Об устойчивости решений систем разностных уравнений в одном критическом случае - Игнатьев, А.О. (Інститут прикладної математики і механіки НАН України, 2008)
Рассматривается система нелинейных разностных уравнений, допускающая нулевое решение. С помощью метода функций Ляпунова изучается его устойчивость. Наряду с полной системой уравнений рассматривается линеаризованная система разностных уравнений. Известно, что если все корни характеристического уравнения линеаризованной системы по модулю меньше единицы, то нулевое решение полной системы асимптотически устойчиво. Если хотя бы один из корней характеристического уравнения по модулю больше единицы, то нулевое решение полной системы неустойчиво. В случае, когда часть корней характеристического уравнения по модулю меньше единицы, а часть равна единице, задача устойчивости не решается рассмотрением лишь линейных членов, и для ее решения нужно привлечь нелинейные слагаемые. Такой случай называется критическим. В настоящей работе рассмотрен критический случай одного корня, равного единице, когда задача устойчивости решается членами до третьего порядка малости в разложении правых частей исходных уравнений в ряды Маклорена.