Эффект сохранения зеркала жидкости в подвижной сфере

Понятие "зеркало жидкости", известное из гидростатики, распространено на случай, когда жидкость частично заполняет подвижный сферический контейнер. Эффект сохранения зеркала жидкости в подвижной сфере является часто наблюдаемым явлением, когда в любой момент времени сохраняются (1) плоская...

Повний опис

Збережено в:

Бібліографічні деталі
Дата:	2011
Автор:	Золотенко, Г.Ф.
Формат:	Стаття
Мова:	Russian
Опубліковано:	Інститут гідромеханіки НАН України 2011
Назва видання:	Прикладна гідромеханіка
Теми:	Науковi статтi
Онлайн доступ:	http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/116265
Теги:	Додати тег Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
Назва журналу:	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
Цитувати:	Эффект сохранения зеркала жидкости в подвижной сфере / Г.Ф. Золотенко // Прикладна гідромеханіка. — 2011. — Т. 13, № 1. — С. 24-28. — Бібліогр.: 8 назв. — рос.

Репозитарії

Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine

id	irk-123456789-116265
record_format	dspace
spelling	irk-123456789-1162652017-04-24T03:02:56Z Эффект сохранения зеркала жидкости в подвижной сфере Золотенко, Г.Ф. Науковi статтi Понятие "зеркало жидкости", известное из гидростатики, распространено на случай, когда жидкость частично заполняет подвижный сферический контейнер. Эффект сохранения зеркала жидкости в подвижной сфере является часто наблюдаемым явлением, когда в любой момент времени сохраняются (1) плоская форма и (2) ориентация в абсолютном пространстве свободной поверхности жидкости. В настоящей работе этот эффект описан аналитически в рамках модели идеальной несжимаемой однородной жидкости. Указаны режимы движения сферы, при которых эффект сохранения действительно проявляется. Получены точные формулы, определяющие ориентацию зеркала относительно сферы в зависимости как от ускорения центра сферы, так и от угловых координат сферы. Поняття "дзеркало рідини", яке відоме з гідростатики, розповсюджено на випадок, коли рідина частково заповнює рухомий сферичний контейнер. Ефект збереження дзеркала рідини у рухомій сфері є часто спостережуваним явищем, коли в довільний момент часу зберігаються (1) плоска форма та (2) орієнтація в абсолютному просторі вільної поверхні рідини. В даній роботі цей ефект описаний аналітично у межах моделі ідеальної нестисливої однорідної рідини. Указані режими руху сфери, за яких ефект збереження дійсно проявляється. Одержано точні формули, що визначають орієнтацію дзеркала відносно сфери в залежності як від прискорення центра сфери, так і від кутових координат сфери. The concept of "a fluid mirror" known from hydrostatics is extended to the case when fluid partially fills a moving spherical container. The preservation effect of a fluid mirror in a moving sphere is a frequently observed phenomenon when (1) the flat configuration and (2) the orientation in the absolute space of the fluid free surface remain invariable all the time. In the present work, this effect is analytically described within the limits of a model of an ideal incompressible homogeneous fluid. Regimes of sphere motions under which this preservation effect actually occurs are specified. The exact formulas defining orientation of the mirror with respect to the sphere and depending on both the acceleration of the sphere center and the angular sphere coordinates are obtained. 2011 Article Эффект сохранения зеркала жидкости в подвижной сфере / Г.Ф. Золотенко // Прикладна гідромеханіка. — 2011. — Т. 13, № 1. — С. 24-28. — Бібліогр.: 8 назв. — рос. 1561-9087 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/116265 532.59 ru Прикладна гідромеханіка Інститут гідромеханіки НАН України
institution	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
collection	DSpace DC
language	Russian
topic	Науковi статтi Науковi статтi
spellingShingle	Науковi статтi Науковi статтi Золотенко, Г.Ф. Эффект сохранения зеркала жидкости в подвижной сфере Прикладна гідромеханіка
description	Понятие "зеркало жидкости", известное из гидростатики, распространено на случай, когда жидкость частично заполняет подвижный сферический контейнер. Эффект сохранения зеркала жидкости в подвижной сфере является часто наблюдаемым явлением, когда в любой момент времени сохраняются (1) плоская форма и (2) ориентация в абсолютном пространстве свободной поверхности жидкости. В настоящей работе этот эффект описан аналитически в рамках модели идеальной несжимаемой однородной жидкости. Указаны режимы движения сферы, при которых эффект сохранения действительно проявляется. Получены точные формулы, определяющие ориентацию зеркала относительно сферы в зависимости как от ускорения центра сферы, так и от угловых координат сферы.
format	Article
author	Золотенко, Г.Ф.
author_facet	Золотенко, Г.Ф.
author_sort	Золотенко, Г.Ф.
title	Эффект сохранения зеркала жидкости в подвижной сфере
title_short	Эффект сохранения зеркала жидкости в подвижной сфере
title_full	Эффект сохранения зеркала жидкости в подвижной сфере
title_fullStr	Эффект сохранения зеркала жидкости в подвижной сфере
title_full_unstemmed	Эффект сохранения зеркала жидкости в подвижной сфере
title_sort	эффект сохранения зеркала жидкости в подвижной сфере
publisher	Інститут гідромеханіки НАН України
publishDate	2011
topic_facet	Науковi статтi
url	http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/116265
citation_txt	Эффект сохранения зеркала жидкости в подвижной сфере / Г.Ф. Золотенко // Прикладна гідромеханіка. — 2011. — Т. 13, № 1. — С. 24-28. — Бібліогр.: 8 назв. — рос.
series	Прикладна гідромеханіка
work_keys_str_mv	AT zolotenkogf éffektsohraneniâzerkalažidkostivpodvižnojsfere
first_indexed	2025-07-08T10:07:02Z
last_indexed	2025-07-08T10:07:02Z
_version_	1837072880578330624
fulltext	ISSN 1561 -9087 Прикладна гiдромеханiка. 2011. Том 13, N 1. С. 24 – 28 УДК 532.5:517.958 ЭФФЕКТ СОХРАНЕНИЯ ЗЕРКАЛА ЖИДКОСТИ В ПОДВИЖНОЙ СФЕРЕ Г. Ф. З ОЛ О ТЕН К О Институт математики НАН Украины Получено 21.06.2010 Понятие “зеркало жидкости”, известное из гидростатики, распространено на случай, когда жидкость частично за- полняет подвижный сферический контейнер. Эффект сохранения зеркала жидкости в подвижной сфере является часто наблюдаемым явлением, когда в любой момент времени сохраняются (1) плоская форма и (2) ориентация в абсолютном пространстве свободной поверхности жидкости. В настоящей работе этот эффект описан аналитически в рамках модели идеальной несжимаемой однородной жидкости. Указаны режимы движения сферы, при которых эффект сохранения действительно проявляется. Получены точные формулы, определяющие ориентацию зеркала относительно сферы в зависимости как от ускорения центра сферы, так и от угловых координат сферы. Поняття “дзеркало рiдини”, яке вiдоме з гiдростатики, розповсюджено на випадок, коли рiдина частково заповнює рухомий сферичний контейнер. Ефект збереження дзеркала рiдини у рухомiй сферi є часто спостережуваним яви- щем, коли в довiльний момент часу зберiгаються (1) плоска форма та (2) орiєнтацiя в абсолютному просторi вiльної поверхнi рiдини. В данiй роботi цей ефект описаний аналiтично у межах моделi iдеальної нестисливої однорiдної рiдини. Указанi режими руху сфери, за яких ефект збереження дiйсно проявляється. Одержано точнi формули, що визначають орiєнтацiю дзеркала вiдносно сфери в залежностi як вiд прискорення центра сфери, так i вiд кутових координат сфери. The concept of "a mirror of fluid" known from hydrostatics is extended to the case when fluid partially fills a moving spherical container. The preservation effect of a fluid mirror in a moving sphere is a frequently observed phenomenon when (1) the flat configuration and (2) the orientation in the absolute space of the fluid free surface remain invariable all the time. In the present work, this effect is analytically described within the limits of a model of an ideal incompressible homogeneous fluid. Regimes of sphere motions under which this preservation effect actually occurs are specified. The exact formulas defining orientation of the mirror with respect to the sphere and depending on both the acceleration of the sphere center and the angular sphere coordinates are obtained. ВВЕДЕНИЕ Понятие "зеркало жидкости" относится к ги- дростатике и означает плоскую свободную поверх- ность жидкости. Элементарным примером зерка- ла является свободная поверхность жидкости в не- подвижном контейнере или поверхность пруда в безветренную погоду. При определенных услови- ях поверхность жидкости теряет плоскую форму (например, становится волновой) или, иначе гово- ря, зеркало разрушается. Другим примером зеркала служит свободная поверхность жидкости в контейнере, который дви- жется горизонтально с постоянным ускорением в поле силы тяжести. В этом случае зеркало откло- няется от горизонтальной плоскости на определен- ный (известный) угол и сохраняется до тех пор, пока продолжается режим равномерно ускоренно- го движения этого контейнера. При более сложных перемещениях контейнера поведение зеркала и даже его существование за- висят от характера этих перемещений. В настоящей статье представлены результаты теоретического исследования режимов движения сферического контейнера, при которых сохраняе- тся плоская конфигурация свободной поверхности жидкости. Задача динамики жидкости именно в сфериче- ском контейнере достаточно сложна. Она описана в обзоре [1], где также указан ряд теоретических и экспериментальных работ по свободным коле- баниям жидкости. Более современные результаты (по частотам колебаний жидкости в неподвижной сфере) представлены в [2]. Плоская свободная поверхность жидкости в по- движной сфере отмечена в экспериментальной ра- боте [3], посвященной случаю горизонтальных си- нусоидальных колебаний бака. В этой статье вве- дены понятия "относительно плоской" и "суще- ственно плоской" свободной поверхности, кото- рые отражают так называемые плоские и непло- ские (вращательные) движения жидкости соответ- ственно1. В то же время, в аналитическом ис- следовании [4], посвященном маятниковой ана- логии упомянутого неплоского вращения жидко- сти, предположение о плоской форме свободной поверхности является только гипотезой, посколь- ку ее существование как точного решения ги- дродинамической задачи не доказано. Наконец, 1В последнем случае имеются в виду бегущие по кругу плоские волны 24 c© Г. Ф. Золотенко, 2011 ISSN 1561 -9087 Прикладна гiдромеханiка. 2011. Том 13, N 1. С. 24 – 28 в [5] рассмотрен вопрос о плоской форме свобо- дной поверхности в случае горизонтального ци- линдра, совершающего равноускоренное поступа- тельное движение и угловые колебания вокруг своей оси (задача о "летящем цилиндре"). В настоящей работе применены подходы Н. Е. Жуковского в том, что касается методов описания движения жидкости относительно по- движного твердого тела [6], и Г. Ламба – в том, что касается математического описания свободной поверхности жидкости [7]. Понятия и результаты кинематики твердого тела, использованные в настоящей работе, изложены в монографии А.И. Лурье [8]. 1. ЭФФЕКТ СОХРАНЕНИЯ ЗЕРКАЛА ЖИДКОСТИ Рассматривается невязкая несжимаемая одно- родная жидкость, которая частично заполняет сферический контейнер, совершающий некоторое движение в поле силы тяжести. Абсолютное дви- жение жидкости считается потенциальным. Вводится инерциальная система координат O∗ξ1ξ2ξ3, ось O∗ξ3 которой направлена противо- положно вектору ускорения силы тяжести g. В то же время, вводится система координат OXY Z, жестко связанная со сферическим контейнером и имеющая начало O в центре сферы. Эти коорди- натные системы являются правыми и прямоуголь- ными. Сфера в общем случае совершает поступательно-вращательное движение с шестью степенями свободы. Ее поступательное движение задается вектором абсолютной скорости центра O сферы v0(t), который в инерциальных осях O∗ξ1ξ2ξ3 определяется компонентами v0(t) = ( v1 0 (t), v2 0 (t), v3 0 (t) ) . (1) Вращательное движение сферы происходит во- круг ее центра O и задается посредством трех углов α, β, γ (рис. 1). Эти углы определяются сле- дующим образом (см. [8]). Пусть подвижная система координат OXY Z совпадает с системой координат O∗ξ1ξ2ξ3 в на- чальный момент времени, а их начала O и O∗ сов- падают друг с другом в любой момент времени. Тогда угол α определяет первый поворот коорди- натной системы OXY Z вокруг ξ1–оси. В свою оче- редь, угол β определяет второй поворот коорди- натной системы OXY Z; этот поворот производи- тся вокруг новой оси, которая совпадает с Y –осью Рис. 1. Угловые координаты α, β, γ сферического контейнера относительно инерциальной системы координат O∗ξ1ξ2ξ3 после поворота координатной системы OXY Z на угол α. Наконец, угол γ определяет третий пово- рот координатной системы OXY Z вокруг новой оси, которая совпадает с Z–осью после поворотов системы координат OXY Z на углы α и β. Углы α, β, γ полагаются положительными, если рассма- триваемые повороты осуществляются вокруг соот- ветствующих осей против хода часовой стрелки. Замечание. Углы α(t), β(t), γ(t) являются аль- тернативой классическим эйлеровым углам и, оче- видно, однозначно определяют угловое положение сферы в пространстве. Их преимущество заключа- ется в том, что иногда их можно измерить (напри- мер, в случае сферического бака, закрепленного в кардановом подвесе на борту подвижного объек- та или в лаборатории), в то время как эйлеровы углы всегда определяются умозрительно и потому представляют только теоретический интерес. При определенных режимах движения сфе- ры возможен эффект сохранения зеркала жидко- сти. В частности, можно доказать, что в случае плоско–параллельного движения сферы имеет ме- сто следующая закономерность: если поступательное движение сферического контейнера подчиняется закону (в осях O∗ξ1ξ2ξ3) v0(t) = ( 0, v2 0 + w2 0 t, v3 0 + w3 0 t ) , (2) Г. Ф. Золотенко 25 ISSN 1561 -9087 Прикладна гiдромеханiка. 2011. Том 13, N 1. С. 24 – 28 угол α(t) изменяется произвольно, а β(t) = γ(t) ≡ 0, (3) то зеркало жидкости Σ сохраняется, а его урав- нение в подвижной системе координат OXY Z имеет вид sin [ α(t)−K ] Y +cos [ α(t)−K ] Z = ± \|H−R0\|, (4) где tg K = − w2 0 w3 0 + g ; (5) v2 0 , v3 0 — компоненты вектора скорости v0(t) в начальный момент; w2 0 , w3 0 — постоянные ком- поненты вектора абсолютного ускорения центра сферы O; H — начальный уровень заполнения кон- тейнера; R0— радиус сферы; знак плюс выбирае- тся при H ≥ R0, а минус — при H < R0. Формулы (4), (5) показывают, что ориентация зеркала относительно сферы зависит от ускорения центра сферы и от ее угловой координаты α(t). В то же время, ориентация зеркала не зависит от начальной скорости точки O, начального уровня заполнения H и радиуса R0. Интересно, что вра- щательное движение сферического контейнера яв- ляется произвольным (по углу α). Из уравнения (4) следует, что для наблюдателя, который находится в подвижной системе коорди- натной, ориентация зеркала изменяется со време- нем. В неподвижных осях ситуация иная, а имен- но: для любых поступательных и угловых дви- жений сферического контейнера по закону (2), (3) ориентация зеркала жидкости относительно инерциальной системы координат остается неи- зменной. Другими словами, в сферическом контейнере, движущемся по закону (2), (3), зеркало жидкости ведет себя как стабилизированная (наклоненная) площадка. Эти два утверждения дают точное представле- ние об эффекте сохранения зеркала жидкости и (достаточных) условиях проявления этого эффек- та. Аналогичный эффект имеет место в случае го- ризонтального цилиндра, вращающегося вокруг своей оси [5]. 2. ТОЧНОЕ РЕШЕНИЕ НЕЛИНЕЙНОЙ ГИДРОДИНАМИЧЕСКОЙ ЗАДАЧИ Для доказательства сформулированных предло- жений рассматривается следующая нелинейная краевая задача теории относительного движения жидкости: 4Φ(R, t) = 0, R ∈ Q(t), t ∈ [t0, T ], (6) ∂Φ(R, t) ∂n = (V0 + Ω× R) · N, R ∈ S(t), (7) ∂Φ(R, t) ∂n = (V0 + Ω × R) · N− − ft \|∇f \| , R ∈ Σ(t), (8) Φt + 1 2 (∇Φ)2 − (V0 + Ω × R) · ∇Φ − G0 · R = = F0(t) − p∗ ρ , R ∈ Σ(t). (9) Здесь Φ(R, t) — потенциальная функция абсо- лютной скорости жидкости (отнесенной к подви- жным осям OXY Z); R = (X, Y, Z) — радиус– вектор жидкой частицы относительно подвижного начала координат O; Q(t) — жидкая область в мо- мент t, ограниченная поверхностью S(t)+Σ(t), где S(t) и Σ(t) обозначают часть сферы и свободную поверхность жидкости соответственно; N(R, t) — единичный вектор внешней нормали к границе области Q(t); p∗ = const — давление на свобо- дной поверхности; ρ — плотность жидкости; F0(t) — произвольная функция времени; f — функ- ция из неявного уравнения свободной поверхно- сти f(X, Y, Z, t) = 0. Операторы 4 и ∇ действуют по переменным X, Y, Z. Неизвестными являются функции Φ, f и F0(t). Остальные параметры, т. е. V0(t), Ω(t), G0(t), p∗, ρ, известны. Замечание. Обычно произвольная функция F0(t) в динамическом краевом условии на сво- бодной поверхности (9) исключается с помощью хорошо известной замены переменных. Однако в рассматриваемой гидродинамической задаче эта функция должна быть сохранена. Решение краевой задачи (6)–(9) сводится к ря- ду замен зависимых и независимых переменных и последующему решению систем обыкновенных и тригонометрических уравнений, возникающих здесь. При замене зависимой переменной Φ(R, t) используются условие потенциальности поля аб- солютной скорости жидкости и теорема о разло- жении абсолютной скорости жидкой частицы на переносную и относительную составляющие. Та- ким образом, полагается, что Φ(R, t) = Ψ(R, t) + V0(t) · R, (10) 26 Г. Ф. Золотенко ISSN 1561 -9087 Прикладна гiдромеханiка. 2011. Том 13, N 1. С. 24 – 28 где Ψ — новая неизвестная функция. Кроме того, уравнение свободной поверхности (т . е. уравнение зеркала жидкости) берется в виде γ1(t)X + γ2(t)Y + γ3(t)Z ∓ h0(t) = 0, (11) где γi, i = 1, 2, 3, — компоненты орта внешней нор- мали N к свободной поверхности, h0(t) ≡ \|H −R0\| — расстояние между точкой O и плоскостью зер- кала, а знаки минус и плюс выбираются в зависи- мости от начальной глубины жидкости H ≥ R0 и H < R0 соответственно. Подстановка выражения (10) в уравнение (6) приводит к уравнению Лапласа относительно неи- звестной Ψ. В этом случае граничное условие на твердой стенке (7) обуславливает решение Ψ(R, t) ≡ 0. (12) Если тождество (12) выполняется, кинематиче- ское условие (8) на свободной поверхности (11) приводит к следующей системе трех обыкновен- ных дифференциальных уравнений относительно функций γi(t): dγ1 dt = ΩZ(t)γ2 − ΩY (t)γ3, (13) dγ2 dt = ΩX(t)γ3 − ΩZ(t)γ1 , (14) dγ3 dt = ΩY (t)γ1 − ΩX(t)γ2 . (15) Здесь ΩX , ΩY , ΩZ — проекции угловой скоро- сти сферического контейнера на подвижные оси OXY Z. Показывается, что система трех дифференци- альных уравнений (13)–(15) эквивалентна следу- ющей переопределенной системе трех уравнений относительно двух неизвестных µ(t), ν(t): (ν̇ cos µ − α̇ cos β sin γ + β̇ cos γ) cos ν− −(µ̇ + α̇ sin β + γ̇) sin µ sin ν = 0, (16) (ν̇ sin µ − α̇ cos β cos γ − β̇ sin γ) cos ν+ +(µ̇ + α̇ sin β + γ̇) cosµ sin ν = 0, (17) ν̇ − α̇ cosβ sin(γ + µ) + β̇ cos(γ + µ) = 0. (18) Здесь µ(t), ν(t) — угловые координаты орта норма- ли к зеркалу жидкости. При условии (3) система уравнений (16) – (18) имеет решение µ(t) = − π 2 , ν(t) = −α(t) + K. (19) Учет в уравнении (11) связи параметров γi и µ, ν , а также формул (19) приводит к уравнению зер- кала (4). В свою очередь, динамическое условие (9) на свободной поверхности (11) приводит к трем три- гонометрическим соотношениям между углами α(t), β(t), γ(t), компонентами γi(t) и линейными ускорениями сферы w1 0 , w2 0 , w3 0 , а именно: w1 0 cosβ cos γ + w2 0 (sin α sin β cos γ + cosα sin γ)− − ( w3 0 + g ) (cos α sinβ cos γ − sin α sin γ) = = ±Nγ1(t), (20) w1 0 cos β sin γ + w2 0 (sin α sin β sin γ − cosα cos γ)− − ( w3 0 + g ) (cos α sinβ sin γ + sin α cos γ) = = ∓Nγ2(t), (21) w1 0 sin β − w2 0 sin α cosβ + ( w3 0 + g ) cosα cosβ = = ±Nγ3(t), (22) где N = √ ( w1 0 )2 + ( w2 0 )2 + ( w3 0 + g )2 , а знаки плюс и минус выбираются в зависимости от начальной глубины жидкости H ≥ R0 и H < R0 соответственно. При условии (3) соотношения (20)–(22) дают формулу (5)для параметра K при w1 0 = 0. Наконец, при известных Φ(R, t) и Σ(t) функ- ция F0(t) в динамическом условии (9) определя- ется однозначно и имеет вид F0(t) = p∗ ρ − 1 2 V 2 0 (t) ± ∣ ∣ ∣ H − R0 ∣ ∣ ∣ N, (23) где знак плюс соответствует начальной глубине жидкости H ≥ R0, а знак минус — начальной глу- бине жидкости H < R0. Таким образом, точное решение гидродинами- ческой задачи, отражающее эффект сохранения зеркала жидкости при рассмотренных условиях, определяется формулами (10), (12) для потенциа- ла, (4) – для свободной поверхности и (23) – для функции F0(t). Замечание. Формула для гидродинамического давления, в общем случае определяемая из инте- грала Коши–Лагранжа лишь с точностью до прои- звольной функции времени, в рассматриваемом случае становится однозначной в силу однозначно- го выбора функции F0(t) согласно (23), что важно для приложений. Справедливость второго утверждения (о сохра- нениии ориентации зеркала жидкости относитель- но инерциальной системы координат) вытекает из Г. Ф. Золотенко 27 ISSN 1561 -9087 Прикладна гiдромеханiка. 2011. Том 13, N 1. С. 24 – 28 уравнений (13)–(15), которые, как известно, опре- деляют проекции на вращающиеся оси единично- го вектора, сохраняющего неизменное направле- ние по отношению к осям невращающейся систе- мы координат [8, c. 127–128]. 3. ПРОСТРАНСТВЕННОЕ ДВИЖЕНИЕ СФЕРЫ Предыдущие результаты относятся к плоско– параллельному движению сферы. Однако интуи- тивно можно предположить, что аналогичное ре- шение должно существовать и в более сложном случае пространственных движений сферы с ше- стью степенями свободы. Имеет место следующее обобщение предыдущих результатов: если поступательное движение сферического контейнера трехмерно и подчиняется закону (в инерцциальных осях O∗ξ1ξ2ξ3) v0(t) = ( v1 0 + w1 0 t, v2 0 + w2 0 t, v3 0 + w3 0 t ) , (24) а угловые координаты сферы α(t), β(t), γ(t) изме- няются произвольно, то зеркало жидкости Σ со- храняется и его уравнение в подвижной системе координат OXY Z имеет вид (11), где компонен- ты орта нормали γi(t) определяются из соотно- шений (20)–(22). Доказательство этого утверждения вытекает из того, что функции γi(t), определяемые из соотно- шений (20)–(22), являются общим решением ли- нейной системы обыкновенных дифференциаль- ных уравнений третьего порядка (13)–(15). Это проверяется непосредственно. Произвольными по- стоянными интегрирования в данном случае вы- ступают величины w1 0 , w2 0 , w3 0 +g (заметим, что они не входят явно в систему уравнений (13)–(15)). Пример. Если сфера совершает плоско– параллельное движение, при котором v0(t) = ( v1 0 + w1 0 t, v2 0 + w2 0 t, v3 0 + w3 0 t ) , β(t) = γ(t) ≡ 0, v1 0 = w1 0 = 0, то общее решение (11) сводится к частному реше- нию µ(t) = − π 2 , ν(t) = −α(t) + K (см. (19) и (4)–(5)). ВЫВОДЫ Найдено точное частное решение краевой ги- дродинамической задачи о безвихревом движении идеальной несжимаемой жидкости внутри подви- жной сферы. Показано, что в сферическом кон- тейнере, совершающем плоско–параллельное или пространственное движение, возможен эффект со- хранения зеркала жидкости. Как любой физиче- ский эффект, он проявляется в действительности только при определенных условиях. Найденные в данной работе (достаточные) условия проявления этого эффекта сводятся к требованию, чтобы ве- ктор ускорения поступательного движения сферы был постоянным в инерциальной системе коорди- нат, хотя угловое движение сферы может быть произвольным. Результаты исследования позволяют рассчи- тывать параметры зеркала жидкости относитель- но борта транспортного средства, а также гидро- динамическое давление в зависимости от параме- тров движения сферы. 1. Abramson, H.N. Dynamic behavior of liquid in movi- ng container // Appl. Mech. Reviews.– 1963.– 16.– P. 501–506.. 2. Mciver, P. Sloshing frequencies for cylindrical and spherical containers // J. Fluid Mech.– 1989.– 201.– P. 243–257.. 3. Sumner, I. E. Experimental investigation of stabili- ty boundaries for planar and nonplaner sloshing in spherical tanks // NASA TN.– 1966.– D-3210.– P. 1– 16. 4. Столбецов, В.Н., Фишкис В.М. Об одной механи- ческой модели жидкости, совершающей немалые колебания в сферической полости // Изв. АН СС- СР. Механика жидкости и газа.– 1968.– No 5.– С. 119–123. 5. Золотенко, Г.Ф. Многозначные решения общей задачи теории относительного движения жидко- сти // Прикладная гидромеханика.– 2006.– 8 (80), № 1.– С. 22–30. 6. Жуковский, Н. Е. О движении твердого тела, имеющего полости, заполненные однородною ка- пельною жидкостью. Избранные сочинения. Т. 2.– М.:Машиностроение, 1949.– С. 152–309 7. Ламб, Г. Гидродинамика.– М.: ГИТТЛ, 1947.– 928 с. 8. Лурье, А.И. Аналитическая механика.– М.: ФМ, 1961.– 819 с. 28 Г. Ф. Золотенко

Эффект сохранения зеркала жидкости в подвижной сфере

Репозитарії

Схожі ресурси