Влияние механических характеристик контактирующих сред на отражающие свойства границы в составном упругом волноводе

На основе метода суперпозиции рассчитана дифракция антисимметричных волн Рэлея-Лэмба на вертикальной границе волновода, образованного при жестком контакте двух полуполос одинаковой высоты, но с различными упругими свойствами. Эффективность метода обеспечивается учетом характера особенности по напряж...

Повний опис

Збережено в:

Бібліографічні деталі
Дата:	2012
Автори:	Городецкая, Н.С., Недилько, Е.А.
Формат:	Стаття
Мова:	Russian
Опубліковано:	Інститут гідромеханіки НАН України 2012
Назва видання:	Акустичний вісник
Онлайн доступ:	http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/116185
Теги:	Додати тег Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
Назва журналу:	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
Цитувати:	Влияние механических характеристик контактирующих сред на отражающие свойства границы в составном упругом волноводе / Н.С. Городецкая, Е.А. Недилько // Акустичний вісник — 2012. —Т. 15, № 4. — С. 14-23. — Бібліогр.: 17 назв. — рос.

Репозитарії

Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine

id	irk-123456789-116185
record_format	dspace
spelling	irk-123456789-1161852017-04-22T03:02:42Z Влияние механических характеристик контактирующих сред на отражающие свойства границы в составном упругом волноводе Городецкая, Н.С. Недилько, Е.А. На основе метода суперпозиции рассчитана дифракция антисимметричных волн Рэлея-Лэмба на вертикальной границе волновода, образованного при жестком контакте двух полуполос одинаковой высоты, но с различными упругими свойствами. Эффективность метода обеспечивается учетом характера особенности по напряжениям, возникающей в угловой точке на линии контакта при определенном сочетании упругих характеристик сред. Проведен анализ трансформации энергии падающей волны в отраженные и прошедшие волны. На базі методу суперпозиції розраховано дифракцію антисиметричних хвиль Релея-Лемба на вертикальній межі хвилеводу, утвореного при жорсткому контакті двох півсмуг однакової висоти, але з різними пружними властивостями. Ефективність методу забезпечується урахуванням характеру особливості по напруженнях, яка виникає у кутовій точці на лінії контакту при певному поєднанні пружних характеристик середовищ. Проведено аналіз трансформації енергії падаючої хвилі у видбиті й прохідні хвилі. On the basis of a superposition method, diffraction of antisymmetric Rayleigh-Lamb waves on a vertical boundary of a waveguide formed by a rigid contact of two halfstrips with equal heights, but different elastic properties is calculated. The efficiency of the method is provided by accounting for stress singularity occurring in the edge of a contact line at particular combinations of elastic properties of media. The analysis of energy transformation of the incidence wave into the reflected and transmitted ones is carried out. 2012 Article Влияние механических характеристик контактирующих сред на отражающие свойства границы в составном упругом волноводе / Н.С. Городецкая, Е.А. Недилько // Акустичний вісник — 2012. —Т. 15, № 4. — С. 14-23. — Бібліогр.: 17 назв. — рос. 1028-7507 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/116185 539.3 ru Акустичний вісник Інститут гідромеханіки НАН України
institution	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
collection	DSpace DC
language	Russian
description	На основе метода суперпозиции рассчитана дифракция антисимметричных волн Рэлея-Лэмба на вертикальной границе волновода, образованного при жестком контакте двух полуполос одинаковой высоты, но с различными упругими свойствами. Эффективность метода обеспечивается учетом характера особенности по напряжениям, возникающей в угловой точке на линии контакта при определенном сочетании упругих характеристик сред. Проведен анализ трансформации энергии падающей волны в отраженные и прошедшие волны.
format	Article
author	Городецкая, Н.С. Недилько, Е.А.
spellingShingle	Городецкая, Н.С. Недилько, Е.А. Влияние механических характеристик контактирующих сред на отражающие свойства границы в составном упругом волноводе Акустичний вісник
author_facet	Городецкая, Н.С. Недилько, Е.А.
author_sort	Городецкая, Н.С.
title	Влияние механических характеристик контактирующих сред на отражающие свойства границы в составном упругом волноводе
title_short	Влияние механических характеристик контактирующих сред на отражающие свойства границы в составном упругом волноводе
title_full	Влияние механических характеристик контактирующих сред на отражающие свойства границы в составном упругом волноводе
title_fullStr	Влияние механических характеристик контактирующих сред на отражающие свойства границы в составном упругом волноводе
title_full_unstemmed	Влияние механических характеристик контактирующих сред на отражающие свойства границы в составном упругом волноводе
title_sort	влияние механических характеристик контактирующих сред на отражающие свойства границы в составном упругом волноводе
publisher	Інститут гідромеханіки НАН України
publishDate	2012
url	http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/116185
citation_txt	Влияние механических характеристик контактирующих сред на отражающие свойства границы в составном упругом волноводе / Н.С. Городецкая, Е.А. Недилько // Акустичний вісник — 2012. —Т. 15, № 4. — С. 14-23. — Бібліогр.: 17 назв. — рос.
series	Акустичний вісник
work_keys_str_mv	AT gorodeckaâns vliâniemehaničeskihharakteristikkontaktiruûŝihsrednaotražaûŝiesvojstvagranicyvsostavnomuprugomvolnovode AT nedilʹkoea vliâniemehaničeskihharakteristikkontaktiruûŝihsrednaotražaûŝiesvojstvagranicyvsostavnomuprugomvolnovode
first_indexed	2025-07-08T09:58:52Z
last_indexed	2025-07-08T09:58:52Z
_version_	1837072367232221184
fulltext	ISSN 1028 -7507 Акустичний вiсник. 2012. Том 15, N 4. С. 14 – 23 УДК 539.3 ВЛИЯНИЕ МЕХАНИЧЕСКИХ ХАРАКТЕРИСТИК КОНТАКТИРУЮЩИХ СРЕД НА ОТРАЖАЮЩИЕ СВОЙСТВА ГРАНИЦЫ В СОСТАВНОМ УПРУГОМ ВОЛНОВОДЕ Н. С. Г О РО Д ЕЦ К А Я∗, Е. А. Н ЕД И Л Ь К О Институт гидромеханики НАН Украины ул. Желябова, 8/4, 03680, ГСП, Киев-180, Украина ∗E-mail: nsgihm@gmail.com Получено 24.12.2011 На основе метода суперпозиции рассчитана дифракция антисимметричных волн Рэлея –Лэмба на вертикальной границе волновода, образованного при жестком контакте двух полуполос одинаковой высоты, но с различными упругими свойствами. Эффективность метода обеспечивается учетом характера особенности по напряжениям, возникающей в угловой точке на линии контакта при определенном сочетании упругих характеристик сред. Проведен анализ трансформации энергии падающей волны в отраженные и прошедшие волны. КЛЮЧЕВЫЕ СЛОВА: метод суперпозиции, составной упругий волновод, волны Рэлея –Лэмба, дифракция на гра- нице, трансформация энергии, локальная особенность На базi методу суперпозицiї розраховано дифракцiю антисиметричних хвиль Релея –Лемба на вертикальнiй межi хвилеводу, утвореного при жорсткому контактi двох пiвсмуг однакової висоти, але з рiзними пружними властивостями. Ефективнiсть методу забезпечується урахуванням характеру особливостi по напруженнях, яка виникає у кутовiй точцi на лiнiї контакту при певному поєднаннi пружних характеристик середовищ. Проведено аналiз трансформацiї енергiї падаючої хвилi у видбитi й прохiднi хвилi. КЛЮЧОВI СЛОВА: метод суперпозицiї, складений пружний хвилевiд, хвилi Релея –Лемба, дифракцiя на межi, трансформацiя енергiї, локальна особливiсть On the basis of a superposition method, diffraction of antisymmetric Rayleigh –Lamb waves on a vertical boundary of a waveguide formed by a rigid contact of two halfstrips with equal heights, but different elastic properties is calculated. The efficiency of the method is provided by accounting for stress singularity occurring in the edge of a contact line at particular combinations of elastic properties of media. The analysis of energy transformation of the incidence wave into the reflected and transmitted ones is carried out. KEY WORDS: a superposition method, elastic halfstrip, the Rayleigh –Lamb waves, wave transformation, a local sin- gularity ВВЕДЕНИЕ Непреходящий интерес к изучению особенно- стей распространения волн Лэмба в упругих нере- гулярных волноводах обусловлен их широким пра- ктическим применением. Волны Лэмба очень чув- ствительны к нарушению однородности волново- да, поэтому нахождению зависимостей между ви- дом неоднородности и ее расположением, а также характеристиками волн Лэмба посвящено огром- ное количество работ. Рассеяние распространяющейся волны Лэмба на неоднородности – сложный процесс, сопровожда- ющийся возбуждением отраженного и прошедше- го полей, которые содержат как распространяю- щиеся, так и неоднородные волны. При этом их амплитудные и фазовые характеристики часто- тно зависимы, а волновые характеристики рассе- янных волн содержат информацию о неоднородно- сти. Для расшифровки этой информации нужно, с одной стороны, получить достаточный объем дан- ных о характере изменения рассеянного поля, а, с другой, – понять физические причины, которые обуславливают эти изменения. Кроме того, следу- ет учитывать, что различные волны Лэмба (в за- висимости от типа симметрии и номера падающей волны) порождают существенно различные рассе- янные поля. Поэтому, кроме всего прочего, необхо- димо исследовать влияния типа симметрии волны и ее номера на рассеянные поля. Важно провести анализ рассеянного поля на конкретных видах не- регулярностей. В этой работе будет рассматриваться рассеяние на вертикальной границе составного волновода поля, порождаемого первой распространяющейся изгибной волной. В настоящее время разработаны различные численные и численно-аналитические методы для количественной оценки полей, рассе- янных на вертикальной границе составного волно- вода. Математически соответствующая граничная 14 c© Н. С. Городецкая, Е. А. Недилько, 2012 ISSN 1028 -7507 Акустичний вiсник. 2012. Том 15, N 4. С. 14 – 23 задача достаточно сложна, поскольку при опреде- ленных сочетаниях механических характеристик контактирующих сред в угловой точке на линии контакта (точка смены типа граничных условий) могут существовать локальные особенности по на- пряжениям. Характер особенности (логарифмиче- ский или степенной) и показатель степени ε в последнем случае зависят от механических хара- ктеристик контактирующих сред, но не от часто- ты [1, 2]. В ряде работ [5, 6, 8 –12] методики выде- ления особенности были обобщены на случай со- ставных волноводов. На основе разработанных методов решения соо- тветствующих граничных задач многими исследо- вателями проводился физический анализ получен- ных результатов. В частности, найдены частотные диапазоны, в которых наблюдается резкое измене- ние эффективности прохождения волн. При ана- лизе симметричных колебаний составного волно- вода обнаружены два характерных частотных ди- апазона. В области частот, где распространяется только по одной отраженной и прошедшей вол- не, существует диапазон, в котором прозрачность границы резко возрастает – отражается только не- значительная часть энергии падающей волны. В более высокочастотной области есть полоса, в ко- торой усиливаются отражающие свойства грани- цы. В публикациях [6, 8, 13, 14] приведены дан- ные о распределении энергии падающей волны ме- жду отраженным и прошедшим полями и отмече- но существование указанных частотных поддиапа- зонов. В работах [11] эффект увеличения прозра- чности границы был объяснен появлением энерге- тических вихрей, частично перекрывающих энер- гетический поток. В статьях [6,8,13] показано, что при симметричных колебаниях в области частот, когда в отраженном и прошедшем полях суще- ствует только по одной распространяющейся вол- не, увеличение эффективности прохождения энер- гии во вторую среду и рост напряжений на гра- нице контакта обусловлены значительным возбу- ждением неоднородных волн. В работе [15] найде- ны существенные отличия в частотных зависимо- стях рассеянных полей при изменении типа симме- трии возбуждения. В частности, для антисимме- тричных (изгибных) колебаний показано, что на относительно низких частотах, когда распростра- няется только по одной волне в отраженном и про- шедшем полях, эффекта увеличения прозрачности границы не наблюдается, а ее запирание обуслов- лено возбуждением распространяющихся волн бо- лее высокого порядка. Неоднородные волны в рас- сматриваемом частотном диапазоне возбуждаю- тся слабо, по сравнению с распространяющимися. Эта статья развивает идеи, изложенные в рабо- те [15], и посвящена дальнейшему исследованию особенностей процесса отражения– прохождения антисимметричных волн на границе двух жестко соединенных между собой полуполос одинаковой высоты, но с разными механическими характери- стиками. При этом акцент сделан на изучении свя- зи вариации параметров контактирующих сред с изменением отражающих свойств границы в зави- симости от частоты. Отдельно рассмотрены слу- чаи, когда в отраженном поле распространяющи- еся волны высших порядков появляются раньше, чем в прошедшем, и наоборот. 1. ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ Рассматривается стационарное волновое поле в упругом волноводе, образованном жестким соеди- нением двух упругих полуполос одинаковой высо- ты 2h, но с разными механическими характери- стиками (рис. 1), возбуждаемое первой нормаль- ной волной, приходящей из бесконечности в пра- вой полуполосе (+∞). Падающей волне соответ- ствует индекс 0. Свойства изотропных сред хара- ктеризуются модулями сдвига µ1, µ2, коэффици- ентами Пуассона ν1, ν2 и плотностями ρ1, ρ2 При этом индекс 1 присвоен левой полуполосе, а ин- декс 2 – правой. Поверхности Y =±h свободны от напряжений. В дальнейшем математическая по- становка и решение приводится в безразмерных координатах y=Y/h, z=Z/h. В зоне контакта условия сопряжения записыва- ются в виде σ(1) z (y, 0) = σ(2) z (y, 0) + σ(0) z (y, 0), τ (1) zy (y, 0) = τ (2) z (y, 0) + τ (0) z (y, 0), u(1) y = u(2) y + u(0) y , u(1) z = u(2) z + u(0) z . (1) Здесь и далее временной множитель e−iωt опуска- ем (ω – круговая частота). Необходимо найти векторы смещений в отра- женном и прошедшем полях, удовлетворяющие ве- кторному уравнению Ламе: µ∆u + (λ + µ)grad divu = ρ ∂2 u ∂t2 . (2) 2. МЕТОД РЕШЕНИЯ Для достижения поставленной цели применим метод суперпозиции [16], позволяющий учесть осо- Н. С. Городецкая, Е. А. Недилько 15 ISSN 1028 -7507 Акустичний вiсник. 2012. Том 15, N 4. С. 14 – 23 1 -1 y zu(o) u(2)u(1) Рис. 1. Геометрия задачи бенности по напряжениям в угловых точках. В его рамках построим решение граничной задачи для изгибных колебаний составного волновода. Сле- дуя общей схеме метода, компоненты вектора сме- щений в отраженном поле (z>0) представим в ви- де u(1) y = ∞∑ k=1 ( Akβke−q1z + Bkq2e −q2z ) × × cos βky+ + 1 2π ∞∫ −∞ x(2)(τ )U (2) y (τ, y)eiτzdτ, u(1) z = − ∞∑ k=1 ( Akq1e −q1z + Bkβke−q2z ) × × sin βky− − i 2π ∞∫ −∞ x(2)(τ )U (2) z (τ, y)eiτzdτ (3) с неизвестными постоянными Ak, Bk (k=1, 2, . . .) и функцией x(2)(τ ). В соотношениях (3) введены обозначения U (2) y (τ, y) = τ2 ch p2y ch p2 − (τ2 + p2 2) 2 ch p1y ch p1 ; U (2) z (τ, y) = τ ( −p2 ch p2y ch p2 + (τ2 + p2 2) 2 ch p1y ch p1 ) ; pj =    √ τ2 − Ω2 j , \|τ \| ≥ Ωj; −i √ Ω2 j − τ2, \|τ \| < Ωj; qj =    √ β2 k − Ω2 j , \|βk\| ≥ Ωj; −i √ Ω2 j − β2 k, \|βk\| < Ωj; βk = (2k − 1)π 2 . Здесь Ω (2) 1,2=ωh/cl,s – безразмерные частоты; cl и cs – скорости продольной и поперечной волны во второй среде соответственно. Решение для прошедшего поля (z<0) получим из уравнения (3) при замене неизвестных Ak, Bk на Ck, −Dk и смене знака для uz. Кроме того, в выражения для величин, аналогичных pj и qj (обозначим их как p̃j и q̃j), следует подставить со- ответствующим образом нормированные частоты Ω (2) 1,2. Волновое поле в составном волноводе возбужда- ется первой нормальной волной, распространяю- щейся во второй полуполосе в отрицательном на- правлении оси z. В этом случае выражения для смещений в падающей волне имеют следующий вид: u (0) z = −U (2) z (ξ, y)e−iξz , u (0) y = iU (2) y (ξ, y)e−iξz . Здесь ξ – постоянная распространения первой нор- мальной волны во второй полуполосе. Постоянная распространения для заданной частоты определя- ется из дисперсионного уравнения Рэлея – Лэмба: ∆(ξ) = ξ2p2th p2 − (ξ2 + p2 2) 2 4p1 th p1. Дальнейшее описание построения алгоритма ре- шения и учета особенности по напряжениям в угловой точке можно найти в работе [15] и здесь на нем останавливаться не будем. 3. ЭНЕРГЕТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ В соответствии с законом сохранения энергии сумма энергий отраженного и прошедшего полей равна энергии падающей волны. Энергия же отра- женного поля равна сумме энергий, переносимых каждой распространяющейся волной, которая мо- жет существовать на частоте падающей волны и определяется соотношением E = J∑ j=1 Ei, Ei = \|Ki\|2µ2Ω 2 2∆ ′ 2(ξi). (4) 16 Н. С. Городецкая, Е. А. Недилько ISSN 1028 -7507 Акустичний вiсник. 2012. Том 15, N 4. С. 14 – 23 Здесь J – количество распространяющихся волн в отраженном поле; Ki – коэффициент возбуждения j-ой нормальной волны. Коэффициенты Ki для нормальных волн в отра- женном поле находились из соотношения K (пр) i = Res τ=ξi x2(τ ), (5) где Res обозначает вычет функции x2(τ ) при τ =ξi. Все выражения для прошедшего поля имеют ана- логичный вид. В данном исследовании рассматриваются осо- бенности процесса отражения– прохождения пер- вой нормальной волны от границы раздела в со- ставном волноводе для двух альтернативных слу- чаев: • когда в отраженном поле распространяющие- ся волны высших порядков появляются рань- ше, чем в прошедшем; • когда в прошедшем поле распространяющие- ся волны высших порядков появляются рань- ше, чем в отраженном. Положим для начала, что волны высших поряд- ков появляются в отраженном поле раньше, чем в прошедшем. Такая ситуация возможна при усло- вии c̃2 = √ µ1 ρ1 > c2 = √ µ2 ρ2 . Тогда при антисимметричных колебаниях на ча- стотах Ω2≥π/2 в отраженном поле появляются ра- спространяющиеся волны высших порядков. Ограничимся диапазоном до критической ча- стоты для третьей распространяющейся волны в отраженном поле. Возможны два варианта: 1) волна падает из более жесткой среды в более мягкую; 2) волна падает из более мягкой среды в более жесткую. Для оценки того, какая из контактирующих сред является более жесткой, в акустике используют понятие импеданса. При анализе упругих волн си- туация несколько усложняется, поскольку даже в неограниченной упругой среде распространяется не одна, а две волны с разными скоростями и им- педанс для них может существенно отличаться. В работе [15] в качестве меры соотношения им- педансов предложено сравнивать изгибные жес- ткости полуполос. В этой статье мы также бу- дем оценивать, какая из полуполос является бо- лее жесткой по отношению импедансов, определя- 2 1 2 3 4 5 E/E(0) 0.2 0.4 0.6 0.8 1 * * * Рис. 2. Распределение энергии падающей волны в отраженном и прошедшем полях для составного волновода с µ2/µ1 =0.084, ρ2/ρ1=0.5, ν2 =ν1=0.3 емых как произведение плотности среды на ско- рость изгибной волны в стержне: Z = ρcизгиб = ρ √ ω 4 √ Er2 0 ρ . Здесь E – модуль Юнга; r0 – поперечный размер стержня. Отметим, что определение, какая из сред явля- ется более жесткой по отношению изгибных жес- ткостей, качественно приводит к такому же ре- зультату. Вначале рассмотрим случай, когда волна падает из более мягкой среды в более жесткую. Конкретные вычисления выполним для вол- новода со следующими характеристиками: µ2/µ1 =0.084, ρ2/ρ1 =0.5, ν2 =ν1=0.3 (первая пара материалов). В этом случае отношение импедансов составляет Z2/Z1 =0.32, а отношение изгибных жесткостей – 0.084. На рис. 2 представлено распределение энергии падающей волны в отраженном и прошедшем по- лях для данного волновода. Сплошная кривая со- ответствует энергии отраженного поля, а штрихо- вая – прошедшего. Звездочками на оси E обозна- чены доли энергии отраженного и прошедшего по- лей, найденные по стержневой модели. На оси Ω2 стрелочкой обозначена частота Ω2 =π/2, на кото- рой в отраженном поле появляется вторая распро- страняющаяся волна. На частоте Ω2 =3.84 (обо- значенной звездочкой) в прошедшем поле появля- ется вторая распространяющаяся волна. С ростом частоты доля энергии, прошедшей во вторую среду, уменьшается. Энергия отраженного Н. С. Городецкая, Е. А. Недилько 17 ISSN 1028 -7507 Акустичний вiсник. 2012. Том 15, N 4. С. 14 – 23 2 1 2 3 4 5 Ei/E (0) 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1r 1t 2r 2t Рис. 3. Распределение падающей волны между распространяющимися волнам в отраженном и прошедшем полях для составного волновода с µ2/µ1 =0.084, ρ2/ρ1=0.5, ν2=ν1 =0.3 2 1 2 3 4 5 E/E(0) 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 * Рис. 4. Распределение энергии падающей волны в отраженном и прошедшем полях для составного волновода с µ2/µ1 =0.33, ρ2/ρ1=1, ν2=0.3, ν1 =0.17 поля увеличивается вплоть до частоты, на которой в прошедшем поле появляются распространяющи- еся волны высших порядков. Как уже отмечалось в работе [15], при изгибных колебаниях составного волновода эффект увеличения прозрачности гра- ницы, характерный для случая симметричных ко- лебаний в области частот, где в отраженном и про- шедшем полях распространяется только по одной волне, не наблюдается. Одной из причин этого мо- жет быть то, что при изгибных колебаниях в ука- занном частотном диапазоне неоднородные волны возбуждаются незначительно: амплитуда неодно- родной волны с чисто мнимым волновым числом уменьшается, а неоднородные волны с компле- ксными волновыми числами возбуждаются слабо. На частоте, на которой в прошедшем поле появля- ется вторая распространяющаяся волна, энергия отраженного поля достигает максимума. Волно- вод оказывается практически заперт (от границы раздела отражается 87 % энергии падающей вол- ны). При дальнейшем росте частоты прозрачность границы вновь начинает увеличиваться. Для объяснения наблюдаемых эффектов рас- смотрим распределение энергии падающей волны между различными распространяющимися волна- ми в отраженном и прошедшем полях. На рис. 3 представлено распределение падающей волны ме- жду распространяющимися волнам в отраженном и прошедшем полях. Номер кривой равен номе- ру распространяющейся волны. Индекс r соответ- ствует отраженной волне, а t – прошедшей. В обла- сти частот, в которой существует только по одной распространяющейся волне в отраженном и про- шедшем полях, с ростом частоты энергия, перено- симая первой распространяющейся волной в отра- женном поле, увеличивается, а в прошедшем – падает. При появлении в отраженном поле вто- рой распространяющейся волны (кривая 2r) она с ростом частоты увеличивает свою энергию (до 25.7 % энергии падающей волны). Эта тенденция наблюдается вплоть до частоты, на которой в про- шедшем поле появляется вторая распространяю- щаяся волна (кривая 2t) – в частотном диапазоне π/2<Ω2<3.82. При этом первая отраженная вол- на (кривая 1r) остается доминирующей и дости- гает максимума (59 % энергии падающей волны) на критической частоте для второй распростра- няющейся прошедшей волны. Таким образом, как первая, так и вторая распространяющиеся волны определяют энергию отраженного поля и перено- сят максимум энергии на одной и той же частоте. В рассматриваемом случае падающая волна ра- спространяется в значительно более мягкой среде. Поэтому и характер распределения энергии отра- женного поля между двумя распространяющими- ся волнами во многом подобен отражению пер- вой нормальной волны от защемленного торца. В частности, первая отраженная волна доминирует, а переносимая второй распространяющейся вол- ной энергия увеличивается, начиная с ее часто- ты запирания. Вторая распространяющаяся вол- на переносит более 10 % энергии падающей вол- ны в ограниченном частотном диапазоне. Влияние же второй половины волновода проявляется в том, что вторая отраженная распространяющаяся вол- 18 Н. С. Городецкая, Е. А. Недилько ISSN 1028 -7507 Акустичний вiсник. 2012. Том 15, N 4. С. 14 – 23 на на границе раздела возбуждается значительно сильнее. Изменим физические характеристики левой ча- сти волновода (прошедшее поле) таким обра- зом, чтобы входной ее импеданс увеличился, а для второго волновода (отраженное поле) оста- вим их неизменными. Получаем вторую пару ма- териалов: µ2/µ1 =0.33, ρ2/ρ1 =1, ν2 =0.3, ν1 =0.17. В этом случае отношение импедансов соствляет Z2/Z1 =0.78, а отношение изгибных жесткостей – 0.3. На рис. 4 представлено распределение энергии падающей волны в отраженном и прошедшем по- лях для данного волновода (все обозначения ана- логичны рис. 2). На частоте Ω2 =2.72 (вновь обо- значенной звездочкой) в прошедшем поле появ- ляется вторая распространяющаяся волна. Срав- нивая рис. 2 и 4, отметим, что в обоих случаях энергия отраженного поля увеличивается с рос- том частоты и достигает своего максимального значения на критической частоте для второй про- шедшей распространяющейся волны. Выше нее энергия отраженного поля падает. Однако макси- мальные значения отраженной энергии оказались очень чувствительны к отношению импедансов. В обоих случаях волна падает из более мягкой сре- ды в более жесткую, но при сохранении неравен- ства Z2/Z1 <1 увеличение отношения импедансов приводит к значительному уменьшению энергии, которая отражается от границы. Так, если для для Z2/Z1 =0.32 максимальная отраженная энер- гия составляет 87.5 % энергии падающей волны, то для Z2/Z1 =0.78 – всего 31.7 %. Рассмотрим распределение энергии падающей волны между распространяющимися волнам в отраженном и прошедшем полях для второй ком- бинации физических параметров полуполос. Эти данные представлены на рис. 5 (обозначения ана- логичны рис. 3). Сравнивая эти два графика, отметим ряд общих закономерностей. Так, в обоих случаях первая (кривая 1r) и вторая (кривая 2r) распространяющиеся волны с ростом частоты уве- личивают свое энергосодержание. На частоте, со- ответствующей появлению второй распространя- ющейся волны в прошедшем поле, энергия обеих распространяющихся отраженных волн достига- ет своего максимума. При изменении соотноше- ния импедансов контактирующих сред появляю- тся отличия в распределении энергии падающей волны между модами. Так, для рассматриваемой комбинации материалов полуполос вторая рас- пространяющаяся отраженная волна оказывается определяющей в формировании отраженного по- ля и на критической частоте для второй прошед- 2 1 2 3 4 5 Ei/E (0) 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1r 2r 1t 2t Рис. 5. Распределение падающей волны между распространяющимися волнами в отраженном и прошедшем полях для составного волновода с µ2/µ1 =0.33, ρ2/ρ1 =1, ν2 =0.3, ν1 =0.17 2 1 2 3 4 5 E/E(0) 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 * * * Рис. 6. Распределение энергии падающей волны в отраженном и прошедшем полях для составного волновода с µ2/µ1 =3.7, ρ2/ρ1 =3.86, ν2=0.33, ν1 =0.3 шей волны переносит в 2.8 раз больше энергии, чем первая отраженная волна. Перейдем к рассмотрению особенностей паде- ния волны из более жесткой среды в более мяг- кую. Для этого зададим следующие характеристи- ки материалов: µ2/µ1 =3.7, ρ2/ρ1 =3.86, ν2 =0.33, ν1 =0.3 (третья пара). Тогда отношение импедан- сов составляет Z2/Z1 =3.33, а отношение изгибных жесткостей – 3.62. На рис. 6 представлено распределение энергии падающей волны между отраженными и прошед- Н. С. Городецкая, Е. А. Недилько 19 ISSN 1028 -7507 Акустичний вiсник. 2012. Том 15, N 4. С. 14 – 23 2 1.4 1.5 1.6 1.7 1.8 Ei/E (0) 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1r 1t 2r 2t Рис. 7. Распределение падающей волны между распространяющимися волнам в отраженном и прошедшем полях для составного волновода с µ2/µ1 =3.7, ρ2/ρ1 =3.86, ν2 =0.33, ν1=0.3 2 (2) 1 2 3 4 5 E/E(0) 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 * * Рис. 8. Распределение энергии падающей волны в отраженном и прошедшем полях для составного волновода с µ1/µ2 =3.7, ρ1/ρ2=3.86, ν1=0.33, ν2 =0.3 при падении волны из более жесткой среды в более мягкую шими волнами для данного случая. В отличие от ранее рассмотренных вариантов, при падении из более жесткой среды в более мягкую максимум энергии отраженного поля лежит выше критиче- ской частоты для второй отраженной волны (в частности, при Ω2 =1.75, где 87.1 % энергии па- дающей волны отражается от границы). В рабо- те [15] также отмечалось, что при падении волны из более жесткой среды максимум отраженного поля наблюдается на частоте выше критической частоты для второй отраженной волны (при этом отношение изгибных жесткостей было 7.4). На рис. 7 представлено распределение энергии падающей волны между различными распростра- няющимися волнами (обозначения см. на рис. 3 и 5). Отличительная черта падения волны из бо- лее жесткой среды в более мягкую заключается в том, что первая и вторая отраженные волны до- стигают своих максимальных значений на разных частотах, не совпадающих с частотой, на которой имеет максимум отраженное поле. Первая отра- женная распространяющаяся волна переносит ма- ксимум энергии падающей волны на частоте за- пирания для второй отраженной распространяю- щейся волны. С появлением второй волны ее энер- гия с ростом частоты увеличивается и достигает максимума на частоте Ω2 =1.6, лежащей ниже ча- стоты запирания второй прошедшей волны. Также отметим, что в рассматриваемом случае существу- ет частота Ω2 =1.7, на которой первая распростра- няющаяся отраженная волна вырождается прак- тически полностью, т. е. существуют частоты, на которых происходит полное превращение энергии падающей волны одного типа в энергию отражен- ных и прошедших волн другого типа. Сравнивая данные о распределении энергии отраженного по- ля между первой и второй распространяющими- ся волнами для рассматриваемого составного вол- новода (см. рис. 7) с распределением энергии при отражении первой изгибной нормальной волны от свободного торца [17], отметим, что в обоих случа- ях после появления второй распространяющейся волны эта мода становится наиболее энергетиче- ски выраженной выше своей критической частоты и доминирует в определенном частотном диапазо- не. Таким образом, можно утверждать, что в слу- чае, когда в отраженном поле распространяющи- еся волны высших порядков появляются рань- ше, чем в прошедшем, увеличение отражающих свойств границы обусловлено не только первой отраженной волной, но и появлением в отра- женном поле второй распространяющейся волны. В зависимости от соотношения импедансов кон- тактирующих полуполос (при Z2/Z1≥1) вторая отраженная волна может быть доминирующей в определенном частотном диапазоне или содержать заметную часть энергии отраженного поля. В по- следнем случае вторая распространяющаяся вол- на переносит большую энергию, чем распростра- няющаяся волна в прошедшем поле. Частотный диапазон, в котором наблюдается значительное увеличение энергии отраженного по- 20 Н. С. Городецкая, Е. А. Недилько ISSN 1028 -7507 Акустичний вiсник. 2012. Том 15, N 4. С. 14 – 23 ля, зависит от разности между частотами запира- ния для вторых распространяющейся волн в отра- женном и прошедшем полях – чем она меньше, тем уже полоса частот, в которой увеличиваю- тся отражающие свойства границы. Отметим, что для всех рассмотренных соотношений материалов контактирующих сред вторая распространяющая- ся прошедшая волна не становится доминирующей выше своей частоты запирания. Рассмотрим второй случай отражения первой нормальной волны от границы раздела составно- го волновода, когда распространяющиеся волны высших порядков появляются в прошедшем поле раньше, чем в отраженном. Здесь также возмо- жны варианты, когда волна падает из более мяг- кой среды в более жесткую и наоборот. Вначале остановимся на первом варианте, изменив направ- ление распространения падающей волны на поло- жительное направление оси 0x. Рассмотрим тре- тью пару материалов. В этом случае отношение импедансов составляет Z1/Z2 =0.3. На рис. 8 пред- ставлены частотные зависимости энергий отра- женного и прошедшего полей для этого случая. Для удобства их сравнения при изменении направ- ления движения падающей волны на оси абсцисс отложена нормированная частота для второго по- луволновода (он соответствует прошедшму полю). Сравнивая рис. 8 и 6, отметим некоторые зако- номерности. В том диапазоне частот, для которо- го в отраженном и прошедшем полях существует только по одной распространяющейся волне, обе зависимости совпадают с графической точностью, т. е. здесь при изменении направления распростра- нения падающей волны (то ли в первой, то ли во второй полуполосе) величина отраженной и про- шедшей энергии не изменяется. При возрастании частоты энергия отраженного поля увеличивае- тся, а прошедшего – падает. Если в прошедшем поле распространяющиеся волны высших порядков появляются раньше, чем в отраженном, и волна падает из более мягкой сре- ды, то максимум отражения наблюдается на кри- тической частоте для второй распространяющей- ся прошедшей волны. При этом величина макси- мальной отраженной энергии и частотный диапа- зон, в котором увеличиваются отражающие свой- ства границы, сужаются при изменении направле- ния распространения падающей волны. На рис. 9 представлено распределение энергии отраженного и прошедшего полей между различными распро- страняющимися волнами. При появлении в про- шедшем поле второй распространяющейся волны энергия отраженного поля падает. На критической частоте для второй отраженной волны наблюдает- 2 (2) 1.4 1.5 1.6 1.7 1.8 Ei/E (0) 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1r 1t 2r 2t Рис. 9. Распределение падающей волны между распространяющимися волнам в отраженном и прошедшем полях для составного волновода с µ1/µ2 =3.7, ρ1/ρ2=3.86, ν1 =0.33, ν2=0.3 при падении волны из более жесткой среды в более мягкую 2 (2) 1 2 3 4 5 E/E(0) 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 Рис. 10. Распределение энергии отраженного и прошедшего полей для составного волновода с µ1/µ2 =0.084, ρ1/ρ2 =0.5, ν1 =ν2 =0.3 при падении волны из более жесткой среды в более мягкую ся максимум прохождения. При дальнейшем ро- сте частоты отражающие свойства границы уси- ливаются. Это обусловлено увеличением энергосо- держания первой отраженной распространяющей- ся волны. Таким образом, если в прошедшем поле распро- страняющиеся волны высших порядков появляю- тся раньше, чем в отраженном, при тех же пара- Н. С. Городецкая, Е. А. Недилько 21 ISSN 1028 -7507 Акустичний вiсник. 2012. Том 15, N 4. С. 14 – 23 метрах контактирующих сред (но с измененным направлением распространения падающей волны) отражающие свойства границы значительно ухуд- шаются в области критических частот для вто- рой прошедшей распространяющейся волны. Этот вывод подтверждают данные рис. 10, на кото- ром представлена частотная зависимость энергии отраженного и прошедшего полей для первой па- ры материалов при условии, что падающая волна распространяется в первом волноводе в положи- тельном направлении оси 0x, т. е. падает из бо- лее жесткой среды в более мягкую (Z1/Z2 =3.1). Сплошная кривая соответствует отраженному по- лю, а штриховая – прошедшему. Стрелкой на оси абсцисс обозначена частота, на которой в про- шедшем поле появляется вторая распространяю- щаяся волна, а звездочкой – частота, на кото- рой появляются высшие отраженные волны. Как и на рис. 8, на критической частоте для второй прошедшей волны наблюдается локальный макси- мум отраженного поля. Возрастание отражающих свойств границы наблюдается в более высокоча- стотной области – за критической частотой для второй отраженной волны. Этот максимум об- условлен увеличением энергоемкости первой отра- женной волны. В рассмотренном частотном диа- пазоне для первой пары материалов отражающие свойства границы значительно ухудшаются при изменении направления распространения волны. ЗАКЛЮЧЕНИЕ В широком диапазоне частот изучены свойства волнового поля в составном упругом волноводе, образованном при жестком контакте двух полупо- лос одинаковой ширины, но с разными механиче- скими характеристиками. Основой для построения алгоритма вычислений был метод суперпозиции, примененный к решению граничных задач с конечными границами при на- личии в волновом поле локальных особенностей. С использованием значений найденных этим ме- тодом неизвестных в рядах определены коэффи- циенты возбуждения нормальных волн в отражен- ном и прошедшем полях. Установлено, что при изгибных колебаниях со- ставного волновода наблюдается сильная зави- симость эффективности прохождения во вторую среду от частоты. При этом оказалось, что отра- жающие свойства границы существенно улучшаю- тся, если падающая волна распространяется в по- луполосе, в которой отраженные распространяю- щиеся волны высших порядков появляются рань- ше, чем в прошедшем поле. Частотный диапазон, в котором наблюдается увеличение энергии отра- женного поля, зависит от разности частот запира- ния для вторых распространяющихся отраженной и прошедшей волн. Для рассмотренных пар ма- териалов граница достаточно прозрачна в низко- частотном диапазоне – здесь проходит более 80 % энергии падающей волны. Для более высоких ча- стот уровень прозрачности границы заметно сни- жается. Полученные сведения об особенностях процесса отражения– прохождения волн на конечной гра- нице контакта упругих тел с различными волно- выми свойствами важны для рационального выбо- ра параметров при проектировании частотных фильтров на упругих волнах. 1. Боджи Д. Действие поверхностных нагрузок на систему из двух соединенных вдоль одной из гра- ней упругих клиньев, изготовленных из различ- ных материалов и имеющих произвольные углы // Прикладная механика. Тр. Амер. общ. инж.-мех.– 1971.– 38, № 2.– С. 87–96. 2. Sinclair G. B. Stress singularities in classical elastici- ty: I Removal, interpretation, and analysis // Appl. Mech. Rev.– 2004.– 57, № 4.– С. 251–297. 3. Пельц С. П., Шихман В. М. О сходимости мето- да однородных решений в динамической смешан- ной задаче для полуполосы // Докл. АН СССР.– 1987.– 295, № 4.– С. 821–824. 4. Гомилко А. М., Гринченко В. Т., Мелешко В. В. О возможности метода однородных решений в сме- шанной задаче теории упругости для полуполо- сы // Теор. прикл. мех.– 1987.– 18.– С. 3–8. 5. Городецкая Н. С. Дифракция волн Рэлея –Лэмба на вертикальной границе в составном упругом вол- новоде // Акуст. вiсн.– 2000.– 3, № 1.– С. 23–35. 6. Гринченко В. Т.,Городецкая Н. С., Старовойт И. В. Антисимметричные колебания полуслоя с защем- ленным торцом // Акуст. вiсн.– 2009.– 12, № 1.– С. 32–42. 7. Дьяконов М. Б., Устинов Ю. А. Сдвиговые вол- ны в упругом полубесконечном слое с разрезом // Акуст. ж.– 1995.– 41, № 3.– С. 421–426. 8. Гетман И. П., Лисицкий О. Н. Отражение и прохо- ждение звуковых волн через границу раздела двух состыкованных упругих полуполос // Прикл. мат. мех.– 1988.– 52, № 6.– С. 1044–1048. 9. Гетман И. П., Устинов Ю. А. Математическая те- ория нерегулярных твердых волноводов.– Ростов н/Д: Изд-во Ростов. ун-та, 1993.– 142 с. 10. Glushkov E. V., Glushkova N. V. Blocking property of energy vortices in elastic waveguides // J. Acoust. Soc. Amer.– 1997.– 102, № 3.– С. 1356–1360. 11. Никитин Ю. Г. Распространение упругих волн в составных волноводах / Автореф. дис. . . к. ф.- м. н.– Краснодар: Кубан. гос. ун-т, 1996.– 16 с. 12. Вовк Л. П. Анализ локальных особенностей вол- новодного поля в сингулярных точках составных областей // Вiсн. Сум. держ. ун-ту. Сер. фiз., мат., мех.– 2003.– 10(56).– С. 144–156. 22 Н. С. Городецкая, Е. А. Недилько ISSN 1028 -7507 Акустичний вiсник. 2012. Том 15, N 4. С. 14 – 23 13. Городецкая Н. С. Трансформация энергии падаю- щей волны на границе раздела в составном волно- воде // Акуст. вiсн.– 2001.– 4, № 1.– С. 17–25. 14. Scandrett C.,Vassudeva N. The propagation of ti- me harmonic Rayeleigh – Lamb waves in a bimateri- al plate // J. Acoust. Soc. Amer.– 1991.– 89, № 4, Pt. 1.– С. 1606–1614. 15. Городецкая Н. С., Недилько Е. А. Энергетические особенности дифракции изгибных волн на верти- кальной границе в составном волноводе // Акуст. вiсн.– 2012.– 14, № 2.– С. 17–27. 16. Гринченко В. Т., Мелешко В. В. Гармонические колебания и волны в упругих телах.– К.: Наук. думка, 1981.– 284 с. 17. Гринченко В. Т., Городецкая Н. С., Старо- войт И. В. Особенности возбуждения нормальных волн при изгибных колебаниях полуслоя // Акуст. вiсн.– 2007.– 10, № 3.– С. 42–54. Н. С. Городецкая, Е. А. Недилько 23

Влияние механических характеристик контактирующих сред на отражающие свойства границы в составном упругом волноводе

Репозитарії

Схожі ресурси