Бифуркации Хопфа в волновых моделях крутильных колебаний составных бурильных колонн
Построена волновая модель торсионных колебаний вращающихся колонн глубокого бурения. Выполнено компьютерное исследование эффектов зарождений их крутильных автоколебаний. Найдены диапазоны значений угловых скоростей вращения, соответствующие режимам устойчивых периодических движений. Показано, что в...
Gespeichert in:
| Datum: | 2010 |
|---|---|
| Hauptverfasser: | , |
| Format: | Artikel |
| Sprache: | Russian |
| Veröffentlicht: |
Інститут гідромеханіки НАН України
2010
|
| Schriftenreihe: | Акустичний вісник |
| Online Zugang: | http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/116127 |
| Tags: |
Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Zitieren: | Бифуркации Хопфа в волновых моделях крутильных колебаний составных бурильных колонн / С.Н. Худолий, О.В. Глушакова // Акустичний вісник — 2010. —Т. 13, № 2. — С. 59-65. — Бібліогр.: 9 назв. — рос. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
irk-123456789-116127 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
irk-123456789-1161272017-04-21T03:03:00Z Бифуркации Хопфа в волновых моделях крутильных колебаний составных бурильных колонн Худолий, С.Н. Глушакова, О.В. Построена волновая модель торсионных колебаний вращающихся колонн глубокого бурения. Выполнено компьютерное исследование эффектов зарождений их крутильных автоколебаний. Найдены диапазоны значений угловых скоростей вращения, соответствующие режимам устойчивых периодических движений. Показано, что в состояниях, ограничивающих эти диапазоны, реализуются бифуркации Хопфа. Проанализировано влияние длин участков составных бурильных колонн на бифуркационные значения их угловых скоростей. Установлены основные закономерности наступления и протекания автоколебательных процессов в таких системах Побудовано хвильову модель торсіонних коливань колон глибокого буріння, які обертаються. Виконано комп'ютерне дослідження ефектів зародження їхніх крутильних автоколивань. Знайдені діапазони значень кутових швидкостей обертання, які відповідають режимам стійких періодичних рухів. Показано, що в станах, які обмежують ці діапазони, реалізуються біфуркації Хопфа. Проаналізовано вплив довжин ділянок складених бурильних колон на біфуркаційні значення їхніх кутових швидкостей. Встановлено основні закономірності настання й перебігу автоколивальних процесів у таких системах. Wave model of a torsional vibration of deep drill stems has been developed. The effects of generation of the torsional autooscillations have been simulated using the computer. The ranges of rotation angle velocity corresponding to the regimes of stable periodic motions have been determined. The Hopf bifurcations have been shown to occur in the conditions limiting these ranges. The influence of lengths of the sections forming the composite drill stems on the bifurcational values of angular velocities has been analyzed. General laws of occurrence and course of the auto-oscillation processes in composite drill stems have been specified. 2010 Article Бифуркации Хопфа в волновых моделях крутильных колебаний составных бурильных колонн / С.Н. Худолий, О.В. Глушакова // Акустичний вісник — 2010. —Т. 13, № 2. — С. 59-65. — Бібліогр.: 9 назв. — рос. 1028-7507 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/116127 539.3 ru Акустичний вісник Інститут гідромеханіки НАН України |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| language |
Russian |
| description |
Построена волновая модель торсионных колебаний вращающихся колонн глубокого бурения. Выполнено компьютерное исследование эффектов зарождений их крутильных автоколебаний. Найдены диапазоны значений угловых скоростей вращения, соответствующие режимам устойчивых периодических движений. Показано, что в состояниях, ограничивающих эти диапазоны, реализуются бифуркации Хопфа. Проанализировано влияние длин участков составных бурильных колонн на бифуркационные значения их угловых скоростей. Установлены основные закономерности наступления и протекания автоколебательных процессов в таких системах |
| format |
Article |
| author |
Худолий, С.Н. Глушакова, О.В. |
| spellingShingle |
Худолий, С.Н. Глушакова, О.В. Бифуркации Хопфа в волновых моделях крутильных колебаний составных бурильных колонн Акустичний вісник |
| author_facet |
Худолий, С.Н. Глушакова, О.В. |
| author_sort |
Худолий, С.Н. |
| title |
Бифуркации Хопфа в волновых моделях крутильных колебаний составных бурильных колонн |
| title_short |
Бифуркации Хопфа в волновых моделях крутильных колебаний составных бурильных колонн |
| title_full |
Бифуркации Хопфа в волновых моделях крутильных колебаний составных бурильных колонн |
| title_fullStr |
Бифуркации Хопфа в волновых моделях крутильных колебаний составных бурильных колонн |
| title_full_unstemmed |
Бифуркации Хопфа в волновых моделях крутильных колебаний составных бурильных колонн |
| title_sort |
бифуркации хопфа в волновых моделях крутильных колебаний составных бурильных колонн |
| publisher |
Інститут гідромеханіки НАН України |
| publishDate |
2010 |
| url |
http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/116127 |
| citation_txt |
Бифуркации Хопфа в волновых моделях крутильных колебаний составных бурильных колонн / С.Н. Худолий, О.В. Глушакова // Акустичний вісник — 2010. —Т. 13, № 2. — С. 59-65. — Бібліогр.: 9 назв. — рос. |
| series |
Акустичний вісник |
| work_keys_str_mv |
AT hudolijsn bifurkaciihopfavvolnovyhmodelâhkrutilʹnyhkolebanijsostavnyhburilʹnyhkolonn AT glušakovaov bifurkaciihopfavvolnovyhmodelâhkrutilʹnyhkolebanijsostavnyhburilʹnyhkolonn |
| first_indexed |
2025-07-08T09:55:41Z |
| last_indexed |
2025-07-08T09:55:41Z |
| _version_ |
1837072167256195072 |
| fulltext |
ISSN 1028 -7507 Акустичний вiсник. 2010. Том 13, N 2. С. 59 – 65
УДК 539.3
БИФУРКАЦИИ ХОПФА В ВОЛНОВЫХ МОДЕЛЯХ
КРУТИЛЬНЫХ КОЛЕБАНИЙ СОСТАВНЫХ
БУРИЛЬНЫХ КОЛОНН
С. Н. ХУ Д О ЛИ Й, О. В. Г ЛУ Ш АК О В А
Национальный транспортный университет, Киев
Получено 09.06.2010
Построена волновая модель торсионных колебаний вращающихся колонн глубокого бурения. Выполнено компью-
терное исследование эффектов зарождений их крутильных автоколебаний. Найдены диапазоны значений угловых
скоростей вращения, соответствующие режимам устойчивых периодических движений. Показано, что в состояни-
ях, ограничивающих эти диапазоны, реализуются бифуркации Хопфа. Проанализировано влияние длин участков
составных бурильных колонн на бифуркационные значения их угловых скоростей. Установлены основные законо-
мерности наступления и протекания автоколебательных процессов в таких системах.
Побудовано хвильову модель торсiонних коливань колон глибокого бурiння, якi обертаються. Виконано комп’ютерне
дослiдження ефектiв зародження їхнiх крутильних автоколивань. Знайденi дiапазони значень кутових швидкостей
обертання, якi вiдповiдають режимам стiйких перiодичних рухiв. Показано, що в станах, якi обмежують цi дi-
апазони, реалiзуються бiфуркацiї Хопфа. Проаналiзовано вплив довжин дiлянок складених бурильних колон на
бiфуркацiйнi значення їхнiх кутових швидкостей. Встановлено основнi закономiрностi настання й перебiгу автоко-
ливальних процесiв у таких системах.
Wave model of a torsional vibration of deep drill stems has been developed. The effects of generation of the torsional auto-
oscillations have been simulated using the computer. The ranges of rotation angle velocity corresponding to the regimes of
stable periodic motions have been determined. The Hopf bifurcations have been shown to occur in the conditions limiting
these ranges. The influence of lengths of the sections forming the composite drill stems on the bifurcational values of
angular velocities has been analyzed. General laws of occurrence and course of the auto-oscillation processes in composite
drill stems have been specified.
ВВЕДЕНИЕ
Нефть и газ являются наиболее привлекатель-
ными видами топлива на транспорте, в про-
мышленности и в жилом секторе благодаря их
высокой теплотворной способности, легкости до-
бычи и транспортировки, а также простоте извле-
чения из них тепловой энергии. Поэтому энерге-
тические проблемы, все заметнее обостряющиеся
в последнее время, в значительной мере обуслов-
лены приближающимся исчерпанием нефтяных и
газовых ресурсов и усложнением условий их до-
бычи. Поскольку легкодоступные месторождения
нефти и газа истощены в результате их нерацио-
нального и бесхозяйственного извлечения в тече-
ние двух предыдущих столетий, все более актуаль-
ной становится проблема бурения сверхглубоких
нефтяных и газовых скважин.
При бурении глубоких скважин довольно сло-
жным динамическим эффектом, способствующим
возникновению аварийных ситуаций, является са-
мовозбуждение крутильных колебаний вращаю-
щейся конструкции бурильной колонны (БК). В
этом случае БК можно представить как торсион-
ный маятник, в нижней части которого за счет
фрикционного взаимодействия между долотом и
разрушаемой породой генерируется эффект срыв-
ного скольжения, в результате чего процесс ста-
ционарного оттока энергии приводного механизма
в окружающую среду нарушается и долото пере-
ходит от режима установившегося стационарного
вращения в режим крутильных автоколебаний.
Так как долото жестко связано с конструкцией
БК, при его срывных крутильных колебаниях от
нижнего конца БК к ее верхнему концу начина-
ют распространятся упругие (как правило, негар-
монические) волны кручения, которые, достигнув
верхнего конца, отражаются от него, и, вернув-
шись к долоту, воздействуют на него, оказывая су-
щественное влияние на форму его колебаний. По-
этому движение такой системы может быть описа-
но только на основе математической модели вол-
нового торсионного маятника, роль маховика в ко-
тором играет долото. В данной работе показано,
что благодаря отсутствию дисперсии этих волн
и возможности представления решения волнового
уравнения в форме Даламбера, волновое уравне-
ние с системой краевых условий может быть при-
ведено к одному обыкновенному дифференциаль-
ному уравнению 2-го порядка с запаздывающим
аргументом (временем t) и с варьируемым параме-
тром угловой скорости ω. В зависимости от значе-
ния этого параметра, построенное уравнение мо-
жет иметь как стационарное решение ϕ(t)=const,
c© C. Н. Худолий, О. В. Глушакова, 2010 59
ISSN 1028 -7507 Акустичний вiсник. 2010. Том 13, N 2. С. 59 – 65
L
zZ ,
X
x! "# t
Y
y
Рис. 1. Схема однородной бурильной колонны
так и автоколебательное решение в виде периоди-
ческой функции ϕ(t). Смена первого решения вто-
рым называется бифуркацией Хопфа, а значение
параметра ω, при котором эта смена происходит, –
бифуркационным [1 – 7]. Ниже на основе постро-
енной математической модели торсионных коле-
баний БК найдены бифуркационные значения ω
для различных длин БК и установлены некото-
рые закономерности протекания автоколебатель-
ных процессов.
1. ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ О ТОРСИОН-
НЫХ ВОЛНОВЫХ ПРОЦЕССАХ В ОДНО-
РОДНЫХ КОЛОННАХ
Рассмотрим бурильную колонну в виде торси-
онного маятника, к нижнему концу которого при-
креплено долото. Верхний конец БК вращается с
заданной постоянной скоростью ω.
Введем инерциальную систему координат
OXY Z с началом в центре масс долота, ось OZ
которой совпадает с осью БК, и систему коорди-
нат Oxyz, вращающуюся с угловой скоростью ω
вокруг оси OZ (рис. 1)
Движение элементов БК и долота относительно
системы Oxyz определяется углом упругого кру-
чения ϕ=ϕ(z, t).
На нижнем конце на долото действует момент
сил резания (трения) M fr
M fr = M [ω + ϕ̇(0, t)], (1)
где точкой обозначено дифференцирование по вре-
мени t.
Упругие крутильные движения БК описываю-
тся уравнением
ρIz
∂2ϕ
∂t2
− GIz
∂2ϕ
∂z2
= 0, (2)
где ρ – плотность материала БК; G – его модуль
упругости при сдвиге; Iz – полярный момент инер-
ции площади поперечного сечения трубы БК.
Введя обозначение β=
√
G/ρ, где β – скорость
распространения поперечной упругой волны (вол-
ны кручения), приведем уравнение (2) к стандар-
тной форме:
∂2ϕ
∂t2
− β2
∂2ϕ
∂z2
= 0. (3)
Оно имеет решение в форме Даламбера:
ϕ(z, t) = f(z − βt) + g(z + βt), (4)
где f(z−βt), g(z+βt) – произвольные непрерыв-
ные (не обязательно дифференцируемые) функ-
ции, первая из которых определяет волну, распро-
страняющуюся в положительном направлении оси
Oz, вторая – в противоположном. Поскольку вол-
ны недиспергирующие, то они перемещаются, не
изменяя своего профиля, что существенно упро-
щает решение задачи.
Действительно, в этом случае функции f и g при
t>0 определяются только начальными условиями:
f(z − 0) = f0(z), g(z + 0) = g0(z), (5)
и граничными условиями на нижнем конце z=0:
F [f(0 − βt), g(0 + βt)] = 0 (6)
и на верхнем конце z=L:
ϕ(L, t) = f(L − βt) + g(L + βt) = 0. (7)
Здесь F – нелинейный дифференциальный опера-
тор, описывающий движение долота.
Условие (6) формируется с помощью уравнения
баланса моментов сил инерции M in , сил трения
M fr и сил упругости M el:
M in + M fr + M el = 0, (8)
вытекающего из принципа Даламбера, записанно-
го для долота, условно отделенного от трубы БК.
60 C. Н. Худолий, О. В. Глушакова
ISSN 1028 -7507 Акустичний вiсник. 2010. Том 13, N 2. С. 59 – 65
Входящий в уравнение (8) момент M in сил инер-
ции, действующих на долото, рассчитывается по
формуле
M in = −Jϕ̈, (9)
где J – момент инерции долота относительно оси
Oz; ϕ̈ – угловое ускорение долота относительно
инерциальной системы координат OXY Z.
Момент M fr определяется условиями силового
взаимодействия долота с разрушаемой породой и
угловой скоростью ω+ϕ̇ их относительного вра-
щательного движения. Обычно [8, 9] этот момент
задается в виде зависимости M fr(ω+ϕ̇), которая
может быть описана с помощью аппроксимирую-
щей функции
M fr =−
a1(ω+ϕ̇)+a3(ω+ϕ̇)3+a5(ω+ϕ̇)5
1+a2(ω+ϕ̇)2
−
−
a7(ω+ϕ̇)7+a9(ω+ϕ̇)9
1+a2(ω+ϕ̇)2
,
(10)
где коэффициенты ai (i = 1, 2, . . . , 9) определяю-
тся из экспериментов.
Момент M el вычисляется с помощью формулы
M el = GIz
∂ϕ
∂z
. (11)
Угловая деформация ∂ϕ/∂z подсчитываются так:
∂ϕ
∂z
∣
∣
∣
∣
z=0
=
∂
∂z
[f(z − βt) + g(z + βt)]z=0 .
На основании условия (7) имеем
g(L + βt) = −f(L − βt).
Это равенство может быть использовано в каче-
стве начального условия для исходящей от края
z=L волны:
g(z, t) = g(z + βt) = −f(2L − z − βt).
Тогда
ϕ(z, t) = f(z − βt) − f(2L − z − βt) =
= f(u) − f(w),
(12)
где u=z−βt; w=2L−z−βt. При z = 0 получим
ϕ(0, t) = f(−βt) − f(2L − βt) =
= f(−βt) − f
[
−β
(
t −
2L
β
)]
.
Таким образом, в точке z=0 присоединения доло-
та к БК угол ϕ(0, t) упругого закручивания после-
дней определяется текущим значением функции
f(−βt) и ее значением f(2L − βt), которое имело
место в данной точке в момент времени, сдвину-
тый в прошлое на величину ∆τ =2L/β. Это озна-
чает, что ϕ(0, t) – функция не только текущего
значения аргумента t, но и аргумента (t−∆τ ) с
запаздыванием времени.
Из равенства (12) следует:
∂ϕ
∂z
=
∂f(u)
∂z
−
∂f(w)
∂z
=
∂f(u)
∂u
+
∂f(w)
∂w
,
∂ϕ
∂t
=
∂f(u)
∂t
−
∂f(w)
∂t
= −β
∂f(u)
∂u
+ β
∂f(w)
∂w
.
В результате сравнения этих соотношений полу-
чим
∂ϕ
∂z
= −
∂f(z − βt)
β∂t
−
∂f(2L − z − βt)
β∂t
.
Тогда
M el =
=−GIz
[
∂f(z−βt)
β∂t
+
∂f(2L−z−βt)
β∂t
]
z=0
=
=−
GIz
β
[
∂f(−βt)
β∂t
+
∂f(2L−βt)
β∂t
]
z=0
.
(13)
Подставляя выражения (9), (10), (13) в форму-
лу (8) с учетом соотношения (5) получаем нели-
нейное обыкновенное дифференциальное уравне-
ние второго порядка с запаздывающим аргумен-
том:
J [f̈(−βt) − f̈(2L − βt)]+
+
a1[ω + ḟ(−βt) − ḟ(2L − βt)]
1 + a2[ω + ḟ(−βt) − ḟ(2L − βt)]2
+ . . .+
+
a9[ω + ḟ(−βt) − ḟ(2L − βt)]9
1 + a2[ω + ḟ(−βt) − ḟ(2L − βt)]2
+
+
GIz
β
[ḟ(−βt) + ḟ(2L − βt)] = 0.
(14)
Данное уравнение эквивалентно системе волново-
го уравнения с частными производными (2) и кра-
евых уравнений (6), (7).
2. ВОЛНОВАЯ МОДЕЛЬ ТОРСИОННЫХ
КОЛЕБАНИЙ СОСТАВНЫХ БУРИЛЬНЫХ
КОЛОНН
Рассмотрим составную БК. Пусть она состоит
из двух участков, длины которых составляют l1 и
C. Н. Худолий, О. В. Глушакова 61
ISSN 1028 -7507 Акустичний вiсник. 2010. Том 13, N 2. С. 59 – 65
L
1
l
2
l
r
1
X
i
1
Y
Z
2
!
t"
2
!
t
2
1
!
1
!
t"
1
!
t"
1
!
Рис. 2. Схема составной бурильной колонны
l2, а механические характеристики – β1, ρ1, l1 и β2,
ρ2, l2 соответственно (рис. 2).
Тогда волны вида f(z−βt), распространяясь
от точки z=0 и достигая точки z= l1 , бу-
дут испытывать в ней ударное преломление-
отражение. Для вычисления интенсивностей соо-
тветствующих преломленных и отраженных волн
рассмотрим процесс дифракции элемента волны
длиной β1∆t в течение времени ∆t. Выделим эле-
менты БК в падающей, отраженной и проникшей
волнах, которые участвуют в этом взаимодействии
и имеют угловые скорости ϕ̇i
1, ϕ̇r
1, ϕ̇t
2 и длины
β1∆t, β1∆t, β2∆t соответственно. Здесь индексами
“i”, “r” и “t” помечены соответственно падающая,
отраженная и преломленная волны. Полагая, что
ϕ̇i
1 известна, найдем ϕ̇r
1, ϕ̇t
2. Для этого используем
условие сохранения момента количеств движения
выделенных элементов до и после удара. Оно име-
ет вид
∆Ki
1 = ∆Kr
1 + ∆Kt
2, (15)
где
∆Ki
1 = ϕ̇i
1ρ1I1β1∆t,
∆Kr
1 = ϕ̇r
1ρ1I1β1∆t,
∆Kt
2
= ϕ̇t
2
ρ2I2β2∆t.
(16)
Дополнив уравнение (15) условием неразрывности
угловых скоростей
ϕ̇i
1 + ϕ̇r
1 = ϕ̇t
2, (17)
получим систему двух уравнений для вычисления
ϕ̇r
1
и ϕ̇t
2
. Она имеет решение
ϕ̇r
1 =
β2ρ2I2 − β1ρ1I1
β1ρ1I1 + β2ρ2I2
ϕ̇i
1,
ϕ̇t
2 =
2β1ρ1I1
β1ρ1I1 + β2ρ2I2
ϕ̇i
1.
(18)
Из условий неразрывности крутящего момента
и угла кручения вычисляются углы кручения в
отраженной и проникшей волнах:
ϕr
1 =
β2ρ2I2 − β1ρ1I1
β1ρ1I1 + β2ρ2I2
ϕi
1,
ϕt
2 =
2β1ρ1I1
β1ρ1I1 + β2ρ2I2
ϕi
1.
(19)
При рассмотрении дифракции волны g(z+βt) в
сечении z= l1 волна gi
2(z+β2t) на втором участ-
ке, прибывающая к этому сечению, является па-
дающей и считается известной, а волны gr
2
(z−β2t)
(z≥ l1) и gt
1(z+β1t) (z≤ l1) – отраженной и прелом-
ленной и подлежат определению. Их кинематиче-
ские характеристики вычисляются по изложенной
выше методике с помощью равенств
ϕ̇r
2 =
β1ρ1I1 − β2ρ2I2
β1ρ1I1 + β2ρ2I2
ϕ̇i
2,
ϕ̇t
1 =
2β2ρ2I2
β1ρ1I1 + β2ρ2I2
ϕ̇i
2
(20)
и
ϕr
2
=
β1ρ1I1 − β2ρ2I2
β1ρ1I1 + β2ρ2I2
ϕi
2
,
ϕt
1 =
2β2ρ2I2
β1ρ1I1 + β2ρ2I2
ϕi
2.
(21)
В результате дифракции волн ϕi
1(z−β1t) и
ϕi
2(z−β2t) суперпозиция проникшей ϕt
2(z−β2t)
и отраженной ϕr
2
(z−β2t) волн составля-
ет волну f2(z−β2t) на втором участке, а
ϕr
1(z+β1t)+ϕt
1(z+β1t) – волну g1(z+β1t) на
первом участке. С учетом этого получим началь-
ное условие в точке z= l1 для волны f2(z−β2t) в
62 C. Н. Худолий, О. В. Глушакова
ISSN 1028 -7507 Акустичний вiсник. 2010. Том 13, N 2. С. 59 – 65
области l1≤z≤L:
f2(l1 − β2t) =
=
2β1ρ1I1
β1ρ1I1 + β2ρ2I2
f i
1(l1 − β2t)−
−
β1ρ1I1 − β2ρ2I2
β1ρ1I1 + β2ρ2I2
gi
2
(l1 + β1t),
ḟ2(l1 − β2t) =
=
2β1ρ1I1
β1ρ1I1 + β2ρ2I2
ḟ i
1
(l1 − β2t)−
−
β1ρ1I1 − β2ρ2I2
β1ρ1I1 + β2ρ2I2
ġi
2
(l1 + β1t),
(22)
и начальные условия в этой точке для волны
g1(z+β1t) в области 0≤z≤ l1:
g1(l1 + β1t) =
=
β1ρ1I1 − β2ρ2I2
β1ρ1I1 + β2ρ2I2
f i
1(l1 − β2t)+
+
2β2ρ2I2
β1ρ1I1 + β2ρ2I2
gi
2
(l1 + β2t),
ġ1(l1 + β1t) =
=
β1ρ1I1 − β2ρ2I2
β1ρ1I1 + β2ρ2I2
ḟ i
1
(l1 − β2t)+
+
2β2ρ2I2
β1ρ1I1 + β2ρ2I2
ġi
2
(l1 + β2t),
(23)
Уравнения (3), (4) совместно с граничны-
ми условиями (6), (8) и условиями сопряже-
ния (22), (23) описывают трехточечную краевую
задачу по отношению к переменной z с условия-
ми в точках z=0, z= l1 и z=L. Для ее численного
решения применяется метод Рунге – Кутта.
3. ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ ИССЛЕДО-
ВАНИЙ
Для установления зависимости особенностей
возникновения бифуркаций рождения цикла и
процесса крутильных автоколебаний БК длинами
L=1000 и 2000 м от характера изменения ее
механических свойств вдоль осевой линии реше-
ны четыре задачи. Задачи 1 и 2 решены для БК
длиной 1000 м. В задаче 1 рассмотрена БК, состоя-
щая из двух секций длинами l1 =333 м, l2 =667 м.
Значения основных определяющих параметров:
J =3.1 кг·м3, G=8.076·1010 Па, β=3218 м/с.
Рис. 3. Диаграмма крутильных колебаний долота
Рис. 4. Диаграмма изменения угловой
скорости долота
Выбранная функция M fr(ω+ϕ̇) описывается
равенством (10) при значениях коэффициентов
a1 =2400 Н·м·с, a2 =225 с2, a3 =15000 Н·м·с3,
a5 =1 Н·м·с5, a7 =4 Н·м·с7, a9 =−130 Н·м·с9.
Сечение верхней секции имеет момент инерции
Iz,2 =3.12·10−5 м4, сечение нижней секции –
Iz,1 =0.404·10−5 м4. В задаче 2 длины секций БК
составляют l1 =667 м, l2 =333 м. Задачи 3 и 4
решены для БК длиной 2000 м. В задаче 3 длины
секций БК составляют l1 =667 м, l2 =1333 м,
а в задаче 4 – l1 =1333 м, l2 =667 м. При этом
значения основных определяющих параметров не
меняются.
На рис. 3 показана диаграмма изменения угла
закручивания ϕ(t) долота при ωb =0.725 рад/с. На
рис. 4 показан график зависимости от времени
угловой скорости ϕ̇(t). На рис. 5 дан фазовый
C. Н. Худолий, О. В. Глушакова 63
ISSN 1028 -7507 Акустичний вiсник. 2010. Том 13, N 2. С. 59 – 65
Рис. 5. Фазовый портрет автоколебаний
Рис. 6. Диаграмма момента трения M
fr
Таблица. Параметры крутильных
автоколебаний составной БК
Номер ωb, ϕst, ϕav, D, T,
задачи рад/с рад рад рад c
1 0.71 −105.8 −85.9 39.8 139.9
2 0.71 −178.4 −145.2 66.4 124.5
3 0.725 −210.1 −38.8 77.6 266.6
4 0.725 −357 −66.5 133 462.5
портрет автоколебаний (зависимость ϕ(t) от ϕ̇(t)).
рис. 3 – 5 соответствуют задаче 3. Аналогичные
графики для задач 1, 2 и 4 не приведены, посколь-
ку для них картина качественно не меняется. На
рис. 6 представлен график функции M fr, исполь-
зованной для всех четырех задач.
Численные исследования показали, что при ма-
лых и больших значениях скорости ω долото на-
ходится в состояниях стационарного вращения
с постоянным углом закручивания ϕ(t)=const и
ϕ̇(t)=0. Крутильные автоколебания долота возбу-
ждаются внутри диапазона ωb≤ω≤ωd, где ωb, ωd –
бифуркационные значения ω, при которых рожда-
ются и утрачиваются циклы автоколебаний. Изу-
чалось поведение системы в состоянии бифурка-
ции рождения цикла при ω=ωb. Результаты реше-
ний приведены в таблице. В ней ϕst – угол упруго-
го квазистатического закручивания долота в пре-
дбифуркационном состоянии; ϕav – значение ϕ,
относительно которого происходят автоколебания;
D – размах автоколебаний; T – период автоколе-
баний. Заслуживает внимания установленный эф-
фект независимости бифуркационного значения
ωb =0.71 рад/с для L=1000 м и ωb =0.725 рад/с
для L = 2000 м от жесткостных и инерционных
свойств БК, однако остальные числовые значения
параметров автоколебательного процесса отлича-
ются друг от друга существенно.
ВЫВОДЫ
1. Построена волновая модель торсионных коле-
баний вращающихся колонн глубокого буре-
ния. Выполнено компьютерное исследование
эффектов зарождений их крутильных автоко-
лебаний. Найдены диапазоны значений угло-
вых скоростей вращения, соответствующие
режимам устойчивых периодических движе-
ний. Показано, что в состояниях, ограничива-
ющих эти диапазоны, реализуются бифурка-
ции Хопфа.
2. Выполнен анализ влияния длин участков со-
ставных бурильных колонн на бифуркацион-
ные значения их угловых скоростей. Уста-
новлены основные закономерности наступле-
ния и протекания автоколебательных процес-
сов в составных бурильных колоннах. Обна-
ружено, что характер изменения жесткостных
свойств вращающейся колонны вдоль ее дли-
ны не влияет на бифуркационные значения
угловой скорости вращения, но в значитель-
ной мере определяет амплитуду и период ав-
токолебаний.
1. Ланда П. С. Автоколебания в системах с конечным
числом степеней свободы.– М.: Наука, 1980.– 364 с.
2. Рабинович М. К., Трубецков Д. И. Введение в тео-
рию колебаний и волн.– М.: Наука, 1984.– 432 с.
3. Гуляєв В. I., Борщ О. I. Спiральнi хвилi в закру-
чених пружних трубчастих стержнях, що оберта-
64 C. Н. Худолий, О. В. Глушакова
ISSN 1028 -7507 Акустичний вiсник. 2010. Том 13, N 2. С. 59 – 65
ються, з внутрiшнiми потоками рiдини // Акуст.
вiсн.– 2007.– 10, № 3.– С. 12–18.
4. В. И. Гуляев, О. В. Глушакова, С. Н. Худолий Кван-
тованные аттракторы в волновых моделях торсион-
ных колебаний колонн глубокого бурения // Изв.
РАН. МТТ.– 2010.– № 2.– С. 134–147.
5. В. И. Гуляев, С. Н. Худолий, О. В. Глушакова Само-
возбуждение крутильных колебаний колонн глубо-
кого бурения // Пробл. прочн.– 2009.– № 6.– С. 31–
43.
6. V. Gulyayev, S. Hudoliy, O. Glushakova The Hopf
bifurcations in the wave models of torsional vi-
brations of superdeep drill columns // ENOC 2008
Sixth Euromech Nonlin. Dyn. Conf.– Saint Petersburg,
Russia, 2008.– P. 136.
7. V. Gulyayev, S. Hudoliy, O. Glushakova Quantized
attractors in the wave torsion models of superdeep dri-
ll columns // Int. Sympos. RA08 on Rare Attractors
and Rare Phenomena in Nonlin. Dyn.– Riga, Latvia,
2008.– P. 33.
8. Tucker R. W., Wang C. On the effective control of
torsional vibrations in drilling systems // J. Sound
Vib.– 1999.– 224, № 1.– P. 101–122.
9. Ford Brett J. The genesis of torsional drillstring vi-
brations // SPE Drill. Eng.– 1992.– 7, № 3.– P. 168–
174.
C. Н. Худолий, О. В. Глушакова 65
|