Универсальность синергетических законов. V. Диаграммы напряжение–деформация

Предложена синергетическая модель деформированного состояния упругопластической среды. Продемонстрирована ее адекватность экспериментальным данным при описании истинных и инженерных диаграмм напряжение–деформация...

Повний опис

Збережено в:

Бібліографічні деталі
Дата:	2014
Автори:	Терехов, С.В., Саяпин, В.Н.
Формат:	Стаття
Мова:	Russian
Опубліковано:	Донецький фізико-технічний інститут ім. О.О. Галкіна НАН України 2014
Назва видання:	Физика и техника высоких давлений
Онлайн доступ:	http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/107344
Теги:	Додати тег Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
Назва журналу:	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
Цитувати:	Универсальность синергетических законов. V. Диаграммы напряжение–деформация / С.В. Терехов, В.Н. Саяпин // Физика и техника высоких давлений. — 2014. — Т. 24, № 3-4. — С. 39-57. — Бібліогр.: 51 назв. — рос.

Репозитарії

Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine

id	irk-123456789-107344
record_format	dspace
spelling	irk-123456789-1073442016-10-19T03:02:33Z Универсальность синергетических законов. V. Диаграммы напряжение–деформация Терехов, С.В. Саяпин, В.Н. Предложена синергетическая модель деформированного состояния упругопластической среды. Продемонстрирована ее адекватность экспериментальным данным при описании истинных и инженерных диаграмм напряжение–деформация Запропоновано синергетичну модель деформованого стану суцільного середовища. Продемонстровано її адекватність експериментальним даним при описі істинних та інженерних діаграм напруження–деформація. The synergetics model of the deformed state of continuous environment is offered. The adequacy is shown with respect to the experimental data when describing the veritable and engineering stress–strain diagrams. 2014 Article Универсальность синергетических законов. V. Диаграммы напряжение–деформация / С.В. Терехов, В.Н. Саяпин // Физика и техника высоких давлений. — 2014. — Т. 24, № 3-4. — С. 39-57. — Бібліогр.: 51 назв. — рос. 0868-5924 PACS: 62.20.F–, 62.20.fq, 62.30.+d, 81.40.Jj http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/107344 ru Физика и техника высоких давлений Донецький фізико-технічний інститут ім. О.О. Галкіна НАН України
institution	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
collection	DSpace DC
language	Russian
description	Предложена синергетическая модель деформированного состояния упругопластической среды. Продемонстрирована ее адекватность экспериментальным данным при описании истинных и инженерных диаграмм напряжение–деформация
format	Article
author	Терехов, С.В. Саяпин, В.Н.
spellingShingle	Терехов, С.В. Саяпин, В.Н. Универсальность синергетических законов. V. Диаграммы напряжение–деформация Физика и техника высоких давлений
author_facet	Терехов, С.В. Саяпин, В.Н.
author_sort	Терехов, С.В.
title	Универсальность синергетических законов. V. Диаграммы напряжение–деформация
title_short	Универсальность синергетических законов. V. Диаграммы напряжение–деформация
title_full	Универсальность синергетических законов. V. Диаграммы напряжение–деформация
title_fullStr	Универсальность синергетических законов. V. Диаграммы напряжение–деформация
title_full_unstemmed	Универсальность синергетических законов. V. Диаграммы напряжение–деформация
title_sort	универсальность синергетических законов. v. диаграммы напряжение–деформация
publisher	Донецький фізико-технічний інститут ім. О.О. Галкіна НАН України
publishDate	2014
url	http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/107344
citation_txt	Универсальность синергетических законов. V. Диаграммы напряжение–деформация / С.В. Терехов, В.Н. Саяпин // Физика и техника высоких давлений. — 2014. — Т. 24, № 3-4. — С. 39-57. — Бібліогр.: 51 назв. — рос.
series	Физика и техника высоких давлений
work_keys_str_mv	AT terehovsv universalʹnostʹsinergetičeskihzakonovvdiagrammynaprâženiedeformaciâ AT saâpinvn universalʹnostʹsinergetičeskihzakonovvdiagrammynaprâženiedeformaciâ
first_indexed	2025-07-07T19:50:17Z
last_indexed	2025-07-07T19:50:17Z
_version_	1837018980063117312
fulltext	Физика и техника высоких давлений 2014, том 24, № 3–4 © С.В. Терехов, В.Н. Саяпин, 2014 PACS: 62.20.F–, 62.20.fq, 62.30.+d, 81.40.Jj С.В. Терехов, В.Н. Саяпин УНИВЕРСАЛЬНОСТЬ СИНЕРГЕТИЧЕСКИХ ЗАКОНОВ. V. ДИАГРАММЫ НАПРЯЖЕНИЕ–ДЕФОРМАЦИЯ Донецкий физико-технический институт им. А.А. Галкина НАН Украины ул. Р. Люксембург, 72, г. Донецк, 83114, Украина Статья поступила в редакцию 22 января 2014 года Предложена синергетическая модель деформированного состояния упругопласти- ческой среды. Продемонстрирована ее адекватность экспериментальным данным при описании истинных и инженерных диаграмм напряжение–деформация. Ключевые слова: материал, напряжение, деформация, блуждания, колебания Запропоновано синергетичну модель деформованого стану суцільного середовища. Продемонстровано її адекватність експериментальним даним при описі істинних та інженерних діаграм напруження–деформація. Ключові слова: матеріал, напруження, деформація, блукання, коливання 1. Введение Любые перемещения частиц изменяют физические и термодинамические поля внутри системы. Поля вынуждают другие частицы занимать в простран- стве новые положения, минимизирующие внутреннюю энергию и максими- зирующие энтропию системы [1,2]. При сильных отклонениях от положения термодинамического равновесия эти перемещения приводят к самоорганизации и возникновению новых структур в результате кооперативного отклика системы на локальные изменения. Кооперативная реакция системы, в частности, мо- жет проявляться в возникновении различного рода течений (например, пла- стическое течение вещества в диффузионной зоне или эффект Киркендалла– Смигельскаса [3–6]), потоков (например, тепловых) и периодических движений (например, продольных и поперечных волн [7,8], которые, в частности, могут описываться релятивистским инвариантным уравнением Клейна–Гордона [8,9]). Другими словами, кинетическая сторона эволюции неравновесной системы сопровождается возникновением динамических процессов, обусловленных кооперативной реакцией системы (локальной скоростью изменения потока J [10]) на локальные изменения распределения частиц. Следовательно, возникает проблема поиска универсальной модели для описания взаимосвязи между случайными блужданиями частиц и Физика и техника высоких давлений 2014, том 24, № 3–4 40 связи между случайными блужданиями частиц и кооперативным поведени- ем системы на разных организационных уровнях. В качестве примера рассмотрим макроуровень механического поведения различных материалов при деформировании. Это связано с необходимостью получения и исследования новых материалов с наперед заданными механиче- скими, технологическими и эксплуатационными свойствами (гибридные мате- риалы, аморфные металлы, нанокомпозиты и др.). Деформирование приводит к проникновению через поверхностный барьер материала внешних сил, которые оказывают различное действие на атомы основы материала, атомы внедрения и замещения, дефекты (вакансии, дислокации, дисклинации, трещины, поры и т.д.). Согласно сделанным оценкам [11] металлические образцы, используемые в экспериментах на растяжение (сжатие), кручение или изгиб, содержат в сред- нем 1020–1040 атомов. Поэтому не представляется возможным аналитически учесть действие внешних сил на каждую в отдельности структурную единицу материала. Компьютерное моделирование, оперирующее всего лишь с 103 час- тицами, дает слишком грубое описание ситуации в материале, поскольку вве- дение в расчетную схему одного дополнительного атома вызывает скачкооб- разное изменение числа возможных конфигураций, как минимум, на три по- рядка. Тем не менее атомистический подход [12] позволяет понять, каким обра- зом протекает процесс деформации, какие факторы оказывают влияние на ве- личину механических параметров материала [13]. Для объяснения процессов, протекающих на микроструктурном уровне [13] организации материала, были предложены дислокационная (см., напр., [14–18]) и дисклинационная [19] модели. Они позволили объяснить меха- низм пластических деформаций, происходящих в результате перемещения дис- локаций, при этом, например, движение винтовой дислокации было описано как перемещение волны сдвига [14,15]. Согласно работе [15] поле напряжений крае- вой дислокации содержит гидростатическую и сдвиговую составляющие, поэто- му ее движение порождает продольные (упругие волны сжатия и растяжения) и поперечные (пластические волны сдвига) волны. В предложенных моделях было установлено: дислокации не могут двигаться быстрее скорости звука; их длина уменьшается в направлении движения; винтовая дислокация обладает меньшей скоростью, чем краевая [20] (существование двух видов волн). Торможение дислокаций на дефектах и границах кристаллитов вызывает зарождение и развитие трещин, объединение которых в единую поверхность приводит к разрушению материала. При комнатной температуре в поликри- сталлических средах наиболее слабо связаны атомы в кристаллитах, а при повышенных температурах – на границах зерна. Распространение трещин тормозится различной ориентацией кристаллитов и возникновением облас- тей пластичности на краях трещины, возникающих за счет переползания дислокаций. Дальнейшее увеличение напряжения вызывает вращение и раз- рушение отдельных зерен [13,16], а также распространение трещин. Таким образом, существенное влияние на разрушение материала оказывает под- Физика и техника высоких давлений 2014, том 24, № 3–4 41 вижность дислокаций, которая, в свою очередь, определяется скоростью де- формирования материала. Хрупкое и вязкое разрушения материала проис- ходят одновременно, но в силу различных причин одно из них практически всегда является доминирующим. Параллельно с процессом разрушения про- исходит и самозалечивание трещин, преобладание раскрытия трещин над их схлопыванием происходит при объединении критического числа трещин в единую поверхность разрушения (фрактуризации). Феноменологическое описание механических реакций материала на внешние нагрузки опирается на его фундаментальные свойства: упругость, вязкость, пластичность, диффузию и теплопроводность [1,21–23]. Учет этих характеристик при описании квазистатических и динамических процессов деформирования сплошных сред привел к ряду механореологических моде- лей [1,21–26]. Осредненное действие различных факторов при малом растя- жении (сжатии) стержня (область случайных блужданий, смещений и коле- баний частиц вблизи равновесных положений) приводит к закону Гука, а при малом сдвиге (область вязкого течения и наличие волн в атомарных слоях, например крутильных волн при винтовой деформации [1]) – к закону Максвелла [21,26]. В первом случае поведение материала моделируется уп- ругим телом, при этом приложенное внешнее напряжение σ пропорцио- нально относительному удлинению образца ξ: σ = Еξ, (1) где ξ = Δl/l0, Δl = l – l0 – абсолютное удлинение, l0 и l – начальная и конечная длина стержня. Во втором случае среда обладает вязкостью (внутренним трением), а напряжение σ связано со скоростью деформации ξ линейным законом σ = μξ , (2) здесь μ – объемный коэффициент вязкого сопротивления, определяемый под- вижностью компонентов материала; d /dtξ = ξ – скорость деформации. Коэф- фициент вязкого сопротивления μ определяется произведением модуля сдвига G на время релаксации 0t [25,27]: 0Gtμ = . (3) К недостаткам ранее предложенных атомарных и феноменологических моделей относится отсутствие описания: – диаграмм зависимости напряжения σ от деформации ξ и скорости ее изменения ξ ; – появления на механических диаграммах площадки текучести (или зуба), а также площадки ползучести; – перехода из области вязкоупругого поведения в область пластичности с дальнейшим разрушением объекта механических испытаний. Физика и техника высоких давлений 2014, том 24, № 3–4 42 Отсюда вытекает необходимость построения модели поведения материа- ла в пространстве экспериментальных переменных ( ( , , )f tσ = ξ ξ – «поверх- ность напряжений» [21,22]) для выявления взаимосвязи между параметрами деформационного процесса, а также для описания диаграмм механического состояния и их особенностей. 2. Условия существования «поверхности напряжений» Рассмотрим при абсолютной температуре T деформированную среду, ко- торая содержит на единицу объема n частиц с химическим потенциалом μ и обладает энтропией s. Если система находится в локальном термодинамиче- ском равновесии, то из соотношения Гиббса–Дюгема (см., напр., [28, с. 89]), записанного для деформированного тела, следует, что при отсутствии внеш- них сил для единицы объема справедливо соотношение 0 0d d ds T nε σ = + μ . (4) Формула (4) демонстрирует возникновение локальных напряжений за счет бесконечно малых изменений теплового и химического полей, т.е. определя- ет область существования напряженного состояния материала в некотором объеме Ω. В областях с объемом, меньшим по сравнению с Ω, взаимодейст- вие флуктуаций температуры системы и концентрации компонентов с нена- рушенной решеткой приводит к подавлению напряженного состояния [13]. Перемещения областей напряженного состояния (подвижные дислокации и другие дефекты структуры) и их взаимодействие с флуктуациями порож- дают случайные локальные изменения напряжения. Эти области являются источниками и стоками для механических изменений состояния сплошной среды. Стохастические смещения источников и стоков (за счет случайных блужданий атомов (диффузия), химических реакций между компонентами или переноса тепла (теплопроводность)) могут приводить к возникновению упругих и пластических волн напряжения [29–31]. Следовательно, процессы на микроуровне оказывают влияние на макроуровень структурной организа- ции материала и сопровождаются возникновением локальных напряжений, стремящихся вернуть систему в термодинамическое равновесие. При очень малых отклонениях от положения термодинамического равно- весия за счет приложения внешних нагрузок формула (4) будет справедлива в локально-равновесных областях. Такая ситуация возможна в зернах поли- кристаллического материала при малых скоростях деформирования. Следо- вательно, существование «поверхности напряжений» σΛ [23] при действии на систему внешнего потенциала Φ, вызывающего изменение обобщенной координаты состояния q, определяется формулой 0 0d d d d d ds T n q qΛε σ = + μ + Φ = ε σ + Φ . (5) Формулы (4) и (5) определяют первое условие наличия «поверхности напря- жений», т.е. они дают термодинамическое обоснование ее возникновения. Физика и техника высоких давлений 2014, том 24, № 3–4 43 С другой стороны, малое изменение потенциала механического поля d ( , , )tΛσ ε ε определяется дифференциалами его аргументов d d d dt t Λ Λ Λ Λ ∂σ ∂σ ∂σ σ = ε + ε + ∂ε ∂ε ∂ . (6) Отсутствие разрывов на этой поверхности (непрерывность функции ( , , )tΛσ ε ε ) задается равенством смешанных производных 2 2 Λ Λ∂ σ ∂ σ = ∂ε∂ε ∂ε∂ε ; 2 2 t t Λ Λ∂ σ ∂ σ = ∂ε∂ ∂ ∂ε ; 2 2 t t Λ Λ∂ σ ∂ σ = ∂ ∂ε ∂ε∂ . (7) Невыполнение хотя бы одного из равенств (7) отвечает ограниченности «по- верхности напряжений», т.е. является вторым условием ее существования. Кроме того, это условие указывает на возникновение поверхности фракту- ризации. Области «поверхности напряжений», в которых какая-либо из смешан- ных производных (7) равна нулю, являются областями волновых движений в новых переменных [32, с. 50–51], например 1 22 2 21 2 2 1 1 1 1 0 0 v t vc t v tt ct c Λ Λ Λ ⎧ε = ε +⎪∂ σ ∂ σ ∂ σ⎪ ⎛ ⎞τ= ⇒ ⇒ − =⎨ ⎜ ⎟∂ε∂ τ∂ ⎝ ⎠ ∂ε⎪ = ε − ⎪τ τ⎩ , (8) где v – скорость волны, c и τ – характерные для данной задачи скорость рас- пространения колебаний и время. Возникновение периодических движений в упругопластической среде возможно при выполнении калибровки Лоренца [33] и линейной теории Онзагера [34,35], тогда система уравнений для потен- циала механического поля [36] принимает вид div 0; 0; ; L ∂ϕ ∂⎧ + = =⎪ ∂τ ∂τ⎨ ⎪ = −∇ϕ =⎩ WW X W X , (9) где L – постоянный кинетический коэффициент. Первое и второе уравнения системы (9) задают состояние неравновесной системы, т.е. система прини- мает вид 2 ; 0 ∂ϕ⎧ = ∇ ϕ⎪⎪ ∂τ ⎨∂∇ϕ⎪ = ⎪ ∂τ⎩ или 2 2 ; 0 ∂ϕ⎧ = Δϕ⎪ ∂τ⎪ ⎨ ∂ ϕ⎪Δϕ− = ⎪ ∂τ⎩ . (10) Таким образом, поведение неравновесного материала можно описывать движениями имитационной точки по «поверхности напряжений» в простран- стве экспериментальных переменных напряжение–время–деформация–ско- Физика и техника высоких давлений 2014, том 24, № 3–4 44 рость деформации. Будем считать, что характер перемещения имитационной точки определяется процессами, протекающими на микроуровне. Например, случайным смещениям и колебаниям атомов вещества соответствует слу- чайное блуждание точки по «поверхности напряжений». Эта гипотеза отве- чает одному из синергетических положений о фрактальности явлений и процессов [37–40]: скейлинг формирует между параметрами макроуровня такие же дифференциальные соотношения, которые используют для описа- ния поведения характеристик микроуровня. Она подтверждается молеку- лярно-динамическим моделированием процесса деформирования (см., напр., [41]). 3. Модели сплошных сред Статистический подход к изучению механических свойств материала приводит к тому, что случайные неоднородности на микроскопическом уровне организации материала могут приводить к случайным колебаниям макроскопических характеристик деформационного процесса [37,42]. Эти колебания существенно возрастают при внешнем силовом воздействии. Приложенное напряжение представляется в виде суммы нормальных и каса- тельных напряжений (см., напр., [43]). Нормальные напряжения вызывают упругую деформацию решетки, а касательные – упругопластическую. Упругохрупкая среда. Пусть при фиксированной скорости деформации ( ξ const= ) под действием внешней силы возникают случайные продольные смещения и колебания атомов вещества. Будем считать, что в пространстве σ−ξ−ξ этим явлениям соответствует одномерное хаотическое блуждание имитационной точки вдоль оси деформации Oξ в некоторой плоскости Oσ ξ . Термодинамическую силу Xu и поток Ju упругого напряжения σu, вызываю- щие изменение состояния упругохрупкой среды, определим в рамках моде- ли Онзагера (см., напр., [44]): 1 u uX ∂σ = − θ ∂ξ , u u u LJ ∂σ = − θ ∂ξ , (11) где θ = kBT, kB – постоянная Больцмана; T – температура по абсолютной шкале Кельвина; Lu – кинетический коэффициент Онзагера, который зависит от подвижности атомов, температуры и внутреннего трения среды. Кинетиче- ский коэффициент Lu при такой постановке задачи имеет размерность [Lu] = = J/s, поэтому он связан с диссипацией механической энергии. Закон сохра- нения упругого напряжения σu в локальной области (кристаллите) определя- ется первым уравнением системы (10): 2 2 u u ut ∂σ ∂ σ = ω ∂ ∂ξ , (12) где ωи = Lu/θ – средняя частота упругих колебаний. Физика и техника высоких давлений 2014, том 24, № 3–4 45 Переходя к безразмерному времени τ = ωut, найдем автомодельное реше- ние уравнения (12) путем введения нового аргумента ζ = ξ2/τ. Тогда упругое напряжение σu определяется формулой 1 2( ) ( )u A I Aσ ζ = ζ + , (13) где А1, A2 – константы интегрирования. Интеграл 1/ 2 ζ(ζ) ζ exp dζ 4 I − ⎛ ⎞= −⎜ ⎟ ⎝ ⎠∫ вычислим многократным применени- ем метода интегрирования по частям, что приводит к формуле (остаточный член при интегрировании стремится к нулю): ζ(ζ) 2 ζ exp (ζ) 4 I J⎛ ⎞= −⎜ ⎟ ⎝ ⎠ , (14) здесь функция 2 3 1 1 1 1 1( ) 1 ... 3 2 3 5 2 3 5 7 2 3 5 ... (2 1) 2 k k J k ∞ = ζ ζ ζ ζ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ζ = + + + + =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ +⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ∑ . Приведенный ряд сходится при значениях аргумента ζ из интервала 0–2. Графический вид аналогичной (14) зависимости, полученной в рамках ли- нейной упругой механики разрушения, приведен в работе [45, с. 93]. В области, где справедлива линейная теория упругости, константа A2 = 0, а формула (13) с учетом (14) принимает вид уравнения (1): 1( ) 2u A Eξ σ ζ = = ξ τ , (15) константа интегрирования 1 0.5A E= τ , т.е. модуль Юнга E ~ t–0.5. Таким образом, упругое напряжение σu при возбуждении продольных колебаний в атомной цепочке описывается формулой (сохранен только главный член ря- да J(ζ), рис. 1): а б Рис. 1. Влияние параметров a1 (a: b1 = 0.1) и b1 (b: a1 = 600) на вид кривой упруго- хрупкой реакции материала: а: 1 – 600, 2 – 400, 3 – 200, 4 – 100; б: 1 – 7, 2 – 1, 3 – 0.25, 4 – 0.1 Физика и техника высоких давлений 2014, том 24, № 3–4 46 ( ) 2 2 1 1 1( ) 2 exp exp 4u A a b ⎛ ⎞ξ ξ σ ξ ≈ − = ξ − ξ⎜ ⎟⎜ ⎟ττ ⎝ ⎠ . (16) Упругое напряжение σu достигает максимума в момент времени τ = τm при значении деформации 2m mξ = τ , (17) после чего оно уменьшается до нуля. Такое поведение упругого напряжения σu отображает процесс разрыва связей в атомной цепочке. При достижении критического количества аннулированных связей происходит хрупкое раз- рушение материала, при этом напряжение текучести больше напряжения разрушения [22]. Упруговязкое твердое тело. При сдвиге одной атомной плоскости относи- тельно другой (движение вдоль оси ξO ) возникают два поперечных смеще- ния и одно продольное колебание в атомных цепочках, образующих связан- ные плоскости. Введем в рассмотрение безразмерное время τ = ωpt (ωp = Lp/θ – средняя частота сдвиговых колебаний, Lp – кинетический коэффициент Он- загера) и кинетическую деформацию как произведение скорости деформа- ции на время релаксации 0tχ = ξ . (18) Тогда при постоянном значении деформации (ξ = const) случайные сдвиги атомных плоскостей кристаллической решетки вызывают одномерное блу- ждание изображающей точки в плоскости σOξ вдоль оси Oχ. В этом случае уравнение (12) в безразмерных величинах для вязкоупругих напряжений σp принимает вид 2 2 p p∂σ ∂ σ = ∂τ ∂χ . (19) Формулы типа (13) и (14) в линейной области теории пластичности при- водят к модели Максвелла (см. формулу (2)): 1( ) 2p B χ σ ξ = = μξ τ , (20) где константа интегрирования 1 02 B μ τ = τ . (21) Отсюда следует, что вязкость среды убывает обратно пропорционально квадратному корню из времени деформирования (η ∼ t–0.5). Отметим, что сумма выражений (15) и (20) определяет напряжение в модели твердовязко- го тела Джеффриса [45] (см. также модель Кельвина–Фойхта [21,27]). С уче- том формулы (3) можно переписать равенство (21) в виде Физика и техника высоких давлений 2014, том 24, № 3–4 47 1 2 p GB τ = ω . (22) Разрыв связей между атомными плоскостями происходит в момент вре- мени τ ≥ τmp при достижении скоростью деформации величины 2m mpξ = τ . (23) При достижении порогового значения количества аннулированных связей происходит вязкое разрушение материала, при этом напряжение текучести меньше напряжения разрушения [22]. Упругий хрупковязкий материал (деформируемое тело без упрочнения). Введем в рассмотрение безразмерное время τ = ω0t (ω0 – коллективная час- тота колебаний атомов и сдвигов их плоскостей в кристаллической решет- ке). Тогда спорадические перемещения имитационной точки в пространстве σ–ξ–ξ описываются уравнением 2 2 1 1 1 2 2 ∂σ ∂ σ ∂ σ = + ∂τ ∂ξ ∂χ . (24) Введем автомодельный аргумент 2 2ξ + χ ζ = τ , (25) который определяет движение изображающей точки по эллипсам 2 2 2 2 1 a b ξ χ + = (26) с переменными полуосями a = ζτ и 0 b ζτ = τ . Запишем решение уравнения (24) в виде интегрального логарифма d( ) ln zEi z z = ∫ : 1 1 2( )C Ei z Cσ = + , (27) где аргумент exp 4 z ζ⎛ ⎞= −⎜ ⎟ ⎝ ⎠ . В области его малых значений решение (27) оп- ределяется выражением 1 1 1 2 2ln 4 CC z C Cσ ≈ + = − ζ + . (28) С учетом (25) соотношение (28) определяет параболоид с вершиной в точке ζ = 0 и σ1 = C2 с ветвями, направленными вниз при значениях параметра С1 > 0 и вверх – при С1 < 0. В первом случае параболоиды ±σ1 ограничивают область хрупкоупругого и вязкоупругого поведения материала без упрочнения. Физика и техника высоких давлений 2014, том 24, № 3–4 48 Во втором случае они определяют область существования материала, для тече- ния которого требуется приложить усилие, превышающее значение константы C2. Такие модели неньютоновских материалов были предложены Сен Венаном, Прандтлем, Бингамом и Шведовым [17]. Случайные смещения атомов в кристаллических плоскостях, хаотические движения плоскостей по отношению друг к другу и изменчивость локально- го напряжения с течением времени могут привести к возникновению волн напряжения. 4. Упругие и пластические волны. Разрушение материала Упругие и пластические волны. Упругопластические деформации возника- ют при движении дислокаций, плотность которых в реальных кристаллах не менее 102–103 cm–2 (в термообработанном металле их плотность порядка 107–108 cm–2, в интенсивно пластически деформированном – 1011–1012 cm–2 [46]). В областях, определяемых условием (8), возникают продольные и попе- речные волны. Их распространение описывается вторым уравнением систе- мы (10): 2 2 2 2 2 2 i i i∂ σ ∂ σ ∂ σ = + ∂τ ∂ξ ∂χ , (29) где индекс i определяет тип волны (для продольной (упругой) волны i = u, а для поперечной (сдвиговой) – i = p), τ = ωit – безразмерное время. Для про- дольной (поперечной) волны введение нового аргумента Лоренца [14,15]: 1 12 2 1 1 pu u p vv c c v v c c ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ ξ − τ χ − τ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ξ = χ = ⎜ ⎟⎛ ⎞ ⎛ ⎞− ⎜ ⎟−⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠ (30) преобразовывает уравнение (29) к виду 2 22 2 2 2 2 2 1 1 0 0p pu u ⎛ ⎞∂ σ ∂ σ∂ σ ∂ σ ⎜ ⎟+ = + = ⎜ ⎟∂ξ ∂χ ∂ξ ∂χ⎝ ⎠ . (31) При движении волн вдоль оси Oχ решение уравнения (31) определяется функцией (рис. 2): ( ) ( )1 2 2 1 3 3 1 arctg arctg arctg arctgu pD a b D a b ⎛ ⎞⎛ ⎞⎛ ⎞ξ ξ σ = = ξ σ = = ξ⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟χ χ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠ . (32) Отметим, что движение дислокаций в обычном пространстве описывается аналогичной функцией [47]. Это связано с тем, что скорость деформации определяется плотностью дислокаций и скоростью их скольжения [48]. Физика и техника высоких давлений 2014, том 24, № 3–4 49 а б Рис. 2. Влияние параметров a3 (a: b3 = 1) и b3 (b: a3 = 550) на вид кривой упруго- пластической реакции материала: а: 1 – 600, 2 – 400, 3 – 200, 4 – 100; б: 1 – 4.0, 2 – 0.5, 3 – 0.25, 4 – 0.05 В области малых деформаций при скоростях распространения упругих волн, значительно меньших скорости звука (для пластических волн – в об- ласти малых деформаций), формула (32) принимает вид закона Гука 1 u p D DE E ⎛ ⎞ σ = ξ = ξ σ = ξ = ξ⎜ ⎟χ χ⎝ ⎠ . (33) В этом случае модуль Юнга E обратно пропорционален скорости деформа- ции ξ . Скорости распространения продольной и поперечной волн различа- ются (пластические волны движутся со значительно меньшей скоростью) [49]. Поэтому при моделировании механических диаграмм состояния мате- риалов необходимо учитывать оба типа волн. Разрушение материала. Энергия нагружения расходуется не только на деформирование материала, но и на образование новых поверхностей разде- ла, т.е. на разрушение материала [46]. Предположим, что возникновение и распространение трещин обусловлено перемещением вещества в противо- положные стороны под действием кинетических (∂2σF/∂χ2) и потенциальных (∂2σF/∂ξ2) воздействий. Тогда динамика разрушения будет описываться уравнением 2 2 2 2 2 2 F F F∂ σ ∂ σ ∂ σ = − ∂τ ∂χ ∂ξ , (34) где σF – напряжение фрактуризации, τ = ωFt – безразмерное время, ωF – частота разрушения. Воспользовавшись заменой Лоренца (30) (с заменой скорости распространения волны на скорость фрактуризации), перепишем уравнение (34) в виде 2 2 2 2 1 0F F∂ σ ∂ σ − − ∂χ ∂ξ . (35) Физика и техника высоких давлений 2014, том 24, № 3–4 50 Переход к автомодельному аргументу 2 2 1ζ = χ −ξ преобразовывает уравне- ние (35) в обыкновенное дифференциальное уравнение второго порядка 2 2 d d 0 dd F Fσ σ ζ + = ζζ . (36) Интегрирование уравнения (36) приводит к равенству 1 2lnF H Hσ = ζ + . (37) Перепишем равенство (37) в виде 22 1 4 4 ln 1 ln 1F L LH a b ⎡ ⎤⎡ ⎤ ⎛ ⎞⎛ ⎞ξ ξ⎢ ⎥⎢ ⎥σ = σ + − = σ + − ⎜ ⎟⎜ ⎟χ ⎢ ⎥⎢ ⎥⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣ ⎦ ⎣ ⎦ . (38) В выражении (38) (рис. 3) напряжение Людвика [20] определяется скоростью деформации 1 2σ 2 ln ξL H H= + . (39) Из формулы (38) следует, что материал не разрушается в области F F−ξ < ξ < ξ , (40) где критическая деформация 0 0F F t ω ξ = ξ ω определяется скоростью дефор- мации ξ , временем релаксации материала t0 и отношением частоты релак- сации ω0 к частоте фрактуризации ωF. Применим полученные формулы для расчета диаграмм механического состояния упругопластического материала, деформируемого в изотермических условиях. а б Рис. 3. Влияние параметров a4 (a: b4 = 9.5) и b4 (b: a4 = 550) на вид кривой разрушения материала при σL: а: 1 – 5, 2 – 20, 3 – 40, 4 – 80; б: 1 – 9.5, 2 – 7.0, 3 – 3.5, 4 – 1.5 Физика и техника высоких давлений 2014, том 24, № 3–4 51 5. Диаграммы напряжение–деформация Разнообразие модельных диаграмм механического состояния материалов показано на рис. 4. Механическое состояние материалов определяется характеристиками их структуры (упругостью, хрупкостью, вязкостью, пластичностью) и проте- кающими при деформировании процессами (блуждания и колебания частиц, а б в г д е Рис. 4. Модельные диаграммы напряжение–деформация: a – упругохрупкий матери- ал; б – идеально-пластический; в – упругопластический; г – упругопластический с площадкой текучести; д – упругопластический с зубом текучести; е – теоретиче- ская диаграмма механического состояния имитационного материала Физика и техника высоких давлений 2014, том 24, № 3–4 52 волны и образование самоорганизующихся структур, потоки и течения). Рис. 4 демонстрирует широкие возможности предлагаемой модели для аналитическо- го описания диаграмм состояния напряженно-деформированного материала. Поведение имитационного материала, продемонстрированное на рис. 4, опи- сывается функциями вида а) ( ) 2 2 1 1 4 4 ( ) exp ln 1a b a b ⎡ ⎤⎛ ⎞ξ⎢ ⎥σ ξ = ξ − ξ + − ⎜ ⎟ ⎢ ⎥⎝ ⎠⎣ ⎦ ; б) ( ) ( )2 1 1 2 2 2( ) exp arctg , 1a b a b bσ ξ = ξ − ξ + ξ >> ; в) ( ) ( )2 1 1 2 2 2( ) exp arctg , 1a b a b bσ ξ = ξ − ξ + ξ ≈ ; г) ( ) ( ) 2 2 1 1 2 2 4 2 4 ( ) exp arctg ln 1 , 1a b a b a b b ⎡ ⎤⎛ ⎞ξ⎢ ⎥σ ξ = ξ − ξ + ξ + − <<⎜ ⎟ ⎢ ⎥⎝ ⎠⎣ ⎦ ; д) ( ) ( )2 1 1 2 2 1 2 2( ) exp arctg , a b a b a a bσ ξ = ξ − ξ + ξ > ; e) ( ) ( ) ( ) 2 2 1 1 2 2 3 3 4 4 ( ) exp arctg arctg ln 1a b a b a b a b ⎡ ⎤⎛ ⎞ξ⎢ ⎥σ ξ = ξ − ξ + ξ + ξ + − ⎜ ⎟ ⎢ ⎥⎝ ⎠⎣ ⎦ . (41) Для сравнения теории с экспериментальными данными воспользуемся формулой (62), при этом учтем, что в линейной области упругости модуль Юнга E определяется выражением 1 2 2 3 3E a a b a b= + + . (42) Например, для меди истинная диаграмма напряжение–деформация [50] (рис. 5,а) описывается формулой 2 2( ) 0.7 exp( 0.0014 ) 3arctg(3666 ) 715arctg(0.0009 ) 0.1ln 1 73 ⎡ ⎤ξ⎛ ⎞σ ξ = ξ − ξ + ξ + ξ + −⎢ ⎥⎜ ⎟ ⎝ ⎠⎢ ⎥⎣ ⎦ , (43) а б Рис. 5. Сравнение экспериментальной истинной (1) и инженерной (2) диаграмм меха- нического состояния меди (a) [50] с теоретическими кривыми (б). – начало сужения Физика и техника высоких давлений 2014, том 24, № 3–4 53 а б Рис. 6. Экспериментальные (a) [51] и теоретические (б) диаграммы напряжение–де- формация для меди после нескольких проходов (числа у кривых) ее равноканального упрочнения геометрический вид которой показан на рис. 5,б. Модуль Юнга, вычислен- ный по формуле (43), E ≈ 11000 kg/mm2 (E ≈ 110 GPa), что соответствует данным [24]. В силу того, что модуль Юнга зависит от скорости деформа- ции, температуры и других параметров, его значение может быть различным даже для одного и того же материала. Так, в работе [51] были получены диа- граммы, показанные на рис. 6,а. Теоретические расчеты проводились по формулам 1 2 3( ) Fσ ξ = ασ +βσ +χσ + δσ , (44) где α, β, χ, δ – коэффициенты, связанные с количеством проходов при рав- ноканальном упрочнении, функции 2 1 7 exp( 0.9 )σ = ξ − ξ , 2 30arctg(3666 )σ = ξ , 3 130arctg(0.25 )σ = ξ , 2 1000ln 1 73F ⎡ ⎤ξ⎛ ⎞σ = −⎢ ⎥⎜ ⎟ ⎝ ⎠⎢ ⎥⎣ ⎦ . После первого прохода функция σ3 принимает вид σ3 = 212arctg(4.25ξ). При различном числе проходов N (цифры у кривых на рис. 6,б) коэффициенты α, β, χ, δ равны: N = 0 – α = 1.0, β = 1.0, χ = 1.0, δ = 1.0; N = 1 – α = 10.0, β = 1.0, χ = 1.0, δ = 8.0; N = 2 – α = 10.0, β = 1.0, χ = 1.25, δ = 9.0; N = 4 – α = 10.0, β = 1.0, χ = 1.36, δ = 12.0; N = 16 – α = 10.0, β = 1.0, χ = 1.18, δ = 6.7. Проведенный расчет показывает, что упругость меди повышается (пара- метр α возрастает до 10): при числе проходов не более четырех происходит перераспределение механической энергии между упругими и пластическими Физика и техника высоких давлений 2014, том 24, № 3–4 54 волнами (изменяется параметр χ), увеличение числа проходов более четырех приводит к залечиванию нарушений кристаллической решетки (снижение значения параметра δ с 12.0 до 6.7). 6. Заключение Проведенный анализ позволяет сделать следующие заключения: – применение синергетического подхода к проблеме формоизменения ма- териала позволяет получить простую, но адекватную реальности физико- математическую модель; – полученные аналитические выражения для связи напряжения с дефор- мацией позволяют с высокой степенью точности описывать истинные и ин- женерные диаграммы механического состояния упругопластического мате- риала; – модельные представления могут быть использованы при построении микроскопической теории напряженно-деформированного состояния мате- риала; – взаимное влияние случайных блужданий атомов и их кооперативного волнового движения на процесс деформирования приводит к формированию поверхности напряжений. Вид этой поверхности формируется при взаимо- действии механических, тепловых и других физико-химических полей, кон- сенсус между которыми приводит к возникновению неравновесных, но ста- ционарных структур. Эти структуры определяют механические и другие ха- рактеристики материала; – управление структурой материала при заданном виде диаграммы его механического состояния позволит не только корректировать внутренние процессы в нужном направлении, но и формировать необходимые виды аг- ломератов частиц (например, нанокластеры). В свою очередь, это приведет к управлению физико-химическими свойствами макроскопических фаз и по- лучению материалов с требуемыми для практических целей параметрами. 1. В.Е. Новиков, С.С. Моисеев, В.П. Семиноженко, Физика и техника полупровод- ников 14, 402 (1980). 2. Г.Ф. Коняхин, А.Ю. Мелашенко, З.Ю. Литвина, В.Е. Новиков, С.С. Моисеев, Ра- диофизика и радиоастрономия 4, 160 (1999). 3. Г. Циглер, Экстремальные принципы термодинамики необратимых процессов и механика сплошной среды, Мир, Москва (1966). 4. Л.А. Парс, Аналитическая динамика, Наука, Москва (1971). 5. Г.С. Кандаурова, УФН 172, 1165 (2002). 6. И.Ю. Еремчев, Ю.Г. Вайнер, А.В. Наумов, L. Kador, ФТТ 55, 652 (2013). 7. Н.Е. Кочин, Векторное исчисление и начала тензорного анализа, Наука, Москва (1965). 8. Ю.Г. Рудой, А.Д. Суханов, УФН 170, 1265 (2000). Физика и техника высоких давлений 2014, том 24, № 3–4 55 9. А.И. Олемской, А.В. Хоменко, Синергетика конденсированной среды, СумДУ, Сумы (2002). 10. С.В. Терехов, И.К. Локтионов, ФТВД 23, № 4, 5 (2013). 11. А.А. Ильюшин, Пластичность. Т. 1. Упругопластические деформации, Гостехте- оретиздат, Москва–Ленинград (1948). 12. В.С. Зарубин, Г.Н. Кувыркин, Математические модели термомеханики, ФИЗ- МАТЛИТ, Москва (2002). 13. В.Е. Панин, Ю.В. Гриняев, В.И. Данилов, Структурные уровни пластической деформации и разрушения, Наука, Новосибирск (1990). 14. А.Х. Коттрелл, Дислокации и пластическое течение в кристаллах, Металлург- издат, Москва (1958). 15. А. Коттрел, Теория дислокаций, Мир, Москва (1969). 16. А.Г. Залужный, Дислокации в кристаллах, их движение и упругие свойства, МИФИ, Москва (1990). 17. Р.К. Мозберг, Материаловедение, Высшая школа, Москва (1991). 18. В.Ф. Терентьев, А.Г. Колмаков, Ю.А. Курганова, Теория и практика повышения надежности и работоспособности конструкционных металлических материалов, УлГТУ, Ульяновск (2010). 19. В.А. Лихачев, Р.Ю. Хайров, Введение в теорию дисклинаций, ЛГУ, Ленинград (1975). 20. К.Г. Шмитт-Томас, Металловедение для машиностроения, Металлургия, Мо- сква (1995). 21. А. Надаи, Пластичность и разрушение твердых тел, Изд-во иностр. лит., Москва (1954), т. 1. 22. А.А. Ильюшин, В.С. Ленский, Сопротивление материалов, Физматгиз, Москва (1959). 23. А.А. Ильюшин, Б.Е. Победря, Основы математической теории термовязкоупру- гости, Наука, Москва (1970). 24. А.А. Ильюшин, Механика сплошной среды, МГУ, Москва (1971). 25. Ж.-П. Пуарье, Ползучесть кристаллов. Механизмы деформации металлов, ке- рамик и минералов при высоких температурах, Мир, Москва (1988). 26. С.А. Евтюков, А.А. Овчаров, И.В. Замараев, Построение механореологических моделей процессов взаимодействия рабочих органов строительно-дорожных машин со средой, СПбГАСУ, Санкт-Петербург (2011). 27. М.В. Классен-Неклюдова, Т.А. Конторова, УФН 24, 217 (1944). 28. И. Пригожин, Р. Дефэй, Химическая термодинамика, Наука, Новосибирск (1966). 29. Р.М. Дейвис, Волны напряжений в твердых телах, Изд-во иностр. лит., Москва (1961). 30. Л.И. Слепян, Нестационарные упругие волны, Судостроение, Ленинград (1972). 31. В.И. Ерофеев, В.В. Кажаев, Н.П. Семерикова, Волны в стержнях. Дисперсия. Диссипация. Нелинейность, ФИЗМАТЛИТ, Москва (2002). 32. А.Н. Тихонов, А.А. Самарский, Уравнения математической физики, Наука, Мо- сква (1977). 33. Ф.М. Морс, Г. Фешбах, Методы теоретической физики, Изд-во иностр. лит., Москва (т. 1 – 1958; т. 2 – 1960). Физика и техника высоких давлений 2014, том 24, № 3–4 56 34. L. Onsager, Phys. Rev. 37, 405 (1931). 35. L. Onsager, Phys. Rev. 38, 2265 (1931). 36. С.В. Терехов, И.К. Локтионов, ФТВД 23, № 4, 5 (2013). 37. Разрушение. Т. 2. Математические основы теории разрушения, Г. Либовиц (ред.), Мир, Москва (1975). 38. О.Б. Наймарк, Ю.В. Баяндин, В.А. Леонтьев, С.Л. Пермяков, Физическая мезо- механика 8, № 5, 23 (2005). 39. П.В. Макаров, Физическая мезомеханика 8, № 6, 39 (2005). 40. С.В. Терехов, ФТВД 22, № 1, 33 (2012). 41. И.Л. Нагорных, Автореф. дис. … канд. физ.-мат. наук, ИПМ УрО РАН, Ижевск (2011). 42. А.Ю. Ишлинский, Д.Д. Ивлев, Математическая теория пластичности, ФИЗМАТ- ЛИТ, Москва (2003). 43. Н.Ф. Болховитов, Металловедение и термическая обработка, Машгиз, Ленин- град (1952). 44. В.Т. Койтер, Общие теоремы теории упругопластических сред, Изд-во иностр. лит., Москва (1961). 45. В.С. Иванова, Л.К. Городиенко, В.Н. Геминов и др., Роль дислокаций в упрочне- нии и разрушении металлов, Наука, Москва (1965). 46. Ю.Г. Матвиенко, Модели и критерии механики разрушения, ФИЗМАТЛИТ, Москва (2006). 47. Л.Б. Потапова, Механика материалов при сложном напряженном состоянии. Как прогнозируют предельные напряжения?, Машиностроение-1, Москва (2005). 48. Ю.Н. Работнов, Введение в механику разрушения, Наука, Москва (1987). 49. Н.Ф. Морозов, Ю.В. Петров, Проблемы динамики разрушения твердых тел, СПбУ, Санкт-Петербург (1997). 50. Г. Закс, Практическое металловедение. Т. 2. Пластическое деформирование, ОНТИ НКТП, Москва–Ленинград (1938). 51. F. Dalla Torre, R. Lapovok, J. Sandlin, P. Thomson, C.H.J. Davies, and E.V. Pere- loma, Acta Mater. 52, 4819 (2004). S.V. Terekhov, V.N. Sayapin UNIVERSALITY OF SYNERGETICS LAWS. V. STRESS–STRAIN DIAGRAMS The synergetics model of the deformed state of continuous environment is offered. The adequacy is shown with respect to the experimental data when describing the veritable and engineering stress–strain diagrams. Keywords: material, stress, strain, wandering, oscillations Fig. 1. Effect of parameters a1 (a: b1 = 0.1) and b1 (b: a1 = 600) on the curve of elastic- brittle reaction of the material: а: 1 – 600, 2 – 400, 3 – 200, 4 – 100; б: 1 – 7, 2 – 1, 3 – 0.25, 4 – 0.1 Физика и техника высоких давлений 2014, том 24, № 3–4 57 Fig. 2. Effect of parameters a3 (a: b3 = 1) and b3 (b: a3 = 550) on the curve of elastic and plastic reaction of the material: а: 1 – 600, 2 – 400, 3 – 200, 4 – 100; б: 1 – 4.0, 2 – 0.5, 3 – 0.25, 4 – 0.05 Fig. 3. Effect of parameters a4 (a: b4 = 9.5) and b4 (b: a4 = 550) on the fracture curve at σL: а: 1 – 5, 2 – 20, 3 – 40, 4 – 80; б: 1 – 9.5, 2 – 7.0, 3 – 3.5, 4 – 1.5 Fig. 4. Model stress–strain diagrams: a – elastic and brittle; б – ideal plastic; в – elastic and plastic; г – elastic and plastic with an yield platean; д – elastic and plastic with an yield point; е – theoretical diagram of the mechanical state of the simulation material Fig. 5. Comparison of the true experimental (1) and engineering (2) diagrams of the me- chanical state of copper (a) [50] with the theoretical curves (б). – start of reduction Fig. 6. Experimental (a) [51] and theoretical (б) stress–strain diagrams for copper after severe passes of equal-channel strengthening: a: ■ – 0, □ – 1, ● – 2, ○ – 4, △ – 8, ▽ – 12; б – numbers at the curves

Универсальность синергетических законов. V. Диаграммы напряжение–деформация

Репозитарії

Схожі ресурси