Проблеми застосування моделей типу «хижак–жертва» в економічній практиці

Розглянуто причини, через які класичні і модифіковані моделі типу «хижак—жертва» не набули поширення в середовищі економістів-практиків. Це занадто велика спрощеність класичних моделей і занадто велика складність модифікованих дискретних моделей, їх велика різноманітність, що не дає можливості адекв...

Ausführliche Beschreibung

Gespeichert in:

Bibliographische Detailangaben
Datum:	2011
Hauptverfasser:	Козик, В.В., Сидоров, Ю.І.
Format:	Artikel
Sprache:	Ukrainian
Veröffentlicht:	Видавничий дім "Академперіодика" НАН України 2011
Schriftenreihe:	Наука та інновації
Schlagworte:	Наукові основи інноваційної діяльності
Online Zugang:	http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/115290
Tags:	Tag hinzufügen Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
Назва журналу:	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
Zitieren:	Проблеми застосування моделей типу «хижак–жертва» в економічній практиці / В.В. Козик, Ю.І. Сидоров // Наука та інновації. — 2011. — Т. 7, № 1. — С. 5-15. — Бібліогр.: 47 назв. — укр.

Institution

Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine

id	irk-123456789-115290
record_format	dspace
spelling	irk-123456789-1152902017-04-01T03:02:36Z Проблеми застосування моделей типу «хижак–жертва» в економічній практиці Козик, В.В. Сидоров, Ю.І. Наукові основи інноваційної діяльності Розглянуто причини, через які класичні і модифіковані моделі типу «хижак—жертва» не набули поширення в середовищі економістів-практиків. Це занадто велика спрощеність класичних моделей і занадто велика складність модифікованих дискретних моделей, їх велика різноманітність, що не дає можливості адекватно обрати конкретну модель, описати і спрогнозувати поведінку реальних економічних систем, елементи яких до того ж знаходяться в складних взаємовідносинах. Перспективним прогностичним методом аналізу економічних ситуацій на основі різних моделей є cимуляційне комп’ютерне моделювання. При цьому в симуляційних дослідженнях гідне місце моделям «хижак—жертва» може знайтись у низці багатьох правил-рутин, за якими створюється комп’ютерна модель. Рассмотрены причины, из-за которых классические и модифицированные модели типа «хищник—жертва» не приобрели распространения в среде экономистов-практиков. Это слишком большая упрощенность классических моделей и слишком большая сложность модифицированных дискретных моделей, их большое разнообразие, которое не позволяет адекватно избрать конкретную модель, описать и спрогнозировать поведение реальных экономических систем, элементы которых к тому же находятся в сложных взаимоотношениях. Перспективным прогностическим методом анализа экономических ситуаций на основе разных моделей есть симуляционное компьютерное моделирование. При этом в симуляционных исследованиях модель «хищник—жертва» может занять достойное место в ряду многих правил-рутин, за которыми создается компьютерная модель. Reasons of classic and the modified models of «predator— prey» type are not disseminated among practical economists are considered. They are — essential simplification of classic model and complication of the modified discrete models, their large variety, that does not allow adequate choosing of concrete model, describing and forecasting the behaviour of the real economic systems, elements of which have difficult mutual relations. Simulation computer design is a perspective prognostic method of analysis of economic situations on the base of various models. Thus the model of «predator— prey» can find a deserving place in a number of rules-routines by which a computer model is created. 2011 Article Проблеми застосування моделей типу «хижак–жертва» в економічній практиці / В.В. Козик, Ю.І. Сидоров // Наука та інновації. — 2011. — Т. 7, № 1. — С. 5-15. — Бібліогр.: 47 назв. — укр. 1815-2066 DOI: doi.org/10.15407/scin7.01.005 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/115290 uk Наука та інновації Видавничий дім "Академперіодика" НАН України
institution	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
collection	DSpace DC
language	Ukrainian
topic	Наукові основи інноваційної діяльності Наукові основи інноваційної діяльності
spellingShingle	Наукові основи інноваційної діяльності Наукові основи інноваційної діяльності Козик, В.В. Сидоров, Ю.І. Проблеми застосування моделей типу «хижак–жертва» в економічній практиці Наука та інновації
description	Розглянуто причини, через які класичні і модифіковані моделі типу «хижак—жертва» не набули поширення в середовищі економістів-практиків. Це занадто велика спрощеність класичних моделей і занадто велика складність модифікованих дискретних моделей, їх велика різноманітність, що не дає можливості адекватно обрати конкретну модель, описати і спрогнозувати поведінку реальних економічних систем, елементи яких до того ж знаходяться в складних взаємовідносинах. Перспективним прогностичним методом аналізу економічних ситуацій на основі різних моделей є cимуляційне комп’ютерне моделювання. При цьому в симуляційних дослідженнях гідне місце моделям «хижак—жертва» може знайтись у низці багатьох правил-рутин, за якими створюється комп’ютерна модель.
format	Article
author	Козик, В.В. Сидоров, Ю.І.
author_facet	Козик, В.В. Сидоров, Ю.І.
author_sort	Козик, В.В.
title	Проблеми застосування моделей типу «хижак–жертва» в економічній практиці
title_short	Проблеми застосування моделей типу «хижак–жертва» в економічній практиці
title_full	Проблеми застосування моделей типу «хижак–жертва» в економічній практиці
title_fullStr	Проблеми застосування моделей типу «хижак–жертва» в економічній практиці
title_full_unstemmed	Проблеми застосування моделей типу «хижак–жертва» в економічній практиці
title_sort	проблеми застосування моделей типу «хижак–жертва» в економічній практиці
publisher	Видавничий дім "Академперіодика" НАН України
publishDate	2011
topic_facet	Наукові основи інноваційної діяльності
url	http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/115290
citation_txt	Проблеми застосування моделей типу «хижак–жертва» в економічній практиці / В.В. Козик, Ю.І. Сидоров // Наука та інновації. — 2011. — Т. 7, № 1. — С. 5-15. — Бібліогр.: 47 назв. — укр.
series	Наука та інновації
work_keys_str_mv	AT kozikvv problemizastosuvannâmodelejtipuhižakžertvavekonomíčníjprakticí AT sidorovûí problemizastosuvannâmodelejtipuhižakžertvavekonomíčníjprakticí
first_indexed	2025-07-08T08:32:33Z
last_indexed	2025-07-08T08:32:33Z
_version_	1837066935818256384
fulltext	5 Наука та інновації. 2011. Т. 7. № 1. С. 5—15. В.В. Козик, Ю.І. Сидоров Національний університет «Львівська політехніка», Львів ПРОБЛЕМИ ЗАСТОСУВАННЯ МОДЕЛЕЙ ТИПУ «ХИЖАК—ЖЕРТВА» В ЕКОНОМІЧНІЙ ПРАКТИЦІ Розглянуто причини, через які класичні і модифіковані моделі типу «хижак—жертва» не набули поширення в сере- довищі економістів-практиків. Це занадто велика спрощеність класичних моделей і занадто велика складність мо- дифікованих дискретних моделей, їх велика різноманітність, що не дає можливості адекватно обрати конкретну модель, описати і спрогнозувати поведінку реальних економічних систем, елементи яких до того ж знаходяться в складних взаємовідносинах. Перспективним прогностичним методом аналізу економічних ситуацій на основі різних моделей є cимуляційне комп’ютерне моделювання. При цьому в симуляційних дослідженнях гідне місце моделям «хижак—жертва» може знайтись у низці багатьох правил-рутин, за якими створюється комп’ютерна модель. К л ю ч о в і с л о в а: модель «хижак—жертва», прогнозування, комп’ютерна симуляція економічних задач. © В.В. КОЗИК, Ю.І. СИДОРОВ, 2011 Біофізичну класичну математичну модель «хижак—жертва» Лоткі—Вольтерра [1, 2], ві- дому вже понад 70 років, використовують в багатьох галузях науки і техніки [3]. В про- стих технічних системах модель набула попу- лярності завдяки вдалому поєднанню в ній відносно невеликої складності, з одного боку, і сильної нелінійності — з іншого. Модель має високу ступінь універсальності при описуван- ні поведінки складних систем, що працюють в режимі автоколивань. Не є винятком і економіка, в якій вольтеррі- анські моделі розглядаються як перспективні [4]. В опублікованих дослідженнях в ролях «хижака» і «жертви» виступають, наприклад, доходи консолідованого бюджету і ВВП; дохо- ди населення або витік капіталу (хижаки) і до- ходи консолідованого бюджету (жертва) [5]; держава, яка поповнює свої золотовалютні за- паси (або державний бюджет) і ВВП [6]; взає- мовідносини країн (наприклад, США — Росія, США — Китай) [7]; питомі витрати на одини- цю капіталу і питомі доходи на одиницю капі- талу [8]; капіталісти і робочі [9]; чисельність працівників, зайнятих у приватному секторі економіки і в державному [10, 11]; споживач і виробник [12]; попит і пропозиція на валют- ному ринку [13]; виробники (жертва) і керів- ники (хижак) із виробництвом сумісного про- дукту праці [14]; виробники, керівники і інте- лігенція, яка вважається нейтральним про- шарком суспільства, але все ж пригнічує ви- робника [15]. Ще один приклад економічної інтерпретації моделі: чим вище відсоткова ставка за кредитом, тим більше буде лихварів і рантьє, а чим більше останніх, тим нижче жит- тєвий рівень населення. Збирати відсотки не- має з кого, число лихварів зменшується, вини- кають коливання. У цей «трофічний ланцюг» інколи включають частину «банкірів», які теж «погіршують життя» і ряди яких інколи попо- внюються частиною лихварів [16]. Незважаючи на зазначене, модель Лоткі—Во- льтерра «хижак—жертва» (Predator—Prey Mo- dels) та її багаточисельні модифікації у серед- овищі економістів більше відомі як теоретич- 6 ISSN 1815-2066. Science and Innovation. T. 7, № 1, 2011 Наукові основи інноваційної діяльності ні, перспективні конструкції, які поки ще не набули практичного значення як предиктори. Як протилежний приклад можна вказати лише роботу [10], в якій модель «хижак—жертва», хоч і з економетричними елементами, реально використовувалась для розрахунків привати- заційних циклів Великої Британії, Швеції і Росії та для їх порівняння. Відтак, існує проблема практичного застосу- вання моделі «хижак—жертва», хоча сама мо- дель, нехай і в модифікованому вигляді, мож- ливо, заслуговує поширення у повсякденній еко номічній практиці для прогнозування. Якісно найпростішу модель «хижак—жерт- ва» Лоткі—Вольтерра зазвичай описують та- ким чином. Припустимо, що існує велика популяція зай- ців і маленька — вовків. Середовище ізольова- не, стаціонарне і забезпечує в необмеженій кі- лькості зайців-жертв (N). Вовки —хижаки (P) — підростають і активно поїдають зайців. Попу- ляція зайців зменшується, після цього змен- шується і популяція вовків. Якщо вовків мало, то популяція зайців знову збільшується і т.д. При створенні моделі двох взаємодіючих суб’єктів Вольтерра керувався такими осно- вними гіпотезами: 1) їжа або є в необмеженій кількості, або її надходження в часі жорстко регламентоване; 2) особини кожного виду відмирають так, що в одиницю часу гине постійна частка існу- ючих особин; 3) хижі види поїдають жертви, причому в одиницю часу кількість з’їдених жертв завжди пропорційна імовірності зустрічі особин цих двох видів; 4) якщо вид харчується їжею, що наявна в необмеженій кількості, приріст чисельності виду в одиницю часу пропорційний чисель- ності виду; 5) якщо вид харчується їжею, що наявна в обмеженій кількості, то його розмноження ре- гулюється швидкістю споживання їжі. Така регламентація є першою причиною не- відповідності моделі реальним умовам існу- вання систем економічного характеру, які зна- ходяться в складних взаємовідносинах одно- часно з декількома економічними агентами, а не тільки попарно. Найпростіша математична модель «хижак— жертва» (Lotka—Volterra Predator—Prey Dy- na mics) має вигляд: (1) де r1, r2 — питомі миттєві швидкості росту жерт- ви і хижака відповідно; C1, C2 — константи; t — час. Типові траєкторії функцій N і Р згідно з цією моделлю зображено на рис. 1, а фазовий пор- трет (граничний цикл) — на рис. 2 (траєкторії і фазовий портрет одержано в середовищі па- 1 1 2 2 dN = r N –C NP dt dP =C NP – r P dt Рис. 1. Типові траєкторії параметрів N і Р за моделлю (1) Рис. 2. Фазовий портет N і Р за моделлю (1) , , 7ISSN 1815-2066. Наука та інновації. T. 7, № 1, 2011 Наукові основи інноваційної діяльності кету програм Populus 5.4 за таких умов: N0 = = 10; P0 = 10; r1 = 0,9; r2 = 0,9; C1 = 0,5; C2 = 0,5; t = 60 (умовні одиниці). Для біологічної моделі характерна так звана «нейтральна стабільність», яка означає, що популяції необмежено довго здійснюють один і той самий цикл коливань доти, доки якась зо- внішня сила не змінить їх чисельність, після чого популяції будуть здійснювати новий цикл коливань з іншими параметрами. З рис. 1 видно, що значення величин N і Р пе- ріодично і циклічно змінюються в часі відповід- но з певною закономірністю. Така циклічність характерна не для будь-яких економічних про- цесів, а таких, що розвиваються, в основному, в середовищі насиченого ринку, в якому спосте- рігаються явища надвиробництва, зміни пріо- ритетів тощо. Отже, згідно з уявленнями, що склалися в останні десятиріччя, основним рухом моделі є стійкі автоколивання суб’єктів проце- су, і при формулюванні динамічної моделі сис- тема повинна розглядатись як автоколиваль на [17], що також не завжди відповідає реаліям. Крім того, такі «правильні» осциляції, які показані на рис. 1, не є характерними не тільки для економічного середовища, але й для біо- логічного, оскільки в реальних біологічних системах експериментально ніхто не спостері- гав подібних закономірностей: або хижаки по- вністю знищували жертви, або за відсутністю жертв повністю вимирали хижаки: жертви хо- вались або виривались від хижака [18]. Результати реальних спостережень були на- стільки суперечливими, що у 1973 році навіть з’явилася стаття М. Гілпина з характерною на- звою: «Чи з’їдять зайці рись?» [19]. Проте не об- хідно зауважити, що Вольтерра не намагався створити вичерпну методику досліджень, він показав тільки теоретичну основу, суть про цесу, а удосконалення моделі — це справа майбутніх дослідників. Як відзначає Ю.М. Сві ре жев [20, с. 117], «метою Вольтерра був не точний опис якоїсь конкретної ситуації (для цього зазвичай придатні статистичні регресійні моделі), а до- слідження загальних властивостей таких сис- тем». Про недосконалість своєї моделі знав і сам Вольтерра, тому і почав першим її удоско- налювати через введення часу запізнення. Намагання дослідників наблизити теоретич- ні траєкторії до реальних змушує застосовува- ти більш складні системи, в яких жертва може одночасно виступати і як хижак, взаємодіяти з декількома елементами системи, як це, зок- рема, показано в роботі [6] (рис. 3). В таких складних осцілюючих системах неодмінно ви- никне динамічний хаос. Для підтвердження цієї тези наведемо приклад з роботи [21]: «Основні ідеї, пов’язані з прогнозом, можна проілюструвати на прикладі маятника (рис. 4). Рис. 3. Дев’ятиелементна модель соціально-економічної системи (напрям стрілок від «хижака» до «жертви»): Х1 — держава; Х2 — доходи населення; Х3 — валовий внутріш- ній продукт (ВВП); Х4 — рівень вироблення електроенер- гії; Х5 — рівень добування газу; Х6 — вартість газу; Х7 — рівень добування нафти; Х8 — вартість нафти; Х9 — рі- вень вкладення у наукомісткі технології [6] Рис. 4. Найпростіший неперіодичний маятник, що де- монструє динамічний хаос [21] 8 ISSN 1815-2066. Science and Innovation. T. 7, № 1, 2011 Наукові основи інноваційної діяльності Спостереження за цим маятником показують, що з імовірністю 95 % його коливання будуть неперіодичними, з імовірністю 5 % ми побачи- мо періодичний рух. Результат залежить від імпульсу, який ми додали маятнику спочатку. Для маятника можна створити просту ліній- ну модель, яка дасть можливість завбачити, в якому положенні, наприклад, виявляться ма- ленькі кульки через п’ять коливань великої кульки внизу (тут природний часовий промі- жок — період коливань великої кульки). Ви ко- ристовуючи сучасні інформаційні техно ло гії, можна розрахувати, в якому положенні опи- няться вони через двадцять коливань нижньої кульки. Проте ніякими силами не можна пе- редбачити їх положення через шістдесят про- міжків часу». Для наближення моделі до реальних резуль- татів спостережень застосовують різні методи модифікації. Зокрема, вводять обмеження рос- ту популяції «жертв» або «хижаків», яка буде неодмінно необмежено збільшуватись за необ- меженої кількості ресурсів, що не відповідає дійсності, так само, як є нереальним існування необмеженого ринку. Модифікована класична модель Лоткі—Во- ль терра має вигляд: (2) де β1, β2 — ферхюльстівські коефіцієнти вну- трішньовидової конкуренції [22]. На думку Г. Різниченка [2], теоретичний ана ліз моделей взаємодій видів найбільш ви- черпно подано в книзі А. Базикіна [23]. Одна з моделей «хижак—жертва», яку він вивчав, за- писується як (3) де B, D, p — константи. На відміну від моделі (2) замість логістич- ної залежності використовується гіперболічна залежність 1+ N pN , яка схожа на формулу Мо- но, що описує ріст мікроорганізмів від концен- трації субстрату. Така залежність є реалістич- нішою та більше відповідає біологічній суті процесу [24, 25]. Модель поліпшують також введенням часу запізнення аргумента, який визначають мето- дом експериментального підбору числового значення [26], при цьому запізнення приво- дить систему до обов’зкових автоколивань: (4) де τ — усереднений інтервал часу між момен- том загибелі одної особини жертви і моментом відповідного збільшення числа дорослих осо- бин; θ — час запізнення реакції жертв на зміну надходження з оточуючого середовища. В пер- шому рівнянні складник PmN(t–θ), де Рm — по- ліном парного ступеню m, який описує вну- трішньовидову конкуренцію у жертв, що об- межує зростання їх чисельності за відсутністю хижаків. Відомі моделі, які враховують флуктуації па- раметрів [27]; моделі, в яких до одної з функцій просто додають сталу величину [3]; моделі, в які вводять випадкові зовнішні дії для опису- вання реально існуючих в системі стохастич- них процесів [28] та використовують більш сильну нелінійність (модель МакАртура [2]). Крім вольтерріанських моделей «хижак— жертва» існують і інші безперервні моделі. До таких моделей відноситься, зокрема, тета-ло- гістична модель [29, 30], яку вважають реаліс- тичнішою, ніж вольтерріанська: (6) 2 1 1 2 2 2 = – – 1+ = – – 1+ dN N r N BP N dt pN dP N DP r P P dt pN β β 1 1 2 2 = – – – = – – – m dN r N C NP P N(t ) dt dP C N(t )P(t ) r P dt θ τ τ 2 1 1 1 2 2 2 2 dN = r N –C NP – N dt dP =C NP – r P – P dt β β = 1– – = – dN N rN fP dt K dP sP(f D) dt θ⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎢ ⎥⎜ ⎟ ⎝ ⎠⎢ ⎥⎣ ⎦ , , , , , , , , 9ISSN 1815-2066. Наука та інновації. T. 7, № 1, 2011 Наукові основи інноваційної діяльності де f — функціональна відповідь хижака, яку знаходять експериментально, при цьому fP = = C1NP = F (швидкість вилучення особин жерт- ви); К — максимальна величина популяції жертви, яка може бути досягнута за відсутнос- ті хижака; s — коефіцієнт ефективності пере- роблення хижаком їжі в його потомство; D — мінімальна питома швидкість споживання жертв, за якої популяція хижака не зростає, але й не вимирає, тобто народжуваність в ній компенсує смертність. В тета-логістичній моделі для опису росту популяції жертви за відсутності хижаків вво- диться додатковий параметр (показник ступе- ню) — тета (θ), який дозволяє відображати різ- ні типи залежності швидкості росту залежно від густини популяції. Виділяють три типи функціональних відпо- відей: Тип 1. Питома швидкість споживання жерт- ви хижаком лінійно зростає зі збільшенням густини популяції хижака; Тип 2. Цей тип виникає в тих випадках, коли хижак витрачає деякий час на оброблення кож ної жертви і в ці моменти вже не може зай- матися пошуком нових жертв. Фактично вве- дено час запізнення хижака на появу жертви; Тип 3. Цей тип описують S-подібні криві, тоб- то це означає, що за низьких густин жертви швидкість споживання хижаком є невеликою, але потім стрімко збільшується і тільки після цього починає зменшуватись, виходячи на плато. Для прикладу на рис. 5 і 6 показано траєкто- рії N i P, одержані в середовищі пакета програм Populus 5.4 за функціональною відповіддю типу 1 і 2 і за таких параметрів: умовні одиниці N0 = 200; К = 200; P0 = 10; r = 1; D = 0,6; s = 0,6; θ = 1,2; t = 150. З рис. 5 і 6 видно, що одна і та сама модель, але з різними функціональними відповідями, може дати принципово різні результати. В першому випадку жадібність хижака приво- дить до повного виродження жертви, і разом з жертвою в кінцевому результаті щезає і сам хижак. У другому випадку хижак дає час для розмноження жертви і це дає можливість пе- рейти учасникам процесу на стабільну цикліч- ність. Існує також інший вид моделі, в якій вини- кають коливання, що не загасають. Це модель Голлінга—Теннера [31, 32]: (7) де J — кількість жертв, потрібних для підтрим- ки життя одного хижака. Швидкість росту популяції жертв в ній до- рівнює сумі трьох величин: швидкості розмноження за відсутності хи- жаків —rN1; впливу міжвидової конкуренції за обмеже- них ресурсів (вплив обмежених сировинних ресурсів) — rN1 2/K; впливу хижаків у припущенні, що хижак припиняє вбивати, коли насичується — 1 2 1+ N wN D N , де константи w, D > 0. Рис. 5. Траєкторії N і P за θ-логістичною моделлю типу 1 Рис. 6. Траєкторії N і P за θ-логістичною моделлю типу 2 = 1– – + = 1– dN N N rN wP dt K D N dP JP sP dt N ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ , , 10 ISSN 1815-2066. Science and Innovation. T. 7, № 1, 2011 Наукові основи інноваційної діяльності В цій моделі, незважаючи на наявність ви- падкових флуктуацій, система продовжує свій рух по граничному циклу. Модель використовували для опису проце- су вирівнювання цін за рівнем активу. Альтернативною вольтерріанській є також модель «хижак—жертва» А.Н. Колмогорова [33]. Узагальнений вид моделі: (8) . У модель закладено такі припущення: 1) хижаки не взаємодіють один з одним, тобто коефіцієнт розмноження хижаків k2 і число жертв L, що винищуються в одиницю часу одним хижаком, не залежить від Р; 2) приріст числа жертв за наявності хижаків дорівнює приросту у відсутності хижаків мі- нус число жертв, що винищуються хижаками; 3) коефіцієнт розмноження жертв за умов відсутності хижака монотонно спадає із зрос- танням чисельності жертв, що відображає об- меженість харчових і інших ресурсів; 4) із зростанням чисельності жертв коефіці- єнт розмноження хижаків монотонно спадає із зростанням чисельності жертв, переходячи від негативних значень (коли нема чого їсти) до позитивних. У зарубіжній літературі використовується аналогічна модель Розенцвейга—МакАртура [34]: (9) де f(N) — швидкість зміни чисельності жертв за умов відсутності хижаків; Ф(N, P) — інтенсив- ність хижацтва; k — коефіцієнт, що характери- зує ефективність перероблення біомаси жертви в біомасу хижаків; e — смертність хижаків. Модель (9) зводиться до моделі (8) за таких умов: чисельність хижака обмежується лише чи- сельністю жертви; швидкість, з якою особина хижака поїдає жертву, залежить лише від щільності попу- ляції жертв і не залежить від щільності по- пуляції хижаків. Крім бітрофної моделі, існує і тритрофна мо- дель Розенцвейга—МакАртура суперхи жак → → хижак → жертва. Незважаючи на зовніш- ню простоту, розв’язання цієї системи є склад- ною математичною задачею. Для локального зменшення розмірності цієї задачі, яка відно- ситься до групи задач нелінійної динаміки, за- стосовують метод русел і джокерів [35]. Автономні безперервні математичні вольтер- ріанські моделі мають певні недоліки, зокрема вольтерріанська модель є негрубою, тобто за малих збурень в системі припиняється авто- коливальний процес, гине популяція жертв або хижаків і сама система набуває нової якос- ті, що кваліфікується як біфуркація. В цілому прості безперервні моделі «хижак—жертва» на базі моделі Лоткі—Вольтерра мало придат- ні для опису економічних складних систем, тому необхідно враховувати більш тонкі ефек- ти взаємодії, а праві частини рівнянь повинні бути більш нелінійними, ніж у наведених. Для цього потрібно виходити за рамки гіпотез Во- льтерра. Такі моделі, в тому числі моделі сис- тем двох «хижаків» і однієї «жертви» або двох «жертв» і одного «хижака», в яких еволюцій- ним чином виникають дисипативні струк тури, описані в [14, 36]. Крім безперервних моделей відомі моделі «хи- жак—жертва» з дискретним часом, які ство- рені на основі робіт Николсона і Бейлі (Ni cho l- son, Bailey, 1935). В таких моделях чисельність популяцій змінюється не безперервно, а диск- ретно (перервно), при цьому на відміну від без- перервних моделей чисельність N залежить від чисельностей в деякі попередні моменти часу, і для опису динаміки чисельності популяцій за- стосовують апарат різницевих рівнянь (відоб- ра жень). Просте пояснення різницевих рівнянь і відбражень можна знайти, зокрема, в [37]. 1 2 = – = dN k (N)N L(N)P dt dP k (N)P dt Ф( ) Ф( ) dN = f(N)– N,P dt dP =–eP + k N,P dt , , , 11ISSN 1815-2066. Наука та інновації. T. 7, № 1, 2011 Наукові основи інноваційної діяльності Досвід показує, що в таких системах за ма- лих чисельностей N зростає від однієї генера- ції до іншої, а за високих — падає. Ця власти- вість в економіці називається явищем «бумів» і «спа дів». У системі можуть виникати різні ре- жими: монотонне і коливальне наближення до рівноваги, коливальні зміни — цикли різної довжини і квазістохастична поведінка — хаос, а самі моделі є детермінованими об’єктами, що демонструють хаотичну поведінку і мають па- м’ять [2], тобто наступне значення функції за- лежить від попереднього, що характерно для систем, які самоорганізуються. Дискретні мо- делі математично є достатньо складними, для їх аналізу використовуються методи одномір- ного і багатомірного Z-перетворення1 і рівнян- ня дискретного розкладання Вольтерра [38]. Зазначимо, що найновіші дослідження в галу- зі створення дискретних моделей «хижак— жертва» викладено в роботі [39], в якій роз- глянуто рівняння руху системи в дискретному часі і стохастична модель з випадковим запіз- ненням, яка не демонструє «правильної» пове- дінки, властивої класичній моделі. Зокрема, диференціальна система рівнянь руху системи в дискретному часі при збереженні деяких, ра- ніше прийнятих позначень, має вигляд [39]: (10) , де N(t), P(t) — деякі часові функціональні за- лежності; μ — коефіцієнт; μ1 = μ/C1; m — сту- пінь поліному в рівнянні (4); τ — усереднений інтервал часу в моделі (4). У складності розв’язання такої системи (ін- тегральні рівняння руху) можна переконатись, вивчаючи оригінал зазначеної роботи. Отже, можна зробити висновок, що моделі «хижак—жертва» з математичного погляду є зовсім не прості, і це є другою причиною їх об- меженого поширення в середовищі еко но міс- тів-практиків. З короткого екскурсу видно велику різно- манітність моделей «хижак—жертва» (не мен- ше декількох десятків). Отже, не тільки мате- матична складність модифікованих моделей «хижак—жертва», але й велика кількість цих моделей викликає проблему вибору конкрет- них моделей для аналізу конкретних еконо- мічних процесів і це є третьою причиною об- меженого поширення моделей в практичній економіці. Ми зазначали, що автоколивання в еконо- мічних системах, які чітко виявляються, мо- жуть виникнути лише в умовах насиченого ринку, та й то при знаходжені систем в режимі «русла». Мабуть, немає потреби говорити про країни з ринком, що тільки розвиваються, з не- задоволеним попитом навіть на життєво необ- хідні товари, для економік, що знаходяться в режимі «джокера» поблизу точки біфуркації. В таких країнах виникає інша ситуація: «хи- жаком» може стати споживач, вірніше його купівельна спроможність, а «жертвою» — ви- робник, вірніше його продукція (зауважимо, що така сама ситуація виникає і в так званій «економіці намірів» (Intention Economy) в ба- гатих країнах внаслідок існування категорії надактивних покупців, які не готові сидіти і чекати, коли ринок задовольнить їх потреби або сформулює їх. В цій економіці все зводить- ся до того, аби дати споживачеві можливість заявити про свої купівельні наміри, запрошу- ючи продавців посперечатися один з одним за цю операцію [40]). За необхідності споживач може здійснити заміну дорогої продукції на дешеву, наприклад, може частково відмови- тись від споживання м’яса і перейти на крупи, хліб і макаронні вироби, а при зростанні купі- вельної спроможності повернутися до мину- лих стандартів харчування. Очевидно, що тут виникають цикли попиту, але вони викликаю- 1 Z-перетворенням (перетворенням Лорана) називають згортання вихідного сигналу, заданого послідовністю дійсних чисел в часовій області, в аналітичну функцію комплексної частоти, тобто для перетворення числового ряду в безперервну аналогову функцію. 1 1 2 2 1 2 2 = – ( –1) – ( ) ( )– ( ( )) = – (1– ) ( – ) ( – ) ( – ) ( – ) m dN m N C P +C N t P t N t dt dP C P +C N t + dt +C P t +C N t P t ϕμ μ μ τ τ τ τ , 12 ISSN 1815-2066. Science and Innovation. T. 7, № 1, 2011 Наукові основи інноваційної діяльності ть ся не конкуренцією м’яса і макаронів, а збі- льшенням або зменшенням купівельної спро- можності споживача, яка в свою чергу залежить від інших причин, в тому числі і політичного характеру. Дослідити виникнення таких циклів за допомогою математичної моделі «хижак— жертва», а тим більше використати її в таких умовах як предиктор, на наш погляд, є немож- ливим. Це є четвертою причиною обмеженого поширення моделей в реальній економіці. Отже, сьогодні можна вважати, що моделі «хижак—жертва» в економіці мають поки що лише теоретичне значення і з практичного по- гляду вважаються ще малоперспективними, особливо для економік з ринками, що знахо- дяться на стадії розвитку. Зазначимо, що кон- курентну модель Лоткі—Вольтерра ми з успі- хом застосовували для прогнозування розви- тку окремих підприємств [41, 42]. Виходом із ситуації, що склалася, є традицій- не використання регресійних рівнянь, скла де- них на підставі реальних даних (апроксимуючі поліноми). Але застосування їх як предикто- рів вельми проблематично, оскільки суть еко- номічних процесів залишається поза рамками рівнянь, вони є «чорними ящиками», тому і прог- нозування на цій основі можливе лише на де- кілька кроків наперед. Більш сучасним і точ- ним методом вважають використання нейро- мережевих систем, але, незважаючи на успіхи застосування нейронних мереж, вони, як і про- сті методи екстраполяції і апроксимації, мають недолік: вони зовсім не здатні «подовжувати» тренд, оскільки позбавлені фізичної суті про- цесу і так само, як регресійні рівняння, є «чор- ними ящиками». Нейромережа схожа на водія, який, не знаючи устрою свого авта, знає тільки, що якщо натиснути на деякі кнопки в певній послідовності — авто рушить. Система одер- жує дані, але не повідомляє «яким чином вона прийшла до подібних висновків, хоча інколи, на думку користувачів відповідь на питання «як?» є не менше важлива, ніж сам результат» [43]. Тому такі мережі можна використовува- ти лише у випадках, коли ринок стійкий, або (після декомпозиції даних) прогнозувати тренд іншою архітектурою нейронних мереж. Але й це іноді не допомагає. Так, наприклад, при про гнозуванні роботи автоматизованої бан- ків сь кої системи, що працювала з фізичними особа ми, різні нейронні мережі давали різні прогнози щодо відмов системи. В одному ви- падку перша мережа спрогнозувала 17 відмов, друга — 2, третя — 8, а фактично їх було 11. Така модель не допоможе, а тільки заплутає дослідника [44]. Найбільш надійним способом прогнозуван- ня вважають комп’ютерне симуляційне моде- лювання, яке на сьогодні є основним інстру- ментом в еволюційній економіці [45]. Моде- лювання в цій галузі потрібно розглядати як третій шлях досліджень поряд з емпіричним і теоретичним методами, хоча це не може дати універсального знання. За допомогою комп’ю- терного моделювання можна дослідити і спрог- нозувати процеси ринкової рівноваги, спроек- тувати оптимальну ставку оподаткування біз- несу, проаналізувати динаміку циклів і криз, провести оптимальне планування у фірмах, банках, страхових компаніях і пенсійних фон- дах тощо [46]. Створення моделей (симуляційних дослід- жень) відбувається за зовнішньо простим сце- нарієм: 1) визначення зовнішнього середовища; 2) заповнення його деякою кількістю агентів; 3) встановлення правил-рутин, за якими во- ни діють; 4) написання програми, яка відтворює про- цес їх взаємодії у відповідності зі встановле- ними правилами; 5) задання вихідних параметрів; 6) здійснення прогонок; 7) порівняння одержаних результатів з ре- альною картиною; 8) корекція програми. Такий спосіб прогнозування перетворює «чорні ящики» принаймні у «сірі». На наш погляд, гідне місце моделям «хи- жак—жертва» може знайтись в ряду багатьох 13ISSN 1815-2066. Наука та інновації. T. 7, № 1, 2011 Наукові основи інноваційної діяльності правил-рутин, за якими створюється комп’ю- терна симуляційна модель, як це вже зробле- но в моделі [47], але не як самостійний інстру- мент досліджень. Врешті можна зробити такі висновки: 1. Незважаючи на певну аналогію між біо- логічними і економічними системами, для яких характерні автоколивальні процеси, застосу- вання математичних моделей типу «хи жак— жертва» для практичного пояснення і про- гнозування поведінки економічних агентів є проблематичним внаслідок декількох причин: а) занадто простих постулатів класичної моде- лі Лоткі—Вольтерра, які не дають можливості правильно описати і спрогнозувати реальну поведінку навіть біологічних систем; б) занадто високої математичної складності модифікова- них моделей; в) великого розмаїття моделей, що ускладнює вибір конкретної модифікова- ної моделі для опису і прогнозування конкрет- ної економічної ситуації; г) неможливості за- стосування моделей навіть для систем з розви- неним ринком, якщо вони не знаходяться в режимі «русла». 2. Найкращим методом прогнозування склад- них економічних систем, що еволюціонують і знаходяться в складних взаємовідносинах, є симуляційне комп’ютерне моделювання кон- кретних економічних ситуацій, при цьому в си- муляційних дослідженнях гідне місце моделям «хижак—жертва» може знайтися в низці бага- тьох правил, за якими створюється модель, але не як самостійний інструмент досліджень. ЛІТЕРАТУРА 1. Вольтерра В. Математическая теория борьбы за су- ществование (Theorie mathematique de la lutter pour la vie, 1931) / пер. с франц. под ред. Ю.М. Свиреже- ва. — М.: Наука, 1976. — 286 с. 2. Ризниченко Г.Ю. Лекции по математическим моде- лям в биологии. Часть І. — Ижевск: НИЦ Регуляр- ная и хаотическая динамика, 2002. — 232 с. 3. Бураков Ю.Г., Соколов В.А. Обобщение результатов моделирования работы системы циклического газ- лифта в режиме вынужденных колебаний // Нефте- газовое дело, 2005. — Т. 3. — С. 105—117. 4. Романовский М.Ю., Романовский Ю.М. Введение в эко- нофизику. Статистические и динамические модели. — М. — Ижевск: Институт компьютерных исследова- ний, 2007. — 280 с. 5. Васильева Е.А., Андреев В.В. Моделирование динами- ки социально-экономической системы России. — Ма- тематика, компьютер, образование. — http://www.mce. su/rus/sessions/S4/ (2009). 6. Андреев В.В., Карпова О.В. Исследование девяти эле- ментной математической модели социально-эко но- мической системы. — Математика, компьютер, обра- зование. — http://www.mce.su/rus/sessions/S4/ (2009). 7. Андреев В.В., Андреева Е.В., Бурмистрова Л.А. Моде- лирование и исследование динамики взаимодейст- вия сложных конкурирующих систем. — http://www. mce.su/rus/ sessions/S4/ (2009). 8. Маценко А.М. Эколого-экономические принципы мо- делирования циклических колебаний в экономике // Вісник СумДУ. Серія Економіка. — 2007. — № 1. — С. 103—110. 9. Занг В.-Б. Синергетическая экономика. — М.: Мир, 1999. — 335 с. 10. Балацкий Е.В., Екимова Н.А. Конкуренция и при ва ти- зационный цикл: взаимное влияние и механизм со п- ряжения. — http://www.kapital-rus.ru/articles/article/ 175799. 11. Балацкий Е.В. Моделирование процессов межсекто- ральной конкуренции // Общество и экономика. — 2008. — № 5. — С. 54-70. 12. Калюжный Д. Мироведение XXI. Проект «ХРОНО- ТРОН». — http://hronotron. narod.ru/hronotronika/ part3.txt. 13. Герцекович Д.А. Зеркальные пары. Алгоритм «Линза» // Известия ИГЭА. — 2007. — Т. 54, №4. — С. 35—38. 14. Зимина М.В. Математическая модель эволюции и взаимодействия популяций // В сб.: Инфор маци он- ные технологии и программирование: Межвузовс- кий сборник статей. Вып.1 (6). — М.: МГИУ, 2003. — С. 5—18. 15. Лебедева Е.В. Модификация математической моде- ли «жищник—жертва» в социологии, учитывающая предс тавителей нейтральной прослойки общества // Труды Научной конференции по радиофизике. — Н.-Новгород: ННГУ, 2001. — С. 323—324. 16. Вот — одна из священных тайн современности-17. — http://politiko.com.ua/ blogpost8994. 17. Мари Дж. Нелинейные дифференциальные уравне- ния в биологии. Лекции о моделях: Пер. с англ. — М.: Мир, 1983. — 400 с. 18. Gause G.F. The struggle for existence. — Baltimore: Wil- liams and Wilkins, 1934. (Переиздание: New York: Do- ver, 1971); Гаузе Г.Ф Борьба за существование. — Ин- тернет, электронная версия (http://www.ggause.com/ 14 ISSN 1815-2066. Science and Innovation. T. 7, № 1, 2011 Наукові основи інноваційної діяльності titpagru.htm). Глава 6. — http://www.ggause.com/ gaurus06. htm. 19. Gilpin M.E. Do hares eat lynx? // Amer. Naturalist. — 1973. — V. 107, № 957. — P. 727—730. 20. Цит. по: Розенберг Г.С., Рянский Ф.Н. Теоретичес- кая и прикладная экология: Учебное пособие. — 2-е изд. — Нижневартовск: Изд-во Нижневарт. пед. ин- та, 2005. — 292 с. 21. Малинецкий Г.Г., Курдюмов С.П. Нелинейная дина ми- ка и проблемы прогноза // Вестник РАН. — 2001. — 71, №3. — С. 210—213. 22. Verhulst P.F. Recherches Mathematiques sur La Loi D’Ac- croissement de la Population // Nouveaux Memoires de l’Academie Royale des Sciences et Belles-Lettres de Bru xelles. — 1845. — 18, Art. 1. — Р. 1—45. 23. Базыкин А.Д. Математическая биофизика взаимо дейс - т вующих популяций. — М.: Наука, 1985. — 181 с. 24. Сидоров Ю.І. Використання рівняння Моно для іте- раційного розрахунку періодичних процесів фермен- тації // Біотехнологія. — 2010. — Т. 3, № 1. — С. 56—60. 25. Сидоров Ю.І., Козик В.В. Застосування рівняння Мо- но для опису динаміки появи інновацій // Актуальні проблеми економіки. — 2010. — № 3. — С. 268—274. 26. Колесов Ю.С. Математические модели экологии // В сб.: Исследования по устойчивости и теории колеба- ний. — Ярославль: Изд-во ЯрГУ, 1979. — С. 3—40. 27. Музычук О.В. Вероятностные характеристики сис те- мы «хищник—жертва» со случайно изменяющимися параметрами // Изв. вузов. Прикладная нелинейная динамика. — 1997. — Т. 5, № 2. — С. 80—86. 28. Гардинер К.В. Стохастические методы в естественных науках. — М.: Мир, 1986. — 528 с. 29. Ayala F.G., Gilpin M.E., Ehrenfeld J.G. Competition between species: theoretical models and experimental tests // Theoret. popul. biol. — 1974. — V. 4, № 3. — P. 331—356. 30. Кипятков В.Е. Практикум по математическому моде- лированию в популяционной экологии (учебное по- собие). — С.-Пб: С.-Петерб. гос. ун-т, 2002. — 62 с. 31. Holling C.S. Some characteristics of simple types of pre- da tion and parasitism // Canadian Entomologist. — 1959. — V. 91. — P. 385—398. 32. Tanner J.T. The stability and the in trinsic growth rates of prey and predator populations // Ecology. — 1975. — V. 56. — P. 855—867. 33. Колмогоров А.Н. Качественное изучение математи- ческих моделей динамики популяций // Проблемы кибернетики. — 1972. — Вып. 25. — С. 100—106. 34. Rosenzweig M.L., MacArthur R.H. Graphycal re pre sen- tation and stability conditions of predator- prey in te ra c- tions // Amer. Natur. — 1963. — V. 97. — P. 209—223. 35. Зульпукаров М.-Г.М., Малинецкий Г.Г., Подлазов А.В. Метод русел и джокеров на примере исследования системы Розенцвейга-Макартура (2006). — http:// www.keldysh.ru/ papers/ 2006/prep21. 36. Базыкин А.Д. Нелинейная динамика взаимодейству- ющих популяций. — М.: Институт компьютерных исследований, 2003. — 368 с. 37. Белых В.Н. Элементарное введение в качественную теорию и теорию бифуркаций динамических систем // Соровский образовательный журнал. — 1997. — № 1. — С. 115—121. 38. Блюмин С.Л., Шмырин А.М. Окрестностные системы. — Липецк: Липецкий эколого-гуманитарный институт, 2005. — 132 c. 39. Зайцев В.В., Карлов-младший А.В., Телегин С.С. ДВ-мо- дель системы «хищник-жертва» // Вестник СамГУ — Естественнонаучная серия. — 2009. — Т. 72, № 6. — С. 139—148. 40. Гостев А. Экономика намерений. — http://www.dmdays. com.ua/biblioteka/ 256.html. 41. Козик В.В., Сидоров Ю.І., Скворцов І.Б., Тарасовська О.Б. Застосування моделі Лоткі-Вольтерра для опису дуо- польно-дуопсонієвої конкуренції // Актуальні про- блеми економіки. — 2010. — №2(104). — С. 252—260. 42. Тарасовська О.Б., Козик В.В., Сидоров Ю.І. Прогнозу- вання внутрішньофірмової товарної конкуренції // У зб.: Економіка: проблеми теорії та практики. — Дні- пропетровськ: ДНУ, 2009. — Т. IX, випуск 255. — С. 2307—2311. 43. Борт Дж. Прикосновение царя Мидаса. — http:// www.osp.ru/ cw/1996/23/12375. 44. Никольский С.О. Моделирование оценки характерис- тик надежности банковских тиражных программ сис- тем на основе нейросетевых технологий // Авторефе- рат канд. дис. — Брянск: ГОУВПО «Брянский го су- дарственный технический университет», 2006. — 20 с. 45. Silverberg G. Evolutionary Modeling in Economics: Re- cent History and Immediate Prospects // Prepared for the workshop on «Evolutionary Economics as a Sci en- ti fic Research Programme», Stockholm, May 26—27, 1997. — 17 р. — http://www.merit.unu.edu/ pub lica ti- ons/ rmpdf/1997/rm1997-013.pdf. 46. Цисарь И.Ф., Нейман В.Г. Компьютерное моделиро- вание экономики. — М.: Диалог-МИФИ, 2008. — 384 с. 47. Scholz R., Pyka A. A Schumpeterian Model of Energy Markets. — 2009. — V. 40 (5). — P. 418—440. В.В. Козик, Ю.И. Сидоров ПРОБЛЕМЫ ИСПОЛЬЗОВАНИЯ МОДЕЛЕЙ ТИПА «ХИЩНИК—ЖЕРТВА» В ЭКОНОМИЧЕСКОЙ ПРАКТИКЕ Рассмотрены причины, из-за которых классические и модифицированные модели типа «хищник—жертва» 15ISSN 1815-2066. Наука та інновації. T. 7, № 1, 2011 Наукові основи інноваційної діяльності не приобрели распространения в среде экономистов- практиков. Это слишком большая упрощенность клас- сических моделей и слишком большая сложность мо- дифицированных дискретных моделей, их большое разнообразие, которое не позволяет адекватно избрать конкретную модель, описать и спрогнозировать пове- дение реальных экономических систем, элементы ко- торых к тому же находятся в сложных взаимоотноше- ниях. Перспективным прогностическим методом ана- лиза экономических ситуаций на основе разных моде- лей есть симуляционное компьютерное моделирова- ние. При этом в симуляционных исследованиях модель «хищник—жертва» может занять достойное место в ряду многих правил-рутин, за которыми создается компью- терная модель. Ключевые слова: модель «хищник-жертва», прогно- зирование, компьютерная симуляция экономических задач. V.V. Kozik, Y.I. Sidorov PROBLEMS OF «PREDATOR—PREY» MODEL USE IN ECONOMIC PRACTICE Reasons of classic and the modified models of «predator— prey» type are not disseminated among practical economists are considered. They are — essential simplification of classic model and complication of the modified discrete models, their large variety, that does not allow adequate choosing of concrete model, describing and forecasting the behaviour of the real economic systems, elements of which have difficult mutual relations. Simulation computer design is a perspec- tive prognostic method of analysis of economic situations on the base of various models. Thus the model of «predator— prey» can find a deserving place in a number of rules-rou- tines by which a computer model is created. Key words: «predator-prey» model, forecasting, compu- ter simulation of economic problems. Надійшла до редакції 23.06.10

Проблеми застосування моделей типу «хижак–жертва» в економічній практиці

Institution

Ähnliche Einträge