Погрешности динамических систем

Определяются погрешности выходных сигналов динамических систем в зависимости от погрешностей входных воздействий и погрешностей в передаточных функциях. Также определяются погрешности амплитуд и углов сдвига в колебательных системах....

Повний опис

Збережено в:

Бібліографічні деталі
Дата:	2011
Автор:	Божко, А.Е.
Формат:	Стаття
Мова:	Russian
Опубліковано:	Інстиут проблем машинобудування ім. А.М. Підгорного НАН України 2011
Назва видання:	Проблемы машиностроения
Теми:	Динамика и прочность машин
Онлайн доступ:	http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/110204
Теги:	Додати тег Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
Назва журналу:	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
Цитувати:	Погрешности динамических систем / А.Е. Божко // Проблемы машиностроения. — 2011. — Т. 14, № 4. — С. 45-51. — Бібліогр.: 3 назв. — рос.

Репозитарії

Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine

id	irk-123456789-110204
record_format	dspace
spelling	irk-123456789-1102042017-01-01T03:02:53Z Погрешности динамических систем Божко, А.Е. Динамика и прочность машин Определяются погрешности выходных сигналов динамических систем в зависимости от погрешностей входных воздействий и погрешностей в передаточных функциях. Также определяются погрешности амплитуд и углов сдвига в колебательных системах. Визначаються похибки вихідних сигналів динамічних систем залежно від похибок вхідних впливів і похибок у передатних функціях. Також визначаються похибки амплітуд і кутів зсуву в коливальних системах. The errors of output signals of dynamical systems in dependence to errors of input signals and errors of transmission functions of this systems, are defined. The amplitude errors and angle errors of oscillating systems are defined too. 2011 Article Погрешности динамических систем / А.Е. Божко // Проблемы машиностроения. — 2011. — Т. 14, № 4. — С. 45-51. — Бібліогр.: 3 назв. — рос. 0131-2928 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/110204 621.318.001.2 ru Проблемы машиностроения Інстиут проблем машинобудування ім. А.М. Підгорного НАН України
institution	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
collection	DSpace DC
language	Russian
topic	Динамика и прочность машин Динамика и прочность машин
spellingShingle	Динамика и прочность машин Динамика и прочность машин Божко, А.Е. Погрешности динамических систем Проблемы машиностроения
description	Определяются погрешности выходных сигналов динамических систем в зависимости от погрешностей входных воздействий и погрешностей в передаточных функциях. Также определяются погрешности амплитуд и углов сдвига в колебательных системах.
format	Article
author	Божко, А.Е.
author_facet	Божко, А.Е.
author_sort	Божко, А.Е.
title	Погрешности динамических систем
title_short	Погрешности динамических систем
title_full	Погрешности динамических систем
title_fullStr	Погрешности динамических систем
title_full_unstemmed	Погрешности динамических систем
title_sort	погрешности динамических систем
publisher	Інстиут проблем машинобудування ім. А.М. Підгорного НАН України
publishDate	2011
topic_facet	Динамика и прочность машин
url	http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/110204
citation_txt	Погрешности динамических систем / А.Е. Божко // Проблемы машиностроения. — 2011. — Т. 14, № 4. — С. 45-51. — Бібліогр.: 3 назв. — рос.
series	Проблемы машиностроения
work_keys_str_mv	AT božkoae pogrešnostidinamičeskihsistem
first_indexed	2025-07-08T00:15:28Z
last_indexed	2025-07-08T00:15:28Z
_version_	1837035680786546688
fulltext	ДИНАМИКА И ПРОЧНОСТЬ МАШИН ISSN 0131–2928. Пробл. машиностроения, 2011, Т. 14, № 4 46 УДК 621.318.001.2 А. Е. Божко, член-кор. НАН Украины Институт проблем машиностроения им. А. Н. Подгорного НАН Украины (г. Харьков, e-mail: bozhko@ipmach.kharkov.ua) ПОГРЕШНОСТИ ДИНАМИЧЕСКИХ СИСТЕМ Определяются погрешности выходных сигналов динамических систем в зависимости от погрешностей входных воздействий и погрешностей в передаточных функциях. Также определяются погрешности амплитуд и углов сдвига в колебательных системах. Визначаються похибки вихідних сигналів динамічних систем залежно від похибок вхід- них впливів і похибок у передатних функціях. Також визначаються похибки амплітуд і кутів зсуву в коливальних системах. Введение В данной работе предпринята попытка теоретически показать проявление система- тических погрешностей в динамических системах. Большое внимание уделяется колеба- тельным системам. Систематические погрешности являются функциональными. При из- вестных функциональных зависимостях в любой динамической системе автоматические по- грешности могут корректироваться с помощью поправок, компенсации. Систематические погрешности могут быть детерминированными (Δ) и случайными (ξ). Теории погрешностей Δ и ξ разные. Здесь будем рассматривать систематические погрешности на основе использо- вания известных функциональных зависимостей в исследуемой системе [1]. Вначале рассмотрим динамические системы в общем виде, в которых выходная ве- личина х(р) связана с входной величиной U(p), где dt dp = , зависимостью x(p) = U(p)W(p), (1) где W(p) – передаточная функция системы. В данном объекте на основании (1) функциональные погрешности следующие: Δх(р), ΔU(p), ΔW(p). Введя эти погрешности в (1), получаем x + Δx = (U + ΔU)(W + ΔW) = UW + UΔW + ΔUW + ΔUΔW (2) Из (2) видно, что Δx = UΔW + ΔUW + ΔUΔW (3) Приведем (3) к виду ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ΔΔ + Δ + Δ =⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ Δ UW WU U U W WUW x xx , (4) На основе (1) в выражении (4) сократим х и UW. Тогда получим εx = εW + εU + εUεW, (5) где ; ; U U W W x x UWx Δ =ε Δ =ε Δ =ε . Выражение (5) отражает изображение Лапласа функциональной относительной по- грешности εх от относительных погрешностей εW, εU. Оригиналы этих погрешностей εk(p), k = U, W были найдены, и изображения εk(t), k = U, W определяются по формуле [2] ∫ ∞ −ε=ε 0 )()( dtetp pt kk . ДИНАМИКА И ПРОЧНОСТЬ МАШИН ISSN 0131–2928. Пробл. машиностроения, 2011, Т. 14, № 4 47 Если динамическая система является следящей, то тогда ΔU = 0, а εx = εW. (6) В большинстве случаев при заданном U(t) погрешности εх определяются выражени- ем (6). А это значит, что следует более подробно рассмотреть погрешности εW различных динамических систем. Если система является разомкнутой с передаточной функцией W(p), то ее относительная ошибка W W W Δ =ε . При последовательном соединении различных звеньев с передаточными функциями Ws(p), s = 1, 2, …, n передаточная функция системы ∏ = = n s s pWpW 1 )()( . Если в каждой передаточной функции Ws(p) имеется абсолютная погреш- ность ΔWs(p), то абсолютная погрешность ΔW(p) в общей передаточной функции Ws(p) оп- ределяется из соотношения ( )∏ = Δ+=Δ+ n s ss WWWW 1 . (7) Осуществим в (7) преобразования вида ( ) ( )∏∏∏ === ε+=ε+=⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ Δ +=⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ Δ + n s Ws n s sW s s n s s WW W WW W WW 111 1111 , откуда получаем ( )∏ = ε+=ε+ n s WsW 1 11 и ( ) 11 1 −⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ ε+=ε ∏ = n s WsW . (8) Если одинаковые εWs = ε, то εW = (1 + ε)n – 1. Итак, при последовательном соединении звеньев в динамической системе относи- тельная погрешность в передаточной функции определяется выражением (8). При параллельном соединении звеньев с передаточными функциями Ws(p), s = 1, 2, …, n общая передаточная функция системы выражается формулой ∑ = = n s s pWpW 1 )()( . Если в каждой передаточной функции Ws(p) имеется погрешность ΔWs(p), то тогда ΔW(p) системы находится из выражения ( )∑ = Δ+=Δ+ n s ss WWWW 1 . (9) Как и для (7), осуществим в (9) преобразования ( ) ( )s n s s s s n s sW W W WWW W WW ε+=⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ Δ +=ε+=⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ Δ + ∑∑ == 1111 11 . (10) Если для всех звеньев εs = ε, то εW = ε. Из (10) получаем общую относительную погреш- ность ( ) 11 1 −⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ ε+=ε ∑ = s n s s W W W . Далее рассмотрим замкнутую систему вида (см. рис. 1), где W1 = W1(p), W0C = W0C(p) – передаточные функ- ции разомкнутой системы и звеньев отрицательной обрат- W0C W1 – U УС х Рис. 1. Замкнутая динамическая система ДИНАМИКА И ПРОЧНОСТЬ МАШИН ISSN 0131–2928. Пробл. машиностроения, 2011, Т. 14, № 4 48 ной связи соответственно; УС – устройство разности сигналов U и хW0C; х – выходной сиг- нал. Передаточная функция данной системы следующая: CWW WW 01 1 1+ = . (11) При наличии погрешностей ΔW1, ΔW0C в передаточных функциях W1 и W0C выраже- ние (11) принимает вид ( )( )CC WWWW WWWW 0011 11 1 Δ+Δ++ Δ+ =Δ+ . (12) Представим (12) через относительные погрешности W W W Δ =ε , 1 1 1 W W W Δ =ε , C C C W W 0 0 0 Δ =ε . Для этого осуществим следующие преобразования: ( ) ( ) ( )( )CWWC W W WW WW 0101 11 1 11 11 ε+ε++ ε+ =ε+ , откуда ( )( ) 1 1 11 1 0101 11 − ε+ε++ ε+ =ε CWWC W W WWW W . (13) Выражением (13) описывается общая погрешность в передаточной функции замкну- той системы в функции погрешностей индивидуальных звеньев. Далее перейдем к определению функциональных погрешностей колебательных сис- тем (КС). Вначале рассмотрим КС с одной степенью свободы, движение которой описывает- ся уравнением Fcx dt dxb dt xdm =++2 2 , (14) где m – масса; b, c – коэффициенты диссипации и жесткости соответственно; х – перемеще- ние; F – сила. Будем считать, что в (14) сила F = F0 + F~, где F0 – постоянная, а F~ – переменная со- ставляющие. Сила F0 вызывает в КС постоянное смещение x0 = F0/C, которое может иметь абсолютную Δx0 или относительную 0 0 0 x x x Δ =ε погрешности. Рассмотрим более подробно Δx0 и εx0. Для этого запишем ( ) C CFx CCC CFFC C F CC FFx ε+ ε−ε = Δ+ Δ−Δ =− Δ+ Δ+ =Δ 1 0 0 00000 0 , откуда C C C C CF x Δ =ε ε+ ε−ε =ε , 1 0 0 . (15) Индивидуальные зависимости εх0 от εF0 или εС на основании (15) имеют соответст- венно вид εх0(F) = εF0 при εC = 0, ( ) С С x С ε+ ε −=ε 10 при εF0 = 0. ДИНАМИКА И ПРОЧНОСТЬ МАШИН ISSN 0131–2928. Пробл. машиностроения, 2011, Т. 14, № 4 49 Переменная составляющая силы F~, например F~,=Fasinωt, где Fа – амплитуда; ω – круговая частота, вызывает гармоническое колебание КС x(t) = xasin(ωt – ϕ), где ха – ампли- туда; ϕ – угол сдвига между F(t) и x(t). Известно [3], что амплитуда и угол ϕ определяются формулами ( ) ⎪ ⎪ ⎪ ⎭ ⎪⎪ ⎪ ⎬ ⎫ ω−ω ω =ϕ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ω +ω−ω = 2 0 2 2 22 0 2 arctg , b m bm Fx a a , (16) где ω0 – собственная частота колебаний КС. Перейдем к определению погрешности Δха системы (16). С учетом (16) ( ) ( ) ( )[ ] ( ) ( ) 2 22 0 2 2 22 00 2 ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ω +ω−ω − ⎥⎦ ⎤ ⎢⎣ ⎡ ωΔ+ω Δ+ Δ+ +ωΔ+ω−ωΔ+ωΔ+ Δ+ =Δ m bm F mm bbmm FFx aaa a . (17) Приведем (17) к относительным погрешностям b b m m x x bm a a xa Δ =ε ω ωΔ =ε ω ωΔ =ε Δ =ε Δ =ε ωω ,,,, 0 0 0 . В результате получим ( ) ( ) ( )[ ] ( )( ) ( ) .1 1 1 111 1 1 2 1 2 222 0 22 2 1 2 22 0 2 0 − ⎪⎭ ⎪ ⎬ ⎫ ⎪⎩ ⎪ ⎨ ⎧ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ ε+ ε+ε+ω +ε+ω−ε+ω× × ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ω+ω−ω ε+ ε+ =ε ω ωω m b m F xa m b m b (18) Индивидуальные зависимости εха от εF, εω, εω0, εm, εb определяются из (18) при одной погрешности ≠ 0 и при других погрешностях = 0. Абсолютная погрешность Δϕ угла сдвига ϕ в КС определяется выражением ( )( ) ( ) ( ) .arctg 11 1 1 arctg arctg arctg 2 0 22 0 02 0 2 2 2 0 22 00 2 ω−ω ω − ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ ω ωΔ +ω−⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ω ωΔ +ω ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ Δ +⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ω ωΔ +ω = = ω−ω ω − ωΔ+ω−ωΔ+ω Δ+ωΔ+ω =ϕΔ bb bb bbb (19) Из (19) получим относительную погрешность ϕ ϕΔ =εϕ в виде ( ) ( ) ( ) ( ) 1arctg 11 11 arctg 1 2 0 222 0 22 22 0 0 −⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ ω−ω ω ε+ω−ε+ω ε+ε+ω =ε − ωω ωω ϕ bb . (20) Индивидуальные зависимости εφ от одной погрешности определяются из (20) при равенстве нулю остальных погрешностей. ДИНАМИКА И ПРОЧНОСТЬ МАШИН ISSN 0131–2928. Пробл. машиностроения, 2011, Т. 14, № 4 50 Далее перейдем к КС с n-степенями свобо- ды (см. рис. 2), где mk – массы; Ck, bk – коэффици- енты жесткости и диссипации соответственно; xk – перемещение, k = 1, 2, …, n. Движение этой КС описывается системой дифференциальных уравнений вида ( ) ( ) ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎭ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎬ ⎫ += =++++ +=++++ ++=++ −− − − −− 11 1 1 112 2 11 1 121 2 212 2 2 2 21 2 111 1 12 1 2 1 , , nn n n nn n nn n n хс dt dxb сc dt dxbb dt xdm хс dt dxbсc dt dxbb dt xdm хс dt dxbFxc dt dxb dt xdm L . (21) Здесь также будем считать, что сила F = F0 + Fnsinωt. Тогда F0 вызывает смещение всей КС, описываемое системой уравнений (21) в виде ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ⎪ ⎪ ⎪ ⎭ ⎪ ⎪ ⎪ ⎬ ⎫ =+ +=+ +=+ += −−− −−−−−− 01110 010231201 3021012120 2010101 , , , nnnnn nnnnnnn xcccx xcxcccx xcxcccx xcFxc L . (22) Из системы уравнений (22) видно, что каждое смещение xk0, k = 1, 2, …, n за- висит от (n – 1) смещений xs0, s = 1, 2, …, n – 1, s ≠ k, а это значит, что если имеем погрешно- сти Δхk0 или 0 0 0 k k xk x xΔ =ε , k = 1, 2, …, n, то из системы (20) можно найти зависимость εxk0, k = 1, 2, …, n от погрешностей в силе F0, коэффициентов жесткости сk и смещений xs0, s = 1, 2, …, n – 1, s ≠ k на основании следующей системы уравнений: ( )( ) ( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )[ ] ( ) ( ) ( )[ ] ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )[ ] ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎭ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎬ ⎫ Δ+Δ+=Δ+Δ++Δ+ Δ+Δ++Δ+Δ+= =Δ+Δ++Δ+ Δ+Δ++Δ+Δ+=Δ+Δ++Δ+ Δ+Δ++Δ+=Δ+Δ+ −−−−−−−− −−−−−− −−−−−− 010111002211 0011020233 01011122 30302210101120202211 20201100101011 , , , nnnnnnnnnn nnnnnnnn nnnnnn xxccxxcccc xxccxxcc xxcccc xxccxxccxxcccc xxccFFxxcc L . (23) Решение системы (23) дает результат Δхk0 или εxk0, k = 1, 2, …, n. Переменная составляющая силы F~ = Fasinωt вызывает в КС с n-степенями свободы колебания xk(t) = xaksin(ωt – ϕk), где ϕk – углы сдвига между x(k–1)(t) и xk(t). Амплитуды xak определяются по формуле [3] с1 c2 c3 b1 b2 b3 m1 О1 F О2 m2 О3 m3 cn-1 bn-1 mn-1 M M On-1 On bn cn mn x1 x2 x3 xn-1 xn Рис. 2. КС с n-степенями свободы ДИНАМИКА И ПРОЧНОСТЬ МАШИН ISSN 0131–2928. Пробл. машиностроения, 2011, Т. 14, № 4 51 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) . ,, 2 122 0 2 21 2 2 1 1 ,3 2 2 2122 02 2 2 11 1 1 22 1 122 01 2 1 21 2 1 1 ⎥⎦ ⎤ ⎢⎣ ⎡ ω+ +ω−ω +++ = ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ ω+ +ω−ω + = ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ ω +ω−ω ++ = − +− + + − − = m bbm xcxc dt dxb dt dxb x m bbm xc dt dxb x m bm xc dt dxbF x kk kk kkk k k k k nk ak a a a (24) Углы сдвига ϕk определяются выражениями ( ) ( ) ⎪ ⎪ ⎭ ⎪⎪ ⎬ ⎫ ω−ω ω+ =ϕ ω−ω ω+ =ϕ − = 2 03 2 1 ,1 2 02 2 21 2 arctg ,arctg kk nk k bb bb . (25) Выражения (24), (25) по форме похожи на (16), а это значит, что погрешности Δxak, εak, Δϕk, k = 1, 2, …, n могут определяться теми же методами, что ранее (для КС с одной сте- пенью свободы [см. (17)−(20)] ). Эти конкретные решения громоздки, а принципиально не отличаются от нахождения Δxa, εxa, Δϕ, εϕ для КС с одной степенью свободы. Поэтому здесь они не приводятся. Заключение Таким образом, в результате данного исследования предложен метод определения функциональных погрешностей в динамических и, в частности, в колебательных системах. Результаты таких решений позволяют обеспечить или, в крайнем случае, повысить качество функционирования систем. Литература 1. Божко А. Е. Теория функциональных погрешностей электромагнитных вибровозбудителей / А. Е. Божко // Доп. НАН України.− 2006. – № 9. – С. 86–95. 2. Конторович М. И. Операционное исчисление и процессы в электрических цепях / М. И. Конторович. − М.: Наука, 1964.– 328 с. 3. Божко А. Е Динамико-энергетические связи колебательных систем / А. E. Божко, Н. М. Голуб. − Киев: Наук. думка, 1980. – 188 с. Поступила в редакцию 01.06.11

Погрешности динамических систем

Репозитарії

Схожі ресурси