Нелінійний розвиток економічних систем в рамках моделі Лоренца

Розглянуто відомі теоретичні публікації, що стосуются моделі Лоренца, яка описує економічні процеси в рамках теорії детермінованого хаосу. Експериментально доведено, що в моделях економічних систем незначна зміна початкових параметрів може викликати зміну результатів на виході в декілька десятків р...

Повний опис

Збережено в:

Бібліографічні деталі
Дата:	2012
Автори:	Сидоров, Ю.І., Козик, В.В.
Формат:	Стаття
Мова:	Ukrainian
Опубліковано:	Видавничий дім "Академперіодика" НАН України 2012
Назва видання:	Наука та інновації
Теми:	Наукові основи інноваційної діяльності
Онлайн доступ:	http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/114221
Теги:	Додати тег Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
Назва журналу:	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
Цитувати:	Нелінійний розвиток економічних систем в рамках моделі Лоренца / Ю.І. Сидоров, В.В. Козик // Наука та інновації. — 2012. — Т. 8, № 3. — С. 64-72. — Бібліогр.: 24 назв. — укр.

Репозитарії

Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine

id	irk-123456789-114221
record_format	dspace
spelling	irk-123456789-1142212017-03-05T03:02:15Z Нелінійний розвиток економічних систем в рамках моделі Лоренца Сидоров, Ю.І. Козик, В.В. Наукові основи інноваційної діяльності Розглянуто відомі теоретичні публікації, що стосуются моделі Лоренца, яка описує економічні процеси в рамках теорії детермінованого хаосу. Експериментально доведено, що в моделях економічних систем незначна зміна початкових параметрів може викликати зміну результатів на виході в декілька десятків разів, що підтверджує сильно нелінійний характер розвитку цих систем. Показано, що за різних співвідношень констант утворюються точкові атрактори, дивний атрактор і атрактор типу «граничний цикл». Це розширює можливості моделі для практичного використання як прогнозувального інструменту. Рассмотрены известные теоретические публикации, касающиеся модели Лоренца, описывающей экономические процессы в рамках теории детерминированного хаоса. Экспериментально установлено, что в экономических системах незначительное изменение начальных параметров может вызывать изменение результатов на выходе в несколько десятков раз, что подтверждает сильно нелинейный характер развития этих систем. Показано, что при разных соотношениях констант рассматриваемой модели образуются точечные аттракторы, странный аттрактор и аттрактор типа «предельный цикл». Это расширяет возможности модели для практического использования в качестве прогностического инструмента. The known theoretical publications concerning the model of Lorenz, which describes economic processes in framework of the determined chaos theory, had considered. It is experimentally established, that in economic systems a minor alteration of initial parameters can cause change of the outlet results in several tens times that confirms strongly nonlinear character of these systems development. It is shown, that different types of attractors, such as the dot attractors, strange attractor and attractor of a «limiting cycle» type, are formed at different parities of constants of the model under consideration. It expands possibilities of model for practical use in quality of the prognostic tool. 2012 Article Нелінійний розвиток економічних систем в рамках моделі Лоренца / Ю.І. Сидоров, В.В. Козик // Наука та інновації. — 2012. — Т. 8, № 3. — С. 64-72. — Бібліогр.: 24 назв. — укр. 1815-2066 DOI: doi.org/10.15407/scin8.03.064 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/114221 uk Наука та інновації Видавничий дім "Академперіодика" НАН України
institution	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
collection	DSpace DC
language	Ukrainian
topic	Наукові основи інноваційної діяльності Наукові основи інноваційної діяльності
spellingShingle	Наукові основи інноваційної діяльності Наукові основи інноваційної діяльності Сидоров, Ю.І. Козик, В.В. Нелінійний розвиток економічних систем в рамках моделі Лоренца Наука та інновації
description	Розглянуто відомі теоретичні публікації, що стосуются моделі Лоренца, яка описує економічні процеси в рамках теорії детермінованого хаосу. Експериментально доведено, що в моделях економічних систем незначна зміна початкових параметрів може викликати зміну результатів на виході в декілька десятків разів, що підтверджує сильно нелінійний характер розвитку цих систем. Показано, що за різних співвідношень констант утворюються точкові атрактори, дивний атрактор і атрактор типу «граничний цикл». Це розширює можливості моделі для практичного використання як прогнозувального інструменту.
format	Article
author	Сидоров, Ю.І. Козик, В.В.
author_facet	Сидоров, Ю.І. Козик, В.В.
author_sort	Сидоров, Ю.І.
title	Нелінійний розвиток економічних систем в рамках моделі Лоренца
title_short	Нелінійний розвиток економічних систем в рамках моделі Лоренца
title_full	Нелінійний розвиток економічних систем в рамках моделі Лоренца
title_fullStr	Нелінійний розвиток економічних систем в рамках моделі Лоренца
title_full_unstemmed	Нелінійний розвиток економічних систем в рамках моделі Лоренца
title_sort	нелінійний розвиток економічних систем в рамках моделі лоренца
publisher	Видавничий дім "Академперіодика" НАН України
publishDate	2012
topic_facet	Наукові основи інноваційної діяльності
url	http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/114221
citation_txt	Нелінійний розвиток економічних систем в рамках моделі Лоренца / Ю.І. Сидоров, В.В. Козик // Наука та інновації. — 2012. — Т. 8, № 3. — С. 64-72. — Бібліогр.: 24 назв. — укр.
series	Наука та інновації
work_keys_str_mv	AT sidorovûí nelíníjnijrozvitokekonomíčnihsistemvramkahmodelílorenca AT kozikvv nelíníjnijrozvitokekonomíčnihsistemvramkahmodelílorenca
first_indexed	2025-07-08T07:08:09Z
last_indexed	2025-07-08T07:08:09Z
_version_	1837061626385137664
fulltext	64 Наука та інновації. 2012. Т. 8. № 3. С. 64—72. © Ю.І. СИДОРОВ, В.В. КОЗИК, 2012 Ю.І. Сидоров, В.В. Козик Інститут економіки і менеджменту Національного університету «Львівська політехніка», Львів НЕЛІНІЙНИЙ РОЗВИТОК ЕКОНОМІЧНИХ СИСТЕМ В РАМКАХ МОДЕЛІ ЛОРЕНЦА Розглянуто відомі теоретичні публікації, що стосуются моделі Лоренца, яка описує економічні процеси в рамках теорії детермінованого хаосу. Експериментально доведено, що в моделях економічних систем незначна зміна по- чаткових параметрів може викликати зміну результатів на виході в декілька десятків разів, що підтверджує сильно нелінійний характер розвитку цих систем. Показано, що за різних співвідношень констант утворюються точкові ат- рактори, дивний атрактор і атрактор типу «граничний цикл». Це розширює можливості моделі для практичного вико- ристання як прогнозувального інструменту. К л ю ч о в і с л о в а: детермінований хаос, модель Лоренца, розвиток економічних систем. Незадовільні результати аналітичних про- гнозувань кризових економічних явищ зму- шують фахівців звертатися до нетрадиційних методів опису динаміки розвитку і передба- чення, зокрема до методів теорії детермінова- ного (невипадкового і закономірного) хаосу [1–3]. Така спроба датована ще 1988 роком [4], хоча ідею застосування цієї теорії в економіч- них дослідженнях у загальних рисах ще в 70-х роках ХХ ст. висунув відомий фізик, біолог і еколог Р. Мей [5]. Зазначимо, що теорія хаосу, яка ґрунтується на нелінійній динаміці, описує поведінку ди- намічних систем, які надзвичайно чутливі до початкових умов і минулого шляху розвитку для кожної системи окремо (path dependencе). Цю особливість зазвичай називають «ефектом метелика»: випадковий помах крилець мете- лика в Гонконгу може викликати бурю у Фло- риді. Теорія є складовою частиною прикладної математики і застосовується в комп’ютерних науках, інженерії, фізиці, біології, мікробіоло- гії, філософії, політології, метеорології і, зокре- ма, в економіці, особливо у фінансовій сфері. Доведено, наприклад, що випадкова поведінка траєкторії реального обмінного курсу долара пов’язана з хаотичною динамікою [6, 7] і може бути описана методами цієї дисципліни. Однак до сьогодні у багатьох економістів традиційної школи нові методи викликають сумніви, неприйняття і є предметом дискусій. На їх думку, джерело економічних коливань потрібно шукати в екзогенних випадкових по- трясіннях в лінійних економічних системах, які без цих збурень на шляху розвитку пови- нні прямувати до одної єдиної стабільної точ- ки рівноваги. Сьогодні основну увагу еконо- місти неокласичної школи приділяють вияв- ленню закономірностей статичних станів гос- подарської системи. Оскільки з економічної теорії час виключено, то передбачається, що всі досягнення неокласики придатні для на- слідування як інженерні проекти у будь-який момент у будь-якому місці без урахування ми- нулого шляху розвитку [8]. Фахівці з нелінійної динаміки стверджують, що навіть без зовнішніх збурень в економіці 65ISSN 1815-2066. Наука та інновації. T. 8, № 3, 2012 Наукові основи інноваційної діяльності усе одно проявляються коливання цін або ін- ших економічних змінних [9–11], тобто еко- номічні системи розвиваються нелінійно і не- адекватно відповідають на зміну початкових умов внаслідок ендогенних причин. Однією з таких нелінійних систем, яка спро- с товує спрощені погляди вітчизняних рефор- маторів на розвиток економіки, є проста кла- сична система з трьох звичайних диференцій- них рівнянь (ЗДР) Е. Лоренца, що застосову- ється у гідродинаміці [12]. Виявилось, що цією системою рівнянь можна описувати не тільки виникнення турбулентності, але й інші фізич- ні хаотичні явища [13]. Довгий час ця система використовувалася в чисто теоретичних до- слідженнях нелінійної динаміки в області фі- зики, однак сьогодні її намагаються викорис- товувати в теоретичних і прикладних еконо- мічних дослідженнях. Проте зазначимо, що потенціал системи Лоренца, як і інших багато- чисельних інструментів теорії хаосу, в цій об- ласті ще повністю не використовується [14]. Оскільки система Лоренца серед економіс- тів мало відома, то висвітлення результатів те- оретичних досліджень для подальшої розроб- ки практичної прогнозувальної методики не- лінійного розвитку української економіки ми вважаємо актуальною задачею. Метою нашої роботи є аналіз відомих досліджень, що стосу- ються системи Лоренца з економічного погля- ду, і експериментальне дослідження деяких особливостей системи, відсутніх у літературі. Наведемо систему Лоренца у класичному вигляді: , (1) де Х, Y, Z – незалежні змінні; a, r, b – дійсні по- зитивні параметри. При фізичних дослідженнях виникнення тур- булентності потоків вважалося, що змінна Х є швидкість конвективного обміну: змінні Y і Z – це відповідно горизонтальна і вертикальна ва- ріації температури; три параметри a, r і b пропо- рційні відповідно числу Прандля, числу Релея (r вводить в систему, що розвивається, позитив- ний зворотний зв’язок) і деякому коефіцієнту, який відбиває фізичні властивості області, що розглядається. Система рівнянь Лоренца відноситься до задачі взаємодії трьох тіл. Вони взагалі не ін- тегруються і багаточисельні спроби звести системи цих рівнянь до таких, що інтегрують- ся, виявилися безрезультатними. Ці спроби були припинені Брунсом і Пуанкаре ще напри- кінці ХІХ ст. Саме тому економіку ще іноді на- зивають системою, що не інтегрується за Пу- анкаре. В економічних дослідженнях змінним і па- раметрам цих систем рівнянь надавали різно- го змісту. Зокрема, в роботі [15] система Ло- ренца представлена як функція розподілу по- питу і має вигляд: , (2) де Q – попит; F – виробнича функція, що ви- значається кількістю продукції, виробленої за одиницю часу; p – керуючий параметр, який є умовною ціною; p≡P/U, де P – ціна, U – ліквід- ні кошти (ці параметри задаються, а відношен- ня P/U є відношенням дійсної ціни до наявних коштів); pe – купівельна спроможність насе- лення, тобто pe = rX = rQ; σ ≡ τF / τQ ; δ ≡ τp / τQ – відношення часів релаксації (монотонний ре- жим еволюції реалізується, якщо характерний час зміни попиту τQ набагато перевищує відпо- відні масштаби виробничої функції τF та ціни τp, отже, σ, δ << 1). В системі Олемського та ін. збурюючим па- раметром є відношення купівельної спромож- 66 ISSN 1815-2066. Science and Innovation. T. 8, № 3, 2012 Наукові основи інноваційної діяльності ності населення до попиту. Він може дорівнюва- ти нулю (є попит, але купівельна спроможність населення дорівнює нулю), бути меншим 1 (є попит, але у населення мала купівельна спро- можність), може дорівнювати 1 (рівновага між купівельною спроможністю і попитом), біль- шим 1 (купівельна спроможність набагато пере- вищує попит). В останньому випадку виробник у процесі «полювання за грошима» для приве- дення ринку до рівноваги намагається збільши- ти попит і обсяги виробництва продукції, в тому числі інноваційної. Це приводить до підсилення економіки в цілому. Якщо ж у подальшому по- пит на товар впаде, то можна очікувати ката- строфічного падіння економіки підприємства або національної економіки в цілому. Згідно з В.-Б. Зангом [16] система Лоренца має вигляд: . (3) Параметр а2 визначається як попит на місь- ку продукцію, що нормується на душу насе- лення; параметр а3 інтерпретується як рівень пропозиції продукції усередині міста. Відтак, a2 Y – це загальний попит на міську продукцію, а a3 X – загальний потік міської продукції на міський ринок. Якщо попит більший за пропо- зицію, виробництво має тенденцію до розши- рення, і навпаки. Параметр а1 за суттю є коефі- цієнтом пропорційності. Члени другого рівняння задають зміну чи се- льності міського населення. Величина с2 інтер- претується як попит на працю з боку фірм для виробництва одиниці продукції, відтак с2 Х – це загальний попит на працю на міському рин- ку праці. Параметр с3 визначається як відно- шення чисельності міських жителів, що оби- рають працю в місті, до загальної чисельності міського населення. Величина с3Y задає за- гальну величину пропозиції праці на міському ринку праці. Член c2 X – c3 Y є надлишок по- питу на працю в місті і впливає на напрям мі- грації. Саме цей член і вводить позитивний зворотний зв’язок у систему, збурює її і при- водить в стан детермінованого хаосу. На мігра- цію впливає також величина земельної ренти, оскільки люди обирають для проживання міс- цевості з низькою ціною на землю (квартир- ною платою). Член c4XZ враховує цей фактор. Система Лоренца добре узгоджується з інно- ваційною математичною системою Й. Шумпе- тера, що осцілює, яка складається з двох рівнянь (годинник Шумпетера). Перероблена система Шумпетера відповідно до системи Лоренца в го- ловних рисах добре описує об’єктивний еконо- мічний розвиток систем з перехідною економі- кою, який характеризується особливою нестаці- онарністю і має високу частку невпевненості [14, 17]. Система Лоренца при цьому має вигляд , (4) де N1 – N2 N1 + N2 x = , причому N1 – розширені інвес- тиції, що перевалюють; N2 – інвестиції для ра- ціоналізації технологій; а – так званий аль- тернатор, який визначає економічний клімат; за суттю це є «перемикач», який визначає пе- ревагу інвестора між інвестиціями різних ти- пів: за позитивних значень а перевага відда- ється інвестиціям Е-типу (експансійні інвес- тиції), за від’ємних – інвестиціям R-типу (ра- ціоналізаційні інвестиції); k – координатор (цей параметр описує схильність інвестора уз- годжувати свою поведінку з поведінкою решти інвесторів); A, B, С, a0, a, δ – константи. Праві частини перших двох рівнянь системи (4) і є так звана система годинника Шумпетера. 67ISSN 1815-2066. Наука та інновації. T. 8, № 3, 2012 Наукові основи інноваційної діяльності Економіст В. Бурлачков (Інститут економіки РАН) появу турбулентності в економічних сис- темах пояснює незбіжність швидкості зак лю- чен ня оборудок і швидкості погашення зо бо в’я- зань. Швидкість заключення оборудок забезпе- чується реалізацією товарів і послуг і її можна вважати максимальною швидкістю поширення взаємодії в економічній системі [18]. Між цими подіями-системами виникає різниця швидкос- тей, внаслідок чого і утворюються турбулентні вихорі. Однак зауважимо, що для пояснення причин виникнення турбулентності в еконо- міч них системах В. Бурлачков пропонує звер- татись не до системи рівнянь Е.Н. Лоренца, а до релятивістських перетворень Г.А. Лоренца. Незважаючи на певні досягнення в період 2002–09 років у теоретичному розвитку систе- ми Лоренца стосовно економічних аспектів, прикладів практичного застосування моделей (2–4) ми не знайшли. На рис. 1 наведено одну з проекцій фазового портрету дивного атрактора Лоренца, так зва- ного «метелика Лоренца», одержаного за та- ких умов: Xmin = –20, Xmax = 20, x0 = 0,1; Ymin = –30, Ymax = 30, y0 = 0,1; Zmin = 0, Zmax = 50, z0 = 0,1; a = = 10; r = 28; b = 2,67; t = 30 (все в у.о.). Очевидно, що розвиток системи має автоко- ливальний, аперіодичний і нелінійний харак- тер без будь-яких збурень зовні. Зображена на рис. 1 неперіодична траєкторія (ліворуч) жод- ного разу не перетинається: витки «намотують- ся» один на одного, не наближаючись до стаці- онарного стану. Траєкторії випадково розхо- дяться і випадково наближуються одна до од- ної. Не можна передбачити, які координати буде мати точка траєкторії через деякий час, можна лише впевнено казати, що вона буде зна- ходитися в зоні дивного атрактора. Деякі фахівці в автоколивальному характе- рі системи Лоренца вбачають аналогію з нелі- нійною моделлю Гудвіна – моделлю економіки закритого типу, що розвивається, без еконо- мічної активності держави, яку було опубліко- вано ще в 1950 р. [19]. Модель складається з двох диференційних рівнянь: , (5) де (1 + n) – річний темп приросту населення; (1 + α) – щорічне збільшення середньої про- дуктивності праці; δ – частка праці в націо- нальному доході; υ – показник зайнятості; η – капіталоємність національного доходу; ϑ̂t = N̂t – – n, де N – чисельність населення; ρ і γ – пози- тивні константи. У цій моделі кон’юнктурні цикли виника- ють внаслідок зміни перерозподілу національ- ного доходу між працею і капіталом. Система (4) утворює специфічну систему ЗДР Лоткі— Вольтерра в моделі «хижак—жертва» [20] з від повідними фазовими портретами і часови- ми траєкторіями (рис. 2). З рис. 2 випливає, що модель Гудвіна і сис- тему Лоренца об’єднує циклічність, однак мо- дель Гудвіна є занадто «правильною», періо- Рис. 1. Дивний атрактор Лоренца (ліворуч) і часові тра- єкторії змінних (праворуч) Рис. 2. Фазовий портрет (атрактор типу «граничний цикл») (ліворуч) і часові траєкторії фаз (праворуч) моде- лі Гудвіна δ̂t ϑ̂t 68 ISSN 1815-2066. Science and Innovation. T. 8, № 3, 2012 Наукові основи інноваційної діяльності дичною, симетричною, що не відповідає реаль- ності. Крім того, модель Гудвіна, як і модель Лоткі–Вольтерра, є «негрубою», тобто відкли- кається суттєвими спотвореннями на будь-які зовнішні збурення. Отже, при моделюванні перевагу потрібно віддавати системі Лоренца. Циклічність економічних процесів дозволи- ла навіть провести аналогію з циклічністю змінного електричного струму. Проведемо тест системи Лоренца на неліній- ність. Для цього зменшимо і збільшимо вхі дні параметри і порівняємо координати точ ки В, до якої траєкторії рухаються з точки А. Для нао- чності час процесу зменшимо до 3 у.о. Результа- ти наведено на рис. 3 і в таблиці. Відтак, зміна вхідних параметрів на 1–3 % ви- кликала зміну вихідних параметрів на 40–80 %, тобто в декілька десятків разів (випадково коор- динати точки В можуть і не змінитися), що свід- чить про сильну нелінійність системи Лоренца (і економічних систем взагалі). Таку неліній- ність в аналітичних розрахунках методами нео- класичної економіки врахувати неможливо. Можна лише уявити, де опинилась би сис- тема, якщо «умовні реформатори» у поточно- му моменті самодовільно змінили б вхідні дані не на декілька відсотків, а значно більше. З Координати точки В Координати точки В Х Z Стандарт 15,8 28,2 Зменшення параметрів –13,3 зміна на 84,4 % 24,7 зміна на 34,8 % Збільшення параметрів –10 зміна на 63,5 % 40,5 зміна на 12,3 % Рис. 3. Фазові портрети системи Лоренца за різних вхідних параметрів: А – зменшення значень параметрів: a = 9,8 (–2 %); r = 27 (–3,6 %); b = 2,6 (–2,6 %); Б — стандарт: a = 10; r = 28; b = 2,67; В — збільшення значень параметрів: a = 10,2 (+2 %); r = 29 (+3,6 %); b = 2,73 (+ 2,25 %) Рис. 4. Утворення дивного атрактора Лоренца з різних точок фазового простору за умови t = 30 у.о. 69ISSN 1815-2066. Наука та інновації. T. 8, № 3, 2012 Наукові основи інноваційної діяльності цього приводу вважаємо доцільним навести дві цитати. Еконофізик проф. Д. С. Чернав- ський (ФІАН) зауважує: «Якщо знаходяться люди, які говорять: «давайте зруйнуємо усю планову систему», – катастрофа неминуча. В Японії, наприклад, планова система сьогодні превалює над ринковою» [21], а докт. філо- софії (ІФ РАН) В. Федотова говорить: «за такої практики порядок може народитись без нас, після нас, зовсім не такий, який ми хочемо» [22]. Утворення дивного атрактора може розпо- чатися з будь-якої початкової точки, що зна- ходиться у полі фазового простору, але в кін- цевому результаті можна спостерігати перехід траєкторій у простір стандартного дивного атрактора (рис. 4). Такий результат не є оче- видним на початку процесів (наприклад, за t = = 1 у.о.) (рис. 5). Дивний атрактор Лоренца утворюється за умови суворо визначених початкових кон- стант: a = 10; r = 28; b = 8/3, однак в реальності константи можуть бути іншими, при цьому утворюються різні фазові портрети. Зокрема, якщо r < ~ 24, то траєкторії прямують до точ- кових атракторів і системи швидко приходить до стану рівноваги через стійкі фокуси (рис. 6). Якщо ж r >> 28, то за суттю дивний атрак- тор вироджується в атрактор типу «граничний цикл» з регулярною циклічністю (рис. 7). Зазначені особливості розширюють можли- вості системи Лоренца для опису динаміки економічних процесів. Алгоритм застосуван- ня системи Лоренца для прогнозування еко- номічного розвитку може бути таким: 1. Початкові координати реальних станів сис- теми фіксують в точках А і В, які відповідають t = 0 і, наприклад, проміжкам t = 0,1 (точок може бути більше), і наносять їх хоча б на дві фазові площини (рис. 8). 2. Підбиранням коефіцієнтів a, r і b знахо- дять траєкторію, яка б точно з’єднувала точки А і В (у прикладі a = 10, r = 10, b = 2,67). 3. Знаходять координати точок C, D, E, F – прогноз через певні проміжки часу. Рис. 5. Утворення дивного атрактора Лоренца з різних точок фазового простору за умови t = 1 у.о. Рис. 6. Фазові портрети системи Лоренца, які одержано за умов: А – a = 10; r = 2; b = 2,67; Б – a = 15; r = 5; b = 2; В — a = 1; r = 0; b = 1 А Z X X X Z Z Y Y Y X X X t t t t t t t t t Z Z Z Б В 70 ISSN 1815-2066. Science and Innovation. T. 8, № 3, 2012 Наукові основи інноваційної діяльності Крім того, навіть коли на базі моделі Лорен- ца буде створена методика для практичного використання, ми одержимо прогнозувальний інструмент, який лише констатуватиме можли- вий розвиток подій за умови невтручання дер- жави в економічні процеси. Однак будь-яке грубе планування або, навпаки, самоусування державних органів від регулювання може при- вести, як показано, до негативних наслідків. Водночас треба пам’ятати, що, незважаючи на схожість економічної і біологічної еволюцій за Дарвіним, економічна еволюція може розви- ватись і регулюватись свідомо за Ламарком [23]. При цьому керівнику будь-якого рангу необхідно знати основні принципи синерге- Рис. 8. Фазові площини для прогнозування економічного розвитку в системі Лоренца Рис. 7. Фазовий портрет системи Лоренца за умов: a = 10; r = 600; b = 2,67 Відтак, методами динаміки детермінованого хаосу, зокрема системою Лоренца, можна адек- ватніше описати реальні економічні процеси, що не регулюються і відбуваються самодовіль- но в ринкових середовищах. Проте навіть за зовнішнім видом траєкторій, які показано на представлених рисунках, можна переконатись у складності розробки прогнозувальних мето- дик для практичного використання, тим біль- ше при представленні їх у вигляді комп’ютерних програм. Складність полягає і в інтерпретації змінних і параметрів, що входять до моделі Ло- ренца, для опису розвитку національної еко- номіки взагалі, а також вибору правильного масштабу, в тому числі часового. X X X Y Z ZY t А А А Y X X Z ZY В В В C C C F F F D D D E E E 71ISSN 1815-2066. Наука та інновації. T. 8, № 3, 2012 Наукові основи інноваційної діяльності тичного управління і попадати в резонанс, коли система компетентна до інновацій, гото- ва прийняти їх, тобто необхідне вичікування. Такі принципи сформульовані і опубліковані в [24]. Керування означає переведення систе- ми з одного стану в інший, з одної траєкторії атрактора на іншу. При цьому вимагається за- стосовувати не метод безумовного підкорення адміністрації, а метод врахування компонентів системи (співробітників, служб) так, щоб вони еволюціонували в потрібному темпі і в потріб- ний бік за своїм бажанням. Все це накладає ще більші труднощі математичного обґрунтуван- ня симуляційної моделі розвитку національ- ної економіки на базі моделі Лоренца. Зазначимо, що на сьогодні не існує точного математичного апарату застосування теорії де- термінованого хаосу для економічних дослі- джень, однак дослідники вважають, що це дій- сно найперспективніший напрям математики з погляду прикладних економічних досліджень. На підставі вищесказаного можна зробити такі висновки: 1. Система Лоренца є одним з інструментів для опису процесів, що відбуваються в режимі динамічного детермінованого хаосу. До таких процесів відноситься і некерований розвиток нестаціонарних економічних систем в ринко- вих умовах. 2. Незважаючи на широке теоретичне визна- ння системи, практичного застосування в еко- номічних дослідженнях цей аналітичний інст- ру мент ще не набув, що обумовлено методоло- гічною складністю розробки практичних реко- мендацій застосування системи Лоренца навіть на експертному рівні. Однак систему Лоренца потрібно вважати перспективною базою для розробки методики, яку в подальшому можна використовувати як дорадчий інструмент для осіб, що приймають стратегічні рішення щодо розвитку національної економіки. ЛІТЕРАТУРА 1. Barnett W.A., Hinich M. Has chaos been discovered with economic data? // Nonlinear Dynamics and Evolutionary Economics. – 1993. – Oxford: Oxford University Press. – P. 254–265. 2. Oxley L. Economics on the Edge of Chaos: How does economics deal with complexity and the implications for systems management. – University of Canterbury. New Zealand. – 2004. 3. Ruth M., Hannon B. Modeling dynamic economic sys- tems. Springer-Verlag New York, Inc., 1997. 4. Sterman J.D. Deterministic Chaos in an Experimental Economic System // Working Paper #2040-88 Alfred P. Sloan School of Management, Massachusetts Institute of Technology, July, 1988. – dspace.mit.edu/bitstream/ handle/1721.1/ 47164/... 5. Дж. Россер-мл. Настоящее и будущее эконофизики // Вопросы экономики, 30.11.2009. – finanal.ru/?page=1. 6. Serletis A., Gogas P. Purchasing Power Parity Non linea- ri ty and Chaos // Applied Financial Economics. – 2000. – V. 10. – P. 615–622. 7. Serletis A., Gogas P. Chaos in East European Black Mar- ket Exchange Rates // Research in Economics. – 1997. – V. 51. – P. 359–385. 8. Хикс Д. Стоимость и капитал. – М.: Прогресс, 1993. – 488 с. 9. The Economy as a Complex Evolving System // An der- son P.W., Arrow K.J. & Pines D. (editors). – Redwood City, CA: Addison-Wesley, 1988. 10. Brock W.A., Hsieh D.A., LeBaron, B. Nonlinear Dynamics, Chaos and Instability: Statistical Theory and Economic Evidence. – Cambridge, MA: MIT Press, 1991. 11. Hommes C.H. Financial markets as nonlinear adaptive evo- lutionary systems // Quantitative Finance. – 2001. – V. 1. – P. 149–167. 12. Lorenz E.N. Deterministic non-periodic flow // Journal of Atmospheric Science. – 1963. – V. 20. – Р. 130–141. 13. Sparrow C. The Lorenz Equation, Bifurcation, Chaos, and Strange Attractors. – Berlin-Heidelberg: Springer, 1982. 14. Andrášik L., Krempaský J. Emergencia deterministického chaosu: ohraničená pasáž v evolúcii ekonomiky // Eko- no mický časopis. – 2002. – № 6. – P. 1076–1099. 15. Олємськой О.І, Ющенко О.В., Кохан С.В. Синергетич- на модель економічної структури суспільства // Жур- нал фізичних досліджень. – 2004. – T. 8, № 3. – С. 268–278. 16. Занг В.-Б. Синергетическая экономика. Время и пе- ре мены в нелинейной экономической теории: Пер. с англ. – М.: Мир, 1999. – 355 с. 17. Krempaský J., Kluvánek P. Universality of Lorenz System of Equations // Acta Fac. Paed. Univ. Tyrnaviensis, Ser. C. – 2009. – № 13. – P. 53–57. 18. Бурлачков В. Турбулентность экономических про- цес сов: теоретические аспекты // Вопросы эко но ми- ки. – 2009. – № 11. – vopreco.ru/rus/archive.files/ n11_2009.html. 72 ISSN 1815-2066. Science and Innovation. T. 8, № 3, 2012 Наукові основи інноваційної діяльності 19. Goodwin R. M. A non-linear theory of the cycle // Rev. of Economics and Statistics. – 1950. – V. 32, № 4. – P. 316–332. 20. Козик В.В., Сидоров Ю.І. Проблеми застосування моделі Лоткі-Вольтерра «хижак-жертва» в економічній прак- тиці // Наука та інновації. – 2011. – № 1. – С. 5–15. 21. Интервью с проф. Д. С. Чернавским, 2003. – http:// www.peoples.ru/science/physics/chernavskiy/index.html. 22. Федотова В. Управляемый хаос // «ИНТЕЛРОС – Ин- телектуальная Россия». – http://www.intelros.ru/2007/ 02/13/print:page,1,valentina_fedotova_upravljae myjj_ khaos.html. 23. Ходжсон Дж. Экономическая теория и институты: Манифест современной институциональной эконо- ми ческой теории. – М.: Дело, 2003. – 464 с. 24. Merry U. Coping With Uncertainty: Insights From the New Sciences of Chaos, Self-Organization and Com p le- xity. – Westport, Conn.: Praeger, 1995. – 224 р. – http:// pw2.net.com./~nmerry/coping.htm. Ю.И. Сидоров, В.В. Козик НЕЛИНЕЙНОЕ РАЗВИТИЕ ЭКОНОМИЧЕСКОЙ СИСТЕМЫ В РАМКАХ МОДЕЛИ ЛОРЕНЦА Рассмотрены известные теоретические публикации, касающиеся модели Лоренца, описывающей экономи- ческие процессы в рамках теории детерминированного хаоса. Экспериментально установлено, что в экономи- ческих системах незначительное изменение начальных параметров может вызывать изменение результатов на выходе в несколько десятков раз, что подтверждает силь- но нелинейный характер развития этих систем. Показа- но, что при разных соотношениях констант рассматрива- емой модели образуются точечные аттракторы, стран- ный аттрактор и аттрактор типа «предельный цикл». Это расширяет возможности модели для практического ис- пользования в качестве прогностического инструмента. Ключевые слова: детерминированный хаос, модель Лоренца, развитие экономической системы. Yu.I. Sidorov, V.V. Kozik NONLINEAR DEVELOPMENT OF ECONOMIC SYSTEM WITHIN THE FRAMEWORK OF THE LORENTS MODEL The known theoretical publications concerning the mod- el of Lorenz, which describes economic processes in frame- work of the determined chaos theory, had considered. It is experimentally established, that in economic systems a mi- nor alteration of initial parameters can cause change of the outlet results in several tens times that confirms strongly nonlinear character of these systems development. It is shown, that different types of attractors, such as the dot at- tractors, strange attractor and attractor of a «limiting cycle» type, are formed at different parities of constants of the model under consideration . It expands possibilities of model for practical use in quality of the prognostic tool. Key words: determined chaos, model of Lorenz, de ve- lop ment of the economic system. Стаття надійшла до редакції 01.06.11 << /ASCII85EncodePages false /AllowTransparency false /AutoPositionEPSFiles true /AutoRotatePages /None /Binding /Left /CalGrayProfile (Dot Gain 20%) /CalRGBProfile (sRGB IEC61966-2.1) /CalCMYKProfile (U.S. Web Coated \050SWOP\051 v2) /sRGBProfile (sRGB IEC61966-2.1) /CannotEmbedFontPolicy /Error /CompatibilityLevel 1.4 /CompressObjects /Tags /CompressPages true /ConvertImagesToIndexed true /PassThroughJPEGImages true /CreateJobTicket false /DefaultRenderingIntent /Default /DetectBlends true /DetectCurves 0.0000 /ColorConversionStrategy /CMYK /DoThumbnails false /EmbedAllFonts true /EmbedOpenType false /ParseICCProfilesInComments true /EmbedJobOptions true /DSCReportingLevel 0 /EmitDSCWarnings false /EndPage -1 /ImageMemory 1048576 /LockDistillerParams false /MaxSubsetPct 100 /Optimize true /OPM 1 /ParseDSCComments true /ParseDSCCommentsForDocInfo true /PreserveCopyPage true /PreserveDICMYKValues true /PreserveEPSInfo true /PreserveFlatness true /PreserveHalftoneInfo false /PreserveOPIComments false /PreserveOverprintSettings true /StartPage 1 /SubsetFonts true /TransferFunctionInfo /Apply /UCRandBGInfo /Preserve /UsePrologue false /ColorSettingsFile () /AlwaysEmbed [ true ] /NeverEmbed [ true ] /AntiAliasColorImages false /CropColorImages true /ColorImageMinResolution 300 /ColorImageMinResolutionPolicy /OK /DownsampleColorImages true /ColorImageDownsampleType /Bicubic /ColorImageResolution 1200 /ColorImageDepth -1 /ColorImageMinDownsampleDepth 1 /ColorImageDownsampleThreshold 1.50000 /EncodeColorImages false /ColorImageFilter /DCTEncode /AutoFilterColorImages true /ColorImageAutoFilterStrategy /JPEG /ColorACSImageDict << /QFactor 0.15 /HSamples [1 1 1 1] /VSamples [1 1 1 1] >> /ColorImageDict << /QFactor 0.15 /HSamples [1 1 1 1] /VSamples [1 1 1 1] >> /JPEG2000ColorACSImageDict << /TileWidth 256 /TileHeight 256 /Quality 30 >> /JPEG2000ColorImageDict << /TileWidth 256 /TileHeight 256 /Quality 30 >> /AntiAliasGrayImages false /CropGrayImages true /GrayImageMinResolution 300 /GrayImageMinResolutionPolicy /OK /DownsampleGrayImages true /GrayImageDownsampleType /Bicubic /GrayImageResolution 1200 /GrayImageDepth -1 /GrayImageMinDownsampleDepth 2 /GrayImageDownsampleThreshold 1.50000 /EncodeGrayImages false /GrayImageFilter /DCTEncode /AutoFilterGrayImages true /GrayImageAutoFilterStrategy /JPEG /GrayACSImageDict << /QFactor 0.15 /HSamples [1 1 1 1] /VSamples [1 1 1 1] >> /GrayImageDict << /QFactor 0.15 /HSamples [1 1 1 1] /VSamples [1 1 1 1] >> /JPEG2000GrayACSImageDict << /TileWidth 256 /TileHeight 256 /Quality 30 >> /JPEG2000GrayImageDict << /TileWidth 256 /TileHeight 256 /Quality 30 >> /AntiAliasMonoImages false /CropMonoImages true /MonoImageMinResolution 1200 /MonoImageMinResolutionPolicy /OK /DownsampleMonoImages true /MonoImageDownsampleType /Bicubic /MonoImageResolution 1200 /MonoImageDepth -1 /MonoImageDownsampleThreshold 1.50000 /EncodeMonoImages false /MonoImageFilter /CCITTFaxEncode /MonoImageDict << /K -1 >> /AllowPSXObjects false /CheckCompliance [ /None ] /PDFX1aCheck false /PDFX3Check false /PDFXCompliantPDFOnly false /PDFXNoTrimBoxError true /PDFXTrimBoxToMediaBoxOffset [ 0.00000 0.00000 0.00000 0.00000 ] /PDFXSetBleedBoxToMediaBox true /PDFXBleedBoxToTrimBoxOffset [ 0.00000 0.00000 0.00000 0.00000 ] /PDFXOutputIntentProfile (None) /PDFXOutputConditionIdentifier () /PDFXOutputCondition () /PDFXRegistryName () /PDFXTrapped /False /CreateJDFFile false /Description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> /CHS <FEFF4f7f75288fd94e9b8bbe5b9a521b5efa7684002000410064006f006200650020005000440046002065876863900275284e8e9ad88d2891cf76845370524d53705237300260a853ef4ee54f7f75280020004100630072006f0062006100740020548c002000410064006f00620065002000520065006100640065007200200035002e003000204ee553ca66f49ad87248672c676562535f00521b5efa768400200050004400460020658768633002> /CHT <FEFF4f7f752890194e9b8a2d7f6e5efa7acb7684002000410064006f006200650020005000440046002065874ef69069752865bc9ad854c18cea76845370524d5370523786557406300260a853ef4ee54f7f75280020004100630072006f0062006100740020548c002000410064006f00620065002000520065006100640065007200200035002e003000204ee553ca66f49ad87248672c4f86958b555f5df25efa7acb76840020005000440046002065874ef63002> /CZE <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> /DAN <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> /DEU <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> /ESP <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> /ETI <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> /FRA <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> /GRE <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a stvaranje Adobe PDF dokumenata najpogodnijih za visokokvalitetni ispis prije tiskanja koristite ove postavke. Stvoreni PDF dokumenti mogu se otvoriti Acrobat i Adobe Reader 5.0 i kasnijim verzijama.) /HUN <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> /ITA <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> /JPN <FEFF9ad854c18cea306a30d730ea30d730ec30b951fa529b7528002000410064006f0062006500200050004400460020658766f8306e4f5c6210306b4f7f75283057307e305930023053306e8a2d5b9a30674f5c62103055308c305f0020005000440046002030d530a130a430eb306f3001004100630072006f0062006100740020304a30883073002000410064006f00620065002000520065006100640065007200200035002e003000204ee5964d3067958b304f30533068304c3067304d307e305930023053306e8a2d5b9a306b306f30d530a930f330c8306e57cb30818fbc307f304c5fc59808306730593002> /KOR <FEFFc7740020c124c815c7440020c0acc6a9d558c5ec0020ace0d488c9c80020c2dcd5d80020c778c1c4c5d00020ac00c7a50020c801d569d55c002000410064006f0062006500200050004400460020bb38c11cb97c0020c791c131d569b2c8b2e4002e0020c774b807ac8c0020c791c131b41c00200050004400460020bb38c11cb2940020004100630072006f0062006100740020bc0f002000410064006f00620065002000520065006100640065007200200035002e00300020c774c0c1c5d0c11c0020c5f40020c2180020c788c2b5b2c8b2e4002e> /LTH <FEFF004e006100750064006f006b0069007400650020016100690075006f007300200070006100720061006d006500740072007500730020006e006f0072011700640061006d00690020006b0075007200740069002000410064006f00620065002000500044004600200064006f006b0075006d0065006e007400750073002c0020006b00750072006900650020006c0061006200690061007500730069006100690020007000720069007400610069006b007900740069002000610075006b01610074006f00730020006b006f006b007900620117007300200070006100720065006e006700740069006e00690061006d00200073007000610075007300640069006e0069006d00750069002e0020002000530075006b0075007200740069002000500044004600200064006f006b0075006d0065006e007400610069002000670061006c006900200062016b007400690020006100740069006400610072006f006d00690020004100630072006f006200610074002000690072002000410064006f00620065002000520065006100640065007200200035002e0030002000610072002000760117006c00650073006e0117006d00690073002000760065007200730069006a006f006d00690073002e> /LVI <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> /NLD (Gebruik deze instellingen om Adobe PDF-documenten te maken die zijn geoptimaliseerd voor prepress-afdrukken van hoge kwaliteit. De gemaakte PDF-documenten kunnen worden geopend met Acrobat en Adobe Reader 5.0 en hoger.) /NOR <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> /POL <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> /PTB <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> /RUM <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> /RUS <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> /SKY <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> /SLV <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> /SUO <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> /SVE <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> /TUR <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> /ENU (Use these settings to create Adobe PDF documents best suited for high-quality prepress printing. Created PDF documents can be opened with Acrobat and Adobe Reader 5.0 and later.) /UKR <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> >> /Namespace [ (Adobe) (Common) (1.0) ] /OtherNamespaces [ << /AsReaderSpreads false /CropImagesToFrames true /ErrorControl /WarnAndContinue /FlattenerIgnoreSpreadOverrides false /IncludeGuidesGrids false /IncludeNonPrinting false /IncludeSlug false /Namespace [ (Adobe) (InDesign) (4.0) ] /OmitPlacedBitmaps false /OmitPlacedEPS false /OmitPlacedPDF false /SimulateOverprint /Legacy >> << /AddBleedMarks false /AddColorBars false /AddCropMarks false /AddPageInfo false /AddRegMarks false /ConvertColors /ConvertToCMYK /DestinationProfileName () /DestinationProfileSelector /DocumentCMYK /Downsample16BitImages true /FlattenerPreset << /PresetSelector /MediumResolution >> /FormElements false /GenerateStructure false /IncludeBookmarks false /IncludeHyperlinks false /IncludeInteractive false /IncludeLayers false /IncludeProfiles false /MultimediaHandling /UseObjectSettings /Namespace [ (Adobe) (CreativeSuite) (2.0) ] /PDFXOutputIntentProfileSelector /DocumentCMYK /PreserveEditing true /UntaggedCMYKHandling /LeaveUntagged /UntaggedRGBHandling /UseDocumentProfile /UseDocumentBleed false >> ] >> setdistillerparams << /HWResolution [2400 2400] /PageSize [612.000 792.000] >> setpagedevice

Нелінійний розвиток економічних систем в рамках моделі Лоренца

Репозитарії

Схожі ресурси