Моделирование фазовых переходов в сверхструктурах кальций-стронций при низких давлениях
При расчетах «first-principal» (первопринципных) структурных фазовых переходов существенно занижаются значения давлений фазовых переходов в щелочноземельных металлах. С использованием fit-параметров (подгоночных), определенных в расчетах для кальция и стронция, проведены численные расчеты параметров...
Gespeichert in:
| Datum: | 2017 |
|---|---|
| 1. Verfasser: | |
| Format: | Artikel |
| Sprache: | Russian |
| Veröffentlicht: |
Інститут проблем моделювання в енергетиці ім. Г.Є. Пухова НАН України
2017
|
| Schriftenreihe: | Электронное моделирование |
| Schlagworte: | |
| Online Zugang: | http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/115860 |
| Tags: |
Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Zitieren: | Моделирование фазовых переходов в сверхструктурах кальций-стронций при низких давлениях / В.В. Поживатенко // Электронное моделирование. — 2017. — Т. 39, № 1. — С. 113-123. — Бібліогр.: 28 назв. — рос. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
irk-123456789-115860 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
irk-123456789-1158602017-04-15T03:02:53Z Моделирование фазовых переходов в сверхструктурах кальций-стронций при низких давлениях Поживатенко, В.В. Применение методов и средств моделирования При расчетах «first-principal» (первопринципных) структурных фазовых переходов существенно занижаются значения давлений фазовых переходов в щелочноземельных металлах. С использованием fit-параметров (подгоночных), определенных в расчетах для кальция и стронция, проведены численные расчеты параметров фазовых переходов в сверхструктурах Ca1-xSrx, соответствующие переходу из гранецентрированной в объемноцентрированную кубическую структуру при низких давлениях, моделируемых сверхячейками, содержащими до шестнадцати атомов. Исследована зависимость термодинамических свойств Ca1-xSrx от концентрации стронция и параметра размытия. При розрахунках «first-principal» (першопринципних) структурних фазових переходів істотно занижуються значення тисків фазових переходів в лужноземельних металах. З використанням fit-параметрів (підгоночних), визначених у розрахунках для кальцію і стронцію, проведено чисельні розрахунки параметрів фазових переходів у надструктурах Ca1-xSrx, у відповіності до переходу з гранецентрованої в об’ємноцентровану кубічну структуру при низьких тисках, змодельованих надкомірками, що містять до шістнадцяти атомів. Досліджено залежність термодинамічних властивостей Ca1-xSrx від концентрації стронцію та параметру розмиття. First-principal calculations of structural phase transitions essentially underestimate the values of pressure of phase transitions in alkaline-earth metals. Using fitting parameters which are estimated in calculations for calcium and strontium the author has conducted numerical calculations of parameters of phase transitions in superstructures Ca1-xSrx consistent with face-centered cubic—body-centered cubic (FCC — BCC) transition at low pressure, modeled by the supercells containing up to sixteen atoms. Dependence of thermodynamic properties of Ca1-xSrx on concentration of strontium and parameter of smearing has been studied. 2017 Article Моделирование фазовых переходов в сверхструктурах кальций-стронций при низких давлениях / В.В. Поживатенко // Электронное моделирование. — 2017. — Т. 39, № 1. — С. 113-123. — Бібліогр.: 28 назв. — рос. 0204-3572 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/115860 563.421.1:546.40 ru Электронное моделирование Інститут проблем моделювання в енергетиці ім. Г.Є. Пухова НАН України |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| language |
Russian |
| topic |
Применение методов и средств моделирования Применение методов и средств моделирования |
| spellingShingle |
Применение методов и средств моделирования Применение методов и средств моделирования Поживатенко, В.В. Моделирование фазовых переходов в сверхструктурах кальций-стронций при низких давлениях Электронное моделирование |
| description |
При расчетах «first-principal» (первопринципных) структурных фазовых переходов существенно занижаются значения давлений фазовых переходов в щелочноземельных металлах. С использованием fit-параметров (подгоночных), определенных в расчетах для кальция и стронция, проведены численные расчеты параметров фазовых переходов в сверхструктурах Ca1-xSrx, соответствующие переходу из гранецентрированной в объемноцентрированную кубическую структуру при низких давлениях, моделируемых сверхячейками, содержащими до шестнадцати атомов. Исследована зависимость термодинамических свойств Ca1-xSrx от концентрации стронция и параметра размытия. |
| format |
Article |
| author |
Поживатенко, В.В. |
| author_facet |
Поживатенко, В.В. |
| author_sort |
Поживатенко, В.В. |
| title |
Моделирование фазовых переходов в сверхструктурах кальций-стронций при низких давлениях |
| title_short |
Моделирование фазовых переходов в сверхструктурах кальций-стронций при низких давлениях |
| title_full |
Моделирование фазовых переходов в сверхструктурах кальций-стронций при низких давлениях |
| title_fullStr |
Моделирование фазовых переходов в сверхструктурах кальций-стронций при низких давлениях |
| title_full_unstemmed |
Моделирование фазовых переходов в сверхструктурах кальций-стронций при низких давлениях |
| title_sort |
моделирование фазовых переходов в сверхструктурах кальций-стронций при низких давлениях |
| publisher |
Інститут проблем моделювання в енергетиці ім. Г.Є. Пухова НАН України |
| publishDate |
2017 |
| topic_facet |
Применение методов и средств моделирования |
| url |
http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/115860 |
| citation_txt |
Моделирование фазовых переходов в сверхструктурах кальций-стронций при низких давлениях / В.В. Поживатенко // Электронное моделирование. — 2017. — Т. 39, № 1. — С. 113-123. — Бібліогр.: 28 назв. — рос. |
| series |
Электронное моделирование |
| work_keys_str_mv |
AT poživatenkovv modelirovaniefazovyhperehodovvsverhstrukturahkalʹcijstroncijprinizkihdavleniâh |
| first_indexed |
2025-07-08T09:30:39Z |
| last_indexed |
2025-07-08T09:30:39Z |
| _version_ |
1837070591860932608 |
| fulltext |
ÓÄÊ 563.421.1:546.40
Â.Â. Ïîæèâàòåíêî, êàíä. ôèç.-ìàò. íàóê
Íèêîëàåâñêèé íàöèîíàëüíûé óíèâåðñèòåò èì. Â.À. Ñóõîìëèíñêîãî
(Óêðàèíà, 54030, Íèêîëàåâ, óë. Íèêîëüñêàÿ, 24,
òåë. (0512) 723630, e-mail: pozhivatenko@mail.ru)
Ìîäåëèðîâàíèå ôàçîâûõ ïåðåõîäîâ â ñâåðõñòðóêòóðàõ
êàëüöèé — ñòðîíöèé ïðè íèçêèõ äàâëåíèÿõ
Ïðè ðàñ÷åòàõ «first-principal» (ïåðâîïðèíöèïíûõ) ñòðóêòóðíûõ ôàçîâûõ ïåðåõîäîâ ñó-
ùåñòâåííî çàíèæàþòñÿ çíà÷åíèÿ äàâëåíèé ôàçîâûõ ïåðåõîäîâ â ùåëî÷íîçåìåëüíûõ ìå-
òàëëàõ. Ñ èñïîëüçîâàíèåì fit-ïàðàìåòðîâ (ïîäãîíî÷íûõ), îïðåäåëåííûõ â ðàñ÷åòàõ äëÿ
êàëüöèÿ è ñòðîíöèÿ, ïðîâåäåíû ÷èñëåííûå ðàñ÷åòû ïàðàìåòðîâ ôàçîâûõ ïåðåõîäîâ â
ñâåðõñòðóêòóðàõ Ca1�xSrx, ñîîòâåòñòâóþùèå ïåðåõîäó èç ãðàíåöåíòðèðîâàííîé â îáúåìíî-
öåíòðèðîâàííóþ êóáè÷åñêóþ ñòðóêòóðó ïðè íèçêèõ äàâëåíèÿõ, ìîäåëèðóåìûõ ñâåðõ-
ÿ÷åéêàìè, ñîäåðæàùèìè äî øåñòíàäöàòè àòîìîâ. Èññëåäîâàíà çàâèñèìîñòü òåðìîäèíà-
ìè÷åñêèõ ñâîéñòâ Ca1-xSrx îò êîíöåíòðàöèè ñòðîíöèÿ è ïàðàìåòðà ðàçìûòèÿ.
Ïðè ðîçðàõóíêàõ «first-principal» (ïåðøîïðèíöèïíèõ) ñòðóêòóðíèõ ôàçîâèõ ïåðåõîä³â
³ñòîòíî çàíèæóþòüñÿ çíà÷åííÿ òèñê³â ôàçîâèõ ïåðåõîä³â â ëóæíîçåìåëüíèõ ìåòàëàõ. Ç
âèêîðèñòàííÿì fit-ïàðàìåòð³â (ï³äãîíî÷íèõ), âèçíà÷åíèõ ó ðîçðàõóíêàõ äëÿ êàëüö³þ ³
ñòðîíö³þ, ïðîâåäåíî ÷èñåëüí³ ðîçðàõóíêè ïàðàìåòð³â ôàçîâèõ ïåðåõîä³â ó íàäñòðóêòóðàõ
Ca1�xSrx, ó â³äïîâ³íîñò³ äî ïåðåõîäó ç ãðàíåöåíòðîâàíî¿ â îá’ºìíîöåíòðîâàíó êóá³÷íó
ñòðóêòóðó ïðè íèçüêèõ òèñêàõ, çìîäåëüîâàíèõ íàäêîì³ðêàìè, ùî ì³ñòÿòü äî ø³ñòíàäöÿòè
àòîì³â. Äîñë³äæåíî çàëåæí³ñòü òåðìîäèíàì³÷íèõ âëàñòèâîñòåé Ca1-xSrx â³ä êîíöåíòðàö³¿
ñòðîíö³þ òà ïàðàìåòðó ðîçìèòòÿ.
Ê ë þ ÷ å â û å ñ ë î â à: ñòðóêòóðíûå ôàçîâûå ïåðåõîäû, òåîðèÿ ôóíêöèîíàëà ïëîòíîñòè,
ðàçìûòèå ñîñòîÿíèé âîêðóã óðîâíÿ Ôåðìè.
 ñîâðåìåííûõ ðàñ÷åòàõ «first-principal» (ïåðâîïðèíöèïíûõ) òåðìîäèíà-
ìè÷åñêèõ âåëè÷èí ùåëî÷íîçåìåëüíûõ ìåòàëëîâ (êàëüöèÿ, ñòðîíöèÿ, áà-
ðèÿ) òèïè÷íûìè ÿâëÿþòñÿ îøèáêè, ñîñòàâëÿþùèå 1—2 % ïðè îïðåäåëå-
íèè îáúåìíûõ ñâîéñòâ, ÷òî ïðèâîäèò ê çàíèæåíèþ çíà÷åíèé äàâëåíèé
ôàçîâûõ ïåðåõîäîâ â ýòèõ ìåòàëëàõ áîëåå ÷åì â äâà ðàçà. Ïîýòîìó òðåáóåò
óòî÷íåíèÿ (ñ èñïîëüçîâàíèåì ïîäãîíêè) ñïîñîá ïîëó÷åíèÿ ðåçóëüòàòîâ,
ñîîòâåòñòâóþùèõ ýêñïåðèìåíòàëüíûì äàííûì. Ìîäåëèðîâàíèå ôàçîâûõ
ïåðåõîäîâ â ñîåäèíåíèÿõ êàëüöèé — ñòðîíöèé ïðîâåäåíî íà îñíîâàíèè
ðàñ÷åòîâ ÷èñòûõ ìåòàëëîâ, â êîòîðûõ ïðè íèçêèõ äàâëåíèÿõ ïðîèñõîäèò
ISSN 0204–3572. Ýëåêòðîí. ìîäåëèðîâàíèå. 2017. Ò. 39. ¹ 1 113
� Â.Â. Ïîæèâàòåíêî, 2017
ñòðóêòóðíûé ôàçîâûé ïåðåõîä èç ãðàíåöåíòðèðîâàííîé êóáè÷åñêîé (ÃÖÊ)
ñòðóêòóðû â îáúåìíîöåíòðèðîâàííóþ êóáè÷åñêóþ (ÎÖÊ) ñòðóêòóðó. Âîç-
íèêàþùàÿ ïðè ýòîì íåîáõîäèìîñòü èñïîëüçîâàòü ñâåðõÿ÷åéêè äîñòàòî÷íî
áîëüøèõ ðàçìåðîâ ïîòðåáîâàëà óâåëè÷åíèÿ âû÷èñëèòåëüíûõ ðåñóðñîâ.
Ðàññìîòðåíû ñâåðõÿ÷åéêè, ñîäåðæàùèå äî øåñòíàäöàòè àòîìîâ. Ðàñ÷åòû
òåðìîäèíàìè÷åñêèõ ñâîéñòâ ñîåäèíåíèé êàëüöèé — ñòðîíöèé ïðîâåäåíû
ñ èñïîëüçîâàíèåì èíôîðìàöèè î ïàðàìåòðàõ ïîäãîíêè äëÿ êàëüöèÿ è
ñòðîíöèÿ.
Ìåòàëëû êàëüöèé è ñòðîíöèé äîñòàòî÷íî õîðîøî èçó÷åíû êàê òåî-
ðåòè÷åñêè, òàê è ýêñïåðèìåíòàëüíî.  ÷àñòíîñòè, èçâåñòíî èõ ïîâåäåíèå
ïðè ðàçëè÷íûõ çíà÷åíèÿõ äàâëåíèÿ, âêëþ÷àÿ áîëüøèå. Ýòè èññëåäîâàíèÿ
ìîãóò ñòàòü îñíîâîé äëÿ èçó÷åíèÿ ñâåðõñòðóêòóð Ca1-xSrx.  íàñòîÿùåå
âðåìÿ èçó÷åíèþ êàëüöèÿ è ñòðîíöèÿ ïîñâÿùåíî ìíîãî ðàáîò [1—10], â òîì
÷èñëå ñ èñïîëüçîâàíèåì ïåðâîïðèíöèïíûõ ïîäõîäîâ. Ïðèíèìàÿ âî âíè-
ìàíèå áëèçîñòü ìíîãèõ ñâîéñòâ êàëüöèÿ è ñòðîíöèÿ, ìîæíî ñ ïîìîùüþ
èíòåðïîëÿöèè íàéòè ñîîòâåòñòâèå ñâîéñòâ ñîåäèíåíèé Ca1-xSrx ñ ýêñïå-
ðèìåíòàëüíûìè äàííûìè, îäíàêî èíôîðìàöèè îá ýòîì çíà÷èòåëüíî ìåíü-
øå [11—13].
Ñëåäóåò çàìåòèòü, ÷òî «ïðîñòîòà» â èçó÷åíèè ñâîéñòâ êàëüöèÿ, ñòðîí-
öèÿ è äðóãèõ ìåòàëëîâ îáìàí÷èâà [7, 8, 14, 15]. Íåîáõîäèìîñòü ó÷èòûâàòü
ñîñòîÿíèÿ, áëèçêèå ê óðîâíþ Ôåðìè â ìåòàëëàõ, ïðèâîäèò ê äðóãîé ïðîá-
ëåìå. Áîëüøèíñòâî ðàñ÷åòîâ â ðàìêàõ òåîðèè ôóíêöèîíàëà ïëîòíîñòè [16]
ïðîâåäåíû ñ ó÷åòîì ïàðàìåòðà ðàçìûòèÿ �, êîòîðûé ïîçâîëÿåò êîððåêòíî
ó÷èòûâàòü äîïîëíèòåëüíûå âêëàäû â ýíåðãèþ çîííîé ñòðóêòóðû âáëèçè
óðîâíÿ Ôåðìè [17—19]. Ðåçóëüòàòû ðàñ÷åòîâ òåðìîäèíàìè÷åñêèõ õàðàê-
òåðèñòèê ìåòàëëîâ áåç ó÷åòà ðàçìûòèÿ íå òîëüêî íåäîñòàòî÷íî òî÷íû, íî
ìîãóò äàæå ïðîòèâîðå÷èòü ýêñïåðèìåíòàëüíûì äàííûì. Ïàðàìåòð ðàçìû-
òèÿ � îáû÷íî íå âêëþ÷àþò â ÷èñëî ïàðàìåòðîâ ðàñ÷åòà, âûáèðàÿ íàèáîëåå
ïîäõîäÿùèå çíà÷åíèÿ, îäíàêî ñëåäóåò ïîìíèòü, ÷òî îí çàìåòíî èçìåíÿåò
âñå õàðàêòåðèñòèêè ðàññìàòðèâàåìûõ ñèñòåì. Âëèÿíèå äàííîãî ïàðàìåòðà
íèâåëèðóåòñÿ ïðè ðàñ÷åòàõ, ñ ïîìîùüþ êîòîðûõ óòî÷íÿþò ïåðâîïðèíöèï-
íûå ðåçóëüòàòû, òàê êàê ïîëó÷åíèå ñîãëàñóþùèõñÿ ñ ýêñïåðèìåíòîì ðå-
çóëüòàòîâ â øèðîêîì èíòåðâàëå èçìåíåíèÿ âåëè÷èíû � âîçìîæíî ïðè
èñïîëüçîâàíèè ïîäãîíêè.
Íåîáõîäèìî òàêæå çàìåòèòü, ÷òî óâåëè÷åíèå çíà÷åíèÿ � ïîçâîëÿåò
ïðîâîäèòü ðàñ÷åòû ñ ìåíüøèìè çàòðàòàìè, òàê êàê ñõîäèìîñòü äîñòèãàåò-
ñÿ ïðè ìåíüøèõ âåëè÷èíàõ êèíåòè÷åñêîé ýíåðãèè è ìåíüøåì ÷èñëå òî÷åê
èíòåãðèðîâàíèÿ ïî çîíå Áðèëëþýíà. Âîçìîæíûå âàðèàíòû òàêèõ ðàñ÷åòîâ
ðàññìîòðåíû â ðàáîòå [20].
Â.Â. Ïîæèâàòåíêî
114 ISSN 0204–3572. Electronic Modeling. 2017. V. 39. ¹ 1
Ìåòîäèêà ðàñ÷åòà. Ðàñ÷åòû ïðîâåäåíû ñ îáìåííî-êîððåëÿöèîííûì
ôóíêöèîíàëîì ïðè èñïîëüçîâàíèè ïàðàìåòðèçàöèè Ïåäüþ—Áàðêà— Ýðí-
öåðõîôà (PBE) [21] è óëüòðàìÿãêèì ïñåâäîïîòåíöèàëîì Âàíäåðáèëüòà ñ
ïîìîùüþ ïàêåòà Quantum ESPRESSO[22, 23].  êà÷åñòâå ñõåìû äëÿ ðàç-
ìûòèÿ âîêðóã óðîâíÿ Ôåðìè âûáðàí ïîäõîä Ìàðçàðè—Âàíäåðáèëüòà [24].
Âñå ðàñ÷åòû ïðîâåäåíû ïðè îãðàíè÷åíèè âåëè÷èíû êèíåòè÷åñêîé ýíåðãèè äî
Ecut = 70 Ry äëÿ âîëíîâîé ôóíêöèè è äî Ecut= 700 Ry äëÿ ïëîòíîñòè çàðÿäà.
Ðåçóëüòàòû ðàñ÷åòîâ ìåòîäîì íàèìåíüøèõ êâàäðàòîâ ïðèâåäåíû ê óðàâíå-
íèþ ñîñòîÿíèÿ Áåð÷à—Ìóðíàãàíà òðåòüåãî ïîðÿäêà [25—27].
Äëÿ ïîèñêà ïàðàìåòðîâ ïîäãîíêè èñïîëüçîâàíû ýêñïåðèìåíòàëüíûå
äàííûå äëÿ êàëüöèÿ è ñòðîíöèÿ òàêèå æå, êàê â [20]. Èíôîðìàöèÿ îá
èñïîëüçîâàííûõ â ðàñ÷åòàõ òî÷êàõ Ìîíêõîðñòà — Ïàêà â çîíå Áðèëëþýíà
[28] è ñâåðõÿ÷åéêàõ ïðèâåäåíà â òàáë. 1.
Îáîçíà÷èì ïîëíóþ ýíåðãèþ, ïîëó÷åííóþ â ðåçóëüòàòå ðàñ÷åòà first-
principal, ïðîâåäåííîãî áåç ëþáûõ ïîäãîíîê, ÷åðåç E0. Ïðè ó÷åòå ïàðà-
ìåòðà � âîçíèêàåò âêëàä, àíàëîãè÷íûé âêëàäó TS â ñâîáîäíóþ ýíåðãèþ,
ãäå Ò — òåìïåðàòóðà, S — ýíòðîïèÿ, ò.å. ïàðàìåòð � ïîäîáíî òåìïåðàòóðå
âõîäèò âî âñå òåðìîäèíàìè÷åñêèå ïîòåíöèàëû, â òîì ÷èñëå ïðè T = 0.
Âåëè÷èíà E E S� �0 � ñ ó÷åòîì îáúåìíûõ è ýíåðãåòè÷åñêèõ ïîïðàâîê îïðå-
äåëÿåò ïîëíóþ ýíåðãèþ îáû÷íûõ ïåðâîïðèíöèïíûõ ðàñ÷åòîâ, â êîòîðûõ
� íå ÿâëÿåòñÿ ïàðàìåòðîì. Ïðè ýòîì ïîëàãàþò, ÷òî âûáîð çíà÷åíèÿ � íå
âëèÿåò íà ðåçóëüòàòû ðàñ÷åòà. Îäíàêî ñëåäóåò ó÷èòûâàòü, ÷òî îò ïàðàìåò-
ðà � çàâèñÿò ïîëíàÿ ýíåðãèÿ, óðàâíåíèå ñîñòîÿíèÿ, à òàêæå ñâîéñòâà ìåòàë-
ëîâ è èõ ñîåäèíåíèé. Ïîýòîìó íåîáõîäèìî ðàññìàòðèâàòü ïîëíóþ ýíåð-
ãèþ êàê âåëè÷èíó, çàâèñèìóþ îò ýòîãî ïàðàìåòðà.
Ìîäåëèðîâàíèå ôàçîâûõ ïåðåõîäîâ â ñâåðõñòðóêòóðàõ êàëüöèé — ñòðîíöèé
ISSN 0204–3572. Ýëåêòðîí. ìîäåëèðîâàíèå. 2017. Ò. 39. ¹ 1 115
Ñîåäèíåíèå
ÃÖÊ ÎÖÊ
Ñâåðõÿ÷åéêà
Ñåòü òî÷åê
Ìîíêõîðñòà – Ïàêà
Ñâåðõÿ÷åéêà
Ñåòü òî÷åê
Ìîíêõîðñòà – Ïàêà
Ca0.5Sr0.5 1 � 1 � 1 8 � 8 � 8 1 � 1 � 1 12 � 12 � 12
Ca0.25Sr0.75,
Ca0.75Sr0.25
1 � 1 � 1 8 � 8 � 8 1 � 1 � 2 12 � 12 � 6
Ca0.125Sr0.875,
Ca0.875Sr0.125
1 � 1 � 2 8 � 8 � 4 2 � 2 � 1 6 � 6 � 12
Ca0.0625Sr0.9375,
Ca0.9375Sr0.0625
2 � 2 � 1 4 � 4 � 8 2 � 2 � 2 8 � 8 � 8
Òàáëèöà 1
Äëÿ ýòîãî ââåäåì îáîçíà÷åíèå E E S0 0( )� �� � , êîòîðîå âñòðå÷àåòñÿ â
áîëüøèíñòâå îïóáëèêîâàííûõ ðåçóëüòàòîâ èññëåäîâàíèé ýëåêòðîííîé
ñòðóêòóðû è òåðìîäèíàìè÷åñêèõ ñâîéñòâ ìåòàëëîâ, êîãäà ïàðàìåòð � ôèê-
ñèðîâàí íà êàêîì-íèáóäü çíà÷åíèè áåç äîïîëíèòåëüíûõ ïîÿñíåíèé î ñïî-
ñîáå åãî âûáîðà. Ïîëíàÿ ýíåðãèÿ E0 âû÷èñëÿåòñÿ äëÿ ñîîòâåòñòâóþùåãî
ïñåâäîïîòåíöèàëà ñ ó÷åòîì îáìåííî-êîððåëÿöèîííûõ ïîïðàâîê îïðåäå-
ëåííîãî âèäà.  ñîâðåìåííûõ ïàêåòàõ äëÿ âû÷èñëåíèé, íàïðèìåð â ôîð-
ìàëèçìå ôóíêöèîíàëà ïëîòíîñòè, îáû÷íî óæå ó÷òåíà âîçìîæíîñòü èñ-
ïîëüçîâàíèÿ ðàçëè÷íûõ ñõåì ðàçìûòèÿ âîêðóã óðîâíÿ Ôåðìè. Ïîýòîìó â
íèõ àâòîìàòèçèðîâàí âûáîð ïàðàìåòðà � è ôàêòè÷åñêè ñðàçó âûïîëíÿåòñÿ
âû÷èñëåíèå âåëè÷èíû E0( )� , ÷òî ìîæåò óìåíüøèòü ðîëü ïàðàìåòðà � è
ïðîáëåìó åãî âûáîðà.
Ñ ó÷åòîì âîçìîæíûõ ïîïðàâîê ïîëíàÿ ýíåðãèÿ ïðèíèìàåò âèä
E E V E� � �0( )� � shift ,
ãäå Eshift — æåñòêèé ñäâèã â ýíåðãåòè÷åñêîé øêàëå. Ïðè ýòîì â ðàñ÷åòû
âñåõ òåðìîäèíàìè÷åñêèõ âåëè÷èí âíîñÿòñÿ äîïîëíèòåëüíûå ïàðàìåòðû.
Ïðè ðàñ÷åòàõ ôàçîâûõ ïåðåõîäîâ ïîä äàâëåíèåì ñëåäóåò ïåðåéòè ê ýí-
òàëüïèè:
H H V E� � �0( )� � shift ,
ãäå H E pV0 0( ) ( )� �� � ñîîòâåòñòâóåò îáû÷íîìó ïåðâîïðèíöèïíîìó ðàñ÷å-
òó ñ îäíèì ïàðàìåòðîì �. Âåëè÷èíà H âû÷èñëÿåòñÿ ñ ó÷åòîì ïîïðàâîê íà
îáúåì è ýíåðãèþ (æåñòêèå ñäâèãè çàâèñèìîñòåé p (V) è E (V)) [20].
Äëÿ íåñêîëüêèõ ôàç ÷èñëî ïàðàìåòðîâ óâåëè÷èâàåòñÿ:
H Hi i( ) ( ) ( )�
0
� � � i
iV E�
shift
( ) .
Ïðè íàëè÷èè äâóõ ôàç ïàðàìåòðû� i è E îïðåäåëÿþò ðàçíîñòü ýíòàëüïèé:
H H H H V E� � � � � �
( ) ( ) ( ) ( )1 2
0 1 2� � � ,
ãäå H H H
0 0
1
0
2( ) ( ) ( )( ) ( )
� � �� � è E E E� �
shift shift
( ) ( )1 2 — äâà æåñòêèõ ýíåð-
ãåòè÷åñêèõ ñäâèãà äëÿ äâóõ ñòðóêòóð, ïðèâåäåííûå ê îäíîìó ïàðàìåòðó.
Òàêèì îáðàçîì, èìååì äîïîëíèòåëüíûå ïàðàìåòðû �1, � 2 è E. Âîçìîæ-
íûå âàðèàíòû âûáîðà ïàðàìåòðîâ ðàññìîòðåíû â [20].
 äàííîì ñëó÷àå èñïîëüçóåì îäíó èç òðåõïàðàìåòðè÷åñêèõ ñõåì. Ïà-
ðàìåòð � ôèêñèðóåòñÿ â ðàñ÷åòàõ îïðåäåëåííûõ âåëè÷èí êîíêóðèðóþùèõ
ôàç è çàìåíÿåòñÿ äðóãèì ôèêñèðîâàííûì çíà÷åíèåì ïðè ïåðåõîäå ê ñëåäóþ-
ùèì ðàñ÷åòàì. Ïîýòîìó äàííàÿ ñõåìà íàïîìèíàåò äâóõïàðàìåòðè÷åñêóþ,
îäíàêî îíà ãåíåðèðóåò ìíîæåñòâî âîçìîæíûõ âàðèàíòîâ ïðè èçìåíåíèè
Â.Â. Ïîæèâàòåíêî
116 ISSN 0204–3572. Electronic Modeling. 2017. V. 39. ¹ 1
ïàðàìåòðà �, âûáîð êîòîðîãî îñòàåòñÿ íåîïðåäåëåííûì. Âåëè÷èíà ýòîãî
ïàðàìåòðà âëèÿåò íà ñêîðîñòü ñõîäèìîñòè, òàê êàê áîëüøèå çíà÷åíèÿ �
ñîêðàùàþò íåîáõîäèìûå äëÿ ðàñ÷åòîâ ðåñóðñû, à äàëåå ïîñëåäóþùåé
ïîäãîíêîé ìîæíî óñòðàíèòü ðàñõîæäåíèÿ ñ ýêñïåðèìåíòîì.
Áûëè ïðîâåäåíû ðàñ÷åòû ïðè äâóõ äîñòàòî÷íî áîëüøèõ çíà÷åíèÿõ
ýòîãî ïàðàìåòðà (0,04 Ry è 0,05 Ry). Äðóãèå ïàðàìåòðû, à èìåííî � i ,
îïðåäåëÿþòñÿ ïî ýêñïåðèìåíòàëüíûì äàííûì äëÿ ÷èñòûõ ìåòàëëîâ. Ïàðà-
ìåòð �1 èñïîëüçóåòñÿ äëÿ ñîãëàñîâàíèÿ ñ ýêñïåðèìåíòîì ðàâíîâåñíîãî
àòîìíîãî îáúåìà ÃÖÊ-ñòðóêòóðû, à � 2 — äëÿ äàâëåíèÿ ôàçîâîãî ïåðåõîäà
ÃÖÊ — ÎÖÊ.
Ïåðâîïðèíöèïíûå è ïîäãîíî÷íûå ðàñ÷åòû ôàçîâûõ ïåðåõîäîâ
ÃÖÊ — ÎÖÊ.  òàáë. 2 ïðèâåäåíû ïàðàìåòðû äàííîé ðàñ÷åòíîé ñõåìû,
ïîëó÷åííûå äëÿ êàëüöèÿ è ñòðîíöèÿ ñ èñïîëüçîâàíèåì ïñåâäîïîòåíöèàëà
Âàíäåðáèëüòà ñ îáìåííî-êîððåëÿöèîííûìè ïîïðàâêàìè PBE ïðè ñîîò-
âåòñòâóþùèõ çíà÷åíèÿõ �. Ïàðàìåòðû áûëè ïåðåîïðåäåëåíû [20] äëÿ
ïñåâäîïîòåíöèàëà, êîòîðûé âêëþ÷àåò íåëèíåéíûå îñíîâíûå ïîïðàâêè äëÿ
êàëüöèÿ 3s23p64s2 è ñòðîíöèÿ 4s24p64d15s1.
Ýòè ïàðàìåòðû èñïîëüçîâàíû â ðàñ÷åòàõ ñòðóêòóðíûõ ôàçîâûõ ïåðå-
õîäîâ ÃÖÊ — ÎÖÊ â Ca1-xSrx ïðè êîíöåíòðàöèè ñòðîíöèÿ x = 0,0625; 0,125;
0,25; 0,5; 0,75; 0,875; 0,9375. Ïåðåðàñ÷åò ïàðàìåòðîâ ïðîâåäåí ïî èíòåð-
ïîëÿöèîííîé ôîðìóëå � i � � �i ix xCa
Sr
Sr
Sr( )1� � , ãäå èíäåêñû i �1 2, è Ca, Sr
îïðåäåëÿþò ïàðàìåòðû ñîîòâåòñòâóþùèõ ðàñ÷åòíûõ ñõåì. Áûëè ðàññìîò-
ðåíû êîíêóðèðóþùèå 16-àòîìíûå ÃÖÊ è ÎÖÊ ñâåðõÿ÷åéêè, èìåþùèå
êðèñòàëëè÷åñêèå óçëû, ñâîéñòâåííûå äëÿ ÃÖÊ- è ÎÖÊ-ðåøåòîê ñ ïðîèç-
âîëüíûì ðàñïîëîæåíèåì àòîìîâ êàëüöèÿ è ñòðîíöèÿ.
 ðåçóëüòàòå ïåðâîïðèíöèïíûõ ðàñ÷åòîâ ôàçîâûõ ïåðåõîäîâ äëÿ
Ca1-xSrx ïîëó÷åíû çíà÷èòåëüíî çàíèæåííûå çíà÷åíèÿ äàâëåíèé ýòèõ ïå-
ðåõîäîâ, ÷òî ÿâëÿåòñÿ ñëåäñòâèåì àíàëîãè÷íûõ ðåçóëüòàòîâ äëÿ ÷èñòûõ
ìåòàëëîâ. Èìåííî ïîýòîìó íåîáõîäèìà ïîïðàâêà ñ äîáàâëåíèåì âêëàäîâ,
ó÷èòûâàþùèõ ýêñïåðèìåíòàëüíûå äàííûå äëÿ ÷èñòûõ ìåòàëëîâ. Ñëåäóåò
çàìåòèòü, ÷òî óæå â ðàñ÷åòàõ ñâîéñòâ ÷èñòûõ ìåòàëëîâ ïðîÿâëÿåòñÿ çàâè-
ñèìîñòü îò ïàðàìåòðà �.
Ìîäåëèðîâàíèå ôàçîâûõ ïåðåõîäîâ â ñâåðõñòðóêòóðàõ êàëüöèé — ñòðîíöèé
ISSN 0204–3572. Ýëåêòðîí. ìîäåëèðîâàíèå. 2017. Ò. 39. ¹ 1 117
�, Ry
�1
,
Ry / bohr 3
�2
,
Ry / bohr 3
Ca Sr Ca Sr
0,04 –35,7946 –15,972219 –21,465 –15,08
0,05 –34,285396 –14,093061 –28,235 –13,262
Òàáëèöà 2
Â.Â. Ïîæèâàòåíêî
118 ISSN 0204–3572. Electronic Modeling. 2017. V. 39. ¹ 1
0 0,02 0,04 0,06
2
4
6
8
�, Ry
Ca
Sr
ppt, GPa
0
0,25 0,50 0,75 1,00
0,44
0,48
0,52
0,56
0,60
xSr
ac, nm
1
3
2
4
Ðèñ. 1. Ðåçóëüòàòû ïåðâîïðèíöèïíûõ ðàñ÷åòîâ äàâëåíèé ôàçîâûõ ïåðåõîäîâ â êàëüöèè è
ñòðîíöèè
Ðèñ. 2. Ðåçóëüòàòû ïåðâîïðèíöèïíîãî (1, 2) è ïîäãîíî÷íîãî (3, 4) ðàñ÷åòîâ ïîñòîÿííûõ
ðåøåòîê ac äëÿ ÃÖÊ è ÎÖÊ ñòðóêòóð Ca1�xSrx â çàâèñèìîñòè îò êîíöåíòðàöèè ñòðîíöèÿ â
ñîåäèíåíèè
0 0,25 0,50 0,75 1,00
11
12
13
14
15
16
17
B0,GPa
0,25 0,50 0,75 1,00 xSr
0
1
1
1
2
2
2
3
4
E, mRy
à á
Ðèñ. 3. Ðåçóëüòàòû ïåðâîïðèíöèïíîãî (1) è ïîäãîíî÷íîãî (2) ðàñ÷åòîâ îáúåìíûõ ìîäóëåé
B0 äëÿ ÃÖÊ ñòðóêòóð Ca1-xSrx (à) è ðàçíîñòåé ýíåðãèé E ìåæäó ÃÖÊ è ÎÖÊ ñòðóêòóðàìè
Ca1-xSrx (á) â çàâèñèìîñòè îò êîíöåíòðàöèè ñòðîíöèÿ
Íà ðèñ. 1 ïðåäñòàâëåíû çàâè-
ñèìîñòè äàâëåíèé ôàçîâûõ ïåðåõî-
äîâ äëÿ êàëüöèÿ è ñòðîíöèÿ îò ïà-
ðàìåòðà � ïðè ðàñ÷åòàõ ñ èñïîëü-
çîâàíèåì ïñåâäîïîòåíöèàëà Âàí-
äåðáèëüòà. Èñïîëüçîâàíèå äðóãèõ
ïñåâäîïîòåíöèàëîâ ìîæåò èçìå-
íèòü ýòè çàâèñèìîñòè. Èçìåíåíèå
çíà÷åíèÿ � ïî÷òè íå âëèÿåò íà ðå-
çóëüòàòû ðàñ÷åòîâ õàðàêòåðèñòèê
ñòðîíöèÿ. Ïðè ýêñïåðèìåíòàëüíîì
çíà÷åíèè äàâëåíèÿ ôàçîâîãî ïåðåõîäà ppt = 3,5 ÃÏà ïîëó÷àåì ïðèáëè-
çèòåëüíî 50 % ýòîãî çíà÷åíèÿ (òàêàÿ çàâèñèìîñòü íàáëþäàåòñÿ äàæå ïðè
� > 0,1 Ry).
Ðåçóëüòàòû ðàñ÷åòîâ äëÿ êàëüöèÿ ñóùåñòâåííî èíûå. Íà ðèñ. 1 âèäíî,
÷òî ïðè � > 0,06 Ry ôàçà ÃÖÊ ýíåðãåòè÷åñêè íå âûãîäíåå ôàçû ÎÖÊ.
Ïîñêîëüêó äëÿ êàëüöèÿ ppt = 19,5 ÃÏà, ðåçóëüòàòû ðàñ÷åòîâ çíà÷èòåëüíî
óõóäøàþòñÿ ïðè óâåëè÷åíèè çíà÷åíèÿ �, è ïîýòîìó äëÿ êàëüöèÿ ëó÷øå
âûáèðàòü ìàëûå çíà÷åíèÿ �. Èñïîëüçîâàíèå ïîäãîíêè íèâåëèðóåò ýòó
çàâèñèìîñòü, à áîëüøèå çíà÷åíèÿ � ïîçâîëÿþò ïðîâîäèòü áîëåå ðåñóðñî-
çàòðàòíûå ðàñ÷åòû çà ñ÷åò áîëåå áûñòðîé ñõîäèìîñòè. Ïîýòîìó â äàííûõ
ðàñ÷åòàõ îïòèìàëüíûå çíà÷åíèÿ � = 0,04 � 0,05 Ry.
Íà ðèñ. 2, 3 ïðåäñòàâëåíû ðåçóëüòàòû ïåðâîïðèíöèïíûõ è ïîäãî-
íî÷íûõ ðàñ÷åòîâ ïðè � = 0,04 Ry. Îáúåìíûå ñâîéñòâà ÷èñòûõ ìåòàëëîâ è
èõ ñîåäèíåíèé âîñïðîèçâîäÿòñÿ ñ îáû÷íîé äëÿ òàêèõ âû÷èñëåíèé òî÷-
íîñòüþ (ïðèáëèçèòåëüíî 2 % äëÿ ðàâíîâåñíûõ àòîìíûõ îáúåìîâ). Íà
ðèñ. 2 ïðèâåäåíû ðåçóëüòàòû ïåðâîïðèíöèïíûõ è ïîäãîíî÷íûõ ðàñ÷åòîâ
ïîñòîÿííîé ðåøåòêè ac äëÿ ÃÖÊ è ÎÖÊ ñòðóêòóð, ñîîòâåòñòâóþùèå ýêñïå-
ðèìåíòàëüíûì äàííûì (ñì. [11], ãäå ïðèâåäåíû ðåçóëüòàòû íåêîòîðûõ
ïðåäûäóùèõ ðàáîò).
Íà ðèñ. 3, à, ïðåäñòàâëåíà çàâèñèìîñòü îáúåìíîãî ìîäóëÿ B0 îò êîíöåíò-
ðàöèè ñòðîíöèÿ â ñîåäèíåíèÿõ Ca1�xSrx, èìåþùàÿ ïî÷òè ëèíåéíûé âèä. Â
äàííîì ñëó÷àå çíà÷åíèÿ, ïîëó÷åííûå â ðåçóëüòàòå ïåðâîïðèíöèïíûõ ðàñ-
÷åòîâ, ëó÷øå ñîîòâåòñòâóþò ýêñïåðèìåíòàëüíûì, íî ïîäãîíêà ïî îáúåì-
Ìîäåëèðîâàíèå ôàçîâûõ ïåðåõîäîâ â ñâåðõñòðóêòóðàõ êàëüöèé — ñòðîíöèé
ISSN 0204–3572. Ýëåêòðîí. ìîäåëèðîâàíèå. 2017. Ò. 39. ¹ 1 119
3
4
1
2
0,2 0,4 0,6 0,8 1,0
0
5
10
15
20
xSr
ppt, GPa
Ðèñ. 4. Ðåçóëüòàòû ïåðâîïðèíöèïíûõ (1,
2) è ïîäãîíî÷íûõ (3, 4) ðàñ÷åòîâ äàâ-
ëåíèÿ ôàçîâûõ ïåðåõîäîâ ÃÖÊ — ÎÖÊ
äëÿ Ca1-xSrx ïðè � = 0,04 Ry (1, 3) è � =
= 0,05 Ry (2, 4) â çàâèñèìîñòè îò êîíöåíò-
ðàöèè ñòðîíöèÿ
íûì õàðàêòåðèñòèêàì íåçíà÷èòåëüíî óìåíüøàåò èõ òî÷íîñòü (äî 10 %, ÷òî
îáû÷íî õàðàêòåðíî èìåííî äëÿ ïåðâîïðèíöèïíûõ ðàñ÷åòîâ).
Íà ðèñ. 3, á, ïðåäñòàâëåíû êðèâûå ðàçíîñòåé ìåæäó ïîëíûìè ýíåð-
ãèÿìè â êîíêóðèðóþùèõ ôàçàõ â çàâèñèìîñòè îò êîíöåíòðàöèè ñòðîíöèÿ â
ñîåäèíåíèÿõ.  ïåðâîïðèíöèïíûõ ðàñ÷åòàõ íàáëþäàåòñÿ íåñóùåñòâåííàÿ
çàâèñèìîñòü îò êîíöåíòðàöèè ñòðîíöèÿ.  ñëó÷àå xSr � 0 5, îíà äîñòèãàåò
ìèíèìóìà, ÷òî ïðè íåêîòîðûõ çíà÷åíèÿõ � ïðèâîäèò ê îòðèöàòåëüíûì
çíà÷åíèÿì. Òàêèì îáðàçîì, ðåçóëüòàòû ðàñ÷åòîâ ñâèäåòåëüñòâóþò î òîì,
÷òî ñîåäèíåíèå Ca0.5Sr0.5 äîëæíî èìåòü ÎÖÊ-ðåøåòêó. Âíåñåíèå ïîïðàâîê
èçìåíÿåò ýòó çàâèñèìîñòü òàê, ÷òî ïðè ìàëûõ êîíöåíòðàöèÿõ ñòðîíöèÿ
çíà÷èòåëüíî óâåëè÷èâàåòñÿ ðàçíèöà ïîëíûõ ýíåðãèé. Ñ ïîïðàâêàìè ïîëó-
÷åíû òàêæå ðåçóëüòàòû ðàñ÷åòîâ äàâëåíèé ôàçîâûõ ïåðåõîäîâ.
Íà ðèñ. 4 ïðåäñòàâëåíû ðåçóëüòàòû ðàñ÷åòîâ ïðè � = 0,04 Ry è � =
= 0,05 Ry. Ðåçóëüòàòû ïåðâîïðèíöèïíûõ ðàñ÷åòîâ ïðè ýòîì ïî÷òè íå îò-
ëè÷àþòñÿ è èìåþò îáùèé íåäîñòàòîê: çàíèæåííûå çíà÷åíèÿ ppt, à ïðè x =
= 0,5 è � = 0,05 Ry — îòðèöàòåëüíîå çíà÷åíèå ppt. Ïîñëå ïîäãîíêè ðàç-
ëè÷èå ìåæäó ðåçóëüòàòàìè ñòàíîâèòñÿ áîëüøå, à òàêæå óâåëè÷èâàåòñÿ
îòëè÷èå îò ðåçóëüòàòîâ ïåðâîïðèíöèïíûõ ðàñ÷åòîâ, îñîáåííî ïðè ìàëûõ
êîíöåíòðàöèÿõ ñòðîíöèÿ â ñîåäèíåíèÿõ, ÷òî ïðèâîäèò ê áîëåå ïðèåìëå-
ìûì çíà÷åíèÿì äàâëåíèé ôàçîâûõ ïåðåõîäîâ.
Âûâîäû
1.  ïåðâîïðèíöèïíûõ ðàñ÷åòàõ ïîëó÷åíû ñóùåñòâåííî çàíèæåííûå
çíà÷åíèÿ äàâëåíèé ôàçîâûõ ïåðåõîäîâ êàê â ìåòàëëàõ êàëüöèÿ è ñòðîíöèÿ,
òàê è â ñâåðõñòðóêòóðàõ Ca1�xSrx.
2. Â îïèñàíèè ïåðâîïðèíöèïíûõ ìåòîäîâ ñòðóêòóðíûõ ôàçîâûõ ïåðå-
õîäîâ ÃÖÊ — ÎÖÊ äëÿ ñîåäèíåíèé Ca1�xSrx âáëèçè xSr �05, íàáëþäàþòñÿ
îñîáûå òðóäíîñòè.
3. Èíòåðïîëÿöèîííàÿ ñõåìà ïîïðàâîê ðàñ÷åòîâ äàâëåíèé ôàçîâûõ ïå-
ðåõîäîâ ÃÖÊ — ÎÖÊ â ñîåäèíåíèÿõ Ca1�xSrx â ðàñ÷åòàõ, ìîäåëèðóåìûõ
16-àòîìíûìè ñâåðõÿ÷åéêàìè, ïîçâîëÿåò èñïðàâèòü íåäîñòàòêè ïåðâîïðèí-
öèïíûõ ðàñ÷åòîâ, à èìåííî: óâåëè÷èòü çíà÷åíèå ppt, óòî÷íèòü çàâèñèìîñòü
îò xSr. Ýòî ïîçâîëÿåò ïîëó÷èòü áîëåå äîñòîâåðíûå ðåçóëüòàòû, â òîì ÷èñëå
ïðè xSr �05, .
ÑÏÈÑÎÊ ËÈÒÅÐÀÒÓÐÛ
1. Winzenick M., Holzapfel W.B. Structural study on the high-pressure phase strontium III //
Phys. Rev. B. — 1996. — V. 53, N 5. — P. 2151 — 2154.
2. Wang G.M., Papaconstantopoulos D.A., Blaisten-Barojas E. Pressure induced transitions in
calcium: a tight-binding approach // J. Phys. Chem. Solids. — 2003. — V. 64, N 2. — P. 185—
192.
Â.Â. Ïîæèâàòåíêî
120 ISSN 0204–3572. Electronic Modeling. 2017. V. 39. ¹ 1
3. Errea I. et al. Fermi surface nesting and phonon instabilities in simple cubic calcium // High
Pressure Research. — 2008. — V. 28, N 4. — P. 443—448.
4. Arapan S., Mao H.-k., Ahuja R. Prediction of incommensurate crystal structure in Ca at high
pressure // P. Natl. Acad. Sci. USA. — 2008. — V. 105, N 52. — P. 20627—20630.
5. Gao G. et al. Electronic structures, lattice dynamics, and electron-phonon coupling of simple
cubic Ca under pressure // Solid State Comm. — 2008. — V. 146, N 3 — 4. — P. 181 —
185.
6. Qiu S.I., Marcus P.M. Phases of Ca from first principles // J. Phys.: Condens. Matter. —
2009. — V. 21, N 43. — 435403-1—435403-8.
7. Ishikawa T. et al. Review of high pressure phases of calcium by first-principles calculations //
J. Phys.: Conf. Ser. — 2010. — V. 215. — 012105-1—012105-6.
8. Oganov A.R. et al. Exotic behavior and crystal structures of calcium under pressure // P. Natl.
Acad. Sci. USA. — 2010. — V. 107, N 17. — P. 7646—7651.
9. Mao W.L. et al. Distortions and stabilization of simple-cubic calcium at high pressure and
low temperature // Ibid. — 2010. — V. 107, N 22. — P. 9965—9968.
10. Liu Zh.-L. et al. Phase transition and thermodynamic properties of Sr under high pressure //
Physica B. — 2011. — V. 406, N 23. — P. 4518—4522.
11. Alcock C.B., Itkin V.P. The Ca-Sr (Calcium-Strontium) System // J. of Phase Equilibria. —
1986. — V. 7, N 5. — P. 455—457.
12. Aljarrah M., Medraj M. Thermodynamic modeling of the Mg-Ca, Mg-Sr, Ca-Sr and
Mg-Ca-Sr systems using the modified quasichemical model // Calphad. — 2008. — V. 32,
N 2. — P. 240—251.
13. Okamoto H. Ca-Sr (Calcium-Strontium) // J. of Phase Equilibria and Diffusion. — 2010. —
V. 31, N 5. — P. 491.
14. Ìàêñèìîâ Å.Ã., Ìàãíèöêàÿ Ì.Â., Ôîðòîâ Â.Å. Íåïðîñòîå ïîâåäåíèå ïðîñòûõ ìåòàëëîâ
ïðè âûñîêèõ äàâëåíèÿõ // ÓÔÍ. — 2005. — 175, ¹ 8. — Ñ. 793—813.
15. Äåãòÿðåâà Â.Ô. Ïðîñòûå ìåòàëëû ïðè âûñîêîì äàâëåíèè. Ìîäåëü âçàèìîäåéñòâèÿ
ñôåðû Ôåðìè è çîíû Áðèëëþýíà // Òàì æå. — 2006. — 176, ¹ 4. — Ñ. 383—402.
16. Hohenberg P., Kohn W. Inhomogeneous electron gas // Phys. Rev. — 1964. — V. 136, N 3. —
P. B864—B871.
17. Weinert M., Davenport J.V. Fractional occupations and density-functional energies and
forces // Phys. Rev. B. — 1992. — V. 45, N 23. — P. 13709—13712.
18. Springborg M., Albers R.C., Schmidt K. Fractional occupancies and temperature in elec-
tronic-structure calculations // Ibid. — 1998. — V. 57, N 3. — P. 1427—1435.
19. Methfessel M., Paxton A.T. High-precision sampling for Brillouin-zone integration in metals //
Ibid. — 1989. — V. 40, N 6. — P. 3616—3621.
20. Ïîæèâàòåíêî Â.Â. Ðàñ÷åò òåðìîäèíàìè÷åñêèõ ïîòåíöèàëîâ ñ ó÷åòîì äðîáíîñòè ÷è-
ñåë çàïîëíåíèÿ è èññëåäîâàíèå ñòðóêòóðíûõ ôàçîâûõ ïåðåõîäîâ ÃÖÊ — ÎÖÊ â
ùåëî÷íî-çåìåëüíûõ ìåòàëëàõ // ÔÒÒ. — 2013. — 55, ¹ 10. — Ñ. 1879—1886.
21. Perdew J.P., Burke K., Ernzerhof M. Generalized gradient approximation made simple //
Phys. Rev. Lett. — 1996. — V. 77, N 18. — P. 3865—3868.
22. Vanderbilt D. Soft self-consistent pseudopotentials in a generalized eigenvalue formalism //
Phys. Rev. B. — 1990. — V. 41, N 11. — P. 7892—7895.
23. Giannozzi P. et al. QUANTUM ESPRESSO: a modular and open-source software project
for quantum simulations of materials // J. Phys.: Condens. Matter. — 2009. — V. 21, N 39. —
P. 395502-1—395502-19.
24. Marzari N., Vanderbilt D., De Vita A., Payne M.C. Thermal contraction and disordering of
the Al(100) surface // Phys. Rev. Lett. — 1999. — V. 82, N 16. — P. 3296—3299.
25. Murnaghan F.D. The compressibility of media under extreme pressures // P. Natl. Acad. Sci.
USA. — 1944. — V. 30, N 9. — P. 244—247.
Ìîäåëèðîâàíèå ôàçîâûõ ïåðåõîäîâ â ñâåðõñòðóêòóðàõ êàëüöèé — ñòðîíöèé
ISSN 0204–3572. Ýëåêòðîí. ìîäåëèðîâàíèå. 2017. Ò. 39. ¹ 1 121
26. Birch F. Finite elastic strain of cubic crystals // Phys. Rev. — 1947. — V. 71, N 11. — P. 809—
824.
27. Birch F. Finite strain isotherm and velocities for single-crystal and polycrystalline NaCl at
high pressures and 300 �K // J. Geophys. Res. — 1978. — V. 83, N B3. — P. 1257—1268.
28. Monkhorst H. J., Pack J.D. Special points for Brillouin-zone integrations // Phys. Rev. B. —
1976. — V. 13, N 12. — P. 5188—5192.
REFERENCES
1. Winzenick, M. and Holzapfel, W.B. (1996), “Structural study on the high-pressure phase
strontium III”, Physical Review B, Vol. 53, no. 5, pp. 2151-2154.
2. Wang, G.M., Papaconstantopoulos, D.A. and Blaisten-Barojas, E. (2003), “Pressure in-
duced transitions in calcium: a tight-binding approach”, J. Phys. Chem. Solids, Vol. 64, no. 2,
pp. 185-192.
3. Errea, I. et al. (2008), “Fermi surface nesting and phonon instabilities in simple cubic calcium”, //
High Pressure Research, Vol. 28, no. 4, pp. 443-448.
4. Arapan, S., Mao, H.-k. and Ahuja, R. (2008), “Prediction of incommensurate crystal struc-
ture in Ca at high pressure”, P. Natl. Acad. Sci. USA, Vol. 105, no. 52, pp. 20627-20630.
5. Gao, G. et al. (2008), “Electronic structures, lattice dynamics, and electron-phonon coupling
of simple cubic Ca under pressure”, Solid State Comm., Vol. 146, no. 3-4, pp. 181-185.
6. Qiu, S.I. and Marcus, P.M. (2009), “Phases of Ca from first principles”, J. Phys.: Condens.
Matter, Vol. 21, no. 43, pp. 435403-1 – 435403-8.
7. Ishikawa, T. et al. (2010), “Review of high pressure phases of calcium by first-principles cal-
culations”, J. Phys.: Conf. Ser., Vol. 215, pp. 012105-1-012105-6.
8. Oganov, A.R. et al. (2010), “Exotic behavior and crystal structures of calcium under pres-
sure”, P. Natl. Acad. Sci. USA, Vol. 107, no. 17, pp. 7646-7651.
9. Mao, W.L. et al. (2010), “Distortions and stabilization of simple-cubic calcium at high pres-
sure and low temperature”, P. Natl. Acad. Sci. USA, Vol. 107, no. 22, pp. 9965-9968.
10. Liu, Zh.-L. et al. (2011), “Phase transition and thermodynamic properties of Sr under high
pressure”, Physica B, Vol. 406, no. 23, pp. 4518-4522.
11. Alcock, C.B. and Itkin, V.P. (1986), “The Ca-Sr (Calcium-Strontium) System”, J. of Phase
Equilibria, Vol. 7, no. 5, pp. 455-457.
12. Aljarrah, M. and Medraj, M. (2008), “Thermodynamic modeling of the Mg-Ca, Mg-Sr,
Ca-Sr and Mg-Ca-Sr systems using the modified quasi-chemical model”, Calphad, Vol. 32,
no. 2, pp. 240-251.
13. Okamoto, H. (2010), “Ca-Sr (Calcium-Strontium)”, J. of Phase Equilibria and Diffusion,
Vol. 31, no. 5, p. 491.
14. Maksimov, E.G., Magnitskaya, M.V. and Fortov, V.E. (2005), “Non-simple behavior of
simple metals at high pressure”, Uspekhi fizicheskikh nauk, Vol. 175, no. 8, pp. 793-813.
15. Degtyareva, V.F. (2006), “Simple metals at high pressures: the Fermi sphere – Brillouin
zone interaction model”, Uspekhi fizicheskikh nauk, Vol. 176, no. 4, pp. 383-402.
16. Hohenberg, P. and Kohn, W. (1964), “Inhomogeneous electron gas”, Physical Review,
Vol. 136, no. 3, pp. B864-B871.
17. Weinert, M. and Davenport, J.V. (1992), “Fractional occupations and density-functional ener-
gies and forces”, Physical Review B, Vol. 45, no. 23, pp. 13709-13712.
18. Springborg, M., Albers, R.C. and Schmidt, K. (1998), “Fractional occupancies and tempera-
ture in electronic-structure calculations”, Physical ReviewB, Vol. 57, no. 3, pp. 1427- 1435.
19. Methfessel, M. and Paxton, A.T. (1989), “High-precision sampling for Brillouin-zone inte-
gration in metals”, Physical Review B, Vol. 40, no. 6, pp. 3616-3621.
Â.Â. Ïîæèâàòåíêî
122 ISSN 0204–3572. Electronic Modeling. 2017. V. 39. ¹ 1
20. Pozhivatenko, V.V. (2013), “Calculation of thermodynamic potentials with the inclusion of
fractional occupation numbers and investigation of FCC – BCC structural phase transitions
in alkaline-earth metals”, Fizika tvyordogo tela, Vol. 55, no. 10, pp. 1879-1886.
21. Perdew, J.P., Burke, K. and Ernzerhof, M. (1996), “Generalized gradient approximation
made simple”, Phys. Rev. Lett., Vol. 77, no. 18, pp. 3865-3868.
22. Vanderbilt, D. (1990), “Soft self-consistent pseudopotentials in a generalized eigenvalue
formalism”, Physical Review B, Vol. 41, no. 11, pp. 7892-7895.
23. Giannozzi, P. et al. (2009), “QUANTUM ESPRESSO: a modular and open-source software
project for quantum simulations of materials”, J. Phys.: Condens. Matter, Vol. 21, no. 39,
pp. 395502-1-395502-19.
24. Marzari, N., Vanderbilt, D., De Vita, A. and Payne, M.C. (1999), “Thermal contraction and
disordering of the Al(100) surface”, Phys. Rev. Lett., Vol. 82, no. 16, pp. 3296-3299.
25. Murnaghan, F.D. (1944), “The compressibility of media under extreme pressures”, P. Natl.
Acad. Sci. USA, Vol. 30, no. 9, pp. 244-247.
26. Birch, F. (1947), “Finite elastic strain of cubic crystals”, Physical Review, Vol. 71, no.
11, pp. 809-824.
27. Birch, F. (1978), “Finite strain isotherm and velocities for single-crystal and polycrystalline
NaCl at high pressures and 300°K”, J. Geophys. Res., Vol. 83, no. B3, pp. 1257-1268.
28. Monkhorst, H.J. and Pack, J.D. (1976), “Special points for Brillouin-zone integrations”,
Physical Review B, Vol. 13, no. 12, pp. 5188-5192.
V.V. Pozhivatenko
MODELLING OF PHASE TRANSITIONS
IN CALCIUM–STRONTIUM SUPERSTRUCTURES AT LOW PRESSURES
First-principal calculations of structural phase transitions essentially underestimate the values of
pressure of phase transitions in alkaline-earth metals. Using fitting parameters which are esti-
mated in calculations for calcium and strontium the author has conducted numerical calculations
of parameters of phase transitions in superstructures Ca1-xSrx consistent with face-centered cubic —
body-centered cubic (FCC — BCC) transition at low pressure, modeled by the supercells con-
taining up to sixteen atoms. Dependence of thermodynamic properties of Ca1-xSrx on concentra-
tion of strontium and parameter of smearing has been studied.
K e y w o r d s: structural phase transitions, density functional theory, smearing technique for the
states about Fermi level.
Ïîñòóïèëà 11.11.16;
ïîñëå äîðàáîòêè 01.12.16
ÏÎÆÈÂÀÒÅÍÊÎ Âèòàëèé Âëàäèìèðîâè÷, êàíä. ôèç.-ìàò. íàóê, äîöåíò êàôåäðû ôèçèêè Íè-
êîëàåâñêîãî íàöèîíàëüíîãî óíèâåðñèòåòà èì. Â.À. Ñóõîìëèíñêîãî.  1989 ã. îêîí÷èë Îäåññêèé
ãîñóíèâåðñèòåò èì. È.È. Ìå÷íèêîâà. Îáëàñòü íàó÷íûõ èññëåäîâàíèé — ìåòîäû ìîäåëè-
ðîâàíèÿ (èåðàðõè÷åñêèé ïîäõîä, ÷èñëåííûå ìåòîäû, íå÷åòêèå ìíîæåñòâà, íåéðîííûå ñåòè,
ñèñòåìíûé àíàëèç) òåðìîäèíàìè÷åñêèõ ñâîéñòâ òâåðäûõ òåë.
Ìîäåëèðîâàíèå ôàçîâûõ ïåðåõîäîâ â ñâåðõñòðóêòóðàõ êàëüöèé — ñòðîíöèé
ISSN 0204–3572. Ýëåêòðîí. ìîäåëèðîâàíèå. 2017. Ò. 39. ¹ 1 123
|