Beam dynamics optimization in electrostatic field

The problem of optimization of charged particle beam dynamics in an axially symmetric electric field is considered. The complex potential is represented as a Cauchy integral of a function defined on the boundary of the region and considered as the control function. Using a complex representation all...

Повний опис

Збережено в:

Бібліографічні деталі
Дата:	2013
Автор:	Ovsyannikov, A.D.
Формат:	Стаття
Мова:	English
Опубліковано:	Національний науковий центр «Харківський фізико-технічний інститут» НАН України 2013
Назва видання:	Вопросы атомной науки и техники
Теми:	Новые методы ускорения заряженных частиц
Онлайн доступ:	http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/111928
Теги:	Додати тег Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
Назва журналу:	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
Цитувати:	Beam dynamics optimization in electrostatic field / A.D. Ovsyannikov // Вопросы атомной науки и техники. — 2013. — № 4. — С. 90-92. — Бібліогр.: 11 назв. — англ.

Репозитарії

Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine

id	irk-123456789-111928
record_format	dspace
spelling	irk-123456789-1119282017-01-16T03:02:58Z Beam dynamics optimization in electrostatic field Ovsyannikov, A.D. Новые методы ускорения заряженных частиц The problem of optimization of charged particle beam dynamics in an axially symmetric electric field is considered. The complex potential is represented as a Cauchy integral of a function defined on the boundary of the region and considered as the control function. Using a complex representation allows to get the explicit form of the field strength inside the area dependency on the control function and obtain the necessary optimality conditions for the entered functional. Сучасні вимоги до прискорювальної техніки, до параметрів прискорючого пучка заряджених частинок вимагають і нових підходів до розрахунку прискорючих і фокусуючих структур на стадії проектування. У даній роботі розглядається задача оптимізації динаміки пучка заряджених частинок в аксіально- симетричному електричному полі. Комплексний потенціал представляється у вигляді інтеграла типу Коші від функції, заданої на межі області і розглядається в якості керуючої функції. Використання комплексного уявлення дозволяє отримати явний вигляд залежностей напруженості поля в середині області від керуючої функції і отримати необхідні умови оптимальності для введеного функціоналу. Современные требования к ускорительной технике, к параметрам ускоряемого пучка заряженных частиц требуют и новых подходов к расчету ускоряющих и фокусирующих структур на стадии проектирования. В данной работе рассматривается задача оптимизации динамики пучка заряженных частиц в аксиально- симметрическом электрическом поле. Комплексный потенциал представляется в виде интеграла типа Коши от функции, заданной на границе области и рассматриваемой в качестве управляющей функции. Использование комплексного представления позволяет получить явный вид зависимостей напряженности поля внутри области от управляющей функции и получить необходимые условия оптимальности для введенного функционала. 2013 Article Beam dynamics optimization in electrostatic field / A.D. Ovsyannikov // Вопросы атомной науки и техники. — 2013. — № 4. — С. 90-92. — Бібліогр.: 11 назв. — англ. 1562-6016 PACS: 29.20.-c; 29.27.Bd http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/111928 en Вопросы атомной науки и техники Національний науковий центр «Харківський фізико-технічний інститут» НАН України
institution	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
collection	DSpace DC
language	English
topic	Новые методы ускорения заряженных частиц Новые методы ускорения заряженных частиц
spellingShingle	Новые методы ускорения заряженных частиц Новые методы ускорения заряженных частиц Ovsyannikov, A.D. Beam dynamics optimization in electrostatic field Вопросы атомной науки и техники
description	The problem of optimization of charged particle beam dynamics in an axially symmetric electric field is considered. The complex potential is represented as a Cauchy integral of a function defined on the boundary of the region and considered as the control function. Using a complex representation allows to get the explicit form of the field strength inside the area dependency on the control function and obtain the necessary optimality conditions for the entered functional.
format	Article
author	Ovsyannikov, A.D.
author_facet	Ovsyannikov, A.D.
author_sort	Ovsyannikov, A.D.
title	Beam dynamics optimization in electrostatic field
title_short	Beam dynamics optimization in electrostatic field
title_full	Beam dynamics optimization in electrostatic field
title_fullStr	Beam dynamics optimization in electrostatic field
title_full_unstemmed	Beam dynamics optimization in electrostatic field
title_sort	beam dynamics optimization in electrostatic field
publisher	Національний науковий центр «Харківський фізико-технічний інститут» НАН України
publishDate	2013
topic_facet	Новые методы ускорения заряженных частиц
url	http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/111928
citation_txt	Beam dynamics optimization in electrostatic field / A.D. Ovsyannikov // Вопросы атомной науки и техники. — 2013. — № 4. — С. 90-92. — Бібліогр.: 11 назв. — англ.
series	Вопросы атомной науки и техники
work_keys_str_mv	AT ovsyannikovad beamdynamicsoptimizationinelectrostaticfield
first_indexed	2025-07-08T02:54:34Z
last_indexed	2025-07-08T02:54:34Z
_version_	1837045671964704768
fulltext	ISSN 1562-6016. ВАНТ. 2013. №4(86) 90 BEAM DYNAMICS OPTIMIZATION IN ELECTROSTATIC FIELD A.D. Ovsyannikov Saint-Petersburg State University, Saint-Petersburg, Russia E-mail: ovs74@mail.ru The problem of optimization of charged particle beam dynamics in an axially symmetric electric field is consid- ered. The complex potential is represented as a Cauchy integral of a function defined on the boundary of the region and considered as the control function. Using a complex representation allows to get the explicit form of the field strength inside the area dependency on the control function and obtain the necessary optimality conditions for the entered functional. PACS: 29.20.-c; 29.27.Bd 1. PROBLEM STATEMENT Modern requirements to the accelerator technology and the parameters of the accelerated beam of charged particles require new approaches to the calculation of the accelerating and focusing structures at the design stage. Many works [1 - 8] are devoted to the problems of optimization of the dynamics of charged particles in electromagnetic fields. In particular, in works [9 - 10] electrostatic injectors for linear accelerator were inves- tigated. Geometric parameters of systems and the poten- tial values at the electrodes were considered as optimi- zation parameters. However, these studies are not given analytical representations of variations in the optimized parameters. In this paper, the problem of optimization of beam dynamics of charged particles in the axial- symmetric electric field is considered. Analytical repre- sentation of variation is found and the optimality condi- tions are formulated. In a simply connected bounded area G let us con- sider dynamics of charged particles described by a sys- tem of ordinary differential equations: ( )ϕ,, zrEr r=&& , (1) ( )ϕ,, zrEz z=&& . (2) Note that the field intensity in the equations (1) and (2) is defined by specifying the function ϕ of the curve L . Here L − boundary of area G , assumed to be smooth closed curve, and the function ϕ is defined and continuous on the curve L , and satisfies the Hölder condition [11]: ( ) ( ) νηηηϕηϕ 2121 −≤− M , 0>ν , 0>M . (3) In this case, the complex potential of the field is rep- resented as a Cauchy integral [11]: ( ) ( ) ∫ − = L d i F η ξη ηϕ π ϕξ 2 1, . (4) Here Gzir ∈⋅+=ξ , Lyix ∈⋅+=η . Here and further the real plane 2R will be identified with the complex plane C . The complex potential is an analytic function de- fined in a domain G , and its real and imaginary parts are harmonic functions of real variables r and z . Let us consider the function FU Re= as defining a potential electric field in the region G . Then the electric field intensity is given by ( ) ( ) ( )∫ − −= ∂ ∂ −=⋅− L zr d i FEiE η ξη ηϕ πξ ϕξ 22 1, . (5) Note that the dynamic equation (1), (2) may be con- verted to the form: ( ) ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ ∂ ∂ −= ξ ϕξ ξ ,F&& , (6) where zir &&& ⋅+=ξ и zir &&&&&& ⋅+=ξ , bar over the right- hand side denotes the complex conjugate. For convenience we introduce the vector of phase variables ( )Tzzrr && ,,,=a . Equations (1) and (2) we will consider with the ini- tial conditions ( ) ( ) 4 000000 ,,,0 RMvzvr T zr ⊂∈== aa , (7) where 0M a compact set such that for any point ( ) 00 M∈a satisfies ( ) Gzir ∈⋅+ 00 . Function ϕ will be referred to hereafter as boundary control or simply control. The class of admissible con- trols D is the set of continuous functions ϕ on a curve L satisfying the Hölder condition (3) and such that ( ) Φ∈ηϕ when L∈η , where Φ is a convex compact set in the complex plane. We assume further that the solutions of system (1), (2) are defined and are unique to some fixed interval [ ]T,0 , for all initial conditions (7) and for all admissible controls. On the trajectories of the system (1), (2), we intro- duce the functional of quality of the form ( ) ( ) ( ) T TM Tt T tM t dqdtdtpI aaaa ∫∫ ∫ += ϕϕ ϕ ,0 , , . (8) Here p and q are given non-negative, continuously differentiable functions, ( )ϕ,, 0aaa tt = is a vector of phase variables corresponding to the solution of system (1), (2) at the time t with the selected control function ϕ on a curve L and the initial condition (7). Set ϕ,tM is a section of the beam of trajectories of the system (1), (2) coming from the initial set 0M at the time t with the given control functionϕ . Let us consider further the minimization of the func- tional on the admissible class of controls. Let ϕ is an admissible control. Variation of the control ϕΔ is ad- missible if the control ϕϕϕ Δ+=~ is also admissible control. ISSN 1562-6016. ВАНТ. 2013. №4(86) 91 2. VARIATION OF FUNCTIONAL Variation functional (8) with admissible variation of the control function ϕ such that ( ) 0max →Δ=Δ ∈ ηϕϕ η L , can be represented as follows: ( ) ( ) ( ) ( )( ) . ,2 1,Re 0 , 2∫ ∫ ∫ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ − Δ ⋅= =Δ T t tM L t t dtdd ti t I a a a ϕ η ξη ηϕ π λ ϕδ (9) This complex function λ satisfies the following complex system defined on the trajectories of the sys- tem (1), (2) ( ) , ,, 2 2 ρσλ θλ ξ ϕξσ +−= +⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ ∂ ∂ = & & F (10) with terminal conditions ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) , , 42 31 a qi a qT a qi a qT TT TT ∂ ∂ − ∂ ∂ −= ∂ ∂ − ∂ ∂ −= aa aa λ σ (11) where 31 a pi a p ∂ ∂ ⋅+ ∂ ∂ =θ , 42 a pi a p ∂ ∂ ⋅+ ∂ ∂ =ρ . 3. NECESSARY EXTREMUM CONDITIONS Let the boundary L has the following parameteriza- tion: ( ) ( ) ( )syisxs ⋅+== χη , [ ]Ss ,0∈ . (12) Then the integral over the complex circuit in the for- mula (9) may be replaced by definite integral. The result is ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( ) . ,2 1,Re 0 , 0 2∫ ∫ ∫ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ − Δ =Δ T tM t S t t dtd ts dsss i t I ϕ ξχ χχϕ π λ ϕδ a a a & (13) By changing the order of integration in (13), we ob- tain: ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )( ) ( ) ( )∫ ∫ ∫ ∫ Δ= ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ − Δ = =Δ S S t T tM t t dssss dsdtd ts tss i I 0 0 0 , 2 .Re , , 2 1Re ωχχϕ ξχ λχχϕ π ϕδ ϕ & & a a a (14) Here ( ) ( ) ( ) ( )( )∫ ∫ − = T t tM t t dtd ts t i s 0 , 2, , 2 1 a a a ϕ ξχ λ π ω . Theorem 1. Let 0ϕ minimizes the functional (8). Then for any admissible variation of control function ϕΔ the functional variation is non-negative ( ) ( )( ) ( ) ( )∫ ≥Δ=Δ S dssssI 0 0 0Re, ωχχϕϕϕδ & . Proof. Assume that there is an admissible varia- tion ϕΔ such that ( ) 0,0 <ΔϕϕδI . Variation of control is 0 ~ ϕϕϕ −=Δ , where ϕ~ is admissible control. Since Φ the convex set then the control ϕεϕϕε Δ+= 0 will also be permitted, where [ ]1,0∈ε . From the representa- tion of variation (9) follows that ( ) ( )ϕϕεδϕεϕδ Δ=Δ ,, 00 II . Thus ( ) ( ) ( )εϕϕεδϕεϕ oII +Δ=ΔΔ ,, 00 . It is clear that for sufficiently small ε , we obtain 0<ΔI that contrary to the assumption that the con- trol 0ϕ provides a minimum of the functional (8). Theorem 2. Let the 0ϕ minimizes the functional (8). Then for any admissible variation ϕΔ ( )( ) ( ) ( )[ ] 0Re ≥⋅Δ sss ωχχϕ & for all [ ]Ss ,0∈ . Proof. Suppose this is not the case. Then there is ( )Ss ,00 ∈ that ( )( ) ( ) ( )[ ] 0Re 000 <⋅Δ sss ωχχϕ & at some admissible variation ϕΔ . By continuity there will be an interval [ ]21, ss containing inside point 0s and such that ( )( ) ( ) ( )[ ] 0Re <⋅Δ sss ωχχϕ & , (15) For all [ ]21 , sss∈ . We choose a neighborhood of point ( )00 sχη = so small that to get into it could only points of the curve L corresponding to the parameter s values within the in- terval [ ]21, ss , and the points of intersection of the circle R=− 0ηη with the curve there were only two. Denote the resulting neighborhood ( ) { }RSR ≤−= 00 ηηη . We construct the variation of the control function in the following way ( )( ) ( ) ( )( )RsKss ,,~ 0ηηϕηϕ Δ=Δ , where ( ) ( ) ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ >− ≤−−− = . ,0 ; ,1 ,, 00 00 22 0 2 04 000 rzz rzzrzz rrzzK The function K takes real values of the range [ ]1,0 . It is easy to see that the introduced variation will be valid. With this choice of variation of control obviously be violated condition of Theorem 1: ( )( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ,0,,Re ,,Re ~Re 4 3 0 0 0 0 <⋅Δ= =⋅Δ= =⋅Δ ∫ ∫ ∫ s s S S dsRssKsss dsRssKsss dssss χχωχχϕ χχωχχϕ ωχχϕ & & & where 3s and 4s correspond to the points of intersection of the curve L with the circle R=− 0ηη . Hence 0ϕ cannot deliver the minimum of the functional (8). This contradiction proves the theorem. Remark. Obtained results obviously can be ex- tended to the case of piecewise smooth boundary of area G . ISSN 1562-6016. ВАНТ. 2013. №4(86) 92 CONCLUSIONS In this paper a new approach to optimization prob- lems in electrostatic axially symmetric field was pro- posed. Analytical representation for the variation of the optimized functional and the necessary optimality con- ditions are found. On the basis of the expression for the variation of the functional can be built directed methods of optimization. Various practical implementations of fields obtained in the optimization process are possible. ACKNOWLEDGEMENT This work was supported by Saint-Petersburg State University, scientific research project 9.38.673.2013. REFERENCES 1. D.A. Ovsyannikov, A.D. Ovsyannikov, Yu.A. Svis- tunov, A.P. Durkin, M.F. Vorogushin. Beam dynam- ics optimization: models, methods and applications // Nuclear Instruments and Methods in Physics Re- search, section A 558. 2006, p. 11-19. 2. A.D. Ovsyannikov. Transverse motion parameters optimization in accelerators // Problems of Atomic Science and Technology. 2012, p. 74-77. 3. Yu.A. Svistunov, A.D. Ovsyannikov. Designing of compact accelerating structures for applied com- plexes with accelerators // Problems of Atomic Sci- ence and Technology. 2011, p. 48-51. 4. B. Bondarev, A. Durkin, Y. Ivanov, I. Shumakov, S. Vinogradov, A. Ovsyannikov, D. Ovsyannikov. The LIDOS. RFQ. Designer development // Pro- ceedings of Particle Accelerator Conference 2001. 2001, v. 4, p. 2947-2949. 5. A.D. Ovsyannikov, D.A. Ovsyannikov, S.-L. Chung. Optimization of a radial matching section // Interna- tional Journal of Modern Physics A. 2009, v. 24, is- sue 5, p. 952-958. 6. A.D. Ovsyannikov, D.A. Ovsyannikov, A.P. Durkin, S.-L. Chung. Optimization of matching section of an accelerator with a spatially uniform quadrupole focusing // Technical Physics, The Russian Journal of Applied Physics (11). 2009, v. 54, p. 1663-1666. 7. D.A. Ovsyannikov, A.D. Ovsyannikov, I.V. Antro- pov, V.A. Kozynchenko. BDO-RFQ code and op- timization models // Proceedings of International Conference Physics and Control. 2005, p. 282-288. 8. D.A. Ovsyannikov, V.G. Papkovich. On calculation of accelerating structures with focusing by acceler- ating field // Problems of Atomic Science and Tech- nology. 1977, № 2(3), p. 66-68. 9. S.A. Kozynchenko, D.A. Ovsyannikov. Optimiza- tion mathematical models of beam dynamics in the injection systems with real geometry // 4th Interna- tional Scientific Conference on Physics and Con- trol, PhysCon 2009, 1-4 September 2009, Catania, Italy. (www.physcon 2009.diees.unit.it) 10. S.A. Kozynchenko, Yu.A. Svistunov. Application of field and dynamics code to LEBT optimization // Nuclear Instruments and Methods in Physics Re- search, section A 558. 2006, p. 295-298. 11. A. Hurwits, R. Courant. Functions theory. Mos- kow: «Nauka». 1968, 648 p. Article received 25.05.2013. ОПТИМИЗАЦИЯ ДИНАМИКИ ПУЧКА В ЭЛЕКТРОСТАТИЧЕСКОМ ПОЛЕ А.Д. Овсянников Современные требования к ускорительной технике, к параметрам ускоряемого пучка заряженных частиц требуют и новых подходов к расчету ускоряющих и фокусирующих структур на стадии проектирования. В данной работе рассматривается задача оптимизации динамики пучка заряженных частиц в аксиально- симметрическом электрическом поле. Комплексный потенциал представляется в виде интеграла типа Коши от функции, заданной на границе области и рассматриваемой в качестве управляющей функции. Использо- вание комплексного представления позволяет получить явный вид зависимостей напряженности поля внут- ри области от управляющей функции и получить необходимые условия оптимальности для введенного функционала. ОПТИМІЗАЦІЯ ДИНАМІКИ ПУЧКА В ЕЛЕКТРОСТАТИЧНОМУ ПОЛІ О.Д. Овсянников Сучасні вимоги до прискорювальної техніки, до параметрів прискорючого пучка заряджених частинок вимагають і нових підходів до розрахунку прискорючих і фокусуючих структур на стадії проектування. У даній роботі розглядається задача оптимізації динаміки пучка заряджених частинок в аксіально- симетричному електричному полі. Комплексний потенціал представляється у вигляді інтеграла типу Коші від функції, заданої на межі області і розглядається в якості керуючої функції. Використання комплексного уявлення дозволяє отримати явний вигляд залежностей напруженості поля в середині області від керуючої функції і отримати необхідні умови оптимальності для введеного функціоналу.

Beam dynamics optimization in electrostatic field

Репозитарії

Схожі ресурси