Расчет частотной характеристики несимметричного пьезоэлектрического акселерометра

Построена математическая модель несимметричного биморфного пьезоэлектрического акселерометра. Выведено уточненное выражение для аксиальной координаты нейтральной поверхности чувствительного элемента. В явном виде получены формулы для его физико-механических характеристик. Выполнен расчет частотной з...

Повний опис

Збережено в:

Бібліографічні деталі
Дата:	2013
Автори:	Петрищев, О.Н., Коржик, А.В., Богданов, А.В.
Формат:	Стаття
Мова:	Russian
Опубліковано:	Інститут гідромеханіки НАН України 2013
Назва видання:	Акустичний вісник
Онлайн доступ:	http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/116203
Теги:	Додати тег Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
Назва журналу:	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
Цитувати:	Расчет частотной характеристики несимметричного пьезоэлектрического акселерометра / О.Н. Петрищев, А.В. Коржик, А.В. Богданов // Акустичний вісник — 2013-2014. —Т. 16, № 2. — С. 47-55. — Бібліогр.: 16 назв. — рос.

Репозитарії

Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine

id	irk-123456789-116203
record_format	dspace
spelling	irk-123456789-1162032017-04-23T03:02:57Z Расчет частотной характеристики несимметричного пьезоэлектрического акселерометра Петрищев, О.Н. Коржик, А.В. Богданов, А.В. Построена математическая модель несимметричного биморфного пьезоэлектрического акселерометра. Выведено уточненное выражение для аксиальной координаты нейтральной поверхности чувствительного элемента. В явном виде получены формулы для его физико-механических характеристик. Выполнен расчет частотной зависимости чувствительности преобразователя и проанализирована ее зависимость от различных параметров акселерометра. Побудовано математичну модель несиметричного біморфного п'єзоелектричного акселерометра. Виведено уточнений вираз для аксіальної координати нейтральної поверхні чутливого елемента. У явному вигляді отримано формули для його фізико-механічних характеристик. Проведено розрахунок частотної характеристики перетворювача й проаналізовано її залежності від різних параметрів акселерометра. The paper deals with developing of a mathematical model of asymmetric bimorph piezoelectric accelerometer. An improved expression for axial position of a neutral sensor surface is obtained. The explicit formulas for its physical and mechanical characteristics are deduced. The frequency response of transducer is calculated with subsequent analysis of its dependence from various parameters of the accelerometer. 2013 Article Расчет частотной характеристики несимметричного пьезоэлектрического акселерометра / О.Н. Петрищев, А.В. Коржик, А.В. Богданов // Акустичний вісник — 2013-2014. —Т. 16, № 2. — С. 47-55. — Бібліогр.: 16 назв. — рос. 1028-7507 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/116203 534.232.082.73 ru Акустичний вісник Інститут гідромеханіки НАН України
institution	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
collection	DSpace DC
language	Russian
description	Построена математическая модель несимметричного биморфного пьезоэлектрического акселерометра. Выведено уточненное выражение для аксиальной координаты нейтральной поверхности чувствительного элемента. В явном виде получены формулы для его физико-механических характеристик. Выполнен расчет частотной зависимости чувствительности преобразователя и проанализирована ее зависимость от различных параметров акселерометра.
format	Article
author	Петрищев, О.Н. Коржик, А.В. Богданов, А.В.
spellingShingle	Петрищев, О.Н. Коржик, А.В. Богданов, А.В. Расчет частотной характеристики несимметричного пьезоэлектрического акселерометра Акустичний вісник
author_facet	Петрищев, О.Н. Коржик, А.В. Богданов, А.В.
author_sort	Петрищев, О.Н.
title	Расчет частотной характеристики несимметричного пьезоэлектрического акселерометра
title_short	Расчет частотной характеристики несимметричного пьезоэлектрического акселерометра
title_full	Расчет частотной характеристики несимметричного пьезоэлектрического акселерометра
title_fullStr	Расчет частотной характеристики несимметричного пьезоэлектрического акселерометра
title_full_unstemmed	Расчет частотной характеристики несимметричного пьезоэлектрического акселерометра
title_sort	расчет частотной характеристики несимметричного пьезоэлектрического акселерометра
publisher	Інститут гідромеханіки НАН України
publishDate	2013
url	http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/116203
citation_txt	Расчет частотной характеристики несимметричного пьезоэлектрического акселерометра / О.Н. Петрищев, А.В. Коржик, А.В. Богданов // Акустичний вісник — 2013-2014. —Т. 16, № 2. — С. 47-55. — Бібліогр.: 16 назв. — рос.
series	Акустичний вісник
work_keys_str_mv	AT petriŝevon rasčetčastotnojharakteristikinesimmetričnogopʹezoélektričeskogoakselerometra AT koržikav rasčetčastotnojharakteristikinesimmetričnogopʹezoélektričeskogoakselerometra AT bogdanovav rasčetčastotnojharakteristikinesimmetričnogopʹezoélektričeskogoakselerometra
first_indexed	2025-07-08T10:00:40Z
last_indexed	2025-07-08T10:00:40Z
_version_	1837072479881789440
fulltext	ISSN 1028 -7507 Акустичний вiсник. 2013 – 2014. Том 16, N 2. С. 47 – 55 УДК 534.232.082.73 РАСЧЕТ ЧАСТОТНОЙ ХАРАКТЕРИСТИКИ НЕСИММЕТРИЧНОГО ПЬЕЗОЭЛЕКТРИЧЕСКОГО АКСЕЛЕРОМЕТРА О. Н. П Е ТРИ Щ ЕВ, А. В. К О РЖ И К, А. В. БО Г Д А НО В∗ Национальный технический университет Украины “КПИ” пр. Победы, 37, 03056, Киев, Украина ∗oleksiib@gmail.com Получено 12.12.2012 � Пересмотрено 10.03.2014 Построена математическая модель несимметричного биморфного пьезоэлектрического акселерометра. Выведено уточненное выражение для аксиальной координаты нейтральной поверхности чувствительного элемента. В явном виде получены формулы для его физико-механических характеристик. Выполнен расчет частотной зависимости чувствительности преобразователя и проанализирована ее зависимость от различных параметров акселерометра. КЛЮЧЕВЫЕ СЛОВА: пьезоэлектрика, несимметричный биморф, акселерометр, нейтральная поверхность, часто- тная характеристика Побудовано математичну модель несиметричного бiморфного п’єзоелектричного акселерометра. Виведено уто- чнений вираз для аксiальної координати нейтральної поверхнi чутливого елемента. У явному виглядi отримано формули для його фiзико-механiчних характеристик. Проведено розрахунок частотної характеристики перетворю- вача й проаналiзовано її залежностi вiд рiзних параметрiв акселерометра. КЛЮЧОВI СЛОВА: п’єзоэлектрика, несиметричний бiморф, акселерометр, нейтральна поверхня, частотна хара- ктеристика The paper deals with developing of a mathematical model of asymmetric bimorph piezoelectric accelerometer. An improved expression for axial position of a neutral sensor surface is obtained. The explicit formulas for its physical and mechanical characteristics are deduced. The frequency response of transducer is calculated with subsequent analysis of its dependence from various parameters of the accelerometer. KEY WORDS: piezoelectricity, asymmetric bimorph, accelerometer, neural surface, frequency response ВВЕДЕНИЕ Пьезоффект широко применяется для транс- формациии механического воздействия в электри- ческий сигнал. На этом принципе построена ра- бота множества приемников различного назначе- ния. Одними из ярких примеров таких прием- ников являются пьезоэлектрические акселероме- тры, использующие явление возникновения разно- сти электрических потенциалов при изгибных ко- лебаниях многослойных (биморфных) пластин [1]. Классической считается модель симметричного пьезокерамического биморфа, однако на практи- ке такие чувствительные элементы весьма хрупки. Поэтому с целью придания акселерометру боль- шей прочности и ударостойкости в составе эле- ктромеханических устройств для измерения кине- матических величин в качестве первичных пре- образователей зачастую используются несимме- тричные относительно плоскости поперечного се- чения z=0 биморфные элементы с металлической подложкой [2, 3], рис. 1. Возникает естественный вопрос о нахождении частотной характеристики такого датчика, опре- деляющей диапазон, в котором возможно эф- фективное использование преобразователя. Рабо- Рис. 1. Схема несимметричного биморфного элемента c© Петрищев О. Н., Коржик А. В., Богданов А. В., 2013 – 2014 47 ISSN 1028 -7507 Акустичний вiсник. 2013 – 2014. Том 16, N 2. С. 47 – 55 R2 -h R0 z R1 O -z0 Z Iei t U ( )ei t 4 3 2 1 W 0 e i t Рис. 2. Схема пьезоэлектрического акселерометра та симметричных биморфных пьезоэлектрических элементов (БПЭ) в режимах излучения и приема ультразвуковых волн рассмотрена в работах [4, 5]. Частотные характеристики несимметричных БПЭ в условиях излучения и приема ультразвука иссле- дованы в [6, 7]. Несимметричный БПЭ в режиме регистрации избыточного давления, создаваемого падающей ультразвуковой волной, рассматривался в ста- тьях [8, 9]. В них была предпринята попытка ана- литического описания вынужденных колебаний жестко склеенных между собой в плоскости z=0 металлического и пьезоэлектрического дисков (см. рис. 1). Следует отметить, что вопрос о часто- тной характеристике несимметричного БПЭ в ре- жиме прямого пьезоэлектрического эффекта в ра- ботах [8, 9] не получил окончательного разреше- ния. Более того, в них отсутствуют результаты, ко- торые можно было бы рекомендовать к использо- ванию в практической деятельности разработчи- ков устройств пьезоэлектроники. Основаниями для такого заключения послужи- ли не вполне корректные, на наш взгляд, выводы, сделанные в упомянутых публикациях. Во-первых, в статье [8] неверно определена на- пряженность электрического поля, которое возни- кает внутри пьезоэлектрического диска, деформи- руемого внешними силами. Это повлекло за собой определение изгибной жесткости без учета связно- сти упругих и электрических полей в объеме де- формируемого пьезоэлектрика. Во-вторых, авторы работ [8,9] фактически отка- зались от принципиального в теории поперечно- го изгиба понятия нейтральной плоскости, на- зывая ее в различных местах то “поверхностью приведения”, то “исходной плоскостью”. Формулы же, определяющие аксиальную координату “исхо- дной плоскости” (они весьма напоминают аналоги- чные соотношения из статьи [10]), в действитель- ности не описывают положение нейтральной по- верхности. Очевидно, что неправильное определе- ние координат последней приводит к существен- ной ошибке при вычислении изгибной жесткости биморфного элемента. Это ставит под сомнение результаты всех количественных оценок, в том чи- сле и для резонансных частот БПЭ. В-третьих, в обсуждаемых публикациях допу- щены ошибки в формулировках граничных усло- вий (см. [8, выражения (29), (30)] и [9, выраже- ния (14), (15)]), что делает исследование часто- тных зависимостей характеристик БПЭ еще более проблематичным. Более того, в работе [9] присут- ствует, по меньшей мере, дискуссионная рекомен- дация: “. . . в области низких частот, где в основ- ном используются подобные преобразователи, для оценки чувствительности можно пользоваться со- ответствующими статическими решениями”. Таким образом, вопрос о построении матема- тических моделей несимметричных БПЭ в режи- ме прямого пьезоэлектрического эффекта остае- тся открытым до настоящего времени. Цель дан- ной статьи состоит в полном разрешении этого во- проса в рамках гипотезы Кирхгофа. Напомним, что эта гипотеза определяет деформированное со- стояние при поперечном изгибе как результат по- ворота сечений, перпендикулярных нейтральной плоскости, вокруг располагающихся в ней осей. 1. РАСЧЕТНАЯ СХЕМА ПЬЕЗОЭЛЕКТРИ- ЧЕСКОГО АКСЕЛЕРОМЕТРА Общая схема несимметричного акселерометра изображена на рис. 2. Корпус акселерометра 1 (приемник вибраций) совершает гармонические колебания в направлении оси Oz со смещением w(z)=W0e iωt, где W0 – известная амплитуда. В би- морфном элементе акселерометра, состоящем из металлической пластины 2 с наклеенной на нее пьезокерамической шайбой 3 эти колебания транс- формируются в поперечный изгиб. Позиция 4 со- ответствует недеформируемому подвижному цен- тру, который используется для управления пара- метрами частотной характеристики пьезоэлектри- ческого акселерометра. Металлическая пластина имеет форму диска и характеризуется толщиной h, плотностью ρm, модулем Юнга E, коэффициен- том Пуассона ν . Пьезоэлектрическая шайба имеет толщину α, внутренний радиус R0, внешний ра- диус R1. Она выполнена из поляризованной по то- лщине пьезокерамики типа ЦТС, которая характе- ризуется модулями упругости cE 11, cE 12, cE 33; пьезо- модулями e31, e33 и диэлектрической проницаемо- стью χε 33. Считаем, что недеформируемый подви- жный центр имеет массу M . В процессе деформирования пьезокерамической 48 Петрищев О. Н., Коржик А. В., Богданов А. В. ISSN 1028 -7507 Акустичний вiсник. 2013 – 2014. Том 16, N 2. С. 47 – 55 шайбы в ней возникают поляризационные заря- ды, которые своим электрическим полем приводят в движение свободные носители электричества в проводнике. При этом на нагрузочном сопротив- лении, представляющем собой входное сопротив- ление усилителя или какой-либо другой электрон- ной схемы, формируется разность электрических потенциалов Uак(ω) – искомый отклик акселеро- метра на воздействие W0. Частотная характеристика чувствительности акселерометра Kак(ω, Π) определяется следую- щим образом: Kак(ω, Π) = Uак(ω)W0 . (1) Здесь Π – набор физико-механических и геометри- ческих параметров элементов акселерометра. 2. СХЕМА РАСЧЕТА АМПЛИТУДЫ РА- ЗНОСТИ ПОТЕНЦИАЛОВ НА ЭЛЕКТРИ- ЧЕСКОМ ВЫХОДЕ АКСЕЛЕРОМЕТРА Амплитуда гармонического переменного эле- ктрического тока в проводнике будет I = −iωQ. (2) Здесь Q – поляризационный заряд в деформиру- емой пьезокерамической шайбе. При этом справе- дливо Q = 2π R1 ∫ R0 ρDzdρ, (3) где Dz – аксиальный компонент вектора электри- ческой индукции. Предположим, что радиальная компонента электрической индукции перенебрежимо мала Dρ≈0 [1], а в деформируемой части акселе- рометра (R0≤ρ≤R2) существует напряженно- деформированное состояние поперечного осесим- метричного изгиба. При этом напряжения сжа- тия – растяжения σρρ, σφφ 6=0, а σzz =0. Из обоб- щенного закона Гука для упругих сред с пьезо- электрическим эффектом [1]: σρρ = cE 11ερρ + cE 12εφφ + cE 12εzz − e31Ez, σφφ = cE 12ερρ + cE 11εφφ + cE 12εzz − e31Ez, σzz = cE 12ερρ + cE 12εφφ + cE 33εzz − e33Ez = 0 следует, что εzz = cE 12 cE 33 (ερρ + εφφ) + e33 cE 33 Ez, (4) откуда Dz = e31(ερρ + εφφ) + e33εzz + χε 33Ez = = e∗31(ερρ + εφφ) + χσ 33Ez. (5) Здесь e∗31 = e31 − e33 cE 12 cE 33 ; χσ 33 = χε 33 + e2 33 cE 33 . Так как (Dρ, Dφ)=0 и div ~D=0, то Q = 2πe∗31 α R1 ∫ R0 ρ α ∫ 0 (ερρ +εφφ)dzdρ−Cσ 0 Uвых(ω), (6) где Cσ 0 =π(R2 1−R2 0)χ σ 33/α – статическая электри- ческая емкость электродированной пьезокерами- ческой шайбы; ερρ и εφφ – деформации сжатия – растяжения в радиальном и окружном направле- ниях [1]. Так как I =Uак(ω)/Zн, то, подставляя выраже- ние (6) в определение (1), получаем Uак(ω) = − 2e∗31ξe (R2 1 − R2 0)χ σ 33 × × R1 ∫ R0 ρ α ∫ 0 (ερρ + εφφ)dzdρ, (7) где ξe = iωCσ 0 Zн/(1−iωCσ 0 Zн) – частотно зависи- мая функция, которая определяет влияние эле- ктрической нагрузки на частотную характеристи- ку (чувствительность) акселерометра. Поскольку деформируемая часть акселерометра (R0≤ρ≤R2) испытывает гармонические колеба- ния поперечного изгиба, то в приближении теории тонких пластин деформации ερρ и εφφ записываю- тся следующим образом [1]: ερρ = −(z + z0) ∂2w1(ρ) ∂ρ2 , εφφ = −(z + z0) ∂w1(ρ) ρ∂ρ . (8) Здесь z0 – координата нейтрального слоя активной зоны акселерометра (R0≤ρ≤R1); w1(ρ) – прогиб активной зоны. Подставляя определение деформа- ций (8) в выражение (7), получаем Uак(ω) = − e∗31(α 2 + 2αz0)ξe (R2 1 − R2 0)χ σ 33 R1 ∂w1(ρ) ∂ρ ∣ ∣ ∣ ∣ ρ=R1 . (9) Петрищев О. Н., Коржик А. В., Богданов А. В. 49 ISSN 1028 -7507 Акустичний вiсник. 2013 – 2014. Том 16, N 2. С. 47 – 55 z -z0 -h O D C B A E F G H Рис. 3. К расчету координаты нейтрального слоя активной зоны пьезоэлектрического акселерометра Таким образом, для определения Uак(ω) и ча- стотной характеристики акселерометра Kак(ω, Π) необходимо найти прогибы w1(ρ) активной зоны. Расчет прогибов предполагает определение пара- метра z0 – координаты нейтрального слоя актив- ной зоны акселерометра. 3. НАПРЯЖЕНИЯ σρρ, σφφ , КООРДИНА- ТА z0 И ИНТЕГРАЛЬНЫЕ ХАРАКТЕРИ- СТИКИ НАПРЯЖЕННОГО СОСТОЯНИЯ АКТИВНОЙ ЗОНЫ ПЬЕЗОЭЛЕКТРИЧЕ- СКОГО АКСЕЛЕРОМЕТРА С учетом определения (4) обобщенный закон Гука для пьезокерамической шайбы записывается следующим образом [1]: σρρ = c11ερρ + c12εφφ − e∗31Ez, σφφ = c12ερρ + c11εφφ − e∗31Ez, (10) где c11 =cE 11−(cE 12) 2/cE 33; c12 =cE 12−(cE 12) 2/cE 33. Вычислим аксиальный компонент Ez вектора напряженности электрического поля в объеме де- формируемой пьезокерамической шайбы. Из условия div~D=0 следует, что ∂Dz/∂z=0. Интегрируя левую и правую части соотноше- ния (5) по переменной z, получаем эквивалентное ему выражение для расчета компонента Dz : Dz(ρ) = − e∗31 2ρ (α + 2z0) ∂ ∂ρ ( ρ ∂w1 ∂ρ ) − − χσ 33 α Uак(ω). (11) Сравнивая формулы (5) и (11) между собой, нахо- дим соотношение для расчета аксиального компо- нента вектора напряженности электрического по- ля: Ez(ρ) = − e∗31 2χσ 33 (α − 2z) 1 ρ ∂ ∂ρ ( ρ ∂w1 ∂ρ ) − − 1 α Uак(ω), (12) где Uак(ω) определено выражением (9). Теперь напряжения σρρ и σφφ можно записать так: σρρ = cD 11 [ −(z + z0) ( ∂2w1 ∂ρ2 + k∗ ρ ∂w1 ∂ρ ) + + K2 31(α + 2z0) 2(1 + K2 31) ( ∂2w1 ∂ρ2 + 1 ρ ∂w1 ∂ρ ) − − 2ξeR1 R2 1 − R2 0 ∂w1 ∂ρ ∣ ∣ ∣ ∣ ρ=R1 ] , (13) σφφ = cD 11 [ −(z + z0) ( k∗ ∂2w1 ∂ρ2 + 1 ρ ∂w1 ∂ρ ) + + K2 31(α + 2z0) 2(1 + K2 31) ( ∂2w1 ∂ρ2 + 1 ρ ∂w1 ∂ρ ) − − 2ξeR1 R2 1 − R2 0 ∂w1 ∂ρ ∣ ∣ ∣ ∣ ρ=R1 ] . (14) Здесь cD 11 = c11(1 + K2 31); cD 12 = c11(k + K2 31); K2 31 = (e∗31) 2 c11χσ 33 ; k∗ = cD 12 cD 11 ; k = c12 c11 . В слое металла в пределах активной зоны аксе- лерометра существуют напряжения σm ρρ и σm φφ, определяемые следующим образом: σm ρρ = − E(z + z0) 1 − ν2 ( ∂2w1 ∂ρ2 + ν ρ ∂w1 ∂ρ ) , σm φφ = − E(z + z0) 1 − ν2 ( ν ∂2w1 ∂ρ2 + 1 ρ ∂w1 ∂ρ ) . (15) Предположим, что геометрические и физико- механические параметры компонентов активной зоны акселерометра выбраны таким образом, что нейтральный слой находится в объеме металличе- ской пластины. Из равенства положительных (сжатие) и отри- цательных (растяжение) площадей под эпюрой 50 Петрищев О. Н., Коржик А. В., Богданов А. В. ISSN 1028 -7507 Акустичний вiсник. 2013 – 2014. Том 16, N 2. С. 47 – 55 нормальных напряжений рис. 3 следует, что прои- зводные от функции прогибов должны удовлетво- рять уравнению cD 11α 2 { Eh(h − 2z0) cD 11(1 − ν2)α × × [( 1 ν ) ∂2w ∂ρ2 + ( ν 1 ) 1 ρ ∂w ∂ρ ] − −(α + 2z0)× × [( 1 k∗ ) ∂2w ∂ρ2 + ( k∗ 1 ) 1 ρ ∂w ∂ρ ] + + K2 31(α + 2z0) 1 + K2 31 × × [ ∂2w ∂ρ2 + 1 ρ ∂w ∂ρ + 2ξe R ∂w(R) ∂ρ ] } = 0. (16) При этом верхние символы в круглых скобках со- ответствуют равенству площадей под эпюрами ра- диальных напряжений, нижние – окружных. Со- отношение (16) фактически представляет собой систему двух алгебраических уравнений относи- тельно производных функции прогибов w(ρ). Она может быть записана в следующем виде: A11 ∂2w1 ∂ρ2 + A12 1 ρ ∂w1 ∂ρ = A0, A12 ∂2w1 ∂ρ2 + A11 1 ρ ∂w1 ∂ρ = A0. (17) Здесь A 1{ 2 1 } = Eh(h − 2z0) cD 11(1 − ν2)α2 { ν 1 } − −(α + 2z0) { k∗ 1 } + K2 31(α + 2z0) 1 + K2 31 ; A0 = 2K2 31(α + 2z0)ξe (1 + K2 31)(R 2 1 − R2 0) R1 ∂w1 ∂ρ ∣ ∣ ∣ ∣ ρ=R1 . Разрешая систему уравнений (17) относительно производных от функции прогиба, находим ∂2w1 ∂ρ2 = 1 ρ ∂w1 ∂ρ = A0 A11 + A12 . (18) На границе раздела сред – в плоскости z=0 – должно в обязательном порядке выполняться условие σβ(0)=σm β (0) (β=ρ, ϕ), делающее возмо- жной процедуру окончательного определения па- раметра z0. Приравнивая друг к другу радиаль- ные напряжения в плоскости z=0, получаем [ −z0 + K2 31(α + 2z0) 2(1 + K2 31) + Ez0 cD 11(1 − ν2) ] ∂2w1 ∂ρ2 + + [ −z0k ∗ + K2 31(α + 2z0) 2(1 + K2 31) + Ez0ν cD 11(1 − ν2) ] 1 ρ ∂w1 ∂ρ = = − K2 31(α + 2z0) (1 + K2 31)(R 2 1 − R2 0) ξeR1 ∂w1 ∂ρ ∣ ∣ ∣ ∣ ρ=R1 . Из последнего выражения следует, что [ −z0(1 + k∗) + K2 31(α + 2z0) 2(1 + K2 31) + + Ez0 cD 11(1 − ν) ] ∂2w ∂ρ2 = = − K2 31(α + 2z0) (1 + K2 31)(R 2 1 − R2 0) ξeR1 ∂w1 ∂ρ ∣ ∣ ∣ ∣ ρ=R1 . (19) Рассматривая равенство площадей под эпюрами окружных напряжений σφφ(ρ) и σm φφ(ρ), приходим к соотношению, которое по форме и содержанию идентично уравнению (19). Исключая из него вто- рую производную функции прогиба и проводя оче- видные алгебраические преобразования, получаем окончательную формулу для координаты z0: z0 = α ξ2 − cD 11 E (1 − ν)(1 + k∗) 2(1 + ξ) , (20) где ξ=h/α. Для определения изгибной жесткости активной зоны пьезоэлектрического акселерометра вычи- слим интегральные характеристики напряженно- деформированного состояния – величины Mρ, Mϕ и Q1: Mρ = −(Dпэ + DM − D0) ∂2w1 ∂ρ2 − −(k∗Dпэ + νDM − D0) 1 ρ ∂w1 ∂ρ − M0, (21) Mφ = −(k∗Dпэ + νDM − D0) ∂2w1 ∂ρ2 − −(Dпэ + DM − D0) 1 ρ ∂w1 ∂ρ − M0. (22) Петрищев О. Н., Коржик А. В., Богданов А. В. 51 ISSN 1028 -7507 Акустичний вiсник. 2013 – 2014. Том 16, N 2. С. 47 – 55 Здесь Dпэ = 1 3 cD 11[(α + z0) 3 − z3 0 ]; DM = E 3(1 − ν2) [(h − z0) 3 + z3 0 ]; D0 = e2 31α 4χε 3 (α + 2z0) 2 ; M0 = e2 31ξeα 2χε 3(R 2 1 − R2 0) (α + 2z0) 2R1 ∂w1 ∂ρ ∣ ∣ ∣ ∣ ρ=R1 ; D1 = Dпэ + DM − D0. С точностью до бесконечно малых второго по- рядка малости в теории поперечного изгиба дока- зывается, что линейная плотность поперечных сил будет Q1 = 1 ρ [ Mφ − ρ ∂Mρ ∂ρ − Mρ ] , откуда следует, что Q1 = −D1 ( ∂3w1 ∂ρ3 + 1 ρ ∂2w1 ∂ρ2 − 1 ρ2 ∂w1 ∂ρ ) . (23) 4. ОПРЕДЕЛЕНИЕ СМЕЩЕНИЙ ЭЛЕМЕН- ТОВ АКТИВНОЙ И ПАССИВНОЙ ЗОН АКСЕЛЕРОМЕТРА Гармонические изгибные колебания активной зоны пьезоакселерометра описываются уравнени- ем ∇4w1 − λ4 1w1 = 0 ∀ρ ∈ [R0, R1], (24) общее решение которого, выражаемое через ци- линдрические функции, имеет следующий вид: w1(ρ) = A1J0(λ1ρ) + A2N0(λ1ρ)+ +A3I0(λ1ρ) + A4K0(λ1ρ). (25) Здесь λ4 1 =ω2(ρ0α+ρmh)/D1. Аналогичное по форме уравнение движения можно записать и для элементов (материальных частиц) пассивной зоны: ∇4w2 − λ4 2w2 = 0 ∀ρ ∈ [R1, R2]. (26) Его общее решение ищем в форме w2(ρ) = A5J0(λ2ρ) + A6N0(λ2ρ)+ +A7I0(λ2ρ) + A8K0(λ2ρ), (27) где λ4 2 =ω2ρmh/D2; D2 =Eh3/[12(1−ν2)] – изги- бная жесткость металлической пластины. Произвольные константы A1, . . . , A8, входящие в выражения (25), (27), определяются из следую- щих граничных условий: ∂w1 ∂ρ ∣ ∣ ∣ ∣ ρ=R0 = 0, [2πR0Q1(ρ) − Mω2w1(ρ)] ∣ ∣ ρ=R0 = 0, [w1(ρ) − w2(ρ)] ∣ ∣ ρ=R1 = 0, [ ∂w1(ρ) ∂ρ − ∂w2(ρ) ∂ρ ]∣ ∣ ∣ ∣ ρ=R1 = 0, M (1) ρ (ρ) − M (2) ρ (ρ)] ∣ ∣ ρ=R1 = 0, [Q1(ρ) − Q2(ρ)] ∣ ∣ ρ=R1 = 0, [w2(ρ) − W0] ∣ ∣ ρ=R2 = 0, ∂w2 ∂ρ ∣ ∣ ∣ ∣ ρ=R2 = 0. (28) Здесь M (2) ρ (ρ) = −D∗ m ( ∂2w2 ∂ρ2 + ν ρ ∂w2 ∂ρ ) ; D∗ m = E 3(1 − ν2) (h/2− z0) 3 ; Q2(ρ) = −D∗ m ( ∂3w2 ∂ρ3 + 1 ρ ∂2w2 ∂ρ2 − 1 ρ2 ∂w2 ∂ρ ) . Условия (28) образуют неоднородную систему из восьми линейных алгебраических уравнений, ко- торая разрешается относительно искомых кон- стант A1, . . . , A8 единственным образом. Обозначим символом ∆0 главный определитель полученной алгебраической системы. Тогда Ak = (−1)k+7W0 ∆k ∆0 , k = 1, (29) где ∆k – алгебраическое дополнение при элементе Ak, которое получается путем вычеркивания се- дьмой строки и k-го столбца определителя ∆0. С 52 Петрищев О. Н., Коржик А. В., Богданов А. В. ISSN 1028 -7507 Акустичний вiсник. 2013 – 2014. Том 16, N 2. С. 47 – 55 40 80 120 0 2 4 6 8 10 0 160 200 ,UAK f, = 1 ; h = 2 ; R0 = 5 ; R1 = 10 ; = 4; Z = 10 ; -19 – ; Q0 = 80 R2 = 12 R2 = 13 R2 = 14 R2 = 15 Рис. 4. Влияние радиуса R2 металлического диска на частотную характеристику пьезоэлектрического акселерометра 40 80 120 0 40 80 120 160 200 0 160 200 ,UAK f, R0 = 6 R0 = 7 R0 = 8 = 1 ; h = 2 ; R1 = 10 ; R2 = 12 ; = 4; Z = 10 ; -19 – ; Q0 = 80 Рис. 5. Влияние радиуса R0 недеформируемого подвижного центра на частотную характеристику пьезоэлектрического акселерометра учетом принятых обозначений получаем оконча- тельное выражение для искомой разницы электри- ческих потенциалов: Uак(ω) = −W0 e∗31(α 2 + 2z0α) (R2 1 − R2 0)χ σ 33∆0 × ×ξe(λ1R1) [ −∆1J1(λ1R1) + ∆2N1(λ1R1)+ +∆3I1(λ1R1) + ∆4K1(λ1R1) ] . (30) 40 80 120 0 40 80 120 160 200 0 160 200 ,UAK f, h = 2,0 = 1 ; R0 = 7 ; R1 = 10 ; R2 = 12 ; = 4; Z = 10 ; -19 – ; Q0 = 80 h = 1,5 h = 2,5 Рис. 6. Влияние толщины h металлического диска на частотную характеристику пьезоэлектрического акселерометра 5. АНАЛИЗ ПОЛУЧЕННЫХ РЕЗУЛЬТАТОВ Полученное уточненное выражение для эле- ктрического отклика несимметричного акселеро- метра позволяет количественно оценить часто- тную характеристику его чувствительности. На рис. 4 – 9 показаны результаты расчетов модуля разности электрических потенциалов при уров- не амплитуды воздействия W0 =1 м. Это приво- дит к значениям Uак(ω) порядка сотен мегавольт – единиц гигавольт. По осям абсцисс на всех графи- ках отложена частота. В качестве материалов пьезоэлектрического акселерометра выбраны пьезокерамика ЦТС- 19 и сталь. Физико-механические параметры пьезокерамики имеют следующие значения: cE 11 =112.2 ГПа; cE 12 =62.2 ГПа; cE 33=106 ГПа; ρ0 =7400 кг/м3; e31 =−7 Кл/м2; e33 =18 Кл/м2; χε 33 =1000χ0; χ0 =8.85 · 10−12 Ф/м. Добротность пьезокерамики выберем Q0 =80. Для стали счи- таем модуль Юнга E =210 ГПа; коэффициент Пуассона ν =0.31; плотность ρm =7900 кг/м3. Символом µ обозначим относительную массу подвижного центра µ=M/[2πR2 0(ρ0α+ρmh)], где M – полная масса недеформируемого подвижного центра. Из представленных на результатов расчетов сле- дует, что: • увеличение радиуса R2 металлического диска приводит к снижению резонансной частоты (см. рис. 4); • варьируя размер R0 недеформируемого цен- тра масс и толщину h металлического диска, Петрищев О. Н., Коржик А. В., Богданов А. В. 53 ISSN 1028 -7507 Акустичний вiсник. 2013 – 2014. Том 16, N 2. С. 47 – 55 40 80 120 0 40 80 120 160 200 0 160 200 ,UAK f, = 1 ; h = 2 ; R0 = 7 ; R1 = 10 ; R2 = 12 ; Z = 10 ; -19 – ; Q0 = 80 = 8 = 64 = 32 = 16 Рис. 7. Влияние относительной массы µ на частотную характеристику пьезоэлектрического акселерометра 0 40 16012080 200 0 -5 -10 -15 -20 -25 -30 -35 ,UU max AKAK f, = 1 ; h = 2 ; R0 = 7 ; R1 = 10 ; R2 = 12 ; = 32; -19 – ; Q0 = 80 Z = 1 Z = 10 Z = 100 Рис. 8. Влияние электрической нагрузки на частотную характеристику пьезоэлектрического акселерометра можно получить равномерный и, что самое главное, частотно независимый участок хара- ктеристики акселерометра в желаемом диапа- зоне частот (см. рис. 5, 6); • относительная масса акселерометра, электри- ческая нагрузка и масса недеформируемого центра масс влияют в основном на крутизну частотной характеристики на границах рав- номерного участка (см. рис. 7 – 9). Таким образом, в рамках принятых модельных представлений существует возможность построе- ния пьезоэлектрического акселерометра с практи- чески равномерной частотной характеристикой в пределах от 20 до 200 кГц, при условии допол- 0 40 16012080 200 0 -5 -10 -15 -20 -25 -30 -35 ,UU max AKAK = 4 f, = 1 ; h = 2 ; R0 = 7 ; R1 = 10 ; R2 = 12 ; Z = 10 ; -19 – ; Q0 = 80 = 8 = 16 = 32 = 64 Рис. 9. Влияние массы недеформируемого подвижного центра на частотную характеристику пьезоэлектрического акселерометра нительной ее коррекции в области низких частот. При этом глубина необходимой коррекции не пре- вышает (10 . . .15) дБ. ВЫВОДЫ В статье приведены основные результаты, полу- ченные в рамках прикладной теории несимметри- чных в разрезе биморфных пьезоэлектрических элементов. Она опирается на классические пред- ставления о деформированном состоянии при по- перечном осесимметричном изгибе круглых пла- стин, согласованные с основными фактами фе- номенологической теории пьезоэлектрических яв- лений и фундаментальными положениями техни- ческой электродинамики. Математические модели БПЭ в режиме прямого пьезоэлектрического эф- фекта доведены до уровня, когда их можно реко- мендовать к практическому использованию в про- цессе проектирования и разработки акселероме- тров с гладкой частотной характеристикой в за- данном диапазоне звуковых частот. 1. Гринченко В. Т., Улитко А. Ф., Шульга Н. А. Ме- ханика связанных полей в элементах конструкций. Том 5. Электроупругость.– К.: Наук. думка, 1989.– 290 с. 2. Домаркас В. И., Кажис Р.-И. Ю. Контрольно- измерительные преобразователи.– Вильнюс: Мин- тис, 1975.– 258 с. 3. Джагупов Р. Г., Ерофеев А. А. Пьезоэлектронные устройства вычислительной техники, систем кон- троля и управления.– СПб.: Политехника, 1994.– 608 с. 54 Петрищев О. Н., Коржик А. В., Богданов А. В. ISSN 1028 -7507 Акустичний вiсник. 2013 – 2014. Том 16, N 2. С. 47 – 55 4. Петрищев О. Н., Шаблатович А. Н. Исследование биморфного пьезоэлектрического преобразовате- ля в режиме излучения ультразвуковых колеба- ний // Электроника и связь.– 2003.– 18.– С. 120– 126. 5. Дидковский В. С., Петрищев О. Н., Шаблато- вич А. Н. Расчет передаточных характеристик би- морфного преобразователя в режиме приема уль- тразвуковых колебаний // Электроника и связь.– 2003.– 20.– С. 96–104. 6. Козерук С. А., Мартынюк А. Я., Петрищев О. Н. Исследование несимметричного биморфного пье- зоэлектрического элемента в режиме излучения ультразвуковых колебаний. Часть I. Обзор лите- ратуры и постановка задачи // Электроника и связь.– 2005.– 26.– С. 61–67. 7. Козерук С. А., Мартынюк А. Я., Петрищев О. Н. Исследование несимметричного биморфного пье- зоэлектрического элемента в режиме излучения ультразвуковых колебаний. Часть II. Моделиро- вание поперечного изгиба активной зоны и ра- счет частотной характеристики излучающего не- симметричного биморфного пьезоэлектрического элемента // Электроника и связь.– 2005.– 26.– С. 68–73. 8. Рудницкий С. И., Шарапов В. М., Шульга Н. А. Колебания дискового биморфного преобразовате- ля типа металл-пьезокерамика // Прикл. мех.– 1990.– 26, № 10.– С. 64–72. 9. Евсейчик Ю. Б., Рудницкий С. И., Шарапов В. М., Шульга Н.А. Чувствительность биморфного преобразователя типа металл-пьезокерамика // Прикл. мех.– 1990.– 26, № 12.– С. 67–75. 10. Аллавердиев А. М., Ахмедов Н. В., Шермер- гор Т. Д. Связанные изгибно-сдвиговые колебания слойно-ступенчатых дисковых пьезокерамических преобразователей // Прикл. мех.– 1987.– 23, № 5.– С. 59–66. 11. Новацкий В. Электромагнитные эффекты в твер- дых телах.– М.: Мир, 1986.– 160 с. 12. Берлинкур Д., Жаффе Г., Керран Д. Пьезоэле- ктрические и пьезомагнитные материалы и их применение в преобразователях // Физическая акустика. Том 1. Методы и приборы ультразву- ковых исследований. Часть А.– М.: Наука, 1966.– С. 204–326. 13. Доннел Л. Г. Балки, пластины и оболочки.– М.: Наука, 1982.– 567 с. 14. Тамм И. Е. Основы теории электричества.– М.: Наука, 1976.– 616 с. 15. Еругин Н. П., Штокало И. З., Бондаренко П. С., Павлюк И. А. и др. Курс обыкновенных диффе- ренциальных уравнений.– К.: Вища школа, 1974.– 472 с. 16. Абрамович М., Стиган И. Справочник по специ- альным функциям с формулами, графиками и математическими таблицами.– М.: Наука, 1979.– 832 с. Петрищев О. Н., Коржик А. В., Богданов А. В. 55

Расчет частотной характеристики несимметричного пьезоэлектрического акселерометра

Репозитарії

Схожі ресурси