О достаточных условиях сближения в нестационарных игровых задачах динамики

О достаточных условиях сближения в нестационарных игровых задачах динамики

Рассматривается нестационарная задача с переменным терминальным множеством. В случае, когда условие Понтрягина не имеет места, предлагается прием, позволяющий получить достаточные условия сближения за конечное время....

Повний опис

Збережено в:
Бібліографічні деталі
Дата:2015
Автор: Чикрий, Ал.А.
Формат: Стаття
Мова:Russian
Опубліковано: Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України 2015
Назва видання:Теорія оптимальних рішень
Онлайн доступ:http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/112391
Теги: Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
Назва журналу:Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
Цитувати:О достаточных условиях сближения в нестационарных игровых задачах динамики / Ал.А. Чикрий // Теорія оптимальних рішень: Зб. наук. пр. — 2015. — № 2015. — № 2015. — № 2015. — С. 16-21. — Бібліогр.: 7 назв. — рос.

Репозитарії

Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
id irk-123456789-112391
record_format dspace
spelling irk-123456789-1123912017-01-21T03:02:02Z О достаточных условиях сближения в нестационарных игровых задачах динамики Чикрий, Ал.А. Рассматривается нестационарная задача с переменным терминальным множеством. В случае, когда условие Понтрягина не имеет места, предлагается прием, позволяющий получить достаточные условия сближения за конечное время. Розглядається нестаціонарна задача зближення зі змінною термінальною множиною. У випадку, коли умова Понтрягіна не виконана, запропоновано прийом, що дозволяє отримати достатні умови зближення за скінченний час. The nonstationary problem of approach a variable terminal set is studied. A method is suggested which makes it feasible to obtain sufficient conditions of approach in case when Pontryagin’s condition fails. 2015 Article О достаточных условиях сближения в нестационарных игровых задачах динамики / Ал.А. Чикрий // Теорія оптимальних рішень: Зб. наук. пр. — 2015. — № 2015. — № 2015. — № 2015. — С. 16-21. — Бібліогр.: 7 назв. — рос. XXXX-0013 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/112391 517.977 ru Теорія оптимальних рішень Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України
institution Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
collection DSpace DC
language Russian
description Рассматривается нестационарная задача с переменным терминальным множеством. В случае, когда условие Понтрягина не имеет места, предлагается прием, позволяющий получить достаточные условия сближения за конечное время.
format Article
author Чикрий, Ал.А.
spellingShingle Чикрий, Ал.А.
О достаточных условиях сближения в нестационарных игровых задачах динамики
Теорія оптимальних рішень
author_facet Чикрий, Ал.А.
author_sort Чикрий, Ал.А.
title О достаточных условиях сближения в нестационарных игровых задачах динамики
title_short О достаточных условиях сближения в нестационарных игровых задачах динамики
title_full О достаточных условиях сближения в нестационарных игровых задачах динамики
title_fullStr О достаточных условиях сближения в нестационарных игровых задачах динамики
title_full_unstemmed О достаточных условиях сближения в нестационарных игровых задачах динамики
title_sort о достаточных условиях сближения в нестационарных игровых задачах динамики
publisher Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України
publishDate 2015
url http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/112391
citation_txt О достаточных условиях сближения в нестационарных игровых задачах динамики / Ал.А. Чикрий // Теорія оптимальних рішень: Зб. наук. пр. — 2015. — № 2015. — № 2015. — № 2015. — С. 16-21. — Бібліогр.: 7 назв. — рос.
series Теорія оптимальних рішень
work_keys_str_mv AT čikrijala odostatočnyhusloviâhsbliženiâvnestacionarnyhigrovyhzadačahdinamiki
first_indexed 2025-07-08T03:50:47Z
last_indexed 2025-07-08T03:50:47Z
_version_ 1837049207927603200
fulltext 16 Теорія оптимальних рішень. 2015 ТЕОРІЯ ОПТИМАЛЬНИХ РІШЕНЬ Рассматривается нестационар- ная задача с переменным терми- нальным множеством. В случае, когда условие Понтрягина не име- ет места, предлагается прием, позволяющий получить доста- точные условия сближения за конечное время.  Ал.А. Чикрий, 2015 УДК 517.977 Ал.А. ЧИКРИЙ О ДОСТАТОЧНЫХ УСЛОВИЯХ СБЛИЖЕНИЯ В НЕСТАЦИОНАРНЫХ ИГРОВЫХ ЗАДАЧАХ ДИНАМИКИ Пусть движение объекта в nR задается не- стационарной системой уравнений ( ) ( , , )z A t z t u v  , 0 0( )z t z , 00  tt , (1) где )(tA – матричная функция порядка n с локально суммируемыми элементами. Управления игроков выбираются из ком- пактозначных измеримых отображений )(tU и )(tV и являются измеримыми функциями времени. Блок управления ( , , )t u v удовле- творяет условию Каратеодори, функция ( , , )t u v измерима по t и непрерывна по совокупности ( , )u v . Предполагается так- же, что ( , , ) ( ) ( )t u v a t u U t    , ( )v V t ,  0 ,t t  , (2) где )(ta – числовая локально суммируемая функция. Задано терминальное множество цилин- дрического вида  * 0 0( ) ( ), ,M t M M t t t    , (3) здесь 0M – линейное подпространство в nR , а )(tM – измеримое компактозначное отоб- ражение со значениями в L – ортогональном дополнении к 0M в nR . Рассматривается задача о сближении тер- ритории (1) с множеством (3) за конечное время. При этом предполагается, что первый игрок располагает информацией о начальном состоянии процесса 0 0( , )t z и предыстории управления убегающего О ДОСТАТОЧНЫХ УСЛОВИЯХ СБЛИЖЕНИЯ ... Теорія оптимальних рішень. 2015 17   0( ) ( ) : ( ) ( ), , ,tv v s v s V s s t t    т. е. использует квазистратегию [1, 2]. В дальнейшем будем считать, что блок управления имеет вид ( , , ) ( , ) ( , ).t u v f t u g t v   Сформулируем аналог условия Понтрягина [3]. Условие 1. Существует такая дифференцируемая монотонно возрастающая функция  I t ,  I t t , 0t t , причем  0 0I t t , что многозначное отображение       , ( ), ( , ) ( , ), ( , ) *IW t I t q t f q t U q t            0* ( ), ( , ) ( , ), ( , )I t t g t V t I t t            при 0t t   , где    ,q t I t t     ,      0 0,t I t I t t t        . Легко видеть, что  , ( , ),q t t    0t t   , в силу неравенства   0I t t t  . Здесь ( , )t  – фундаментальная матрица однородной системы (1). Поскольку при условии 1 отображение  ,IW t  измеримо по ,  0, ,t t и замкнутозначно, то в силу теоремы измеримого выбора в нем существует измеримый по  селектор  , ,I t  который мы фиксируем для дальнейшего. Введем многозначное отображение                0 0 0 , 0 0, , , , . q t t t I t t N t I t t z I t f U d t d             Реализуя идеологию разрешающих функций [4], рассмотрим отображение         , , 0 : , , , ( ( )) ,I I I t v W t v t M I t N t                 A   , ,v V t   0,t t   (4) где      , , ( ), ( , ) ( , ), ( ( , ))IW t v I t q t f q t U q t             0( ), ( , ) , , .I t t g t v I t t        Его опорная функция в направлении 1     , , sup : , , .I It v t v     A Как следует из метода [2, 4], отображение  , ,I t vA и разрешающая функция  , ,I t v  являются L B -измеримыми по совокупности  ,v в областях своего определения. Ал.А. ЧИКРИЙ 18 Теорія оптимальних рішень. 2015 Из выражения (4) вытекает, что если для некоторого t , 0t t ,     M I t N t  , то    , , 0,I t v  A , а  , ,I t v    для   , ,v V q t  0 .t t   Рассмотрим множество         0 0 0 0, , , : inf , , 1 . E t I I I v t T t z t t t v d                     Если неравенство в фигурных скобках не выполняется при всех 0t t , то положим   0 0, , , .I IT t z      Теорема. Пусть для конфликтно-управляемого процесса (1) – (3)      , , , , ,t u v f t u g t v   выполнено условие 1 с некоторой функцией  I t и отображение ( ),M t 0,t t выпуклозначно. Тогда, если для заданного начального состояния 0 0( , )t z существует такой измеримый по  селектор  , ,I t  0 ,t t     многозначного отображе- ния  , ,IW t  что   0 0, , ,I IT t z      и   0 0, , , ,I IT T t z    то траектория процесса (1) может быть приведена на терминальное множество (3) в момент  I T в классе квазистратегий. Доказательство. Рассмотрим процесс (1) – (3), который функционирует в условиях теоремы на интервале  0 , .t I T   Пусть   ,v s    ,v s V s  0 , ,s t I T   – произвольная измеримая функция. Рассмотрим сначала случай      .M I T N T   На интервале  0 0, ,t q T t   управление преследователя выберем следующим образом. Положим его равным такому измеримому селек- тору 0( )u s отображения  ,U s что              0 , , , , , ,I I I u W T s v T s T s v M I T N T               где                  0 0 0 , 0 0 0, , , , . q t t t Iu t t N t I t t z I t s f s u s ds t s ds         Таким образом, управление преследователя на начальном интервале равно  0u s ,  0 0, , .s t q T t   О ДОСТАТОЧНЫХ УСЛОВИЯХ СБЛИЖЕНИЯ ... Теорія оптимальних рішень. 2015 19 Введем контрольную функцию      0 1 , , . t I I t h t T v d      Тогда существует такой момент ,t что   0.Ih t  Заметим, что момент t со- ответствует реальному времени. Соответственно, для деформированного с по- мощью функции  I t времени преследователя и убегающего получаем моменты  ,q T t  и  ,T t  . Промежутки времени     0, , ,q T t q T t    и     , ,q T t I T    назовем активным и пассивным. Они соответствуют проме- жуткам  0 ,t t и  ,t T  в реальном времени. Рассмотрим многозначное отображение               , , : , , , , ( , IU v u U q T I T q T f q T u I T                        0( , )) ( , , ) , ,IT g T v I T t T v M I T N T                  ,   , ,v V T    0, ,t T где         0 * * , , , , , , . 0, , I I T v t t T v t T            Это отображение L B -измеримо в силу теоремы об обратном образе и является замкнутозначным [5], поэтому в нем согласно теореме об измеримом выборе [5] существует L B -измеримый селектор         , , ( ) , , , ,u q T v u q T v T         0, ,t T который и будет управлением преследователя на активном и пассивном участ- ках. Если же      ,M I T N T   то на интервале  0 0, ,t q T t   управле- ние преследователя выберем из условия        ,u N T M I T   а на интервале     0, ,q T t I T   – как на пассивном участке в предыдущем случае, т. е. с нуле- вой разрешающей функцией. Покажем, что при указанном выборе управлений первого игрока соответ- ствующие траектории конфликтно-управляемого процесса попадут на множе- ство  0M M t в момент   .I T Ал.А. ЧИКРИЙ 20 Теорія оптимальних рішень. 2015 Для этого рассмотрим формулу Коши               0 0 0 0, , , , , . t t t t z t t t z t f u d t g v d                Пусть время для преследователя  ,q t  проходит быстрее в сравнении с реаль- ным временем, а для убегающего определяется функцией  , ,t  где ,t 0,t t   некоторый фиксированный момент. Сделав соответствующую замену переменных, получаем              0 0 , 0 0 0, , , q t t t z I t I t t z I t s f s u s ds                 0 , , , , , t t I t q t f q t u q t d                    0 0, , , , , t t I t t g t v t I t t d            . (5) Положив ,t T и используя законы выбора управления преследователем, из формули (5) получаем нужное включение      .z I T M T    Замечание. Предложенная методика развивает идеи, связанные с за- паздыванием информации [6] и растягиванием времени [7]. Ол.А. Чикрій ПРО ДОСТАТНІ УМОВИ ЗБЛИЖЕННЯ В НЕСТАЦІОНАРНИХ ІГРОВИХ ЗАДАЧАХ ДИНАМІКИ Розглядається нестаціонарна задача зближення зі змінною термінальною множиною. У ви- падку, коли умова Понтрягіна не виконана, запропоновано прийом, що дозволяє отримати достатні умови зближення за скінченний час. Ol.A. Chikrii SUFFICIENT CJNDITIONS OF APPROACH IN NONSTATIONARY DYNAMIC GAME PROBLEMS The nonstationary problem of approach a variable terminal set is studied. A method is suggested which makes it feasible to obtain sufficient conditions of approach in case when Pontryagin’s con- dition fails. О ДОСТАТОЧНЫХ УСЛОВИЯХ СБЛИЖЕНИЯ ... Теорія оптимальних рішень. 2015 21 1. Онопчук Ю.Н., Чикрий Ал.А. Нестационарные процессы управления движением в условиях неопределенности // Теория оптимальных решений. – 2008. – № 7. – С. 17 – 24. 2. Chikrii A.A. Conflict–Controlled Processes. – Boston – London – Dordrecht: Springer. – 1997. – 424 p. 3. Понтрягин Л.С. Избранные научные труды. – М.: Наука, 1988. – 2. – 576 с. 4. Чикрий А.А. Об одном аналитическом методе в динамических играх сближения // Труды МИАН, 2010. – Т. 271. – С. 76 – 92. 5. Aubin J.-P., Frankowska H. Set-valued analysis. – Boston; Basel; Berlin: Birkhauser, 1990. – 461 p. 6. Чикрий Г.Ц. Использование эффекта запаздывания информации в дифференциальных играх преследования // Кибернетика и системный анализ. – 2007. – № 2. – С. 90 – 105. 7. Зонневенд Д. Об одном типе превосходства игрока // Докл. АН СССР. – 1973. – 208, № 3. – С. 520 – 523. Получено 04.02.2015

Схожі ресурси