Идентификация параметров задач упругого деформирования
Представлены явные выражения градиентов функционалов-невязок для идентификации градиентными методами Алифанова различных параметров ряда задач напряженно-деформированного состояния многокомпонентных тел с включениями....
Збережено в:
| Дата: | 2010 |
|---|---|
| Автори: | , |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Russian |
| Опубліковано: |
Інститут проблем міцності ім. Г.С. Писаренко НАН України
2010
|
| Назва видання: | Проблемы прочности |
| Теми: | |
| Онлайн доступ: | http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/112006 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Цитувати: | Идентификация параметров задач упругого деформирования / И.В. Сергиенко, В.С. Дейнека // Проблемы прочности. — 2010. — № 5. — С. 101-126. — Бібліогр.: 18 назв. — рос. |
Репозитарії
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
irk-123456789-112006 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
irk-123456789-1120062017-01-17T03:03:28Z Идентификация параметров задач упругого деформирования Сергиенко, И.В. Дейнека, В.С. Научно-технический раздел Представлены явные выражения градиентов функционалов-невязок для идентификации градиентными методами Алифанова различных параметров ряда задач напряженно-деформированного состояния многокомпонентных тел с включениями. Представлено явні вирази градієнтів функціоналів-нев’язок для ідентифікації градієнтними методами Аліфанова різних параметрів деяких задач напружено-деформованого стану багатокомпонентних тіл із включеннями. 2010 Article Идентификация параметров задач упругого деформирования / И.В. Сергиенко, В.С. Дейнека // Проблемы прочности. — 2010. — № 5. — С. 101-126. — Бібліогр.: 18 назв. — рос. 0556-171X http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/112006 539.3:519.6 ru Проблемы прочности Інститут проблем міцності ім. Г.С. Писаренко НАН України |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| language |
Russian |
| topic |
Научно-технический раздел Научно-технический раздел |
| spellingShingle |
Научно-технический раздел Научно-технический раздел Сергиенко, И.В. Дейнека, В.С. Идентификация параметров задач упругого деформирования Проблемы прочности |
| description |
Представлены явные выражения градиентов функционалов-невязок для идентификации градиентными методами Алифанова различных параметров ряда задач напряженно-деформированного состояния многокомпонентных тел с включениями. |
| format |
Article |
| author |
Сергиенко, И.В. Дейнека, В.С. |
| author_facet |
Сергиенко, И.В. Дейнека, В.С. |
| author_sort |
Сергиенко, И.В. |
| title |
Идентификация параметров задач упругого деформирования |
| title_short |
Идентификация параметров задач упругого деформирования |
| title_full |
Идентификация параметров задач упругого деформирования |
| title_fullStr |
Идентификация параметров задач упругого деформирования |
| title_full_unstemmed |
Идентификация параметров задач упругого деформирования |
| title_sort |
идентификация параметров задач упругого деформирования |
| publisher |
Інститут проблем міцності ім. Г.С. Писаренко НАН України |
| publishDate |
2010 |
| topic_facet |
Научно-технический раздел |
| url |
http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/112006 |
| citation_txt |
Идентификация параметров задач упругого деформирования / И.В. Сергиенко, В.С. Дейнека // Проблемы прочности. — 2010. — № 5. — С. 101-126. — Бібліогр.: 18 назв. — рос. |
| series |
Проблемы прочности |
| work_keys_str_mv |
AT sergienkoiv identifikaciâparametrovzadačuprugogodeformirovaniâ AT dejnekavs identifikaciâparametrovzadačuprugogodeformirovaniâ |
| first_indexed |
2025-07-08T03:10:36Z |
| last_indexed |
2025-07-08T03:10:36Z |
| _version_ |
1837046681144655872 |
| fulltext |
ÓÄÊ 539.3:519.6
Èäåíòèôèêàöèÿ ïàðàìåòðîâ çàäà÷ óïðóãîãî äåôîðìèðîâàíèÿ
È. Â. Ñåðãèåíêî, Â. Ñ. Äåéíåêà
Èíñòèòóò êèáåðíåòèêè èì. Â. Ì. Ãëóøêîâà ÍÀÍ Óêðàèíû, Êèåâ, Óêðàèíà
Ïðåäñòàâëåíû ÿâíûå âûðàæåíèÿ ãðàäèåíòîâ ôóíêöèîíàëîâ-íåâÿçîê äëÿ èäåíòèôèêàöèè ãðà-
äèåíòíûìè ìåòîäàìè Àëèôàíîâà ðàçëè÷íûõ ïàðàìåòðîâ ðÿäà çàäà÷ íàïðÿæåííî-äåôîðìè-
ðîâàííîãî ñîñòîÿíèÿ ìíîãîêîìïîíåíòíûõ òåë ñ âêëþ÷åíèÿìè.
Êëþ÷åâûå ñëîâà: ìíîãîêîìïîíåíòíûå òåëà, íàïðÿæåííî-äåôîðìèðîâàííîå
ñîñòîÿíèå, èäåíòèôèêàöèÿ ïàðàìåòðîâ, ãðàäèåíòíûå ìåòîäû.
Ââåäåíèå. Â íàñòîÿùåå âðåìÿ ïðè àíàëèçå íàïðÿæåííî-äåôîðìèðîâàí-
íîãî ñîñòîÿíèÿ ðàçíûõ òåõíè÷åñêèõ îáúåêòîâ çà÷àñòóþ èñïîëüçóþòñÿ ðåçóëü-
òàòû ðàçëè÷íûõ âû÷èñëèòåëüíûõ ýêñïåðèìåíòîâ, ÷òî òðåáóåò çàäàíèÿ èñõîä-
íûõ äàííûõ ñ âûñîêîé òî÷íîñòüþ.
 ñèëó ñòàðåíèÿ ìàòåðèàëîâ, ïðåäâàðèòåëüíîãî íàïðÿæåííî-äåôîðìèðî-
âàííîãî ñîñòîÿíèÿ è äðóãèõ ôàêòîðîâ ÷àñòî ñëîæíî îáåñïå÷èòü âû÷èñëè-
òåëüíûé ýêñïåðèìåíò äîñòàòî÷íî òî÷íûìè èñõîäíûìè äàííûìè ïî îòäåëü-
íûì ñîñòàâëÿþùèì òåë èëè ïàðàìåòðàìè âíåøíèõ âîçäåéñòâèé íà îïðåäå-
ëåííûõ ó÷àñòêàõ ïîâåðõíîñòåé èññëåäóåìûõ òåë è äð.
 ðàáîòàõ [1, 2] íà îñíîâå òåîðèè îïòèìàëüíîãî óïðàâëåíèÿ ñîñòîÿíèÿìè
ìíîãîêîìïîíåíòíûõ ðàñïðåäåëåííûõ ñèñòåì [3, 4] ïðåäëîæåíà òåõíîëîãèÿ
ïîñòðîåíèÿ ÿâíûõ âûðàæåíèé ãðàäèåíòîâ �J un
ôóíêöèîíàëîâ-íåâÿçîê äëÿ
èäåíòèôèêàöèè ðàçëè÷íûõ ïàðàìåòðîâ çàäà÷ òåïëîïðîâîäíîñòè ìíîãîêîìïî-
íåíòíûõ òåë ñ ïîìîùüþ ãðàäèåíòíûõ ìåòîäîâ Àëèôàíîâà [5, 6], õîðîøî
çàðåêîìåíäîâàâøèõ ñåáÿ ïðè èäåíòèôèêàöèè ðàçëè÷íûõ ïàðàìåòðîâ çàäà÷
òåïëîïðîâîäíîñòè.
 ðàáîòå [7] ýòà òåõíîëîãèÿ ïðåäñòàâëåíà äëÿ èäåíòèôèêàöèè ðàçëè÷íûõ
ïàðàìåòðîâ çàäà÷ òåðìîóïðóãîñòè ìíîãîêîìïîíåíòíûõ òåë, à â [8] – äëÿ
èäåíòèôèêàöèè ïàðàìåòðîâ ñîñòàâíûõ ñòåðæíåâûõ ñèñòåì. Ýôôåêòèâíîñòü
ãðàäèåíòíûõ ìåòîäîâ [5, 6], èñïîëüçóþùèõ ïðåäëîæåííûå ÿâíûå âûðàæåíèÿ
ãðàäèåíòîâ ôóíêöèîíàëîâ-íåâÿçîê äëÿ èäåíòèôèêàöèè ðàçëè÷íûõ ïàðàìåòðîâ
(â òîì ÷èñëå íåñêîëüêèõ îäíîâðåìåííî) ïðè ðàçëè÷íûõ ïðåäïîëîæåíèÿõ
îòíîñèòåëüíî èõ ïîâåäåíèÿ, ïðîèëëþñòðèðîâàíà íà ðåçóëüòàòàõ âû÷èñëèòåëü-
íûõ ýêñïåðèìåíòîâ [9, 10].
 äàííîé ðàáîòå ïðåäñòàâëåíû ÿâíûå âûðàæåíèÿ ãðàäèåíòîâ ôóíêöèîíà-
ëîâ-íåâÿçîê äëÿ èäåíòèôèêàöèè ïàðàìåòðîâ (êàê êîíñòàíò, ôóíêöèé, ëèíåé-
íîé êîìáèíàöèè ôóíêöèé è èõ êîìáèíàöèé) ðÿäà çàäà÷ íàïðÿæåííî-äåôîð-
ìèðîâàííîãî ñîñòîÿíèÿ ìíîãîêîìïîíåíòíûõ òåë ñ âêëþ÷åíèÿìè.
1. Âîññòàíîâëåíèå ïîâåðõíîñòíûõ ñèë íà ó÷àñòêå ãðàíèöû òåëà ïðè
èçâåñòíûõ ñìåùåíèÿõ íà åå ÷àñòè. Ïóñòü íà îãðàíè÷åííîé ñâÿçíîé ñòðîãî
ëèïøèöåâîé îáëàñòè �� R 3 îïðåäåëåíà ñèñòåìà óðàâíåíèé óïðóãîãî ðàâíî-
âåñèÿ [11]:
© È. Â. ÑÅÐÃÈÅÍÊÎ, Â. Ñ. ÄÅÉÍÅÊÀ, 2010
ISSN 0556-171X. Ïðîáëåìû ïðî÷íîñòè, 2010, ¹ 5 101
� �
�
�
�
�
ik
kk
ix
f x
1
3
~
( ), i�1 3, , (1)
ãäå x x x x� ( , , );1 2 3
ki ik iklm lm
l m
y c y� �
�
�( ) ( );
, 1
3
ik lm, – ñîîòâåòñòâåííî
ýëåìåíòû òåíçîðîâ íàïðÿæåíèé è äåôîðìàöèé;
�
�
�
�lm lm
l
m
m
l
y
y
x
y
x
� � �
�
��
�
�
��( )
1
2
;
y y x y x y x� ( ( ), ( ), ( ))1 2 3 – âåêòîð ñìåùåíèé; y xi ( ) – åãî ïðîåêöèÿ íà i-þ îñü
äåêàðòîâîé ñèñòåìû êîîðäèíàò;
~
{
~
( )}f f xi i� �1
3 – âåêòîð ìàññîâûõ ñèë.
Óïðóãèå ïîñòîÿííûå ïîä÷èíåíû ñèììåòðèè c c ciklm lmik kiml� � è óäîâëå-
òâîðÿþò óñëîâèþ
ciklm ik lm ik
i ki k l m
�
�
��
�� 0
2
1
3
1
3
,, , ,
, �0 0� �const . ( �1)
Íà ÷àñòÿõ �1 , � 0 ãðàíèöû �� îáëàñòè � çàäàíû óñëîâèÿ:
y��, x ��1; (2)
y f� 0 , x � �� 0 2� , (3)
ãäå �� � � �� � �1 2 ; � �1 2� ��; �, f 0 – èçâåñòíûå ôóíêöèè.
Ïðåäïîëàãàåì, ÷òî íà ÷àñòè � �2 � \ �1 çàäàíû íàïðÿæåíèÿ, êîòîðûå
ñ÷èòàåì íåèçâåñòíûìè:
ij j i
j
y n u( ) ,�
�
�
1
3
i�1 3, , (4)
ãäå n j – j-ÿ êîìïîíåíòà åäèíè÷íîãî âíåøíåãî âåêòîðà n (âíåøíåé íîðìàëè)
ê ïîâåðõíîñòè � ��� .
Òåì ñàìûì ïîëó÷åíà çàäà÷à (1)–(4), ñîñòîÿùàÿ â íàõîæäåíèè âåêòîð-
ôóíêöèè u u U Li i� � ��{ } ( ( )) ,1
3
2 2
3� ïðè êîòîðîé ðåøåíèå y y u y u x� �( ) ( ; )
êðàåâîé çàäà÷è (1), (2), (4) óäîâëåòâîðÿåò ðàâåíñòâàì (3). Âìåñòî êëàññè÷åñ-
êîãî ðåøåíèÿ êðàåâîé çàäà÷è (1), (2), (4) áóäåì èñïîëüçîâàòü åå îáîáùåííîå
ðåøåíèå.
Îïðåäåëåíèå 1. Ïðè êàæäîì ôèêñèðîâàííîì u U� îáîáùåííûì ðåøå-
íèåì êðàåâîé çàäà÷è (1), (2), (4) íàçûâàåòñÿ ôóíêöèÿ y y u x V� �( ; ) , êîòîðàÿ
� �w x V( ) 0 óäîâëåòâîðÿåò òîæäåñòâó
a y w l u w( , ) ( ; ),� (5)
ãäå
V v x W v� � �{ ( ) ( ( )) : };2
1 3
1
� � � V v x W v0 2
1 3
1
0� � �{ ( ) ( ( )) : };� �
102 ISSN 0556-171X. Ïðîáëåìû ïðî÷íîñòè, 2010, ¹ 5
È. Â. Ñåðãèåíêî, Â. Ñ. Äåéíåêà
a y w c y w dxiklm lm ik
i k l m
( , ) ( ) ( ) ,
, , ,
�
�
��
1
3
�
l u w f w u w L( ; ) (
~
, ) ( , ) ;( )� �
2 2�
W2
1( )� – ïðîñòðàíñòâî ôóíêöèé Ñîáîëåâà.
Ââåäåì â ðàññìîòðåíèå ôóíêöèîíàë-íåâÿçêó
J u Au f
L
( ) ,
( )
� �
1
2 0
2
2 0�
(6)
ãäå Au y u x� ( ; )
�0
, y u x( ; ) – ðåøåíèå çàäà÷è (5) ïðè ôèêñèðîâàííîì u U� .
Âìåñòî çàäà÷è (1)–(4) áóäåì ðàññìàòðèâàòü çàäà÷ó (5), (6), êîòîðàÿ ñîñòî-
èò â íàõîæäåíèè ýëåìåíòà u, ìèíèìèçèðóþùåãî íà U ôóíêöèîíàë (6) ïðè
âûïîëíåíèè îãðàíè÷åíèÿ (5).
Çàäà÷ó (6), (5) áóäåì ðåøàòü ïðèáëèæåííî ñ ïîìîùüþ ãðàäèåíòíûõ
ìåòîäîâ Àëèôàíîâà [5, 6], ãäå ( )n�1 -e ïðèáëèæåíèå un�1 ðåøåíèÿ u U�
íàõîäèì ñ ïîìîùüþ èòåðàöèîííîãî ïðîöåññà
u u pn n n n� � �1 � , n n�0 1, , ... , ,* (7)
íà÷èíàÿ ñ íåêîòîðîãî íà÷àëüíîãî ïðèáëèæåíèÿ u U0 � , ïðè÷åì íàïðàâëåíèå
ñïóñêà pn è êîýôôèöèåíò �n îïðåäåëÿþòñÿ òàêèìè âûðàæåíèÿìè:
äëÿ ìåòîäà ìèíèìàëüíûõ îøèáîê
p Jn un
� � , �n
n
u
e
J
n
�
�
2
2 ; (8)
äëÿ ìåòîäà ñêîðåéøåãî ñïóñêà
p Jn un
� � , �n
u
u
J
AJ
n
n
�
�
�
2
2 ; (9)
äëÿ ìåòîäà ñîïðÿæåííûõ ãðàäèåíòîâ
p J pn u n nn
� � � �� 1 , � 0 0� , � n
u
u
J
J
n
n
�
�
�
�
2
2
1
, �n
u n
n
J p
Ap
n
�
�( , )
2 (10)
( �J un
– ãðàäèåíò ôóíêöèîíàëà J u( ) â òî÷êå u un� ; e Au fn n� � 0 ; Aun �
� y u xn( ; ) ).
�0
ISSN 0556-171X. Ïðîáëåìû ïðî÷íîñòè, 2010, ¹ 5 103
Èäåíòèôèêàöèÿ ïàðàìåòðîâ çàäà÷ óïðóãîãî äåôîðìèðîâàíèÿ
Àíàëîãè÷íî [3, 12] ââåäåì â ðàññìîòðåíèå îáîçíà÷åíèÿ
� �( , ) ( ( ) ( ), ( ) ( )) ;( )u v Y u Y Y v Y L� � �0 0
2 0
L v f Y Y v Y L( ) ( ( ), ( ) ( )) ,( )� � �0 0 0
2 0�
(11)
ãäå � �v U Y v y v x( ) ( ; ) ;�
�0
y v x( ; ) – ðåøåíèå çàäà÷è (5) ïðè u v� .
Ëåãêî âèäåòü, ÷òî
2 2 00
2
2 0
J v v v L v f Y
L
( ) ( , ) ( ) ( ) .
( )
� � � ��
� (12)
Ïóñòü u v U, .� Ïðè � ( , )0 1 ïîëó÷èì z u u u� � � � � � � ! !( ) ( )1
�U è èìååò ìåñòî âûðàæåíèå
lim
( ( )) ( )
( , ) ( )
�
"
� � �
� � � � �
0
J u v u J u
u v u L v u
� � � � � �( ( ) , ( ) ( )) ( ; ).( )Y u f Y v Y u J u v uL0 2 0�
(13)
Ñëåäîâàòåëüíî, J u( ) èìååò ïðîèçâîäíóþ � �J u v u( ; ) â òî÷êå u ïî
íàïðàâëåíèþ z v u� � [13]. Èçâåñòíî [13], åñëè ñóùåñòâóåò òàêîé ýëåìåíò
u U* * ,� ÷òî � �z U
� �J u z u z( ; ) , ,*
(14)
òî ôóíêöèîíàë J , äèôôåðåíöèðóåìûé ïî Ãàòî â òî÷êå u, è u J u
* � � –
ïðîèçâîäíàÿ ïî Ãàòî ôóíêöèîíàëà J u( ) â òî÷êå u (ñëàáàÿ ïðîèçâîäíàÿ
ôóíêöèîíàëà J â òî÷êå u).
Äëÿ êàæäîãî ïðèáëèæåíèÿ u Un � çàäà÷è (5), (6) ââåäåì â ðàññìîòðåíèå
ñëåäóþùóþ ñîïðÿæåííóþ êðàåâóþ çàäà÷ó:
� � � � �
� �
�
�
� #
�
#
#
ik
kk
ij j
x
i x
n i
( )
, , , ; ;
( ) , ,
0 1 3 0
0 1
1
3
1
�
�
3
1 3
2 0
1
3
0 0
1
3
, \ ;
( ) ( ) , , , ,
x
n y u f i x
j
ij j i n i
j
�
� � � �
�
�
� � �
# ��
$
%
&
&
&
&&
'
&
&
&
&
&
(15)
ãäå
#
#ij iklm lm
l m
c( ) ( ).
,
�
�
�
1
3
104 ISSN 0556-171X. Ïðîáëåìû ïðî÷íîñòè, 2010, ¹ 5
È. Â. Ñåðãèåíêî, Â. Ñ. Äåéíåêà
Îïðåäåëåíèå 2. Îáîáùåííûì ðåøåíèåì êðàåâîé çàäà÷è (15) íàçûâàåòñÿ
ôóíêöèÿ #�V0 , êîòîðàÿ � �w x V( ) 0 óäîâëåòâîðÿåò òîæäåñòâó
a w l y u wn( , ) ( ( ); ),# #� (16)
ãäå
l y u w y u f wn n L# �( ( ); ) ( ( ) , ) .( )� � 0 2 0
(17)
Âûáèðàÿ â òîæäåñòâå (16) âìåñòî ôóíêöèè w ðàçíîñòü y u y un n( ) ( )� �1 ,
ñ ó÷åòîì (5) èìååì
( ( ) , ( ) ( )) ( , ( ) ( ))( )y u f y u y u a y u y un n n L n n� � � � �� �0 1 12 0�
#
� � ��l u l u un n n L( ; ) ( ; ) ( , ) .( )1 2 0
# # # �( (18)
Íà îñíîâàíèè (13), (18) ïîëó÷èì
� �J u uu n n Ln
, ( , ) .( )( ( # �2 0
(19)
Ñëåäîâàòåëüíî,
� �J un
~,# (20)
ãäå
~ ,# #
�
�
0
� �J un
2 2
0
~
#
�
.
Íàëè÷èå ãðàäèåíòà �J un
ïîçâîëÿåò ðåàëèçîâàòü ìåòîä ìèíèìàëüíûõ îøè-
áîê (7), (8) äëÿ îïðåäåëåíèÿ ( )n�1 -ãî ïðèáëèæåíèÿ un�1 ðåøåíèÿ u U�
çàäà÷è (5), (6).
Ðåøèâ çàäà÷ó âèäà (5), ãäå ïðèìåì u J un
� � , ïîëó÷èì âåêòîð AJ un
� , ÷òî
ïîçâîëÿåò èñïîëüçîâàòü ìåòîä ñêîðåéøåãî ñïóñêà (7), (9) äëÿ îïðåäåëåíèÿ
( )n�1 -ãî ïðèáëèæåíèÿ un�1 ðåøåíèÿ u U� çàäà÷è (5), (6).
Îïðåäåëèâ íàïðàâëåíèå ñïóñêà ñ ïîìîùüþ âûðàæåíèé (10) è ðåøèâ
çàäà÷ó âèäà (5), ãäå ïðèìåì u pn� , ïîëó÷èì âåêòîð Apn . Ýòî ïîçâîëÿåò
èñïîëüçîâàòü ìåòîä ñîïðÿæåííûõ ãðàäèåíòîâ (7), (10) äëÿ îïðåäåëåíèÿ
( )n�1 -ãî ïðèáëèæåíèÿ un�1 èñêîìîãî ðåøåíèÿ u U� çàäà÷è (5), (6).
2. Ïàðàìåòðè÷åñêèé ñïîñîá âîññòàíîâëåíèÿ ïîâåðõíîñòíîé íàãðóçêè.
Íà îñíîâàíèè ðàâåíñòâà (19) ìîæíî ïîëó÷èòü ÿâíûå âûðàæåíèÿ ãðàäèåíòà
�J un
äëÿ ñëó÷àÿ, êîãäà âñå èëè ÷àñòü âîññòàíàâëèâàåìûõ ïðîåêöèé ui , i�1 3, ,
ïðåäñòàâëÿþòñÿ â âèäå ëèíåéíîé êîìáèíàöèè ñîîòâåòñòâóþùèõ ñèñòåì ëè-
íåéíî íåçàâèñèìûõ ôóíêöèé.
Ïóñòü
u xi ij ij
j
mi
�
�
�� � ( ),
1
i�1 3, , x �� 0 , (21)
ISSN 0556-171X. Ïðîáëåìû ïðî÷íîñòè, 2010, ¹ 5 105
Èäåíòèôèêàöèÿ ïàðàìåòðîâ çàäà÷ óïðóãîãî äåôîðìèðîâàíèÿ
ãäå � ij R� , R – ìíîæåñòâî âåùåñòâåííûõ ÷èñåë; { }� ij j
mi
�1 – ñèñòåìà ëèíåéíî
íåçàâèñèìûõ ôóíêöèé ïðè êàæäîì i, i�1 3, .
Íà îñíîâàíèè (19) ñ ó÷åòîì (21) ïîëó÷èì âûðàæåíèå (20), ãäå
~ {~ } ;# #n n
i
i� �1
3 ~ {~ } ;# #n
i
nj
i
j
mi� �1
~ ( , ) ;( )# � # �n
i
ij Lj
�
2 0
� �
��
��J u nj
i
j
m
i
n
i2 2
11
3
(~ ) .#
3. Âîññòàíîâëåíèå íîðìàëüíîé íàãðóçêè íà òåëî ïðè îòñóòñòâèè
êàñàòåëüíûõ íàïðÿæåíèé. Ïóñòü â çàäà÷å (1)–(4) âìåñòî (4) èìååì
n y u( ) ,� ) s y( ) ,�0 x ��2 , (22)
ãäå n , ) s – ñîîòâåòñòâåííî íîðìàëüíàÿ è êàñàòåëüíàÿ ñîñòàâëÿþùèå âåêòîðà
íàïðÿæåíèé.
Òàêèì îáðàçîì ïîëó÷åíà çàäà÷à (1)–(3), (22), êîòîðàÿ ñîñòîèò â íàõîæ-
äåíèè ñêàëÿðíîé ôóíêöèè u U L� � 2 2( ),� ïðè êîòîðîé ðåøåíèå y y u x� ( ; )
êðàåâîé çàäà÷è (1), (2), (22) óäîâëåòâîðÿåò ðàâåíñòâàì (3).
Îïðåäåëåíèå 3. Ïðè êàæäîì ôèêñèðîâàííîì u U� îáîáùåííûì ðåøå-
íèåì êðàåâîé çàäà÷è (1), (2), (22) íàçûâàåòñÿ ôóíêöèÿ y y u y u x V� � �( ) ( ; ) ,
êîòîðàÿ � �w x V( ) 0 óäîâëåòâîðÿåò òîæäåñòâó
a y w l u w( , ) ( ; ),� (23)
ãäå l u w f w u wn L( ; ) (
~
, ) ( , ) ;( )� �
2 2�
wn – íîðìàëüíàÿ ñîñòàâëÿþùàÿ âåêòîðà
w.
Ôóíêöèîíàë-íåâÿçêà èìååò âèä (6). Äëÿ êàæäîãî n-ãî ïðèáëèæåíèÿ un
ðåøåíèÿ u U� çàäà÷è (6), (23) ñîïðÿæåííàÿ çàäà÷à èìååò âèä (15), à ñîîò-
âåòñòâóþùàÿ åé çàäà÷à â ñëàáîé ïîñòàíîâêå îïðåäåëåíà òîæäåñòâîì (16).
Íà îñíîâàíèè òîæäåñòâà (16) ñ ó÷åòîì (23) ïîëó÷èì
� �J u uu n n n Ln
, ( , ) .( )( ( �#
2 2
Ñëåäîâàòåëüíî, � �J un
~,# ãäå ~ ;# #� n #n – íîðìàëüíàÿ ñîñòàâëÿþùàÿ íà
�2 ðåøåíèÿ # çàäà÷è (16);
� ��J du nn
2 2
2
2
# �
�
.
4. Èäåíòèôèêàöèÿ êàñàòåëüíîãî íàïðÿæåíèÿ íà ÷àñòè �2 , ðàñïîëî-
æåííîé íà ïëîñêîñòè x 3 �const. Ïóñòü â çàäà÷å (1)–(4) ÷àñòü �2
1 ãðàíèöû
� ��� òåëà � ðàñïîëîæåíà íà ïëîñêîñòè x 3 �const, íà êîòîðîé âìåñòî (4)
çàäàíû êðàåâûå óñëîâèÿ:
106 ISSN 0556-171X. Ïðîáëåìû ïðî÷íîñòè, 2010, ¹ 5
È. Â. Ñåðãèåíêî, Â. Ñ. Äåéíåêà
ij j i
j
y n u( ) ,�
�
�
1
3
i�1 2, , x ��2
1; (24)
ij j i
j
y n g( ) ,�
�
�
1
3
i�1 3, , x �� �2 2
1\ ; (24�)
y 3 0� , x ��2
1 , (25)
ãäå íåèçâåñòíûìè âûñòóïàþò u1 , u2 – ïåðâûå êîìïîíåíòû ïîâåðõíîñòíîé
ïëîòíîñòè ñèë òðåíèÿ; � �2
1
2 3 0� � �{ : }.x x Óñëîâèå (25) îòðàæàåò îòñóòñò-
âèå âåðòèêàëüíûõ ñìåùåíèé.
Ïîëó÷åííàÿ çàäà÷à (1)–(3), (24), (24�), (25) ñîñòîèò â íàõîæäåíèè âåêòîðà
u u u U L L� � � *( , ) ( ) ( ),1 2 2 2
1
2 2
1� � ïðè êîòîðîì ðåøåíèå êðàåâîé çàäà÷è (1),
(2), (24) (24�), (25) óäîâëåòâîðÿåò ðàâåíñòâàì (3).
Îïðåäåëåíèå 4. Ïðè êàæäîì ôèêñèðîâàííîì u U� îáîáùåííûì ðåøå-
íèåì êðàåâîé çàäà÷è (1), (2), (24) (24�), (25) íàçûâàåòñÿ ôóíêöèÿ y y u� �( )
� �y u x V( ; ) , êîòîðàÿ � �w x V( ) 0 óäîâëåòâîðÿåò òîæäåñòâó
a y w l u w( , ) ( ; ),� (26)
ãäå
V v x W v vi� � � �{ ( ) ( ( )) : , };2
1 3
31
2
1
0� �
�
�
V v x W v vi0 2
1 3
30 0
2
1
� � � �{ ( ) ( ( )) : , };� �
�+
l u w f w g w u w
L i i L
i
( ; ) (
~
, ) ( , ) ( , ) .
( \ ) ( )
� � �
�
�
2 2 2
1
2
� � �,
+
,
+ (27)
Âìåñòî çàäà÷è (1)–(4), (24), (24�), (25) áóäåì ðàññìàòðèâàòü çàäà÷ó (26),
(6), êîòîðàÿ ñîñòîèò â íàõîæäåíèè âåêòîð-ôóíêöèè u, ìèíèìèçèðóþùåé íà U
ôóíêöèîíàë (6) ïðè îãðàíè÷åíèè (26). Çàäà÷ó (6), (26) áóäåì ðåøàòü ïðèáëè-
æåííî ñ ïîìîùüþ ãðàäèåíòíûõ ìåòîäîâ (7).
Äëÿ êàæäîãî ïðèáëèæåíèÿ un ðåøåíèÿ u U� çàäà÷è (6), (26) ñîïðÿ-
æåííóþ çàäà÷ó îïðåäåëèì ñëåäóþùèì îáðàçîì:
� � � �
� �
$
%
&
&
'
&
&
�
�
� #
�
# #
ik
kk
x
i x
( )
, , , ;
; ;
0 1 3
0 0
1
3
3
1 2
1
�
� �
(28a)
ISSN 0556-171X. Ïðîáëåìû ïðî÷íîñòè, 2010, ¹ 5 107
Èäåíòèôèêàöèÿ ïàðàìåòðîâ çàäà÷ óïðóãîãî äåôîðìèðîâàíèÿ
# �
#
ij j
j
ij j
n i x
n i
( ) , , , \ ( );
( ) ,
� � � �
� �
�
� 0 1 3
0 1
2 2
1
0
1
3
� �
, , ;
( ) ( ) , , , ,
2
1 3
1
3
0 0
1
3
x
n y u f i x
j
ij j i n i
j
�
� � � �
�
�
�
�
�,
+
# �
$
%
&
&
&
&&
'
&
&
&
&
&
(28á)
ãäå
#
#ij iklm lm
l m
c( ) ( ).
,
�
�
�
1
3
Îïðåäåëåíèå 5. Îáîáùåííûì ðåøåíèåì êðàåâîé çàäà÷è (28) íàçûâàåòñÿ
ôóíêöèÿ #�V0 , êîòîðàÿ � �w V0 óäîâëåòâîðÿåò òîæäåñòâó
a w l y u wn( , ) ( ( ); ),# #� (29)
ãäå ôîðìà l# ( ; )- - îïðåäåëåíà âûðàæåíèåì (17).
Âûáèðàÿ â òîæäåñòâå (29) âìåñòî ôóíêöèè w ðàçíîñòü y u y un n( ) ( )� �1 ,
ñ ó÷åòîì (26) ïîëó÷àåì
( ( ) , ( ) ( )) ( , )( ) ( )
y u f y u y u un n n L in i L
i
� � ��
�
0 1
1
2 0 2 2
1� #(
�
2
� .
Ñëåäîâàòåëüíî,
� �J un
~,# (30)
ãäå
~ {~ } ;# #� �i i 1
2 ~ ,# #i i�
�2
1 i�1 2, .
Íàëè÷èå ãðàäèåíòà �J un
(30) ïîçâîëÿåò ðåàëèçîâàòü ãðàäèåíòíûå ìåòîäû
(7) äëÿ èäåíòèôèêàöèè êàñàòåëüíûõ íàïðÿæåíèé íà ó÷àñòêå �2
1.
5. Èäåíòèôèêàöèÿ êîýôôèöèåíòà “ïîäàòëèâîñòè” îáîëî÷êè, îãðàíè-
÷èâàþùåé òåëî �. Ïóñòü íà îáëàñòè � îïðåäåëåíà ñèñòåìà óðàâíåíèé (1).
Íà ãðàíèöå � òåëà � çàäàíû êðàåâûå óñëîâèÿ [14]:
) s y( ) ;�0 (31)
N Nuy� �0; (32)
y f� 0 , x �� 0 , (33)
108 ISSN 0556-171X. Ïðîáëåìû ïðî÷íîñòè, 2010, ¹ 5
È. Â. Ñåðãèåíêî, Â. Ñ. Äåéíåêà
ãäå � 0 ��; N , y N – íîðìàëüíûå ñîñòàâëÿþùèå âåêòîðà íàïðÿæåíèé è
âåêòîðà ñìåùåíèé ñîîòâåòñòâåííî.
Çàäà÷à (1), (31)–(33) ñîñòîèò â íàõîæäåíèè ýëåìåíòà u U C� � ��( )� 0
� � �{ ( ) ( ): },v x C v� �
0 0 0 ïðè êîòîðîì ðåøåíèå y y u x� ( ; ) êðàåâîé çàäà÷è
(1), (31), (32) óäîâëåòâîðÿåò ðàâåíñòâó (33). Âìåñòî êëàññè÷åñêîãî ðåøåíèÿ
êðàåâîé çàäà÷è (1), (31), (32) áóäåì èñïîëüçîâàòü åå îáîáùåííîå ðåøåíèå.
Îïðåäåëåíèå 6. Ïðè êàæäîì ôèêñèðîâàííîì u U� îáîáùåííûì ðåøåíè-
åì êðàåâîé çàäà÷è (1), (31), (32) íàçûâàåòñÿ ôóíêöèÿ y y u y u x V� � �( ) ( ; ) ,
êîòîðàÿ � �w x V( ) 0 óäîâëåòâîðÿåò òîæäåñòâó
a u y w l w( ; , ) ( ),� (34)
ãäå
V V W� �0 2
1 3( ( )) ;�
a u y w c y w dx uy w diklm lm ik N N
i k l m
( ; , ) ( ) ( ) ;
, , ,
� ���
�
�
�1
3
�
� l w f w( ) (
~
, ).�
Ïîñêîëüêó � �y V ïðè êàæäîì ôèêñèðîâàííîì u U� èìååò ìåñòî íåðà-
âåíñòâî [14]
a u y y c y y( ; , ) ( , ),� 0 (35)
ãäå c c u0 0 0� � �( ) ,const â ñèëó ëåììû Ëàêñà–Ìèëüãðàìà [15] çàäà÷à (34)
èìååò åäèíñòâåííîå ðåøåíèå y y u V� �( ) . Ôóíêöèîíàë-íåâÿçêà èìååò âèä
(6).
Çàäà÷ó (34), (6) áóäåì ðåøàòü ïðèáëèæåííî ñ ïîìîùüþ èòåðàöèîííîãî
ïðîöåññà (7).
Ïðèðàùåíèå .�(ó ðåøåíèÿ y u( ) çàäà÷è (34), ñîîòâåòñòâóþùåå ïðèðà-
ùåíèþ (u ýëåìåíòà u U� ïðè ïðåíåáðåæåíèè ÷ëåíàìè âòîðîãî ïîðÿäêà
ìàëîñòè, íà îñíîâàíèè (34) îïðåäåëèì êàê ðåøåíèå çàäà÷è: íàéòè ôóíêöèþ
.�V , êîòîðàÿ � �w x V( ) 0 óäîâëåòâîðÿåò òîæäåñòâó
a u w u y u wn n N n N L( ; , ) ( ( ), ) .( ). �� ( �2
(36)
Äëÿ êàæäîãî ïðèáëèæåíèÿ un ðåøåíèÿ u U� çàäà÷è (6), (34) ââåäåì â
ðàññìîòðåíèå ñëåäóþùóþ ñîïðÿæåííóþ çàäà÷ó:
� � � �
� � �
�
�
� #
�
# #
ik
kk
N n N N n N
x
i x
u y u f
( )
, , , ;
( ) ( )
0 1 3
1
3
0
�
, ;
( ) ( ) , ;
( ) , \ ;
x
y u f x
u x
s s n s
N n N s
�
� � �
� � �
�
) # �
# # � )
0
0 0
00 � ( ) .
\
#
�� 0
0�
$
%
&
&
&
'
&
&
&
(37)
ISSN 0556-171X. Ïðîáëåìû ïðî÷íîñòè, 2010, ¹ 5 109
Èäåíòèôèêàöèÿ ïàðàìåòðîâ çàäà÷ óïðóãîãî äåôîðìèðîâàíèÿ
Îïðåäåëåíèå 7. Îáîáùåííûì ðåøåíèåì êðàåâîé çàäà÷è (37) íàçûâàåòñÿ
ôóíêöèÿ #�V , êîòîðàÿ � �w x V( ) 0 óäîâëåòâîðÿåò òîæäåñòâó
a u w l y u wn n( ; , ) ( ( ); ),# #� (38)
ãäå
l y u w y u f wn n L# �( ( ); ) ( ( ) , ) .( )� � 0 2 0
(38�)
Âûáèðàÿ âìåñòî ôóíêöèè w òîæäåñòâà (38) ðàçíîñòü ~( ) ( ),y u y un n� �1 ñ
ó÷åòîì (36) ïîëó÷àåì
( ( ) , ~( ) ( )) ( )y u f y u y un n n L� � ��0 1 2 0�
� � ���a u y u y u u y un n n n N n N L( ; , ~( ) ( )) ( ( ), ) ,( )# #1 2
( � (39)
ãäå ôóíêöèÿ ~ ~( )y y un� �1 îïðåäåëåíà êàê ðåøåíèå çàäà÷è: íàéòè ôóíêöèþ
~ ,y V� êîòîðàÿ � �w x V( ) 0 óäîâëåòâîðÿåò òîæäåñòâó
a u y w l w u y u w dn n N n N( ; ~, ) ( ) ( ) .� ��( �
�
Íà îñíîâàíèè (39) èìååì
� /�J u u y uu n n N n N Ln
, ( ( ), ) .( )( ( �#
2
(39�)
Ñëåäîâàòåëüíî,
� /J un
~,# (40)
ãäå
~ ( ) ;# #��y uN n N � � /J u Ln
2 2
2
~ .
( )
#
�
Çàìå÷àíèå 1. Åñëè âîññòàíàâëèâàåìûé êîýôôèöèåíò u ïîñòîÿííûé ïî
âñåé ãðàíèöå � , ò.å. åñëè U R� � , òî íà îñíîâàíèè (39�) ïîëó÷èì
~ ( ) ;# #��� y u dN n N �
�
� /J un
2 2~ .#
6. Ïàðàìåòðè÷åñêèé ñïîñîá èäåíòèôèêàöèè êîýôôèöèåíòà “ïîäàòëè-
âîñòè” îáîëî÷êè, îãðàíè÷èâàþùåé òåëî �. Ïóñòü â çàäà÷å (6), (34) âîññòà-
íàâëèâàåìàÿ ôóíêöèÿ u èìååò âèä
u xi i
i
m
� �
�
�� � ( ) ,0
1
(41)
110 ISSN 0556-171X. Ïðîáëåìû ïðî÷íîñòè, 2010, ¹ 5
È. Â. Ñåðãèåíêî, Â. Ñ. Äåéíåêà
ãäå { ( )}� i i
mx �1 – ñèñòåìà ëèíåéíî íåçàâèñèìûõ ôóíêöèé; � i R� � , ò.å.
U R m� � .
Íà îñíîâàíèè (39�) ïîëó÷èì
� /J un
~,#
ãäå
~ {~ } ;# #� �i i
m
1
~ ( ( ), ) ;( )# � #i i N n N Ly u��
2 � � /
�
�J u i
i
m
n
2 2
1
~ .#
7. Âîññòàíîâëåíèå êîýôôèöèåíòà æåñòêîñòè ñîïðèêàñàåìîãî òåëà.
Ïóñòü íà îáëàñòè � îïðåäåëåíà ñèñòåìà óðàâíåíèé óïðóãîãî ðàâíîâåñèÿ (1).
Íà ãðàíèöå � òåëà çàäàíû óñëîâèÿ:
y
�1
��; (42)
ij j i
j
n g�
�
� ,
1
3
i�1 3, , x ��2 ; (43)
) s �3
0� , N Nuy� �0, x ��3 ; (44)
y f
�0
0� , (45)
ãäå � 0 2�� ; � �� �
�i
i
1
3
; � �i j� �� ïðè i j0 ; i j, , .�1 3
Ïîëó÷åíà çàäà÷à (1), (42)–(45), ñîñòîÿùàÿ â íàõîæäåíèè ýëåìåíòà
u U C� � �( ),�3 ïðè êîòîðîì ðåøåíèå y y u y u x� �( ) ( ; ) êðàåâîé çàäà÷è (1),
(42)–(44) óäîâëåòâîðÿåò ðàâåíñòâó (45).
Âìåñòî êëàññè÷åñêîãî ðåøåíèÿ êðàåâîé çàäà÷è (1), (42)–(44) áóäåì
èñïîëüçîâàòü åå îáîáùåííîå ðåøåíèå.
Îïðåäåëåíèå 8. Ïðè êàæäîì ôèêñèðîâàííîì u U� îáîáùåííûì ðåøå-
íèåì êðàåâîé çàäà÷è (1), (42)–(44) íàçûâàåòñÿ ôóíêöèÿ y y u y u x V� � �( ) ( ; ) ,
êîòîðàÿ � �w x V( ) 0 óäîâëåòâîðÿåò òîæäåñòâó
a u y w l w( ; , ) ( ),� (46)
ãäå
V v x W v� � �{ ( ) ( ( )) : };2
1 3
1
� � � V v x W v0 2
1 3
1
0� � �{ ( ) ( ( )) : };� �
a u y w c y w dx uy w diklm lm ik N N
i k l m
( ; , ) ( ) ( ) ,
, , ,
� ��
�
�
�
3
1 3
3
��
�
ISSN 0556-171X. Ïðîáëåìû ïðî÷íîñòè, 2010, ¹ 5 111
Èäåíòèôèêàöèÿ ïàðàìåòðîâ çàäà÷ óïðóãîãî äåôîðìèðîâàíèÿ
l w f w g w L( ) (
~
, ) ( , ) .( )� �
2 2�
Ôóíêöèîíàë-íåâÿçêà èìååò âèä (6). Ïðèðàùåíèå .�(ó ðåøåíèÿ y y u� ( )
çàäà÷è (46), ñîîòâåòñòâóþùåå ïðèðàùåíèþ (u ýëåìåíòà u U� , îïðåäåëèì
êàê ðåøåíèå çàäà÷è: íàéòè ôóíêöèþ .�V0 , êîòîðàÿ � �w x V( ) 0 óäîâëå-
òâîðÿåò òîæäåñòâó
a u w uy u wN N L( ; , ) ( ( ), ) .( ). �� ( �2 3
(47)
Äëÿ êàæäîãî ïðèáëèæåíèÿ un ðåøåíèÿ u U� çàäà÷è (6), (46) ââåäåì â
ðàññìîòðåíèå ñëåäóþùóþ ñîïðÿæåííóþ êðàåâóþ çàäà÷ó:
� � � �
�
� �
�
�
� #
�
#
#
ik
kk
ij j
x
i x
n i
( )
, , , ;
;
( ) , ,
0 1 3
0
0 1
1
3
1
�
�
3
1 3
2 0
1
3
0
1
3
0
, \ ;
( ) ( ) , , ,
x
n y u f i x
j
ij j i n i
j
�
� � � �
�
�
�
�
� �
# � ;
( ) ; ( ) , .) # # #s N n Nu x� �3 30 0� � � �
$
%
&
&
&
&
&
&
'
&
&
&
&
&
&
(48)
Îïðåäåëåíèå 9. Îáîáùåííûì ðåøåíèåì êðàåâîé çàäà÷è (48) íàçûâàåòñÿ
ôóíêöèÿ #( ) ,x V� 0 êîòîðàÿ � �w x V( ) 0 óäîâëåòâîðÿåò òîæäåñòâó
a u w l y u wn n( ; , ) ( ( ); ),# #� (49)
ãäå ôîðìà l# ( ; )- - îïðåäåëåíà âûðàæåíèåì (38�).
Âûáèðàÿ â òîæäåñòâå (49) âìåñòî ôóíêöèè w ðàçíîñòü ~( ) ( )y u y un n� �1 ,
ñ ó÷åòîì (47) ïîëó÷àåì
( ( ) , ~( ) ( )) ( ( ), )( ) (y u f y u y u u y un n n L n N n N L� � ���0 1 2 0 2� #( �3 ) , (50)
ãäå ~( )y un�1 – ôóíêöèÿ èç V , êîòîðàÿ � �w x V( ) 0 óäîâëåòâîðÿåò òîæäåñòâó
a u y w l w u y wn n N N L( ; ~, ) ( ) ( , ) .( )� � ( �2 3
Ïîñêîëüêó
lim
( ( )) ( )
,
"
� � �
� � � /
0
J u v u J u
J v uun
/ � ��( ( ) , ~( ) ( )) ,( )y u f y u y un n n L0 1 2 0�
112 ISSN 0556-171X. Ïðîáëåìû ïðî÷íîñòè, 2010, ¹ 5
È. Â. Ñåðãèåíêî, Â. Ñ. Äåéíåêà
ñ ó÷åòîì (50) èìååì
� /J un
~,# (51)
ãäå
~ ( ) ;# #��y uN n N �3
� /�J dun
2 2
3
3
~ .#
�
�
Åñëè U R� � , òî íà îñíîâàíèè (51) ïîëó÷èì ~ ( ( ), ) ( )# #�� y uN n N L2 3�
,
� /J un
2 2~ .# Íàëè÷èå ïðèáëèæåíèÿ ~
# ãðàäèåíòà �J un
â òî÷êå u un� ïîçâî-
ëÿåò ðåàëèçîâàòü ãðàäèåíòíûå ìåòîäû (7) äëÿ îïðåäåëåíèÿ ( )n�1 -ãî ïðèáëè-
æåíèÿ un�1 ðåøåíèÿ u U� çàäà÷è (6), (46).
8. Âîññòàíîâëåíèå êîýôôèöèåíòà æåñòêîñòè íà ñäâèã ñëàáîïðî÷íîãî
ïðîñëîÿ ïðè èçâåñòíûõ ñìåùåíèÿõ è íàïðÿæåíèÿõ íà ÷àñòè ãðàíèöû
ñîñòàâíîãî òåëà. Ïóñòü íà îãðàíè÷åííûõ ñâÿçíûõ ñòðîãî ëèïøèöåâûõ îáëàñ-
òÿõ �1 , �2
3� R îïðåäåëåíà ñèñòåìà óðàâíåíèé óïðóãîãî ðàâíîâåñèÿ:
� �
�
�
�
�
ik
k
i
k
x
f x
~
( ),
1
3
i�1 3, , (52)
ãäå
ik ik iklm
i k l m
lmy c y� �
�
�( ) ( );
, , , 1
3
ciklm – óïðóãèå ïîñòîÿííûå, ðàçíûå äëÿ òåë �1 , �2 . Íà êàæäîé èç îáëàñòåé
�1 , �2 îíè óäîâëåòâîðÿþò óñëîâèþ ( �1). Íà ãðàíèöå � � �� �( ) \� � �1 2
( )� � �� � 0�� �1 2 òåëà � çàäàíû ñëåäóþùèå êðàåâûå óñëîâèÿ:
y
�1
��; (53)
ij j i
j
n g�
�
� ,
1
3
i�1 3, , x ��2 ; (54)
y f� 0 , x �� 0 , (55)
ãäå � 0 2�� , � � �� �1 2 , � �1 2� ��.
Íà ðàçðåçå � îáëàñòè � óñëîâèÿ ñîïðÿæåíèÿ ñëàáîïðî÷íîãî ïðîñëîÿ
èìåþò âèä [16]
[ ] ;y N �0 (56)
[ ( )] , N y �0 [ ( )] ,) s y �0 ) s sy u y1 �( ) [ ] (57)
ISSN 0556-171X. Ïðîáëåìû ïðî÷íîñòè, 2010, ¹ 5 113
Èäåíòèôèêàöèÿ ïàðàìåòðîâ çàäà÷ óïðóãîãî äåôîðìèðîâàíèÿ
è îòðàæàþò íåïðåðûâíîñòü íîðìàëüíûõ ñîñòàâëÿþùèõ âåêòîðîâ ñìåùåíèé,
íàïðÿæåíèé, êàñàòåëüíûõ ñîñòàâëÿþùèõ âåêòîðà íàïðÿæåíèé è ïðîïîðöè-
îíàëüíîñòü êàñàòåëüíûõ ñîñòàâëÿþùèõ âåêòîðà íàïðÿæåíèé ñêà÷êó êàñàòåëü-
íûõ ñîñòàâëÿþùåé âåêòîðà ñìåùåíèé íà ðàçðåçå � îáëàñòè � , ãäå [ ]� �
� �� �� � , � � �� �� �{ } ( )x ïðè x � �� ��2 , � � �� �� �{ ) ( )x ïðè x �
� �� ��1 , [ ]� – ñêà÷îê ôóíêöèè � íà ðåçðåçå �.
Òàêèì îáðàçîì ïîëó÷åíà çàäà÷à: íàéòè ôóíêöèþ u U C� � �( ),� ïðè
êîòîðîé ðåøåíèå y y u y u x� �( ) ( ; ) êðàåâîé çàäà÷è (52)–(54), (56), (57) óäî-
âëåòâîðÿåò ðàâåíñòâó (55). Âìåñòî êëàññè÷åñêîãî ðåøåíèÿ ýòîé êðàåâîé çàäà-
÷è áóäåì èñïîëüçîâàòü åå îáîáùåííîå ðåøåíèå.
Îïðåäåëåíèå 10. Ïðè êàæäîì ôèêñèðîâàííîì u U� îáîáùåííûì ðåøå-
íèåì êðàåâîé çàäà÷è (52)–(54), (56), (57) íàçûâàåòñÿ ôóíêöèÿ y y u� �( )
� �y u x V( ; ) , êîòîðàÿ � �w x V( ) 0 óäîâëåòâîðÿåò òîæäåñòâó
a u y w l w( ; , ) ( ),� (58)
ãäå
V v x V v v N� � � �{ ( ) : , [ ] };�1
0�
�
V v x V v v N0 1
0 0� � � �{ ( ) : , [ ] };� �
V v x v W i
i i� � �{ ( ): ( ( )) , , };� �2
1 3 1 2
a u y w c y w dx u y wiklm lm ik
i k l m
s( ; , ) ( ) ( ) [ ][
, , ,
� �
�
��
1
3
3
�
] ;d�
�
�
l w f w g w L( ) (
~
, ) ( , ) .( )� �
2 2�
Ôóíêöèîíàë-íåâÿçêà èìååò âèä
J u Au f
L
( ) ,
( )
� �
1
2 0
2
2 0�
(59)
ãäå Au y u x� ( ; ) ;
�0
y u x( ; ) – ðåøåíèå çàäà÷è (58) ïðè ôèêñèðîâàííîì u U� .
Âìåñòî çàäà÷è (52)–(57) áóäåì ðàññìàòðèâàòü çàäà÷ó (58), (59), ñîñòîÿ-
ùóþ â îïðåäåëåíèè ôóíêöèè u, ìèíèìèçèðóþùåé íà U ôóíêöèîíàë (59)
ïðè îãðàíè÷åíèè (58). Ýòó çàäà÷ó áóäåì ðåøàòü ïðèáëèæåííî ñ ïîìîùüþ
ãðàäèåíòíûõ ìåòîäîâ (7).
Ïðèðàùåíèå .�(ó ðåøåíèÿ y u( ) çàäà÷è (58), ñîîòâåòñòâóþùåå ïðèðà-
ùåíèþ (u ýëåìåíòà u U� ïðè ïðåíåáðåæåíèè ÷ëåíàìè âòîðîãî ïîðÿäêà
ìàëîñòè, îïðåäåëèì êàê ðåøåíèå çàäà÷è: íàéòè ôóíêöèþ .�V0 , êîòîðàÿ
� �w x V( ) 0 óäîâëåòâîðÿåò òîæäåñòâó
a u w l u w( ; , ) ( ; ),. .� ( (60)
ãäå l u w u y u ws s L. �( ; ) ( [ ( )], [ ]) .( )( (��
2
114 ISSN 0556-171X. Ïðîáëåìû ïðî÷íîñòè, 2010, ¹ 5
È. Â. Ñåðãèåíêî, Â. Ñ. Äåéíåêà
Äëÿ êàæäîãî ïðèáëèæåíèÿ un ðåøåíèÿ u U� çàäà÷è (58), (59) ââåäåì â
ðàññìîòðåíèå ñëåäóþùóþ ñîïðÿæåííóþ êðàåâóþ çàäà÷ó:
� � � �
�
�
�
�
�
�
� #
�
#
#
ik
kk
ij j
j
x
i x
n
( )
, , , ;
;
( )
0 1 3
0
0
1
3
1
3
1
�
�
, , , \ ;
( ) ( ) , , , ;
i x
n y u f i xij j i n i
j
� �
� � � �
�
1 3
1 3
2 0
0 0
1
3
� �
# ��
� � �
� �
$
1
[ ] , [ ( )] , [ ( )] ;
( ) [ ], .
# # ) #
) # # �
� � �N N s
s n su x
0 0 0
%
&
&
&
&
&
&
&
'
&
&
&
&
&
&
&
(61)
Îïðåäåëåíèå 11. Îáîáùåííûì ðåøåíèåì êðàåâîé çàäà÷è (61) íàçûâàåòñÿ
ôóíêöèÿ #�V0 , êîòîðàÿ � �w x V( ) 0 óäîâëåòâîðÿåò òîæäåñòâó
a u w l y u wn n( ; , ) ( ( ); ),# #� (62)
ãäå
l y u w y u f wn n L# �( ( ); ) ( ( ) , ) .( )� � 0 2 0
Âûáèðàÿ â òîæäåñòâå (62) âìåñòî ôóíêöèè w ðàçíîñòü ~( ) ( )y u y un n� �1 ,
ñ ó÷åòîì (60) ïîëó÷àåì
( ( ) , ~( ( )) ( [ ( )], [ ])) ( )y u f y u y u u y un n n L n s n� � ���0 1 2 0�
#( L2 ( ) ,� (63)
ãäå ~( )y un�1 – ôóíêöèÿ èç V , êîòîðàÿ � �w x V( ) 0 óäîâëåòâîðÿåò òîæäåñòâó
a u y w l w u y u wn n s n s L( ; ~, ) ( ) ( [ ( )], [ ]) .( )� � (
2 � (62�)
Ñëåäîâàòåëüíî,
� /J un
~,# (63�)
ãäå
~ [ ( )][ ] ,# #
�
�� y us n s � /�J dun
2 2~ .# �
�
Åñëè U R� � , òî
~ ([ ( )], [ ]) ,( )# # ��� y us n s L2
� /J un
2 2~ .#
ISSN 0556-171X. Ïðîáëåìû ïðî÷íîñòè, 2010, ¹ 5 115
Èäåíòèôèêàöèÿ ïàðàìåòðîâ çàäà÷ óïðóãîãî äåôîðìèðîâàíèÿ
Íàëè÷èå ïðèáëèæåíèÿ ~
# ãðàäèåíòà �J un
ïðè u un� ïîçâîëÿåò ðåàëè-
çîâàòü ãðàäèåíòíûå ìåòîäû (7) äëÿ îïðåäåëåíèÿ ( )u�1 -ãî ïðèáëèæåíèÿ ðåøå-
íèÿ u U� çàäà÷è (58), (59).
Çàìå÷àíèå 2. Ïóñòü â çàäà÷å (58), (59) èñêîìàÿ ôóíêöèÿ u èìååò âèä
u xi i
i
m
� �
�
�� � ( ) ,0
1
x �� , (64)
ãäå { ( )}� i i
mx �1 – ñèñòåìà ëèíåéíî íåçàâèñèìûõ ôóíêöèé, � i R� � �0 .
Íà îñíîâàíèè (62�) ïîëó÷èì � /J un
~,# ãäå ~ {~ } ;# #� �i i
m
1
~
# i �
��( [ ( )], [ ]) ,( )� # �i s n s Ly u
2
i m�1, .
9. Âîññòàíîâëåíèå êîýôôèöèåíòà æåñòêîñòè íà ñäâèã ñëàáîïðî÷íîãî
ïðîñëîÿ ïðè èçâåñòíûõ ñìåùåíèÿõ íà íåñêîëüêèõ íåïåðåñåêàþùèõñÿ ïî-
âåðõíîñòÿõ. Ïóñòü â çàäà÷å (52)–(57) êðîìå ïîâåðõíîñòè � 0 2�� èìååòñÿ N
ïîâåðõíîñòåé � i ��, íà êîòîðûõ òàêæå èçâåñòíû ñìåùåíèÿ, çàäàííûå ðàâåí-
ñòâàìè
y f i� , x i�� , i N�1, . (65)
Òåì ñàìûì ïîëó÷åíà çàäà÷à (52)–(57), (65), ñîñòîÿùàÿ â íàõîæäåíèè
ýëåìåíòà u U C� � �( ),� ïðè êîòîðîì ðåøåíèå y y u y u x� �( ) ( ; ) êðàåâîé
çàäà÷è (52)–(54), (56), (57) óäîâëåòâîðÿåò ðàâåíñòâàì (55), (65).
Îïðåäåëåíèå 12. Ïðè êàæäîì ôèêñèðîâàííîì u U� îáîáùåííûì ðåøå-
íèåì êðàåâîé çàäà÷è (52)–(54), (56), (57) íàçûâàåòñÿ ôóíêöèÿ y y u� �( )
� �y u x V( ; ) , êîòîðàÿ � �w x V( ) 0 óäîâëåòâîðÿåò òîæäåñòâó (58), ãäå ìíî-
æåñòâà V , V0 îïðåäåëåíû â ðàçä. 8.
Ôóíêöèîíàë-íåâÿçêó çàäàäèì â âèäå
J u A u fi i L
i
N
i
( ) ,
( )
� �
�
�
1
2 2
2
0
� (66)
ãäå A u y u xi
i
� ( ; ) ,
�
i N�0, .
Âìåñòî çàäà÷è (52)–(57), (65) áóäåì ðàññìàòðèâàòü çàäà÷ó (58), (66),
ñîñòîÿùóþ â îïðåäåëåíèè ýëåìåíòà u, ìèíèìèçèðóþùåãî íà U ôóíêöèîíàë
(66) ïðè îãðàíè÷åíèè (58).
Ïðèðàùåíèå .�(y ðåøåíèÿ y u( ) çàäà÷è (58), ñîîòâåòñòâóþùåå ïðè-
ðàùåíèþ (u ýëåìåíòà u U� ïðè ïðåíåáðåæåíèè ÷ëåíàìè âòîðîãî ïîðÿäêà
ìàëîñòè, îïðåäåëèì êàê ôóíêöèþ .�V0 , êîòîðàÿ ÿâëÿåòñÿ ðåøåíèåì çàäà÷è
(60).
Äëÿ êàæäîãî ïðèáëèæåíèÿ un ðåøåíèÿ u U� çàäà÷è (58), (66) ââåäåì â
ðàññìîòðåíèå ñëåäóþùóþ ñîïðÿæåííóþ êðàåâóþ çàäà÷ó:
116 ISSN 0556-171X. Ïðîáëåìû ïðî÷íîñòè, 2010, ¹ 5
È. Â. Ñåðãèåíêî, Â. Ñ. Äåéíåêà
� � � � �
�
�
�
�
�
� #
�
�
#
#
ik
k
d
i
N
i
k
ij j
x
x
n
( )
, \ ;
;
( )
0
0
0
11
3
1
� �
�
, , , \ ;
( ) ( ) , , ,
i x
n y u f i x
j
ij j i n i
� �
� � � �
�
� 1 3
1 3
1
3
2 0
0 0
� �
# � ;
[ ] , [ ( )] ; [ ( )] ;
( ) [ ],
j
N N s
s n su
�
1
�
� � �
�
1
3
0 0 0# # ) #
) # #
� � �
x
y u f x
y u
i
N N n iN i
s s
�
� �� � �
��
�
# # �
)
�
;
[ ] , [ ( )] ( ( ) ), ;
[ ] ( (
0
n is if x i N) ), , , .� � �
$
%
&
&
&
&
&
&
&
&
&
'
&
&
&
&
&
&
&
&
&
� 1
(67)
Îïðåäåëåíèå 13. Îáîáùåííûì ðåøåíèåì êðàåâîé çàäà÷è (67) íàçûâàåòñÿ
ôóíêöèÿ #( ) ,x Vd� êîòîðàÿ � �w x Vd( )
0
óäîâëåòâîðÿåò òîæäåñòâó
a u w l y u wn n( ; , ) ( ( ); ),# #� (68)
ãäå
V v x V v v v i Nd d N
i
� � � � � �{ ( ) : , [ ] , [ ] , , };�1
0 0 1�
� �
V v x V v v v i Nd d N
i0 1
0 0 0 1� � � � � �{ ( ) : , [ ] , [ ] , , };� � �
V v x v W i Nd ii
� � �{ ( ): ( ), , };� �2
1 0
l y u w y u f wn n i L
i
N
i# �( ( ); ) ( ( ) , ) .( )� �
�
�
2
0
Îáëàñòè � i îáðàçîâàíû ðàçáèåíèåì îáëàñòè � ïîâåðõíîñòÿìè � i ��,
i N�1, .
Âûáèðàÿ â òîæäåñòâå (68) âìåñòî ôóíêöèè w ðàçíîñòü ~( ) ( )y u y un n� �1 ,
ãäå ~( )y un�1 – ðåøåíèå çàäà÷è (62�), ïîëó÷àåì
( ( ) , ~( ) ( )) ( [ ( )]( )y u f y u y u u y un i n
i
N
n L n s ni
� � ���
�
� 1
0
2 � ( , [ ]) .( )# �s L2
Ñëåäîâàòåëüíî, � /J un
~,# ãäå ~ [ ( )][ ] ,# #
�
�� y us n s � /�J dun
2 2~ .# �
�
ISSN 0556-171X. Ïðîáëåìû ïðî÷íîñòè, 2010, ¹ 5 117
Èäåíòèôèêàöèÿ ïàðàìåòðîâ çàäà÷ óïðóãîãî äåôîðìèðîâàíèÿ
10. Âîññòàíîâëåíèå ïîñòîÿííûõ Ëàìå. Ïóñòü íà îãðàíè÷åííîé ñâÿçíîé
ñòðîãî ëèïøèöåâîé îáëàñòè �� R 3 îïðåäåëåíà ñèñòåìà óðàâíåíèé óïðóãîãî
ðàâíîâåñèÿ
� �
�
�
�
�
ik
kk
i
y
x
f
( ) ~
,
1
3
i�1 3, , (69)
ãäå òåëî � – èçîòðîïíîå;
2 3
ij kk ij ij
k
y y y( ) ( ) ( ),� �
�
� 2
1
3
i j, , ;�1 3 , 3 –
óïðóãèå ïîñòîÿííûå Ëàìå; 2 ij – ñèìâîë Êðîíåêåðà.
Íà ãðàíèöå � òåëà � çàäàíû êðàåâûå óñëîâèÿ:
y
�1
��; (70)
ij j i
j
n g�
�
� ,
1
3
i�1 3, , x ��2 ; (71)
y f
y0
0� , (72)
ãäå � � �� �1 2 ; � �1 2� ��; � 0 2�� .
Ïóñòü óïðóãèå ïîñòîÿííûå ÿâëÿþòñÿ íåèçâåñòíûìè. Ïîëîæèì u1 � ,
u2 � 3. Òåì ñàìûì ïîëó÷åíà çàäà÷à (69)–(72), ñîñòîÿùàÿ â îïðåäåëåíèè âåêòî-
ðà u u u U R� � � �( , ) ,1 2
2 ïðè êîòîðîì ðåøåíèå y y u y u x� �( ) ( ; ) êðàåâîé
çàäà÷è (69)–(71) óäîâëåòâîðÿåò ðàâåíñòâó (72). Âìåñòî êëàññè÷åñêîãî ðåøåíèÿ
êðàåâîé çàäà÷è (69)–(71) áóäåì èñïîëüçîâàòü åå îáîáùåííîå ðåøåíèå.
Îïðåäåëåíèå 14. Ïðè êàæäîì ôèêñèðîâàííîì u U� îáîáùåííûì ðåøå-
íèåì êðàåâîé çàäà÷è (69)–(71) íàçûâàåòñÿ ôóíêöèÿ y y u y u x V� � �( ) ( ; ) ,
êîòîðàÿ � �w x V( ) 0 óäîâëåòâîðÿåò òîæäåñòâó
a u y w l w( ; , ) ( ),� (73)
ãäå
a u y w u y w u y wij ij
i j
( ; , ) ( ) ( )
,
� �
$
%
&
'&
4
5
&
�
�1 2
1
3
2div div
6&
� dx;
�
l w f w g w L( ) (
~
, ) ( , ) ;( )� �
2 2�
g g i i� �{ } ;1
3
V v x W v� � �{ ( ) ( ( )) : };2
1 3
1
� � �
V v x W v0 2
1 3
1
0� � �{ ( ) ( ( )) : }.� �
118 ISSN 0556-171X. Ïðîáëåìû ïðî÷íîñòè, 2010, ¹ 5
È. Â. Ñåðãèåíêî, Â. Ñ. Äåéíåêà
Ôóíêöèîíàë-íåâÿçêà èìååò âèä
J u Au f
L
( ) ,
( )
� �
1
2 0
2
2 0�
(74)
ãäå Au y u x� ( ; ) ;
�0
y u x( ; ) – ðåøåíèå çàäà÷è (73) ïðè ôèêñèðîâàííîì u U� .
Ïðèðàùåíèå .�(y ðåøåíèÿ y y u� ( ) çàäà÷è (73), ñîîòâåòñòâóþùåå
ïðèðàùåíèþ (u ýëåìåíòà u U� ïðè ïðåíåáðåæåíèè ÷ëåíàìè âòîðîãî ïî-
ðÿäêà ìàëîñòè, îïðåäåëèì êàê ðåøåíèå çàäà÷è: íàéòè ôóíêöèþ .�V0 , êîòî-
ðàÿ � �w x V( ) 0 óäîâëåòâîðÿåò òîæäåñòâó
a u w l u w( ; , ) ( ; ),. .� ( (74�)
ãäå l u w a u y u w. ( ; ) ( ; ( ), ).( (��
Äëÿ êàæäîãî ïðèáëèæåíèÿ un ðåøåíèÿ u U� çàäà÷è (73), (74) ñîïðÿ-
æåííóþ çàäà÷ó îïðåäåëèì òàê:
� � � �
�
� �
�
�
� #
�
#
#
ik
kk
ij j
x
i x
n i
( )
, , , ;
;
( ) , ,
0 1 3
0
0 1
1
3
1
�
�
3
1 3
0
1
3
0 0
1
3
, \ ;
( ) ( ) , , , ,
x
n y u f i x
j
ij j i n i
j
�
� � � �
�
�
� �, �
# ��
$
%
&
&
&
&
&&
'
&
&
&
&
&
&
(75)
ãäå
# #
# 2
ik ik n n kk
k
ij n iju u u( ) ( ; ) ( )� �
�
�
�
�
�
�
� �
�
�1
1
3
22 ( );# u u un n n� ( , ).1 2
Îïðåäåëåíèå 15. Îáîáùåííûì ðåøåíèåì êðàåâîé çàäà÷è (75) íàçûâàåòñÿ
ôóíêöèÿ #�V0 , êîòîðàÿ � �w x V( ) 0 óäîâëåòâîðÿåò òîæäåñòâó
a u w l y u wn n( ; , ) ( ( ); ),# #� (76)
ãäå l y u w y u f wn n L# �( ( ); ) ( ( ) , ) .( )� � 0 2 0
Âûáèðàÿ â òîæäåñòâå (76) âìåñòî ôóíêöèè w ðàçíîñòü ~( ) ( )y u y un n� �1 ,
ñ ó÷åòîì (74�) ïîëó÷àåì
( ( ) , ~( ) ( )) ( ; ) ( ;( )y u f y u y u l u a u yn n n L n n� � � ���0 1 2 0� . #( ( ( ), ),un # (77)
ãäå ~( )y un�1 – ôóíêöèÿ èç V , êîòîðàÿ � �w V0 óäîâëåòâîðÿåò òîæäåñòâó
ISSN 0556-171X. Ïðîáëåìû ïðî÷íîñòè, 2010, ¹ 5 119
Èäåíòèôèêàöèÿ ïàðàìåòðîâ çàäà÷ óïðóãîãî äåôîðìèðîâàíèÿ
a u y w l w a u y u wn n n( ; ~, ) ( ) ( ; ( ), ).� � (
Íà îñíîâàíèè (77) ïîëó÷èì
� /J un
~,# (78)
ãäå
~ {~ } ;# #� �i i 1
2 ~ ( ) ;# #1 ���div divy u dxn
�
~ ( ( )) ( ) ;
,
#
#2
1
3
2��
�
�� ij n ij
i j
y u dx
�
� /
�
�J u i
i
n
2 2
1
2
~ .#
11. Âîññòàíîâëåíèå íà÷àëüíûõ äåôîðìàöèé, âûçâàííûõ ïðåäâàðè-
òåëüíûì òåìïåðàòóðíûì ðàñøèðåíèåì. Ïóñòü íà îáëàñòè �� R 3 îïðåäå-
ëåíà ñèñòåìà óðàâíåíèé óïðóãîãî ðàâíîâåñèÿ:
� �
�
�
�
�
ik
kk
i
y
x
f
( ) ~
,
1
3
i�1 3, , (79)
ãäå
2 3
ij kk
k
ij ij kk
k
y y y( ) ( ) ( )�
�
�
�
�
�
�
� � �
� �
� �
1
3
0
1
3
2
�
�
�
�
�
�
� �2 3
ij ij2 0 ;
ij
0 – êîìïîíåíòû òåíçîðà íà÷àëüíûõ íàïðÿæåíèé [17],
2 3
ij kk
k
ij ij
0 0
1
3
02��
�
�
�
�
�
�
� �
�
� ;
ij
0 – êîìïîíåíòû òåíçîðà íà÷àëüíûõ äåôîðìàöèé.
Ñëåäóÿ [17, 18], ïðåäïîëîæèì
� 2ij ijT0 � , ãäå � – êîýôôèöèåíò ëèíåé-
íîãî òåìïåðàòóðíîãî ðàñøèðåíèÿ; Ò – èçìåíåíèå òåìïåðàòóðû, ñîîòâåòñò-
âóþùåå íà÷àëüíûì äåôîðìàöèÿì.
Íà ãðàíèöå � çàäàíû óñëîâèÿ (70)–(72). Ôóíêöèîíàë-íåâÿçêà èìååò âèä
(74). Ïðèìåì, ÷òî íà÷àëüíûå äåôîðìàöèè
� 2ij ijT0 � – íåèçâåñòíû. Òåì
ñàìûì ïîëó÷åíà çàäà÷à (70)–(72), (79), ñîñòîÿùàÿ â íàõîæäåíèè ýëåìåíòà
u U C� � ( )� ( ),u T�� ïðè êîòîðîì ðåøåíèå êðàåâîé çàäà÷è (70), (71), (79)
óäîâëåòâîðÿåò ðàâåíñòâó (72). Ïðè êàæäîì ôèêñèðîâàííîì u U� âìåñòî
êëàññè÷åñêîãî ðåøåíèÿ êðàåâîé çàäà÷è (70), (71), (79) áóäåì èñïîëüçîâàòü åå
îáîáùåííîå ðåøåíèå.
Îïðåäåëåíèå 16. Ïðè êàæäîì ôèêñèðîâàííîì u U� îáîáùåííûì ðåøå-
íèåì êðàåâîé çàäà÷è (70), (71), (79) íàçûâàåòñÿ ôóíêöèÿ y y u� �( )
� �y u x V( ; ) , êîòîðàÿ � �w x V( ) 0 óäîâëåòâîðÿåò òîæäåñòâó
120 ISSN 0556-171X. Ïðîáëåìû ïðî÷íîñòè, 2010, ¹ 5
È. Â. Ñåðãèåíêî, Â. Ñ. Äåéíåêà
a y w l u w( , ) ( ; ),� (80)
ãäå
V v x W v� � �{ ( ) ( ( )) : };2
1 3
1
� � � V v x W v0 2
1 3
1
0� � �{ ( ) ( ( )) : };� �
a y w y w y w dxij ij
i j
( , ) ( ) ( )
,
� �
$
%
&
'&
4
5
&
6&�
� 3
div div 2
1
3
;
�
�
l u w f w g w u w dxL ij ij
i j
( ; ) (
~
, ) ( , ) ( ) ( ) .( )
,
� � �
�
�
2 2
0
1
3
�
�
�
Ïîñêîëüêó
3
ij ij ii ii iiu w dx u w dx u w dx0 0 3 2( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ,� �� �
iii j ���
������
1
3
1
3
1
3
��� ,
ïîëó÷èì
l u w f w g w u w dxL ii
i
( ; ) (
~
, ) ( , ) ( ) ( ) .( )� � � �
�
��
2 2
3 2
1
3
�
�
3
(81)
Ïðèðàùåíèå .�(y ðåøåíèÿ y y u� ( ) çàäà÷è (80), ñîîòâåòñòâóþùåå
ïðèðàùåíèþ (u ýëåìåíòà u U� , îïðåäåëèì êàê ðåøåíèå çàäà÷è: íàéòè
ôóíêöèþ .�V0 , êîòîðàÿ � �w x V( ) 0 óäîâëåòâîðÿåò òîæäåñòâó
a w l u w( , ) ( ; ),. .� ( (82)
ãäå
l u w u w dxii
i
. 3
( ; ) ( ) ( ) .( (
�
� �
�
��3 2
1
3
Äëÿ êàæäîãî ïðèáëèæåíèÿ un ðåøåíèÿ u U� çàäà÷è (74), (80) ââåäåì â
ðàññìîòðåíèå ñëåäóþùóþ ñîïðÿæåííóþ çàäà÷ó:
� � � � �
� �
�
�
� #
�
#
#
ik
kk
ij j
x
i x
n i
( )
, , , ; ;
( ) , ,
0 1 3 0
0 1
1
3
1
�
�
3
1 3
1
3
2 0
0
1
3
0
j
ij j i n i
j
x
n y u f i x
�
�
�
�
�
� � � �
, \ ;
( ) ( ) , , ,
� �
# � ,
$
%
&
&
&
&&
'
&
&
&
&
&
(83)
ISSN 0556-171X. Ïðîáëåìû ïðî÷íîñòè, 2010, ¹ 5 121
Èäåíòèôèêàöèÿ ïàðàìåòðîâ çàäà÷ óïðóãîãî äåôîðìèðîâàíèÿ
ãäå
#
# 2 3
#ij kk
k
ij ij( ) ( ) ( ).�
�
�
�
�
�
�
� �
�
�
1
3
2
Îïðåäåëåíèå 17. Îáîáùåííûì ðåøåíèåì êðàåâîé çàäà÷è (83) íàçûâàåòñÿ
ôóíêöèÿ #�V0 , êîòîðàÿ � �w x V( ) 0 óäîâëåòâîðÿåò òîæäåñòâó
a w l y u wn( , ) ( ( ); ),# #� (84)
ãäå l y u w y u f wn n L# �( ( ); ) ( ( ) , ) .( )� � 0 2 0
Âûáèðàÿ â òîæäåñòâå (84) âìåñòî ôóíêöèè w ðàçíîñòü y u y un n( ) ( )� �1 ,
ñ ó÷åòîì (82) ïîëó÷àåì
� � � � ��J u y u f y u y uu n n n n Ln
, ( ( ) , ( ) ( )) ( )( 0 1 2 0�
� � �
�
��l u u dxn n ii
i
. # 3
#( ; ) ( ) ( ) .( (
�
3 2
1
3
(84�)
Ñëåäîâàòåëüíî,
� �J un
~,# (85)
ãäå
~ ( ) ( ) ;# 3
#� �
�
�3 2
1
3
ii
i
�
� ��J dxun
2 2~ .#
�
Íàëè÷èå ãðàäèåíòà �J un
(85) ïîçâîëÿåò ðåàëèçîâàòü ãðàäèåíòíûå ìåòîäû
(7) äëÿ îïðåäåëåíèÿ ( )n�1 -ãî ïðèáëèæåíèÿ un�1 ðåøåíèÿ u U� çàäà÷è (74),
(80).
Çàìå÷àíèå 3. Åñëè â çàäà÷å (74), (80) èçìåíåíèå òåìïåðàòóðû Ò èçâåñò-
íî, òî u��, u U� � �7( , ).0 Íà îñíîâàíèè (84�) èìååì
~ ( ) ( ) ,# 3
#� � �3 2 T dxii
�
� �J un
2 2~ .#
Çàìå÷àíèå 4.  ñëó÷àå åñëè òåëî � ñîñòîèò èç íåñêîëüêèõ ñîñòàâëÿ-
þùèõ, ïðåäëîæåííàÿ òåõíîëîãèÿ ïîçâîëÿåò îïðåäåëèòü ïðåäâàðèòåëüíîå íà-
ïðÿæåííî-äåôîðìèðîâàííîå ñîñòîÿíèå êàæäîé èç ñîñòàâëÿþùèõ.
12. Âîññòàíîâëåíèå íà÷àëüíûõ äåôîðìàöèé ñîñòàâëÿþùèõ �1 , �2
òåëà � è êîýôôèöèåíòà æåñòêîñòè íà ñäâèã ñëàáîïðî÷íîãî ïðîñëîÿ �.
Ïóñòü íà îãðàíè÷åííûõ ñâÿçíûõ ñòðîãî ëèïøèöåâûõ îáëàñòÿõ � �1 2
3, � R
îïðåäåëåíà ñèñòåìà óðàâíåíèé óïðóãîãî ðàâíîâåñèÿ:
122 ISSN 0556-171X. Ïðîáëåìû ïðî÷íîñòè, 2010, ¹ 5
È. Â. Ñåðãèåíêî, Â. Ñ. Äåéíåêà
� �
�
�
��
��
ik
kk
if x
1
3
~
( ), i�1 3, , (86)
ãäå
� � �
� � �ij kk
k
ij ij kk
k
y y y( ) ( ) ( )�
�
�
�
�
�
� � �
� �
� �
1
3
0
1
3
2
�
�
�
�
�
� �
�ij ij2 0 ;
� � �
�ij kk
k
ij ij
0 0
1
3
02��
�
�
�
�
�
� �
�
� ;
� ij
0 – êîìïîíåíòû òåíçîðà íà÷àëüíûõ íàïðÿæåíèé; � ij
0 – êîìïîíåíòû òåíçîðà
íà÷àëüíûõ äåôîðìàöèé (ðàçëè÷íûå äëÿ îáëàñòåé �1 , �2).
Ñëåäóÿ [17], ïðåäïîëîæèì � � ij ijT0 � , ãäå � – êîýôôèöèåíò òåìïåðà-
òóðíîãî ðàñøèðåíèÿ; Ò – èçìåíåíèå òåìïåðàòóðû, ñîîòâåòñòâóþùåå íà÷àëü-
íûì äåôîðìàöèÿì (�, Ò ìîãóò áûòü ðàçëè÷íûìè äëÿ îáëàñòåé �1 , �2).
Íà ãðàíèöå � çàäàíû óñëîâèÿ (70)–(72). Íà ó÷àñòêå � � �� � ��� �1 2
óñëîâèÿ ñîïðÿæåíèÿ ñëàáîïðî÷íîãî ïðîñëîÿ òàêîâû:
[ ] ;y N �0 (87)
[ ( )] ,� N y �0 [ ( )] ,� s y �0 � s sy r y� �( ) [ ]. (88)
Ôóíêöèîíàë-íåâÿçêà èìååò âèä (74). Ïðåäïîëîæèì, ÷òî íà÷àëüíûå äå-
ôîðìàöèè � � ij ijT0 � è êîýôôèöèåíò æåñòêîñòè íà ñäâèã r ïðîñëîÿ �
íåèçâåñòíû.
Ïîëó÷åííàÿ çàäà÷à (70)–(72), (86)–(88) ñîñòîèò â íàõîæäåíèè âåêòîðà
u U C C� � � � ��( ( ) ( )) [ , ],� �1 2 0 ïðè êîòîðîì ðåøåíèå y y u y u x� �( ) ( ; )
êðàåâîé çàäà÷è (70), (71), (86)–(88) óäîâëåòâîðÿåò ðàâåíñòâó (72), ãäå u�
� ( , );u u1 2 u u i
i1 1 1
2� �{ } ; u ui
i
1 1�
�
; u Ti
i1 �� � , i�1 2, ; u r2 � .
Âìåñòî êëàññè÷åñêîãî ðåøåíèÿ êðàåâîé çàäà÷è (70), (71), (86)–(88) áóäåì
èñïîëüçîâàòü åå îáîáùåííîå ðåøåíèå.
Îïðåäåëåíèå 18. Ïðè êàæäîì ôèêñèðîâàííîì u U� îáîáùåííûì ðåøå-
íèåì êðàåâîé çàäà÷è (70), (71), (86)–(88) íàçûâàåòñÿ ôóíêöèÿ y y u� �( )
� �y u x V( ; ) , êîòîðàÿ � �w x V( ) 0 óäîâëåòâîðÿåò òîæäåñòâó
a u y w l u w( ; , ) ( ; ),� (89)
ãäå ìíîæåñòâà V , V0 îïðåäåëåíû â ðàçä. 8;
a u y w y w y wij ij
i j
( ; , ) ( ) ( )
,
� �
�
!
"!
#
$
!
%!�
��
� �div div 2
1
3
dx u y w ds s�&& 2 [ ][ ] ;�
��
ISSN 0556-171X. Ïðîáëåìû ïðî÷íîñòè, 2010, ¹ 5 123
Èäåíòèôèêàöèÿ ïàðàìåòðîâ çàäà÷ óïðóãîãî äåôîðìèðîâàíèÿ
l u w f w g w u w dxL ii
i
( ; ) (
~
, ) ( , ) ( ) ( ) .( )� � � �
�
�
2 2 1
1
3
3 2�
�
3
�
Ïðèðàùåíèå .�(ó ðåøåíèÿ y y u� ( ) çàäà÷è (89), ñîîòâåòñòâóþùåå
ïðèðàùåíèþ (u ýëåìåíòà u U� ïðè ïðåíåáðåæåíèè ÷ëåíàìè âòîðîãî ïî-
ðÿäêà ìàëîñòè, îïðåäåëèì êàê ðåøåíèå çàäà÷è: íàéòè ôóíêöèþ .�V0 , êîòî-
ðàÿ � �w x V( ) 0 óäîâëåòâîðÿåò òîæäåñòâó
a u w l u w( ; , ) ( ; ),. .� ( (90)
ãäå
l u w u w dx u y u w dii s s
i
.
�
3
�( ; ) ( ) ( ) [ ( )][ ] .( ( (� � ��
�
3 2 1 2
1
3
��
�
Äëÿ êàæäîãî ïðèáëèæåíèÿ un ðåøåíèÿ u U� çàäà÷è (74), (89) ââåäåì â
ðàññìîòðåíèå ñëåäóþùóþ ñîïðÿæåííóþ çàäà÷ó:
� � � �
�
� �
�
�
� #
�
#
#
ik
kk
ij j
x
i x
n i
( )
, , , ;
;
( ) , ,
0 1 3
0
0 1
1
3
1
�
�
3
1 3
2 0
1
3
0 0
1
3
, \ ;
( ) ( ) , , , ;
x
n y u f i x
j
ij j i n i
j
�
� � � �
�
�
� � �
# ��
� � � �
$
%
&
1[ ] , [ ( )] , [ ( )] , ( ) [ ] ,# # ) # ) # #
� � � �N N s s n su0 0 0 2
&
&
&
&
&
&
'
&
&
&
&
&
&
&
(91)
ãäå
u u un n n� ( , );1 2 #
# 2 3
#ij kk
k
ij ij( ) ( ) ( ).�
�
�
�
�
�
�
� �
�
�
1
3
2
Îïðåäåëåíèå 19. Ïðè êàæäîì ôèêñèðîâàííîì u U� îáîáùåííûì ðåøå-
íèåì êðàåâîé çàäà÷è (91) íàçûâàåòñÿ ôóíêöèÿ #�V0 , êîòîðàÿ � �w x V( ) 0
óäîâëåòâîðÿåò òîæäåñòâó
a u w l y u wn n( ; , ) ( ( ); ),# #� (92)
ãäå l y u w y u f wn n L# �( ( ); ) ( ( ) , ) .( )� � 0 2 0
Âûáèðàÿ â òîæäåñòâå (92) âìåñòî ôóíêöèè w ðàçíîñòü ~( ) ( )y u y un n� �1 ,
ñ ó÷åòîì (90) ïîëó÷àåì
124 ISSN 0556-171X. Ïðîáëåìû ïðî÷íîñòè, 2010, ¹ 5
È. Â. Ñåðãèåíêî, Â. Ñ. Äåéíåêà
( ( ) , ~( ) ( )) ( ; )( )y u f y u y u l u wn n n L n� � � ��0 1 2 0� . (
� � ����
�
( ) ( ) [ ( )][ ] ,3 2 1 2
1
3
3
# # �
�
( (
�
u dx u y u dn ii n s n s
i
(93)
ãäå ~( )y un�1 – ôóíêöèÿ èç V , êîòîðàÿ � �w x V( ) 0 óäîâëåòâîðÿåò òîæäåñòâó
a u y w l u w u w dxn n n ii
i
( ; ~, ) ( ; ) ( ) ( )� � � �
�
�� 3 2 1
1
3
3
(
�
��(u y u w dn s n s2 [ ( )][ ] .�
�
Íà îñíîâàíèè (93) ïîëó÷èì
� /J un
~,# (94)
ãäå
~ {~ } ;# #� �j j 1
2 ~ {~ } ;# #1 1 1
2� �
j
j
~ ( ) ( ) ;# 3
#1
1
3
3 2j
ii
i
j
� �
�
� �
~ [ ( )][ ] ;# # �
�
2 ��� y u ds n s � / ���
�
J dxu
i
i
n
i
2
1
2
1
3
2
2(~ ) ~ .# #
�
Åñëè u C2 � ( ),� òî ~ [ ( )[ ] .# #
�2 �� y us n s
Ïðè èçâåñòíîì èçìåíåíèè ðàñïðåäåëåíèÿ òåìïåðàòóðû Ò íà îáëàñòÿõ
�1 , �2 ïîëó÷èì
~ ( ) ( ) ,# 3
#1
1
3
3 2j
ii
i
dx
j
� �
�
��
�
j�1 2, .
Íàëè÷èå ïðèáëèæåíèÿ ~
# ãðàäèåíòà �J un
ïîçâîëÿåò èñïîëüçîâàòü ãðàäè-
åíòíûå ìåòîäû (7) äëÿ îïðåäåëåíèÿ ( )n�1 -ãî ïðèáëèæåíèÿ un�1 ðåøåíèÿ
u U� çàäà÷è (74), (89).
Ð å ç þ ì å
Ïðåäñòàâëåíî ÿâí³ âèðàçè ãðà䳺íò³â ôóíêö³îíàë³â-íåâ’ÿçîê äëÿ ³äåíòèô³êàö³¿
ãðà䳺íòíèìè ìåòîäàìè Àë³ôàíîâà ð³çíèõ ïàðàìåòð³â äåÿêèõ çàäà÷ íàïðó-
æåíî-äåôîðìîâàíîãî ñòàíó áàãàòîêîìïîíåíòíèõ ò³ë ³ç âêëþ÷åííÿìè.
1. Ñåðãèåíêî È. Â., Äåéíåêà Â. Ñ. Ðåøåíèå êîýôôèöèåíòíûõ îáðàòíûõ
çàäà÷ òåïëîïðîâîäíîñòè äëÿ ñîñòàâíîé ïëàñòèíû // Ïðîáë. óïðàâëåíèÿ è
èíôîðìàòèêè. – 2007. – ¹ 3. – Ñ. 21 – 48.
ISSN 0556-171X. Ïðîáëåìû ïðî÷íîñòè, 2010, ¹ 5 125
Èäåíòèôèêàöèÿ ïàðàìåòðîâ çàäà÷ óïðóãîãî äåôîðìèðîâàíèÿ
2. Ñåðãèåíêî È. Â., Äåéíåêà Â. Ñ. Ðåøåíèå êîìáèíèðîâàííûõ îáðàòíûõ
çàäà÷ äëÿ ïàðàáîëè÷åñêèõ ìíîãîêîìïîíåíòíûõ ðàñïðåäåëåííûõ ñèñòåì //
Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç. – 2007. – ¹ 5. – Ñ. 48 – 71.
3. Äåéíåêà Â. Ñ., Ñåðãèåíêî È. Â. Îïòèìàëüíîå óïðàâëåíèå íåîäíîðîäíûìè
ðàñïðåäåëåííûìè ñèñòåìàìè. – Êèåâ: Íàóê. äóìêà, 2003. – 506 ñ.
4. Sergienko I. V. and Deineka V. S. Optimal Control of Distributed Systems
with Conjugation Conditions. – New York: Kluwer Academic Publishers,
2005. – 400 p.
5. Àëèôàíîâ Î. Ì. Îáðàòíûå çàäà÷è òåïëîîáìåíà. – Ì.: Ìàøèíîñòðîåíèå,
1988. – 280 ñ.
6. Àëèôàíîâ Î. Ì., Àðòþõèí Å. À., Ðóìÿíöåâ Ñ. Â. Ýêñòðåìàëüíûå ìåòîäû
ðåøåíèÿ íåêîððåêòíûõ çàäà÷. – Ì.: Íàóêà, 1988. – 288 ñ.
7. Ñåðãèåíêî È. Â., Äåéíåêà Â. Ñ. Ðåøåíèå êîìïëåêñíûõ îáðàòíûõ çàäà÷
òåðìîóïðóãîñòè // Ïðîáë. óïðàâëåíèÿ è èíôîðìàòèêè. – 2007. – ¹ 5. –
Ñ. 64 – 87.
8. Ñåðãèåíêî È. Â., Äåéíåêà Â. Ñ. Èäåíòèôèêàöèÿ ïàðàìåòðîâ ìíîãîêîìïî-
íåíòíûõ ñòåðæíåâûõ ñèñòåì // Äîï. ÍÀÍ Óêðà¿íè. – 2008. – ¹ 1. – Ñ. 35
– 42.
9. Äåéíåêà Â. Ñ., Âåùóíîâà Í. À. ×èñëåííîå ðåøåíèå çàäà÷ èäåíòèôèêàöèè
ïàðàìåòðîâ ïàðàáîëè÷åñêèõ ìíîãîêîìïîíåíòíûõ ñèñòåì // Êîìïüþòåðíàÿ
ìàòåìàòèêà. – 2008. – ¹ 1. – Ñ. 22 – 33.
10. Äåéíåêà Â. Ñ., Âåùóíîâà Í. À. ×èñëåííîå ðåøåíèå îáðàòíûõ çàäà÷
íåñòàöèîíàðíîé òåïëîïðîâîäíîñòè äëÿ ïëàñòèí // Òàì æå. – ¹ 2. – Ñ. 32
– 43.
11. Òèìîøåíêî Ñ. Ï. Êóðñ òåîðèè óïðóãîñòè. – Êèåâ: Íàóê. äóìêà, 1972. –
508 ñ.
12. Ëèîíñ Æ.-Ë. Îïòèìàëüíîå óïðàâëåíèå ñèñòåìàìè, îïèñûâàåìûìè óðàâ-
íåíèÿìè ñ ÷àñòíûìè ïðîèçâîäíûìè. – Ì.: Ìèð, 1972. – 414 ñ.
13. Ýêëàíä È., Òåìàì Ð. Âûïóêëûé àíàëèç è âàðèàöèîííûå ïðîáëåìû. – Ì.:
Ìèð, 1979. – 400 ñ.
14. Äþâî Ã., Ëèîíñ Æ.-Ë. Íåðàâåíñòâà â ìåõàíèêå è ôèçèêå. – Ì.: Íàóêà,
1980. – 384 ñ.
15. Ñüÿðëå Ô. Ìåòîä êîíå÷íûõ ýëåìåíòîâ äëÿ ýëëèïòè÷åñêèõ çàäà÷. – Ì.:
Ìèð, 1980. – 512 ñ.
16. Äåéíåêà Â. Ñ., Ñåðãèåíêî È. Â. Ìîäåëè è ìåòîäû ðåøåíèÿ çàäà÷ â
íåîäíîðîäíûõ ñðåäàõ. – Êèåâ: Íàóê. äóìêà, 2001. – 606 ñ.
17. Òèìîøåíêî Ñ. Ï., Ãóäüåð Äæ. Òåîðèÿ óïðóãîñòè. – Ì.: Íàóêà, 1975. –
576 ñ.
18. Êîâàëåíêî À. Ä. Òåðìîóïðóãîñòü. – Êèåâ: Âèùà øê., 1975. – 216 ñ.
Ïîñòóïèëà 02. 02. 2009
126 ISSN 0556-171X. Ïðîáëåìû ïðî÷íîñòè, 2010, ¹ 5
È. Â. Ñåðãèåíêî, Â. Ñ. Äåéíåêà
<<
/ASCII85EncodePages false
/AllowTransparency false
/AutoPositionEPSFiles true
/AutoRotatePages /All
/Binding /Left
/CalGrayProfile (Dot Gain 20%)
/CalRGBProfile (sRGB IEC61966-2.1)
/CalCMYKProfile (U.S. Web Coated \050SWOP\051 v2)
/sRGBProfile (sRGB IEC61966-2.1)
/CannotEmbedFontPolicy /Warning
/CompatibilityLevel 1.4
/CompressObjects /Tags
/CompressPages true
/ConvertImagesToIndexed true
/PassThroughJPEGImages true
/CreateJDFFile false
/CreateJobTicket false
/DefaultRenderingIntent /Default
/DetectBlends true
/DetectCurves 0.0000
/ColorConversionStrategy /LeaveColorUnchanged
/DoThumbnails false
/EmbedAllFonts true
/EmbedOpenType false
/ParseICCProfilesInComments true
/EmbedJobOptions true
/DSCReportingLevel 0
/EmitDSCWarnings false
/EndPage -1
/ImageMemory 1048576
/LockDistillerParams false
/MaxSubsetPct 100
/Optimize true
/OPM 1
/ParseDSCComments true
/ParseDSCCommentsForDocInfo true
/PreserveCopyPage true
/PreserveDICMYKValues true
/PreserveEPSInfo true
/PreserveFlatness true
/PreserveHalftoneInfo false
/PreserveOPIComments false
/PreserveOverprintSettings true
/StartPage 1
/SubsetFonts true
/TransferFunctionInfo /Apply
/UCRandBGInfo /Preserve
/UsePrologue false
/ColorSettingsFile ()
/AlwaysEmbed [ true
]
/NeverEmbed [ true
]
/AntiAliasColorImages false
/CropColorImages true
/ColorImageMinResolution 300
/ColorImageMinResolutionPolicy /OK
/DownsampleColorImages true
/ColorImageDownsampleType /Bicubic
/ColorImageResolution 300
/ColorImageDepth -1
/ColorImageMinDownsampleDepth 1
/ColorImageDownsampleThreshold 1.50000
/EncodeColorImages true
/ColorImageFilter /DCTEncode
/AutoFilterColorImages true
/ColorImageAutoFilterStrategy /JPEG
/ColorACSImageDict <<
/QFactor 0.15
/HSamples [1 1 1 1] /VSamples [1 1 1 1]
>>
/ColorImageDict <<
/QFactor 0.15
/HSamples [1 1 1 1] /VSamples [1 1 1 1]
>>
/JPEG2000ColorACSImageDict <<
/TileWidth 256
/TileHeight 256
/Quality 30
>>
/JPEG2000ColorImageDict <<
/TileWidth 256
/TileHeight 256
/Quality 30
>>
/AntiAliasGrayImages false
/CropGrayImages true
/GrayImageMinResolution 300
/GrayImageMinResolutionPolicy /OK
/DownsampleGrayImages true
/GrayImageDownsampleType /Bicubic
/GrayImageResolution 300
/GrayImageDepth -1
/GrayImageMinDownsampleDepth 2
/GrayImageDownsampleThreshold 1.50000
/EncodeGrayImages true
/GrayImageFilter /DCTEncode
/AutoFilterGrayImages true
/GrayImageAutoFilterStrategy /JPEG
/GrayACSImageDict <<
/QFactor 0.15
/HSamples [1 1 1 1] /VSamples [1 1 1 1]
>>
/GrayImageDict <<
/QFactor 0.15
/HSamples [1 1 1 1] /VSamples [1 1 1 1]
>>
/JPEG2000GrayACSImageDict <<
/TileWidth 256
/TileHeight 256
/Quality 30
>>
/JPEG2000GrayImageDict <<
/TileWidth 256
/TileHeight 256
/Quality 30
>>
/AntiAliasMonoImages false
/CropMonoImages true
/MonoImageMinResolution 1200
/MonoImageMinResolutionPolicy /OK
/DownsampleMonoImages true
/MonoImageDownsampleType /Bicubic
/MonoImageResolution 1200
/MonoImageDepth -1
/MonoImageDownsampleThreshold 1.50000
/EncodeMonoImages true
/MonoImageFilter /CCITTFaxEncode
/MonoImageDict <<
/K -1
>>
/AllowPSXObjects false
/CheckCompliance [
/None
]
/PDFX1aCheck false
/PDFX3Check false
/PDFXCompliantPDFOnly false
/PDFXNoTrimBoxError true
/PDFXTrimBoxToMediaBoxOffset [
0.00000
0.00000
0.00000
0.00000
]
/PDFXSetBleedBoxToMediaBox true
/PDFXBleedBoxToTrimBoxOffset [
0.00000
0.00000
0.00000
0.00000
]
/PDFXOutputIntentProfile ()
/PDFXOutputConditionIdentifier ()
/PDFXOutputCondition ()
/PDFXRegistryName ()
/PDFXTrapped /False
/Description <<
/CHS <FEFF4f7f75288fd94e9b8bbe5b9a521b5efa7684002000500044004600206587686353ef901a8fc7684c976262535370673a548c002000700072006f006f00660065007200208fdb884c9ad88d2891cf62535370300260a853ef4ee54f7f75280020004100630072006f0062006100740020548c002000410064006f00620065002000520065006100640065007200200035002e003000204ee553ca66f49ad87248672c676562535f00521b5efa768400200050004400460020658768633002>
/CHT <FEFF4f7f752890194e9b8a2d7f6e5efa7acb7684002000410064006f006200650020005000440046002065874ef653ef5728684c9762537088686a5f548c002000700072006f006f00660065007200204e0a73725f979ad854c18cea7684521753706548679c300260a853ef4ee54f7f75280020004100630072006f0062006100740020548c002000410064006f00620065002000520065006100640065007200200035002e003000204ee553ca66f49ad87248672c4f86958b555f5df25efa7acb76840020005000440046002065874ef63002>
/DAN <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>
/DEU <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>
/ESP <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>
/FRA <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>
/ITA <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>
/JPN <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>
/KOR <FEFFc7740020c124c815c7440020c0acc6a9d558c5ec0020b370c2a4d06cd0d10020d504b9b0d1300020bc0f0020ad50c815ae30c5d0c11c0020ace0d488c9c8b85c0020c778c1c4d560002000410064006f0062006500200050004400460020bb38c11cb97c0020c791c131d569b2c8b2e4002e0020c774b807ac8c0020c791c131b41c00200050004400460020bb38c11cb2940020004100630072006f0062006100740020bc0f002000410064006f00620065002000520065006100640065007200200035002e00300020c774c0c1c5d0c11c0020c5f40020c2180020c788c2b5b2c8b2e4002e>
/NLD (Gebruik deze instellingen om Adobe PDF-documenten te maken voor kwaliteitsafdrukken op desktopprinters en proofers. De gemaakte PDF-documenten kunnen worden geopend met Acrobat en Adobe Reader 5.0 en hoger.)
/NOR <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>
/PTB <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>
/SUO <FEFF004b00e40079007400e40020006e00e40069007400e4002000610073006500740075006b007300690061002c0020006b0075006e0020006c0075006f0074002000410064006f0062006500200050004400460020002d0064006f006b0075006d0065006e007400740065006a00610020006c0061006100640075006b006100730074006100200074007900f6007000f60079007400e400740075006c006f0073007400750073007400610020006a00610020007600650064006f007300740075007300740061002000760061007200740065006e002e00200020004c0075006f0064007500740020005000440046002d0064006f006b0075006d0065006e00740069007400200076006f0069006400610061006e0020006100760061007400610020004100630072006f0062006100740069006c006c00610020006a0061002000410064006f00620065002000520065006100640065007200200035002e0030003a006c006c00610020006a006100200075007500640065006d006d0069006c006c0061002e>
/SVE <FEFF0041006e007600e4006e00640020006400650020006800e4007200200069006e0073007400e4006c006c006e0069006e006700610072006e00610020006f006d002000640075002000760069006c006c00200073006b006100700061002000410064006f006200650020005000440046002d0064006f006b0075006d0065006e00740020006600f600720020006b00760061006c00690074006500740073007500740073006b0072006900660074006500720020007000e5002000760061006e006c00690067006100200073006b0072006900760061007200650020006f006300680020006600f600720020006b006f007200720065006b007400750072002e002000200053006b006100700061006400650020005000440046002d0064006f006b0075006d0065006e00740020006b0061006e002000f600700070006e00610073002000690020004100630072006f0062006100740020006f00630068002000410064006f00620065002000520065006100640065007200200035002e00300020006f00630068002000730065006e006100720065002e>
/ENU (Use these settings to create Adobe PDF documents for quality printing on desktop printers and proofers. Created PDF documents can be opened with Acrobat and Adobe Reader 5.0 and later.)
>>
/Namespace [
(Adobe)
(Common)
(1.0)
]
/OtherNamespaces [
<<
/AsReaderSpreads false
/CropImagesToFrames true
/ErrorControl /WarnAndContinue
/FlattenerIgnoreSpreadOverrides false
/IncludeGuidesGrids false
/IncludeNonPrinting false
/IncludeSlug false
/Namespace [
(Adobe)
(InDesign)
(4.0)
]
/OmitPlacedBitmaps false
/OmitPlacedEPS false
/OmitPlacedPDF false
/SimulateOverprint /Legacy
>>
<<
/AddBleedMarks false
/AddColorBars false
/AddCropMarks false
/AddPageInfo false
/AddRegMarks false
/ConvertColors /NoConversion
/DestinationProfileName ()
/DestinationProfileSelector /NA
/Downsample16BitImages true
/FlattenerPreset <<
/PresetSelector /MediumResolution
>>
/FormElements false
/GenerateStructure true
/IncludeBookmarks false
/IncludeHyperlinks false
/IncludeInteractive false
/IncludeLayers false
/IncludeProfiles true
/MultimediaHandling /UseObjectSettings
/Namespace [
(Adobe)
(CreativeSuite)
(2.0)
]
/PDFXOutputIntentProfileSelector /NA
/PreserveEditing true
/UntaggedCMYKHandling /LeaveUntagged
/UntaggedRGBHandling /LeaveUntagged
/UseDocumentBleed false
>>
]
>> setdistillerparams
<<
/HWResolution [2400 2400]
/PageSize [612.000 792.000]
>> setpagedevice
|