Энергетические особенности дифракции изгибных волн на вертикальной границе в составном упругом волноводе

На основе метода суперпозиции проведен расчет дифракции антисимметричных волн Рэлея-Лэмба на вертикальной границе волновода, образованного при жестком контакте двух полуполос одинаковой высоты, но с различными упругими свойствами. Эффективность метода обеспечивается учетом характера особенности по н...

Ausführliche Beschreibung

Gespeichert in:

Bibliographische Detailangaben
Datum:	2012
Hauptverfasser:	Городецкая, Н.С., Недилько, Е.А.
Format:	Artikel
Sprache:	Russian
Veröffentlicht:	Інститут гідромеханіки НАН України 2012
Schriftenreihe:	Акустичний вісник
Online Zugang:	http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/116172
Tags:	Tag hinzufügen Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
Назва журналу:	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
Zitieren:	Энергетические особенности дифракции изгибных волн на вертикальной границе в составном упругом волноводе / Н.С. Городецкая, Е.А. Недилько // Акустичний вісник — 2012. —Т. 15, № 2. — С. 17-27. — Бібліогр.: 17 назв. — рос.

Institution

Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine

id	irk-123456789-116172
record_format	dspace
spelling	irk-123456789-1161722017-04-22T03:02:38Z Энергетические особенности дифракции изгибных волн на вертикальной границе в составном упругом волноводе Городецкая, Н.С. Недилько, Е.А. На основе метода суперпозиции проведен расчет дифракции антисимметричных волн Рэлея-Лэмба на вертикальной границе волновода, образованного при жестком контакте двух полуполос одинаковой высоты, но с различными упругими свойствами. Эффективность метода обеспечивается учетом характера особенности по напряжениям, возникающей в угловой точке на линии контакта при определенном сочетании упругих характеристик сред. Проведен анализ трансформации энергии падающей волны в отраженную и прошедшую волны. На базi методу суперпозиції проведено розрахунок дифракції антисиметричних хвиль Релея-Лемба на вертикальній межi хвилепроводу, утвореного при жорсткому контактi двох півсмуг однакової висоти, але з рiзними пружними властивостями. Ефективність методу забезпечується урахуванням характеру особливості по напруженнях, яка виникає в кутовій точці на лінії контакту при певному поєднанні пружних характеристик середовищ. Проведено аналiз трансформациї енергії падаючої хвилі у видбиту хвилю й хвилю, що пройшла у інше середовище. On the basis of a superposition method, the diffraction of the Rayleigh-Lamb waves on a vertical boundary of a waveguide formed by a rigid contact of two halfstrips is calculated for the case of their identical heights, but different elastic properties. The efficiency of the method is provided by accounting for stress singularity occurring in the edge of a contact line at particular combinations of elastic properties of media. The analysis of energy transformation of the incidence wave into the reflected and transmitted ones is carried out. 2012 Article Энергетические особенности дифракции изгибных волн на вертикальной границе в составном упругом волноводе / Н.С. Городецкая, Е.А. Недилько // Акустичний вісник — 2012. —Т. 15, № 2. — С. 17-27. — Бібліогр.: 17 назв. — рос. 1028-7507 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/116172 539.3 ru Акустичний вісник Інститут гідромеханіки НАН України
institution	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
collection	DSpace DC
language	Russian
description	На основе метода суперпозиции проведен расчет дифракции антисимметричных волн Рэлея-Лэмба на вертикальной границе волновода, образованного при жестком контакте двух полуполос одинаковой высоты, но с различными упругими свойствами. Эффективность метода обеспечивается учетом характера особенности по напряжениям, возникающей в угловой точке на линии контакта при определенном сочетании упругих характеристик сред. Проведен анализ трансформации энергии падающей волны в отраженную и прошедшую волны.
format	Article
author	Городецкая, Н.С. Недилько, Е.А.
spellingShingle	Городецкая, Н.С. Недилько, Е.А. Энергетические особенности дифракции изгибных волн на вертикальной границе в составном упругом волноводе Акустичний вісник
author_facet	Городецкая, Н.С. Недилько, Е.А.
author_sort	Городецкая, Н.С.
title	Энергетические особенности дифракции изгибных волн на вертикальной границе в составном упругом волноводе
title_short	Энергетические особенности дифракции изгибных волн на вертикальной границе в составном упругом волноводе
title_full	Энергетические особенности дифракции изгибных волн на вертикальной границе в составном упругом волноводе
title_fullStr	Энергетические особенности дифракции изгибных волн на вертикальной границе в составном упругом волноводе
title_full_unstemmed	Энергетические особенности дифракции изгибных волн на вертикальной границе в составном упругом волноводе
title_sort	энергетические особенности дифракции изгибных волн на вертикальной границе в составном упругом волноводе
publisher	Інститут гідромеханіки НАН України
publishDate	2012
url	http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/116172
citation_txt	Энергетические особенности дифракции изгибных волн на вертикальной границе в составном упругом волноводе / Н.С. Городецкая, Е.А. Недилько // Акустичний вісник — 2012. —Т. 15, № 2. — С. 17-27. — Бібліогр.: 17 назв. — рос.
series	Акустичний вісник
work_keys_str_mv	AT gorodeckaâns énergetičeskieosobennostidifrakciiizgibnyhvolnnavertikalʹnojgranicevsostavnomuprugomvolnovode AT nedilʹkoea énergetičeskieosobennostidifrakciiizgibnyhvolnnavertikalʹnojgranicevsostavnomuprugomvolnovode
first_indexed	2025-07-08T09:57:33Z
last_indexed	2025-07-08T09:57:33Z
_version_	1837072286396448768
fulltext	ISSN 1028 -7507 Акустичний вiсник. 2012. Том 15, N 2. С. 17 – 27 УДК 539.3 ЭНЕРГЕТИЧЕСКИЕ ОСОБЕННОСТИ ДИФРАКЦИИ ИЗГИБНЫХ ВОЛН НА ВЕРТИКАЛЬНОЙ ГРАНИЦЕ В СОСТАВНОМ УПРУГОМ ВОЛНОВОДЕ Н. С. Г О РО Д ЕЦ К А Я∗, Е. А. НЕ Д И Л ЬК О Институт гидромеханики НАН Украины ул. Желябова, 8/4, 03680, ГСП, Киев-180, Украина ∗E-mail: nsgihm@gmail.com Получено 24.12.2011 На основе метода суперпозиции проведен расчет дифракции антисимметричных волн Рэлея –Лэмба на вертикаль- ной границе волновода, образованного при жестком контакте двух полуполос одинаковой высоты, но с различными упругими свойствами. Эффективность метода обеспечивается учетом характера особенности по напряжениям, возникающей в угловой точке на линии контакта при определенном сочетании упругих характеристик сред. Проведен анализ трансформации энергии падающей волны в отраженную и прошедшую волны. КЛЮЧЕВЫЕ СЛОВА: метод суперпозиции, упругая полуполоса, волны Рэлея –Лэмба, трансформация волн, ло- кальная особенность На базi методу суперпозицiї проведено розрахунок дифракцiї антисиметричних хвиль Релея –Лемба на вертикаль- нiй межi хвилепроводу, утвореного при жорсткому контактi двох пiвсмуг однакової висоти, але з рiзними пружними властивостями. Ефективнiсть методу забезпечується урахуванням характеру особливостi по напруженнях, яка виникає в кутовiй точцi на лiнiї контакту при певному поєднаннi пружних характеристик середовищ. Проведено аналiз трансформациї енергiї падаючої хвилi у видбиту хвилю й хвилю, що пройшла у iнше середовище. КЛЮЧОВI СЛОВА: метод суперпозицiї, пружна пiвсмуга, хвилi Релея –Лемба, трансформацiя хвиль, локальна особливiсть On the basis of a superposition method, the diffraction of the Rayleigh –Lamb waves on a vertical boundary of a waveguide formed by a rigid contact of two halfstrips is calculated for the case of their identical heights, but different elastic properties. The efficiency of the method is provided by accounting for stress singularity occurring in the edge of a contact line at particular combinations of elastic properties of media. The analysis of energy transformation of the incidence wave into the reflected and transmitted ones is carried out. KEY WORDS: a superposition method, elastic halfstrip, the Rayleigh –Lamb waves, wave transformation, a local sin- gularity ВВЕДЕНИЕ Анализ закономерностей распространения упругих волн в волноводах является научным фундаментом для таких направлений техники как дефектоскопия, неразрушающий контроль, акустоэлектроника. В их практических приложе- ниях, как правило, используются нерегулярные волноводы. Такая нерегулярность может быть обусловлена различными причинами: • спецификой геометрии волновода со скачко- образным изменением высоты; • изменением физико-механических свойств по направлению распространения волны при стыке волноводов с разными механическими характеристиками; • переменным характером граничных условий, обусловленных появлением трещины. Для относительно низкочастотных процессов до- стоверные количественный оценки волнового по- ля можно получить в рамках упрощенных моде- лей стержней и пластин. Принято считать, что одномерное приближение справедливо, если по- перечный размер волновода меньше трети длины волны. C ростом частоты усложняется пространс- твенная структура бегущих волн. В формирова- нии прошедшего и отраженного полей существен- ную роль начинают играть локализованные вбли- зи поверхности раздела неоднородные волны. Кро- ме того, для достоверного описания поля в обла- сти поверхности контакта необходимо учитывать характер локального поведения поля. Оба указан- ных фактора значительно усложняют задачу ана- лиза волнового поля, особенно в ближней зоне в окрестности неоднородности. В данной работе основной акцент сделан на ана- лизе влияния типа симметрии колебаний на ха- рактер процесса отражения– прохождения волны в зависимости от частоты. При этом учитывае- тся влияние обоих указанных выше факторов при- менительно к задаче распространения антисим- метричных волн в составном упругом волноводе. c© Н. С. Городецкая, Е. А. Недилько, 2012 17 ISSN 1028 -7507 Акустичний вiсник. 2012. Том 15, N 2. С. 17 – 27 Это необходимо, поскольку рассматривается отно- сительно высокочастотный диапазон. Кроме того, как известно, в случае жесткого контакта двух упругих волноводов при определенных сочетани- ях механических характеристик их материалов в угловой точке на линии контакта, являющейся то- чкой смены типа граничных условий, может су- ществовать локальная особенность по напряжени- ям. Ее характер (логарифмическая или степенная) и соответствующий показатель степени ε зависят от механических характеристик контактирующих сред, но не от частоты [1, 2]. В дальнейшем бу- дем считать, что поле напряжений в угловой точке имеет степенную особенность. В настоящее время разработаны эффективные методы решения соответствующей граничной за- дачи. При этом значительное внимание уделе- но вопросам учета особенности по напряжениям в угловой точке. Это обусловлено тем, что при представлении решения через нормальные волны, которые могут существовать на частоте нагруз- ки, возбуждающей волновое поле, ряды по на- пряжениям расходятся на зависящем от показа- теля особенности интервале h≤\|1−2ε\|≤y≤h, где 2h – высота волновода [3, 4]. На примере реше- ния граничной задачи о колебании полуполосы с защемленным торцом были предложены различ- ные методы учета сингулярностей по напряжени- ям. Сюда можно отнести использование обобщен- ных сумм расходящихся рядов [3], выделение осо- бенности в явном виде [4, 7], нахождение асимпто- тики неизвестных, определяемой показателем осо- бенности [5, 6]. Отметим, что в задаче о колебани- ях полуполосы с защемленным торцом необходимо удовлетворить граничные условия на торце по пе- ремещениям, а ряды по перемещениям являются сходящимися на всем интервале \|y\|≤h. В ряде публикаций методы выделения особенно- сти были обобщены на случай составных волново- дов. В работах [8,9] для улучшения сходимости на данном интервале применялись обобщенные мето- ды суммирования и регуляризации. Граничная за- дача решалась в рамках метода однородных реше- ний с использованием условия обобщенной орто- гональности. Так, в статье [10] предложено разла- гать решение по ортогональным полиномам с ве- сом, учитывающим локальную особенность поля напряжений в угловой точке. В исследовании [11] рассмотрена граничная задача для жесткого кон- такта двух полуполос и предложен метод, основан- ный на использовании решений вспомогательных граничных задач для изолированных полуполос с заданными граничными условиями, позволяющий учитывать особенность по напряжениям в угловых точках на линии контакта. Аналогичный же под- ход развивался в статье [12]. Обсуждению и разработке методов решения граничных задач для упругих волноводов с вер- тикальной неоднородностью посвящена довольно обширная литература. Так, в работах [6, 8, 13, 14] рассмотрены симметричные колебания составного волновода, проведен физический анализ результа- тов и приведены данные о распределении энергии падающей волны между отраженным и прошед- шим полями. В частности, найдены два характер- ных частотных диапазона, в которых наблюдает- ся резкое изменение эффективности прохождения волн: 1) в области частот, где распространяется толь- ко по одной отраженной и прошедшей волне, существует диапазон, в котором прозрачность границы резко возрастает (отражается только незначительная часть энергии падающей вол- ны); 1) в более высокочастотной области существует диапазон, в котором увеличиваются отража- ющие свойства границы. В исследовании [11] эффект увеличения прозра- чности границы объяснялся появлением энергети- ческих вихрей, частично перекрывающих энерге- тический поток. В публикациях [6, 8, 13] показано, что при симметричных колебаниях в той области частот, для которой в отраженном и прошедшем полях существует только по одной распространя- ющейся волне, увеличение эффективности прохо- ждения энергии во вторую среду и рост напряже- ний на границе контакта обусловлены значитель- ным возбуждением неоднородных волн. Данная работа посвящена дальнейшему ис- следованию особенностей процесса отражения– прохождения антисимметричных волн на грани- це двух жестко соединенных полуполос одинако- вой высоты, но с разными механическими хара- ктеристиками. При этом акцент сделан на изуче- нии влияния типа симметрии на изменение отра- жающих свойств границы в зависимости от ча- стоты. В частности показано, что для антисимме- тричных колебаний в области частот, для которой существует только по одной распространяющейся волне в отраженном и прошедшем полях, увели- чения прозрачности границы не наблюдается. Бо- лее того, здесь усиливаются отражающие свойства границы и при определенных параметрах конта- ктирующих сред волновод может оказаться прак- тически запертым, т. е. энергия во вторую среду практически не будет проходить. 18 Н. С. Городецкая, Е. А. Недилько ISSN 1028 -7507 Акустичний вiсник. 2012. Том 15, N 2. С. 17 – 27 1. ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ Рассматривается стационарное волновое поле в упругом волноводе, образованном жестким соеди- нением двух упругих полуполос одинаковой высо- ты 2h, но с разными механическими характеристи- ками (рис. 1). Волновое поле возбуждается первой нормальной волной, приходящей из бесконечности в правой полуполосе (+∞). Падающей волне со- ответствует индекс 0, а индексы 1 и 2 – прошед- шим и отраженным волнам соответственно. Свой- ства изотропных сред характеризуются модулями сдвига µ1, µ2, коэффициентами Пуассона ν1, ν2 и плотностями ρ1, ρ2. При этом индекс 1 присво- ен левой полуполосе, в которой распространяю- тся прошедшие волны. Поверхности Y =±h счи- таем свободными от напряжений. В дальнейшем математическую постановку и решение проводим в безразмерных координатах y=Y/h, z=Z/h. В зоне контакта условия сопряжения записыва- ются в виде σ(1) z (y, 0) = σ(2) z (y, 0) + σ(0) z (y, 0), τ (1) zy (y, 0) = τ (2) z (y, 0) + τ (0) z (y, 0), u(1) y = u(2) y + u(0) y , u(1) z = u(2) z + u(0) z . (1) Здесь далее временной множитель e−iωt опускаем (ω – круговая частота). Необходимо найти векторы смещений в отра- женном и прошедшем полях, удовлетворяющие ве- кторному уравнению Ламе µ∆u + (λ + µ)grad divu = ρ ∂2 u ∂t2 . (2) Дополнительно к условиям сопряжения (1) дол- жны выполняться условия излучения на бесконе- чности, заключающиеся в том, что каждая ра- спространяющаяся нормальная волна в прошед- шем и отраженном поле уносит энергию от грани- цы раздела на бесконечность. Прежде чем перейти к описанию метода реше- ния сформулированной граничной задачи и анали- зу результатов полученного решения, рассмотрим отличия процесса отражения волн при симметри- чных и антисимметричных колебаниях жестко со- единенных стержней. Такая постановка соответ- ствует низкочастотному пределу рассматриваемой модели. 1 -1 y zu(o) u(2)u(1) Рис. 1. Геометрия задачи 2. ВОЛНЫ В ЖЕСТКО СОЕДИНЕННЫХ СТЕРЖНЯХ Простейшей моделью составного волновода яв- ляется жесткое соединение (неразъемный кон- такт) стержней одинакового сечения, но с различ- ными механическими свойствами – плотностями ρ1, ρ2 и модулями Юнга E1, E2. Определим ко- эффициент отражения и прохождения по энергии гармонической волны на границе раздела при про- дольных и изгибных колебаниях стержней. Пусть на границу падает волна, приходящая из бесконе- чности во втором стержне. Для продольных гар- монических колебаний в стержне волновое урав- нение упрощается: ∂2u ∂z2 + ω2 c2 u = 0, c = √ E/ρ . Здесь u – продольная компонента смещения. При жестком сцеплении таких стержней смещения и силы (напряжения) при подходе к границе слева и справа одинаковы, т. е. условия сопряжения имеют вид u(1) = u(2), E1 ∂u(1) ∂z = E2 ∂u(2) ∂z , z = 0. Решение данной задачи ищем как u(2) = A(e−ik2z + V eik2z), u(1) = AWe−ik1z, ki = ω ci , i = 1, 2. Здесь A – амплитуда падающей волны; V – коэф- фициент отражения; W – коэффициент прохожде- ния. Выполняя условия сопряжения, получаем со- Н. С. Городецкая, Е. А. Недилько 19 ISSN 1028 -7507 Акустичний вiсник. 2012. Том 15, N 2. С. 17 – 27 отношения для обоих коэффициентов: V = √ E2ρ2 − √ E1ρ1√ E1ρ1 + √ E2ρ2 , W = 2 √ E2ρ2√ E1ρ1 + √ E2ρ2 . (3) Выражения (3) совпадают с формулами Френе- ля для коэффициентов отражения и прохожде- ния при нормальном падении продольной волны на границу раздела двух сред. U и V – действи- тельные величины и зависят только от волновых сопротивлений сред (z1,2 =ρ1,2c1,2 = √ E1,2ρ1,2). Нормированная на энергию падающей волны энергия, переносимая отраженной волной, имеет вид En(2) En(0) = \|V \|2. Энергию, прошедшую во вторую среду, можно найдти, используя закон сохранения энергии: En(1) En(0) = 1 − \|V \|2. Как следует из приведенных выражений, распре- деление энергия падающей волны между отражен- ным и прошедшим полями определяется только отношением волновых сопротивлений сред и не за- висит от того, в какой из сред распространяется падающая волна. При изгибных колебаниях стержней волновое уравнение для смещений (теперь уже поперечных) несколько сложнее: ∂4u ∂z4 − ω2 ρ r2 0E u = 0. Здесь ρ0 – радиус инерции поперечного сечения. Общее решение этого уравнения уже нельзя пред- ставить в виде волны произвольной формы, ко- торая распространяется с постоянной скоростью, как это было в случае продольных колебаний. Те- перь общее решение, содержащее как распростра- няющиеся, так и неоднородные волны, имеет вид u = A1e ikz + B1e kz + A2e −ikz + B2e −kz. Индекс 1 соответствует волнам, распространяю- щимся в положительном направлении оси z, а ин- декс 2 – в отрицательном. Распространяющиеся волны имеют амплитуды A1,2, а неоднородные – B1,2. При жестком сцеплении стержней на границе для случая изгибных колебаний слева и справа от границы одинаковы смещения, угол наклона, момент и перерезывающая сила. Таким образом, условия сопряжения запишутся как u(1) = u(2), ∂u(1) ∂z = ∂u(2) ∂z , E1 ∂2u(1) ∂z2 = E2 ∂2u(2) ∂z2 , E1 ∂3u(1) ∂z3 = E2 ∂3u(2) ∂z3 . Вновь опуская гармонический временной множи- тель, решение данной задачи ищем в виде u(2) = A(e−ik2z + V eik2z + V1e −k2z), u(1) = A(We−ik1z + W1e −ik1z), ki = √ ω ( ρi Eir2 0 )1/4 , i = 1, 2. Выполнив условия сопряжения, найдем выра- жение для коэффициентов отражения и прохо- ждения: V = 2γα2 + 4iαγ2 − 4iα − 4αγ + 2γ 2γα2 + 4αγ2 + 4α + 4αγ + 2γ , V1 = − 2(γ(1 + i)(α − 1)(α + 1) 2γα2 + 4αγ2 + 4α + 4αγ + 2γ , W = 4(γ + 1)(α + 1) 2γα2 + 4αγ2 + 4α + 4αγ + 2γ , W1 = 4(γ + 1)(α − 1) 2γα2 + 4αγ2 + 4α + 4αγ + 2γ , γ = k2 k1 , α = E2k 2 2 E1k 2 1 . (4) Как и при продольных колебаниях, распределе- ние энергии падающей волны между отраженным и прошедшим полями не зависит от того, в ка- кой из сред распространяется падающая волна. Однако при изгибных колебаниях существуют ка- чественные отличия. Прежде всего, за счет появ- ление неоднородных волн в прошедшем и отра- женном полях коэффициенты становятся компле- ксными. Кроме того, их уже невозможно выразить только через отношения импедансов контактиру- ющих стержней z1,2 =ρ1,2c1,2=(E1,2ρ1,2) 1/4 =αγ. Несмотря на то, что неоднородные волны энер- гию не переносят, уровень их возбуждения суще- 20 Н. С. Городецкая, Е. А. Недилько ISSN 1028 -7507 Акустичний вiсник. 2012. Том 15, N 2. С. 17 – 27 ственно влияет на распределение энергии падаю- щей волны между отраженными и прошедшими волнами. Следовательно, при жестком контакте двух стержней с разными механическим характеристи- ками характер распределения энергии падающей волны между отраженными и прошедшими волна- ми для случаев продольных и изгибных колебаний существенно различается. 3. МЕТОД РЕШЕНИЯ В данной работе применяется метод суперпо- зиции [15], позволяющий учесть особенности по напряжениям в угловых точках. В его рамках построим решение граничной задачи для изгиб- ных колебаний составного волновода. Следуя об- щей схеме метода, компоненты вектора смещений в отраженном поле (z>0) представим в виде u(1) y = ∞ ∑ k=1 ( Akβke−q1z + Bkq2e −q2z ) × × cos βky+ + 1 2π ∞ ∫ −∞ x(2)(τ )U (2) y (τ, y)eiτzdτ, u(1) z = − ∞ ∑ k=1 ( Akq1e −q1z + Bkβke−q2z ) × × sin βky− − i 2π ∞ ∫ −∞ x(2)(τ )U (2) z (τ, y)eiτzdτ (5) с неизвестными постоянными Ak, Bk (k=1, 2, . . .) и функцией x(2)(τ ). В соотношениях (5) введены обозначения U (2) y (τ, y) = τ2 ch p2y ch p2 − (τ2 + p2 2) 2 ch p1y ch p1 ; U (2) z (τ, y) = τ ( −p2 ch p2y ch p2 + (τ2 + p2 2) 2 ch p1y ch p1 ) ; pj =      √ τ2 − Ω2 j , \|τ \| ≥ Ωj; −i √ Ω2 j − τ2, \|τ \| < Ωj; qj =      √ β2 k − Ω2 j , \|βk\| ≥ Ωj; −i √ Ω2 j − β2 k , \|βk\| < Ωj; βk = (2k − 1)π 2 . Здесь Ω (2) 1,2 =ωh/cl,s – безразмерные частоты; cl и cs – скорости продольной и поперечной волны во второй среде соответственно. Решение для первой полуполосы (прошедшее поле, z<0) получаем из (5) при замене неизвест- ных Ak, Bk на Ck, −Dk и смене знака для uz. Кроме того, в выражения для величин, аналоги- чных pj и qj (обозначаем их как p̃j и q̃j), следу- ет подставить соответствующим образом нормиро- ванные частоты Ω (2) 1,2. Считаем, что волновое поле в составном волно- воде возбуждается первой нормальной волной, ра- спространяющейся во второй полуполосе в отри- цательном направлении оси z. В этом случае выра- жения для смещения в падающей волне запишутся как u (0) z = −U (2) z (ξ, y)e−iξz , u (0) y = iU (2) y (ξ, y)e−iξz , где ξ – постоянная распространения первой нор- мальной волны во второй полуполосе. Для задан- ной частоты она определяется из дисперсионного уравнения Рэлея – Лэмба: ∆(ξ) = ξ2p2th p2 − (ξ2 + p2 2) 2 4p1 th p1. Представление (5) выбрано таким образом, что- бы условие отсутствия касательных напряжений на поверхностях y=±1 выполнялось автоматиче- ски. Дополнительное выполнение условий сопря- жения приводит к следующей системе интегро- алгебраических уравнений относительно неизвест- ных Ak, Bk, Ck, Dk (k=1, 2, . . .) и функций x(i)(τ ): Н. С. Городецкая, Е. А. Недилько 21 ISSN 1028 -7507 Акустичний вiсник. 2012. Том 15, N 2. С. 17 – 27 x(2)(τ )∆2(τ )+ + ∞ ∑ k=1 (−1)k ( Ak 2q1(β 2 k + Ω2 0) τ2 + q2 1 + +Bk 2βkq2 2 τ2 + q2 2 ) = 0, x(1)(τ )∆1(τ )+ + ∞ ∑ k=1 (−1)k ( Ck 2q̃1(β 2 k + Ω̃2 0) τ2 + q̃2 1 − −Dk 2βkq̃2 2 τ2 + q̃2 2 ) = 0, (6a) Akq1 + Bk β2 k + q2 2 2βk + + µ1 µ2 ( Ckq̃1 − Dk β2 k + q̃2 2 2βk ) = = −(−1)kξ(ξ2 + p2 2) ( 1 p2 2 + β2 k − 1 p2 2 + β2 k ) , Akq1 + Bkβk + Ckq̃1 − Dkβk = = −(−1)kξ ( 2p2 2 p2 2 + β2 k − ξ2 + p2 2 p2 2 + β2 k ) , Ak + Bk q2 βk − (−1)k 2π ∞ ∫ −∞ x(2)(τ )ek(τ )dτ− −Ck + Dk q̃2 βk + + (−1)k 2π ∞ ∫ −∞ x(1)(τ )ẽk(τ )dτ = 2iek(ξ), Ak β2 k + q2 2 2 + Bkβkq2− −(−1)k 2π ∞ ∫ −∞ x(2)(τ )dk(τ )dτ− −µ1 µ2 ( Ck β2 k + q̃2 2 2 Dkβk q̃2− −(−1)k 2π ∞ ∫ −∞ x(1)(τ )d̃k(τ )dτ ) = i2dk(ξ), (6b) ek(τ ) = τ2 β2 k + p2 2 − τ2 + p2 2 2(beta2 k + p2 1) ; dk(τ ) = (τ2 + Ω2 0)(τ 2 + p2 2) 2(τ2 + q2 1) − τ2p2 2 τ2 + q2 2 ; Ω2 0 = Ω2 2 2 − Ω2 1. Система (6) относится к системам второго ро- да, в которых естественным образом выделяю- тся главные элементы, ответственные за выпол- нение конкретных граничных условий. Само фор- мирование алгебраической системы проводится с использованием основных свойств разложений в ряды Фурье. Это обеспечивает ее сходимость да- же при наличии интегрируемых особенностей в ра- злагаемых функциях. Более того, даже с исполь- зованием метода простой редукции интегральные характеристики поля (его энергия) могут быть по- лучены с высокой точностью. Для более полного описания волновых полей в составном волноводе необходимо в явном виде учитывать локальные особенности на границе контакта двух сред. Так, при жестком контакте двух полуполос в угловой точке, являющейся точкой смены типа граничных условий, при определенных соотношениях параме- тров контактирующих сред может существовать особенность по напряжениям с показателем ε [1]. Как уже отмечалось, ее наличие приводит к то- му, что в рамках метода суперпозиции интегралы и ряды для напряжений на линии контакта z=0 сходятся медленно, а на отрезке h\|1−2ε\|≤y≤h – расходятся [3, 4]. Для получения решения, адекватно описываю- щего волновое поле на границе раздела, необходи- мо использовать асимптотическое поведение неиз- вестных. Его анализ в суммах основан на свой- ствах сходимости рядов для напряжений вбли- зи угловых точек на линии контакта двух сред: y=±1, z=+0. Процедура нахождения асимптоти- ки для неизвестных системы (6) аналогична опи- санной в работах [5,13] для продольных колебаний и в [6] для изгибных. В отраженном поле при k>K выражения для коэффициентов имеют вид AK = Jε+1/2(βk) β ε−1/2 k σ1 − σ2 Ω2 1 − Ω2 2 , BK = Jε+1/2(βk) β ε−1/2 k ( σ2 − σ1 Ω2 1 − Ω2 2 + σ1 β2 k ) , x(2)(τ ) = √ 2cth πε 2 ( σ1(1 − ε) + σ2(1 + ε) ) √ π ( Ω2 1 − Ω2 2 ) τ1+ε . (7) 22 Н. С. Городецкая, Е. А. Недилько ISSN 1028 -7507 Акустичний вiсник. 2012. Том 15, N 2. С. 17 – 27 Для прошедшего поля следует заменить Ωi на Ω̃i; σ1 и σ2 на σ3 и σ4; AK на CK ; BK на −DK . Построение конечной системы, соответствую- щей бесконечной системе (6), выполнено по анало- гии со статьей [5] с учетом асимптотического по- ведения неизвестных в рассматриваемом случае. Для нахождения показателя особенности ε в выражениях (7) сохраним только главные члены системы (6). Определитель усеченной таким обра- зом системы совпадает с уравнением Дандерса для статических задач [1]: ( β sin2 πε 2 +(α−β)ε2 )2 − 1 4 sin2 πε− ε2α2 = 0. (8) Здесь α = µ2(1 − ν1) − µ1(1 − ν2) µ2(1 − ν1) + µ1(1 − ν2) ; β = 1 2 µ2(1 − 2ν1) − µ1(1 − 2ν2) µ2(1 − ν1) + µ1(1 − ν2) . (9) Заканчивая описание метода суперпозиции при- менительно к решению задачи дифракции нор- мальных волн на вертикальной границе в состав- ном волноводе, подчеркнем еще раз, что основ- ное его преимущество заключается в возможности учета локальных особенностей по напряжениям на границе раздела. Это позволяет построить эффе- ктивный алгоритм для вычисления характеристик отраженного и прошедшего полей при учете коне- чного числа слагаемых в рядах системы (6). Для оценки качества полученного решения использовались различные методы. 1. Анализ точности выполнения условий сопря- жения показал, что при учете 20 членов ряда в системе (6) погрешности выполнения усло- вий сопряжения по смещениям uz, uy для всех рассмотренных случаев не превышали 4 % от u (0) z (0, 0). Погрешность по касатель- ным напряжениям не превышала 0.02 % от σ0 =σ(0)(0, 0) для всех \|y\|<1, кроме малой окрестности угла, и практически не зависе- ла от показателя особенности в угловой то- чке. Для нормального напряжения и σz си- туация оказалась иной – точность выполне- ния условий сопряжения в малой окрестности угловых точек (y=±1, z=0) существенно па- дает. Тем не менее, при проведенных расчетах для \|y\|<0.98 условия сопряжения по нормаль- ным напряжениям выполнялись с погрешно- стью до 5 % от σ0. 2. Для широкого диапазона изменения параме- тров среды при принятом числе неизвестных в конечной системе закон сохранения энер- гии выполнялся с точностью до 0.2 % энер- гии падающей волны. Следует отметить, что учет особенности по напряжениям практичес- ки не сказывался на точности выполнения закона сохранения энергии. Это обусловлено тем, что коэффициенты возбуждения распро- страняющихся волн определяются в основном первыми коэффициентами системы (6). 3. Также оценивалась скорость стремления не- известных с большими номерами к их асим- птотическим значениям. При K=20 неизвест- ные A19, B19, C19, D19 отличались от асим- птотических значений во втором знаке после запятой. 3.1. ЭНЕРГЕТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ В соответствии с законом сохранения энергии сумма энергий отраженного и прошедшего полей равна энергии падающей волны. Энергия же отра- женного поля равна сумме энергий, переносимой каждой распространяющейся волной, которая мо- жет существовать на частоте падающей волны и определяется соотношением W = J ∑ j=1 Wj , Wj = \|Kj \|2µ2Ω 2 2∆ ′ 2(ξj). (10) Здесь J – количество распространяющихся волн в отраженном поле; Kj коэффициент возбуждения j-ой нормальной волны. Коэффициенты Kj для нормальных волн в отраженном поле находились из соотношения K (пр) j = Res τ=ξj x2(τ ), (11) где Res обозначает вычет функции x2(τ ) при τ =ξj. Для прошедшего поля все выглядит анало- гично. Рассмотрим особенности процесса отражения– прохождения первой нормальной волны от гра- ницы раздела в составном волноводе в случае, когда в отраженном поле распространяющие- ся волны высших порядков появляются рань- ше, чем в прошедшем. Рассматривается диапа- зон вплоть до критической частоты для тре- тьей распространяющейся волны в отражен- ном поле. Указанная ситуация может возникать при условии c̃2 = √ µ1/ρ1 >c2 = √ µ2/ρ2. При ан- тисимметричных колебаниях на частотах выше Н. С. Городецкая, Е. А. Недилько 23 ISSN 1028 -7507 Акустичний вiсник. 2012. Том 15, N 2. С. 17 – 27 2 0 1 2 3 4 5 E/E0 0.2 0.4 0.6 0.8 t r * * * /2 Рис. 2. Распределение энергии падающей волны в отраженном и прошедшем полях (случай падения из более жесткой среды) 2 0 1 2 3 4 5 Ei 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1r 2r 1t 2t Рис. 3. Распределение энергии падающей волны между двумя первыми распространяющимися волнами в отраженном и прошедшем полях (случай падения из более жесткой среды) Ω2≥π/2 появляются распространяющиеся вол- ны высших порядков. Конкретные вычисления выполним для волновода со следующими хара- ктеристиками: µ2/µ1 =6.36, ρ2/ρ1 =8.5, ν2 =0.29, ν1=0.17. В этом случае возникает особенность по напряжениям в угловой точке, имеющая показа- тель ε=0.907. Остановимся вначале на анализе энергетиче- ских характеристик волнового поля. На рис. 2 представлено распределение энергии падающей волны в отраженном и прошедшем полях для дан- ного волновода. Сплошная кривая соответствует энергии отраженного поля, а штриховая – прошед- шего. Звездочками на оси E обозначены (в про- центном отношении) энергии отраженного и про- шедшего полей, найденные по стержневой модели. На оси Ω2 стрелочкой указана частота Ω2 =π/2, на которой в отраженном поле появляется вторая ра- спространяющаяся волна. На частоте Ω2 =1.9 (она обозначена на рисунке звездочкой) вторая распро- страняющаяся волна появляется в прошедшем по- ле. В отличие от продольных колебаний состав- ного волновода с теми же механическими хара- ктеристиками контактирующих сред [13], при из- гибных колебаниях распределение энергии между отраженной и прошедшей волной в рамках стер- жневой модели справедливо только для очень низ- ких частот – ее погрешность не превышает 4 % в диапазоне Ω2 <0.4. При увеличении частоты проявляется еще одна отличительная особенность антисимметричных колебаний составного волновода – энергия отра- женного поля увеличивается, а часть энергии, про- шедшей во вторую среду, уменьшается. Увеличе- ния прозрачности границы, обусловленного эф- фективным возбуждением неоднородных волн в области частот, для которой в отраженном и про- шедшем полях распространяется только по одной волне, при изгибных колебаниях неоднородные волны возбуждаются лишь незначительно. В окре- стности частоты, на которой в отраженном по- ле появляется вторая распространяющаяся волна, наблюдается максимум энергии отраженного по- ля и волновод оказывается практически заперт – только порядка 10 % энергии падающей волны проходит во вторую среду. При дальнейшем ро- сте частоты прозрачность границы вновь начина- ет увеличиваться и при Ω2 =4.33 во вторую сре- ду проходит уже около 70 % энергии падающей волны. Для еще более высоких частот энергия отраженного поля вновь возрастает. Таким обра- зом, частотная зависимость энергии отраженного (прошедшего) поля имеет два локальных экстре- мума – существуют диапазон, в котором основная часть энергии отражается от границы, и диапа- зон, в котором прозрачность границы резко увели- чивается. Указанные особенности трансформации энергии падающей изгибной волны в отраженные и прошедшие волны отмечены и в [14]. Для объяснения наблюдаемых эффектов рас- 24 Н. С. Городецкая, Е. А. Недилько ISSN 1028 -7507 Акустичний вiсник. 2012. Том 15, N 2. С. 17 – 27 смотрим распределение энергии падающей волны между различными распространяющимися волна- ми в отраженном и прошедшем полях, представ- ленное на рис. 3. Здесь номера кривых соответ- ствуют номерам распространяющихся волн. Инде- ксом r обозначены отраженные волны, а индексом t – прошедшие. В области частот, для которой существует только по одной распространяющейся волне в отраженном и прошедшем полях, с рос- том частоты энергия, переносимая первой распро- страняющейся волной в отраженном поле, увели- чивается, а в прошедшем – падает. При появлении в отраженном поле второй распространяющейся волны она становится доминирующей в диапазо- не π/2<Ω2<2.5 и на частоте Ω2 =1.71 в ней кон- центрируется до 80 % энергии падающей волны. Энергия, переносимая в отраженном поле первой распространяющейся волной, резко уменьшается. Следует обратить внимание на то, что на часто- те Ω2 =1.8 первая распространяющаяся отражен- ная волна вырождается практически полностью. Таким образом, существуют частоты, на которых происходит полное превращение энергии падаю- щей волны одного типа в энергию отраженных и прошедших волн другого типа. Сравнивая данные о распределении энергии отраженного поля между первой и второй рас- пространяющимися волнами для рассматриваемо- го составного волновода (см. рис. 3) с распределе- нием энергии при отражении первой изгибной нор- мальной волны от свободного торца [17], отметим, что в обоих случаях вторая распространяющая- ся волна после своего появления становится наи- более энергетически выраженной и доминирует в определенном диапазоне выше своей критической частоты. Такая же тенденция наблюдается и для вынужденных изгибных колебаний полуслоя [17]. Отметим, что скорость нарастания энергии второй моды с ростом частоты в полуслое в значительной мере зависит от вида нагрузки [17]. Хотя для рассматриваемых частот приближен- ные теории уже несправедливы, отмеченные ана- логии в энергетической структуре отраженного поля для полуслоя со свободным торцом и для рас- сматриваемого составного волновода можно объ- яснить, оценив изгибные жесткости контактирую- щих полуполос по соотношению [16]: Di = Eih 3 12(1− ν2 i ) = 2µi(1 + νi)h 3 12(1− ν2 i ) , i = 1, 2. Для рассматриваемой пары материалов D2/D1 =7.4, т. е. волна падает из более жес- ткой среды в значительно более мягкую. Поэтому для данного составного волновода характерные особенности распределения энергии отраженного поля между различными распространяющимися волнами в целом сходны со случаем отражения первой распространяющейся волны от свободного торца. Таким образом, можно утверждать, что увели- чение энергии отраженного поля обусловлено не только первой отраженной волной, но и появлени- ем в отраженном поле второй распространяющей- ся волны, которая выше своей частоты запирания становится доминирующей. Возвращаясь к рис. 3, обратимся к частотным зависимостям энергии, переносимой первой и вто- рой распространяющимися волнами в прошедшем поле (кривые 1t и 2t). Заметим, что здесь вторая распространяющаяся волна не становится доми- нирующей выше своей частоты запирания, а уве- личение энергии прошедшего поля происходит в основном за счет энергии первой прошедшей ра- спространяющейся волны. Последняя становится доминирующей в диапазоне 2.6<Ω2<4.3, который можно естественным образом разбить на два ин- тервала. Ниже частоты Ω2 =3.2 большая часть энергии падающей волны отражается, а выше нее – проходит во вторую среду. Максимум прохо- ждения наблюдается на частоте Ω2 =4.33, на ко- торой в прошедшем поле доминирует вторая рас- пространяющаяся волна. Таким образом, для рассматриваемого состав- ного волновода увеличение энергии отраженно- го поля обусловлено доминированием второй рас- пространяющейся отраженной волны. Увеличение энергии прошедшего поля также обусловлено до- минированием второй волны, но уже в прошедшем поле. Рассмотрим процесс отражения первой нор- мальной волны от границы раздела составного волновода с теми же физическими характеристи- ками, но при условии, что падающая волна при- ходит из более мягкой среды в более жесткую, т. е. распространяется в первом волноводе. То- гда в прошедшем поле распространяющиеся вол- ны высших порядков должны появляться раньше, чем в отраженном. Распределение энергии падаю- щей волны между отраженным и прошедшим по- лями для данного случая представлено на рис. 4. Для удобства сравнения данных на рис. 2 и 4 на последнем графике по оси абсцисс отложена это частота волны во втором полуслое, соответствую- щая частоте падающей волны – Ω2 =ωh/c2 На оси E/E0 звездочками показаны доли энергии, рас- считанные по стрежневой модели. На оси Ω2 зве- здочкой отмечена частота, на которой в прошед- шем поле появляется вторая распространяющаяся Н. С. Городецкая, Е. А. Недилько 25 ISSN 1028 -7507 Акустичний вiсник. 2012. Том 15, N 2. С. 17 – 27 2 0 1 2 3 4 5 E/E0 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 t r * * * Рис. 4. Распределение энергии падающей волны в отраженном и прошедшем полях (случай падения из более мягкой среды) 0 1 2 3 4 5 Ei 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1t 2t 1r 2r Рис. 5. Распределение энергии падающей волны между двумя первыми распространяющимися волнами в отраженном и прошедшем полях (случай падения из более мягкой среды) волна, а стрелочкой – частота, на которой вторая распространяющаяся волна появляется в прошед- шем поле. Как следует из соотношений (4), при измене- нии направления распространения волны, падаю- щей из первой или второй полуполосы, величины отраженной и прошедшей энергий не меняются. При увеличении частоты энергия отраженного по- ля увеличивается, а прошедшего – падает. Сравне- ние данных, приведенных на рис. 2 и 4, позволяет отметить очень интересный факт: в том диапазо- не частот, где в отраженном и прошедшем полях существует только по одной распространяющейся волне, обе зависимости совпадают с графической точностью. Несмотря на то, что здесь уже не спра- ведлива приближенная теория, вплоть до крити- ческой частоты для второй распространяющейся волны процентное распределение энергии падаю- щей волны между отраженным и прошедшим по- лями не зависит от направления распространения падающей волны. Этот результат тем более нео- жидан, что он не имеет аналога при продольных колебаниях составного волновода. С ростом частоты, когда в прошедшем поле появляются две распространяющиеся волны, об- щая энергия прошедшего поля увеличивается. В отличие от рассмотренного ранее случая паде- ния волны из второго волновода, в данной ситу- ации при появлении высших распространяющи- хся мод энергия отраженного поля начинает па- дать. Локальный максимум энергии отраженного поля (77.02 % энергии падающей волны) наблюда- ется на частоте, принадлежащей диапазону, в ко- тором и в отраженном, и в прошедшем полях рас- пространяются только по одной волне. При даль- нейшем росте частоты наблюдается максимальное прохождение во вторую среду при Ω2 =3.9, одна- ко здесь энергия, прошедшая во второй волновод, оказывается меньше, чем в низкочастотном преде- ле. Еще одна характерная частота, относящаяся к рис. 4, – Ω2 =4.48. На ней отражается более 87.1 % энергии падающей волны, т. е. волновод оказыва- ется практически заперт. Рассмотрим распределение энергии отраженно- го и прошедшего полей между различными рас- пространяющимися модами (рис. 5). Здесь инде- ксация та же, что и на рис. 3. Как видно из гра- фика, при появлении в прошедшем поле второй распространяющейся волны (кривая 2t), она не становится доминирующей. Ее энергосодержание увеличивается до частоты Ω2 =1.68, на которой вторая мода переносит 18.3 % энергии падающей волны. На более высоких частотах (Ω2 >1.8) она возбуждается слабо, а энергия прошедшего поля определяется в основном первой распространяю- щейся волной. В отраженном поле при появлении второй распространяющейся волны ее энегросо- держание увеличивается, но и здесь она переносит не более 20 % энергии падающей волны. Следова- тельно, энергия отраженного поля также опреде- 26 Н. С. Городецкая, Е. А. Недилько ISSN 1028 -7507 Акустичний вiсник. 2012. Том 15, N 2. С. 17 – 27 ляется первой распространяющейся волной. Отме- тим, что распределение энергии отраженного по- ля между двумя распространяющимися волнами в рассматриваемом случае аналогично случаю отра- жения первой моды от защемленного торца. Таким образом, при изменении параметров кон- тактирующих сред в составном волноводе при его изгибных колебаниях усиление отражающих свойств границы сохраняется и в той области ча- стот, когда в волноводе появляется вторая рас- пространяющаяся волна, однако изменяется эф- фективность его проявления. В более высокоча- стотной области наблюдается еще один эффект – увеличение прозрачности границы. Для контакта полуполос с существенно различными изгибными жесткостями оно обусловлено ростом энергии пер- вой прошедшей волны в определенном частотном диапазоне. Заметим, что наиболее прозрачной гра- ница остается в низкочастотном пределе. Степень изменения отражающих свойств гра- ницы зависит как от соотношения изгибных жес- ткостей контактирующих волноводов, так и дру- гих механических параметров (в частности, от ко- эффициентов Пуассона). Вопрос изменения эффе- ктивности прохождения энергии во вторую среду в зависимости от соотношения указанных механиче- ских характеристик требует дополнительного ана- лиза. ЗАКЛЮЧЕНИЕ В широком диапазоне частот изучены свойства волнового поля в составном упругом волноводе, образованном при жестком контакте двух полупо- лос одинаковой ширины, но с разными механиче- скими характеристиками. Основой построения алгоритма вычислений был метод суперпозиции, примененный к решению гра- ничных задач с конечными границами при нали- чии в волновом поле локальных особенностей. С использованием значений найденных этим мето- дом неизвестных определены коэффициенты воз- буждения нормальных волн в отраженном и про- шедшем полях. Установлено, что при изгибных ко- лебаниях составного волновода наблюдается зна- чительная зависимость эффективности прохожде- ния во вторую среду от частоты. При этом ока- залось возможным выделить диапазоны частот, в которых резко усиливаются отражающие свойства границы, и диапазоны, в которых возрастает ее прозрачность. Полученные сведения об особенностях процесса отражения– прохождения волн на конечной гра- нице контакта упругих тел с различными вол- новыми свойствами важны для построения алго- ритмов неразрушающего акустического контроля механических соединений. 1. Боджи Д. Действие поверхностных нагрузок на систему из двух соединенных вдоль одной из гра- ней упругих клиньев, изготовленных из различ- ных материалов и имеющих произвольные углы // Прикладная механика. Тр. Амер. общ. инж.-мех.– 1971.– 38, № 2.– С. 87–96. 2. Sinclair G. B. Stress singularities in classical elastici- ty: I Removal, interpretation, and analysis // Appl. Mech. Rev.– 2004.– 57, № 4.– С. 251–297. 3. Пельц С. П., Шихман В. М. О сходимости мето- да однородных решений в динамической смешан- ной задаче для полуполосы // Докл. АН СССР.– 1987.– 295, № 4.– С. 821–824. 4. Гомилко А. М., Гринченко В. Т., Мелешко В. В. О возможности метода однородных решений в сме- шанной задаче теории упругости для полуполо- сы // Теор. прикл. мех.– 1987.– 18.– С. 3–8. 5. Городецкая Н. С. Дифракция волн Рэлея – Лэмба на вертикальной границе в составном упругом вол- новоде // Акуст. вiсн.– 2000.– 3, № 1.– С. 23–35. 6. Гринченко В. Т.,Городецкая Н. С., Старовойт И. В. Антисимметричные колебания полуслоя с защем- ленным торцом // Акуст. вiсн.– 2009.– 12, № 1.– С. 32–42. 7. Дьяконов М. Б.,Устинов Ю. А. Сдвиговые вол- ны в упругом полубесконечном слое с разрезом // Акуст. ж.– 1995.– 41, № 3.– С. 421–426. 8. Гетман И. П., Лисицкий О. Н. Отражение и прохо- ждение звуковых волн через границу раздела двух состыкованных упругих полуполос // Прикл. мат. мех.– 1988.– 52, № 6.– С. 1044–1048. 9. Гетман И. П., Устинов Ю. А. Математическая те- ория нерегулярных твердых волноводов.– Ростов н/Д: Изд-во Ростов. ун-та, 1993.– 142 с. 10. Glushkov E. V., Glushkova N. V. Blocking property of energy vortices in elastic waveguides // J. Acoust. Soc. Amer.– 1997.– 102, № 3.– С. 1356–1360. 11. Никитин Ю. Г. Распространение упругих волн в составных волноводах / Автореф. дис. . . к. ф.- м. н.– Краснодар: Кубан. гос. ун-т, 1996.– 16 с. 12. Вовк Л. П. Анализ локальных особенностей вол- новодного поля в сингулярных точках составных областей // Вiсн. Сум. держ. ун-ту. Сер. фiз., мат., мех.– 2003.– 10(56).– С. 144–156. 13. Городецкая Н. С. Трансформация энергии падаю- щей волны на границе раздела в составном волно- воде // Акуст. вiсн.– 2001.– 4, № 1.– С. 17–25. 14. Scandrett C.,Vassudeva№ N. The propagation of ti- me harmonic Rayeleigh –Lamb waves in a bimateri- al plate // J. Acoust. Soc. Amer.– 1991.– 89, № 4, Pt. 1.– С. 1606–1614. 15. Гринченко В. Т., Мелешко В. В. Гармонические колебания и волны в упругих телах.– К.: Наук. думка, 1981.– 284 с. 16. Ландау Л. Д., Лифшиц Е. М. Механика сплошных сред.– М.: ГИТТЛ, 1953.– 788 с. 17. Гринченко В.Т.,Городецкая Н. С.,Старовойт И.В. Особенности возбуждения нормальных волн при изгибных колебаниях полуслоя // Акуст. вiсн.– 2007.– 10, № 3.– С. 42–54. Н. С. Городецкая, Е. А. Недилько 27

Энергетические особенности дифракции изгибных волн на вертикальной границе в составном упругом волноводе

Institution

Ähnliche Einträge