Згинні коливання біморфного п'єзокерамічного стержня
Розглянуто задачу про поперечні коливання біморфного п'єзокерамічного стержня. Визначені частоти резонансу й антирезонансу. Отримані значення коефіцієнта електромеханічного зв'язку (КЕМЗ) за формулою Мезона й за енергетичним критерієм. Наведені результати експериментальних досліджень...
Збережено в:
| Дата: | 2012 |
|---|---|
| Автори: | , , , |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Ukrainian |
| Опубліковано: |
Інститут гідромеханіки НАН України
2012
|
| Назва видання: | Акустичний вісник |
| Онлайн доступ: | http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/116183 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Цитувати: | Згинні коливання біморфного п'єзокерамічного стержня / О.В. Борисейко, В.М. Нікітенко, А.О. Павлик, І.А. Улітко // Акустичний вісник — 2012. —Т. 15, № 4. — С. 3-6. — Бібліогр.: 4 назв. — укр. |
Репозитарії
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
irk-123456789-116183 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
irk-123456789-1161832017-04-22T03:02:39Z Згинні коливання біморфного п'єзокерамічного стержня Борисейко, О.В. Нікітенко, В.М. Павлик, А.О. Улітко, І.А. Розглянуто задачу про поперечні коливання біморфного п'єзокерамічного стержня. Визначені частоти резонансу й антирезонансу. Отримані значення коефіцієнта електромеханічного зв'язку (КЕМЗ) за формулою Мезона й за енергетичним критерієм. Наведені результати експериментальних досліджень Рассмотрена задача о поперечных колебаниях биморфного пьезокерамического стержня. Определены частоты резонанса и антирезонанса. Получены значения коэффициента электромеханической связи (КЭМС) по формуле Мэзона и по энергетическому критерию. Приведены результаты экспериментальных исследований. A problem on bending vibration of the bimorph piezoceramic rod is considered. The resonance and antiresonance frequencies are defined. The values of electromechanical coupling factor (ECF) are obtained by Mason's formula and energy criterion. The experimental results are presented. 2012 Article Згинні коливання біморфного п'єзокерамічного стержня / О.В. Борисейко, В.М. Нікітенко, А.О. Павлик, І.А. Улітко // Акустичний вісник — 2012. —Т. 15, № 4. — С. 3-6. — Бібліогр.: 4 назв. — укр. 1028-7507 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/116183 539.3 uk Акустичний вісник Інститут гідромеханіки НАН України |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| language |
Ukrainian |
| description |
Розглянуто задачу про поперечні коливання біморфного п'єзокерамічного стержня. Визначені частоти резонансу й антирезонансу. Отримані значення коефіцієнта електромеханічного зв'язку (КЕМЗ) за формулою Мезона й за енергетичним критерієм. Наведені результати експериментальних досліджень |
| format |
Article |
| author |
Борисейко, О.В. Нікітенко, В.М. Павлик, А.О. Улітко, І.А. |
| spellingShingle |
Борисейко, О.В. Нікітенко, В.М. Павлик, А.О. Улітко, І.А. Згинні коливання біморфного п'єзокерамічного стержня Акустичний вісник |
| author_facet |
Борисейко, О.В. Нікітенко, В.М. Павлик, А.О. Улітко, І.А. |
| author_sort |
Борисейко, О.В. |
| title |
Згинні коливання біморфного п'єзокерамічного стержня |
| title_short |
Згинні коливання біморфного п'єзокерамічного стержня |
| title_full |
Згинні коливання біморфного п'єзокерамічного стержня |
| title_fullStr |
Згинні коливання біморфного п'єзокерамічного стержня |
| title_full_unstemmed |
Згинні коливання біморфного п'єзокерамічного стержня |
| title_sort |
згинні коливання біморфного п'єзокерамічного стержня |
| publisher |
Інститут гідромеханіки НАН України |
| publishDate |
2012 |
| url |
http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/116183 |
| citation_txt |
Згинні коливання біморфного п'єзокерамічного стержня / О.В. Борисейко, В.М. Нікітенко, А.О. Павлик, І.А. Улітко // Акустичний вісник — 2012. —Т. 15, № 4. — С. 3-6. — Бібліогр.: 4 назв. — укр. |
| series |
Акустичний вісник |
| work_keys_str_mv |
AT borisejkoov zginníkolivannâbímorfnogopêzokeramíčnogosteržnâ AT níkítenkovm zginníkolivannâbímorfnogopêzokeramíčnogosteržnâ AT pavlikao zginníkolivannâbímorfnogopêzokeramíčnogosteržnâ AT ulítkoía zginníkolivannâbímorfnogopêzokeramíčnogosteržnâ |
| first_indexed |
2025-07-08T09:58:41Z |
| last_indexed |
2025-07-08T09:58:41Z |
| _version_ |
1837072355082371072 |
| fulltext |
ISSN 1028 -7507 Акустичний вiсник. 2012. Том 15, N 4. С. 3 – 6
УДК 539.3
ЗГИННI КОЛИВАННЯ БIМОРФНОГО
П’ЄЗОКЕРАМIЧНОГО СТЕРЖНЯ
О. В. Б ОР И СЕЙ К О∗, В. М. Н IК IТЕН К О,
А. О. П А В Л И К, I. А. У Л IТК О
Київський нацiональний унiверситет iменi Тараса Шевченка
вул. Володимирська, 64/13, 01601, МСП, Київ, Україна
∗E-mail: b123@voliacable.com
Одержано 12.01.2012
Розглянуто задачу про поперечнi коливання бiморфного п’єзокерамiчного стержня. Визначенi частоти резонансу
й антирезонансу. Отриманi значення коефiцiєнта електромеханiчного зв’язку (КЕМЗ) за формулою Мезона й за
енергетичним критерiєм. Наведенi результати експериментальних дослiджень.
КЛЮЧОВI СЛОВА: бiморф, стержень, КЕМЗ, енергетичний критерiй
Рассмотрена задача о поперечных колебаниях биморфного пьезокерамического стержня. Определены частоты
резонанса и антирезонанса. Получены значения коэффициента электромеханической связи (КЭМС) по формуле
Мэзона и по энергетическому критерию. Приведены результаты экспериментальных исследований.
КЛЮЧЕВЫЕ СЛОВА: биморф, стержень, КЭМС, энергетический критерий
A problem on bending vibration of the bimorph piezoceramic rod is considered. The resonance and antiresonance
frequencies are defined. The values of electromechanical coupling factor (ECF) are obtained by Mason’s formula and
energy criterion. The experimental results are presented.
KEY WORDS: bimorph, rod, ECF, energy criterion
ВСТУП
П’єзокерамiчнi елементи широко застосовую-
ться як перетворювачi електричної енергiї в енер-
гiю механiчної деформацiї й навпаки, тому важли-
во реалiстично оцiнювати їхню ефективнiсть. Пе-
ретворення енергiї на деформацiях згину можна
дослiдити на прикладi коливань елементiв бiмор-
фної структури. Ступiнь ефективностi перетворе-
ння енергiї – коефiцiєнт електромеханiчного зв’яз-
ку (КЕМЗ) – для найпростiших п’єзоелементiв ви-
значають за емпiричною формулою Мезона [3]. У
випадку бiморфних елементiв її використання мо-
же призвести до суттєвих похибок у порiвняннi з
уточненими результатами, отриманими за так зва-
ним енергетичним критерiєм [2]. У цiй статтi зга-
дану проблему буде проаналiзовано на прикладi
згинних коливань бiморфного стержня.
1. ПОСТАНОВКА ЗАДАЧI
Розглядаються усталенi згиннi коливання бi-
морфного п’єзокерамiчного стержня розмiрами
2l×2b×h (див. рисунок) пiд дiєю змiнного в часi
електричного навантаження. Змiнна рiзниця еле-
ктричних потенцiалiв з круговою частотою ω пiд-
x
z
0
O
y
V
2
0
V
2
0
Рисунок. Структура бiморфного п’єзостержня
водиться до електродованих поверхонь стержня
z=±h/2. Електрод у серединнiй поверхнi стержня
z=0 не навантажений. Усi поверхнi стержня вiльнi
вiд механiчних навантажень.
Рiвняння коливань для функцiї прогину сере-
динної поверхнi w бiморфа у рамках теорiї Кiрх-
гофа спiвпадає з рiвнянням для випадку одноша-
рового стержня [4]:
∂4ŵ
∂x4
− β4ŵ = 0, (1)
c© О. В. Борисейко, В. М. Нiкiтенко, А. О. Павлик, I. А. Улiтко, 2012 3
ISSN 1028 -7507 Акустичний вiсник. 2012. Том 15, N 4. С. 3 – 6
де
β4 =
ρh
D∗
,
D∗ =
h3
12
1
sE
11
(1 − k2
31
)
.
(2)
Аналогiчний вигляд мають i механiчнi граничнi
умови для краю, вiльного вiд механiчних наван-
тажень:
Mx|x=±l = 0, Qx|x=±l = 0. (3)
Вiдмiннiсть задачi для стержня бiморфної стру-
ктури полягає у змiнi розподiлу товщинних ком-
понентiв напруженостi електричного поля й еле-
ктричної iндукцiї. У процесi деформування одна
частина буде знаходитись у станi комбiнованого
розтягу – згину, а iнша – стиску – згину. Матема-
тично ця вiдмiннiсть враховується змiною знаку
сталої п’єзоефекту d31 у рiвняннях стану.
Згiдно з [2], вираз для товщинної компоненти
напруженостi електричного поля внаслiдок рiзних
напрямкiв поляризацiї шарiв керамiки має вигляд
Ez = E0 ± zE1. (4)
У формулi (4) верхнiй знак вiдповiдає нижнiй ча-
стинi стержня (z≥0), а нижнiй – його верхнiй ча-
стинi (z≤0).
Товщинний розподiл компонентiв зв’язаного
електричного поля визначимо, використавши рiв-
няння вимушеної електростатики:
Ez = −
∂ψ
∂z
, div~D = 0. (5)
Величина E0 визначається з електричних грани-
чних умов
ψ|z=±h = ±
V0(t)
2
. (6)
Тодi вираз для Ez (4) набуває вигляду
Ez = −
V0
h
−
(
h
4
∓ z
)
E1. (7)
З другого рiвняння (5) отримуємо
Dz = const. (8)
Тодi з рiвнянь п’єзоефекту [2] з урахуванням гiпо-
тез про лiнiйнiсть розподiлу механiчних деформа-
цiй за товщиною стержня отримуємо остаточний
вираз для товщинної компоненти вектора напру-
женостi електричного поля:
Ez = −
V0
h
−
1
d31
k2
31
1 − k2
31
(
h
4
∓ z
)
∂2w
∂x2
. (9)
Тут k2
31 – поздовжнiй статичний коефiцiєнт еле-
ктромеханiчного зв’язку.
Спiввiдношення для товщинної компоненти еле-
ктричної iндукцiї Dz має вигляд
Dz = −εT
33(1 − k2
31)×
×
(
V0
h
+
h
4d31
k2
31
(1 − k2
31
)
∂2w
∂x2
)
.
(10)
Деформацiя εx визначається спiввiдношеннями
Кошi
εx =
∂ux
∂x
(11)
та кiнематичною гiпотезою
ux = −z
∂w
∂x
. (12)
Компонента напружень σx задається рiвнянням
п’єзоефекту
σx =
1
sE
11
(εx ∓ d31(1 + ν)Ez) . (13)
Провiвши iнтегрування, отримуємо вираз для зги-
наючого моменту Mx:
Mx =
h/2
∫
−h/2
σxdz =
= −D∗
(
1 −
3
4
k2
31
)
∂2w
∂x2
+
h2
4
d31
sE
11
V0
h
.
(14)
2. ПОБУДОВА РОЗВ’ЯЗКУ ЗАДАЧI
Загальний розв’язок задачi (1), (3), зважаючи
на симетрiю, буде мiстити лише парнi функцiї:
ŵ = A cosβx + Cchβx. (15)
Для визначення сталих iнтегрування A i C з гра-
ничних умов (3) отримаємо систему лiнiйних ал-
гебраїчних рiвнянь:
−Aβ2 cos βl +Cβ2chβl = P ∗,
Aβ3 sinβl + Cβ3sh βl = 0,
(16)
де
P ∗ =
h
4
d31V0
sE
11D ∗
(
1 −
3
4
k2
31
) .
Звiдси маємо
C = −
P ∗
β
sinβl
∆
, A =
P ∗
β2
shβl
∆
, (17)
4 О. В. Борисейко, В. М. Нiкiтенко, А. О. Павлик, I. А. Улiтко
ISSN 1028 -7507 Акустичний вiсник. 2012. Том 15, N 4. С. 3 – 6
Таблиця. Резонанснi частоти та КЕМЗ
№ АНАЛIТИЧНI РОЗРАХУНКИ ЕКСПЕРИМЕНТ
(βl)p (βl)а k2
d k2
d Резонанс, Антирезонанс, k2
d
(Mезон) (енерг. кр.) кГц кГц (Мезон)
1 2.365 2.4 0.0289 0.0365 6.25 6.2 0.0243
2 5.5 5.51 0.0058 0.0072 37.33 37.52 0.004
3 8.639 8.650 0.0024 0.003 − − −
де
∆ = −β(cos βlsh βl + chβl sinβl). (18)
Резонанснi частоти коливань бiморфного стер-
жня визначаються з умов нескiнченного зростан-
ня амплiтуди струму змiщення, а антирезонанснi –
з умови її рiвностi нулю:
Î = ∞, Î = 0. (19)
Струм змiщення визначається за формулою [2]:
I = −
d
dt
∫∫
S+
1
DzdS. (20)
Тодi з (10) та (15) отримуємо
Î = iωC0V0
1 −
1
∆
β
2l
3k2
31
1 −
3
4
k2
31
sinβlshβl
, (21)
де статична електрична ємнiсть бiморфного п’є-
зокерамiчного стержня при нульових деформацiях
дається формулою
C0 = εT
33(1 − k2
31)
4bl
h
. (22)
Таким чином, резонанснi частоти знаходимо, при-
рiвнявши до нуля визначник (18). Атирезонан-
снi ж частоти визначаються нулями виразу (21).
Їхнi значення й величини вiдповiдних динамiчних
КЕМЗ, розрахованi за емпiричною формулою Ме-
зона [3], наведенi у таблицi.
Для того, щоб незалежно оцiнити отриманi ре-
зультати, було проведено розрахунок КЕМЗ за до-
помогою енергетичного критерiю [2]:
k2
d =
Up − Uk
Up
. (23)
Тут Up – повна енергiя у стержнi з розiмкненими
електродами:
∫∫
S+
Dzds = 0 (24)
на отриманому полi деформацiй; Uk – повна енер-
гiя у тому ж стержнi для випадку коротко замкне-
них електродiв:
V0
h
= 0. (25)
Повна енергiя для стержня з коротко замкненими
електродами визначається за формулою
Uk =
h3b
8sE
11
(1 − k2
31
)
P ∗2β3
∆2
(
1
3
+
3k2
31
4
)
×
×
{
sh 2βl(2βl+sin 2βl)+sin2 βl(2βl + sh 2βl)+
+2shβl sinβl(ch βl sinβl+cos βlsh βl)
}
.
(26)
Рiзниця у чисельнику виразу (23) визначається як
Up − Uk =
bh3
32lsE
11
k2
31
1 − k2
31
l
∫
−l
∂2ω
∂x2
dx
2
. (27)
Вiдповiднi результати наведенi у таблицi ра-
зом зi значеннями резонансних та антирезонан-
сних частот, а також КЕМЗ, отриманими експе-
риментальним шляхом. Зазначимо, що в експери-
ментi було дослiджено зразок довжини 2l=63 мм,
ширини 2b=10 мм й товщини h=5 мм, виготовле-
ний з керамiки цирконату титанату свинцю PZT-
4 [2, 3].
ВИСНОВКИ
Величини КЕМЗ, отриманi при згинних колива-
ннях бiморфного п’єзокерамiчного стержня з тов-
щинною поляризацiєю, приблизно в чотири ра-
зи нижчi, нiж для випадку поздовжнiх коливань
стержня з товщинно поляризованої п’єзокерамiки,
при яких динамiчний (на першiй робочiй частотi)
та статичний КЕМЗ, у тому числi й отриманi за
енергетичним критерiєм, мають практично рiвнi
значення [4]. При згинних же коливаннях бiморфа
вiдмiнностi у значеннях КЕМЗ на першiй резонан-
снiй частотi бiльш iстотнi i складають до 30 %.
О. В. Борисейко, В. М. Нiкiтенко, А. О. Павлик, I. А. Улiтко 5
ISSN 1028 -7507 Акустичний вiсник. 2012. Том 15, N 4. С. 3 – 6
Застосування емпiричної формули Мезона при-
зводить до отримання дещо занижених результа-
тiв. Це пояснюється, насамперед, неоднорiднiстю
поля деформацiй комбiнованого розтягу – стиску
по товщинi стержня. Якiсно схожi данi були отри-
манi ранiше при розв’язаннi аналогiчної задачi
про згиннi коливання бiморфного п’єзокерамiчно-
го диска [1].
Розрахунковi результати щодо КЕМЗ при згин-
них коливаннях бiморфного стержня пiдтвердженi
експериментально.
1. Борисейко О. В, Остапчук В. В., Улiтко I. А. Про
визначення динамiчних КЕМЗ на згинних коли-
ваннях круглої бiморфної платiвки // Вiсн. Київ.
ун-ту. Сер.: Мат. мех..– 2006.– 17.– С. 45–48.
2. Гринченко В. Т., Улитко А. Ф., Шульга Н. А.
Электроупругость / Механика связанных полей в
элементах конструкций: том 5.– К.: Наук. думка,
1989.– 280 с.
3. Мэзон У. П. Пьезоэлектрические кристаллы и их
применение в ультраакустике.– М.: Изд-во иностр.
лит., 1952.– 448 с.
4. Улiтко А. Ф., Борисейко О. В., Улiтко I. А. При-
кладнi методи в задачах електропружностi.– К.:
ВПЦ “Київський унiверситет”, 2007.– 128 с.
6 О. В. Борисейко, В. М. Нiкiтенко, А. О. Павлик, I. А. Улiтко
|