Решение линейных и нелинейных пространственных задач механики разрушения на основе полуаналитического метода конечных элементов. Сообщение 2. Методика определения инвариантного J-интеграла в дискретных моделях метода конечных элементов
Реализована новая методика вычисления J-интеграла для дискретных моделей метода конечных элементов, основанная на использовании величин узловых реакций и перемещений. Приведены теоретические обоснования и практические результаты, подтверждающие инвариантность получаемых с использованием этой методик...
Gespeichert in:
| Datum: | 2011 |
|---|---|
| Hauptverfasser: | , , , , , |
| Format: | Artikel |
| Sprache: | Russian |
| Veröffentlicht: |
Інститут проблем міцності ім. Г.С. Писаренко НАН України
2011
|
| Schriftenreihe: | Проблемы прочности |
| Schlagworte: | |
| Online Zugang: | http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/112759 |
| Tags: |
Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Zitieren: | Решение линейных и нелинейных пространственных задач механики разрушения на основе полуаналитического метода конечных элементов. Сообщение 2. Методика определения инвариантного J-интеграла в дискретных моделях метода конечных элементов / В.А. Баженов, А.И. Гуляр, С.О. Пискунов, А.С. Сахаров, А.А. Шкрыль, Ю.В. Максимюк // Проблемы прочности. — 2011. — № 2. — С. 17-32. — Бібліогр.: 8 назв. — рос. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
irk-123456789-112759 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
irk-123456789-1127592017-01-28T03:02:01Z Решение линейных и нелинейных пространственных задач механики разрушения на основе полуаналитического метода конечных элементов. Сообщение 2. Методика определения инвариантного J-интеграла в дискретных моделях метода конечных элементов Баженов, В.А. Гуляр, А.И. Пискунов, С.О. Сахаров, А.С. Шкрыль, А.А. Максимюк, Ю.В. Научно-технический раздел Реализована новая методика вычисления J-интеграла для дискретных моделей метода конечных элементов, основанная на использовании величин узловых реакций и перемещений. Приведены теоретические обоснования и практические результаты, подтверждающие инвариантность получаемых с использованием этой методики значений J-интеграла для случая трещин нормального отрыва и смешанного разрушения. Решена задача об упругопластическом деформировании компактного образца в пространственной постановке. Реалізовано нову методику обчислення J-інтеграла для дискретних моделей методу скінченних елементів, що базується на використанні величин вузлових реакцій і переміщень. Наведено теоретичні обгрунтування і практичні результати, що підтверджують інваріантність отримуваних із використанням цієї методики значень J-інтеграла для випадку тріщин нормального відриву і змішаного руйнування. Розв’язано задачі про пружно-пластичне деформування компактного зразка в просторовій постановці. 2011 Article Решение линейных и нелинейных пространственных задач механики разрушения на основе полуаналитического метода конечных элементов. Сообщение 2. Методика определения инвариантного J-интеграла в дискретных моделях метода конечных элементов / В.А. Баженов, А.И. Гуляр, С.О. Пискунов, А.С. Сахаров, А.А. Шкрыль, Ю.В. Максимюк // Проблемы прочности. — 2011. — № 2. — С. 17-32. — Бібліогр.: 8 назв. — рос. 0556-171X http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/112759 539.375 ru Проблемы прочности Інститут проблем міцності ім. Г.С. Писаренко НАН України |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| language |
Russian |
| topic |
Научно-технический раздел Научно-технический раздел |
| spellingShingle |
Научно-технический раздел Научно-технический раздел Баженов, В.А. Гуляр, А.И. Пискунов, С.О. Сахаров, А.С. Шкрыль, А.А. Максимюк, Ю.В. Решение линейных и нелинейных пространственных задач механики разрушения на основе полуаналитического метода конечных элементов. Сообщение 2. Методика определения инвариантного J-интеграла в дискретных моделях метода конечных элементов Проблемы прочности |
| description |
Реализована новая методика вычисления J-интеграла для дискретных моделей метода конечных элементов, основанная на использовании величин узловых реакций и перемещений. Приведены теоретические обоснования и практические результаты, подтверждающие инвариантность получаемых с использованием этой методики значений J-интеграла для случая
трещин нормального отрыва и смешанного разрушения. Решена задача об упругопластическом деформировании компактного образца в пространственной постановке. |
| format |
Article |
| author |
Баженов, В.А. Гуляр, А.И. Пискунов, С.О. Сахаров, А.С. Шкрыль, А.А. Максимюк, Ю.В. |
| author_facet |
Баженов, В.А. Гуляр, А.И. Пискунов, С.О. Сахаров, А.С. Шкрыль, А.А. Максимюк, Ю.В. |
| author_sort |
Баженов, В.А. |
| title |
Решение линейных и нелинейных пространственных задач механики разрушения на основе полуаналитического метода конечных элементов. Сообщение 2. Методика определения инвариантного J-интеграла в дискретных моделях метода конечных элементов |
| title_short |
Решение линейных и нелинейных пространственных задач механики разрушения на основе полуаналитического метода конечных элементов. Сообщение 2. Методика определения инвариантного J-интеграла в дискретных моделях метода конечных элементов |
| title_full |
Решение линейных и нелинейных пространственных задач механики разрушения на основе полуаналитического метода конечных элементов. Сообщение 2. Методика определения инвариантного J-интеграла в дискретных моделях метода конечных элементов |
| title_fullStr |
Решение линейных и нелинейных пространственных задач механики разрушения на основе полуаналитического метода конечных элементов. Сообщение 2. Методика определения инвариантного J-интеграла в дискретных моделях метода конечных элементов |
| title_full_unstemmed |
Решение линейных и нелинейных пространственных задач механики разрушения на основе полуаналитического метода конечных элементов. Сообщение 2. Методика определения инвариантного J-интеграла в дискретных моделях метода конечных элементов |
| title_sort |
решение линейных и нелинейных пространственных задач механики разрушения на основе полуаналитического метода конечных элементов. сообщение 2. методика определения инвариантного j-интеграла в дискретных моделях метода конечных элементов |
| publisher |
Інститут проблем міцності ім. Г.С. Писаренко НАН України |
| publishDate |
2011 |
| topic_facet |
Научно-технический раздел |
| url |
http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/112759 |
| citation_txt |
Решение линейных и нелинейных пространственных задач механики разрушения на основе полуаналитического метода конечных элементов. Сообщение 2. Методика определения инвариантного J-интеграла в дискретных моделях метода конечных элементов / В.А. Баженов, А.И. Гуляр, С.О. Пискунов, А.С. Сахаров, А.А. Шкрыль, Ю.В. Максимюк // Проблемы прочности. — 2011. — № 2. — С. 17-32. — Бібліогр.: 8 назв. — рос. |
| series |
Проблемы прочности |
| work_keys_str_mv |
AT baženovva rešenielinejnyhinelinejnyhprostranstvennyhzadačmehanikirazrušeniânaosnovepoluanalitičeskogometodakonečnyhélementovsoobŝenie2metodikaopredeleniâinvariantnogojintegralavdiskretnyhmodelâhmetodakonečnyhélementov AT gulârai rešenielinejnyhinelinejnyhprostranstvennyhzadačmehanikirazrušeniânaosnovepoluanalitičeskogometodakonečnyhélementovsoobŝenie2metodikaopredeleniâinvariantnogojintegralavdiskretnyhmodelâhmetodakonečnyhélementov AT piskunovso rešenielinejnyhinelinejnyhprostranstvennyhzadačmehanikirazrušeniânaosnovepoluanalitičeskogometodakonečnyhélementovsoobŝenie2metodikaopredeleniâinvariantnogojintegralavdiskretnyhmodelâhmetodakonečnyhélementov AT saharovas rešenielinejnyhinelinejnyhprostranstvennyhzadačmehanikirazrušeniânaosnovepoluanalitičeskogometodakonečnyhélementovsoobŝenie2metodikaopredeleniâinvariantnogojintegralavdiskretnyhmodelâhmetodakonečnyhélementov AT škrylʹaa rešenielinejnyhinelinejnyhprostranstvennyhzadačmehanikirazrušeniânaosnovepoluanalitičeskogometodakonečnyhélementovsoobŝenie2metodikaopredeleniâinvariantnogojintegralavdiskretnyhmodelâhmetodakonečnyhélementov AT maksimûkûv rešenielinejnyhinelinejnyhprostranstvennyhzadačmehanikirazrušeniânaosnovepoluanalitičeskogometodakonečnyhélementovsoobŝenie2metodikaopredeleniâinvariantnogojintegralavdiskretnyhmodelâhmetodakonečnyhélementov |
| first_indexed |
2025-07-08T04:35:41Z |
| last_indexed |
2025-07-08T04:35:41Z |
| _version_ |
1837052036797956096 |
| fulltext |
ÓÄÊ 539.375
Ðåøåíèå ëèíåéíûõ è íåëèíåéíûõ ïðîñòðàíñòâåííûõ çàäà÷
ìåõàíèêè ðàçðóøåíèÿ íà îñíîâå ïîëóàíàëèòè÷åñêîãî ìåòîäà
êîíå÷íûõ ýëåìåíòîâ. Ñîîáùåíèå 2. Ìåòîäèêà îïðåäåëåíèÿ
èíâàðèàíòíîãî J -èíòåãðàëà â äèñêðåòíûõ ìîäåëÿõ ìåòîäà
êîíå÷íûõ ýëåìåíòîâ
Â. À. Áàæåíîâ, À. È. Ãóëÿð, Ñ. Î. Ïèñêóíîâ, À. Ñ. Ñàõàðîâ, À. À. Øêðûëü,
Þ. Â. Ìàêñèìþê
Êèåâñêèé íàöèîíàëüíûé óíèâåðñèòåò ñòðîèòåëüñòâà è àðõèòåêòóðû, Êèåâ, Óêðàèíà
Ðåàëèçîâàíà íîâàÿ ìåòîäèêà âû÷èñëåíèÿ J-èíòåãðàëà äëÿ äèñêðåòíûõ ìîäåëåé ìåòîäà êîíå÷-
íûõ ýëåìåíòîâ, îñíîâàííàÿ íà èñïîëüçîâàíèè âåëè÷èí óçëîâûõ ðåàêöèé è ïåðåìåùåíèé. Ïðè-
âåäåíû òåîðåòè÷åñêèå îáîñíîâàíèÿ è ïðàêòè÷åñêèå ðåçóëüòàòû, ïîäòâåðæäàþùèå èíâà-
ðèàíòíîñòü ïîëó÷àåìûõ ñ èñïîëüçîâàíèåì ýòîé ìåòîäèêè çíà÷åíèé J-èíòåãðàëà äëÿ ñëó÷àÿ
òðåùèí íîðìàëüíîãî îòðûâà è ñìåøàííîãî ðàçðóøåíèÿ. Ðåøåíà çàäà÷à îá óïðóãîïëàñòè-
÷åñêîì äåôîðìèðîâàíèè êîìïàêòíîãî îáðàçöà â ïðîñòðàíñòâåííîé ïîñòàíîâêå.
Êëþ÷åâûå ñëîâà: ìåõàíèêà ðàçðóøåíèÿ, èíâàðèàíòíûé J-èíòåãðàë, êîíòóð
èíòåãðèðîâàíèÿ, ìåòîä êîíå÷íûõ ýëåìåíòîâ, ëèíåéíàÿ è íåëèíåéíàÿ çàäà÷è.
Ðàíåå [1] áûëî ïðîâåäåíî èññëåäîâàíèå äîñòîâåðíîñòè ðåçóëüòàòîâ âû÷èñ-
ëåíèÿ J -èíòåãðàëà äëÿ äèñêðåòíûõ ìîäåëåé ìåòîäà êîíå÷íûõ ýëåìåíòîâ (ÌÊÝ)
íà îñíîâå òðàäèöèîííîãî ïîäõîäà ê âåëè÷èíàì íàïðÿæåíèé è ãðàäèåíòàì
ïåðåìåùåíèé. Ïîëó÷åííûå äàííûå ñâèäåòåëüñòâóþò, ÷òî òàêàÿ ìåòîäèêà îáåñ-
ïå÷èâàåò áîëåå âûñîêóþ ýôôåêòèâíîñòü âû÷èñëåíèÿ J -èíòåãðàëà, â ÷àñòíîñ-
òè, ïî ñðàâíåíèþ ñ ìåòîäîì ýêâèâàëåíòíîãî îáúåìíîãî èíòåãðèðîâàíèÿ [2].
Îäíàêî ïðè âû÷èñëåíèè J -èíòåãðàëà â ïðèçìàòè÷åñêîì òåëå ñ áîêîâûì íàä-
ðåçîì êàê ïðè óïðóãîì, òàê è ïðè óïðóãîïëàñòè÷åñêîì äåôîðìèðîâàíèè
îáíàðóæåíà ñóùåñòâåííàÿ çàâèñèìîñòü ðåçóëüòàòîâ îò ðàçìåðîâ êîíòóðà èíòå-
ãðèðîâàíèÿ. Ïðè èñïîëüçîâàíèè îäèíàêîâûõ êîíå÷íîýëåìåíòíûõ ìîäåëåé
ïîãðåøíîñòè âû÷èñëåíèÿ J -èíòåãðàëà ïðè óïðóãîïëàñòè÷åñêîì äåôîðìèðî-
âàíèè îêàçàëèñü âäâîå áîëüøèìè, ÷åì ïðè óïðóãîì, à äëÿ äîñòèæåíèÿ äîñòî-
âåðíîñòè ðåçóëüòàòîâ â îáîèõ ñëó÷àÿõ òðåáóåòñÿ çíà÷èòåëüíîå ñãóùåíèå
êîíå÷íîýëåìåíòíîé ñåòêè. Êðîìå òîãî, ïðåäëàãàåìûå â ðàáîòàõ äðóãèõ àâòî-
ðîâ ðåàëèçàöèè òðàäèöèîííîãî ïîäõîäà â çàäà÷àõ ñìåøàííîãî ðàçðóøåíèÿ
ïðèâîäÿò ê äîïîëíèòåëüíûì âû÷èñëèòåëüíûì çàòðàòàì. Ïîýòîìó âîïðîñ
ñîçäàíèÿ íîâîé ýôôåêòèâíîé ìåòîäèêè âû÷èñëåíèÿ J -èíòåãðàëà äëÿ äèñêðåò-
íûõ ìîäåëåé ÌÊÝ, îáåñïå÷èâàþùåé åãî èíâàðèàíòíîñòü, ÿâëÿåòñÿ àêòóàëü-
íûì.
Ðàññìîòðèì çàìêíóòûé êîíòóð â îáùåì ñëó÷àå ïðîèçâîëüíîé ôîðìû,
ïîñòðîåííûé íà äèñêðåòíîé ìîäåëè ïîëóàíàëèòè÷åñêîãî ìåòîäà êîíå÷íûõ
ýëåìåíòîâ (ÏÌÊÝ) äëÿ òåëà ñ ïðîäîëüíîé òðåùèíîé. Êîíòóð ïðåäñòàâëÿåò
ñîáîé ïîïåðå÷íîå ñå÷åíèå îáúåìà, âûáðàííîãî â îêðåñòíîñòè òî÷êè ôðîíòà
òðåùèíû äëÿ âû÷èñëåíèÿ J-èíòåãðàëà [1], ïðîõîäèò ÷åðåç ñåðåäèíû êîíå÷íûõ
© Â. À. ÁÀÆÅÍÎÂ, À. È. ÃÓËßÐ, Ñ. Î. ÏÈÑÊÓÍÎÂ, À. Ñ. ÑÀÕÀÐÎÂ, À. À. ØÊÐÛËÜ, Þ. Â.
ÌÀÊÑÈÌÞÊ, 2011
ISSN 0556-171X. Ïðîáëåìû ïðî÷íîñòè, 2011, ¹ 2 17
ýëåìåíòîâ (ÊÝ) â íàïðàâëåíèè îñè x1 è ïî ãðàíèöàì ÊÝ ïàðàëëåëüíî îñè x 2
(ðèñ. 1). Òàêîé çàìêíóòûé êîíòóð ìîæåò áûòü ðàñïîëîæåí â ïðîèçâîëüíîì
ìåñòå äèñêðåòíîé ìîäåëè, â ïðåäåëüíîì ñëó÷àå îäíà èç åãî ñòîðîí, ïàðàë-
ëåëüíûõ îñè x 2 , ìîæåò ñîâïàäàòü ñ îäíèì èç áåðåãîâ (ïîâåðõíîñòåé) òðå-
ùèíû.
J-èíòåãðàë ïî óêàçàííîìó êîíòóðó ìîæåò áûòü ïðåäñòàâëåí â âèäå
J Wn n t dSt i
ik
k l
l
S
� � �
��
�� ( ) .� � (1)
Ïîñëå ðàçâåðòûâàíèÿ ïðîèçâåäåíèÿ âî âòîðîì ñëàãàåìîì ïî èíäåêñó �l
( ,t � �1 0 t � �2 1, t � �3 0) c ó÷åòîì çíà÷åíèé ïðîåêöèé íîðìàëè nt íà îñü z �2 íà
õàðàêòåðíûõ ó÷àñòêàõ êîíòóðà S S1 4� (nt S| ,
1
1�� nt S| ,
3
1� n nt S t S| | )
2 4
0� �
ïîêîìïîíåíòíîå ïðåäñòàâëåíèå J-èíòåãðàëà òàêîâî:
J WdS WdS n dS ni
ik
kSSS iS
ik
k� � � ��
� �
�
� ���� �3 1 2 1 2
113 2
� � � � dS 2 �
� ��
� �
�
� �� �n dS n dSi
ik
S k i
ik
S k� � � �
3 4
2 3 2 4 . (2)
Ñ ó÷åòîì êîíå÷íîýëåìåíòíîé äèñêðåòèçàöèè êîíòóðà ïîëó÷èì
J W s W s n sj j i
ik
k
j
N
j
j
N
j
N
� � � ��
� �
���
��( ) ( ) ( ) � � 2
111
113
�
� � ��
�
� �
�
�
� �� �( ) ( ) (n s n s ni
ik
j
N
k j i
ik
j
N
k j i� � � �
1
2
1
2
2 3
� �ik
j
N
k js�
�
� ��
1
2
4
) , (3)
ãäå N1 , N 2 , N 3 , N 4 – êîëè÷åñòâî ÊÝ, s j – äëèíà îòðåçêà êîíòóðà â
ïðåäåëàõ j-ãî ÊÝ íà ó÷àñòêàõ êîíòóðà S 1 , S 2 , S 3 , S 4 (ðèñ. 1).
Â. À. Áàæåíîâ, À. È. Ãóëÿð, Ñ. Î. Ïèñêóíîâ è äð.
18 ISSN 0556-171X. Ïðîáëåìû ïðî÷íîñòè, 2011, ¹ 2
Ðèñ. 1. Êîíòóð èíòåãðèðîâàíèÿ â ïîïåðå÷íîì ñå÷åíèè äèñêðåòíîé ìîäåëè ÏÌÊÝ äëÿ òåëà ñ
ïðîäîëüíîé òðåùèíîé.
Âåëè÷èíà ýíåðãèè äåôîðìèðîâàíèÿ ÊÝ W , âû÷èñëåííàÿ âäîëü îáîçíà-
÷åííîãî íà ðèñ. 1 îòðåçêà êîíòóðà s j , áóäåò
( )
( )
{ } { } ,W s
z
u Rj j
T
j
��
�
1
2 2 (4)
ãäå { } {{ } },u uj k i� � { } {{ } }R Rj k i� � – âåêòîðû ïåðåìåùåíèé è óçëîâûõ ðåàê-
öèé j-ãî ÊÝ, êîìïîíåíòû êîòîðûõ ïîêàçàíû íà ðèñ. 2; i – íîìåðà óçëîâ â
ïðåäåëàõ ÊÝ, i�1 2 3 4, , , ; �k – íàïðàâëåíèÿ îñåé áàçèñíîé ñèñòåìû êîîðäèíàò
z k�.
Óñðåäíåííûå âåëè÷èíû óçëîâûõ ðåàêöèé, äåéñòâóþùèõ âäîëü ñòîðîí
2–4 è 1–3 ÊÝ, ñ èñïîëüçîâàíèåì íàïðÿæåíèé ìîãóò áûòü ïðåäñòàâëåíû òàê:
R n
sk
i
ik
2 4 2�
� �� �
, R n
sk
i
ik
1 3 2�
� �� �
,
à ñ èñïîëüçîâàíèåì óçëîâûõ ðåàêöèé ÊÝ:
R
R Rk
k k
2 4
2 4
2�
�
� �
�
( ) ( )
, R
R Rk
k k
1 3
1 3
2�
�
� �
�
( ) ( )
.
Àíàëîãè÷íî ìîãóò áûòü çàïèñàíû âåëè÷èíû ãðàäèåíòîâ ïåðåìåùåíèé
ÊÝ:
� � �
� � �
�
�
�
k
k ku u
z
2
2 4 4 2
2
( ) ( )
,
� � �
� � �
�
�
�
k
k ku u
z
2
1 3 3 1
2
( ) ( )
.
Ñ ó÷åòîì ýòîãî è ôîðìóëû (3) âûðàæåíèÿ äëÿ êîíòóðíîãî èíòåãðàëà (2)
ïðèîáðåòóò âèä
Ðåøåíèå ëèíåéíûõ è íåëèíåéíûõ ïðîñòðàíñòâåííûõ çàäà÷ ...
ISSN 0556-171X. Ïðîáëåìû ïðî÷íîñòè, 2011, ¹ 2 19
Ðèñ. 2. Îòðåçîê êîíòóðà èíòåãðèðîâàíèÿ â ïðåäåëàõ j-ãî ÊÝ.
J
u R
z
u R
z
j
T
j
jj
N
j
T
j
jj
N
� � �
�
�
�
�
� �
{ } ( }
( )
{ } { }
( )2 22
1
2
1
3 1
�
�
�
�
�
�
� �� � � � �
�
�
R
u u u u
z
k k k k k
jj
({ } { } ) ({ } { } )3 4 1 2
22 1
4 2
2
1
1 2
2
N
k k k
jj
N
R
u u
z
� � � � �
�
�
��
�
�
�
� �
{ } { }
�
�
�
�
�
�
� �� � � � �
�
�
R
u u u u
z
k k k k k
jj
({ } { } ) ({ } { } )3 4 1 2
22 1
4 2
2
1
3 4
2
N
k k k
jj
N
R
u u
z
� � � � �
�
�
��
�
�
�
�
{ } { }
.
(5)
Òàêèì îáðàçîì, êîíòóðíûé èíòåãðàë (1) ìîæåò áûòü ïðåäñòàâëåí ñ
èñïîëüçîâàíèåì âåëè÷èí óçëîâûõ ðåàêöèé è ïåðåìåùåíèé.
Äëÿ ÷àñòíîãî ñëó÷àÿ ðåãóëÿðíîé â íàïðàâëåíèè z �2 êîíå÷íîýëåìåíòíîé
ñåòêè â ïðåäïîëîæåíèè ëèíåéíî-óïðóãîãî äåôîðìèðîâàíèÿ òåëà ìîæåò áûòü
äîêàçàíî ðàâåíñòâî íóëþ âåëè÷èíû J -èíòåãðàëà ïðè åãî âû÷èñëåíèè ïî
êîíòóðó, êîòîðûé îõâàòûâàåò âåðøèíó òðåùèíû. Ñ ýòîé öåëüþ ðàññìîòðèì
ïîäîáëàñòè I è II (ðèñ. 3), êîòîðûå ñìåùåíû îòíîñèòåëüíî êîíòóðà íà
� � z 2 2, ãäå z �2 – øàã êîíå÷íîýëåìåíòíîé ñåòêè â íàïðàâëåíèè z �2 . Êàæäàÿ
îáëàñòü ñîäåðæèò N óçëîâ (1 2 3 1, , , ... , ,N N� , ðèñ. 3).
Âåêòîðû ïåðåìåùåíèé è óçëîâûõ ðåàêöèé ïîäîáëàñòåé I è II îáîçíà÷èì
{ } ,u I { }R I è { } ,u II { }R II ñîîòâåòñòâåííî. Êàæäûé èç ýòèõ âåêòîðîâ ñîäåðæèò
3N êîìïîíåíò, ïðåäñòàâëÿþùèõ ñîáîé çíà÷åíèÿ ïåðåìåùåíèé èëè óçëîâûõ
ðåàêöèé ïî òðåì íàïðàâëåíèÿì ñîîòâåòñòâåííî. Íàïðèìåð,
{ }u T
I �
� � � � � � � � �{( ) ( ) ( ) ... ( ) ... ( ) ( ) (u u u u u u uk n N N1 1 2 1 3 1 3 1 1 2 ) ( ) },N Nu �3
ãäå ��k 1 2 3, , , êàê è â ïðåäûäóùåì ñëó÷àå, îáîçíà÷àþò íàïðàâëåíèå ïåðå-
ìåùåíèÿ, n N�1 2, , ... , – íîìåðà óçëîâ â ïðåäåëàõ êàæäîé èç ïîäîáëàñòåé.
20 ISSN 0556-171X. Ïðîáëåìû ïðî÷íîñòè, 2011, ¹ 2
Â. À. Áàæåíîâ, À. È. Ãóëÿð, Ñ. Î. Ïèñêóíîâ è äð.
Ðèñ. 3. Ïîäîáëàñòè äëÿ âû÷èñëåíèÿ J-èíòåãðàëà â äèñêðåòíîé ìîäåëè ÏÌÊÝ òåëà ñ ïðîäîëü-
íîé òðåùèíîé.
à á
Âåêòîðû { } ,u II { } ,R I { }R II èìåþò àíàëîãè÷íóþ ñòðóêòóðó.
Äëÿ äîêàçàòåëüñòâà ðàâåíñòâà íóëþ äèñêðåòíîãî àíàëîãà J -èíòåãðàëà (5)
îïðåäåëèì èçìåíåíèå ýíåðãèè äåôîðìèðîâàíèÿ îáúåìà ìàòåðèàëà, çàêëþ-
÷åííîãî â ïðåäåëàõ ïîäîáëàñòè I ïðè åå ñìåùåíèè íà z �2 . Ñîãëàñíî òåîðåìå
Êëàïåéðîíà, ýòà âåëè÷èíà ìîæåò áûòü ïðåäñòàâëåíà êàê ðàçíîñòü ðàáîò
óçëîâûõ ðåàêöèé íà ñîîòâåòñòâóþùèõ ïåðåìåùåíèÿõ:
W
z z
u R u RT T
� �
� �
�
�
�
�
�
2 2
1 1
2
1
2
{ } { } { } { } .II II I I (6)
Ïîêàæåì, ÷òî âûðàæåíèå (6) ìîæåò áûòü çàïèñàíî â ñëåäóþùåì âèäå:
{ } { } { } { }
.
u u
z
R RT T
II I II I��
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
� 2 2
(7)
Ïîñëå ðàñêðûòèÿ ñêîáîê ïîëó÷èì
{ } { } { } { }u u
z
R RT T
II I II I��
�
�
�
�
�
�
�
�
�
��
� 2 2
�
� � �
{ } { } { } { } { } { } { } { } { }u R u R u R u R uT T T T
II II II II I I I II II I
T R
z
{ }
.
2 2 �
 ñîîòâåòñòâèè ñ òåîðåìîé Áåòòè î âçàèìíîñòè ðàáîò èìååì { } { }u RT
I II �
�{ } { } .u RT
II I Òàêèì îáðàçîì ñïðàâåäëèâî òîæäåñòâî:
{ } { } { } { } ({ } { } )({ } { }u R u R
z
u u R RT T T T
II II I I II I I�
�
�
�2 2
II )
.
2 2 z �
Ñîîòâåòñòâåííî ìîæåì çàïèñàòü
J
u R u R
z
u u RT T T T
�
� �
�
�
�
{ } { } { } { } ({ } { } )({ }II II I I II I I
2 2
{ } )
.
R
z
II
2
0
2 �
� (8)
Ïîñêîëüêó èññëåäóåìûé îáúåêò, íà äèñêðåòíîé ìîäåëè êîòîðîãî áûëè
âûäåëåíû îáëàñòè I è II, íàõîäèòñÿ â ñîñòîÿíèè ðàâíîâåñèÿ, äëÿ êàæäîãî
âíóòðåííåãî óçëà ýòèõ îáëàñòåé ðåàêöèè ðàâíû íóëþ. Ñîîòâåòñòâåííî âåëè-
÷èíà J -èíòåãðàëà, ïîëó÷åííàÿ ñ èñïîëüçîâàíèåì âûðàæåíèé (5) è (8), äëÿ
äàííîãî ñëó÷àÿ áóäåò îäèíàêîâà.
Àíàëîãè÷íûå âûêëàäêè ìîãóò áûòü ïðîâåäåíû äëÿ òåëà ñ ïîïåðå÷íîé
òðåùèíîé.  ýòîì ñëó÷àå íåîáõîäèìî ðàññìîòðåòü êîíòóð èíòåãðèðîâàíèÿ è
ñîîòâåòñòâóþùèå åìó ïîäîáëàñòè â ïëîñêîñòè x x2 3� . Ïðè ýòîì ðàñïîëî-
ISSN 0556-171X. Ïðîáëåìû ïðî÷íîñòè, 2011, ¹ 2 21
Ðåøåíèå ëèíåéíûõ è íåëèíåéíûõ ïðîñòðàíñòâåííûõ çàäà÷ ...
æåíèå òî÷åê, â êîòîðûõ âû÷èñëÿþòñÿ çíà÷åíèÿ êîìïîíåíò âåêòîðîâ { }u I ,
{ } ,R I { } ,u II { } ,R II â ïëîñêîñòè z z� ��1 2 îïðåäåëÿåòñÿ êîîðäèíàòàìè óçëîâ
êîíå÷íîýëåìåíòíîé ìîäåëè, â íàïðàâëåíèè z �3 – êîîðäèíàòàìè òî÷åê èíòåãðè-
ðîâàíèÿ (íà ðèñ. 4 ïîêàçàíû êðåñòèêàìè).
Ïðèìåíåíèå ðàçðàáîòàííîãî ïîäõîäà ê îïðåäåëåíèþ J -èíòåãðàëà â ðàñ-
ñìîòðåííîé ðàíåå [1] çàäà÷å îá èçãèáå ïðèçìàòè÷åñêîãî òåëà ñ áîêîâîé òðå-
ùèíîé ïîêàçàëî íåçàâèñèìîñòü ïîëó÷àåìûõ ðåçóëüòàòîâ (íà ðèñ. 5 êðèâàÿ 2)
îò êîíòóðà èíòåãðèðîâàíèÿ è ïî÷òè ïîëíóþ èõ òîæäåñòâåííîñòü ýòàëîííîìó
ðåøåíèþ (1, òðåóãîëüíèêè) ïðè ðàññìîòðåíèè ýòîãî îáúåêòà â âèäå ïðèçìàòè-
÷åñêîãî òåëà êàê ñ ïðîäîëüíîé, òàê è ïîïåðå÷íîé òðåùèíîé. Àíàëîãè÷íûå
äàííûå áûëè ïîëó÷åíû ïðè âû÷èñëåíèè âåëè÷èí J -èíòåãðàëà ïî ïðåäëî-
æåííîé ìåòîäèêå íà îñíîâàíèè îïðåäåëåíèÿ íàïðÿæåííî-äåôîðìèðîâàííîãî
ñîñòîÿíèÿ ñ èñïîëüçîâàíèåì òðàäèöèîííîãî òðåõìåðíîãî ÌÊÝ (íà ðèñ. 5
êðèâàÿ 3), â òîì ÷èñëå ïðîãðàììíîãî êîìïëåêñà NASTRAN [3, 4].
22 ISSN 0556-171X. Ïðîáëåìû ïðî÷íîñòè, 2011, ¹ 2
Â. À. Áàæåíîâ, À. È. Ãóëÿð, Ñ. Î. Ïèñêóíîâ è äð.
Ðèñ. 4. Ïîäîáëàñòè äëÿ âû÷èñëåíèÿ J-èíòåãðàëà â äèñêðåòíîé ìîäåëè ÏÌÊÝ òåëà ñ ïîïåðå÷-
íîé òðåùèíîé.
Ðèñ. 5. Ðåçóëüòàòû îïðåäåëåíèÿ J-èíòåãðàëà ïî âåëè÷èíàì óçëîâûõ ðåàêöèé è ïåðåìåùåíèé.
Äëÿ ïîëó÷åíèÿ J -èíòåãðàëà ñ òî÷íîñòüþ ïîðÿäêà 2,5% ñ ïîìîùüþ âåëè-
÷èí óçëîâûõ ðåàêöèé è ïåðåìåùåíèé äîñòàòî÷íî âîñïîëüçîâàòüñÿ êîíå÷íî-
ýëåìåíòíîé ñåòêîé ðàçìåðíîñòüþ 5 10� ÊÝ. Òàêèì îáðàçîì, íåîáõîäèìàÿ
òî÷íîñòü äîñòèãàåòñÿ ïðè ðàçìåðàõ ÊÝ â âåðøèíå òðåùèíû ïî÷òè â 25 ðàç
ìåíüøèõ, ÷åì ïðè âû÷èñëåíèè J -èíòåãðàëà ïî âåëè÷èíàì íàïðÿæåíèé è
ãðàäèåíòîâ ïåðåìåùåíèé. Ñëåäóåò òàêæå îòìåòèòü, ÷òî ñõîäèìîñòü äîñòè-
ãàåòñÿ ïðè èñïîëüçîâàíèè â îêðåñòíîñòè âåðøèíû òðåùèíû êàê îðòîãîíàëü-
íûõ, òàê è êîñîóãîëüíûõ äèñêðåòíûõ ìîäåëåé, ôðàãìåíòû êîòîðûõ ïîêàçàíû
íà ðèñ. 5.
Òàêèì îáðàçîì, ðàçðàáîòàííûé ïîäõîä, îñíîâàííûé íà âû÷èñëåíèè
J-èíòåãðàëà ïî âåëè÷èíàì óçëîâûõ ðåàêöèé è ïåðåìåùåíèé, ñâîáîäåí îò
íåäîñòàòêîâ, ïðèñóùèõ ìåòîäèêå, áàçèðóþùåéñÿ íà èñïîëüçîâàíèè âåëè÷èí
íàïðÿæåíèé è ãðàäèåíòîâ ïåðåìåùåíèé. Ðàññìàòðèâàåìàÿ ìåòîäèêà ïîçâî-
ëÿåò ïîëó÷àòü äîñòîâåðíûå ðåçóëüòàòû íà îðòîãîíàëüíûõ è êîñîóãîëüíûõ
ñåòêàõ ïðè ñóùåñòâåííî ìåíüøåé ðàçìåðíîñòè êîíå÷íîýëåìåíòíûõ ìîäåëåé,
÷åì ïðè âû÷èñëåíèè J -èíòåãðàëà ïî âåëè÷èíàì íàïðÿæåíèé è ãðàäèåíòîâ
ïåðåìåùåíèé.
Ðàññìîòðèì òàêîå ðàñïîëîæåíèå êîíòóðà, êîãäà ó÷àñòîê S 4 ñîâïàäàåò ñ
îäíèì èç áåðåãîâ òðåùèíû (ðèñ. 1). Òîãäà ÷àñòü S S1 3� ýòîãî êîíòóðà ìîæåò
ðàññìàòðèâàòüñÿ êàê åãî ïîëîâèíà, îõâàòûâàþùàÿ âåðøèíó òðåùèíû è èñïîëü-
çóåìàÿ äëÿ âû÷èñëåíèÿ J -èíòåãðàëà â òåëàõ ñ òðåùèíàìè.
Ïîñêîëüêó ôîðìóëà (5) çàïèñàíà äëÿ âåëè÷èíû èíòåãðàëà ïî çàìêíóòîìó
êîíòóðó S S1 4� , èç íåå ìîæíî âûäåëèòü ñëàãàåìûå, ñîîòâåòñòâóþùèå âåëè-
÷èíå èíòåãðàëà ïî Ï-îáðàçíîé ÷àñòè êîíòóðà (íà ðèñ. 1 ó÷àñòêè S S1 3� ):
J
u R
z
u R
z
j
T
j
jj
N
j
T
j
jj
N
�
� �
�
�
�
�
� �
{ } { }
( )
{ } { }
( )2 22
1
2
1
3 1
�
�
�
�
�
�
�
� �� � � � �
�
�
R
u u u u
z
k k k k k
jj
({ } { } ) ({ ) { } )3 4 1 2
22 1
1N
�
�
��
�
�
�
� �
�� � �
�
� � �
R
u u
z
R
u uk k k
j
k k k{ } { } ({ } { ) ) (4 2
2
3 4
2
{ } { } )
,
u u
z
k k
j
N
j
N
� �
�
��
�
�
�
�
��� 1 2
2
11 2
32
è ñëàãàåìîå, ñîîòâåòñòâóþùåå èíòåãðàëó ïî ëèíèè, êîòîðàÿ ïðîõîäèò ÷åðåç
âåðøèíó òðåùèíû è çàìûêàåò ýòîò êîíòóð (íà ðèñ. 1 ó÷àñòîê S 4):
J R
u u
z
k k k
jj
N
ë �
��
�
�
�
�� � �
�
�
�
{ } { }
.
4 2
2
1 2
4
Êàê áûëî äîêàçàíî âûøå, J-èíòåãðàë, âû÷èñëåííûé ïî çàìêíóòîìó êîí-
òóðó J ê , ðàâåí íóëþ:
J J Jê ë�
�� 0.
ISSN 0556-171X. Ïðîáëåìû ïðî÷íîñòè, 2011, ¹ 2 23
Ðåøåíèå ëèíåéíûõ è íåëèíåéíûõ ïðîñòðàíñòâåííûõ çàäà÷ ...
Òàêèì îáðàçîì, J -èíòåãðàë ïî Ï-îáðàçíîé ÷àñòè êîíòóðà ìîæíî âûðà-
çèòü ÷åðåç âåëè÷èíó J -èíòåãðàëà ïî ëèíèè âäîëü ïîâåðõíîñòè òðåùèíû:
J J� �� ë .
Ïîñêîëüêó óçëîâûå ðåàêöèè ïîäîáëàñòåé I è II (ðèñ. 3) â óçëàõ, ðàñïî-
ëîæåííûõ íà ïîâåðõíîñòè òðåùèíû, è ïåðåìåùåíèÿ â çàêðåïëåííûõ óçëàõ,
îòíîñÿùèõñÿ ê ëèíèè êîíòóðà, ðàâíû íóëþ, ôîðìóëà âû÷èñëåíèÿ J -èíòåãðàëà
äëÿ ÷àñòè êîíòóðà S S1 3� (ðèñ. 1) ïðèìåò ñëåäóþùèé âèä:
J J
R u
z
k
k
� ��
�
�
��
2 2
, (9)
ãäå R k� – óçëîâàÿ ðåàêöèÿ â âåðøèíå òðåùèíû; uk� – ïåðåìåùåíèå áëèæàé-
øåãî îò âåðøèíû òðåùèíû óçëà, ðàñïîëîæåííîãî íà ëèíèè âäîëü áåðåãà
òðåùèíû.
Êàê îòìå÷àëîñü âûøå, ôîðìóëà (9) áûëà ïîëó÷åíà äëÿ ïîëîâèíû êîíòó-
ðà, îõâàòûâàþùåãî âåðøèíó òðåùèíû, è ñîîòâåòñòâåííî ñîäåðæèò êîìïî-
íåíòû óçëîâûõ ðåàêöèé è ïåðåìåùåíèé óçëîâ, ðàñïîëîæåííûõ íà îäíîì èç
áåðåãîâ òðåùèíû. Ïîýòîìó â ñëó÷àå ñèììåòðè÷íîé îòíîñèòåëüíî òðåùèíû
ðàñ÷åòíîé ñõåìû (â ÷àñòíîñòè, äëÿ òðåùèí íîðìàëüíîãî îòðûâà) äëÿ ïîëó-
÷åíèÿ äåéñòâèòåëüíîãî çíà÷åíèÿ J -èíòåãðàëà ðåçóëüòàò âû÷èñëåíèÿ ïî ôîð-
ìóëå (9) íåîáõîäèìî óìíîæèòü íà 2.
Ïðè ñìåøàííîì ðàçðóøåíèè âñëåäñòâèå îòñóòñòâèÿ ñèììåòðèè äëÿ îïðå-
äåëåíèÿ J -èíòåãðàëà íåîáõîäèìî ðàññìàòðèâàòü äèñêðåòíóþ ìîäåëü äëÿ òåëà
â öåëîì è èñïîëüçîâàòü ïîëíûé êîíòóð, îõâàòûâàþùèé âåðøèíó òðåùèíû è
èìåþùèé ðàçðûâ íà åå ïîâåðõíîñòè (ðèñ. 6).
 ÷àñòíîì ñëó÷àå óïðóãîãî äåôîðìèðîâàíèÿ ïðè ñìåøàííîì ðàçðóøåíèè
äâóõìåðíûõ òåë ïîëíàÿ âåëè÷èíà J -èíòåãðàëà ÿâëÿåòñÿ ñóììîé âåëè÷èí J I è
J II , êîòîðûå ñîîòâåòñòâóþò íîðìàëüíîìó îòðûâó è ïîïåðå÷íîìó ñäâèãó:
24 ISSN 0556-171X. Ïðîáëåìû ïðî÷íîñòè, 2011, ¹ 2
Â. À. Áàæåíîâ, À. È. Ãóëÿð, Ñ. Î. Ïèñêóíîâ è äð.
Ðèñ. 6. Êîíòóð äëÿ âû÷èñëåíèÿ J-èíòåãðàëà ïðè ñìåøàííîì ðàçðóøåíèè.
J J J�
I II .
Ñâÿçü âåëè÷èí J -èíòåãðàëà (âåëè÷èíû óäåëüíîé ýíåðãèè, íåîáõîäèìîé
äëÿ îáðàçîâàíèÿ åäèíèöû ïîâåðõíîñòè òðåùèíû) ñ ñîîòâåòñòâóþùèìè çíà÷å-
íèÿìè êîýôôèöèåíòà èíòåíñèâíîñòè íàïðÿæåíèé (ÊÈÍ) ïðè óñëîâèè ëèíåé-
íîãî äåôîðìèðîâàíèÿ îïðåäåëÿåòñÿ ôîðìóëàìè, àíàëîãè÷íûìè (3) [1]:
J k
K
EI
I
�
2
; J k
K
EII
II
�
2
.
Îäèí èç ïîäõîäîâ, êîòîðûé ïðåäëàãàåòñÿ äëÿ ðàçäåëüíîãî îïðåäåëåíèÿ
ñîñòàâëÿþùèõ J -èíòåãðàëà, çàêëþ÷àåòñÿ â ïðîâåäåíèè ïðîöåäóðû ñèììåòðè-
çàöèè íàïðÿæåííî-äåôîðìèðîâàííîãî ñîñòîÿíèÿ â ñîîòâåòñòâèè ñ òèïîì ðàç-
ðóøåíèÿ I (íîðìàëüíûé îòðûâ) è II (ïîïåðå÷íûé ñäâèã) [2, 5].
Ðàññìîòðèì äâå òî÷êè K è �K , êîòîðûå ðàñïîëîæåíû ñèììåòðè÷íî ïî
îòíîøåíèþ ê áåðåãàì òðåùèíû (ðèñ. 6). Ñîãëàñíî [2, 5], ïîëÿ ïåðåìåùåíèé
äëÿ êàæäîé èç íèõ ìîæíî çàïèñàòü â âèäå
u u u
u u
u u
u u
u u
�
�
�
� �
�
�
�
�
�
�
� �
�
�
�
�
�
�
�
I II 1
2
1
2
1 1
2 2
1 1
2 2
.
Àíàëîãè÷íîå ïðåäñòàâëåíèå ìîæåò áûòü èñïîëüçîâàíî äëÿ ïîëåé íàïðÿ-
æåíèé è äåôîðìàöèé:
� � ��
I II ; � � ��
I II .
Òîãäà äëÿ J -èíòåãðàëà ïîëó÷èì
J
u
x
W
q
x
dAij
j
i
i
I
I
I
I� �
�
�
�
�
�
�� �
�
�
�
�
�1
1
1
;
*�
J
u
x
W
q
x
dAij
j
i
i
II
II
II
II� �
�
�
�
�
�
�� �
�
�
�
�
�1
1
1
,
*�
ãäå �* – ÷àñòü îáëàñòè, êîòîðàÿ ïîëíîñòüþ îêðóæàåò âåðøèíó òðåùèíû; W I ,
W II – ïëîòíîñòè ýíåðãèè äåôîðìàöèè, îòíîñÿùèåñÿ ê òèïàì ðàçðóøåíèÿ I è
II, W dsij ij
s
I I I�� � � , W dsij ij
s
II II II�� � � ; � ij – ñèìâîë Êðîíåêåðà.
Ýòîò ïîäõîä ïðèâîäèò ê ëèøíèì âû÷èñëèòåëüíûì ïðîöåäóðàì è óñëîæ-
íÿåò îïðåäåëåíèå J -èíòåãðàëà.
Äëÿ íàõîæäåíèÿ âåëè÷èí J -èíòåãðàëà ïðè ñìåøàííîì ðàçðóøåíèè ñ
èñïîëüçîâàíèåì åãî ïðåäñòàâëåíèÿ ÷åðåç âåëè÷èíû óçëîâûõ ðåàêöèé è ïåðå-
ìåùåíèé ðàññìîòðèì êîíòóð CABDD B A C� � � �, êîòîðûé îõâàòûâàåò âåðøèíó
òðåùèíû è èìååò ðàçðûâ íà åå ïîâåðõíîñòè (ðèñ. 7). Êîíòóð ìîæåò áûòü
ïðåäñòàâëåí êàê ñóììà äâóõ Ï-îáðàçíûõ ÷àñòåé çàìêíóòûõ êîíòóðîâ, ðàñïî-
ëîæåííûõ ïî îáå ñòîðîíû îò òðåùèíû:
J J JCABDD B A C CABD C A B D� � � � � � � ��
.
ISSN 0556-171X. Ïðîáëåìû ïðî÷íîñòè, 2011, ¹ 2 25
Ðåøåíèå ëèíåéíûõ è íåëèíåéíûõ ïðîñòðàíñòâåííûõ çàäà÷ ...
Ïðè ýòîì âåëè÷èíà J -èíòåãðàëà ïî êàæäîìó èç çàìêíóòûõ êîíòóðîâ
CABDVSC è � � � � � � �Ñ À B D V S C ìîæåò áûòü ïðåäñòàâëåíà êàê ñóììà J -èíòåãðàëà
ïî èõ Ï-îáðàçíûì ÷àñòÿì J � è ïî ëèíèÿì J ë , çàìûêàþùèì ñîîòâåòñò-
âóþùèå êîíòóðû. Ñ ó÷åòîì ðàâåíñòâà J -èíòåãðàëà íóëþ ïî êàæäîìó èç
óêàçàííûõ çàìêíóòûõ êîíòóðîâ ïîëó÷èì
J J J J J
J
CABDVSC CABD CSVD
C A B D V S C
ê( ) ë
ê
�
�
�
� � � � � � �
� 0;
( ) �
�
�
�
� � � � � � � �
� � � �
J J J J
J J J
C A B D C S V D
CABDD B A C CABD
� ë 0;
� � � � � � � ��� �
�
�
�
�
�
C A B D CSVD C S V DJ J .
(10)
Ñ ïîìîùüþ ôîðìóëû (9), ó÷èòûâàÿ âûïîëíåíèå óñëîâèé ðàâíîâåñèÿ
óçëîâ, ïîëó÷àåì, ÷òî J -èíòåãðàë ïî ëèíèè ðàâåí ïðîèçâåäåíèþ ðåàêöèé óçëà
V â âåðøèíå òðåùèíû íà ïåðåìåùåíèÿ óçëà S ïåðåä âåðøèíîé:
J
R u
lCSVD
V S
�
{ } { }
;
2
J
R u
lC S V D
V S
� � � �
� �
�
{ } { }
,
2
(11)
ãäå { }R
R
RV
V
T
�
�
�
�
�
�
�
1
2
è { }R
R
RV
V
T
�
�
�
�
�
�
�
�
�
1
2
– âåêòîðû ñóììàðíûõ óçëîâûõ ðåàêöèé
ÊÝ, ðàñïîëîæåííûõ ñ êàæäîé ñòîðîíû îò âåðøèíû òðåùèíû ïî íàïðàâëå-
íèÿì ìåñòíîé ñèñòåìû êîîðäèíàò ÊÝ; { } ,u
u
uS
S
�
�
�
�
�
�
�
1
2
{ }u
u
uS
S
�
�
�
�
�
�
�
�
�
1
2
– âåêòî-
ðû óçëîâûõ ïåðåìåùåíèé; l – øàã êîíå÷íîýëåìåíòíîé ñåòêè â íàïðàâëåíèè
ðàñïðîñòðàíåíèÿ òðåùèíû (îñè õ 2 , ðèñ. 8).
26 ISSN 0556-171X. Ïðîáëåìû ïðî÷íîñòè, 2011, ¹ 2
Â. À. Áàæåíîâ, À. È. Ãóëÿð, Ñ. Î. Ïèñêóíîâ è äð.
Ðèñ. 7. Ïðåäñòàâëåíèå êîíòóðà äëÿ âû÷èñëåíèÿ J-èíòåãðàëà â âèäå ñóììû çàìêíóòûõ êîíòó-
ðîâ.
Ðèñ. 8. Êîìïîíåíòû âåêòîðîâ óçëîâûõ ðåàêöèé è ïåðåìåùåíèé â îêðåñòíîñòè âåðøèíû
òðåùèíû.
Ðèñ. 7 Ðèñ. 8
Ó÷èòûâàÿ, ÷òî â ñîîòâåòñòâèè ñ óñëîâèÿìè ðàâíîâåñèÿ óçëà â âåðøèíå
òðåùèíû { } { } ,R RV V�� � íà îñíîâå (10) è (11) ïîëó÷àåì
J
R u
l
R u
l
R
lCABDD B A C
V S V S V
� � � �
� � �
�� � �
{ } { } { } { } { }
(
2 2 2
{ } { } )u uS S� ��
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�� �
� �
�
1
2 1 2
1 1
2 2
l
R R
u u
u uV V
S S
S S
{ } .
Òàêèì îáðàçîì, âûðàæåíèå J -èíòåãðàëà èìååò äâà ñëàãàåìûõ: ïðîèçâåäå-
íèÿ óçëîâûõ ðåàêöèé íà ïåðåìåùåíèÿ ïî íàïðàâëåíèþ x1 è x 2 , êîòîðûå
ñîîòâåòñòâóþò J I è J II :
J J J
l
R u u R u uV S S V S S�
� �
�� � � �I II
1
2 1 1 1 2 2 2
( ( ) ( )). (12)
Ñ öåëüþ îáîñíîâàíèÿ äîñòîâåðíîñòè ïîëó÷åííîãî âûðàæåíèÿ äëÿ âû÷èñ-
ëåíèÿ J I è J II ðàññìîòðèì òåñòîâûé ïðèìåð î äåôîðìèðîâàíèè áåñêîíå÷-
íîé ïëàñòèíû ñ òðåùèíîé â óñëîâèÿõ íîðìàëüíîãî îòðûâà è ïîïåðå÷íîãî
ñäâèãà. Èñõîäíûå äàííûå: âíåøíÿÿ íàãðóçêà q�0 1, ÌÍ/ì 2; ìîäóëü óïðó-
ãîñòè Å�0 1, ÌÏà; êîýôôèöèåíò Ïóàññîíà �0 3, .
Ïðè ðåøåíèè çàäà÷è èñïîëüçîâàëè ñëåäóþùèå âàðèàíòû ñõåì: â óñëî-
âèÿõ íîðìàëüíîãî îòðûâà – 1/4 ÷àñòü èññëåäóåìîãî ôðàãìåíòà ïëàñòèíû ïîä
âîçäåéñòâèåì íîðìàëüíîé íàãðóçêè q�0 1, ÌÍ/ì 2 (ðèñ. 7,á [1]); â óñëîâèÿõ
ïîïåðå÷íîãî ñäâèãà – 1/4 ÷àñòü èññëåäóåìîãî ôðàãìåíòà ïëàñòèíû ïîä âîçäåé-
ñòâèåì êàñàòåëüíîé íàãðóçêè q�0 1, ÌÍ/ì 2 (ðèñ. 9,à) äëÿ ðàçäåëüíîãî ðàñ-
ñìîòðåíèÿ ñëó÷àÿ íîðìàëüíîãî îòðûâà è ïîïåðå÷íîãî ñäâèãà; âñÿ ïëàñòèíà
ïðè çàãðóæåíèè íàãðóçêàìè qn �0 1, ÌÍ/ì 2 è qs �0 1, ÌÍ/ì 2 (ðèñ. 9,á). Äëÿ
1/4 ÷àñòè ïëàñòèíû òðåùèíà çàäàíà ñ èñïîëüçîâàíèåì ãðàíè÷íûõ óñëîâèé, â
ñëó÷àå öåëîé ïëàñòèíû – ñ ïîìîùüþ ðàçíûõ íîìåðîâ óçëîâ íà ïðîòèâî-
ïîëîæíûõ áåðåãàõ òðåùèíû.
Çíà÷åíèÿ J -èíòåãðàëà J I è J II , ïîëó÷åííûå äëÿ 1/4 ÷àñòè ïëàñòèíû ñ
èñïîëüçîâàíèåì ôîðìóëû (12), ïðè ðàçäåëüíîì ðàññìîòðåíèè íàãðóçîê, ñîîò-
âåòñòâóþùèõ íîðìàëüíîìó îòðûâó è ïîïåðå÷íîìó ñäâèãó, ñîâïàäàþò ñ ïðèâå-
äåííûìè â ðàáîòå [4] ýòàëîííûìè çíà÷åíèÿìè: äëÿ òðåùèíû íîðìàëüíîãî
îòðûâà J I � ! �2 859 10 2, Í/ì, äëÿ òðåùèíû ïîïåðå÷íîãî ñäâèãà
J
K
EII
II
� � � ! �
2
2 21 2 859 10( ) , Í/ì,
ãäå K lII � " # .
Âåëè÷èíû J -èíòåãðàëà, îïðåäåëåííûå äëÿ 1/4 ÷àñòè ïëàñòèíû ïî ôîðìó-
ëå êîíòóðíîãî èíòåãðàëà (5), îòëè÷àþòñÿ îò âû÷èñëåííûõ ñ ïîìîùüþ ôîðìó-
ëû (12) íà âåëè÷èíó ïîðÿäêà 10 17� . Ñëåäîâàòåëüíî, J -èíòåãðàë ïî çàìêíó-
ISSN 0556-171X. Ïðîáëåìû ïðî÷íîñòè, 2011, ¹ 2 27
Ðåøåíèå ëèíåéíûõ è íåëèíåéíûõ ïðîñòðàíñòâåííûõ çàäà÷ ...
òîìó êîíòóðó ðàâíÿåòñÿ íóëþ, ÷òî ÿâëÿåòñÿ îäíèì èç ïðèçíàêîâ âûïîëíåíèÿ
ôóíäàìåíòàëüíîãî ñâîéñòâà åãî èíâàðèàíòíîñòè.
Çíà÷åíèÿ J I è J II , ïîëó÷åííûå ïî ôîðìóëå (12) äëÿ ðàñ÷åòíîé ñõåìû
öåëîé ïëàñòèíû êàê ïðè ðàçäåëüíîé, òàê è ñîâìåñòíîé ðåàëèçàöèè êàæäîãî èç
òèïîâ ðàçðóøåíèÿ, ïîëíîñòüþ ñîâïàäàþò ñ ïîëó÷åííûìè äëÿ 1/4 ÷àñòè ïëàñ-
òèíû. Òàêèì îáðàçîì, ôîðìóëà (12) ïîçâîëÿåò ïîëó÷èòü äîñòîâåðíûå âåëè-
÷èíû J I è J II ïðè ñìåøàííîì ðàçðóøåíèè áåç èñïîëüçîâàíèÿ äîïîëíè-
òåëüíîé îáðàáîòêè ðåçóëüòàòîâ êîíå÷íîýëåìåíòíîãî ðåøåíèÿ çàäà÷è*.
Ïðè èññëåäîâàíèè äîñòîâåðíîñòè ïðåäëîæåííîãî ïîäõîäà äëÿ ñìåøàííî-
ãî ðàçðóøåíèÿ ïðè íåñèììåòðè÷íûõ îòíîñèòåëüíî òðåùèíû ðàñ÷åòíûõ ñõå-
ìàõ ðàññìîòðåí òåñòîâûé ïðèìåð î ðàñòÿæåíèè áåñêîíå÷íîé ïëàñòèíû ñ
íàêëîííîé òðåùèíîé, ðàñïîëîæåííîé ïîä óãëîì $ ê ëèíèè äåéñòâèÿ íàãðóç-
êè (ðèñ. 10).
Ïðè $� %45 ïðèëîæåííàÿ ðàçëè÷íûìè ñïîñîáàìè íàãðóçêà ñîçäàåò îäè-
íàêîâîå íàïðÿæåííî-äåôîðìèðîâàííîå ñîñòîÿíèå â îêðåñòíîñòè âåðøèíû
òðåùèíû, êîòîðîå ñîîòâåòñòâóåò ñìåøàííîìó ðàçðóøåíèþ. Ïðè ðàñ÷åòå ðàñ-
28 ISSN 0556-171X. Ïðîáëåìû ïðî÷íîñòè, 2011, ¹ 2
Â. À. Áàæåíîâ, À. È. Ãóëÿð, Ñ. Î. Ïèñêóíîâ è äð.
à á
Ðèñ. 9. Ïîïåðå÷íûå ñå÷åíèÿ äèñêðåòíûõ ìîäåëåé äëÿ âû÷èñëåíèÿ J-èíòåãðàëà â óñëîâèÿõ
ïðîäîëüíîãî ñäâèãà (à) è ñìåøàííîãî ðàçðóøåíèÿ (á).
* Ðåçóëüòàòû ïîëó÷åíû ïðè ó÷àñòèè Ä. Â. Áîãäàíà.
Ðèñ. 10. Ðàñ÷åòíûå ñõåìû äëÿ îïðåäåëåíèÿ íàïðÿæåííî-äåôîðìèðîâàííîãî ñîñòîÿíèÿ ïëàñ-
òèíû ñ íàêëîííîé òðåùèíîé.
ñìàòðèâàëàñü ÷àñòü ïëàñòèíû ðàçìåðîì b b� . Ôðàãìåíòû ñîîòâåòñòâóþùèõ
äèñêðåòíûõ ìîäåëåé â îêðåñòíîñòè âåðøèíû òðåùèíû ïîêàçàíû íà ðèñ. 11.
Ïîëó÷åííûå ïî îáåèì ðàñ÷åòíûì ñõåìàì çíà÷åíèÿ J I è J II òàêæå
ñîâïàäàþò ñ ýòàëîííûìè. Ïðè îòñóòñòâèè ñèììåòðèè íàïðÿæåííîãî ñîñòîÿ-
íèÿ îïðåäåëåíèå J -èíòåãðàëà â ïëàñòèíå ñ íàêëîííîé òðåùèíîé òàêæå íå
ïîòðåáîâàëî íèêàêèõ äîïîëíèòåëüíûõ âû÷èñëèòåëüíûõ ïðîöåäóð.
Äîñòîâåðíîñòü ðåçóëüòàòîâ, ïîëó÷åííûõ íà îñíîâå ðàçðàáîòàííîãî ïîä-
õîäà ê îïðåäåëåíèþ J -èíòåãðàëà, äëÿ ñëó÷àÿ óïðóãîïëàñòè÷åñêîãî äåôîðìè-
ðîâàíèÿ ïðîâåðÿëàñü íà ïðèìåðå çàäà÷è îá èçãèáå ïðèçìàòè÷åñêîãî òåëà ñ
áîêîâîé òðåùèíîé (ðèñ. 5). Êàê è â ñëó÷àå óïðóãîãî äåôîðìèðîâàíèÿ, ïîëó-
÷åííûå ðàñïðåäåëåíèÿ J -èíòåãðàëà (íà ðèñ. 12 ëèíèÿ) íå çàâèñÿò îò êîíòóðà
èíòåãðèðîâàíèÿ è ñîâïàäàþò ñ ýòàëîííûì ðåøåíèåì (òî÷êè), êîòîðîå ïîëó-
÷åíî ïóòåì ïîñëåäîâàòåëüíîãî ñãóùåíèÿ êîíå÷íîýëåìåíòíîé ñåòêè äî äîñòè-
æåíèÿ ïîãðåøíîñòè âû÷èñëåíèÿ J -èíòåãðàëà ìåæäó äâóìÿ ðåøåíèÿìè â
ïðåäåëàõ 2% [1].
Íà îñíîâå ðåàëèçîâàííîãî ìåòîäà âû÷èñëåíèÿ J -èíòåãðàëà ñ èñïîëüçîâà-
íèåì âåëè÷èí óçëîâûõ ðåàêöèé è ïåðåìåùåíèé áûëà ðåøåíà çàäà÷à îá
óïðóãîïëàñòè÷åñêîì äåôîðìèðîâàíèè êîìïàêòíîãî îáðàçöà â ïðîñòðàíñòâåí-
íîé ïîñòàíîâêå [7]. Äèñêðåòíàÿ ìîäåëü ÏÌÊÝ, ïîñòðîåííàÿ ñ èñïîëüçîâà-
íèåì íåîäíîðîäíûõ ïðèçìàòè÷åñêèõ ÊÝ, ïîêàçàíà íà ðèñ. 13.
ISSN 0556-171X. Ïðîáëåìû ïðî÷íîñòè, 2011, ¹ 2 29
Ðåøåíèå ëèíåéíûõ è íåëèíåéíûõ ïðîñòðàíñòâåííûõ çàäà÷ ...
Ðèñ. 11. Ôðàãìåíòû êîíå÷íîýëåìåíòíûõ ìîäåëåé ïëàñòèíû ñ íàêëîííîé òðåùèíîé.
Ðèñ. 12. Ðàñïðåäåëåíèå J-èíòåãðàëà ïðè óïðóãîïëàñòè÷åñêîì äåôîðìèðîâàíèè ïðèçìàòè÷åñ-
êîãî òåëà ñ áîêîâîé òðåùèíîé.
Ðàçìåðíîñòü êîíå÷íîýëåìåíòíîé ìîäåëè îïðåäåëÿåòñÿ íà îñíîâàíèè
èññëåäîâàíèÿ ñõîäèìîñòè âåëè÷èí ïàðàìåòðîâ íàïðÿæåííî-äåôîðìèðîâàííî-
ãî ñîñòîÿíèÿ. Òàê, ñõîäèìîñòü ðåøåíèÿ çàäà÷è îá óïðóãîì äåôîðìèðîâàíèè ñ
ïîìîùüþ ÏÌÊÝ äîñòèãàåòñÿ ïðè èñïîëüçîâàíèè 650 óçëîâ â ïîïåðå÷íîì
ñå÷åíèè è 12 ãàðìîíèê ðàçëîæåíèÿ ïåðåìåùåíèé âäîëü îñè z �3 . Ðåçóëüòàòû
ðåøåíèÿ çàäà÷è â ïðîñòðàíñòâåííîé ïîñòàíîâêå ïîêàçûâàþò, ÷òî íàïðÿæåííî-
äåôîðìèðîâàííîå ñîñòîÿíèå âäîëü îñè z �3 èìååò ñóùåñòâåííî ïðîñòðàíñò-
âåííûé õàðàêòåð. Ðàñïðåäåëåíèÿ íàïðÿæåíèé âäîëü îñè z �3 , ïîëó÷åííûå íà
îñíîâå ÏÌÊÝ, ñîâïàäàþò ñ òàêîâûìè, âû÷èñëåííûìè ñ èñïîëüçîâàíèåì
ïðîãðàììíîãî êîìïëåêñà [3] è êîìïëåêñà NASTRAN. Ðàñïðåäåëåíèå J-èíòå-
ãðàëà ïî òîëùèíå îáðàçöà òàêæå ÿâëÿåòñÿ íåîäíîðîäíûì. Àíàëèç ñõîäèìîñòè
âåëè÷èí J -èíòåãðàëà, ïîëó÷åííûõ íà îñíîâå ìåòîäà ðåàêöèé, ñâèäåòåëüñò-
âóåò, ÷òî îíè äîñòèãàþòñÿ ïðè èñïîëüçîâàíèè 12 ãàðìîíèê â ðàçëîæåíèè
ïåðåìåùåíèé [8].
30 ISSN 0556-171X. Ïðîáëåìû ïðî÷íîñòè, 2011, ¹ 2
Â. À. Áàæåíîâ, À. È. Ãóëÿð, Ñ. Î. Ïèñêóíîâ è äð.
Ðèñ. 13. Äèñêðåòíàÿ ìîäåëü ÏÌÊÝ äëÿ ðåøåíèÿ çàäà÷è îá óïðóãîïëàñòè÷åñêîì äåôîðìè-
ðîâàíèè êîìïàêòíîãî îáðàçöà.
Ðèñ. 14. Çàâèñèìîñòü âåëè÷èí J-èíòåãðàëà îò íàãðóçêè: 1 – äàííûå Å. Ì. Ìîðîçîâà [7]; 2 –
äâóõìåðíàÿ ïîñòàíîâêà; 3 – z
�
�3 0; 4 – z
�
�3 25 ìì.
Ðåøåíèå çàäà÷è ïðè óïðóãîïëàñòè÷åñêîì äåôîðìèðîâàíèè ïîêàçûâàåò,
÷òî ñ ïîâûøåíèåì óðîâíÿ ïëàñòè÷åñêèõ äåôîðìàöèé ðàçíèöà ìåæäó çíà÷å-
íèÿìè J -èíòåãðàëà, âû÷èñëåííûìè íà áîêîâûõ ïîâåðõíîñòÿõ è â ñåðåäèíå
îáðàçöà, óâåëè÷èâàåòñÿ. Òàêæå âîçðàñòàåò ðàçíèöà â çíà÷åíèÿõ J -èíòåãðàëà,
ïîëó÷åííûõ â äâóõìåðíîé è ïðîñòðàíñòâåííîé ïîñòàíîâêå (ðèñ. 14).
Òàêèì îáðàçîì, ðàçðàáîòàíà è ðåàëèçîâàíà ìåòîäèêà âû÷èñëåíèÿ J -èíòå-
ãðàëà â äèñêðåòíûõ ìîäåëÿõ ÌÊÝ, êîòîðàÿ îáåñïå÷èâàåò åãî èíâàðèàíòíîñòü.
Ýòî ïîçâîëÿåò èñïîëüçîâàòü áîëåå ïðîñòóþ ôîðìóëó äëÿ åãî âû÷èñëåíèÿ, â
êîòîðîé ïîíÿòèå êîíòóðà îòñóòñòâóåò. Ñ ïîìîùüþ äàííîé ìåòîäèêè ìîæíî
äîñòè÷ü ñõîäèìîñòü âåëè÷èí J -èíòåãðàëà â óïðóãèõ çàäà÷àõ íà áîëåå ðåäêèõ
ñåòêàõ, ÷åì ýòî òðåáóåòñÿ ïðè èñïîëüçîâàíèè äðóãèõ ìåòîäèê. Ïðèìåíåíèå
ðàçðàáîòàííîé ìåòîäèêè ê çàäà÷å îá óïðóãîïëàñòè÷åñêîì äåôîðìèðîâàíèè
êîìïàêòíîãî îáðàçöà ïîêàçûâàåò, ÷òî îïðåäåëåíèå ïàðàìåòðîâ íåëèíåéíîé
ìåõàíèêè ðàçðóøåíèÿ â ìàññèâíûõ òåëàõ ñ òðåùèíàìè òðåáóåò ðåøåíèÿ çàäà÷
â òðåõìåðíîé ïîñòàíîâêå.
Ð å ç þ ì å
Ðåàë³çîâàíî íîâó ìåòîäèêó îá÷èñëåííÿ J-³íòåãðàëà äëÿ äèñêðåòíèõ ìîäåëåé
ìåòîäó ñê³í÷åííèõ åëåìåíò³â, ùî áàçóºòüñÿ íà âèêîðèñòàíí³ âåëè÷èí âóçëî-
âèõ ðåàêö³é ³ ïåðåì³ùåíü. Íàâåäåíî òåîðåòè÷í³ îáãðóíòóâàííÿ ³ ïðàêòè÷í³
ðåçóëüòàòè, ùî ï³äòâåðäæóþòü ³íâàð³àíòí³ñòü îòðèìóâàíèõ ³ç âèêîðèñòàííÿì
ö³º¿ ìåòîäèêè çíà÷åíü J-³íòåãðàëà äëÿ âèïàäêó òð³ùèí íîðìàëüíîãî â³äðèâó ³
çì³øàíîãî ðóéíóâàííÿ. Ðîçâ’ÿçàíî çàäà÷³ ïðî ïðóæíî-ïëàñòè÷íå äåôîðìó-
âàííÿ êîìïàêòíîãî çðàçêà â ïðîñòîðîâ³é ïîñòàíîâö³.
1. Áàæåíîâ Â. À., Ãóëÿð À. È., Ñàõàðîâ À. Ñ. è äð. Ðåøåíèå ëèíåéíûõ è
íåëèíåéíûõ ïðîñòðàíñòâåííûõ çàäà÷ ìåõàíèêè ðàçðóøåíèÿ íà îñíîâå
ïîëóàíàëèòè÷åñêîãî ìåòîäà êîíå÷íûõ ýëåìåíòîâ. Ñîîáù. 1. Òåîðåòè÷åñ-
êèå îñíîâû è èññëåäîâàíèå ýôôåêòèâíîñòè êîíå÷íîýëåìåíòíîé ìåòîäè-
êè ðåøåíèÿ ïðîñòðàíñòâåííûõ çàäà÷ ìåõàíèêè ðàçðóøåíèÿ // Ïðîáë.
ïðî÷íîñòè. – 2010. – ¹ 1. – Ñ. 27 – 39.
2. Giner E., Fuenmayor F., Baeza L., and Tarancon J. Error estimation for the
finite element evaluation of G I and G II in mixed-mode linear elastic fracture
mechanics // Finite Elements in Analysis and Design. – 2005. – 41. – P. 1079
– 1104.
3. Ñàõàðîâ Î. Ñ., Ùåðá³íà Þ. Â., Ãîíäëÿõ Î. Â., ѳâåöüêèé Â. ². ²íòåãðîâàíà
ñèñòåìà ìîäåëþâàííÿ òåõíîëîã³÷íèõ ïðîöåñ³â ³ ðîçðàõóíêó îáëàäíàííÿ
õ³ì³÷íî¿ ïðîìèñëîâîñò³. – Êè¿â: Ïîë³ãðàôêîíñàëò³íã, 2006. – 156 ñ.
4. Øèìêîâè÷ Ä. Ã. Ðàñ÷åò êîíñòðóêöèé â MSC/NASTRAN for Windows. –
Ì.: ÄÌÊ, 2001. – 448 ñ.
5. Giner E., Fuenmayor F. J., and Besa A. J. An implementation of the stiffness
derivative method as a discrete analytical sensitivity analysis and its application
to mixed mode in LEFM // Eng. Fract. Mech. – 2002. – 68 (18). – P. 2051 –
2071.
ISSN 0556-171X. Ïðîáëåìû ïðî÷íîñòè, 2011, ¹ 2 31
Ðåøåíèå ëèíåéíûõ è íåëèíåéíûõ ïðîñòðàíñòâåííûõ çàäà÷ ...
6. Rice J. R. A path independent integral and approximate analysis of strain
concentration by notches and crack // J. Appl. Mech. – 1968. – No. 35. – P. 379
– 386.
7. Ìîðîçîâ Å. Ì., Íèêèøêîâ Ã. Ï. Ìåòîä êîíå÷íûõ ýëåìåíòîâ â ìåõàíèêå
ðàçðóøåíèÿ. – Ì.: Íàóêà, 1980. – 256 ñ.
8. Áàæåíîâ Â. À., Ãóëÿð Î. ²., Ïèñêóíîâ Ñ. Î., Ñàõàðîâ Î. Ñ. Ìåòîä ðåàêö³é
äëÿ îá÷èñëåííÿ J -³íòåãðàëà â ïðîñòîðîâèõ íåë³í³éíèõ çàäà÷àõ ìåõàí³êè
ðóéíóâàííÿ // Îï³ð ìàòåð³àë³â ³ òåîð³ÿ ñïîðóä. – 2006. – ¹ 79. – Ñ. 3 – 17.
Ïîñòóïèëà 18. 06. 2009
32 ISSN 0556-171X. Ïðîáëåìû ïðî÷íîñòè, 2011, ¹ 2
Â. À. Áàæåíîâ, À. È. Ãóëÿð, Ñ. Î. Ïèñêóíîâ è äð.
<<
/ASCII85EncodePages false
/AllowTransparency false
/AutoPositionEPSFiles true
/AutoRotatePages /All
/Binding /Left
/CalGrayProfile (Dot Gain 20%)
/CalRGBProfile (sRGB IEC61966-2.1)
/CalCMYKProfile (U.S. Web Coated \050SWOP\051 v2)
/sRGBProfile (sRGB IEC61966-2.1)
/CannotEmbedFontPolicy /Warning
/CompatibilityLevel 1.4
/CompressObjects /Tags
/CompressPages true
/ConvertImagesToIndexed true
/PassThroughJPEGImages true
/CreateJDFFile false
/CreateJobTicket false
/DefaultRenderingIntent /Default
/DetectBlends true
/DetectCurves 0.0000
/ColorConversionStrategy /LeaveColorUnchanged
/DoThumbnails false
/EmbedAllFonts true
/EmbedOpenType false
/ParseICCProfilesInComments true
/EmbedJobOptions true
/DSCReportingLevel 0
/EmitDSCWarnings false
/EndPage -1
/ImageMemory 1048576
/LockDistillerParams false
/MaxSubsetPct 100
/Optimize true
/OPM 1
/ParseDSCComments true
/ParseDSCCommentsForDocInfo true
/PreserveCopyPage true
/PreserveDICMYKValues true
/PreserveEPSInfo true
/PreserveFlatness true
/PreserveHalftoneInfo false
/PreserveOPIComments false
/PreserveOverprintSettings true
/StartPage 1
/SubsetFonts true
/TransferFunctionInfo /Apply
/UCRandBGInfo /Preserve
/UsePrologue false
/ColorSettingsFile ()
/AlwaysEmbed [ true
]
/NeverEmbed [ true
]
/AntiAliasColorImages false
/CropColorImages true
/ColorImageMinResolution 300
/ColorImageMinResolutionPolicy /OK
/DownsampleColorImages true
/ColorImageDownsampleType /Bicubic
/ColorImageResolution 300
/ColorImageDepth -1
/ColorImageMinDownsampleDepth 1
/ColorImageDownsampleThreshold 1.50000
/EncodeColorImages true
/ColorImageFilter /DCTEncode
/AutoFilterColorImages true
/ColorImageAutoFilterStrategy /JPEG
/ColorACSImageDict <<
/QFactor 0.15
/HSamples [1 1 1 1] /VSamples [1 1 1 1]
>>
/ColorImageDict <<
/QFactor 0.15
/HSamples [1 1 1 1] /VSamples [1 1 1 1]
>>
/JPEG2000ColorACSImageDict <<
/TileWidth 256
/TileHeight 256
/Quality 30
>>
/JPEG2000ColorImageDict <<
/TileWidth 256
/TileHeight 256
/Quality 30
>>
/AntiAliasGrayImages false
/CropGrayImages true
/GrayImageMinResolution 300
/GrayImageMinResolutionPolicy /OK
/DownsampleGrayImages true
/GrayImageDownsampleType /Bicubic
/GrayImageResolution 300
/GrayImageDepth -1
/GrayImageMinDownsampleDepth 2
/GrayImageDownsampleThreshold 1.50000
/EncodeGrayImages true
/GrayImageFilter /DCTEncode
/AutoFilterGrayImages true
/GrayImageAutoFilterStrategy /JPEG
/GrayACSImageDict <<
/QFactor 0.15
/HSamples [1 1 1 1] /VSamples [1 1 1 1]
>>
/GrayImageDict <<
/QFactor 0.15
/HSamples [1 1 1 1] /VSamples [1 1 1 1]
>>
/JPEG2000GrayACSImageDict <<
/TileWidth 256
/TileHeight 256
/Quality 30
>>
/JPEG2000GrayImageDict <<
/TileWidth 256
/TileHeight 256
/Quality 30
>>
/AntiAliasMonoImages false
/CropMonoImages true
/MonoImageMinResolution 1200
/MonoImageMinResolutionPolicy /OK
/DownsampleMonoImages true
/MonoImageDownsampleType /Bicubic
/MonoImageResolution 1200
/MonoImageDepth -1
/MonoImageDownsampleThreshold 1.50000
/EncodeMonoImages true
/MonoImageFilter /CCITTFaxEncode
/MonoImageDict <<
/K -1
>>
/AllowPSXObjects false
/CheckCompliance [
/None
]
/PDFX1aCheck false
/PDFX3Check false
/PDFXCompliantPDFOnly false
/PDFXNoTrimBoxError true
/PDFXTrimBoxToMediaBoxOffset [
0.00000
0.00000
0.00000
0.00000
]
/PDFXSetBleedBoxToMediaBox true
/PDFXBleedBoxToTrimBoxOffset [
0.00000
0.00000
0.00000
0.00000
]
/PDFXOutputIntentProfile ()
/PDFXOutputConditionIdentifier ()
/PDFXOutputCondition ()
/PDFXRegistryName ()
/PDFXTrapped /False
/Description <<
/CHS <FEFF4f7f75288fd94e9b8bbe5b9a521b5efa7684002000500044004600206587686353ef901a8fc7684c976262535370673a548c002000700072006f006f00660065007200208fdb884c9ad88d2891cf62535370300260a853ef4ee54f7f75280020004100630072006f0062006100740020548c002000410064006f00620065002000520065006100640065007200200035002e003000204ee553ca66f49ad87248672c676562535f00521b5efa768400200050004400460020658768633002>
/CHT <FEFF4f7f752890194e9b8a2d7f6e5efa7acb7684002000410064006f006200650020005000440046002065874ef653ef5728684c9762537088686a5f548c002000700072006f006f00660065007200204e0a73725f979ad854c18cea7684521753706548679c300260a853ef4ee54f7f75280020004100630072006f0062006100740020548c002000410064006f00620065002000520065006100640065007200200035002e003000204ee553ca66f49ad87248672c4f86958b555f5df25efa7acb76840020005000440046002065874ef63002>
/DAN <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>
/DEU <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>
/ESP <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>
/FRA <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>
/ITA <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>
/JPN <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>
/KOR <FEFFc7740020c124c815c7440020c0acc6a9d558c5ec0020b370c2a4d06cd0d10020d504b9b0d1300020bc0f0020ad50c815ae30c5d0c11c0020ace0d488c9c8b85c0020c778c1c4d560002000410064006f0062006500200050004400460020bb38c11cb97c0020c791c131d569b2c8b2e4002e0020c774b807ac8c0020c791c131b41c00200050004400460020bb38c11cb2940020004100630072006f0062006100740020bc0f002000410064006f00620065002000520065006100640065007200200035002e00300020c774c0c1c5d0c11c0020c5f40020c2180020c788c2b5b2c8b2e4002e>
/NLD (Gebruik deze instellingen om Adobe PDF-documenten te maken voor kwaliteitsafdrukken op desktopprinters en proofers. De gemaakte PDF-documenten kunnen worden geopend met Acrobat en Adobe Reader 5.0 en hoger.)
/NOR <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>
/PTB <FEFF005500740069006c0069007a006500200065007300730061007300200063006f006e00660069006700750072006100e700f50065007300200064006500200066006f0072006d00610020006100200063007200690061007200200064006f00630075006d0065006e0074006f0073002000410064006f0062006500200050004400460020007000610072006100200069006d0070007200650073007300f5006500730020006400650020007100750061006c0069006400610064006500200065006d00200069006d00700072006500730073006f0072006100730020006400650073006b0074006f00700020006500200064006900730070006f00730069007400690076006f0073002000640065002000700072006f00760061002e0020004f007300200064006f00630075006d0065006e0074006f00730020005000440046002000630072006900610064006f007300200070006f00640065006d0020007300650072002000610062006500720074006f007300200063006f006d0020006f0020004100630072006f006200610074002000650020006f002000410064006f00620065002000520065006100640065007200200035002e0030002000650020007600650072007300f50065007300200070006f00730074006500720069006f007200650073002e>
/SUO <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>
/SVE <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>
/ENU (Use these settings to create Adobe PDF documents for quality printing on desktop printers and proofers. Created PDF documents can be opened with Acrobat and Adobe Reader 5.0 and later.)
>>
/Namespace [
(Adobe)
(Common)
(1.0)
]
/OtherNamespaces [
<<
/AsReaderSpreads false
/CropImagesToFrames true
/ErrorControl /WarnAndContinue
/FlattenerIgnoreSpreadOverrides false
/IncludeGuidesGrids false
/IncludeNonPrinting false
/IncludeSlug false
/Namespace [
(Adobe)
(InDesign)
(4.0)
]
/OmitPlacedBitmaps false
/OmitPlacedEPS false
/OmitPlacedPDF false
/SimulateOverprint /Legacy
>>
<<
/AddBleedMarks false
/AddColorBars false
/AddCropMarks false
/AddPageInfo false
/AddRegMarks false
/ConvertColors /NoConversion
/DestinationProfileName ()
/DestinationProfileSelector /NA
/Downsample16BitImages true
/FlattenerPreset <<
/PresetSelector /MediumResolution
>>
/FormElements false
/GenerateStructure true
/IncludeBookmarks false
/IncludeHyperlinks false
/IncludeInteractive false
/IncludeLayers false
/IncludeProfiles true
/MultimediaHandling /UseObjectSettings
/Namespace [
(Adobe)
(CreativeSuite)
(2.0)
]
/PDFXOutputIntentProfileSelector /NA
/PreserveEditing true
/UntaggedCMYKHandling /LeaveUntagged
/UntaggedRGBHandling /LeaveUntagged
/UseDocumentBleed false
>>
]
>> setdistillerparams
<<
/HWResolution [2400 2400]
/PageSize [612.000 792.000]
>> setpagedevice
|