Оцінювання ефективності мереж
Показано, що ефективність мереж оцінюється на основі їхньої організації як децентралізованих систем.
Збережено в:
| Дата: | 2016 |
|---|---|
| Автори: | , , |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Ukrainian |
| Опубліковано: |
Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України
2016
|
| Назва видання: | Теорія оптимальних рішень |
| Онлайн доступ: | http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/113033 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Цитувати: | Оцінювання ефективності мереж / В.М. Горбачук, Г.О. Шулінок, О.О. Морозов // Теорія оптимальних рішень: Зб. наук. пр. — 2016. — № 2016. — С. 154-161. — Бібліогр.: 15 назв. — укр. |
Репозитарії
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
irk-123456789-113033 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
irk-123456789-1130332017-02-01T03:02:38Z Оцінювання ефективності мереж Горбачук, В.М. Шулінок, Г.О. Морозов, О.О. Показано, що ефективність мереж оцінюється на основі їхньої організації як децентралізованих систем. Показано, что эффективность сетей оценивается на основе их организации как децентрализованных систем. It is shown the efficiency of networks is estimated on the basis of their organization as decentralized systems. 2016 Article Оцінювання ефективності мереж / В.М. Горбачук, Г.О. Шулінок, О.О. Морозов // Теорія оптимальних рішень: Зб. наук. пр. — 2016. — № 2016. — С. 154-161. — Бібліогр.: 15 назв. — укр. XXXX-0013 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/113033 519.8 uk Теорія оптимальних рішень Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| language |
Ukrainian |
| description |
Показано, що ефективність мереж оцінюється на основі їхньої організації як децентралізованих систем. |
| format |
Article |
| author |
Горбачук, В.М. Шулінок, Г.О. Морозов, О.О. |
| spellingShingle |
Горбачук, В.М. Шулінок, Г.О. Морозов, О.О. Оцінювання ефективності мереж Теорія оптимальних рішень |
| author_facet |
Горбачук, В.М. Шулінок, Г.О. Морозов, О.О. |
| author_sort |
Горбачук, В.М. |
| title |
Оцінювання ефективності мереж |
| title_short |
Оцінювання ефективності мереж |
| title_full |
Оцінювання ефективності мереж |
| title_fullStr |
Оцінювання ефективності мереж |
| title_full_unstemmed |
Оцінювання ефективності мереж |
| title_sort |
оцінювання ефективності мереж |
| publisher |
Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України |
| publishDate |
2016 |
| url |
http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/113033 |
| citation_txt |
Оцінювання ефективності мереж / В.М. Горбачук, Г.О. Шулінок, О.О. Морозов // Теорія оптимальних рішень: Зб. наук. пр. — 2016. — № 2016. — С. 154-161. — Бібліогр.: 15 назв. — укр. |
| series |
Теорія оптимальних рішень |
| work_keys_str_mv |
AT gorbačukvm ocínûvannâefektivnostímerež AT šulínokgo ocínûvannâefektivnostímerež AT morozovoo ocínûvannâefektivnostímerež |
| first_indexed |
2025-07-08T05:04:59Z |
| last_indexed |
2025-07-08T05:04:59Z |
| _version_ |
1837053880832098304 |
| fulltext |
154 Теорія оптимальних рішень. 2016
ТЕОРІЯ
ОПТИМАЛЬНИХ
РІШЕНЬ
Показано, що ефективність ме-
реж оцінюється на основі їхньої
організації як децентралізованих
систем.
В.М. Горбачук, Г.О. Шулінок,
О.О. Морозов 2016
УДК 519.8
В.М. ГОРБАЧУК, Г.О. ШУЛІНОК, О.О. МОРОЗОВ
ОЦІНЮВАННЯ ЕФЕКТИВНОСТІ МЕРЕЖ
Вступ. Дана робота мотивована Євро-2012
та конференцією в Ялті 2010 р. [1]. Мережі
забезпечують засади для транспортування
та логістики, комунікацій, енергопостачання,
соціальних взаємодій і фінансування. Оскіль-
ки мережі мають велике значення і широкі
застосування, вивчення мереж охоплює бага-
то дисциплін. Сьогодні тема крихкості мереж
привертає інтерес через спектр таких катаст-
рофічних подій, як 9/11 (теракт у Нью-Йорку
11 вересня 2001 р.), відключення електропо-
тужності у Північній Америці 2003 р., ураган
Катріна (Katrina) 2005 р., розвал мосту
у м. Міннеаполіс (Minneapolis) 2007 р., роз-
рив середземноморського (Mediterranean) ка-
белю 2008 р., циклон Наргіс (Nargis) 2008 р.,
землетрус у провінції Сичуань (Sichuan) Ки-
таю 2008 р. [2]. Більше того, оскільки біль-
шість мереж критичної інфраструктури є ве-
ликомасштабними і складними за своєю
природою, то має зіштовхуватися з відмова-
ми чи розривами (disruptions): інфраструк-
турні системи незмінно є великомасштабни-
ми динамічними «системами систем» з чис-
ленними компонентами, є нелінійними і про-
сторово розподіленими за багатьма агентами
чи особами, які приймають рішення, де
панують множинні цілі, що конфліктують
і конкурують [3]. Дослідження крихких
мереж потребує ідентифікації вразливостей
і синергій у невизначеному світі [4]. Стихійні
лиха мають безпрецентний вплив для людсь-
ких життів у 21-му сторіччі. Лише з січня
по жовтень 2005 р. глобально 97490 людей
загинули під час стихійних лих, серед них
88117 – під час природних стихійних лих [2].
ОЦІНЮВАННЯ ЕФЕКТИВНОСТІ МЕРЕЖ
Теорія оптимальних рішень. 2016 155
Федеральне агентство США менеджменту надзвичайного стану визначає ка-
тастрофічне стихійне лихо як «подію, що призводить до великої кількості загиб-
лих і поранених; спричиняє широкі збитки чи руйнування обладнання, яке за-
безпечує і підтримує людські потреби; виробляє величезний попит на ресурси і
механізми державної та регіональної відповіді; має наслідком довгостроковий
ефект для загальної економічної діяльності; жорстко впливає на спроможності
державного, регіонального та приватного секторів розпочинати і витримувати
діяльності відповіді».
За згаданими визначеннями стихійному лиху можуть приписувати різні зна-
чення в залежності від конкретної області, але вони мають спільне – ката-
строфічний ефект для людських життів, регіональних або державних ресурсів.
Оскільки стихійні лиха мають величезний вплив, менеджмент стихійних лих
стає темою все більшої уваги дослідників у різних дисциплінах.
Зосередимося на мережах як складних системах (від транспортних і логі-
стичних мереж у формі ланцюгів постачання до фінансових мереж та Інтернет),
щоб розробити концепції, визначення, структури математично строгих і комп’ю-
теризованих засобів оцінювання роботи й ефективності мереж, а також методів
аналізу робастності та вразливості. Крім того, ідентифікуємо синергії, на які
можна сподіватися при інтеграції мереж серед фірм чи організацій під час їхніх
злиттів і поглинань. Тому з погляду менеджменту стихійних лих (від фізичних
до економічних стихійних лих) зосередимося не лише на пом’якшенні стихійних
лих шляхом зниження ризику, підвищення готовності до стихійних лих і
надзвичайних ситуацій, але й на відновленні після стихійних лих шляхом іден-
тифікації можливих синергій.
Для вимірювання результативності й ефективності мережі можна запропо-
нувати єдиний підхід, хоча різні мережі можуть діяти за різної організації, осо-
би, яка приймає рішення (ОПР). Централізована ОПР має повний контроль над
потоками в мережі. У конкретних вантажних мережах і мережах ланцюгів по-
стачання, в яких фірми володіють своїми власними промисловими підприєм-
ствами і дистрибуційними центрами, може бути механізм поведінки постачання
певним рітейлерам продукції фірм. Якщо централізований плановик може ке-
рувати вантажними потоками з метою оптимізації системи, то фірми спрямову-
ють потоки своєї продукції через різні ланки економічної діяльності свого
ланцюга постачання з метою задоволення попиту на цю продукцію та
з метою мінімізації своїх витрат.
З іншого боку, у перенавантажених транспортних мережах кожний мандрів-
ник самостійно вибирає свій маршрут поїздки між парою вузлів O/D відправ-
лення (origin) та прибуття (destination) децентралізованим способом, намагаю-
чись зменшити свій час поїздки чи свої витрати на вибраний шлях. Звідси вип-
ливає принцип поведінки при децентралізованому прийнятті (оптимальних)
рішень користувачами або мережевій рівновазі. Більше того, коли економічні
ОПР взаємодіють одна з одною, то може бути конкуренція в межах одного рівня
мережі (подібно до фінансових мереж), але кооперація між рівнями мережі.
В.М. ГОРБАЧУК, Г.О. ШУЛІНОК, О.О. МОРОЗОВ
Теорія оптимальних рішень. 2016 156
Подібну поведінку виявляють ОПР у ланцюгах постачання, де одна ОПР володіє
промисловим підприємством, а інша – володіє дистрибуційним центром, але
вони мають взаємодіяти між собою, щоб задовольняти своїми продуктами спо-
живачів і ринок попиту.
Отже, у мережевих системах можуть бути такі ситуації:
єдина централізована ОПР;
численні ОПР, які діють індивідуально децентралізованим способом подіб-
но до великомасштабних міських транспортних мереж;
нечисленні ОПР (фірми), які взаємодіють, конкурують чи кооперуються між
собою у залежності від побудови даної мережі.
ОПР (агенти) характеризуються їхніми власними цілями, відповідними об-
меженнями та результатами їхньої поведінки на мережевих потоках, вимірюва-
ними їхніми витратами, прибутками, інвестиціями тощо. Тому прийнятне
оцінювання роботи мережі потребує охоплення не тільки базисної мережевої
топології (вузлів, ланок та їхніх з’єднань), але й базисної техніко-економічної
поведінки, що генерує потоки. Одного лише графа, що складається з вузлів
і ланок, які представляють таку організаційну, транспортну чи логістичну мере-
жу, як телекомунікаційна, електроенергична чи фінансова мережа, не досить
для оцінювання роботи складної мережі [5].
Вимірювання результативності й ефективності мережі використовує фунда-
ментальні моделі мережевего прийняття рішень – моделі мережевої рівноваги
з фіксованим або еластичним попитом при децентралізованому прийнятті рі-
шень, а також оптимізації системи при централізованому прийнятті рішень [6].
Виходячи з мір центральності мережі, можна побудувати єдину міру резуль-
тативності мережі, основану на децентралізованому прийнятті рішень [2]. Така
міра потрібно для багатьох різних застосувань – від транспортних мереж до де-
централізованих мереж ланцюгів постачання і фінансових мереж. Мережею
можна якісно управляти лише тоді, коли можна вимірювати її результативність
[7]. Більше того, єдина міра результативності мережі, що враховує інформацію
про потоки і поведінку, дозволяє визначати критичність різних вузлів і ланок
через ідентифікацію їхньої важливості та пріоритетності при децентра-
лізованому прийнятті рішень. Ранжування можна порівнювати з відомими під-
ходами, що застосовувалися до Транспортної влади Массачусетської бухти
(Masschusetts Bay Transportation Authority, MBTA) у Бостоні та Інтернету [8–10].
У літературі зі складних мереж зазначається, що ідентифікація найцентра-
льніших вузлів є головним питанням характеристики мережі. Властивість цен-
тральності мережі має важливі наслідки для визначення вразливості мережі.
Тільки краще розуміння критичних компонентів мережі може дозволити ефек-
тивніше її захищати.
Поняття ступеня (degree), проміжковості найкоротшого шляху (shortest-path
betweenness), близькості (closeness) у соціальних мережах широко застосовують
міри центральності вузлів. Ступінь вузла – це число ланок, зв’язаних з вузлом.
ОЦІНЮВАННЯ ЕФЕКТИВНОСТІ МЕРЕЖ
Теорія оптимальних рішень. 2016 157
Проміжковість найкоротшого шляху для окремого вузла – це відношення кіль-
кості найкоротших шляхів, які проходять через даний вузол, до загальної кіль-
кості найкоротших шляхів у мережі. Припускалося, що більший ступінь
проміжковості вузла свідчить про більшу важливість даного вузла у мережі.
Проте ступінь центральності вузла вважається локальною мірою, бо визнача-
ється лише числом сусідів цього вузла. З іншого боку, близькість вузла обернена
до середньої геодезичної відстані (тобто найкоротшого шляху) між даним
вузлом і всіма іншими вузлами, досяжними з цього вузла: мале значення близь-
кості вузла вказує на центральну його роль у мережі. Інша інтерпретація такої
близькості вузла у тому, що коротші відстані від даного вузла до інших вузлів
зручніші для комунікаційних цілей.
Крім вищезазначених широко вживаних мір центральності, є інші міри цен-
тральності, що зосереджуються на різних аспектах мережі. Вузол дістає високу
центральність власного вектора (eigenvector centrality) через зв’язки з багатьма
іншими вузлами (аналогічно до ступеня центральності) або через звя’зки з вуз-
лами, які мають високу центральність власного вектора. Центральність потоку
(flow centrality) і центральність проміжковості з використанням потоків
(betweenness centrality using flows) оцінюють важливість вузла, вимірюючи обсяг
потоку, який проходить через даний вузол у рамках моделі максимального пото-
ку. Міра центральності бере до уваги мережеві потоки, але не охоплює налашту-
вання їхньої поведінки та ланкових потоків після усунення компонентів мережі.
Більше того, для поширення теорії центральності на грані й ланки у мережах
застосовувалося поняття проміжковості грані (edge betweenness) у соціальних
і біологічних мережах. Аналогічно до проміжковості вузла проміжковість грані
– це кількість геодезичних найкоротших шляхів між вузлами, які проходять
по грані мережі.
Всі вищезазначені міри центральності стосуються незважених мереж, що
задаються виключно бінарними змінними, які вказують на існування зв’язку між
кожною парою вузлів без надання ваг ланкам. Недавні дослідження складних
мереж доводили, що для врахування взаємозв’язків і потоків між різними вузла-
ми слід надавати свою вагу кожній ланці, яка з’єднує пару вузлів. Такого роду
мережі називають зваженими. Мережі задаються не лише своєю топологією, але
й також динамікою інформації або потоку трафіку, що має місце на даній струк-
турі. Обсяг трафіку, який характеризує зв’язки у комунікаційних системах і ве-
ликих транспортних інфрастуктурах, є вирішальним для повної характе-ристики
цих мереж [11].
Для зважених мереж відомо дуже мало мір центральності. Для адаптації
існуючих мір центральності незважених мереж до зважених мереж пропонується
простий метод відображення. Міра центральності зваженої проміжковості
(weighted betweenness) включає таку інформацію, як трафік між кожною парою
вузлів у мережі. Хоча автори такої міри стверджують, що її утворюють еко-
номічні фактори, вона не враховує такі важливі властивості багатьох реальних
великомасштабних мереж, як поведінка ОПР та інформація про витрати.
В.М. ГОРБАЧУК, Г.О. ШУЛІНОК, О.О. МОРОЗОВ
Теорія оптимальних рішень. 2016 158
Міра Латора – Марчіорі [8–10] ефективності (efficiency) мережі G визна-
чається як
Gji ji
LM
dnn
GEE
1
)1(
1
)( ,
де n – число вузлів у мережі G , jid – довжина найкоротшого шляху (геодезич-
на відстань (distance)) між вузлами i , j .
)(GE вимірює центральність мережі, що показує, наскільки погіршується
функція мережі, коли її позбавляють певного компонента. Якщо відстані між
парами вузлів менші, то мережа вважається ефективнішою і краще працюючою.
Якщо ланка між вузлами i , j не є направленою (directed), то ijji dd .
Для ілюстрації розглянемо мережу, топологія якої задається 3n ,
51221 dd , 42332 dd , 31331 dd . Тоді
3
1 3
1
4
1
5
1
6
2
3
1
3
1
4
1
4
1
5
1
5
1
6
11
)13(3
1
)(
ji ji
LM
d
GEE
261.0
180
47
60
201512
3
1
.
Ступінь кожного вузла цієї мережі рівна 2, бо кожний вузол має 2 зв’язаних
з ним ланки. Тому за критерієм ступеня вузла всі 3 вузли однаково важливі у цій
мережі. Проміжковість найкоротшого шляху для кожного вузла дорівнює 0,
бо кожний вузол безпосередньо зв’язаний з кожним іншим вузлом (з викори-
станням 0 проміжних вузлів). Тому за критерієм проміжковості найкоротшого
шляху всі 3 вузли однаково важливі. Близькість вузла 1 становить
4
2
35
2
1312
dd
, вузла 2 – 5.4
2
45
2
2321
dd
, вузла 3 –
5.3
2
43
2
3231
dd
. Тому за критерієм близькості вузол 3 є найважливішим.
Загалом мережу G задають множина N вузлів (nodes) і множина L на-
правлених ланок (links). Нехай a – ланка мережі, що зв’язує пару вузлів. Позна-
чимо p шлях (path), який складається з послідовності ланок, що зв’язують пару
вузлів O/D. Припустимо, шляхи є ациклічними. У мережах міського транспорту
вузли відповідають пунктам відправлення і призначення, а також перехрестям; з
іншого боку, ланки відповідають дорогам або вулицям. У вантажних мережах
ланки відповідають залізничним лініям або дорогам для вантажівок. Тому на
транспорті шлях може відповідати послідовності доріг або залізничних ланок,
що утворюють маршрут від пункту відправлення до пункту прибуття. У комуні-
каційних мережах вузли відповідають маршрутизаторам; у логістичних мережах
і мережах ланцюгів постачання вузли можуть відповідати виробникам, дистри-
буторам і ринкам попиту; у фінансових та інших економічних мережах вузли
можуть також відповідати ОПР – від фінансових джерел коштів до кінцевих
ОЦІНЮВАННЯ ЕФЕКТИВНОСТІ МЕРЕЖ
Теорія оптимальних рішень. 2016 159
споживачів. Ланки у мережевих моделях виражають фізичні зв’язки (кабелі,
лінії передач, виробничі лінії тощо) чи логічні зв’язки (економічні трансакції),
користуючись певним графічним формалізмом. У соціальних мережах вузли
відповідають фізичним особам або їхнім організаціям, а ланки – суспільним
зв’язкам.
Нехай wP – множина шляхів p , що зв’язують пару w вузлів O/D. Позна-
чимо P множину всіх шляхів wP у мережі. Припустимо, мережа має Wn пар
Ww вузлів O/D і є (строго) зв’язною (існує принаймні один шлях, що зв’язує
кожну пару вузлів O/D.
Нехай px – невід’ємний потік по шляху p , а af – потік по ланці a .
Ці потоки у різних постановках відповідатимуть транспортним засобам, товарам
або продуктам, комп’ютерним повідомленням, фінансовим потокам, потокам
електроенергії тощо. Потоки по шляхах на мережі формують вектор Pn
Rx
,
де Pn – число шляхів у мережі; потоки по ланках формують вектор nRf
,
де n – число ланок мережі.
Позначимо ac витрати, яких зазнає користувач, проходячи ланку a ;
ці витрати формують вектор nRc
. Позначимо pC витрати користувача
на шляху Pp ; такі витрати формують вектор Pn
RC
.
Позначимо wd попит, пов’язаний з парою Ww вузлів O/D. Припустимо,
цей попит відомий і фіксований. Тоді Ww має виконуватися рівняння
збереження потоків, за яким даний попит рівний сумі (невід’ємних) потоків
по шляхах, що з’єднують пару w вузлів O/D:
wPp
pw xd Ww , (1)
0px Pp .
Позначимо w некорисність (disutility), пов’язану з парою w вузлів O/D.
Потік по ланці пов’язується з потоками по шляхах через інше рівняння
збереження потоків, за яким потік по ланці рівний сумі потоків по шляхах,
що містять цю ланку:
a p a p
p P
f x
,a L
a p
1,якщо шлях містить ;
0 в інших випадках.
p a
Витрати користувача на шляху дорівнюють сумі витрат користувача
на ланках, з яких складається цей шлях:
p a a p
a L
C c
.p P
В.М. ГОРБАЧУК, Г.О. ШУЛІНОК, О.О. МОРОЗОВ
Теорія оптимальних рішень. 2016 160
Припустимо, що витрати користувача на ланці – неперевна і невід’ємна
функція всіх компонентів вектора :f
( )a ac c f ,a L
звідки
( ) ( ),p a a p a a a L a p p a p a p p
a L a L a L p P a L
C c c f c x C x
тобто витрати на шляху p є функцією змінних потоків по всіх шляхах.
За першим принципом Уордропа [12 – 15], вектор Pn
Rx * потоків назива-
ють мережевою рівновагою при фіксованому попиті, якщо для кожної пари
Ww вузлів O/D цей вектор задовольняє умові (1), а для кожного шляху wPp
цей вектор задовольняє умові
* *
*
* *
при
при
0,
( )
0.
w p
p
w p
x
С x
x
(2)
Умова (2) означає, що витрати користувача на всіх шляхах, які використо-
вуються для з’єднання пари O/D, однакові для 0* px і не менші некорисності
для
* 0 :px користувачу немає стимулу змінювати
* .px
Вектор *x
є мережевою рівновагою тоді й тільки тоді, коли він є розв’язком
скінченновимірних варіаційних нерівностей для потоків по шляхах [14, 15]:
* *( ) ( ) 0
w
p p p
w W p P
C x x x
Pn
Rx
за умови (1).
Аналогічно вектор *x
є мережевою рівновагою тоді й тільки тоді, коли він є
розв’язком скінченновимірних варіаційних нерівностей для потоків по ланках.
Близькість може використовуватися не лише для оцінки ефективності робо-
ти мережі, але й для оцінки функціональності мережі за умови збереження
зв’язності мережі після усунення мережевого компонента. Такої жорсткої умови
не потребує уніфікована міра роботи (ефективності) мережі, в якій рішення
приймаються децентралізовано (поведінка ОПР є децентралізованою): природне
чи неприродне лихо може легко роз’єднувати пари вузлів відправлення і при-
буття. Міра Нагурней – Кіанг [2] ефективності для даної мережевої топології G
та фіксованого вектора d
фіксованого попиту (demand) визначається
1
( , ) ,w
NQ
w WW w
d
E E G d
n
де Wn – число пар вузлів O/D у мережі, wd d
– фіксований попит для пари
Ww вузлів O/D, w – некорисність для пари w вузлів O/D; при еластичному
попиті вектор d
вважається рівноважним.
Ефективність децентралізованих систем залежить від їхньої організації.
ОЦІНЮВАННЯ ЕФЕКТИВНОСТІ МЕРЕЖ
Теорія оптимальних рішень. 2016 161
В.М. Горбачук, Г.А. Шулинок, А.А. Морозов
ОЦЕНИВАНИЕ ЭФФЕКТИВНОСТИ СЕТЕЙ
Показано, что эффективность сетей оценивается на основе их организации как децентрализо-
ванных систем.
V.M. Gorbachuk, G.O. Shulinok, O.O. Morozov
NETWORK EFFICIENCY ESTIMATION
It is shown the efficiency of networks is estimated on the basis of their organization as decentralized
systems.
1. Gorbachuk V. On the transportation subproblem of Euro-2012 / Netwok science. – Kyiv:
V.M. Glushkov Institute of Cybernetics; Texas A&M University; University of Florida,
2010. – P. 6 – 7.
2. Nagurney A., Qiang Q. Fragile networks: identifying vulnerabilities and synergies in an uncer-
tain world. – Hoboken, NJ: John Wiley & Sons, 2009. – 313 p.
3. Горбачук В.М. Шляхи подолання ринкових недосконалостей у галузі телекомунікацій //
Вісник Одеського національного університету. Серія: економіка. – 2013. – Т. 18. –
Випуск 3. – С. 84 – 87.
4. Горбачук В.М., Гаркуша Н.І. Парадокс Браесса й умови його врегулювання //
PDMU-2010 (Новий Світ) – К.: КНУ ім. Т. Шевченка, 2010. – С. 52 – 53.
5. Горбачук В.М. Установление платы за трафик по сети связи // Компьютерная математи-
ка. – 2013. – № 1. – С. 3 – 12.
6. Горбачук В.М., Морозов О.О. Вимірювання ефективності мереж // Інформаційно-
комп’ютерні технології – 2016. – Житомир: Житомирський державний технологічний
університет, 2016. – С. 63–64.
7. Горбачук В.М., Морозов О.О. До вимірювання системних ризиків мереж // Проблеми
телекомунікацій. – К.: Національний технічний університет України «Київський полі-
технічний інститут», 2016. – С. 143 – 145.
8. Latora V., Marchiori M. Efficient behavior of small-world networks // Physical review letters.
– 2001. – 87. – 198701.
9. Latora V., Marchiori M. Is the Boston subway a small-world network? // Physica A. – 2002. –
314. – P. 109 –113.
10. Latora V., Marchiori M. How the science of complex networks can help developing strategies
against terrorism // Chaos, solitons and fractals. – 2004. – 20. – P. 69 – 75.
11. Gorbachuk V., Chumakov B. The analytic approach to city traffic network control // Modelare
matematica, optimizare si tehnologii informationale. – Chisinau: Evrica, 2010. – P. 94 – 99.
12. Wardrop J.G. Some theoretical aspects of road traffic research // Proceedings of the Institution
of Civil Engineers. – 1952. – Part II, 1. – P. 325 – 378.
13. Beckmann M.J., McGuire C.B., Winsten C.B. Studies in the economics of transportation. –
New Haven, CT: Yale University Press, 1956.
14. Smith M.J. Existence, uniqueness, and stability of traffic equilibria // Transportation research
B. – 1979. – 13. – P. 259–304.
15. Dafermos S. Traffic equilibrium and variational inequalities // Transportation science. – 1980.
– 14. – P. 42 – 54.
Одержано 26.04.2016
|