Свободные колебания тонкостенного стержня с подвесным резервуаром, частично заполненным жидкостью
Проанализированы численные схемы решения уравнения распространения малых нестационарных возмущений от тонкого крыла. Указаны их особенности, преимущества и недостатки. Отмечено, что схемы смешанного типа, в которых временная переменная не отделяется от пространственных, а непосредственно включена в...
Збережено в:
| Дата: | 2012 |
|---|---|
| Автор: | |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Russian |
| Опубліковано: |
Інститут гідромеханіки НАН України
2012
|
| Назва видання: | Акустичний вісник |
| Онлайн доступ: | http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/116181 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Цитувати: | Свободные колебания тонкостенного стержня с подвесным резервуаром, частично заполненным жидкостью / Ю.В. Троценко // Акустичний вісник — 2012. —Т. 15, № 3. — С. 53-66. — Бібліогр.: 9 назв. — рос. |
Репозитарії
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
irk-123456789-116181 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
irk-123456789-1161812017-04-22T03:02:43Z Свободные колебания тонкостенного стержня с подвесным резервуаром, частично заполненным жидкостью Троценко, Ю.В. Проанализированы численные схемы решения уравнения распространения малых нестационарных возмущений от тонкого крыла. Указаны их особенности, преимущества и недостатки. Отмечено, что схемы смешанного типа, в которых временная переменная не отделяется от пространственных, а непосредственно включена в общую расчетную молекулу, позволяют более точно учесть специфику решения в задачах с быстро изменяющимися параметрами течения. В качестве примера применения одной из таких схем приведено дальнейшее развитие численно-аналитического подхода для нестационарных задач акустики. На его основе проведен численный расчет задачи генерации звука при обтекании тонкого крыла (лопасти винта) нестационарным потокам при различных кинематических и геометрических параметрах. На базі положень лінійної теорії руху твердих тіл з порожнинами, частково заповненими ідеальною рідиною, й лінійної теорії тонкостінних стержнів побудовано загальну математичну модель динаміки пружного стержня з приєднаним резервуаром, який містить рідину. Сформульовану спектральну задачу про власні коливання даної механічної системи розв'язано методом декомпозиції. За допомогою методу Рітца вихідну задачу зведено до аналізу узагальненої алгебраїчної проблеми на власні значення. Наведені результати розрахунків частот і форм коливань продемонстрували ефективність запропонованого підходу. A general mathematical model of the dynamics of an elastic rod with an attached reservoir containing the liquid is developed on the basis of the provisions of the linear theory of motion of solids with cavities partially filled with an ideal fluid and the linear theory of thin-walled rods. Formulated spectral problem for free oscillations of the mechanical system is solved by the method of decomposition. With the help of the Ritz method, the original problem is reduced to the analysis of generalized algebraic eigenvalue problem. The presented calculations results for the frequencies and mode shapes have demonstrated the effectiveness of the proposed approach. 2012 Article Свободные колебания тонкостенного стержня с подвесным резервуаром, частично заполненным жидкостью / Ю.В. Троценко // Акустичний вісник — 2012. —Т. 15, № 3. — С. 53-66. — Бібліогр.: 9 назв. — рос. 1028-7507 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/116181 532.595 ru Акустичний вісник Інститут гідромеханіки НАН України |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| language |
Russian |
| description |
Проанализированы численные схемы решения уравнения распространения малых нестационарных возмущений от тонкого крыла. Указаны их особенности, преимущества и недостатки. Отмечено, что схемы смешанного типа, в которых временная переменная не отделяется от пространственных, а непосредственно включена в общую расчетную молекулу, позволяют более точно учесть специфику решения в задачах с быстро изменяющимися параметрами течения. В качестве примера применения одной из таких схем приведено дальнейшее развитие численно-аналитического подхода для нестационарных задач акустики. На его основе проведен численный расчет задачи генерации звука при обтекании тонкого крыла (лопасти винта) нестационарным потокам при различных кинематических и геометрических параметрах. |
| format |
Article |
| author |
Троценко, Ю.В. |
| spellingShingle |
Троценко, Ю.В. Свободные колебания тонкостенного стержня с подвесным резервуаром, частично заполненным жидкостью Акустичний вісник |
| author_facet |
Троценко, Ю.В. |
| author_sort |
Троценко, Ю.В. |
| title |
Свободные колебания тонкостенного стержня с подвесным резервуаром, частично заполненным жидкостью |
| title_short |
Свободные колебания тонкостенного стержня с подвесным резервуаром, частично заполненным жидкостью |
| title_full |
Свободные колебания тонкостенного стержня с подвесным резервуаром, частично заполненным жидкостью |
| title_fullStr |
Свободные колебания тонкостенного стержня с подвесным резервуаром, частично заполненным жидкостью |
| title_full_unstemmed |
Свободные колебания тонкостенного стержня с подвесным резервуаром, частично заполненным жидкостью |
| title_sort |
свободные колебания тонкостенного стержня с подвесным резервуаром, частично заполненным жидкостью |
| publisher |
Інститут гідромеханіки НАН України |
| publishDate |
2012 |
| url |
http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/116181 |
| citation_txt |
Свободные колебания тонкостенного стержня с подвесным резервуаром, частично заполненным жидкостью / Ю.В. Троценко // Акустичний вісник — 2012. —Т. 15, № 3. — С. 53-66. — Бібліогр.: 9 назв. — рос. |
| series |
Акустичний вісник |
| work_keys_str_mv |
AT trocenkoûv svobodnyekolebaniâtonkostennogosteržnâspodvesnymrezervuaromčastičnozapolnennymžidkostʹû |
| first_indexed |
2025-07-08T09:58:31Z |
| last_indexed |
2025-07-08T09:58:31Z |
| _version_ |
1837072345181716480 |
| fulltext |
ISSN 1028 -7507 Акустичний вiсник. 2012. Том 15, N 3. С. 53 – 66
УДК 532.595
СВОБОДНЫЕ КОЛЕБАНИЯ ТОНКОСТЕННОГО
СТЕРЖНЯ С ПОДВЕСНЫМ РЕЗЕРВУАРОМ,
ЧАСТИЧНО ЗАПОЛНЕННЫМ ЖИДКОСТЬЮ
Ю. В. ТР ОЦ ЕН К О
Институт математики НАН Украины
ул. Терещенковская, 3, 01601, Киев-4, Украина
E-mail: imath@ukr.net
Получено 05.06.2012
На основе положений линейной теории движения твердых тел с полостями, частично заполненными идеальной
жидкостью, и линейной теории тонкостенных стержней построена общая математическая модель динамики упру-
гого стержня с присоединенным резервуаром, содержащим жидкость. Сформулированная спектральная задача о
собственных колебаниях данной механической системы решена методом декомпозиции. С помощью метода Ритца
исходная задача сведена к анализу обобщенной алгебраической проблемы на собственные значения. Приведенные
результаты расчетов частот и форм колебаний продемонстрировали эффективность предложенного подхода.
КЛЮЧЕВЫЕ СЛОВА: тонкостенный стержень, резервуар с жидкостью, парциальная система, свободные колеба-
ния, метод Ритца
На базi положень лiнiйної теорiї руху твердих тiл з порожнинами, частково заповненими iдеальною рiдиною, й
лiнiйної теорiї тонкостiнних стержнiв побудовано загальну математичну модель динамiки пружного стержня з
приєднаним резервуаром, який мiстить рiдину. Сформульовану спектральну задачу про власнi коливання даної
механiчної системи розв’язано методом декомпозицiї. За допомогою методу Рiтца вихiдну задачу зведено до аналiзу
узагальненої алгебраїчної проблеми на власнi значення. Наведенi результати розрахункiв частот i форм коливань
продемонстрували ефективнiсть запропонованого пiдходу.
КЛЮЧОВI СЛОВА: тонкостiнний стержень, резервуар з рiдиною, парцiальна система, вiльнi коливання, метод
Рiтца
A general mathematical model of the dynamics of an elastic rod with an attached reservoir containing the liquid is
developed on the basis of the provisions of the linear theory of motion of solids with cavities partially filled with an
ideal fluid and the linear theory of thin-walled rods. Formulated spectral problem for free oscillations of the mechanical
system is solved by the method of decomposition. With the help of the Ritz method, the original problem is reduced to
the analysis of generalized algebraic eigenvalue problem. The presented calculations results for the frequencies and mode
shapes have demonstrated the effectiveness of the proposed approach.
KEY WORDS: a thin-walled rod, reservoir with a liquid, the partial system, free oscillation, the Ritz method
ВВЕДЕНИЕ
Рассмотрим осесимметричную конструкцию, со-
стоящую из вертикально расположенной тонко-
стенной оболочки вращения, к одной из паралле-
лей которой с помощью жесткого шпангоута при-
креплен осесимметричный резервуар, частично за-
полненный идеальной и несжимаемой жидкостью
(рис. 1). Исследованию колебаний таких объектов
посвящены работы [1, 2].
Стенки резервуара считаем абсолютно жестки-
ми. К типичным конструкциям этого рода относя-
тся корпус жидкостной ракеты или фюзеляж са-
молета, а также некоторые промышленные резер-
вуары [1]. Динамику подобных систем будем рас-
сматривать в рамках линейной теории упругости и
гидродинамики, что позволяет независимо рассма-
тривать их поперечные, продольные и крутильные
колебания.
При определенных соотношениях геометриче-
ских параметров тонкостенную оболочку в некото-
ром смысле можно отождествить с эквивалентным
x
1
x*
y *
z1 z *
l
y
1
O1
O*
ζSo
Рис. 1. Общий вид механической системы
c© Ю. В. Троценко, 2012 53
ISSN 1028 -7507 Акустичний вiсник. 2012. Том 15, N 3. С. 53 – 66
упругим стержнем [1]. Для цилиндрической обо-
лочки возможность подобной замены обсуждалась
в работах [3 – 5]. Продемонстрированная в них эф-
фективность указанного подхода стимулировала
продолжение исследований в этом направлении.
В частности, полученные результаты отражены в
данной публикации.
Ниже в качестве расчетной модели будет
использован упругий стержень с подвешенным
в некотором его сечении жестким резервуаром
с жидкостью. Поперечные колебания такой кон-
струкции рассматриваются на основе уравнений
изгиба стержней без учета поперечных сдвигов и
инерции поворота сечений.
1. ОСНОВНЫЕ ДОПУЩЕНИЯ И ПОСТА-
НОВКА ЗАДАЧИ
Для определенности будем считать, что нижний
край стержня закреплен, а верхний – свободен.
Движение резервуара и жидкости в нем будем рас-
сматривать в поле сил тяжести с вектором ускоре-
ния ~g (g= |~g|). Введем неподвижную прямоуголь-
ную систему координат O∗x∗y∗z∗, ось O∗z∗ ко-
торой совпадает с осью симметрии конструкции,
и направлена противоположно вектору ~g. Начало
системы координат O∗ поместим в плоскости кре-
пления резервуара к стержню. Связанную с ре-
зервуаром систему координат Oxyz расположим
так, чтобы в начальный момент времени t она сов-
падала с системой координат O∗x∗y∗z∗. Для опи-
сания колебаний стержня введем в рассмотрение
еще одну систему координат O1x1y1z1 с началом,
связанным с его закрепленным краем. Ось O1z1
совместим с осью симметрии системы, а оси O1x1
и O1y1 расположим параллельно осям O∗x∗ и O∗y∗
соответственно.
Предположим, что к резервуару приложена вне-
шняя суммарная сила PO∗y∗ , действующая в на-
правлении оси O∗y∗ и суммарный момент MOx
системы внешних сил относительно оси Ox. Будем
также считать, что на стержень действует распре-
деленная поперечная нагрузка q(z1, t) в направле-
нии оси O1y1 и он подвержен действию сжимаю-
щей силы, обусловленной весом резервуара с жид-
костью и своим собственным весом.
Составим уравнения связанных колебаний стер-
жня и резервуара с жидкостью, прикрепленного
к нему в сечении z1 =ζ. Обозначим через w(z1, t)
прогиб нейтральной линии стержня в направле-
нии оси O1y1 под воздействием приложенных к не-
му внешних сил, а через l – длину стержня. При
выводе уравнений движения стержня в плоскости
O1y1z1 применим принцип возможных перемеще-
ний, который в сочетании с принципом Даламбера
можно использовать и в динамических задачах.
В общем случае будем рассматривать стержень
с меняющимися по длине площадью поперечного
сечения S, экваториальным моментом инерции J ,
модулем упругости при изгибе E и плотностью ма-
териала ρ1.
Разобьем область G=[0, l] изменения координа-
ты z1 на две подобласти: G(1)=[0, ζ] и G(2)=[ζ, l],
обозначив прогибы стержня в них через w(1)(z1, t)
и w(2)(z1, t) соответственно. Везде в дальнейшем
верхний индекс будет обозначать область, в кото-
рой определена рассматриваемая функция.
Для обеспечения гладкого сопряжения переме-
щений стержня в смежной точке z=ζ подобластей
G(1) и G(2) должны выполняться кинематические
граничные условия
w(1) = w(2) = w при z1 = ζ,
dw(1)
dz1
=
dw(2)
dz1
=
dw
dz1
при z1 = ζ.
(1)
Введем следующие обозначения для перере-
зывающих сил и изгибающих моментов стержня
в сечении z1:
Q(i) =
∂
∂z1
(
E(i)J (i) ∂
2w(i)
∂z2
1
)
,
M (i) = E(i)J (i)∂
2w(i)
∂z2
1
(i = 1, 2).
(2)
В силу принятых условий закрепления, на краях
стержня справедливы граничные условия
w(1)
∣
∣
z1=0
= 0,
dw(1)
dz1
∣
∣
∣
∣
z1=0
= 0, (3)
Q(2)
∣
∣
z1=l
= 0, M (2)
∣
∣
z1=l
= 0. (4)
Если исходная форма стержня – равновесная, то
согласно принципу возможных перемещений дол-
жно выполняться равенство
δW = δA, (5)
где
δW =
2
∑
i=1
∫
G(i)
E(i)J (i) ∂
2w(i)
∂z2
1
∂2δw(i)
∂z2
1
dz1 —
вариация потенциальной энергии деформации
изгиба стержня; δA – работа всех внешних сил,
54 Ю. В. Троценко
ISSN 1028 -7507 Акустичний вiсник. 2012. Том 15, N 3. С. 53 – 66
приложенных к стержню и резервуару на их воз-
можных перемещениях.
Следуя статье [6], выпишем проекции главно-
го вектора сил и моментов, действующих со сто-
роны жидкости на резервуар при его возмущен-
ном движении, на оси O∗y∗ и Ox соответствен-
но. Если стержень поперечно колеблется в плоско-
сти O1y1z1, то резервуар будет совершать поступа-
тельные перемещения u в направлении оси O1y1 и
угловые повороты ϑ относительно оси Ox:
u = w(ζ, t), ϑ = − ∂w
∂z1
∣
∣
∣
∣
z1=ζ
. (6)
Тогда потенциал смещений жидкости в связан-
ной с резервуаром системе координат Oxyz можно
представить в следующем виде [6]:
χ(x, y, z, t) = yw(ζ, t) − ∂w
∂z1
∣
∣
∣
∣
z1=ζ
Ψ(x, y, z)+
+
n0
∑
n=1
βn(t)ϕn(x, y, z).
(7)
Здесь потенциал Стокса – Жуковского Ψ опреде-
ляется из решения неоднородной краевой задачи
Неймана вида
∆Ψ(x, y, z) = 0, (x, y, z) ∈ Q,
∂Ψ
∂ν
∣
∣
∣
∣
Σ∪S0
= y cos(ν, z) − z cos(ν, y),
(8)
где Q – фиксированная область, ограниченная
смачиваемой поверхностью резервуара S0 и свобо-
дной поверхностью жидкости Σ в ее невозмущен-
ном состоянии; ~ν – орт внешней нормали к поверх-
ности S0 или Σ; ∆ – оператор Лапласа.
В представлении (7) обобщенные координаты
βn(t) характеризуют волновые движения жидко-
сти в резервуаре, а функции ϕn – собственные
функции спектральной задачи с параметром κn в
граничном условии:
∆ϕn(x, y, z) = 0, (x, y, z) ∈ Q,
∂ϕn
∂ν
∣
∣
∣
∣
S0
= 0,
(
∂ϕn
∂ν
− κϕn
)
∣
∣
∣
∣
Σ
= 0,
∫
Σ
∂ϕn
∂ν
dS = 0.
(9)
Краевая задача (9) описывает свободные колеба-
ния жидкости в неподвижном резервуаре. При
этом квадрат частоты σ2
n n-ой формы собственных
колебаний жидкости связан с частотным параме-
тром κn соотношением
σ2
n = gκn. (10)
Гидродинамические составляющие PO∗y∗ и MOx
главных векторов сил и моментов, действующих
на резервуар со стороны жидкости при его возму-
щенном движении, можно определить на основе
теорем об изменении количества движения и мо-
мента количества движения жидкости в области
Q. После ряда преобразований получаем [6]:
PO∗y∗ = −mw
(
ẅ + zcw
∂ẅ
∂z1
)
z1=ζ
−
−
n0
∑
n=1
β̈nλn,
MOx =
(
mwzcw
ẅ + I(w) ∂ẅ
∂z1
−
−gmwzcw
∂w
∂z1
)
z1=ζ
−
−
n0
∑
n=1
(β̈nλon + gβnλn),
(11)
где zcw
и mw – координата центра масс относи-
тельно точки O на оси Oz и масса “затвердевшей”
жидкости.
Гидродинамические коэффициенты в форму-
лах (11) имеют вид
λn = ρ
∫
Σ
y
∂ϕn
∂ν
dS, λ0n = ρ
∫
Σ
Ψ
∂ϕn
∂ν
dS,
I(w) = ρ
∫
Σ∪S0
Ψ
∂Ψ
∂ν
dS.
Здесь ρ – плотность жидкости.
Вычислим работу инерционных, массовых, вне-
шних и гидродинамических сил, действующих на
корпус резервуара на его возможных перемеще-
ниях, а также работу сил инерции, распределен-
ной нагрузки q(i)(z1, t) и сжимающей силы N (i)(z1)
(i=1, 2) на возможных перемещениях стержня с
учетом граничных условий (1). Тогда вариацион-
Ю. В. Троценко 55
ISSN 1028 -7507 Акустичний вiсник. 2012. Том 15, N 3. С. 53 – 66
ное уравнение (5) запишется как
2
∑
i=1
∫
G(i)
[
E(i)J (i) ∂
2w(i)
∂z2
1
∂2δw(i)
∂z2
1
−
−N (i)(z1)
∂w(i)
∂z1
∂δw(i)
∂z1
+
+ρ
(i)
1 S(i)ẅ(i)δw(i) − q(i)(z1, t)δw
(i)
]
dz1+
+
[
I
∂ẅ
∂z1
∂δw
∂z1
+ mzc
(
ẅ
∂δw
∂z1
+
∂ẅ
∂z1
δw
)
+
+mẅδw +
n0
∑
n=1
β̈n
(
λnδw − λ0n
∂δw
∂z1
)
−
−gmzc
∂w
∂z1
∂δw
∂z1
− g
n0
∑
n=1
βnλn
∂δw
∂z1
−
−PO∗y∗δw + MOx
∂δw
∂z1
]
z1=ζ
= 0.
(12)
Здесь I =I(0) + I(w) – момент инерции корпуса ре-
зервуара и подвижной жидкости относительно оси
Ox; m=m(0)+mw – общая масса резервуара и
жидкости;
zc =
m(0)zc0 + mwzcw
m(0) + mw
—
координата центра масс на оси Oz системы “резер-
вуар – жидкость”.
С помощью интегрирования по частям преобра-
зуем интегралы, входящие в уравнение (12) и со-
держащие производные от вариации прогиба стер-
жня. При этом упомянутое вариационное уравне-
ние примет вид
2
∑
i=1
∫
G(i)
[
L(i)(w(i)) − q(i)(z1, t)
]
δw(i)dz1+
+
[
M (2)∂δw(2)
∂z1
− Q
(2)
∗ δw(2)
]
z1=l
+
+
[
(
M (1) − M (2)
)∂δw
∂z1
+
(
Q
(2)
∗ − Q
(1)
∗
)
δw+
+
(
mẅ + mzc
∂ẅ
∂z1
+
n0
∑
n=1
β̈nλn − PO∗y∗
)
δw+
+
(
I
∂ẅ
∂z1
+ mzcẅ −
n0
∑
n=1
β̈nλ0n − gmzc
∂w
∂z1
−
−g
n0
∑
n=1
βnλn + MOx
)
∂δw
∂z1
]
z1=ζ
= 0,
(13)
где
L(i)(w(i)) =
∂2
∂z2
1
(
E(i)J (i) ∂
2w(i)
∂z2
1
)
+
+
∂
∂z1
(
N (i)∂w(i)
∂z1
)
+ ρ
(i)
1 S(i) ∂
2w(i)
∂t2
,
Q
(i)
∗ = Q(i) + N (i) ∂w(i)
∂z1
.
Учитывая произвольность вариаций δw(i) в
областях G(i), а также произвольность вариаций
δw и ∂δw/∂z1 при z1 = l и z1 =ζ, получим следую-
щую краевую задачу относительно прогиба стер-
жня:
L(i)(w(i)) = q(i)(z1, t) при z1 ∈ G(i),
M (2)|z1=l = 0, Q(2)|z1=l = 0,
[
Q
(2)
∗ − Q
(1)
∗
]
z1=ζ
= −
[
mẅ + mzc
∂ẅ
∂z1
+
+
n0
∑
n=1
β̈nλn − PO∗y∗
]
z1=ζ
,
[
M (1) − M (2)
]
z1=ζ
=
= −
[
I
∂ẅ
∂z1
+ mzcẅ −
n0
∑
n=1
β̈nλ0n−
−gmzc
∂w
∂z1
− g
n0
∑
n=1
βnλn + MOx
]
z1=ζ
,
[
w(1) = w(2) = w
]
z1=ζ
,
[
∂w(1)
∂z1
=
∂w(2)
∂z1
=
∂w
∂z1
]
z1=ζ
,
w(1)|z1=0 =
∂w(1)
∂z1
∣
∣
∣
∣
z1=0
= 0.
(14)
Соотношения (14) в областях G(i) относительно
функций w(i)(z1, t) представляют собой известные
уравнения изгибных колебаний сжатого осевой си-
лой N (i)(z1) стержня, к которому приложена рас-
пределенная нагрузка q(i)(z1, t).
Система (14) незамкнута, поскольку она вклю-
чает в себя неизвестные заранее обобщенные ко-
56 Ю. В. Троценко
ISSN 1028 -7507 Акустичний вiсник. 2012. Том 15, N 3. С. 53 – 66
ординаты βn(t). Для потенциала смещений жид-
кости χ(x, y, z, t) осталось невыполненным дина-
мическое граничное условие на свободной по-
верхности жидкости. Подставив в него выраже-
ние (7), после применения к полученному урав-
нению процедуры Бубнова – Галеркина, получаем
систему дифференциальных уравнений, связыва-
ющую обобщенные координаты βn(t) с прогибом
стержня и его углом поворота в сечении z1 =ζ [6]:
µn(β̈n + σ2
nβn)+
+
[
λnẅ − λ0n
∂ẅ
∂z1
− gλn
∂w
∂z1
]
z1=ζ
= 0
(n = 1, 2, . . . , n0),
(15)
где
µn = ρ
∫
Σ
ϕn
∂ϕn
∂ν
dS.
Совокупность уравнений (14) и (15) вместе с
дополнительно заданными начальными условия-
ми, заключающимися в распределении перемеще-
ний и скоростей жидкости на ее свободной поверх-
ности и по длине стержня при t=0, полностью
определяют взаимосвязанные колебания системы
“стержень – резервуар – жидкость” под воздействи-
ем приложенных к ней внешних сил.
Введем следующие безразмерные величины
(они обозначены черточкой сверху):
ϕn = R0ϕ̄n, Ψ = R2
0Ψ̄, t2 =
R0
g
t̄2,
λn = ρR3
0λ̄n, λ0n = ρR4
0λ̄0n,
σ2
n =
g
R0
σ̄2
n, µn = ρR3
0µ̄n,
I = ρR5
0Ī , w = R0w̄,
βn = R0β̄n, E(i)J (i) = E0J0Ē
(i)J̄ (i),
D̄ =
ρR5
0g
E0J0
, m = ρR3
0m̄, N =
E0J0
R2
0
N̄ ,
q =
E0J0
R3
0
q̄, PO∗y∗ =
E0J0
R2
0
P̄O∗y∗ ,
MOx =
E0J0
R0
M̄Ox.
(16)
Здесь E0J0 – изгибная жесткость стержня в его
характерном сечении; R0 – характерный линейный
размер рассматриваемой механической системы.
Тогда безразмерное вариационное уравне-
ние (12) и система (15) примут вид (черточки
над безразмерными величинами в дальнейшем
опускаем):
2
∑
i=1
∫
G(i)
[
E(i)J (i) ∂
2w(i)
∂z2
1
∂2δw(i)
∂z2
1
−
−N (i) ∂w(i)
∂z1
∂δw(i)
∂z1
+
+
ρ
(i)
1
ρ
DS(i) ∂2w(i)
∂t2
δw(i) − q(i)δw(i)
]
dz1+
+
{
D
[
∂3w
∂z1∂t2
∂δw
∂z1
+
+mzc
(
∂2w
∂t2
∂δw
∂z1
+
∂3w
∂z1∂t2
δw
)
+
+m
∂2w
∂t2
δw +
n0
∑
n=1
∂2βn
∂t2
(
λnδw − λ0n
∂δw
∂z1
)
−
−mzc
∂w
∂z1
∂δw
∂z1
−
n0
∑
n=1
βnλn
∂δw
∂z1
]
−
−PO∗y∗δw + MOx
∂δw
∂z1
}
z1=ζ
= 0,
(17)
µn
(
∂2βn
∂t2
+ σ2
nβn
)
+
+
(
λn
∂2w
∂t2
− λ0n
∂3w
∂z1∂t2
− λn
∂w
∂z1
)
z1=ζ
=0.
(18)
Коэффициенты этих уравнений определяются
с помощью квадратур, если известно решение
однородной спектральной задачи с параметром
в граничном условии (9) и неоднородной крае-
вой задачи Неймана (8) для потенциала Стокса –
Жуковского Ψ.
2. ВАРИАЦИОННЫЙ МЕТОД РЕШЕНИЯ
ЗАДАЧИ О СОБСТВЕННЫХ КОЛЕБАНИ-
ЯХ СИСТЕМЫ
Полученные уравнения позволяют осуществить
математическую постановку задачи, которая опи-
сывает свободные колебания рассматриваемой ме-
ханической системы c частотой ω. Для этого поло-
Ю. В. Троценко 57
ISSN 1028 -7507 Акустичний вiсник. 2012. Том 15, N 3. С. 53 – 66
жим (i=
√
−1):
q(k)(z1, t) = PO∗y∗ = MOx = 0,
w(k)(z1, t) = expiωt η(k)(z1),
βn(t) = expiωt cn.
(19)
После перехода к безразмерным величинам по-
лучим следующую краевую задачу относительно
функций η(i)(z1):
L
(i)
1 (η(i)) =
d2
dz2
1
(
E(i)J (i)d
2η(i)
dz2
1
)
+
+
d
dz1
(
N (i) dη(i)
dz1
)
−ω2 ρ
(i)
1
ρ
DS(i)η(i)=0,
z1 ∈ G(i), M (2)|z1=l = Q
(2)
∗ |z1=l = 0,
[
Q
(2)
∗ − Q
(1)
∗
]
z1=ζ
=
= ω2D
[
mη + mzc
dη
dz1
+
n0
∑
n=1
cnλn
]
z1=ζ
,
[
M (1) − M (2)
]
z1=ζ
=
= ω2D
[
I
dη
dz1
+ mzcη −
n0
∑
n=1
cnλ0n
]
z1=ζ
+
+Dmzc
dη
dz1
∣
∣
∣
∣
z1=ζ
+D
n0
∑
n=1
cnλn,
[
η(1) = η(2) = η
]
z1=ζ
,
[
dη(1)
dz1
=
dη(2)
dz1
=
dη
dz1
]
z1=ζ
,
η(1)
∣
∣
z1=0
=
dη(1)
dz1
∣
∣
∣
∣
z1=0
= 0.
(20)
После отделения временной координаты и пере-
хода к безразмерным величинам из вариационно-
го уравнения (12) можно получить эквивалентную
вариационную формулировку задачи (20):
δF1 =
2
∑
i=1
∫
G(i)
[
E(i)J (i) d
2η(i)
dz2
1
d2δη(i)
dz2
1
−
−N (i) dη(i)
dz1
dδη(i)
dz1
−
−ω2 ρ
(i)
1
ρ
DS(i)η(i)δη(i)
]
dz1+
+
[
p(η)δη + q(η)
dδη
dz1
]
z1=ζ
= 0.
(21)
Здесь
p(η) = −ω2D
(
mη + mzc
dη
dz1
+
n0
∑
n=1
cnλn
)
,
q(η) = −ω2D
(
I
dη
dz1
+ mzcη −
n0
∑
n=1
cnλ0n
)
−
−D
(
mzc
dη
dz1
+
n0
∑
n=1
cnλn
)
.
(22)
Вариационное уравнение (21) должно решаться
на классе функций, удовлетворяющих граничным
условиям
η(1)
∣
∣
z1=0
=
dη(1)
dz1
∣
∣
∣
∣
z1=0
= 0, (23)
[
η(1) = η(2) = η
]
z1=ζ
,
[
dη(1)
dz1
=
dη(2)
dz1
=
dη
dz1
]
z1=ζ
.
(24)
Остальные граничные условия, входящие в соот-
ношения (20), являются естественными условиями
для функционала F1.
К уравнениям (20) и (21) следует добавить урав-
нения, вытекающие из динамического граничного
условия на свободной поверхности жидкости (15):
µn(σ2
n − ω2)cn+
+
[
ω2
(
λ0n
dη
dz1
− λnη
)
− λn
dη
dz1
]
z1=ζ
= 0
(n = 1, 2, . . . , n0).
(25)
58 Ю. В. Троценко
ISSN 1028 -7507 Акустичний вiсник. 2012. Том 15, N 3. С. 53 – 66
Таким образом, определение частот и форм соб-
ственных колебаний упругой конструкции, несу-
щей резервуар с жидкостью, сведено к решению
спектральной задачи (20), (25), где частотный па-
раметр ω входит как в уравнения, так и в грани-
чные условия. Для случая, когда массовые и жес-
ткостные характеристики стержня кусочно посто-
янны, для решения подобной спектральной зада-
чи широкое применение получил численный ме-
тод начальных параметров [1, 2], в соответствии
с которым решения уравнения (21) для каждого
из участков с постоянными упруго-массовыми ха-
рактеристиками представляются в виде функций
Крылова. При его использовании постоянные ре-
шения для каждого из участков последовательно
выражают через решения для предыдущего участ-
ка. При этом удается построить матрицу перехода,
которая связывает вектор решений, соответству-
ющий сечению стержня z1 = l, с вектором реше-
ний, соответствующим сечению z1 =0. При удовле-
творении краевым условиям на последнем участ-
ке получают уравнение для частот. Поскольку оно
представляет собой довольно сложное трансцен-
дентное уравнение относительно параметра ω, то
нахождение его решения возможно только при
использовании численных методов типа метода
последовательных приближений.
В данном исследовании для построения прибли-
женного решения сформулированной спектраль-
ной задачи (20), (25) будем использовать ее экви-
валентную вариационную формулировку. Из ал-
гебраических уравнений (25) можно найти явные
выражения для коэффициентов cn, зависящих от
прогиба стержня и его угла поворота в сечении
z1 =ζ. После их подстановки в вариационное урав-
нение (21) в него будет нелинейно входить пара-
метр ω, что усложняет алгоритм нахождения соб-
ственных частот системы. Поэтому уравнения (25)
будем рассматривать как дополнительные соотно-
шения для нахождения решения вариационного
уравнения (21).
Таким образом, решение задачи о собственных
колебаниях рассматриваемой механической сис-
темы сведено к решению вариационного уравне-
ния (21) на классе функций, удовлетворяющих
главным граничным условиям (23) и (24). При
этом остальные граничные условия для вариа-
ционной задачи (21) оказываются естественными.
При использовании метода Ритца основные труд-
ности связаны с таким выбором апроксимирую-
щих выражений для перемещений стержня, кото-
рые обеспечивали бы непрерывность не только са-
мих перемещений η(i), но и их первых произво-
дных. Данное требование приводит к достаточно
сложным вариантам реализации метода (см., на-
пример, [7]). В связи с этим возникает проблема
построения такого вариационного уравнения, для
которого условия сопряжения (24) выполнялись
бы автоматически.
Если рассматривать граничные условия (24) как
дополнительные ограничения на класс допусти-
мых функций для вариационной задачи (21), мож-
но воспользоваться подходом Лагранжа для по-
строения нового функционала F , для которого со-
отношения (24) будут естественными граничными
условиями. Исходя из этого, представим вариаци-
онное уравнение для функционала F в следующем
виде:
δF (η(i), α1, α2) =
2
∑
i=1
∫
G(i)
[
E(i)J (i)×
×d2η(i)
dz2
1
d2δη(i)
dz2
1
− N (i) dη(i)
dz1
dδη(i)
dz1
−
−ω2 ρ
(i)
1
ρ
DS(i)η(i)δη(i)
]
dz1+
+
1
2
[
p(η(1))δη(1) + p(η(2))δη(2)
]
z1=ζ
+
+
1
2
[
q(η(1))
dδη(1)
dz1
+ q(η(2))
dδη(2)
dz1
]
z1=ζ
+
+δ
[
α1
(
η(2) − η(1)
)
+
+α2
(
dη(2)
dz1
− dη(1)
dz1
)]
z1=ζ
= 0.
(26)
Здесь α1 и α2 – так называемые множители Ла-
гранжа, подлежащие определению в дальнейшем.
Если выполнены кинематические условия сопря-
жения (24), то вариационное уравнение (26) пе-
реходит в соответствующее ему уравнение (21).
Теперь нахождение решения вариационной зада-
чи (21) относительно функций η(i), α1 и α2 должно
осуществляться на классе функций, удовлетворя-
ющих лишь главным граничным условиям (23).
Покажем, что множители α1 и α2 можно выра-
зить через решения η(i) (i=1, 2) и их производные
в точке z1 =ζ. Это дает возможность получить
обобщенное вариационное уравнение, когда α1 и
α2 в формуле (26) заменяются тождественно рав-
ными им выражениями, и существенно упростить
алгоритм решения исходной спектральной задачи.
Применив процедуру интегрирования по ча-
стям, выражение для δF представим в следующем
Ю. В. Троценко 59
ISSN 1028 -7507 Акустичний вiсник. 2012. Том 15, N 3. С. 53 – 66
виде:
δF =
2
∑
i=1
∫
G(i)
L
(i)
1 (η(i))δη(i)dz1+
+δα1
[
η(2) − η(1)
]
z1=ζ
+
+δα2
[
dη(2)
dz1
− dη(1)
dz1
]
z1=ζ
+
+
{
[
M (2)(η(2))
dδη(2)
dz1
− Q
(2)
∗ (η(2))δη(2)+
+
(
1
2
p(η(1)) − Q
(1)
∗ (η(1)) − α1
)
δη(1)+
+
(
1
2
p(η(2)) + Q
(2)
∗ (η(2)) + α1
)
δη(2)+
+
(
1
2
q(η(1)) + M (1)(η(1)) − α2
)
dδη(1)
dz1
+
+
(
1
2
q(η(2)) − M (2)(η(2))+
+α2
)
dδη(2)
dz1
}
z1=ζ
=0.
(27)
Вариационное уравнение (27) должно выполня-
ться для любых вариаций δη(i), δα1 и δα2. Отсюда
следует, что уравнениями Эйлера и естественными
граничными условиями для функционала F будут
уравнения и граничные условия спектральной за-
дачи (20). Кроме того, из уравнения (27) следуют
соотношения
α1 =
[
1
2
p(η(1)) − Q
(1)
∗ (η(1))
]
z1=ζ
,
α1 = −
[
1
2
p(η(2)) + Q
(2)
∗ (η(2))
]
z1=ζ
,
α2 =
[
1
2
q(η(1)) + M (1)(η(1))
]
z1=ζ
,
α2 = −
[
1
2
q(η(2)) − M (2)(η(2))
]
z1=ζ
.
(28)
Соотношения (28) позволяют определить соответ-
ствующие выражения для множителей Лагранжа:
α1 =
1
2
[
p(η(1)) − p(η(2))
2
−
−Q
(2)
∗ (η(2)) − Q
(1)
∗ (η(1))
]
z1=ζ
,
α2 =
1
2
[
q(η(1)) − q(η(2))
2
+
+M (2)(η(2)) + M (1)(η(1))
]
z1=ζ
.
(29)
Подстановка выражений (29) в вариационное
уравнение (27) позволяет избежать искусственно-
го повышения числа неизвестных задачи за счет
введенных множителей Лагранжа.
Перейдем к построению приближенного ре-
шения рассматриваемой спектральной задачи,
используя метод Ритца. В связи с этим предста-
вим искомые функции η(i)(z1) в виде следующих
отрезков обобщенных рядов:
η(1) =
m0
∑
j=1
ajV
(1)
j (z1),
η(2) =
m0
∑
j=1
bjV
(2)
j (z1).
(30)
Здесь
V
(1)
j (z1) = z2
1Pj
(
2z
ζ
− 1
)
;
V
(2)
j (z1) = Pj
(
2z
l − ζ
− l + ζ
l − ζ
)
;
Pj – смещенные на единицу по индексу j мно-
гочлены Лежандра с аргументами, преобразован-
ными на интервалы [0, ζ] и [ζ, l]. Система бази-
сных функций {V (1)
j (z1)} подчинена кинематиче-
ским граничным условиям задачи (23).
Подставим разложения (30) в вариационное
уравнение (26). Тогда функционал F (η) будет за-
висеть от 2m0+n0 переменных a1, a2, . . . , am0 , b1,
b2, . . . , bm0 , c1, c2, . . . , cn0 . Из условий (25) и (26)
получаем систему алгебраических уравнений вида
(A − ω2B) ~X = 0, (31)
где вектор столбец ~X имеет компоненты a1, a2,
. . . , am0 , b1, b2, . . . , bm0 , c1, c2, . . . , cn0 . При этом
элементы αij матрицы A определяются по следу-
60 Ю. В. Троценко
ISSN 1028 -7507 Акустичний вiсник. 2012. Том 15, N 3. С. 53 – 66
ющим формулам:
αij =
ζ
∫
0
[
E(1)J (1)
d2V
(1)
j
dz2
1
d2V
(1)
i
dz2
1
−
−N (1)dV
(1)
i
dz1
dV
(1)
j
dz1
]
dz1+
+
1
2
[
Q
(1)
i V
(1)
j + Q
(1)
j V
(1)
i −
−M
(1)
i
dV
(1)
j
dz1
− M
(1)
j
dV
(1)
i
dz1
]
z1=ζ
(i, j = 1, 2, . . . , m0),
αi,j+m0 =
1
2
[
Q
(2)
j V
(1)
i − Q
(1)
i V
(2)
j −
−Dmzc
dV
(1)
i
dz1
dV
(2)
j
dz1
+
+M
(1)
i
dV
(2)
j
dz1
− M
(2)
j
dV
(1)
i
dz1
]
z1=ζ
(i, j = 1, 2, . . . , m0),
αi,j+2m0 = −1
2
Dλj
dV
(1)
i
dz1
∣
∣
∣
∣
z1=ζ
(i = 1, 2, . . . , m0, j = 1, 2, . . . , n0),
αi+m0,j =
1
2
[
Q
(2)
i V
(1)
j − Q
(1)
j V
(2)
i −
−Dmzc
dV
(2)
i
dz1
dV
(1)
j
dz1
+
+M
(1)
j
dV
(2)
i
dz1
− M
(2)
i
dV
(1)
j
dz1
]
z1=ζ
(i, j = 1, 2, . . . , m0),
αi+m0,j+m0 =
l
∫
ζ
E(2)J (2)
d2V
(2)
j
dz2
1
d2V
(2)
i
dz2
1
−
−N (2) dV
(2)
i
dz1
dV
(2)
j
dz1
]
dz1+
+
1
2
[
M
(2)
i
dV
(2)
j
dz1
+ M
(2)
j
dV
(2)
i
dz1
−
−Q
(2)
i V
(2)
j − Q
(2)
j V
(2)
i
]
z1=ζ
,
(i, j = 1, 2, . . . , m0),
αi+m0,j+2m0 = −1
2
Dλj
dV
(2)
i
dz1
∣
∣
∣
∣
z1=ζ
(i = 1, 2, . . . , m0, j = 1, 2, . . . , n0),
αi+2m0,j = −1
2
Dλi
dV
(1)
j
dz1
∣
∣
∣
∣
z1=ζ
(i = 1, 2, . . . , n0, j = 1, 2, . . . , m0),
αi+2m0,j+m0 = −1
2
Dλi
dV
(2)
j
dz1
∣
∣
∣
∣
z1=ζ
(i = 1, 2, . . . , n0, j = 1, 2, . . . , m0),
αi+2m0,j+2m0 = δijDµiσ
2
i (i, j = 1, 2, . . . , n0).
В свою очередь, элементы βij матрицы B вычи-
сляются по формулам
βi,j = D
ζ
∫
0
ρ
(1)
1
ρ
S(1)V
(1)
i V
(1)
j dz1+
+
1
4
[
P
(1)
j V
(1)
i − P
(1)
i V
(1)
j +
+R
(1)
j
dV
(1)
i
dz1
− R
(1)
i
dV
(1)
j
dz1
]
z1=ζ
(i, j = 1, 2, . . . , m0),
βi,j+m0 =
1
4
[
P
(1)
i V
(2)
j + P
(2)
j V
(1)
i +
+R
(1)
i
dV
(2)
j
dz1
+ R
(2)
j
dV
(1)
i
dz1
]
z1=ζ
(i, j = 1, 2, . . . , m0),
Ю. В. Троценко 61
ISSN 1028 -7507 Акустичний вiсник. 2012. Том 15, N 3. С. 53 – 66
βi,j+2m0 =
1
2
D
[
λjV
(1)
i − λ0j
dV
(1)
i
dz1
]
z1=ζ
(i = 1, 2, . . . , m0, j = 1, 2, . . . , n0),
βi+m0,j =
1
4
[
P
(2)
i V
(1)
j + P
(1)
j V
(2)
i +
+R
(2)
i
dV
(1)
j
dz1
+ R
(1)
j
dV
(2)
i
dz1
]
z1=ζ
(i, j = 1, 2, . . . , m0),
βi+m0,j+m0 = D
l
∫
ζ
ρ
(2)
1
ρ
S(2)V
(2)
i V
(2)
j dz+
+
1
4
[
P
(2)
j V
(2)
i − P
(2)
i V
(2)
j +
+R
(2)
j
dV
(2)
i
dz1
− R
(2)
i
dV
(2)
j
dz1
]
z1=ζ
(i, j = 1, 2, . . . , m0),
βi+m0 ,j+2m0 =
1
2
D
[
λjV
(2)
i − λ0j
dV
(2)
i
dz1
]
z1=ζ
,
(i = 1, 2, . . . , m0, j = 1, 2, . . . , n0),
βi+2m0,j =
1
2
D
[
λiV
(1)
j − λ0i
dV
(1)
j
dz1
]
z1=ζ
(i = 1, 2, . . . , n0, j = 1, 2, . . . , m0),
βi+2m0,j+m0 =
1
2
D
[
λiV
(2)
j − λ0i
dV
(2)
j
dz1
]
z1=ζ
,
(i = 1, 2, . . . , n0, j = 1, 2, . . . , m0),
βi+2m0,j+2m0 = δijDµi (i, j = 1, 2, . . . , n0).
В приведенных формулах для коэффициентов
матриц A и B δij – символ Кронекера, а остальные
обозначения имеют следующий смысл:
Q
(k)
i = Q
(k)
∗ (V
(k)
i ); M
(k)
i = M (k)(V
(k)
i );
P
(k)
i = Dm
(
V
(k)
i + zc
dV
(k)
i
dz1
)
;
R
(k)
i = D
(
mzcV
(k)
i + I
dV
(k)
i
dz1
)
(k = 1, 2, i = 1, 2, . . . , m0).
Первые 2m0 уравнений алгебраической сис-
темы (31) получены из вариационного уравне-
ния (26), а последние n0 – из уравнений (25), пред-
варительно умноженных на коэффициент D (кро-
ме того, мы положили в них η=(η(1)+η(2))/2 при
z1 =ζ). Из приведенных выражений для αij и βij
легко видеть, что матрицы A и B симметричны.
Это их свойство является математическим выра-
жением консервативности рассматриваемой меха-
нической системы.
Таким образом, определение частот и форм соб-
ственных колебаний рассматриваемой механиче-
ской системы свелось к решению обобщенной ал-
гебраической задачи (31).
3. НЕКОТОРЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ РАСЧЕТОВ
Пусть тонкостенный стержень однороден и име-
ет цилиндрическую форму. Будем также полагать,
что резервуар представляет собой прямой круго-
вой цилиндр, прикрепленный к стержню с помо-
щью абсолютно жесткого шпангоута у своего осно-
вания и заполнен жидкостью на высоту h. В этом
случае для определения гидродинамических коэф-
фициентов λi, λ0i, µi, σi и I(w), входящих в сис-
тему алгебраических уравнений (31), можно во-
спользоваться формулами из работы [8].
Введем следующие обозначения:
• r0, δ – радиус и толщина стержня;
• a=r0/R0 – радиус стержня, отнесенный к ра-
диусу резервуара;
• l1 = l/r0, δ1 =δ/r0 – длина и толщина стержня,
отнесенные к его радиусу;
• ζ1 =ζ/r0 – точка крепления резервуара к стер-
жню.
Выберем в качестве характерного линейного
размера рассматриваемой механической системы
радиус резервуара R0. Безразмерные площадь по-
перечного сечения, его экваториальный момент
62 Ю. В. Троценко
ISSN 1028 -7507 Акустичний вiсник. 2012. Том 15, N 3. С. 53 – 66
Табл. 1. Значения частот ωi связанных колебаний рассматриваемой системы при l1 =28 и ζ1 =14
в зависимости от числа членов m0 и n0 в разложениях (30) и (7) соответственно
m0 ω1 ω2 ω3 ω4 ωn0+1 ωn0+2 ωn0+3
n0 = 1
4 1.30227 3.58888 18.6539 75.6249
6 1.30227 3.58700 18.6321 73.3952
8 1.30227 3.58700 18.6320 73.2925
10 1.30227 3.58700 18.6320 73.2925
12 1.30227 3.58700 18.6320 73.2925
n0 = 2
4 1.30226 2.30465 3.60426 18.7504 75.6459
6 1.30226 2.30465 3.60235 18.7286 73.4908
8 1.30226 2.30465 3.60235 18.7286 73.3882
10 1.30226 2.30465 3.60235 18.7286 73.3882
12 1.30226 2.30465 3.60235 18.7286 73.3882
n0 = 3
4 1.30226 2.30465 2.91837 3.61036 18.7743 75.6544
6 1.30226 2.30465 2.91836 3.60845 18.7525 73.5192
8 1.30226 2.30465 2.91836 3.60845 18.7525 73.4167
10 1.30226 2.30464 2.91836 3.60844 18.7525 73.4166
12 1.30226 2.30464 2.91836 3.60844 18.7525 73.4166
n0 = 4
4 1.30226 2.30466 2.91836 3.41495 3.61793 18.7837 75.6583
6 1.30226 2.30464 2.91835 3.41490 3.61606 18.7619 73.5312
8 1.30226 2.30464 2.91835 3.41490 3.61606 18.7618 73.4287
10 1.30226 2.30464 2.91835 3.41490 3.61606 18.7618 73.4286
12 1.30226 2.30464 2.91835 3.41490 3.61606 18.7618 73.4286
Табл. 2. Значения частот ωi связанных колебаний рассматриваемой системы
при l1 =28, m0=10 и ζ1=14 в зависимости от числа членов n0 в разложениях (7)
n0 5 6 7 8 9 10 11 12
ω5 3.61337 3.61282 3.61262 3.61253 3.61248 3.61245 3.61245 3.61243
ωn0+2 18.7665 18.7691 18.7708 18.7718 18.7726 18.7732 18.7736 18.7739
ωn0+3 73.4348 73.4383 73.4406 73.4421 73.4431 73.4439 73.4445 73.4449
инерции и коэффициент D (формулы (16)) можно
представить в виде
S = 2πa2δ1 , J = πa4δ1 ,
D = D1
1
πa4δ1
, D1 =
ρgR0
E0
.
Приведем некоторые результаты расчетов соб-
ственных колебаний рассматриваемой механиче-
ской системы, иллюстрирующие эффективность
предложенного метода решения спектральной за-
дачи и влияние колебаний жидкости в резервуаре
на частоты и формы колебаний системы в целом.
При этом были использованы следующие безра-
змерные величины:
ρ0/ρ = 7.8, D1 = 0.476 · 10−7,
a = 1.25, δ1 = 0.001, h = 1.0.
Масса резервуара не учитывалась.
В табл. 1 и 2 представлены значения частот ωi
связанных колебаний жидкости и упругого стер-
жня при l1 =28, ζ1 =14 в зависимости от числа
членов m0 и n0 в разложениях (30) и (7) соответ-
ственно.
Введем в рассмотрение частоты двух типов –
Ю. В. Троценко 63
ISSN 1028 -7507 Акустичний вiсник. 2012. Том 15, N 3. С. 53 – 66
Табл. 3. Зависимость парциальных частот
от безразмерной глубины жидкости в резервуаре
h σ1 σ2 σ3 ω∗
1 ω∗
2 ω∗
3
.20 .806 2.050 2.827 3.942 21.791 72.829
.40 1.074 2.277 2.919 3.747 19.537 72.656
.60 1.215 2.305 2.922 3.570 18.156 72.523
.80 1.287 2.309 2.922 3.409 17.233 72.425
1.00 1.323 2.309 2.922 3.263 16.583 72.344
1.20 1.341 2.309 2.922 3.129 16.107 72.249
1.40 1.349 2.309 2.922 3.006 15.751 72.106
1.60 1.353 2.309 2.922 2.892 15.479 71.878
1.80 1.355 2.309 2.922 2.787 15.268 71.531
2.00 1.356 2.309 2.922 2.690 15.104 71.037
2.20 1.356 2.309 2.922 2.599 14.976 70.370
2.40 1.357 2.309 2.922 2.514 14.876 69.511
2.60 1.357 2.309 2.922 2.435 14.797 68.445
2.80 1.357 2.309 2.922 2.361 14.736 67.167
3.00 1.357 2.309 2.922 2.290 14.689 65.678
{σi} и {ω∗
i }. Первые из них совпадают с частотами
колебаний жидкости в неподвижном резервуаре,
а вторые представляют собой частоты колебаний
упругого стержня с подвешенным к нему резер-
вуаром, поверхность жидкости в котором закрыта
жесткой крышкой – “заморожена”. Их можно по-
лучить из алгебраической системы (31), положив
в ней n0 =0. В этом случае исходная алгебраиче-
ская система порядка 2m0+n0 переходит в систе-
му порядка 2m0. Введение наборов {σi} и {ω∗
i }
соответствует разбиению исходной механической
системы на две подсистемы (парциальные систе-
мы). Поведение первых трех парциальных частот
в зависимости от безразмерной глубины жидкости
в резервуаре иллюстрирует табл. 3.
Сопоставление данных из табл. 1 и 3 при h=1
свидетельствует о том, что для принятых исхо-
дных данных первые три собственных частоты
системы близки к {σi}, тогда как частоты с но-
мерами ωn0+i близки к {ω∗
i } (i=1, 2, 3).
В дальнейшем будем различать два типа частот
системы “стержень – жидкость”. Первый из них –
это частоты, обусловленные в основном колеба-
ниями жидкости в резервуаре. В этом случае бу-
дем говорить о “преимущественно волновых коле-
баниях”. Ко второму типу относятся частоты, ко-
торые обусловлены в основном упругими и инер-
ционными свойствами стержня с подвешенной к
нему в определенном сечении массой жидкости.
Колебания свободной поверхности жидкости ска-
зываются на их значениях в меньшей степени, так
что здесь уместно вести речь о “преимущественно
упругих колебаниях” системы.
В данном примере при n0≤5 частоты, относя-
щиеся ко второму типу, начинаются с ωn0+1. При
увеличении значения n0 частоты первого и второ-
го типов перемешиваются. Дальнейшие расчеты
также показывают, что для получения младших
частот ωi первого типа с точностью до шести зна-
чащих цифр необходимо положить n0 = i+1 при
m0 =10 членов в разложении (30). Для получения
трех частот ωi второго типа с такой же точностью
необходимо положить n0 = i+15 и m0 =10.
Согласно работе [8], соответствующие получен-
ному потенциалу смещений амплитудные значе-
ния для i-ой формы колебаний свободной поверх-
ности жидкости имеют вид
ξi =
n0
∑
n=1
c(i)
n
J1(Knr)
J1(Kn)
sin η,
где J1(x) – функция Бесселя первого рода и перво-
го порядка; Kn – n-ый корень уравнения J ′
1(x)=0.
В дальнейшем векторы ~X(i) алгебраической сис-
темы (31) нормировались таким образом, чтобы
отклонения жидкости ξi в направлении оси Oz в
плоскости Oyz на стенке резервуара имели едини-
чную амплитуду.
Вычисление форм собственных колебаний рас-
сматриваемой механической системы показывает,
что предложенный алгоритм обеспечивает поточе-
чную сходимость решений и их первых трех прои-
64 Ю. В. Троценко
ISSN 1028 -7507 Акустичний вiсник. 2012. Том 15, N 3. С. 53 – 66
зводных для прогибов стержня как внутри обла-
стей G(1) и G(2), так и на их границе. Это позволя-
ет рассчитывать моменты и перерезывающие силы
в любом сечении стержня.
В табл. 4 представлены результаты провер-
ки выполнения граничных условий (20) в точке
z1 =ζ1 крепления резервуара к стержню, получен-
ные в результате подстановки в них построенных
приближенных решений для пятой формы колеба-
ний. Здесь через RQ и RM обозначены выражения
для правых частей соответствующих силовых гра-
ничных условий, входящих в (20). Символы ∓ ука-
зывают на соответствующие предельные величи-
ны, вычисленные при подходе к точке z1 =ζ1 слева
и справа. Из таблицы следует, что предложенный
в данной работе обобщенный функционал обеспе-
чивает выполнение с высокой точностью кинема-
тических и силовых граничных условий сопряже-
ния в точке z1 =ζ1. Все это свидетельствует о до-
статочной эффективности разработанного способа
решения рассматриваемой спектральной задачи.
На рис. 2 показана зависимость связанных и
парциальных частот от относительной глубины
h заполнения жидкостью резервуара при l1 =28
и ζ1 =14. Здесь сплошные кривые соответствуют
двум низшим частотам ω1 и ω2 связанных коле-
баний стержня и жидкости, штриховые – парци-
альным частотам σ1 и σ2, а штрих-пунктирная –
парциальной частоте ω∗
1 (их численные значения
см. в табл. 3).
Как и следовало ожидать, если парциальные ча-
стоты близки друг к другу, то ω1 и ω2 наиболее
значимо отличаются от них. Дело в том, что при
совпадении частот парциальных систем силовое
воздействие колеблющейся жидкости на опору на-
ступает в моменты времени, благоприятные для
передачи энергии от жидкости к стержню и на-
блюдается сильное взаимодействие парциальных
систем. Если же парциальные частоты разнесены,
то в некотором приближении можено считать, что
каждая подсистема колеблется сама по себе. Эти
выводы полностью согласуются с общей теорией
колебаний механических систем [9].
На рис. 3 представлены формы колебаний жид-
кости и стержня для первых двух низших частот
колебаний рассматриваемой механической систе-
мы при некоторых значениях глубины h заполне-
ния резервуара жидкостью. Из графиков следует,
что, когда система совершает колебания с часто-
той ω1, жидкость и упругий стержень двигаются
в одной фазе. Если же система колеблется с ча-
стотой ω2, то жидкость и стержень двигаются со
сдвигом фаз на 180◦.
Отметим, что предложенный алгоритм также
0 2 4 6 8 10
1
1.5
2
2.5
h
ω
i
ω
2
ω
1
∗
σ
2
σ
1
ω
1
Рис. 2. Зависимость связанных и парциальных
частот системы от глубины h заполнения
резервуара жидкостью
Табл. 4. Значения функций η5∓(ζ1), η′
5∓(ζ1),
а также левых и правых частей граничных
условий (20) при l1 =28, ζ1=14
η5−(ζ1) −0.369381062
η5+(ζ1) −0.369381062
η′
5−(ζ1) −0.352173074 · 10−1
η′
5+(ζ1) −0.352173074 · 10−1
[
Q
(2)
∗ − Q
(1)
∗
]
z1=ζ1
−0.487448281 · 10−4
RQ −0.487448349 · 10−4
[
M (1) − M (2)
]
z1=ζ1
−0.589616197 · 10−4
RM −0.589616147 · 10−4
позволяет рассчитывать конструкцию, в которой
резервуар с жидкостью жестко прикреплен к верх-
нему торцу стержня. Сравнение расчетных дан-
ных для этого случая с соответствующими ре-
зультатами исследования [8], проведенное с целью
независимого контроля вычислений, показало их
полное совпадение.
ЗАКЛЮЧЕНИЕ
Приведена математическая модель динамики
упругих стержней, имеющих подвесные резервуа-
ры с идеальной жидкостью, на которые действуют
сосредоточенные и распределенные внешние на-
грузки общего вида.
На этой основе сформулирована спектральная
задача, описывающая собственные поперечные ко-
лебания рассматриваемой конструкции и разрабо-
тан метод ее решения. Поскольку вторые и высшие
производные от прогибов стержня в точке крепле-
ния резервуара к стержню имеют разрывы перво-
го рода, использовано разбиение области опреде-
ления искомых функций на две подобласти со
Ю. В. Троценко 65
ISSN 1028 -7507 Акустичний вiсник. 2012. Том 15, N 3. С. 53 – 66
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
r/R
0
ξ 1
9.0
h=5.0
0 5 10 15 20 25 30
0
0.5
1
1.5
2
z
1
/r
0
η 1
9.0
h=5.0
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1
0
0.5
1
1.5
r/R
0
ξ 2
5.0
h=9.0
0 5 10 15 20 25 30
−2
−1.5
−1
−0.5
0
z
1
/r
0
η 2
h=9.0
5.0
Рис. 3. Формы колебаний стержня и жидкости
при различных глубинах h заполнения
резервуара жидкостью
смежной точкой в месте крепления резервуара к
стержню.
Для решения поставленной задачи сопряжения
сформулирован обобщенный функционал, для ко-
торого условия сопряжения решений в смежной
точке введенных подобластей являются естествен-
ными граничными условиями. После применения
метода Ритца для решения сформулированной ва-
риационной задачи исходная постановка сведена к
анализу обобщенной алгебраической проблемы на
собственные значения.
Проведенные вычисления показали на доста-
точную эффективность предлагаемого алгоритма
решения и возможность существенного влияния
волновых движений жидкости в резервуаре на ко-
лебания стержня.
1. Микишев Г. Н., Рабинович Б. И. Динамика тон-
костенных конструкций с отсеками, содержащими
жидкость.– М.: Машиностроение, 1971.– 568 с.
2. Рабинович Б. И., Шмаков В. П., Кобычкин В. С.
К теории колебаний конструкций, несущих упругие
резервуары с жидкостью // Исследования по тео-
рии сооружений.– М.: Стройиздат, 1970.– С. 68–84.
3. Forsberg K. Axisymmetric and beam-type vibrations
of thin cylindrical shells // AIAA J.– 1969, 2.– P. 221–
227.
4. Trotsenko Yu. V. Frequencies and modes of vibrati-
on of a cylindrical shell with attached rigid body //
J. Sound Vib.– 2006, 292.– P. 535–551.
5. Gavrilyuk I., Hermann M., Trotsenko Yu., Timokha A.
Eigenoscillations of three- and two-element flexible
systems // Int. J. Solids Struct.– 2010, 47.– P. 1857–
1870.
6. Троценко В. А., Троценко Ю. В. Математическая
модель поперечных движений резервуара с жидко-
стью, закрепленного на упругой опоре // Проблеми
динамiки та стiйкостi багатовимiрних систем: Зб.
праць Iн-ту матем. НАН України.– 2009.– 6, № 3.–
С. 215–231.
7. Троценко В. А. Об одном подходе к решению осе-
симметричных задач статики мягких нелинейно-
упругих оболочек вращения вариационным мето-
дом // Моделирование динамических процессов
взаимодействия в системах тел с жидкостью.– К.:
Ин-т матем. АН УССР.– 1990.– С. 43–51.
8. Троценко В. А., Троценко Ю. В. Поперечные ко-
лебания упругого стержня, несущего на свободном
конце резервуар с жидкостью // Акуст. вiсн.–
2010.– 13, № 3.– С. 51–67.
9. Мандельштам Л. И. Лекции по теории колебаний.–
М.: Наука, 1972.– 470 с.
66 Ю. В. Троценко
|