Робастные планы эксперимента

Рассматриваются историческое развитие планирования экспериментов и место робастных планов в традиционной классификации. Опираясь на процессный подход и системный анализ, обосновывается комплекс требований к планам эксперимента. Показано, что наилучшим образом этому комплексу удовлетворяют робастные...

Ausführliche Beschreibung

Gespeichert in:

Bibliographische Detailangaben
Datum:	2016
1. Verfasser:	Лапач, С.Н.
Format:	Artikel
Sprache:	Russian
Veröffentlicht:	Інститут проблем математичних машин і систем НАН України 2016
Schriftenreihe:	Математичні машини і системи
Schlagworte:	Моделювання і управління
Online Zugang:	http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/113761
Tags:	Tag hinzufügen Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
Назва журналу:	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
Zitieren:	Робастные планы эксперимента / С.Н. Лапач // Математичні машини і системи. — 2016. — № 4. — С. 111-121. — Бібліогр.: 25 назв. — рос.

Institution

Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine

id	irk-123456789-113761
record_format	dspace
spelling	irk-123456789-1137612017-02-14T03:02:23Z Робастные планы эксперимента Лапач, С.Н. Моделювання і управління Рассматриваются историческое развитие планирования экспериментов и место робастных планов в традиционной классификации. Опираясь на процессный подход и системный анализ, обосновывается комплекс требований к планам эксперимента. Показано, что наилучшим образом этому комплексу удовлетворяют робастные планы на основе псевдослучайных равномерно распределенных в многомерном пространстве последовательностей. Розглядаються історичний розвиток планування експериментів і місце робасних планів при традиційній класифікації. Опираючись на процесний підхід і системний аналіз, обґрунтовується комплекс вимог до планів експерименту. Показано, що найкращим чином цьому комплексу задовольняють робасні плані на основі псевдовипадкових рівномірно розподілених у багатовимірному просторі послідовностей. The historical development of experiments design and robust plans under traditional classification is considered. Based on the process approach and system analysis, a complex of requirements to plans of the experiment is proved. It is shown that the best way to satisfy this set of robust plans based on a pseudo-random uniformly distributed in the multidimensional space of sequences. 2016 Article Робастные планы эксперимента / С.Н. Лапач // Математичні машини і системи. — 2016. — № 4. — С. 111-121. — Бібліогр.: 25 назв. — рос. 1028-9763 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/113761 519.237.5 ru Математичні машини і системи Інститут проблем математичних машин і систем НАН України
institution	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
collection	DSpace DC
language	Russian
topic	Моделювання і управління Моделювання і управління
spellingShingle	Моделювання і управління Моделювання і управління Лапач, С.Н. Робастные планы эксперимента Математичні машини і системи
description	Рассматриваются историческое развитие планирования экспериментов и место робастных планов в традиционной классификации. Опираясь на процессный подход и системный анализ, обосновывается комплекс требований к планам эксперимента. Показано, что наилучшим образом этому комплексу удовлетворяют робастные планы на основе псевдослучайных равномерно распределенных в многомерном пространстве последовательностей.
format	Article
author	Лапач, С.Н.
author_facet	Лапач, С.Н.
author_sort	Лапач, С.Н.
title	Робастные планы эксперимента
title_short	Робастные планы эксперимента
title_full	Робастные планы эксперимента
title_fullStr	Робастные планы эксперимента
title_full_unstemmed	Робастные планы эксперимента
title_sort	робастные планы эксперимента
publisher	Інститут проблем математичних машин і систем НАН України
publishDate	2016
topic_facet	Моделювання і управління
url	http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/113761
citation_txt	Робастные планы эксперимента / С.Н. Лапач // Математичні машини і системи. — 2016. — № 4. — С. 111-121. — Бібліогр.: 25 назв. — рос.
series	Математичні машини і системи
work_keys_str_mv	AT lapačsn robastnyeplanyéksperimenta
first_indexed	2025-07-08T06:21:26Z
last_indexed	2025-07-08T06:21:26Z
_version_	1837058686653038592
fulltext	© Лапач С.Н., 2016 111 ISSN 1028-9763. Математичні машини і системи, 2016, № 4 УДК 519.237.5 С.Н. ЛАПАЧ * РОБАСТНЫЕ ПЛАНЫ ЭКСПЕРИМЕНТА * Національний технічний університет України «КПІ», Київ, Україна Анотація. Розглядаються історичний розвиток планування експериментів і місце робасних планів при традиційній класифікації. Опираючись на процесний підхід і системний аналіз, обґрунтову- ється комплекс вимог до планів експерименту. Показано, що найкращим чином цьому комплексу задовольняють робасні плані на основі псевдовипадкових рівномірно розподілених у багатовимір- ному просторі послідовностей. Ключові слова: робасні плани експерименту, процесний підхід, планування експерименту, ЛП рів- номірно розподілені послідовності. Аннотация. Рассматриваются историческое развитие планирования экспериментов и место ро- бастных планов в традиционной классификации. Опираясь на процессный подход и системный анализ, обосновывается комплекс требований к планам эксперимента. Показано, что наилучшим образом этому комплексу удовлетворяют робастные планы на основе псевдослучайных равномер- но распределенных в многомерном пространстве последовательностей. Ключевые слова: робастные планы эксперимента, процессный подход, планирование эксперимен- та, ЛП равномерно распределенные последовательности. Abstract. The historical development of experiments design and robust plans under traditional classifica- tion is considered. Based on the process approach and system analysis, a complex of requirements to plans of the experiment is proved. It is shown that the best way to satisfy this set of robust plans based on a pseudo-random uniformly distributed in the multidimensional space of sequences. Keywords: robust plans of experiment, process approach, design of experiments, LP uniformly distribut- ed sequences. 1. Введение. Проблема и цель работы Планирование эксперимента возникло как выход из тупика классического подхода к ис- следованию, при котором изучение отклика происходило посредством изменения одного фактора при зафиксированных значениях всех прочих. Такое исследование, во-первых, требовало слишком много ресурсов, а, во-вторых, не позволяло изучать то, что впослед- ствии будет названо системами. Например, в агробиологии традиционный подход растяги- вал исследования чуть ли не на десятилетия. С другой стороны, такой подход не позволял выявлять влияние взаимодействий. При планировании эксперимента (ПЭ) изменялись одновременно все факторы и широко использовалась рандомизация. Таким образом, изначально планирование позволя- ло сделать шаг к системному исследованию процесса (хотя до этих терминов было еще да- леко) и резко сократить ресурсы (в первую очередь временные) на проведение исследова- ния при обеспечении требуемого уровня надежности полученной информации. При этом изначально ПЭ опиралось на выборочный метод и рассматривалось как его часть, что слу- жило обоснованием возможности распространения результатов на генеральную совокуп- ность [1, 2]. При дальнейшем развитии ПЭ преимущество получило направление, в кото- ром математическая сторона превалировала над статистической. В результате критерием качества плана стало достижение экстремального значения некоторой характеристики [3, 4]. Следствием развития этого направления стало появление большого количества раз- ных планов разного типа, предназначенных, согласно своим критериям, для достижения разных целей (табл. 1) [5]. Составлялись многочисленные каталоги планов эксперимента. 112 ISSN 1028-9763. Математичні машини і системи, 2016, № 4 Для прикладника трудность заключались не только в выборе критерия, но и в выборе кон- кретного плана под выбранный критерий. Относительно критерия: во-первых, прикладни- ку хотелось бы достижения сразу нескольких критериев одновременно, а во-вторых, в ре- альности выбор критерия определялся случайными обстоятельствами, а не был осознан- ным актом. Кроме того, вследствие отрыва от выборочного метода вопрос о репрезента- тивности исчез из поля зрения. Таблица 1. Место робастных планов в общей классификации Идентификация Д л я о ц ен к и к о эф ф и ц и - ен то в р ег р ес си и D-оптимальность Робастные (на основе мно- гофакторных регулярных планов) A-оптимальность E-оптимальность Минимакс дисперсии оценки коэффициентов Минимум суммы относительных ошибок оценок Робастные (на основе псевдослучайных чисел) Ортогональность Д л я о ц ен к и п о в ер х - н о ст и о тк л и к а G-оптимальность Q-оптимальность Ротатабельность Униформность Спецификация Дискриминирующие Отсеивающие Оптимизация Динамические Статические Многофакторные регулярные планы [6, 7] позволяли избегнуть второй проблемы, поскольку с помощью каталога планов и преобразований или программного средства DESFACT можно строить план, оптимальный по D-критерию, под практически любое тре- бующееся задание вида K I L J M G …//N. Здесь K, L, M – число уровней варьирований факто- ров; I, J, G – число факторов с соответствующим количеством уровней варьирования, а N – количество опытов. Побочным бонусом являлась ортогональность подавляющего боль- шинства сгенерированных планов. К недостаткам следует отнести требование известной структуры, а также для части планов (с «неудачным» сочетанием числа уровней факторов) выбор между невысокой эффективностью и малым количеством опытов или большим ко- личеством опытов при высокой эффективности. Кроме того, фактическое число экспери- ментов в сгенерированном плане могло значительно отличаться от желаемого в обе сторо- ны в виду особенностей каталогов. Таким образом, достигнув совершенства, классические планы не устранили главные свои недостатки: требование известности частной структуры (спецификации) модели для обеспечения оптимальности плана и отсутствие связи с выборочным методом (регулярная матрица плана). Дополнительный недостаток – необходимость выбора определенного кри- терия оптимальности. Как первое, так и второе конфликтовало с практикой решения ре- альных задач. Как правило, частная структура в подавляющем числе случаев неизвестна. Более того, зачастую целью построения модели является как раз определение этой струк- туры. Что касается критерия оптимальности, то в прикладных задачах обычно требовалось достижение одновременно нескольких показателей. ISSN 1028-9763. Математичні машини і системи, 2016, № 4 113 Рис. 1. Диаграмма рассеивания для МФРП 3//9 0 1 2 0 1 2 Исключением являлся метод случайного баланса, в рамках которого была проведе- на большая работа по определению влияния свойств матрицы плана на надежность выде- ления значимых факторов, то есть, по сути, определения структуры. В его рамках была установлена необходимость минимальной закоррелированности всех эффектов кандидатов и случайной матрицы. Кроме вышесказанного, вне рассмотрения оставался пассивный эксперимент, кото- рый в ранках теории планирования эксперимента считался полностью непригодным для использования. Вместе с тем зачастую в реальности отсутствовала возможность планиро- вания. Разумеется, некоторые попытки работать в этом направлении были. Стоит упомя- нуть активно-пассивный эксперимент и релейные схемы, но ничего из этого не имело рас- пространения и обоснования. Осознание непригодности классических планов с одновременной необходимостью планирования экспериментов подвигло исследователей-практиков к собственным действи- ям по разрешению проблемы. Движение происходило в трѐх направлениях: 1) как бы возврат к рандомизации с использованием равномерно распределенных псевдослучайных чисел; 2) приспособление существующих планов к своим потребностям; 3) разработка новых видов планов. В первом направлении работали разработчики ПС «Эльбрус» (Москва), ВНИИ- ЖИВМАШ (Киев). В первом и втором одновременно – коллективы в Киеве (Радченко С.Г., Лапач С.Н.; Воронин А.Н.), в третьем – коллектив Воронина А.Н. (Киев). Обоснование при этом было следующим: случайность как требование выборочного метода, стремление к минимальной закоррелированности или то и другое. Обоснование минимальной закоррелированности и выбора случайных матриц для определения структу- ры уравнения регрессии (частной спецификации) было исследовано и обосновано в методе случайного баланса. Термин робастные для планов определения структуры был предложен Радченко С.Г., который с этой целью считал нужным использовать многофакторные регулярные планы (МФРП), разработанные Бродским В.З., но не насыщенные, а с большим числом степеней свободы. Планы на основе ЛП чисел независимо начали использовать в исследо- ваниях Лапач С.Н. и Воронин А.Н. В коллективе Воронина А.Н. были разработаны планы обобщенной свастики. На данный момент существуют три вида робастных планов [8]: 1) робастные планы эксперимента на основе МФРП (рис. 1); 2) планы на основе псевдослучайных чисел (ЛП равномерно распределенные по- следовательности, числа Холтона) (рис. 2); 3) планы обобщенной свастики (рис. 3). Место робастных планов в об- щей существующей классификации по- казано в табл. 1. Теоретические разработки в ука- занном направлении практически от- сутствовали. Это связано, с одной сто- роны, со сложностью задачи, с другой, с тем, что для теоретиков задача не входит в перечень интересных тем. Вместе с тем, хотя несколько десятиле- тий использования робастных планов подтвердило их эффективность и практическую пригодность, проблема обоснования оста- ется актуальной. 114 ISSN 1028-9763. Математичні машини і системи, 2016, № 4 Рис. 2. Диаграмма рассеивания для плана на основе ЛП равномерно распределенных последовательностей для 32 опытов Планы обобщенной свастики наилучшим образом подходят для задач, когда коли- чество факторов близко к количеству возможных опытов. При этом то и другое достаточно мало. Планы первого и второго видов являются практически взаимозаменяемыми. При этом планы первой группы имеют более высокие статистические показатели качества. Но планы второй группы обладают при этом рядом важных практических преимуществ. Так, планы на основе псевдослучайных чисел возможно достраивать (в отличие от МФРП), ес- ли выяснится, что количество опытов недостаточно для построения адекватной модели. Рис. 3. Диаграмма рассеивания для плана «обобщенной свастики» – 2 фактора, 6 опытов Место робастных планов в существующей классификации показано в табл. 1. При этом сплошные стрелки указывают на строго выполняющиеся условия, а пунктирные – ча- стично. Для МФРП ресурсы оказываются потраченными напрасно. Планы на основе псев- дослучайных чисел нечувствительные к малым изменениям значений уровней факторов и пропускам экспериментов в отличие от МФРП, для которых указанные ситуации приводят к значительному ухудшению свойств плана. В качестве дополнительного бонуса планы 0 0,2 0,4 0,6 0,8 1 0 0,2 0,4 0,6 0,8 1 0 1 2 3 4 5 0 1 2 3 4 5 ISSN 1028-9763. Математичні машини і системи, 2016, № 4 115 являются планами для поиска оптимальных условий, то есть одновременно с построением модели позволяют осуществлять поиск оптимума по эксперименту. Проблемы, возникающие вследствие несогласованности требований различных эта- пов построения регрессионных моделей и отрыва ПЭ от собственно регрессионного анали- за, подробно рассмотрены в [9, 10]. Существуют необходимость в разрешении проблемы несогласованности ПЭ с РА и несоответствие ПЭ требованиям реальных эксперименталь- ных исследований. Целью является обоснованное определение требований к планам экс- перимента, которые можно назвать робастными, и соответствие им имеющихся робастных планов. 2. Требования к этапам построения модели Не ограничивая себя рамками статистических методов, рассмотрим построение эмпириче- ских математических моделей с точки зрения процессного подхода (или принципа Белл- мана) [11]. То есть требования ко всем этапам определяются исходя из требований к ко- нечному результату. Исходя из целей построения модели, мы должны определить требова- ния к процессам и в конечном итоге к выборке. Конкретизация требований зависит от цели построения конкретной модели. Рассмотрим некоторый обобщенный случай, когда необ- ходимо получить модель, позволяющую описывать и анализировать процесс. С точки зре- ния исследователя, модель должна быть адекватной описываемому процессу и надежной. Для конкретизации требований построим диаграмму Исикава (табл. 2), определяющую факторы отдельных этапов, влияющие на результат. Из этих факторов и будут следовать требования к отдельным процессам. Таблица 2. Диаграмма Исикава для построения модели Рассмотрим эти требования более детально. М о д ел ь Спецификация Общая Достаточное количество уровней Частная Малая закоррелированность Достаточный размер Идентификация Оценки коэффициентов Малая закоррелированность Способ получения оценок Статистические характеристики коэффициентов Независимость Достаточный размер Соответствие структуры Выборка Репрезентативность Достаточный размер Независимость Структура Случайность Свойства оценок Достаточный размер Независимость Структура Способы оценки Проведение исследований Общие Неизвестная структура Возможность пассивного эксперимента Минимизация размера Частные Возможность наращивания размера Возможность введения своих экспериментов Устойчивость к пропуску строк плана Устойчивость к малым изменениям значений в плане 116 ISSN 1028-9763. Математичні машини і системи, 2016, № 4 2.1. Спецификация В общей спецификации решение опирается на знания и умения постановщика задачи, а также имеющие знания специалистов о предметной области. Единственное требование, которое должно быть выдвинуто на этой ветви к плану, – большое количество уровней ва- рьирования, так как это позволяет обеспечить аппроксимацию сколь угодно сложной зави- симости (исходя из теоремы Веерштрассе). При этом не важно, какой вид функции будет выбран, поскольку теорема относится к классу предельных. При малом количестве уров- ней варьирования для быстроизменяющихся функций качественная аппроксимация невоз- можна [8, 12, 13]. Для частной спецификации важны условия для надежного еѐ определения. Таким условием является минимальная закоррелированность (в идеале ортогональность) матрицы анализируемых эффектов [8, 14–18], которая позволяет надежно выделять истинные эле- менты структуры. Чем ниже закоррелированность выборки, тем надежнее определяются значимые элементы независимо от используемого алгоритма. Большое число экспериментов (достаточное) необходимо для обеспечения нужного количества степеней свободы, которое нужно для возможности описания сложной функ- ции с большим количеством членов: чем больше размер, тем сложнее по числу членов мо- жет быть модель и закоррелированность. Оба требования в определенной степени связаны друг с другом: чем больше размер при том же количестве факторов, тем легче обеспечить низкую закоррелированность мат- рицы выборки. Закоррелированность приводит к смешению эффектов и смещению показа- телей, что усложняет формирование частной структуры модели (определение частной спе- цификации). Чем ниже закоррелированность, тем выше устойчивость структуры модели. 2.2. Идентификация Независимость – базовое требование при получении статистических оценок, достаточный размер требуется для обеспечения точности [19–21]. При выполнении идентификации на результат оказывают влияние как свойства матрицы, так и способы получения оценок коэффициентов. Устойчивость коэффициентов модели (и их точность) зависит от обусловленности матрицы, по которой эти коэффициен- ты получают. А обусловленность зависит от закоррелированности и соотношения величин факторов (столбцов матрицы). Снижение закоррелированности от достроенных эффектов обеспечивается ортогонализацией, а от разности величин – нормировкой столбцов. Орто- гонализация и нормировка – это требования не к матрице, а к процессу обработки, то есть к способу получения оценок [8, 22–24]. Результат идентификации также зависит от спосо- ба решения системы линейных уравнений, результатом которого являются оценки коэф- фициентов регрессии [24]. Для определения статистических характеристик коэффициентов требуется незави- симость переменных, то есть минимальная закоррелированность и размер, обеспечиваю- щий достаточную степень свободы и минимизацию величины доверительного интервала. Правильность определения структуры уравнения регрессии (частная спецификация) также влияет на свойства регрессионных оценок [25]. 2.3. Выборка Требования выборочного метода направлены, во-первых, на обеспечение возможности распространения результатов, полученных на выборке, на генеральную совокупность, то есть на то, что называется репрезентативностью, а во-вторых, требуемую точность и свой- ства получаемых оценок. Эти требования известны и достаточно описаны в литературе [19–21], но в последнее время почти никто их не соотносил с планированием эксперимента ISSN 1028-9763. Математичні машини і системи, 2016, № 4 117 или регрессионным анализом. То есть независимость, случайность, соответствие структуре генеральной совокупности и достаточный размер обеспечивают репрезентативность. Со- ответствие структуре здесь несколько иное, чем традиционно понимаемое в выборочном методе. Здесь соответствие структуры есть такой отобранный набор независимых пере- менных (факторов) и форма факторного пространства, которая позволяет использовать по- лученную для заданных целей модель на всей генеральной совокупности. Требуемые свойства оценок обеспечиваются независимостью, достаточным для требуемой точности размером и способом получения этих оценок. 2.4. Проведение исследований Особым блоком требований являются требования, вызываемые особенностью сферы про- ведения экспериментальных исследований, целью которых является построение математи- ческих моделей. К общим требованиям, которые выдвигаются к планированию эксперимента от ис- следователей, относятся: 1) отсутствие требования знания структуры модели до эксперимента; 2) обеспечение минимизации необходимых ресурсов при обеспечении получения надежных результатов; 3) возможность использования пассивного эксперимента. В классическом РА структура полагается известной до планирования, но в реально- сти это не так. Во многих случаях целью построения модели как раз и является выяснение структуры взаимосвязей между независимыми и зависимой переменными. Установление этой структуры и есть одна из задач в регрессионном анализе. Ранее ее формулировали как формирование наиболее информативного множества регрессоров, что не совсем верно, так как в такой формулировке происходит подмена исходной цели из предметной области це- лью более низкого уровня из математической статистики. Минимизация затрачиваемых ресурсов при гарантированном обеспечении резуль- тата представляет собой обычное требование в практической деятельности, одной из ча- стей еѐ экономической составляющей. Идеальным вариантом матрицы планирования яв- ляется матрица полного факторного эксперимента, которая получается перебором всех ва- риантов сочетаний уровней варьирования факторов. Такая матрица является полностью ортогональной и обеспечивает наилучшие условия для получения как структуры уравне- ния регрессии, так и оценок коэффициентов регрессии. Проблема только в том, что при реальном количестве факторов (5–8) и их уровней варьирования (3–4) число эксперимен- тов для такой матрицы достигает фантастических значений в десятки тысяч или даже мил- лионы. Поэтому возникает необходимость в минимизации количества экспериментов при одновременном достижении целей исследования. Требование работы с пассивным экспериментом связано с тем, что часть факторов, которые необходимо использовать, часто бывают только контролируемые, но не управля- емые. Рассмотрим также некоторые дополнительные требования. Требование эксперимен- та связано с требованиями ограниченности ресурсов и ограничениями при проведении экспериментов или формировании выборки. Минимизация числа экспериментов вызвана необходимостью минимизации затрат на проведение исследований, которые всегда огра- ничены. Возможность наращивания числа экспериментов связана с предыдущим требова- нием. Она означает, что желательно начинать с минимально возможного количества экс- периментов и лишь при обнаружении, что их недостаточно, проводить дополнительные. Возможная вариативность строк (условий эксперимента) означает: • возможность включать желаемые эксперименты; 118 ISSN 1028-9763. Математичні машини і системи, 2016, № 4 • устойчивость свойств плана по отношению к незначительным отклонениям значе- ний в плане; • устойчивость свойств плана по отношению к пропускам части запланированных экспериментов. Остановимся несколько подробнее на этих требованиях. Требования по устойчиво- сти плана связаны с тем, что при проведении эксперимента в сложных условиях возможна ситуация, когда часть значений уровней будет фактически установлена на значениях, ча- стично не совпадающих со значениями в плане, или небольшая часть экспериментов будет отбракована. В условиях, когда эксперименты невозможно проводить, дополнительно важным является сохранение оптимальности плана эксперимента при наличии указанных отклонений. Что касается первого требования, то очень часто экспериментатору желатель- но провести исследования сочетаний факторов, которые не входят в план эксперимента. При проведении исследований чрезвычайно удобным является возможность нара- щивания количества экспериментов, начиная от некоторого минимума. В современном планировании, если выбранный план после проведения экспериментов и попытки постро- ения модели оказался слишком мал, необходимо генерировать новый план большего раз- мера. При этом ранее проведенные эксперименты использовать в дальнейшей работе нет возможности. Кроме этого, достаточно частыми при проведении исследований являются ситуации, когда несколько экспериментов (строк плана) оказываются бракованными или же значения установлены немного не на тех значениях, которые требуются планом. Это обычно связано с физическими особенностями проведения эксперимента. Достаточно ча- сто исследователям требуется, чтобы некоторый набор условий был обязательно исследо- ван и включен в построение модели. 3. Результаты исследований Таким образом, для построения модели нам необходимо определить общую и частную структуры уравнения регрессии, а затем получить оценки коэффициентов регрессии и их статистические характеристики, то есть необходимо правильно выполнить еѐ (модели) спецификацию и идентификацию. Заметим, что налицо согласованность требований по ветвям спецификации и иден- тификации, частичный конфликт только с экспериментом: требование минимизации коли- чества опытов против максимизации такового на других ветвях. Обобщая полученную совокупность требований и не рассматривая требования к процессу обработки, мы можем видеть, что основным требованием является минимальная закоррелированность. Кроме этого, максимальное число уровней варьирования, возмож- ность постепенного наращивания числа экспериментов и устойчивость к малым изменени- ям плана. К конфликтующим требованиям относится одновременное требование как макси- мального числа экспериментов по одной ветви, так и минимального по другой. На самом деле максимум экспериментов означает такое их количество, которое обеспечило бы по- строение модели, удовлетворяющей поставленным в исследовании целям. Разрешение этого конфликта может быть обеспечено выполнением требования воз- можности наращивания количества экспериментов, так как его выполнение позволяет по- степенное наращивание числа экспериментов от минимально возможного (насыщенный план) до достаточного для решения задачи. Число уровней варьирования теоретически может достигать количества экспери- ментов, а в реальности ограничено возможностью установки (поддержания) фактически различающихся значений конкретных факторов. Обращаем внимание, что здесь не идет речь о пассивном и активном эксперименте. То есть речь идет только о свойствах матрицы выборки, а как они получены, то ли специ- ISSN 1028-9763. Математичні машини і системи, 2016, № 4 119 альным формированием матрицы и последующим еѐ заполнением в процессе эксперимен- та, то ли выборкой из наблюдений, не устанавливается. В табл. 3 представлено соответствие различным требованиям существующих разно- видностей робастных планов эксперимента. Таблица 3. Соответствие требований различным требованиям Вид плана На основе МФРП На основе ЛП Обобщенной свастики Т р еб о в ан и я к п л ан у Независимость Да Да Да Максимальное число уровней варьирования Нет Да Да Устойчивость к малым изменениям в плане Нет Да Да Возможная вариативность условий Нет Да Частично Минимизация ресурсов Нет Да Да Достаточный размер Да Да Нет Случайность Нет Да Частично Мы рассмотрели некоторый условный комплекс условий. В реальных обстоятель- ствах могут быть различные требования, которые изменят выбор вида плана. Считая тре- бования равноправными (равновесными), выполним многокритериальную оптимизацию для трех видов планов и получим обобщенные характеристики эффективности (значения от 0 до 1). Результаты отражены на рис. 4. Рис. 4. Сравнительное обобщенное качество различных видов планов Видно, что наилучшие в совокупности характеристики имеют планы на основе ЛП чисел. Уточним, что в определенных обстоятельствах это может быть и не так. 4. Выводы Установлен комплекс требований для получения регрессионной модели с хорошими ста- тистическими характеристиками, пригодной в дальнейшем для практического использова- ния: анализ процесса, прогнозирование и прочее. Требования комплекса получены опира- 0 0,2 0,4 0,6 0,8 1 1,2 ЛПt МФРП Обобщ.cвастики Равнозначнные Разнозначные 120 ISSN 1028-9763. Математичні машини і системи, 2016, № 4 ясь на принцип Беллмана и процессный подход. Выполнена структуризация требований посредством диаграммы Исикава, представленной в табличной форме. Эти требования взаимосвязаны и относятся как к конструированию матрицы эксперимента, так и к алго- ритмам построения регрессионной модели. При этом эксперимент не разделяется на пас- сивный и активный. Полученная в результате предлагаемого подхода совокупность требований позволя- ет рассматривать построение эмпирической модели как единый процесс без разделения на планирование эксперимента и регрессионный анализ и деления на пассивный и активный эксперименты. При этом понятно, на какие свойства модели влияют отдельные требова- ния. Требования к плану и алгоритмам построения модели получают обоснование исходя из целей построения модели, а их выбор становится осознанным и соответствующим це- лям конкретного математического моделирования. В дальнейшем предполагается детализация и установление значимости отдельных требований в зависимости от конкретных целей математического моделирования и осо- бенностей предметной области. СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ 1. Финни Д. Введение в теорию планирования эксперимента / Финни Д. – М.: Наука, ГРФМЛ, 1970. – 287 с. 2. Шенк Х. Теория инженерного эксперимента / Шенк Х. – М.: Мир, 1972. – 381 с. 3. Математическая теория планирования эксперимента / Под ред. Ермакова С.М. – М.: Наука, 1983. – 392 с. 4. Ермаков С.М. Математическая теория планирования эксперимента / С.М. Ермаков, А.А. Жиглявский. – М.: Наука, 1987. – 320 с. 5. Налимов В.В. Логические основания планирования эксперимента / В.В. Налимов, Т.И. Голикова. – [2-е изд. перераб. и доп.]. – М.: Металлургия, 1981. – 180 с. 6. Бродский В.З. Многофакторные регулярные планы / Бродский В.З. – М.: Изд-во МГУ, 1972. – 218 с. 7. Таблицы планов эксперимента для факторных и полиномиальных моделей / В.З. Бродский, Л.И. Бродский, Т.И. Голикова [и др.]. – М.: Металлургия, 1972. – 752 с. 8. Лапач С.Н. Статистические методы в фармакологии и маркетинге фармацевтического рынка / Лапач С.Н., Пасечник М.Ф., Чубенко А.В. – К.: ЗАТ “Укрспецмонтаж”, 1999. – 312 с. 9. Лапач С.Н. Проблемы построения математических моделей экспериментально-статистическими методами / С.Н. Лапач // Прогресивна техніка і технологія машинобудування, приладобудування і зварювального виробництва. Праці НТУУ “КПІ”. – К.: НТУУ “КПІ”, 1998. – Т. 2. – С. 25 – 29. 10. Лапач С.Н. Основные проблемы построения регрессионных моделей / С.Н. Лапач, С.Г. Радчен- ко // Математичні машини і системи. – 2012. – № 4. – С. 125 – 133. 11. Лапач С.Н. Регрессионный анализ. Процессный подход / С.Н. Лапач // Математичні машини і системи. – 2016. – № 1. – C. 129 – 138. 12. Лагутин М.Б. Наглядная математическая статистика / Лагутин М.Б. – М.: БИНОМ. Лаборатория знаний, 2007. – 472 с. 13. Калиткин Н.Н. Численные методы / Калиткин Н.Н. – М.: Наука. ГРФМЛ, 1978. – 512 с. 14. Повышение эффективности метода случайного баланса путем применения ветвящейся страте- гии и электронно-вычислительных машин / Р.И. Слободчикова, В.Л. Фрейдлина, З.С. Лапина [и др.] // Заводская лаборатория. – 1966. – № 1, Т. 32. – C. 53 – 58. 15. Сравнительный анализ алгоритмов выделения значимых факторов флотационного процесса методом случайного баланса / Л.А. Барский, Ю.Б. Рубинштейн, Р.Н. Слободчикова [и др.] // Завод- ская лаборатория. – 1968. – № 5, Т. 34. – С. 564 – 569. 16. К вопросу о построении матрицы планирования отсеивающего эксперимента / В.Д. Барский, Л.А. Забенко, А.А. Аксенина [и др.] // Заводская лаборатория. – 1971. – № 7, Т. 37. – С. 721 – 825. 17. Лапина З.С. Исследование границ применимости алгоритма случайного баланса / З.С. Лапина, Р.И. Слободчикова // Заводская лаборатория. – 1971. – № 7, Т. 37. – С. 818 – 821. 18. Мешалкин Л.Д. К обоснованию метода случайного баланса / Л.Д. Мешалкин // Заводская лабо- ISSN 1028-9763. Математичні машини і системи, 2016, № 4 121 ратория. – 1970. – № 3, Т. 36. – С. 316 – 318. 19. Дружинин Н.К. Выборочное наблюдение и эксперимент (Общие логические принципы органи- зации) / Дружинин Н.К. – М.: Статистика, 1977. – 176 с. 20. Кохрен У. Методы выборочного исследования / Кохрен У. – М.: Статистика, 1976. – 440 с. 21. Михок Г. Выборочный метод и статистическое оценивание / Г. Михок, В. Урсяну. – М.: Финан- сы и статистика, 1982. – 245 с. 22. Петров Ю.В. Обеспечение достоверности и надежности компьютерных расчетов / Петров Ю.В. – СПб.: БХВ-Петербург, 2008. – 160 с. 23. Петрович М.Л. Регрессионный анализ и его математическое обеспечение на ЕС ЭВМ / Петро- вич М.Л. – М.: Финансы и статистика, 1982. – 199 с. 24. Райс Дж. Матричные вычисления и математическое обеспечение / Райс Дж.; пер. с англ. О.Б. Арушаняна; под ред. В.В. Воеводина. – М.: Мир, 1984. – 264 с. 25. Демиденко Е.З. Линейная и нелинейная регрессии / Демиденко Е.З. – М.: Финансы и статисти- ка, 1981. – 302 с. Стаття надійшла до редакції 29.06.2016

Робастные планы эксперимента

Institution

Ähnliche Einträge