщенных твёрдых растворов
title_full_unstemmed	Анализ пространственных структур, возникающих при эвтектической кристаллизации и ячеистом распаде пересыщенных твёрдых растворов
title_sort	анализ пространственных структур, возникающих при эвтектической кристаллизации и ячеистом распаде пересыщенных твёрдых растворов
publisher	Інститут металофізики ім. Г.В. Курдюмова НАН України
publishDate	2014
topic_facet	Дефекты кристаллической решётки
url	http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/107069
citation_txt	Анализ пространственных структур, возникающих при эвтектической кристаллизации и ячеистом распаде пересыщенных твёрдых растворов / М.А. Иванов, А.Ю. Наумук // Металлофизика и новейшие технологии. — 2014. — Т. 36, № 12. — С. 1571-1595. — Бібліогр.: 32 назв. — рос.
series	Металлофизика и новейшие технологии
work_keys_str_mv	AT ivanovma analizprostranstvennyhstrukturvoznikaûŝihpriévtektičeskojkristallizaciiiâčeistomraspadeperesyŝennyhtvërdyhrastvorov AT naumukaû analizprostranstvennyhstrukturvoznikaûŝihpriévtektičeskojkristallizaciiiâčeistomraspadeperesyŝennyhtvërdyhrastvorov
first_indexed	2025-07-07T19:27:15Z
last_indexed	2025-07-07T19:27:15Z
_version_	1837017528406114304
fulltext	1571 ДЕФЕКТЫ КРИСТАЛЛИЧЕСКОЙ РЕШЁТКИ PACS numbers:64.60.A-, 64.60.My,64.70.dg,65.40.gd,65.40.gp,66.30.Fq, 81.30.-t Анализ пространственных структур, возникающих при эвтектической кристаллизации и ячеистом распаде пересыщенных твёрдых растворов М. А. Иванов, А. Ю. Наумук Институт металлофизики им. Г. В. Курдюмова НАН Украины, бульв. Акад. Вернадского, 36, 03680, ГСП, Киев-142, Украина Проанализированы условия возникновения различных структур для ста- ционарных процессов эвтектической кристаллизации и ячеистого распа- да пересыщенных твёрдых растворов. Выполненное рассмотрение осно- вывается на предложенном ранее подходе, в котором сравниваются ско- рости изменения свободной энергии, вычисленные двумя методами, а также применяется определённый вариационный принцип выбора между различными путями реализации таких процессов. При этом оказывается, что наиболее выгодной при заданных внешних условиях является такая структура, для которой достигается минимальное значение произведения суммарной величины поверхностной энергии между образующимися фа- зами на возникающий в рамках такого подхода структурный фактор про- цесса, причём вид последнего существенно зависит от механизма реали- зации разделительной диффузии (объёмной или поверхностной). На осно- ве таких представлений здесь выполнено сравнение ламельной и стерж- невой структур, возникающих как при эвтектической кристаллизации, так и при ячеистом распаде. Для стержневой структуры рассмотрены раз- личные варианты размещения стержней в двумерной решётке, а именно, в виде правильных треугольных или прямоугольных ячеек, а также неко- торые, отличные от круговой, огранки стержня, например, в виде пра- вильного шестиугольника. Проаналізовано умови виникнення різноманітних структур для стаціона- рних процесів евтектичної кристалізації та коміркового розпаду переси- чених твердих розчинів. Виконаний розгляд ґрунтується на запропонова- ному раніше підході, основою якого є порівняння швидкостей зміни віль- ної енергії, знайдених двома методами, а також певний варіяційний принцип вибору між різними шляхами реалізації таких процесів. При цьому виявляється, що найбільш вигідною при заданих зовнішніх умовах є така структура, для якої досягається мінімальне значення добутку су- Металлофиз. новейшие технол. / Metallofiz. Noveishie Tekhnol. 2014, т. 36, № 12, сс. 1571—1595 Оттиски доступны непосредственно от издателя Фотокопирование разрешено только в соответствии с лицензией 2014 ИМФ (Институт металлофизики им. Г. В. Курдюмова НАН Украины) Напечатано в Украине. 1572 М. А. ИВАНОВ, А. Ю. НАУМУК марної величини поверхневої енергії між утворюваними фазами на стру- ктурний фактор процесу, що виникає в межах такого підходу, причому вигляд останнього істотно залежить від механізму реалізації розділової дифузії (об’ємної або поверхневої). На основі таких уявлень тут виконано порівняння лямельної і стрижневої структур, що виникають як при евте- ктичній кристалізації, так і при комірковому розпаді. Для стрижневої структури розглянуто різні варіянти розміщення стрижнів у двовимірній ґратниці, а саме, у вигляді правильних трикутніх або прямокутніх комі- рок, а також деякі, відмінні від кругового, огранювання стрижня, напри- клад, у вигляді правильного шестикутника. The conditions for occurrence of different structures during stationary pro- cesses of eutectic crystallization and cellular decomposition of supersaturat- ed solid solutions are analysed. This discussion is based on a previously pro- posed approach, which is composed of a comparison of the rates of change of free energy calculated by two different methods and a certain variational principle to choose between different ways of implementing such processes. It turns out that the most advantageous under given external conditions is such a structure, for which the minimum value is achieved for product of the total value of surface energy related to the formed phases on the structure factor of the process, which arises under this approach. Besides, the form of the structure factor depends essentially on the mechanism for the implemen- tation of the separation (bulk or surface) diffusion. Based on such considera- tions, comparison of the lamellar and rod structures arising during eutectic crystallization and cellular decomposition of solid solutions is carried out. For a rod structure, various types of rods’ arrangements over a two- dimensional lattice are considered, namely, with the regular triangular or rectangular cells, and certain rod cross-section facetings different from cir- cular one, for instance, in the form of regular hexagon, are also considered. Ключевые слова: стационарные неравновесные процессы, эвтектическая кристаллизация, ячеистый распад пересыщенных твёрдых растворов, ламельная структура, стержневая структура, диффузия, скорость изме- нения свободной энергии. (Получено 18 ноября 2014 г.) 1. ВВЕДЕНИЕ Изучение различного типа неравновесных процессов продолжает оставаться одной из существенных и актуальных проблем совре- менной физики вообще и физики твёрдого тела в частности [1—6]. Однако для достаточно сложных объектов описание таких процес- сов, в том числе их зависимости от времени, встречается со значи- тельными трудностями как в термодинамическом, так и в стати- стическом подходах, в первую очередь из-за отсутствия критериев выбора и описания альтернативных путей, по которым они разви- ваются. Более простыми в этом отношении оказываются стацио- АНАЛИЗ ПРОСТРАНСТВЕННЫХ СТРУКТУР ТВЁРДЫХ РАСТВОРОВ 1573 нарные процессы, для которых проблемы выбора путей встречают- ся только на начальных этапах, а затем все параметры процесса принимают не зависящий от времени вид. В физике твёрдого тела и материаловедении, как в теоретическом, так и в прикладном аспек- те, одну из важнейших ролей в этом отношении играют различные процессы кристаллизации, распада и др. Несмотря на то, что таки- ми вопросами в течение уже достаточно длительного времени зани- малось большое число исследователей (см., например, [7—28]), по- следовательного описания таких процессов, включая определения численных значений их параметров, даже для стационарного слу- чая получено не было. В этой связи, в [29—32] был развит подход, в рамках которого удаётся получить законченное описание ряда стационарных нерав- новесных процессов. В частности, оказалось возможным рассмот- реть эвтектическую кристаллизацию и ячеистый распад пересы- щенных твёрдых растворов с возникновением различного типа про- странственно-периодических структур, элементами которых явля- ются разные фазы микро- и нанометровых размеров. Этот подход основывается главным образом на анализе в рамках термодинами- ческой теории неравновесных процессов скорости изменения сво- бодной энергии рассматриваемой системы. При этом такую ско- рость можно определять двумя способами. Один из них основывает- ся на расчёте изменения суммарной свободной энергии начальных и конечных фаз вдали от фронта кристаллизации или распада, а дру- гой – на рассмотрении диссипативных процессов разделительной диффузии в некоторой окрестности этого фронта. Сравнение полу- ченных таким образом двух выражений позволяет получить весьма важное для дальнейшего анализа соотношение между такими ха- рактеристиками рассматриваемого процесса как скорость движе- ния фронта, характерный размер возникающей периодической структуры и величина переохлаждения на фронте. Однако этого со- отношения оказывается недостаточно для определения всех пара- метров рассматриваемых процессов. Дальнейший анализ таких яв- лений и нахождение всех искомых параметров процессов, включая как их зависимость от характеристик материалов, температуры и других внешних условий, так и численные значения соответству- ющих коэффициентов, удалось получить с использованием опреде- лённого вариационного принципа. Одна из формулировок такого принципа заключается в предположении, что при заданном значе- нии величины переохлаждения и других внешних условий система «выбирает» такой путь и осуществляет такой подбор параметров и взаимного расположения возникающих фаз, при котором скорость процесса оказывается максимальной. Другая формулировка этого принципа состоит в том, что при заданной скорости процесса выби- рается минимальное значение величины переохлаждения. По- 1574 М. А. ИВАНОВ, А. Ю. НАУМУК скольку оба подхода приводят к одинаковой зависимости парамет- ров, характеризующих процесс, включая и численные коэффици- енты, то можно полагать, что такой выбор вариационного принципа является внутренне самосогласованным. На основании такого подхода в [30, 31] было показано, что при заданных внешних условиях в рамках того и другого вариационно- го принципа осуществляется рост таких структур, которым соот- ветствует минимальное значение произведения суммарной поверх- ностной энергии между возникающими в такой системе новыми фа- зами на некоторый введённый здесь структурный фактор процесса. Однако подробного вычисления такого структурного фактора для разных систем и, соответственно, анализа того, при каких условиях возникает та или иная структура, выполнено не было. Эти вопросы как раз и составляют предмет настоящей работы. В целом ряде экс- периментальных и теоретических работ [7—28] было показано, что в стационарных условиях, как при эвтектической кристаллизации, так и при ячеистом распаде, возникают либо пространственно- периодические структуры ламельного типа, состоящие из череду- ющих пластин разных фаз (рис. 1, а), либо стержневого типа, в ко- торых внутри одной из фаз как фона растут стержни другой фазы, Рис. 1. Примеры структур, возникающих при эвтектической кристалли- зации: ламельная структура эвтектики Ni—Ni3Si [27] (а), стержневая структура гексаборида лантана—диборида циркония (LaB6—ZrB2) из [28] (б), пример фазовой диаграммы эвтектического типа (в). АНАЛИЗ ПРОСТРАНСТВЕННЫХ СТРУКТУР ТВЁРДЫХ РАСТВОРОВ 1575 образуя достаточно правильную двухмерную решётку (см. рис. 1, б). Поэтому далее в работе будут рассмотрены структурные факторы для разных процессов и выполнено их сравнение именно для ла- мельных и стержневых структур. При этом будет учитываться, что характер зависимости скорости изменения сводной энергии от па- раметров процесса и вид самого структурного фактора для эвтекти- ческой кристаллизации и ячеистого распада оказывается суще- ственно различным. Это связано с тем, что в первом случае раздели- тельная диффузия компонентов осуществляется путём объёмного транспорта атомов, а во втором – их поверхностным транспортом вдоль фронта распада. Для стержневой структуры при эвтектиче- ском распаде будут рассмотрены также различные варианты раз- мещения стержней в двухмерной решётке, а именно, в виде пра- вильных треугольных или прямоугольных ячеек, а также некото- рые, отличные от круговой, огранки стержня, например вида пра- вильного шестиугольника. Выполненное сравнение показывает, что сама по себе стержневая структура (без учёта пространственной анизотропии поверхностной энергии для разных граней) для обоих процессов оказывается более выгодной в широком интервале кон- центраций. Однако возможность выбора для ламельной структуры выгодной взаимной ориентации двух растущих кристаллических фаз, при которой поверхностная энергия минимальна, приводит к тому, что во многих случаях возникает именно ламельная структу- ра. 2. СКОРОСТЬ ИЗМЕНЕНИЯ СВОБОДНОЙ ЭНЕРГИИ ДЛЯ ПРОЦЕССА ЭВТЕКТИЧЕСКОЙ КРИСТАЛЛИЗАЦИИ В этом разделе рассматривается простейшая одномерная геометрия процесса эвтектической кристаллизации, а именно, полагается, что плоский фронт кристаллизации с площадью S равномерно движет- ся со скоростью v вдоль оси z, перпендикулярной этому фронту. Для анализа такого процесса рассмотрим сначала величину 1  – ско- рость изменения свободной энергии системы в целом вдали от фронта кристаллизации: 1 L S 0,        (1) где L  и S  – скорости изменения этой энергии в исходной жид- кой и конечных твёрдых фазах. Предполагается, что система явля- ется двухкомпонентной, и жидкая фаза с эвтектической объёмной концентрацией c0 элемента А распадается на две чистые твёрдые фазы, отвечающие элементам А и В. Тогда выражения для L  и S  имеют вид: 1576 М. А. ИВАНОВ, А. Ю. НАУМУК L L L 0 A 0 0 B 0 S S S 0 A 0 B АВ АВ [ ( , ) (1 ) ( , )] 0, [ ( ) (1 ) ( )] 0, vS c T c c T c vS c T c T S                    (2) где L A 0 ( , )T c , L B 0 ( , )T c – химические потенциалы на единицу объ- ёма элементов А и В жидкой фазы, S A ( )T , S B ( )T – химические по- тенциалы единицы объёма соответствующих твёрдых фаз, АВ АВ S  – скорость изменения поверхностной энергии между твёрдыми фа- зами А и В. В [30] было показано, что после несложных преобразо- ваний выражение для 1  в области несколько ниже эвтектической температуры TE, когда величина переохлаждения E E T T T T    , можно записать в виде:   L , 0 0A 1 AB 1 , , , L 1 A 01 / , 0, 2 . / r r r r TT Bv r r B S r T c T c c                  (3) Здесь первое слагаемое в скобках в выражении для 1  обусловлено объёмным вкладом в свободную энергию, а второе – поверхностной энергией между растущими фазами А и В. rr и r – пространствен- ные характеристики стержневой и ламельной структур ( r – тол- щина ламели, отвечающей фазе А, rr – эффективный радиус стержня, величина которого определяется через площадь Sr, при- ходящуюся на одну ячейку стержневой структуры: 2 0 /r rS r c  ). AB  – поверхностное натяжение в плоскости сопряжения фаз А и В ламельной структуры. Для стержневой структуры AB r есть некото- рое усреднённое значение поверхностной энергии для всех соприка- сающихся поверхностей указанных фаз и равна: AB AB /(2 ),r j j r j r     (4) где индекс j нумерует соприкасающиеся грани с поверхностной энергией AB j , а j  – длина такого соприкосновения на фронте кри- сталлизации (для круглого стержня при изотропной в плоскости поверхностной энергии AB r и есть такая энергия). В (3) введена ха- рактерная температура T1, которая определяется выражением: 1 A B 1/ 1/( / ) 1/ ( / ) ,T dT dc dT dc  (5) где величины A ( / )dT dc и B ( / )dT dc указаны на фазовой диаграмме рис. 1, б. Другой способ определения скорости изменения свободной энер- гии состоит в нахождении вклада в неё за счёт различных диссипа- тивных процессов, в данном случае – за счёт процессов раздели- тельной диффузии, причём здесь достаточно учитывать лишь диф- фузию в жидкой фазе. Соответствующий вклад в изменение свобод- ной энергии можно тогда записать в виде: АНАЛИЗ ПРОСТРАНСТВЕННЫХ СТРУКТУР ТВЁРДЫХ РАСТВОРОВ 1577 L 2A 0 0 ( , )1 ( ( )) , 1 D V V T c D c dV c c         R (6) где c(R) – зависящая от координат концентрация элемента А в жидкой фазе, интегрирование по V ведётся по всему такому объёму, а DV – коэффициент взаимной диффузии в жидкости, для которого ввиду малости изменения c(R) можно пренебречь зависимостью от координат. Для описания распределения c(R) примем во внимание, что ве- личина переохлаждения в процессе эвтектической кристаллизация всегда мала, так что выполняется условие T  T1. При этом ока- зываются малыми как скорость самого процесса, так и значение числа Пекле. Тогда можно показать, что функция c(R) удовлетво- ряет уравнению Лапласа: c(R)  0. (7) При этом становится возможным воспользоваться электростати- ческой аналогией и в (6) перейти от объёмного интеграла к поверх- ностному на фронте кристаллизации. Поскольку, согласно (7), объ- ёмные заряды отсутствуют, для нахождения распределения необ- ходимо знать лишь граничные условия на указанной поверхности. Такими граничными условиями могут служить условия сохране- ния потока атомов на фронте кристаллизации. В работе [30] было также показано, что в случае, когда энергия поверхностного натя- жения между растущими твёрдыми фазами А и В намного меньше поверхностной энергии между этими фазами и исходной жидкой фазой, фронт кристаллизации с достаточной степенью точности можно считать плоским. Тогда условия сохранения потоков и, сле- довательно, граничные условия на фронтах фаз А и В принимают следующий вид: 0 0A B ( )/ , 0 ( )/ .V Vv D c z c v D c z c v         r r (8) В качестве примера на рис. 2, а для структур ламельного типа схематически показаны потоки атомов внутри жидкой фазы. После цепочки относительно несложных преобразований выра- жение (6) для D  принимает вид: L 2 A 0 1 , , 1 0 0 ( , )1 , (1 ) . 2 D r r V T c B v r B Sc c D c           (9) Таким образом, скорость изменения свободной энергии в данном подходе зависит от квадрата скорости движения фронта кристалли- зации и первой степени параметра ,rr  , определяющего простран- 1578 М. А. ИВАНОВ, А. Ю. НАУМУК ственный размер возникающей структуры. Новым здесь является впервые введённый в [30] безразмерный параметр ,r  , который иг- рает роль структурного фактора для рассматриваемых здесь про- цессов. В случае, когда при эвтектической кристаллизации возни- кает стержневая структура, этот фактор описывается выражением: 0 0 0 2 0 2 2 2 0A A B0 0 2 2 0A B0 2 2 0 B 1 1( ) ( ) 2 1 ( ) ( ) (10) , ( ) ( ) i i i i i r i cdx dy dxdy dxdy cx x y y c dx dy dxdy c x x y y dx dy x x y y                                                                        а для структур ламельного типа: 0 0 0 2 0 2 2 0 0A A 0 2 2 2 2 0 00B B A B 1 1( ) ( ) 2 . 1( ) ( ) ( ) ( ) i i i i i i cdx dy dx cx x y cdx dy dx dy dx dx cx x y x x y                                                          (11) В (10), (11) интегрирование ведётся по безразмерным координатам ,x y  и ,x y   , описывающим фронт кристаллизации, и определённых в единицах rr и r соответственно для стержневых и ламельных структур. Ai и Bi (i  0,  , ) – поверхности фронта, занятые фаза- ми сорта А и В (площадь каждого такого участка для фазы А равна , а для фазы В – (1  c0)/c0). Поверхности A0 и B0 отвечают неко- торой произвольно выбранной нулевой пространственной ячейке. Рис. 2. Схематическое изображение характера ламельной структуры, воз- никающей при эвтектической кристаллизации: потоки атомов А (а), по- следовательное расположения ячеек структуры (б). АНАЛИЗ ПРОСТРАНСТВЕННЫХ СТРУКТУР ТВЁРДЫХ РАСТВОРОВ 1579 Приравняем величины скоростей свободной энергии, получен- ные здесь двумя способами и определённые в (3) и (9): 1 . D     (12) Если следующим образом ввести безразмерный пространственный параметр r и безразмерную скорость v : 2 L , 0 ,A , , , AB0 0 1 0 ,, , 2 1 , , , , (1 ) r rV r r r rr r r Dv T r v v c T cr v                       (13) то уравнение (12) с учётом (3), (9) и (13) принимает довольно про- стой вид и не зависит от характера структуры: (1 ), 1/ .v x x x r    (14) Далее для анализа возможности возникновения той или иной структуры в процессе эвтектической кристаллизации (либо в про- цессах распада) воспользуемся принципом максимального значе- ния скорости такого процесса при заданной величине переохла- ждения. Отсюда, в первую очередь, следует, что максимальной должна быть и величина приведённой скорости v . Тогда из (14) сразу следует, что: max max 1/4, 2.v r   (15) Такое значение max r означает, как видно из (3), что половина выиг- рыша в объёмной энергии при кристаллизации «тратится» на обра- зование поверхности раздела между фазами А и В. С учётом (13) и (15) окончательное выражение для скорости про- цесса принимает вид: 2 L A 1 0 , 21 1 . 2 (1 ) V r DT v c T c          (16) Таким образом, в рамках описанного здесь подхода при эвтекти- ческой кристаллизации возникает такая структура, для которой параметр ,r   , определённый в (13), принимает минимальное зна- чение. При этом сомножитель , AB r  , входящий в , ( ) r c  , как прави- ло, может быть меньшим для ламельных структур, что и объясняет появление во многих случаях именно такого типа структур, но структурный фактор процесса , ( ) r c  в зависимости от эвтектиче- ской концентрации, может, вообще говоря, вести себя по-разному. Далее этот вопрос будет рассмотрен более подробно. 1580 М. А. ИВАНОВ, А. Ю. НАУМУК 3. ЛАМЕЛЬНАЯ СТРУКТУРА Переходя к вычислению фактора  для ламельной структуры, можно отметить, что каждое слагаемое в соответствующем выра- жении (11), вообще говоря, расходится на бесконечности при инте- грировании по y . Однако можно предложить достаточно простую процедуру, которая позволяет избавиться в целом от такой расхо- димости. Для этого из каждого расходящегося слагаемого 2 2 1/2 [( ) ( ) ]x x y      следует вычесть также расходящееся, но не за- висящее от координат x , x слагаемое, например 2 1/2 [1 ( ) ]y   . При этом сумма всех четырёх таких дополнительных слагаемых при ин- тегрировании по x , x обращается в нуль. Для нахождения  введём, как показано на рис. 2, б, последова- тельность ячеек ламельной структуры, которые будем нумеровать индексом k (k  0, 1 , 2, ), включая и некоторым образом выбран- ную нулевую ячейку, причём, начиная с 1-го, каждому номеру бу- дут соответствовать две симметричные ячейки (рис. 2, б). Считая, что вклад от каждой такой ячейки в  равен ( ) k c , получим: 0,1,2, ... ( ) ( ).k k c c          (17) Простой расчёт показывает, что вклады в ( )c за счёт нулевой ячейки – 0 ( )c и первых двух ячеек – 2(c) ( 2 0 1 ( ) ( ) ( )c c c      ) описываются следующими выражениями: 2 0 2 2 1 1 1 ln(1 ) 2 ln 4 ln2 ( ) ln(1 ) , 1 (1 ) (1 ) c c c c c c c c c c                   (18) 2 2 2 2 2 2 2 2 1 2ln 2 2 1 ( ) ln(1 ) ln(1 ) 1(1 ) 1 3 1 3 20 ln(3 ) ln(3 ) ln2 . 1 1 (1 ) c c c c c cc c c c c c c c c c c c                                   (19) Общий вид вклада в ( )c за счёт j-ой ячейки оказывается таким: 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 4 (1 ) 2( ) 2( ) ( ) ln ln( ) ln( ) (1 ) (1 ) (1 ) (2 1 ) (2 1 ) ln(2 1 ) ln(2 1 ) (1 ) (1 ) (2 1 ) (2 1 ) ln(2 1 ) ln(2 1 ) (1 ) (1 ) j j c j c j c c j j c j c c c c c c c j c j c j c j c c c c c j c j c j c j c c c c c                                      АНАЛИЗ ПРОСТРАНСТВЕННЫХ СТРУКТУР ТВЁРДЫХ РАСТВОРОВ 1581 2 2 2 2 2 2( 1) 2( 1) 8 ln2 ln( 1) ln( 1) . (1 ) (1 ) (1 ) j j j j c c c          (20) Зависимости от концентраций значений 0 ( )c и 2(c) показаны на рис. 3, а (кривые 1 и 2 соответственно). Здесь же кривая 3 описыва- ет концентрационную зависимость для практически точного значе- ния 50( ) ( )c c   , полученного с учётом 50 координационных сфер. Как видно из рис. 3, вклад только от нулевой ячейки ( 0 ( )c ) ока- зывается недостаточным для того, чтобы описать концентрацион- ную зависимость структурного фактора  для ламелей. Так, вели- чина 0 ( )c оказывается существенно несимметричной относитель- но замены c на 1  c. Учёт же вклада от нулевой ячейки и её бли- жайших соседей (кривая 2 на рис. 3, а) уже приводит к значитель- ному улучшению ситуации, так что соответствующая зависимость 2(c) оказывается почти симметричной относительно указанной за- мены. Вклад же следующих соседей оказывается значительно меньше, как видно из рис. 3, б. Здесь линия 1 описывает вклад от 2- х соседей, а 2 – от 50 соседей, начиная со второго. Видно, что обе эти поправки достаточно малы, так что практически точная кривая 3 на рис. 3, а весьма мало отличается от зависимости 2(c), которая описывается кривой 2, и эти кривые почти не разрешаются на дан- ном рисунке. Таким образом, ряд (17) для  оказывается быстро сходящимся, и в большинстве практических случаев для нахожде- ния ( )c оказывается достаточным учёт нулевой и первой ячейки. 4. СТЕРЖНЕВАЯ СТРУКТУРА И ЕЕ СРАВНЕНИЕ С ЛАМЕЛЬНОЙ Перейдём теперь к анализу стержневой структуры и определим как характер пространственного распределения стержней, так и их Рис. 3. Зависимость от концентрации вкладов в ламельный структурный фактор ( )c : (а) кривая 1 – вклад нулевой ячейки ( 0 ( )c ), 2 – вклад ну- левой ячейки и её ближайших соседей ( 2 ( )c ), 3 – 50 ( ) ( )c c   ; (б) линия 1 – вклад от второй координационной сферы ( 2 ( )c ), 2 – 50 2 ( ) ( )c c   . 1582 М. А. ИВАНОВ, А. Ю. НАУМУК форму. Будет рассмотрена система параллельных стержней, упоря- доченным образом расположенных в плоскости фронта кристалли- зации, перпендикулярной осям стержней. Определим сначала наиболее выгодный способ размещения стержней на примере стержней с круглым сечением. Как экспериментальные данные, так и теоретические представления указывают на то, что с точки зрения обеспечения максимальной скорости кристаллизации, наиболее выгодным является пространственно-упорядоченное 2D- распределение стержней в плоскости фронта. В качестве таких структур представляется логичным выбрать структуры с правиль- ным треугольным, четырёхугольным или шестиугольным распо- ложением стержней, как это показано на рис. 4, поскольку только для таких структур соответствующие ячейки Вигнера—Зейтца для каждого стержня являются правильными многогранниками (соот- ветственно, шестигранники, квадраты и треугольники), которые плотно заполняют все пространство, так что все стержни оказыва- ются в эквивалентных позициях. Для нахождения структурного фактора r  r(c) системы стерж- ней, как и для ламелей, рассмотрим вклады от произвольно вы- бранной нулевой ячейки и её соседей из первой и последующих ко- ординационных сфер (см. рис. 4): 0,1,2, ... ( ) ( ),r r r k k c c       (21) где k – номер координационной сферы. Сравним теперь величины структурных факторов ( )r c для рас- Рис. 4. Схематическое изображение расположения стержней с круглым сечением после эвтектической кристаллизации в шестиугольной (а), квадратной (б) и треугольной (в) решётках. Черные кружки – область фа- зы А, светлая область – фазы В. Без штриховки – нулевая ячейка, пере- крёстная штриховка – первое окружение нулевой ячейки, простая штри- ховка – её второе окружение (а). АНАЛИЗ ПРОСТРАНСТВЕННЫХ СТРУКТУР ТВЁРДЫХ РАСТВОРОВ 1583 сматриваемых здесь треугольной, квадратной и шестиугольной ре- шёток. При этом для простоты будем сначала учитывать только вклады от нулевых ячеек. Соответствующие расчёты 0 ( ) r c с ис- пользованием выражения (10) представлены на рис. 5, а. Заранее можно было думать, что наиболее выгодной окажется структура, отвечающая треугольной решётке. Действительно, про- стой расчёт показывает, что именно в такой решётке стержни ока- зываются наиболее далеко отстоящими друг от друга (отношение квадрата расстояния между стержнями 2 r R к площади фронта Sr, приходящейся на один стержень, оказывается соответственно 1,1547, 1 и 0,8774 для треугольной, квадратной и шестиугольной решёток). Кроме того, экспериментально хорошо известно, что для двумерных систем характерна как раз треугольная решётка, например в двумерном вигнеровском кристалле, решётке вихрей Абрикосова в сверхпроводниках II рода и др. Выполненный здесь и представленный на рис. 3, а расчёт показывает, что и в данном слу- чае треугольная решётка оказывается все-таки предпочтительней, поскольку её структурный фактор ( )r c оказывается наименьшим. При этом если для шестиугольной решётки это различие оказыва- ется довольно значительным, то для треугольной и квадратной ре- шёток (а также в случае, когда нулевая ячейка выбрана в виде кру- га) различие в ( )r c оказывается весьма малым и, как видно из рис. 5, а, при концентрациях c  0,3 их значения практически не- различимы. Такое незначительное отличие может указывать на то, Рис. 5. Зависимость от концентрации структурного фактора стержневой эвтектики с круглым сечением стержней: вклад только нулевой ячейки ( 0 ( )r c ) для разных решёток, 1 – треугольная двухмерная решётка, 2 – квадратная, 3 – шестиугольная, 4 – случай, когда нулевая ячейка для стержней выбрана в виде круга (а); треугольная решётка, 1 – вклад нуле- вой ячейки ( 0 ( )r c ), 2 – нулевой и первого окружения ( 0 1 ( ) ( )r rc c   ), на врезке показан вклад только второго окружения ( 2 ( ) r c ) (б). 1584 М. А. ИВАНОВ, А. Ю. НАУМУК что треугольная решётка стержней будет недостаточно стабильной и устойчивой даже в случае, когда внешние условия будут поддер- живаться по возможности стабильными. Действительно, как видно из экспериментальных данных [7—28], в наблюдаемых системах со- держится очень значительное число структурных дефектов. Можно также отметить, что в области малых концентраций, когда c  0, зависимость ( )r c удаётся представить в следующем асимпто- тическом виде: 1/2 ( ) (0)(1 ) r r c c     , (0) ( 0)r r c     1,697, где параметр  для треугольной решётки оказывается равным 1,356, для квадратной – 1,355, для шестиугольной – 1,072 и, наконец, для круглой ячейки результат оказывается совпадающим в пределах точности с тем, что имеет место для треугольной решётки. Рассмотрим теперь поправки к структурному фактору ( )r c за счёт взаимодействия нулевой ячейки со следующими координаци- онными сферами, согласно (21). При этом будем проводить расчёты для наиболее выгодной структуры с треугольной решёткой (см. рис. 4, а) и стержней с круглым сечением. На основной части рис. 5, б для такой решётки представлен как вклад 0 ( ) r c за счёт ну- левой ячейки – кривая 1, так и значение 0 1 ( ) ( ) r rc c   , обусловлен- ное вкладом нулевой ячейки и первого её окружения – кривая 2. Видно, что вклад в ( )r c за счёт 1 ( ) r c может быть существенным (до 10% при c  0,5). В то же время показанный на врезке к рис. 5, б вклад 2 ( ) r c имеет существенно меньшие значения. Это связано с тем, что каждая ячейка является «электронейтральной», так что взаимодействие двух удалённых ячеек является взаимодействием двух мультиполей и очень быстро спадает с увеличением расстоя- ния между ячейками. Таким образом, и в случае стержневой струк- туры, как и для ламельной, основной вклад в структурный фактор вносит нулевая ячейка и её ближайшие соседи, тогда как взаимо- действие с соседями из второй и более далёких координационных сфер практически не изменяют значения ( )r c , так что при даль- нейшем анализе их вкладом можно пренебречь. Ещё один фактор, который необходимо принимать во внимание при рассмотрении стержневой структуры, является возможность роста не круглой, а огранённой поверхности стержня, например, шестиугольной, типа карандаша, что также наблюдалось экспери- ментально (см., например, [13]). На первый взгляд появление такой огранки является невыгодным, поскольку в таком случае периметр сечения стержня (и, соответственно, площадь его поверхности) при той же площади сечения возрастёт в ( 1)rP  раз. Изменится при наличии огранки также и структурный фактор ( )r c . Значения ( 0)r c  , rP и их произведения ( 0) ( 0) r r r c P c     приведены в табл. 1 для стержней с разным сечением. При этом, действительно, огранка становится невыгодной при изотропии поверхностной энергии в плоскости фронта кристалли- АНАЛИЗ ПРОСТРАНСТВЕННЫХ СТРУКТУР ТВЁРДЫХ РАСТВОРОВ 1585 зации. Иная же ситуация будет иметь место при наличии такой анизотропии, поскольку, как было показано выше, в процессе ста- ционарной эвтектической кристаллизации минимально возможное значение должна принимать величина , , , AB r r r       , где эффектив- ная поверхностная энергия AB r для стержней определена в (4). Наличие достаточно сильной анизотропии поверхностной энергии может приводить либо к появлению огранки стержней, либо к воз- никновению ламельной структуры, так как тогда может реализо- ваться такое сопряжение между растущими кристаллическими фа- зами, для которого энергия поверхностного напряжения мини- мальна. Проанализируем теперь более подробно в рамках предлагаемого подхода условия возникновения стержневой либо ламельной структур. При этом одной из наиболее важных и универсальных характеристик сравниваемых систем являются их структурные факторы , ( )r c  , независящие от конкретных свойств веществ, в частности, энергий поверхностного натяжения между возникаю- щими фазами. На рисунке 6 приведены зависимости структурных факторов для стержневой треугольной эвтектики с круглым и ше- стигранным сечением стержня, а также для ламельной эвтектики. Для изотропного или близкого к изотропному характера величи- ны поверхностного натяжения между возникающими кристалли- ческими фазами альтернативный выбор между ламельной и стерж- невой структурами определяется лишь значением соответствующе- го структурного фактора, а именно тем, какой из них ( ( )c или ( )r c ) является минимальным. Из сравнения кривых 1 и 2 на рис. 6 видно, что при c0  0,34 в этом случае реализуется стержневая структура, а в области 0,34  c0  0,5 – ламельная. При существен- но анизотропном характере поверхностного натяжения наиболее простым для анализа является случай, когда возникают стержни с огранкой, причём равными оказываются коэффициент поверхност- ного натяжения в гранях и ламелях. Тогда условия возникновения ламельной структуры или огранённой стержневой определяется из ТАБЛИЦА 1. Значения величин r(c  0), Pr и приведённого структурного фактора ( ) r c для различных огранок стержня. Огранка стержня r(c  0) Pr ( ) r c Круг 1,697 1 1,697 Шестиугольник 1,693 1,05 1,778 Квадрат 1,677 1,128 1,892 Треугольник 2,088 1,286 2,685 1586 М. А. ИВАНОВ, А. Ю. НАУМУК сравнения величин ( )c и ( ) ( ) r r r c P c   . Сравнение кривых 2 и 3 на рис. 6 показывает, что в таком случае стержневая структура реа- лизуется в области эвтектических концентраций c0  0,27, а ла- мельная – в области 0,27  c0  0,5. Таким образом, с точки зрения структурного фактора стержневая структура может реализоваться в более широкой области концентраций, включая и достаточно ма- лые значения c0. Однако в реальных системах может оказаться, что минимальное значение поверхностной энергии между двумя рас- тущими в процессе эвтектической кристаллизации фазами может достигаться лишь для ламельных структур. Тогда именно они будут расти даже при малых эвтектических концентрациях, несмотря на большее значение структурного фактора роста ( )c . 5. СРАВНЕНИЕ ГЕОМЕТРИЧЕСКИХ СТРУКТУР, ВОЗНИКАЮЩИХ В ПРОЦЕССЕ ЯЧЕИСТОГО РАСПАДА В этом разделе будут рассмотрены ламельная и стержневая струк- туры, возникающие при стационарном ячеистом распаде пересы- щенных твёрдых растворов. Здесь полагается, что изначальный твёрдый раствор (фаза ) с концентрацией примесного компонента В, равной c0, распадается на обеднённую начальную фазу () с кон- центрацией примеси c1 (c1 < c0) и фазу выделения  на основе чисто- го примесного компонента. Пример соответствующей фазовой диа- граммы для системы Pb—Sn с указанием фаз  и , а также концен- трации пересыщения c0, при которой происходит распад, представ- лен на рис. 7, а. Относительная доля объёма, занимаемая при этом фазой , оказывается равной величине c2 (0  c2  c0), однозначно Рис. 6. Зависимости от эвтектической концентрации структурных факто- ров , ( ) r c  для систем стержней и ламелей: 1 – структурный фактор ( )r c для стержней с круглым сечением в треугольной решётке, полученный с учётом вклада нулевой ячейки и её первого окружения, 2 – структурный фактор ( )c ламельной эвтектики, 3 – приведённый структурный фак- тор ( ) r c для стержней с шестиугольной огранкой в треугольной решётке. АНАЛИЗ ПРОСТРАНСТВЕННЫХ СТРУКТУР ТВЁРДЫХ РАСТВОРОВ 1587 связанной с концентрациями c0 и c1: 2 0 1 1 0 1 0 2 2 ( )/(1 ), ( ) (1 ) /(1 ).c c c c c c c c c       (22) Здесь, как и выше, будет полагаться, что возникает плоский фронт распада с площадью S, который равномерно движется со скоростью v в направлении оси z, перпендикулярной этому фронту. Используя такой же подход, как и для случая эвтектической кристаллизации, рассмотрим сначала скорость C 1  изменения свободной энергии си- стемы вдали от фронта распада: Рис. 7. Равновесная фазовая диаграмма системы Pb—Sn, -фаза соответ- ствует начальному и обеднённому после распада раствору на основе Pb,  – фаза выделения на основе элемента В (Sn) (a); схематическое изобра- жение возникающей при распаде ламельной структуры и потоков атомов примеси вблизи фронта распада (б); ячейка в форме круга для стержневой структуры. Интенсивность окраски в нижнем полукруге соответствует значениям радиальных потоков Rc , R c в (29) (в). 1588 М. А. ИВАНОВ, А. Ю. НАУМУК C 11 0 1 v ( , ) ,S c c S            (23) где 0 1 0 2 ( , ) ( , ) 0c c c c     – изменение свободной энергии единицы объёма (движущая сила распада),   – поверхностная энергия между фазами  и , приходящаяся на единицу площади, S      – скорость изменения этой энергии для всей системы. В качестве характерных пространственных параметров, описываю- щих возникающие структуры, выберем для ламельной структуры толщину r ламели фазы , а для стержневой структуры – радиус rr стержня той же фазы. Тогда C 1  можно представить, аналогично (3), в следующем виде:  С 1 0 2 0C 0C 2 0 2,v ( , ) 1 1/ , / , 2 / ( , ).rS c c r r c c cr r r                 (24) Перейдём к определению скорости изменения свободной энергии другим способом, на основе рассмотрения диссипативных процес- сов разделительной диффузии вблизи фронта кристаллизации. В отличие от эвтектической кристаллизации, где основную роль иг- рает объёмная диффузия компонент в жидкой фазе, здесь, как и в [31], будем считать, что ячеистый распад контролируется гранич- ной диффузией атомов в тонком слое толщиной  на фронте распада. Тогда, воспользовавшись для нахождения соответствующего вкла- да C D  выражением вида (6) и полагая, что в слое  величины пото- ков практически не изменяется в направлении оси z, получим:  2C B 0 0 ( , ) ( ) , 1 D S S T c D c d c c         r r (25) где DS – коэффициент граничной диффузии в плоскости распада S, интеграл по dr является двумерным и отвечает той же плоскости, как и тангенциальные градиенты концентраций элемента В – ( )c r . Для нахождения распределения концентраций в плоскости S воспользуемся условием сохранения диффузионных потоков эле- мента В. Нормальные диффузионные потоки d n I  , d n I  через ниж- нюю поверхность слоя  на границе, соответственно, с фазами  и  имеют, согласно [31], следующий вид: d n n 0 d n n 0 1 0 2 2 ), ( ) ) /(1 ), (1 (1 S S I D c v c I D c c c v v c c c                     (26) где n c , n c – нормальные (т.е. вдоль оси z) градиенты концен- траций. Потоки d n I  , d n I  после прохождения границы поворачива- ют и становятся тангенциальными в слое . Рассмотрим сначала выражение C D  для ламельной структуры АНАЛИЗ ПРОСТРАНСТВЕННЫХ СТРУКТУР ТВЁРДЫХ РАСТВОРОВ 1589 (см. рис. 7, б). Из условия сохранения потоков и с учётом (26) полу- чим в этом случае следующие выражения для значения тангенци- альных градиентов концентраций: 0 t 0 2 t 2 2 ) , 0 , 2 ) , . 2 1 2 2 2 (1 (1 S S c r c r r D c r r r rc c r r D c c v v                             (27) Тогда, подставляя эти значения в (25) и переходя под интегралом к безразмерным переменным 2 /x r r  , получим: 2 2 2 2 2 0 B 0 2 1/1 2 2 2 0 1 2 1 1 (1 ) ( , ) ( ), 4 ( ) 1 ( ) 1 . 3 C D S c c x c c v T c S P c D c P c c x dx dx r                              (28) Перейдём теперь к рассмотрению величины C D  , определённой в (25), для случая, если в процессе ячеистого распада возникает стержневая структура. Рассмотрим только нулевую ячейку и пред- положим для простоты, что такая ячейка имеет форму круга (см. рис. 7, в), внутри которой расположено также круглое сечение стержня. Как видно из рис. 5, а, выбор нулевой ячейки в виде круга приводит лишь к несущественному изменению структурного фак- тора эвтектической кристаллизации. Однако такое предположение для ячеистого распада даёт возможность существенно упростить решение, поскольку позволяет считать все потоки атомов в рас- сматриваемой ячейке радиальными, причём они принимают нуле- вые значения в центре круга и на внешних краях такой ячейки (рис. 7, в). Согласно выбранному выше определению характерного масштаба для стержневой структуры, радиус стержня равен rr, а радиус всей нулевой ячейки – 1/2 2 /rr c . В силу сохранения диффузи- онных потоков и с учётом граничных условий радиальные значения градиентов концентрации Rc , R c оказываются равными:   0 2 2 20 2 2 2 ) , 0 , 2 ) 1 , . 2 1 (1 (1 R r S R r r r r S c r r r D c c r r r r r r c D r c v v c c                     (29) Подставляя выражения (29) в (25), получим: 1590 М. А. ИВАНОВ, А. Ю. НАУМУК 2 2 C 0 B 0 2 (1 ) ( , ) ( ), 4 r D S r r c v r T c S P c D c         (30) 2 2 2 11 3 2 2 2 0 1 2 22 2 2 2 1 1 1 ( ) 2 1 ( ) 1 2 ln 1 . (1 ) c r c x c P c c x dx dx x c c c c                           (31) Приравняем, как и в (12), два разных выражения для скорости из- менения свободной энергии при ячеистом распаде – (24) и (28), (30). Используя определённое в (24) безразмерное значение r для пространственного параметра структуры, возникающей при распа- де, и вводя безразмерное значение v для скорости фронта распада 3 0 20 0 , , 2 2 B 0 0 2 , 2 ( , ) / , ( , ) (1 ) ( ) S r r r c c D v v v v T c c c c P c               (32) получим в результате следующее уравнение, связывающее v и r : 2 (1 1/ )/ .v r r    (33) Как и всюду в рамках предлагаемого подхода, будем полагать, что реализуется такая структура, которой соответствует максимальное значение скорости распада v при заданной температуре процесса. Отсюда сразу следует, что максимальное значение должна, в част- ности, принимать и величина v . Из (33) сразу получаем, что такому максимуму отвечают следующие значения r и v : 3/2r  , 4/27v  (см. также [31, 32]). Таким образом, окончательное выражение для скорости ячеистого распада принимает вид: 3 0 2 , 2 2 B 0 0 2 , 2 ( , )4 . 27 ( , ) (1 ) ( ) S r r c c D v v T c c c c P c             (34) Для скорости движения фронта ячеистого распада ,rv  , которая описывается выражением (34), остаётся ещё достаточно широкий круг возможных механизмов, которые позволяют за счёт измене- ния характера и параметров такого распада добиваться повышения скорости распада и достижения её максимально возможного значе- ния. Сюда относится, можно сказать в первую очередь, взаимная подстройка кристаллографических направлений растущих фаз  и  с целью достижения минимального значения стоящей в знамена- теле (34) поверхностной энергии   между этими фазами. Физиче- АНАЛИЗ ПРОСТРАНСТВЕННЫХ СТРУКТУР ТВЁРДЫХ РАСТВОРОВ 1591 ски это означает, что быстрее всего растут максимально сопряжён- ные между собой фазы. Анализ такого сопряжения для ячеистого распада мало отличается от выполненного выше для процесса эв- тектической кристаллизации и, в частности, указывает на то, что при сильной анизотропии величины   предпочтительней оказы- ваются либо ламельная, либо огранённая стержневая структура, для которых имеется возможность выбрать наименьшее в целом значение   для всех соприкасающихся граней. Помимо зависимости от энергии поверхностного натяжения, для скорости ячеистого распада большое значение имеет и её зависи- мость от концентрации c1 примесного элемента В, которая остаётся в фазе . Эта концентрация также может меняться в зависимости от условий распада, например, температуры, и подбираться такой, чтобы обеспечивать максимальное значение скорости распада при фиксированных других параметрах. Соответствующий анализ был выполнен в [31] для ламельной структуры при заданном значении концентрации пересыщения c0. Поскольку в этом случае концен- трация c1, согласно (22), однозначно связана с концентрацией c2 фа- зы , то аналогичным образом можно определить также соответ- ствующие значения c2 для скорости v в (34). Из (34) также видно, что единственное отличие в зависимостях от c2 скоростей движения фронта распада v и r v для структур ламельного и стержневого ти- па связано лишь с различными значениями структурных факторов 2 ( )P c и 2 ( ) r P c для таких процессов, которые определены в (28) и (31). Графики зависимостей 2 ( )P c и 2 ( )rP c представлены на рис. 8. Из этого рисунка видно, что с точки зрения величин структурных факторов для разных процессов распада при малых значениях кон- Рис. 8. Сравнение зависимостей от концентрации c2 структурных факторов 2 ( )P c и 2 ( )rP c для процессов распада на ламели и стержне, 1 – 2 ( ) 1/3P c  (см. (28)), 2 – зависимость 2 ( )rP c , определённая в (31). 1592 М. А. ИВАНОВ, А. Ю. НАУМУК центрации c2 (c2 < 0,35) предпочтительней является стержневая структура, поскольку 2 2 ( ) ( ) r P c P c  . Однако такой вывод можно сделать только при условии, что энергия поверхностного натяже- ния   является изотропной или близкой к изотропной. 6. ЗАКЛЮЧЕНИЕ В настоящей работе продолжено изучение стационарных неравно- весных процессов на основе анализа скорости производства свобод- ной энергии и с использованием определённого вариационного принципа. В развитие работ [29—32] выполнено более подробное исследова- ние таких неравновесных процессов, для которых имеется чётко определённый и движущийся с постоянной скоростью плоский фронт превращения. В этом случае предлагаемый вариационный принцип заключается в том, что из множества возможных путей развития определённого процесса и набора возникающих при этом структур, как предполагается, реализуются именно такие, которым соответствует максимальное значение скорости движения фронта превращения. В какой-то мере такое представление основывается на хорошо понятном представлении о том, что при множестве флуктуационно возникающих на фронте превращения структур остаётся лишь та, которой соответствует максимальная скорость роста, а остальные ею поглощаются. Основное внимание выше было уделено анализу процессов эвтек- тической кристаллизации и ячеистого распада пересыщенных твёрдых растворов и выяснению причин возникновения при этом той или иной пространственно периодической структуры, состоя- щей из двух разных кристаллических фаз. С одной стороны, оба эти процесса являются достаточно разными, поскольку они обусловле- ны различными диссипативными процессами: в первом случае ос- новную роль играет разделительная диффузия в объёме жидкой фа- зы, во втором – процессы «двухмерной» диффузии в тонком слое на границе распада. С другой стороны, пространственно периодиче- ские структуры, возникающие в результате таких, а также целого ряда других процессов, оказываются идентичными. Такими струк- турами являются либо ламельная, состоящая из чередующихся пластин двух разных кристаллических фаз, либо стержневого типа, когда внутри одной из таких фаз как фона параллельно между сбой расположены стержни другой фазы, образуя достаточно правиль- ную двухмерную решётку. При этом поперечное сечение стержней может быть как круглой формы, так и иметь некоторую огранку. Выполненное здесь и в работах [30, 31] рассмотрение показало, что условию максимального значения скорости процесса отвечает АНАЛИЗ ПРОСТРАНСТВЕННЫХ СТРУКТУР ТВЁРДЫХ РАСТВОРОВ 1593 минимальное значение произведения суммарной поверхностной энергии между возникающими в такой системе новыми фазами на некоторый предлагаемый структурный фактор процесса, который не зависит ни от каких конкретных свойств системы, помимо соста- ва. Условие минимального значения поверхностной энергии озна- чает, что быстрее всего растёт такая структура, в которой две новые твёрдые фазы кристаллографически максимально сопряжены между собой. В случае изотропного или близкого к изотропному ха- рактера такой поверхностной энергии альтернативный выбор типов структур осуществляется между ламельной структурой и стержне- вой с круглым сечением стержня, причём такой выбор определяет- ся лишь минимальным значением соответствующего структурного фактора процесса. При этом в области не слишком высоких концен- траций (c0  0,34 для эвтектической кристаллизации и c2  0,355 при ячеистом распаде) реализуется стержневая структура, в кото- рой стержни образуют достаточно правильную треугольную дву- мерную решётку. В остальной же области концентраций (до c0, c2  0,5) будет реализоваться ламельная структура. В результате для последней ширина области существования по концентрации при такой поверхностной энергии оказывается существенно более узкой по сравнению со стержневой структурой. В случае же, когда поверхностная энергия между образовавши- мися фазами носит существенно анизотропный характер, может оказаться, что в результате подбора соответствующих контактиру- ющих поверхностей удаётся добиться значительного уменьшения суммарной поверхностной энергии между растущими фазами именно для ламельных структур либо для стержневых структур с огранёнными стержнями (например, с шестиугольным сечением). Тогда именно такие структуры и будут расти даже при малых ис- ходных концентрациях изначального раствора, несмотря на то, что значение их структурного фактора роста больше. Более детальный анализ случая анизотропной поверхностной энергии является до- статочно сложным вопросом и требует подробного исследования с привлечением экспериментальных данных о величинах такой ани- зотропии, которая не всегда бывает известна. В дальнейшем в рамках рассмотренного подхода планируется рассмотреть также процессы эвтектоидного распада, в частности, с образованием сложных стехиометрических соединений. Работа выполнена при поддержке Государственной целевой про- граммы Украины «Нанотехнологии и наноматериалы» (договор № 1.1.1.3-4/14-Д). ЦИТИРОВАННАЯ ЛИТЕРАТУРА 1. S. R. de Groot, Introduction to Thermodynamics of Irreversible Processes (New 1594 М. А. ИВАНОВ, А. Ю. НАУМУК York: Interscience Publishers, Inc.: 1951). 2. I. Prigogine, Non-Equilibrium Statistical Mechanics (New York: John Wiley: 1961). 3. S. R. de Groot and P. Masur, Nonequilibrium Thermodynamics (Amsterdam: North-Holland: 1962). 4. I. Gyarmati, Non-Equilibrium Thermodynamics. Field Theory and Variational Principles (Berlin: Springer: 1970). 5. P. Glansdorff and I. Prigogine, Thermodynamic Theory of Structure, Stability and Fluctuations (New York: John Wiley: 1971). 6. Д. Н. Зубарев, Неравновесная статистическая термодинамика (Москва: Наука: 1971). 7. H. C. H. Carpenter and J. M. Robertson, J. Iron Steel Inst., 125, No. 1: 309 (1932). 8. D. Turnbull and H. N. Treaftis, Acta Met., 3, No. 1: 43 (1955). 9. W. de Sorbo and D. Turnbull, Acta Met., 4, No. 5: 495 (1956). 10. R. G. Rose, Acta Met., 5, No. 7: 404 (1957). 11. Н. Н. Буйнов, Р. Р. Захарова, Распад металлических пересыщенных твёрдых растворов (Москва: Металлургия: 1964). 12. K. N. Tu and D. Turnbull, Acta Met., 15, Iss. 2: 369; ibidem, Iss. 8: 1317 (1967). 13. К. П. Бунин, Я. Н. Малиночка, Ю. Н. Таран, Основы металлографии чугуна (Москва: Металлургия: 1969). 14. Л. Н. Лариков, О. А. Шматко, Физ. мет. металловед., 30, № 6: 1173 (1970). 15. Л. Н. Лариков, О. А. Шматко, Ячеистый распад пересыщенных твёрдых растворов (Киев: Наукова думка: 1976). 16. О. А. Шматко, Металлофизика, 2, № 2: 97 (1980). 17. М. В. Иткин, В. С. Красильников, О. А. Шматко, Металлофизика, 7, № 6: 27 (1985). 18. W. H. Brandt, J. Appl. Phys., 16, No. 1: 139 (1945). 19. C. Zener, Trans. AIME, 167, No. 1: 550 (1945). 20. D. Turnbull, Acta Met., 3, No. 1: 55 (1955). 21. M. Hillert, Jernkont. Ann., 141, No. 1: 757 (1957). 22. J. W. Cahn, Acta. Met., 7, No. 1: 18 (1959). 23. K. A. Jackson and J. D. Hunt, Trans. AIME, 236, No. 1: 1129 (1966). 24. J. M. Shapiro and J. S. Kirkaldy, Acta. Met., 16, No. 1: 579 (1968). 25. B. E. Sundquist, Acta Met., 16, No. 1: 1413 (1968). 26. F. M. A. Carpay and J. Boomgard, Acta Met., 19, No. 1: 1279 (1971). 27. S. Milenkovic and R. Caram, J. Crystal Growth, 237—239, No. 1: 95 (2002). 28. H. Deng, E. C. Dickey, Y. Paderno, V. Paderno, V. Filippov, and A. Sayir, J. Mater. Sci., 39, No. 1: 5987 (2004). 29. М. А. Иванов, В. И. Глущенко, А. Ю. Наумук, Физ. мет. металловед., 113, № 1: 3 (2012). 30. М. А. Иванов, А. Ю. Наумук, Физ. мет. металловед., 115, № 5: 502 (2014). 31. М. А. Иванов, А. Ю. Наумук, Физ. мет. металловед., 115, № 9: 941 (2014). 32. М. А. Иванов, А. Ю. Наумук, О. А. Шматко, Металлофиз. новейшие технол., 36, № 8: 1061 (2014). REFERENCES 1. S. R. de Groot, Introduction to Thermodynamics of Irreversible Processes (New York: Interscience Publishers, Inc.: 1951). АНАЛИЗ ПРОСТРАНСТВЕННЫХ СТРУКТУР ТВЁРДЫХ РАСТВОРОВ 1595 2. I. Prigogine, Non-Equilibrium Statistical Mechanics (New York: John Wiley: 1961). 3. S. R. de Groot and P. Masur, Nonequilibrium Thermodynamics (Amsterdam: North-Holland: 1962). 4. I. Gyarmati, Non-Equilibrium Thermodynamics. Field Theory and Variational Principles (Berlin: Springer: 1970). 5. P. Glansdorff and I. Prigogine, Thermodynamic Theory of Structure, Stability and Fluctuations (New York: John Wiley: 1971). 6. D. N. Zubarev, Neravnovesnaya Statisticheskaya Termodinamika (Moscow: Nauka: 1971) (in Russian). 7. H. C. H. Carpenter and J. M. Robertson, J. Iron Steel Inst., 125, No. 1: 309 (1932). 8. D. Turnbull and H. N. Treaftis, Acta. Met., 3, No. 1: 43 (1955). 9. W. de Sorbo and D. Turnbull, Acta. Met., 4, No. 5: 495 (1956). 10. R. G. Rose, Acta. Met., 5, No. 7: 404 (1957). 11. N. N. Buynov and R. R. Zakharova, Raspad Metallicheskikh Peresyshchennykh Tverdykh Rastvorov (Moscow: Metallurgiya: 1964) (in Russian). 12. K. N. Tu and D. Turnbull, Acta Met., 15, Iss. 2: 369; ibidem, Iss. 8: 1317 (1967). 13. K. P. Bunin, Ya. N. Malinochka, and Yu. N. Taran, Osnovy Metallografii Chuguna (Moscow: Metallurgiya: 1969) (in Russian). 14. L. N. Larikov and O. A. Shmatko, Fiz. Met. Metalloved., 30, No. 6: 1173 (1970) (in Russian). 15. L. N. Larikov and O. A. Shmatko, Yacheistyy Raspad Peresyshchennykh Tverdykh Rastvorov (Kiev: Naukova Dumka: 1976) (in Russian). 16. O. A. Shmatko, Metallofizika, 2, No. 2: 97 (1980) (in Russian). 17. M. V. Itkin, V. S. Krasil’nikov, and O. A. Shmatko, Metallofizika, 7, No. 6: 27 (1985) (in Russian). 18. W. H. Brandt, J. Appl. Phys., 16, No. 1: 139 (1945). 19. C. Zener, Trans. AIME, 167, No. 1: 550 (1945). 20. D. Turnbull, Acta. Met., 3, No. 1: 55 (1955). 21. M. Hillert, Jernkont. Ann., 141, No. 1: 757 (1957). 22. J. W. Cahn, Acta. Met., 7, No. 1: 18 (1959). 23. K. A. Jackson and J. D. Hunt, Trans. AIME, 236, No. 1: 1129 (1966). 24. J. M. Shapiro and J. S. Kirkaldy, Acta. Met., 16, No. 1: 579 (1968). 25. B. E. Sundquist, Acta. Met., 16, No. 1: 1413 (1968). 26. F. M. A. Carpay and J. Boomgard, Acta. Met., 19, No. 1: 1279 (1971). 27. S. Milenkovic and R. Caram, J. Crystal Growth, 237—239, No. 1: 95 (2002). 28. H. Deng, E. C. Dickey, Y. Paderno, V. Paderno, V. Filippov, and A. Sayir, J. Mater. Sci., 39, No. 1: 5987 (2004). 29. M. A. Ivanov, V. I. Glushchenko, and A. Yu. Naumuk, Fiz. Met. Metalloved., 113, No. 1: 3 (2012) (in Russian). 30. M. A. Ivanov and A. Yu. Naumuk, Fiz. Met. Metalloved., 115, No. 5: 502 (2014) (in Russian). 31. M. A. Ivanov and A. Yu. Naumuk, Fiz. Met. Metalloved., 115, No. 9: 941 (2014) (in Russian). 32. M. A. Ivanov, A. Yu. Naumuk, and O. A. Shmatko, Metallofiz. Noveishie Tekhnol., 36, No. 8: 1061 (2014) (in Russian). << /ASCII85EncodePages false /AllowTransparency false /AutoPositionEPSFiles true /AutoRotatePages /None /Binding /Left /CalGrayProfile (Dot Gain 20%) /CalRGBProfile (sRGB IEC61966-2.1) /CalCMYKProfile (U.S. Web Coated \050SWOP\051 v2) /sRGBProfile (sRGB IEC61966-2.1) /CannotEmbedFontPolicy /Error /CompatibilityLevel 1.4 /CompressObjects /Tags /CompressPages true /ConvertImagesToIndexed true /PassThroughJPEGImages true /CreateJobTicket false /DefaultRenderingIntent /Default /DetectBlends true /DetectCurves 0.0000 /ColorConversionStrategy /CMYK /DoThumbnails false /EmbedAllFonts true /EmbedOpenType false /ParseICCProfilesInComments true /EmbedJobOptions true /DSCReportingLevel 0 /EmitDSCWarnings false /EndPage -1 /ImageMemory 1048576 /LockDistillerParams false /MaxSubsetPct 100 /Optimize true /OPM 1 /ParseDSCComments true /ParseDSCCommentsForDocInfo true /PreserveCopyPage true /PreserveDICMYKValues true /PreserveEPSInfo true /PreserveFlatness true /PreserveHalftoneInfo false /PreserveOPIComments true /PreserveOverprintSettings true /StartPage 1 /SubsetFonts true /TransferFunctionInfo /Apply /UCRandBGInfo /Preserve /UsePrologue false /ColorSettingsFile () /AlwaysEmbed [ true ] /NeverEmbed [ true ] /AntiAliasColorImages false /CropColorImages true /ColorImageMinResolution 300 /ColorImageMinResolutionPolicy /OK /DownsampleColorImages true /ColorImageDownsampleType /Bicubic /ColorImageResolution 300 /ColorImageDepth -1 /ColorImageMinDownsampleDepth 1 /ColorImageDownsampleThreshold 1.50000 /EncodeColorImages true /ColorImageFilter /DCTEncode /AutoFilterColorImages true /ColorImageAutoFilterStrategy /JPEG /ColorACSImageDict << /QFactor 0.15 /HSamples [1 1 1 1] /VSamples [1 1 1 1] >> /ColorImageDict << /QFactor 0.15 /HSamples [1 1 1 1] /VSamples [1 1 1 1] >> /JPEG2000ColorACSImageDict << /TileWidth 256 /TileHeight 256 /Quality 30 >> /JPEG2000ColorImageDict << /TileWidth 256 /TileHeight 256 /Quality 30 >> /AntiAliasGrayImages false /CropGrayImages true /GrayImageMinResolution 300 /GrayImageMinResolutionPolicy /OK /DownsampleGrayImages true /GrayImageDownsampleType /Bicubic /GrayImageResolution 300 /GrayImageDepth -1 /GrayImageMinDownsampleDepth 2 /GrayImageDownsampleThreshold 1.50000 /EncodeGrayImages true /GrayImageFilter /DCTEncode /AutoFilterGrayImages true /GrayImageAutoFilterStrategy /JPEG /GrayACSImageDict << /QFactor 0.15 /HSamples [1 1 1 1] /VSamples [1 1 1 1] >> /GrayImageDict << /QFactor 0.15 /HSamples [1 1 1 1] /VSamples [1 1 1 1] >> /JPEG2000GrayACSImageDict << /TileWidth 256 /TileHeight 256 /Quality 30 >> /JPEG2000GrayImageDict << /TileWidth 256 /TileHeight 256 /Quality 30 >> /AntiAliasMonoImages false /CropMonoImages true /MonoImageMinResolution 1200 /MonoImageMinResolutionPolicy /OK /DownsampleMonoImages true /MonoImageDownsampleType /Bicubic /MonoImageResolution 1200 /MonoImageDepth -1 /MonoImageDownsampleThreshold 1.50000 /EncodeMonoImages true /MonoImageFilter /CCITTFaxEncode /MonoImageDict << /K -1 >> /AllowPSXObjects false /CheckCompliance [ /None ] /PDFX1aCheck false /PDFX3Check false /PDFXCompliantPDFOnly false /PDFXNoTrimBoxError true /PDFXTrimBoxToMediaBoxOffset [ 0.00000 0.00000 0.00000 0.00000 ] /PDFXSetBleedBoxToMediaBox true /PDFXBleedBoxToTrimBoxOffset [ 0.00000 0.00000 0.00000 0.00000 ] /PDFXOutputIntentProfile () /PDFXOutputConditionIdentifier () /PDFXOutputCondition () /PDFXRegistryName () /PDFXTrapped /False /CreateJDFFile false /Description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> /CHS <FEFF4f7f75288fd94e9b8bbe5b9a521b5efa7684002000410064006f006200650020005000440046002065876863900275284e8e9ad88d2891cf76845370524d53705237300260a853ef4ee54f7f75280020004100630072006f0062006100740020548c002000410064006f00620065002000520065006100640065007200200035002e003000204ee553ca66f49ad87248672c676562535f00521b5efa768400200050004400460020658768633002> /CHT <FEFF4f7f752890194e9b8a2d7f6e5efa7acb7684002000410064006f006200650020005000440046002065874ef69069752865bc9ad854c18cea76845370524d5370523786557406300260a853ef4ee54f7f75280020004100630072006f0062006100740020548c002000410064006f00620065002000520065006100640065007200200035002e003000204ee553ca66f49ad87248672c4f86958b555f5df25efa7acb76840020005000440046002065874ef63002> /CZE <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> /DAN <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> /DEU <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> /ESP <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> /ETI <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> /FRA <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> /GRE <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a stvaranje Adobe PDF dokumenata najpogodnijih za visokokvalitetni ispis prije tiskanja koristite ove postavke. Stvoreni PDF dokumenti mogu se otvoriti Acrobat i Adobe Reader 5.0 i kasnijim verzijama.) /HUN <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> /ITA <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> /JPN <FEFF9ad854c18cea306a30d730ea30d730ec30b951fa529b7528002000410064006f0062006500200050004400460020658766f8306e4f5c6210306b4f7f75283057307e305930023053306e8a2d5b9a30674f5c62103055308c305f0020005000440046002030d530a130a430eb306f3001004100630072006f0062006100740020304a30883073002000410064006f00620065002000520065006100640065007200200035002e003000204ee5964d3067958b304f30533068304c3067304d307e305930023053306e8a2d5b9a306b306f30d530a930f330c8306e57cb30818fbc307f304c5fc59808306730593002> /KOR <FEFFc7740020c124c815c7440020c0acc6a9d558c5ec0020ace0d488c9c80020c2dcd5d80020c778c1c4c5d00020ac00c7a50020c801d569d55c002000410064006f0062006500200050004400460020bb38c11cb97c0020c791c131d569b2c8b2e4002e0020c774b807ac8c0020c791c131b41c00200050004400460020bb38c11cb2940020004100630072006f0062006100740020bc0f002000410064006f00620065002000520065006100640065007200200035002e00300020c774c0c1c5d0c11c0020c5f40020c2180020c788c2b5b2c8b2e4002e> /LTH <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> /LVI <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> /NLD (Gebruik deze instellingen om Adobe PDF-documenten te maken die zijn geoptimaliseerd voor prepress-afdrukken van hoge kwaliteit. De gemaakte PDF-documenten kunnen worden geopend met Acrobat en Adobe Reader 5.0 en hoger.) /NOR <FEFF004200720075006b00200064006900730073006500200069006e006e007300740069006c006c0069006e00670065006e0065002000740069006c002000e50020006f0070007000720065007400740065002000410064006f006200650020005000440046002d0064006f006b0075006d0065006e00740065007200200073006f006d00200065007200200062006500730074002000650067006e0065007400200066006f00720020006600f80072007400720079006b006b0073007500740073006b00720069006600740020006100760020006800f800790020006b00760061006c0069007400650074002e0020005000440046002d0064006f006b0075006d0065006e00740065006e00650020006b0061006e002000e50070006e00650073002000690020004100630072006f00620061007400200065006c006c00650072002000410064006f00620065002000520065006100640065007200200035002e003000200065006c006c00650072002000730065006e006500720065002e> /POL <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> /PTB <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> /RUM <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> /RUS <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> /SKY <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> /SLV <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> /SUO <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> /SVE <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> /TUR <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> /UKR <FEFF04120438043a043e0440043804410442043e043204430439044204350020044604560020043f043004400430043c043504420440043800200434043b044f0020044104420432043e04400435043d043d044f00200434043e043a0443043c0435043d044204560432002000410064006f006200650020005000440046002c0020044f043a04560020043d04300439043a04400430044904350020043f045604340445043e0434044f0442044c00200434043b044f0020043204380441043e043a043e044f043a04560441043d043e0433043e0020043f0435044004350434043404400443043a043e0432043e0433043e0020043404400443043a0443002e00200020042104420432043e04400435043d045600200434043e043a0443043c0435043d0442043800200050004400460020043c043e0436043d04300020043204560434043a0440043804420438002004430020004100630072006f006200610074002004420430002000410064006f00620065002000520065006100640065007200200035002e0030002004300431043e0020043f04560437043d04560448043e04570020043204350440044104560457002e> /ENU (Use these settings to create Adobe PDF documents best suited for high-quality prepress printing. Created PDF documents can be opened with Acrobat and Adobe Reader 5.0 and later.) >> /Namespace [ (Adobe) (Common) (1.0) ] /OtherNamespaces [ << /AsReaderSpreads false /CropImagesToFrames true /ErrorControl /WarnAndContinue /FlattenerIgnoreSpreadOverrides false /IncludeGuidesGrids false /IncludeNonPrinting false /IncludeSlug false /Namespace [ (Adobe) (InDesign) (4.0) ] /OmitPlacedBitmaps false /OmitPlacedEPS false /OmitPlacedPDF false /SimulateOverprint /Legacy >> << /AddBleedMarks false /AddColorBars false /AddCropMarks false /AddPageInfo false /AddRegMarks false /ConvertColors /ConvertToCMYK /DestinationProfileName () /DestinationProfileSelector /DocumentCMYK /Downsample16BitImages true /FlattenerPreset << /PresetSelector /MediumResolution >> /FormElements false /GenerateStructure false /IncludeBookmarks false /IncludeHyperlinks false /IncludeInteractive false /IncludeLayers false /IncludeProfiles false /MultimediaHandling /UseObjectSettings /Namespace [ (Adobe) (CreativeSuite) (2.0) ] /PDFXOutputIntentProfileSelector /DocumentCMYK /PreserveEditing true /UntaggedCMYKHandling /LeaveUntagged /UntaggedRGBHandling /UseDocumentProfile /UseDocumentBleed false >> ] >> setdistillerparams << /HWResolution [2400 2400] /PageSize [612.000 792.000] >> setpagedevice

Анализ пространственных структур, возникающих при эвтектической кристаллизации и ячеистом распаде пересыщенных твёрдых растворов

Репозитарії

Схожі ресурси