Рассеяние волн Рэлея –Лэмба на приповерхностной трещине в упругом волноводе. I. Метод решения

На основе метода суперпозиции проведен расчет рассеяния волн Рэлея-Лэмба на вертикальной открытой трещине в упругом волноводе. Хорошая сходимость решения обеспечивается учетом характера особенности по напряжениям, существующей в вершине трещины. Приведены численные результаты, подтверждающие эффекти...

Повний опис

Збережено в:

Бібліографічні деталі
Дата:	2012
Автори:	Гринченко, В.Т., Городецкая, Н.С., Недилько, Е.А., Старовойт, И.В.
Формат:	Стаття
Мова:	Russian
Опубліковано:	Інститут гідромеханіки НАН України 2012
Назва видання:	Акустичний вісник
Онлайн доступ:	http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/116153
Теги:	Додати тег Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
Назва журналу:	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
Цитувати:	Рассеяние волн Рэлея –Лэмба на приповерхностной трещине в упругом волноводе. I. Метод решения / В.Т. Гринченко, Н.С. Городецкая, Е.А. Недилько, И.В. Старовойт // Акустичний вісник — 2012. —Т. 15, № 1. — С. 22-29. — Бібліогр.: 25 назв. — рос.

Репозитарії

Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine

id	irk-123456789-116153
record_format	dspace
spelling	irk-123456789-1161532017-04-21T03:02:54Z Рассеяние волн Рэлея –Лэмба на приповерхностной трещине в упругом волноводе. I. Метод решения Гринченко, В.Т. Городецкая, Н.С. Недилько, Е.А. Старовойт, И.В. На основе метода суперпозиции проведен расчет рассеяния волн Рэлея-Лэмба на вертикальной открытой трещине в упругом волноводе. Хорошая сходимость решения обеспечивается учетом характера особенности по напряжениям, существующей в вершине трещины. Приведены численные результаты, подтверждающие эффективность метода. На базі методу суперпозиції проведено розрахунок розсіяння хвиль Релея-Лемба на відкритій тріщині у пружному хвилеводі. Хороша збіжність методу забезпечується урахуванням характеру особливості по напруженнях, яка існує у вершинi тріщини. Наведені чисельні результати, які підтверджують ефективність методу. A scattering of the Rayleigh-Lamb waves on a vertical crack in an elastic waveguide is calculated by a method of superposition. A good convergence of solution is provided by the allowance for singularity on stresses arising at the angular point of the crack. The numerical results confirming the efficiency of the method are presented. 2012 Article Рассеяние волн Рэлея –Лэмба на приповерхностной трещине в упругом волноводе. I. Метод решения / В.Т. Гринченко, Н.С. Городецкая, Е.А. Недилько, И.В. Старовойт // Акустичний вісник — 2012. —Т. 15, № 1. — С. 22-29. — Бібліогр.: 25 назв. — рос. 1028-7507 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/116153 539.3 ru Акустичний вісник Інститут гідромеханіки НАН України
institution	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
collection	DSpace DC
language	Russian
description	На основе метода суперпозиции проведен расчет рассеяния волн Рэлея-Лэмба на вертикальной открытой трещине в упругом волноводе. Хорошая сходимость решения обеспечивается учетом характера особенности по напряжениям, существующей в вершине трещины. Приведены численные результаты, подтверждающие эффективность метода.
format	Article
author	Гринченко, В.Т. Городецкая, Н.С. Недилько, Е.А. Старовойт, И.В.
spellingShingle	Гринченко, В.Т. Городецкая, Н.С. Недилько, Е.А. Старовойт, И.В. Рассеяние волн Рэлея –Лэмба на приповерхностной трещине в упругом волноводе. I. Метод решения Акустичний вісник
author_facet	Гринченко, В.Т. Городецкая, Н.С. Недилько, Е.А. Старовойт, И.В.
author_sort	Гринченко, В.Т.
title	Рассеяние волн Рэлея –Лэмба на приповерхностной трещине в упругом волноводе. I. Метод решения
title_short	Рассеяние волн Рэлея –Лэмба на приповерхностной трещине в упругом волноводе. I. Метод решения
title_full	Рассеяние волн Рэлея –Лэмба на приповерхностной трещине в упругом волноводе. I. Метод решения
title_fullStr	Рассеяние волн Рэлея –Лэмба на приповерхностной трещине в упругом волноводе. I. Метод решения
title_full_unstemmed	Рассеяние волн Рэлея –Лэмба на приповерхностной трещине в упругом волноводе. I. Метод решения
title_sort	рассеяние волн рэлея –лэмба на приповерхностной трещине в упругом волноводе. i. метод решения
publisher	Інститут гідромеханіки НАН України
publishDate	2012
url	http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/116153
citation_txt	Рассеяние волн Рэлея –Лэмба на приповерхностной трещине в упругом волноводе. I. Метод решения / В.Т. Гринченко, Н.С. Городецкая, Е.А. Недилько, И.В. Старовойт // Акустичний вісник — 2012. —Т. 15, № 1. — С. 22-29. — Бібліогр.: 25 назв. — рос.
series	Акустичний вісник
work_keys_str_mv	AT grinčenkovt rasseânievolnréleâlémbanapripoverhnostnojtreŝinevuprugomvolnovodeimetodrešeniâ AT gorodeckaâns rasseânievolnréleâlémbanapripoverhnostnojtreŝinevuprugomvolnovodeimetodrešeniâ AT nedilʹkoea rasseânievolnréleâlémbanapripoverhnostnojtreŝinevuprugomvolnovodeimetodrešeniâ AT starovojtiv rasseânievolnréleâlémbanapripoverhnostnojtreŝinevuprugomvolnovodeimetodrešeniâ
first_indexed	2025-07-08T09:56:56Z
last_indexed	2025-07-08T09:56:56Z
_version_	1837072245073117184
fulltext	ISSN 1028 -7507 Акустичний вiсник. 2012. Том 15, N 1. С. 22 – 29 УДК 539.3 РАССЕЯНИЕ ВОЛН РЭЛЕЯ – ЛЭМБА НА ПРИПОВЕРХНОСТНОЙ ТРЕЩИНЕ В УПРУГОМ ВОЛНОВОДЕ. I. МЕТОД РЕШЕНИЯ В. Т. Г РИ Н Ч Е НК О, Н. С. Г О РО Д ЕЦ К А Я∗, Е. А. Н Е Д И Л ЬК О, И. В. СТА РО В ОЙ Т Институт гидромеханики НАН Украины ул. Желябова, 8/4, 03680, ГСП, Киев-180, Украина ∗E-mail: nsgihm@gmail.com Получено 12.01.2012 На основе метода суперпозиции проведен расчет рассеяния волн Рэлея –Лэмба на вертикальной открытой трещине в упругом волноводе. Хорошая сходимость решения обеспечивается учетом характера особенности по напряжениям, существующей в вершине трещины. Приведены численные результаты, подтверждающие эффективность метода. КЛЮЧЕВЫЕ СЛОВА: упругий волновод, волны Рэлея –Лэмба, трещина, сингулярность, метод суперпозиции На базi методу суперпозицiї проведено розрахунок розсiяння хвиль Релея – Лемба на вiдкритiй трiщинi у пружному хвилеводi. Хороша збiжнiсть методу забезпечується урахуванням характеру особливостi по напруженнях, яка iснує у вершинi трiщини. Наведенi чисельнi результати, якi пiдтверджують ефективнiсть методу. КЛЮЧОВI СЛОВА: пружний хвилевiд, хвилi Релея –Лемба, трiщина, сингулярнiсть, метод суперпозицiї A scattering of the Rayleigh –Lamb waves on a vertical crack in an elastic waveguide is calculated by a method of superposition. A good convergence of solution is provided by the allowance for singularity on stresses arising at the angular point of the crack. The numerical results confirming the efficiency of the method are presented. KEY WORDS: elastic waveguide, the Rayleigh –Lamb waves, crack, singularity, a method of superposition ВВЕДЕНИЕ Обнаружение трещины в упругих телах ограни- ченных размеров уже многие десятилетия остае- тся одной из наиболее актуальных проблем ме- ханики разрушения, дефектоскопии, акустической эмиссии. Наличие даже небольшой трещины в упругих телах, подверженных механическим на- грузкам или расположенных в агрессивных сре- дах, приводит к ее росту и, в конечном итоге, к разрушению конструкций. Кроме того, в окре- стности дефекта возникает локальная концентра- ция напряжений, информация о которой станови- тся определяющей при принятии решения о воз- можности дальнейшей эксплуатации конструкции. Особенно опасны концентраторы напряжений на границе раздела материалов с различными ме- ханическими свойствами или в ее окрестности. Для обнаружения поверхностных или внутренних трещин используются различные методы неразру- шающего контроля, наиболее распространенными из которых являются ультразвуковая, рентгено- и гамма-дефектоскопия, а также визуальное на- блюдение. При разработке методик обнаружения и локализации трещин методами неразрушающе- го контроля приходится решать ряд модельных задач, позволяющих сделать некоторые предва- рительные выводы о их влиянии на сопутству- ющее распределение физико-механических полей в объекте. Одна из наиболее простых таких за- дач сводится к анализу отражения P- и SV-волн от трещины в неограниченной упругой среде или упругом полупространстве [1, 2]. Учет ограничен- ности объекта приводит к значительному усло- жнению процесса отражения от трещины. Для контроля механических свойств протяжен- ных структур (например, трубопроводов) исполь- зуют нормальные волны в упругих волноводах – SH-волны и волны Рэлея – Лэмба. Рассеянию SH- волн на трещине в упругом волноводе посвяще- но много работ. Отметим некоторые из них. В статье [3] методом однородных решений решена задача о рассеянии нормальных волн на трещи- не в полуполосе, возбуждаемой нагрузкой на тор- це. Трещина перпендикулярна распространению волн, симметрична относительно оси волновода и ее берега выходят на свободные границы. В работе получены энергетические коэффициенты отраже- ния и прохождения и предложен метод учета осо- бенности в вершине трещины. В публикации [4] 22 c© В. Т. Гринченко, Н. С. Городецкая Е. А. Недилько, И. В. Старовойт, 2012 ISSN 1028 -7507 Акустичний вiсник. 2012. Том 15, N 1. С. 22 – 29 также методом однородных решений изучалось рассеяние падающей SH-волны на трещину коне- чных размеров, расположенную параллельно оси волновода и смещенную относительно оси. Рассе- яние SH-волн на выемке при симметричных и ан- тисимметричных колебаниях полосы рассматри- валось в статьях [5,6]. Здесь и в ряде других работ показана существенная зависимость коэффициен- тов отражения от длины неоднородности. Анализ процесса рассеяния волн Рэлея – Лэмба на трещине конечной длины более информативен с точки зрения обнаружения и локализации неодно- родности, по сравнению со случаем распростране- ния SH-волн. Однако эта задача значительно бо- лее сложна, поскольку нормальная волна Рэлея – Лэмба образована продольной и поперечной вол- нами, которые взаимодействуют на границах. Отмеченные физические особенности привели к тому, что к настоящему времени при решении за- дач рассеяния упругих волн на ограниченных тре- щинах в волноводах доминируют численные мето- ды. Так, в работах [5 – 7] для анализа рассеивания волн Рэлея – Лэмба на выемке в упругом волново- де использовался метод конечных элементов. Кро- ме того, приведены экспериментальные данные, подтверждающие проведенные расчеты. Обнару- жено, что при увеличении глубины выемки ко- эффициенты отражения могут как увеличиваться, так и уменьшатся в зависимости от частоты. В ра- ботах [8, 9] развит подход к описанию рассеяния волн на трещине с использованием метода грани- чных элементов. В сожалению, использование численных мето- дов для изучения рассеяния волн Рэлея – Лэмба на трещинах конечной длины в упругих телах и волноводах порождает существенные сложности при проведении качественного анализа рассматри- ваемых процессов и выделении таких факторов, определяющих специфику процесса, как амплиту- ды или фазы отдельных нормальных волн. Исходя из этого, следует признать актуальной разработку численно-аналитических подходов к решению соо- тветствующих граничных задач. Среди работ, по- священных этому вопросу, следует выделить ста- тьи [10, 11], где при изучении рассеяния на гори- зонтальной трещине, расположенной на оси упру- гого слоя, применялся метод Винера – Хопфа. Ме- тоды на основе интегральных соотношений разви- вались в работах [12] для анализа дифракции волн на наклонной внутренней трещине в безграничном слое и [13] для анализа дифракции волн на гори- зонтальных трещинах в полупространстве и слое. Здесь использовано интегральное представление волнового поля для скачка смещений на трещине, 1 -1 y zh H u(o) u(2)u(1) Рис. 1. Геометрия задачи представленное в виде комбинации излучаемых ею и переотраженных от границ волн. В публика- ции [14] развиты численно-аналитические методы решения граничных интегральных уравнений, к которым сводится граничная задача о взаимодей- ствии тонких криволинейных трещин с матрицей. Кроме того, заслуживают внимания комбиниро- ванные методы, в которых волновое поле вблизи трещины определяется численно (методом коне- чных элементов или конечных разностей), а вдали представляется в виде нормальных распространя- ющихся волн. Подобный подход применялся в ста- тье [15] для изучения рассеяния волн на горизон- тальной трещине, расположенной на оси волново- да. Метод однородных решений с использовани- ем условия обобщенной ортогональности исполь- зован в [16] для анализа особенностей рассеяния на горизонтальной трещине, смещенной относи- тельно оси волновода. В работе [17] методом одно- родных решений решена задача рассеяния волн на вертикальной, симметричной трещине в слое (рассматривался только низкочастотный диапа- зон). Отметим, что в обеих публикациях особен- ность в вершине трещины не выделялась. В ста- тье [19] для анализа рассеяния волн на вертикаль- ной трещине в упругом слое модифицирован ме- тод проекций, позволяющий учесть характер син- гулярности в вершине трещины. Эта статья посвящена дальнейшему развитию метода суперпозиции для решения граничной за- дачи о рассеянии волн на вертикальной трещине в упругом волноводе. При этом особенность по на- пряжениям, имеющая место в вершине трещины, учитывается через асимптотические свойства не- известных. 1. ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ Рассмотрим стационарное волновое поле в упру- гом волноводе высотой 2H , в котором имеется В. Т. Гринченко, Н. С. Городецкая Е. А. Недилько, И. В. Старовойт 23 ISSN 1028 -7507 Акустичний вiсник. 2012. Том 15, N 1. С. 22 – 29 открытая трещина, расположенная на расстоянии h от оси волновода (рис. 1). Исследуемое поле антисимметрично относительно плоскости Y =0 и возбуждается первой нормальной волной, при- ходящей из бесконечности в правой полуполосе (+∞). В дальнейшем падающей волне присвоим индекс 0, а индексы 1 и 2 – прошедшим и отра- женным волнам соответственно. Свойства запол- няющей волновод изотропной среды характеризу- ются модулем сдвига µ, коэффициентом Пуассона ν и плотностью ρ. Предполагается, что трещина бесконечно тонкая и ее берега не взаимодействуют между собой. Эти допущения оправданы, посколь- ку толщина трещины существенно меньше попе- речного размера волновода 2H , а длина падающей волны значительно превышает упругие смещения на берегах трещины. В дальнейшем математическая постановка и ре- шение осуществляются в обезразмеренных коор- динатах y=Y/H , z=Z/H , α=h/H. Поверхности y=±1 свободны от напряжений: σy(±1, z) = 0, τyz(±1, z) = 0. (1) В зоне контакта z=0, \|у\|≤α выполняются условия жесткого сцепления σ (1) z (y, 0) = σ (2) z (y, 0) + σ (0) z (y, 0), τ (1) zy (y, 0) = τ (2) z (y, 0) + τ (0) z (y, 0), u (1) y = u (2) y + u (0) y , u (1) z = u (2) z + u (0) z . (2) Берега трещины также свободны от напряжений, т. е. при z=0, \|у\|≥α справедливо σ (1) z (y, 0) = 0, σ (2) z (y, 0) + σ (0) z (y, 0) = 0, τ (1) zy (y, 0) = 0, τ (2) z (y, 0) + τ (0) z (y, 0) = 0. (3) Здесь и далее опущен временной множитель e−iωt (ω – круговая частота), т. е. мы работаем с ампли- тудными значениями физических величин. Необходимо найти вектора смещений в отражен- ном и прошедшем полях, удовлетворяющих ве- кторному уравнению Ламе: µ∆u + (λ + µ)grad divu = ρ ∂2 u ∂t2 , (4) где Ω2 =ωH/c(s) – безразмерная частота; c(s) – ско- рость поперечной волны. Дополнительно к условиям сопряжения (2), (3) должны выполняться условия излучения, заклю- чающиеся в том, что каждая распространяющая- ся нормальная волна в прошедшем и отраженном поле уносит энергию от границы z=0, \|y\|≤1 на бесконечность. 2. МЕТОД РЕШЕНИЯ Применим метод суперпозиции [20], позволяю- щий учесть особенности по напряжениям в вер- шине трещины. В рамках этого подхода построим решения для отраженного и прошедшего полей при антисимметричных колебаниях рассматривае- мой системы, представив компоненты вектора сме- щений в областях 1 и 2 как решение векторно- го уравнения (4) в полуполосе. Согласно общей схеме метода суперпозиции [20], компоненты ве- ктора смещений в полуполосе образуются из двух составляющих. Первая из них обладает достато- чным произволом для удовлетворения граничных условий на поверхностях y=±1. Этим требовани- ям отвечает общее решение граничной задачи для бесконечной полосы. Вторую составляющую реше- ния принимаем в виде известного решения гра- ничной задачи для 2H-периодически деформируе- мой полуплоскости. Оно записывается как сумма, представляющая собой ряд Фурье по полным си- стемам тригонометрических функций. Это обеспе- чивает выполнение двух произвольных граничных условий при z=0. Таким образом, прошедшее по- ле (z<0) можно представить в виде u(1) y = ∞∑ k=1 ( Ckβkeq1z−Dkq2e q2z ) cos βky + + 1 2π ∞∫ −∞ x(1)(τ )U (1) y (τ, y)e−iτzdτ, u(1) z = ∞∑ k=1 ( Ckq1e q1z−Dkβkeq2z ) sin βky + + i 2π ∞∫ −∞ x(1)(τ )U (1) z (τ, y)e−iτzdτ (5) с неизвестными постоянными Ck, Dk (k=1, 2, . . .) и функцией x(1)(τ ). Выполнение граничных усло- вий для τyz(±1, z) приводит к выражениям 24 В. Т. Гринченко, Н. С. Городецкая Е. А. Недилько, И. В. Старовойт ISSN 1028 -7507 Акустичний вiсник. 2012. Том 15, N 1. С. 22 – 29 Uy(τ, y) = τ2 ch p2y ch p2 − τ2 + p2 2 2 ch p1y ch p1 , Uz(τ, y) = τ ( −p2 sh p2y ch p2 + τ2 + p2 2 2p1 sh p1y ch p1 ) , pj =    √ τ2 − Ω2 j , \|τ \| ≥ Ωj , −i √ Ω2 j − τ2, \|τ \| < Ωj; qj =    √ β2 k − Ω2 j , \|βk\| ≥ Ωj , −i √ Ω2 j − β2 k , \|βk\| < Ωj ; βk = 2k − 1 2π . Здесь Ω (1) 1 =ωH/c(l); c(l) – скорость продольной волны в первой полуполосе. Решение для отражен- ного поля (при z>0) получаем из соотношений (5) путем замены индекса 1 на 2, неизвестных Ck – на Ak и Dk – на −Bk, а также смены знаков при z, uz и D (2) k . Пусть волновое поле в волноводе возбуждается первой нормальной волной, распространяющейся во второй полуполосе в отрицательном направле- нии (влево по оси z). В этом случае выражения для смещений в падающей волне имеют следую- щий вид: u(0) z = C0ξ ( p2 sh p2y ch p2 − − ξ2 + p2 2 2p1 sh p1y ch p1 ) e−iξz, u(0) z = C0i ( ξ2 ch p2y ch p2 − − ξ2 + p2 2 2 ch p1y ch p1 ) e−iξz. (6) Здесь ξ – постоянная распространения. Она рав- на действительному корню дисперсионного урав- нения, которое для антисимметричных колебаний изотропного бесконечного слоя со свободными по- верхностями записывается как ∆(ξ) = ξ2p2th p2− −(2ξ2 − Ω2) 2 th p1 4p1 = 0. (7) Выполнение условия отсутствия нормальных на- пряжений на поверхностях y=±1 определяет связь между неизвестными постоянными Ck, Dk (k=1, 2, . . .) и функцией x(1)(τ ) для прошедше- го поля с неизвестными постоянными Ak, Bk (k=1, 2, . . .) и функцией x(2)(τ ) для отраженно- го поля, которые будут приведены ниже. При дальнейших рассуждениях используем условия со- пряжения (2), (3). При этом напряжения и сме- щения для отраженного и прошедшего полей в формуле (2) приравниваются на интервале \|y\|≤α, составляющем только часть ширины волновода \|y\|≤1, на которой напряжения разложены в ряды Фурье по полным и ортогональным системам ба- зисных функций. Для того, чтобы преодолеть эту трудность, объединим условия сопряжения для напряжений (2) и (3), подобно тому, как это было сделано в [21, 22]: σ (1) z (y, 0)=σ (2) z (y, 0) + σ (0) z (y, 0), τ (1) zy (y, 0)=τ (2) z (y, 0) + τ (0) z (y, 0), \|y\|≤1. (8) Кроме того, по аналогии с [21, 22] напряжение в прошедшем поле представим по полному интерва- лу как некоторую неизвестную функцию в обла- сти жесткого сцепления \|y\|≤α и выполним усло- вия отсутствия напряжений на берегах трещины: σ(1) z (y, 0) =    σ (3) z (y, 0), \|y\| ≤ α, 0, \|y\| > α, τ (1) zy (y, 0) =    τ (3) zy (y, 0), \|y\| ≤ α, 0, \|y\| > α. (9) Неизвестные функции σ (3) z и τ (3) zy зададим как ре- шение граничной задачи для периодически дефор- мируемой полуплоскости с периодом 2h. Для нор- мальных напряжений оно имеет вид: σ(3) z (y, 0) = ∞∑ k=1 sin βky α × × ( Hk 2β2 k − α2Ω2 2 2 − Gkβk q̃2 ) . (10) Здесь q̃2 =    √ β2 − α2Ω2 2 , \|β\| ≥ αΩ2, −i √ α2Ω2 2 − β2 , \|β\| < αΩ2. Выполнение условий сопряжения для напряже- ний (9), (10) и для смещений (2) приводит к системе интегро-алгебраических уравнений отно- сительно неизвестных Ak, Bk, Ck, Dk, Hk, Gk (k=1, 2, . . .): В. Т. Гринченко, Н. С. Городецкая Е. А. Недилько, И. В. Старовойт 25 ISSN 1028 -7507 Акустичний вiсник. 2012. Том 15, N 1. С. 22 – 29 x1(τ )∆(τ ) + ∞∑ k=1 ( ck q1(β 2 k + Ω2 0) (τ2 + q2 1 − dk βkq2 2 τ2 + q2 2 ) = 0, x(2)(τ )∆(τ ) = ∞∑ k=1 ( ak 2q1(β 2 k + Ω2 0) τ2 + q2 1 + bk 2βkq2 2 τ2 + q2 2 ) = 0, akq1βk + bk β2 k + q2 2 2 + ckq1β − dk β2 k + q2 2 2 = −ξβk(2ξ2 − Ω2 2) ( 1 β2 k + ξ2 − Ω2 2 − 1 β2 k + ξ2 − Ω2 1 ) , ak β2 k + q2 2 2 + bkβkq2 + 1 2π ∞∫ −∞ x2(τ )Zk(τ )dτ − ck β2 k + q2 2 2 + dkβkq2− − 1 2π ∞∫ −∞ x1(τ )Zk(τ )dτ = −iZk(ξ), ckq1βk − dk β2 k + q2 2 2 − 2 cos βkα α (−1)k ∞∑ n=1 βn β2 k − β2 n/α2 ( (hnβnq̃1 − gn 2β2 k − α2Ω2 2 2 ) = 0, ck β2 k + q2 2 2 − dkβkq2 + 1 2π ∞∫ −∞ x1(τ )Zk(τ )dτ− −(−1)k2 cosβkα ∞∑ n=1 ( hn 2β2 n − α2Ω2 2 2(β2 k − β2 n/α2) − gn β2 nq̃2 β2 k − β2 n/α2 ) = 0, ∞∑ n=1 (−1)n ( anq1 + bnβ + cnq1 + dnβ ) β cos βnα β2 n − β2 k/α2 = = −ξ ( p2 2(ξ) ξ2 + β2 k/α2 − Ω2 2 ch p2(ξ)α ch p2(ξ) − 2ξ2 − Ω2 2 ξ2 + β2 k/α2 − Ω2 1 ch p1(ξ)α ch p1(ξ) ) , ∞∑ n=1 (−1)n ( −anβn − bnq2 + cnβn − dnq2 ) cosβnα β2 n − β2 k/α2 − 1 2π ∞∫ −∞ x1(τ )Tk(τ )dτ+ + 1 2π ∞∫ −∞ x2(τ )Tk(τ )dτ = −iTk(ξ). (11) Здесь введены следующие обозначения: Zk(τ ) = 2τ2p2 2 β2 k + p2 2 − τ2 + p2 2 β2 k + p2 1 ; Tk(τ ) = τ2 p2 2 + β2 k/α2 ch p2α ch p2 − τ2 + p2 2 2(p2 2 + β2 k/α2) ch p1α ch p1 ; ak = (−1)kAk; bk = (−1)kBk; ck = (−1)kCk; dk = (−1)kDk; hk = (−1)kHk; gk = (−1)kGk. 26 В. Т. Гринченко, Н. С. Городецкая Е. А. Недилько, И. В. Старовойт ISSN 1028 -7507 Акустичний вiсник. 2012. Том 15, N 1. С. 22 – 29 Структура системы (11) указывает на важную особенность алгебраических соотношений, выте- кающих из условий сопряжения на поверхности z=0 – она относится к системам первого рода. Как правило, такие системы плохо обусловлены, что значительно усложняет их численную реали- зацию. Кроме того, при вычислении рассеянного на трещине волнового поля применение простой редукции интегро-алгебраических уравнений мо- жет порождать значительные погрешности. Это обусловлено наличием в вершине трещины кор- невой особенности по напряжениям [23, 24], суще- ствование которой приводит к тому, что в рамках метода суперпозиции интегралы и ряды для на- пряжений на поверхности z=0 сходятся медленно. Для получения решения, адекватно описываю- щего рассеяно на трещине волновое поле, следу- ет использовать асимптотические свойства неиз- вестных. Анализ асимптотического их поведения в суммах основан на свойствах сходимости рядов для напряжений вблизи вершины трещины. Представим нормальное и касательное напря- жения на промежутке z=0, \|y\|≤α в виде σ(3) z (y, 0) = yσ0√ α2 − y2 , τ (3) zy (y, 0) = τ0√ (α2 − y2) , y → α. (12) Здесь σ0 и τ0 – неизвестные амплитуды напряже- ний. Используя стандартные интегралы [25] α∫ 0 (α2 − y2) cos by dy = π 2 J0(bα), α∫ 0 y(α2 − y2) sin by dy = π 2 αJ1(bα), алгебраизуем соотношения (12) и получим урав- нения для нахождения асимптотики неизвестных Hn, Gn, n→∞: Hk 2β2 k − α2Ω2 2 2 − Gkβk q̃2 = πσ0J1(βk), Hkβk q̃1 − Gk 2β2 k−α2Ω2 2 2 = π α τ0J0(βk). (13) Найдя асимптотику неизвестных Hn Gn при n→∞ с использованием пятого и шестого урав- нений системы (11), запишем уравнения для на- хождения асимптотики для Cn, Dn, n→∞: Ck 2β2 k − 2Ω2 2 2 − Dkβkq2 = πσ0αJ1(βkα), Ckβkq1 − Dk 2β2 k − Ω2 2 2 = πτ0J0(βkα). (14) Определив асимптотическое поведение неизвест- ных ck и dk при k→∞ с использованием третье- го и четвертого уравнений системы (11), запишем асимптотику для ak и bk. Построение конечной системы, соответствую- щей бесконечной системе (11), выполнено по ана- логии с работой [20] с учетом асимптотического поведения неизвестных коэффициентов и функ- ций x(1)(τ ), x(2)(τ ). Последующее построение алго- ритма решения связано со способом ее замыкания. Мы использовали традиционный подход, основан- ный на задании асимптотических выражений для двух неизвестных ck и dk. В этом случае σ0 и τ0 также становятся неизвестными, а коэффициенты c (i) k , d (i) k для всех k>K задаются в асимптотиче- ском виде. Заканчивая описание метода суперпозиции при- менительно к решению задачи рассеивания нор- мальных волн на вертикальной приповерхностной трещине в упругом волноводе, подчеркнем еще раз, что основное его преимущество заключается в возможности учета локальных особенностей по напряжениям в вершине трещины. Это позволя- ет построить эффективный алгоритм для вычис- ления характеристик рассеянного поля при учете конечного числа слагаемых в рядах системы (11). 3. ОЦЕНКА ТОЧНОСТИ РАСЧЕТОВ При определении порядка линейной системы, соответствующей соотношениям (11), необходимо оценить качество приближенного решения, опи- сывающего рассеянное на трещине волновое по- ле. Для этого существует ряд критериев. В на- шем случае контролировались точность выполне- ния условий сопряжения на поверхности z=0, точ- ность выполнения закона сохранения энергии и скорости приближения неизвестных к их асим- птотическим значениям. При выполнении расче- тов количество удерживаемых в суммах неизвест- ных составляло NK =20. Для величин с k>NK использовались их асимптотические значения. Ин- тегрирование на интервале (−∞, +∞) с учетом четности подынтегральных функций сводилось к интегрированию в пределах (0, T ) с добавлением оценки интеграла на (T, +∞), полученного при В. Т. Гринченко, Н. С. Городецкая Е. А. Недилько, И. В. Старовойт 27 ISSN 1028 -7507 Акустичний вiсник. 2012. Том 15, N 1. С. 22 – 29 использовании асимптотических разложений по- дынтегральных выражений по τ . При расчетах принималось T =200. Для величины трещины, соответствующей α=0.9, закон сохранения энергии выполнялся с точностью до 99.8 % энергии падающей волны. Условия сопряжения по смещениям выполнялись с точностью до 95 % смещения падающей волны, а условия сопряжения по напряжениям – с погре- шностью до 10 % всюду, кроме малой окрестности вершины трещины. Кроме того, при вычислениях было установлено, что при сохранении более двадцати членов значения неизвестных ak, bk, ck, dk (k=1, . . . , 4) практически не изменяются (сохраняются три значащие цифры). Этим обеспе- чивается высокая точность оценок интегральных характеристик волновых полей. Для достижения указанной точности решения задачи при увеличении длины трещины необходи- мо увеличивать число NK членов ряда исходной системы. В частности, при α=0.8 это может быть обеспечено при NK ≥25. Одним из критериев достоверности решения был контроль за точностью выполнения закона со- хранения энергии. В свою очередь, сумма энергий отраженного и прошедшего полей равна энергии падающей волны. Энергия отраженного поля рав- на сумме энергий, переносимой каждой распро- страняющейся волной, которая может существо- вать на данной частоте. Она определяется соотно- шением W = J∑ j=1 Wj , Wj = \|Kj\| 2 µωΩ2 2 2 ∆′(ξj). (15) Здесь J – число распространяющихся волн в отра- женном поле; Kj – коэффициент возбуждения j-ой нормальной волны. Коэффициенты Kj для j-ой нормальной волны в отраженном поле находились из соотношения K (от) j = Re sτ=ξj x(τ ), (16) где Re s обозначают вычеты функции x(τ ) при τ =ξj . Используя значения неизвестных, найден- ных в рамках метода суперпозиции с учетом осо- бенности по напряжениям в вершине трещины, за- пишем K (от) j ∆′(ξj) = ∞∑ k=1 ( ck 2q1(β 2 k + Ω2 0) ξ2 j + q2 1 − −dk 2βkq2 2 ξ2 j + q2 2 ) + τ0S (1) K (ξj) + σ0S (2) K (ξj). (17) Здесь S (i) K (ξj) определяются как S (1) K (ξ)=4 ∞∑ k=K+1 (−1)kJ0(βkα) ( βk 2(ξ2+q2 1) + + βkξ2 (ξ2 + q2 1)(ξ 2+q2 2) + 4Ω4 1 − 2Ω2 1Ω 2 2 + Ω4 2 8βk((ξ2+q2 1)(Ω 2 2−Ω2 1) − − Ω4 2 8β3 k(Ω2 2−Ω2 1) + ξ2(Ω4 2+Ω4 1) 4βk(Ω2 2−Ω2 1)(ξ 2+q2 1)(ξ 2+q2 2) ) ; S (2) K (ξ)=−4 ∞∑ k=K+1 ( βkξ2 (ξ2 + q2 1)(ξ 2+q2 2) + + Ω2 2(Ω 2 2 + 2Ω2 1) 8βk(Ω2 2−Ω2 1)(ξ 2+q2 1) + Ω2 2(2Ω2 1 − 3Ω2 2) 8β3 k(Ω2 2−Ω2 1) + + ξ2(3Ω4 1+3Ω4 2−4Ω2 2Ω 2 1) 4βk(Ω2 2−Ω2 1)(ξ 2+q2 1)(ξ 2+q2 2) ) (−1)kJ1(βkα). Энергия прошедшего поля определяется анало- гично. При числе неизвестных, удерживавшихся в ко- нечной системе при расчетах, закон сохранения энергии выполнялся с точностью до 0.2 % энер- гии падающей волны. Следует отметить, что учет особенности по напряжениям практически не ска- зывался на точности выполнения закона сохране- ния энергии. Это обусловлено тем, что коэффи- циенты возбуждения распространяющихся волн определяются в основном первыми коэффициента- ми системы (11). Поэтому анализ энергетических особенностей процесса рассеяния нормальной вол- ны на вертикальной трещине в упругом волново- де может быть проведен даже при использовании метода простой редукции по отношению к систе- ме (11). Частотная зависимость энергии отраженного поля для трещин c h=0.8H (кривая 1) и h=0.7H (кривая 2), нормированная на энергию падающей волны, представлена на рис. 2. Все величины уве- личены на графике в сто раз. Рассматривался ди- апазон частот, в котором существует только одна распространяющаяся волна. Здесь для указанных размеров трещины практически вся энергия про- ходит в первый полуслой. С ростом частоты отра- женная энергия возрастает, то же происходит при увеличении размера трещины. Эти закономерно- сти хорошо согласуются с результатами других ав- торов. 28 В. Т. Гринченко, Н. С. Городецкая Е. А. Недилько, И. В. Старовойт ISSN 1028 -7507 Акустичний вiсник. 2012. Том 15, N 1. С. 22 – 29 ЗАКЛЮЧЕНИЕ Предложен численно-аналитический метод ра- счета волнового поля рассеянного на вертикаль- ной трещине в упругом волноводе при его анти- симметричных колебаниях. Основой построения алгоритма вычислений был метод суперпозиции, примененный к решению граничных задач с коне- чными границами при наличии в волновом поле локальных особенностей. С использованием най- денных методом суперпозиции значений неизвест- ных, входящих в ряды, описывающие распределе- ния механических величин, определены коэффи- циенты возбуждения нормальных волн в отражен- ном и прошедшем полях. 1. Dineva P. S., Manolis G. D., Rangelov T. V. Sub- surface crack in an inhomogeneous half-plane: Wave scattering phenomena by BEM // Eng. Anal. Bound. Elem.– 2006.– 30.– С. 350–362. 2. Викторов И. А. Звуковые поверхностные волны в твердых телах.– М.: Наука, 1981.– 278 с. 3. Дьяконов М. В., Устинов Ю. А. Сдвиговые вол- ны в упругом полубесконечном слое с разрезом // Акуст. ж.– 1995.– 41, № 3.– С. 421–426. 4. Семкив М. Я. Дифракцiя нормальних SH-хвиль у хвилеводi з розрiзом // Акуст. вiсн.– 2011.– 14, № 2.– С. 57–69. 5. Diligent O., Grahn T., Bostrom A., Cawley P., Lowe M. J. S. The low frequency reflection and scattering of the S0 Lamb mode from a circular through-thickness hole in a plate: Finite Element, analytical and experimental studies // J. Acoust. Soc. Amer.– 2002.– 112, № 6.– С. 2589–2601. 6. Lowe M. J. S., Cawley P., Kao J-Y., Diligent O. The low frequency reflection characteristics of the fundamental antisymmetric Lamb wave a0 from a rectangular notch in a plate // J. Acoust. Soc. Amer.– 2002.– 112, № 6.– С. 2612–2622. 7. Alleyne D. N., Cawley P. The interaction of Lamb waves with defects // IEEE Trans. Ultrason. Ferroelectr. Freq. Control.– 1992.– 39, № 3.– С. 381– 397. 8. Cho Y., Hongerholt D. D., Rose J. L. Lamb waves scattering analysis for reflector characterization // IEEE Trans. Ultrason. Ferroelectr. Freq. Control.– 1997.– 44, № 1.– С. 44–52. 9. Cho Y., Rose J. L. An elastodynamic hybrid boundary element study for elastic guided wave interaction with a surface breaking defect // Int. J. Solid Struct.– 2000.– 37.– С. 4103–4124. 10. Rokhlin S. Diffraction of Lamb waves by finite crack in an elastic layer // J. Acoust. Soc. Amer.– 1980.– 67, № 4.– С. 1157–1165. 11. Rokhlin S. Resonance phenomena of Lamb waves scattering by a finite crack in a solid layer // J. Acoust. Soc. Amer.– 1981.– 69, № 4.– С. 922–928. 12. Глушков Е. В., Глушкова Н. В., Голуб М. В. Ди- фракция упругих волн на наклонной трещине в слое // Прик. мат. мех.– 2007.– 71, № 4.– С. 702– 715. 13. Глушков Е. В., Глушкова Н. В., Голуб М. В. Бло- кирование бегущих волн и локализация энергии упругих колебаний при дифракция на трещине // Акуст. ж.– 2006.– 52, № 3.– С. 314–325. 2 0.6 0.8 1 1.2 1.4 Wr 0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 1 2 Рис. 2. Частотная зависимость энергии отраженного поля: 1 – h/H =0.8; 2 – h/H =0.7 14. Кит Г. С., Кунец Я. И., Михаськив В. В. Взаимо- действие стационарной волны с тонким дискообра- зным включением малой жесткости в упругом те- ле // Изв. РАН. МТТ.– 2004.– № 5.– С. 314–325. 15. Gunawan A., Hirose S. Mode-exciting method for Lamb wave-scattering analysis // J. Acoust. Soc. Amer.– 2004.– 115, № 3.– С. 996-1005. 16. Shkerdin G., Glorieux C. Lamb mode conversion in a plate with a delamination // J. Acoust. Soc. Amer.– 2004.– 116, № 4, Pt.1.– С. 2089-2100. 17. Clezio E., Castaings M., Hosten B. The interaction of the S0 Lamb mode with vertical cracks in an alumi- nium plate // Ultrasonics.– 2002.– 40.– С. 187-192. 18. Castaings M., Clezio E., Hosten B. Modal decomposi- tion method for modeling the interaction of Lamb wave with cracks // J. Acoust. Soc. Amer.– 2002.– 112, № 6.– С. 2567–2582. 19. Flores-Lopez M. A., Gregory R. D. Scattering of Rayleigh-Lamb waves by a surface breaking crack in an elastic plate // J. Acoust. Soc. Amer.– 2006.– 119, № 4.– С. 2041–2049. 20. Гринченко В. Т., Мелешко В. В. Гармонические колебания и волны в упругих телах.– К.: Наук. думка, 1981.– 284 с. 21. Грiнченко В. Т., Олiйник В.Н. Гармонiчнi коли- вання в’язко-пружного шару бiотканини при на- вантаженнi круговим гладким штампом // Акуст. вiсн.– 2004.– 7, № 4.– С. 34–47. 22. Грiнченко В. Т., Олiйник В.Н. Динамiчнi влас- тивостi в’язко-пружного шару при гармонiчному навантаженнi круговим штампом // Акуст. вiсн.– 2005.– 8, № 1-2.– С. 42–50. 23. Sinclair G. B. Stress singularities in classical elastici- ty – I: Removal, interpretation, and analysis // Appl. Mech. Rev..– 2004.– 57, № 4.– P. 251–297. 24. Гринченко В. Т., Улитко А. Ф. О локальных осо- бенностях в математических моделях физических полей // Мат. методи фiз.-мех. поля.– 1989.– 41, № 1.– С. 12–34. 25. Прудников А. П., Брычков Ю. А., Маричев О. И. Интегралы и ряды. Элементарные функции.– М.: Наука, 1981.– 800 с. В. Т. Гринченко, Н. С. Городецкая Е. А. Недилько, И. В. Старовойт 29

Рассеяние волн Рэлея –Лэмба на приповерхностной трещине в упругом волноводе. I. Метод решения

Репозитарії

Схожі ресурси