Исследование точности аппроксимации симметричных плотностей вероятности ортогональными представлениями по полиномам Эрмита

Исследованы ошибки аппроксимации симметричных плотностей вероятности типовых распределений с помощью полиномов Эрмита. Проведено сравнение результатов для частных и обобщенных сумм рядов по полиномам Эрмита при числе составляющих ряда до двадцати. Выполнена проверка ортогональных представлений на не...

Ausführliche Beschreibung

Gespeichert in:

Bibliographische Detailangaben
Datum:	2016
1. Verfasser:	Берегун, В.С.
Format:	Artikel
Sprache:	Russian
Veröffentlicht:	Інститут проблем моделювання в енергетиці ім. Г.Є. Пухова НАН України 2016
Schriftenreihe:	Электронное моделирование
Schlagworte:	Применение методов и средств моделирования
Online Zugang:	http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/115759
Tags:	Tag hinzufügen Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
Назва журналу:	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
Zitieren:	Исследование точности аппроксимации симметричных плотностей вероятности ортогональными представлениями по полиномам Эрмита / В.С. Берегун // Электронное моделирование. — 2016. — Т. 38, № 3. — С. 87-97. — Бібліогр.: 18 назв. — рос.

Institution

Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine

id	irk-123456789-115759
record_format	dspace
spelling	irk-123456789-1157592017-04-12T03:02:37Z Исследование точности аппроксимации симметричных плотностей вероятности ортогональными представлениями по полиномам Эрмита Берегун, В.С. Применение методов и средств моделирования Исследованы ошибки аппроксимации симметричных плотностей вероятности типовых распределений с помощью полиномов Эрмита. Проведено сравнение результатов для частных и обобщенных сумм рядов по полиномам Эрмита при числе составляющих ряда до двадцати. Выполнена проверка ортогональных представлений на неотрицательность. Досліджено помилки апроксимації симетричних щільностей імовірності типових розподілів за допомогою поліномів Ерміта. Проведено порівняння результатів для часткових і узагальнених сум рядів по поліномах Ерміта при кількості складових ряду до двадцяти. Виконано перевірку ортогональних подань на невід'ємність. Approximation errors of symmetrical probability density functions of typical distributions using the Hermite polynomials have been described. Comparison of results for the partial and generalized sums of series for the Hermite polynomials is carried out at the number of series components to twenty. Orthogonal representations have been checked for non-negativity. 2016 Article Исследование точности аппроксимации симметричных плотностей вероятности ортогональными представлениями по полиномам Эрмита / В.С. Берегун // Электронное моделирование. — 2016. — Т. 38, № 3. — С. 87-97. — Бібліогр.: 18 назв. — рос. 0204-3572 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/115759 517.518:519.213 ru Электронное моделирование Інститут проблем моделювання в енергетиці ім. Г.Є. Пухова НАН України
institution	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
collection	DSpace DC
language	Russian
topic	Применение методов и средств моделирования Применение методов и средств моделирования
spellingShingle	Применение методов и средств моделирования Применение методов и средств моделирования Берегун, В.С. Исследование точности аппроксимации симметричных плотностей вероятности ортогональными представлениями по полиномам Эрмита Электронное моделирование
description	Исследованы ошибки аппроксимации симметричных плотностей вероятности типовых распределений с помощью полиномов Эрмита. Проведено сравнение результатов для частных и обобщенных сумм рядов по полиномам Эрмита при числе составляющих ряда до двадцати. Выполнена проверка ортогональных представлений на неотрицательность.
format	Article
author	Берегун, В.С.
author_facet	Берегун, В.С.
author_sort	Берегун, В.С.
title	Исследование точности аппроксимации симметричных плотностей вероятности ортогональными представлениями по полиномам Эрмита
title_short	Исследование точности аппроксимации симметричных плотностей вероятности ортогональными представлениями по полиномам Эрмита
title_full	Исследование точности аппроксимации симметричных плотностей вероятности ортогональными представлениями по полиномам Эрмита
title_fullStr	Исследование точности аппроксимации симметричных плотностей вероятности ортогональными представлениями по полиномам Эрмита
title_full_unstemmed	Исследование точности аппроксимации симметричных плотностей вероятности ортогональными представлениями по полиномам Эрмита
title_sort	исследование точности аппроксимации симметричных плотностей вероятности ортогональными представлениями по полиномам эрмита
publisher	Інститут проблем моделювання в енергетиці ім. Г.Є. Пухова НАН України
publishDate	2016
topic_facet	Применение методов и средств моделирования
url	http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/115759
citation_txt	Исследование точности аппроксимации симметричных плотностей вероятности ортогональными представлениями по полиномам Эрмита / В.С. Берегун // Электронное моделирование. — 2016. — Т. 38, № 3. — С. 87-97. — Бібліогр.: 18 назв. — рос.
series	Электронное моделирование
work_keys_str_mv	AT beregunvs issledovanietočnostiapproksimaciisimmetričnyhplotnostejveroâtnostiortogonalʹnymipredstavleniâmipopolinomamérmita
first_indexed	2025-07-08T09:19:32Z
last_indexed	2025-07-08T09:19:32Z
_version_	1837069895658897408
fulltext	ÓÄÊ 517.518:519.213 Â.Ñ. Áåðåãóí, êàíä. òåõí. íàóê Íàöèîíàëüíûé òåõíè÷åñêèé óíèâåðñèòåò Óêðàèíû «Êèåâñêèé ïîëèòåõíè÷åñêèé èí-ò» (Óêðàèíà, 03056, Êèåâ, óë. Ïîëèòåõíè÷åñêàÿ, 16, êîðï. 12, òåë. (044) 2049072, å-mail: viktorberegun@i.ua) Èññëåäîâàíèå òî÷íîñòè àïïðîêñèìàöèè ñèììåòðè÷íûõ ïëîòíîñòåé âåðîÿòíîñòè îðòîãîíàëüíûìè ïðåäñòàâëåíèÿìè ïî ïîëèíîìàì Ýðìèòà Èññëåäîâàíû îøèáêè àïïðîêñèìàöèè ñèììåòðè÷íûõ ïëîòíîñòåé âåðîÿòíîñòè òèïîâûõ ðàñïðåäåëåíèé ñ ïîìîùüþ ïîëèíîìîâ Ýðìèòà. Ïðîâåäåíî ñðàâíåíèå ðåçóëüòàòîâ äëÿ ÷àñòíûõ è îáîáùåííûõ ñóìì ðÿäîâ ïî ïîëèíîìàì Ýðìèòà ïðè ÷èñëå ñîñòàâëÿþùèõ ðÿäà äî äâàäöàòè. Âûïîëíåíà ïðîâåðêà îðòîãîíàëüíûõ ïðåäñòàâëåíèé íà íåîòðèöàòåëüíîñòü. Äîñë³äæåíî ïîìèëêè àïðîêñèìàö³¿ ñèìåòðè÷íèõ ù³ëüíîñòåé ³ìîâ³ðíîñò³ òèïîâèõ ðîç- ïîä³ë³â çà äîïîìîãîþ ïîë³íîì³â Åðì³òà. Ïðîâåäåíî ïîð³âíÿííÿ ðåçóëüòàò³â äëÿ ÷àñòêîâèõ ³ óçàãàëüíåíèõ ñóì ðÿä³â ïî ïîë³íîìàõ Åðì³òà ïðè ê³ëüêîñò³ ñêëàäîâèõ ðÿäó äî äâàäöÿòè. Âèêîíàíî ïåðåâ³ðêó îðòîãîíàëüíèõ ïîäàíü íà íåâ³ä’ºìí³ñòü. Ê ë þ ÷ å â û å ñ ë î â à: ïëîòíîñòü âåðîÿòíîñòè, àïïðîêñèìàöèÿ, ïîëèíîìû Ýðìèòà, îðòîãîíàëüíîå ïðåäñòàâëåíèå, îáîáùåííîå ñóììèðîâàíèå. Äëÿ íàõîæäåíèÿ íåèçâåñòíûõ ïëîòíîñòåé âåðîÿòíîñòè ïðè ðåøåíèè çàäà÷ ðàäèîòåõíèêè [1], ìåòðîëîãèè [2], ôóíêöèîíàëüíûõ ïðåîáðàçîâàíèé ñëó- ÷àéíûõ ïðîöåññîâ [3], èññëåäîâàíèÿ ìîäåëåé øóìîâûõ ñèãíàëîâ [4] è äðóãèõ ÷àñòî ïðèìåíÿþò [3, 5—7] îðòîãîíàëüíûå ïðåäñòàâëåíèÿ ñëåäóþ- ùåãî âèäà [8]: p x x c x k k k( ) ( ) ( )� � � �� 0 , ãäå ck — êîýôôèöèåíòû ðàçëîæåíèÿ; � k x( ) — ñèñòåìà îðòîãîíàëüíûõ ôóíêöèé ñ âåñîâîé ôóíêöèåé� ( )x . Êîýôôèöèåíòû ðàçëîæåíèÿ íàõîäÿò ïî ôîðìóëå c p x x dxk k k� �� 1 2\|\| \|\| ( ) ( ) � � , (1) ãäå \|\| \|\|� k — íîðìà ôóíêöèé � k x( ). ISSN 0204–3572. Ýëåêòðîí. ìîäåëèðîâàíèå. 2016. Ò. 38. ¹ 3 87 Â.Ñ. Áåðåãóí, 2016 Äëÿ ïëîòíîñòåé âåðîÿòíîñòè, áëèçêèõ ê íîðìàëüíîé, èñïîëüçóþòñÿ ðÿäû ïî ïîëèíîìàì Ýðìèòà. Ïóñòü — ñòàíäàðòíàÿ ñëó÷àéíàÿ âåëè÷èíà ñ íåèçâåñòíîé ïëîòíîñòüþ âåðîÿòíîñòè p x( ), x� �� ( ; ), íóëåâûì ìàòåìà- òè÷åñêèì îæèäàíèåì è åäèíè÷íûì ñðåäíèì êâàäðàòè÷åñêèì îòêëîíåíèåì. Òîãäà äëÿ íàõîæäåíèÿ ïëîòíîñòè âåðîÿòíîñòè ïðèìåíÿåòñÿ ðÿä âèäà p x x c H xH k Hk k( ) ( ) ( )� � � �� 0 , (2) ãäå H xk ( ) — ïîëèíîìû Ýðìèòà [5, 9], H x e d dx ek k x k k x ( ) ( )� � � � � � � � � � 1 2 2 2 2 , êîòîðûå îïðåäåëÿþòñÿ íà èíòåðâàëå x� �� ( ; ) ñ âåñîâîé ôóíêöèåé�H x( ) � � � e x2 2 . Ïðè ýòîì \|\| \|\| !H kk 2 2� � . Ñóììà (2) íàçûâàåòñÿ ðÿäîì Ãðàìà— Øàðëüå [3, 5, 6, 10]. Ïðè ïðàê- òè÷åñêîì ïðèìåíåíèè ôîðìóëû (2) âìåñòî áåñêîíå÷íîãî ðÿäà èñïîëüçóåò- ñÿ ÷àñòíàÿ ñóììà ñ êîíå÷íûì ÷èñëîì ñîñòàâëÿþùèõ äî n-ãî ïîðÿäêà: S x x c H xn H k n Hk k( ) ( ) ( )� � �� 0 . (3) Ïðèâåäåì íåñêîëüêî ïåðâûõ ïîëèíîìîâ Ýðìèòà H xk ( ): H x0 1( ) � ; H x x1( ) � ; H x x2 2 1( ) � � ; H x x x3 3 3( ) � � ; H x x x4 4 26 3( ) � � � ; H x x x x5 5 310 15( ) � � � ; H x x x x6 6 4 215 45 15( ) � � � � . Òîãäà ñîãëàñíî (1) êîýôôèöèåíòû ðàçëîæåíèÿ ïðåäñòàâëÿþò ñîáîé ôóíê- öèè íà÷àëüíûõ ìîìåíòîâ � j ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû : cH 0 1 2 � � ; c cH H1 2 0� � ; cH 3 3 1 6 2 � � � ; cH 4 4 1 24 2 3� � � �[ ] ; cH 5 5 3 1 120 2 10� � � � �[ ]; cH 6 6 4 1 720 2 15 30� � � � � �[ ] . Ïîëó÷åííûå ðåçóëüòàòû ñïðàâåäëèâû êàê äëÿ íàõîæäåíèÿ íåèçâåñò- íûõ ïëîòíîñòåé âåðîÿòíîñòè, òàê è äëÿ àïïðîêñèìàöèè èçâåñòíûõ. Â ïåð- âîì ñëó÷àå â êîýôôèöèåíòàõ ðàçëîæåíèÿ èñïîëüçóþòñÿ îöåíêè ìîìåíòîâ, Â.Ñ. Áåðåãóí 88 ISSN 0204–3572. Electronic Modeling. 2016. V. 38. ¹ 3 âî âòîðîì — èõ òåîðåòè÷åñêèå çíà÷åíèÿ. Ñëåäóåò çàìåòèòü, ÷òî ïðè cHk �0 äëÿ âñåõ k �1âûðàæåíèå (3) îïðåäåëÿåò ïëîòíîñòü âåðîÿòíîñòè ñòàíäàðò- íîé íîðìàëüíîé ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû ñ íóëåâûì ìàòåìàòè÷åñêèì îæèäà- íèåì è åäèíè÷íûì ñðåäíèì êâàäðàòè÷åñêèì îòêëîíåíèåì. Â ðàáîòå [11] äëÿ óëó÷øåíèÿ ñõîäèìîñòè è òî÷íîñòè àïïðîêñèìàöèè ïëîòíîñòåé âåðîÿòíîñòè ïðåäëîæåíî êðîìå ÷àñòíûõ ñóìì (4) èñïîëü- çîâàòü îáîáùåííûå ñóììû ñëåäóþùèõ âèäîâ: ñóììû Ôåéåðà, ÿâëÿþùèåñÿ ñðåäíèì àðèôìåòè÷åñêèì n ïåðâûõ ÷àñò- íûõ ñóìì, F x n S xn k n k( ) ( )� � � �1 0 1 ; ñóììû Âàëëå—Ïóññåíà, ïðåäñòàâëÿþùèå ñîáîé ñðåäíåå àðèôìåòè- ÷åñêîå ÷àñòíûõ ñóìì îò S xn ( ) äî S xn2 1� ( ), V x n S xn k n n k( ) ( )� � � �1 2 1 . Ïîñòàíîâêà çàäà÷è. Â ðaáîòå [5] ïðèâåäåíî óñëîâèå ñõîäèìîñòè ðÿäà (2) ê ïëîòíîñòè âåðîÿòíîñòè — ñóùåñòâîâàíèå èíòåãðàëà �� e p x dx x2 4 ( ) . Ñëåäóåò çàìåòèòü, ÷òî äàííîå óñëîâèå íå âûïîëíÿåòñÿ äëÿ òèïîâûõ ðàñ- ïðåäåëåíèé [12], îïðåäåëåííûõ íà áåñêîíå÷íîì èíòåðâàëå äåéñòâèòåëü- íûõ ÷èñåë ( ; )�� (â òîì ÷èñëå è äëÿ ðàññìîòðåííûõ íèæå), çà èñêëþ÷å- íèåì íîðìàëüíîãî ðàñïðåäåëåíèÿ. Îäíàêî áîëåå âàæíûì ÿâëÿåòñÿ íå ñõî- äèìîñòü ðÿäà ïðè èñïîëüçîâàíèè áåñêîíå÷íîãî ÷èñëà ñîñòàâëÿþùèõ, ÷òî ïðàêòè÷åñêè íåâîçìîæíî, à îáåñïå÷åíèå ïðèåìëåìîé òî÷íîñòè ïðè èñ- ïîëüçîâàíèè íåáîëüøîãî ÷èñëà ñîñòàâëÿþùèõ ðÿäà [5, 9]. Íà ïðàêòèêå ÷èñëî ñîñòàâëÿþùèõ â ôîðìóëå (3) îáû÷íî íå áîëåå ÷åòûðåõ [13—15] èëè øåñòè [3, 5, 6]. Âàæíîé çàäà÷åé ÿâëÿåòñÿ òàêæå îáåñïå÷åíèå íåîòðèöà- òåëüíîñòè îðòîãîíàëüíîãî ïðåäñòàâëåíèÿ [14, 16]. Ïîÿâëåíèå îòðèöàòåëü- íûõ çíà÷åíèé ïðîòèâîðå÷èò ñâîéñòâàì ïëîòíîñòè âåðîÿòíîñòè. Áóäåì ðàññìàòðèâàòü ñèììåòðè÷íûå ïëîòíîñòè âåðîÿòíîñòè p x( ), íàèáîëåå ðàñïðîñòðàíåííûå íà ïðàêòèêå. Èññëåäóåì òî÷íîñòü àïïðîêñè- ìàöèè ïëîòíîñòè âåðîÿòíîñòè ïðè óâåëè÷åíèè ÷èñëà ñîñòàâëÿþùèõ êàê ÷àñòíûõ, òàê è îáîáùåííûõ ñóìì, è âûïîëíèì ïðîâåðêó ýòèõ îðòîãîíàëü- íûõ ïðåäñòàâëåíèé íà íåîòðèöàòåëüíîñòü. Îðòîãîíàëüíûå ïðåäñòàâëåíèÿ ïëîòíîñòåé âåðîÿòíîñòè. Ñèììåò- ðè÷íûå ïëîòíîñòè âåðîÿòíîñòè, îïðåäåëåííûå íà áåñêîíå÷íîì èíòåðâàëå Èññëåäîâàíèå òî÷íîñòè àïïðîêñèìàöèè ñèììåòðè÷íûõ ïëîòíîñòåé ISSN 0204–3572. Ýëåêòðîí. ìîäåëèðîâàíèå. 2016. Ò. 38. ¹ 3 89 ( ; )�� , ÿâëÿþòñÿ ÷åòíûìè ôóíêöèÿìè è èìåþò íóëåâîå ìàòåìàòè÷åñêîå îæèäàíèå [12]. Äëÿ òàêèõ ðàñïðåäåëåíèé ñïðàâåäëèâî ñëåäóþùåå: S x S x S x S x F x F x0 1 2 3 1 2( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )� � � � � � � � � �F x F x V x V x3 4 1 2( ) ( ) ( ) ( ). Âñå ýòè ñóììû ñîâïàäàþò ñî ñòàíäàðòíîé íîðìàëüíîé ïëîòíîñòüþ âåðîÿò- íîñòè. Ñîâïàäàþò òàêæå íà÷àëüíûå ~� s è öåíòðàëüíûå ~�s ìîìåíòû ðàñïðå- äåëåíèé. Êðîìå òîãî, ÷àñòíûå ñóììû íå÷åòíûõ ïîðÿäêîâ ðàâíû ÷àñòíûì ñóììàì ïðåäûäóùèõ ïîðÿäêîâ: S x S x5 4( ) ( )� , S x S x7 6( ) ( )� , S x S x9 8( ) ( )� è òàê äàëåå. Èññëåäîâàíèå ïðîâåäåì äëÿ ÷àñòíûõ ñóìì äî äâàäöàòîãî ïîðÿäêà S x20( ). Â ôîðìóëàõ (2), (3) èñïîëüçîâàíû ïîëèíîìû Ýðìèòà äëÿ ñòàíäàðòíûõ ïëîòíîñòåé âåðîÿòíîñòè, ïîýòîìó ïðîèçâîëüíàÿ ñëó÷àéíàÿ âåëè÷èíà ~ ñ ïëîòíîñòüþ âåðîÿòíîñòè ~ ( )p x , íà÷àëüíûìè ìîìåíòàìè ~� s (~�1 0� ) è ñðåä- íèì êâàäðàòè÷åñêèì îòêëîíåíèåì ~ ~� � � 2 äîëæíà áûòü ñâåäåíà ê ñòàí- äàðòíîé ñëó÷àéíîé âåëè÷èíå . Â ýòîì ñëó÷àå ïðåîáðàçîâàíèå èìååò âèä � �� ~ ~, ñòàíäàðòíàÿ ïëîòíîñòü âåðîÿòíîñòè — p x p x( ) ~~ (~ )�� , à ìîìåíòû — � � �s s s� ~ / (~) . Ïðèâåäåì çíà÷åíèÿ òåîðåòè÷åñêèõ ïëîòíîñòåé âåðîÿòíîñòè è èõ îñ- íîâíûõ ÷èñëîâûõ õàðàêòåðèñòèê [12]. Ðàñïðåäåëåíèå Ñòüþäåíòà. Ïëîòíîñòü âåðîÿòíîñòè ~ ( ) ( / ) p x v v v x v v � �� 1 2 2 1 2 1 2 � , ãäå � ( )x — ãàììà-ôóíêöèÿ; v �0 — ïàðàìåòð ôîðìû, ÷èñëî ñòåïåíåé ñâîáîäû. Ñðåäíåå êâàäðàòè÷åñêîå îòêëîíåíèå ~� � � v v 2 ; ìîìåíòû ~ , , , ... ( ) ( ) ( ) . /�s s s v s s v v v � � � � � � � � � � 0 1 3 5 1 1 4 2 íå åòíîå .. ( ) , , . v s s v s � � � � � � � � åòíîå Ðàñïðåäåëåíèå ëîãèñòè÷åñêîå. Ïëîòíîñòü âåðîÿòíîñòè ~ ( ) exp( / ) [ exp( / )] p x x x � � 1 2 , ãäå �0 — ïàðàìåòð ìàñøòàáà. Â.Ñ. Áåðåãóí 90 ISSN 0204–3572. Electronic Modeling. 2016. V. 38. ¹ 3 ÷ ÷ Ñðåäíåå êâàäðàòè÷åñêîå îòêëîíåíèå ~� � � 3 ; ìîìåíòû ~ , , ( ) ( ) \| \|, , � � s s s s s B s � � � � � � � 0 2 2 íå åòíîå åòíîå ãäå Bs — ÷èñëà Áåðíóëëè [17]. Ðàñïðåäåëåíèå ×àìïåðíàóíà. Ïëîòíîñòü âåðîÿòíîñòè ~ ( ) ) p x x � � � !�ch , ãäå� �0 — ïàðàìåòð ìàñøòàáà. Ñðåäíåå êâàäðàòè÷åñêîå îòêëîíåíèå ~� � � � 2 ; ìîìåíòû ~ , , \| \|, , � � "� s s s s E s � � � � � � � � � � � �� 0 íå åòíîå åòíîå ãäå Es — ÷èñëà Ýéëåðà [18]. Ðàñïðåäåëåíèå Ëàïëàñà. Ïëîòíîñòü âåðîÿòíîñòè ~ ( ) exp( \| \|)p x x� � 2 , ãäå �0 — ïàðàìåòð ìàñøòàáà. Ñðåäíåå êâàäðàòè÷åñêîå îòêëîíåíèå ~ /� � 2 ; ìîìåíòû ~ , , ! , . � s s s s s � � � � � � �� 0 íå åòíîå åòíîå Ïðèìåì ñëåäóþùèå çíà÷åíèÿ ïàðàìåòðîâ ðàñïðåäåëåíèé: Ñòüþäåíòà — v = 21, ëîãèñòè÷åñêîãî — = 1, ×àìïåðíàóíà — � = 1, Ëàïëàñà — = 1. Ïðè v = 21 ó ðàñïðåäåëåíèÿ Ñòüþäåíòà ñóùåñòâóþò âñå ìîìåíòû äî äâàä- öàòîãî ïîðÿäêà, äëÿ îñòàëüíûõ ðàñïðåäåëåíèé çíà÷åíèÿ ïàðàìåòðîâ ìàñø- òàáà âëèÿþò òîëüêî íà ìàñøòàá ïëîòíîñòè âåðîÿòíîñòè è íå èçìåíÿþò ñòàíäàðòíîé ïëîòíîñòè âåðîÿòíîñòè. Íà ðèñ. 1 ïðèâåäåíû ãðàôèêè óêàçàííûõ âûøå ñòàíäàðòíûõ ïëîò- íîñòåé âåðîÿòíîñòè. Äëÿ îïðåäåëåíèÿ òî÷íîñòè àïïðîêñèìàöèè ïëîòíîñ- Èññëåäîâàíèå òî÷íîñòè àïïðîêñèìàöèè ñèììåòðè÷íûõ ïëîòíîñòåé ISSN 0204–3572. Ýëåêòðîí. ìîäåëèðîâàíèå. 2016. Ò. 38. ¹ 3 91 ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ òåé âåðîÿòíîñòè îðòîãîíàëüíûìè ïðåäñòàâëåíèÿìè âî âñåõ ñëó÷àÿõ íàé- äåì èíòåãðàëüíóþ îøèáêó: r p x p x dxi i� � �� 1 2 \| ( ) ( )\| , ãäå p x( ) — ñòàíäàðòíàÿ òåîðåòè÷åñêàÿ ïëîòíîñòü âåðîÿòíîñòè; p xi ( ) — ñîîòâåòñòâóþùàÿ àïïðîêñèìàöèÿ. Ïðè àïïðîêñèìàöèè ïëîòíîñòè âåðîÿò- íîñòè äðóãîé ïëîòíîñòüþ ìàêñèìàëüíîå çíà÷åíèå èíòåãðàëüíîé îøèáêè ðàâíî åäèíèöå. Â ñëó÷àå àïïðîêñèìàöèè ÷àñòíûìè èëè îáîáùåííûìè ñóììàìè çíà÷åíèå èíòåãðàëüíîé îøèáêè ìîæåò ïðåâûøàòü åäèíèöó. Â òàáë. 1 ïðèâåäåíû çíà÷åíèÿ èíòåãðàëüíîé îøèáêè ri äëÿ ÷àñòíûõ ñóìì S xn ( ), â òàáë. 2 — äëÿ ñóìì Ôåéåðà F xn ( ), â òàáë. 3 — äëÿ ñóìì Âàëëå—Ïóññåíà V xn ( ). Êóðñèâíûì øðèôòîì â òàáë. 1—3 óêàçàíû çíà- ÷åíèÿ îøèáîê ïðè íàëè÷èè îòðèöàòåëüíûõ çíà÷åíèé â îðòîãîíàëüíîì ïðåäñòàâëåíèè. Çíà÷åíèÿ îøèáêè, ïðåâûøàþùèå åäèíèöó, ñìåùåíû ê ëåâîìó êðàþ. Ïîëóæèðíûì øðèôòîì óêàçàíû ìèíèìàëüíûå çíà÷åíèÿ îøèáîê ñðåäè âñåõ ñóìì äëÿ êàæäîãî ðàñïðåäåëåíèÿ. Ñðåäè ÷àñòíûõ ñóìì íàèëó÷øóþ àïïðîêñèìàöèþ ïëîòíîñòåé âåðîÿò- íîñòè îáåñïå÷èâàåò ñóììà S x4( ) äëÿ âñåõ ðàññìîòðåííûõ ðàñïðåäåëåíèé, çàâèñÿùàÿ òîëüêî îò ÷åòâåðòîãî ìîìåíòà. Ñëåäîâàòåëüíî, èñïîëüçîâàíèå Â.Ñ. Áåðåãóí 92 ISSN 0204–3572. Electronic Modeling. 2016. V. 38. ¹ 3 Ðèñ. 1. Ãðàôèêè ïëîòíîñòåé âåðîÿòíîñòè: 1 — Ëàïëàñà; 2 — ×àìïåðíàóíà; 3 — ëîãèñòè- ÷åñêîå; 4 — Ñòüþäåíòà; 5 — íîðìàëüíîå Èññëåäîâàíèå òî÷íîñòè àïïðîêñèìàöèè ñèììåòðè÷íûõ ïëîòíîñòåé ISSN 0204–3572. Ýëåêòðîí. ìîäåëèðîâàíèå. 2016. Ò. 38. ¹ 3 93 F xn( ) Çíà÷åíèå ri äëÿ ðàñïðåäåëåíèé Ñòüþäåíòà Ëîãèñòè÷åñêîå ×àìïåðíàóíà Ëàïëàñà F5 0,0133 0,0405 0,0658 0,1106 F6 0,0106 0,0313 0,0510 0,0914 F7 0,0096 0,0328 0,0605 0,1150 F8 0,0090 0,0347 0,0693 0,1352 F9 0,0076 0,0238 0,0365 0,0651 F10 0,0065 0,0172 0,0301 0,0957 F11 0,0063 0,0304 0,1102 0,3284 F12 0,0062 0,0542 0,2183 0,6463 F13 0,0053 0,0459 0,3146 1,2441 F14 0,0057 0,1211 0,7497 2,8148 F15 0,0091 0,2020 1,671 7,8737 F16 0,0196 0,4764 3,7359 17,022 F17 0,0511 0,8462 9,3753 54,168 F18 0,1125 1,9886 20,789 116,38 F19 0,6026 4,1746 60,584 428,03 F20 1,2411 9,6047 132,63 911,48 Òàáëèöà 2 S xn( ) Çíà÷åíèå ri äëÿ ðàñïðåäåëåíèé Ñòüþäåíòà Ëîãèñòè÷åñêîå ×àìïåðíàóíà Ëàïëàñà S0 0,0174 0,0543 0,0885 0,1413 S4 0,0034 0,0181 0,0377 0,0992 S6 0,0066 0,0570 0,1411 0,2839 S8 0,0077 0,1090 0,3578 0,8597 S10 0,0163 0,3297 1,4169 4,1699 S12 0,0451 1,1332 6,4576 23,328 S14 0,1836 4,6152 34,829 154,62 S16 1,1589 21,506 215,36 1176 S18 13,3801 113,12 1504,3 10110 S20 503,6837 662,82 11714 96923 Òàáëèöà 1 Â.Ñ. Áåðåãóí 94 ISSN 0204–3572. Electronic Modeling. 2016. V. 38. ¹ 3 V xn( ) Çíà÷åíèå ri äëÿ ðàñïðåäåëåíèé Ñòüþäåíòà Ëîãèñòè÷åñêîå ×àìïåðíàóíà Ëàïëàñà V3 0,0038 0,0115 0,0277 0,0787 V4 0,0027 0,0270 0,0702 0,1555 V5 0,0009 0,0230 0,0905 0,2366 V6 0,0047 0,0913 0,4015 1,213 V7 0,0097 0,2546 1,5334 5,7148 V8 0,0376 0,9421 7,4428 33,964 V9 0,2254 3,981 41,588 232,8 V10 2,4822 19,208 265,26 1822,9 Òàáëèöà 3 à á â ã p x( ) 0,4 0,3 0,2 0,1 0 �# �" $ " # �# �" $ " x 0,5 0,4 0,3 0,2 0,1 0 0,8 0,6 0,4 0,2 0 0,5 0,4 0,3 0,2 0,1 0 Ðèñ. 2. Ãðàôèêè ïëîòíîñòåé âåðîÿòíîñòè (ñïëîøíàÿ ëèíèÿ) è èõ íàèëó÷øèõ àïïðîêñè- ìàöèé (øòðèõîâàÿ ëèíèÿ) äëÿ ðàñïðåäåëåíèé: à — Ñòüþäåíòà; á — ëîãèñòè÷åñêîãî; â — ×àìïåðíàóíà; ã — Ëàïëàñà áîëüøåãî ÷èñëà ñîñòàâëÿþùèõ ÷àñòíûõ ñóìì íå óìåíüøèò èíòåãðàëüíîé îøèáêè. Ñðåäè ñóìì Ôåéåðà íàèëó÷øóþ àïïðîêñèìàöèþ ïëîòíîñòåé âåðîÿò- íîñòè îáåñïå÷èâàþò ñóììû: F x13( ) — äëÿ ðàñïðåäåëåíèÿ Ñòüþäåíòà, F x10( ) — äëÿ ðàñïðåäåëåíèé ×àìïåðíàóíà è ëîãèñòè÷åñêîãî è F x9( ) — äëÿ ðàñïðåäåëåíèÿ Ëàïëàñà. Ñðåäè ñóìì Âàëëå—Ïóññåíà íàèëó÷øóþ àïïðîêñèìàöèþ ïëîòíîñòåé âåðîÿòíîñòè îáåñïå÷èâàþò ñóììû: V x3( ) — äëÿ ðàñïðåäåëåíèé Ëàïëàñà, ×àìïåðíàóíà è ëîãèñòè÷åñêîãî è V x5( ) — äëÿ ðàñïðåäåëåíèÿ Ñòüþäåíòà. Èñïîëüçóÿ îáîáùåííûå ñóììû, ïî äàííûì, ïðèâåäåííûì â òàáë. 1—3, ìîæíî âû÷èñëèòü çíà÷åíèÿ óìåíüøåíèÿ èíòåãðàëüíîé îøèáêè ïî ôîð- ìóëå % � � � r r r S S min %100 , ãäå rS — èíòåãðàëüíàÿ îøèáêà, ñîîòâåòñòâóþùàÿ ÷àñòíîé ñóììå S x4( ), à rmin — ìèíèìàëüíàÿ èíòåãðàëüíàÿ îøèáêà äëÿ äàííîãî ðàñïðåäåëåíèÿ. Â ðåçóëüòàòå ðàñ÷åòà ïîëó÷åíû ñëåäóþùèå çíà÷åíèÿ % äëÿ ðàñïðåäåëåíèé: Ñòüþäåíòà — 73,5 %; ëîãèñòè÷åñêîãî — 36,5 %; ×àìïåðíàóíà — 26,5 %; Ëàïëàñà — 34,4 %. Íà ðèñ. 2 ïðèâåäåíû ãðàôèêè òåîðåòè÷åñêèõ ïëîòíîñòåé âåðîÿòíîñòè è èõ íàèëó÷øèõ àïïðîêñèìàöèé, äëÿ êîòîðûõ çíà÷åíèÿ èíòåãðàëüíûõ îøèáîê óêàçàíû ïîëóæèðíûì øðèôòîì â òàáë. 1—3. Èç ðèñ. 2 âèäíî, ÷òî äëÿ ðàñïðåäåëåíèÿ Ñòüþäåíòà ãðàôèêè ïðàêòè÷åñêè ñîâïàäàþò, à äëÿ îñ- òàëüíûõ ðàñïðåäåëåíèé íàèáîëüøåå îòêëîíåíèå íàáëþäàåòñÿ ïðè x �0. Âûâîäû Ñðåäè âñåõ ðàññìîòðåííûõ âèäîâ îðòîãîíàëüíûõ ïðåäñòàâëåíèé ñèììåò- ðè÷íûõ ïëîòíîñòåé âåðîÿòíîñòè ïî ïîëèíîìàì Ýðìèòà íàèëó÷øóþ àïï- ðîêñèìàöèþ îáåñïå÷èâàþò ÷àñòíûå ñóììû, à èìåííî: ñóììà Ôåéåðà äëÿ ðàñïðåäåëåíèÿ Ëàïëàñà è ñóììû Âàëëå—Ïóññåíà äëÿ ðàñïðåäåëåíèé Ñòüþ- äåíòà, ×àìïåðíàóíà è ëîãèñòè÷åñêîãî. Ïðè ýòîì óìåíüøåíèå èíòåãðàëüíîé îøèáêè â ðåçóëüòàòå èñïîëüçîâàíèÿ îáîáùåííûõ ñóìì ñîñòàâèëî îò 26 äî 73%. Ñ óâåëè÷åíèåì ïîðÿäêà ñóìì çíà÷åíèå èíòåãðàëüíîé îøèáêè ïðåâû- øàåò åäèíèöó è íàáëþäàþòñÿ îòðèöàòåëüíûå çíà÷åíèÿ ïðåäñòàâëåíèé. ÑÏÈÑÎÊ ËÈÒÅÐÀÒÓÐÛ 1. Øåëóõèí Î.È. Íåãàóññîâñêèå ïðîöåññû â ðàäèîòåõíèêå. — Ì.: Ðàäèî è ñâÿçü, 1999. — 287 ñ. 2. Íîâèöêèé Ï.Â., Çîãðàô È.À. Îöåíêà ïîãðåøíîñòåé ðåçóëüòàòîâ èçìåðåíèé. — Ë.: Ýíåðãîàòîìèçäàò, 1991. — 304 ñ. Èññëåäîâàíèå òî÷íîñòè àïïðîêñèìàöèè ñèììåòðè÷íûõ ïëîòíîñòåé ISSN 0204–3572. Ýëåêòðîí. ìîäåëèðîâàíèå. 2016. Ò. 38. ¹ 3 95 3. Äå÷ Ð. Íåëèíåéíûå ïðåîáðàçîâàíèÿ ñëó÷àéíûõ ïðîöåññîâ / Ïåð. ñ àíãë. Á.À. Ñìè- ðåíèíà; ïîä ðåä. Á.Ð. Ëåâèíà. — Ì.: Ñîâ. ðàäèî, 1965. — 208 ñ. 4. Êðàñèëüíèêîâ À.È. Ìîäåëè øóìîâûõ ñèãíàëîâ â ñèñòåìàõ äèàãíîñòèêè òåïëîýíåð- ãåòè÷åñêîãî îáîðóäîâàíèÿ. — Êèåâ: Èí-ò òåõí. òåïëîôèçèêè ÍÀÍ Óêðàèíû, 2014. — 112 ñ. 5. Êðàìåð Ã. Ìàòåìàòè÷åñêèå ìåòîäû ñòàòèñòèêè / Ïåð. ñ àíãë. À.Ñ. Ìîíèíà è À.À. Ïåò- ðîâà; ïîä ðåä. À.Í. Êîëìîãîðîâà. — Ì.: Ìèð, 1975. — 648 ñ. 6. Êåíäàëë Ì, Ñòüþàðò À. Òåîðèÿ ðàñïðåäåëåíèé / Ïåð. ñ àíãë. Â.Â. Ñàçîíîâà, À.Í. Øè- ðÿåâà; ïîä ðåä. À.Í. Êîëìîãîðîâà. — Ì.: Íàóêà, 1966. — 588 ñ. 7. Äåâðîé Ë., Äüåðôè Ë. Íåïàðàìåòðè÷åñêîå îöåíèâàíèå ïëîòíîñòè. L1-ïîäõîä / Ïåð. ñ àíãë. À.Á. Öûáàêîâà; ïîä ðåä. Ì.Á. Ìàëþòîâà. — Ì.: Ìèð, 1988. — 408 ñ. 8. Êðàñèëüí³êîâ Î.²., Áåðåãóí Â.Ñ. Ñèñòåìàòèçàö³ÿ îðòîãîíàëüíèõ ïîäàíü ù³ëüíîñò³ ³ìî- â³ðíîñò³ âèïàäêîâèõ ïðîöåñ³â // Åëåêòðîí³êà òà ñèñòåìè óïðàâë³ííÿ. — 2010. — ¹ 3, (25). — Ñ. 28—35. 9. Ñóåòèí Ï.Ê. Êëàññè÷åñêèå îðòîãîíàëüíûå ïîëèíîìû. — Ì.: Ôèçìàòëèò, 2005. — 480 ñ. 10. Ñåíàòîâ Â.Â. Öåíòðàëüíàÿ ïðåäåëüíàÿ òåîðåìà: Òî÷íîñòü àïïðîêñèìàöèè è àñèìïòî- òè÷åñêèå ðàçëîæåíèÿ. — Ì.: Êíèæíûé äîì «Ëèáðîêîì», 2009. — 352 ñ. 11. Êðàñèëüíèêîâ À.È., Áåðåãóí Â.Ñ. Èñïîëüçîâàíèå ìåòîäîâ îáîáùåííîãî ñóììèðîâàíèÿ ïðè àïïðîêñèìàöèè ïëîòíîñòè âåðîÿòíîñòè // Ýëåêòðîí. ìîäåëèðîâàíèå. — 2015. — 37, ¹ 2. — Ñ. 87—99. 12. Âàäçèíñêèé Ð.Í. Ñïðàâî÷íèê ïî âåðîÿòíîñòíûì ðàñïðåäåëåíèÿì. — ÑÏá.: Íàóêà, 2001. — 295 ñ. 13. Ìàëàõîâ À.Í. Êóìóëÿíòíûé àíàëèç ñëó÷àéíûõ íåãàóññîâûõ ïðîöåññîâ è èõ ïðåîá- ðàçîâàíèé. — Ì.: Ñîâ. ðàäèî, 1978. — 376 ñ. 14. Jondeau E., Rockinger M. Gram-Charlier densities // Journal of Economic Dynamics & Control. — 2001. — Vol. 25. — P. 1457—1483. 15. Çàïåâàëîâ À.Ñ., Ðàòíåð Þ.Á. Àíàëèòè÷åñêàÿ ìîäåëü ïëîòíîñòè âåðîÿòíîñòåé óêëîíîâ ìîðñêîé ïîâåðõíîñòè // Ìîðñêîé ãèäðîôèçè÷åñêèé æóðíàë. — 2003. — ¹ 1. — Ñ. 3—17. 16. Áåðåãóí Â.Ñ., Êðàñèëüí³êîâ Î.². Äîñë³äæåííÿ îáëàñòåé íåâ³ä’ºìíîñò³ ïðè îðòîãîíàëü- íèõ ïîäàííÿõ ù³ëüíîñò³ ³ìîâ³ðíîñòåé // Ýëåêòðîíèêà è ñâÿçü. — 2010. — ¹ 3 (56). — Ñ. 73—78. 17. The Bernoulli Number Page. — [Ýëåêòðîííûé ðåñóðñ]. — Ðåæèì äîñòóïà: http://bernoulli.org/ 18. The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences. — [Ýëåêòðîííûé ðåñóðñ]. — Ðåæèì äîñòóïà: http://oeis.org/A028296 V.S. Beregun RESEARCH OF APPROXIMATION ACCURACY OF SYMMETRICAL PROBABILITY DENSITY FUNCTION BY ORTHOGONAL REPRESENTATIONS USING HERMITE POLYNOMIALS Approximation errors of symmetrical probability density functions of typical distributions using the Hermite polynomials have been described. Comparison of results for the partial and general- ized sums of series for the Hermite polynomials is carried out at the number of series components to twenty. Orthogonal representations have been checked for non-negativity. K e y w o r d s: probability density function, approximation, Hermite polynomials, orthogonal representation, generalized summation. Â.Ñ. Áåðåãóí 96 ISSN 0204–3572. Electronic Modeling. 2016. V. 38. ¹ 3 REFERENCES 1. Shelukhin, O.I. (1998), Negaussovskie protsessy v radiotekhnike [Non-gaussian processes in radio engineering], Radio i sviaz, Moscow, Russia. 2. Novitskii, P.V. and Zograf, I.A. (1991), Otsenka pogreshnostei rezultatov izmerenii [Error estimation in measurement results], Energoatomizdat, St. Petersburg, Russia. 3. Dech, R. (1965), Nelineinye preobrazovaniia sluchainykh protsessov [Nonlinear trasforma- tions of random processes], Translated by Smirenin, B.A., Sov. radio, Moscow, Russia. 4. Krasilnikov, A.I. (2014), Modeli shumovykh signalov v sistemakh diagnostiki teploenerge- ticheskogo oborudovaniia [Models of noise signals in systems of diagnostics of the heat- and-power equipment], Institute of Engineering Thermophysics of NAS of Ukraine, Kyiv, Ukraine. 5. Kramer, G. (1975), Matematicheskie metody statistiki [Mathematical methods of statistics], Translated by Monin, A.S. and Petrov, A.A., Mir, Moscow, Russia. 6. Kendall, M. and Stiuart, A. (1966), Teoriia raspredelenii [Distribution theory], Translated by Sazonov, V.V. and Shiriaev, A.N., Nauka, Moscow, Russia. 7. Devroi, L. and Derfi, L. (1988), Neparametricheskoe otsenivanie plotnosti. L1-podkhod [Nonparametric density estimation. The L1 view], Translated by Tsybakov, A.B., Mir, Mos- cow, Russia. 8. Krasylnikov, O.I. and Beregun, V.S. (2010), “Ordering of orthogonal representations of probability density functions of stochastic processes”, Elektronika ta systemy upravlinnia, no. 3 (25), pp. 28-35. 9. Suetin, P.K. (2005), Klassicheskie ortogonalnye polinomy [Classical orthogonal polynoms], Fizmatlit, Moscow, Russia. 10. Senatov, V.V. (2009), Tsentralnaia predelnaia teorema: Tochnost approksimatsii i asimpto- ticheskie razlozheniia [Central limit theorem: approximation accuracy and asymptotic de- compositions], Knizhnyi dom “Librokom”, Moscow, Russia. 11. Krasilnikov, A.I. and Beregun, V.S. (2015), “Using of the generalized summation methods at approximation of probability density function”, Elektronnoe modelirovanie, Vol. 37, no. 2, pp. 87-99. 12. Vadzinskii, R.N. (2001), Spravochnik po veroiatnostnym raspredeleniiam [Directory on probabilistic distributions], Nauka, St. Petersburg, Russia. 13. Malakhov, A.N. (1978), Kumuliantnyi analiz sluchainykh negaussovykh protsessov i ikh preobrazovanii [Cumulant analysis of random non-gaussian processes and their transforma- tions], Sov. radio, Moscow, Russia. 14. Jondeau, E. and Rockinger, M. (2001), “Gram-Charlier densities”, Journal of Economic Dy- namics & Control, Vol. 25, pp. 1457-1483. 15. Zapevalov, A.S. and Ratner, B.Yu. (2003), “Analytical model of probability density func- tion of sea surface slopes”, Morskoi gidrofizicheskii zhurnal, no. 1, pp. 3-17. 16. Beregun, V.S. and Krasylnikov, O.I. (2010), “Research of non-negativity areas at orthogonal representations of probability density function”, Elektronika i sviaz, no. 3 (56), pp. 73-78. 17. The Bernoulli number page, available at http://bernoulli.org/ 18. The on-line encyclopedia of integer sequences, available at: http://oeis.org/A028296. Ïîñòóïèëà 15.02.16; ïîñëå äîðàáîòêè 28.04.16 ÁÅÐÅÃÓÍ Âèêòîð Ñåðãååâè÷, êàíä. òåõí. íàóê, äîöåíò êàôåäðû àêóñòèêè è àêóñòîýëåêòðî- íèêè ôàêóëüòåòà ýëåêòðîíèêè Íàöèîíàëüíîãî òåõíè÷åñêîãî óíèâåðñèòåòà Óêðàèíû «Êèåâñ- êèé ïîëèòåõíè÷åñêèé èí-ò», êîòîðûé îêîí÷èë â 2004 ã. Îáëàñòü íàó÷íûõ èññëåäîâàíèé — âåðîÿòíîñòíûå õàðàêòåðèñòèêè è ìåòîäû îáðàáîòêè íåãàóññîâûõ ñèãíàëîâ è èõ ôóíêöèî- íàëüíûõ ïðåîáðàçîâàíèé â àêóñòè÷åñêèõ èíôîðìàöèîííûõ ñèñòåìàõ. Èññëåäîâàíèå òî÷íîñòè àïïðîêñèìàöèè ñèììåòðè÷íûõ ïëîòíîñòåé ISSN 0204–3572. Ýëåêòðîí. ìîäåëèðîâàíèå. 2016. Ò. 38. ¹ 3 97

Исследование точности аппроксимации симметричных плотностей вероятности ортогональными представлениями по полиномам Эрмита

Institution

Ähnliche Einträge