Численное моделирование развития вихрей Тейлора-Гертлера в нестационарном течении Куэтта. 2. Различные параметры ввода возмущений
Рассматривается численное моделирование развития регулярных вихревых возмущений в пограничном слое, который формируется на внутренней поверхности внешнего цилиндра после его остановки в круговом течении Куэтта между двумя вращающимися цилиндрами. Основное внимание уделяется исследованию влияния расп...
Gespeichert in:
| Datum: | 2012 |
|---|---|
| Hauptverfasser: | , , |
| Format: | Artikel |
| Sprache: | Russian |
| Veröffentlicht: |
Інститут гідромеханіки НАН України
2012
|
| Schriftenreihe: | Прикладна гідромеханіка |
| Schlagworte: | |
| Online Zugang: | http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/116390 |
| Tags: |
Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Zitieren: | Численное моделирование развития вихрей Тейлора-Гертлера в нестационарном течении Куэтта. 2. Различные параметры ввода возмущений / Н.С. Городецкая, В.И. Никишов, Л.В. Ткаченко // Прикладна гідромеханіка. — 2012. — Т. 14, № 3. — С. 37-44. — Бібліогр.: 15 назв. — рос. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
irk-123456789-116390 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
irk-123456789-1163902017-04-26T03:02:34Z Численное моделирование развития вихрей Тейлора-Гертлера в нестационарном течении Куэтта. 2. Различные параметры ввода возмущений Городецкая, Н.С. Никишов, В.И. Ткаченко, Л.В. Науковi статтi Рассматривается численное моделирование развития регулярных вихревых возмущений в пограничном слое, который формируется на внутренней поверхности внешнего цилиндра после его остановки в круговом течении Куэтта между двумя вращающимися цилиндрами. Основное внимание уделяется исследованию влияния расположения места генерации и времени ввода возмущений в поток на характер развития продольных вихрей, в частности на рост энергии, протяженность линейной стадии развития. Исследуется также развитие вихревых структур разной длины волны. Проведен анализ влияния времени ввода возмущений в поток на скорость их нарастания. Показано, что энергия возмущений, вносимых в область вне пограничного слоя, начинает нарастать с существенным запаздыванием по сравнению со случаем, когда возмущения вносятся внутрь пограничного слоя. Продемонстрировано, что скорость роста возмущений существенно зависит от длины волны, причем найденное значение волнового параметра хорошо соответствует результатам, полученным другими авторами. Показано, что наибольшие отличия в нарастании возмущений с различными длинами волн наблюдаются в случаях, когда они вносятся в область вне пограничного слоя. Розглядається чисельне моделювання розвитку регулярних збурень завихореності у примежовому шарі над зовнішнім циліндром після його зупинки в круговій течії Куетта між двома циліндрами, що обертаються. Основна увага приділяється дослідженню впливу розташування місця генерації і часу введення збурень у потік на характер розвитку поздовжніх вихорів, зокрема на зростання енергії, протяжність лінійної стадії розвитку. Досліджено також розвиток штучних вихрових структур різної довжини хвилі. Проведено аналіз впливу часу введення збурень в потік на швидкість їхнього наростання. Показано, що енергія збурень, що вносяться в область поза примежовим шаром, починає зростати з істотним запізненням порівняно з випадком, коли збурення вносяться всередину примежового шару. Продемонстровано, що швидкість зростання збурень суттєво залежить від довжини хвилі, і отримане значення хвильового параметра добре узгоджується з результатами, що отримані іншими авторами. Показано, що найбільші відмінності в зростанні збурень з різними довжинами хвиль спостерігаються у випадках, коли вони вносяться в область поза примежового шару. The results of numerical simulation of a regular perturbation vorticity development in a boundary layer over a concave surface are presented. The boundary layer is formed over the inner surface of the external cylinder after its stop in a circular Couette flow between two rotating cylinders. It is shown that a noticeable drop of the energy of regular vertical perturbations introducing in flow occurs at initial time. The shape of the perturbations was close to Gertler's longitudinal vortices. The drop is connected with the adaptation of vortices to the peculiarities of the flow. The greater is the initial perturbations energy, the greater it is the drop of disturbances energy. In time, the vortical disturbances develop and their energy increases, and nonlinear effects become important. The influence of nonlinear effects appears earlier for perturbations with greater energy. This influence causes a deviation of the growth energy curves from the exponential law. 2012 Article Численное моделирование развития вихрей Тейлора-Гертлера в нестационарном течении Куэтта. 2. Различные параметры ввода возмущений / Н.С. Городецкая, В.И. Никишов, Л.В. Ткаченко // Прикладна гідромеханіка. — 2012. — Т. 14, № 3. — С. 37-44. — Бібліогр.: 15 назв. — рос. 1561-9087 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/116390 532.517 ru Прикладна гідромеханіка Інститут гідромеханіки НАН України |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| language |
Russian |
| topic |
Науковi статтi Науковi статтi |
| spellingShingle |
Науковi статтi Науковi статтi Городецкая, Н.С. Никишов, В.И. Ткаченко, Л.В. Численное моделирование развития вихрей Тейлора-Гертлера в нестационарном течении Куэтта. 2. Различные параметры ввода возмущений Прикладна гідромеханіка |
| description |
Рассматривается численное моделирование развития регулярных вихревых возмущений в пограничном слое, который формируется на внутренней поверхности внешнего цилиндра после его остановки в круговом течении Куэтта между двумя вращающимися цилиндрами. Основное внимание уделяется исследованию влияния расположения места генерации и времени ввода возмущений в поток на характер развития продольных вихрей, в частности на рост энергии, протяженность линейной стадии развития. Исследуется также развитие вихревых структур разной длины волны. Проведен анализ влияния времени ввода возмущений в поток на скорость их нарастания. Показано, что энергия возмущений, вносимых в область вне пограничного слоя, начинает нарастать с существенным запаздыванием по сравнению со случаем, когда возмущения вносятся внутрь пограничного слоя. Продемонстрировано, что скорость роста возмущений существенно зависит от длины волны, причем найденное значение волнового параметра хорошо соответствует результатам, полученным другими авторами. Показано, что наибольшие отличия в нарастании возмущений с различными длинами волн наблюдаются в случаях, когда они вносятся в область вне пограничного слоя. |
| format |
Article |
| author |
Городецкая, Н.С. Никишов, В.И. Ткаченко, Л.В. |
| author_facet |
Городецкая, Н.С. Никишов, В.И. Ткаченко, Л.В. |
| author_sort |
Городецкая, Н.С. |
| title |
Численное моделирование развития вихрей Тейлора-Гертлера в нестационарном течении Куэтта. 2. Различные параметры ввода возмущений |
| title_short |
Численное моделирование развития вихрей Тейлора-Гертлера в нестационарном течении Куэтта. 2. Различные параметры ввода возмущений |
| title_full |
Численное моделирование развития вихрей Тейлора-Гертлера в нестационарном течении Куэтта. 2. Различные параметры ввода возмущений |
| title_fullStr |
Численное моделирование развития вихрей Тейлора-Гертлера в нестационарном течении Куэтта. 2. Различные параметры ввода возмущений |
| title_full_unstemmed |
Численное моделирование развития вихрей Тейлора-Гертлера в нестационарном течении Куэтта. 2. Различные параметры ввода возмущений |
| title_sort |
численное моделирование развития вихрей тейлора-гертлера в нестационарном течении куэтта. 2. различные параметры ввода возмущений |
| publisher |
Інститут гідромеханіки НАН України |
| publishDate |
2012 |
| topic_facet |
Науковi статтi |
| url |
http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/116390 |
| citation_txt |
Численное моделирование развития вихрей Тейлора-Гертлера в нестационарном течении Куэтта. 2. Различные параметры ввода возмущений / Н.С. Городецкая, В.И. Никишов, Л.В. Ткаченко // Прикладна гідромеханіка. — 2012. — Т. 14, № 3. — С. 37-44. — Бібліогр.: 15 назв. — рос. |
| series |
Прикладна гідромеханіка |
| work_keys_str_mv |
AT gorodeckaâns čislennoemodelirovanierazvitiâvihrejtejloragertleravnestacionarnomtečeniikuétta2različnyeparametryvvodavozmuŝenij AT nikišovvi čislennoemodelirovanierazvitiâvihrejtejloragertleravnestacionarnomtečeniikuétta2različnyeparametryvvodavozmuŝenij AT tkačenkolv čislennoemodelirovanierazvitiâvihrejtejloragertleravnestacionarnomtečeniikuétta2različnyeparametryvvodavozmuŝenij |
| first_indexed |
2025-07-08T10:17:44Z |
| last_indexed |
2025-07-08T10:17:44Z |
| _version_ |
1837073554986762240 |
| fulltext |
ISSN 1561 -9087 Прикладна гiдромеханiка. 2012. Том 14, N 3. С. 37 – 44
УДК 532.517
ЧИСЛЕННОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ РАЗВИТИЯ ВИХРЕЙ
ТЕЙЛОРА–ГЕРТЛЕРА В НЕСТАЦИОНАРНОМ ТЕЧЕНИИ
КУЭТТА.
2. РАЗЛИЧНЫЕ ПАРАМЕТРЫ ВВОДА ВОЗМУЩЕНИЙ
Н. С. Г ОРОД Е Ц КА Я, В. И. Н И К И Ш OВ, Л. В. ТК А ЧЕ Н К О
Институт гидромеханики НАН Украины, Киев
Получено 17.12.2011
Рассматривается численное моделирование развития регулярных вихревых возмущений в пограничном слое, кото-
рый формируется на внутренней поверхности внешнего цилиндра после его остановки в круговом течении Куэтта
между двумя вращающимися цилиндрами. Основное внимание уделяется исследованию влияния расположения ме-
ста генерации и времени ввода возмущений в поток на характер развития продольных вихрей, в частности на рост
энергии, протяженность линейной стадии развития. Исследуется также развитие вихревых структур разной длины
волны. Проведен анализ влияния времени ввода возмущений в поток на скорость их нарастания. Показано, что энер-
гия возмущений, вносимых в область вне пограничного слоя, начинает нарастать с существенным запаздыванием по
сравнению со случаем, когда возмущения вносятся внутрь пограничного слоя. Продемонстрировано, что скорость
роста возмущений существенно зависит от длины волны, причем найденное значение волнового параметра хоро-
шо соответствует результатам, полученным другими авторами. Показано, что наибольшие отличия в нарастании
возмущений с различными длинами волн наблюдаются в случаях, когда они вносятся в область вне пограничного
слоя.
Розглядається чисельне моделювання розвитку регулярних збурень завихореностi у примежовому шарi над зов-
нiшнiм цилiндром пiсля його зупинки в круговiй течiї Куєтта мiж двома цилiндрами, що обертаються. Основна
увага придiляється дослiдженню впливу розташування мiсця генерацiї i часу введення збурень у потiк на характер
розвитку поздовжнiх вихорiв, зокрема на зростання енергiї, протяжнiсть лiнiйної стадiї розвитку. Дослiджено та-
кож розвиток штучних вихрових структур рiзної довжини хвилi. Проведено аналiз впливу часу введення збурень
в потiк на швидкiсть їхнього наростання. Показано, що енергiя збурень, що вносяться в область поза примежо-
вим шаром, починає зростати з iстотним запiзненням порiвняно з випадком, коли збурення вносяться всередину
примежового шару. Продемонстровано, що швидкiсть зростання збурень суттєво залежить вiд довжини хвилi, i
отримане значення хвильового параметра добре узгоджується з результатами, що отриманi iншими авторами. По-
казано, що найбiльшi вiдмiнностi в зростаннi збурень з рiзними довжинами хвиль спостерiгаються у випадках, коли
вони вносяться в область поза примежового шару.
The results of numerical simulation of a regular perturbation vorticity development in a boundary layer over a concave
surface are presented. The boundary layer is formed over the inner surface of the external cylinder after its stop in a
circular Couette flow between two rotating cylinders. It is shown that a noticeable drop of the energy of regular vortical
perturbations introducing in flow occurs at initial time. The shape of the perturbations was close to G?rtler’s longitudinal
vortices. The drop is connected with the adaptation of vortices to the peculiarities of the flow. The greater is the initial
perturbations energy, the greater it is the drop of disturbances energy. In time, the vortical disturbances develop and
their energy increases, and nonlinear effects become important. The influence of nonlinear effects appears earlier for
perturbations with greater energy. This influence causes a deviation of the growth energy curves from the exponential law.
ВВЕДЕНИЕ
Как показали результаты численного модели-
рования, приведенные в статье [1], развитие во-
змущений, внесенных в поток, зависит от их на-
чальной энергии. С течением времени энергия во-
змущений растет и в дальнейшем развитии возму-
щений существенную роль начинают играть нели-
нейные эффекты. Влияние последних приводит к
отклонению кривых роста энергии от экспоненци-
ального закона.
Кроме того, обнаружено, что даже при введении
в поток регулярных вихревых возмущений, кото-
рые представляют собой систему продольных ви-
хрей типа вихрей Гертлера, вначале наблюдается
заметное падение энергии вихревых возмущений,
связанное с их приспособлением к особенностям
потока. Продолжительность начальной стадии за-
висит от соотношения между расстоянием от ме-
ста ввода возмущений до стенки и толщиной по-
граничного слоя.
В данной работе, которая является продолже-
нием работы [1], основное внимание уделяется ис-
следованиям влияния расположения места генера-
ции и времени ввода возмущений в поток на ха-
рактер развития продольных вихрей, в частности
на рост энергии, протяженность линейной стадии
развития. Кроме того, рассматривается развитие
искусственных вихревых структур разной длины
волны, инжектируемых в поток с целью изучить
процессы развития возмущений с разными длина-
ми волн и выяснить влияние длины волны на рост
энергии возмущений.
c© Н.С. Городецкая, В.И. Никишов, Л.В. Ткаченко, 2012 37
ISSN 1561 -9087 Прикладна гiдромеханiка. 2012. Том 14, N 3. С. 37 – 44
Рис. 1. Изменение энергии возмущений во времени
для различных моментов их ввода в поток.
Кривая 1 соответствует моменту времени Tm = 0.01,
кривая 2 – Tm = 0.5, кривая 3 – Tm = 2
1. ВЛИЯНИЕ МОМЕНТА ВВОДА
ВОЗМУЩЕНИЙ
Как отмечено ранее [1], возмущения вводились
в поток после остановки внешнего цилиндра, ко-
гда на его внутренней поверхности уже развился
пограничный слой. С течением времени происхо-
дит рост толщины пограничного слоя во време-
ни. Представляет интерес изучить влияние време-
ни ввода возмущений на характер роста их энер-
гии. С этой целью был проведен анализ разви-
тия возмущений при различных временах ввода,
но при постоянной начальной энергии. Расположе-
ние цилиндрической поверхности ввода возмуще-
ний оставалось в расчетах неизменным: rd = 0.994.
Энергия вносимых возмущений была одной и той
же: k = −1. Таким образом, расстояние от места
ввода возмущений до стенки было неизменным,
постоянной была энергия возмущений, но изменя-
лось время ввода возмущений. Другими словами,
при неизменной величине rd = 0.994 толщина по-
граничного слоя в момент ввода возмущений ме-
нялась, т.е. степень его развития (в данном случае
его толщина) в момент ввода возмущений была ра-
зличной.
Отметим, что частично вопросы влияния вре-
мени ввода возмущений на характер роста энер-
гии рассмотрены в [1], где основное внимание было
уделено влиянию начальной энергии. В данном по-
дразделе начальная энергия возмущений неизмен-
на. На рис. 1 представлены результаты расчета
изменения энергии возмущений во времени для
случаев, когда возмущения вводятся в поток в раз-
ные моменты времени.
Толщины потери импульса, отвечающие време-
нам ввода возмущений Tm = 0.01, Tm = 0.5 и
Tm = 2, представлены в [1,табл. 1]. Полагая, что
соотношение между толщиной пограничного слоя
δ и толщиной потери импульса θ такое же, как
для профиля Блазиуса, т. е. δ/θ = 7.5 [2], мож-
но оценить соответствующие толщины пограни-
чных слоев. Отсюда следует, что в момент време-
ни Tm = 2 толщина пограничного слоя существен-
но превышает расстояние от цилиндрической по-
верхности, на которой располагалось место ввода
возмущений, до границы, δ � ∆ = 1 − rd, т. е. во-
змущения вводились внутрь пограничного слоя и
его верхняя граница располагалась на достаточно
большом расстоянии от места ввода возмущений.
В то же время, оценка показывает, что толщины
пограничного слоя при Tm = 0.01 и Tm = 0.5 со-
ставляют δ = 0.005 и δ = 0.04 соответственно.
Отсюда следует, что при Tm = 0.01 место ввода
возмущений (центры вихревых возмущений) ра-
сположено выше верхней границы пограничного
слоя; при Tm = 0.5 возмущения вводились прибли-
зительно на уровне толщины потери импульса и
заметно ближе к поверхности, чем располагалась
верхняя граница пограничного слоя, т. е. δ > ∆.
Из рис. 1 видно, что скорости нарастания энер-
гии (угол наклона кривых) практически совпада-
ют во всех случаях. Действительно, как показа-
ли расчеты, величина β = 5.8 для кривой 1, β =
5.9 для кривой 2 и β = 5.7 для кривой 3. Ма-
ксимальная энергия возмущений, как и следова-
ло ожидать, достигается в случае Tm = 2 зна-
чительно позже по сравнению с другими случая-
ми. Однако сама эта величина существенно боль-
ше, чем в случаях Tm = 0.01 и Tm = 0.5. Как
отмечалось выше, значение этого максимума, ко-
торый характеризует отклонение от линейной те-
ории, обусловлено влиянием нелинейных эффек-
тов взаимодействия возмущений между собой и
потоком жидкости. Отсюда можно сделать вывод
о том, что нелинейные эффекты взаимодействия
возмущений с потоком начинают проявляться при
значительно большей энергии возмущений в слу-
чае, когда возмущения вносятся в поток позже и
пограничный слой является более развитым.
2. ВЛИЯНИЕ МЕСТОПОЛОЖЕНИЯ
ВВОДА ВОЗМУЩЕНИЙ
Из анализа результатов расчетов развития во-
змущений в случае изменения времени их ввода
в поток следует, что одним из важных факторов,
влияющих на характер развития возмущений, яв-
38 Н.С. Городецкая, В.И. Никишов, Л.В. Ткаченко
ISSN 1561 -9087 Прикладна гiдромеханiка. 2012. Том 14, N 3. С. 37 – 44
Рис. 2. Изменение энергии возмущений во времени
для различных положений их ввода в поток.
Кривая 1 соответствует rd = 0.9, кривая 2 – rd = 0.95,
кривая 3 – rd = 0.98, кривая 4 – rd = 0.994
ляется отношение между толщиной пограничного
слоя и расстоянием места ввода от стенки цилин-
дра. Для изучения характера изменения параме-
тров возмущений в зависимости от радиуса rd ци-
линдрической поверхности, на которой вводились
возмущения, были проведены расчеты изменения
энергии возмущений во времени для различных
значений rd. В частности, рассмотрены случаи,
когда радиусы цилиндрической поверхности, на
которую вносились возмущения, были равны 0.9;
0.95; 0.98; 0.994, и расстояния от этой поверхности
до стенки цилиндра, ∆ = 1−rd, соответственно со-
ставляли 0.1; 0.05; 0.02; 0.006. На рис. 2 представ-
лены результаты расчета энергии возмущений в
зависимости от времени для различных значений
rd. Во всех случаях возмущения вносились в поток
в момент времени Tm = 0.5, начальная энергия во-
змущений была одной и той же (k = −1). Толщина
потери импульса, как следует из расчетов, была в
этот момент θ =0.0053 и, соответственно, толщи-
на пограничного слоя составляла δ =0.04. Отсюда
следует, что возмущения, которые вносились при
rd = 0.9 и rd = 0.95, соответствующие кривым 1 и
2 на рис. 2, находились в области, расположенной
выше верхней границы пограничного слоя, в то
время как возмущения, соответствующие rd = 0.98
и rd = 0.994, вносились в поток в зону, находящу-
юся внутри пограничного слоя.
Отметим сразу, что имеются отличия в степе-
нях роста энергии возмущений. Так, для кривой
1 – β = 6.1, для кривой 2 – β = 5.84, для кри-
вой 3 – β = 5.5 и для кривой 4 – β = 4.5. Видно,
что величины β мало отличаются друг от друга в
случаях, когда возмущения вводятся на некотором
расстоянии от стенки (кривые 1, 2 и отчасти кри-
вая 3). Энергия возмущений, вносимых в область
вне пограничного слоя, начинает нарастать с су-
щественным запаздыванием по сравнению со слу-
чаем, когда возмущения вносятся внутрь пограни-
чного слоя. Можно видеть, что чем больше рас-
стояние от места ввода возмущений до верхней
границы пограничного слоя (кривые 1 и 2), тем
с большим запаздыванием происходит нарастание
энергии возмущений. Это связано с тем, что вна-
чале вихри находятся вне области сдвига течения,
т. е. где течение является устойчивым и энергия
вихрей может только затухать. По мере развития
пограничного слоя они попадают (хотя и ослаблен-
ные) в сдвиговую область, начинается процесс вза-
имодействия вихрей с потоком и наблюдается рост
их энергии, затем энергия вихрей нарастает прак-
тически с той же скоростью, что и других возму-
щений.
Анализ показывает, что влияние нелинейных
эффектов проявляется для возмущений, вносимых
на больших расстояниях от границы погранично-
го слоя, позже (кривая 1), поскольку замедляется
рост их энергии. Но значение энергии возмущений,
когда происходит отклонение от линейного роста,
существенно возрастает. Это обусловлено тем, что
пограничный слой становится более развитым, и
для того, чтобы возмущения могли нелинейным
образом с ним взаимодействовать, их энергия дол-
жна быть достаточно большой. До этого момента
можно наблюдать линейный рост энергии возму-
щений.
Что касается возмущений, которые вносятся
внутрь пограничного слоя, то видно (кривые 3 и
4), что после начальной стадии их приспособле-
ния к потоку происходит рост их энергии. Важ-
но отметить, что рост энергии возмущений, кото-
рые внесены ближе к твердой стенке (кривая 4),
где сдвиг скорости более значительный, начина-
ется раньше, по сравнению с возмущениями, ко-
торые внесены на большем расстоянии от стенки
(кривая 3), хотя коэффициент нарастания их нем-
ного меньше. В результате их энергия становится
достаточно большой при меньших временах разви-
тия, и проявление нелинейных эффектов происхо-
дит, соответственно, раньше.
3. ВЛИЯНИЕ ДЛИНЫ ВОЛНЫ
Особый интерес представляет изучение вихре-
вых структур разной длины волны. При исполь-
зовании локально-параллельного подхода (метода
нормальных мод) решение задачи об устойчиво-
Н.С. Городецкая, В.И. Никишов, Л.В. Ткаченко 39
ISSN 1561 -9087 Прикладна гiдромеханiка. 2012. Том 14, N 3. С. 37 – 44
сти течения вдоль вогнутой поверхности относи-
тельно трехмерных возмущений сводится к нахо-
ждению собственных значений системы обыкно-
венных дифференциальных уравнений. Параме-
трами в данной задаче служат число Гертлера
G =
U0θ
ν
( θ
R
)
1
2
, длина волны возмущений λ (про-
странственный период в трансверсальном направ-
лении) и коэффициент нарастания интенсивности
возмущений β. Задавая два из них, третий пара-
метр, обычно β, находится путем решения зада-
чи на собственные значения. В результате мож-
но построить диаграмму устойчивости течения [3].
Следует отметить, что, как правило, рассматри-
вают первую (основную) моду системы, которая
характеризуется формированием слоя противопо-
ложно вращающихся продольных вихрей, и обла-
дает наименьшей устойчивостью. Следующие два
собственных значения отвечают второй и третьей
модам, которые характеризуются двумя и тремя
слоями вихрей и являются более устойчивыми по
сравнению с основной модой [4].
Как правило, для удобства анализа теорети-
ческих и экспериментальных результатов относи-
тельно поведения продольных вихрей с заданной
длиной волны вводится волновой параметр Λ =
=
U0λ
ν
( λ
R
)
1
2
, величина которого остается посто-
янной по мере развития возмущений вниз по по-
току. Интерес к определению длины волны наи-
более быстро растущих возмущений объясняется
тем, что такая информация может быть исполь-
зована для улучшения работы систем управления
потоком жидкости, в которых применяется искус-
ственная генерация продольных вихрей.
Одним из первых исследований, посвященных
изучению механизма селекции возмущений, кото-
рые развиваются в пограничном слое, является ра-
бота [5], в которой изучалось течение над вогнутой
поверхностью. В экспериментах использовались
искусственно генерируемые возмущения: изотро-
пные возмущения, создаваемые нагретыми тонки-
ми проволоками с заданным расстоянием между
ними. Было обнаружено, что в случае, когда в по-
ток вводятся изотропные возмущения, развиваю-
щиеся вихри имели максимальную скорость роста,
которая соответствует линейной теории устойчи-
вости. Механизм селекции заключается в следу-
ющем. Вначале в потоке имеются возмущения с
различными длинами волн и они развиваются с
различными скоростями в зависимости от длины
волны. В результате в экспериментах наблюдаю-
тся возмущения, обладающие наибольшей скоро-
стью роста. Эти результаты согласуются с дан-
ными работы [6], в которой показано, что наблю-
даемая длина волны вихрей зависит от характе-
ристик экспериментальной установки и поля тече-
ния.
В работе [7] при изучении механизмов селекции,
расщепления и объединения вихрей Гертлера по-
казано, что при малой энергии их пространствен-
ный рост описывается линейной теорией, причем
вихри с различными длинами волн могут разви-
ваться одновременно, практически не взаимодей-
ствуя друг с другом. Авторы обнаружили, что при
больших длинах волн новые вихревые пары могут
формироваться, приводя к расщеплению перво-
начальных вихрей. Подобные явления расщепле-
ния и объединения вихрей наблюдались в экспери-
ментах, в которых осуществлялась искусственная
генерация вихрей путем установки в потоке вер-
тикальных тонких проволок (“мандолинные” во-
змущения) [8]. Показано, что вначале в пограни-
чном слое формируются продольные вихри с дли-
ной волны, равной расстоянию между проволока-
ми. Ниже по потоку в нелинейной области разви-
тия вихрей может происходить изменение транс-
версального размера вихрей, которое проявляется
в их объединении и расщеплении.
Генерация вихрей Гертлера различными вида-
ми поверхностной шероховатости изучена в работе
[9]. Показано, что создание искусственной шерохо-
ватости является эффективным способом генера-
ции. Авторы обнаружили, что перед тем, как на-
ступает процесс усиления возмущений, существу-
ет область “восприимчивости”, в которой происхо-
дит адаптация возмущений и их соответствую-
щая фильтрация, о чем шла речь ранее. В работе
[10] на основе параболических уравнений (см. [11])
исследовано развитие возмущений, приносящихся
потоком жидкости (вентиляторные возмущения),
а также от неровностей стенки (кромочные во-
змущения). В работе [12] проведено численное мо-
делирование развития продольных вихрей, кото-
рые искусственно генерировались путем вдува и
отсоса жидкости. Результаты показали, что име-
ется область восприимчивости ("receptivity regi-
on"), которая расположена между местом генера-
ции возмущений и областью, в которой возмуще-
ния преобразуются в классические вихри Гертле-
ра. В этой области происходит фильтрация возму-
щений пограничным слоем, в результате чего ре-
зультирующая длина волны вихрей может отлича-
ться от трансверсального шага, с которым возму-
щения вносятся в поток.
Экспериментальные данные разных авторов,
изображенные на диаграмме устойчивости, как
показано в [3], группируются в соответствии с на-
40 Н.С. Городецкая, В.И. Никишов, Л.В. Ткаченко
ISSN 1561 -9087 Прикладна гiдромеханiка. 2012. Том 14, N 3. С. 37 – 44
чальной длиной волны, которая в размерном виде
сохраняется в течение развития возмущений. Су-
ществует вполне определенная граница, отделяю-
щая устойчивые и неустойчивые вихревые возму-
щения. Эта граница находится в области больших
волновых чисел (малая длина волны) и характе-
ризуется величиной волнового параметра [4] Λ =
=
U0λ
ν
( λ
R
)
1
2
≈ 44.29. Для вихрей с длиной волны,
меньшей, чем определяется этим значением волно-
вого параметра, градиенты возмущенной скорости
существенно возрастают, приводя к сильной дис-
сипации возмущений, которая обуславливает исче-
зновение вихрей с большими волновыми числами.
В работах [4, 13-14] проведен анализ скорости ро-
ста возмущений в зависимости от величины вол-
нового параметра. Показано, что наиболее быстро
растущие возмущения характеризуются значени-
ями волнового параметра, находящегося в интер-
вале Λ = 200 ÷ 270. Сравнение с результатами эк-
спериментальных исследований показало, что дей-
ствительно вихревые возмущения, соответствую-
щие указанному интервалу волнового параметра,
обладают наибольшей скоростью роста. В резуль-
тате был сделан вывод о том, что механизм се-
лекции основан на различиях максимальной ско-
рости роста возмущений, т.е. интенсивность ви-
хревых возмущений различных длин волн возрас-
тает с различной скоростью, и поэтому вихри с
различными длинами волн в итоге по-разному во-
здействуют на переходные процессы. Необходимо
иметь в виду, что выполненный в указанных рабо-
тах анализ применим только при “идеальных” (те-
оретических) условиях и отклонение от этих усло-
вий может заметно влиять на рассматриваемый
механизм и, соответственно, на скорость роста во-
змущений. Действительно, как показал анализ эк-
спериментальных данных [4], механизм селекции
длин волн и рост интенсивности вихрей являе-
тся очень чувствительным даже к малым откло-
нениям от “идеальных” условий. Отметим, что
теоретический анализ, как правило, основывался
на использовании локально-параллельного подхо-
да (метод нормальных мод), когда скорость роста
определяется при решении задачи на собственные
значения. Другими словами, при использовании
указанного подхода при смещении вниз по тече-
нию каждый раз находится соответствующая дан-
ному сечению скорость нарастания возмущений.
При искусственной генерации возмущений в по-
токе следует учитывать начальную стадию, когда
происходит приспособление вихрей к условиям те-
чения и их интенсивность может не возрастать, а
даже уменьшаться.
Рис. 3. Изменение энергии возмущений во времени
для различных длин волн вносимых возмущений.
Кривая 1 соответствует значению волнового
параметра Λ = 335, кривая 2 – Λ = 270.5, кривая 3 –
Λ = 163. Время ввода возмущений Tm = 0.01
В работе исследовалось влияние длины волн,
вводимых в поток возмущений, на рост энергии
возмущений. Как было показано ранее, рост ин-
тенсивности вихревых структур зависит от разных
параметров, в частности, от начальной энергии,
места ввода возмущений по отношению к толщи-
не пограничного слоя, от времени ввода, т.е. от
степени развития пограничного слоя. В качестве
возмущений рассматривались непрерывно распре-
деленные возмущения завихрености с различны-
ми длинами волн. На рис. 3 представлены резуль-
таты расчета зависимости энергии возмущений от
времени для разных длин волн. Представленные
данные расчета энергии для каждой кривой нор-
мировались на соответствующее начальное значе-
ние энергии. Интенсивность начальных возмуще-
ний была выбрана относительно небольшой, k = 0,
с целью подробно рассмотреть характер развития
возмущений. При большой начальной энергии во-
змущения быстро преобразуются в вихри Тейлора-
Гертлера и влияние особенностей начального эта-
па развития (область восприимчивости) мало. Во-
змущения вносились при rd = 0.994, т.е. рассто-
яние от стенки составляло 1 − rd = 0.006. Время
внесения было равно Tm = 0.01, когда толщина
пограничного слоя в месте внесения возмущений
δ = 0.005. Отсюда следует, что возмущения вно-
сились в область, расположенную выше пограни-
чного слоя. Здесь скорости роста энергии возму-
щений слабо отличаются друг от друга. Коэффи-
циент нарастания β = 5.4 для возмущений с волно-
вым параметром Λ = 163; β = 5.45 для Λ = 270.5
и β = 5.21 для Λ = 335.
Из рисунка 3 видно, что проходит довольно зна-
Н.С. Городецкая, В.И. Никишов, Л.В. Ткаченко 41
ISSN 1561 -9087 Прикладна гiдромеханiка. 2012. Том 14, N 3. С. 37 – 44
Рис. 4. Начальная стадия развития возмущений во
времени для различных длин волн вносимых
возмущений. Кривая 1 соответствует значению
волнового параметра Λ = 335, кривая 2 – Λ = 270.5,
кривая 3 –Λ = 163. Время ввода возмущений
Tm = 0.01
чительный промежуток времени, прежде чем на-
чинается заметный рост энергии возмущения. Это
связано с тем, что вихри вносятся в область, ра-
сположенную выше пограничного слоя, течение в
которой является устойчивым. Под влиянием вяз-
кости происходит затухание энергии возмущений.
По мере роста толщины пограничного слоя возму-
щения попадают в сдвиговую область и начинае-
тся рост их энергии. В данной ситуации важным
фактором является скорость затухания возмуще-
ний на начальной стадии развития вихревых во-
змущений.
На рис. 4 видно, что наиболее быстро процесс
адаптации вихрей наблюдается в случае, когда их
длина волны относительно мала (кривая 3), и наи-
более медленно этот процесс протекает для вихрей
с большой длиной волны. Отклонения от линейно-
го закона роста для вихрей с меньшей длиной вол-
ны (кривая 3) начинаются раньше, чем для вихрей
с большой длиной волны (кривая 1). Можно сде-
лать вывод о том, что указанные отклонения опре-
деляются не только ростом энергии вихрей, но и
соотношением длины волны вихрей и толщины по-
граничного слоя. По мере роста пограничного слоя
вихри с меньшей длиной волны становятся вытя-
нутыми, что приводит к более раннему развитию
их неустойчивости и переходу к нелинейной ста-
дии развития, на которой происходит разрушение
вихревой картины и формирование вихрей с боль-
шей длиной волны. Такая картина укрупнения ви-
хрей наблюдалась в работе [15]. Вихри с большей
длиной волны медленнее адаптируются к услови-
ям пограничного слоя при раннем внесении их в
Рис. 5. Изменение энергии возмущений во времени
для различных длин волн вносимых возмущений.
Кривая 1 соответствует значению волнового
параметра Λ = 848, кривая 2 – Λ = 335, кривая 3 –
Λ = 270.5, кривая 4 – Λ = 163. Время ввода
возмущений Tm = 0.5. Место ввода возмущений
rd = 0.994
поток, рост энергии задерживается (см. рис. 4).
В результате стадия их нелинейного развития на-
ступает позже. Здесь также играет определенную
роль соотношение между длиной волны и толщи-
ной пограничного слоя.
Следует отметить, что анализ особенностей ра-
звития вихрей с различными длинами волн в дан-
ном случае относился к случаю, когда вихревые
возмущений вводились в пограничный слой при
Tm = 0.01 и все возмущения находились в области,
расположенной выше пограничного слоя. Это при-
водит к тому, что, несмотря на некоторые отли-
чия, кривые роста энергии возмущений находя-
тся близко друг от друга, что обусловлено ука-
занными выше причинами. Результаты расчетов
роста энергии возмущений при более позднем вне-
сении возмущений (Tm = 0.5) представлены на
рис. 5. На нем параметр, характеризующий интен-
сивность начальной энергии возмущений, k = −1 и
возмущения вносились при rd = 0.994. В этом слу-
чае толщина пограничного слоя δ = 0.04 и основ-
ная часть области возмущений находилась в пре-
делах пограничного слоя. Отметим, что по срав-
нению со случаем, когда возмущения вводились в
момент Tm = 0.01 (см. рис. 3), все возмущения на-
растают существенно быстрее. Видно, что отличия
кривых 2 и 4, как и в предыдущем случае, в целом,
невелики и они группируются вместе, в то время
кривая 1, которая соответствует вихрям с большой
длиной волны, существенно отличается от других
кривых. Это подтверждается значениями коэффи-
циента нарастания. Так, для возмущений с волно-
вым параметром Λ = 163; 270; 335; 848 параметр β
42 Н.С. Городецкая, В.И. Никишов, Л.В. Ткаченко
ISSN 1561 -9087 Прикладна гiдромеханiка. 2012. Том 14, N 3. С. 37 – 44
Рис. 6. Изменение энергии возмущений во времени
для различных длин волн вносимых возмущений.
Кривая 1 соответствует значению волнового
параметра Λ = 848; кривая 2 – Λ = 335; кривая 3 –
Λ = 270.5; кривая 4 – Λ = 163. Время ввода
возмущений Tm = 0.5. Место ввода возмущений
rd = 0.9
соответственно составлял 5.67; 5.67; 5.53; 3.87. Ре-
зультаты согласуются с известными данными, ко-
гда наиболее быстро растущие возмущения хара-
ктеризуются значениями Λ = 200÷270, о чем шла
речь выше.
Tакже рассмотрен случай, когда возмуще-
ния такой же начальной интенсивности (k = −1)
вносились в поток в тот же момент времени
(Tm = 0.5), но расстояние от поверхности состав-
ляло 1− rd = 0.1, т.е. они находились вне пограни-
чного слоя. Результаты расчетов кривой нараста-
ния энергии возмущений представлены на рис. 6.
Здесь коэффициенты нарастания энергии во-
змущений β составляли 4.15; 4.45; 4.15; 3.7 для
возмущений с волновым параметром Λ = 163; 270;
335; 848 соответственно. Сравнение с предыдущим
случаем показывает, что, в целом, возмущения
нарастают заметно медленнее. Это согласуется с
приведенными ранее результатами о влиянии ме-
ста ввода возмущений на рост их энергии. В дан-
ном случае, как мы видим, указанный эффект на-
блюдается и для возмущений с разными длинами
волн, но эффект более выражен.
Сделанные выводы о влиянии длины волны во-
змущений на рост энергии возмущений подтвер-
ждаются также проведенными расчетами разви-
тия возмущений, когда они вводятся в более по-
здний момент времени, в частности при Tm = 2.
Результаты расчетов приведены на рис. 7. Началь-
ная энергия возмущений характеризовалась па-
раметром k = −1 и возмущения вводились при
rd = 0.994.
Толщина пограничного слоя для данного момен-
Рис. 7. Изменение энергии возмущений во времени
для различных длин волн вносимых возмущений.
Кривая 1 соответствует значению волнового
параметра Λ = 335, кривая 2 – Λ = 270.5, кривая 3 –
Λ = 163. Время ввода возмущений Tm = 2. Место
ввода возмущений rd = 0.994
та времени (рис. 7) составляла δ = 0.08, следова-
тельно, все возмущения заведомо находились вну-
три пограничного слоя. Коэффициенты нараста-
ния энергии возмущений β были равны: 5.23; 5.72;
5.52 для возмущений с волновыми параметрaми Λ,
равными 163; 270.5; 335 соответственно. Отклоне-
ния от линейного закона наблюдаются практичес-
ки при одних и тех же временах. Выводы отно-
сительно величины волнового параметра возму-
щений, которые имеют наибольшую степень на-
растания на линейной стадии, остаются неизмен-
ными: наиболее быстро растущие возмущения ха-
рактеризуются волновым параметром Λ = 270.
Отметим, что возмущения малой длины волны
(Λ = 163) обладают малым коэффициентом на-
растания.
ВЫВОДЫ
В результате анализа полученных результатов
можно сделать следующие выводы.
1. Скорость нарастания возмущений слабо за-
висит от времени ввода возмущений в по-
ток. Максимальная энергия возмущений, как
и следовало ожидать, достигается в случае
Tm = 2, т. е. значительно позже по сравне-
нию с другими случаями. Однако сама эта
величина существенно больше, чем в случа-
ях Tm = 0.01 и Tm = 0.5. Как отмечалось
выше, значение этого максимума, который ха-
рактеризует отклонение от линейной теории,
обусловлено влиянием нелинейных эффектов
Н.С. Городецкая, В.И. Никишов, Л.В. Ткаченко 43
ISSN 1561 -9087 Прикладна гiдромеханiка. 2012. Том 14, N 3. С. 37 – 44
взаимодействия возмущений между собой и
потоком жидкости. Отсюда можно сделать
вывод о том, что нелинейные эффекты вза-
имодействия возмущений с потоком начинают
проявляться при значительно большей энер-
гии возмущений в случае, когда возмущения
вносятся в поток позже и пограничный слой
является более развитым.
2. Энергия возмущений, вносимых в область вне
пограничного слоя, начинает нарастать с су-
щественным запаздыванием по сравнению со
случаем, когда возмущения вносятся внутрь
пограничного слоя. Это связано с тем, что
вначале вихри находятся вне области сдви-
га течения, где течение является устойчивым
и их энергия может только затухать. По ме-
ре развития пограничного слоя они попадают
(хотя и ослабленные) в сдвиговую область, на-
чинается процесс их взаимодействия с пото-
ком и наблюдается рост их энергии, затем их
энергия нарастает практически с той же ско-
ростью, что и других возмущений.
Анализ показывает, что влияние нелинейных
эффектов проявляется для возмущений, вно-
симых на больших расстояниях от грани-
цы пограничного слоя, позже (кривая 1 на
рис. 2), поскольку замедляется рост их энер-
гии. Но значение энергии возмущений, когда
происходит отклонение от линейного роста,
существенно возрастает. Это обусловлено тем,
что пограничный слой становится более ра-
звитым, и для того, чтобы возмущения мо-
гли нелинейным образом с ним взаимодей-
ствовать, их энергия должна быть достаточно
большой. До этого момента можно наблюдать
линейный рост энергии возмущений.
3. При раннем вводе возмущений в поток, ко-
гда толщина пограничного слоя мала, зави-
симость роста энергии возмущений от дли-
ны волны возмущений слабая. Однако на на-
чальной стадии развития имеются заметные
различия в развитии возмущений: продолжи-
тельность начальной стадии возрастает с рос-
том длины возмущений и падение энергии на
этой стадии по мере приспособления возму-
щений к условиям потока также наибольшее.
Время, при котором энергия возмущений до-
стигает своего максимального значения, после
чего происходит ее падение из-за влияния не-
линейных эффектов, слабо зависит от длины
волны возмущений.
4. Наибольшей скоростью роста обладают во-
змущения, характеризуемые волновым пара-
метром, равным 270, что согласуется с резуль-
татами исследований других авторов. Наи-
большие отличия в нарастании возмущений
с различными длинами волн наблюдаются в
случаях, когда они вносятся в область вне по-
граничного слоя. При этом наименее медлен-
но растут возмущения больших длин волн.
1. Городецкая Н. С., Никишов В. И., Ткачен-
ко Л. В. Численное моделирование развития ви-
хрей Тейлора-Гертлера в нестационарном течении
Куэтта. 1. Влияние начальной энергии возмуще-
ний // Прикл. гiдромех.– 2012.– 14, N 2.– С. 3–16.
2. Шлихтинг Г. Теория пограничного слоя.– Мю: На-
ука, 1974.– 711 с.
3. Saric W. S. Gertler vortices // Annual Rev. Fluid
Mech.– 1994.– 26.– P. 379–409.
4. Floryan J. M., Saric W. S. Wavelength selection and
growth of Gertler vortices // AIAA J.– 1984.– 22,
N 11.– P. 1529–1538.
5. Bippes H. Experimental study of the laminar-
turbulent transition on a concave wall in a parallel
flow // Tech. rept. NASA.– TM-75243.– 1978.–
P. 1111–1538.
6. Tani I. Production of longitudinal vortices in the
boundary layer along a concave wall // J. Geophys.
Res.– 1962.– 67.– P. 3075–3080.
7. Guo Y., Finlay W. H. Wavenumber selection and
irregularity of spatially developing nonlinear Dean
and Gertler vortices // J. Fluid Mech.– 1994.– 264.–
P. 1–40.
8. Mitsudharmadi H., Winoto S. H.,Shah D. A.
Development of most amplified wavelength Gertler
vortices // Phys. Fluids.– 2006.– 18.– P. 1–12.
9. Bottaro A., Zebib A. Gertler vortices promoted by
wall roughness // Fluid Dyn. Res.– 1997.– 19.–
P. 343–362.
10. Никишова О. Д. Устойчивость течения вбли-
зи криволинейной движущейся поверхности
к трехмерным возмущениям // Прикладная
гидромеханика.– 2000.– 2(74), N 2.– С. 64–75.
11. Floryan J. M., Saric W. S. Stability of Goertler vorti-
ces in boundary layers // AIAA J.– 1982.– 20, N 3.–
P. 316–324.
12. De Souza L. F., De Mendonsa M. T., De Medei-
ros M. A. F., Kloker M. Seeding of Gortler vortices
through a suction and blowing strip // J. of the Braz.
Soc. of Mech.Sci.– 2004.– 26, N 3.– P. 269–279.
13. Smith A. M. O. On the growth of Taylor-Gertler
vortices along highly concave wall // Q. Appl. Math.–
1955.– 13, N 3.– P. 233–262.
14. Bottaro A., Zebib A. Gertler vortices with system
rotation // Theoret. Comput. Fluid Dyn.– 1993.–
N 5.– P. 1206–1210.
15. Aihara Y., Koyama H. Secondary instability of
Gertler vortices: Formation of periodic three-
dimensional coherent structures // Trans. Jap. Soc.
Aeronaut. And Space Sci.– 1981.– 24, N 64.– P. 78–
94.
44 Н.С. Городецкая, В.И. Никишов, Л.В. Ткаченко
|