О матричных разрешающих функциях в динамических играх сближения
Введены матричные разрешающие функции для исследования игровых задач динамики. Установлены достаточные условия сближения траектории конфликтно-управляемого процесса с цилиндрическим терминальным множеством. Рассмотрены случаи использования преследователем квазистратегий и контруправлений. Проведено...
Збережено в:
| Дата: | 2014 |
|---|---|
| Автори: | , |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Russian |
| Опубліковано: |
Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України
2014
|
| Назва видання: | Кибернетика и системный анализ |
| Теми: | |
| Онлайн доступ: | http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/115787 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Цитувати: | О матричных разрешающих функциях в динамических играх сближения / А.А. Чикрий, Г.Ц. Чикрий // Кибернетика и системный анализ. — 2014. — Т. 50, № 2. — С. 44-63. — Бібліогр.: 40 назв. — рос. |
Репозитарії
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
irk-123456789-115787 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
irk-123456789-1157872017-04-13T03:02:50Z О матричных разрешающих функциях в динамических играх сближения Чикрий, А.А. Чикрий, Г.Ц. Системный анализ Введены матричные разрешающие функции для исследования игровых задач динамики. Установлены достаточные условия сближения траектории конфликтно-управляемого процесса с цилиндрическим терминальным множеством. Рассмотрены случаи использования преследователем квазистратегий и контруправлений. Проведено сравнение гарантированных времен окончания игры для разных схем метода. Теоретические результаты иллюстрируются на модельном примере с простым движением в плоскости. Введено матричні розв’язуючі функції для дослідження ігрових задач динаміки. Встановлено достатні умови зближення траєкторії конфліктно-керованого процесу з циліндричною термінальною множиною. Розглянуто випадки використання переслідувачем квазістратегій та контркерувань. Проведено порівняння гарантованих часів закінчення гри для різних схем методу. Теоретичні результати ілюструються на модельному прикладі з простим рухом в площині. The concept of matrix resolving function is introduced to study dynamic game problems. The sufficient conditions are derived ensuring the possibility for the pursuer to bring the trajectory of a conflict-controlled process to the terminal set. The cases of using quasi-strategies and counter-controls by the pursuer are analyzed separately. Guaranteed times of the game termination for different method’s schemes are compared. The theoretical results are illustrated with a model example of “simple motions” on a plane. 2014 Article О матричных разрешающих функциях в динамических играх сближения / А.А. Чикрий, Г.Ц. Чикрий // Кибернетика и системный анализ. — 2014. — Т. 50, № 2. — С. 44-63. — Бібліогр.: 40 назв. — рос. http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/115787 517.977 ru Кибернетика и системный анализ Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| language |
Russian |
| topic |
Системный анализ Системный анализ |
| spellingShingle |
Системный анализ Системный анализ Чикрий, А.А. Чикрий, Г.Ц. О матричных разрешающих функциях в динамических играх сближения Кибернетика и системный анализ |
| description |
Введены матричные разрешающие функции для исследования игровых задач динамики. Установлены достаточные условия сближения траектории конфликтно-управляемого процесса с цилиндрическим терминальным множеством. Рассмотрены случаи использования преследователем квазистратегий и контруправлений. Проведено сравнение гарантированных времен окончания игры для разных схем метода. Теоретические результаты иллюстрируются на модельном примере с простым движением в плоскости. |
| format |
Article |
| author |
Чикрий, А.А. Чикрий, Г.Ц. |
| author_facet |
Чикрий, А.А. Чикрий, Г.Ц. |
| author_sort |
Чикрий, А.А. |
| title |
О матричных разрешающих функциях в динамических играх сближения |
| title_short |
О матричных разрешающих функциях в динамических играх сближения |
| title_full |
О матричных разрешающих функциях в динамических играх сближения |
| title_fullStr |
О матричных разрешающих функциях в динамических играх сближения |
| title_full_unstemmed |
О матричных разрешающих функциях в динамических играх сближения |
| title_sort |
о матричных разрешающих функциях в динамических играх сближения |
| publisher |
Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України |
| publishDate |
2014 |
| topic_facet |
Системный анализ |
| url |
http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/115787 |
| citation_txt |
О матричных разрешающих функциях в динамических играх сближения / А.А. Чикрий, Г.Ц. Чикрий // Кибернетика и системный анализ. — 2014. — Т. 50, № 2. — С. 44-63. — Бібліогр.: 40 назв. — рос. |
| series |
Кибернетика и системный анализ |
| work_keys_str_mv |
AT čikrijaa omatričnyhrazrešaûŝihfunkciâhvdinamičeskihigrahsbliženiâ AT čikrijgc omatričnyhrazrešaûŝihfunkciâhvdinamičeskihigrahsbliženiâ |
| first_indexed |
2025-07-08T09:22:11Z |
| last_indexed |
2025-07-08T09:22:11Z |
| _version_ |
1837070059059544064 |
| fulltext |
ÓÄÊ 517.977
À.À. ×ÈÊÐÈÉ, Ã.Ö. ×ÈÊÐÈÉ
Î ÌÀÒÐÈ×ÍÛÕ ÐÀÇÐÅØÀÞÙÈÕ ÔÓÍÊÖÈßÕ Â ÄÈÍÀÌÈ×ÅÑÊÈÕ
ÈÃÐÀÕ ÑÁËÈÆÅÍÈß1
Àííîòàöèÿ. Ââåäåíû ìàòðè÷íûå ðàçðåøàþùèå ôóíêöèè äëÿ èññëåäîâàíèÿ èãðîâûõ çàäà÷
äèíàìèêè. Óñòàíîâëåíû äîñòàòî÷íûå óñëîâèÿ ñáëèæåíèÿ òðàåêòîðèè êîíôëèêòíî-óïðàâ-
ëÿåìîãî ïðîöåññà ñ öèëèíäðè÷åñêèì òåðìèíàëüíûì ìíîæåñòâîì. Ðàññìîòðåíû ñëó÷àè èñ-
ïîëüçîâàíèÿ ïðåñëåäîâàòåëåì êâàçèñòðàòåãèé è êîíòðóïðàâëåíèé. Ïðîâåäåíî ñðàâíåíèå
ãàðàíòèðîâàííûõ âðåìåí îêîí÷àíèÿ èãðû äëÿ ðàçíûõ ñõåì ìåòîäà. Òåîðåòè÷åñêèå ðåçóëü-
òàòû èëëþñòðèðóþòñÿ íà ìîäåëüíîì ïðèìåðå ñ ïðîñòûì äâèæåíèåì â ïëîñêîñòè.
Êëþ÷åâûå ñëîâà: êîíôëèêòíî-óïðàâëÿåìûé ïðîöåññ, ðàçðåøàþùàÿ ôóíêöèÿ, ìíîãîçíà÷-
íîå îòîáðàæåíèå, óñëîâèå Ïîíòðÿãèíà, òåîðåìà èçìåðèìîãî âûáîðà, ýêñòðåìàëüíûé ñå-
ëåêòîð, H -âûïóêëîå ìíîæåñòâî, ñîáñòâåííîå ÷èñëî, ñóïåðïîçèöèîííàÿ èçìåðèìîñòü, öè-
ëèíäðè÷åñêîå òåðìèíàëüíîå ìíîæåñòâî, èíòåãðàë Àóìàíà.
ÂÂÅÄÅÍÈÅ
Íàðÿäó ñ ìåòîäàìè äèíàìè÷åñêèõ èãð [1–5], ðàñêðûâàþùèìè ñòðóêòóðó èãðû
è îðèåíòèðîâàííûìè íà ïîñòðîåíèå îïòèìàëüíûõ ñòðàòåãèé, ñóùåñòâóþò ïîä-
õîäû, íàöåëåííûå íà ãàðàíòèðîâàííûé ðåçóëüòàò. Ïîñëåäíåå îáñòîÿòåëüñòâî,
ïî-âèäèìîìó, áîëåå îïðàâäàíî ñ ïðàêòè÷åñêîé òî÷êè çðåíèÿ.
Ê òàêèì ïîäõîäàì ñëåäóåò îòíåñòè, ïðåæäå âñåãî, ïåðâûé ïðÿìîé ìåòîä
Ïîíòðÿãèíà [1, 6] è ìåòîä ðàçðåøàþùèõ ôóíêöèé [7–9]. Ýòè ìåòîäû îáåñïå÷èâà-
þò äîñòàòî÷íûå óñëîâèÿ çàâåðøåíèÿ èãðû çà êîíå÷íîå âðåìÿ èç çàäàííûõ íà-
÷àëüíûõ ïîëîæåíèé. Îíè áàçèðóþòñÿ íà îäíîì è òîì æå ïðèíöèïå ïîñòðîåíèÿ
óïðàâëåíèÿ ïåðâîãî èãðîêà, èñïîëüçóþùåì óñëîâèå Ïîíòðÿãèíà, íà åãî îñíî-
âå — òåîðåìû èçìåðèìîãî âûáîðà [10, 11], è òåñíî ñâÿçàíû ìåæäó ñîáîé. Ïðåä-
ïîñûëêîé ê ïîÿâëåíèþ ìåòîäà ðàçðåøàþùèõ ôóíêöèé áûëà çàäà÷à Ïîíòðÿãè-
íà–Ìèùåíêî [1] îá óáåãàíèè îäíîãî èãðîêà îò ãðóïïû èç � ïðåñëåäîâàòåëåé
â ïðîñòðàíñòâå R n è íàéäåííàÿ ïðè åå ðåøåíèè ìèíèìàêñèìèííàÿ ôóíêöèÿ
� �( , )n [12, 13], êîòîðàÿ ïîñëóæèëà áàçîé äëÿ ôîðìàëèçàöèè ñèòóàöèè îêðóæåíèÿ
äëÿ ïðîñòûõ äâèæåíèé [14] è ñïîñîáñòâîâàëà ðàçâèòèþ âïîñëåäñòâèè òåîðèè
ãðóïïîâîãî ïðåñëåäîâàíèÿ [7, 15–17]. Ñî âðåìåíåì áûëî óñòàíîâëåíî, ÷òî ìåòîä
ðàçðåøàþùèõ ôóíêöèé äàåò ñòðîãîå ìàòåìàòè÷åñêîå îáîñíîâàíèå ïðàâèëà ïà-
ðàëëåëüíîãî ñáëèæåíèÿ, à òàêæå ñïîñîáà ïðåñëåäîâàíèÿ ïî ëó÷ó [18]. Ôîðìàëè-
çàöèÿ èãðîâîé çàäà÷è [19] ÷åðåç ïðåäñòàâëåíèå ðåøåíèÿ ïîçâîëèëà â åäèíîé ñõå-
ìå ðàññìîòðåòü êîíôëèêòíî-óïðàâëÿåìûå ñèñòåìû ðàçëè÷íîé ïðèðîäû: ïðîöåñ-
ñû, îïèñûâàåìûå ñèñòåìàìè äèôôåðåíöèàëüíî-ðàçíîñòíûõ óðàâíåíèé [20],
èíòåãðàëüíûõ è èíòåãðî-äèôôåðåíöèàëüíûõ óðàâíåíèé [20], óðàâíåíèé ñ äðîá-
íûìè ïðîèçâîäíûìè [19, 21–23], èìïóëüñíûå ñèñòåìû è ñèñòåìû ïåðåìåííîé
ñòðóêòóðû [24]. Âìåñòå ñ ãåîìåòðè÷åñêèìè îãðàíè÷åíèÿìè íà óïðàâëåíèÿ ðàñ-
ñìîòðåíû ðàçëè÷íûå èíòåãðàëüíûå îãðàíè÷åíèÿ [25], à òàêæå íåñòàöèîíàðíûå
êîíôëèêòíî-óïðàâëÿåìûå ïðîöåññû [26].
Ïàðàëëåëüíî ñ ðàñøèðåíèåì ñôåðû ïðèìåíèìîñòè äàííîãî ìåòîäà ïðîâåäå-
íû èññëåäîâàíèÿ ïî îïòèìèçàöèè ãàðàíòèðîâàííîãî âðåìåíè ñáëèæåíèÿ, ñâÿçàí-
íûå ñ âûáîðîì ýêñòðåìàëüíûõ ñåëåêòîðîâ ìíîãîçíà÷íîãî îòîáðàæåíèÿ Ïîíòðÿ-
ãèíà [27]. Â ñâÿçè ñ îáîñíîâàíèåì ìåòîäà è çàêîíà âûáîðà óïðàâëåíèé ïåðâîãî
èãðîêà áîëüøîå çíà÷åíèå èìååò ñâîéñòâî L B� -èçìåðèìîñòè ñïåöèàëüíûõ ìíîãî-
44 ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2014, òîì 50, ¹ 2
1
Ðàáîòà âûïîëíåíà ïðè ïîääåðæêå ÃÔÔÈ Óêðàèíû (ïðîåêò Ô53.1/006).
� À.À. ×èêðèé, Ã.Ö. ×èêðèé, 2014
çíà÷íûõ îòîáðàæåíèé [28], èãðàþùèõ êëþ÷åâóþ ðîëü è îáåñïå÷èâàþùèõ â èòîãå
ñóïåðïîçèöèîííóþ èçìåðèìîñòü ôóíêöèé óïðàâëåíèÿ. Ïðèâëåêàòåëüíîé ñòîðîíîé
ìåòîäà ðàçðåøàþùèõ ôóíêöèé ÿâëÿåòñÿ òàêæå òî îáñòîÿòåëüñòâî, ÷òî îí ïîçâîëÿ-
åò ýôôåêòèâíî èñïîëüçîâàòü ñîâðåìåííóþ òåõíèêó íåëèíåéíîãî àíàëèçà (ìíîãî-
çíà÷íûõ îòîáðàæåíèé è èõ ñåëåêòîðîâ) [10, 11, 29, 30] äëÿ îáîñíîâàíèÿ èãðîâûõ
êîíñòðóêöèé è ïîëó÷åíèÿ ñ èõ ïîìîùüþ íåîáõîäèìûõ ðåçóëüòàòîâ.
Ïûòàÿñü ïîíÿòü ñîäåðæàòåëüíóþ ñóòü ìåòîäà, åãî ãåîìåòðèþ, ìîæíî ñäå-
ëàòü âûâîä, ÷òî ðàçðåøàþùèå ôóíêöèè, ëåæàùèå â îñíîâå ìåòîäà, îñóùåñòâëÿ-
þò ïðèòÿæåíèå ñäâèíóòîé òåëåñíîé ÷àñòè òåðìèíàëüíîãî ìíîæåñòâà ê ïåðåñå÷å-
íèþ ñ íåêîòîðûì ìíîãîçíà÷íûì îòîáðàæåíèåì, ñâÿçàííûì ñ èãðîé. Ýòî ïðèòÿ-
æåíèå ïðîèñõîäèò ëèøü â êîíóñå, íàòÿíóòîì íà óïîìÿíóòîå ìíîæåñòâî.
Ïîñëåäíåå îáñòîÿòåëüñòâî îãðàíè÷èâàåò âîçìîæíîñòè äëÿ ìàíåâðà ïåðâîìó èã-
ðîêó. Ïî ýòîé ïðè÷èíå â äàííîé ðàáîòå âìåñòî ñêàëÿðíîé ðàññìàòðèâàåòñÿ ìàò-
ðè÷íàÿ ðàçðåøàþùàÿ ôóíêöèÿ äèàãîíàëüíîãî âèäà, ñ, âîîáùå ãîâîðÿ, ðàçëè÷íû-
ìè ñîáñòâåííûìè ÷èñëàìè. Òåì ñàìûì âîçäåéñòâèå ìàòðèöû ïî ðàçíûì íàïðàâ-
ëåíèÿì ìîæåò áûòü ðàçëè÷íûì. Ýòî äàåò äîïîëíèòåëüíûå âîçìîæíîñòè â ïëàíå
çàâåðøåíèÿ èãðû, ÷òî äåìîíñòðèðóåòñÿ íà ïðèìåðå ñ ïðîñòûìè äâèæåíèÿìè
â ïëîñêîñòè, êîãäà ñêàëÿðíûå ðàçðåøàþùèå ôóíêöèè íå ïðèâîäÿò ê ðåçóëüòàòó,
à èñïîëüçîâàíèå ìàòðè÷íûõ ïîçâîëÿåò çàêîí÷èòü èãðó çà êîíå÷íîå âðåìÿ.
Äàííàÿ ñòàòüÿ ïðèìûêàåò ê ðàáîòàì [1–9, 15–17, 19–26, 31–36] è ïðîäîëæàåò
èññëåäîâàíèÿ [8, 27, 28].
ÏÎÑÒÀÍÎÂÊÀ ÇÀÄÀ×È È ÑÕÅÌÀ ÌÅÒÎÄÀ
Ðàññìîòðèì êîíôëèêòíî-óïðàâëÿåìûé ïðîöåññ â êîíå÷íîìåðíîì åâêëèäîâîì
ïðîñòðàíñòâå R n , n � 2 ,
z t g t t u v d
t
( ) ( ) ( , ) ( ( ), ( ))� � �� � � � � �
0
, t � 0. (1)
Âåêòîð-ôóíêöèÿ g t( ), g R R n: � , R t t� � �{ }: 0 , èçìåðèìà ïî Ëåáåãó è ïî-
÷òè âåçäå îãðàíè÷åííà, ìàòðè÷íàÿ ôóíêöèÿ � ( , )t � îïðåäåëåíà â òðåóãîëüíèêå
� � �{ }( , ):t t� � 0 ,
èçìåðèìà ïî t è ñóììèðóåìà ïî � äëÿ êàæäîãî t R� � . Áëîê óïðàâëåíèÿ çàäà-
åòñÿ ôóíêöèåé �( , )u v , �: U V R n� , íåïðåðûâíîé ïî ñîâîêóïíîñòè ïåðåìåí-
íûõ íà ïðÿìîì ïðîèçâåäåíèè íåïóñòûõ êîìïàêòîâ U è V , U K R m� ( ),
V K R l� ( ), m, l — íàòóðàëüíûå ÷èñëà.
Äîïóñòèìûå óïðàâëåíèÿ èãðîêîâ u( )� , u R U: � , è v( )� , v R V: � , — èç-
ìåðèìûå ôóíêöèè âðåìåíè.
Çàäàíî òåðìèíàëüíîå ìíîæåñòâî M * öèëèíäðè÷åñêîãî âèäà
M M M* � �0 , (2)
ãäå M 0 — ëèíåéíîå ïîäïðîñòðàíñòâî â R n , à M — êîìïàêò èç îðòîãîíàëüíî-
ãî äîïîëíåíèÿ L ê M 0 â R n , M K L� ( ) .
Ïåðâûé èãðîê ( )u ñòðåìèòñÿ âûâåñòè òðàåêòîðèþ ïðîöåññà (1) íà òåðìèíàëü-
íîå ìíîæåñòâî çà êðàò÷àéøåå âðåìÿ, à âòîðîé ( )v — ìàêñèìàëüíî îòòÿíóòü ýòîò
ìîìåíò èëè âîîáùå èçáåæàòü âñòðå÷è òðàåêòîðèè ñ ìíîæåñòâîì.
Ïðèíÿâ ñòîðîíó ïåðâîãî èãðîêà, óñòàíîâèì äîñòàòî÷íûå óñëîâèÿ äëÿ îáåñ-
ïå÷åíèÿ åìó îïðåäåëåííîãî ãàðàíòèðîâàííîãî ðåçóëüòàòà. Áóäåì ñ÷èòàòü, ÷òî
ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2014, òîì 50, ¹ 2 45
åñëè èãðà (1), (2) ïðîèñõîäèò íà èíòåðâàëå [ , ]0 T , òî óïðàâëåíèå ïåðâîãî èãðîêà
â òåêóùèé ìîìåíò t âûáèðàåì íà îñíîâå èíôîðìàöèè î g T( ) è ïðåäûñòîðèè
vt ( )� , v v s s tt ( ) ( ): [ , ]� � �{ }0 , â âèäå èçìåðèìîé ôóíêöèè
u t u g T vt( ) ( ( ), ( ))� � , u t U( )� , t T�[ , ]0 , (3)
èëè êîíòðóïðàâëåíèÿ [2, 5]
u t u g T v t( ) ( ( ), ( ))� , t T�[ , ]0 , u t U( )� ,
ïðåäïèñàííîãî ñòðîáîñêîïè÷åñêîé ñòðàòåãèåé [37].
Çàìåòèì, ÷òî ïðåäñòàâëåíèå ðåøåíèÿ äèíàìè÷åñêîé ñèñòåìû â âèäå (1) ïî-
çâîëÿåò â åäèíîé ñõåìå ðàññìîòðåòü øèðîêèé êðóã ôóíêöèîíàëüíî-äèôôåðåíöè-
àëüíûõ ñèñòåì, ôóíêöèîíèðóþùèõ â óñëîâèÿõ êîíôëèêòíîãî âçàèìîäåéñòâèÿ.
Îñîáåííîñòü ïðåäñòàâëåíèÿ (1) ñîñòîèò â òîì, ÷òî äàííûå î íà÷àëüíîì ñîñòîÿ-
íèè ïðîöåññà è áëîêå óïðàâëåíèÿ îòäåëåíû è àääèòèâíî âõîäÿò â ïðàâóþ ÷àñòü
âûðàæåíèÿ (1). Òàêàÿ ñèòóàöèÿ èìååò ìåñòî, êîãäà ñïðàâåäëèâà ôîðìóëà Êîøè,
íàïðèìåð äëÿ êâàçèëèíåéíûõ ïðîöåññîâ [2, 7]. Äëÿ ñèñòåì èíòåãðàëüíûõ, èíòåã-
ðî-äèôôåðåíöèàëüíûõ, äèôôåðåíöèàëüíî-ðàçíîñòíûõ óðàâíåíèé, èìïóëüñíûõ
ñèñòåì, ñèñòåì óðàâíåíèé ñ äðîáíûìè ïðîèçâîäíûìè ôóíêöèÿ g t( ) è ìàòðè÷íàÿ
ôóíêöèÿ � ( , )t � â ïðåäñòàâëåíèè (1) èìåþò êîíêðåòíûé âèä è îòðàæàþò
ñîîòâåòñòâóþùèé òèï óðàâíåíèÿ.
Îáîçíà÷èì � îðòîïðîåêòîð, äåéñòâóþùèé èç R n â L. Ïîëîæèâ
� �( , ) ( , ) :U v u v u U� �{ },
ðàññìîòðèì ìíîãîçíà÷íûå îòîáðàæåíèÿ
W t v t U v( , , ) ( , ) ( , )� � � �� � , W t W t v
v V
( , ) ( , , )� ��
�
�
íà ìíîæåñòâàõ
�V è
ñîîòâåòñòâåííî.
Óñëîâèå Ïîíòðÿãèíà. Îòîáðàæåíèå W t( , )� ïðèíèìàåò íåïóñòûå çíà÷åíèÿ
íà ìíîæåñòâå
è çàìêíóòîçíà÷íî.
 ñèëó ñâîéñòâ ïàðàìåòðîâ êîíôëèêòíî-óïðàâëÿåìîãî ïðîöåññà (1), (2)
W t v( , , )� ÿâëÿåòñÿ èçìåðèìûì ïî �, ��[ , ]0 t , ìíîãîçíà÷íûì îòîáðàæåíèåì. Òîãäà
W t( , )� èçìåðèìî ïî �, ��[ , ]0 t .
Èç óñëîâèÿ Ïîíòðÿãèíà è òåîðåìû èçìåðèìîãî âûáîðà [10] âûòåêàåò, ÷òî
ïðè ëþáîì t
0 ñóùåñòâóåò õîòÿ áû îäèí èçìåðèìûé ïî � ñåëåêòîð � �( , )t òàêîé,
÷òî � � �( , ) ( , )t W t� , ( , )t � �
.
Îáîçíà÷èì
�t t t W t t� � �{ }� � � � � �( , ) : ( , ) ( , ), [ , ]0 , � ��
�
t
t 0
� ,
âûáåðåì íåêîòîðûé èçìåðèìûé ïî � ñåëåêòîð � �( , )t èç �t è ââåäåì ôóíêöèþ
� � � � � �( , ( ), ( , )) ( ) ( , )t g t t g t t d
t
� � � �
0
.
 ñèëó èñõîäíûõ ïðåäïîëîæåíèé ñåëåêòîð � �( , )t ÿâëÿåòñÿ ñóììèðóåìîé ïî �,
��[ , ]0 t , ôóíêöèåé ïðè ëþáîì t
0.
Îáîçíà÷èì � � dim L è ðàññìîòðèì ïðîèçâîëüíóþ êâàäðàòíóþ äèàãîíàëü-
íóþ ìàòðèöó A ïîðÿäêà �
A �
�
�
�
�
�
��
�
�
�
�
�
��
�
�
�
1
2
1
0
0
�
�diag{ }, , , i � 0, i �1, ,� �, (4)
46 ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2014, òîì 50, ¹ 2
êîòîðóþ íàçûâàþò ìàòðèöåé ñîáñòâåííûõ çíà÷åíèé [38]. Ó÷èòûâàÿ äèàãîíàëü-
íûé âèä ìàòðèöû A, åå ìîæíî îòîæäåñòâèòü ñ âåêòîðîì �� ( , , )1 � .
Ðàññìîòðèì ìíîãîçíà÷íîå îòîáðàæåíèå
A � �� � � �( , , ) ( , , ), :[ ( , , ) ( , )]t v W t v ti� � �{ 1 0� �
� A M t g t t[ ( , ( ), ( , ))]� � ��� � },
A �
�
:
� �V
R
2 , R R R� � �� � ��
�
�
� �
. (5)
Ôóíêöèþ g t( ) è âûáðàííûé ñåëåêòîð � ( , )t � ñ÷èòàåì ôèêñèðîâàííûìè.
Ïîñêîëüêó âûïîëíåíî óñëîâèå Ïîíòðÿãèíà, â ñèëó ïðåäïîëîæåíèé î ïàðàìåòðàõ
ïðîöåññà (1), (2) îòîáðàæåíèå A � �( , , )t v çàìêíóòîçíà÷íî [8, 28] è âñåãäà ñîäåð-
æèò �-ìåðíûé íóëü, òàê êàê 0� �W t v t( , , ) ( , )� � � � �( , )t �
, v V� .
Ìàòðè÷íàÿ ôóíêöèÿ
A t v
t v
t v
t v
( , , )
( , , )
( , , )
( , , )
�
�
�
��
�
�
�
�
�
�
��
�
�
�
�
1
2
0
0
� �
��
, i V R:
� � ,
ôèãóðèðóþùàÿ â ïåðåñå÷åíèè èç (5), çàâèñèò îò ( , )t � �
, v V� è îäíîçíà÷íî
îïðåäåëÿåòñÿ ñâîèìè äèàãîíàëüíûìè ýëåìåíòàìè, îáðàçóþùèìè ñåëåêòîð
� � ��( , , ) ( ( , , ), , ( , , ))t v t v t v� 1 � ìíîãîçíà÷íîãî îòîáðàæåíèÿ A � �( , , )t v .
 òî æå âðåìÿ âåêòîð-ôóíêöèÿ �( , , )t v ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé íàáîð èç � ñî-
áñòâåííûõ ÷èñåë ìàòðèöû A t v( , , )� , îïðåäåëåííûõ íà ìíîæåñòâå
�V .
Å ñ ë è â í å ê î ò î ð û é ì î ì å í ò t è ì å å ì � �( , ( ), ( , ))t g t t M� � , ò î
A �
�
�( , , ) ([ , ) [ , ))t v � �� � � ��0 0�
� �
ïðè ëþáûõ ��[ , ]0 t , v V� .
Îáðàçóåì ñêàëÿðíóþ ôóíêöèþ
~( , , ) min ( , , )
( , , ) ( , , ) ,
� �
� � ��
t v t v
t v t v i
i�
� �
sup
A 1
, ~:
� �V R . (6)
 ïðåäïîëîæåíèè, ÷òî òî÷íàÿ âåðõíÿÿ ãðàíü äîñòèãàåòñÿ, îáîçíà÷èì
M ( , , ) ( , , ): min ( , , ) ~ ( , , )
,
t v t v t v t v
i
i� � � �
�
� �
�
{ }
1
ìàðãèíàëüíîå ìíîæåñòâî ñåëåêòîðîâ èç îòîáðàæåíèÿ A � �( , , )t v .
Èç [28] ñëåäóåò, ÷òî ïðè ñäåëàííûõ ïðåäïîëîæåíèÿõ îòîáðàæåíèÿ A � �( , , )t v
è M ( , , )t v� L B� -èçìåðèìû ïî ñîâîêóïíîñòè ( , )� v , ��[ , ]0 t , v V� , è çàìêíó-
òîçíà÷íû ïðè ëþáîì t. Ñåëåêòîðû îòîáðàæåíèÿ M ( , , )t v� íàçîâåì ýêñòðåìàëü-
íûìè. Ñðåäè íèõ ïî òåîðåìå èçìåðèìîãî âûáîðà [10] ñóùåñòâóåò õîòÿ áû îäèí,
ÿâëÿþùèéñÿ L B� -èçìåðèìûì ïî ( , )� v , ��[ , ]0 t , v V� , ïðè ëþáîì t. Çàôèêñèðóåì
åãî äëÿ äàëüíåéøåãî è îáîçíà÷èì �*( , , )t v , �*:
� �V R
Ðàññìîòðèì ìíîæåñòâî
T g t t v d
t
�
�
� � � �( ( ), ( , )) : ~ ( , , ( ))
( )
� � � � � �
� �
{ inf }0 1
0
(7)
è ôóíêöèþ t g T g� �� �( ( ), ( , )) ( ( ), ( , ))� � � � � � �inf . Òî÷íàÿ íèæíÿÿ ãðàíü èíòåãðàëà
áåðåòñÿ ïî âñåì äîïóñòèìûì óïðàâëåíèÿì âòîðîãî èãðîêà. Çàìåòèì, ÷òî ïî-
ñêîëüêó A � �( , , )t v — L B� -èçìåðèìîå îòîáðàæåíèå ïî ñîâîêóïíîñòè ( , )� v , òî
ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2014, òîì 50, ¹ 2 47
L B� -èçìåðèìîé ïî ( , )� v áóäåò è ôóíêöèÿ ~( , , ) �t v , à ñëåäîâàòåëüíî, îíà
ñóïåðïîçèöèîííî èçìåðèìà [8]. Ïîýòîìó èíòåãðàë â ñîîòíîøåíèè (7) èìååò ñìûñë.
Èç ïðåäûäóùåãî ñëåäóåò, ÷òî åñëè � �( , ( ), ( , ))t g t t M� � , òî ~( , , ) �t v � �� äëÿ
��[ , ]0 t , v V� , è â ýòîì ñëó÷àå çíà÷åíèå èíòåãðàëà â (7) åñòåñòâåííî ïîëîæèòü
ðàâíûì ��, à ñîîòâåòñòâóþùåå íåðàâåíñòâî âûïîëíåíî àâòîìàòè÷åñêè.  ñëó-
÷àå, êîãäà íåðàâåíñòâî â âûðàæåíèè (7) íå âûïîëíÿåòñÿ äëÿ t
0, ïîëàãàåì
T g� �( ( ), ( , ))� � � ��.
Óñëîâèå 1. Åñëè T T g� � � � ��� �( ( ), ( , )) , òî äëÿ ýêñòðåìàëüíîãî ñåëåêòîðà
�* ( , , )T v åãî óñå÷åííûå ñåëåêòîðû
�
�
��( , , ) ( ( , , ), , ( , , ))T v T v T v� 1 � ,
�
� �
�
i
i i
i
T v
T v t
t T
( , , )
( , , ), [ , ),
, [ , ],
*
�
�
�
�
�
�
0
0
ÿâëÿþòñÿ ñåëåêòîðàìè ìíîãîçíà÷íîãî îòîáðàæåíèÿ A � �( , , )T v , ��[ , ]0 T , v V� ,
äëÿ ëþáûõ t Ti �[ , ]0 , i �1, ,� �.
Çàìå÷àíèå 1. Äëÿ ti � 0 èëè t Ti � , i �1, ,� �, óñëîâèå 1 âûïîëíÿåòñÿ àâòîìà-
òè÷åñêè â ñèëó óñëîâèÿ Ïîíòðÿãèíà è ïîñòðîåíèé. Ñëåäîâàòåëüíî, îíî êàñàåòñÿ
ëèøü âíóòðåííèõ òî÷åê îòðåçêà [ , ]0 T .
Îáîçíà÷èì xi � � �( , , , , , , )0 0 1 0 0 , i � �1, , �, ïðè÷åì åäèíèöà ñòîèò íà i-ì
ìåñòå, åäèíè÷íûå ñîáñòâåííûå âåêòîðû äèàãîíàëüíîé ìàòðèöû A. Îíè îáðàçóþò
áàçèñ â ïðîñòðàíñòâå L. Ïîëîæèì
H x ii� � � �{ , , , }1 �
è áóäåì ãîâîðèòü, ÷òî ìíîæåñòâî M , M L� , ÿâëÿåòñÿ H-âûïóêëûì ìíî-
æåñòâîì [39], åñëè
M x L x x W xi M i
x Hi
� �
�
{ }: ( , ) ( )�
åñòü ïåðåñå÷åíèå 2� ïîëóïðîñòðàíñòâ, ò.å. ÿâëÿåòñÿ ïàðàëëåëåïèïåäîì, ãäå
W x x x
M i
x M
i( ) ( , )�
�
sup — îïîðíàÿ ôóíêöèÿ ìíîæåñòâà M [40], êîòîðàÿ, â ÷àñ-
òíîñòè, ìîæåò ïðèíèìàòü çíà÷åíèÿ ��. Èç âûïóêëîãî àíàëèçà èçâåñòíî, ÷òî
åñëè H — íå êîíå÷íîå ìíîæåñòâî âåêòîðîâ, à åäèíè÷íàÿ ñôåðà â L, òî H-âû-
ïóêëîñòü ñòàíîâèòñÿ îáû÷íîé âûïóêëîñòüþ.
Óñëîâèå 2. Ìíîæåñòâî M ÿâëÿåòñÿ H-âûïóêëûì.
Îòìåòèì, ÷òî åñëè ìíîæåñòâî M H-âûïóêëî, òî åãî îòíîñèòåëüíàÿ âíóòðåí-
íîñòü â L íå ïóñòà.
ÄÎÑÒÀÒÎ×ÍÛÅ ÓÑËÎÂÈß ÇÀÂÅÐØÅÍÈß ÈÃÐÛ
Ñïðàâåäëèâî ñëåäóþùåå óòâåðæäåíèå.
Òåîðåìà 1. Ïóñòü äëÿ êîíôëèêòíî-óïðàâëÿåìîãî ïðîöåññà (1), (2) âûïîëíå-
íî óñëîâèå Ïîíòðÿãèíà, à òàêæå óñëîâèÿ 1 è 2. Êðîìå òîãî, äëÿ çàäàííîé ôóíê-
öèè g( )� è âûáðàííîãî ñåëåêòîðà � ( , )� � �� ìíîæåñòâî T g� �( ( ), ( , ))� � � �� è
T T g� � � �� �( ( ), ( , )). Òîãäà òðàåêòîðèÿ ïðîöåññà (1) ìîæåò áûòü ïðèâåäåíà íà
ìíîæåñòâî (2) â ìîìåíò T ñ ïîìîùüþ óïðàâëåíèÿ âèäà (3).
Äîêàçàòåëüñòâî. Ïóñòü v( )� , v T V:[ , ]0 , — ïðîèçâîëüíàÿ èçìåðèìàÿ ôóíê-
öèÿ. Èññëåäóåì ñíà÷àëà ñëó÷àé � �( , ( ), ( , ))T g T T M� � . Äëÿ ýòîãî ðàññìîòðèì
L B� -èçìåðèìûé ýêñòðåìàëüíûé ñåëåêòîð �* ( , , )T v , ��[ , ]0 T , v V� , ìíîãîçíà÷íî-
ãî îòîáðàæåíèÿ M ( , , )T v� . Äëÿ åãî ñêàëÿðíûõ êîìïîíåíò èìååò ìåñòî íåðàâåíñòâî
� �
�
i
i
iT v T v*
, ,
*( , , ) min ( , , )�
�1 �
� �i 1, ,� �, v V� .
48 ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2014, òîì 50, ¹ 2
Ïîýòîìó èç íåðàâåíñòâà â ñîîòíîøåíèè (7) ïîëó÷èì
� � �i
T
T v d* ( , , ( ))
0
1� � � �i 1, ,� �, v( )� .
(8)
Ââåäåì íàáîð êîíòðîëüíûõ ôóíêöèé
h t T v di i
t
( ) ( , , ( ))*� � �1
0
� � �, i �1, �.
Âñå ôóíêöèè �i T v* ( , , ), i �1, �, L B� -èçìåðèìû ïî ñîâîêóïíîñòè ( , )� v , à ïîý-
òîìó ñóïåðïîçèöèîííî èçìåðèìû. Ôóíêöèè h ti ( ), i �1, �, àáñîëþòíî íåïðåðûâíû,
îíè íå âîçðàñòàþò, òàê êàê �i T v* ( , , ) íåîòðèöàòåëüíû. Ê òîìó æå hi ( )0 1� . Íî
ïîñêîëüêó h Ti ( ) 0 â ñèëó íåðàâåíñòâà (8), ñóùåñòâóþò òàêèå ìîìåíòû ti
* ,
0 t Ti
* , i �1, ,� �, ÷òî h ti i( )* � 0, i �1, �. Î÷åâèäíî, ÷òî t t vi i
* * ( ( ))� � .
Ïðîìåæóòêè âðåìåíè [ , )*0 ti è [ , ]*t Ti íàçîâåì àêòèâíûìè è ïàññèâíûìè ñîîò-
âåòñòâåííî.
Îïèøåì ñïîñîá óïðàâëåíèÿ ïåðâûì èãðîêîì. Äëÿ ýòîãî ââåäåì óñå÷åííûå
ôóíêöèè
�
� �
�
i
i i
i
T v
T v t
t T
( , , )
( , , ), [ , ),
, [ , ],
* *
*
�
�
�
�
�
�
0
0
i �1, ,� �,
è ðàññìîòðèì êîìïàêòîçíà÷íîå îòîáðàæåíèå
U v u U T u v T T v M T g( , ) : ( , ) ( , ) ( , ) ( , , )[ ( , (� � � � � � � �� � � � �{ B� T T), ( , ))]� � }, (9)
��[ , ]0 T , v V� ,
ãäå ìàòðè÷íàÿ ôóíêöèÿ B( , , )T v� èìååò âèä
B
0
0
( , , )
( , , )
( , , )
( , , )
t v
T v
T v
T v
�
�
�
��
�
�
�
�
�
�
��
�
�
�
�
1
2
� �
��
,
(10)
ïðè÷åì åå äèàãîíàëüíûå ýëåìåíòû îáëàäàþò ñâîéñòâîì
� � �i
T
T v d( , , ( ))
0
1� � ,
i �1, ,� �. Â ñèëó óñëîâèÿ 1 âåêòîð-ôóíêöèÿ
�
�
��( , , ) ( ( , , ), , ( , , ))T v T v T v� 1 �
ÿâëÿåòñÿ L B� -èçìåðèìûì ñåëåêòîðîì ìíîãîçíà÷íîãî îòîáðàæåíèÿ A � �( , , )T v ,
ïîýòîìó îòîáðàæåíèå U v( , )� èìååò íåïóñòûå îáðàçû è L B� -èçìåðèìî [28]. Ïî
òåîðåìå èçìåðèìîãî âûáîðà [10] â íåì ñóùåñòâóåò õîòÿ áû îäèí L B� -èçìåðè-
ìûé ñåëåêòîð u v( , )� , êîòîðûé ÿâëÿåòñÿ ñóïåðïîçèöèîííî èçìåðèìîé ôóíêöèåé.
Îáîçíà÷èì u u v( ) ( , ( ))� � �� è ïîëîæèì óïðàâëåíèå ïåðâîãî èãðîêà íà èíòåð-
âàëå [ , ]0 T ðàâíûì u( )� .
 ñëó÷àå � �( , ( ), ( , ))T g T T M� � óïðàâëåíèå ïåðâîãî èãðîêà âûáåðåì àíàëî-
ãè÷íî ïðåäûäóùåé ñèòóàöèè ñ òîé ëèøü ðàçíèöåé, ÷òî ìàòðè÷íóþ ôóíêöèþ
B( , , )T v� â ñîîòíîøåíèè (9) ïîëîæèì ðàâíîé íóëü-ìàòðèöå.
Äàëåå ïîêàæåì, ÷òî ïðè âûáîðå óïðàâëåíèé ïåðâûì èãðîêîì ïî óêàçàííûì
ïðàâèëàì òðàåêòîðèÿ ñèñòåìû (1) áóäåò ïðèâåäåíà íà òåðìèíàëüíîå ìíîæåñòâî
â ìîìåíò T ïðè ëþáûõ äîïóñòèìûõ óïðàâëåíèÿõ âòîðîãî èãðîêà.
ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2014, òîì 50, ¹ 2 49
Åñëè � �( , ( ), ( , ))T g T T M� � , òî èç ïðåäñòàâëåíèÿ (1) èìååì
� � � � � � � �z T g T T u v d
T
( ) ( ) ( , ) ( ( ), ( ))� � � �
0
.
(11)
Èñïîëüçóÿ ñîîòíîøåíèÿ (9)–(11), ïîëó÷àåì âêëþ÷åíèå
� � � � � �z T E T v d T g T T
T
( ) ( , , ( )) ( , ( ), ( , ))� �
�
�
�
�
�
�
�
�
� �� B B
0
( , , ( ))T v Md
T
� � �
0
� , (12)
ãäå E — åäèíè÷íàÿ ìàòðèöà.
Ïîñêîëüêó M ÿâëÿåòñÿ H-âûïóêëûì ìíîæåñòâîì è B( , , ( ))T v d E
T
� � �
0
� � , èç
[39] ñëåäóåò
B( , , ( ))T v Md M
T
� � �
0
� � ,
à çíà÷èò, �z T M( )� è ïîýòîìó z T M( ) *� .
Ïóñòü � �( , ( ), ( , ))T g T T M� � . Òîãäà èç âêëþ÷åíèÿ (12) ïðè íóëü-ìàòðèöå
B( , , ( ))T v� � ïîëó÷èì
� � �z T T g T T M( ) ( , ( ), ( , ))� � � .
Çàìå÷àíèå 2. Åñëè âìåñòî óñëîâèÿ 2 èìååì âêëþ÷åíèå
B( , , ( ))T v Md M
T
� � �
0
� � � �v( ) , (13)
ãäå B( , , )T v� çàäàåòñÿ âûðàæåíèåì (10), òî òåîðåìà 1 îñòàåòñÿ ñïðàâåäëèâîé.
Ïðè ýòîì ìíîæåñòâî M K L� ( ) , âîîáùå ãîâîðÿ, íå ÿâëÿåòñÿ H-âûïóêëûì.
Âêëþ÷åíèå (13) âûïîëíåíî è ïåðåõîäèò â ïîòî÷å÷íîå ðàâåíñòâî, åñëè òåð-
ìèíàëüíîå ìíîæåñòâî M * ÿâëÿåòñÿ àôôèííûì ìíîãîîáðàçèåì ( )M m� { } , à ïðè
m � 0 — ëèíåéíûì ïîäïðîñòðàíñòâîì. Ïîñëåäíÿÿ ñèòóàöèÿ ÷àùå âñåãî ðàññìàò-
ðèâàåòñÿ â èãðîâûõ çàäà÷àõ ïðåñëåäîâàíèÿ–óáåãàíèÿ è ñîîòâåòñòâóåò òî÷íîìó
ñîâïàäåíèþ êîîðäèíàò èãðîêîâ.  ÷àñòíîñòè, åñëè M * � { }0 , òî ïîëàãàåì
M M0 0� � { }. Òîãäà L R n� , à � — îïåðàòîð òîæäåñòâåííîãî ïðåîáðàçîâàíèÿ.
Âêëþ÷åíèå (13) âûïîëíåíî àâòîìàòè÷åñêè.
Çàìå÷àíèå 3.  äèôôåðåíöèàëüíûõ èãðàõ ïðåäñòàâëÿåò èíòåðåñ çàäà÷à îá
�-çàõâàòå ïî ãåîìåòðè÷åñêèì êîîðäèíàòàì. Îíà ñîîòâåòñòâóåò ñëó÷àþ, êîãäà M
ÿâëÿåòñÿ øàðîì ðàäèóñà �. Äëÿ ïðèìåíåíèÿ òåîðåìû 1 ê àíàëèçó èãðû äîñòàòî÷-
íî èñïîëüçîâàòü ëþáîé ïàðàëëåëåïèïåä M p , M Mp � , â êà÷åñòâå âñïîìîãàòåëü-
íîãî ìíîæåñòâà è ïðèâîäèòü òðàåêòîðèþ ïðîöåññà íà ìíîæåñòâî M M p0 � , àâòî-
ìàòè÷åñêè ðåøèâ ïðè ýòîì èñõîäíóþ çàäà÷ó.
Çàìå÷àíèå 4. Ðàññìàòðèâàåìûé â ðàáîòàõ [7–9] ìåòîä ðàçðåøàþùèõ ôóíê-
öèé ÿâëÿåòñÿ ÷àñòíûì ñëó÷àåì ïðåäëàãàåìîé ñõåìû è ñîîòâåòñòâóåò ñëó÷àþ, êîã-
äà ìàòðèöà A â (4) ïðîñòàÿ, ò.å. �1 � � �� è A E� . Ñîäåðæàòåëüíî äàí-
íûé ìåòîä íà ïðèìåðå ôîðìóëû (5), ãäå �1 � � �� , îçíà÷àåò, ÷òî ìíîæåñ-
òâî M t g t t� �� �( , ( ), ( , )) ïðèòÿãèâàåòñÿ ê ïåðåñå÷åíèþ ñ ìíîæåñòâîì
W t v t( , , ) ( , )� � �� , íàõîäÿñü â êîíóñå, íàòÿíóòîì íà M t g t t� �� �( , ( ), ( , )).  ñëó÷àå
ìàòðèöû A ñ ðàçëè÷íûìè äèàãîíàëüíûìè ýëåìåíòàìè â ìåòîäèêå çàëîæåíû áî-
ëåå øèðîêèå âîçìîæíîñòè.
Çàìå÷àíèå 5. Ïîñêîëüêó ëþáàÿ êâàäðàòíàÿ ìàòðèöà ìîæåò áûòü ïðèâåäåíà
ïðåîáðàçîâàíèåì ïîäîáèÿ ê òðåóãîëüíîìó âèäó, äèàãîíàëüíûå ýëåìåíòû êîòîðî-
50 ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2014, òîì 50, ¹ 2
ãî ÿâëÿþòñÿ ñîáñòâåííûìè ÷èñëàìè èñõîäíîé ìàòðèöû, à ëþáàÿ íîðìàëüíàÿ ìàò-
ðèöà ( )* *AA A A� — ê äèàãîíàëüíîìó âèäó [38], ðàññìîòðåííàÿ ñèòóàöèÿ îò-
êðûâàåò ïóòü äëÿ ñóùåñòâåííûõ îáîáùåíèé ñ èñïîëüçîâàíèåì â (5) áîëåå ñëîæ-
íûõ ïî ñòðóêòóðå ïðèòÿãèâàþùèõ ìàòðèö. Òàê êàê ðå÷ü èäåò î âåùåñòâåííûõ
ìàòðèöàõ, â ÷àñòíîñòè, ê äèàãîíàëüíîìó âèäó ìîãóò áûòü ïðèâåäåíû ëþáûå ñèì-
ìåòðè÷íûå è îðòîãîíàëüíûå ìàòðèöû [38].
ÇÀÂÅÐØÅÍÈÅ ÈÃÐÛ Â ÊËÀÑÑÅ ÊÎÍÒÐÓÏÐÀÂËÅÍÈÉ
Ðàññìîòðåííàÿ ðàíåå ñõåìà ñáëèæåíèÿ ñ äèàãîíàëüíîé ìàòðè÷íîé ôóíêöèåé A t v( , , )�
ÿâëÿåòñÿ îáîáùåíèåì îñíîâíîé ñõåìû ìåòîäà ðàçðåøàþùèõ ôóíêöèé [7, 8].
Êàê âèäíî èç äîêàçàòåëüñòâà òåîðåìû 1, ïðåñëåäîâàòåëü â ìîìåíò t èñïîëüçóåò
èíôîðìàöèþ î ïðåäûñòîðèè óïðàâëåíèÿ vt ( )� óáåãàþùåãî, ÷òî ïðåäïèñûâàåò-
ñÿ êâàçèñòðàòåãèåé [5].
Äàííàÿ èíôîðìàöèÿ íåîáõîäèìà äëÿ îïðåäåëåíèÿ ìîìåíòîâ ïåðåêëþ÷åíèÿ
ti
* , i �1, ,� �, ïðåðûâàþùèõ íàêîïëåíèå ôóíêöèé �i t v* ( , , ) è ðàçäåëÿþùèõ ñîîò-
âåòñòâåííî àêòèâíûå è ïàññèâíûå ó÷àñòêè ñáëèæåíèÿ. Íà ýòèõ æå ïðîìåæóòêàõ
ïðåñëåäîâàòåëü ïðèìåíÿåò êîíòðóïðàâëåíèÿ, îïðåäåëÿåìûå ñòðîáîñêîïè÷åñêîé
ñòðàòåãèåé [37]. Äàëåå íàéäåì óñëîâèÿ íà ïàðàìåòðû ïðîöåññà (1), (2), ïðè êîòî-
ðûõ ñáëèæåíèå ìîæíî ðåàëèçîâàòü â êëàññå êîíòðóïðàâëåíèé, íå èñïîëüçóÿ
ïðåäûñòîðèþ óïðàâëåíèÿ óáåãàþùåãî.
Óñëîâèÿ ôîðìóëèðóþòñÿ äëÿ íåêîòîðîãî ôèêñèðîâàííîãî ìîìåíòà âðåìåíè
T , T T g� � � � ��� �( ( ), ( , )) .
Óñëîâèå 3. Åñëè � �( , ( ), ( , ))T g T T M� � , à �* ( , , )T v — ýêñòðåìàëüíûé ñå-
ëåêòîð îòîáðàæåíèÿ A � �( , , )T v , òî ëþáàÿ L B� -èçìåðèìàÿ âåêòîð-ôóíêöèÿ
�( , , )T v , êîìïîíåíòû êîòîðîé óäîâëåòâîðÿþò óñëîâèþ
0 � �i iT v T v( , , ) ( , , )* , ��[ , ]0 T , v V� , i �1, ,� �,
ÿâëÿåòñÿ ñåëåêòîðîì ìíîãîçíà÷íîãî îòîáðàæåíèÿ A � �( , , )T v .
Íåòðóäíî âèäåòü, ÷òî óñëîâèå 3 — ñóùåñòâåííî áîëåå æåñòêîå ïðåäïîëîæå-
íèå, ÷åì óñëîâèå 1. Îíî ÿâëÿåòñÿ àíàëîãîì óñëîâèÿ âûïóêëîçíà÷íîñòè â ìåòîäå
ðàçðåøàþùèõ ôóíêöèé [8].
Óñëîâèå 4. Ïðè � �( , ( ), ( , ))T g T T M� � ôóíêöèÿ inf
v V
T v
�
~( , , ) � èçìåðèìà ïî
��[ , ]0 T è ñïðàâåäëèâî ðàâåíñòâî
inf inf
v
T
v V
T
T v d T v d
( )
~ ( , , ( )) ~ ( , , )
� �
�� � � � � � �
0 0
.
Òåîðåìà 2. Ïóñòü äëÿ èãðîâîé çàäà÷è ñáëèæåíèÿ (1), (2) âûïîëíåíî óñëîâèå
Ïîíòðÿãèíà è ìíîæåñòâî M ÿâëÿåòñÿ âûïóêëûì, ïðè÷åì äëÿ çàäàííîé ôóíêöèè
g( )� è ñåëåêòîðà � ( , )� � �� ñóùåñòâóåò ÷èñëî T
0, T T g� � � � ��� �( ( ), ( , )) , òàêîå,
÷òî âûïîëíåíû óñëîâèÿ 3 è 4.
Òîãäà òðàåêòîðèÿ ïðîöåññà (1) ìîæåò áûòü ïðèâåäåíà íà ìíîæåñòâî (2) â ìî-
ìåíò T ñ ïîìîùüþ íåêîòîðîãî êîíòðóïðàâëåíèÿ.
Äîêàçàòåëüñòâî. Ðàññìîòðèì ñëó÷àé � �( , ( ), ( , ))T g T T M� � . Ñ ó÷åòîì óñëî-
âèÿ 4 îáîçíà÷èì
� �( ) ( , )
*
T T d
T
� �
0
, � �
*
( , ) ~ ( , , )T T v
v V
�
�
inf ,
~ ( , , ) min ( , , )
( , , ) ( , , ) ,
� �
� � ��
T v T v
T v T v i
i�
� �
sup
A 1
,
è ïîëîæèì �
�( , )
( )
( , )
*
T
T
T� �1 .
ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2014, òîì 50, ¹ 2 51
Ïîñêîëüêó ( )T � 1 ïî îïðåäåëåíèþ,
� � �( , ) ( , ) ( , , )
*
*T T T vi � �v V , i �1, ,� �,
�i T v* ( , , ) — êîîðäèíàòû ýêñòðåìàëüíîãî ñåëåêòîðà �* ( , , )T v , â ñèëó óñëî-
âèÿ 3 âåêòîð-ôóíêöèÿ � � �
0
( , ) ( ( , ), , ( , ))T T T
v
� �
� �
ÿâëÿåòñÿ ñåëåêòîðîì ìíî-
ãîçíà÷íîãî îòîáðàæåíèÿ A � �( , , )T v ïðè ëþáîì v V� . Ââåäåì ìíîãîçíà÷íîå
îòîáðàæåíèå
U v u U T u v T A T M T g T* ( , ) : ( , ) ( , ) ( , ) ( , )[ ( , (� � � � � � � �� � � � �{ � ), ( , ))]� T � }, (14)
ãäå
A T
T
T
T
T E( , )
( , )
( , )
( , )
( , )�
�
�
�
��
�
�
�
�
�
��
�
�
�
�
�
��
�
0
0
�
.
Òàê êàê � ��0 ( , ) ( , , )T T v�A , v V� , ��[ , ]0 T , îòîáðàæåíèå U v* ( , )� ïðèíè-
ìàåò íåïóñòûå çíà÷åíèÿ. Îíî çàìêíóòîçíà÷íî è L B� -èçìåðèìî ïî ñîâîêóïíîñòè
( , )� v [28]. Ñëåäîâàòåëüíî, ïî òåîðåìå îá èçìåðèìîì âûáîðå â íåì ñóùåñòâóåò
L B� -èçìåðèìûé ñåëåêòîð u v* ( , )� , êîòîðûé ÿâëÿåòñÿ ñóïåðïîçèöèîííî
èçìåðèìîé ôóíêöèåé.
Ïîëîæèì óïðàâëåíèå ïðåñëåäîâàòåëÿ ðàâíûì
u u v* *( ) ( , ( ))� � �� , ��[ , ]0 T ,
ãäå v( )� , ��[ , ]0 T , — ïðîèçâîëüíîå äîïóñòèìîå óïðàâëåíèå óáåãàþùåãî.
 ñëó÷àå � �( , ( ), ( , ))T g T T M� � âûáåðåì óïðàâëåíèå ïåðâîãî èãðîêà íà ïðî-
ìåæóòêå [ , ]0 T â âèäå u u v0 0
* *( ) ( , ( ))� � �� , ãäå u v0
* ( , )� — íåêîòîðûé èçìåðèìûé ñå-
ëåêòîð îòîáðàæåíèÿ U v* ( , )� ñ íóëåâîé ìàòðè÷íîé ôóíêöèåé A T( , )� .
Èññëåäóåì ïîâåäåíèå òðàåêòîðèè ñèñòåìû (1) ïðè óêàçàííûõ ïðàâèëàõ âû-
áîðà óïðàâëåíèÿ ïåðâûì èãðîêîì.
Åñëè � �( , ( ), ( , ))T g T T M� � , òî èç ðàâåíñòâà (11), ó÷èòûâàÿ (14), ïîëó÷àåì
âêëþ÷åíèå
� � � � � �z T T d T g T T T
T
( ) ( , ) ( , ( ), ( , )) ( , )� �
!
"
#
#
$
%
&
&
� ��1
0
Md
T
�
0
� . (15)
Òàê êàê M K L�co ( ), à �( , )T , ��[ , ]0 T , — íåîòðèöàòåëüíàÿ ôóíêöèÿ è
� �( , )T d
T
0
1� � , èìååì � �( , )T Md M
T
0
� � è, ñëåäîâàòåëüíî, �z T M( )� .
Ñëåäñòâèå 1. Â óñëîâèÿõ òåîðåìû 2 ìåòîä ìîæíî ðåàëèçîâàòü ñ ïîìîùüþ
ñêàëÿðíîé ðàçðåøàþùåé ôóíêöèè. Áîëåå òîãî, îäíèì èç ýêñòðåìàëüíûõ ñåëåêòî-
ðîâ ÿâëÿåòñÿ ôóíêöèÿ, íå çàâèñÿùàÿ îò v.
Ïðèìåð ñ ïðîñòûìè äâèæåíèÿìè. Ïðîèëëþñòðèðóåì òåîðåìó 1 ñ ó÷åòîì
çàìå÷àíèÿ 2.
Ïóñòü äèíàìèêà îáúåêòà çàäàåòñÿ âûðàæåíèåì
�z u v� � , z R� 2 , u U� , v V� ,
52 ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2014, òîì 50, ¹ 2
ãäå
U x y R y x x� � � � �
!
"
#
$
%
&
�
�
�
'
(
)
( , ) : , ,2 2
1
2
1
2
,
V x y R y x x� � � � �
!
"
#
$
%
&
�
�
�
'
(
)
( , ) : , ,2 2
1
2
0 , z x y� ( , ),
à òåðìèíàëüíîå ìíîæåñòâî M *— íà÷àëî êîîðäèíàò. Îãðàíè÷èìñÿ ðàññìîòðå-
íèåì íà÷àëüíûõ ïîëîæåíèé z0 òàêèõ, ÷òî
� � � � � �z x y x y R0
20 0{ }( , ): , .
Ïðèìåíèì ñõåìó ìåòîäà ðàçðåøàþùèõ ôóíêöèé. Òðàåêòîðèþ èñõîäíîãî
êîíôëèêòíî-óïðàâëÿåìîãî ïðîöåññà ìîæíî ïðåäñòàâèòü â âèäå
z t z u v d
t
( ) ( ( ) ( ))� � ��0
0
� � �.
Ñëåäîâàòåëüíî, g t z( ) � 0 , � ( , )t E� � , à �( , )u v u v� � , n � �� 2. Êðîìå òîãî,
M M M* � � �0 0{ }. Ïîýòîìó L R� 2 , à îðòîïðîåêòîð � � E. Óñëîâèå Ïîíòðÿãèíà:
W t U V x y R y x x( , ) ( , ) , , [ , / ]*� � � � � � � ��{ }2 2 0 1 2 , U V z z V U� � � �* :{ },
è èìååò ìåñòî ïîëíîå âûìåòàíèå [1, 7]: U V V U� � �* . Ïîñêîëüêó ìíîæåñòâî
U V�* ñîäåðæèò íóëü, äëÿ ïðîñòîòû ñåëåêòîð � �( , )t âûáåðåì òîæäåñòâåííî ðàâ-
íûì íóëþ: � �( , )t * 0. Òîãäà � �( , ( ), ( , ))t g t t z� � 0 , à ìíîãîçíà÷íîå îòîáðàæåíèå
A 2 ( , , )t v� èìååò âèä
A A2 2 1 2
1
2
00( , , ) ( ) ( , ), :t v v z U vi�
�
�
� � � �
�
�
��
�
�
�� � �
�
�
�
'
(
)
. (16)
 äàííîì ïðèìåðå âñå îòîáðàæåíèÿ íå çàâèñÿò îò t è �.
Äëÿ òîãî ÷òîáû ëó÷øå ïðåäñòàâèòü äåéñòâèå ìàòðèöû
�
�
1
2
�
�
��
�
�
�� , çàìåòèì, ÷òî
�
�
�
� �
�
�
�
�
1
2
1
2
1
0 1
0
�
�
��
�
�
�� �
�
�
��
�
�
���
�
�
��
�
�
�� �
�
�
��
�
�
���
�
�
��
�
�
��
�
�
2
0
1
,
ò.å. îñóùåñòâëÿåòñÿ ïðîåêòèðîâàíèå íà îñè àáñöèññ è îðäèíàò ñ ïîñëåäóþùèì
óìíîæåíèåì ñîîòâåòñòâåííî íà ÷èñëà 1, 2 è ñëîæåíèåì.
Ðàññìîòðèì îòîáðàæåíèå (16).
Äëÿ òîãî ÷òîáû ïðîâåñòè âû÷èñëåíèÿ äî êîíöà, çàôèêñèðóåì � �z0 3 3( , ).
Òîãäà
A 2
0
1 2 2 1 1
02 01 6 0 0( ) ( , ) : , [ , / ] , ( , )v v� � � �{ } ,
A 2
1
1 2 2 1 1
12 01 3 1 2 1( ) ( , ) : , [ , / ] , ( / , )v v� � � � � �{ } .
Ýêñòðåìàëüíûìè ñåëåêòîðàìè îòîáðàæåíèé M ( )v 0 è M ( )v1 , ãäå M ( , , )t v� �
� M ( )v , ÿâëÿþòñÿ âåêòîðû
* ( ) ( , ) ,v 0
1 2
1
6
1
3
� �
�
�
�
�
�
� , * ( ) ( , ) ,v1
1 2
1
3
2
3
� �
�
�
�
�
�
� ,
ãäå � * *( , , ) ( )t v v� .
ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2014, òîì 50, ¹ 2 53
Ñîîòâåòñòâåííî, ó÷èòûâàÿ ~( , , ) ~ ( ) � t v v� , ïîëó÷àåì ~( ) v 0 1
6
� , ~ ( ) v1 1
3
� .
Ìèíèìóì ïî v( )� â ñîîòíîøåíèè (7) äëÿ äàííîãî ïðèìåðà äîñòèãàåòñÿ íà
ïîñòîÿííûõ óïðàâëåíèÿõ óáåãàþùåãî, à èìåííî ïðè v � ( , )0 0 , ïîýòîìó
inf
v
t
t v d
t
( )
~ ( , , ( ))
� �
� � � �
0
6
,
à ñëåäîâàòåëüíî, ìèíèìàëüíîå ãàðàíòèðîâàííîå âðåìÿ t z2 0 0 6( , ) � .
Äëÿ ëþáîé äðóãîé íà÷àëüíîé ïîçèöèè z0 â ïëîñêîñòè ëåãêî ïîñ÷èòàòü, àíà-
ëîãè÷íî ïðåäûäóùåìó, ìèíèìàëüíîå ãàðàíòèðîâàííîå âðåìÿ ñáëèæåíèÿ.
Ôîðìàëüíî óñëîâèå 1 äëÿ äàííîãî ïðèìåðà íå âûïîëíåíî, îíî èìååò ìåñòî
ëèøü ïðè t t1 2� . Ýòî áîëåå ñëàáîå ïðåäïîëîæåíèå, íî åãî äîñòàòî÷íî äëÿ ðåøå-
íèÿ çàäà÷è â ñèëó ñïåöèôèêè îáëàñòåé óïðàâëåíèÿ. Óñëîâèå 2 òàêæå íå èìååò
ìåñòà, íî ñïðàâåäëèâî âêëþ÷åíèå (13), êîòîðîå ïðèâåäåíî â çàìå÷àíèè 2. Óñëî-
âèå 3 íå âûïîëíÿåòñÿ â ñèëó ñâÿçóþùåãî ñîîòíîøåíèÿ 2 12� , è òåîðåìà 2 íå
èìååò ìåñòà äëÿ íà÷àëüíîé òî÷êè, ó êîòîðîé êîîðäèíàòû ñâÿçàíû ñîîòíîøåíèåì
y x0 02� . Îäíàêî åñëè íà÷àëüíàÿ òî÷êà z0 íå ëåæèò íà ïðÿìîé y x� 2 , òî ñêàëÿð-
íàÿ ðàçðåøàþùàÿ ôóíêöèÿ, ñîîòâåòñòâóþùàÿ ïðîñòîé ìàòðèöå A E� (ðàâíûå
äèàãîíàëüíûå ýëåìåíòû), ðàâíà íóëþ. Ñëåäîâàòåëüíî, â ýòîì ñëó÷àå èñïîëüçîâà-
íèå ìàòðè÷íûõ ðàçðåøàþùèõ ôóíêöèé äàåò âûèãðûø â ãàðàíòèðîâàííîì âðåìå-
íè. Åñëè z0 ëåæèò íà ïðÿìîé y x� 2 , òî êîìïîíåíòû ýêñòðåìàëüíûõ ñåëåêòîðîâ
ðàâíû è, ñëåäîâàòåëüíî, ìàòðè÷íàÿ ðàçðåøàþùàÿ ôóíêöèÿ èìååò ðàâíûå äèàãî-
íàëüíûå ýëåìåíòû è ñîîòâåòñòâóåò ïðîñòîé ìàòðèöå. Â ýòîé ñèòóàöèè
ìàòðè÷íûé ìåòîä ñîâïàäàåò ñ ìåòîäîì ñêàëÿðíûõ ðàçðåøàþùèõ ôóíêöèé [8] è
èñïîëüçîâàíèå ìàòðè÷íûõ íå äàåò âûèãðûøà â ãàðàíòèðîâàííîì âðåìåíè.
ÌÎÄÈÔÈÖÈÐÎÂÀÍÍÀß ÑÕÅÌÀ Ñ ÌÀÒÐÈ×ÍÛÌÈ ÐÀÇÐÅØÀÞÙÈÌÈ ÔÓÍÊÖÈßÌÈ
Ðàññìîòðèì îòäåëüíî ñõåìó ìåòîäà, êîòîðàÿ äàåò äîñòàòî÷íûå óñëîâèÿ çàâåðøåíèÿ
èãðû â êëàññå êîíòðóïðàâëåíèé, íåñêîëüêî ìîäèôèöèðîâàâ èñõîäíóþ êîíñòðóêöèþ.
Äëÿ ýòîãî ïðè óñëîâèè Ïîíòðÿãèíà, ôèêñèðîâàííîì ñåëåêòîðå � �( , )t è ìàò-
ðè÷íîé ïðèòÿãèâàþùåé ôóíêöèè ðàññìîòðèì ìíîãîçíà÷íîå îòîáðàæåíèå
A A� �� �( , ) ( , , )t t v
v V
�
�
� , t � �� 0.
Ïðè ëþáûõ ( , )t � �
îíî èìååò íåïóñòîé îáðàç, òàê êàê, ïî êðàéíåé ìåðå,
0�A � �( , , )t v ïðè ëþáûõ ( , )t � �
, v V� . Àíàëîãè÷íî ïðåäûäóùåìó, åñëè
� �( , ( ), ( , ))t g t t M� � äëÿ íåêîòîðîãî t, òî
A �
�
�( , ) [ , ) [ , )t � �� � � ��0 0�
� �
, ��[ , ]0 t .
Åñëè � �( , ( ), ( , ))t g t t M� � , òî îòîáðàæåíèå A � �( , )t çàìêíóòîçíà÷íî. Ñåëåêòî-
ðû îòîáðàæåíèÿ A � �( , )t — âåêòîð-ôóíêöèè
� � ��( , ) ( ( , ), , ( , ))t t t� 1 � ,
ãäå �i t( , ) — ñêàëÿðíûå ôóíêöèè.
Ïî àíàëîãèè ñ îáùåé ñõåìîé ðàññìîòðèì ôóíêöèþ
~( , ) min ( , )
( , ) ( , ) ,
� �
� � ��
t t
t t i
i�
� �
sup
A 1
è ìàðãèíàëüíîå ìíîæåñòâî ñåëåêòîðîâ èç îòîáðàæåíèÿ A � �( , )t
M ( , ) ( , ) :~ ( , ) min ( , )
,
t t t t
i
i� � � �
�
� �
�
{ }
1
.
54 ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2014, òîì 50, ¹ 2
Ìíîãîçíà÷íûå îòîáðàæåíèÿ A � �( , )t , M ( , )t � èçìåðèìû ïî �, ��[ , ]0 t , è çàìêíó-
òîçíà÷íû. Ïîýòîìó ñðåäè ýêñòðåìàëüíûõ ñåëåêòîðîâ îòîáðàæåíèÿ M ( , )t � ñó-
ùåñòâóåò õîòÿ áû îäèí èçìåðèìûé ïî �. Çàôèêñèðóåì åãî è îáîçíà÷èì �* ( , )t .
Ðàññìîòðèì ìíîæåñòâî
+� � � �( ( ), ( , )) : ~ ( , )g t t d
t
� � � � � �
�
�
,
�,
'
(
,
),
�0 1
0
(17)
è ôóíêöèþ + +� �� �0 ( ( ), ( , )) inf : ( ( ), ( , ))g t t g� � � � � � � �{ }.
Åñëè �( , )t — èçìåðèìûé ïî � ñåëåêòîð îòîáðàæåíèÿ A � �( , )t , òî ~( , ) �t —
èçìåðèìàÿ ïî � ôóíêöèÿ è èíòåãðàë â (17) èìååò ñìûñë. Ïðè ýòîì, åñëè äëÿ íåêî-
òîðîãî t èìååì � �( , ( ), ( , ))t g t t M� � , òî ~( , ) �t � �� ïðè ��[ , ]0 t .
Óñëîâèå 5. Åñëè + +� � � � ��� �( ( ), ( , ))g , òî äëÿ ýêñòðåìàëüíîãî ñåëåêòîðà
�* ( , )+ åãî óñå÷åííûé ñåëåêòîð
�
�
��( , ) ( ( , ), , ( , ))+ + +� 1 � ,
�
� �
�
i
i
i
t
t
( , )
( , ), [ , ],
, [ , ],
*
+
+ +
+
�
�
�
�
�
� 0
� �i
ti
d* ( , )+
0
1� � , i �1, ,� �, (18)
ÿâëÿåòñÿ èçìåðèìûì ñåëåêòîðîì ìíîãîçíà÷íîãî îòîáðàæåíèÿ A � �( , )+ .
Òåîðåìà 3. Ïóñòü äëÿ êîíôëèêòíî-óïðàâëÿåìîãî ïðîöåññà (1), (2) âûïîëíå-
íî óñëîâèå Ïîíòðÿãèíà, à òàêæå óñëîâèÿ 2 è 5. Ïðè ýòîì äëÿ çàäàííîé ôóíêöèè
g( )� è âûáðàííîãî ñåëåêòîðà � ( , )� � �� ìíîæåñòâî +� �( ( ), ( , ))g � � � �� è
+ +� � � �� �( ( ), ( , ))g . Òîãäà òðàåêòîðèÿ ïðîöåññà (1) ìîæåò áûòü ïðèâåäåíà íà
ìíîæåñòâî (2) â ìîìåíò + ñ ïîìîùüþ êîíòðóïðàâëåíèé.
Äîêàçàòåëüñòâî. Ïóñòü � �( , ( ), ( , ))+ + +g M� � . Ðàññìîòðèì ýêñòðåìàëüíûé
ñåëåêòîð �* ( , )+ îòîáðàæåíèÿ M ( , )+ � . Ñïðàâåäëèâî íåðàâåíñòâî
� �
�
i
i
i
*
, ,
*( , ) min ( , )+ +�
�1 �
� � �i 1 0, , , [ , ]� � � + .
Èç íåðàâåíñòâà â ñîîòíîøåíèè (17) ïîëó÷èì
� �i d* ( , )+
+
�� 1
0
, i �1, ,� �.
Ââåäåì êîíòðîëüíûå ôóíêöèè
h t di i
t
( ) ( , )*� � ��1 1
0
� �+ , i �1, �.
Îíè íåïðåðûâíû ïî t, íå âîçðàñòàþò è hi ( )0 1� . Íî ïîñêîëüêó èç (17) âûòåêà-
åò, ÷òî hi ( )+ 0, ñóùåñòâóþò òàêèå ìîìåíòû ti , ti �[ , ]0 + , ÷òî h ti i( ) � 0.
Îïèøåì ïðîöåññ óïðàâëåíèÿ ïåðâûì èãðîêîì.
Ââåäåì ìàòðè÷íóþ ôóíêöèþ
B( , )
( , )
( , )
( , )
+
+
+
+
�
�
�
��
�
�
�
�
�
�
��
�
�
�
�
�
��
1
2
0
0
�
,
ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2014, òîì 50, ¹ 2 55
çàìåòèâ, ÷òî äèàãîíàëüíûå ýëåìåíòû îáëàäàþò ñâîéñòâîì
� �i d( , )+
+
�� 1
0
, i �1, ,� �,
è ðàññìîòðèì êîìïàêòîçíà÷íîå îòîáðàæåíèå
U v u U u v M g1 ( , ) : ( , ) ( , ) ( , ) ( , )[ ( , (� � � � � � � �� � � � �{ B� + + + + +), ( , ))]� + � }. (19)
 ñèëó óñëîâèÿ 5 âåêòîð-ôóíêöèÿ
�
�
��( , ) ( ( , ), , ( , ))+ + +� 1 � ÿâëÿåòñÿ
èçìåðèìûì ñåëåêòîðîì ìíîãîçíà÷íîãî îòîáðàæåíèÿ A � �( , )+ , ïîýòîìó îòîáðàæå-
íèå U v1 ( , )� èìååò íåïóñòûå îáðàçû è L B� -èçìåðèìî ïî ñîâîêóïíîñòè ( , )� v [28].
 ñèëó òåîðåìû èçìåðèìîãî âûáîðà â íåì ñóùåñòâóåò õîòÿ áû îäèí L B� -èçìå-
ðèìûé ñåëåêòîð u v1 ( , )� , êîòîðûé ÿâëÿåòñÿ ñóïåðïîçèöèîííî èçìåðèìîé ôóíêöè-
åé [8]. Åñëè v( )� , v V:[ , ]0 + , — ïðîèçâîëüíàÿ èçìåðèìàÿ ôóíêöèÿ, äîïóñòèìîå
óïðàâëåíèå óáåãàþùåãî, òî óïðàâëåíèå ïåðâîãî èãðîêà ïîëîæèì ðàâíûì
u u v( ) ( , ( ))� � �� 1 , ��[ , ]0 + .
Åñëè � �( , ( ), ( , ))+ + +g M� � , òî óïðàâëåíèå ïåðâîãî èãðîêà âûáåðåì àíàëî-
ãè÷íî ïðåäûäóùåìó ñëó÷àþ, ãäå â ñîîòíîøåíèè (19) ìàòðè÷íàÿ ôóíêöèÿ B( , )+ �
çàäàåòñÿ íóëü-ìàòðèöåé.
Òàêèì îáðàçîì, åñëè � �( , ( ), ( , ))+ + +g M� � , òî èç ïðåäñòàâëåíèÿ (11) èìååì
� � � � � � � �z g u v d( ) ( ) ( , ) ( ( ), ( ))+ + � +
+
� � �
0
,
à ñ ó÷åòîì (19) îòñþäà ïîëó÷èì âêëþ÷åíèå
� � � � � �z E d g( ) ( , ) ( , ( ), ( , )) ( , )+ + + + + +
+
� �
�
�
�
�
�
�
�
�
� �� B B
0
Md�
0
+
� . (20)
Ïîñêîëüêó âûïîëíåíî óñëîâèå 2 è B( , )+
+
� �d E
0
� � , èìååì
B( , )+
+
� �Md M��
0
,
à ñëåäîâàòåëüíî, �z M( )+ � .
Åñëè � �( , ( ), ( , ))+ + +g M� � , òî èç âêëþ÷åíèÿ (20) ïðè íóëü-ìàòðèöå B( , )+ �
àâòîìàòè÷åñêè ñëåäóåò �z M( )+ � .
Çàìå÷àíèå 6. Âìåñòî óñëîâèÿ 2 äîñòàòî÷íî âêëþ÷åíèÿ
B( , )+
+
� �Md M��
0
.
Ïðè ýòîì îñòàþòñÿ ñïðàâåäëèâûìè âñå óòâåðæäåíèÿ çàìå÷àíèé 2 è 3.
ÑÕÅÌÀ Ñ ÔÈÊÑÈÐÎÂÀÍÍÛÌÈ ÒÎ×ÊÀÌÈ ÒÅËÅÑÍÎÉ ×ÀÑÒÈ
ÒÅÐÌÈÍÀËÜÍÎÃÎ ÌÍÎÆÅÑÒÂÀ
 ìåòîäå ðàçðåøàþùèõ ôóíêöèé [7, 8], êàê âèäíî èç âûðàæåíèÿ (5) äëÿ ìíî-
ãîçíà÷íîãî îòîáðàæåíèÿ A � �( , , )t v , ïðèòÿãèâàíèå ìíîæåñòâà M t g t t� �� �( , ( ), ( , ))
ê ïåðåñå÷åíèþ ñ ìíîãîçíà÷íûì îòîáðàæåíèåì W t v t( , , ) ( , )� � �� îñóùåñòâëÿ-
ëîñü ñ ïîìîùüþ ïðîñòîé ìàòðè÷íîé ôóíêöèè �( , , )t v E â êîíóñå, íàòÿíóòîì
íà äàííîå ìíîæåñòâî. Â ïðåäëîæåííîé ñõåìå ðàñøèðåíû âîçìîæíîñòè ïðèòÿ-
ãèâàíèÿ. Ýòó ïðîöåäóðó îñóùåñòâëÿåò ìàòðè÷íàÿ ôóíêöèÿ A t v( , , )� ñ ðàçëè÷-
íûìè äèàãîíàëüíûìè ýëåìåíòàìè. Ïðè ýòîì êàñàíèå ìíîæåñòâ ïðîèñõîäèò,
56 ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2014, òîì 50, ¹ 2
âîîáùå ãîâîðÿ, â ðàçëè÷íûõ òî÷êàõ ìíîãîçíà÷íûõ îòîáðàæåíèé â çàâèñèìîñòè
îò èõ àðãóìåíòîâ. Äîñòàòî÷íûìè óñëîâèÿìè ñáëèæåíèÿ, êðîìå óñëîâèÿ Ïîí-
òðÿãèíà è êîíå÷íîñòè ÷èñëà T , ÿâëÿþòñÿ â ñëó÷àå ñêàëÿðíûõ ðàçðåøàþùèõ
ôóíêöèé — âûïóêëîñòü ìíîæåñòâà M ( )M M� co , à ìàòðè÷íûõ ôóíêöèé —
áîëåå æåñòêîå óñëîâèå — H-âûïóêëîñòü ìíîæåñòâà M .
Äëÿ òîãî ÷òîáû èçáàâèòüñÿ îò ýòèõ îãðàíè÷èòåëüíûõ óñëîâèé è ýôôåêòèâíî
èñïîëüçîâàòü ìàòðè÷íûå ðàçðåøàþùèå ôóíêöèè, ðàññìîòðèì ñõåìó, îðèåíòèðî-
âàííóþ íà ñáëèæåíèå ñ íåêîòîðîé ôèêñèðîâàííîé íà âñþ èãðó òî÷êîé ìíîæåñ-
òâà M , âûáîð êîòîðîé îïðåäåëÿåòñÿ ïåðâûì èãðîêîì. Îäíàêî ïðè ýòîì
âîçìîæíî óâåëè÷åíèå ãàðàíòèðîâàííîãî âðåìåíè.
Ïóñòü m M� , ïðè÷åì
� �( , ) ( , ( ), ( , ))t m t g t t m� � � , � ( , )t t� �� . (21)
Ââåäåì ìíîãîçíà÷íîå îòîáðàæåíèå
A � �( , , , )t v m �
� � � �
�
�
�
�
�
��
�
�
�
�
�
��
�( , , ); : ( , ) (
�
�
1
1
20
0
0
i t m W t
�
, , ) ( , )� � �v t�
�
�
,
,
�
,
,
'
(
,
,
)
,
,
.
Ïðåäïîëàãàåòñÿ âûïîëíåííûì óñëîâèå Ïîíòðÿãèíà è, ñëåäîâàòåëüíî,
dom A � � � �
V M .
Ïðè ýòîì îòîáðàæåíèå A � �( , , , )t v m ïðèíèìàåò çíà÷åíèÿ èç 2R �
. Çàìåòèì, ÷òî
ïðè
( , )t m � 0 èìååì
A �
�
�( , , , ) [ , ) [ , )t v m � �� � � ��0 0�
� �
ïðè ëþáûõ ��[ , ]0 t , v V� .
Ìíîãîçíà÷íîå îòîáðàæåíèå A � �( , , , )t v m ÿâëÿåòñÿ çàìêíóòîçíà÷íûì,
L B� -èçìåðèìûì ïî ñîâîêóïíîñòè ( , )� v [8] è ñîäåðæèò �-ìåðíûé íóëü ïðè
( , )t � �
, v V� , m M� .
Ìàòðè÷íàÿ ôóíêöèÿ
A t v m
t v m
t v m
t v m
( , , , )
( , , , )
( , , , )
( , , , )
�
�
�
��
�
�
�
� 1
2
0
0
�
�
�
��
�
�
�
�
�
��
,
�i V M R i: , , ,
� � �� 1 � ,
âõîäÿùàÿ â ñîîòíîøåíèå (21), èìååò äèàãîíàëüíûé âèä, è åå ýëåìåíòû
� � ��( , , , ) ( ( , , , ), , ( , , , ))t v m t v m t v m� 1 � îáðàçóþò ñåëåêòîð ìíîãîçíà÷íîãî
îòîáðàæåíèÿ A � �( , , , )t v m , îäíîâðåìåííî ÿâëÿÿñü åå ñîáñòâåííûìè ÷èñëàìè.
Ïîñòðîèì íà èõ îñíîâå ñêàëÿðíóþ ôóíêöèþ
~( , , , ) min ( ,
( , , , ) ( , , , ) ,
�
� � ��
t v m t
t v m t v m i
i�
� �
sup
A 1
�, , )v m ,
äåéñòâóþùóþ èç
� �V M â R� .
Åñëè òî÷íàÿ âåðõíÿÿ ãðàíü äîñòèãàåòñÿ â âûðàæåíèè äëÿ ~( , , , ) �t v m , òî
îáîçíà÷èì
M A( , , , ) ( , , , ) ( , , , ): min ( , ,
,
t v m t v m t v m t
i
i� � � ��
�
� �
�
{
1
v m t v m, ) ~ ( , , , )� � }.
ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2014, òîì 50, ¹ 2 57
Ýòî îòîáðàæåíèå L B� -èçìåðèìî ïî ñîâîêóïíîñòè ( , )� v è çàìêíóòîçíà÷íî. Ïî-
ýòîìó â ñèëó òåîðåìû èçìåðèìîãî âûáîðà â íåì ñóùåñòâóåò õîòÿ áû îäèí
ýêñòðåìàëüíûé L B� -èçìåðèìûé ïî ñîâîêóïíîñòè ( , )� v ñåëåêòîð. Çàôèêñèðóåì
åãî è îáîçíà÷èì �* ( , , , )t v m .
Ðàññìîòðèì ìíîæåñòâî
T� � � � �( ( ), ( , ), ) : ~ ( , , ( ), )
( )
g m t t v m d
v
t
� � � � � �
�
{ inf0 1
0
� } (22)
è åãî íàèìåíüøèé ýëåìåíò
� � �� �( ( ), ( , ), ) inf ( ( ), ( , ), )g m g m� � � � � � �T .
 ñèëó ñâîéñòâ ìíîãîçíà÷íîãî îòîáðàæåíèÿ A � �( , , , )t v m ôóíêöèÿ ~( , , , ) �t v m
L B� -èçìåðèìà ïî ñîâîêóïíîñòè ( , )� v , òàê êàê îíà ñîñòàâëåíà íà îñíîâå êîì-
ïîíåíò ñåëåêòîðà �* ( , , , )t v m è, ñëåäîâàòåëüíî, ñóïåðïîçèöèîííî èçìåðèìà.
À çíà÷èò, èíòåãðàë â ñîîòíîøåíèè (22) êîððåêòíî îïðåäåëåí.
Çàìåòèì, ÷òî åñëè
( , )t m � 0, òî ~( , , , ) �t v m � �� äëÿ ��[ , ]0 t , v V� , è çíà÷å-
íèå èíòåãðàëà â (22) ñëåäóåò ïîëîæèòü ðàâíûì ��. Åñëè íåðàâåíñòâî â (22) íå
èìååò ìåñòà ïðè t
0, òî ïîëîæèì T� �( ( ), ( , ), )g m� � � ��.
Óñëîâèå 6. Åñëè äëÿ ôèêñèðîâàííîé òî÷êè m M� èìååì
T T� � � � ��� �( ( ), ( , ), )g m ,
òî äëÿ ýêñòðåìàëüíîãî ñåëåêòîðà �* ( , , , )T v m åãî óñå÷åííûå ñåëåêòîðû
�
�
��( , , , ) ( ( , , , ), , ( , , , ))T T Tv m v m v m� 1 �
�
� �
�
( , , , )
( ( , , , ), [ , ),
, [ , ],
T
T
T
v m
v m t
t
i
i
�
�
�
�
�
�
1 0
0
(23)
ÿâëÿþòñÿ ñåëåêòîðàìè ìíîãîçíà÷íîãî îòîáðàæåíèÿ A T� �( , , , )v m , ��[ , ]0 T ,
v V� , äëÿ ëþáûõ ti �[ , ]0 T , i �1, ,� �.
Òåîðåìà 4. Ïóñòü äëÿ êîíôëèêòíî-óïðàâëÿåìîãî ïðîöåññà (1), (2) âûïîëíå-
íî óñëîâèå Ïîíòðÿãèíà. Êðîìå òîãî, äëÿ çàäàííîé ôóíêöèè g( )� , âûáðàííîãî ñå-
ëåêòîðà � ( , )� � �� è ôèêñèðîâàííîé òî÷êè m M� èìååì
T T� � � � ��� �( ( ), ( , ), )g m ,
ïðè÷åì âûïîëíåíî óñëîâèå 6.
Òîãäà òðàåêòîðèÿ ïðîöåññà (1) ìîæåò áûòü ïðèâåäåíà íà àôôèííîå ìíîãîîá-
ðàçèå M m0 � â ìîìåíò T ñ ïîìîùüþ óïðàâëåíèÿ âèäà (3).
Äîêàçàòåëüñòâî. Ðàññìîòðèì ñíà÷àëà ñëó÷àé
( , )T m � 0. Äëÿ êîìïîíåíò
L B� -èçìåðèìîãî ýêñòðåìàëüíîãî ñåëåêòîðà �* ( , , , )T v m èìååò ìåñòî î÷åâèäíîå
íåðàâåíñòâî
� �
�
i
i
iv m v m*
, ,
*( , , , ) min ( , , , )T T�
�1 �
.
Åñëè v( )� , ��[ , ]0 T , — ïðîèçâîëüíîå äîïóñòèìîå óïðàâëåíèå óáåãàþùåãî,
òî èç íåðàâåíñòâà â ñîîòíîøåíèè (22) ïîëó÷èì
� � �i v m d* ( , , ( ), )
0
1
T
T� � � �i v1, ,� .
Êîíòðîëüíûå ôóíêöèè
h t v m di i
t
( ) ( , , ( ), )*� � �1
0
� � �T , i �1, �,
àáñîëþòíî íåïðåðûâíû, íå âîçðàñòàþò è hi ( )0 1� , hi ( )T 0. Ïîýòîìó ñóùåñò-
âóåò òàêîé ìîìåíò ti
* , ÷òî h ti i( )* � 0 , ïðè÷åì t t vi i
* * ( ( ))� � .
58 ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2014, òîì 50, ¹ 2
Ââåäåì óñå÷åííûå ôóíêöèè (23)
�i v m( , , , )T ñ t ti i� * è ðàññìîòðèì îòîáðà-
æåíèå
U v u U v m m u v2 ( , ) : ( , , , ) ( , ) ( , ) ( , ) ( ,� �
� � � � �� � � � �{ B T T T T� )}, (24)
ãäå
B
0
0
( , , , )
( , , , )
( , , , )
( , , , )
T
T
T
T
�
�
�
��
v m
v m
v m
v m
�
�
�
� 1
2
�
�
�
��
�
�
�
�
�
��
.
Çàìåòèì, ÷òî
� � �1
0
1 1( , ( ), ) , , ,T v m d i v
ti
*
� � � � .
 ñèëó óñëîâèÿ 6 âåêòîð-ôóíêöèÿ
�( , , , )T v m ÿâëÿåòñÿ L B� -èçìåðèìûì ïî
ñîâîêóïíîñòè ( , )� v ñåëåêòîðîì îòîáðàæåíèÿ A T� �( , , , )v m , ïîýòîìó îòîáðà-
æåíèå U v2 ( , )� L B� -èçìåðèìî. Ñîãëàñíî òåîðåìå èçìåðèìîãî âûáîðà â íåì
ñóùåñòâóåò L B� -èçìåðèìûé ñåëåêòîð u v2 ( , )� , ÿâëÿþùèéñÿ ñóïåðïîçèöèîííî
èçìåðèìîé ôóíêöèåé. Ïîëîæèì óïðàâëåíèå ïðåñëåäîâàòåëÿ ðàâíûì
u u v( ) ( , ( ))� � �� 2 , ��[ , ]0 T . Ïðè
( , )T m � 0 óïðàâëåíèå ïåðâîãî èãðîêà âûáåðåì
àíàëîãè÷íî (24), íî ñ íóëåâîé ìàòðèöåé B( , , , )T � v m .
Ïðîñëåäèì çà òðàåêòîðèåé ïðîöåññà (1), ñîîòâåòñòâóþùåé ïðîèçâîëüíîìó
äîïóñòèìîìó óïðàâëåíèþ óáåãàþùåãî è óêàçàííîìó óïðàâëåíèþ ïðåñëåäîâàòå-
ëÿ. Åñëè
( , )T m � 0, òî, èìåÿ ïðåäñòàâëåíèå ïðîåêöèè òðàåêòîðèè
� � � � � � � �z g u v d( ) ( ) ( , ) ( ( ), ( ))T T T
T
� � � �
0
,
ïðèáàâèâ è âû÷òÿ èç ïðàâîé ÷àñòè âåêòîðû � � �( , )T
T
0
� d , m è èñïîëüçîâàâ âûðà-
æåíèå (24), ïîëó÷èì
� � �
z E v m d m m( ) ( , , , ) ( , )T T T
T
� �
�
�
�
�
�
�
�
�
�� B
0
.
(25)
Cëåäîâàòåëüíî, �z m(T) � ñ ó÷åòîì ðàâåíñòâà
B( , , ( ), )T
T
� � �v m d E
0
� � .
Ïîñëåäíåå îçíà÷àåò âûõîä òðàåêòîðèè íà àôôèííîå ìíîãîîáðàçèå M m0 �
â ìîìåíò T.
Åñëè
( , )T m � 0, òî èç (25) àâòîìàòè÷åñêè ñëåäóåò �z m( )T � .
Óñëîâèå 7. Ôóíêöèÿ � �� ( ( ), ( , ), )g m� � � ïîëóíåïðåðûâíà ñíèçó ïî m, m M� .
Îáîçíà÷èì
� � � � �� � �� � � � � � � �
�
( ( ), ( , )) min ( ( ), ( , ), )g g m
m M
è ðàññìîòðèì ìíîãîçíà÷íîå îòîáðàæåíèå, ñîñòîÿùåå èç ýêñòðåìàëüíûõ ýëå-
ìåíòîâ:
M ( ( ), ( , )) : ( ( ), ( , )) ( ( ), ( , )g m M g g� � � � � � � � � � � �� � � � �� �{ , )m }.
Ñëåäñòâèå 2. Â ïðåäïîëîæåíèÿõ òåîðåìû 4 ïðè äîïîëíèòåëüíîì óñëîâèè 7
òðàåêòîðèÿ ñèñòåìû (1) ìîæåò áûòü ïðèâåäåíà â ëþáóþ òî÷êó ìíîæåñòâà
M g0 � � � �M ( ( ), ( , ))� â ìîìåíò �� ñ ïîìîùüþ óïðàâëåíèÿ âèäà (3).
ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2014, òîì 50, ¹ 2 59
ÑÐÀÂÍÅÍÈÅ ÃÀÐÀÍÒÈÐÎÂÀÍÍÛÕ ÂÐÅÌÅÍ
Äëÿ êîíôëèêòíî-óïðàâëÿåìîãî ïðîöåññà (1), (2) ïðè óñëîâèè Ïîíòðÿãèíà ðàññìîò-
ðèì ãàðàíòèðîâàííûå âðåìåíà ïåðâîãî ïðÿìîãî ìåòîäà Ïîíòðÿãèíà [1, 6–8]
P( ( )) : ( ) ( , )g t g t M W t d
t
� � � � �
�
�
,
�,
'
(
,
),
�0
0
� � � (26)
è ìèíèìàëüíîå ãàðàíòèðîâàííîå âðåìÿ
p g t t g( ( )) inf{ : ( ( ))� � � � �0 P }.
Èíòåãðàëîì îò ìíîãîçíà÷íîãî îòîáðàæåíèÿ ÿâëÿåòñÿ èíòåãðàë Àóìàíà. Êàê
ïîêàçàíî â [8] â òåðìèíàõ ðàçðåøàþùèõ ôóíêöèé, ñîîòíîøåíèå (26) ìîæíî âûðà-
çèòü â âèäå òàê íàçûâàåìîé ôóíêöèîíàëüíîé ôîðìû ïåðâîãî ïðÿìîãî ìåòîäà [7].
Ñîõðàíèâ âñå ïðåäûäóùèå îáîçíà÷åíèÿ, ðàññìîòðèì ìíîãîçíà÷íîå
îòîáðàæåíèå
C t c W t t c M t g t t( , ) :[ ( , ) ( , )] [ ( , ( ), ( , ))]� � � � � �� � � - � � �{ 0 �} (27)
è åãî îïîðíóþ ôóíêöèþ â íàïðàâëåíèè �1
c t c c C t( , ) : ( , )� �� �sup { }, t � �� 0.
Ââåäåì ìíîæåñòâî ãàðàíòèðîâàííûõ âðåìåí
P( ( ), ( , )) : ( , )g t c t d
t
� � � � � �
�
�
,
�,
'
(
,
),
�� � �0 1
0
è ìèíèìàëüíîå ãàðàíòèðîâàííîå âðåìÿ
p g t t g( ( ), ( , )) : ( ( ), ( , ))� � � � � � � � �� �inf { P }0 .
Èìååò ìåñòî âêëþ÷åíèå
P P( ( ), ( , ) ( ( ))g g� � � � �� � � � � �� ( , ) , ( )� g ,
à ïðè íåêîòîðûõ äîïîëíèòåëüíûõ ïðåäïîëîæåíèÿõ [8, òåîðåìà 6]
min ( ( ), ( , )) ( ( ))
( , )�
�
� � �
� � � � �
�
p g p g � �g( ).
Ñâÿçü ïåðâîãî ïðÿìîãî ìåòîäà ñ ðàçðåøàþùèìè ôóíêöèÿìè ÷àñòè÷íî ïðîÿñ-
íÿåò ñëåäóþùåå óòâåðæäåíèå [7, 8].
Äëÿ òîãî ÷òîáû
� � �g t M W t d
t
( ) ( , )� � �
0
,
íåîáõîäèìî è äîñòàòî÷íî, ÷òîáû ñóùåñòâîâàë òàêîé ñåëåêòîð � ( , )t t� �� , ÷òî
� �( , ( ), ( , ))t g t t M� � .
Èç ïîñòðîåíèé ïðåäûäóùèõ ðàçäåëîâ, êàñàþùèõñÿ ðàçëè÷íûõ ñõåì ìåòîäà
ðàçðåøàþùèõ ôóíêöèé, âûòåêàþò ñëåäóþùèå óòâåðæäåíèÿ.
Óòâåðæäåíèå 1. Ïóñòü äëÿ êîíôëèêòíî-óïðàâëÿåìîãî ïðîöåññà (1), (2) âû-
ïîëíåíî óñëîâèå Ïîíòðÿãèíà. Òîãäà:
. ñóùåñòâóåò òàêîé ñåëåêòîð � ( , )� � ��, ÷òî
P( ( )) ( ( ), ( , ))g T g� � � � �� � � �g( )
è, ñëåäîâàòåëüíî, t g p g� �( ( ), ( , )) ( ( ))� � � � � �g( );
. ñóùåñòâóåò òàêîé ñåëåêòîð � ( , )� � ��, ÷òî
P( ( )) ( ( ), ( , ))g g� � � � �+� � � �g( )
60 ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2014, òîì 50, ¹ 2
è, ñëåäîâàòåëüíî,
+� �( ( ), ( , )) ( ( ))g g� � � �P � �g( ) ;
. ñóùåñòâóþò òàêîé ñåëåêòîð � ( , )� � �� è òî÷êà m M� , ÷òî
P( ( )) ( ( ), ( , ), )g g m� � � � �T� � ,
à çíà÷èò, � �� ( ( ), ( , ), ) ( ( ))g m p g� � � � � �g( ).
Óòâåðæäåíèå 2. Ïóñòü äëÿ êîíôëèêòíî-óïðàâëÿåìîãî ïðîöåññà (1), (2) âû-
ïîëíåíî óñëîâèå Ïîíòðÿãèíà. Òîãäà:
. èìååò ìåñòî âêëþ÷åíèå
+� �� �( ( ), ( , )) ( ( ), ( , ))g T g� � � � � � � � � � � �g( ), ( , )� �
è, ñëåäîâàòåëüíî,
t g g� �� �( ( ), ( , )) ( ( ), ( , ))� � � � � �+0 � � � � �g( ), ( , )� �;
. ñïðàâåäëèâû ñîîòíîøåíèå
T� �� �( ( ), ( , ), ) ( ( ), ( , ))g m T g� � � � � � �
è ñîîòâåòñòâåííî
t g m t g� �� �( ( ), ( , ), ) ( ( ), ( , ))� � � � � � � � � � � � �m M g, ( , ) , ( )� � .
Óòâåðæäåíèå 3. Ïóñòü äëÿ êîíôëèêòíî-óïðàâëÿåìîãî ïðîöåññà (1), (2) âû-
ïîëíåíî óñëîâèå Ïîíòðÿãèíà. Òîãäà:
. åñëè òåðìèíàëüíîå ìíîæåñòâî M * ÿâëÿåòñÿ àôôèííûì ìíîãîîáðàçèåì
( )M m� { } , òî
T g g m� �� �( ( ), ( , )) ( ( ), ( , ), )� � � � � � �T ,
t g g m� �� � �( ( ), ( , )) ( ( ), ( , ), )� � � � � � � � � � � �g( ), ( , )� �;
. åñëè òåðìèíàëüíîå ìíîæåñòâî — àôôèííîå ìíîãîîáðàçèå è âûïîëíåíî
óñëîâèå 3, òî
min ( ( ), ( , ))
( , )�
� �
� � �
� � � �
�
t g p g= ( ( )) � �g( );
. åñëè òåðìèíàëüíîå ìíîæåñòâî ÿâëÿåòñÿ àôôèííûì ìíîãîîáðàçèåì, òî
min ( ( ), ( , ))
( , )�
� �
� � �
� � � �
�
+0 g p g= ( ( )) � �g( ).
Èç óòâåðæäåíèÿ 3, â ÷àñòíîñòè, ñëåäóåò, ÷òî âñå ðàññìîòðåííûå ìèíèìàëü-
íûå ãàðàíòèðîâàííûå âðåìåíà ñîâïàäàþò, åñëè âûïîëíåíî óñëîâèå 3, à òåðìè-
íàëüíîå ìíîæåñòâî — àôôèííîå ìíîãîîáðàçèå.
ÇÀÊËÞ×ÅÍÈÅ
 íàñòîÿùåé ðàáîòå ââåäåíû ìàòðè÷íûå ðàçðåøàþùèå ôóíêöèè äëÿ ðåøåíèÿ
èãðîâûõ çàäà÷ ñáëèæåíèÿ. Ñ èõ ïîìîùüþ óñòàíîâëåíû äîñòàòî÷íûå óñëîâèÿ
ñáëèæåíèÿ òðàåêòîðèè ïðîöåññà çà êîíå÷íîå âðåìÿ ñ öèëèíäðè÷åñêèì òåðìè-
íàëüíûì ìíîæåñòâîì â ñëó÷àå ñïåöèàëüíîãî ïðåäñòàâëåíèÿ ðåøåíèÿ. Îòäåëü-
íî ðàññìîòðåíû ñèòóàöèè ñáëèæåíèÿ â êëàññå êâàçè- è ñòðîáîñêîïè÷åñêèõ
ñòðàòåãèé. Óïðàâëÿþùèå ôóíêöèè âûáèðàþòñÿ â âèäå êîíòðóïðàâëåíèé íà
îñíîâå òåîðåì èçìåðèìîãî âûáîðà ñåëåêòîðîâ èç L B� -èçìåðèìûõ çàìêíó-
òîçíà÷íûõ îòîáðàæåíèé, ïðè ýòîì îáåñïå÷èâàåòñÿ èõ ñóïåðïîçèöèîííàÿ èçìå-
ðèìîñòü. Ïðîâåäåí ñðàâíèòåëüíûé àíàëèç ãàðàíòèðîâàííûõ âðåìåí.
Ðåçóëüòàòû òåîðåòè÷åñêèõ èññëåäîâàíèé èëëþñòðèðóþòñÿ íà ïðîñòîì ìî-
äåëüíîì ïðèìåðå, ïîêàçûâàþùåì ïðåèìóùåñòâî ìàòðè÷íûõ ðàçðåøàþùèõ
ôóíêöèé íàä ñêàëÿðíûìè, îòêðûâàþùèõ íîâûå âîçìîæíîñòè â èçó÷åíèè èãðî-
âûõ çàäà÷ äèíàìèêè.
ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2014, òîì 50, ¹ 2 61
ÑÏÈÑÎÊ ËÈÒÅÐÀÒÓÐÛ
1. Ï î í ò ð ÿ ã è í Ë . Ñ . Èçáðàííûå íàó÷íûå òðóäû. — Ì.: Íàóêà, 1988. — T. 2. — 576 ñ.
2. Ê ð à ñ î â ñ ê è é Í . Í . Èãðîâûå çàäà÷è î âñòðå÷å äâèæåíèé. — Ì.: Íàóêà, 1970. — 420 ñ.
3. P s c h e n i t c h n y B . N . �-strategies in differential games // Topics in Differential Games. — New
York; London; Amsterdam: North Holland Publ. Co, 1973. — P. 45–99.
4. I s a a c s R . Differential games. — New York: John Wiley, 1965. — 480 p.
5. Ñ ó á á î ò è í À . È . , × å í ö î â À . à . Îïòèìèçàöèÿ ãàðàíòèè â çàäà÷àõ óïðàâëåíèÿ. — Ì.:
Íàóêà, 1981. — 288 ñ.
6. Í è ê î ë ü ñ ê è é Ì . Ñ . Ïåðâûé ïðÿìîé ìåòîä Ë.Ñ. Ïîíòðÿãèíà â äèôôåðåíöèàëüíûõ èãðàõ.
— Ì.: Èçä-âî ÌÃÓ, 1984. — 65 ñ.
7. C h i k r i i A . A . Conflict controlled processes. — Boston; London; Dordrecht: Kluwer Acad.
Publ., 1997. — 424 p.
8. × è ê ð è é À . À . Îá îäíîì àíàëèòè÷åñêîì ìåòîäå â äèíàìè÷åñêèõ èãðàõ ñáëèæåíèÿ // Òð.
ÌÈ ÐÀÍ èì. Â.À. Ñòåêëîâà. — 2010. — 271. — Ñ. 76–92.
9. C h i k r i i A . A . Quasilinear controlled processes under conflict, dynamical systems. 2 // J. Math.
Sci. — 1996. — 80, N 1. — P. 1489–1518.
10. A u b i n J . - P . , F r a n k o w s k a H . Set-valued analysis. — Boston; Basel; Berlin: Birkhauser,
1990. — 461 p.
11. È î ô ô å À . Ä . , Ò è õ î ì è ð î â Â . Ì . Òåîðèÿ ýêñòðåìàëüíûõ çàäà÷. — Ì.: Íàóêà, 1974. —
480 ñ.
12. C h i k r i i A . A . The problem of avoidance for controlled dynamic objects // J. Math. Game Theory
and Algebra. — 1998. — 7, N 2/3. — P. 81–94.
13. Ñ å ð ã è å í ê î È .  . , × è ê ð è é À . À . Î ðàçâèòèè íàó÷íûõ èäåé Á.Í. Ïøåíè÷íîãî â îáëàñ-
òè îïòèìèçàöèè è ìàòåìàòè÷åñêîé òåîðèè óïðàâëåíèÿ // Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç. —
2012. — ¹ 2. — Ñ. 3–28.
14. Ï ø å í è ÷ í û é Á . Í . Ïðîñòîå ïðåñëåäîâàíèå íåñêîëüêèìè îáúåêòàìè // Êèáåðíåòèêà. —
1976. — ¹ 3. — Ñ. 145–146.
15. à ð è ã î ð å í ê î Í . Ë . Ìàòåìàòè÷åñêèå ìåòîäû óïðàâëåíèÿ íåñêîëüêèìè äèíàìè÷åñêèìè
ïðîöåññàìè. — Ì.: ÌÃÓ, 1980. — 198 ñ.
16. Á ë à ã î ä à ò ñ ê è õ À . È . , Ï å ò ð î â Í . Í . Êîíôëèêòíîå âçàèìîäåéñòâèå ãðóïï óïðàâëÿå-
ìûõ îáúåêòîâ. — Èæåâñê: Èçä-âî «Óäìóðò. óí-ò», 2009. — 266 ñ.
17. × è ê ð è é À . À . Äèôôåðåíöèàëüíûå èãðû ñ íåñêîëüêèìè ïðåñëåäîâàòåëÿìè // Òð. Ìåæäó-
íàð. ìàò. Öåíòðà èì. Ñ. Áàíàõà (Âàðøàâà). — 1985. — 14. — Ñ. 81–107.
18. Ë î ê ê À . Ñ . Óïðàâëåíèå ñíàðÿäàìè. — Ì.: Ãîñ. èçä-âî òåõí.-òåîðåò. ëèò., 1957. — 775 ñ.
19. × è ê ð è é À . À . , Ý é ä å ë ü ì à í Ñ . Ä . Îáîáùåííûå ìàòðè÷íûå ôóíêöèè Ìèòòàã–Ëåôôëå-
ðà â èãðîâûõ çàäà÷àõ äëÿ ýâîëþöèîííûõ óðàâíåíèé äðîáíîãî ïîðÿäêà // Êèáåðíåòèêà è ñèñ-
òåìíûé àíàëèç. — 2000. — ¹ 3. — Ñ. 3–32.
20. × è ê ð è é À . À . , Ý é ä å ë ü ì à í Ñ . Ä . , Ð ó ð å í ê î À . Ã . Ëèíåéíûå èíòåãðî-äèôôåðåíöè-
àëüíûå èãðû // Ïðîáëåìû óïðàâëåíèÿ è èíôîðìàòèêè. — 1998. — ¹ 2. — Ñ. 3–18.
21. C h i k r i i A . A . Optimization of game interaction of fractional-order controlled systems // Int. J.
Optim. Methods and Software. — 2008. — 23, N 1. — P. 39–72.
22. C h i k r i i A . A . Game dynamic problems for systems with fractional derivatives // Pareto
Optimality, Game Theory and Equilibria. — New York: Springer, 2008. — 17. — P. 349–387.
23. C h i k r i i A . A . , M a t y c h y n I . I . , G r o m a s z e k K . , S m o l a r z A . Control of
fractional-order dynamic systems under uncertainty // Modelling and Optimization / Ed. by J. Sikora.
— Lublin (Poland): Publ. Lublin Univ. of Technol., 2011. — P. 3–56.
24. Ê ð è â î í î ñ Þ . à . , Ì à ò è ÷ è í È . È . , × è ê ð è é À . À . Äèíàìè÷åñêèå èãðû ñ ðàçðûâíû-
ìè òðàåêòîðèÿìè. — Ê.: Íàóê. äóìêà, 2005. — 220 ñ.
62 ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2014, òîì 50, ¹ 2
25. × è ê ð è é À . À . , Á å ë î ó ñ î â À . À . Î ëèíåéíûõ äèôôåðåíöèàëüíûõ èãðàõ ñ èíòåãðàëüíû-
ìè îãðàíè÷åíèÿìè // Òð. Èí-òà ìàòåìàòèêè è ìåõàíèêè Óð. Î ÐÀÍ. — 2009. — 15, ¹ 4. —
C. 290–301.
26. Î í î ï ÷ ó ê Þ . Í . , × è ê ð è é À ë . À . Àíàëèòè÷åñêèé ìåòîä ðåøåíèÿ íåñòàöèîíàðíûõ äèô-
ôåðåíöèàëüíûõ èãð ñáëèæåíèÿ // Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç. — 2013. — ¹ 4. —
Ñ. 137–152.
27. C h i k r i i A . A . , K h o m i n A . V . Extremal selectors in differential pursuit games // Sybernetics
and System Analysis. — P. I, 1988. — N 6. — P. 746–754; P. II, 1989. — N 2. — P. 193–203.
28. × è ê ð è é À . À . , Ð à ï ï î ï î ð ò È . Ñ . Ìåòîä ðàçðåøàþùèõ ôóíêöèé â òåîðèè êîíô-
ëèêòíî-óïðàâëÿåìûõ ïðîöåññîâ // Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç. — 2012. — ¹ 4. — Ñ. 40–64.
29. M o r d u k h o v i c h B . S . Variational analysis and generalized differentiation. — Berlin;
Heidelberg; New York: Springer, 2006, I — Basic Theory, 330. — 582 p., II — Applications, 331,
— 612 p.
30. Á î ð è ñ î â è ÷ Þ . Ã . , Ã å ë ü ì à í Á . Ä . , Ì û ø ê è ñ À . Ä . , Î á ó õ î â ñ ê è é Â . Â . Ââå-
äåíèå â òåîðèþ ìíîãîçíà÷íûõ îòîáðàæåíèé è äèôôåðåíöèàëüíûõ âêëþ÷åíèé. — Ì.: Ëèáðî-
êîì, 2010. — 226 ñ.
31. × è ê ð è é À . À . , × è ê ð è é Ã . Ö . Ãðóïïîâîå ïðåñëåäîâàíèå â äèôôåðåíöèàëüíî-ðàçíîñ-
òíûõ èãðàõ // Äèôôåðåíö. óðàâíåíèÿ. — 1984. — 20, ¹ 5. — Ñ. 802–810.
32. × è ê ð è é Ã . Ö . Èñïîëüçîâàíèå ýôôåêòà çàïàçäûâàíèÿ èíôîðìàöèè â äèôôåðåíöèàëüíûõ èã-
ðàõ ïðåñëåäîâàíèÿ // Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç. — 2007. — ¹ 2. — Ñ. 90–105.
33. Ê ó í ö å â è ÷ Â . Ì . Óïðàâëåíèå â óñëîâèÿõ íåîïðåäåëåííîñòè: ãàðàíòèðîâàííûå ðåçóëüòàòû
â çàäà÷àõ óïðàâëåíèÿ è èäåíòèôèêàöèè. — Ê.: Íàóê. äóìêà, 2006. — 264 ñ.
34. Ê ó ð æ à í ñ ê è é À . Á . Óïðàâëåíèå è íàáëþäåíèå â óñëîâèÿõ íåîïðåäåëåííîñòè. — Ì.: Íàó-
êà, 1977. — 456 c.
35. O s i p o v Y u . S . , K r y a z h i m s k i i A . V . Inverse problems for ordinary differential equations:
dynamical solutions. — Basel: Gordon and Breach, 1995. — 625 p.
36. M a t y c h y n I . , C h i k r i i A . , G r o m a s z e k K . Dynamic games involving impulses // Book
Current Problems in Information and Computational Technologies, 2 / Ed. by W. Wojcik and
J. Sikora. — Lublin (Poland): Publ. Lublin Univ. of Technology, 2012. — P. 51–106.
37. H a j e k O . Pursuit games. — New York: Acad. press, 1975. — 12. — 266 p.
38. Ã à í ò ì à õ å ð Ô . Ð . Òåîðèÿ ìàòðèö. — Ì.: Íàóêà, 1988. — 552 ñ.
39. Î ñ ò à ï å í ê î Â . Â . , À ì è ð ã à ë è å â à Ñ . Í . , Î ñ ò à ï å í ê î Å . Â . Âûïóêëûé àíàëèç è
äèôôåðåíöèàëüíûå èãðû. — Àëìàòû: Íàó÷.-èçäàò. öåíòð «Fûëûì», 2005. — 392 ñ.
40. Ð î ê à ô å ë ë à ð Ð . Âûïóêëûé àíàëèç. — Ì.: Ìèð, 1973. — 470 ñ.
Ïîñòóïèëà 05.06.2013
ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2014, òîì 50, ¹ 2 63
|