Распространение антисимметричных волн в ступенчатом упругом волноводе
На основе метода суперпозиции проведен расчет дифракции волн Рэлея-Лэмба на вертикальной границе волновода, образованного при жестком контакте двух полуполос разной ширины. Показано, что при отражении первой нормальной волны от границы раздела в ступенчатом волноводе существуют два диапазона частот,...
Збережено в:
| Дата: | 2013 |
|---|---|
| Автори: | , |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Russian |
| Опубліковано: |
Інститут гідромеханіки НАН України
2013
|
| Назва видання: | Акустичний вісник |
| Онлайн доступ: | http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/116192 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Цитувати: | Распространение антисимметричных волн в ступенчатом упругом волноводе / Н.С. Городецкая, Е.А. Недилько // Акустичний вісник — 2013-2014. —Т. 16, № 1. — С. 16-26. — Бібліогр.: 16 назв. — рос. |
Репозитарії
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
irk-123456789-116192 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
irk-123456789-1161922017-04-23T03:02:26Z Распространение антисимметричных волн в ступенчатом упругом волноводе Городецкая, Н.С. Недилько, Е.А. На основе метода суперпозиции проведен расчет дифракции волн Рэлея-Лэмба на вертикальной границе волновода, образованного при жестком контакте двух полуполос разной ширины. Показано, что при отражении первой нормальной волны от границы раздела в ступенчатом волноводе существуют два диапазона частот, в которых наблюдается увеличении энергии отраженного поля. Первый максимум обнаружен вблизи частоты запирания для второй распространяющейся волны в более широком волноводе. Второй максимум существует в более высокочастотной области, когда в более широком волноводе существуют две распространяющиеся волны. На базі методу суперпозиції проведено розрахунок дифракції хвиль Релея-Лемба на вертикальній межі хвилеводу, утвореного при жорсткому контакті двох півсмуг рiзної ширини. Показано, що при відбитті першої нормальної хвилі від межі у хвилеводі зі сходинкою існує два частотних діапазони, в яких спостерігається збільшення енергії відбитого поля. Перший максимум знайдено поблизу частоти відсікання другої хвилі, що поширюється у ширшому хвилеводі. Другий максимум існує у більш високочастотній області, коли у ширшому хвилеводі поширюються дві хвилі. The paper deals with calculating of a diffraction of the Rayleigh-Lamb wave on a vertical interface boundary of the waveguide formed by a strong contact of two halfstrips with different widths using the method of superposition. The two frequency ranges where the energy of the field reflected from the interface increases are shown to exist in the case of incidence of the first normal wave. The first maximum is found near the locking frequency for the second propagating wave in the wider waveguide. The second peak exists at higher frequencies where two propagating waves are observed in the wider waveguide. 2013 Article Распространение антисимметричных волн в ступенчатом упругом волноводе / Н.С. Городецкая, Е.А. Недилько // Акустичний вісник — 2013-2014. —Т. 16, № 1. — С. 16-26. — Бібліогр.: 16 назв. — рос. 1028-7507 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/116192 539.3 ru Акустичний вісник Інститут гідромеханіки НАН України |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| language |
Russian |
| description |
На основе метода суперпозиции проведен расчет дифракции волн Рэлея-Лэмба на вертикальной границе волновода, образованного при жестком контакте двух полуполос разной ширины. Показано, что при отражении первой нормальной волны от границы раздела в ступенчатом волноводе существуют два диапазона частот, в которых наблюдается увеличении энергии отраженного поля. Первый максимум обнаружен вблизи частоты запирания для второй распространяющейся волны в более широком волноводе. Второй максимум существует в более высокочастотной области, когда в более широком волноводе существуют две распространяющиеся волны. |
| format |
Article |
| author |
Городецкая, Н.С. Недилько, Е.А. |
| spellingShingle |
Городецкая, Н.С. Недилько, Е.А. Распространение антисимметричных волн в ступенчатом упругом волноводе Акустичний вісник |
| author_facet |
Городецкая, Н.С. Недилько, Е.А. |
| author_sort |
Городецкая, Н.С. |
| title |
Распространение антисимметричных волн в ступенчатом упругом волноводе |
| title_short |
Распространение антисимметричных волн в ступенчатом упругом волноводе |
| title_full |
Распространение антисимметричных волн в ступенчатом упругом волноводе |
| title_fullStr |
Распространение антисимметричных волн в ступенчатом упругом волноводе |
| title_full_unstemmed |
Распространение антисимметричных волн в ступенчатом упругом волноводе |
| title_sort |
распространение антисимметричных волн в ступенчатом упругом волноводе |
| publisher |
Інститут гідромеханіки НАН України |
| publishDate |
2013 |
| url |
http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/116192 |
| citation_txt |
Распространение антисимметричных волн в ступенчатом упругом волноводе / Н.С. Городецкая, Е.А. Недилько // Акустичний вісник — 2013-2014. —Т. 16, № 1. — С. 16-26. — Бібліогр.: 16 назв. — рос. |
| series |
Акустичний вісник |
| work_keys_str_mv |
AT gorodeckaâns rasprostranenieantisimmetričnyhvolnvstupenčatomuprugomvolnovode AT nedilʹkoea rasprostranenieantisimmetričnyhvolnvstupenčatomuprugomvolnovode |
| first_indexed |
2025-07-08T09:59:34Z |
| last_indexed |
2025-07-08T09:59:34Z |
| _version_ |
1837072410726105088 |
| fulltext |
ISSN 1028 -7507 Акустичний вiсник. 2013 – 2014. Том 16, N 1. С. 16 – 26
УДК 539.3
РАСПРОСТРАНЕНИЕ АНТИСИММЕТРИЧНЫХ ВОЛН
В СТУПЕНЧАТОМ УПРУГОМ ВОЛНОВОДЕ
Н. С. Г О РО Д ЕЦ К А Я∗, Е. А. Н ЕД И Л Ь К О
Институт гидромеханики НАН Украины
ул. Желябова, 8/4, 03680, ГСП, Киев-180, Украина
∗E-mail: nsgihm@gmail.com
Получено 09.09.2013
На основе метода суперпозиции проведен расчет дифракции волн Рэлея –Лэмба на вертикальной границе волно-
вода, образованного при жестком контакте двух полуполос разной ширины. Показано, что при отражении первой
нормальной волны от границы раздела в ступенчатом волноводе существуют два диапазона частот, в которых
наблюдается увеличении энергии отраженного поля. Первый максимум обнаружен вблизи частоты запирания для
второй распространяющейся волны в более широком волноводе. Второй максимум существует в более высокоча-
стотной области, когда в более широком волноводе существует две распространяющиеся волны.
КЛЮЧЕВЫЕ СЛОВА: метод суперпозиции, ступенчатый упругий волновод, волны Рэлея –Лэмба, дифракция на
границе, трансформация энергии, нормальные волны
На базi методу суперпозицiї проведено розрахунок дифракцiї хвиль Релея –Лемба на вертикальнiй межi хвилеводу,
утвореного при жорсткому контактi двох пiвсмуг рiзної ширини. Показано, що при вiдбиттi першої нормальної
хвилi вiд межi у хвилеводi зi сходинкою iснує два частотних дiапазони, в яких спостерiгається збiльшення енергiї
вiдбитого поля. Перший максимум знайдено поблизу частоти вiдсiкання другої хвилi, що поширюється у ширшому
хвилеводi. Другий максимум iснує у бiльш високочастотнiй областi, коли у ширшому хвилеводi поширюються двi
хвилi.
КЛЮЧОВI СЛОВА: метод суперпозицiї, ступiнчастий пружний хвилевiд, хвилi Релея –Лемба, дифракцiя на межi,
трансформацiя енергiї, нормальнi хвилi
The paper deals with calculating of a diffraction of the Rayleigh –Lamb wave on a vertical interface boundary of the
waveguide formed by a strong contact of two halfstrips with different widths using the method of superposition. The two
frequency ranges where the energy of the field reflected from the interface increases are shown to exist in the case of
incidence of the first normal wave. The first maximum is found near the locking frequency for the second propagating
wave in the wider waveguide. The second peak exists at higher frequencies where two propagating waves are observed in
the wider waveguide.
KEY WORDS: a superposition method, step-wise elastic waveguide, the Rayleigh –Lamb waves, energy transformation,
normal waves
ВВЕДЕНИЕ
На сегодняшний день использование волн
Рэлея – Лэмба для контроля состояния больших
пластинообразных структур – один из наиболее
быстроразвивающихся направлений метода нера-
зрушающего контроля. Анализ распространения
этого типа волн позволяет определить и локализи-
ровать большинство типов дефектов, которые мо-
гут существовать в таких упругих телах, и дают
возможность осуществлять мониторинг их состо-
яния на больших расстояниях. Именно возмож-
ность оценивать состояние крупных объектов на
основе анализа амплитудно-фазовых характери-
стик волн Рэлея – Лэмба оказывается существен-
ным преимуществом такого подхода по сравне-
нию с классическими методами, использующими
объемные волны и доставляющими информацию
о состоянии структуры поточечно.
Для использования волн Рэлея – Лэмба при не-
разрушающем контроле необходимо изучить осо-
бенности их рассеяния различными дефектами и
неоднородностями. В настоящее время опублико-
вано значительное количество работ, посвящен-
ных взаимодействию волн Рэлея – Лэмба с отвер-
стиями [1], вертикальной трещиной [2], поверхно-
стными дефектами [3], изменением толщины вол-
новода [4,5]. Как правило, для анализа такого вза-
имодействия исследуются частотные зависимости
амплитудно-фазовых характеристик нормальных
волн. Следует отметить, что при дифракции нор-
мальных волн на нерегулярностях в упругих вол-
новодах на определенных частотах могут наблю-
даться резонансные явления, которые проявляю-
тся в резком изменении модуля амплитуды рас-
пространяющихся волн, а, следовательно, и энер-
гии рассеянного поля. При этом частота, на кото-
рой наблюдаются подобные эффекты, существен-
но зависит от многих факторов – типа неодноро-
дности, симметрии колебаний, спектральных осо-
бенностей волновода. Удобно разделить физиче-
ские неоднородности, обусловленные резкой сме-
16 c© Н. С. Городецкая, Е. А. Недилько, 2013 – 2014
ISSN 1028 -7507 Акустичний вiсник. 2013 – 2014. Том 16, N 1. С. 16 – 26
ной механических свойств волновода вдоль на-
правления распространения волны, и геометриче-
ские неоднородности, порожденные нерегулярно-
стью формы или размеров волновода.
Влиянию физической неоднородности на транс-
формацию энергии падающей волны в отражен-
ное и прошедшее поле посвящены работы [6 – 10],
в которых показано, что в области существования
только одной распространяющейся волны суще-
ствуют диапазоны как с существенным возраста-
нием эффективности прохождения, так и с уси-
лением отражающих свойств границы. Отметим,
что в указанных работах рассмотрены симметри-
чные колебания волновода. При этом на более низ-
ких частотах происходит увеличение прозрачно-
сти границы, а улучшение отражения наблюдается
в более высокочастотной области. Если в волново-
де существует только одна распространяющаяся
волна, то резкие изменения отражающих свойств
границы могут быть обусловлены только значи-
тельным возбуждением неоднородных волн. Так,
в работах [6 – 8, 10] найдена корреляция между
увеличением коэффициента отражения и уровнем
возбуждения неоднородных волн.
Изменение механических характеристики кон-
тактирующих сред позволяет сместить частоты,
на которых наблюдаются резонансные явления,
и варьировать добротность резонансов. В значи-
тельной степени на частоты резонансов и эффе-
ктивность их проявления влияет тип возбужда-
емых колебаний. В публикации [11] показано, что
при изменении типа симметрии колебаний увели-
чения прозрачности границы в области относи-
тельно низких частот не наблюдается, а возраста-
ние эффективности отражения обусловлено появ-
лением распространяющихся волн высших поряд-
ков.
Влиянию геометрической неоднородности по-
священа статья [12], в которой рассмотрена транс-
формация падающей волны в ступенчатом вол-
новоде при симметричных колебаниях. Показа-
но, что при наличии геометрической неоднородно-
сти также наблюдаются эффекты резкого изме-
нения отражающих свойств границы. На низких
частотах происходит резкое увеличение ее про-
зрачности, что обусловлено значительным возбу-
ждением неоднородных волн. В более высокоча-
стотной области, наоборот, возрастает эффектив-
ность отражения за счет появления распространя-
ющихся волн высших порядков.
В данном исследовании на основе метода су-
перпозиций проводится решение граничной зада-
чи о жестком контакте двух упругих волноводов
разной ширины и с одинаковыми механическими
y
zu(o)
u(2)u(1)
2H2h
Рис. 1. Геометрия задачи
характеристиками при возбуждении антисимме-
тричных колебаний. Особый акцент сделан на изу-
чении энергетических особенностей процесса отра-
жения – прохождения волн на вертикальной гра-
нице при изменении ширины одного из волново-
дов.
Показано, что при отражении первой нормаль-
ной волны от границы раздела в ступенчатом вол-
новоде существуют два диапазона частот, на ко-
торых наблюдается увеличение энергии отражен-
ного поля. Первый из них наблюдается вблизи ча-
стоты запирания для второй распространяющейся
волны в более широком волноводе. Второй макси-
мум проявляется в более высокочастотной обла-
сти, когда в более широком волноводе существуют
две распространяющиеся волны.
1. ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ
Рассмотрим стационарное волновое поле в упру-
гом волноводе, образованном жестким соединени-
ем двух упругих полуслоев различной ширины h
и H , но с одинаковыми механическими характери-
стиками, рис. 1. Пусть механические свойства сре-
ды характеризуются модулем сдвига µ, коэффици-
ентом Пуассона ν и плотностью ρ. Индексы 1 и 2
будем относить к более узкому и более широкому
волноводам соответственно. Поверхности Y =±h и
Y =±H считаем свободными от напряжений. Для
перехода к безразмерным пространственным вели-
чинам введем нормировку на H : α=h/H, y=Y/H,
z=Z/H .
Волновое поле возбуждается первой нормаль-
ной изгибной волной. Возможны два случая:
• падающая волна, распространяясь в более
широком волноводе, приходит из +∞;
• падающая волна, распространяясь в более уз-
ком волноводе, приходит из −∞.
Н. С. Городецкая, Е. А. Недилько 17
ISSN 1028 -7507 Акустичний вiсник. 2013 – 2014. Том 16, N 1. С. 16 – 26
Падающей волне присвоим индекс 0. Для пер-
вого случая в зоне контакта условия сопряжения
записываются в виде
σ(2)
zz (y, 0)+σ(0)
zz (y, 0) =
σ
(1)
zz (y, 0), |y|≤α,
0, |y|≥α,
τ (2)
zy (y, 0)+τ (0)
zy (y, 0) =
τ
(1)
zy (y, 0), |y|≤α,
0, |y|≥α,
u(1)
y = u(2)
y + u(0)
y , |y|≤α,
u(1)
z = u(2)
z + u(0)
z , |y|≤α.
(1)
Здесь и в дальнейшем временной множитель e−iωt
опускаем (ω – круговая частота).
Необходимо найти векторы смещений в отра-
женном и прошедшем полях, удовлетворяющие за-
данным граничным условиям, условиям сопряже-
ния и векторному уравнению Ламе:
µ ∆u + (λ + µ) grad div u = ρ
∂2
u
∂t2
.
Дополнительно к условиям сопряжения (1) дол-
жны выполняться условия излучения на бесконе-
чности, заключающиеся в том, что каждая рас-
пространяющаяся в прошедшем и отраженном по-
ле нормальная волна уносит энергию от границы
раздела на бесконечность.
2. МЕТОД РЕШЕНИЯ
Применим метод суперпозиции [13], который по-
зволяет учесть особенности по напряжениям в
угловых точках. В его рамках построим решение
граничной задачи для антисимметричных колеба-
ний ступенчатого волновода. Следуя общей схеме
метода, компоненты вектора смещений в отражен-
ном поле (z>0) представим в виде
u(1)
y =
∞∑
k=1
(
Akβke−q1z +Bkq2e
−q2z
)
cosβky +
+
1
2π
∞∫
−∞
x(2)(τ )U (2)
y (τ, y)eiτzdτ,
u(1)
z =−
∞∑
k=1
(
Akq1e
−q1z+Bkβke−q2z
)
sin βky −
− i
2π
∞∫
−∞
x(2)(τ )U (2)
z (τ, y)eiτzdτ
(2)
с неизвестными постоянными Ak, Bk, (k=1, 2, . . .)
и функцией x(2)(τ ). Здесь введены дополнитель-
ные обозначения
U (2)
y (τ, y)=τ2 ch p2y
ch p2
− (τ2+p2
2)
2
ch p1y
ch p1
;
U (2)
z (τ, y)=τ
(
−p2
sh p2y
ch p2
+
(τ2+p2
2)
2
sh p1y
ch p1
)
;
pj =
√
τ2 − Ω2
j , |τ | ≥ Ωj,
−i
√
Ω2
j − τ2, |τ | < Ωj;
qj =
√
β2
k − Ω2
j , |βk| ≥ Ωj ,
−i
√
Ω2
j − β2
k, |βk| < Ωj ;
βk =
(2k − 1)π
2
.
В этих соотношениях Ω1,2 =Ω
(H)
1,2 =ωH/c1,2 – без-
размерная частота; c1 и c2 – скорости продольной
и поперечной волн соответственно.
Решение для прошедшего поля (z<0) получаем
из выражений (2) при замене неизвестных Ak, Bk
на Ck, −Dk, смене знака для uz и замене y на y/α,
а z – на z/α. Для прошедшего поля нормирован-
ные частоты Ω
(h)
1,2 =ωh/c1,2 =Ω
(H)
1,2 α. В дальнейшем
будем обозначать частоту в прошедшем поле через
Ω̃1,2.
Волновое поле в ступенчатом волноводе возбуж-
дается первой нормальной волной, распространя-
ющейся во втором волноводе в отрицательном на-
правлении оси z. В этом случае выражения для
смещений в падающей волне имеют следующий
вид:
u
(0)
z = −U
(2)
z (ξ, y)e−iξz ,
u
(0)
y = iU
(2)
y (ξ, y)e−iξz .
Здесь ξ – постоянная распространения первой нор-
мальной волны во втором волноводе, определя-
емая для заданной частоты из дисперсионного
уравнения Рэлея – Лэмба:
∆(ξ) = ξ2p2th p2 −
(ξ2 + p2
2)
2
4p1
th p1. (3)
Представление для смещений выбрано таким
образом, чтобы условие отсутствия касательных
напряжений на поверхностях y=±1 для отражен-
ного поля и на поверхностях y=α для прошедшего
поля выполнялось автоматически.
18 Н. С. Городецкая, Е. А. Недилько
ISSN 1028 -7507 Акустичний вiсник. 2013 – 2014. Том 16, N 1. С. 16 – 26
В рамках метода суперпозиции характер сингу-
лярности в поле напряжений может быть опреде-
лен до решения граничной задачи в целом [14]. По-
ступив аналогично [11], представим нормальные и
касательные напряжения в угловой точке в более
широком волноводе (z=0, y2 =±α) в виде [14]:
σz(±α, z) =
σ2
(α2 − y2)1−ε
,
τzy(±α, z) =
τ2
y(α2 − y2)1−ε
.
(4)
Здесь σ(2), τ(2) – неизвестные амплитуды напря-
жений. Для более узкого волновода выражения
для напряжений в точке z=0, y2 =±1 аналогичны.
Использовав стандартные интегралы [15]:
α∫
0
(α2 − y2)β−1 cos bydy =
=
√
π
2
(2α)β−1Γ(β)
Jβ−1(bα)
bβ−1
,
α∫
0
y(α2 − y2)β−1 sin bydy =
=
√
πα
2
(2α)β−1Γ(β)
Jβ+1(bα)
bβ−1
,
алгебрализуем уравнения (4) и получим уравне-
ния для нахождения асимптотики неизвестных
An, Bn (n→∞):
An
(
β2
n − Ω2
2
2
)
+ Bnβnq2 = σ2
Jε+0.5(βnα)
βε−0.5
n
,
−Anβnq1 + Bn
(
β2
n − Ω2
2
2
)
= τ2
Jε−0.5(βnα)
βε−0.5
n
.
(5)
Асимптотика неизвестных Cn, Dn (n→∞) находи-
тся аналогично.
Выполнение условия отсутствия нормальных
напряжений на поверхностях y=±1 и y=α для
отраженного и прошедшего полей соответствен-
но, а также условий сопряжения приводит к си-
стеме интегро-алгебраических уравнений относи-
тельно неизвестных Ak, Bk, Ck, Dk (k=1, 2, . . .) и
функций x(i)(τ ) (i=1, 2):
N∑
k=1
(
ak
2q1(β
2
k +Ω2
0)
τ2+q2
1
+bk
2βkq2
2
τ2+q2
2
)
+
+x(2)(τ )∆(2)(τ )−τ2S
(1)
N (τ )+σ2S
(2)
N (τ )=0,
∞∑
k=1
(
ck
2q̃1(β
2
k +Ω̃2
0)
τ2+q̃2
1
−dk
2βk q̃2
2
τ2+q̃2
2
)
+
+x(1)(τ )∆(1)(τ )+τ1S̃
(1)
N (τ )+σ1S̃
(2)
N (τ )=0,
anq1βn+bn
β2
n+q2
2
2
+
2(−1)n cosβnα
α2
×
×
∞∑
k=1
(
ck
q̃1β
2
k
β2
n−(βk/α)2
−dk
βk q̃2
2
2(β2
n−(βk/α)2)
)
=
= −2βnξ
(
ξ2−Ω2
2
2
)(
1
q2
2+ξ2
− 1
q2
1+ξ2
)
×
×
(
an
β2
n+q2
2
2
+bnβnq2−
1
π
∞∫
0
x(2)(τ )dn(τ )dτ
)
−
−(−1)n2βn cos βnα
α
(
∞∑
k=1
(
ck
β2
k+q̃2
2
2
−dkβk q̃2
)
×
× 1
β2
n−(βk/α)2
− (−1)n
πα
∞∫
0
x(1)(τ )g̃n(τ )dτ
)
= idn(ξ),
∞∑
k=1
(
akq1 + bkβk
)
(−1)k 2βk cos βkα
βk−(βn/α)2
+cnαq̃1−
−dnαβk =−ξ
(
2(ξ2−Ω2
2)
ξ2−Ω2
2 + (βn/α)2
ch α(ξ2−Ω2
2)
ch ξ2−Ω2
2
−
− 2ξ2−Ω2
2
ξ2−Ω2
1+(βn/α)2
ch α(ξ2 − Ω2
1)
ch ξ2−Ω2
2
)
×
×
∞∑
k=1
(
akβk +bkq2
)
(−1)k 2 cosβkα
βk−(βn/α)2
−
− 1
π
∞∫
0
x(2)(τ )γn(τ )dτ−α2
(
cn − dn
q̃2
βn
−
− 1
π
∞∫
0
x(1)(τ )η̃n(τ )dτ
)
= iγn(ξ).
(6)
Здесь введены следующие обозначения:
Н. С. Городецкая, Е. А. Недилько 19
ISSN 1028 -7507 Акустичний вiсник. 2013 – 2014. Том 16, N 1. С. 16 – 26
S
(1)
N (τ )=4
∞∑
k=N+1
Jε−0.5(β)
βε−1.5
×
×
(
1
2(τ2+q2
1)
+
τ2
(τ2+q2
1)(τ
2+q2
2)
+
+
4Ω4
1−2Ω2
1Ω
2
2+Ω4
2
8β2
k(τ2+q2
1)(Ω
2
2−Ω2
1)
− Ω4
2
8β4
k(Ω2
2−Ω2
1)
+
+
τ2(Ω4
1+Ω4
2)
4β2
k(τ2+q2
2)(τ
2+q2
1)(Ω
2
2−Ω2
1)
)
(−1)k;
S
(2)
N (τ )=4
∞∑
k=N+1
(−1)kJε+0.5(β)
βε−1.5(Ω2
2−Ω2
1)
×
×
(
τ2(Ω2
2−Ω2
1)
(τ2+q2
1)(τ
2+q2
2)
+
Ω4
2 + 2Ω2
2Ω
2
1
8β2
n(τ2+q2
1)
+
+
2Ω2
2Ω
2
1−3Ω4
2
8β4
k
+
τ2(3Ω4
1+3Ω4
2−4Ω2
1Ω
2
2)
4β2
n(τ2+q2
1)(τ2+q2
2)
)
;
gn(τ ) = βb cos αβn
(
g
(1)
n
p1
sh p1
ch p1
− g(2)
n
sh p2
ch p2
)
−
−sin αβn
α
(
g(1)
n − p2g
(2)
2
)
;
g(1)
n =
(τ2+Ω2
0)(τ
2+p2
2)
(β2
n+(p1/α)2)
;
g(2)
n =
2τ2p2
β2
n+(p2/α)2
;
dn(τ ) =
(τ2+p2
2)(τ
2+Ω2
0)
β2
k +p2
1
− 2τ2p2
2
β2
k +p2
2
,
ηn =
2τ2
p2
2+β2
n
− τ2+p2
2
p2
1+β2
n
;
γn =
2τ2
p2
2+(βn/α)2
ch αp2
ch p2
− τ2+p2
2
p2
1+(βn/α)2
ch αp1
ch p1
;
2Ω2
0 = Ω2
2 − 2Ω2
1.
Полученная система (6) является системой второ-
го рода. Ее структура подобна структуре систе-
мы интегро-алгебраических уравнений, вытекаю-
щих из условий сопряжения на стыке полуслоев
одинаковой ширины [11].
Существование в угловой точке особенности по
напряжениям [14] приводит к тому, что в рамках
метода суперпозиции интегралы и ряды для на-
пряжений на линии контакта сходятся медленно.
Однако использование асимптотических свойств
неизвестных, учитывающих характер локальной
особенности по напряжениям в точке смены типа
граничных условий, позволяет разработать алго-
ритмы улучшенной сходимости.
Показатель особенности ε в формуле (4) находят
из уравнения [14]:
sin
3επ
2
− ε2 = 0, (7)
которое может быть получено по аналогии с [7].
Сохраняя в системе (6) только главные члены,
приходим к системе из четырех уравнений отно-
сительно неизвестных σ1,2, τ1,2. Приравнивание ее
определителя к нулю дает уравнение (7), что слу-
жит дополнительным критерием проверки пра-
вильности математических выкладок. Анализ осо-
бенностей ближнего волнового поля должен быть
проведен с учетом особенности по напряжениям в
угловой точке (z=0, y=±α), см., например, [7].
Исследуем интегральные (энергетические) хара-
ктеристики отраженного и прошедших полей, на
величины которых учет особенности по напряже-
ниям практически не влияет. Это обусловлено тем,
что, как и для составного волновода постоянной
ширины [11], коэффициенты возбуждения распро-
страняющихся мод определяются в основном пер-
выми неизвестными системы (6). Поэтому анализ
трансформации энергии падающей волны в отра-
женные и прошедшие распространяющиеся волны
можно провести при простой редукции исходной
системы.
Запись вектора смещений в форме (2) в отра-
женном и прошедшем полях допускает переход к
представлению в виде суммы нормальных волн в
бесконечном слое с использованием теории выче-
тов. Для отраженного поля вектор смещения име-
ет вид
u(y, z) =
J∑
j=1
AkjU(ξj , y)eiξjz+
+
J′∑
l=1
AklU(iηl, y)e−ηlz+
+
∞∑
m=1
AkmU(ζm, y)eiζmz.
(8)
Здесь ξj (j=1, . . . , J) – действительные, ηl
(l=1, . . . , J ′) – чисто мнимые, а ζm (m=1, . . . ,∞) –
комплексные корни дисперсионного уравнения
Рэлея – Лэмба (3); Ak – амплитуды нормальных
волн:
20 Н. С. Городецкая, Е. А. Недилько
ISSN 1028 -7507 Акустичний вiсник. 2013 – 2014. Том 16, N 1. С. 16 – 26
Akn = Res
τ=κn
x(2)(τ ),
κn = ξn (n = 1, . . . , J),
κn+J = ηn (n = 1, . . . , J ′),
κn+J+J′ = ζn (n = 1, . . . ,∞).
(9)
Таким образом, выражения типа (2) в неявном
виде содержат два типа движения. Первый из
них связан с распространяющимися нормальными
волнами, уносящими энергию на бесконечность от
поверхности контакта. Число этих волн определя-
ется частотой. Другой тип движения характеризу-
ется локализацией возмущения вблизи границы и
связан с неоднородными волнами, число которых
всегда неограниченно. Именно поведением неодно-
родных волн и обусловлены необычные эффекты
локализации движений вблизи неоднородностей в
упругих волноводах.
3. АНАЛИЗ РЕЗУЛЬТАТОВ РАСЧЕТА
Количественный анализ выполнен с целью изу-
чения трансформации энергии падающей волны в
отраженные и прошедшие волны. Расчеты прове-
дены для материала с коэффициентом Пуассона
ν =0.3 и диапазона частот, лежащего ниже часто-
ты запирания для третьей распространяющейся
волны в отраженном или прошедшем полях. Для
первого рассматриваемого случая (волна падает
из более широкого волновода) в отраженном поле
бегущие волны более высоких порядков появляю-
тся раньше, чем в прошедшем. Показатель особен-
ности поля напряжений в угловой точке составлял
1−ε=0.09.
При вычислениях в суммах, входящих в сис-
тему (6), учитывалось до 60 неизвестных. При
этом наблюдалась устойчивость решения, кото-
рая выражалась в том, что при увеличении чис-
ла членов усеченных рядов от 55 до 60 значения
первых неизвестных Ak, Bk, Ck, Dk (k=1, . . . , 5)
изменялось незначительно. При этом погрешность
выполнения закона сохранения энергии не пре-
вышала 0.7 %.
Энергия отраженного поля определялась соот-
ношением
Er =
J∑
j=1
Ej,
Ej = |Akj|2 ωp2
1(ξj)Ω
(2)2
2 ∆(2)′(ξj),
(10)
где J – число распространяющихся волн; Akj –
коэффициент возбуждения j-ой нормальной вол-
2
1 2 3 4 5
Er
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1
2
3
4
Рис. 2. Частотные зависимости
энергии волн в отраженном поле
(при падении из более широкой части волновода):
1 – α=0.2; 2 – α=0.4; 3 – α=0.6; 4 – α=0.8
ны. Коэффициенты Akj в отраженном поле нахо-
дились из соотношения (9).
Энергия прошедшего поля находится аналогич-
но с проведением соответствующих формальных
замен.
На рис. 2 представлено нормированное на
энергию падающей волны распределение энергии
в отраженном поле в зависимости от частоты
Ω2 =ωH/c2. Как видно из графика, для всех α на
кривых наблюдается первый локальный максимум
на частоте Ω2 =π/2, на которой в отраженном по-
ле появляется вторая распространяющаяся волна.
Процентное содержание переносимой ею энергии
зависит от величины α. Чем меньше α, тем силь-
нее возбуждается данная мода и тем ближе волно-
вая картина в ступенчатом волноводе к волноводу
со свободным торцом [16].
Доля энергии второй распространяющейся
отраженной волны в зависимости от частоты
представлена на рис. 3. Выше частоты запирания
для второй распространяющейся отраженной
волны при всех рассмотренных α эта волна увели-
чивает свое энергоемкость. При этом для α=0.2
и 0.4 на частоте, на которой наблюдается первый
максимум отражения, энергия рассеянного поля
в основном определяется второй отраженной
волной. Однако частота, на которой переносимая
ею энергия максимальна, не совпадает с часто-
той, соответствующей максимуму отраженного
поля. В частности для α=0.2 при Ω2 =1.6>π/2
вторая отраженная волна переносит 64 % энергии
Н. С. Городецкая, Е. А. Недилько 21
ISSN 1028 -7507 Акустичний вiсник. 2013 – 2014. Том 16, N 1. С. 16 – 26
2
2 3 4 5
E2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
2
3
4
Рис. 3. Частотные зависимости энергии
второй распространяющейся отраженной волны
(при падении из более широкой части волновода):
1 – α=0.2; 2 – α=0.4; 3 – α=0.6; 4 – α=0.8
2
1 2 3 4 5
Ak1
0
0.5
1
1.5
2
1
2
3
4
Рис. 4. Частотные зависимости модуля
амплитуды отраженной нормальной волны
с первым комплексным волновым числом
(при падении из более широкой части волновода):
1 – α=0.2; 2 – α=0.4; 3 – α=0.6; 4 – α=0.8
падающей волны, первая отраженная – 27 %,
а первая прошедшая – 0.9 %. При дальнейшем
возрастании частоты в том диапазоне, где наблю-
дается максимальная эффективность отражения,
энергия второй отраженной моды увеличивается,
первой отраженной – падает, а прошедшей –
растет. Несмотря на то, что отражающие свой-
ства границы в основном определяются уровнем
возбуждения второй распространяющейся волны,
первая отраженная волна также возбуждается
достаточно сильно. Для α=0.4 характер распре-
деления энергии падающей волны между двумя
отраженными и одной прошедшей волной анало-
гичен. При дальнейшем увеличении α ситуация
меняется: хотя выше своей частоты запирания
вторая отраженная распространяющаяся волна
и увеличивает свою энергоемкость, но первая
прошедшая волна остается определяющей в
распределении энергии, вносимой в систему, и
большая часть энергии падающей волны проходит
в более узкую часть волновода. Для α=0.6 эта
доля составляет 73.7 % E0, а для α=0.8 – 96.1 %.
Таким образом, можно сделать вывод о том,
что первый локальный максимум в энергии отра-
женного поля обусловлен появлением второй отра-
женной распространяющейся волны, а уровень ее
возбуждения определяет эффективность отража-
ющих свойств границы.
На рис. 2 в области более высоких частот наблю-
дается второй локальный максимум энергии отра-
женного поля. Отметим, что для всех значений α
вблизи частоты второго максимума в отраженном
поле существуют две распространяющиеся волны.
В прошедшем же поле на исследуемых частотах
могут распространяться одна или две волны. В
частности, для α=0.2 частота запирания для вто-
рой моды лежит вне рассмотренного диапазона.
Для α=0.4 вторая волна появляется на частоте
Ω2 =3.8; для α=0.6 – при Ω2 =2.6; а для α=0.8 –
при Ω2 =1.9. На этих частотах не наблюдается
резких изменений отражающих свойств границы.
Очевидно, что увеличение эффективности отра-
жения на более высоких частотах обусловлено осо-
бенностями возбуждения неоднородных волн.
На рис. 4 представлены частотные зависимости
модуля амплитуды отраженной нормальной вол-
ны с первым комплексным волновым числом. Пре-
жде всего, отметим, что для величин α=0.2, 0.4 и
0.6 модуль амплитуды неоднородной волны с пер-
вым комплексным волновым числом превышает
амплитуду падающей волны. С увеличением α (то-
лщины первой полуполосы, в которой существует
прошедшее поле) амплитуда неоднородной волны
падает, а ее максимум смещается в область более
высоких частот. Сравнение рис. 2 и 4 показыва-
ет, что второй локальный максимум энергии отра-
женного поля коррелирует с максимумом ампли-
туды неоднородной волны с первым комплексным
волновым числом. С увеличением α величина ма-
ксимума по энергии и по модулю амплитуды нео-
днородной волны падает, смещаясь в более высо-
кочастотную область.
На рис. 5 представлены зависимости модуля
22 Н. С. Городецкая, Е. А. Недилько
ISSN 1028 -7507 Акустичний вiсник. 2013 – 2014. Том 16, N 1. С. 16 – 26
амплитуды прошедшей волны с первым компле-
ксным волновым числом от частоты Ω2. Для
α=0.2, 0.8 амплитуда прошедшей неоднородной
волны с первым комплексным волновым числом
в определенных частотных диапазонах превышает
амплитуду падающей. Однако установить корре-
ляцию между уровнем возбуждения неоднородной
волны и эффективностью прохождения энергии во
вторую среду не удалось.
Таким образом, для случая падения волны из
более широкой полуполосы при отражении первой
нормальной волны от границы раздела в ступенча-
том волноводе существуют два диапазона частот,
в которых наблюдается увеличение энергии отра-
женного поля. Более низкочастотный из них свя-
зан со значительным возбуждением в отраженном
поле второй распространяющейся волны вблизи
ее частоты запирания и не зависит от величины
α. Максимум энергии отраженного поля, наблю-
даемый в области более высоких частот, связан
со значительным возбуждением отраженной нео-
днородной волны. В этой ситуации как его распо-
ложение, так и величина в значительно степени
определяются значением α. Отметим, что оба ма-
ксимума наблюдаются в той области частот, где в
отраженном поле существуют две распространяю-
щиеся волны.
Рассмотрим падение волны из более узкого вол-
новода. На рис. 6 для этой ситуации представлена
энергия волны в отраженном поле в зависимости
от частоты Ω2 =ωH/c2. Сравнение рис. 2 и 6 пока-
зывает, что соответствующие частотные зависимо-
сти сохраняют много общего независимо от того,
из какого волновода первая распространяющаяся
волна падает на ступеньку. В обоих случаях выде-
ляются два частотных диапазона, в которых энер-
гия отраженного поля увеличивается, а ее первый
пик наблюдается на частоте появления второй рас-
пространяющейся волны (Ω2 =π/2). При падении
волны из более узкого волновода вторая распро-
страняющаяся волна (как и волны высших поряд-
ков) появляется в прошедшем поле раньше, чем
в отраженном. В отличие от случая падения вол-
ны из более широкого волновода, при появлении в
прошедшем поле второй распространяющейся мо-
ды она не становиться доминирующей выше своей
частоты запирания, а рассеянное поле в основном
определяется первыми отраженной или прошед-
шей распространяющимися волнами. При этом,
в зависимости от величины α, доминировать бу-
дут отраженная или прошедшая волна. Эти рас-
суждения в целом подтверждает анализ рис. 7, а,
на котором представлены частотные зависимости
энергии первой отраженной волны и рис. 7, б (то
2
1 2 3 4 5
Ktr
0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
1 2
3
4
Рис. 5. Частотные зависимости модуля
амплитуды прошедшей нормальной волны
с первым комплексным волновым числом
(при падении из более широкой части волновода):
1 – α=0.2; 2 – α=0.4; 3 – α=0.6; 4 – α=0.8
2
1 2 3 4 5
Er
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1
2
3
4
Рис. 6. Частотные зависимости
энергии волн в отраженном поле
(при падении из более узкой части волновода):
1 – α=0.2; 2 – α=0.4; 3 – α=0.6; 4 – α=0.8
же для второй прошедшей волны). Отметим, что
энергия отраженного поля вблизи частоты запи-
рания для второй распространяющейся волны в
основном определяется первой отраженной вол-
ной. Вторая же прошедшая волна для всех рас-
смотренных значений α переносит не более 20 %
энергии падающей волны.
Таким образом, хотя первый пик энергии отра-
женного поля наблюдается на частоте Ω2 =π/2 не-
Н. С. Городецкая, Е. А. Недилько 23
ISSN 1028 -7507 Акустичний вiсник. 2013 – 2014. Том 16, N 1. С. 16 – 26
2
1 2 3 4 5
Er1
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1
2
3
4
2
1.5 2 2.5 3
Et2
0
0.05
0.1
0.15
0.2
0.25
0.3
1
2
3
4
а б
Рис. 7. Частотные зависимости энергии
распространяющихся нормальных волн
(при падении из более узкой части волновода):
а – первая отраженная волна, б – вторая прошедшая волна;
1 – α=0.2, 2 – α=0.4, 3 – α=0.6, 4 – α=0.8
2
1 2 3 4 5
Akr1
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1
2
3
4
2
1 2 3 4 5
Akt1
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
1
23
4
а б
Рис. 8. Частотные зависимости модуля амплитуды
неоднородной волны с первым комплексным волновым числом
(при падении из более узкой части волновода):
а – отраженное поле, б – прошедшее поле;
1 – α=0.2; 2 – α=0.4; 3 – α=0.6; 4 – α=0.8
зависимо от направления распространения пада-
ющей волны, причины его появления различны.
Если волна падает из более широкого волновода,
этот максимум обусловлен значительным возбу-
ждением второй отраженной волны, а при падении
из более узкого волновода – увеличением энергии,
переносимой первой отраженной волной.
Сопоставление рис. 2 и 6 показывает, что при
обоих направлениях падения волны частоты, на
которых наблюдается второй пик, значения энер-
24 Н. С. Городецкая, Е. А. Недилько
ISSN 1028 -7507 Акустичний вiсник. 2013 – 2014. Том 16, N 1. С. 16 – 26
гии отраженного поля для α=0.6 и 0.8 совпадают,
а для α=0.2 и 0.4 отличаются не более, чем на
8 %. Тем не менее, причины возникновения этого
максимума при распространении падающей волны
в более узком или более широком волноводах ра-
зличны. Если волна падает из в более узкой части
волновода, то во всем рассмотренном частотном
диапазоне модуль амплитуды неоднородной вол-
ны с первым комплексным волновым числом (как
в отраженном, так и в прошедшем полях) не пре-
вышает амплитуду падающей волны.
Рассмотрим частотные зависимости модуля ам-
плитуды неоднородной волны с первым ком-
плексным волновым числом для отраженного
(рис. 8, а) и прошедшего (рис. 8, б) поля. В отли-
чие от падения первой нормальной волны из бо-
лее широкого волновода, в данном случае модуль
амплитуды неоднородной волны с первым компле-
ксным волновым числом увеличивается с ростом
α. Частотная зависимость модуля амплитуды нео-
днородной волны для прошедшего поля носит ре-
зонансный характер, причем ее амплитуда дости-
гает лишь около 50 % амплитуды падающей вол-
ны. В отраженном же поле только при α=0.8 ам-
плитуда неоднородной волны в рассмотренном ча-
стотном диапазоне увеличивается до 0.9Ak0. Для
других значений α неоднородные волны возбужда-
ются довольно слабо.
Таким образом, хотя второй пик энергии отра-
женного поля не связан со значительным увели-
чением возбуждения неоднородных волн, возра-
стание энергии отраженного поля обусловлено на-
растанием амплитуды первой отраженной распро-
страняющейся волны.
ЗАКЛЮЧЕНИЕ
При отражении первой нормальной волны от
границы раздела в материально однородном сту-
пенчатом волноводе существуют два диапазона
частот, в которых наблюдается увеличение энер-
гии отраженного поля. Первый из них расположен
вблизи частоты запирания для второй распростра-
няющейся волны в более широком волноводе. При
этом, если распространяющаяся волна падает из
более узкого волновода, то пик энергии наблюда-
ется на частоте запирания для второй прошедшей
волны и не изменяется при варьировании отноше-
ния ширин полуполос α=h/H. При этом увели-
чение энергии отраженного поля обусловлено рос-
том амплитуды первой отраженной распространя-
ющейся волны, а ее максимальное значение падает
с увеличением α.
Если распространяющаяся волна падает из бо-
лее широкого волновода, то частота, соответству-
ющая первому максимуму отраженного поля, мо-
жет смещаться в более высокочастотную область
относительно частоты запирания для второй рас-
пространяющейся волны в зависимости от величи-
ны α. Возрастание частоты, на которой наблюда-
ется этот максимум, не превышает 8 % от указан-
ной частоты запирания. В этом случае возраста-
ние энергии отраженного поля обусловлено зна-
чительным возбуждением второй распространяю-
щейся отраженной волны, а максимальное ее зна-
чение падает с увеличением α.
Второй пик энергии отраженного поля наблю-
дается в той области частот, для которой в более
широком волноводе распространяются две волны.
Частота, на которой он наблюдается, незначитель-
но изменяется при смене направления распростра-
нения падающей волны, смещаясь при увеличении
α в более высокочастотную область. Если падаю-
щая волна распространяется в более широком вол-
новоде, то существование указанного максимума
обусловлено значительным возбуждением неодно-
родных волн.
1. Diligent O., Grahn T., Bostrom A., Cawley P.,
Lowe M. J. S. The lowfrequency reflection and
scattering of the S0 Lamb mode from a circular
through-thickness hole in a plate: finite element,
analytical and experimental studies // J. Acoust.
Soc. Amer.– 2002.– 112, № 6.– С. 2589–2601.
2. Castaings M., Le-Clezio E., Hosten B. Modal
decomposition method for modeling the interaction
of Lamb waves with cracks // J. Acoust. Soc. Amer.–
2002.– 112, № 6.– С. 2567–2582.
3. Cho Y., Rose J. L. An elastodynamic hybrid
boundary element study for elastic wave interactions
with a surface breaking defect // Int. J. Solid Struct.–
2000.– 37.– С. 4103–4124.
4. Cho Y. Estimation of ultrasonic guided wave mode
conversion in a plate with thickness variation // IEEE
Trans. Ultrason. Ferroelectr. Freq. Control.– 2000.–
37, № 3.– С. 591–603.
5. Benmmeddour F., Grondel S., Assaad J., Moulin E.
Study of the fundamental Lamb modes interaction
with symmetrical notches // NDT & E Int.– 2008.–
41.– С. 1–9.
6. Гетман И. П., Лисицкий О. Н. Отражение и прохо-
ждение звуковых волн через границу раздела двух
состыкованных упругих полуполос // Прикл. мат.
мех.– 1988.– 52, № 6.– С. 1044–1048.
7. Городецкая Н. С. Дифракция волн Рэлея – Лэмба
на вертикальной границе в составном упругом вол-
новоде // Акуст. вiсн.– 2000.– 3, № 1.– С. 1–13.
8. Городецкая Н. С. Трансформация энергии падаю-
щей волны на границе раздела в составном волно-
воде // Акуст. вiсн.– 2001.– 4, № 1.– С. 17–25.
9. Вовк Л. П. Анализ локальных особенностей вол-
нового поля в сингулярных точках составной обла-
сти // Вiсн. Сумськ. держ. ун-ту. Сер. фiзика, ма-
тематика, механика.– 2003.– 10(56).– С. 144–156.
Н. С. Городецкая, Е. А. Недилько 25
ISSN 1028 -7507 Акустичний вiсник. 2013 – 2014. Том 16, N 1. С. 16 – 26
10. Глушков Е. В., Глушкова Н. В., Лапина О. Н. Ди-
фракция нормальных мод в составных и ступен-
чатых упругих волноводах // Прикл. мат. мех.–
1998.– 62, № 2.– С. 297–303.
11. Городецкая Н. С., Недилько Е.А. Энергетические
особенности дифракции изгибных волн на верти-
кальной границе в составном волноводе // Акуст.
вiсн.– 2012.– 15, № 2.– С. 17–27.
12. Городецкая Н. С. Дифракция волн Рэлея –Лэмба
на границе раздела двух состыкованых упругих
полуполос разной ширины // Акуст. вiсн.– 2000.–
3, № 3.– С. 32–42.
13. Гринченко В. Т., Мелешко В. В. Гармонические
колебания и волны в упругих телах.– К.: Наук.
думка, 1981.– 284 с.
14. Боджи Д. Действие поверхностных нагрузок на
систему из двух соединенных вдоль одной из гра-
ней упругих клиньев, изготовленных из различ-
ных материалов и имеющих произвольные углы //
Прикладная механика. Тр. Амер. общ. инж.-мех.–
1971.– 38, № 2.– С. 87–96.
15. Прудников А. П., Брычков Ю. А., Маричев О. И.
Интегралы и ряды. Элементарные функции.– М.:
Наука, 1981.– 800 с.
16. Гринченко В. Т.,Городецкая Н. С., Старовойт И. В.
Антисимметричные колебания полуполосы. Нео-
днородные волны // Акуст. вiсн.– 2009.– 12, № 2.–
С. 16–24.
26 Н. С. Городецкая, Е. А. Недилько
|