Свободные нелинейные колебания многодисковых роторов на шарикоподшипниках
Разработаны модель и методика исследования колебаний многодискового ротора на двух нелинейных опорах с шарикоподшипниками. В модели учитываются гироскопические моменты, действующие на диски, и упругие свойства вала. Колебания исследуются с помощью нелинейных нормальных форм Шоу–Пьерра. Анализируют...
Збережено в:
| Дата: | 2013 |
|---|---|
| Автори: | , |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Russian |
| Опубліковано: |
Інститут проблем міцності ім. Г.С. Писаренко НАН України
2013
|
| Назва видання: | Проблемы прочности |
| Теми: | |
| Онлайн доступ: | http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/111919 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Цитувати: | Свободные нелинейные колебания многодисковых роторов на шарикоподшипниках / С.В. Филипковский, К.В. Аврамов // Проблемы прочности. — 2013. — № 3. — С. 86-96. — Бібліогр.: 13 назв. — рос. |
Репозитарії
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
irk-123456789-111919 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
irk-123456789-1119192017-01-16T03:03:44Z Свободные нелинейные колебания многодисковых роторов на шарикоподшипниках Филипковский, С.В. Аврамов, К.В. Научно-технический раздел Разработаны модель и методика исследования колебаний многодискового ротора на двух нелинейных опорах с шарикоподшипниками. В модели учитываются гироскопические моменты, действующие на диски, и упругие свойства вала. Колебания исследуются с помощью нелинейных нормальных форм Шоу–Пьерра. Анализируются скелетные кривые колебаний ротора. Розроблено модель і методику дослідження коливань багатодискового ротора на двох нелінійних опорах із шарикопідшипниками. У моделі враховуються гіроскопічні моменти, що діють на диск, і пружні властивості вала. Коливання досліджуються за допомогою нелінійних нормальних форм Шоу–П’єрра. Аналізуються скелетні криві коливань ротора. 2013 Article Свободные нелинейные колебания многодисковых роторов на шарикоподшипниках / С.В. Филипковский, К.В. Аврамов // Проблемы прочности. — 2013. — № 3. — С. 86-96. — Бібліогр.: 13 назв. — рос. 0556-171X http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/111919 539.3 ru Проблемы прочности Інститут проблем міцності ім. Г.С. Писаренко НАН України |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| language |
Russian |
| topic |
Научно-технический раздел Научно-технический раздел |
| spellingShingle |
Научно-технический раздел Научно-технический раздел Филипковский, С.В. Аврамов, К.В. Свободные нелинейные колебания многодисковых роторов на шарикоподшипниках Проблемы прочности |
| description |
Разработаны модель и методика исследования колебаний многодискового ротора на двух
нелинейных опорах с шарикоподшипниками. В модели учитываются гироскопические моменты, действующие на диски, и упругие свойства вала. Колебания исследуются с помощью
нелинейных нормальных форм Шоу–Пьерра. Анализируются скелетные кривые колебаний
ротора. |
| format |
Article |
| author |
Филипковский, С.В. Аврамов, К.В. |
| author_facet |
Филипковский, С.В. Аврамов, К.В. |
| author_sort |
Филипковский, С.В. |
| title |
Свободные нелинейные колебания многодисковых роторов на шарикоподшипниках |
| title_short |
Свободные нелинейные колебания многодисковых роторов на шарикоподшипниках |
| title_full |
Свободные нелинейные колебания многодисковых роторов на шарикоподшипниках |
| title_fullStr |
Свободные нелинейные колебания многодисковых роторов на шарикоподшипниках |
| title_full_unstemmed |
Свободные нелинейные колебания многодисковых роторов на шарикоподшипниках |
| title_sort |
свободные нелинейные колебания многодисковых роторов на шарикоподшипниках |
| publisher |
Інститут проблем міцності ім. Г.С. Писаренко НАН України |
| publishDate |
2013 |
| topic_facet |
Научно-технический раздел |
| url |
http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/111919 |
| citation_txt |
Свободные нелинейные колебания многодисковых роторов на шарикоподшипниках / С.В. Филипковский, К.В. Аврамов // Проблемы прочности. — 2013. — № 3. — С. 86-96. — Бібліогр.: 13 назв. — рос. |
| series |
Проблемы прочности |
| work_keys_str_mv |
AT filipkovskijsv svobodnyenelinejnyekolebaniâmnogodiskovyhrotorovnašarikopodšipnikah AT avramovkv svobodnyenelinejnyekolebaniâmnogodiskovyhrotorovnašarikopodšipnikah |
| first_indexed |
2025-07-08T02:53:49Z |
| last_indexed |
2025-07-08T02:53:49Z |
| _version_ |
1837045624534466560 |
| fulltext |
ÓÄÊ 539.3
Ñâîáîäíûå íåëèíåéíûå êîëåáàíèÿ ìíîãîäèñêîâûõ ðîòîðîâ
íà øàðèêîïîäøèïíèêàõ
Ñ. Â. Ôèëèïêîâñêèé, Ê. Â. Àâðàìîâ
Èíñòèòóò ïðîáëåì ìàøèíîñòðîåíèÿ èì. À. Í. Ïîäãîðíîãî ÍÀÍ Óêðàèíû, Õàðüêîâ,
Óêðàèíà
Ðàçðàáîòàíû ìîäåëü è ìåòîäèêà èññëåäîâàíèÿ êîëåáàíèé ìíîãîäèñêîâîãî ðîòîðà íà äâóõ
íåëèíåéíûõ îïîðàõ ñ øàðèêîïîäøèïíèêàìè.  ìîäåëè ó÷èòûâàþòñÿ ãèðîñêîïè÷åñêèå ìîìåí-
òû, äåéñòâóþùèå íà äèñêè, è óïðóãèå ñâîéñòâà âàëà. Êîëåáàíèÿ èññëåäóþòñÿ ñ ïîìîùüþ
íåëèíåéíûõ íîðìàëüíûõ ôîðì Øîó–Ïüåððà. Àíàëèçèðóþòñÿ ñêåëåòíûå êðèâûå êîëåáàíèé
ðîòîðà.
Êëþ÷åâûå ñëîâà: ðîòîð, øàðèêîïîäøèïíèêè, ìåòîä íåëèíåéíûõ íîðìàëüíûõ
ôîðì, ÷àñòîòû êîëåáàíèé, ñêåëåòíûå êðèâûå.
Ââåäåíèå. Ìíîãèå ïðèáîðû è àãðåãàòû ëåòàòåëüíûõ àïïàðàòîâ è ñïåöè-
àëüíûõ òðàíñïîðòíûõ ñðåäñòâ ñîäåðæàò âðàùàþùèåñÿ ðîòîðû, êîòîðûå ÷àñòî
ñîâåðøàþò îïàñíûå ðåçîíàíñíûå êîëåáàíèÿ, â îñíîâíîì ÿâëÿþùèåñÿ íåëè-
íåéíûìè. Íàïðèìåð, ðîòîð òóðáîõîëîäèëüíèêà ñèñòåìû êîíäèöèîíèðîâàíèÿ
âîçäóõà ñàìîëåòà óñòàíîâëåí â áëîêå, çàêðåïëåííîì ïîñðåäñòâîì àìîðòè-
çàòîðîâ. Áëîê ñîâåðøàåò ïðîñòðàíñòâåííûå êîëåáàíèÿ â ðàçíûõ äèàïàçîíàõ
÷àñòîò, êîòîðûå çàâèñÿò îò ðåæèìà ïîëåòà ñàìîëåòà. Äëÿ ïðàâèëüíîãî ïðîåê-
òèðîâàíèÿ ïîäâåñêè áëîêà âàæíî èçó÷èòü âîçìîæíûå ðåæèìû êîëåáàíèé
ðîòîðà â øèðîêîì äèàïàçîíå ÷àñòîò è àìïëèòóä.
Èçãèáíûå êîëåáàíèÿ âàëîâ ñ äèñêàìè, â ìîäåëÿõ êîòîðûõ ó÷èòûâàþòñÿ
äåéñòâóþùèå íà äèñêè ãèðîñêîïè÷åñêèå ìîìåíòû, âíåøíåå è âíóòðåííåå
òðåíèå, èññëåäîâàíû â ðàáîòå [1]. Íåñòàöèîíàðíûå ëèíåéíûå èçãèáíûå êîëå-
áàíèÿ ñ ó÷åòîì ãèðîñêîïè÷åñêèõ ìîìåíòîâ äèñêîâ è ðàñïðåäåëåííîé ìàññû
âàëà èçó÷åíû â [2]. Ðàíåå [3, 4] ïîëó÷åíû íåëèíåéíûå ìîäåëè è èññëåäîâàíû
âûíóæäåííûå êîëåáàíèÿ è àâòîêîëåáàíèÿ îäíîäèñêîâûõ ðîòîðîâ. Íåëèíåéíûå
íîðìàëüíûå ôîðìû (ÍÍÔ) êîëåáàíèé âðàùàþùåãîñÿ âàëà â ïîäøèïíèêàõ
ñêîëüæåíèÿ èññëåäîâàíû â [5]. Â [6] ìåòîä ÍÍÔ ðàçâèâàåòñÿ äëÿ èññëåäî-
âàíèÿ êîëåáàíèé â ñèñòåìàõ ñ ãèðîñêîïè÷åñêèìè ñèëàìè.  [7] èññëåäîâàíû
êîëåáàíèÿ óïðóãîãî ðîòîðà íà íåëèíåéíûõ îïîðàõ ñ äèñêîì è ñ ó÷åòîì åãî
ðàñïðåäåëåííîé ìàññû. Ñîáñòâåííûå ÷àñòîòû ëèíåéíûõ êîëåáàíèé æåñòêîãî
ðîòîðà íà óïðóãèõ ðàäèàëüíî-óïîðíûõ øàðèêîïîäøèïíèêàõ èññëåäîâàíû â
[8]. Òàì æå ïîëó÷åíû ôîðìóëû äëÿ íåëèíåéíûõ ðàäèàëüíûõ è îñåâûõ ñèë
ðåàêöèè øàðèêîïîäøèïíèêîâ è ïðåäëîæåí ñïîñîá èõ ëèíåàðèçàöèè.
Öåëüþ íàñòîÿùåé ðàáîòû ÿâëÿåòñÿ èññëåäîâàíèå ñâîáîäíûõ íåëèíåéíûõ
êîëåáàíèé óïðóãîãî ðîòîðà ñ íåñêîëüêèìè äèñêàìè, êîòîðûå ðàñïîëîæåíû
íåñèììåòðè÷íî îòíîñèòåëüíî îïîð âàëà. Ðîòîð âðàùàåòñÿ â ðàäèàëüíî-óïîð-
íûõ øàðèêîïîäøèïíèêàõ.  ìîäåëè ðîòîðà ó÷èòûâàþòñÿ íåëèíåéíûå õàðàê-
òåðèñòèêè øàðèêîïîäøèïíèêîâ. Äëÿ èññëåäîâàíèÿ êîëåáàíèé ïðèìåíÿåòñÿ
ìåòîä ÍÍÔ.
© Ñ. Â. ÔÈËÈÏÊÎÂÑÊÈÉ, Ê. Â. ÀÂÐÀÌÎÂ, 2013
86 ISSN 0556-171X. Ïðîáëåìû ïðî÷íîñòè, 2013, ¹ 3
1. Óðàâíåíèÿ äâèæåíèÿ ñèñòåìû. Èññëåäóåìàÿ ñèñòåìà ñ N D äèñêàìè
ïîêàçàíà íà ðèñ. 1,à. Íà÷àëî êîîðäèíàò íàõîäèòñÿ íà îïîðå À. Äëèíó âàëà
îáîçíà÷èì ÷åðåç l, ïåðåìåùåíèÿ ñðåäèííîé ëèíèè âàëà ïî íàïðàâëåíèÿì
êîîðäèíàòíûõ îñåé – ux , u y , u z . Êîëåáàíèÿ âàëà ðàçëîæèì ïî ñîáñòâåííûì
ôîðìàì ëèíåéíîé ñèñòåìû [5]:
u t x t
n
l
x t
l
x t
l
l
u
x n N N
n
N
y
( , ) ( )sin ( ) ( ) ;�
�� � �
� � �
�
� �
�
� 1 2
1
( , ) ( )sin ( ) ( ) ,�
�� � �
t y t
n
l
y t
l
y t
l
ln
n
N
N N� � �
�
�
� ��
1
1 2
(1)
ãäå x tn ( ), y tn ( ) – îáîáùåííûå êîîðäèíàòû; � – êîîðäèíàòà ñå÷åíèÿ âàëà ïî
îñè z; N – ÷èñëî áàçèñíûõ ôóíêöèé â ðàçëîæåíèè (1); x tN�1( ), x tN�2 ( ),
y tN�1( ), y tN�2 ( ) – îáîáùåííûå êîîðäèíàòû, îïèñûâàþùèå ïåðåìåùåíèÿ
öàïô.
Âíóòðåííèå êîëüöà øàðèêîïîäøèïíèêîâ êîëåáëþòñÿ êàê â ðàäèàëüíîì,
òàê è îñåâîì íàïðàâëåíèè îòíîñèòåëüíî íàðóæíûõ êîëåö. Îòìåòèì, ÷òî ïåðå-
ìåùåíèÿ ìàëû ïî ñðàâíåíèþ ñ äëèíîé âàëà. Òîãäà ïðîäîëüíûå êîëåáàíèÿ ðîòî-
ðà âäîëü êîîðäèíàòíîé îñè z ìîæíî îïèñàòü îáîáùåííîé êîîðäèíàòîé z t( ).
Äëÿ ñîñòàâëåíèÿ óðàâíåíèé äâèæåíèÿ âîñïîëüçóåìñÿ óðàâíåíèÿìè Ëà-
ãðàíæà âòîðîãî ðîäà. Êèíåòè÷åñêóþ ýíåðãèþ âàëà Ò â ïðåäñòàâèì òàê:
T
I
dz dz I l I d
ll
â� �
�
�
�
� ���
�
� � � � � � � �
2
21
2
2
2
00
2
2 1
� � � z
l
��
0
� � ��
�S
u u u dzx y z
l
2
2 2 2
0
( � � � ) , (2)
ãäå � – ïëîòíîñòü ìàòåðèàëà âàëà; I – ìîìåíò èíåðöèè ñå÷åíèÿ âàëà; S –
ïëîùàäü ñå÷åíèÿ âàëà; � – óãëîâàÿ ñêîðîñòü âðàùåíèÿ ðîòîðà; �1 , � 2 – óãëû
ïîâîðîòà ñå÷åíèé âàëà, � � �1��( ),u zy � � �2 � u zx .
à á
Ðèñ. 1. Ñõåìû ðîòîðà è øàðèêîïîäøèïíèêà: A, B – îïîðû.
ISSN 0556-171X. Ïðîáëåìû ïðî÷íîñòè, 2013, ¹ 3 87
Ñâîáîäíûå íåëèíåéíûå êîëåáàíèÿ ìíîãîäèñêîâûõ ðîòîðîâ ...
Êèíåòè÷åñêóþ ýíåðãèþ n-ãî äèñêà TD n, ïðåäñòàâèì òàê:
T
I I
ID n
n
z
n
n zn n,
, ,
,( � � ) ( � )� � � �� �
1
2
2
1
2 0 2
0 2 12 2
� � � � � �� � �
� � � �
m
u u u
n
x y z z n
0 2 2 2
2
,
( � � � ) ,� (3)
ãäå I n1, – ýêâàòîðèàëüíûé ìîìåíò èíåðöèè; I n0, – ïîëÿðíûé ìîìåíò èíåð-
öèè; m n0, – ìàññà äèñêà; � n – êîîðäèíàòà n-ãî äèñêà.
Ñ ó÷åòîì (1) êèíåòè÷åñêóþ ýíåðãèþ ñèñòåìû ìîæíî âûðàçèòü ÷åðåç
îáîáùåííûå ñêîðîñòè:
T T T T x x y y zD n
n
N
N N
D
� � �
�
� ��â , ( � , ... , � , � , ... , � , �).
1
1 2 1 2
Ïîòåíöèàëüíóþ ýíåðãèþ âàëà â çàïèøåì â ñëåäóþùåì âèäå:
â 2
�
�
�
EI
u u dzx y
l
[( ) ( ) ] ,2 2
0
(4)
ãäå Å – ìîäóëü óïðóãîñòè ìàòåðèàëà âàëà.
Êîìïîíåíòû óïðóãèõ ðåàêöèé ïîäøèïíèêà âäîëü îñåé õ y z, , [8] èìåþò
âèä
P K x y z zx
N
� �
�
� � � � �� � � �
�
�[ cos cos cos sin ( )sin ] /
1
0
3 2
â
cos cos ;
cos cos cos sin (
� �
� � � �
� �
�
P K x y z zy
N
� � � �
�
�[
â
1
0
3 2
1
)sin ] cos sin ;
cos cos cos
/� � �
� � �
� �
�
P K x yz
N
� �
�
�[
â
sin ( )sin ] sin ;/� � �
� �z z 0
3 2
(5)
K
P
N
z� � �3
2
0
0
3 2 5 2
â
/ /sin .�
Çäåñü x � , y � , z – ñìåùåíèÿ öåíòðà âíóòðåííåãî êîëüöà îòíîñèòåëüíî öåíòðà
íàðóæíîãî; � – íîìåð îáîáùåííîé êîîðäèíàòû öàïôû; óãëû � è �
ïîêàçàíû
íà ðèñ. 1,á;
è N â – íîìåð è êîëè÷åñòâî øàðèêîâ; Ð0 – ñèëà ïðåäâàðèòåëü-
íîãî îñåâîãî íàòÿãà, z 0 – îñåâîå ñìåùåíèå âíóòðåííåãî êîëüöà îòíîñèòåëüíî
âíåøíåãî îò äåéñòâèÿ ñèëû P0 , îïðåäåëÿåìîå èç ãåîìåòðè÷åñêèõ ñîîòíîøåíèé
â çîíàõ êîíòàêòà:
z R w w d0 1 22� � � �( )sinê â �,
88 ISSN 0556-171X. Ïðîáëåìû ïðî÷íîñòè, 2013, ¹ 3
Ñ. Â. Ôèëèïêîâñêèé, Ê. Â. Àâðàìîâ
ãäå Rê – ðàäèóñû êàíàâîê êà÷åíèÿ â êîëüöàõ ïîäøèïíèêà; w1 è w2 – ñáëèæå-
íèÿ âíóòðåííåãî è âíåøíåãî êîëåö ñ øàðèêîì ïî íàïðàâëåíèþ ëèíèè êîíòàê-
òà âñëåäñòâèå ïðåäâàðèòåëüíîãî îñåâîãî ïîäæàòèÿ; d â – äèàìåòð øàðèêà.
Ñáëèæåíèÿ âû÷èñëÿåì ïî ôîðìóëå Ãåðöà [9]
w b Pi i� ê
3 2/ , i�1 2, ,
ãäå b1 è b2 – êîýôôèöèåíòû ôîðìóëû Ãåðöà; Pê – ñèëà ñæàòèÿ, äåéñò-
âóþùàÿ ïî íàïðàâëåíèþ ëèíèè êîíòàêòà,
P P Nê 0 â� ( sin ).�
Óãîë � îïðåäåëÿåì èç óðàâíåíèÿ
( )cos ,2 21 2 1 2R w w d R R Rê â ê� � � � � ��
ãäå R1 è R2 – ðàäèóñû âíóòðåííåãî è âíåøíåãî êîëåö, èçìåðåííûå îò îñè
ïîäøèïíèêà äî ñåðåäèíû êàíàâîê êà÷åíèÿ.
Êîýôôèöèåíòû ôîðìóëû Ãåðöà îïðåäåëÿþòñÿ âûðàæåíèåì
b F K K K K k E� � � � �
3
2
31 11 12 21 22
2
1 2
2
1
3 ( ) ( ) ( ) ,� �
ãäå F1 , E1 – ýëëèïòè÷åñêèå èíòåãðàëû ïåðâîãî è âòîðîãî ðîäà; K11 , K12 ,
K 21 , K 22 – êðèâèçíû ãëàâíûõ íîðìàëüíûõ ñå÷åíèé êîíòàêòèðóþùèõ ïîâåðõ-
íîñòåé; k – êîðåíü òðàíñöåíäåíòíîãî óðàâíåíèÿ
( ) ( ) ( ) ( ).F E F E k K K K K1 1 1 1
2
11 21 12 22� � � � �
Âåëè÷èíû �1 è � 2 çàâèñÿò îò ñâîéñòâ ìàòåðèàëîâ êîíòàêòèðóþùèõ òåë
è îïðåäåëÿþòñÿ òàê:
� i i iE� �( ) ( ),1 2� � i�1 2, ,
ãäå � i è Åi – êîýôôèöèåíòû Ïóàññîíà è ìîäóëè óïðóãîñòè ìàòåðèàëîâ
ïîäøèïíèêîâûõ êîëåö è øàðèêîâ.
Âûðàæåíèÿ (5) ìîæíî ïðåäñòàâèòü â âèäå ñòåïåííûõ ðÿäîâ ïî îáîáùåí-
íûì êîîðäèíàòàì öàïô, îãðàíè÷èâøèñü òðåòüèì ïîðÿäêîì ìàëîñòè ïî x z� 0 ,
y z� 0 , z z 0 :
P c x
c x z
z
c x
z
c x y
z
x r
r r r
� �
� � � �
� �
� � � � �
2 32 320
3
0
2 2
2
0
2 2tg tg
c x z
z
P c y
c y z
z
c y
z
c y x
r
y r
r r r
�
� �
� � � �
�
2
0
2
0
3
0
2 2
8
2 32
;
� � � �
tg
2
0
2 2
2
0
2
0
2
0
32 8
2
3 4
z
c y z
z
P
c z
c z
c x
z
c y
r
z
a
a
r r
tg �
� �
�
�
�
� � � �
;
� � �
2
0
2
0
2
0
2
2
0
2
3
0
24 4 8 8 24z
c z
z
c zx
z
c zy
z
c z
z
a r r a
� � � � ,
(6)
ISSN 0556-171X. Ïðîáëåìû ïðî÷íîñòè, 2013, ¹ 3 89
Ñâîáîäíûå íåëèíåéíûå êîëåáàíèÿ ìíîãîäèñêîâûõ ðîòîðîâ ...
ãäå
c N Kzr �
3
4 0
1 2 1 2 2
â
/ /sin cos ;� � c ca r�2 2tg �.
Èç ñîîòíîøåíèé (6) ñëåäóåò, ÷òî ïåðåìåùåíèå îïîðíîãî ñå÷åíèÿ âàëà ïî
ëþáîìó íàïðàâëåíèþ âûçûâàåò ðåàêöèþ ïîäøèïíèêà ïî âñåì òðåì êîîðäè-
íàòíûì íàïðàâëåíèÿì. Ñ ó÷åòîì (6) ïîòåíöèàëüíóþ ýíåðãèþ ïðåäñòàâèì êàê
ôóíêöèþ îáîáùåííûõ êîîðäèíàò:
� � � �� � � � �â ï ( , ... , , , ... , , ).õ x y y zN N1 2 1 2
Äåìïôèðîâàíèå, îáóñëîâëåííîå ñìàçêîé îïîð, îáû÷íî îïðåäåëÿåòñÿ íà
îñíîâå ýêñïåðèìåíòîâ è îïèñûâàåòñÿ ìîäåëüþ âÿçêîãî òðåíèÿ [10, 11] ñ ïî-
ìîùüþ ââåäåííîé ôóíêöèè Ðýëåÿ �:
�� � � � �� � � �
C
x y x y zN N N N2 1
2
1
2
2
2
2
2 2( � � � � � ), (7)
ãäå Ñ – êîýôôèöèåíò ñîïðîòèâëåíèÿ.
Ñ èñïîëüçîâàíèåì ïðåäñòàâëåííûõ âûøå ðåçóëüòàòîâ àíàëèçà çàïèøåì
óðàâíåíèÿ äâèæåíèÿ ðîòîðà â ñëåäóþùåì âèäå:
[ ]{ ��} [ ]{ �} [ ]{ �} [ ]{ } [ ]{ }M U G U C U K U K U� � � � �2
� � � �[ ]{ } [ ]{ } [
~
]{ } ,
� �
K UU K U K U U� � �
3 2 0 (8)
ãäå [ ]K – ìàòðèöà æåñòêîñòè; [ ]C – ìàòðèöà äåìïôèðîâàíèÿ; [ ]M – ìàòðèöà
ìàññ; { }U – âåêòîð îáîáùåííûõ êîîðäèíàò. Êîìïîíåíòû âåêòîðà { }U U� �
2
ïðåäñòàâëÿþò ñîáîé ïðîèçâåäåíèÿ îáîáùåííûõ êîîðäèíàò â òðåòüåé ñòåïåíè.
Øåñòü ðàçíûõ ñëàãàåìûõ ñ òàêèìè ïðîèçâåäåíèÿìè ñîäåðæàòñÿ â óðàâíåíèÿõ
(6), îïèñûâàþùèõ äâèæåíèå öàïô. Âåêòîð { }U U� �
2 èìååò ðàçìåðíîñòü
( ),2 12N � ïðè ýòîì 2N ñòðîê ñîäåðæàò íóëè. Àíàëîãè÷íî { },UU � { }U 2 è
{ }U 3 ñîäåðæàò êâàäðàòû è êóáû îáîáùåííûõ êîîðäèíàò öàïô, èõ ðàçìåð-
íîñòü, êàê è ðàçìåðíîñòü âåêòîðà { },U ðàâíà ( )2 5N � .
Óìíîæèâ (8) íà [ ]M �1, ïåðåïèøåì óðàâíåíèÿ äâèæåíèÿ â ñëåäóþùåì
âèäå:
{ ��} [ ]{ �} [ ]{ �} [ ]{ } [ ]{ }U G U C U K U K U� � � � �1 1 1 1
2
� � � �[ ]{ } [ ]{ } [
~
]{ } .
� �
K UU K U K U U1 1
3
1
2 0� � � (9)
2. Íåëèíåéíûå íîðìàëüíûå ôîðìû êîëåáàíèé. Íåëèíåéíûå íîðìàëü-
íûå ôîðìû ïîçâîëÿþò ñâåñòè íåëèíåéíûå êîëåáàíèÿ ñèñòåì ñ êîíå÷íûì
÷èñëîì ñòåïåíåé ñâîáîäû ê äèíàìèêå íåëèíåéíîãî îñöèëëÿòîðà ñ îäíîé
90 ISSN 0556-171X. Ïðîáëåìû ïðî÷íîñòè, 2013, ¹ 3
Ñ. Â. Ôèëèïêîâñêèé, Ê. Â. Àâðàìîâ
ñòåïåíüþ ñâîáîäû. Ýòîò ìåòîä ýôôåêòèâíî ïðèìåíÿþò ê ðåøåíèþ çàäà÷
ìåõàíèêè äåôîðìèðóåìîãî òâåðäîãî òåëà [5–7, 12].
Ïðè äâèæåíèè ïî ÍÍÔ âñå ôàçîâûå êîîðäèíàòû âûðàæàþòñÿ ÷åðåç îäíó
ïàðó îáîáùåííîé êîîðäèíàòû p è ñîîòâåòñòâóþùåé åé îáîáùåííîé ñêîðîñ-
òè q [12]:
{ }
{ }
{ ( , )}
{ ( , )}
,
U
V
P p q
Q p q
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
(10)
ãäå { } { �}V U� – âåêòîð îáîáùåííûõ ñêîðîñòåé.
Äëÿ îïðåäåëåíèÿ ÍÍÔ êîìïîíåíòû âåêòîðíûõ ôóíêöèé { ( , )}P p q �
� [ , ... , ]p p N1 2 5
ò è { ( , )} [ , ... , ]Q p q q q N� 1 2 5
ò ïðåäñòàâëÿþòñÿ â âèäå ðÿ-
äîâ Òåéëîðà:
p p q p q p pq q pn n n n n n n( , ) , , , , , ,�
1 2 3
2
4 5
2
6
3
n n n
n N n N n
p q pq q
q p q p
, , ,
, ,
;
( , )
7
2
8
2
9
3
2 5 1 2 5 2
�
q p pq
q p
N n N n
N n N n
2 5 3
2
2 5 4
2 5 5
2
2 5 6
3
, ,
, ,
� �
2 5 7
2
2 5 8
2
2 5 9
3 1
N n
N n N n
p q
pq q n J
,
, , , , ... , 1 1 2 5, , ... , ,J N
(11)
ãäå J – íîìåð âûáðàííîé íåçàâèñèìîé îáîáùåííîé êîîðäèíàòû; p pJ� ;
q qJ� .
Ñîãëàñíî äàííûì ðàáîòû [6] êîýôôèöèåíòû ëèíåéíîé ÷àñòè (11) îïðå-
äåëÿåì èç ïðîñòûõ ñîîòíîøåíèé:
�
�
�
�n
n N J N J n
J N J N J J
, ;1
2 5 2 5
2 5 2 5
�
�
�
�
�
�
�n
J n n J
J N J N J J
, ,2
2 5 2 5
�
�
�
ãäå
n , �n – äåéñòâèòåëüíàÿ è ìíèìàÿ ÷àñòè ñîáñòâåííûõ âåêòîðîâ ñèñòåìû
(8) ñ îòáðîøåííûìè íåëèíåéíûìè ñëàãàåìûìè.
Äëÿ îïðåäåëåíèÿ íåëèíåéíîé ÷àñòè ðàçëîæåíèé (11) ñòðîÿòñÿ óðàâíåíèÿ
â ÷àñòíûõ ïðîèçâîäíûõ îòíîñèòåëüíî ÍÍÔ (10):
� ( , )
( , )
�
( , )
�;
� ( , )
( ,
p p q
p p q
p
p
p p q
q
q
q p q
q p
n
n n
n
n
�
�
�
�
�
�
� q
p
p
q p q
q
q
n)
�
( , )
�.
�
�
�
(12)
Êîìïîíåíòó n-é ñòðîêè âåêòîðà { ��}U ñ ó÷åòîì (11) çàïèøåì ñëåäóþùèì
îáðàçîì:
� ( , ), , , , , , , , ,q W p q G q C qj n j n j J j J n m
m
N
j m n m j� �� �
�
� 1
1
2 5
1 ,m
m
N
�
�
�
1
2 5
ISSN 0556-171X. Ïðîáëåìû ïðî÷íîñòè, 2013, ¹ 3 91
Ñâîáîäíûå íåëèíåéíûå êîëåáàíèÿ ìíîãîäèñêîâûõ ðîòîðîâ ...
� � � �
�
�
�
�K p K p K ppn m j m n m j m
m
N
n m j m
m
1 1
2
1
2 5
1, , , , , , , , ,( )
�
�
1
2 5
1
2 5 N
m
N �
�
�
��
� �
�
�
�
�
� �
�
K p K p pn m j m
m
N
n m
m
N
j m1
3
1
2 5
1
1
2 12
2
, , , , , ,
~
( ) ,� � (13)
ãäå j – íîìåð ôîðìû.
Ïîäñòàâèâ (13) â (12), çàïèøåì
� ( ,, ,
,
,
,
,
,
, , ,p q
p
p
q
p
q
W p qj n j n
j n
j J
j J
j n
j J
j J j J j J� � �
�
�
�
�
);
� ( , ), , , ,
,
,
,
,
,
q W p q
q
p
q
q
q
Wj n j n j J j J
j n
j J
j J
j n
j J
� � �
�
�
�
� j J j J j Jp q, , ,( , ).
(14)
Ïðèðàâíÿâ â (14) êîýôôèöèåíòû ïðè îäèíàêîâûõ ñòåïåíÿõ p q� � , ïîëó-
÷èì ñèñòåìó ëèíåéíûõ àëãåáðàè÷åñêèõ óðàâíåíèé îòíîñèòåëüíî " k j, . Âû-
÷èñëåííûå êîýôôèöèåíòû ÍÍÔ (11) ïîäñòàâëÿåì â J -å óðàâíåíèå ñèñòåìû
(9).  ðåçóëüòàòå ïîëó÷èì îäíî îáûêíîâåííîå äèôôåðåíöèàëüíîå óðàâíåíèå,
îïèñûâàþùåå äâèæåíèå ïî ÍÍÔ:
�� � � �p B p B p B p B pp B p B p� � � � � � �1 2 3
2
4 5
2
6
3
� � � �B p p B pp B p7
2
8
2
9
3 0� � � , (15)
ãäå  Â1 9, ... , – êîýôôèöèåíòû, ïîëó÷åííûå ïðè ãðóïïèðîâêå ñëàãàåìûõ.
3. ×èñëåííûé àíàëèç êîëåáàíèé. Ðàññìîòðèì êîëåáàíèÿ íåäåôîðìèðó-
åìîãî ðîòîðà ñ ïàðàìåòðàìè: äëèíà âàëà l�0 5, ì, lD �0 125, ì, äèàìåòð âàëà
d�0 025, ì, m0 10� êã, I1 0 1� , êã ì 2& , I 0 0 2� , êã ì 2& , êîòîðûé âðàùàåòñÿ ñ
óãëîâîé ñêîðîñòüþ ��628 3, ðàä/ñ íà ðàäèàëüíî-óïîðíûõ ïîäøèïíèêàõ
ñðåäíåé ñåðèè ïî ÃÎÑÒ 831-75. Òàêîé ðàñ÷åòíîé ñõåìîé ìîæíî ïðåäñòàâèòü
ðîòîð, ó êîòîðîãî ïðîãèá âàëà ìàë ïî ñðàâíåíèþ ñ óïðóãèìè äåôîðìàöèÿìè
øàðèêîïîäøèïíèêîâ. Ïåðåéäåì ê áåçðàçìåðíûì ïàðàìåòðàì p x z1 1 0� ,
p y z2 1 0� , ...; q dp d1 1� ', q dp d2 2� ' , ...; ' �� t ; � �� f , ãäå f – ÷àñòî-
òà êîëåáàíèé. Â äàííîì ïðèìåðå èìååì z 0
30 20177 10� & �, ì. Íà ðèñ. 2 ïðåä-
ñòàâëåíà ÍÍÔ çàâèñèìîñòè áåçðàçìåðíîãî ïåðåìåùåíèÿ îïîðû A âàëà ïî
íàïðàâëåíèþ îñè x îò íåçàâèñèìûõ ôàçîâûõ êîîðäèíàò p è q, îïðåäåëåííàÿ
ïî ïåðâîé ôîðìóëå (11). Çäåñü p – ïåðåìåùåíèå îïîðû B âàëà ïî íàïðàâëå-
íèþ îñè x. Ýòà ïîâåðõíîñòü äâîéíîé êðèâèçíû íàãëÿäíî îòîáðàæàåò ñòåïåíü
íåëèíåéíîñòè ñèñòåìû.
Äëÿ èññëåäîâàíèÿ ñêåëåòíûõ êðèâûõ êîëåáàíèé ðîòîðà îäíî èç óðàâíå-
íèé (15), êîòîðîå îïèñûâàåò äâèæåíèå ïî ÍÍÔ, ðåøàåòñÿ ïî ìåòîäó ãàðìî-
íè÷åñêîãî áàëàíñà [13]. Íà ðèñ. 3 ïîêàçàíû ñêåëåòíûå êðèâûå äëÿ âñåõ ôîðì
92 ISSN 0556-171X. Ïðîáëåìû ïðî÷íîñòè, 2013, ¹ 3
Ñ. Â. Ôèëèïêîâñêèé, Ê. Â. Àâðàìîâ
êîëåáàíèé íåäåôîðìèðóåìîãî ðîòîðà. Ïðè êîëåáàíèÿõ ïî ïåðâîé ôîðìå ðî-
òîð ñîâåðøàåò ïðåèìóùåñòâåííî ïðîäîëüíûå ïåðåìåùåíèÿ. Ïîñêîëüêó îñåâàÿ
æåñòêîñòü øàðèêîïîäøèïíèêà ìåíüøå ðàäèàëüíîé, ÷àñòîòà ïðîäîëüíûõ êîëå-
áàíèé íàèíèçøàÿ. Âòîðàÿ è òðåòüÿ ÷àñòîòû êðàòíûå, îíè ñîîòâåòñòâóþò êîëå-
áàíèÿì ðîòîðà â äâóõ âçàèìíî ïåðïåíäèêóëÿðíûõ ïëîñêîñòÿõ, ïðè ýòîì îáà
ïîäøèïíèêà äåôîðìèðóþòñÿ â îäíîì íàïðàâëåíèè. ×åòâåðòàÿ è ïÿòàÿ ÷àñòî-
òû ñîîòâåòñòâóþò êîëåáàíèÿì ðîòîðà, ïðè êîòîðûõ îïîðíûå ñå÷åíèÿ ïåðå-
ìåùàþòñÿ â ïðîòèâîïîëîæíûõ íàïðàâëåíèÿõ. Ðàçëè÷èå ìåæäó ÷àñòîòàìè
îáóñëîâëåíî âëèÿíèåì ãèðîñêîïè÷åñêîãî ìîìåíòà.
Ðàñ÷åòíàÿ ñõåìà ñ óïðóãèì âàëîì ñîîòâåòñòâóåò ðîòîðàì, ó êîòîðûõ
ïðîãèá âàëà áîëüøå óïðóãèõ äåôîðìàöèé ïîäøèïíèêîâ. Ðàññìîòðåíû êîëå-
áàíèÿ ðîòîðà ñ òàêèìè æå ïàðàìåòðàìè, çà èñêëþ÷åíèåì äëèíû âàëà l �1 0, ì.
Ïðè êîëåáàíèÿõ ñ íèçêîé ÷àñòîòîé ïðåîáëàäàåò èçãèá âàëà ïî ïåðâîé êîîð-
äèíàòíîé ôóíêöèè. Íà ðèñ. 4,à ëèíèÿ 1 ÿâëÿåòñÿ ñêåëåòíîé êðèâîé äëÿ ðîòîðà
ñ îäíèì äèñêîì, êîëåáëþùåãîñÿ ïî ýòîé ôîðìå. Êàê îòìå÷àëîñü âûøå, ñèëû
îñåâîé è ðàäèàëüíîé ðåàêöèé øàðèêîïîäøèïíèêà âçàèìîñâÿçàíû. Ýòà ñâÿçü
äîëæíà ïðîÿâëÿòüñÿ, åñëè ðîòîð íåñèììåòðè÷åí îòíîñèòåëüíî ïîäøèïíèêîâ.
Ïîýòîìó ïðåäñòàâëÿåò èíòåðåñ çàâèñèìîñòü ôîðì êîëåáàíèé êàê îò êîëè-
÷åñòâà çàêðåïëåííûõ íà âàëó äèñêîâ, òàê è îò èõ ðàñïîëîæåíèÿ. Íà ðèñ. 4,à
ëèíèÿ 2 ÿâëÿåòñÿ ñêåëåòíîé êðèâîé äëÿ ðîòîðà ñ äâóìÿ äèñêàìè, êîòîðûå
ðàñïîëîæåíû íåñèììåòðè÷íî îòíîñèòåëüíî îïîð, êîëåáëþùåãîñÿ ïî ïåðâîé
ôîðìå, ëèíèè 3 è 4 – äëÿ ðîòîðà ñ òðåìÿ è ÷åòûðüìÿ äèñêàìè, ðàñïîëî-
æåííûìè ñèììåòðè÷íî îòíîñèòåëüíî îïîð. Ïîñêîëüêó èçãèáíàÿ æåñòêîñòü
âàëà ëèíåéíà è ìåíüøå ðàäèàëüíîé æåñòêîñòè ïîäøèïíèêîâ, âñå êðèâûå
áëèçêè ê ïðÿìûì ëèíèÿì, ïàðàëëåëüíûì îñè îðäèíàò.
Äëÿ îñòàëüíûõ ÍÍÔ íå íàáëþäàåòñÿ çàìåòíîå ïðåîáëàäàíèå êàêîãî-ëèáî
èç ïåðåìåùåíèé ñèñòåìû. Íà ðèñ. 4,á ïðåäñòàâëåíû ñêåëåòíûå êðèâûå äëÿ
òåõ æå ðîòîðîâ, êîëåáëþùèõñÿ ïî âòîðîé ôîðìå. Ïðè ñèììåòðè÷íîì ðàñïîëî-
Ðèñ. 2 Ðèñ. 3
Ðèñ. 2. Íåëèíåéíûå íîðìàëüíûå ôîðìû íåäåôîðìèðóåìîãî ðîòîðà.
Ðèñ. 3. Ñêåëåòíûå êðèâûå êîëåáàíèé íåäåôîðìèðóåìîãî ðîòîðà. (Íîìåð ëèíèè ñîîòâåòñòâóåò
íîìåðó ÍÍÔ.)
ISSN 0556-171X. Ïðîáëåìû ïðî÷íîñòè, 2013, ¹ 3 93
Ñâîáîäíûå íåëèíåéíûå êîëåáàíèÿ ìíîãîäèñêîâûõ ðîòîðîâ ...
æåíèè äèñêîâ íà âàëó â êîëåáëþùåéñÿ ñèñòåìå ïðåîáëàäàåò äåôîðìàöèÿ âàëà,
ò.å. ïîòåíöèàëüíàÿ ýíåðãèÿ äåôîðìàöèè ïîäøèïíèêà âíîñèò ìàëûé âêëàä â
ïîòåíöèàëüíóþ ýíåðãèþ ñèñòåìû, ïîýòîìó ñêåëåòíûå êðèâûå äëÿ ðîòîðà ñ
òðåìÿ è ÷åòûðüìÿ äèñêàìè áëèçêè ê ïðÿìûì ëèíèÿì, ïàðàëëåëüíûì îñè
îðäèíàò. Ïðè ðàñïîëîæåíèè äèñêîâ íåñèììåòðè÷íî îòíîñèòåëüíî îïîð ïîä-
øèïíèêè äåôîðìèðóþòñÿ íåîäèíàêîâî è âîçíèêàþò íåëèíåéíûå ïðîäîëü-
íûå êîëåáàíèÿ, ÷òî ñëåäóåò èç óðàâíåíèé (2). Ñ ðîñòîì àìïëèòóäû ÷àñòîòû
êîëåáàíèé óìåíüøàþòñÿ, òàê êàê êðèâèçíà êàíàâîê êà÷åíèÿ â øàðèêîïîäøèï-
íèêàõ ïåðåìåííàÿ, à øàðèêè ïåðåìåùàþòñÿ â îáëàñòü áîëüøåé êðèâèçíû
êîíòàêòèðóþùåé ïîâåðõíîñòè, ò.å. â îáëàñòü ìåíüøåé æåñòêîñòè çîíû êîí-
òàêòà.
Ïðè äîâîäêå îïûòíûõ îáðàçöîâ àâèàöèîííîé òåõíèêè ÷àñòî âîçíèêàåò
íåîáõîäèìîñòü èçìåíèòü íåêîòîðûå ïàðàìåòðû ñ ñîõðàíåíèåì îáùåé êîìïî-
íîâêè è ãàáàðèòîâ. Ïîýòîìó çàêîíîìåðåí âîïðîñ î âàðüèðîâàíèè æåñòêîñòüþ
øàðèêîïîäøèïíèêîâ ïðè çàäàííûõ ãàáàðèòàõ. ÃÎÑÒîì 831-75 ïðåäóñìîò-
ðåíû ïîäøèïíèêè ñ óãëàìè �, ðàâíûìè 12, 15, 26, 36 è 40( . Íà ðèñ. 5,à
à á
Ðèñ. 4. Âëèÿíèå èíåðöèè äèñêîâ íà ïîëîæåíèå è ôîðìó ñêåëåòíûõ êðèâûõ êîëåáàíèé óïðóãîãî
ðîòîðà.
Ðèñ. 5. Âëèÿíèå óãëà êîíòàêòà íà ïîëîæåíèå è ôîðìó ñêåëåòíûõ êðèâûõ êîëåáàíèé ðîòîðà.
(Êðèâûå ïðîíóìåðîâàíû â ïîðÿäêå âîçðàñòàíèÿ óãëà �.)
94 ISSN 0556-171X. Ïðîáëåìû ïðî÷íîñòè, 2013, ¹ 3
Ñ. Â. Ôèëèïêîâñêèé, Ê. Â. Àâðàìîâ
à á â
ïîêàçàíû ñêåëåòíûå êðèâûå äëÿ íåäåôîðìèðóåìîãî ðîòîðà, êîëåáëþùåãîñÿ
ïî íèçøåé ôîðìå. ×åì áîëüøå óãîë �, òåì áîëüøå êðèâèçíà ïîâåðõíîñòè
êàíàâîê êà÷åíèÿ â çîíå êîíòàêòà è, ñëåäîâàòåëüíî, ìåíüøå æåñòêîñòü çîíû
êîíòàêòà è ÷àñòîòà. Íà ðèñ. 5,á ïîêàçàíû ñêåëåòíûå êðèâûå êîëåáàíèé ðîòîðà
ñ ó÷åòîì óïðóãîñòè âàëà ïî íèçøåé ôîðìå. Ïðè óâåëè÷åíèè óãëà � æåñò-
êîñòü ïîäøèïíèêîâ óìåíüøàåòñÿ äî ïîðÿäêà, áëèçêîãî ê ïîðÿäêó èçãèáíîé
æåñòêîñòè âàëà, â ðåçóëüòàòå ÷åãî íà÷èíàåò ïðîÿâëÿòüñÿ íåëèíåéíîñòü ñèñòå-
ìû. Íà ðèñ. 5,â ïðèâåäåíà çàâèñèìîñòü áåçðàçìåðíîãî ïàðàìåòðà � �2 1,
õàðàêòåðèçóþùåãî íåëèíåéíîñòü, îò óãëà �, ãäå ÷àñòîòû �1 è �2 ïîêàçàíû
äëÿ ëèíèè 5 íà ðèñ. 5,á. Ïðè ìàëûõ óãëàõ � íåëèíåéíîñòü áîëüøå, ÷òî îáóñ-
ëîâëåíî ôîðìîé êàíàâîê êà÷åíèÿ øàðèêîïîäøèïíèêîâ: ïðè äâèæåíèè òî÷êè
êîíòàêòà ïî ïîâåðõíîñòè êàíàâêè êà÷åíèÿ âáëèçè åå äíà êðèâèçíà ïîâåðõ-
íîñòè èçìåíÿåòñÿ áûñòðåå, ÷åì âáëèçè áîêîâîé ïîâåðõíîñòè ïîäøèïíèêà.
Çàêëþ÷åíèå. Ðàçðàáîòàíû ìîäåëü è ìåòîäèêà èññëåäîâàíèÿ íåëèíåéíûõ
êîëåáàíèé ìíîãîäèñêîâûõ ðîòîðîâ íà ïîäøèïíèêàõ êà÷åíèÿ, êîòîðàÿ çíà÷è-
òåëüíî óïðîùàåò âû÷èñëåíèå íåëèíåéíûõ ñâîáîäíûõ êîëåáàíèé. Àíàëèç ÍÍÔ
è ñêåëåòíûõ êðèâûõ ñèñòåìû ïîêàçûâàåò, ÷òî íàðÿäó ñ æåñòêîñòüþ ïîäøèïíè-
êîâ íåîáõîäèìî ó÷èòûâàòü èçãèáíóþ æåñòêîñòü âàëà è íåëèíåéíóþ âçàèìíóþ
çàâèñèìîñòü èçãèáíûõ è ïðîäîëüíûõ êîëåáàíèé. Ïðè êîëåáàíèÿõ ìíîãîäèñêî-
âûõ ðîòîðîâ íåëèíåéíîñòü ïðîÿâëÿåòñÿ ñóùåñòâåííåå íà ôîðìàõ ñ áîëüøèìè
÷àñòîòàìè è ïðè çàêðåïëåíèè äèñêîâ íåñèììåòðè÷íî îòíîñèòåëüíî îïîð.
Ð å ç þ ì å
Ðîçðîáëåíî ìîäåëü ³ ìåòîäèêó äîñë³äæåííÿ êîëèâàíü áàãàòîäèñêîâîãî ðîòîðà
íà äâîõ íåë³í³éíèõ îïîðàõ ³ç øàðèêîï³äøèïíèêàìè. Ó ìîäåë³ âðàõîâóþòüñÿ
ã³ðîñêîï³÷í³ ìîìåíòè, ùî ä³þòü íà äèñê, ³ ïðóæí³ âëàñòèâîñò³ âàëà. Êîëèâàí-
íÿ äîñë³äæóþòüñÿ çà äîïîìîãîþ íåë³í³éíèõ íîðìàëüíèõ ôîðì Øîó–Ï’ºððà.
Àíàë³çóþòüñÿ ñêåëåòí³ êðèâ³ êîëèâàíü ðîòîðà.
1. Äèìåíòáåðã Ô. Ì. Èçãèáíûå êîëåáàíèÿ âðàùàþùèõñÿ âàëîâ. – Ì.: Èçä-
âî ÀÍ ÑÑÑÐ, 1959. – 248 ñ.
2. Ôèëèïêîâñêèé Ñ. Â. Ðàñ÷åò äèíàìè÷åñêîãî íàïðÿæåííî-äåôîðìèðîâàííî-
ãî ñîñòîÿíèÿ ðîòîðà ïðè êðàòêîâðåìåííûõ ïîïåðå÷íûõ íàãðóæåíèÿõ //
Ïðîáë. ìàøèíîñòðîåíèÿ è íàäåæíîñòè ìàøèí. – 1991. – ¹ 1. – Ñ. 66 –
70.
3. Àâðàìîâ Ê. Â. Êîëåáàíèÿ îäíîäèñêîâîãî ðîòîðà íà íåëèíåéíûõ îïîðàõ //
Ïðèêë. ìåõàíèêà. – 2009. – ¹ 10. – Ñ. 96 – 106.
4. Àâðàìîâ Ê. Â. Ìîäåëü àâòîêîëåáàíèé îäíîäèñêîâîãî íåñèììåòðè÷íîãî
ðîòîðà // Ïðîáë. ïðî÷íîñòè. – 2010. – ¹ 4. – Ñ. 130 – 144.
5. Legrand M., Jiang D., Pierre C. E., and Shaw S. W. Nonlinear normal modes
of a rotating shaft based on the invariant manifold method // Int. J. Rotating
Machinery. – 2004. – 10, No. 4. – P. 319 – 335.
6. Àâðàìîâ Ê. Â., Ïüåðð Ê., Øèðÿåâà Í. Ñ. Íåëèíåéíûå íîðìàëüíûå ôîðìû
êîëåáàíèé ñèñòåì ñ ãèðîñêîïè÷åñêèìè ñèëàìè // Äîï. ÍÀÍ Óêðà¿íè. –
2006. – ¹ 1. – Ñ. 7 – 10.
ISSN 0556-171X. Ïðîáëåìû ïðî÷íîñòè, 2013, ¹ 3 95
Ñâîáîäíûå íåëèíåéíûå êîëåáàíèÿ ìíîãîäèñêîâûõ ðîòîðîâ ...
7. Ôèëèïêîâñêèé Ñ. Â., Àâðàìîâ Ê. Â. Êîëåáàíèÿ ðîòîðîâ íà íåëèíåéíûõ
îïîðàõ // Âåñòí. äâèãàòåëåñòðîåíèÿ. – 2009. – ¹ 3. – Ñ. 127 – 132.
8. Íîâèêîâ Ë. Ç. Îïðåäåëåíèå ñîáñòâåííûõ ÷àñòîò êîëåáàíèé ýëåêòðîäâèãà-
òåëÿ, ñâÿçàííûõ ñ íåëèíåéíîé óïðóãîñòüþ ïîäøèïíèêîâ // Èçâ. ÀÍ
ÑÑÑÐ. Ìåõàíèêà è ìàøèíîñòðîåíèå. – 1961. – ¹ 6. – Ñ. 84 – 91.
9. Äèííèê À. Í. Óäàð è ñæàòèå óïðóãèõ òåë. – Êèåâ: Èçä-âî ÀÍ ÓÑÑÐ, 1952.
– Ò. 1. – Ñ. 15 – 114.
10. Áàëüìîíò Â. Á., Äóáîâåöêèé Á. Î., Àâäååâ À. Ì., Ñåëåçíåâ Ã. Â. Î êîëåáà-
íèÿõ ìîìåíòà ñîïðîòèâëåíèÿ âðàùåíèþ øàðèêîïîäøèïíèêà // Ìàøèíî-
âåäåíèå. – 1988. – ¹ 3. – Ñ. 73 – 81.
11. Ïîçíÿê Ý. Ë., Ãëàäûøåâà Ò. Í., Êîâàëåâ Â. Á. Ìàÿòíèêîâûå êîëåáàíèÿ
íåñèììåòðè÷íîãî æåñòêîãî ðîòîðà â ïîäøèïíèêàõ ñ çàçîðàìè // Ïðîáë.
ìàøèíîñòðîåíèÿ è íàäåæíîñòè ìàøèí. – 1990. – ¹ 4. – Ñ. 33 – 40.
12. Àâðàìîâ Ê. Â., Ìèõëèí Þ. Â. Íåëèíåéíàÿ äèíàìèêà óïðóãèõ ñèñòåì. Ò. 1.
Ìîäåëè, ìåòîäû, ÿâëåíèÿ. – Ì.; Èæåâñê: Èí-ò êîìïüþòåðíûõ èññëå-
äîâàíèé, 2010. – 704 ñ.
13. Õàÿñè Ò. Íåëèíåéíûå êîëåáàíèÿ â ôèçè÷åñêèõ ñèñòåìàõ. – Ì.: Ìèð,
1968. – 432 ñ.
Ïîñòóïèëà 10. 06. 2012
96 ISSN 0556-171X. Ïðîáëåìû ïðî÷íîñòè, 2013, ¹ 3
Ñ. Â. Ôèëèïêîâñêèé, Ê. Â. Àâðàìîâ
<<
/ASCII85EncodePages false
/AllowTransparency false
/AutoPositionEPSFiles true
/AutoRotatePages /All
/Binding /Left
/CalGrayProfile (Dot Gain 20%)
/CalRGBProfile (sRGB IEC61966-2.1)
/CalCMYKProfile (U.S. Web Coated \050SWOP\051 v2)
/sRGBProfile (sRGB IEC61966-2.1)
/CannotEmbedFontPolicy /Warning
/CompatibilityLevel 1.4
/CompressObjects /Tags
/CompressPages true
/ConvertImagesToIndexed true
/PassThroughJPEGImages true
/CreateJDFFile false
/CreateJobTicket false
/DefaultRenderingIntent /Default
/DetectBlends true
/DetectCurves 0.0000
/ColorConversionStrategy /LeaveColorUnchanged
/DoThumbnails false
/EmbedAllFonts true
/EmbedOpenType false
/ParseICCProfilesInComments true
/EmbedJobOptions true
/DSCReportingLevel 0
/EmitDSCWarnings false
/EndPage -1
/ImageMemory 1048576
/LockDistillerParams false
/MaxSubsetPct 100
/Optimize true
/OPM 1
/ParseDSCComments true
/ParseDSCCommentsForDocInfo true
/PreserveCopyPage true
/PreserveDICMYKValues true
/PreserveEPSInfo true
/PreserveFlatness true
/PreserveHalftoneInfo false
/PreserveOPIComments false
/PreserveOverprintSettings true
/StartPage 1
/SubsetFonts true
/TransferFunctionInfo /Apply
/UCRandBGInfo /Preserve
/UsePrologue false
/ColorSettingsFile ()
/AlwaysEmbed [ true
]
/NeverEmbed [ true
]
/AntiAliasColorImages false
/CropColorImages true
/ColorImageMinResolution 300
/ColorImageMinResolutionPolicy /OK
/DownsampleColorImages true
/ColorImageDownsampleType /Bicubic
/ColorImageResolution 300
/ColorImageDepth -1
/ColorImageMinDownsampleDepth 1
/ColorImageDownsampleThreshold 1.50000
/EncodeColorImages true
/ColorImageFilter /DCTEncode
/AutoFilterColorImages true
/ColorImageAutoFilterStrategy /JPEG
/ColorACSImageDict <<
/QFactor 0.15
/HSamples [1 1 1 1] /VSamples [1 1 1 1]
>>
/ColorImageDict <<
/QFactor 0.15
/HSamples [1 1 1 1] /VSamples [1 1 1 1]
>>
/JPEG2000ColorACSImageDict <<
/TileWidth 256
/TileHeight 256
/Quality 30
>>
/JPEG2000ColorImageDict <<
/TileWidth 256
/TileHeight 256
/Quality 30
>>
/AntiAliasGrayImages false
/CropGrayImages true
/GrayImageMinResolution 300
/GrayImageMinResolutionPolicy /OK
/DownsampleGrayImages true
/GrayImageDownsampleType /Bicubic
/GrayImageResolution 300
/GrayImageDepth -1
/GrayImageMinDownsampleDepth 2
/GrayImageDownsampleThreshold 1.50000
/EncodeGrayImages true
/GrayImageFilter /DCTEncode
/AutoFilterGrayImages true
/GrayImageAutoFilterStrategy /JPEG
/GrayACSImageDict <<
/QFactor 0.15
/HSamples [1 1 1 1] /VSamples [1 1 1 1]
>>
/GrayImageDict <<
/QFactor 0.15
/HSamples [1 1 1 1] /VSamples [1 1 1 1]
>>
/JPEG2000GrayACSImageDict <<
/TileWidth 256
/TileHeight 256
/Quality 30
>>
/JPEG2000GrayImageDict <<
/TileWidth 256
/TileHeight 256
/Quality 30
>>
/AntiAliasMonoImages false
/CropMonoImages true
/MonoImageMinResolution 1200
/MonoImageMinResolutionPolicy /OK
/DownsampleMonoImages true
/MonoImageDownsampleType /Bicubic
/MonoImageResolution 1200
/MonoImageDepth -1
/MonoImageDownsampleThreshold 1.50000
/EncodeMonoImages true
/MonoImageFilter /CCITTFaxEncode
/MonoImageDict <<
/K -1
>>
/AllowPSXObjects false
/CheckCompliance [
/None
]
/PDFX1aCheck false
/PDFX3Check false
/PDFXCompliantPDFOnly false
/PDFXNoTrimBoxError true
/PDFXTrimBoxToMediaBoxOffset [
0.00000
0.00000
0.00000
0.00000
]
/PDFXSetBleedBoxToMediaBox true
/PDFXBleedBoxToTrimBoxOffset [
0.00000
0.00000
0.00000
0.00000
]
/PDFXOutputIntentProfile ()
/PDFXOutputConditionIdentifier ()
/PDFXOutputCondition ()
/PDFXRegistryName ()
/PDFXTrapped /False
/Description <<
/CHS <FEFF4f7f75288fd94e9b8bbe5b9a521b5efa7684002000500044004600206587686353ef901a8fc7684c976262535370673a548c002000700072006f006f00660065007200208fdb884c9ad88d2891cf62535370300260a853ef4ee54f7f75280020004100630072006f0062006100740020548c002000410064006f00620065002000520065006100640065007200200035002e003000204ee553ca66f49ad87248672c676562535f00521b5efa768400200050004400460020658768633002>
/CHT <FEFF4f7f752890194e9b8a2d7f6e5efa7acb7684002000410064006f006200650020005000440046002065874ef653ef5728684c9762537088686a5f548c002000700072006f006f00660065007200204e0a73725f979ad854c18cea7684521753706548679c300260a853ef4ee54f7f75280020004100630072006f0062006100740020548c002000410064006f00620065002000520065006100640065007200200035002e003000204ee553ca66f49ad87248672c4f86958b555f5df25efa7acb76840020005000440046002065874ef63002>
/DAN <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>
/DEU <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>
/ESP <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>
/FRA <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>
/ITA <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>
/JPN <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>
/KOR <FEFFc7740020c124c815c7440020c0acc6a9d558c5ec0020b370c2a4d06cd0d10020d504b9b0d1300020bc0f0020ad50c815ae30c5d0c11c0020ace0d488c9c8b85c0020c778c1c4d560002000410064006f0062006500200050004400460020bb38c11cb97c0020c791c131d569b2c8b2e4002e0020c774b807ac8c0020c791c131b41c00200050004400460020bb38c11cb2940020004100630072006f0062006100740020bc0f002000410064006f00620065002000520065006100640065007200200035002e00300020c774c0c1c5d0c11c0020c5f40020c2180020c788c2b5b2c8b2e4002e>
/NLD (Gebruik deze instellingen om Adobe PDF-documenten te maken voor kwaliteitsafdrukken op desktopprinters en proofers. De gemaakte PDF-documenten kunnen worden geopend met Acrobat en Adobe Reader 5.0 en hoger.)
/NOR <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>
/PTB <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>
/SUO <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>
/SVE <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>
/ENU (Use these settings to create Adobe PDF documents for quality printing on desktop printers and proofers. Created PDF documents can be opened with Acrobat and Adobe Reader 5.0 and later.)
>>
/Namespace [
(Adobe)
(Common)
(1.0)
]
/OtherNamespaces [
<<
/AsReaderSpreads false
/CropImagesToFrames true
/ErrorControl /WarnAndContinue
/FlattenerIgnoreSpreadOverrides false
/IncludeGuidesGrids false
/IncludeNonPrinting false
/IncludeSlug false
/Namespace [
(Adobe)
(InDesign)
(4.0)
]
/OmitPlacedBitmaps false
/OmitPlacedEPS false
/OmitPlacedPDF false
/SimulateOverprint /Legacy
>>
<<
/AddBleedMarks false
/AddColorBars false
/AddCropMarks false
/AddPageInfo false
/AddRegMarks false
/ConvertColors /NoConversion
/DestinationProfileName ()
/DestinationProfileSelector /NA
/Downsample16BitImages true
/FlattenerPreset <<
/PresetSelector /MediumResolution
>>
/FormElements false
/GenerateStructure true
/IncludeBookmarks false
/IncludeHyperlinks false
/IncludeInteractive false
/IncludeLayers false
/IncludeProfiles true
/MultimediaHandling /UseObjectSettings
/Namespace [
(Adobe)
(CreativeSuite)
(2.0)
]
/PDFXOutputIntentProfileSelector /NA
/PreserveEditing true
/UntaggedCMYKHandling /LeaveUntagged
/UntaggedRGBHandling /LeaveUntagged
/UseDocumentBleed false
>>
]
>> setdistillerparams
<<
/HWResolution [2400 2400]
/PageSize [612.000 792.000]
>> setpagedevice
|