Определение поля скоростей по заданной плотности заряженных частиц

В работах В.И. Зубова разрабатывался подход к построению электромагнитных полей, вызывающих движения заряженных частиц в соответствии с заданным полем скоростей. Нахождение стационарных магнитных полей, обеспечивающих требуемую динамику частиц, получило развитие в работах Е.Д. Котиной. Однако в пред...

Ausführliche Beschreibung

Gespeichert in:

Bibliographische Detailangaben
Datum:	2012
Hauptverfasser:	Овсянников, Д.А., Котина, Е.Д.
Format:	Artikel
Sprache:	Russian
Veröffentlicht:	Національний науковий центр «Харківський фізико-технічний інститут» НАН України 2012
Schriftenreihe:	Вопросы атомной науки и техники
Schlagworte:	Динамика пучков
Online Zugang:	http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/108674
Tags:	Tag hinzufügen Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
Назва журналу:	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
Zitieren:	Определение поля скоростей по заданной плотности заряженных частиц / Д.А. Овсянников, Е.Д. Котина // Вопросы атомной науки и техники. — 2012. — № 3. — С. 122-125. — Бібліогр.: 16 назв. — рос.

Institution

Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine

id	irk-123456789-108674
record_format	dspace
spelling	irk-123456789-1086742016-11-15T03:02:15Z Определение поля скоростей по заданной плотности заряженных частиц Овсянников, Д.А. Котина, Е.Д. Динамика пучков В работах В.И. Зубова разрабатывался подход к построению электромагнитных полей, вызывающих движения заряженных частиц в соответствии с заданным полем скоростей. Нахождение стационарных магнитных полей, обеспечивающих требуемую динамику частиц, получило развитие в работах Е.Д. Котиной. Однако в предыдущих исследованиях не рассматривалась проблема построения поля скоростей, которая представляет собой самостоятельную задачу. В частности, проблему определения поля скоростей можно рассматривать как некоторую задачу теории оптимального управления. В данной работе впервые предлагается искать поле скоростей по заданной плотности распределения заряженных частиц в конфигурационном пространстве. В работе на основе обобщенного уравнения Лиувилля ставится оптимизационная задача, позволяющая свести решение исходной задачи к решению системы уравнений Эйлера-Лагранжа, являющейся системой эллиптического типа. В работах В.И. Зубова разрабатывался подход к построению электромагнитных полей, вызывающих движения заряженных частиц в соответствии с заданным полем скоростей. Нахождение стационарных магнитных полей, обеспечивающих требуемую динамику частиц, получило развитие в работах Е.Д. Котиной. Однако в предыдущих исследованиях не рассматривалась проблема построения поля скоростей, которая представляет собой самостоятельную задачу. В частности, проблему определения поля скоростей можно рассматривать как некоторую задачу теории оптимального управления. В данной работе впервые предлагается искать поле скоростей по заданной плотности распределения заряженных частиц в конфигурационном пространстве. В работе на основе обобщенного уравнения Лиувилля ставится оптимизационная задача, позволяющая свести решение исходной задачи к решению системы уравнений Эйлера-Лагранжа, являющейся системой эллиптического типа. В роботах В.І. Зубова розроблявся підхід до побудови електромагнітних полів, що викликають рух заряджених частинок у відповідності із заданим полем швидкостей. Знаходження стаціонарних магнітних полів, що забезпечують необхідну динаміку частинок, отримало розвиток в роботах О.Д. Котіной. Проте в попередніх дослідженнях не розглядалася проблема побудови поля швидкостей, яка представляє собою самостійну задачу. Зокрема, проблему визначення поля швидкостей можна розглядати як деяку задачу теорії оптимального управління. В даній роботі вперше пропонується шукати поле швидкостей по заданій щільності розподілу заряджених частинок в конфігураційному просторі. В роботі на основі узагальненого рівняння Ліувілля ставиться оптимізаційна задача, що дозволяє звести рішення вихідного завдання до вирішення системи рівнянь Ейлера-Лагранжа, що є системою еліптичного типу. 2012 Article Определение поля скоростей по заданной плотности заряженных частиц / Д.А. Овсянников, Е.Д. Котина // Вопросы атомной науки и техники. — 2012. — № 3. — С. 122-125. — Бібліогр.: 16 назв. — рос. 1562-6016 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/108674 539.12: 519.63 ru Вопросы атомной науки и техники Національний науковий центр «Харківський фізико-технічний інститут» НАН України
institution	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
collection	DSpace DC
language	Russian
topic	Динамика пучков Динамика пучков
spellingShingle	Динамика пучков Динамика пучков Овсянников, Д.А. Котина, Е.Д. Определение поля скоростей по заданной плотности заряженных частиц Вопросы атомной науки и техники
description	В работах В.И. Зубова разрабатывался подход к построению электромагнитных полей, вызывающих движения заряженных частиц в соответствии с заданным полем скоростей. Нахождение стационарных магнитных полей, обеспечивающих требуемую динамику частиц, получило развитие в работах Е.Д. Котиной. Однако в предыдущих исследованиях не рассматривалась проблема построения поля скоростей, которая представляет собой самостоятельную задачу. В частности, проблему определения поля скоростей можно рассматривать как некоторую задачу теории оптимального управления. В данной работе впервые предлагается искать поле скоростей по заданной плотности распределения заряженных частиц в конфигурационном пространстве. В работе на основе обобщенного уравнения Лиувилля ставится оптимизационная задача, позволяющая свести решение исходной задачи к решению системы уравнений Эйлера-Лагранжа, являющейся системой эллиптического типа.
format	Article
author	Овсянников, Д.А. Котина, Е.Д.
author_facet	Овсянников, Д.А. Котина, Е.Д.
author_sort	Овсянников, Д.А.
title	Определение поля скоростей по заданной плотности заряженных частиц
title_short	Определение поля скоростей по заданной плотности заряженных частиц
title_full	Определение поля скоростей по заданной плотности заряженных частиц
title_fullStr	Определение поля скоростей по заданной плотности заряженных частиц
title_full_unstemmed	Определение поля скоростей по заданной плотности заряженных частиц
title_sort	определение поля скоростей по заданной плотности заряженных частиц
publisher	Національний науковий центр «Харківський фізико-технічний інститут» НАН України
publishDate	2012
topic_facet	Динамика пучков
url	http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/108674
citation_txt	Определение поля скоростей по заданной плотности заряженных частиц / Д.А. Овсянников, Е.Д. Котина // Вопросы атомной науки и техники. — 2012. — № 3. — С. 122-125. — Бібліогр.: 16 назв. — рос.
series	Вопросы атомной науки и техники
work_keys_str_mv	AT ovsânnikovda opredeleniepolâskorostejpozadannojplotnostizarâžennyhčastic AT kotinaed opredeleniepolâskorostejpozadannojplotnostizarâžennyhčastic
first_indexed	2025-07-07T21:54:27Z
last_indexed	2025-07-07T21:54:27Z
_version_	1837026790270304256
fulltext	ISSN 1562-6016. ВАНТ. 2012. №3(79) 122 УДК 539.12: 519.63 ОПРЕДЕЛЕНИЕ ПОЛЯ СКОРОСТЕЙ ПО ЗАДАННОЙ ПЛОТНОСТИ ЗАРЯЖЕННЫХ ЧАСТИЦ Д.А. Овсянников, Е.Д. Котина Санкт-Петербургский государственный университет, Санкт-Петербург, Россия E-mail: ekotina123@mail.ru В работах В.И. Зубова разрабатывался подход к построению электромагнитных полей, вызывающих движения заряженных частиц в соответствии с заданным полем скоростей. Нахождение стационарных маг- нитных полей, обеспечивающих требуемую динамику частиц, получило развитие в работах Е.Д. Котиной. Однако в предыдущих исследованиях не рассматривалась проблема построения поля скоростей, которая представляет собой самостоятельную задачу. В частности, проблему определения поля скоростей можно рассматривать как некоторую задачу теории оптимального управления. В данной работе впервые предлага- ется искать поле скоростей по заданной плотности распределения заряженных частиц в конфигурационном пространстве. В работе на основе обобщенного уравнения Лиувилля ставится оптимизационная задача, по- зволяющая свести решение исходной задачи к решению системы уравнений Эйлера-Лагранжа, являющейся системой эллиптического типа. 1. ВВЕДЕНИЕ Проблемы решения различных обратных задач всегда находились в центре внимания многих ис- следователей. В частности, решение обратных задач электродинамики, когда по заданным движениям (по заданному полю скоростей) определялись элек- тромагнитные поля, изучалось в работах Г.А. Грин- берга, В.Т. Овчарова, В. Мельтцера, А.Р. Лукаса, В.И. Зубова, Е.Д. Котиной [1-9]. Следует отметить, что задание поля скоростей, вообще говоря, пред- ставляет собой самостоятельную задачу. В частно- сти, возможны различные постановки оптимизаци- онных задач управления ансамблем траекторий с целью получения необходимой динамики частиц [10]. В данной работе предлагается искать поле ско- ростей по заданной плотности распределения заря- женных частиц в конфигурационном пространстве. Предлагается рассмотреть оптимизационную зада- чу, позволяющую свести решение исходной про- блемы к решению уравнений Эйлера-Лагранжа для соответствующего функционала. Этот подход ис- пользуется в дальнейшем для определения поля скоростей при решении задачи формирования пучка заряженных частиц в стационарном магнитном по- ле. 2. ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ Будем предполагать, что динамика частиц осу- ществляется в силу уравнений: ).,,,( ),,,,( ),,,,( zyxtwz zyxtvy zyxtux = = = & & & (1) Обозначим −= ),,,( zyxtρρ плотность распре- деления частиц, которая в общем случае зависит от времени t и пространственных координат zyx ,, . Нашей задачей является определение поля скоро- стей, т.е. нахождение функций wvu ,, по известной функции ),,,( zyxtρ . Будем предполагать, что плотность распределе- ния частиц удовлетворяет, с учетом (1), уравнению переноса (обобщенному уравнению Лиувилля) [10] 0=⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ ∂ ∂ + ∂ ∂ + ∂ ∂ ⋅+ ∂ ∂ + ∂ ∂ + ∂ ∂ + ∂ ∂ z w y v x uw z v y u xt ρρρρρ или 0=⋅+ ∂ ∂ + ∂ ∂ + ∂ ∂ + ∂ ∂ divfw z v y u xt ρρρρρ , (2) где Тwvuf ),,(= – поле скоростей системы (1). Уравнение (2) – это уравнение с частными про- изводными первого порядка, линейное относитель- но wvu ,, и их частных производных. Но так как в данном уравнении содержатся три неизвестные функции, то его недостаточно для их определения. В общем случае – это некорректная задача. В связи с этим мы будем использовать метод регуляризации по А.Н. Тихонову [11] и исследовать соответствую- щую вариационную задачу. Введем ряд стандартных обозначений: tt ρρ = ∂ ∂ , xx ρρ = ∂ ∂ , yy ρρ = ∂ ∂ , zz ρρ = ∂ ∂ , xt t x ρ ρ = ∂ ∂ , yt t y ρ ρ = ∂ ∂ , zt t z ρ ρ = ∂ ∂ , xu x u = ∂ ∂ , yu y u = ∂ ∂ , zu z u = ∂ ∂ , xv x v = ∂ ∂ , yv y v = ∂ ∂ , zv z v = ∂ ∂ , xw x w = ∂ ∂ , yw y w = ∂ ∂ , zw z w = ∂ ∂ , xxu xx u = ∂∂ ∂ 2 , xyu yx u = ∂∂ ∂ 2 , zxu zx u = ∂∂ ∂ 2 , zyu zy u = ∂∂ ∂ 2 , yyv yy v = ∂∂ ∂ 2 , xyv yx v = ∂∂ ∂ 2 , zxv zx v = ∂∂ ∂ 2 , yzv zy v = ∂∂ ∂ 2 , xxw xx w = ∂∂ ∂ 2 , yxw yx w = ∂∂ ∂ 2 , zxw zx w = ∂∂ ∂ 2 , zyw zy w = ∂∂ ∂ 2 . ISSN 1562-6016. ВАНТ. 2012. №3(79) 123 Рассмотрим функционал ∫ ∫ += T M dxdydzdtwvuJ 0 2 2 1 )(),,( ϕαϕ , (3) где −T время, −M некоторая область из 3R нену- левой меры, −2α параметр регуляризации, 2 1 ))(( zyxzyxt wvuwvu ++++++= ρρρρρϕ , 222222222 2 zyxzyxzyx wwwvvvuuu ++++++++=ϕ . Таким образом, мы ищем поле скоростей в клас- се достаточно гладких функций. 3. УРАВНЕНИЯ ДЛЯ ОПРЕДЕЛЕНИЯ ПОЛЯ СКОРОСТЕЙ Уравнения Эйлера-Лагранжа в данном случае имеют вид: ,)) )2(()( )()( 22 xtxzxy zyxxxzxyxx xzxyxxzzyyxx wv wvuwvu wvuuuu ρρρρ ρρρρρρ ρα =+ +++−++ −++−++− ,))2( ()( )()( 22 tyyzzyxy yxyzyyxy yzyyxyzzyyxx wwvu uwvu wvuvvv ρρρρ ρρρρρρ ρα =+++ +−++ −++−++− (4) .))2( ()( )()( 22 ztzyxz zyzxzzyzxz zzyzxzzzyyxx wvu vuwvu wvuwww ρρρ ρρρρρρρ ρα =++ ++−++ −++−++− Или в векторной форме: . 00 00 00 00 00 00 2 2 2 22 ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ = ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ − ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ − ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ − ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ − ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ++ ++ ++ − ⎟⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ++ ++ ++ − zt yt xt zzyzxz yzyyxy xzxyxx z y x y z z z y x x x y z y x zzz yyy xxx zzyzxz yzyyxy xzxyxx zzyyxx zzyyxx zzyyxx w v u v w w u u v w v u wvu wvu wvu www vvv uuu ρ ρ ρ ρ ρρρ ρρρ ρρρ ρ ρ ρ ρ ρ ρ ρ ρ ρ ρρρ ρρρ ρρρ ρ ρα Для двумерного случая, т.е., если мы рассматри- ваем плотность в виде ),,( yxtρρ = и ищем поле скоростей (1) в виде ),,,( ),,,( yxtvy yxtux = = & & уравнения (4) принимают вид 2 2 2 2 ( ) ( ) ( ) ( (2 ) )) , ( ) ( ) ( ) ( ( 2 )) , xx yy xx xy xx xy x x y y x t x xx yy xy yy xy yy x y y x y t y u u u v u v u v v v v u v u v u u v α ρ ρ ρ ρ ρ ρ ρ ρρ α ρ ρ ρ ρ ρ ρ ρ ρρ − + − + − + − + + = − + − + − + − + + = (5) а векторная форма принимает следующий вид: . 0 0 2 2 2 2 ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ =⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ + + −⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ −⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ −⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ −⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ + + − ty tx yyxy xyxx y x x y y x yy xx yyxy xyxx yyxx yyxx vu vu u v v u v u vv uu ρ ρ ρρ ρ ρ ρ ρρ ρρ ρ ρρ ρρ ρα Пусть −M область в 2R с достаточно гладкой границей Г . Введем следующий оператор: ( ) ( ) ⎪ ⎪ ⎭ ⎪⎪ ⎬ ⎫ ⎪ ⎪ ⎩ ⎪⎪ ⎨ ⎧ ∂ ∂ − ∂ ∂ − +Δ−= )()( )()( )( 2 12 2 1 fdiv x fdiv fdiv x fdiv ffA x x ρρρρ ρρρρ α (6) или ( )fdivgradffA ρρα −Δ−= 2)( . Здесь TT vufff ),(),( 21 == , Tvuf ),( ΔΔ=Δ , ),( 21 xxuu = , ),( 21 xxvv = . Систему (5) запишем в виде операторного урав- нения gfA =)( на M (7) с граничным условием 0=f на Г . (8) Здесь ( ) ( ) . 2 1 2 1 t txt txt grad x xg ρρ ρρρρ ρρρρ = ⎪ ⎪ ⎭ ⎪⎪ ⎬ ⎫ ⎪ ⎪ ⎩ ⎪⎪ ⎨ ⎧ ∂ ∂ +− ∂ ∂ +− = Следует заметить, что уравнение (7), записанное в операторной форме, имеет место при произволь- ной размерности n вектора ),...,,( 21 nffff = . При этом множество M следует рассматривать в про- странстве nR . Таким образом, система уравнений (4) также записывается в форме (7). Нетрудно показать, что оператор )( fA является положительно определенным оператором, а система уравнений, определяемых операторным уравнением (7), является сильноэллиптической системой диф- ференциальных уравнений [12, 13]. Как известно, сильноэллиптические системы ве- дут себя с точки зрения разрешимости, как одно эллиптическое уравнение. Отметим, что функционал (3) является квадра- тичным функционалом, который отличается лишь константой от следующего функционала: ( ) ( )fgffAfJ ,2),()( −= . (9) В силу положительной определенности операто- ра A решение уравнения (7) является также реше- нием задачи минимизации функционала (9) [14]. Более того, обобщенное решение системы (7) с гра- ничным условием (8) в силу положительной опреде- ленности оператора A существует, и единственно, а ISSN 1562-6016. ВАНТ. 2012. №3(79) 124 при достаточной гладкости коэффициентов уравне- ния (7), т.е. функции ρ , и границы множества M существует и классическое решение в силу теорем вложения [14, 15, 16]. 4. ФОРМИРОВАНИЕ ПУЧКА В СТАЦИОНАРНОМ МАГНИТНОМ ПОЛЕ В этом разделе мы приведем частный случай по- строения поля скоростей для решения задачи фор- мирования пучка заряженных частиц в стационар- ном магнитном поле. В этом случае по заданной плотности распределения частиц вычисляется в ана- литическом виде поле скоростей, реализующее эту плотность. Далее используется подход, предложенный В.И. Зубовым. Пусть динамика частиц описывается уравнениями ,)( , BeY dt mYd Y dt dX ×= = (10) где ( ) −= 321 ,, xxxX координаты частицы в декар- товой системе координат; ( ) −= 321 ,, yyyY вектор скорости частицы; −m масса частицы; −e заряд частицы; −B векторная функция, определяющая магнитную индукцию; −t время. Обозначим через η поле скоростей в конфигураци- онном пространстве, тогда ).,( XtX η=& (11) В работах В.И. Зубова показано, что стационарное магнитное поле (т.е. векторная функция B , удовле- творяющая уравнению Максвелла div 0=B ), дви- жение заряженных частиц в котором происходит в соответствии с полем скоростей (11), можно пред- ставить в виде e mB −= rot η . Это означает, что в конфигурационном пространстве траектории заря- женных частиц, определяемые системой (10), будут совпадать с траекториями системы (11) при одина- ковых начальных условиях. Однако данное представление не исчерпывает всех возможностей, и при практической реализации оказалось более естественным искать магнитное поле в виде [8, 9] e mB −= rot ,ηη h+ (12) где ( ) −= 321 ,, xxxhh произвольная функция, удовлетворяющая условию div ( ) 0=ηh . Рассмотрим аксиально-симметричное магнитное поле и цилиндрическую систему координат ( )zr ,,θ . Радиальное движение частиц в этом слу- чае описывается уравнением ( )zrf dz dr ,= . (13) Уравнение (2) в данном случае имеет вид + ∂ ∂ + ∂ ∂ ),(),(),( zrf r zr z zr ρρ 0),(),( = ∂ ∂ r zrfzrρ . (14) Надо найти функцию ),( zrff = , обращающую данное уравнение в тождество. Зная функцию ),( zrff = , мы можем вычис- лить компоненты магнитного поля . 1 , 1 21 2 222 1 21 2 222 1 ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ + − + ∂ ∂ −= ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ + − + ∂ ∂ = f rLch r L er mB f rLcfh z L er mB z r (15) Здесь ),( zrLL = и ),( zrhh = − решения сле- дующей системы [8, 9]: ⎪ ⎪ ⎩ ⎪⎪ ⎨ ⎧ = ∂ ∂ + ∂ ∂ − ∂ ∂ + ∂ ∂ − = ∂ ∂ + ∂ ∂ − , , 2 1 d r Lfg r hfq z Lg z hq d r Ll z Lfl где 222 1 rLcq −= , ,2r hLg = 2rL e ml = , ( ) 2 1232 1 )1( fqrgFq e mrL e md ++−= , ( )21 ff r f z fF +⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ∂ ∂ + ∂ ∂ = , ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − ∂ ∂ += fF r fq r fchd 2 12 , 1c − полная скорость частицы. Зададим функцию плотности распределения в виде нормального распределения ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ − = 2 2 2 ))((exp 2 1),( σπσ ρ zrrzr . Далее пусть 000 )cos()( azzrzr += . Решая уравнение (14), можно показать, что поле скоростей в данном случае представимо в виде ×−= )sin(sin 00000 zzzrzzrf ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ +− 2 000 2 2 ))cos((2 exp σ azzrr . Таким образом, задавая необходимую плотность распределения, можно определять поле скоростей, по которому далее строить магнитное поле согласно описанному алгоритму. БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК 1. Г.А. Гринберг. Избранные вопросы математи- ческой теории электрических и магнитных явле- ний. М.: Изд-во Академии наук, 1948, с.507-535. 2. В.Т. Овчаров. Аксиально-симметричные пучки заданной формы // Доклады АН СССР. 1956, т.107, №1, c.47-50. ISSN 1562-6016. ВАНТ. 2012. №3(79) 125 3. В.Т. Овчаров. Теория формирования электрон- ных пучков // Радиотехника и электроника. 1957, т.2, №6, с.696-704. 4. B. Meltzer. Single-Component Stationary Electron Flow under Space-Charge Conditions // Journal of Electronics. 1956, v.7, №1, p.118-127. 5. A.R. Lucas, B. Meltzer. A General Theorem for Dense Electron Beams // Journal of Electronics and Control. 1957, v.4, №2, p.160-164. 6. В.И. Зубов. К управлению движением заряжен- ных частиц в магнитном поле // Доклады АН СССР. 1977, т.232, №4, c.798-799. 7. В.И. Зубов. Динамика управляемых систем. М.: «Высшая школа». 1982, с.285. 8. Е.Д. Котина. Формирование заданной динамики пучка в магнитном поле // Вестн. С.-Петерб. ун- та. Сер.10. «Прикладная математика, информа- тика, процессы управления». 2006, в.4, с.77-82. 9. E.D. Kotina. Beam dynamics formation in magnetic field // Proceedings of EPAC 2002, Paris, France, 2002, p.1264-1266. 10. Д.А. Овсянников. Моделирование и оптимизация динамики пучков заряженных частиц. Л.: Изд-во Ленингр. ун-та, 1990, 312 с. 11. А.Н. Тихонов, В.Я. Арсенин. Методы решения некорректных задач. М.: «Наука», 1979, с.288. 12. А.А. Самарский, Е.С. Николаев. Методы реше- ния сеточных уравнений. М.: «Наука», 1978, с.324. 13. М.И. Вишик. О сильноэллиптических системах дифференциальных уравнений // Математиче- ский сборник. 1951, т.29 (71), №3. 14. К. Ректорис. Вариационные методы в матема- тической физике и технике / Пер. с англ. М.: «Мир», 1985, с.590. 15. О.А. Ладыженская. Краевые задачи математи- ческой физики. М.: «Наука», 1973, с.408. 16. С.М. Никольский. Приближения функций многих переменных и теоремы вложения. М.: «Наука», 1977, с.456. Статья поступила в редакцию 05.12.2011 г. DETERMINATION OF VELOCITY FIELD BY GIVEN DENSITY DISTRIBUTION OF CHARGED PARTICLES D.A. Ovsyannikov, E.D. Kotina In V.I. Zubov’s works the approach to determination of electromagnetic field causing motion of charged parti- cles in accordance with given velocity field was considered. Construction of stationary magnetic field forming given beam dynamics was developed in E.D. Kotina’s work. In previous investigations the problem of determination of velocity field wasn’t considered, which is a separate task. In particular, the task of determination velocity field could be considered as the problem of the optimal control theory. In this work it is suggested to find velocity field by given density distribution of charged particles in configuration space. In this work optimization problem is consid- ered as based on Liouville’s equation. Thus the problem of determination of velocity field is reduced to solving of elliptic system of Euler-Lagrange equations. ВИЗНАЧЕННЯ ПОЛЯ ШВИДКОСТЕЙ ПО ЗАДАНОЇ ЩІЛЬНОСТІ ЗАРЯДЖЕНИХ ЧАСТИНОК Д.О. Овсянников, О.Д. Котіна В роботах В.І. Зубова розроблявся підхід до побудови електромагнітних полів, що викликають рух заря- джених частинок у відповідності із заданим полем швидкостей. Знаходження стаціонарних магнітних полів, що забезпечують необхідну динаміку частинок, отримало розвиток в роботах О.Д. Котіной. Проте в попере- дніх дослідженнях не розглядалася проблема побудови поля швидкостей, яка представляє собою самостійну задачу. Зокрема, проблему визначення поля швидкостей можна розглядати як деяку задачу теорії оптималь- ного управління. В даній роботі вперше пропонується шукати поле швидкостей по заданій щільності розпо- ділу заряджених частинок в конфігураційному просторі. В роботі на основі узагальненого рівняння Ліувілля ставиться оптимізаційна задача, що дозволяє звести рішення вихідного завдання до вирішення системи рів- нянь Ейлера-Лагранжа, що є системою еліптичного типу.

Определение поля скоростей по заданной плотности заряженных частиц

Institution

Ähnliche Einträge