Побудова та дослідження операторів ермітової інтерлінації функцій двох змінних на системі неперетинних ліній із збереженням класу диференційовності

Побудовано та досліджено оператори інтерлінації функцій двох змінних із збереженням класу диференційовності, якому належить наближувана функція за умови, що сліди цих операторів і сліди їх частинних похідних за однією із змінних до фіксованого порядку співпадають на заданій системі ліній з відповідн...

Ausführliche Beschreibung

Gespeichert in:

Bibliographische Detailangaben
Datum:	2016
Hauptverfasser:	Сергієнко, І.В., Литвин, О.М., Литвин, О.О., Ткаченко, О.В., Грицай, О.Л.
Format:	Artikel
Sprache:	Ukrainian
Veröffentlicht:	Інстиут проблем машинобудування ім. А.М. Підгорного НАН України 2016
Schriftenreihe:	Проблемы машиностроения
Schlagworte:	Прикладная математика
Online Zugang:	http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/110180
Tags:	Tag hinzufügen Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
Назва журналу:	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
Zitieren:	Побудова та дослідження операторів ермітової інтерлінації функцій двох змінних на системі неперетинних ліній із збереженням класу диференційовності / І.В. Сергієнко, О.М. Литвин, О.О. Литвин, О.В. Ткаченко, О.Л. Грицай // Проблемы машиностроения. — 2016. — Т. 19, № 3. — С. 60-68. — Бібліогр.: 19 назв. — укр.

Institution

Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine

id	irk-123456789-110180
record_format	dspace
spelling	irk-123456789-1101802017-01-01T03:02:20Z Побудова та дослідження операторів ермітової інтерлінації функцій двох змінних на системі неперетинних ліній із збереженням класу диференційовності Сергієнко, І.В. Литвин, О.М. Литвин, О.О. Ткаченко, О.В. Грицай, О.Л. Прикладная математика Побудовано та досліджено оператори інтерлінації функцій двох змінних із збереженням класу диференційовності, якому належить наближувана функція за умови, що сліди цих операторів і сліди їх частинних похідних за однією із змінних до фіксованого порядку співпадають на заданій системі ліній з відповідними слідами наближуваної функції. Построены и исследованы операторы интерлинации функций двух переменных с сохранением класса дифференцируемости, которому' принадлежит приближаемая функция при условии, что следы этих операторов и следы частных производных по одной из переменных до фиксированного порядка совпадают на заданной системе линий с соответствующими следами приближаемой функции. Investigates methods for constructing Hermitian operators interlination recovery of differentiated functions of two variables between the smooth continuous curves that preserve the class of differentiability Cr(R2). To construct these operators are used traces of the interpolated function and its partial derivatives with respect to one variable to a given order. The method of constructing these operators are based on the method first proposed in O. N. Lytvyn and uses a linear combination of the integral operators, allowing to increase the relevant classes of differentiable functions that are built with the following, which are assumed not to have the required class of differentiability. Thus said linear combination belongs to a specific class of differentiability despite the value of the linear combination coefficients. These values are found from the condition that corresponding derivatives of the variable y have the same traces as the approximated function on all M nonintersecting curves. Thus constructed operators retain the same differentiability class r, which owns the approximated function f(x, y) and at the same has the same traces as the approximated function with partial derivatives y with respect to the order N inclusive. In this paper, accepted that the functions describing these curves have continuous derivatives to order r including and those curves do not intersect. 2016 Article Побудова та дослідження операторів ермітової інтерлінації функцій двох змінних на системі неперетинних ліній із збереженням класу диференційовності / І.В. Сергієнко, О.М. Литвин, О.О. Литвин, О.В. Ткаченко, О.Л. Грицай // Проблемы машиностроения. — 2016. — Т. 19, № 3. — С. 60-68. — Бібліогр.: 19 назв. — укр. 0131-2928 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/110180 519.6 uk Проблемы машиностроения Інстиут проблем машинобудування ім. А.М. Підгорного НАН України
institution	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
collection	DSpace DC
language	Ukrainian
topic	Прикладная математика Прикладная математика
spellingShingle	Прикладная математика Прикладная математика Сергієнко, І.В. Литвин, О.М. Литвин, О.О. Ткаченко, О.В. Грицай, О.Л. Побудова та дослідження операторів ермітової інтерлінації функцій двох змінних на системі неперетинних ліній із збереженням класу диференційовності Проблемы машиностроения
description	Побудовано та досліджено оператори інтерлінації функцій двох змінних із збереженням класу диференційовності, якому належить наближувана функція за умови, що сліди цих операторів і сліди їх частинних похідних за однією із змінних до фіксованого порядку співпадають на заданій системі ліній з відповідними слідами наближуваної функції.
format	Article
author	Сергієнко, І.В. Литвин, О.М. Литвин, О.О. Ткаченко, О.В. Грицай, О.Л.
author_facet	Сергієнко, І.В. Литвин, О.М. Литвин, О.О. Ткаченко, О.В. Грицай, О.Л.
author_sort	Сергієнко, І.В.
title	Побудова та дослідження операторів ермітової інтерлінації функцій двох змінних на системі неперетинних ліній із збереженням класу диференційовності
title_short	Побудова та дослідження операторів ермітової інтерлінації функцій двох змінних на системі неперетинних ліній із збереженням класу диференційовності
title_full	Побудова та дослідження операторів ермітової інтерлінації функцій двох змінних на системі неперетинних ліній із збереженням класу диференційовності
title_fullStr	Побудова та дослідження операторів ермітової інтерлінації функцій двох змінних на системі неперетинних ліній із збереженням класу диференційовності
title_full_unstemmed	Побудова та дослідження операторів ермітової інтерлінації функцій двох змінних на системі неперетинних ліній із збереженням класу диференційовності
title_sort	побудова та дослідження операторів ермітової інтерлінації функцій двох змінних на системі неперетинних ліній із збереженням класу диференційовності
publisher	Інстиут проблем машинобудування ім. А.М. Підгорного НАН України
publishDate	2016
topic_facet	Прикладная математика
url	http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/110180
citation_txt	Побудова та дослідження операторів ермітової інтерлінації функцій двох змінних на системі неперетинних ліній із збереженням класу диференційовності / І.В. Сергієнко, О.М. Литвин, О.О. Литвин, О.В. Ткаченко, О.Л. Грицай // Проблемы машиностроения. — 2016. — Т. 19, № 3. — С. 60-68. — Бібліогр.: 19 назв. — укр.
series	Проблемы машиностроения
work_keys_str_mv	AT sergíênkoív pobudovatadoslídžennâoperatorívermítovoíínterlínacíífunkcíjdvohzmínnihnasistemíneperetinnihlíníjízzberežennâmklasudiferencíjovností AT litvinom pobudovatadoslídžennâoperatorívermítovoíínterlínacíífunkcíjdvohzmínnihnasistemíneperetinnihlíníjízzberežennâmklasudiferencíjovností AT litvinoo pobudovatadoslídžennâoperatorívermítovoíínterlínacíífunkcíjdvohzmínnihnasistemíneperetinnihlíníjízzberežennâmklasudiferencíjovností AT tkačenkoov pobudovatadoslídžennâoperatorívermítovoíínterlínacíífunkcíjdvohzmínnihnasistemíneperetinnihlíníjízzberežennâmklasudiferencíjovností AT gricajol pobudovatadoslídžennâoperatorívermítovoíínterlínacíífunkcíjdvohzmínnihnasistemíneperetinnihlíníjízzberežennâmklasudiferencíjovností
first_indexed	2025-07-08T00:13:17Z
last_indexed	2025-07-08T00:13:17Z
_version_	1837035546734493696
fulltext	ПРИКЛАДНАЯ МАТЕМАТИКА ISSN 0131–2928. Пробл. машиностроения, 2016, Т. 19, № 3 60 14. Tools of mathematical modelling of arbitrary object packing problems/ J. Bennell, G. Scheithauer, Yu. Stoyan, T. Romanova // J. Annals of Operations Research, Publisher Springer Netherlands. – 2010. – № 179(1). – P. 343– 368. 15. Chernov, N. Mathematical model and efficient algorithms for object packing problem / N. Chernov, Yu. Stoyan, T. Romanova // Computational Geometry: Theory and Appl. – 2010. – № 43 (5). – P. 533–553. 16. Phi-functions for 2D objects formed by line segments and circular arcs / N. Chernov, Y. Stoyan, T. Romanova, A. Pankratov // Advances in Operations Research. –2012. – 26 p. 17. Optimal clustering of a pair of irregular objects / J. Bennell, G. Scheithauer, Y. Stoyan et al. // J. Global Optimisa- tion. – 2015. –№ 61 (3). – P. 497–524. 18. Pankratov, A. V. Placement of non-convex polygons with rotations into a non-convex polygon / A. V. Pankratov, Yu. G. Stoyan // Proc. Workshop Cutting Stock Problems. – 2005. Alutus, Miercurea-Ciuc, Romania. – P. 29–36. 19. Wachter, A. On the implementation of an interior-point filter line-search algorithm for large-scale nonlinear pro- gramming/ A. Wachter, L. T. Biegler // Mathematical Programming. – 2006. – № 106 (1). – P. 25–57. 20. Stoyan, Yu. Cutting and Packing problems for irregular objects with continuous rotations: mathematical modeling and nonlinear optimization / Yu. Stoyan, A. Pankratov, T. Romanova // J. Operational Research Society, – 2016. – № 67 (5). – P. 786–800. 21. Kallrath, J. Cutting Ellipses from Area-Minimizing Rectangles / J. Kallrath, S. Rebennack // J. Global Optimisation. – 2014. – № 59 (2–3). – P. 405–437. Поступила в редакцию 06.09.16 1 І. В. Сергієнко, акад. НАН України 2 О. М. Литвин, д-р фіз.-мат. наук 2 О. О. Литвин, канд. фіз.-мат. наук 3 О. В. Ткаченко, канд. фіз.-мат. наук 3 О. Л. Грицай 1 Інститут кібернетики імені В.М. Глушкова НАН України, м. Київ 2 Українська інженерно-педагогічна акаде- мія, м. Харків, e-mail: academ_mail@ukr.net 2 ДП СКБ «Івченко-Прогрес», м. Запоріжжя, e-mail: avt2007@outlook.com Ключові слова: збереження класу диференційовно- сті, сліди функції, сліди похідних на лінії, Ермітова інтерлінація. УДК 519.6 ПОБУДОВА ТА ДОСЛІДЖЕННЯ ОПЕРАТОРІВ ЕРМІТОВОЇ ІНТЕРЛІНАЦІЇ ФУНКЦІЙ ДВОХ ЗМІННИХ НА СИСТЕМІ НЕПЕРЕТИННИХ ЛІНІЙ ІЗ ЗБЕРЕЖЕННЯМ КЛАСУ ДИФЕРЕНЦІЙОВНОСТІ Побудовано та досліджено оператори інтерлінації функцій двох змінних із збереженням класу диференці- йовності, якому належить наближувана функція за умови, що сліди цих операторів і сліди їх частинних похідних за однією із змінних до фіксованого порядку співпадають на заданій системі ліній з відповідними слідами наближуваної функції. Вступ Нехай s s s y yxf yxf ∂ ∂ = ),( ),( ),0( . Оператори ермітової інтерлінації, що використовують для своєї побудови сліди наближуваної функції та її частинних похідних до заданого порядку N ≥ 1 на заданій системі паралельних прямих ( ) ;,,1,0,)( , ),( ),( , ! )(),(),( ,, )( , ),0( 1 0 , ),0( sNpyh y yxf yxf s yy yhyxfyxfE spk p sk yy s s k s M k N s s k skk s MN k −=δδ= ∂ ∂ = − = = = = ∑∑ Kll  І. В. Сергієнко, О. М. Литвин, О. О. Литвин, О. В. Ткаченко, О. Л. Грицай, 2016 ПРИКЛАДНАЯ МАТЕМАТИКА ISSN 0131–2928. Пробл. машиностроения, 2016, Т. 19, № 3 61 ,,,1,0,;,,2,1,),,( ),( ),0( NspMkyxf y yxfE p yy p MN p KKll l === ∂ ∂ = які є операторами інтерполяції за однією змінною, мають порядок диференційовності, що повністю визначається диференціальними властивостями допоміжних (базисних) функцій ( ) ! )(, s yy yh s k sk − , k = 1, 2, …, M; s = 0, 1, …, N (поліномів алгебраїчних, тригонометричних, узагальнених, сплайнів то- що) та диференціальними властивостями вказаних слідів. Тобто якщо NrNsRCyxf sr k s ≥=∈ − ,,1,0),(),(),0( K , то )(),()(),( 22 RCyxfERCyxfE r MN Nr MN ∉⇒∈ − . Це твердження, зокрема, виконується для функцій ( ) ).(),(11),( ,,2,1,0),(),(1),( 22221212 2122212 RCfRCyxyxyxf qRCfRCyxyxf qqq qqq +++ ++ ∉∈−+−+= =∉∈−+= K Таким чином, оператори EM,Nf(x, y) не можна використовувати замість f(x, y) без додаткового аналізу у тих задачах, де істотною є вимога, щоб функція f(x, y) мала неперервні похідні порядку r ≥ 1. Потрібні оператори такого типу вперше були побудовані в працях [1–3] для двох випадків – в дискретній та інтегральній формах. Зокрема, в дискретній формі оператор ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ∑∑ ∑ ∫ ∑∑ = = = −β+ − == − −−β+ λ+ +−β+λ= M k N s N yyx s ks k s sskM N kk M k kMMN ks dt s tyyx ytfyh yyyxfyhyxfL 1 1 0 0 1 ,,0 ,,, 0 ,0,0 1 0,, , !1 ),()( ,)(),( l l l l ll l задовольняє такі умови: ,1,0, ),(),( ),(0,)()( 2),0(2 MNq y yxf y yxfL RCfLrNsRCfRCf yy q q yy q N q r N srsr ≤≤≤≤ ∂ ∂ = ∂ ∂ ∈⇒≤≤≤∈∈ == − l ll I якщо невідомі λs,l, l = 0, 1, …, N для кожного s = 0, 1, …, N знаходяться шляхом розв’язання системи лінійних алгебраїчних рівнянь Npsp N p ss ≤≤δ=βλ∑ = 0,)( , 1 ,, l ll за умов ∞≤≤=≤β<<β<β≤− bNsbb Nsss 1;,,1,0,,1,0, KL , spk p skM yh ,, )( ,, )( δδ= ll , k, l = 1, 2, …, M, p, s = 0, 1, …, N. Аналіз літературних джерел Задача побудови операторів наближення функцій двох і більше змінних за допомогою їх слі- дів і слідів їх похідних до фіксованого порядку на системі заданих кривих ліній є однією з найсклад- ніших задач теорії наближення[1–19]. Особливі труднощі при розв’язанні цієї задачі виникають у ви- падку, коли побудовані оператори повинні зберігати клас диференційовності C r (R 2 ), r ≥ 1, якому на- лежить наближувана функція і при цьому повинні виконуватись рівності між вказаними слідами і ві- дповідними слідами наближуваної функції і оператора. Загальна теорія побудови таких операторів може ґрунтуватися на використанні інтерлінації із збереженням класу диференційовності C r (R 2 ) [1–4]. ПРИКЛАДНАЯ МАТЕМАТИКА ISSN 0131–2928. Пробл. машиностроения, 2016, Т. 19, № 3 62 Ця стаття є розширеним варіантом статті [4] і містить доведення теорем цієї статті. Випадок побудови операторів відновлення функцій двох змінних за допомогою їх сліду та слідів їх частинних похідних до заданого порядку із збереженням класу диференційовності наближуваної функції дослі- джувався в [2]. В працях [1–13] досліджувалися оператори відновлення функцій багатьох змінних за допомо- гою операторів, що зберігають клас диференційовності C r (R 2 ), якому належить наближувана функція, але загальний випадок операторів, що зберігають клас диференційовності у всіх точках площини, не досліджувався. Водночас практика поставляє приклади, у яких необхідно відновлювати поверхні за відомими слідами їх та їх частинних похідних або деякої системи диференціальних операторів (вза- галі кажучи, нелінійних) на заданій кривій. Найбільш відомим прикладом такої задачі є задача побудови системи координатних функцій для варіаційних методів розв’язання крайових задач, що точно задовольняють граничні умови на гра- ниці області інтегрування. Якщо область, у якій розв’язується крайова задача, є об’єднанням кількох відомих областей, то границя такої області може мати кутові точки, тобто буде диференційовною лі- нією складної форми, що є об’єднанням відрізків кількох відомих ліній. Як приклад також відзначимо необхідність відновлення поверхонь лопаток авіадвигунів або лопаток гвинтів на атомних підводних човнах, форма яких знаходиться з умови найкращого обтікан- ня поверхні газом або рідиною шляхом розв’язання відповідних крайових задач (тобто форма повер- хні обтікання є невідомою). Такі задачі є важливою складовою процесу конструювання лопаток. Од- нією з найскладніших задач, які виникають при цьому, є збереження відповідної гладкості наближу- ваної поверхні (тобто належність відповідних функцій до заданого класу диференційовності) та ізо- геометричних властивостей (опуклість, вгнутість тощо) [10]. Отже, актуальною є задача побудови і дослідження методів розв’язання таких задач на основі використання узагальнень операторів інтерлінації функцій із збереженням класу диференційовності [1–3]. Основні твердження роботи 1. Нижче узагальнимо цей результат на випадок, коли сліди наближуваної функції та сліди її частинних похідних за змінною y до фіксованого порядку N задаються на лініях y = γk(x), γk(x) ∈ C r (R), k = 1, 2, …, M. Введемо до розгляду оператор ( )( ) ( )( )( ) ( ) ( )( ) , !1 ))(,()( )(,)()(),( 1 1 0 1 ,),0( ,,, 1 0 ,0,00,,, , ∑∑ ∑ ∫ ∑ ∑ = = = γ−β+ − = = − −γ−β+ γλ+ +γγ−β+λ= M k N s N xyx x s ks k s sskM M k N kkkMNM ks dt s txyx ttfyh xxyxfyhyxfO l l l l ll l де βs,l ∈ [–b, b] s = 0, 1, …, N, l = 0, 1, …, N,– задані різні числа (дійсні або комплексні), невідомі λs,l, s = 0, 1, …, N, l = 0, 1, …, N для кожного значення s знаходяться шляхом розв’язання систем лінійних алгебраїчних рівнянь Npps N p ss ≤≤δ=βλ∑ = 0,)( , 1 ,, l ll . Зауважимо, що ці системи мають єдиний розв’язок, оскільки їх детермінанти [ ] 0det ,0 ,0, ≠β = = Np N p s ll , s = 0, 1, …, N є детермінантами Вандермонда. Теорема 1. Оператори OM,N f мають властивості f ∈ C r (R 2 ) ⇒ OM,N f ∈ C r (R 2 ), якщо γk(x) ∈ C r (R), k = 1, 2, …, M ))(,( ),(),( ),0( )()( , xxf y yxf y yxfO q xy q q xy q NM q l ll γ= ∂ ∂ = ∂ ∂ γ=γ= , 0 ≤ q ≤ N, N ≤ r, l = 1, 2, …, M. ПРИКЛАДНАЯ МАТЕМАТИКА ISSN 0131–2928. Пробл. машиностроения, 2016, Т. 19, № 3 63 Доведення Для доведення першої групи тверджень теореми 1 використаємо ( )( ) ( ) ( ) )( !1 )( ))(,(),( 2 )( 1 ),0( RCdt s txyx ttfyxF r xyx x s ks k s s ks ∈ − −γ−β+ γ= ∫ γ−β+ −l l , якщо f (0,s) (t, γk(t)) ∈ C r–s (R). Для перевірки цього достатньо знайти похідні p s p y F ∂ ∂ , p = 0, 1, …, s і впевнитися, що ( ) ( )( )( ) )(\|)(,)( )( ),0( )( RCxyxxyxf y F sr xykskks s xy s s s k k − γ= γ= ∈γ−β+γγ−β+= ∂ ∂ ll . Користуючись формулою диференціювання визначеного інтеграла по параметру ∫∫ β α β α +βα′−ββ′= )( )( )( )( ),( )),(()()),(()(),( t t t t dx dt txdf ttftttftdxtxf dt d , отримаємо потрібне твердження. Доведення другої групи рівностей проводиться безпосередньо перевіркою із урахуванням властивостей hM,k,s(y) та рівностей для ll ,, , s p s λβ . Як частинний випадок при γk(x) = yk, k = 1, 2, …, M отримуємо OM,N f = LM,N f. Теорема 1 доведена. Оператори OM,N f (x, y) будемо називати операторами інтерлінації функцій із збереженням кла- су диференційовності дискретного типу. 2. Далі побудуємо і дослідимо оператори інтерлінації ермітового типу із автоматичним відно- вленням функції двох змінних в інтегральній формі за допомогою їх слідів та слідів їх похідних по одній змінній на заданій системі неперетинних ліній. Введемо до розгляду оператор ( ) ( )( ) ( ) ( ) . !1 )( ))(,()()( ))(,)(()()(),( 1 1 )( 0 1 ),0( ,,, 0, 1 0,,, ∑∑ ∫ ∫ ∫∑ = = − γ−β+ − −= β − −γ−β+ γβ+ +βγγ−β+β= M k N s b b xyx s k k s skskM kk b b k M k kMNM ddt s txyx ttfGyh dxxyxfGyhyxfD k Теорема 2. Оператор DM,N f має властивості f ∈ C r (R 2 ) ⇒ DM,N f ∈ C r (R 2 ), ))(,( ),(),( ),0( )()( , xxf y yxf y yxfD q xy q q xy q NM q l ll γ= ∂ ∂ = ∂ ∂ γ=γ= , 0 ≤ q ≤ N, N ≤ r, l = 1, 2, …, M, якщо ∫ − δ=βββ b b ps p sk dG ,, )( , 0 ≤ s, p ≤ N γk(x) ∈ C r (R), k = 1, 2, …, M. Доведення Якщо f ∈ C r (R 2 ), то f(x + β(y, γk(x)), γk(x)) ∈ C r (R 2 ), тобто інтеграл ( ) )())(,)(()( 2 0, RCdxxyxfG r b b kkk ∈βγγ−β+β∫ − , бо інтегрування по β не може зменшити порядок дифе- ренційовності. Якщо f (0, s) (t, γk(t)) ∈ C r–s (R), то ПРИКЛАДНАЯ МАТЕМАТИКА ISSN 0131–2928. Пробл. машиностроения, 2016, Т. 19, № 3 64 ( )( ) ( ) ( ) )( !1 )( ))(,(),,( 3 )( 0 1 ),0( RCdt s txyx ttfyx r xyx s k k s s k ∈ − −γ−β+ γ=βΦ ∫ γ−β+ − . Тому )(),,()( 2 , RCdyxG r b b sk ∈ββΦβ∫ − , s = 1, 2, …, N. Тобто перша група тверджень теореми 2 доведена. Для доведення другої групи тверджень треба скористатися співвідношеннями ( )( ) ( ) ( ) [ ]bbRCdt s txyx ttfyx r xyx s k k s ks k ,)( !1 )( ))(,(),,( 2 )( 0 1 ),0( , −∈β∀∈ − −γ−β+ γ=βΦ ∫ γ−β+ − . Тому )(),,()(),( 2 ,, RCdyxGyx r b b skk ∈ββΦβ=Φ ∫ − β , s = 1, 2, …, N. Тому, враховуючи, що hM,k,s(y) ∈ C s (R) і те, що добуток функцій з неперервними похідними порядку r є функцією, яка теж належить класу C s (R 2 ), отримуємо, що )(),()( 2 1 1 ,,, RCyxyh r M k N s ksskM ∈Φ∑∑ = = . Тобто друга група тверджень теореми 2 доведена. Для доведення третьої групи тверджень треба скористатися формулами ( )( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )( )          ≤<γ−β+γγ−β+β =γ−β+γγ−β+β −≤≤ −− −γ−β+ γβ = = − −γ−β+ γ ∂ ∂ − − γ−β+ −− γ−β+ − ∫ ∫ .,)(,)( ;)),)((,)(( ;11, !1 )( ))(,( !1 )( ))(,( ),0( ),0( )( 0 1 ),0( )( 0 1 ),0( Nqsxyxxyxf dy d sqxyxxyxf sqdt qs txyx ttf dt s txyx ttf y kkk s sq sq s kkk ss xyx qs k k sq xyx s k k s q q k k Теорема 2 доведена. Оператори DM,N f (x, y) будемо називати операторами інтерлінації функцій із автоматичним збереженням класу диференційовності в інтегральній формі. Введемо до розгляду ядра Gk,s(x, y, β), 0 ≤ s ≤ N, 1 ≤ k ≤ M інтегральних операторів, залежні від трьох змінних x, y, β і побудуємо з їх допомогою такий інтегральний оператор, у якому функція f (x, y) та її частинні похідні за змінною y входять під знак інтеграла ( ) ( )( ) ( ) ( ) . !1 )( ))(,(),,()( ))(,)((),,()(),( 1 1 )( 0 1 ),0( ,,, 0, 1 0,,, ∑∑ ∫ ∫ ∫∑ = = − γ−β+ − −= β − −γ−β+ γβ+ +βγγ−β+β= M k N s b b xyx s k k s skskM b b kkk M k kMNM ddt s txyx ttfyxGyh dxxyxfyxGyhyxfD k Теорема 3. Оператори DM,N f (x, y) мають властивості f ∈ C r (R 2 ) ⇒ DM,N f ∈ C r (R 2 ), )),(,( ),(),( ),0( )()( , xxf y yxf y yxfD l q xy q q xy q NM q ll γ= ∂ ∂ = ∂ ∂ γ=γ= , 0 ≤ q ≤ N, N ≤ r, l = 1, 2, …, M, ПРИКЛАДНАЯ МАТЕМАТИКА ISSN 0131–2928. Пробл. машиностроения, 2016, Т. 19, № 3 65 якщо ∫ − δ=βββγ b b sp p ksk dxxG ,, )),(,( , 0 ≤ s, p ≤ N γk(x) ∈ C r (R), k = 1, 2, …, M. Доведення Якщо Gk,s(x, y, β) ∈ C r (R 2 ) ∀β ∈ R[–b, b], то очевидно, що ( ) )())(,(),,( 2 RCdxyxxfyxG r b b kk ∈βγ−β+β∫ − , k = 1, 2, …, M. Аналогічно отримаємо, що )(),,(),,( 2 ,, RCdyxyxG r b b kssk ∈ββΦβ∫ − , s = 1, 2, …, N. Таким чином, перша група тверджень теореми 3 доведена. Для доведення другої групи тверджень скористаємось формулою )( ,, 0 )( ,, ),,(),,(),,(),,( xy b b ksi i skiq iqq i i q xy b b ksskq q kk dyx y yxG y CdyxyxG y γ=− − − =γ=− ∫∑∫ ββΦ ∂ ∂ β ∂ ∂ =ββΦβ ∂ ∂ . Виконуючи ці диференціювання і враховуючи, що ( ) ( )    =γ −= = −− − γββ ∂ ∂ = =ββΦ ∂ ∂ β ∂ ∂ ∫∫ ∫ −− γ=− − − γ=γ=− − − ,)),(,( ,1,,1,0,0 !1 ))(,(),,( ),,(),,( ),0( 0 1 ),0( )( )( , )( , sixxf si dt is tx ttfyxG y dyx y yxG y k s x is k si xy b b iq iq xy ksi i xy b b skiq iq k kk K отримаємо доведення теореми 3. Зокрема, для b = ∞ напишемо оператори ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) . !1 )( ))(,( )( )( ! 1 )( ))(,)(( )( )( )(),( . !1 )( ))(,( )( )( )( ))(,)(( )( )( )(),( 1 1 )( 0 1 ),0( 22,, 1 220,,, 1 1 )( 0 1 ),0( 22,, 1 220,,, ∑∑ ∫ ∫ ∑ ∫ ∑∑ ∫ ∫ ∑ ∫ = = ∞ ∞− γ−β+ − = ∞ ∞− = = ∞ ∞− γ−β+ − = ∞ ∞− β − −γ−β+ βγβ γ−+−β γ− β∂ ∂ π + +βγγ−β+ γ−+−β γ− = β − −γ−β+ βγβ γ−+−β γ− β∂ ∂ + +βγγ−β+ γ−+−β γ− = M k N s xyx s k k s k N k s s skM M k kk k N k kMNM M k N s xyx s k k s k N k s s skM M k kk k N k kMNM ddt s txyx f xyx xy N yh dxxyxf xyx xy yhyxfD ddt s txyx f xyx xy yh dxxyxf xyx xy yhyxfD k k Функції hM,k,s(x, y) повинні мати властивості psk xy skMp p yxh dy d ,, )( ,, ),( δδ= γ= l l , 1 ≤ k ≤ M, 0 ≤ s, p ≤ N Приклади ядер інтегральних операторів Приклад 1. Нехай b = 1, N ≥ 1. Для ядер поліноміального типу ∑ = β=β=β N k k ksssN aGG 0 ,, )()( , s = 0, 1, …, N ПРИКЛАДНАЯ МАТЕМАТИКА ISSN 0131–2928. Пробл. машиностроения, 2016, Т. 19, № 3 66 коефіцієнти as,k знаходяться для кожного значення s = 0, 1, …, N із систем лінійних алгебраїчних рів- нянь порядку (N + 1) ps p s dpG , 1 1 )( δ=ββ∫ − , s = 0, 1, …, N. Зокрема, у випадках N = 1, 2 . 8 45 8 15 )(; 2 3 )(; 8 15 8 9 )(:2 ; 2 3 )(; 2 1 )(:1 2 21 2 0 10 β+−=ββ=ββ−=β= β=β=β= GGGN GGN Проведемо доведення перевіркою для N = 1. У цьому випадку ( ) [ ] 1,0, ,1,0 ,0,1 )1(1 12 1 12 1 2 1 )( ,0 11 1 1 11 1 1 1 0 =δ=    = = ==−− + = + β =ββ=βββ ++ =β −=β + −− ∫∫ i i i ii ddG i ii i ii . Аналогічно ( ) [ ] 1,0, ,1,1 ,0,0 )1(1 22 3 22 3 2 3 )( ,1 22 1 1 21 1 1 1 1 =δ=    = = =−− + = + β =ββ⋅β=βββ ++ =β −=β + −− ∫∫ i i i ii ddG i ii i ii . Тобто, дійсно, 1,0,)( ,0 1 1 0 =δ=βββ∫ − idG i i . Проведемо доведення для N = 2. У цьому випадку 2,1,0, ,2,1,0 ,0,1 38 15 18 9 8 15 8 9 )( ,0 1 1 311 1 2 1 1 0 =δ=    = = =      + β − + β =ββ    β−=βββ =β −=β ++ −− ∫∫ i i i ii ddG i ii ii . Аналогічно доводиться, що ( ) [ ] 2,1,0, ,1,1 2,0,0 )1(1 22 3 22 3 2 3 )( ,1 22 1 1 21 1 1 1 1 =δ=    = = =−− + = + β =ββ⋅β=βββ ++ =β −=β + −− ∫∫ i i i ii ddG i ii i ii , та 2,1,0, ,2,1 1,0,0 38 15 18 9 8 15 8 9 )( ,2 1 1 311 1 2 1 1 2 =δ=    = = =      + β − + β =ββ    β−=βββ =β −=β ++ −− ∫∫ i i i ii ddG i ii ii . Приклад 2. Нехай b = ∞, N ≥ 1. Для ядер вигляду ∑ = β− β=β N k k kss aeG 0 , 2 )( коефіцієнти as,k знаходяться для кожного значення s = 0, 1, …, N із систем лінійних алгебраїчних рів- нянь порядку (N + 1) ∫ ∞ ∞− δ=βββ ps p s dG ,)( , p, s = 0, 1, …, N, тобто ps N k ks pk ade , 0 , 2 δ=ββ∑ ∫ = ∞ ∞− +β− , p, s = 0, 1, …, N. Наприклад, для N = 1, b = ∞ ПРИКЛАДНАЯ МАТЕМАТИКА ISSN 0131–2928. Пробл. машиностроения, 2016, Т. 19, № 3 67 .)(;)( 2222 1 2 1 1 0 β         ββ=β         β=β β− −∞ ∞− β−β− −∞ ∞− β− ∫∫ edeGedeG Для доведення знайдемо інтеграли .1,0, ,1,1 ,0,0 )( .1,0, ,1,0 ,0,1 )( ,1 1 1 21 1 2 1 ,0 11 0 2222 2222 =δ=    = = =ββ         ββ=ββ         ββ=βββ =δ=    = = =ββ         β=ββ         β=βββ ∫∫∫ ∫∫ ∫∫∫ ∫∫ ∞ ∞− +β− −∞ ∞− β− ∞ ∞− +β− −∞ ∞− β− ∞ ∞− ∞ ∞− β− −∞ ∞− β− ∞ ∞− β− −∞ ∞− β− ∞ ∞− i i i dededededG i i i dededededG i iii i iii Тобто твердження для цього випадку доведені. Приклад 3. Нехай b = ∞, N ≥ 1. Шукаємо ядра Gk,s(x, y, β) для кожного значення s = 0, 1, …, N і для кожного значення k = 0, 1, …, M у вигляді ( ) ( ) ( )         β−+γ− γ− ∂ ∂ π =β + 22 1 , )( )( ! 1 ),,( xxy xy yN yxG k N k s s sk . Зокрема, для N = 1 отримаємо ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) . )( 1 ),,( , )( )(1 ),,( 22 2 1, 22 2 0, xyx yy y yxG xyx xy yxG k k k k k k γ−+β− − ∂ ∂ π =β γ−+β− γ− π =β Якщо ввести позначення Y = y – γk(x), то маємо ( )22 1 , ! 1 ),,( β−+∂ ∂ π =β + xY Y YN YxG N s s sk . Такі ядра досліджувались у роботі [3]. Висновки Написані вище оператори дозволяють відновлювати наближено функції f (x, y), якщо їх сліди та сліди їх похідних за змінною y до порядку N включно відомі на системі неперетинних кривих, за- даних явно відповідними рівняннями. Вони дозволяють будувати оператори інтерполяції з потрібни- ми інтерполяційними властивостями на вказаній системі ліній шляхом заміни слідів f (0,s) (x, γk(x)) від- повідними інтерполяційними або апроксимаційними. Література 1. Литвин, О. М. Інтерлінація функцій та деякі її застосування / О. М. Литвин. – Харків: Основа, 2002. – 544 с. 2. Литвин, О. М. Інтерлінація функцій / О. М. Литвин. – Харків: Основа, 1993. – 235 с. 3. Сергієнко, І. В. Елементи загальної теорії оптимальних алгоритмів і суміжні питання / І. В. Сергієнко, В. К. Задірака, О. М. Литвин. – К.: Наук. думка, 2012. – 404 с. 4. Ермiтова iнтерлiнацiя функцiй двох змiнних на заданiй системi неперетинних лiнiй iз збереженням класу C r (R 2 ) / О. М. Литвин, О. О. Литвин, О. В. Ткаченко, О. Л. Грицай // Доп. НАН України. – 2014. – № 7. – С. 53–59. 5. Никольский, С. М. Приближение функций многих переменных и теоремы вложения / С. М. Никольский. – М.: Наука, 1969. – 480 с. 6. Бесов, О. В. Интегральные представления функций и теоремы вложения / О. В. Бесов, В. П. Ильин, С. М. Никольский – М.: Наука, 1975. – 480 с. 7. Стейн, И. Сингулярные интегралы и диференциальные свойства функций / И. Стейн. – М.: Мир, 1973. – 342 с. 8. Владимиров, В. С. Обобщённые функции в математической физике / В. С. Владимиров. – М.: Наука, 1979. – 318 с. ПРИКЛАДНАЯ МАТЕМАТИКА ISSN 0131–2928. Пробл. машиностроения, 2016, Т. 19, № 3 68 9. Хермандер, Л. Диференциальные операторы с постоянными коэффициентами / Л. Хермандер. – М.: Мир, 1986. – 455 с. 10. Тихонов, А. Н. Уравнения математической физики / А. Н. Тихонов, А. А. Самарский – М.: Наука, 1966. – 724 с. 11. Рвачев, В. Л. Теория R-функций и некоторые ее приложения / В. Л. Рвачев – Киев: Наук. думка, 1982. – 550 с. 12. Шилов, Г. Е. Математический анализ. Второй спец. курс / Г. Е. Шилов. – М.: Наука, 1965. – 327 с. 13. Квасов, Б. И. Методы изогеометрической аппроксимации сплайнами / Б. И. Квасов. – М.: Физматлит, 2006. – 360 с. 14. Математическая энциклопедия / Под ред. И. М. Виноградова: В 5 т. – М.: Сов. энциклопедия, 1984. – Т. 5. – 1215 с. 15. Литвин, О. М. Інтерполяція функцій та їх нормальних похідних на гладких лініях в R n / О. М. Литвин // Доп. АН УРСР. – 1984. – № 7. – С. 15–19. 16. Литвин, О .М. Точний розв’язок задачі Коші для рівняння ),(),( 0 2 2 2 txgtxu x a t n i i =        ∂ ∂ − ∂ ∂∏ = / О. М. Литвин // Доп. АН УРСР. – 1991. – № 3. – С. 12–17. 17. Литвин, О. М. Побудова функцій n змінних із заданими нормальними похідними на R m (1 ≤ m ≤ n – 1) із збе- реженням класу C r (R n ) / О. М. Литвин // Доп. АН УРСР. Сер. А. – 1987. – № 5. – С. 13–17. 18. Вiдновлення функцiй двох змiнних iз збереженням класу C r (R 2 ) за допомогою їх слiдiв та слiдiв їх похiдних до фiксованого порядку на заданiй лінії / І. В. Сергієнко, О. М. Литвин, О. О. Литвин та ін. // Доп. НАН України. – 2014. – №2. – С. 50–55. 19. Побудова та дослідження оператора наближення функцій двох змінних із збереженням класу диференційов- ності за слідами їх похідних до фіксованого порядку на заданій лінії / І. В. Сергієнко, О. М. Литвин, О. О. Литвин та ін. // Пробл. машиностроения. – 2016. – Т. 19, № 2. – С. 50–57. Поступила в редакцию 16.08.16

Побудова та дослідження операторів ермітової інтерлінації функцій двох змінних на системі неперетинних ліній із збереженням класу диференційовності

Institution

Ähnliche Einträge