К расчету нелинейных сил, действующих на цапфы роторов на подшипниках скольжения
Предлагается новый вариант конечноэлементной процедуры расчета распределения давления в подшипниках скольжения. Силы, действующие на цапфы, представляются в виде степенных рядов относительно перемещений и скоростей цапфы ротора. Полученные выражения сравниваются с известным аналитическим решением....
Gespeichert in:
| Datum: | 2011 |
|---|---|
| Hauptverfasser: | , |
| Format: | Artikel |
| Sprache: | Russian |
| Veröffentlicht: |
Інстиут проблем машинобудування ім. А.М. Підгорного НАН України
2011
|
| Schriftenreihe: | Проблемы машиностроения |
| Schlagworte: | |
| Online Zugang: | http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/110192 |
| Tags: |
Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Zitieren: | К расчету нелинейных сил, действующих на цапфы роторов на подшипниках скольжения / А.В. Борисюк, К.В. Аврамов // Проблемы машиностроения. — 2011. — Т. 14, № 3. — С. 48-53. — Бібліогр.: 9 назв. — рос. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
irk-123456789-110192 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
irk-123456789-1101922017-01-01T03:02:43Z К расчету нелинейных сил, действующих на цапфы роторов на подшипниках скольжения Борисюк, А.В. Аврамов, К.В. Динамика и прочность машин Предлагается новый вариант конечноэлементной процедуры расчета распределения давления в подшипниках скольжения. Силы, действующие на цапфы, представляются в виде степенных рядов относительно перемещений и скоростей цапфы ротора. Полученные выражения сравниваются с известным аналитическим решением. Пропонується новий варіант скінченноелементної процедури розрахунку розподілу тиску в підшипниках ковзання. Сили, що діють на цапфи, подаються у вигляді степеневих рядів відносно переміщень та швидкостей цапфи ротора. Отримані вирази порівнюються з відомим аналітичним розв’язком. Propose a method for determining the random vibration function on the basis of sharing for its representations of generalized Fourier series and Kotelnikov. The method is based on a combination of approximations to the performance simulation of vibration on the probability density of the acceleration amplitude and spectral density. 2011 Article К расчету нелинейных сил, действующих на цапфы роторов на подшипниках скольжения / А.В. Борисюк, К.В. Аврамов // Проблемы машиностроения. — 2011. — Т. 14, № 3. — С. 48-53. — Бібліогр.: 9 назв. — рос. 0131-2928 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/110192 539.3 ru Проблемы машиностроения Інстиут проблем машинобудування ім. А.М. Підгорного НАН України |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| language |
Russian |
| topic |
Динамика и прочность машин Динамика и прочность машин |
| spellingShingle |
Динамика и прочность машин Динамика и прочность машин Борисюк, А.В. Аврамов, К.В. К расчету нелинейных сил, действующих на цапфы роторов на подшипниках скольжения Проблемы машиностроения |
| description |
Предлагается новый вариант конечноэлементной процедуры расчета распределения давления в подшипниках скольжения. Силы, действующие на цапфы, представляются в виде степенных рядов относительно перемещений и скоростей цапфы ротора. Полученные выражения сравниваются с известным аналитическим решением. |
| format |
Article |
| author |
Борисюк, А.В. Аврамов, К.В. |
| author_facet |
Борисюк, А.В. Аврамов, К.В. |
| author_sort |
Борисюк, А.В. |
| title |
К расчету нелинейных сил, действующих на цапфы роторов на подшипниках скольжения |
| title_short |
К расчету нелинейных сил, действующих на цапфы роторов на подшипниках скольжения |
| title_full |
К расчету нелинейных сил, действующих на цапфы роторов на подшипниках скольжения |
| title_fullStr |
К расчету нелинейных сил, действующих на цапфы роторов на подшипниках скольжения |
| title_full_unstemmed |
К расчету нелинейных сил, действующих на цапфы роторов на подшипниках скольжения |
| title_sort |
к расчету нелинейных сил, действующих на цапфы роторов на подшипниках скольжения |
| publisher |
Інстиут проблем машинобудування ім. А.М. Підгорного НАН України |
| publishDate |
2011 |
| topic_facet |
Динамика и прочность машин |
| url |
http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/110192 |
| citation_txt |
К расчету нелинейных сил, действующих на цапфы роторов на подшипниках скольжения / А.В. Борисюк, К.В. Аврамов // Проблемы машиностроения. — 2011. — Т. 14, № 3. — С. 48-53. — Бібліогр.: 9 назв. — рос. |
| series |
Проблемы машиностроения |
| work_keys_str_mv |
AT borisûkav krasčetunelinejnyhsildejstvuûŝihnacapfyrotorovnapodšipnikahskolʹženiâ AT avramovkv krasčetunelinejnyhsildejstvuûŝihnacapfyrotorovnapodšipnikahskolʹženiâ |
| first_indexed |
2025-07-08T00:14:08Z |
| last_indexed |
2025-07-08T00:14:08Z |
| _version_ |
1837035594186752000 |
| fulltext |
ДИНАМИКА И ПРОЧНОСТЬ МАШИН
ISSN 0131–2928. Пробл. машиностроения, 2011, Т. 14, № 3 48
УДК 539.3
А. В. Борисюк*
К. В. Аврамов**, д-р техн. наук
* Национальный технический университет
«Харьковский политехнический институт»
(г.Харьков, e-mail: alexborysiuk@mail.ru)
** Институт проблем машиностроения им. А. Н. Подгорного НАН Украины
(г.Харьков, e-mail: kavramov@ipmach.kharkov.ua)
К РАСЧЕТУ НЕЛИНЕЙНЫХ СИЛ, ДЕЙСТВУЮЩИХ
НА ЦАПФЫ РОТОРОВ НА ПОДШИПНИКАХ СКОЛЬЖЕНИЯ
Предлагается новый вариант конечноэлементной процедуры расчета распределения
давления в подшипниках скольжения. Силы, действующие на цапфы, представляются в
виде степенных рядов относительно перемещений и скоростей цапфы ротора. Полу-
ченные выражения сравниваются с известным аналитическим решением.
Пропонується новий варіант скінченноелементної процедури розрахунку розподілу тис-
ку в підшипниках ковзання. Сили, що діють на цапфи, подаються у вигляді степеневих
рядів відносно переміщень та швидкостей цапфи ротора. Отримані вирази порівню-
ються з відомим аналітичним розв’язком.
Введение
Подшипники скольжения широко используются в роторах стационарных газотур-
бинных установок. Со стороны масляного слоя на цапфы роторов действуют усилия, кото-
рые могут приводить к возникновению режимов автоколебаний с большими амплитудами.
Эти силы нелинейно зависят от перемещений и скоростей цапф. Много усилий ученых и
инженеров было предпринято как для предсказания таких автоколебаний, так и для опреде-
ления сил, с которыми масляный слой действует на цапфы роторов. В монографии [1] пред-
ставлены теоретические основы расчетов подшипников скольжения. Позняк [2] получил
аналитические выражения для распределения давлений масляной пленки в коротких под-
шипниках скольжения. В работе [3] представлено асимптотическое решение уравнения Рей-
нольдса, описывающее масляный слой в подшипниках скольжения. Для получения этого
решения используется вариационный подход. Карин-
цев и Шульженко [4] исследовали влияние инерции
масляного слоя на значения давлений в коротких под-
шипниках и получили модель давлений в масляном
слое. В [5] исследовалось распределение давления в
подшипнике с учетом деформации рабочей поверхно-
сти.
В настоящей статье предложена конечноэле-
ментная процедура определения нелинейных сил, дей-
ствующих на цапфы роторов. Эти силы представляют-
ся в виде степенных рядов относительно перемещений
и скоростей цапф. Для определения коэффициентов
этих степенных рядов применяется метод конечных
элементов. Результаты сравниваются с известными
аналитическими решениями. Исследована сходимость
получаемых решений.
Рис. 1. Расчетная схема
подшипника скольжения
ДИНАМИКА И ПРОЧНОСТЬ МАШИН
ISSN 0131–2928. Пробл. машиностроения, 2011, Т. 14, № 3 49
1. Математическая модель распределения давления в подшипниках скольжения
В данной статье рассматривается короткий подшипник скольжения; его эскиз пред-
ставлен на рис. 1. Течение смазки между поверхностями подшипника скольжения описыва-
ется уравнением Рейнольдса [1]
t
hhph
Rz
ph
z ∂
∂
+
θ∂
∂
Ω=⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
θ∂
∂
μθ∂
∂
+⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
∂
∂
μ∂
∂ 2
6
1
6
3
2
3
, (1)
где z, θ – продольная и угловая координаты подшипника (z ∈ [0, Lb], θ ∈ [0, π]); Lb, R – длина
и радиус подшипника; μ – вязкость масла; Ω – угловая скорость вращения вала; h – величина
зазора между цапфой и рабочей поверхностью подшипника.
В большинстве работ [2–5] предполагается, что масляный слой занимает об-
ласть θ ∈ [0, π]. Граничные условия на концах подшипника z = 0 и z = Lb записыва-
ются так: p(0, θ) = p(Lb, θ) = 0. Величина зазора h определяется
h = c – xcos(θ + φ) – ysin(θ + φ),
где x, y – координаты центра цапфы.
Для решения уравнения (1) применим методы конечных элементов и Галеркина
[6, 7]. Разобьем масляную пленку на M четырехугольных конечных элементов с узлами в
вершинах. Рассмотрим конечный элемент E, который занимает область
z ∈ [zi, zj]; θ ∈ [θi, θj]
Давление ),( θzpE на этом конечном элементе представим
,),(),(
4
1
∑
=
θ=θ
i
iiE zupzp
где u1(z, θ), …, u4(z, θ) – линейно-независимые базисные функции, удовлетворяющие гра-
ничным условиям; p1, …, p4 – неизвестные параметры. В качестве базисных функций uj(z, θ)
используем следующие билинейные функции:
( )( )
( )( )
( )( )
( )( )
( )( )
( )( )
( )( ).),(,),(
,),(,
))((
),(
43
21
ijij
ij
ijij
ii
ijij
ji
ijij
jj
zz
zz
zu
zz
zzzu
zz
zz
zu
zz
zz
zu
θ−θ−
θ−θ−
=θ
θ−θ−
θ−θ−
=θ
θ−θ−
θ−θ−
=θ
θ−θ−
θ−θ−
=θ
Следуя методу Бубнова–Галеркина, составим слабые решения для системы (1) на
конечном элементе E и воспользуемся интегрированием по частям. В результате получим
,4,...,1,),(26
),(1),(
2
3 =θθ⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
∂
∂
+
θ∂
∂
Ωμ=θ⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
θ∂
∂
θ∂
θ∂
+
∂
∂
∂
θ∂
− ∫∫∫∫ jdzdzu
t
hhdzdpzu
Rz
p
z
zu
h
EE S
j
S
jj (2)
где SE – площадь масляной пленки подшипника на конечном элементе E. Величину h3 запи-
шем
∑
=
=
10
1
3
i
iiFah ,
где {F1, …, F10} = {1, x, y, x2, y2, xy, x3, y3, x2y, xy2}; a1, ..., a10 – коэффициенты, зависящие от
углов θ, φ; они здесь не приводятся для краткости изложения. Уравнение (2) представим
следующим образом:
ДИНАМИКА И ПРОЧНОСТЬ МАШИН
ISSN 0131–2928. Пробл. машиностроения, 2011, Т. 14, № 3 50
.4,...,1
,)sin(12)cos(12)cos(6
)sin(61
3
22
10
1
=
θ⋅φ+θμ−θ⋅φ+θμ−θ⋅φ+θΩμ−
−θ⋅φ+θΩμ=⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
θ∂
∂
θ∂
∂
+
∂
∂
∂
∂
−
∫∫∫∫∫∫
∫∫∫∫∑
=
j
dzduydzduxdzduF
dzduFpu
Rz
p
z
u
aF
j
S
j
S
j
S
j
SS
jj
i
i
i
EEE
EE
&& (3)
В матричном виде система (3) выглядит так:
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
=
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
⋅
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
4
3
2
1
4
3
2
1
44434241
34333231
24232221
14131211
B
B
B
B
p
p
p
p
AAAA
AAAA
AAAA
AAAA
,
где ∫∫ θ⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
θ∂
∂
θ∂
∂
+
∂
∂
∂
∂
−=
ES
jiji
ji dzd
uu
Rz
u
z
uhA 2
3
,
1 , ∫∫ θ⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
∂
∂
+
θ∂
∂
Ωμ=
ES
ii dzdu
t
hhB 26 , i = 1, …, 4,
j = 1, …, 4
Следуя [6], произведем процедуру ансамблирования всех конечных элементов. В ре-
зультате получим систему линейных алгебраических уравнений относительно неизвестных
pi всех M конечных элементов. Эту систему, в общем случае, представим следующим обра-
зом:
[ ] [ ] [ ]),,,(),( yxyxBPyxA &&=⋅ , (4)
где [P] = [P1, P2, …] – глобальный вектор неизвестных коэффициентов аппроксимации всех
элементов. Подчеркнем, что элементы матрицы и вектора правых частей системы (4) явля-
ются полиномами от обобщенных перемещений x, y и скоростей yx &&, цапфы.
Решение системы (4) определяется в виде степенного ряда по перемещениям и ско-
ростям цапфы yxyx &&,,,
...8,
2
7,
2
6,5,4,3,2,1, ++++++++= xypypxpypxpypxppP iiiiiiiii && . (5)
Матрицу [A(x,y)] представим [ ] [ ]∑
=
=
10
1
~
),(
i
ii FAyxA . Вектор неизвестных системы (4)
[P] запишем в следующем виде:
[ ] [ ] j
n
j
j SPP ∑
=
=
1
~
,
где { } { },...,,,,,,,,1,..., 2
1 yxxxxyxyxyxSS n &&&&= ; [ ] [ ];...;
~
,2,1 iij ppP = . Вектор правых частей системы
(4) представим
[ ]∑
=
=
4
1
~
),,,(
k
kk RByxyxB && . (6)
где { } { }yxyxRRRR &&,,,,,, 4321 = ; [ ]kB
~
– вектора, состоящие из чисел. Теперь систему (4) можно
переписать
[ ] [ ]∑∑
==
=
4
1
10
1
~
)(
~
k
kk
n
i
ii RBTPQ , (7)
где Ti – степенные функции, которые получается в результате перемножения каждого эле-
мента из {S1, …, Sn} с каждым элементом из {F1, …, F10}. Вектор [ ])(
~
PQi зависит от элемен-
тов векторов [ ] [ ],...~
,
~
21 PP . Теперь приравняем коэффициенты при одинаковых степенных
ДИНАМИКА И ПРОЧНОСТЬ МАШИН
ISSN 0131–2928. Пробл. машиностроения, 2011, Т. 14, № 3 51
функциях от yyxx && ,,, слева и справа (7). В результате получим набор систем линейных ал-
гебраических уравнений относительно неизвестных ;...; 2,1, ii pp Решая эти системы, имеем
распределение давления в масляном слое подшипника скольжения.
2. Численный анализ давлений на цапфы
Численные расчеты проводились для подшипника скольжения со следующими па-
раметрами:
R = 0,057 м; μ = 18⋅10–3 Па⋅с; Lb = 28,5⋅10–3 м; c = 0,2⋅103 м; Ω = 1460 рад/с. (8)
В дальнейшем полученные нами конечноэлементные решения будут сравниваться с
аналитическим решением уравнения Рейнольдса для короткого подшипника скольжения,
которое представим [8]
( ).23
3 ba Lzz
t
hh
h
p −⎥⎦
⎤
⎢⎣
⎡
∂
∂
+
θ∂
∂
Ω
μ
= (9)
На рис. 2 показано решение уравнение Рейнольдса для случая короткого подшипни-
ка (9).
Для получения конечно элементного решения уравнения Рейнольдса плоскость (z, θ)
разбиваем на 72 конечных элемента. Нами проводилось исследование сходимости решения
(5) и обнаружено, что для получения решений с достаточной степенью точности использу-
ются слагаемые вплоть до девятых степеней в рядах Тейлора. На рис. 3 показан результат
расчета с указанными параметрами.
Для сравнения результатов с аналитическим решением вычислялась относительная
погрешность
[ ]
.
),(
),(),(
0 0
0 0
∫ ∫
∫ ∫
π
π
θθ
θθ−θ
=δ Lb
a
Lb
a
dzdzp
dzdzpzp
(10)
Для параметров (8) относительная погрешность составляла δ = 0,1198.
Исследовалась сходимость конечноэлементного решения при увеличении числа эле-
ментов, на которые разбивается масляная пленка. На рис.4 приведены графики зависимости
относительной погрешности от количества элементов. Число участков, на которые проводи-
лось разбиение вдоль оси θ, выбиралось фиксированным и равным 7, а число участков вдоль
оси z, на которые проводилось разбиение, менялось от четырех до одиннадцати. После про-
ведения конечноэлементных расчетов считалась относительная погрешность по формуле
(10). Результаты расчета приведены на рис. 4, а. Они демонстрируют довольно быструю
Рис. 2. Аналитическое решение
уравнения Рейнольдса (6)
Рис.3. Решение, полученное
методом конечных элементов
ДИНАМИКА И ПРОЧНОСТЬ МАШИН
ISSN 0131–2928. Пробл. машиностроения, 2011, Т. 14, № 3 52
сходимость к точному решению. Теперь число элементов разбиения вдоль оси z фиксирова-
лось равным 7, а число элементов вдоль оси θ менялось от четырех до девяти. После прове-
дения конечноэлементных расчетов определялась относительная погрешность из уравнения
(10). Результаты расчетов приводятся на рис. 4, б. Итак, полученные результаты демонстри-
руют быструю сходимость решений к точному.
Исследовалась сходимость решений метода конечных элементов при увеличении
числа членов в укороченном ряде Тейлора (5). Область масляной пленки разбивалась на 20
конечных элементов. Производились численные расчеты с учетом различных степеней в (5).
Для полученных решений считалась относительная погрешность по формуле (10). Результа-
ты расчетов представлены на рис. 5.
Выводы
Число конечных элементов, на которые разбивается область масляной пленки, суще-
ственно не влияет на точность решения. Для получения результатов с достаточной степенью
точности необходимо небольшое число конечных элементов разбиения. Однако число сла-
гаемых в степенном ряде, описывающем давление, оказывает существенное влияние на точ-
ность результатов. Подчеркнем, что при малом количестве слагаемых в степенном ряде по-
грешность решения может достигать 70%.
В результате конечноэлементного расчета получается функция давления в масляной
пленке, которая выражается в виде степенных рядов относительно перемещений и скоростей
цапф. Эта функция может использоваться
при численном анализе нелинейной ди-
намики роторных систем.
Литература
1. Коровчинский М. В. Теоретические основы
работы подшипников скольжения. – М.:
МАШГИЗ, 1959. – 404 с.
2. Олимпиев В. И. О собственных частотах
ротора на подшипниках скольжения // Изд.
АН СССР, ОТН. – 1960.– № 3. – C. 24–29.
3. Позняк Э. Л. Неустойчивые колебания ро-
торов на подшипниках скольжения // Ди-
намика гибких роторов. – М.: Наука, 1972.
– С. 22–29.
4. Каринцев И. Б. Статические и динамиче-
ские характеристики масляной пленки ко-
а) б)
Рис. 4. Относительная погрешность решения:
а) – число участков разбиения вдоль оси θ принималось равным 7, а число участков разбиения вдоль
оси z менялось; б) – число участков разбиения вдоль оси z принималось равным 7, а число участков
разбиения вдоль оси θ менялось
Рис. 5. Зависимость относительной погрешности
от порядка решений в степенном ряде (5)
ДИНАМИКА И ПРОЧНОСТЬ МАШИН
ISSN 0131–2928. Пробл. машиностроения, 2011, Т. 14, № 3 53
ротких подшипников скольжения / И. Б. Каринцев, Н. Г. Шульженко // Динамика и прочность ма-
шин. – 1972. – Вып. 16. – C. 14–18.
5. Темис М. Ю. Расчет статических и динамических коэффициентов подшипника скольжения с уче-
том деформативности его рабочих поверхностей // Вестн. Гомель. техн. ун-та им. П. О. Сухого. –
2004. – № 4. – C. 25–32.
6. Зинкевич О. Конечные элементы и аппроксимация / О. Зинкевич, К. Морган. – М.: Мир, – 1986. –
318 с.
7. Коннор Дж. Метод конечных элементов в механике жидкости / Дж. Коннор, К. Бреббиа. – Л.: Су-
достроение, 1979. – 264 с.
8. Аврамов К. В. Нелинейные нормальные формы автоколебаний однодискового несимметричного
ротора в двух коротких подшипниках скольжения // Пробл. прочности. – 2010. – № 4. – C. 130–
144.
9. Аврамов К. В. Нелинейная динамика упругих систем. Т.1. Модели, методы, явления / К. В. Ав-
рамов, Ю. В. Михлин. – М.; Ижевск: Регулярная и хаотическая динамика, Ин-т компьютер. иссле-
дований, 2010. – 704 с.
Поступила в редакцию
27.05.11
УДК 621.031.50
А. Е. Божко, чл.-кор. НАН Украины
К. Б. Мягкохлеб, канд. техн. наук
Институт проблем машиностроения им. А.Н. Подгорного НАН Украины
(г. Харьков, e-mail: bozhko@ipmach.kharkov.ua)
ФОРМИРОВАНИЕ СЛУЧАЙНЫХ ВИБРАЦИЙ
НА ОСНОВЕ СОВМЕСТНОГО ИСПОЛЬЗОВАНИЯ
ОБОБЩЕННОГО РЯДА ФУРЬЕ И РЯДА КОТЕЛЬНИКОВА
Предлагается метод определения случайной функции вибрации на основе совместного
использования для ее представления обобщенного ряда Фурье и ряда Котельникова.
Метод основан на соединении приближений имитационных вибраций к эксплуатацион-
ным по плотности вероятностей амплитуд ускорений и по спектральной плотности.
Пропонується метод визначення випадкової функції вібрації на основі спільного викори-
стання для її подання узагальненого ряду Фур'є та ряду Котельникова. Метод ґрунту-
ється на з'єднанні наближень імітаційних вібрацій до експлуатаційних по щільності
ймовірностей амплітуд прискорень і по спектральній щільності.
Введение
В практике вибрационных испытаний машин и приборов большое внимание уделя-
ется созданию индивидуальных условий испытания, соответствующих конкретному назна-
чению работы испытываемого объекта. В этом случае хорошо может себя зарекомендовать
метод воспроизведения кривых записей эксплуатационных вибраций, который включает со-
единение приближений имитационных вибраций к эксплуатационным по плотности вероят-
ностей амплитуд ускорений и по спектральной плотности.
Основная часть
Для воспроизведения случайных вибраций в задачах вибрационных испытаний объ-
ектов необходимо сформировать реализации случайных управлений вибровозбудителями
испытательных стендов в виде определенных детерминированных совокупностей случайных
величин. Получение случайных функций управления вибровозбудителями базируется на
использовании различных представлений случайных функций, например, в виде обобщен-
ных рядов Фурье [1] и рядов Котельникова [2]. В работе [3] эти представления рассмотрены
|