Наведене магнiтне поле, обумовлене хвильовими полями за рухомим об’єктом у стратифiкованому середовищi

Розв'язана лінійна задача про збурення магнітного поля Землі, обумовлене полем швидкості морського середовища від поверхневих і внутрішніх хвиль, які утворюються при стаціонарному русі підводного об'єкта нижче тонкого термокліну глибокого моря. Розв'язок задачі одержано у вигляді квад...

Повний опис

Збережено в:

Бібліографічні деталі
Дата:	2011
Автори:	Городецький, О.В., Нiкiшов, В.I., Стеценко, О.Г.
Формат:	Стаття
Мова:	Ukrainian
Опубліковано:	Інститут гідромеханіки НАН України 2011
Назва видання:	Прикладна гідромеханіка
Теми:	Науковi статтi
Онлайн доступ:	http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/116264
Теги:	Додати тег Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
Назва журналу:	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
Цитувати:	Наведене магнiтне поле, обумовлене хвильовими полями за рухомим об’єктом у стратифiкованому середовищi / О.В. Городецький, В.I. Нiкiшов, О.Г. Стеценко // Прикладна гідромеханіка. — 2011. — Т. 13, № 1. — С. 10-23. — Бібліогр.: 17 назв. — укр.

Репозитарії

Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine

id	irk-123456789-116264
record_format	dspace
spelling	irk-123456789-1162642017-04-24T03:02:55Z Наведене магнiтне поле, обумовлене хвильовими полями за рухомим об’єктом у стратифiкованому середовищi Городецький, О.В. Нiкiшов, В.I. Стеценко, О.Г. Науковi статтi Розв'язана лінійна задача про збурення магнітного поля Землі, обумовлене полем швидкості морського середовища від поверхневих і внутрішніх хвиль, які утворюються при стаціонарному русі підводного об'єкта нижче тонкого термокліну глибокого моря. Розв'язок задачі одержано у вигляді квадратур. Виявлені особливості формування збуреного магнітного поля в залежності від характеру руху та характеристик об'єкту i стратифікованого середовища. Решена линейная задача о возмущении магнитного поля Земли, обусловленного полем скорости морской среды от поверхностных и внутренних волн, образующихся при стационарном движении подводного объекта ниже тонкого термоклина глубокого моря. Решение задачи получено в виде квадратур. Выявлены особенности формирования возмущенного магнитного поля в зависимости от характера движения и характеристик объекта и стратификации. A linear problem of perturbation of the magnetic field of the Earth, caused by the velocity field of the sea environment, produced by surface waves and internal waves resulting from the stationary movement of an undersea object under the thin thermal wedge of the deep sea is solved. The problem is solved in quadratures. Peculiarities of forming a disturbed magnetic field depending on the behavior of the movement and characteristics of an object and stratified medium are found. 2011 Article Наведене магнiтне поле, обумовлене хвильовими полями за рухомим об’єктом у стратифiкованому середовищi / О.В. Городецький, В.I. Нiкiшов, О.Г. Стеценко // Прикладна гідромеханіка. — 2011. — Т. 13, № 1. — С. 10-23. — Бібліогр.: 17 назв. — укр. 1561-9087 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/116264 532.59 uk Прикладна гідромеханіка Інститут гідромеханіки НАН України
institution	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
collection	DSpace DC
language	Ukrainian
topic	Науковi статтi Науковi статтi
spellingShingle	Науковi статтi Науковi статтi Городецький, О.В. Нiкiшов, В.I. Стеценко, О.Г. Наведене магнiтне поле, обумовлене хвильовими полями за рухомим об’єктом у стратифiкованому середовищi Прикладна гідромеханіка
description	Розв'язана лінійна задача про збурення магнітного поля Землі, обумовлене полем швидкості морського середовища від поверхневих і внутрішніх хвиль, які утворюються при стаціонарному русі підводного об'єкта нижче тонкого термокліну глибокого моря. Розв'язок задачі одержано у вигляді квадратур. Виявлені особливості формування збуреного магнітного поля в залежності від характеру руху та характеристик об'єкту i стратифікованого середовища.
format	Article
author	Городецький, О.В. Нiкiшов, В.I. Стеценко, О.Г.
author_facet	Городецький, О.В. Нiкiшов, В.I. Стеценко, О.Г.
author_sort	Городецький, О.В.
title	Наведене магнiтне поле, обумовлене хвильовими полями за рухомим об’єктом у стратифiкованому середовищi
title_short	Наведене магнiтне поле, обумовлене хвильовими полями за рухомим об’єктом у стратифiкованому середовищi
title_full	Наведене магнiтне поле, обумовлене хвильовими полями за рухомим об’єктом у стратифiкованому середовищi
title_fullStr	Наведене магнiтне поле, обумовлене хвильовими полями за рухомим об’єктом у стратифiкованому середовищi
title_full_unstemmed	Наведене магнiтне поле, обумовлене хвильовими полями за рухомим об’єктом у стратифiкованому середовищi
title_sort	наведене магнiтне поле, обумовлене хвильовими полями за рухомим об’єктом у стратифiкованому середовищi
publisher	Інститут гідромеханіки НАН України
publishDate	2011
topic_facet	Науковi статтi
url	http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/116264
citation_txt	Наведене магнiтне поле, обумовлене хвильовими полями за рухомим об’єктом у стратифiкованому середовищi / О.В. Городецький, В.I. Нiкiшов, О.Г. Стеценко // Прикладна гідромеханіка. — 2011. — Т. 13, № 1. — С. 10-23. — Бібліогр.: 17 назв. — укр.
series	Прикладна гідромеханіка
work_keys_str_mv	AT gorodecʹkijov navedenemagnitnepoleobumovlenehvilʹovimipolâmizaruhomimobêktomustratifikovanomuseredoviŝi AT nikišovvi navedenemagnitnepoleobumovlenehvilʹovimipolâmizaruhomimobêktomustratifikovanomuseredoviŝi AT stecenkoog navedenemagnitnepoleobumovlenehvilʹovimipolâmizaruhomimobêktomustratifikovanomuseredoviŝi
first_indexed	2025-07-08T10:06:57Z
last_indexed	2025-07-08T10:06:57Z
_version_	1837072874492395520
fulltext	ISSN 1561 -9087 Прикладна гiдромеханiка. 2011. Том 13, N 1. С. 10 – 23 УДК 532.59 НАВЕДЕНЕ МАГНIТНЕ ПОЛЕ, ОБУМОВЛЕНЕ ХВИЛЬОВИМИ ПОЛЯМИ ЗА РУХОМИМ ОБ’ЄКТОМ У СТРАТИФIКОВАНОМУ СЕРЕДОВИЩI О. В. Г ОР ОД Е Ц ЬК И Й, В. I. Н IК IШ ОВ, О. Г. С ТЕЦ Е НК О Iнститут гiдромеханiки НАН України, Київ Одержано 16.09.2010 Розв’язана лiнiйна задача про збурення магнiтного поля Землi, обумовлене полем швидкостi морського середовища вiд поверхневих i внутрiшнiх хвиль, якi утворюються при стацiонарному русi пiдводного об’єкта нижче тонкого термоклiну глибокого моря. Розв’язок задачi одержано у виглядi квадратур. Виявленi особливостi формування збу- реного магнiтного поля в залежностi вiд характеру руху та характеристик об’єкту i стратифiкованого середовища. Решена линейная задача о возмущении магнитного поля Земли, обусловленного полем скорости морской среды от поверхностных и внутренних волн, образующихся при стационарном движении подводного объекта ниже тонкого термоклина глубокого моря. Решение задачи получено в виде квадратур. Выявлены особенности формирования возмущенного магнитного поля в зависимости от характера движения и характеристик объекта и стратификации. A linear problem of perturbation of the magnetic field of the Earth, caused by the velosity field of the sea environment, produced by surface waves and internal waves resulting from the stationary movement of an undersea object under the thin thermal wedge of the deep sea is solved. The problem is solved in quadratures. Peculiarities of forming a disturbed magnetic field depending on the behavior of the movement and characteristics of an object and stratified medium are found. ВСТУП Збурення магнiтного поля Землi спричиняються механiзмами рiзної природи як космiчного, так i, власне, земного походження. В ряду останнiх зна- чне мiсце займають механiзми, якi визначенi про- цесами гiдродинамiчного характеру, що обумовле- не високою електропровiднiстю водних мас морiв i океанiв. Природа та характер джерел збурення ма- гнiтного поля Землi цими процесами дослiджува- лись у рядi робiт [1 – 4]. В океанi мають мiсце рухи рiзних масштабiв, вiд мiкроструктурних до плане- тарних. Рiзномасштабними є, вiдповiдно, i збурен- ня магнiтного поля Землi. Збiльшення чутливостi вимiрювальної апаратури дозволяє виявляти збу- рення все менших масштабiв та iнтенсивностi [1]. В цьому планi представляє iнтерес дослiдження на- веденого магнiтного поля, викликаного рухом пiд- водного об’єкта, особливо зважаючи на детермiно- ваний характер генерованих ним гiдродинамiчних збурень морського середовища. Це важливий фак- тор при проведеннi монiторингу в районi поверхнi морiв та океанiв для iдентифiкацiї природи вимi- рюваних збурень магнiтного поля. В роботах [5, 6] виконано дослiдження наведеного магнiтного по- ля вiд пiдводного об’єкта, який стацiонарно руха- ється в однорiдному (за густиною) середовищi. В роботi [6] в якостi такого об’єкта розглянуто тiло- овоїд, яке рухається достатньо далеко вiд вiльної поверхнi моря, так що можна не враховувати по- верхневi хвилi. В цих роботах показано, що iнтен- сивнiсть наведеного магнiтного поля вiд рухомих пiдводних тiл може бути зафiксована сучасною ви- мiрювальною апаратурою. Наявнiсть стратифiкацiї в реальних морях i оке- анах спричиняє утворення за рухомими пiдводни- ми об’єктами, крiм поверхневих хвиль, також по- ля внутрiшнiх хвиль. Це поле, яке утворюється в областi термоклiна, має тривалий перiод жит- тя i займає достатньо значну площу, яка в рухо- мiй системi координат, пов’язанiй з об’єктом, зна- ходиться всерединi клина з кутом розкриття 2α, де α = arctg (cqm/U), cqm – швидкiсть поширення переднього фронту внутрiшнiх хвиль, U – швид- кiсть руху об’єкта, а середня лiнiя кута спiвпадає з лiнiєю його руху. Тому представляє iнтерес визна- чення наведеного магнiтного поля i вiд вказаного механiзму, зважаючи, в тому числi, як вже вiдмi- чено, i на його детермiнований характер. Лiнiйнi задачi як стацiонарнi, так i нестацiонар- нi, по знаходженню полiв внутрiшнiх хвиль за ру- хомим об’єктом були предметом дослiдження зна- чної кiлькостi робiт у рiзних країнах свiту, вико- наних, головним чином, в 60–90-х роках минулого столiття. Детальний аналiз робiт цього напрямку наведено в оглядовiй роботi [7]. Спiльним у пiд- ходах до розв’язання задач цього класу є замiна рухомого тiла системою джерел i стокiв маси або силових джерел, обтiкання яких еквiвалентно об- тiканню розглядуваного тiла. 10 c© О. В. Городецький, В. I. Нiкiшов, О. Г. Стеценко, 2011 ISSN 1561 -9087 Прикладна гiдромеханiка. 2011. Том 13, N 1. С. 10 – 23 В данiй роботi в якостi пiдводного об’єкта, як i у [6], розглядається осесиметричне тiло–овоїд. Вiдомо [8], що безвiдривне обтiкання такого тiла потоком однорiдної рiдини в напрямку його по- здовжньої вiсi симетрiї iдентично обтiканню си- стеми джерела i стоку маси однакової iнтенсив- ностi, розташованих на його поздовжнiй вiсi симе- трiї на деякiй вiддалi одне вiд одного. При цьому потужнiсть джерела маси Q при заданiй швидко- стi руху U , радiусi поперечного мiделевого пере- рiзу R i вiддалi мiж джерелами 2a визначається однозначно. Враховуючи, що характерний лiнiй- ний масштаб стратифiкацiї значно бiльший вiд R, вiдповiднi спiввiдношення з достатньою ступiнню точностi можуть бути використанi i для випадку реальних стратифiкованих морiв i океанiв. Схема стратифiкацiї середовища, розглянена в данiй роботi, вiдповiдає моделi глибокого океану з наявнiстю вiдносно тонкого термоклiну, який iмi- тується стрибком густини, що роздiляє верхнiй шар товщиною L вiд нижнього напiвнескiнчено- го. В першiй частинi роботи розв’язується лiнiйна стацiонарна задача визначення збуреної швидко- стi середовища в полi поверхневих i внутрiшнiх хвиль, генерованих рухом овоїда нижче стрибка густини. В другiй частинi роботи визначається на- ведене магнiтне поле Землi, обумовлене цими по- лями швидкостi. При цьому використовується пiд- хiд, запропонований в роботах [5, 9]. На пiдставi виконаних чисельних експериментiв проаналiзова- но особливостi формування наведеного магнiтного поля в залежностi вiд параметрiв задачi. 1. ПОВЕРХНЕВI I ВНУТРIШНI ХВИЛI ЗА РУХОМИМ ОБ’ЄКТОМ Розглядається рiвномiрний рух овоїда на глиби- нi h зi швидкiстю U в двохшаровiй рiдинi з верхнiм шаром товщиною L < h i густиною ρ1 та нижнiм напiвнескiнченим шаром з густиною ρ2 > ρ1. Рiди- на вважається нев’язкою i нестисливою. Система координат пов’язана з рухомим об’єктом, її поча- ток знаходиться на вiльнiй поверхнi, вiсь 0x на- правлена в протилежному до вектора швидкостi руху напрямку, а вiсь 0z – вгору i проходить че- рез поздовжню вiсь симетрiї тiла через середину вiдрiзка мiж джерелом i стоком. Задача, що розглядається задача стацiонарна, однак, з метою коректного виконання умов випро- мiнювання, зручно використати нестацiонарну її постановку з наступним виходом на стацiонарний режим при великому часi t → ∞ [10]. Характер нестацiонарностi при цьому вибирається таким са- мим, як i у [10]. У початковий момент часу t = 0 миттєво включаються джерело i сток маси про- тужнiстю Q, якi починають рухатися зi сталою швидкiстю U в напрямку, протилежному напрям- ку вiсi 0x. Початковi умови задачi приймаються нульовими. 1.1. Математичне формулювання задачi В прийнятiй моделi рiдкого середовища вводи- ться потенцiал течiї φ такий, що u = ∂φ ∂x , v = ∂φ ∂y , w = ∂φ ∂z . Тодi аналогiчно [10] лiнеаризована система рiв- нянь руху з початковими i граничними умовами в безрозмiрнiй формi, де в якостi масштабу довжини взято L, масштабу для потенцiалу – UL, масшта- бу потужностi джерела – UL2 i масштабу часу – L/U , набирає вигляду ∆φn = QγnH(t) [δ(x+ a) − δ(x− a)] δ(y) × ×δ(z + h) , (1) D2φ1 + λ ∂φ1 ∂z = 0 при z = 0 , (2) при z = −1 : ∂φ1 ∂z = ∂φ2 ∂z , (3) D2φ1 + λ ∂φ1 ∂z = κ ( D2φ2 + λ ∂φ2 ∂z ) , (4) ( ∂φn ∂x , ∂φn ∂y , ∂φn ∂z ) → 0 при r → ∞ , (5) φn = 0 при t = 0 . (6) Тут κ = ρ2/ρ1 > 1; λ = gl/U2 – динамiчне число Фруда; r2 = x2 + y2 + (z + h)2; H(t) – одини- чна функцiя Хевiсайда; n = 1 вiдповiдає областi верхнього шару; n = 2 вiдповiдає областi нижньо- го шару; γ1 = 0 i γ2 = 1; D = ∂ ∂t + ∂ ∂x , D2 = ∂2 ∂t2 + 2 ∂2 ∂t∂x + ∂2 ∂x2 . 1.2. Метод iнтегральних перетворень Застосувуючи до потенцiалiв φn перетворення Фур’є по x i y i перетворення Лапласа по t, маємо φn = Q 8π3 Re ∞ ∫ −∞ eiµ∗xdµ∗ ∞ ∫ −∞ eiν∗ydν ε+i∞ ∫ ε−i∞ estφ̄nds , (7) О. В. Городецький, В. I. Нiкiшов, О. Г. Стеценко 11 ISSN 1561 -9087 Прикладна гiдромеханiка. 2011. Том 13, N 1. С. 10 – 23 де Re ε > 0 – як завгодно мала додатня величина, що зводить задачу знаходження функцiй–образiв φ̄n(µ∗, ν∗, s, t) до граничної задачi для звичайних диференцiальних рiвнянь: φ̄′′ n − k2φ̄n = −γn s ( eiµ∗a − e−iµ∗a ) δ(z + h) , (8) λφ̄′ 1 + (s+ iµ2 ∗) 2φ̄1 = 0 при z = 0 , (9) при z = −1 : φ̄′ 1 = φ̄′ 2 , (10) λφ̄′ 1 + (s+ iµ∗) 2φ̄1 = κ [ λφ̄′ 2 + (s+ iµ∗) 2 ] , (11) i φ̄′ 2 → 0 при z → −∞ . (12) Тут(′) означає похiдну по z. Задача (8)–(12) має розв’язок φ̄1 = C1e kz +C2e −kz , φ̄2 = C3e kz − (eiµ∗a − e−iµ∗a) 2ks × ×H(z + h) [ ek(z+h) − e−k(z+h) ] , C1 = − κ ksDp [ eiµ∗a − e−iµ∗a ] [ λk − (s+ iµ∗) 2 ] × ×e−k(h−1) (s+ iµ∗) 2 λk + (s+ iµ∗)2 , C2 = − κ ksDp [ eiµ∗a − e−iµ∗a ] (s+ iµ∗) 2e−k(h−1) , C3 = C1 { 1 − e2k[λk + (s+ iµ∗) 2] λk − (s+ iµ∗)2 } − − 1 2ks ( eiµ∗a − e−iµ∗a ) ( ekh + e−k(h−2) ) , де k = √ µ2 ∗ + ν2 ∗ , Dp = (κ− 1)e−k [ λk − (s+ iµ∗) 2 ] − −ek [ (κ − 1)λk + (κ+ 1)(s+ iµ∗) 2 ] . З виразу k через µ∗ i ν∗ та розв’язкiв для φn випливає їхня парнiсть по ν∗ i комплексно- спряженiсть по µ∗. На пiдставi цього та пiсля за- мiни змiнних iнтегрування µ∗ = k sin θ, ν∗ = k cos θ, 0 ≤ θ ≤ π 2 i введення в площинi x0y полярної системи коор- динат x = r cos β, y = r sinβ , −π ≤ β ≤ π , представлення (7) набирає вигляду φn = Q 4π3 Im π 2 ∫ 0 dθ ∞ ∫ 0 dk ε+i∞ ∫ ε−i∞ kestΦ̄nds , (13) де Φ̄n = φ̄n [ eikr sin(θ+β) + eikr sin(θ−β) ] . Стацiонарний розв’язок задачi можна одержа- ти, використовуючи вiдому граничну теорему Та- убериєна для перетворення Лапласа [11], на пiд- ставi якої ε+i∞ ∫ ε−i∞ estφ̄(k, θ, s, z) = 2πi lim s→0 [ sφ̄n(k, θ, s, z) ] . Тодi з виразу (13) одержується вiдповiдне пред- ставлення для φn(x, y, z): φn(x, y, z) = Q 2π2 Re π 2 ∫ 0 dθ ∞ ∫ 0 Φ̃ndk , (14) де Φ̃n(k, θ, z) = lim s→0 [ ksΦ̄n(k, θ, s, z) ] . Виконання у виразах для Cj (j = 1, 2, 3) гра- ничного переходу s→ 0 дає для φ̃n наступне пред- ставлення: φ̃1 = C̃1e kz + C̃2e −kz , φ̃2 = C̃3e kz − i sin(ka sin θ)H(z + h) × × [ ek(z+h) − e−k(z+h) ] , C̃1 = 2iκk sin2 θ(λ + k sin2 θ) D̃p(λ − k sin2 θ) sin(ka sin θ)e−k(h−1) , C̃2 = 2iκk D̃p sin2 θ sin(ka sin θ)e−k(h−1) , C̃3 = C̃1 [ 1 − λ− k sin2 θ λ+ k sin2 θ e2k ] + +i sin(ka sin θ) [ ekh + e−k(h−2) ] , D̃p = (κ− 1)e−k(λ+ k sin2 θ) − −ek[(κ− 1)λ − (κ+ 1)k sin2 θ] . В подальшому розглядаються лише хвильовi складовi розв’язку, оскiльки лише вони мають тривалий час iснування i можливiсть переносити енергiю збуреного руху на значнi вiдстанi вiд вiсi руху овоїда. Iншi складовi розв’язку з вiддален- ням вiд об’єкта швидко затухають [12, 13]. Поскiльки φ̃n(k, θ, z) задовольняють умовам ле- ми Жордана, для визначення хвильової складової використовується теорема про лишки. В компле- кснiй k-площинi φ̃n має проcтi полюси в точках, де виконуються умови λ = k sin2 θ , (15) D̃p = (κ− 1)e−k(λ+ k sin2 θ) − −ek[(κ− 1)λ− (κ+ 1)k sin2 θ] = 0 . (16) 12 О. В. Городецький, В. I. Нiкiшов, О. Г. Стеценко ISSN 1561 -9087 Прикладна гiдромеханiка. 2011. Том 13, N 1. С. 10 – 23 Рiвняння (15) має простий розв’язок ζ1 = λ sin2 θ , який визначає поверхневi хвилi. Розв’язок ζ2 рiв- няння (16) знаходиться чисельно. Вiн визначає внутрiшнi хвилi, якi утворюються за тiлом на стрибку густини. Це рiвняння може бути представ- лено у виглядi k sin2 θ(κch k + sh k) − λ(κ − 1)sh k = 0 . При λ = 1 воно вперше було одержане в роботi [14]. Нестацiонарний аналог рiвнянь (15), (16) вiдпо- вiдає полюсам функцiї φ̄n, якi знаходяться з рiв- нянь λ + (s− iµ∗) 2 = 0 , Dp = 0 . Дослiдження цих полюсiв при s → 0 показує, що всi вони при малих s 6= 0 змiщенi з дiйсної вiсi k- площини догори на величину, пропорцiйну s, що вiдразу дозволяє коректно виконати умову випро- мiнювання при x → −∞, а саме вiдсутнiсть там хвильових рухiв. На пiдставi використання теореми про лишки хвильова складова розв’язку для φn має вигляд : φn(x, y, z) = Q π [(φn1(x, y, z) + φn2(x, y, z)] , (17) де а) в областi y > 0 φn1 = Re 2 ∑ m=1 π 2 ∫ 0 Res φ̃n(ζm)eiζmr sin(θ+β)dθ , φn2 = Re 2 ∑ m=1 π 2 ∫ arctan y x Res φ̃n(ζm)eiζmr sin(θ−β)dθ . б) в областi y < 0 φn1 = Re 2 ∑ m=1 π 2 ∫ 0 Res φ̃n(ζm)eiζmr sin(θ−β)dθ , φn2 = Re 2 ∑ m=1 π 2 ∫ arctan y x Res φ̃n(ζm)eiζmr sin(θ+β)dθ . Тут ζm – коренi рiвнянь (15), (16), причому m = 1 вiдповiдає рiвнянню (15), а m = 2 – рiвнянню (16). Лишки в одержаних розв’язках (17) представляю- ться виразами: Res φ1(ζ1) = iA1e ζ1z , Res φ2(ζ1) = iA2e ζ1z , Res φ1(ζ2) = iB1e ζ2z + iC1e −ζ2z , Res φ2(ζ2) = iB2e ζ2z , де A1 = A2 = −2κζ1 sin(ζ1a sin θ)eζ1(1−h) eζ1 + (κ− 1)e−ζ1 , B1 = 2κζ2 sin2 θ(λ + ζ2 sin2 θ)e−ζ2(h−1) Dp∗(λ − ζ2 sin2 θ) sin(ζ2a sin θ) , C1 = B1(λ − ζ2 sin2 θ) λ + ζ2 sin2 θ , B2 = B1 [ 1 − (λ − ζ2 sin2 θ)e2ζ2 λ+ ζ2 sin2 θ ] , Dp∗ = sin2 θ [(κ+ ζ2)ch ζ2 + (1 + κζ2)sh ζ2] − −λ(κ − 1)ch ζ2 . 1.3. Поле швидкостi хвильового руху середовища Згiдно визначенню, ~Vn(x, y, z) = ∇φn(x, y, z) . Вiдповiднi складовi швидкостi визначаються з (17) iз застосуванням правила Лейбниця диференцiю- вання iнтегралiв по параметру для випадку, коли границi iнтегрування мiстять цей параметр [15]. Для даного розв’язку це приводить до появи до- даткової складової поля швидкостi, яка, однак, че- рез те, що всi Resφ̃n(ζm) є чисто уявними, також чисто уявна. Таким чином, компоненти швидкостi хвильового руху визначаються з (17), (18) вiдпо- вiдним диференцiюванням пiдiнтегральних вира- зiв. Вигляд одержаного в такий спосiб розв’язку для швидкостi дозволяє спростити його представлен- ня, вводячи в площинi x0y горизонтальнi вектори ~τ1 = (~i sin θ,~j cos θ) i ~τ2 = (~i sin θ,−~j cos θ). В цьому випадку пiдiнтегральнi складовi розв’язку пред- ставляються двохкомпонентними векторами ~Vn(θ, z) = Vnh(θ, z)~τ1 + Vnz(θ, z)~k для складової з eiζmr sin(θ+β) i ~Vn(θ, z) = Vnh(θ, z)~τ2 + Vnz(θ, z)~k для складової з eiζmr sin(θ−β). Тут Vnh = −ζmResφ̃m(ζm) – нова горизонтальна О. В. Городецький, В. I. Нiкiшов, О. Г. Стеценко 13 ISSN 1561 -9087 Прикладна гiдромеханiка. 2011. Том 13, N 1. С. 10 – 23 компонента швидкостi, а V (m) nz = i d dz [ Resφ̃n(ζm) ] – її вертикальна компонента; а Vnh~τ1 = Vnh sin θ~i+ Vnh cos θ~j , Vnh~τ2 = Vmnh sin θ~i− Vnh cos θ~j . Рiвняння нерозривностi (умова бездивiргентно- стi) при такому представленнi розв’язку набирає вигляду dVnz dz = −i~τj ~Vn , де j = 1 для складової з eiζmr sin(θ+β) i j = 2 для складової з eiζmr sin(θ−β) в областi y > 0, i навпаки – j = 2 для складової з eiζmr sin(θ+β) i j = 1 для складової з eiζmr sin(θ−β) в областi y < 0. Таким чином, трьохкомпонентне пред- ставлення швидкостi хвильового поля ~Vn = ~iun + ~jvn + ~kwn можна замiнити дво- хкомпонентним ~Vn = ~τjVnh + ~kwn у виглядi ~Vn(x, y, z) = Q π Re 2 ∑ m=1 (~V (m) 1n + ~V (m) 2n ) , (18) де а) в областi y > 0 ~V (m) 1n = π 2 ∫ 0 [ V (m) nh ~τ1 + V (m) nz ~k ] eiζmr sin(θ+β)dθ , ~V (m) 2n = π 2 ∫ \|β\| [ V (m) nh ~τ2 + V (m) nz ~k ] eiζmr sin(θ−β)dθ . б) в бластi y < 0 ~V (m) 1n = π 2 ∫ 0 [ V (m) nh ~τ2 + V (m) nz ~k ] eiζmr sin(θ−β)dθ , ~V (m) 2n = π 2 ∫ \|β\| [ V (m) nh ~τ1 + V (m) nz ~k ] eiζmr sin(θ+β)dθ . Тут iндекс m = 1 вiдноситься до вкладу у розв’я- зок вiд поверхневих хвиль, а iндекс m = 2 – вiдпо- вiдно вiд внутрiшнiх хвиль. Для розвязання задачi наведеного магнiтного поля необхiдно представити отриманий розв’язок у нерухомiй системi координат (x1, y, z), яка спiв- падає з рухомою системою в момент t = 0, а в подальшому мiж їх поздовжнiми координатами має мiсце спiввiдношення (в безрозмiрнiй формi) x = x1 + t. Якщо представити ωm = ζm sin θ, x1 = r1 cosβ1, y = r1 sinβ1, де β1 вiдраховується вiд вiсi x1 в площинi x1oy, то розв’язок (18) набирає нестацiонарного вигляду а) в областi y > 0 ~Vn(x1, y, z, t) = q π Re 2 ∑ m=1 (~V (m) 1n + ~V (m) 2n ) , (19) де ~V (m) 1n = π 2 ∫ 0 ( V (m) nh ~τ1 + V (m) nz ~k ) ei[ωmt+ζmr1 sin(θ+β1)]dθ , ~V (m) 2n = π 2 ∫ \|β1\| ( V (m) nh ~τ2 + V (m) nz ~k ) ei[ωmt+ζmr1 sin(θ−β1)]dθ ; б) в областi y < 0 ~Vn(x1, y, z, t) = q π Re 2 ∑ m=1 (~V (m) 3n + ~V (m) 4n ) , (20) де ~V (m) 3n = π 2 ∫ 0 ( V (m) nh ~τ2 + V (m) nz ~k ) ei[ωmt+ζmr1 sin(θ−β1)]dθ , ~V (m) 4n = π 2 ∫ \|β1\| ( V (m) nh ~τ1 + V (m) nz ~k ) ei[ωmt+ζmr1 sin(θ+β1)]dθ . 2. НАВЕДЕНЕ МАГНIТНЕ ПОЛЕ, ОБУМОВ- ЛЕНЕ ПОВЕРХНЕВИМИ I ВНУТРIШНIМИ ХВИЛЯМИ ЗА РУХОМИМ ОВОЇДОМ У попередньому роздiлi у нерухомiй системi координат визначено хвильове поле за тiлом- овоїдом, що рухається на глибинi h нижче стриб- ка густини двохшарового глибокого моря. В цiй самiй системi координат до такої ж схеми моря нижче розглядається лiнiйна задача знаходження наведеного магнiтного поля, обумовленого рухом такого об’єкта. 2.1. Математичне формулювання задачi Розв’язується лiнiйна задача знаходження ге- нерованого поверхневими i внутрiшнiми хвилями 14 О. В. Городецький, В. I. Нiкiшов, О. Г. Стеценко ISSN 1561 -9087 Прикладна гiдромеханiка. 2011. Том 13, N 1. С. 10 – 23 за стацiонарно рухомим овоїдом наведеного магнi- тного поля ~B = µ ~H вiдносно геомагнiтної iндукцiї Землi ~B E , яка приймається сталою величиною. У вибранiй в попередньому роздiлi нерухомiй системi координат величина ~B E задається як ~B E = F (~i cos I cosα+~j cos I sinα− ~k sin I) . Тут F – власна магнiтуда ~B E ; α – кут мiж вiссю руху овоїда i напрямком магнiтної пiвночi; I – кут заглиблення. Для знаходження H(x, y, z, t) використовується рiвняння, одержане в [5] за умови µ ~H � ~B E : ∇2 ~H = σ0 [ µ ∂H ∂t −∇× ( ~V × ~B E ) ] , де σ0 – електрична провiднiсть води; µ – магнiтна проникнiсть води; ∇ =~i ∂ ∂x1 +~j ∂ ∂y + ~k ∂ ∂z , ∇2 = ∂2 ∂x2 1 + ∂2 ∂y2 + ∂2 ∂z2 , знак (×) означає векторний добуток; ~V – наведене поле швидкостi. В безрозмiрнiй формi, де масштаби довжини, часу i швидкостi такi, як у попередньому роздiлi, в якостi масштабу ~H береться µ−1F , а за масштаб ~B E – F , пiсля введення нумерацiї шарiв середо- вища n = 0, 1, 2, де крiм вже заданих у роздiлi 1 номерiв n додатково вводиться значення n = 0, вiдповiдне областi атмосфери над поверхнею мо- ря, це рiвняння набирає вигляду ∇2 ~Hn = σµn [ ∂ ~Hn ∂t −∇× ( ~Vn × ~B E ) ] , (21) де σµn = LUσ0nµ – магнiтне число Рейнольдса, яке має рiзнi значення в рiзних шарах води, а в повiтрi приймається σµ0 = 0. Функцiя ~Hn(x1, y, z, t) задовольняє також умовi бездивiргентностi ∇ ~Hn = 0 . (22) Наведене поле швидкостi середовища береться iз розв’язку попередньої задачi у виглядi (19), (20). Граничнi умови для ~H(x1, y, z, t) формулюються з умов неперервностi на границях шарiв та умови затухання на нескiнченостi: ~H0(x1, y + 0, t) = ~H1(x1, y− 0, t) , ~H1(x1, y − 1 + 0, t) = ~H2(x1, y − 1 − 0, t) , (23) ~Hn → 0 r → ∞ . Приймається також, що при t → ∞ збурення ма- гнiтного поля затухають ~Hn → 0. Виходячи з вигляду розв’язку для ~Vn(x1, y, z, t), розв’язок для ~Hn(x1, y, z, t) шукається у виглядi а) в областi y > 0 ~Hn = Q π Re 2 ∑ m=1 ( ~H (m) 1n + ~H (m) 2n + ~H (m) +n ) , (24) де ~H (m) 1n = π 2 ∫ 0 ~h (m) 1n ei[ωmt+ζmr1 sin(θ+β1)]dθ , ~H (m) 2n = π 2 ∫ \|β\| ~h (m) 2n ei[ωmt+ζmr1 sin(θ−β1)]dθ , ~H (m) +n = π 2 ∫ 0 ~h (m) 2n ei[ωmt+ζmr1 sin(θ−β1)]dθ , тут ~h (m) 1n = h (m) nh ~τ1 + h (m) nz ~k, ~h (m) 2n = h (m) nh ~τ2 + h (m) nz ~k; б) в областi y < 0 ~H(m) n = q π Re 2 ∑ m=1 ( ~H (m) 3n + ~H (m) 4n + ~H (m) −n ) , (25) де ~H (m) 3n = π 2 ∫ 0 ~h (m) 2n ei[ωmt+ζmr1 sin(θ−β1)]dθ , ~H (m) 4n = π 2 ∫ \|β\| ~h (m) 1n ei[ωmt+ζmr1 sin(θ+β1)]dθ, , ~H (m) −n = π 2 ∫ 0 ~h (m) 1n ei[ωmt+ζmr1 sin(θ+β1)]dθ . Як i у випадку складових швидкостi, m = 1 вiдпо- вiдає поверхневим хвилям, а m = 2 – внутрiшнiм хвилям. Поява у розв’язку складових ~H (m) +n i ~H (m) −n обумовлена залежнiстю границь iнтеграла ± arctan y t+ x1 вiд координат i часу. Якщо пред- ставлення (24), (25) пiдставити у рiвняння (21), то, наприклад, для складової ~H (m) +n має мiсце рiвняння π Q ( ∇2 ~H (m) +n − σµn ∂ ~H (m) +n ∂t ) = Re~h (m) 2n × × { iζm [(t+ x1)2 + y2] 1 2 + 4y(x1 + t) [(t+ x1)2 + y2] 2 } − О. В. Городецький, В. I. Нiкiшов, О. Г. Стеценко 15 ISSN 1561 -9087 Прикладна гiдромеханiка. 2011. Том 13, N 1. С. 10 – 23 − 1 (t+ x1)2 + y2 Re [ ∂~h (m) 2n ∂θ ] + 4y(t + x1) [(t+ x1)2 + y2] 2 . Аналiз цього рiвняння показує, що при великих t складова ~H (m) +n ∼ ln t. Справдi, застосування для великих t методу стацiонарної фази для обчисле- ння iнтегралiв у (24) дає розв’язок для ~H (m) n та- кий, що на шляхах y/(x1 + t) = const функцiї ~h (m) 2n визначаються через стацiонарнi точки θs, тобто на цих шляхах ~h (m) 2n = const. Тодi з рiвняння для ~H (m) +n при t→ ∞ ∂ ~H (m) +n ∂t ∼ 1 t , звiдки i випливає наведена оцiнка. Аналогiчний результат має мiсце для складової ~H (m) −n . Таким чином, цi складовi розв’язку зростають у часi, що протирiчить умовi затухання при t → ∞. Тому у розв’язках (24), (25) вони опускаються. Отже, для знаходження розв’язку для ~H (m) n необхiдно визначити двi невiдомi функцiї – ~h (m) 1n (x1, y, z, t) i ~h (m) 2n (x1, y, z, t). 2.2. Розв’язок диференцiального рiвняння вiдносно ~h (m) jn Пiдстановка представлень (24), (25) у рiвняння (21) та граничнi умови (23) приводить до насту- пної граничної задачi для функцiй ~h (m) jn (θ, z): d2~h (m) jn dz2 − δ2nm ~h(m) nm = σµn ~M (m) jn , (26) ~h (m) j0 → 0 при z → ∞ , ~h (m) j0 (+0) = ~h (m) j1 (−0) , (27) ~h (m) j1 (−1 + 0) = ~h (m) j2 (−1 − 0) , ~h (m) j2 → 0 при z → −∞ . З умови бездивiргентностi (22) випливає також не- обхiднiсть виконання спiввiдношень d dz ( h (m) jn ~k ) = −iζm~h(m) jn ~τ1 для j = 1, 4 , (28) d dz ( h (m) jn ~k ) = iζm~h (m) jn ~τ2 для j = 2, 3 . Тут δ2nm = ζ2 m + iσµnω . Враховуючи те, що має мiсце спiввiдношення [5] ∇× ( ~Vn × ~B E ) = ( ~B E ∇ ) ~Vn + ~B E ( ∇~Vn ) , виконується умова нерозривностi ∇~Vn = 0 , i прийнято, що σµ0 = 0, величина ~M (m) jn визначає- ться наступним чином: для всiх j при n = 0 ~M (m) j0 = 0 . Для n = 1 i n = 2 при j = 1, 4 ~M (m) jn = −iζm ( ~B E ~τ1 ) ~V (m) jn − ( ~B E ~k ) d~V (m) jn dz i при j = 2, 3 ~M (m) jn = −iζm ( ~B E ~τ2 ) ~V (m) jn − ( ~B E ~k ) d~V (m) jn dz . Тут j = 1, 2, 3, 4 – вiдповiдають номерам шуканих функцiй в (24), (25), а n = 0, 1, 2 – як i ранiше, но- мери областей середовища: n = 0 вiдповiдає атмо- сферi, n = 1 – шару води вище стрибка густини i n = 2 – шару води нижче стрибка густини. Оскiльки мають мiсце рiвностi ~V (m) 3n = ~V (m) 2n ~V (m) 4n = ~V (m) 1n , то виконуються також i рiвностi ~M (m) 3n = ~M (m) 2n , ~M (m) 4n = ~M (m) 1n , а також ~h (m) 3n = ~h (m) 2n , ~h (m) 4n = ~h (m) 1n . Отже, для розв’язання задачi достатньо знайти функцiї ~h (m) 1n i ~h (m) 2n . Рiвняння (26) має розв’язок, який задовольняє умовам затухання при z → ±∞: ~h (m) j0 = ~C (m) j1 e−ζmz , ~h (m) j1 = σµ1 [ ~C (m) j2 eδ1mz + ~C (m) j3 e−δ1mz +~h (m) j1∗ ] , (29) ~h (m) j2 = σµ2 [ ~C (m) j4 eδ1mz +~h (m) j2∗ ] , де ~h (m) jn∗ – частиннi розв’язки рiвняння (26). Невiдомi векторнi сталi ~C (m) jl (l = 1, 2, 3, 4) визна- чаються з граничних умов (27) та спiввiдношень (28). Для цього необхiдно знайти частиннi розв’яз- ки задачi h (m) jn∗, представленi у виглядi ~h (m) 1n∗ = h (m) 1n∗h~τ1 + h (m) 1n∗z ~k , ~h (m) 2n∗ = h (m) 2n∗h~τ2 + h (m) 1n∗z ~k . 16 О. В. Городецький, В. I. Нiкiшов, О. Г. Стеценко ISSN 1561 -9087 Прикладна гiдромеханiка. 2011. Том 13, N 1. С. 10 – 23 З рiвняння (26) для складових цього розв’язку, якщо позначити для зручностi ~B E ~τ1 = B Ex sin θ +B Ey cos θ = B E1 , ~B E ~τ2 = B Ex sin θ −B Ey cos θ = B E1 , Bh11 = iB Ez −B E1 , Bz11 = iB E1 +B Ez , Bh12 = iB Ez +B E1 , Bz12 = iB E1 −B Ez , Bh21 = iB Ez −B E2 , Bz21 = iB E2 +B Ez , Bh22 = iB Ez +B E2 , Bz22 = iB E2 −B Ez , одержуються такi вирази: h (1) 11∗h = ζ2 1A1 ζ2 1 − δ211 Bh11e ζ1z , h (1) 11∗z = ζ2 1A1 ζ2 1 − δ211 Bz11e ζ1z , h (2) 11∗h = ζ2 2 ζ2 2 − δ212 ( B1e ζ2zBh11 − C1e −ζ2zBh12 ) , h (2) 11∗z = ζ2 2 ζ2 2 − δ212 ( B1e ζ2zBz11 − C1e −ζ2zBz12 ) , h (1) 21∗h = ζ2 1A1 ζ2 1 − δ211 Bh21e ζ1z , h (1) 21∗z = ζ2 1A1 ζ2 1 − δ211 Bz21e ζ1z , h (2) 21∗h = ζ2 2 ζ2 2 − δ212 ( B1Bh21e ζ2z − C1Bh22e −ζ2z ) , h (2) 21∗z = ζ2 2 ζ2 2 − δ212 ( B1Bz21e ζ2z − C1Bz22e −ζ2z ) , h (1) 12∗h = ζ2 1A2 ζ2 1 − δ221 Bh11e ζ1z , h (1) 12∗z = ζ2 1A2 ζ2 1 − δ221 Bz11e ζ1z , h (2) 12∗h = ζ2 2B2 ζ2 2 − δ222 Bh11e ζ2z , h (2) 12∗z = ζ2 2B2 ζ2 2 − δ222 Bz11e ζ2z , h (1) 22∗h = ζ2 1A2 ζ2 1 − δ221 Bh21e ζ1z , h (1) 22∗z = ζ2 1A2 ζ2 1 − δ221 Bz21e ζ1z , h (2) 22∗h = ζ2 2B2 ζ2 2 − δ222 Bh21e ζ2z , h (2) 22∗z = ζ2 2B2 ζ2 2 − δ222 Bz21e ζ2z . Безпосередньою перевiркою можна переконатися, що одержаний частинний розв’язок задовольняє умову бездивiргентностi (28). Якщо сталi iнтегрування ~C ( jlm) представити у виглядi ~C (m) jl = ~C (m) jlh ~τ1 + ~C (m) jlz для j = 1, 4 , ~C (m) jl = ~C (m) jlh ~τ2 + ~C (m) jlz для j = 2, 3 , то умови (27), (28) дають вiсiм спiввiдношень для визначення компонент C (m) jlh i C (m) jlz . В результатi мають мiсце такi значення цих величин: C (m) j1h = σµ1 ( C (m) j2h + C (m) j3h + h (m0) j1∗h ) , C (m) j1z = σµ1 ( C (m) j2z + C (m) j3z + h (m0) j1∗z ) , C (m) j2h = iδ1mA (m) j2 B (m) j2 , C (m) j2z = 1 δ1m C (m) j2h , C (m) j3h = iA (m) j2 (ζm + δ1m) B (m) j2 (ζm − δ1m) + + δ1m ζm − δ1m ( h (m0) j1∗h + iζmh (m0) j1∗z ) , C (m) j3z = i δ1m C (m) j3h , e−δ2mC (m) j4h = 1 ε ( C (m) j2h e −δ1m +C (m) j3h e δ1m + h (m1) j1∗h ) − −h(m1) j2∗h , e−δ2mC (m) j4z = 1 ε ( C (m) j2z e −δ1m +C (m) j3z e δ1m + h (m1) j1∗z ) − −h(m1) j2∗z , де A (m) j2 = δ1m [ eδ1mA (m0) j2 − (δ1m − ζm)A (m1) j2 ] , B (m) j2 = eδ1m(δ1m + ζm)(δ1m + δ2m) − −e−δ1m(δ1m − ζm)(δ1m − δ2m) , A (m0) j2 = (δ1m + δ2m) ( ih (m0) j1∗h − ζmh (m0) j1∗z ) , A (m1) j2 = i ( h (m1) j2∗h − εh (m1) j2∗z ) + δ2m (h (m1) j1∗z − εh (m1) j2∗z ) , ε = σµ2 σµ1 , h (m0) jl∗h = h (m) jl∗h(θ, 0), h (m0) jl∗z = h (m) jl∗z(θ, 0) , h (m1) jl∗h = h (m) jl∗h(θ,−1), h (m1) jl∗z = h (m) jl∗z(θ,−1) . На пiдставi одержаних результатiв розв’язок по- ставленої задачi з явним представленням трьох О. В. Городецький, В. I. Нiкiшов, О. Г. Стеценко 17 ISSN 1561 -9087 Прикладна гiдромеханiка. 2011. Том 13, N 1. С. 10 – 23 компонент наведеного магнiтного поля має ви- гляд: а) в областi y > 0 ~Hn = Q π Re 2 ∑ m=1 ( ~H (m) 1n + ~H (m) 2n ) , (30) де ~H (m) 1n = π 2 ∫ 0 ( h (m) 1nh sin θ~i+ h (m) 1nh cos θ~j + h (m) 1nz ~k ) × ×ei(ωmt+ζmx1 sin θ+ζmy cos θ)dθ , ~H (m) 2n = π 2 ∫ \|β1\| ( h (m) 2nh sin θ~i− h (m) 2nh cos θ~j + h (m) 1nz ~k ) × ×ei(ωmt+ζmx1 sin θ−ζmy cos θ)dθ , б) в областi y < 0 ~H(m) n = q π Re 2 ∑ m=1 ( ~H (m) 3n + ~H (m) 4n ) , (31) де ~H (m) 3n = π 2 ∫ 0 ( h (m) 2nh sin θ~i− h (m) 2nh cos θ~j + h (m) 1nz ~k ) × ×ei(ωmt+ζmx1 sin θ−ζmy cos θ)dθ , ~H (m) 4n = π 2 ∫ \|β1\| ( h (m) 1nh sin θ~i+ h (m) 1nh cos θ~j + h (m) 1nz ~k ) × ×ei(ωmt+ζmx1 sin θ+ζmy cos θ)dθ , 2.3. Наближений асимптотичний розв’язок для великих t З точки зору монiторингу наведеного магнiтно- го поля представляє iнтерес дальнє поле цього збу- рення за пiдводним об’єктом. Картину збурень у цiй областi можна одержати, використовуючи ме- тод стацiонарної фази для великих t при обчислен- нi iнтегралiв у розв’язку (30), (31). В результатi одержується наближений аналiтичний розв’язок. Представляючи в розв’язках (30), (31) ei(ωmt+ζmx1 sin θ±ζmy cos θ) = ei(t+x1)ζm(sin θ±ξ cos θ) , де ξ = y/(t+x1), видно, що для обчислення вiдпо- вiдних iнтегралiв управляючими функцiями є ψ1m = ζm(sin θ + ξ cos θ) , ψ2m = ζm(sin θ − ξ cos θ) . Вiдповiдно стацiонарнi точки є розв’язками рiвня- ння ∂ψjm ∂θ = 0 j = 1, 2. Для випадку поверхневих хвиль (для m = 1), де ζ1 = λ/ sin2 θ, рiвняння стацiонарних точок можна представити у виглядi 1 2 sin 2θ− (−1)jξ(1 + cos2 θ) = 0 . (32) При j = 1 рiвняння (15) має розв’язки лише для ξ < 0, а при j = 2 – лише для ξ > 0. Вони мають вигляд θ11 = arccos { [ 1 − 2ξ2 2(1 + ξ2) + Θ 1 2 ] 1 2 } , θ21 = arccos { [ 1 − 2ξ2 2(1 + ξ2) − Θ 1 2 ] 1 2 } , де Θ = (1 − 2ξ2)2 4(1 + ξ2)2 − ξ2 1 + ξ2 . Вони дiйснi, якщо виконуються умови 1 − 2ξ2 > 0, (1 − 2ξ2)2 4(1 + ξ2) − ξ2 > 0 . Це можливе лише в областi середовища, де y x1 + t = y x = ξ < 1 2 √ 2 . (33) Одержана умова (33) вiдповiдає класичному ре- зультату для областi поширення поверхневих ко- рабельних хвиль, якi в рухомiй системi коорди- нат знаходяться всерединi клина з напiвкутом роз- криття γ = arctan 1 2 √ 2 = 19◦28′ . Стацiонарна точка θ (1) j1 вiдповiдає поздовжнiм по- верхневим хвилям, а θ (2) j2 – поперечним поверхне- вим хвилям. Для m = 2, що вiдповiдає внутрiшнiм хвилям, управляючими функцiями є ψ12 = ζ2[sin θ+ ξ cos θ] , ψ22 = ζ2[sin θ − ξ cos θ] , де ζ2 – розв’язок рiвняння (16), Рiвняння стцiонарних точок у цьому випадку також можна представити в спiльнiй формi ψ′ 2j = dζ2 dθ (sin θ − (−1)jξ cos θ) + +ζ2(cos θ+ (−1)jξ sin θ) = 0 . (34) 18 О. В. Городецький, В. I. Нiкiшов, О. Г. Стеценко ISSN 1561 -9087 Прикладна гiдромеханiка. 2011. Том 13, N 1. С. 10 – 23 Продиференцiювавши рiвняння (16) по θ, вели- чину dζ2/dθ можна виразити через ζ2: dζ2 dθ = 2λ(κ − 1)ctg θth ζ2 λ(κ − 1) − sin2 θ[κ+ ζ2 + (1 + κζ2)th ζ2] . Рiвняння (34) розв’язується чисельно, в резуль- татi чого знаходяться стацiонарнi точки θ (2) l . Як i для поверхневих хвиль, у даному випадку при j = 1 стацiонарна точка iснує лише в областi ξ < 0, а при j = 2 – навпаки, лише в областi ξ > 0. Тому в асимптотичному розв’язку задачi вклад вiд вну- трiшнiх хвиль дають лише складовi ~h2 2n для y > 0 i ~h2 1n для y < 0, що також аналогiчно випадку по- верхневих хвиль. Використання формули методу стацiонарної фа- зи [17] приводить до наступного асимптотичного розв’язку для ~Hn(x1, y, z, t): а) в областi y > 0 ~Hn = Q√ π Re ∑ s [ 2 (t+ x1)\|ψ′′ 21(θs2)\| ] 1 2 ~h (1) 2ns × ×ei[(t+x1)ψ21(θs2,ξ)+ 1 4 πSignψ′′ 21 (θs2,ξ)] + + Q√ π Re ∑ l [ 2 (t+ x1)\|ψ′′ 22(θl2)\| ] 1 2 ~h (2) 2nl × ×ei[(t+x1)ψ22(θl2)+ 1 4 πSignψ′′ 22 (θl2,ξ)] ; (35) б) в областi y < 0 ~Hn = Q√ π Re ∑ s [ 2 (t+ x1)\|ψ′′ 11(θs1)\| ] 1 2 ~h (1) 1ns × ×ei[(t+x1)ψ11(θs1,ξ)+ 1 4 πSignψ′′ 11 (θs1,ξ)] + + Q√ π Re ∑ l [ 2 (t+ x1)\|ψ′′ 12(θl1)\| ] 1 2 ~h (2) 1nl × ×ei[(t+x1)ψ21(θl1)+ 1 4 πSignψ′′ 12 (θl1,ξ)] . (36) Тут ~h (1) 2ns = h (1) 2nh(θs2, ξ, z) sin θs2 ·~i− −h(1) 2nh(θs2, ξ, z) cosθs2 ·~j + h (1) 2nz(θs2, ξ, z) · ~k , ~h (2) 2nl = h (2) 2nh(θl2 , ξ, z) sin θl2 ·~i− −h(2) 2nh(θl2 , ξ, z) cosθl2 ·~j + h (2) 2nz(θl2 , ξ, z) · ~k , ~h (1) 1ns = h (1) 1nh(θs1, ξ, z) sin θs1 ·~i+ +h (1) 1nh(θs1, ξ, z) cosθs1 ·~j + h (1) 1nz(θs1, ξ, z) · ~k , ~h (2) 1nl = h (2) 1nh(θl1 , ξ, z) sin θl1 ·~i+ +h (2) 1nh(θl1 , ξ, z) cosθl1 ·~j + h (2) 1nz(θl1 , ξ, z) · ~k . Вирази для\|ψ′′ mj \| i знаки цих функцiй визначають- ся безпосередньо iз їхнього представлення в ста- цiонарних точках. Рис. 1. Картина наведеного магнiтного поля для горизонтальної складової Hy при z = 2, h = 2, t = 300 i α = 0 3. РЕЗУЛЬТАТИ ЧИСЕЛЬНИХ РОЗРАХУНКIВ На пiдставi одержаних теоретичних результа- тiв були проведенi чисельнi розрахунки наведе- ного магнiтного поля, обумовленого стацiонарним рухом овоїда в нижньому шарi пiд стрибком густи- ни. Через важливiсть монiторингу приповерхневої областi над морською поверхнею розрахунки ви- конанi для областi атмосфери n = 0. Задавались наступнi параметри задачi: довжина овоїда 100 м, дiаметр його мiделевого перерiзу 10 м, швидкiсть руху U = 5.47 м/с, товщина верхнього шару L = 50 м, κ = 1.01, h = 100 м i h = 250 м., I = 60◦, α = 0 i α = 90◦. Розрахунки виконувались у нерухомiй системi координат з x1 = 0 для двох значень часу t = 100; t = 300, використовуючи розв’язки (35), (36), одержанi методом стацiонарної фази. Вели- чини магнiтних чисел Рейнольдса задавались для областей вище i нижче стрибка густини вiдповiд- но σmu1 = 5 · 10−4, σµ2 = 1 · 10−3. Результати розрахункiв представленi на рис. 1 – 9. На рис. 1 – 3 показанi складовi наведеного магнiтного поля H0x, H0y, H0z для вказаних параметрiв у площи- нi, перпендикулярнiй вiсi руху тiла. Як видно, в цьому випадку для складової H0y в розподiлi ам- плiтудної картини вздовж вiсi y має мiсце антиси- метрiя вiдносно вiсi z i, навпаки, симетрiя у розпо- дiлi для складових H0x i H0z, що характерно для розподiлу вiдповiдних компонент швидкостi збу- реного середовища. Сама картина розподiлу всiх компонент ~H0 має хвильовий характер, подiбний полю збурених тiлом–овоїдом внутрiшнiх хвиль на О. В. Городецький, В. I. Нiкiшов, О. Г. Стеценко 19 ISSN 1561 -9087 Прикладна гiдромеханiка. 2011. Том 13, N 1. С. 10 – 23 Рис. 2. Картина наведеного магнiтного поля для горизонтальної складової Hy при z = 2, h = 2, t = 300 i α = 0 Рис. 3. Картина наведеного магнiтного поля для вертикальної складової Hz при z = 2, h = 2, t = 300 i α = 0 стрибку густини. Область, зайнята збуреним ма- гнiтним полем, складається з двох зон скiнченої ширини по обидвi сторони вiд вiсi руху овоїда, якi мають чiткi переднiй i заднiй фронти. Мiж заднi- ми фронтами цих зон знаходиться зона “спокiйної води”, де збурення практично вiдсутнi. Це також є характерною ознакою поля внутрiшнiх хвиль на стрибку густини. В нерухомiй системi координат цi областi рухаються убiк вiд вiсi руху, з одноча- сним збiльшенням їхньої ширини, оскiльки швид- кiсть руху переднiх фронтiв бiльша вiд швидко- стi руху заднiх фронтiв. При цьому виконується спiввiдношення Hz > Hy > Hx. На рис. 4 наведена Рис. 4. Картина наведеного магнiтного поля для вертикальної складової Hz при z = 2, h = 5, t = 100 i α = 0 Рис. 5. Картина наведеного магнiтного поля для горизонтальної складової Hy при z = 2, h = 5, t = 100 i α = 0 картина розподiлу Hz при t = 100. Порiвняння її з вiдповiдною картиною на рис. 3 показує, що ам- плiтуди збурень зi збiльшенням t зменшуються, а сама картина розподiлу складових ~H0 стає бiльш пересiчною, з бiльшою кiлькiстю гармонiк. У вiд- повiдностi з розв’язком у наближеннi стацiонарної фази закон затухання наведеного магнiтного поля вiдповiдає t− 1 2 . Для бiльш вiддалених вiд вiльної поверхнi рiдини горизонтiв z амплiтуди наведено- го поля H0 швидко зменшуються зi збiльшенням z по експоненцiйному закону згiдно результату (29). При цьому бiльш короткохвильовi гармонiки зату- хають швидше. Про це можна судити з порiвняння 20 О. В. Городецький, В. I. Нiкiшов, О. Г. Стеценко ISSN 1561 -9087 Прикладна гiдромеханiка. 2011. Том 13, N 1. С. 10 – 23 Рис. 6. Картина наведеного магнiтного поля для горизонтальної складової Hy при z = 10, h = 5, t = 100 i α = 0 хвильових картин для складової Hy на рис. 5 для z = 2 i на рис. 6 для z = 10 при iнших рiвнозна- чних параметрах. Вiдомо [12], що iнтенсивнiсть внутрiшнiх хвиль зменшується при зростаннi вiддалi погруженого тiла вiд стрибка густини. В рамках даної задачi очевидним є аналогiчний висновок вiдносно iнтен- сивностi наведеного магнiтного поля в областi над вiльною поверхнею. Рис. 7. Картина наведеного магнiтного поля для горизонтальної складової Hx при z = 2, h = 5, t = 300 i α = π 2 Як структурний характер наведеного магнiтно- го поля, так i вiдноснi спiввiдношення мiж макси- Рис. 8. Картина наведеного магнiтного поля для горизонтальної складової Hy при z = 2, h = 5, t = 300 i α = π 2 мальними амплiтудами H0x, H0y, H0z помiтно змi- нюються при зростаннi значення кута α. З рис. 7 – 9 видно, що при α = π/2 для того ж горизонту z i часу, що i на рис. 1 – 3, амплiтуднi картини для ~H0 повнiстю мiняють свою симетрiю – кар- тина Hy стає симетричною, а картини H0x i Hz – антисиметричними. I навiть при тому, що об’- єкт рухався на бiльшiй глибинi (h = 5), має мiсце зростання максимальних амплiтуд для всiх скла- дових ~H0, причому вiдносне зростання складової Рис. 9. Картина наведеного магнiтного поля для вертикальної складової при z = 2, h = 5, t = 300 i α = π 2 О. В. Городецький, В. I. Нiкiшов, О. Г. Стеценко 21 ISSN 1561 -9087 Прикладна гiдромеханiка. 2011. Том 13, N 1. С. 10 – 23 Hz бiльше порiвняно з горизонтальними складо- вими. Це свiдчить, що при зростаннi кута α в дi- апазонах 0 < α < π/2 i π < α < 3π/2 iнтенсив- нiсть наведеного магнiтного поля зростає. Вiдпо- вiдно при зростаннi α в дiапазонах π/2 < α < π i 3π/2 < α < 2π iнтенсивнiсть цього поля буде зменшуватись. Максимальну iнтенсивнiсть наве- дене магнiтне поле має при α = π/2 i α = 3π/2, а мiнiмальну – при α = 0 i α = π. В областях, де α не кратне значенню π/2, всi складовi хвильово- го поля в площинi, перпендикулярнiй до вiсi руху тiла, мають несиметричний характер. Порiвняння вкладу у розв’язок для ~H0 складо- вих, вiдповiдних поверхневим хвилям, i складо- вих, обумовлених внутрiшнiми хвилями, показує, що вклад вiд поверхневих хвиль в областi атмо- сфери практично непомiтний, оскiльки вiн на по- рядки менший вiд вкладу вiд внутрiшнiх хвиль. У воднiй товщi це спiввiдношення, звичайно, може бути iншим. Важливою характеристикою наведеного магнi- тного поля є його iнтенсивнiсть, оскiльки це по- в’язано з характеристиками чутливостi вимiрю- вальної апаратури. Сучасна вимiрювальна апара- тура має чутливiсть порядку 10−5 нанатесла (нТл) [16]. Якщо врахувати, що iнтенсивнiсть магнiтно- го поля Землi складає величину 0, 5 · 104 нТл, то в безрозмiрних величинах iнтенсивнiсть збуреного магнiтного поля, яка може бути зафiксована над морською поверхнею, складає величину порядка 10−9. Як видно з картин наведеного магнiтного поля при стацiонарному русi розглянутого тiла– овоїда на горизонтi z = 2 всi компоненти ~H0 по- падають в iнтервал можливого вимiрювання для обох розглянутих значень величини часу t. Такi i бiльшi значення часу в нерухомiй системi коор- динат вiдповiдають достатньо великiй вiдстанi вiд самого тiла в рухомiй системi координат (в розра- хунковому прикладi до 15 км). ЗАКЛЮЧЕННЯ В роботi розв’язана задача генерацiї наведеного магнiтного поля Землi поверхневими та внутрiшнi- ми хвилями, що утворюються корпусом пiдводно- го тiла-овоїда при його стацiонарному русi ниж- че тонкого термоклiну глибокого океану. Одержанi результати дозволяють оцiнити характер структу- ри та енергетику такого роду збурень магнiтного поля Землi. Головнi особливостi цього поля насту- пнi. 1. Структура наведеного магнiтного поля ~H в атмосферi над стратифiкованим морем має хви- льовий характер i займає область, вiдповiдну обла- стi внутрiшнiх хвиль за даним тiлом. Ця область складається з двох хвильових зон, якi поширю- ються по обидва боки вiд вiсi руху тiла i кожна має чiткi переднiй i заднiй фронти. Мiж ними в областi, прилеглiй до вiсi руху тiла, має мiсце зона “спокiйної води”, в якiй збурення практично вiдсу- тнi. З часом ширина всiх вiдмiчених зон зростає (в дальнiй областi за тiлом у вiдповiдностi до лiнiй- ного закону), а амплiтуди збурень зменшуються (в дальнiй областi як t−0.5). Зi збiльшенням за- глиблення рухомого тiла iнтенсивнiсть наведеного магнiтного поля у повiтрi зменшується. 2. Серед компонент наведеного магнiтного поля ~H в областi атмосфери найбiльш iнтенсивною є її вертикальна складова ~Hz, найменш – поздовжня складова ~Hx. 3. Характер картини поля ~H i його iнтенсивностi в атмосферi iстотно залежить вiд кута α мiж вiс- сю руху тiла i напрямком магнiтної пiвночi. При α = 0; π картина збурень така, що в площинi x0z, перпендикулярнiй вiсi руху тiла, змiна складових Hx i Hz вздовж вiсi 0y симетрична вiдносно вiсi 0z, в той час як складова Hy змiнюється тут ан- тисиметрично. Цим значенням α вiдповiдає мiнi- мальна iнтенсивнiсть наведеного магнiтного поля. Для α = π/2; 3π/2 симетрiя складових ~H змiню- ється навпаки i вже ~Hy стає симетричною, а Hx i Hz – антисиметричними, при цьому iнтенсивнiсть наведеного магнiтного поля стає максимальною. Для iнших значень α всi складовi мають несиме- тричний характер. Такий самий характер ~H слiд чекати i у воднiй товщi. 4. Порiвняння величин вкладу у розв’язок для ~H вiд поверхневих i внутрiшнiх хвиль показує, що в областi атмосфери над водною поверхнею вклад вiд поверхневих хвиль нехтовно малий порiвняно з вкладом вiд внутрiшнiх хвиль. 5. Iнтенсивнiсть наведеного хвильовими полями за рухомим пiдводним об’єктом магнiтного поля Землi така, що воно може бути зареєстроване су- часною вимiрювальною апаратурою на достатньо далеких вiддалях (ця величина може складати де- сятки кiлометрiв) за рухомим пiдводним об’єктом. Виконанi дослiдження показують, що рухоме в морському середовищi пiдводне тiло може бути джерелом утворення наведеного магнiтного поля Землi не лише вiд збурень у ближнiй областi, об- умовлених обтiканням власне корпуса тiла, але i вiд полiв поверхневих та (що важливо) внутрiшнiх хвиль, якi цим тiлом породженi в умовах страти- фiкованого за густиною середовища. Така складо- ва наведеного поля може iснувати на далеких вiд- станях позаду тiла. 22 О. В. Городецький, В. I. Нiкiшов, О. Г. Стеценко ISSN 1561 -9087 Прикладна гiдромеханiка. 2011. Том 13, N 1. С. 10 – 23 Отже, поля поверхневих i внутрiшнiх хвиль за пiдводним об’єктом, що рухається у стратифiкова- ному середовищi, може бути одним iз гiдродинамi- чних механiзмiв утворення наведеного магнiтного поля Землi, яке має детермiнований характер i мо- же бути використане при монiторингу збурень ма- гнiтного поля Землi над морською поверхнею. 1. Бондаренко Н.Ф. Электромагнитные явления в природных водах.– Л.: Гидрометеоиздат, 1984.– 152 с. 2. Tyler R.H., Mysak L.A., Oberhuber J.M. Electromagnetic field generated by a three- dimensional global ocean circulation // J.Geophys. Res ..– 1997.– 102.– P. 5531-5551. 3. Ладиков Ю.П. Стабилизация процессов в спло- шных средах.– М.: Наука, 1978.– 170 с. 4. Горбань В.О., Горбань I.М., Ладiков-Роєв Ю.П. Ге- нерацiя збурень магнiтного поля рухом води в оке- анi // Доповiдi НАН України.– 2004.– №3.– С. 49- 56. 5. Mandurasingle D., Tuck E.O. The induced Electromagnetic Field Assotiated with Submerged Moving Bodies in a Unstratified Conducting Fluid // Jour.of Ocea.Eng.– 1994.– 19, №2.– P. 193-199. 6. Горбань I.М. Аналiз збурень магнiтного поля, ви- кликаного рухом тiла в електропровiднiй рiдинi // ПГМ.– 2010.– 12(84),№2.– С. 21-39. 7. Степанянц Ю.В., Стурова И.В., Теодорович Э.В. Линейная теория генерации поверхностных и внутренних волн // Итоги науки техники. Серия “Механика жидкости и газа”.– М.– 1987.– т.21.– С. 93-179. 8. Кочин Н.Е., Кибель И.А., Розе Н.В. Теоретическая гидромеханика, ч.1.– М.: ГРФМЛ, 1963.– 534 с. 9. Стеценко О.Г. Наведене магнiтне поле, обумовле- не вертикальним рухом вихрової пари у стратифi- кованому середовищi // ПГМ.– 2010.– 12(84),№2.– С. 70-84. 10. Mei C.C., Wu T., Yao Tsu Two-dimensional gravity waves in a stratified ocean // Phys.Fluids.– 1967.– 10, №3.– P. 483-486. 11. Mei C.C. Surface Wave Pattern Due tu a Submerged Source Travelling in a Stratified Ocean // Rept. Hidrodynamics Lab. Mass. Inst. Technolog.– 1966.– №92.– P. 26. 12. Стурова И.В. Волновые движения, возникаю- щие в жидкости со ступенчатой стратификаци- ей при обтекании погруженного тела // В сб. “Численные методы механики сплошной среды”.– Новосибирск.– 1975.– 6, № 3.– С. 148-160. 13. Стурова И.В. Волновые движения, возникающие в стратифицированной жидкости при обтекании по- груженного тела // ПМТФ.– 1974.– №6.– С. 80-91. 14. Crapper G.D. Ship waves in stratified ocean // J. Fl. Mech..– 1967.– 29, №4.– P. 667-672. 15. Корн Г., Корн Т. Справочник по математике.– М.: Наука, ГРФМЛ, 1973.– 331 с. 16. Cleim T.A. Advances in sensor development and demonstration of superconducting gradiometer for mobil operation// IEEE Trans.Appl.Superconduct.– 1997.– C. 3287-3293 17. Джефрис Г., Свирлс Б. Методы математической физики, вып. 3.– М.: Мир, 1970.– 343 с. О. В. Городецький, В. I. Нiкiшов, О. Г. Стеценко 23

Наведене магнiтне поле, обумовлене хвильовими полями за рухомим об’єктом у стратифiкованому середовищi

Репозитарії

Схожі ресурси