Физико-геометрические характеристики гиперпространства. I. Обобщенная система Серре–Френе. Физический изоморфизм кватернионной алгебры Гамильтона
Исследована система дифференциальных уравнений первого порядка Серре–Френе с учетом возможности поворота тройки базисных векторов вокруг вектора бинормали. Показано, что пренебрежение одной из геометрических характеристик (кривизной, кручением или поворотом) пространственной кривой приводит к осцилл...
Gespeichert in:
| Datum: | 2015 |
|---|---|
| 1. Verfasser: | |
| Format: | Artikel |
| Sprache: | Russian |
| Veröffentlicht: |
Донецький фізико-технічний інститут ім. О.О. Галкіна НАН України
2015
|
| Schriftenreihe: | Физика и техника высоких давлений |
| Online Zugang: | http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/107382 |
| Tags: |
Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Zitieren: | Физико-геометрические характеристики гиперпространства. I. Обобщенная система Серре–Френе. Физический изоморфизм кватернионной алгебры Гамильтона / С.В. Терехов // Физика и техника высоких давлений. — 2015. — Т. 25, № 1-2. — С. 5-19. — Бібліогр.: 23 назв. — рос. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
irk-123456789-107382 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
irk-123456789-1073822016-10-20T03:02:13Z Физико-геометрические характеристики гиперпространства. I. Обобщенная система Серре–Френе. Физический изоморфизм кватернионной алгебры Гамильтона Терехов, С.В. Исследована система дифференциальных уравнений первого порядка Серре–Френе с учетом возможности поворота тройки базисных векторов вокруг вектора бинормали. Показано, что пренебрежение одной из геометрических характеристик (кривизной, кручением или поворотом) пространственной кривой приводит к осциллирующему характеру поведения соответствующего базисного вектора подвижной системы отсчета. Указано на необходимость различать геометрическую структуру траектории движения и физические свойства материальной частицы. Предложена модификация гиперкомплексной алгебры Гамильтона, отображающая поведение релятивистских объектов. Досліджено систему диференціальних рівнянь першого порядку Серре–Френе з урахуванням можливості повороту трійки базисних векторів навколо вектору бінормалі. Показано, що зневага однією з геометричних характеристик (кривизною, крученням або поворотом) просторової кривої призводить до осцилюючого характеру поведінки відповідного базисного вектору рухливої системи відліку. Вказано на необхідність розрізняти геометричну структуру траєкторії руху й фізичні властивості матеріальної частки. Запропоновано модифікацію гіперкомплексної алгебри Гамільтона, що відображає поведінку релятивістських об’єктів. The Serre-Freinet system of differential equalizations of the first order has been studied with taking into account a possibility of the turn of the three base vectors around the binormal vector. It is shown that over neglect of one of geometrical characteristics of the spatial curve (curvature, twisting or turn) brings to the ostillational pattern of behaviour of the corresponding base vector of the movable frame of reference. The necessity to distinguish the geometrical structure of trajectory of motion and the physical properties of a material particle is indicated. Modification of the Hamilton hypercomplex algebra is suggested that represents the behavior of relativist objects. 2015 Article Физико-геометрические характеристики гиперпространства. I. Обобщенная система Серре–Френе. Физический изоморфизм кватернионной алгебры Гамильтона / С.В. Терехов // Физика и техника высоких давлений. — 2015. — Т. 25, № 1-2. — С. 5-19. — Бібліогр.: 23 назв. — рос. 0868-5924 PACS: 02.10.De, 02.40.Hw, 03.30.+p http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/107382 ru Физика и техника высоких давлений Донецький фізико-технічний інститут ім. О.О. Галкіна НАН України |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| language |
Russian |
| description |
Исследована система дифференциальных уравнений первого порядка Серре–Френе с учетом возможности поворота тройки базисных векторов вокруг вектора бинормали. Показано, что пренебрежение одной из геометрических характеристик (кривизной, кручением или поворотом) пространственной кривой приводит к осциллирующему характеру поведения соответствующего базисного вектора подвижной системы отсчета. Указано на необходимость различать геометрическую структуру траектории движения и физические свойства материальной частицы. Предложена модификация гиперкомплексной алгебры Гамильтона, отображающая поведение релятивистских объектов. |
| format |
Article |
| author |
Терехов, С.В. |
| spellingShingle |
Терехов, С.В. Физико-геометрические характеристики гиперпространства. I. Обобщенная система Серре–Френе. Физический изоморфизм кватернионной алгебры Гамильтона Физика и техника высоких давлений |
| author_facet |
Терехов, С.В. |
| author_sort |
Терехов, С.В. |
| title |
Физико-геометрические характеристики гиперпространства. I. Обобщенная система Серре–Френе. Физический изоморфизм кватернионной алгебры Гамильтона |
| title_short |
Физико-геометрические характеристики гиперпространства. I. Обобщенная система Серре–Френе. Физический изоморфизм кватернионной алгебры Гамильтона |
| title_full |
Физико-геометрические характеристики гиперпространства. I. Обобщенная система Серре–Френе. Физический изоморфизм кватернионной алгебры Гамильтона |
| title_fullStr |
Физико-геометрические характеристики гиперпространства. I. Обобщенная система Серре–Френе. Физический изоморфизм кватернионной алгебры Гамильтона |
| title_full_unstemmed |
Физико-геометрические характеристики гиперпространства. I. Обобщенная система Серре–Френе. Физический изоморфизм кватернионной алгебры Гамильтона |
| title_sort |
физико-геометрические характеристики гиперпространства. i. обобщенная система серре–френе. физический изоморфизм кватернионной алгебры гамильтона |
| publisher |
Донецький фізико-технічний інститут ім. О.О. Галкіна НАН України |
| publishDate |
2015 |
| url |
http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/107382 |
| citation_txt |
Физико-геометрические характеристики гиперпространства. I. Обобщенная система Серре–Френе. Физический изоморфизм кватернионной алгебры Гамильтона / С.В. Терехов // Физика и техника высоких давлений. — 2015. — Т. 25, № 1-2. — С. 5-19. — Бібліогр.: 23 назв. — рос. |
| series |
Физика и техника высоких давлений |
| work_keys_str_mv |
AT terehovsv fizikogeometričeskieharakteristikigiperprostranstvaiobobŝennaâsistemaserrefrenefizičeskijizomorfizmkvaternionnojalgebrygamilʹtona |
| first_indexed |
2025-07-07T19:53:04Z |
| last_indexed |
2025-07-07T19:53:04Z |
| _version_ |
1837019153414750208 |
| fulltext |
Физика и техника высоких давлений 2015, том 25, № 1–2
© С.В. Терехов, 2015
PACS: 02.10.De, 02.40.Hw, 03.30.+p
С.В. Терехов
ФИЗИКО-ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ
ГИПЕРПРОСТРАНСТВА.
I. ОБОБЩЕННАЯ СИСТЕМА СЕРРЕ–ФРЕНЕ. ФИЗИЧЕСКИЙ
ИЗОМОРФИЗМ КВАТЕРНИОННОЙ АЛГЕБРЫ ГАМИЛЬТОНА
Статья поступила в редакцию 5 мая 2014 года
Исследована система дифференциальных уравнений первого порядка Серре–Френе
с учетом возможности поворота тройки базисных векторов вокруг вектора би-
нормали. Показано, что пренебрежение одной из геометрических характеристик
(кривизной, кручением или поворотом) пространственной кривой приводит к ос-
циллирующему характеру поведения соответствующего базисного вектора под-
вижной системы отсчета. Указано на необходимость различать геометрическую
структуру траектории движения и физические свойства материальной частицы.
Предложена модификация гиперкомплексной алгебры Гамильтона, отображаю-
щая поведение релятивистских объектов.
Ключевые слова: экстремаль, кривизна, кручение, кватернион, интервал между
событиями
Досліджено систему диференціальних рівнянь першого порядку Серре–Френе з
урахуванням можливості повороту трійки базисних векторів навколо вектору
бінормалі. Показано, що зневага однією з геометричних характеристик (кри-
визною, крученням або поворотом) просторової кривої призводить до осцилюю-
чого характеру поведінки відповідного базисного вектору рухливої системи
відліку. Вказано на необхідність розрізняти геометричну структуру траєкто-
рії руху й фізичні властивості матеріальної частки. Запропоновано моди-
фікацію гіперкомплексної алгебри Гамільтона, що відображає поведінку реля-
тивістських об’єктів.
Ключові слова: екстремаль, кривизна, кручення, кватерніон, інтервал між
подіями
1. Введение
В специализированных областях физики накоплен достаточно обширный
массив теоретических и экспериментальных данных о различных физиче-
ских явлениях и процессах. В частности, исследования нелинейных динами-
ческих и неравновесных термодинамических систем продемонстрировали
существование универсальных закономерностей [1–4]. Поэтому моделиро-
Физика и техника высоких давлений 2015, том 25, № 1–2
6
вание общих характеристик масштабных уровней структурирования приро-
ды требует адекватного математического аппарата, позволяющего описывать
разнообразные системы и процессы самоорганизации в них.
Одним из подходов к решению этой проблемы является применение гипер-
комплексного исчисления Гамильтона [5–8], финслеровой [9] и фрактальной
[10,11] геометрии, а также других алгебраических и геометрических построе-
ний. Например, в работах [12–16] продемонстрирована возможность примене-
ния классических гиперструктур и псевдокватернионов к описанию электро-
магнитного поля и необратимых кинетических процессов. Однако построение
последовательной физической теории гиперпространства с учетом результатов
ранее предложенных теоретических построений требует поиска такого изомор-
физма алгебры Гамильтона, который отображал бы всю совокупность данных.
Широкое использование теории гиперкомплексных функций сдерживает-
ся отсутствием дифференциального и интегрального исчислений кватернио-
нов (например, правила вычисления гиперпроизводной от произведения
двух и более кватернионов, теории дифференциальных гипероператоров,
вычисления неопределенных интегралов от гиперкомплексных функций и
т.д.). Сложности в развитии теории связаны с некоммутативностью, неассо-
циативностью и изменением произведения гиперфункций при взятии опера-
ции комплексного сопряжения. Эти особенности алгебры кватернионов при-
водят, в частности, к необходимости вывода правила вычисления гиперпро-
изводной от произведения двух кватернионов.
Выбор материальным миром определенной алгебры и геометрии указы-
вает на необходимость проведения анализа геометрических и физических
характеристик физического гиперпространства с учетом теоремы Гельм-
гольца [17,18] на основе системы дифференциальных уравнений первого по-
рядка типа Серре–Френе [19] для базисных кватернионов с единичной нор-
мой. Это позволит выяснить роль геометрии экстремали (траектории движе-
ния частицы в пространственно-временном континууме) в формировании
физических свойств материальной точки.
2. Тройка базисных векторов пространственной кривой
Скалярные, векторные и тензорные поля формируют в пространстве по-
тенциальный рельеф, по которому происходит движение материальных объ-
ектов. Его топографическая карта изображается в виде эквипотенциальных
линий (трансверсалей [20], рис. 1). В евклидовом пространстве траектория
движения точки (экстремаль, рис. 1) является линией, на которой действие
достигает экстремального значения. Касательные векторы к экстремали (ка-
сательный орт) и трансверсали (орт бинормали) определяют касательную
плоскость к пространственной кривой. Вектор, перпендикулярный к каса-
тельной плоскости и направленный в сторону вогнутости экстремальной
кривой, называют нормалью. Сформулируем и докажем теорему о тройке
векторов A(A1, A2, A3), B(B1, B2, B3) и С(С1, С2, С3) (где Ai, Bi, Ci (i = 1, 2, 3) –
Физика и техника высоких давлений 2015, том 25, № 1–2
7
проекции соответствующих векторов на коорди-
натную ось i) на пространственной линии с есте-
ственной параметризацией, т.е. зависящих, на-
пример, от длины пространственной линии s.
Теорема 1. Пусть векторы A(s), B(s) и С(s) за-
висят от естественного параметра s и удовлетво-
ряют системе линейных дифференциальных
уравнений первого порядка вида
1 2
3 1
2 3
d
d
d
d
d
d
K K
s
K K
s
K K
s
⎧ = −⎪
⎪
⎪ = −⎨
⎪
⎪ = −⎪⎩
A B C
B C A
C A B
, (1)
где Ki (i = 1, 2, 3) – постоянные действительные числа. Тогда:
а) система дифференциальных уравнений первого порядка (1) является
системой Серре–Френе [3, с. 84; 19, с. 23–36; 21, с. 190–191] при нулевом
значении параметра K2;
б) приращения векторов A(s), B(s) и С(s) удовлетворяют соотношению
K3dA + K2dB + K1dC = 0; (2)
в) любая тройка взаимно перпендикулярных векторов (A ⊥ B, B ⊥ C и
C ⊥ A) является решением системы (1);
г) если базисный вектор не входит в соотношение (2) (например, для век-
тора A число K3 = 0), то этот вектор по параметру s определяется решением
уравнения осцилляторного типа;
д) если один из векторов A(s), B(s) и С(s) выбрать в качестве основного,
то другие векторы этой тройки можно выразить через основной вектор, его
первую и вторую производные по параметру s;
е) если любые два параметра в системе (1) равны нулю (например, K1 = K2 =
= 0), то один из векторов не зависит от параметра s (в примере – вектор
A(s)), а два других вектора (B(s) и С(s)) базисной тройки подчиняются урав-
нению осцилляторного типа.
Доказательство. 1. Система уравнений (1) совпадает по виду с системой
Серре–Френе при значении параметра K2 = 0, если векторы A(s), B(s) и С(s)
являются ортами касательной τ, нормали n и бинормали b кривой s в задан-
ной точке (рис. 2), т.е. образуют подвижную систему отсчета. Число K1
( 1
1 1K R−= , R1 – радиус сферы, которая имеет с линией одну общую точку) в
модели Серре–Френе задает кривизну пространственной линии, а параметр
K3 – ее кручение, т.е. вращение касательной плоскости COA вокруг вектора
A. Следовательно, параметр K2 определяет второе кручение (поворот) линии
при вращении плоскости COA вокруг вектора бинормали C. Пренебрежение
Рис. 1. Экстремали и транс-
версали механического дви-
жения
Физика и техника высоких давлений 2015, том 25, № 1–2
8
вращением касательной плоскости
вокруг вектора C (параметр K2 = 0)
приводит к коллинеарности векторов
d
ds
A и d
ds
C , что является необяза-
тельным условием. Другими слова-
ми, система уравнений Серре–Френе
не определяет тройку базисных век-
торов единственным образом в от-
личие от системы (1).
2. Умножим первое равенство
системы (1) на множитель K3ds,
второе – на K2ds, а третье – на K1ds,
затем сложим полученные уравнения и придем к соотношению (2).
3. Так как векторы A(s), B(s) и С(s) взаимно перпендикулярны, то их
можно связать между собой векторными произведениями A = [B × C]; B =
= [C × A];
[ ] ( ) ( ) ( )1 2 3 2 3 3 2 3 1 1 3 1 2 2 1
1 2 3
=
A A A A B A B A B A B A B A B
B B B
× = = − + − + −
i j k
C A B i j k . (3)
Здесь i, j и k – орты декартовой системы координат, причем векторное про-
изведение некоммутативно, т.е.
[A × B] = –[B × A]. (4)
Дифференцируя векторные произведения по параметру s, учитывая уравне-
ния системы (1) и равенство (4), получим
[ ] [ ]
[ ] [ ]
[ ] [ ]
1 2 1 2
3 1 3 2
2 3 2 3
d d d ;
d d d
d d d ;
d d d
d d d .
d d d
K K K K
s s s
K K K K
s s s
K K K K
s s s
⎡ ⎤ ⎡ ⎤= × + × = − × + × = −⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦
⎡ ⎤ ⎡ ⎤= × + × = − × + × = −⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦
⎡ ⎤ ⎡ ⎤= × + × = − × + × = −⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦
A B CC B A C B A B C
B C AA C B A C B C A
C A BB A C B A C A B
(5)
4. Продифференцируем первое уравнение системы (1) по параметру s и с
учетом двух других равенств этой системы найдем
( )
2
2 2
1 2 2 3 1 32
1 2
d
d
d
d
K K K K K K
s
K K
s
⎧
= − + + +⎪⎪
⎨
⎪ = −⎪⎩
A A B C
A B C
. (6)
Рис. 2. Тройка подвижных векторов
пространственной линии
Физика и техника высоких давлений 2015, том 25, № 1–2
9
Пусть базисный вектор A(s) не входит в соотношение (2), тогда параметр
K3 = 0. Из первого уравнения системы (6) видно, что при обнулении параметра
K3 основной вектор A будет удовлетворять уравнению осцилляторного типа
2
2
102
d 0
ds
+ω =
A A , (7)
где частота колебаний 2 2
10 1 2K Kω = + .
5. Общее решение системы (6) относительно векторов B(s) и C(s) (K3 ≠ 0)
имеет вид (в качестве основного вектора базисной тройки выбран вектор A(s))
2
2 1 2
2 2 2
33
d d
dd
K K K
s KK s
= + +
ω ω
A AB A , (8)
2
1 2 1
2 2 2
33
d d
dd
K K K
s KK s
= − +
ω ω
A AC A . (9)
Формулы (8) и (9) показывают, что для введения системы отсчета на про-
странственной линии необходимо и достаточно знать естественную парамет-
ризацию одного вектора из базисной тройки. При выполнении равенств
2
2
12
3
d d 0
dd
K K
K ss
+ =
A A (10)
или
2
1
22
3
d d 0
dd
K K
K ss
− =
A A (11)
происходит вырождение пространственной кривой в плоскую линию. Одно-
временное соблюдение условий (10) и (11) приводит к одномерному движе-
нию вдоль прямой, так как векторы B и C будут коллинеарными с вектором
A и сонаправленными с ним. Это возможно только тогда, когда базисные век-
торы не зависят от параметра s.
6. Пусть, например, параметры K1 и K2 равны нулю, тогда вектор A не за-
висит от параметра s (dA/ds = 0), а векторы B и C не связаны с вектором A.
В этом случае вектор A сохраняет постоянное значение, а векторы B и C
осциллируют вдоль пространственной линии с частотой ω = K3 согласно
пункту 4.
Изменение базисных векторов при смещении точки вдоль заданной про-
странственной кривой в зависимости от значений геометрических факторов
указывает на необходимость разделять геометрические особенности траек-
тории движения и физические свойства частицы. Для описания перемеще-
ния материальной частицы в пространственно-временном континууме вве-
дем в рассмотрение гиперкомплексные структуры, алгебра которых изо-
морфна алгебре Гамильтона.
Физика и техника высоких давлений 2015, том 25, № 1–2
10
3. Кватернионы Гамильтона–Гиббса
Рассмотрим гиперкомплексные структуры (кватернионы) вида
1 2 3A a A i A j A k= + + + ,
где a, An (n = 1, 2, 3) – действительные числа. Исследуем изоморфизм алгеб-
ры Гамильтона, когда комплексные единицы i, j, k подчиняются правилам
умножения, приведенным в таблице (более общий случай алгебры Клиф-
форда рассмотрен в работе [14]). Отметим, что обход чисел i, j, k осуществ-
ляется против часовой стрелки, т.е. они образуют левую упорядоченную
тройку чисел (рис. 3,б).
Таблица
Правила умножения комплексных единиц
i j k
i 1 –k j
j k 1 –j
k –j i 1
В векторной алгебре Гиббса такому правилу соответствует выбор левой
тройки базисных векторов, поэтому запишем левоориентированные кватер-
нионы Гамильтона–Гиббса в скалярно-векторной форме:
A a= + γA , (12)
где a = Sc(A) – скалярная, A = Ve(A) – векторная части кватерниона A, γ – его
«цвет» (γ2 = 1). Комплексно-сопряженным кватернионом называется гипер-
комплексная структура вида
A a∗ = − γA . (13)
Отметим, что выражение (13) можно получить из (12) также путем замены
вектора A на противоположный ему вектор –A, поэтому комплексно-сопря-
женный кватернион (13) будем называть зеркальным по векторной состав-
ляющей к кватерниону (12). Вещественно-сопряженный (или зеркальный по
скалярной компоненте) кватернион A a A∗ ∗= − + γ = −A отличается от ком-
плексно-сопряженного кватерниона (13) только знаком. Кватернион вида
O = 0 + γ0 назовем нулевым, а кватернион E = 1 + γ0 – единичным (0 – нуль-
Рис. 3. Правая (а) и ле-
вая (б) упорядоченные
тройки чисел
Физика и техника высоких давлений 2015, том 25, № 1–2
11
вектор). Две гиперкомплексные структуры A = a + γA и B = b + γB равны
между собой, если
a b=⎧
⎨ =⎩A B
.
Для гиперструктур вида (12) выполняются все арифметические действия:
1. Сумма (разность) кватернионов A = a + γA и B = b + γB равна
( )C c A B a b= + γ = ± = ± + γ ±C A B ,
следовательно, A + A* = A – *A = 2a = 2Sc(A), A –A* = A + *A = 2γA = 2γVe(A).
Если выполняется равенство A – B = O, то векторы A и B сонаправленные
( ↑↑A B ) и имеют одинаковую длину ( =A B ), а при выполнении равенст-
ва A – B* = O равные по длине векторы A и B направлены в противополож-
ные стороны ( ↑↓A B ), т.е. для обоих равенств векторные части кватернио-
нов являются коллинеарными ( A B ). В общем случае такие векторы связа-
ны между собой соотношением B = βA, причем
, 0
, 0
⎧ ↑↑ β >⎪
⎨
↑↓ β <⎪⎩
A B
A B
[18], поэто-
му кватернионы, удовлетворяющие равенству B = βA, будем называть про-
порциональными.
2. Произведение кватернионов A = a + γA и B = b + γB зависит от порядка
следования сомножителей и равно:
{ }
{ }
1 1 1
2 2 2
левое ( )( ) [ ] ,
правое ( )( ) [ ] .
D d BA b a ab a b
D d AB a b ab a b
= + γ = = + γ + γ = + ⋅ + γ + − ×
= + γ = = + γ + γ = + ⋅ + γ + − ×
D B A A B B A B A
D A B A B B A A B
(14)
С учетом правила (4) левое и правое произведения кватернионов A и B отли-
чаются друг от друга только знаком в последнем слагаемом. Отметим, что
произведение векторных частей кватернионов A и B выполняется по правилу
[ ]γ γ = ⋅ − γ ×A B A B A B , (15)
где первое слагаемое задает скалярное (коммутативное)
1 1 2 2 3 3A B A B A B⋅ = + +A B , ⋅ = ⋅A B B A , (16)
а второе – векторное (некоммутативное) произведение векторных частей ква-
тернионов A и B (см. (3) и (4)). Используя правило (14), легко проверить, что
произведение AE = EA = A. Произведение гиперкомплексных структур A = a +
+ γA и B = b + γB равно единичному кватерниону при выполнении условий
1
:
[ ] 0
ab
AB E
a b
+ ⋅ =⎧
= ⎨ + − × =⎩
A B
B A A B
. Второе равенство этой системы (в силу того,
что вектор [ ]×A B перпендикулярен плоскости, в которой лежат векторы A и
B) выполняется только тогда, когда векторы A и B связаны между собой ус-
ловием коллинеарности aB + bA = 0 или выполняются равенства A = B = 0.
Произведение комплексно-сопряженных гиперструктур (12) и (13) равно
квадрату нормы кватерниона A
Физика и техника высоких давлений 2015, том 25, № 1–2
12
2 22AA A A a A∗ ∗= = − =A . (17)
Если квадрат нормы положителен ( 2 0A > , норма кватерниона веществен-
на), то кватернион будем называть скаляроподобным, в противном случае
( 2 0A < , норма кватерниона является комплексной величиной) – векторо-
подобным. Кватернион с нулевой нормой ( 0A = ) назовем изохронным.
Теорема 2. Пусть дан неизохронный кватернион A = a + γA, причем мо-
дули его скалярной и векторной частей
0
0
a ≠⎧⎪
⎨ ≠⎪⎩ A
. Если его норма веществен-
на, то вектор A имеет ограниченную длину.
Доказательство. Согласно определению (17) вещественная норма ква-
терниона A = a + γA равна
2
22 1 0A a a
a
⎛ ⎞
= − = − >⎜ ⎟
⎝ ⎠
A
A . Так как ква-
тернион A скаляроподобный, выражение, стоящее под квадратным корнем,
положительно. Следовательно, a<A , т.е. модуль векторной части кватер-
ниона A ограничен.
Теорема 3. Пусть даны кватернионы A = a + γA и B = b + γB. Их произве-
дение AB = A (или BA = A), если: а) при значениях параметров
0
1
a
b
≠⎧
⎨ ≠⎩
кватер-
нион A – изохронный, а норма кватерниона B равна 2 1B b= − ; б) при значе-
ниях параметров
0
1
a
b
≠⎧
⎨ =⎩
или
0
1
a
b
=⎧
⎨ ≠⎩
векторы A и B перпендикулярные.
Доказательство. 1. Пусть при значениях параметров
0
1
a
b
≠⎧
⎨ ≠⎩
произведе-
ние AB = A. Тогда выполняется система равенств
[ ]
ab a
a b
+ ⋅ =⎧
⎨ + − × =⎩
A B
B A A B A
или
( 1) 0
( 1) [ ] 0
a b
a b
− + ⋅ =⎧
⎨ + − − × =⎩
A B
B A A B
. Умножим первое уравнение системы на число
a ≠ 0 и вычтем из результата второе уравнение, умноженное скалярно на
вектор A, получим 2 22( )( 1) ( 1) 0a b A b− − = − =A . При значении параметра
b ≠ 1 норма кватерниона A равна нулю ( 2 0A = , a=A , a= AA e , eA –
единичный вектор в направлении вектора A), т.е. кватернион A является
изохронным. Умножим первое уравнение системы на число b – 1 ≠ 0 и вы-
чтем из результата второе уравнение, умноженное скалярно на вектор B, по-
лучим ( )22( 1) 0a b − − =B ( 1b= −B , 1b= − BB e , eB – единичный вектор в
направлении вектора B). По условию теоремы число a ≠ 0, тогда норма ква-
Физика и техника высоких давлений 2015, том 25, № 1–2
13
терниона B равна 2 22 2 1B b b= − = −B или 2 1B b= − . С другой сторо-
ны, с учетом найденных выражений для векторов A и B первое уравнение
преобразованной системы можно записать в виде ( 1)(1 cos ) 0a b − ± ξ = (ξ –
угол между единичными векторами eA и eB). Из этого равенства следует, что
единичные векторы eA и eB коллинеарные ( A Be e ), так как угол между ни-
ми будет равен 0 ( ↑↑A Be e ) или π ( ↑↓A Be e ).
2. Если параметры
0
1
a
b
≠⎧
⎨ =⎩
или
0
1
a
b
=⎧
⎨ ≠⎩
, то система уравнений сводится к
одному равенству 0⋅ =A B , т.е. векторы A и B перпендикулярные ( ⊥A B ).
Отметим, что теорема 3 указывает на существование в гиперпространстве
необычных кватернионов, отличных от единичной гиперструктуры E = 1 + γ0,
произведение которых равно одному из них.
Операция комплексного сопряжения от произведения двух кватернионов
приводит к выражению
(AB)* = B*A*, (18)
т.е. не только к комплексному сопряжению перемножаемых кватернионов,
но и к перестановке местами сомножителей.
Произведение двух кватернионов Гиббса некоммутативно, поэтому их
коммутатор отличен от нуля и равен
[ ] [ ], 2A B AB BA= − = − γ ×A B , (19)
при этом выполняются равенства [ ], , , ,A B A B A B A B∗ ∗ ∗ ∗⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤= − = − =⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ .
Антикоммутатор равен
{ } ( ), 2 ( )A B AB BA ab a b= + = + ⋅ + γ +A B B A (20)
и справедливы соотношения { } { }( ), ,A B A B
∗∗ ∗= ; { } { }( ), ,A B A B
∗∗ ∗= . Удво-
енное произведение кватернионов A и B равно
[ ] { }2 , ,AB A B A B= + , (21)
т.е. произведение двух кватернионов представляется в виде полусуммы их
коммутатора и антикоммутатора. В случае комплексно-сопряженных гипер-
структур коммутатор равен нулю, а антикоммутатор – удвоенному значению
квадрата нормы:
, 0A A∗⎡ ⎤ =⎣ ⎦ и { } 2, 2A A A∗ = . (22)
Произведение трех и более кватернионов Гиббса неассоциативно, т.е. зави-
сит от порядка умножения гиперструктур. В этой связи введем понятия ком-
мутатора ассоциации (ассоциатор), который, например, для трех гиперком-
плексных чисел равен
Физика и техника высоких давлений 2015, том 25, № 1–2
14
[ ] [ ] [ ]{ }
( )
( , , ) ( ) ( ) 2 [ ] [ ]
2 ( ) ( )
A B C AB C A BC= − = γ × × − × × =
= γ ⋅ − ⋅
A B C A B C
A B C A B C (23)
(использована формула [21, с. 20]: [ ][ ] ( ) ( )× × = ⋅ − ⋅A B C A C B A B C ), и ассо-
циатора комплексного сопряжения (астратор), например,
( )
( )
( , , ) ( ) ( ) ,
( , , ) ( ) ( )
A B C AB C A B C
A B C A B C A B C
∗∗ ∗ ∗
∗∗ ∗ ∗ ∗
= −
= −
(24)
и т.д. Выполнив две циклические перестановки кватернионов в формуле (23)
и просуммировав все полученные ассоциаторы, находим
[ ] [ ] [ ]( , , ) ( , , ) ( , , ) 0A B C C A B B C A+ + = (25)
или
[ ] [ ] [ ][ ] [ ] [ ] 0× × + × × + × × =A B C C A B B C A , (26)
т.е. сумма двойных векторных произведений с циклической перестановкой
векторов равна нулю.
3. Деление кватерниона A = a + γA на неизохронный (||B|| ≠ 0) кватернион
B = b + γB выполняется по правилам [6]:
левое частное – 2
A B A B A
B B B B
∗ ∗
∗= = ; правое частное – 2
A AB AB
B BB B
∗ ∗
∗= = .
Если коммутатор (19) [ , ] 2 [ ] 0A B∗ = γ × =A B ( A B – векторы A и B колли-
неарные), то левое и правое частные равны между собой.
Таким образом, совместное использование алгебры кватернионов Гамиль-
тона и векторного исчисления Гиббса порождает алгебру комплексных струк-
тур с новыми свойствами. Отличие этих кватернионов от множеств действи-
тельных и комплексных чисел состоит в том, что их произведение некомму-
тативно, неассоциативно и изменяется при выполнении над ним операции
комплексного сопряжения, поэтому необходимо указывать порядок перемно-
жения кватернионов и тип вычисляемого частного. Индикаторами этих
свойств являются отличные от нуля коммутаторы, ассоциаторы и астраторы
кватернионов. С учетом особенностей исследуемого изоморфизма алгебр Га-
мильтона–Гиббса рассмотрим движение частицы в гиперпространстве.
4. Преобразование Лоренца
Гиперпространством будем называть скалярно-векторное (1+3)-
пространство гиперкомплексных структур вида (12). Положение математи-
ческой точки в пространственно-временном континууме инерциальной сис-
темы отсчета будем задавать безразмерным кватернионом
r = τ + γr, (27)
Физика и техника высоких давлений 2015, том 25, № 1–2
15
где τ = ct/l, c и l – предельная скорость (например, скорость света в вакууме
(скорость звука в среде и др.)) и характерное значение длины (длина свобод-
ного пробега частицы (корреляционная длина и др.)) для рассматриваемой
задачи, t – время; ( , , ) /R x y z l=r , в выбранной системе отсчета ( , , )x y zR –
радиус-вектор, определяющий положение точки с пространственными коор-
динатами x, y, и z.
Произведение кватерниона (27) самого на себя равно гиперструктуре
22 2 22 ( ) 2 ( )rr r L= = τ + + γ τ = + γ τr r r , (28)
где 22L = τ + r – евклидово расстояние от точки гиперпространства до на-
чала координат. Движение математической точки порождает мировую ли-
нию, на которой интервал между событиями s во времениподобной области
[22, с. 17] гиперпространства определяется нормой кватерниона (27)
2 22 * * 2s r rr r r= = = = τ − r . (29)
На пространственно-временной евклидовой плоскости τO|r| формула (29)
определяет равнобочную гиперболу, ветви которой вытянуты вдоль временной
оси. Если ввести тригонометрические функции для гиперболы [23] (синус
e esh
2
ψ −ψ−
ψ = и косинус e ech
2
ψ −ψ+
ψ = ), то в гиперболической полярной
системе координат (ψ – полярный угол)
ch
sh
s
s
τ = ⋅ ψ⎧⎪
⎨ = ⋅ ψ⎪⎩ r
(30)
равенство (29) превращается в гиперболическое тождество ch2ψ – sh2ψ = 1.
Гиперболический поворот отвечает в евклидовом пространстве гомотетии
(сжатию или растяжению) гиперболы к координатным осям [23], т.е. скей-
линговому преобразованию гиперболы.
Модуль векторной части гиперкомплексной структуры (28) за счет пово-
рота на угол 45° координатных осей плоскости τO|r| может быть приведен к
норме (29). Таким образом, квадрат кватерниона положения (27) равен
2 2 2( )r L s= + γ re , где er – единичный вектор в направлении вектора r. Следо-
вательно, интервал между событиями s является таким же естественным пара-
метром, как и евклидово расстояние L. Вещественность нормы кватерниона
(28) приводит к ограниченности интервала s ≤ L (теорема 2).
Из формул (30) видно, что при равномерном прямолинейном движении ско-
рость перемещения инерциальной системы отсчета определяется равенством
thvu
c
= = = ψ
τ
r
shth
ch
⎛ ⎞ψ
ψ =⎜ ⎟ψ⎝ ⎠
, (31)
где v – модуль скорости движения инерциальной системы.
Физика и техника высоких давлений 2015, том 25, № 1–2
16
Теорема 4. Если интервал между
событиями s не изменяется (s1 = s)
при переходе в новую гиперболиче-
скую полярную систему координат,
то новые и старые координаты собы-
тий связаны между собой преобразо-
ванием Лоренца.
Доказательство. Пусть новая
гиперболическая полярная ось G1
расположена под углом α к старой
полярной оси G, причем угол α от-
считывается в том же направлении, что и угол ψ (рис. 4). Новые координаты
события вычислим по формулам (30): 1 1 1
1 1 1
ch
sh
s
s
τ = ⋅ ψ⎧⎪
⎨ = ⋅ ψ⎪⎩ r
. По условию теоремы
интервал между событиями остается неизменным (s1 = s), следовательно,
изменяется только полярный угол ψ1 = ψ – α (согласно (31) новая система
координат отличается от старой только скоростью прямолинейного равно-
мерного движения). Тогда новые координаты события связаны со старыми ко-
ординатами соотношениями
1 1 1
1 1 1
ch ch( ) ch ch sh sh ch sh
sh sh( ) sh ch ch sh ch sh
s s s s
s s s s
⎧τ = ⋅ ψ = ψ −α = ψ α − ψ α = τ α − α⎪
⎨
= ⋅ ψ = ψ −α = ψ α − ψ α = α − τ α⎪⎩
r
r r
. (32)
В силу того, что (с учетом формул (31))
2
1ch
1 th
α =
− α
,
2
thsh
1 th
α
α =
− α
, 0
0th v u
c
α = = (33)
(где u0 – скорость относительного движения координатных систем), равен-
ства (32) принимают вид преобразований Лоренца:
0
1 2
0
0
1 2
0
1
1
u
u
u
u
⎧ τ −
τ =⎪
−⎪⎪
⎨
− τ⎪ =⎪ −⎪⎩
r
r
r
. (34)
Обратные преобразования Лоренца получают из равенств (34) путем замены
скорости относительного движения u0 на противоположное значение –u0:
1 0 1
2
0
1 0 1
2
0
1
1
u
u
u
u
⎧ τ +
τ =⎪
−⎪⎪
⎨
+ τ⎪ =⎪ −⎪⎩
r
r
r
. (35)
Рис. 4. Старая (G) и новая (G1) гипербо-
лические полярные системы координат
Физика и техника высоких давлений 2015, том 25, № 1–2
17
Формулы (34) позволяют объяснить эффекты замедления времени и со-
кращения длины при скоростях движения, близких к скорости с [22, с. 22–26].
Из соотношений (35) следует связь между скоростью частицы u (31) в ста-
рой инерциальной системе и ее скоростью u1 в новой инерциальной системе
(формула преобразования скоростей [22, с. 26; 23, с. 96]):
1 0
1 01
u uu
u u
+
=
+
. (36)
Из формулы (36) видно, что при выполнении равенства u1 = 1 скорость u = 1
вне зависимости от величины скорости относительного перемещения 0u од-
ной инерциальной системы по отношению к другой. Этот эффект связан с
обращением в нуль интервала между событиями в обеих системах координат,
т.е. точки, движущиеся со скоростью c, описываются изохронными кватер-
нионами.
В гиперпространстве интервал между событиями s, определяемый фор-
мулой (29), является вещественным и естественным параметром мировой
линии, таким же, как и параметр длины пространственной линии при дви-
жении в трехмерном пространстве Евклида. Если на мировой линии выбрать
начало отсчета и положительное направление увеличения интервала между
событиями (например, в сторону возрастания времени), то кватернион (27)
r(s) будет функцией интервала s, а его первые и вторые производные по это-
му параметру будут характеризовать геометрию мировой линии: кривизну,
кручение, повороты и гомотетии. С физической точки зрения указанные ве-
личины определяются скоростью и ускорением частицы, поэтому в следую-
щей работе вычислим физико-геометрические характеристики частицы на
мировой линии.
5. Заключение
В евклидовом пространстве геометрический вид экстремали (траектории
движения) формируют потенциальные поля. Они изменяют кривизну и кру-
чения пространства, что при определенных условиях может привести к пе-
риодическим и связанным между собой изменениям векторов подвижной
системы координат. Эволюционные уравнения содержат характеристики со-
пряженного пространства (первые производные базисных векторов по есте-
ственному параметру) к пространству Евклида. Пренебрежение одним из
геометрических факторов приводит к частным случаям описания эволюции
базисной тройки векторов, причем один из этих случаев был исследован в
модели Серре–Френе.
Для описания перемещения частиц в пространственно-временном конти-
нууме предлагается использовать физический изоморфизм алгебры кватер-
нионов Гамильтона в сочетании с векторным исчислением Гиббса. Соеди-
нение неассоциативной, некоммутативной и зависящей от операции ком-
плексного сопряжения теории Гамильтона с векторным анализом Гиббса
Физика и техника высоких давлений 2015, том 25, № 1–2
18
существенно увеличивает возможности используемого математического ап-
парата для отображения физической сущности реального мира. В частности,
предлагаемый подход описывает поведение релятивистских частиц без при-
влечения дополнительных гипотез и позволяет получить все соотношения
специальной теории относительности Эйнштейна. Отметим, что на мировой
линии координаты частицы, которая движется с предельной скоростью,
описываются изохронным кватернионом положения. Таким образом, пред-
лагаемое теоретическое построение можно использовать для исследования
физико-геометрических свойств гиперпространства на базе установленных
соотношений.
1. Г. Хакен, Синергетика. Иерархии неустойчивостей в самоорганизующихся сис-
темах и устройствах, Мир, Москва (1985).
2. Г. Хакен, Тайны природы. Синергетика: учение о взаимодействии, Институт
компьютерных исследований, Москва–Ижевск (2003).
3. С.В. Терехов, Введение в синергетику, Цифровая типография, Донецк (2009).
4. С.В. Терехов, ФТВД 22, № 1, 33 (2012).
5. Дж. Синг, Классическая динамика, Физматгиз, Москва (1963).
6. P.R. Girard, Eur. J. Phys. 5, 25 (1984).
7. А.П. Ефремов, Гиперкомплексные числа в геометрии и физике № 1, 111 (2004).
8. Jose G. Vargas, Гиперкомплексные числа в геометрии и физике 7, № 1, 165
(2010).
9. Г.И. Гарасько, Начала финслеровой геометрии для физиков, ТЕТРУ, Москва
(2009).
10. Б. Мандельброт, Фрактальная геометрия природы, Институт компьютерных
исследований, Москва (2002).
11. С.В. Терехов, Фракталы и физика подобия, Цифровая типография, Донецк
(2011).
12. S.I. Kruglov, Annales de la Fondation Louis de Broglie 27, 343 (2002).
13. С.В. Терехов, Вісник Донецького університету. Серія А: Природничі науки № 2,
287 (2002).
14. С.В. Терехов, Вестник Новгородского государственного университета. Серия:
Технические науки № 26, 56 (2004).
15. С.В. Терехов, ФТВД 16, № 2, 55 (2006).
16. С.В. Терехов, И.К. Локтионов, ФТВД 23, № 4, 5 (2013).
17. Г. Корн, Т. Корн, Справочник по математике, Наука, Москва (1973).
18. Н.Е. Кочин, Векторное исчисление и начала тензорного анализа, Наука, Москва
(1965).
19. В. Блашке, Введение в дифференциальную геометрию, Издательский дом «Уд-
муртский университет», Ижевск (2000).
20. В.Г. Веретенников, В.А. Синицын, Метод переменного действия, ФИЗМАТЛИТ,
Москва (2005).
21. А.И. Борисенко, И.Е. Тарапов, Векторный анализ и начала тензорного исчисле-
ния, Вища школа, Харьков (1986).
Физика и техника высоких давлений 2015, том 25, № 1–2
19
22. Л.Д. Ландау, Е.М. Лифшиц, Теоретическая физика, Т. II. Теория поля, Наука,
Москва (1973).
23. Ф.М. Морс, Г. Фешбах, Методы теоретической физики, Т. 1, Изд-во иностр.
лит., Москва (1958).
S.V. Terekhov
PHYSICAL AND GEOMETRICAL DESCRIPTIONS OF HYPERSPACE.
I. THE SERRE–FREINET GENERALIZED SYSTEM. PHYSICAL
ISOMORPHISM OF HAMILTON ALGEBRA OF THE QUATERNIONS
The Serre-Freinet system of differential equalizations of the first order has been studied
with taking into account a possibility of the turn of the three base vectors around the bi-
normal vector. It is shown that over neglect of one of geometrical characteristics of the
spatial curve (curvature, twisting or turn) brings to the ostillational pattern of behaviour
of the corresponding base vector of the movable frame of reference. The necessity to dis-
tinguish the geometrical structure of trajectory of motion and the physical properties of a
material particle is indicated. Modification of the Hamilton hypercomplex algebra is sug-
gested that represents the behavior of relativist objects.
Keywords: extremal, curvature, twisting, quaternion, interval between the events
Fig. 1. Extremals and transversals of the mechanical motion
Fig. 2. Three movable vectors of the spatial line
Fig. 3. Right (а) and left (б) well-organized triple of numbers
Fig. 4. Old (G) and new (G1) hyperbolic polar systems of co-ordinates
|