Динамика круглых трехслойных пластин на упругом основании при осесимметричном нагружении

Рассмотрены осесимметричные поперечные колебания круглой трехслойной пластины с легким заполнителем на упругом основании под действием внезапно приложенных и импульсных поверхностных нагрузок. Реакция основания описывается моделью Винклера. Для анализа кинематики несимметричного по толщине пакета...

Ausführliche Beschreibung

Gespeichert in:

Bibliographische Detailangaben
Datum:	2010
Hauptverfasser:	Старовойтов, Э.И., Леоненко, Д.В.
Format:	Artikel
Sprache:	Russian
Veröffentlicht:	Інститут проблем міцності ім. Г.С. Писаренко НАН України 2010
Schriftenreihe:	Проблемы прочности
Schlagworte:	Научно-технический раздел
Online Zugang:	http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/111975
Tags:	Tag hinzufügen Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
Назва журналу:	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
Zitieren:	Э.И. Старовойтов, Д.В. Леоненко / Динамика круглых трехслойных пластин на упругом основании при осесимметричном нагружении // Проблемы прочности. — 2010. — № 3. — С. 113-124. — Бібліогр.: 12 назв. — рос.

Institution

Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine

id	irk-123456789-111975
record_format	dspace
spelling	irk-123456789-1119752017-01-17T03:03:03Z Динамика круглых трехслойных пластин на упругом основании при осесимметричном нагружении Старовойтов, Э.И. Леоненко, Д.В. Научно-технический раздел Рассмотрены осесимметричные поперечные колебания круглой трехслойной пластины с легким заполнителем на упругом основании под действием внезапно приложенных и импульсных поверхностных нагрузок. Реакция основания описывается моделью Винклера. Для анализа кинематики несимметричного по толщине пакета приняты гипотезы ломаной нормали. Аналитические решения получены с использованием системы функций Хевисайда и функции Дирака. Проведены численные расчеты и сравнительный анализ полученных решений. Розглянуто вісесиметричні поперечні коливання круглої тришарової пластини з легким заповнювачем на пружній основі під дією раптово прикладеного й імпульсного поверхневого навантаження. Реакція основи описується моделлю Вінклера. Для аналізу кінематики несиметричного по товщині пакета прийнято гіпотези ломаної нормалі. Аналітичний розв’язок отримано з використанням системи функцій Хевісайда і -функції Дірака. Проведено числові розрахунки та порівняльний аналіз отриманих рішень. 2010 Article Э.И. Старовойтов, Д.В. Леоненко / Динамика круглых трехслойных пластин на упругом основании при осесимметричном нагружении // Проблемы прочности. — 2010. — № 3. — С. 113-124. — Бібліогр.: 12 назв. — рос. 0556-171X http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/111975 539.3 ru Проблемы прочности Інститут проблем міцності ім. Г.С. Писаренко НАН України
institution	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
collection	DSpace DC
language	Russian
topic	Научно-технический раздел Научно-технический раздел
spellingShingle	Научно-технический раздел Научно-технический раздел Старовойтов, Э.И. Леоненко, Д.В. Динамика круглых трехслойных пластин на упругом основании при осесимметричном нагружении Проблемы прочности
description	Рассмотрены осесимметричные поперечные колебания круглой трехслойной пластины с легким заполнителем на упругом основании под действием внезапно приложенных и импульсных поверхностных нагрузок. Реакция основания описывается моделью Винклера. Для анализа кинематики несимметричного по толщине пакета приняты гипотезы ломаной нормали. Аналитические решения получены с использованием системы функций Хевисайда и функции Дирака. Проведены численные расчеты и сравнительный анализ полученных решений.
format	Article
author	Старовойтов, Э.И. Леоненко, Д.В.
author_facet	Старовойтов, Э.И. Леоненко, Д.В.
author_sort	Старовойтов, Э.И.
title	Динамика круглых трехслойных пластин на упругом основании при осесимметричном нагружении
title_short	Динамика круглых трехслойных пластин на упругом основании при осесимметричном нагружении
title_full	Динамика круглых трехслойных пластин на упругом основании при осесимметричном нагружении
title_fullStr	Динамика круглых трехслойных пластин на упругом основании при осесимметричном нагружении
title_full_unstemmed	Динамика круглых трехслойных пластин на упругом основании при осесимметричном нагружении
title_sort	динамика круглых трехслойных пластин на упругом основании при осесимметричном нагружении
publisher	Інститут проблем міцності ім. Г.С. Писаренко НАН України
publishDate	2010
topic_facet	Научно-технический раздел
url	http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/111975
citation_txt	Э.И. Старовойтов, Д.В. Леоненко / Динамика круглых трехслойных пластин на упругом основании при осесимметричном нагружении // Проблемы прочности. — 2010. — № 3. — С. 113-124. — Бібліогр.: 12 назв. — рос.
series	Проблемы прочности
work_keys_str_mv	AT starovojtovéi dinamikakruglyhtrehslojnyhplastinnauprugomosnovaniipriosesimmetričnomnagruženii AT leonenkodv dinamikakruglyhtrehslojnyhplastinnauprugomosnovaniipriosesimmetričnomnagruženii
first_indexed	2025-07-08T03:07:04Z
last_indexed	2025-07-08T03:07:04Z
_version_	1837046458596982784
fulltext	ÓÄÊ 539.3 Äèíàìèêà êðóãëûõ òðåõñëîéíûõ ïëàñòèí íà óïðóãîì îñíîâàíèè ïðè îñåñèììåòðè÷íîì íàãðóæåíèè Ý. È. Ñòàðîâîéòîâ, Ä. Â. Ëåîíåíêî Áåëîðóññêèé ãîñóäàðñòâåííûé óíèâåðñèòåò òðàíñïîðòà, Ãîìåëü, Áåëàðóñü Ðàññìîòðåíû îñåñèììåòðè÷íûå ïîïåðå÷íûå êîëåáàíèÿ êðóãëîé òðåõñëîéíîé ïëàñòèíû ñ ëåãêèì çàïîëíèòåëåì íà óïðóãîì îñíîâàíèè ïîä äåéñòâèåì âíåçàïíî ïðèëîæåííûõ è èìïóëüñ- íûõ ïîâåðõíîñòíûõ íàãðóçîê. Ðåàêöèÿ îñíîâàíèÿ îïèñûâàåòñÿ ìîäåëüþ Âèíêëåðà. Äëÿ àíàëèçà êèíåìàòèêè íåñèììåòðè÷íîãî ïî òîëùèíå ïàêåòà ïðèíÿòû ãèïîòåçû ëîìàíîé íîðìàëè. Àíàëèòè÷åñêèå ðåøåíèÿ ïîëó÷åíû ñ èñïîëüçîâàíèåì ñèñòåìû ôóíêöèé Õåâèñàéäà è �-ôóíêöèè Äèðàêà. Ïðîâåäåíû ÷èñëåííûå ðàñ÷åòû è ñðàâíèòåëüíûé àíàëèç ïîëó÷åííûõ ðåøåíèé. Êëþ÷åâûå ñëîâà: óïðóãîñòü, êîëåáàíèÿ, òðåõñëîéíûå ïëàñòèíû, îñíîâàíèå Âèíêëåðà, èìïóëüñ. Î á î ç í à ÷ å í è ÿ �k – ïëîòíîñòü ìàòåðèàëà k-ãî ñëîÿ, k�1 2 3, , q r t( , ) – âíåøíÿÿ ðàñïðåäåëåííàÿ íàãðóçêà q0 , q1 – èíòåíñèâíîñòü ðàñïðåäåëåííîé è èìïóëüñíîé íàãðóçêè ñîîòâåòñòâåííî q tn ( ) – êîýôôèöèåíòû ðàçëîæåíèÿ íàãðóçêè â ðÿä ïî ñîáñòâåííûì ôóíêöèÿì qR – ðåàêöèÿ îñíîâàíèÿ �0 – êîýôôèöèåíò æåñòêîñòè óïðóãîãî îñíîâàíèÿ w r t( , ) – ïðîãèá ïëàñòèíû �( , )r t – îòíîñèòåëüíûé ñäâèã â çàïîëíèòåëå u r t( , ) – ðàäèàëüíîå ïåðåìåùåíèå ñðåäèííîé ïëîñêîñòè çàïîëíèòåëÿ Gk , K k – ìîäóëè ñäâèãà è îáúåìíîé äåôîðìàöèè r1 – ðàäèóñ ïëàñòèíû vn – ôóíäàìåíòàëüíàÿ îðòîíîðìèðîâàííàÿ ñèñòåìà ñîáñòâåííûõ ôóíêöèé dn – íîðìèðîâî÷íûé êîýôôèöèåíò T tn ( ) – ôóíêöèÿ âðåìåíè â ðàçëîæåíèè â ðÿä ïî ñèñòåìå ñîáñòâåííûõ ôóíêöèé J 0 , J1 – ôóíêöèè Áåññåëÿ íóëåâîãî è ïåðâîãî ïîðÿäêîâ ñîîòâåòñòâåííî I 0 , I1 – ìîäèôèöèðîâàííûå ôóíêöèè Áåññåëÿ íóëåâîãî è ïåðâîãî ïîðÿäêîâ ñîîòâåòñòâåííî � n – ñîáñòâåííûå ÷èñëà �n – ÷àñòîòû ñîáñòâåííûõ êîëåáàíèé An , Bn – êîíñòàíòû èíòåãðèðîâàíèÿ H r0 ( ) – ôóíêöèÿ Õåâèñàéäà �( )t – ôóíêöèÿ Äèðàêà hk – òîëùèíà k-ãî ñëîÿ, k�1 2 3, , – íîìåð ñëîÿ © Ý. È. ÑÒÀÐÎÂÎÉÒÎÂ, Ä. Â. ËÅÎÍÅÍÊÎ, 2010 ISSN 0556-171X. Ïðîáëåìû ïðî÷íîñòè, 2010, ¹ 3 113 Ââåäåíèå. Ñëîèñòûå êîíñòðóêöèè èñïîëüçóþòñÿ â êà÷åñòâå ýëåìåíòîâ êîðïóñîâ àâèàöèîííûõ àïïàðàòîâ, êîñìè÷åñêèõ îáúåêòîâ, îáøèâêè âàãîíîâ, ñòðîèòåëüíûõ ïàíåëåé, ýëåêòðîííûõ ïëàò è ò. ä. Îäíèì èç èõ âèäîâ ÿâëÿþòñÿ òðåõñëîéíûå ïëàñòèíû. Ïîïåðå÷íûå êîëåáàíèÿ ïëàñòèí, íå ñâÿçàííûõ ñ óïðó- ãèì îñíîâàíèåì, èññëåäîâàëèñü â [1–5], ðàáîòà [6] ïîñâÿùåíà êîëåáàíèÿì òðåõñëîéíîãî ñòåðæíÿ ñî ñæèìàåìûì çàïîëíèòåëåì. Ïîâåäåíèå ìíîãîñëîé- íûõ ïëàñòèí è îáîëî÷åê ïðè íåñòàöèîíàðíûõ íàãðóæåíèÿõ èññëåäîâàëîñü â [7, 8]. Êâàçèñòàòè÷åñêîå äåôîðìèðîâàíèå êðóãîâîé òðåõñëîéíîé ïëàñòèíû, ðàñïîëîæåííîé íà óïðóãîì âèíêëåðîâñêîì îñíîâàíèè, ïðè âîçäåéñòâèè òåðìî- ñèëîâûõ íàãðóçîê ðàññìàòðèâàëîñü ðàíåå [9, 10]. Â íàñòîÿùåé ðàáîòå èññëåäóþòñÿ ìàëûå îñåñèììåòðè÷íûå ïîïåðå÷íûå êîëåáàíèÿ íåñèììåòðè÷íîé ïî òîëùèíå òðåõñëîéíîé ïëàñòèíû êðóãëîé ôîðìû, ñâÿçàííîé ñ óïðóãèì îñíîâàíèåì Âèíêëåðà, âîçáóæäåííûå ëîêàëü- íûìè è èìïóëüñíûìè ïîâåðõíîñòíûìè ðàñïðåäåëåííûìè íàãðóçêàìè. Ïîñòàíîâêà çàäà÷è. Èñïîëüçóåòñÿ öèëèíäðè÷åñêàÿ ñèñòåìà êîîðäèíàò r, , z (ðèñ. 1), ñâÿçàííàÿ ñî ñðåäèííîé ïëîñêîñòüþ çàïîëíèòåëÿ. Äëÿ èçîòðîï- íûõ íåñóùèõ ñëîåâ òîëùèíîé h1, h2 ïðèíÿòû ãèïîòåçû Êèðõãîôôà. Íåñæè- ìàåìûé ïî òîëùèíå çàïîëíèòåëü (h c3 2� ) – ëåãêèé, ò.å. â íåì ïðåíåáðåãàåòñÿ ðàáîòà êàñàòåëüíûõ íàïðÿæåíèé rz â òàíãåíöèàëüíîì íàïðàâëåíèè. Äåôîð- ìèðîâàííàÿ íîðìàëü çàïîëíèòåëÿ îñòàåòñÿ ïðÿìîëèíåéíîé, íî ïîâîðà÷èâà- åòñÿ íà íåêîòîðûé äîïîëíèòåëüíûé óãîë �. Íà ãðàíèöàõ ñëîåâ ïåðåìåùåíèÿ íåïðåðûâíû. Íà êîíòóðå ïëàñòèíû ïðåäïîëàãàåòñÿ íàëè÷èå æåñòêîé äèàôðàã- ìû, ïðåïÿòñòâóþùåé îòíîñèòåëüíîìó ñäâèãó ñëîåâ. Âíåøíÿÿ âåðòèêàëüíàÿ íàãðóçêà íå çàâèñèò îò êîîðäèíàòû : q q r t� ( , ). Íà íàðóæíóþ ãðàíü âòîðîãî íåñóùåãî ñëîÿ äåéñòâóåò ðåàêöèÿ óïðóãîãî îñíîâàíèÿ qR . Â ñèëó ñèììåòðèè çàäà÷è òàíãåíöèàëüíûå ïåðåìåùåíèÿ â ñëîÿõ îòñóòñò- âóþò, à ïðîãèá ïëàñòèíû w, îòíîñèòåëüíûé ñäâèã â çàïîëíèòåëå � è ðàäè- àëüíîå ïåðåìåùåíèå êîîðäèíàòíîé ïîâåðõíîñòè è íå çàâèñÿò îò êîîðäèíàòû , ò.å. w w r t� ( , ), � �� ( , ),r t u u r t� ( , ). Äàëåå ýòè ôóíêöèè ïîëàãàåì èñêî- ìûìè. Ðèñ. 1. Ðàñ÷åòíàÿ ñõåìà êðóãëîé òðåõñëîéíîé ïëàñòèíû íà óïðóãîì îñíîâàíèè. 114 ISSN 0556-171X. Ïðîáëåìû ïðî÷íîñòè, 2010, ¹ 3 Ý. È. Ñòàðîâîéòîâ, Ä. Â. Ëåîíåíêî Ñâÿçü ìåæäó ðåàêöèåé è ïðîãèáîì ïðèíèìàåòñÿ â ñîîòâåòñòâèè ñ ìî- äåëüþ Âèíêëåðà: q wR ��0 , ãäå �0 – êîýôôèöèåíò æåñòêîñòè óïðóãîãî îñíîâàíèÿ. Ñèñòåìà äèôôåðåíöèàëüíûõ óðàâíåíèé â ÷àñòíûõ ïðîèçâîäíûõ, îïèñû- âàþùàÿ âûíóæäåííûå ïîïåðå÷íûå êîëåáàíèÿ êðóãëîé òðåõñëîéíîé ïëàñòè- íû, ñâÿçàííîé ñ óïðóãèì áåçûíåðöèîííûì îñíîâàíèåì, áåç ó÷åòà îáæàòèÿ è èíåðöèè âðàùåíèÿ íîðìàëè â ñëîÿõ, âûâîäèòñÿ èç âàðèàöèîííîãî ïðèíöèïà Ëàãðàíæà ñ ó÷åòîì âàðèàöèè ðàáîòû ñèë èíåðöèè [3]. Â íàøåì ñëó÷àå â òðåòüåì óðàâíåíèè äîáàâèòñÿ ðåàêöèÿ óïðóãîãî îñíîâàíèÿ: L a u a a w L a u a a w L a u a r r 2 1 2 3 2 2 4 5 3 3 5 0 0 ( , ) ; ( , ) ; ( � � � � � � � � � �� a w M w w qr6 0 0, ) �� ,� (1) ãäå M h h h0 1 1 2 2 3 3� � �� ; L2 , L3 – äèôôåðåíöèàëüíûå îïåðàòîðû; ài – êîýôôèöèåíòû, a h Kk k k 1 1 3 � � � � ; a c h K h K2 1 1 2 2� �� ( ); K K Gk k k �� 4 3 ; a h c h K h c h K3 1 1 1 2 2 2 1 2 1 2 � � � � � � � � � � � � � � � �� ; a c h K h K cK4 2 1 1 2 2 3 2 3 � � � � � � � � �� ; a c h c h K h c h K c K5 1 1 1 2 2 2 2 3 1 2 1 2 2 3 � � � � � � � � � � � � � � � � � � �� ; a h c ch h K h c ch h K6 1 2 1 1 2 1 2 2 2 2 2 2 1 3 1 3 � � � � � � � � � � � � � � � � � �� 2 3 3 3c K ; L g r rg g g r g r r r rr r 2 2 1 ( ) ( ), , , , ;� � � � � � � � � � L g r rL g g g r g r g r r rrr rr r 3 2 2 3 1 2 ( ) ( ( )), , , , ;� � � � � Gk , K k – ìîäóëè ñäâèãà è îáúåìíîé äåôîðìàöèè ìàòåðèàëà k-ãî ñëîÿ. Çàäà÷à îïðåäåëåíèÿ ôóíêöèé u r t( , ), �( , ),r t w r t( , ) çàìûêàåòñÿ ïðèñî- åäèíåíèåì ê (1) ãðàíè÷íûõ è íà÷àëüíûõ óñëîâèé: w r f r( , ) ( );0 � �( , ) ( ).w r g r0 � (2) ISSN 0556-171X. Ïðîáëåìû ïðî÷íîñòè, 2010, ¹ 3 115 Äèíàìèêà êðóãëûõ òðåõñëîéíûõ ïëàñòèí ... Ñîáñòâåííûå êîëåáàíèÿ. Ðàññìîòðèì îäíîðîäíóþ ñèñòåìó äèôôåðåí- öèàëüíûõ óðàâíåíèé, îïèñûâàþùóþ ñîáñòâåííûå êîëåáàíèÿ êðóãëîé òðåõ- ñëîéíîé ïëàñòèíû íà óïðóãîì áåçûíåðöèîííîì îñíîâàíèè, êîòîðàÿ ñëåäóåò èç (1) ïðè q�0 è ïîñëå íåêîòîðûõ ïðåîáðàçîâàíèé ïðèâîäèòñÿ ê âèäó u b w C r C rr� � �1 1 2, ; �� b w C r C rr2 3 4, ; L w w M wr3 4 4 0( , ) �� ,� � �� (3) ãäå b a a a a a a a 1 3 4 2 5 1 4 2 2� � � ; b a a a a a a a 2 1 5 2 3 1 4 2 2� � � ; � �4 0� D; M M D4 0� ; D a a a a a a a a a a a a a a � � � � � � 1 1 4 2 2 1 6 3 2 1 4 2 2 1 5 2 3 2 ( ) ( )( ) ( ) . Â ñâÿçè ñ îãðàíè÷åííîñòüþ èñêîìîãî ðåøåíèÿ â íà÷àëå êîîðäèíàò äëÿ ñïëîøíûõ ïëàñòèí íåîáõîäèìî ïîëîæèòü Ñ Ñ2 4 0� � . Èñêîìûé ïðîãèá ïðè ñâîáîäíûõ êîëåáàíèÿõ ïðèíèìàåòñÿ â âèäå w r t v r A t B t( , ) ( )( cos( ) sin( )),� �� (4) ãäå v r( ) – íåèçâåñòíàÿ êîîðäèíàòíàÿ ôóíêöèÿ; � – ÷àñòîòà ñîáñòâåííûõ êîëåáàíèé ðàññìàòðèâàåìîé ïëàñòèíû; À è Â – êîíñòàíòû èíòåãðèðîâàíèÿ, îïðåäåëÿåìûå èç íà÷àëüíûõ óñëîâèé (2). Ïîñëå ïîäñòàíîâêè âûðàæåíèÿ (4) â ïîñëåäíåå óðàâíåíèå ñèñòåìû (3) ñëåäóåò óðàâíåíèå äëÿ îïðåäåëåíèÿ êîîðäèíàòíîé ôóíêöèè v r( ): L v vr3 4 0( , ) .� �� (5) Çäåñü ââåäåíû îáîçíà÷åíèÿ: � � �4 4 4� � ; � �4 4 2� Ì . (6) Ðåøåíèå óðàâíåíèÿ (5) ìîæíî ïðåäñòàâèòü â âèäå [11] v r C J r C I r C Y r C K r( ) ( ) ( ) ( ) ( ),� � � � �� 5 0 6 0 7 0 8 0 (7) ãäå J 0 , Y0 – ôóíêöèè Áåññåëÿ íóëåâîãî ïîðÿäêà (íèæíèé èíäåêñ) ïåðâîãî è âòîðîãî ðîäà (ôóíêöèÿ Íåéìàíà) ñîîòâåòñòâåííî; I 0 , K 0 – ìîäèôèöèðî- âàííàÿ ôóíêöèÿ Áåññåëÿ è ôóíêöèÿ Ìàêäîíàëüäà íóëåâûõ ïîðÿäêîâ; Ñ 5 , ... , Ñ 8 – êîíñòàíòû èíòåãðèðîâàíèÿ. Íå îñòàíàâëèâàÿñü íà îïèñàíèè óêàçàííûõ ôóíêöèé, îòìåòèì, ÷òî Y r0 ( )� è K r0 ( )� èìåþò îñîáåííîñòü òèïà ëîãàðèôìà â íà÷àëå êîîðäèíàò [12], ò.å. â öåíòðå ïëàñòèíû. Ïîýòîìó íåîáõîäèìî â (7) ïîëîæèòü ïîñòîÿííûå èíòåãðè- ðîâàíèÿ Ñ Ñ7 8 0� � . 116 ISSN 0556-171X. Ïðîáëåìû ïðî÷íîñòè, 2010, ¹ 3 Ý. È. Ñòàðîâîéòîâ, Ä. Â. Ëåîíåíêî Ïðè çàùåìëåííîì êîíòóðå òðàíñöåíäåíòíîå óðàâíåíèå äëÿ îïðåäåëåíèÿ ñîáñòâåííûõ ÷èñåë �n êðóãëîé òðåõñëîéíîé ïëàñòèíû, ñâÿçàííîé ñ óïðóãèì áåçûíåðöèîííûì îñíîâàíèåì, ñëåäóåò èç ñîîòâåòñòâóþùèõ ãðàíè÷íûõ óñëî- âèé: I r J r J r I r1 1 0 1 1 1 0 1 0( ) ( ) ( ) ( ) .� � � �� (8) Åñëè êîíòóð øàðíèðíî îïåðò, òî àíàëîãè÷íîå óðàâíåíèå ïðèíèìàåò âèä J r a I r I r r a r I r0 1 7 0 1 1 1 1 8 1 1 1( ) ( ) ( ) ( )� � � � �� I r a J r J r r a r J r0 1 7 0 1 1 1 1 8 1 1 1( ) ( ) ( ) ( )� � � � �� 0, (9) ãäå a a a b a b7 6 3 1 5 2� � � ; a a a b a b8 60 3 1 5 2� � � ; a h c ch h K h c ch h K60 1 2 1 1 2 1 2 2 2 2 2 2 1 3 1 3 � � � � � � � � � � � � � � � � � �� 2 3 3 3c K ; K K Gk k k �� 2 3 . Ïîñëå ÷èñëåííîãî ðåøåíèÿ óðàâíåíèé (8), (9) ïàðàìåòðû �n è ÷àñòîòû ñîáñòâåííûõ êîëåáàíèé �n îïðåäåëÿþòñÿ ÷åðåç ñîáñòâåííûå ÷èñëà �n èç ôîðìóë (6). Â îáùåì ñëó÷àå äëÿ îïèñàíèÿ ïðîãèáà ðàññìàòðèâàåìîé ïëàñòèíû ïðè ñâîáîäíûõ ïîïåðå÷íûõ êîëåáàíèÿõ ââîäèòñÿ ñèñòåìà ñîáñòâåííûõ îðòîíîðìè- ðîâàííûõ ôóíêöèé v v rn n� ( , ):� v d J r J r I r I rn n n n n n� � � � � � � � 1 0 0 1 0 1 0( ) ( ) ( ) ( ) .� � � � (10) Çäåñü ó÷èòûâàëîñü âûòåêàþùåå èç ãðàíè÷íîãî óñëîâèÿ w�0 ñîîòíîøåíèå ìåæäó êîíñòàíòàìè èíòåãðèðîâàíèÿ C C J r I r6 5 0 1 0 1�� ( ) ( ).� � Êîíñòàíòû dn îïðåäåëÿþòñÿ èç òðåáîâàíèÿ íîðìèðîâêè ôóíêöèè (10): d J r J r I r I r rdrn n n n n r 2 0 0 1 0 1 0 0 2 1 � � � � � � � � ( ) ( ) ( ) ( ) .� � � � Â îêîí÷àòåëüíîì âèäå èñêîìûé äèíàìè÷åñêèé ïðîãèá òðåõñëîéíîé êðóãëîé ïëàñòèíû íà óïðóãîì áåçûíåðöèîííîì îñíîâàíèè ïðåäñòàâëÿåòñÿ ñ ïîìîùüþ ðàçëîæåíèÿ â ðÿä ïî ôóíäàìåíòàëüíîé ñèñòåìå ñîáñòâåííûõ îðòî- íîðìèðîâàííûõ ôóíêöèé (10): ISSN 0556-171X. Ïðîáëåìû ïðî÷íîñòè, 2010, ¹ 3 117 Äèíàìèêà êðóãëûõ òðåõñëîéíûõ ïëàñòèí ... w r t v A t B tn n n n n n ( , ) ( cos( ) sin( )).� � � ! � � � 0 (11) Ðàäèàëüíîå ïåðåìåùåíèå è îòíîñèòåëüíûé ñäâèã ñëåäóþò èç ïåðâûõ äâóõ óðàâíåíèé ñèñòåìû (3) è óñëîâèÿ íà êîíòóðå �( , ) ( , ) :r t u r t1 1 0� � u r t b A t B t r t b n n n n n n ( , ) ( cos( ) sin( )); ( , ) � � � � ! �1 0 2 " � � � " n n n n n n A t B t( cos( ) sin( )),� �� ! � 0 (12) ãäå ñèñòåìà ôóíêöèé " " �n n n r� ( , ) ñëåäóþùàÿ: " � � � � � �n n n n n n n n r d J r r J r J r I r I( , ) ( ) ( ) ( ) ( ) (� � �1 1 1 0 1 0 1 1( ) ( )) .� �n nr r I r1 1� � � � � � � Êîýôôèöèåíòû Àn , Bn â ôîðìóëàõ (11), (12) îïðåäåëÿþòñÿ íà÷àëüíûìè óñëîâèÿìè äâèæåíèÿ (2). Âûíóæäåííûå êîëåáàíèÿ. Äëÿ îïèñàíèÿ âûíóæäåííûõ êîëåáàíèé ðàñ- ñìàòðèâàåìîé ïëàñòèíû âíåøíÿÿ íàãðóçêà q r t( , ) è èñêîìûå ïåðåìåùåíèÿ u r t( , ), �( , ),r t w r t( , ) ïðåäñòàâëÿþòñÿ â âèäå ðàçëîæåíèé â ðÿä: q r t M v q tn n n ( , ) ( );� � ! �0 0 u r t b T tn n n ( , ) ( );� � ! �1 0 " � "( , ) ( );r t b T tn n n � � ! �2 0 w r t v T tn n n ( , ) ( ).� � ! � 0 (13) Êîýôôèöèåíòû ðàçëîæåíèÿ íàãðóçêè â ðÿä q tn ( ) ïîëó÷èì, óìíîæèâ ïåðâîå èç ñîîòíîøåíèé (13) íà v n è ïðîèíòåãðèðîâàâ åãî ïî ïëîùàäè ïëàñòèíû. Â ñèëó îðòîíîðìèðîâàííîñòè ñèñòåìû ñîáñòâåííûõ ôóíêöèé v n (10) èìååì q t M q r t v rdrn n r ( ) ( , ) .� 1 0 0 1 (14) Óðàâíåíèå äëÿ îïðåäåëåíèÿ íåèçâåñòíîé ôóíêöèè âðåìåíè T tn ( ) ñëåäóåò èç òðåòüåãî óðàâíåíèÿ ñèñòåìû (3) ïîñëå ïîäñòàíîâêè â íåãî âûðàæåíèé (13) è èñïîëüçîâàíèÿ ëèíåéíîé ñâÿçè ôóíêöèé v n , n : �� .T T qn n n n� ��2 (15) 118 ISSN 0556-171X. Ïðîáëåìû ïðî÷íîñòè, 2010, ¹ 3 Ý. È. Ñòàðîâîéòîâ, Ä. Â. Ëåîíåíêî Îáùåå ðåøåíèå óðàâíåíèÿ (15) èìååò âèä T t A t B t t q dn n n n n n n n t ( ) cos sin sin ( ) ( ) .� � � � � � � � # # # 1 0 (16) Êîýôôèöèåíòû An , Bn îïðåäåëÿþòñÿ èç íà÷àëüíûõ óñëîâèé (2): A f r v rdrn n r � ( ) ; 0 1 B g r v rdrn n n r � 1 0 1 � ( ) . (17) Ðåçóëüòàòû ðàñ÷åòîâ. Ðàññìîòðèì íåñêîëüêî ïðèìåðîâ ëîêàëüíîãî è èìïóëüñíîãî âíåøíåãî îñåñèììåòðè÷íîãî ñèëîâîãî âîçäåéñòâèÿ íà ïëàñòèíó. Äëÿ óäîáñòâà àíàëèòè÷åñêîé çàïèñè íàãðóçêè âîñïîëüçóåìñÿ ôóíêöèåé Õåâè- ñàéäà H r0 ( ) è �-ôóíêöèåé Äèðàêà �( ).t Çàäà÷à, êàê ïðàâèëî, ñâîäèòñÿ ê îòûñêàíèþ ïàðàìåòðîâ q tn ( ) ðàçëîæåíèÿ â ðÿä çàäàííîé íàãðóçêè è îïðåäå- ëåíèþ ôóíêöèè âðåìåíè T tn ( ). ×èñëåííûé ðàñ÷åò ïðîâîäèëè äëÿ çàùåìëåííîé ïî êîíòóðó ïëàñòèíû åäèíè÷íîãî ðàäèóñà, ñëîè êîòîðîé ñîñòîÿò èç ìàòåðèàëîâ Ä16Ò–ôòîðîïëàñò– Ä16Ò. Ñîîòâåòñòâóþùèå ìåõàíè÷åñêèå õàðàêòåðèñòèêè ìàòåðèàëîâ ïðèâåäå- íû â [3]. Ñîáñòâåííûå ÷àñòîòû êîëåáàíèé �n âû÷èñëÿëè ïî ôîðìóëå (6) ñ èñïîëüçîâàíèåì ïðèâåäåííûõ âûøå ñîáñòâåííûõ ÷èñåë è ãåîìåòðè÷åñêèõ ïàðàìåòðîâ ñëîåâ h h1 2 0 01� � , , h c3 2 0 1� � , . Íà÷àëüíûå óñëîâèÿ ïðåäïî- ëàãàëèñü íóëåâûìè, ÷òî â ñîîòâåòñòâèè ñ (17) ïîçâîëÿåò ïîëîæèòü êîíñòàíòû èíòåãðèðîâàíèÿ An �0, Bn �0. 1. Íà ïëàñòèíó äåéñòâóåò äèíàìè÷åñêàÿ âíåçàïíî ïðèëîæåííàÿ ïîâåðõ- íîñòíàÿ íàãðóçêà, ðàâíîìåðíî ðàñïðåäåëåííàÿ ïî êðóãó ðàäèóñà b r$ 1: q r t q t H b r( , ) ( ) ( ).� �0 0 (18) Ïîäñòàâèì íàãðóçêó (18) â ôîðìóëó (14) è ïîëó÷èì èíòåãðàëüíîå âûðà- æåíèå äëÿ âû÷èñëåíèÿ q tn ( ): q t q t M d H b r J r J r I rn n r n n n ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) � � � 0 0 0 0 0 0 1 0 1 1 � � � I r rdrn0 ( ) .� � � �� Â ðåçóëüòàòå âû÷èñëåíèÿ èíòåãðàëîâ îò ïðîèçâåäåíèÿ ôóíêöèé Õåâè- ñàéäà è Áåññåëÿ ïîëó÷èì q t q t b M d J b J r I r I bn n n n n n n( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )� � � 0 0 1 0 1 0 1 1� � � � � � �� . Ïîñëå ýòîãî ðåøåíèå çàäà÷è î âûíóæäåííûõ êîëåáàíèÿõ ïëàñòèíû íà óïðóãîì îñíîâàíèè îïðåäåëÿåòñÿ ñîîòíîøåíèÿìè (4), à ôóíêöèÿ T tn ( ) – ïî ôîðìóëå (16). Åñëè èíòåíñèâíîñòü ðàâíîìåðíîé âíåøíåé íàãðóçêè q0 ïîñòî- ÿííà ïî ìîäóëþ, òî ïðè íóëåâûõ íà÷àëüíûõ óñëîâèÿõ ïîëó÷èì ISSN 0556-171X. Ïðîáëåìû ïðî÷íîñòè, 2010, ¹ 3 119 Äèíàìèêà êðóãëûõ òðåõñëîéíûõ ïëàñòèí ... T t q b t M d J b J r In n n n n n n( ) ( cos( )) ( ) ( ) ( � � �0 0 2 1 0 1 0 1 � � � � � �n nr I b 1 1) ( ) .� � � �� (19) Ðèñ. 2 èëëþñòðèðóåò íåëèíåéíîñòü ðîñòà ìàêñèìàëüíîãî ïðîãèáà ïëàñ- òèíû ñ óâåëè÷åíèåì ðàäèóñà b ïÿòíà ëîêàëüíîé íàãðóçêè. Íàëè÷èå óïðóãîãî îñíîâàíèÿ íåñêîëüêî èçìåíÿåò õàðàêòåð êðèâîé, ïðè ýòîì ïðîãèá óìåíü- øàåòñÿ â ÷åòûðå ðàçà ïðè íàãðóçêå â äåñÿòü ðàç áîëüøåé. 2. Ðàññìîòðèì ñëó÷àé âíåøíåé íàãðóçêè, êîãäà â íà÷àëüíûé ìîìåíò âðåìåíè (t �0) íà ïîâåðõíîñòü ïëàñòèíû, îãðàíè÷åííóþ îêðóæíîñòüþ ðàäè- óñà b r� 1 , âîçäåéñòâóåò ìãíîâåííûé ðàâíîìåðíî ðàñïðåäåëåííûé èìïóëüñ q r t q t H b r( , ) ( ) ( ).� �1 0 (20) Òîãäà q t q t b M d J b J r I r I bn n n n n n n( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )� �1 0 1 0 1 0 1 1 � � � � � � � �� ; T t q b t M d J b J r I r In n n n n n n n ( ) sin( ) ( ) ( ) ( ) � �1 0 1 0 1 0 1 � � � � � � 1( ) .�nb � � �� (21) Îòñþäà â ÷àñòíîì ñëó÷àå b r� 1 ïîëó÷èì ðåøåíèå äëÿ èìïóëüñíîãî âîçäåéñòâèÿ íà âñþ âíåøíþþ ïîâåðõíîñòü êðóãëîé òðåõñëîéíîé ïëàñòèíû. Íà ðèñ. 3 ïîêàçàíî èçìåíåíèå ïðîãèáà âäîëü ðàäèóñà ïëàñòèíû, ñîîòâåòñò- âóþùåãî ìàêñèìóìó ôóíêöèè (21) ïðè âîçäåéñòâèè èìïóëüñà q1 700� Ïà ñ� , ðàñïðåäåëåííîãî ïî âñåé ïîâåðõíîñòè ïëàñòèíû. Ó÷åò ðåàêöèè óïðóãîãî îñíîâàíèÿ ïðèâîäèò ê óìåíüøåíèþ ïðîãèáà â ÷åòûðå ðàçà. Ñ óâåëè÷åíèåì æåñòêîñòè îñíîâàíèÿ ìàêñèìàëüíûé ïðîãèá óìåíüøàåòñÿ åùå â 2,7 ðàçà. 3. Íà èññëåäóåìóþ êðóãëóþ òðåõñëîéíóþ ïëàñòèíó äåéñòâóåò äèíàìè- ÷åñêàÿ âíåçàïíî ïðèëîæåííàÿ ïîâåðõíîñòíàÿ íàãðóçêà, ðàâíîìåðíî ðàñïðåäå- ëåííàÿ ïî êîëüöó a r b� � . Òîãäà âíåøíþþ íàãðóçêó ìîæíî çàïèñàòü êàê ðàçíîñòü äâóõ íàãðóçîê (18): q r t q t H b r H r a( , ) ( )( ( ) ( )).� � � �0 0 0 Ðèñ. 2. Çàâèñèìîñòü ïðîãèáà â öåíòðå ïëàñòèíû îò ðàäèóñà ïÿòíà ëîêàëüíîé íàãðóçêè: 1 – áåç óïðóãîãî îñíîâàíèÿ (t � 0 033, c, q0 47 10� � Ïà); 2 – �0 810� Ïà/ì (t � 0 026, c, q0 57 10� � Ïà). 120 ISSN 0556-171X. Ïðîáëåìû ïðî÷íîñòè, 2010, ¹ 3 Ý. È. Ñòàðîâîéòîâ, Ä. Â. Ëåîíåíêî Ðåøåíèå çàäà÷è ïîëó÷èì â âèäå ðàçíîñòè äâóõ ðåøåíèé (19). Êîýôôè- öèåíòû ðàçëîæåíèÿ íàãðóçêè â ðÿä ïî ñèñòåìå ñîáñòâåííûõ ôóíêöèé áóäóò: q t q t M d bJ b aJ a J r I rn n n n n n n ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( � � �0 0 1 1 0 1 0 1� � � � � ) ( ( ) ( )) ,bI b aI an n1 1� �� ïîñëå ÷åãî äëÿ ñòàöèîíàðíîé âíåøíåé íàãðóçêè q0 �const ïîëó÷èì T t q t M d n n n n n ( ) ( cos( )) � � &0 0 2 1 � � � & � � �bJ b aJ a J r I r bI b aIn n n n n1 1 0 1 0 1 1 1( ) ( ) ( ) ( ) ( ( ) (� � � � � �na)) . � � �� (22) Ïðè à�0 èç (22) ñëåäóåò ðåøåíèå (19). Íà ðèñ. 4 ïîêàçàíî èçìåíåíèå ôîðìû è âåëè÷èíû ïðîãèáà ïëàñòèíû, íå ñâÿçàííîé è ñâÿçàííîé ñ óïðóãèì îñíîâàíèåì, â çàâèñèìîñòè îò ðàñïîëî- æåíèÿ êîëüöåâîãî ïÿòíà íàãðóçêè. Åãî øèðèíà b a� �0 25, , èíòåíñèâíîñòü íàãðóçêè q0 7000� Ïà, ìîìåíò âðåìåíè t�' �0 ñîîòâåòñòâóåò ìàêñèìàëü- íîìó çíà÷åíèþ ôóíêöèè (22). Ïðè îòñóòñòâèè îñíîâàíèÿ íàèìåíüøèé ïðîãèá âîçíèêàåò ïðè íàãðóçêå, ñîñðåäîòî÷åííîé ó êîíòóðà, íàèáîëüøèé – ïðè ðàñïðåäåëåíèè íàãðóçêè ïî êîëüöó, 0 25 0 5, , .$ $r Ïðè íàëè÷èè óïðóãîãî îñíî- âàíèÿ ñ æåñòêîñòüþ �0 810� Ïà/ì ìàêñèìàëüíûé ïðîãèá óìåíüøàåòñÿ â 4,5 ðàçà è äîñòèãàåòñÿ ïðè íàãðóçêå, ðàñïðåäåëåííîé â èíòåðâàëå 0 5 0 75, , .$ $r 4. Ìãíîâåííûé ðàâíîìåðíî ðàñïðåäåëåííûé èìïóëüñ ïîâåðõíîñòíîé íà- ãðóçêè âîçäåéñòâóåò íà êîëüöåâóþ ïîâåðõíîñòü ïëàñòèíû (a r b$ $ ). Ñîîòâåò- ñòâóþùóþ èíòåíñèâíîñòü íàãðóçêè ìîæíî çàïèñàòü â âèäå ðàçíîñòè äâóõ íàãðóçîê (20): q r t q t H b r H r a( , ) ( )( ( ) ( ))� � � �1 0 0� , îòêóäà ñëåäóåò Ðèñ. 3. Èçìåíåíèå ïðîãèáà âäîëü ðàäèóñà ïðè ëîêàëüíîì èìïóëüñíîì íàãðóæåíèè: 1 – áåç óïðóãîãî îñíîâàíèÿ, �0 0� , t �' �( );2 0 2 – �0 810� Ïà/ì, t � 0 0325, c; 3 – �0 910� Ïà/ì, t � 0 0275, c. ISSN 0556-171X. Ïðîáëåìû ïðî÷íîñòè, 2010, ¹ 3 121 Äèíàìèêà êðóãëûõ òðåõñëîéíûõ ïëàñòèí ... q t q t M d bJ b aJ a J r I rn n n n n n n ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( � � �1 0 1 1 0 1 0 � � � � � � 1 1 1) ( ( ) ( )) ,bI b aI an n� �� ïîñëå ÷åãî ïîëó÷èì ñëåäóþùóþ èñêîìóþ ôóíêöèþ âðåìåíè: T t q t M d bJ b aJ a J r n n n n n n n n( ) sin( ) ( ) ( ) ( ) � � �1 0 1 1 0 1� � � � � � I r bI b aI a n n n 0 1 1 1( ) ( ( ) ( )) . � � �� (23) Â ÷àñòíîì ñëó÷àå ïðè à�0 èç (23) ñëåäóåò ðåøåíèå (21). Íà ðèñ. 5 ïîêàçàíî (t�' �( )2 0 ) èçìåíåíèå âåëè÷èíû ïðîãèáà ïëàñòèíû â çàâèñèìîñòè îò ðàñïîëîæåíèÿ âíóòðåííåãî ðàäèóñà êîëüöåâîãî ïÿòíà èìïóëüñ- íîé íàãðóçêè. Øèðèíà ïÿòíà ïðèíÿòà b a� �0 25, , èíòåíñèâíîñòü íàãðóçêè q1 700� %Ïà ñ. Â ýòîì ñëó÷àå íàëè÷èå óïðóãîãî îñíîâàíèÿ òàêæå ïðèâîäèò ê óìåíüøåíèþ âåëè÷èíû ïðîãèáà. Çàêëþ÷åíèå. Òàêèì îáðàçîì, ðàññìîòðåííàÿ ìåòîäèêà ïîçâîëÿåò èññëå- äîâàòü âûíóæäåííûå êîëåáàíèÿ êðóãëûõ òðåõñëîéíûõ ïëàñòèí íà óïðóãîì îñíîâàíèè, íàõîäÿùèõñÿ ïîä äåéñòâèåì ëîêàëüíûõ ïîâåðõíîñòíûõ îñåñèì- à á Ðèñ. 4. Èçìåíåíèå ïðîãèáà âäîëü ðàäèóñà ïëàñòèíû, íå ñâÿçàííîé (à) è ñâÿçàííîé (á) ñ óïðóãèì îñíîâàíèåì, â çàâèñèìîñòè îò êîëüöåâîãî ïÿòíà íàãðóçêè: 1 – à� 0; 2 – à� 0 25, ; 3 – à� 0 5, ; 4 – à� 0 75, . 122 ISSN 0556-171X. Ïðîáëåìû ïðî÷íîñòè, 2010, ¹ 3 Ý. È. Ñòàðîâîéòîâ, Ä. Â. Ëåîíåíêî ìåòðè÷íûõ íàãðóçîê, âêëþ÷àÿ èìïóëüñíûå. Ïîëó÷åííûå àíàëèòè÷åñêèå è ÷èñëåííûå ðåøåíèÿ ðÿäà íà÷àëüíî-êðàåâûõ çàäà÷ äëÿ ïëàñòèí ñ ëåãêèì çàïîëíèòåëåì ìîãóò áûòü èñïîëüçîâàíû äëÿ ðåøåíèÿ ïðàêòè÷åñêèõ çàäà÷. Ð å ç þ ì å Ðîçãëÿíóòî â³ñåñèìåòðè÷í³ ïîïåðå÷í³ êîëèâàííÿ êðóãëî¿ òðèøàðîâî¿ ïëàñòè- íè ç ëåãêèì çàïîâíþâà÷åì íà ïðóæí³é îñíîâ³ ï³ä ä³ºþ ðàïòîâî ïðèêëàäåíîãî é ³ìïóëüñíîãî ïîâåðõíåâîãî íàâàíòàæåííÿ. Ðåàêö³ÿ îñíîâè îïèñóºòüñÿ ìîäåë- ëþ Â³íêëåðà. Äëÿ àíàë³çó ê³íåìàòèêè íåñèìåòðè÷íîãî ïî òîâùèí³ ïàêåòà ïðèéíÿòî ã³ïîòåçè ëîìàíî¿ íîðìàë³. Àíàë³òè÷íèé ðîçâ’ÿçîê îòðèìàíî ç âèêî- ðèñòàííÿì ñèñòåìè ôóíêö³é Õåâ³ñàéäà ³ �-ôóíêö³¿ Ä³ðàêà. Ïðîâåäåíî ÷èñëîâ³ ðîçðàõóíêè òà ïîð³âíÿëüíèé àíàë³ç îòðèìàíèõ ð³øåíü. 1. Mirsa S. and Singh A. V. Axisymmetric vibration of circular sandwich plates // AIAA J. – 1974. – 12, No. 10. – P. 1418 – 1420. 2. Ãðèãîëþê Ý. È., Êàññèõèí Â. Í. Ìàëûå ïîïåðå÷íûå êîëåáàíèÿ ñëîèñòûõ êðóãîâûõ ïëàñòèí // Ïðîáë. ïðî÷íîñòè. – 1982. – ¹ 10. – Ñ. 65 – 68. 3. Ñòàðîâîéòîâ Ý. È., ßðîâàÿ À. Â., Ëåîíåíêî Ä. Â. Ëîêàëüíûå è èìïóëüñ- íûå íàãðóæåíèÿ òðåõñëîéíûõ ýëåìåíòîâ êîíñòðóêöèé. – Ãîìåëü: ÁåëÃÓÒ, 2003. – 367 ñ. 4. Ñòàðîâîéòîâ Ý. È., Ëåîíåíêî Ä. Â., ßðîâàÿ À. Â. Êîëåáàíèÿ êðóãîâûõ òðåõñëîéíûõ ïëàñòèí ïîä äåéñòâèåì ðàñïðåäåëåííûõ ëîêàëüíûõ íàãðó- çîê // Ïðîáë. ïðî÷íîñòè. – 2002. – ¹ 5. – Ñ. 70 – 79. 5. Ñòàðîâîéòîâ Ý. È., Ëåîíåíêî Ä. Â., ßðîâàÿ À. Â. Êîëåáàíèÿ êðóãëûõ òðåõñëîéíûõ ïëàñòèí ïîä äåéñòâèåì ïîâåðõíîñòíûõ íàãðóçîê ðàçëè÷íûõ ôîðì // Òàì æå. – 2003. – ¹ 4. – Ñ. 32 – 39. 6. Ñòàðîâîéòîâ Ý. È., Ëåîíåíêî Ä. Â., ßðîâàÿ À. Â. Äèíàìèêà òðåõñëîéíûõ ñòåðæíåé // Òàì æå. – 2006. – ¹ 6. – Ñ. 133 – 146. 7. Äîëãîïîëîâà Í. Â., Óãðèìîâ Ñ. Â., Øóïèêîâ À. Í. Íåñòàöèîíàðíîå äå- ôîðìèðîâàíèå ìíîãîñëîéíûõ ïëàñòèí è öèëèíäðè÷åñêèõ îáîëî÷åê íà óïðóãîì îñíîâàíèè // Âåñòí. ÍÒÓ “ÕÏÈ”. – 2001. – ¹ 25. – Ñ. 74 – 81. Ðèñ. 5. Çàâèñèìîñòü ïðîãèáà â öåíòðå ïëàñòèíû îò ðàñïîëîæåíèÿ êîëüöåâîãî ïÿòíà èìïóëüñ- íîé íàãðóçêè: 1 – áåç óïðóãîãî îñíîâàíèÿ; 2 – �0 810� Ïà/ì, t � 0 0325, c; 3 – �0 910� Ïà/ì, t � 0 0275, c. ISSN 0556-171X. Ïðîáëåìû ïðî÷íîñòè, 2010, ¹ 3 123 Äèíàìèêà êðóãëûõ òðåõñëîéíûõ ïëàñòèí ... 8. Øóïèêîâ À. Í., Áóçüêî ß. Ï., Ñìåòàíêèíà Í. Â., Óãðèìîâ Ñ. Â. Íåñòà- öèîíàðíûå êîëåáàíèÿ ìíîãîñëîéíûõ ïëàñòèí è îáîëî÷åê è èõ îïòèìè- çàöèÿ. – Õàðüêîâ: ÕÈÝÓ, 2004. – 252 ñ. 9. Ñòàðîâîéòîâ Ý. È., ßðîâàÿ À. Â., Ëåîíåíêî Ä. Â. Äåôîðìèðîâàíèå òðåõñëîéíûõ ýëåìåíòîâ êîíñòðóêöèé íà óïðóãîì îñíîâàíèè. – Ì.: Ôèçìàòëèò, 2006. – 379 ñ. 10. Ñòàðîâîéòîâ Ý. È., ßðîâàÿ À. Â., Ëåîíåíêî Ä. Â. Äåôîðìèðîâàíèå óïðóãîïëàñòè÷åñêîé êðóãîâîé òðåõñëîéíîé ïëàñòèíû íà îñíîâàíèè Âèí- êëåðà ïðè òåðìîñèëîâîì íàãðóæåíèè // Ïðîáë. ïðî÷íîñòè. – 2007. – ¹ 5. – Ñ. 68 – 80. 11. Êàìêå Ý. Ñïðàâî÷íèê ïî îáûêíîâåííûì äèôôåðåíöèàëüíûì óðàâíå- íèÿì. – Ì.: Íàóêà, 1976. – 576 ñ. 12. Áåéòìåí Ã., Ýðäåéè À. Âûñøèå òðàíñöåíäåíòíûå ôóíêöèè. – Ì.: Íàóêà, 1966. – Ò. 2. – 295 ñ. Ïîñòóïèëà 09. 09. 2008 124 ISSN 0556-171X. Ïðîáëåìû ïðî÷íîñòè, 2010, ¹ 3 Ý. È. Ñòàðîâîéòîâ, Ä. Â. Ëåîíåíêî << /ASCII85EncodePages false /AllowTransparency false /AutoPositionEPSFiles true /AutoRotatePages /All /Binding /Left /CalGrayProfile (Dot Gain 20%) /CalRGBProfile (sRGB IEC61966-2.1) /CalCMYKProfile (U.S. Web Coated \050SWOP\051 v2) /sRGBProfile (sRGB IEC61966-2.1) /CannotEmbedFontPolicy /Warning /CompatibilityLevel 1.4 /CompressObjects /Tags /CompressPages true /ConvertImagesToIndexed true /PassThroughJPEGImages true /CreateJDFFile false /CreateJobTicket false /DefaultRenderingIntent /Default /DetectBlends true /DetectCurves 0.0000 /ColorConversionStrategy /LeaveColorUnchanged /DoThumbnails false /EmbedAllFonts true /EmbedOpenType false /ParseICCProfilesInComments true /EmbedJobOptions true /DSCReportingLevel 0 /EmitDSCWarnings false /EndPage -1 /ImageMemory 1048576 /LockDistillerParams false /MaxSubsetPct 100 /Optimize true /OPM 1 /ParseDSCComments true /ParseDSCCommentsForDocInfo true /PreserveCopyPage true /PreserveDICMYKValues true /PreserveEPSInfo true /PreserveFlatness true /PreserveHalftoneInfo false /PreserveOPIComments false /PreserveOverprintSettings true /StartPage 1 /SubsetFonts true /TransferFunctionInfo /Apply /UCRandBGInfo /Preserve /UsePrologue false /ColorSettingsFile () /AlwaysEmbed [ true ] /NeverEmbed [ true ] /AntiAliasColorImages false /CropColorImages true /ColorImageMinResolution 300 /ColorImageMinResolutionPolicy /OK /DownsampleColorImages true /ColorImageDownsampleType /Bicubic /ColorImageResolution 300 /ColorImageDepth -1 /ColorImageMinDownsampleDepth 1 /ColorImageDownsampleThreshold 1.50000 /EncodeColorImages true /ColorImageFilter /DCTEncode /AutoFilterColorImages true /ColorImageAutoFilterStrategy /JPEG /ColorACSImageDict << /QFactor 0.15 /HSamples [1 1 1 1] /VSamples [1 1 1 1] >> /ColorImageDict << /QFactor 0.15 /HSamples [1 1 1 1] /VSamples [1 1 1 1] >> /JPEG2000ColorACSImageDict << /TileWidth 256 /TileHeight 256 /Quality 30 >> /JPEG2000ColorImageDict << /TileWidth 256 /TileHeight 256 /Quality 30 >> /AntiAliasGrayImages false /CropGrayImages true /GrayImageMinResolution 300 /GrayImageMinResolutionPolicy /OK /DownsampleGrayImages true /GrayImageDownsampleType /Bicubic /GrayImageResolution 300 /GrayImageDepth -1 /GrayImageMinDownsampleDepth 2 /GrayImageDownsampleThreshold 1.50000 /EncodeGrayImages true /GrayImageFilter /DCTEncode /AutoFilterGrayImages true /GrayImageAutoFilterStrategy /JPEG /GrayACSImageDict << /QFactor 0.15 /HSamples [1 1 1 1] /VSamples [1 1 1 1] >> /GrayImageDict << /QFactor 0.15 /HSamples [1 1 1 1] /VSamples [1 1 1 1] >> /JPEG2000GrayACSImageDict << /TileWidth 256 /TileHeight 256 /Quality 30 >> /JPEG2000GrayImageDict << /TileWidth 256 /TileHeight 256 /Quality 30 >> /AntiAliasMonoImages false /CropMonoImages true /MonoImageMinResolution 1200 /MonoImageMinResolutionPolicy /OK /DownsampleMonoImages true /MonoImageDownsampleType /Bicubic /MonoImageResolution 1200 /MonoImageDepth -1 /MonoImageDownsampleThreshold 1.50000 /EncodeMonoImages true /MonoImageFilter /CCITTFaxEncode /MonoImageDict << /K -1 >> /AllowPSXObjects false /CheckCompliance [ /None ] /PDFX1aCheck false /PDFX3Check false /PDFXCompliantPDFOnly false /PDFXNoTrimBoxError true /PDFXTrimBoxToMediaBoxOffset [ 0.00000 0.00000 0.00000 0.00000 ] /PDFXSetBleedBoxToMediaBox true /PDFXBleedBoxToTrimBoxOffset [ 0.00000 0.00000 0.00000 0.00000 ] /PDFXOutputIntentProfile () /PDFXOutputConditionIdentifier () /PDFXOutputCondition () /PDFXRegistryName () /PDFXTrapped /False /Description << /CHS <FEFF4f7f75288fd94e9b8bbe5b9a521b5efa7684002000500044004600206587686353ef901a8fc7684c976262535370673a548c002000700072006f006f00660065007200208fdb884c9ad88d2891cf62535370300260a853ef4ee54f7f75280020004100630072006f0062006100740020548c002000410064006f00620065002000520065006100640065007200200035002e003000204ee553ca66f49ad87248672c676562535f00521b5efa768400200050004400460020658768633002> /CHT <FEFF4f7f752890194e9b8a2d7f6e5efa7acb7684002000410064006f006200650020005000440046002065874ef653ef5728684c9762537088686a5f548c002000700072006f006f00660065007200204e0a73725f979ad854c18cea7684521753706548679c300260a853ef4ee54f7f75280020004100630072006f0062006100740020548c002000410064006f00620065002000520065006100640065007200200035002e003000204ee553ca66f49ad87248672c4f86958b555f5df25efa7acb76840020005000440046002065874ef63002> /DAN <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> /DEU <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> /ESP <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> /FRA <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> /ITA <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> /JPN <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> /KOR <FEFFc7740020c124c815c7440020c0acc6a9d558c5ec0020b370c2a4d06cd0d10020d504b9b0d1300020bc0f0020ad50c815ae30c5d0c11c0020ace0d488c9c8b85c0020c778c1c4d560002000410064006f0062006500200050004400460020bb38c11cb97c0020c791c131d569b2c8b2e4002e0020c774b807ac8c0020c791c131b41c00200050004400460020bb38c11cb2940020004100630072006f0062006100740020bc0f002000410064006f00620065002000520065006100640065007200200035002e00300020c774c0c1c5d0c11c0020c5f40020c2180020c788c2b5b2c8b2e4002e> /NLD (Gebruik deze instellingen om Adobe PDF-documenten te maken voor kwaliteitsafdrukken op desktopprinters en proofers. De gemaakte PDF-documenten kunnen worden geopend met Acrobat en Adobe Reader 5.0 en hoger.) /NOR <FEFF004200720075006b00200064006900730073006500200069006e006e007300740069006c006c0069006e00670065006e0065002000740069006c002000e50020006f0070007000720065007400740065002000410064006f006200650020005000440046002d0064006f006b0075006d0065006e00740065007200200066006f00720020007500740073006b00720069006600740020006100760020006800f800790020006b00760061006c00690074006500740020007000e500200062006f007200640073006b0072006900760065007200200065006c006c00650072002000700072006f006f006600650072002e0020005000440046002d0064006f006b0075006d0065006e00740065006e00650020006b0061006e002000e50070006e00650073002000690020004100630072006f00620061007400200065006c006c00650072002000410064006f00620065002000520065006100640065007200200035002e003000200065006c006c00650072002000730065006e006500720065002e> /PTB <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> /SUO <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> /SVE <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> /ENU (Use these settings to create Adobe PDF documents for quality printing on desktop printers and proofers. Created PDF documents can be opened with Acrobat and Adobe Reader 5.0 and later.) >> /Namespace [ (Adobe) (Common) (1.0) ] /OtherNamespaces [ << /AsReaderSpreads false /CropImagesToFrames true /ErrorControl /WarnAndContinue /FlattenerIgnoreSpreadOverrides false /IncludeGuidesGrids false /IncludeNonPrinting false /IncludeSlug false /Namespace [ (Adobe) (InDesign) (4.0) ] /OmitPlacedBitmaps false /OmitPlacedEPS false /OmitPlacedPDF false /SimulateOverprint /Legacy >> << /AddBleedMarks false /AddColorBars false /AddCropMarks false /AddPageInfo false /AddRegMarks false /ConvertColors /NoConversion /DestinationProfileName () /DestinationProfileSelector /NA /Downsample16BitImages true /FlattenerPreset << /PresetSelector /MediumResolution >> /FormElements false /GenerateStructure true /IncludeBookmarks false /IncludeHyperlinks false /IncludeInteractive false /IncludeLayers false /IncludeProfiles true /MultimediaHandling /UseObjectSettings /Namespace [ (Adobe) (CreativeSuite) (2.0) ] /PDFXOutputIntentProfileSelector /NA /PreserveEditing true /UntaggedCMYKHandling /LeaveUntagged /UntaggedRGBHandling /LeaveUntagged /UseDocumentBleed false >> ] >> setdistillerparams << /HWResolution [2400 2400] /PageSize [612.000 792.000] >> setpagedevice

Динамика круглых трехслойных пластин на упругом основании при осесимметричном нагружении

Institution

Ähnliche Einträge