Восстановления функциональных закономерностей на основе многочленов Гегенбауэра
Приведено обоснование выбора аппроксимирующей функции в модели восстановления функциональных зависимостей в аддитивной и мультипликативной формах в виде полиномов Гегенбауэра. Дан сравнительный анализ применения полученных аппроксимирующих функций с результатами приближения с помощью полиномов Чебыш...
Gespeichert in:
| Datum: | 2015 |
|---|---|
| Hauptverfasser: | , , |
| Format: | Artikel |
| Sprache: | Russian |
| Veröffentlicht: |
Навчально-науковий комплекс "Інститут прикладного системного аналізу" НТУУ "КПІ" МОН та НАН України
2015
|
| Schriftenreihe: | Системні дослідження та інформаційні технології |
| Schlagworte: | |
| Online Zugang: | http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/116057 |
| Tags: |
Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Zitieren: | Восстановления функциональных закономерностей на основе многочленов Гегенбауэра / Н.Д. Панкратова, И.В. Бузань, В.А. Дашук // Системні дослідження та інформаційні технології. — 2015. — № 2. — С. 88-96 . — Бібліогр.: 9 назв. — рос. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
irk-123456789-116057 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
irk-123456789-1160572017-04-19T03:02:28Z Восстановления функциональных закономерностей на основе многочленов Гегенбауэра Панкратова, Н.Д. Бузань, И.В. Дашук, В.А. Математичні методи, моделі, проблеми і технології дослідження складних систем Приведено обоснование выбора аппроксимирующей функции в модели восстановления функциональных зависимостей в аддитивной и мультипликативной формах в виде полиномов Гегенбауэра. Дан сравнительный анализ применения полученных аппроксимирующих функций с результатами приближения с помощью полиномов Чебышева и Лежандра, которые являются частными случаями полиномов Гегенбауэра. Показано, что полиномы Гегенбауэра являются более универсальными и удобными, позволяющие при неизменной сложности вычислений добиваться высокой точности аппроксимации для более широкого спектра восстанавливаемых зависимостей. Наведено обґрунтування вибору базової апроксимуючої функції в моделі відновлення функціональних залежностей в адитивній і мультиплікативній формах у вигляді поліномів Гегенбауера. Дано порівняльний аналіз застосування отриманих апроксимую-чих функцій з результатами наближення за допомогою поліномів Чебишева і Лежандра, які є окремими випадками поліномів Гегенбауера. Показано, що поліноми Гегенбауера є більш універсальними і зручними, що дозволяють при незмінній складності отримати високу точність апроксимації для більш широкого спектру відновлюваних залежностей. The choice of a base approximating function in the recovery model of functional dependencies in additive and multiplicative forms as Gegenbauer polynomials is justified. A comparative analysis of the applications of the approximating functions with the results of approximation with the help of the Chebyshev and Legendre polynomials, who are special cases of Gegenbauer polynomials is performed. It is shown that the Gegenbauer polynomials are more versatile and comfortable, allowing for a constant computational complexity to achieve a high accuracy of approximation for a wide range of restored dependencies. 2015 Article Восстановления функциональных закономерностей на основе многочленов Гегенбауэра / Н.Д. Панкратова, И.В. Бузань, В.А. Дашук // Системні дослідження та інформаційні технології. — 2015. — № 2. — С. 88-96 . — Бібліогр.: 9 назв. — рос. 1681–6048 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/116057 519.711.2 ru Системні дослідження та інформаційні технології Навчально-науковий комплекс "Інститут прикладного системного аналізу" НТУУ "КПІ" МОН та НАН України |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| language |
Russian |
| topic |
Математичні методи, моделі, проблеми і технології дослідження складних систем Математичні методи, моделі, проблеми і технології дослідження складних систем |
| spellingShingle |
Математичні методи, моделі, проблеми і технології дослідження складних систем Математичні методи, моделі, проблеми і технології дослідження складних систем Панкратова, Н.Д. Бузань, И.В. Дашук, В.А. Восстановления функциональных закономерностей на основе многочленов Гегенбауэра Системні дослідження та інформаційні технології |
| description |
Приведено обоснование выбора аппроксимирующей функции в модели восстановления функциональных зависимостей в аддитивной и мультипликативной формах в виде полиномов Гегенбауэра. Дан сравнительный анализ применения полученных аппроксимирующих функций с результатами приближения с помощью полиномов Чебышева и Лежандра, которые являются частными случаями полиномов Гегенбауэра. Показано, что полиномы Гегенбауэра являются более универсальными и удобными, позволяющие при неизменной сложности вычислений добиваться высокой точности аппроксимации для более широкого спектра восстанавливаемых зависимостей. |
| format |
Article |
| author |
Панкратова, Н.Д. Бузань, И.В. Дашук, В.А. |
| author_facet |
Панкратова, Н.Д. Бузань, И.В. Дашук, В.А. |
| author_sort |
Панкратова, Н.Д. |
| title |
Восстановления функциональных закономерностей на основе многочленов Гегенбауэра |
| title_short |
Восстановления функциональных закономерностей на основе многочленов Гегенбауэра |
| title_full |
Восстановления функциональных закономерностей на основе многочленов Гегенбауэра |
| title_fullStr |
Восстановления функциональных закономерностей на основе многочленов Гегенбауэра |
| title_full_unstemmed |
Восстановления функциональных закономерностей на основе многочленов Гегенбауэра |
| title_sort |
восстановления функциональных закономерностей на основе многочленов гегенбауэра |
| publisher |
Навчально-науковий комплекс "Інститут прикладного системного аналізу" НТУУ "КПІ" МОН та НАН України |
| publishDate |
2015 |
| topic_facet |
Математичні методи, моделі, проблеми і технології дослідження складних систем |
| url |
http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/116057 |
| citation_txt |
Восстановления функциональных закономерностей на основе многочленов Гегенбауэра / Н.Д. Панкратова, И.В. Бузань, В.А. Дашук // Системні дослідження та інформаційні технології. — 2015. — № 2. — С. 88-96 . — Бібліогр.: 9 назв. — рос. |
| series |
Системні дослідження та інформаційні технології |
| work_keys_str_mv |
AT pankratovand vosstanovleniâfunkcionalʹnyhzakonomernostejnaosnovemnogočlenovgegenbauéra AT buzanʹiv vosstanovleniâfunkcionalʹnyhzakonomernostejnaosnovemnogočlenovgegenbauéra AT dašukva vosstanovleniâfunkcionalʹnyhzakonomernostejnaosnovemnogočlenovgegenbauéra |
| first_indexed |
2025-07-08T09:48:07Z |
| last_indexed |
2025-07-08T09:48:07Z |
| _version_ |
1837071689446326272 |
| fulltext |
Н.Д. Панкратова, И.В. Бузань, В.А. Дашук, 2015
88 ISSN 1681–6048 System Research & Information Technologies, 2015, № 2
TIДC
МАТЕМАТИЧНІ МЕТОДИ, МОДЕЛІ,
ПРОБЛЕМИ І ТЕХНОЛОГІЇ ДОСЛІДЖЕННЯ
СКЛАДНИХ СИСТЕМ
УДК 519.711.2
ВОССТАНОВЛЕНИЯ ФУНКЦИОНАЛЬНЫХ
ЗАКОНОМЕРНОСТЕЙ НА ОСНОВЕ МНОГОЧЛЕНОВ
ГЕГЕНБАУЭРА
Н.Д. ПАНКРАТОВА, И.В. БУЗАНЬ, В.А. ДАШУК
Приведено обоснование выбора аппроксимирующей функции в модели вос-
становления функциональных зависимостей в аддитивной и мультипликатив-
ной формах в виде полиномов Гегенбауэра. Дан сравнительный анализ приме-
нения полученных аппроксимирующих функций с результатами приближения
с помощью полиномов Чебышева и Лежандра, которые являются частными
случаями полиномов Гегенбауэра. Показано, что полиномы Гегенбауэра явля-
ются более универсальными и удобными, позволяющие при неизменной
сложности вычислений добиваться высокой точности аппроксимации для бо-
лее широкого спектра восстанавливаемых зависимостей.
ВВЕДЕНИЕ
Сложность задач принятия решений на различных стадиях жизненного
цикла в автоматизированных системах испытания летательных аппаратов,
системах автоматизированного контроля функционирования сложных ди-
намических объектов в реальном времени, системах технического диагно-
стирования и некоторых других обусловливает необходимость разработки
эффективных методологических и математических средств анализа, струк-
туризации и формализации противоречивых целей, формирования множест-
ва допустимых решений и выбора из них альтернативы. Особую значимость
эти задачи приобрели для некоторых объектов, которые характеризуются
условиями неполноты, неопределенности, неточности и противоречивости
исходной разнородной и разнотипной информации (для слабоструктуриро-
ванных и слабоформализуемых прикладных областей: медицина, социоло-
гия, техническая диагностика нештатных и критических ситуаций сложных
объектов и т.д.).
Одной из важнейших задач, возникающих при раскрытии концептуаль-
ной неопределенности, является задача восстановления функциональных
зависимостей по экспериментально полученной дискретной выборке. Задачи
восстановления функциональных зависимостей и выявления закономерно-
стей по эмпирическим данным распространены в практике, и потому приемы
и методы их решения постоянно совершенствуют и адаптируют к специфике
конкретной предметной области и особенностей реальных задач [1–3].
Восстановления функциональных закономерностей на основе многочленов Гегенбауэра
Системні дослідження та інформаційні технології, 2015, № 2 89
МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ
Математическая постановка указанных задач отличается от классических
постановок задач интерполяции и статистической обработки ограниченной
выборки. Так, в классической задаче интерполяции, требуется найти такую
функцию, которая обеспечивает восстановление ее значений в заданных
точках. В задачах выявления закономерностей необходимо найти функцию,
которая как можно точнее характеризует истинную ее зависимость от наи-
более важных факторов на всех интервалах задания исходных данных.
Это отличие обусловливает важные особенности рассмотренной зада-
чи, а именно: построение регуляризирующего функционала при решении
некорректных задач интерпретации косвенных экспериментов, выбор базо-
вой аппроксимирующей функции, неформальный выбор структуры вос-
станавливаемых функций, определение рационального набора признаков
и рационального объема выборки и т.д.
Вместе с тем, при решении реальных задач, в частности, на начальном
этапе формирования концепции и замысла сложных изделий новой техники,
известна лишь неполная, разнородная, исходная информация: эмпирические
данные, экспертные оценки, априорная информация об аналогах и прототи-
пах, некоторые сведения о назначениях и качественные показатели изделия,
стандартные ограничения и данные, характеризующие условия производст-
ва и эксплуатации и т.д. На основе такой информации необходимо сформи-
ровать целевые функции создания нового изделия. При этих условиях выбор
количества целевых функций, их аналитических форм, обоснования содер-
жания и назначения является неформализуемой процедурой, которую дол-
жен выполнять только исследователь. Результат зависит от компетенции,
умения, опыта, интуиции и других индивидуальных качеств исследователя,
выполняющего данную процедуру.
Рассматриваемая задача принципиально отличается от типовой задачи
восстановления функциональной зависимости, что обусловлено разнород-
ностью не только исходной информации, но и свойствами групп факторов,
которые определяют соответственно векторы 321 ,, xxx . Значения компонент
вектора 1x задано разработчиком и поэтому их можно изменить в процессе
проектирования изделия. Значения компонент вектора 2x — это требова-
ния, обусловленные назначением изделия, которые в случае его изменения
могут быть откорректированы заказчиком изделия. В любом случае разра-
ботчик обязан выполнить требования заказчика. Значения компонентов век-
тора 3x — требования, определенные стандартами на условия эксплуатации
изделия. Разработчик должен их выполнять. Отсюда следует необходимость
оценивать раздельно степень влияния каждой группы факторов на свойства
функций приближения. Для этого функции приближения формируются
в виде иерархической многоуровневой системы моделей.
На первом, верхнем уровне реализуют модель, которая определяет за-
висимость функций приближения от переменных 321 ,, xxx . Искомые функ-
ции формируются в классе аддитивных функций и представляются в виде
суперпозиции функций от переменных 321 ,, xxx . Возможность такого пред-
ставления следует из теоремы А.Н. Колмогорова [4]. Таким образом, иско-
мые функции ),,( 321 xxxi будем формировать в таком виде [5]:
mixcxcxcxxx iiiiiii ,1),()()(),,( 333222111321 . (1)
Н.Д. Панкратова, И.В. Бузань, В.А. Дашук
ISSN 1681–6048 System Research & Information Technologies, 2015, № 2 90
На втором уровне формируются модели, которые определяют зависи-
мость )3,2,1( sis от компонентов переменных 321 ,, xxx . Для этого требу-
ется перейти от функций векторов к суперпозициям функций компонентов
этих векторов. Учитывая, что компоненты каждого вектора 321 ,, xxx разно-
родные по физическому содержанию, целесообразно для слагаемых функ-
ций (1) выбрать класс обобщенных полиномов и представить их в виде
),()(),()(
22
2
2
211
1
1
1 22
1
)2(
2211
1
)1(
11 jj
n
j
jiijj
n
j
jii xaxxax
.)()(
33
3
3
3 33
1
)3(
33 jj
n
j
jii xax
(2)
Предложено для всех mi ,1 по каждой переменной
321 321 ,, jjj xxx вы-
бирать соответственно однотипные функции
321 321 ,, jjj , что позволяет
упростить дальнейшее решение задачи.
На третьем уровне формируются модели, которые определяют функции
321 321 ,, jjj . На этом уровне важнейшим является выбор структуры фу-
нкций
321 321 ,, jjj и базовых аппроксимирующих функций. Структуры
этих функций выбираем аналогично формуле (2). Представим функции в виде
обобщенных полиномов
.3,2,1),()(
0
sxx
ss
sj
sss sjpj
P
p
pjjjs (3)
В ряде случаев функциональные зависимости формируются в классе
мультипликативных функций, которые характеризуются последовательно-
стью уровней:
miхy ii ,1;)( ;
0
1
)(1)(1
K
k
c
kiki
ikxx ;
kikjk
k
kk
an
j
kjkjkik xx
1
)(1)(1 ;
kkj
kkj
kj
kkjkk
P
p
kjpkjkj xx
1
)(1)(1 .
Данная последовательность для удобства вычислений после несложных
преобразований представляется в форме аддитивных функций:
1)](1[lnexp)(
0
1
K
k
kikiki xcx ; 0,1;,1 Kkmi ; (4)
;1)](1[lnexp
1
kk
k
k
k kjkj
n
j
ikjik xa kkkjk njxx
k
,1, ; (5)
Восстановления функциональных закономерностей на основе многочленов Гегенбауэра
Системні дослідження та інформаційні технології, 2015, № 2 91
1)](1[lnexp)(
1
kk
kkj
kj
kkk kjpj
P
p
kjkjkj xx ;
kk kjj Pp ,1 . (6)
Выбор структуры функций (4)–(6) обусловлен рядом факторов. Во-
первых, априорно неизвестно являются ли компоненты векторов 321 ,, xxx
зависимыми или независимыми. Поэтому применение аддитивных функций
(1)–(3) при наличии зависимых компонентов векторов 321 ,, xxx может при-
вести к большим отклонениям полученных функций от истинных много-
факторных закономерностей исследуемых процессов. Во-вторых, примене-
ние мультипликативных функций позволяет учитывать влияния на свойства
искомых функций mixxxi ,1),,,( 321Ф не только группы компонентов ка-
ждого вектора 321 ,, xxx , но и взаимные воздействия компонентов разных
векторов 321 ,, xxx 321 ,, xxx в пределах каждого вектора. В-третьих, пред-
ставление искомых функциональных зависимостей в форме последователь-
ности уровней (4)–(6) позволяет при решении задачи использовать типовой
математический аппарат для системы уравнений из аддитивных функций.
Задача выбора класса и структуры функций приближения является ос-
новной и определяет требования к другим задачам. В частности, искомые
функции должны быть не только максимально приближенными к эмпириче-
ским данным по определенному критерию, но и иметь экстремальные свой-
ства. Специфика экстремальных свойств обусловлена ограниченностью ин-
тервала задания исходных данных и состоит в том, что возмущения на
границах интервала существенно сказываются на экстремальных свойствах
функции. Эта особенность является принципиальной и обусловливает более
сложную структуру функций приближения, чем в задачах интерполяции.
Отсюда следует практическая значимость задачи рационального выбора
класса функций приближения. Важная особенность этой задачи состоит в не-
обходимости выбора рационального компромисса между противоречивыми
требованиями: максимизации уровня достоверности процедуры выявления
искомой закономерности, что обусловливает необходимость повышения
сложности класса функций приближения, и минимизации сложности и трудо-
емкости процедуры формирования искомой функциональной зависимости.
При реализации различных прикладных задач наиболее часто в качест-
ве базовой аппроксимирующей функции используют полиномы Чебышева,
Лагерра, Лежандра, Эрмита и др., применение которых не всегда позволяет
получить одинаково требуемую точность приближения. Актуальным явля-
ется нахождение такого общего вида полиномов, которые за счет вариации
своих параметров смогли бы не допустить снижения точности приближения
при аппроксимации различного вида функций. Последнее обуславливает
целесообразность рассмотрения более общей структуры базовых аппрокси-
мирующих функций. Одним из представителей наиболее общего класса
функций являются многочлены Гегенбауэра. Следует заметить, что иссле-
дуемые полиномы Гегенбауэра не являются крайней точкой обобщения.
Существует еще более общая структура — многочлены Якоби, а также функ-
ции Гаусса. Однако их использование для решения задач поиска функцио-
нальных зависимостей не является рациональным, поскольку оперирование
этими интерполяционными полиномами является достаточно громоздким,
Н.Д. Панкратова, И.В. Бузань, В.А. Дашук
ISSN 1681–6048 System Research & Information Technologies, 2015, № 2 92
а потребность на каждой итерации искать сумму приводит к усложнению
работы программного обеспечения. Именно поэтому предлагается рассмот-
реть полиномы Гегенбауэра, как золотую средину между универсальностью
и простотой реализации, которые широко используются в научных исследо-
ваниях [6–8].
В данной работе проводится исследование выбора базовой аппрокси-
мирующей функции pjs
, применяемой на третьем уровне в модели вос-
становления функциональных зависимостей в аддитивной (3) и мультипли-
кативной (6) формах, в виде полинома Гегенбауэра. Далее проводится
сравнительный анализ наиболее часто используемых полиномов Чебышева,
Лагранжа и Лагерра с целью подбора для многочленов Гегенбауэра опти-
мального значения параметра α при аппроксимации различных функций
(тригонометрических, экспоненциальных). Для решения этой задачи приве-
дем некоторые сведения о полиномах Гегенбауэра.
НЕКОТОРЫЕ СВЕДЕНИЯ О ПОЛИНОМАХ ГЕГЕНБАУЭРА
Гипергеометрическая функция (функция Гаусса) определяется внутри круга
1z как сумма гипергеометрического ряда [8]:
....
!2)1(
)1()1(
!1
1
))(1(
))((
1),,,(
2
1
1
0
z
cc
bbaaz
c
ab
z
lcl
lbla
zcbaF k
k
k
l
Когда параметр c не равен нулю и отрицательным целым числам, регуляр-
ное в нуле решение уравнения Эйлера
0])1([)1(
2
2
abw
dz
dw
zbac
dz
wd
zz
можно будет записать через гипергеометрический ряд
....
!2)1(
)1()1(
!1
1),,,(),,,(
2
12
z
cc
bbaaz
c
ab
zcbaFzcbaF
Из приведенных выше функций Гаусса можно получить полиномы Якоби
(иногда называют гипергеометрическими полиномами) — это один из клас-
сов ортогональных полиномов с весом )1()1()( xxxW . Полиномы
Якоби получаются из гипергеометрических функций в тех случаях, когда
приведенные ниже ряды сходятся
,
2
1
;1;1;
!
)1(
)( 12
),(
z
nnF
n
zPn (7)
где n)1( — символ Похгаммера, который выражается через Гамма-
функцию
.
)1(
))1((
)1(
n
n
Подставляя последнее в (7), получаем
Восстановления функциональных закономерностей на основе многочленов Гегенбауэра
Системні дослідження та інформаційні технології, 2015, № 2 93
.
2
1
)1(
)1(
)1(!
)1(
)(
0
),(
mn
m
n
z
m
mn
m
n
nn
n
zP
Если же в многочленах Якоби приравнять параметры и , то получим
полиномы Гегенбауэра:
,
)2/1()2(
)2/1()2(
)( )2/1,2/1()(
nn P
n
n
xC (8)
которые являются ортогональными на промежутке ]1,1[ с весом:
2
1
2 )1()(
xxW .
В рекуррентном виде полиномы Гегенбауэра можно представить в виде
)()12()()(2)()1( )(
1
)()(
1 xCnxxCnxCn nnn
.
Частным случаем полиномов Гегенбауэра при 2/1 являются многочле-
ны Лежандра [9]
)()( )2/1( xCxP nn
или в рекуррентном виде
)()()12()()1( 11 xnPxxPnxPn nnn .
Частным случаем нормированного многочлена Гегенбауэра для параметра
0 являются многочлены Чебышева:
)(
0
)(lim)(
nn CnxT
или в рекуррентном виде:
)()(2)( 11 xTxxTxT nnn .
АНАЛИЗ ПРИБЛИЖЕНИЯ ФУНКЦИЙ ПОЛИНОМАМИ ГЕГЕНБАУЭРА
Проведем исследования точности аппроксимации некоторых наиболее часто
используемых функций полиномами Гегенбауэра для различных значений
коэффициента (Чебышева, Лагранжа и Лагерра). Сначала рассмотрим
экспоненциальную зависимость вида
x
xxx
ex
xeexex
xf
2
3
4
243
1
234
)(
. (9)
При использовании полиномов Гегенбауэра (8) для разных значений
коэффициента получены следующие результаты, приведенные в табл. 1.
Как видно из табл. 1, наименьшее отклонение от точного значения по-
лучено при использовании полиномов Гегенбауэра с коэффициентом
.75,0
Проведем аналогичное исследование для других наиболее часто ис-
пользуемых функций. Рассмотрим тригонометрическую зависимость вида
Н.Д. Панкратова, И.В. Бузань, В.А. Дашук
ISSN 1681–6048 System Research & Information Technologies, 2015, № 2 94
)(sin)2(sin
1
1
sin
))2((sincos
05,0
)2(sin08,0)( 2
2
xx exe
xx
x
xxxf
. (10)
Т а б л и ц а 1 . Сопоставление результатов аппроксимации полиномами
Гегенбауэра зависимости (9) при разных значений коэффициента
Значение Максимальное отклонение
0 (Полиномы Чебышева) 0,0052
0,25 0,0038
0,5 (Полиномы Лежандра) 0,0045
0,75 0,0031
1 0,0033
1,25 0,0059
1,5 0,0041
1,75 0,0077
2 0,0072
2,25 0,0062
2,5 0,0056
Полиномы Лагерра 0,0067
При использовании полиномов Гегенбауэра для разных значений ко-
эффициента мы получим следующие результаты, приведенные в табл. 2.
Т а б л и ц а 2 . Сопоставление результатов приближения зависимости (10)
при использовании различных аппроксимирующих полиномов и значе-
ний коэффициента
Значение Максимальное отклонение
0 (Полиномы Чебышева) 0,0032
0,25 0,0035
0,5 (Полиномы Лежандра) 0,0037
0,75 0,0038
1 0,0025
1,25 0,0049
1,5 0,0027
1,75 0,0033
2 0,0045
2,25 0,0058
2,5 0,0033
Полиномы Лагерра 0,0062
В данном случае наилучшее приближение оказывается при значении
коэффициента 1 , то есть ни полиномы Лежандра, ни полиномы Чебы-
шева, ни полиномы Лагерра не дают ту же точность, что полиномы Геген-
бауэра при значении 1 .
Для рассмотренных тестовых функций полиномы Гегенбауэра позво-
лили получить более точную аппроксимацию, нежели полиномы Чебышева,
Лежандра и Лагерра. Это можно объяснить тем, что для каждой функции
можно подобрать такое значение коэффициента полиномов Гегенбауэра,
который даст возможность получить наилучший результат.
Восстановления функциональных закономерностей на основе многочленов Гегенбауэра
Системні дослідження та інформаційні технології, 2015, № 2 95
Для демонстрации возможного применения полиномов Гегенбауэра в ка-
честве базовой аппроксимирующей функции pjs
при восстановлении фу-
нкциональных зависимостей (3) или (6) в реальной ситуации были исполь-
зованы данные о динамике изменения курсов валют на протяжении
тридцати двух дней (данные были взяты с официального сайта НБУ) (рису-
нок). Как и при работе с описанными выше функциями, вариации коэффи-
циента и степеней полиномов (8) позволяют с большей точностью ап-
проксимировать исследуемые функциональные зависимости, в то время как
полиномы Лежандра и Чебышева позволяют добиться такой же точности
лишь для более высоких степенях полиномов.
Использование полиномов Гегенбауэра при восстановлении функцио-
нальной закономерности в виде базовой аппроксимирующей функции pjs
позволяет получить минимальное отклонение от исходной выборки по срав-
нению со своими частными случаями (для разных значений коэффициента
α), не увеличивая при этом сложность вычисления.
ВЫВОДЫ
В данной статье был проведен анализ применения полиномов Гегенбауэра
для аппроксимации наиболее часто используемых экспоненциальных и три-
гонометрических зависимостей, а также сравнение полученных аппрокси-
мирующих функций с результатами приближения с помощью полиномов
Чебышева и Лежандра, которые являются частными случаями полиномов
Гегенбауэра. При этом было показано, что последние позволяют приблизить
с более высокой точностью рассматриваемые функции, чем полиномы
Рисунок. Распределение восстановленных зависимостей курсов валют с привлече-
нием в качестве базовой аппроксимирующей функции pjs
полиномов Гегенбауэра
2
2
2
5
Рассчитать Сброс
x1
x2
x3
x1
x2
x3
Y
2
2
2
f4
32
1 — input Y
2 — approximated Y
1
2
Чебышева
Н.Д. Панкратова, И.В. Бузань, В.А. Дашук
ISSN 1681–6048 System Research & Information Technologies, 2015, № 2 96
Чебышева или Лежандра за счет изменения коэффициента α в зависимости
от вида функциональной зависимости. Так, для приближения экспоненци-
альных функций более эффективными оказались полиномы Гегенбауэра со
значением 2/1 , что соответствует полиномам Лежандра. При аппрокси-
мации тригонометрических функций более высокая точность была получена
при использовании полиномов Гегенбауэра со значением α=1, то есть при
таком α используемая аппроксимирующая функция лучше приближает ис-
комую функциональную зависимость, чем при привлечении полиномов Че-
бышева или Лежандра.
Полученные результаты были подтверждены при восстановлении реаль-
ных функциональных зависимостей курсов валют, примененяя полиномы
Гегенбауэра в качестве базовой аппроксимирующей функции pjs
. Таким
образом, исследуемые полиномы Гегенбауэра являются более универсаль-
ными и удобными для использования в задачах восстановления функцио-
нальных зависимостей, поскольку при неизменной сложности вычислений
позволяют добиться высокой точности аппроксимации для более широкого
спектра восстанавливаемых зависимостей.
ЛИТЕРАТУРА
1. Гесте Т., Тибширани Р., Фридман Д. Элементы статистического обучения //
Интеллектуальный анализ данных, вывода и прогнозирование последова-
тельностей Спрингера в статистике. Springer. — 2008. — 764 с.
2. Жучко О.В., Пытьев Ю.П. Восстановление функциональной зависимости тео-
ретико-возможностными методами // Ж. вычисл. матем. и матем. физ. —
2003. — 43, № 5. — С. 767–783.
3. Mihaila B., Mihaila I. Numerical approximations using Chebyshev polynomial ex-
pansions: El-gendi’s method revisited // J. Phys. A: Math. Gen. — 2002. —
35(43), № 5. — P. 731–746.
4. Колмогоров А.Н. О представлении непрерывных функций нескольких пере-
менных в виде суперпозиции непрерывных функций одного переменного
и сложения // ДАН СССР. — 1957. — 114, № 5. — С. 953–956.
5. Панкратова Н.Д. Формирование целевых функций в системной задаче концеп-
туальной неопределенности // Доп. НАН України. — 2000. — № 9. —
С. 67–73.
6. Sayyed K.A.M., Metwally M.S., Batahan R.S. Gegenbauer matrix polynomials and
second order matrix differential equations, DepartmentofMathematics // Divulga-
ciones Matem´aticas. — 2004. — 12, № 2. —P. 101–115.
7. David Gottlieb, Chi-Wang Shu. Recovering exponential accuracy in a subinterval
from a Gegenbauer partial sum of a piece wiseanalytic function // Math.
Comp. — 1995. — 64. — P. 1081–1095.
8. Guo Ben-yu. Gegenbauer approximation and its applications to differential equations
on the whole line // Journal of Mathematical Analysis and Applications. —
1998. — 226, № 1 — P. 180–206.
9. Boyd John P. Trouble with Gegenbauer reconstruction for defeating Gibbs phe-
nomenon: Runge phenomenon in the diagonal limit of Gegenbauer polynomial
approximations // Journal of Computational Physics. — 2005. — 204. —
P. 53–264.
Поступила 30.04.2015
|