Численный и аналитический анализ кавитационных течений

В работе проводится обзор исследований автора стационарных осесимметричных задач кавитационного обтекания тел потенциальным потоком идеальной несжимаемой жидкости. Построение приближенного аппроксимационного решения в аналитическом виде осуществляется с использованием результатов серийных численных...

Ausführliche Beschreibung

Gespeichert in:

Bibliographische Detailangaben
Datum:	2013
1. Verfasser:	Гузевский, Л.Г.
Format:	Artikel
Sprache:	Russian
Veröffentlicht:	Інститут гідромеханіки НАН України 2013
Schriftenreihe:	Прикладна гідромеханіка
Schlagworte:	Науковi статтi
Online Zugang:	http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/116412
Tags:	Tag hinzufügen Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
Назва журналу:	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
Zitieren:	Численный и аналитический анализ кавитационных течений / Л.Г. Гузевский // Прикладна гідромеханіка. — 2013. — Т. 15, № 1. — С. 33-44. — Бібліогр.: 26 назв. — рос.

Institution

Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine

id	irk-123456789-116412
record_format	dspace
spelling	irk-123456789-1164122017-04-26T03:02:28Z Численный и аналитический анализ кавитационных течений Гузевский, Л.Г. Науковi статтi В работе проводится обзор исследований автора стационарных осесимметричных задач кавитационного обтекания тел потенциальным потоком идеальной несжимаемой жидкости. Построение приближенного аппроксимационного решения в аналитическом виде осуществляется с использованием результатов серийных численных решений задачи. В качестве примера использования предлагаемого подхода построено аппроксимационное решение задачи Рябушинского для кавитаторов в форме диска и конуса. В широком диапазоне изменения числа кавитации вычисления всех интегральных и локальных характеристик течения по предложенным аппроксимационным зависимостям приводят к результатам, незначительно отличающимся от результатов численных решений задачи на основе точной нелинейной постановки. В роботі проводиться огляд досліджень автора стаціонарних осесиметричних задач кавітаційного обтікання тіл потенціальним потоком ідеальної нестисливої рідини. Побудова наближеного апроксимаційного розв'язку в аналітичному вигляді здійснюється з використанням результатів серійних чисельних розв'язків задачі. В якості прикладу використання запропонованого підходу був побудований апроксимаційний розв'язок задачі Рябушинського для кавітаторів у формі диска і конуса. В широкому діапазоні чисел кавітації обчислення всіх інтегральних і локальних характеристик течії за запропонованими апроксимаційними залежностями приводять до результатів, що несуттєво відрізняються від результатів чисельних розв'язків задачі на основі точної нелінійної постановки. A review of author's researches of a steady axially symmetric potential cavity flows of ideal incompressible fluid is presented. Construction of an approximate solution in closed form is carried by using the results of series numerical solutions of the problem. As an example of the proposed approach approximation analytic solution of the Riabouchinsky problem for a disk and a cone are given. In a wide range of cavitation number the integral and local characteristics of the cavity flow, calculated by the proposed approximation dependencies lead to the results that differ insignificantly from the results of our numerical solution based on the exact nonlinear formulation. 2013 Article Численный и аналитический анализ кавитационных течений / Л.Г. Гузевский // Прикладна гідромеханіка. — 2013. — Т. 15, № 1. — С. 33-44. — Бібліогр.: 26 назв. — рос. 1561-9087 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/116412 532.528 ru Прикладна гідромеханіка Інститут гідромеханіки НАН України
institution	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
collection	DSpace DC
language	Russian
topic	Науковi статтi Науковi статтi
spellingShingle	Науковi статтi Науковi статтi Гузевский, Л.Г. Численный и аналитический анализ кавитационных течений Прикладна гідромеханіка
description	В работе проводится обзор исследований автора стационарных осесимметричных задач кавитационного обтекания тел потенциальным потоком идеальной несжимаемой жидкости. Построение приближенного аппроксимационного решения в аналитическом виде осуществляется с использованием результатов серийных численных решений задачи. В качестве примера использования предлагаемого подхода построено аппроксимационное решение задачи Рябушинского для кавитаторов в форме диска и конуса. В широком диапазоне изменения числа кавитации вычисления всех интегральных и локальных характеристик течения по предложенным аппроксимационным зависимостям приводят к результатам, незначительно отличающимся от результатов численных решений задачи на основе точной нелинейной постановки.
format	Article
author	Гузевский, Л.Г.
author_facet	Гузевский, Л.Г.
author_sort	Гузевский, Л.Г.
title	Численный и аналитический анализ кавитационных течений
title_short	Численный и аналитический анализ кавитационных течений
title_full	Численный и аналитический анализ кавитационных течений
title_fullStr	Численный и аналитический анализ кавитационных течений
title_full_unstemmed	Численный и аналитический анализ кавитационных течений
title_sort	численный и аналитический анализ кавитационных течений
publisher	Інститут гідромеханіки НАН України
publishDate	2013
topic_facet	Науковi статтi
url	http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/116412
citation_txt	Численный и аналитический анализ кавитационных течений / Л.Г. Гузевский // Прикладна гідромеханіка. — 2013. — Т. 15, № 1. — С. 33-44. — Бібліогр.: 26 назв. — рос.
series	Прикладна гідромеханіка
work_keys_str_mv	AT guzevskijlg čislennyjianalitičeskijanalizkavitacionnyhtečenij
first_indexed	2025-07-08T10:20:44Z
last_indexed	2025-07-08T10:20:44Z
_version_	1837073770718691328
fulltext	ISSN 1561 -9087 Прикладна гiдромеханiка. 2013. Том 15, N 1. С. 33 – 44 УДК 532.528 ЧИСЛЕННЫЙ И АНАЛИТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ КАВИТАЦИОННЫХ ТЕЧЕНИЙ Л. Г. Г УЗ Е ВС К И Й Сибирский университет потребительской кооперации, Новосибирск, Россия 630087, г. Новосибирск, пр. Карла Маркса, д. 26. guzevsky@mail.ru Получено 26.10.2012 В работе проводится обзор исследований автора стационарных осесимметричных задач кавитационного обтекания тел потенциальным потоком идеальной несжимаемой жидкости. Построение приближенного аппроксимационного решения в аналитическом виде осуществляется с использованием результатов серийных численных решений задачи. В качестве примера использования предлагаемого подхода построено аппроксимационное решение задачи Рябушинского для кавитаторов в форме диска и конуса. В широком диапазоне изменения числа кавитации вычисления всех интегральных и локальных характеристик течения по предложенным аппроксимационным зависимостям приводят к результатам, незначительно отличающимся от результатов численных решений задачи на основе точной нелинейной постановки. КЛЮЧЕВЫЕ СЛОВА: осесимметричные каверны, задача Рябушинского, численный анализ, принцип соответствия, аппроксимационное решение В роботi проводиться огляд дослiджень автора стацiонарних осесиметричних задач кавiтацiйного обтiкання тiл потенцiальним потоком iдеальної нестисливої рiдини. Побудова наближеного апроксимацiйного розв’язку в аналiти- чному виглядi здiйснюється з використанням результатiв серiйних чисельних розв’язкiв задачi. В якостi прикладу використання запропонованого пiдходу був побудований апроксимацiйний розв’язок задачi Рябушинського для кавiтаторiв у формi диска i конуса. В широкому дiапазонi чисел кавiтацiї обчислення всiх iнтегральних i локальних характеристик течiї за запропонованими апроксимацiйними залежностями приводять до результатiв, що несуттєво вiдрiзняються вiд результатiв чисельних розв’язкiв задачi на основi точної нелiнiйної постановки. КЛЮЧОВI СЛОВА: осесиметричнi каверни, задача Рябушинського, чисельний аналiз, принцип вiдповiдностi, апро- ксимацiйне рiшення A review of author’s researches of a steady axially symmetric potential cavity flows of ideal incompressible fluid is presented. Construction of an approximate solution in closed form is carried by using the results of series numerical solutions of the problem. As an example of the proposed approach approximation analytic solution of the Riabouchinsky problem for a disk and a cone are given. In a wide range of cavitation number the integral and local characteristics of the cavity flow, calculated by the proposed approximation dependencies lead to the results that differ insignificantly from the results of our numerical solution based on the exact nonlinear formulation. KEY WORDS: axially symmetric cavities, Riabouchinsky problem, numerical analysis, conformity principle, approximate solution ВВЕДЕНИЕ Основная трудность получения контролируемых по точности численных решений осесимметри- чных задач кавитационного обтекания тел при малых значениях числа кавитации, которым со- ответствуют каверны большого удлинения, связа- на, в первую очередь, с существенной трудностью выполнения с высокой точностью краевого усло- вия постоянства давления (величины скорости для невесомой жидкости) вдоль искомой границы ка- верны. Небольшие погрешности при выполнении этого условия могут приводить к существенной по- грешности искомого решения. Так, двум значени- ям числа кавитации σ = 0.01 и σ = 0.005 соответ- ствуют длины каверн за диском, отличающиеся более чем в два раза, в то время как отличие в со- ответствующих постоянных величинах скоростей вдоль границ каверн не превышает 0.25%. Дополнительные трудности, возникающие при численном решении задач о кавитационных тече- ниях, связаны также с особым характером пове- дения решения в точках отрыва каверны. Криви- зна свободной линии тока в точках фиксирован- ного отрыва потока обращается в бесконечность (за исключением случая гладкого отрыва). Также обращается в бесконечность и ускорение в коне- чной точке образующей кавитатора. При численном решении рассматриваемых за- дач со свободными границами методом вихрево- го слоя все характерные особенности, присущие осесимметричной задаче, имеют место и при ре- шении плоской задачи. Численное решение этих задач осуществляется в рамках единого алгорит- ма [1]. При проведении модельных испытаний в гидро- динамических установках некоторые условия по- добия трудно выполнимы. К числу важных и тру- c© Л. Г. Гузевский, 2013 33 ISSN 1561 -9087 Прикладна гiдромеханiка. 2013. Том 15, N 1. С. 33 – 44 дных вопросов при анализе результатов экспери- ментов в кавитационных трубах относится вопрос о соответствии результатов экспериментов в лабо- раторных условиях натурным течениям с разви- той кавитацией. Ограниченные возможности эк- спериментальных методов исследований ограни- чивают также и применимость эмпирических под- ходов, что приводит к необходимости изучения те- чений такого типа с помощью теоретических мето- дов. Значительное влияние на развитие теорети- ческих методов исследования пространственных кавитационных течений оказал предложенный Г.В.Логвиновичем принцип независимости расши- рения каверны [2]. Многочисленные применения этого приближенного подхода позволили решить ряд важных прикладных задач. В ряде работ приведены результаты расчетов осесимметричных кавитационных течений, полу- ченные со значительными вычислительными по- грешностями. Такого рода численные решения наибольший вред приносят в тех случаях, когда на их основе “открываются” новые закономерно- сти кавитационных течений. В работе [1] приведе- но доказательство несостоятельности заключения авторов статей [3, 4] о существовании некоторо- го оптимального конического кавитатора с мини- мальным сопротивлением в классе кавитаторов в форме конуса. Погрешность численного решения, представленного в этих работах, в несколько раз превышает диапазон изменения функции, в кото- ром отыскивается ее экстремум. Сопоставление результатов экспериментальных исследований кавитационного режима обтекании тел канонической формы (конуса, диска, сфе- ры), полученных на различных гидродинамиче- ских установках, обнаруживает в ряде случаев их значительное отличие, которое объясняется раз- личными условиями проведения экспериментов. Некоторые результаты, полученные в условиях ограниченного потока, без соответствующего обо- снования рекомендуются для применения в случае безграничного потока. Это обстоятельство приве- ло к наличию в литературе различных эмпириче- ских формул для длины каверны, расчет по кото- рым дает существенно отличающиеся результаты. Одна из причин, ограничивающих применение гидродинамических труб с закрытым рабочим участком для исследования кавитационных тече- ний, связана с существенным влиянием стенок трубы на размеры каверны особенно при рассмо- трении режимов обтекания при малых числах ка- витации. Использование гидродинамических труб со свободной струей позволяет в значительной ме- ре уменьшить эффекты ограниченности потока и также рассмотреть кавитационные течения при весьма малых числах кавитации [2]. Математическое моделирование условий, при которых проводятся экспериментальные исследо- вания кавитационных течений в лабораторных установках, является весьма актуальной задачей. В этом направлении автором рассмотрены задачи кавитационного обтекания тел в цилиндрических гидродинамических трубах [5], в гидродинамиче- ских трубах со свободной струей [6], задача о вли- янии державки на параметры каверны [7], влия- ние продольного поля силы тяжести на параме- тры кавитационного обтекания осесимметричных тел [8, 9]. Способ графического представления результа- тов численных решений имеет ряд существен- ных недостатков. Наиболее эффективным являе- тся способ представления результатов расчетов в форме аналитических зависимостей. Такой подход применительно к осесимметричным задачам кави- тационного обтекания конусов реализован в рабо- тах [10, 11]. В процессе разработки численного метода ра- счета задач со свободными границами поиск пере- менных аппроксимации, при использовании кото- рых искомые функции близки к линейным фун- кциям, позволил обнаружить интересное и неи- звестное ранее свойство геометрии образующих плоских и осесимметричных каверн, названного принципом соответствия. Согласно этому прин- ципу, для широкого класса кавитаторов каждому осесимметричному кавитационному течению Ря- бушинского можно поставить в соответствие неко- торое плоское течение таким образом, что отличие их образующих будут незначительным. На основе этого принципа удалось получить приближенное решение задачи о форме образую- щей осесимметричной каверны за конусом с помо- щью точного профиля каверны за клином, которое с весьма высокой степенью точности аппроксими- рует результаты численных расчетов на основе то- чной постановки задачи [11]. В дальнейшем прин- цип соответствия был обобщен на кавитаторы с криволинейной образующей [12]. В частности, рас- смотрены задачи о нахождении в явном аналити- ческом виде формы образующих каверн Рябушин- ского за усеченными телами вращения сфериче- ской и эллиптической формы. Принцип соответ- ствия применим также и в случае ограниченного потока [13]. В работе [15] получено высокоточное прибли- женное решение в аналитическом виде задачи Ря- бушинского для диска в широком диапазоне изме- 34 Л. Г. Гузевский ISSN 1561 -9087 Прикладна гiдромеханiка. 2013. Том 15, N 1. С. 33 – 44 нения числа кавитации. В аналитическом виде представлены зависимости коэффициентов сопро- тивления и присоединенной массы диска, разме- ров каверны и ее объема от числа кавитации. Так- же получено распределение скорости вдоль обра- зующей диска и форма образующей каверны. Метод численного решения плоских и осесим- метричных кавитационных течений изложен в ра- ботах [1, 10, 14]. Опишем кратко принцип соответ- ствия плоских и осесимметричных кавитационных течений. 1. ПРИНЦИП СООТВЕТСТВИЯ На рис. 1 приведена схема рассматриваемого ка- витационного течения Рябушинского для кавита- тора с криволинейной образующей. Для плоского потока изображена симметричная часть течения в верхней полуплоскости, а для течения с осевой симметрией – его меридиональное сечение. Тече- ние предполагается симметричным относительно вертикали, проходящей через мидель каверны. Рис. 1. Схема принципа соответствия плоских и осесимметричных кавитационных течений Пусть в результате численного решения опре- делена форма образующей осесимметричной ка- верны. Поставим в соответствие данному осесим- метричному кавитационному течению в меридио- нальном сечении плоское течение Рябушинского за соответствующим кавитатором таким образом, чтобы в плоском и осесимметричном случаях сов- пали длины каверн Lk и величины максимальных возвышений образующих каверн ∆Rk = Rk − R над уровнем точек отрыва каверн (рис. 1). Ре- шение соответствующей плоской задачи необхо- димо построить при той же величине параметра δ = Lk/(2∆Rk), которая получена в результате ра- счета осесимметричной задачи. В такой постанов- ке как величина числа кавитации плоской задачи σ = σ2 и поперечный размер 2R2 кавитатора дол- жны определяться в результате решения плоской задачи. Таким образом, образующие плоской и осесим- метричной каверн совпадают только в двух то- чках: точке отрыва свободной границы и в миделе каверны. За счет выбора числа кавитации σ2 пло- ской задачи такое построение всегда удается осу- ществить единственным образом для кавитаторов различных форм. Наиболее просто такого рода построение осуще- ствляется для кавитаторов с прямолинейной обра- зующей, так как в этом случае точное решение задачи кавитационного обтекания клина по схеме Рябушинского выстраивается в аналитическом ви- де с использованием классического аппарата кра- евых задач для аналитических функций. Такого рода решение приведено, например, в работе [1]. Форма границы каверны за клином, угол при вер- шине которого равен 2απ, в декартовой системе координат с началом в точке отрыва представле- на в следующем параметрическом виде [1]:        x(s) = ∆Rk Ix(s) Iy(π) , y(s) = ∆Rk Iy(s) Iy(π) , 0 ≤ s ≤ π, (1) где Ix(s) = s ∫ 0 T (c, s) cosα(π − s)ds, Iy(s) = s ∫ 0 T (c, s) sinα(π − s)ds, 0 ≤ s ≤ π, T (c, s) = sin(s/2) (1 + 2c · cos s + c2)3/2 , c = (1 + σ2) − 1 2α . Согласно принципу соответствия, уравнение образующей осесимметричной каверны за кону- сом, угол при вершине которого также равен 2απ, задается уравнением (1) каверны за клином при числе кавитации плоской задачи σ2, значение ко- торого определяется из условия идентичности па- раметра δ в плоской и осесимметричной задачах: δ − Ix(π) Iy(π) = 0. (2) В случае вертикальной пластины (α = 1/2) в результате вычисления интеграла в (1) получим следующее выражение функции y(s): y(s) = ∆Rk 1 − c2 2c ( 1√ 1 + 2c · cos s + c2 − 1 1 + c ) , 0 ≤ s ≤ π. (3) Для каждого значения параметра δ параметр σ2 можно находить численно как корень уравнения Л. Г. Гузевский 35 ISSN 1561 -9087 Прикладна гiдромеханiка. 2013. Том 15, N 1. С. 33 – 44 (2) или воспользоваться аппроксимационным ре- шением высокой точности, представленым в рабо- те [12] в следующем виде: σ2 = 1 δ2α2 ( 2(δ − δmin)α 2 + 2.246α2 + 2.359α+ +0.035− 3.202α2 − 4.885α + 0.304 δ − δmin ) , (4) где δmin = cosαπ sin απ − 2α − точное минимальное значение пара- метра δ для предельного течения при σ = ∞ (c = 0) с бесконечной длиной щеки клина. Это решение является также предель- ным и для осесимметричного случая. В данном предельном случае при α = 1/2 (δmin = π/2) получим простое представление формы свободной поверхности: x(s) = Lk 2π (s − sin s) ≡ δ · ∆Rk s − sin s π , (5) y(s) = ∆Rk · sin2 s 2 ≡ ∆Rk · u, 0 ≤ s ≤ π. (6) Результаты численных расчетов кавитационно- го обтекания конусов, выполненных в широком диапазоне изменения числа кавитации и угла при вершине, указывают на достаточно высокую точность аппроксимации формы образующей осесимметричной каверны профилем (1) плоской каверны за клином. В качестве примера в таблице 1 приведены данные численного и аппроксимаци- онного решений, полученного согласно принципу соответствия, в задаче кавитационного обтекания конуса. Таблица 1. Погрешность аналитического представления (1) формы образующей каверны за 60◦ конусом (α = 1/6) при σ = 0.1 x/R (y/R)числ y/R по (1) 0.045 0.023 0.023 0.287 0.123 0.122 1.141 0.428 0.425 3.322 0.733 0.730 7.249 1.033 1.033 9.933 1.085 1.085 Как показывают результаты численного экспе- римента, форму образующей каверны Рябушин- ского за диском с достаточно высокой точностью можно представить в параметрическом виде (5), (6) в диапазоне относительно больших значений числа кавитации: 0.3 ≤ σ ≤ ∞. Приближенное решение задачи о форме образу- ющей каверны Рябушинского за конусом выстраи- вается в явном виде (1), где число кавитации σ2 плоской задачи определяется по аппроксимацион- ной формуле (4) или в результате численного ре- шения уравнения (2). Принцип соответствия также применим и в слу- чае препятствий с криволинейной образующей (рис. 1) [12]. Форму образующей осесимметричной каверны за телом с криволинейной образующей можно с достаточно высокой точностью аппро- ксимировать некоторым уравнением плоской ка- верны за аналогичным криволинейным препят- ствием. Однако ввиду отсутствия точных реше- ний для плоских задач кавитационного обтекания криволинейных препятствий эффективность тако- го подхода существенно снижается. В то же время, результаты численных экспериментов показыва- ют, что образующую осесимметричной каверны за криволинейным кавитатором также можно при- близить профилем (1) каверны за клином с по- лууглом απ при вершине, равным углу наклона касательной к препятствию в точке отрыва. Та- ким образом, основными параметрами, определя- ющими форму осесимметричной каверны, являю- тся параметр δ и угол схода απ свободной линии тока в точке отрыва. Следовательно, для полного решения задачи аналитического представления формы образую- щей осесимметричной каверны достаточно по- строить аппроксимационные формулы, определя- ющие зависимости размеров каверны от числа ка- витации. Данная задача решается на основе об- работки методом наименьших квадратов резуль- татов численного решения задачи кавитационного обтекания осесимметричных тел на основе точной нелинейной постановки [1, 10, 14]. 2. АППРОКСИМАЦИОННЫЕ ЗАВИСИМОСТИ Систематизация результатов численных реше- ний задачи кавитационного обтекания конусов по- зволила построить аппроксимационные формулы высокой точности для интегральный характери- стик течения: длины, максимального диаметра ка- верны и коэффициента сопротивления конуса в за- висимости от числа кавитации σ и угла конусности 2απ в представляющем наибольший интерес для приложений диапазоне малых значений числа ка- витации. Первые аппроксимационные формулы построе- ны для важного класса кавитаторов в форме кону- 36 Л. Г. Гузевский ISSN 1561 -9087 Прикладна гiдромеханiка. 2013. Том 15, N 1. С. 33 – 44 сов [10,11]. Для коэффициента сопротивления ко- нуса, определенного по площади основания конуса в плоскости схода каверны, приближенная форму- ла имеет вид Cx = 0, 5 + 1, 81(α − 0, 25)− 2(α − 0, 25)2 + + (0, 524 + 0, 672α)σ ≡ Cx0 + m(α)σ (7) в диапазонах σ ≤ 0.25 и 1/12 ≤ α ≤ 1/2. Отсюда для диска при α = 1/2 получим следу- ющую формулу: Cx = 0.8275 + 0.86σ. Общепринятая структура формулы для макси- мального радиуса каверны за кавитатором прои- звольной формы записывается в виде [2]: Rk R = √ Cx k(σ)σ . (8) Входящая в формулу (8) функция k(σ), прак- тически не зависящая от формы кавитатора, ап- проксимирована в работе [10] на основе резуль- татов численных расчетов задачи кавитационно- го обтекания серии конусов с углом при вершине 30◦ ÷ 180◦ в диапазоне 0.01 ≤ σ ≤ 0.25: k(σ) = 1 + 50σ 1 + 1, 56, 2σ . (9) Более точная аппроксимационная формула k(σ) = 0.0000772ν4 − 0.0015103ν3 + + 0.009355ν2 − 0.009ν + 0.89111, (10) где ν = ln 1 σ , получена в работе [15]. Длина каверны за конусом с углом при вершине 2απ определяется по приближенной формуле [11]: Lk 2R = [ 1, 1 σ − g(α) ] √ Cx ln 1 σ , g(α) = 4(1 − 2σ) 1 + 144α2 . (11) Параметр δ очевидным образом выражается че- рез число кавитации σ с помощью предыдущих формул посредством соотношения δ = Lk 2R ( Rk R − 1 ) −1 . (12) Отметим, что введенный параметр δ = Lk/(2∆Rk) связан только с параметрами каверны в отличие от удлинения каверны λ = Lk/(2Rk), которое зависит от размеров кавитатора. Полученные аппроксимационные формулы для коэффициента сопротивления конуса (7), разме- ров каверны за ним (8),(11), а также аппроксима- ционная формула (4) для “эквивалентного” числа кавитации σ2 плоской задачи позволяют предста- вить приближенное решение задачи о форме ка- верны Рябушинского за конусом в явном анали- тическом виде (1). В работе [15] для кавитатора в форме диска при- ближенное решение задачи Рябушинского пред- ставлено в аналитическом виде в широком диапа- зоне изменения числа кавитации. Коэффициент сопротивления диска вычисляе- тся по формуле: Cx = 0.8272(1 + σ) ( 1 + 0.035σ − 0.0035σ2 ) . (13) Максимальная погрешность результатов, получа- емых по этой формуле, по отношению к “точным” результатам численных расчетов не превышает 0.08% в диапазоне 0 ≤ σ ≤ 3. В диапазоне 0.001 ≤ σ ≤ 0.1 удлинение каверны определяется по формуле λ(σ) = 1.075 √ ν σ + 0.0654ν + 1.465σ − 0.4612, а в диапазоне 0.1 < σ ≤ 3 – по формуле λ(σ) = √ k(σ) σ (−0.0117ν3 + 0.04077ν2+ +0.3579ν + 0.7637). (14) Длина каверны Lk находится с учетом формул (8),(13), (14): Lk 2R = λ Rk R . (15) Приведенные в таблице 1 данные характеризу- ют точность аппроксимации результатов числен- ного решения задачи Рябушинского для кавита- тора в форме диска. В рассмотренном диапазоне изменения числа кавитации длина каверны изме- няется приблизительно в 10000 раз. Представляет интерес вопрос сопоставления ре- зультатов вычислений по предложенным аппро- ксимационным формулам с данными расчетов по приближенным формулам других авторов. В диапазоне относительно больших значений числа кавитации 0.15 ≤ σ ≤ 1 в работе [16] пре- дложены следующие формулы: Rk R = 0.96034+0.08936σ−1 lnσ +0.42422σ−1, (16) Л. Г. Гузевский 37 ISSN 1561 -9087 Прикладна гiдромеханiка. 2013. Том 15, N 1. С. 33 – 44 Lk R = 0.20970+0.60585σ−1 lnσ +1.78362σ−1. (17) Таблица 2. Погрешности аппроксимационных формул (8), (10), (13)–(15) для течения Рябушинского за диском по отношению к результатам численных расчетов σ Cx, % k, % Rk R , % Lk 2R , % по (13) по (10) по (8) по (15) 0.001 -0.02 0.0003 -0.01 -0.001 0.005 0.04 -0.04 0.04 -0.004 0.01 0.02 -0.02 0.02 0.009 0.05 -0.01 0.06 -0.002 0.004 0.1 -0.05 0.02 -0.04 -0.001 0.2 -0.08 -0.08 -0.1 0.001 0.3 -0.09 -0.12 -0.1 0.06 0.4 -0.08 -0.13 -0.08 0.06 0.5 -0.07 -0,12 -0,05 0,03 1 0.003 0.01 0.03 -0.08 1.5 0.02 0.09 0.02 0.006 2 0.01 0.07 -0.01 0.1 2.5 0.002 -0.02 -0.001 0.04 3 0.03 -0.16 0.03 -0.26 Наибольшее распространение получили асим- птотические (σ → 0) формулы П. Гарабедяна [17]: Rk R = √ Cx σ , (18) λ = √ 1 σ ln 1 σ . (19) Для удлинения каверны в работе [18] предложе- на более точная асимптотическая формула: λ = √ 1 σ ( ln 1 σ + ln ln 1 σ − 1 ) . (20) Впервые формулы для размеров осесимметри- чной каверны предложил Н. Рейхардт [17]: Rk R = √ Cx (1 − 0.132 √ σ)σ , (21) λ = σ + 0.008 σ(0.066 + 1.7σ) . (22) Для кавитатора в форме диска для малых значе- ний числа кавитации Г. В. Логвинович [2] предста- вил приближенные формулы в следующем виде: Rk R = √ 0.84(1 + σ) σ , (23) λ = 1.92 − 3σ √ 0.84σ(1 + σ) . (24) На основе обработки экспериментальных дан- ных в диапазоне σ = 0.01÷0.05 авторы работы [19] предложили для размеров каверны соотношения: Rk R = √ 3.659 + 0.761 σ , (25) λ = 3.595 + 4σ 2 √ (0.761 + 3.659σ)σ . (26) В таблицах 3, 4 представлены результаты вы- числения размеров каверны за диском по разли- чным приближенным формулам. Дополнительно, во втором столбце таблиц приведены результаты численного решения [20] на основе точной нели- нейной постановки задачи Рябушинского. Как следует из данных таблиц 3, 4, асимпто- тические формулы Гарабедяна (18), (19) дают за- ниженные значения величин Rk/R и λ для всего рассмотренного диапазона изменения числа кави- тации σ. Следовательно, вычисления размеров ка- верны по широко используемым в литературе фор- мулам Гарабедяна могут привести к значитель- ным ошибкам даже при малых величинах числа кавитации σ. Вычисления по предложенным формулам да- ют наиболее точные результаты, практически сов- падающие с данными наших численных расчетов (табл. 2), на основе которых они были построены, а также с результатами численного расчета Кожу- ро [20] (табл. 3, 4) в широком диапазоне изменения числа кавитации. В работе [15] представлено более простое по отношению к (1) параметрическое представление формы образующей каверны Рябушинского за ди- ском:          2x(s) ∆Rk = Lk 2 ( s − sin sπ π ) , y(s) ∆Rk = s2(3 − 2s − (1 − s)2× ×(a0 + a1 + a2s 2)), 0 ≤ σ ≤ 1. (27) Коэффициенты аппроксимации как функции па- раметра ν = ln 1 σ , получены по методу наимень- ших квадратов на основе результатов численного решения задачи в точной нелинейной постановке: a0 = 0.01162ν3 − 0.2087ν2 + 0.0841ν + 0.3949, a1 = −0.0116ν3 + 0.4085ν2 − 0.8481ν − 0.9243, a2 = −0.0055ν3 + 0.2098ν2 + 0.7206ν − 0.0865. (28) Максимальная погрешность результатов, полу- чаемых по данной формуле, по отношению к 38 Л. Г. Гузевский ISSN 1561 -9087 Прикладна гiдромеханiка. 2013. Том 15, N 1. С. 33 – 44 результатам численных решений не превышает 0.06% в диапазоне 0.01 ≤ σ ≤ 0.5. К числу до- стоинств данной формулы следует отнести просто- ту ее структуры, учет особого характера поведе- ния решения в точке отрыва (s = 0) – обращение в бесконечность кривизны образующей каверны. Аппроксимационная формула для объема Q ка- верны Рябушинского за диском представлена в ра- боте [15] в следующем виде: Q = Q πR2Lk = = Cx 3σ(0.3306− 0.0424ν − 0.0035ν2) . (29) С использованием точной зависимости П.Гарабедяна [17] M Q = σ − Cx 3Q , связывающей коэффициент сопротивления Cx, число кавитации σ, объем каверны Q и присоеди- ненную массу M для кавитатора в форме конуса (диска), построенная аппроксимационная форму- ла (29) для объема каверны позволила получить формулу для коэффициента присоединенной мас- сы диска λ1 = M/Q в следующем виде: λ1 = σ · (0.0035ν2 − 0.0424ν + 0.6694), (30) ν = ln 1 σ . 3. ВЛИЯНИЕ ДЕРЖАВКИ НА ПАРАМЕТРЫ В инженерной практике возникает задача оцен- ки влияния державки, с помощью которой иногда устанавливаются модели в рабочей части гидроди- намической трубы, на режим кавитационного об- текания [7, 21]. Данную задачу может моделиро- вать режим кавитационного обтекания с замыка- нием каверны на теле, форма границы которого на среднем участке близка к цилиндрической. Аналитическая зависимость величины площади поперечного сечения возвратной струи Sδ при мо- делировании режима кавитационного течения по схеме Эфроса от числа кавитации σ, площади по- перечного сечения державки Sh и площади попе- речного сечения препятствия SR в плоскости схода каверны имеет следующий вид: Sδ SR = Cx − σSh/SR 2(1 + σ + √ 1 + σ) . (31) Данная формула обобщает известную формулу Г. Биркгофа [22] для толщины обратной струи при отсутствии державки (Sh = 0). В другом предель- ном случае для максимальной величины Sh, когда выполняется соотношение Sh SR = Cx σ , приходим к течению Жуковского – Рошко, при ко- тором возвратная струя отсутствует (Sδ = 0) и максимальные площади поперечных сечений дер- жавки Sh и каверны Sk совпадают: Sk = Sh. Как показывают результаты численного анали- за точного решения задачи кавитационного обте- кания клина по схеме Эфроса коэффициент сопро- тивления Cx клина при фиксированном значении числа кавитации практически не зависит от вели- чины Sh для фиксированного значения числа ка- витации. Следовательно, зависимость Cx = Cx(σ) можно получить на основе данных решения зада- чи при отсутствии державки (Sh = 0). В то же время, при фиксированном числе кавитации вели- чина коэффициента сопротивления также практи- чески не зависит от выбора схемы обтекания. Про- демонстрируем данное обстоятельство на примере решения задачи кавитационного обтекания верти- кальной пластины по схеме Эфроса. Аппроксимационную формулу для коэффици- ента сопротивления Cx пластины, обтекаемой по схеме Рябушинского, можно представить в следу- ющем виде [15]: Cx(σ) = 2π 4 + π (1+σ(1+0.0178σ−0.0017σ2)). (32) Максимальная погрешность результатов, получа- емых по данной формуле, не превышает 0, 02% в диапазоне 0 ≤ σ ≤ 3. В таблице 5 проводится сравнение результа- тов данных для относительной толщины обратной струи при различных значениях радиуса держав- ки h, полученных на основе точного решения зада- чи о кавитационном обтекании вертикальной пла- стины по схеме Эфроса, и по формуле (31), кото- рую в плоском случае запишем в виде δ R = Cx − σh/R 2(1 + σ + √ 1 + σ) , где коэффициент сопротивления Cx пластины за- дается аппроксимационной формулой (32). Практическое совпадение результатов прибли- женного решения, определяемого по формуле (31), с результатами точного решения может служить обоснованием применимости формулы (32) и в Л. Г. Гузевский 39 ISSN 1561 -9087 Прикладна гiдромеханiка. 2013. Том 15, N 1. С. 33 – 44 Таблица 3. Данные для максимального радиуса каверны Rk/R за диском Таблица 4. Данные для удлинения λ = Lk/(2Rk) каверны за диском 40 Л. Г. Гузевский ISSN 1561 -9087 Прикладна гiдромеханiка. 2013. Том 15, N 1. С. 33 – 44 случае кавитационных течений с осевой симметри- ей. Таблица 5. Сопоставление вычислений толщины обратной струи по формулам (31), (32) для σ = 0.3 с результатами точного решения задачи h/R (δ/R)точн. (δ/R)аппр. 0 0.2336 0.2336 0.5 0.2039 0.2039 1 0.1732 0.1732 2 0.1117 0.1117 3 0.0503 0.0502 3.5 0.0196 0.0195 4. КАВИТАЦИОННЫЕ ТЕЧЕНИЯ В ОГРАНИЧЕННЫХ ПОТОКАХ Вопрос о построении приближенной формулы для площади миделя каверн Рябушинского в огра- ниченном потоке изучен в работе [23] c использо- ванием законов сохранения, следуя подходу, при- мененному в работе [24]. Соотношение ( H R )1+ε = Cx (√ 1 + σ − 1 )2 (33) соответствует предельному течению с минималь- ным числом кавитации σmin для плоского (ε = 0) канала с параллельными стенками или осесимме- тричного (ε = 1) течений в цилиндрической тру- бе. С использованием аппроксимационной форму- лы (7) для коэффициента сопротивления конусов, которая предполагается применимой и для огра- ниченного потока, получена приближенная зави- симость для минимального числа кавитации σmin при кавитационном обтекании конусов в цилин- дрической трубе [23]: σmin =   H 2 + √ m2 + Cx0 (H 2 − m) H 2 − m   2 −1, H = H R . В таблице 6 приведены данные для минималь- ных величин числа кавитации σmin для кавитато- ров в форме диска и вертикальной пластины, по- лученных согласно формуле (33) при использова- нии аппроксимационных формул (13) и (32). Сравнение точных и приближенных значений минимального числа кавитации для вертикальной пластины в канале с параллельными стенками (3- я и 4-ая колонки табл. 6) указывает на обоснован- ность применения приближенного подхода, осно- ванного на предположении о равенстве коэффици- ентов сопротивления в безграничном и ограничен- ном потоках при одном и том же числе кавитации. Аппроксимационная формула для максималь- ного радиуса каверны за осесимметричным телом в цилиндрической трубе постоянного радиуса име- ет вид [23]: ( Rk R )2 = 2Cx k(σ, H) · [ σ + A + √ (σ − A)2 − 4A ] , (34) где H = H R , A = Cx H 2 , k(σ, H) = k(σ) + [1 − k(σ)] Cx ( √ 1 + σ − 1)2H 2 . Таблица 6. Значения минимальных чисел кавитации для диска (ε = 1) и вертикальной пластины (ε = 0) H/R ε = 1 ε = 0 (ε = 0)точн. 200 0.0092 0.1471 0.1471 150 0.0122 0.1728 0.1728 100 0.0184 0.2178 0.2178 75 0.0247 0.2578 0.2578 60 0.0310 0.2947 0.2947 50 0.0374 0.3296 0.3295 40 0.0471 0.3790 0.3789 30 0.0636 0.4567 0.4565 25 0.0770 0.5162 0.5158 20 0.0977 0.6029 0.6023 15 0.1336 0.7442 0.7433 10 0.2110 1.0284 1.0260 5 0.4996 2.0089 1.9952 Функция k(σ) определяется по формуле (10), коэффициент сопротивления Cx в случае конусов вычисляется по формуле (7), а для диска – по (13). Выражение для функции k(σ, H) получено, сле- дуя [24], путем интерполяции искомой функции по данным двух предельных случаев: в безграничном потоке и в случае течения с минимальным числом кавитации. В таблице 7 представлены результаты вычисле- ний радиуса миделя каверны Рябушинского за ко- нусами и диском по приближенной формуле (34) и результаты численного решения задачи на осно- ве точной постановки. Сравнение этих результатов иллюстрирует достаточно высокую точность при- ближенной формулы (34). Л. Г. Гузевский 41 ISSN 1561 -9087 Прикладна гiдромеханiка. 2013. Том 15, N 1. С. 33 – 44 Таблица 7. Величина радиуса миделя каверны Рябушинского для диска в цилиндрической трубе постоянного радиуса H . Сопоставление результатов расчета с вычислением по формуле (34). H σ ( Rk R ) числ. ( Rk R ) аппр. 40 0.05 5.124 5.120 40 0.10 3.233 3.239 40 0.225 2.258 2.260 40 0.30 2.019 2.019 30 0.08 3.822 3.797 30 0.10 3.306 3.307 30 0.15 2.685 2.702 15 0.15 2.977 2.981 15 0.20 2.460 2.465 15 0.25 2.210 2.213 15 0.40 1.826 1.830 15 0.50 1.690 1.693 15 0.60 1.594 1.596 15 0.70 1.522 1.524 10 0.225 2.603 2.590 10 0.25 2.358 2.358 10 0.3 2.111 2.113 10 0.4 1.852 1.856 10 0.5 1.702 1.705 10 0.6 1.602 1.604 10 0.7 1.528 1.529 6 0.405 2.127 2.123 6 0.444 1.938 1.933 6 0.5 1.798 1.795 6 0.6 1.650 1.650 6 0.7 1.556 1.558 5 0.6 1.717 1.716 5 0.7 1.594 1.592 Значительное влияние стенок цилиндрической трубы на длину каверны за диском иллюстрируют данные, представленные на рис. 2. Известный в литературе факт существенно меньшего влияния ограниченности потока на параметры кавитационного обтекания тел при использовании гидродинамических труб со свобо- дной струей жидкости иллюстрируют данные чи- сленного решения задачи кавитационного обтека- ния диска струей жидкости радиуса H (рис. 3). Приближенное решение задачи о кавитацион- ном обтекании кругового конуса с малым углом при вершине тонкой струей жидкости радиуса H получено Г.В. Логвиновичем [2]. Уравнение конту- Рис. 2. Влияние стенок на длину каверны Рябушинского за диском для ряда значений параметра H: 1 – H =∞; 2 – H = 40; 3 – H = 30; 4 – H = 20; 5 – H = 15; 6 – H = 10 Рис. 3. Радиус миделя каверны за диском как функция числа кавитации для различных толщин струи: 1 – безграничный поток; 2 – H = 5; 3 — H = 2.5 ра каверны записывается в виде: y(x) 2H = sin απ 2 √ σ sin (√ σ x H ) + R 2H cos (√ σ x H ) . Отсюда получим следующие выражения для 42 Л. Г. Гузевский ISSN 1561 -9087 Прикладна гiдромеханiка. 2013. Том 15, N 1. С. 33 – 44 длины и радиус миделя каверны: Lk 2R = H√ σ arcsin H sin απ √ σ + H 2 sin2 απ , (35) Rk R = √ 1 + H 2 σ sin2 απ. (36) В случае конуса с углом при вершине 90◦ (α = 1/4) рассчитанная длина каверны практически совпала (рис. 4) с вычисленной по формуле (35) в диапазоне малых толщин струи H ≤ 0.3. Незна- чительное отличие результатов расчетов радиуса миделя каверны от вычислений по формуле (36) имеет место в более широком диапазоне H ≤ 0.5 (рис. 5). Рис. 4. Сопоставление решения Г.В. Логвиновича [2] (штриховая кривая) с расчетной зависимостью длины каверны за конусом с углом при вершине 90 ◦ от радиуса струи ВЫВОДЫ Представленные результаты численного и ана- литического исследований осесимметричных ка- витационных течений показывают высокую эф- фективность предложенного способа построения приближенных решений в аналитическом виде за- дач кавитационного обтекания. Построенное при- ближенное аналитическое решение задачи о фор- ме образующей каверны за диском может быть использовано в качестве невозмущенного решения при расчете пространственных кавитационных те- чений методом малых возмущений [25, 26]. Рис. 5. Сопоставление решения Г.В. Логвиновича [2] (штриховая кривая) с расчетной зависимостью радиуса миделя каверны за конусом с углом при вершине 90 ◦ от радиуса струи Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (код проекта 11-01-00147-a). 1. Гузевский Л. Г. Метод граничных интегральных уравнений решения плоской и осесимметричной задач Рябушинского // Выч. технологии. Т. 11.– Спец. выпуск.– 2006.– С. 68-80. 2. Логвинович Г. В. Гидродинамика течений со сво- бодными границами.– К.: Наук. думка, 1969.– 208 с. 3. Субханкулов Г. И., Хомяков А. Н. Применение метода граничных элементов к расчету осесим- метричных каверн // Гидродинамика больших скоростей.– Чебоксары.– 1990.– С. 124-132. 4. Хомяков А. Н. Зависимость сопротивления осе- симметричного конического кавитатора от угла конусности и от числа кавитации // Изв. АН СС- СР МЖГ.– 1995.– №5.– С. 170-173. 5. Гузевский Л. Г. Влияние стенок на плоские и осесимметричные кавитационные течения // При- стенные течения со свободными поверхностями.– Новосибирск.– 1980.– С. 5-17. 6. Гузевский Л. Г. Осесимметричное кавитационное обтекание тел вращения струей жидкости // Ги- дродинамика и акустика пристенных и свободных течений.– Новосибирск.– 1981.– С. 37-46. 7. Гузевский Л. Г., Зуйкова В. И. Влияние дер- жавки на кавитационное обтекание конусов // Термогидродинамика турбулентных течений.– Новосибирск.– 1986.– С. 44-50. 8. Гузевский Л. Г. Плоские и осесимметричные ка- витационные течения Рябушинского в поле силы тяжести // Гидродинамические течения и волно- вые процессы.– Новосибирск.– 1983.– С. 72-81. Л. Г. Гузевский 43 ISSN 1561 -9087 Прикладна гiдромеханiка. 2013. Том 15, N 1. С. 33 – 44 9. Гузевский Л. Г., Зуйкова В. И. Кавитационные те- чения в продольном поле силы тяжести // При- стенные течения со свободными поверхностями.– Новосибирск.– 1980.– С. 18-30. 10. Гузевский Л. Г. Численный анализ кавитационных течений.– Новосибирск: 1979, (Препр. / СО АН СССР. Ин-т теплофизики; № 40-79).– 36 с. 11. Гузевский Л. Г. Аппроксимационные зависимости для осесимметричных каверн за конусами // Ги- дродинамические течения и волновые процессы. Сборник научных трудов Ин-та теплофизики СО АН СССР.– Новосибирск.– 1983.– С. 82-91. 12. Гузевский Л. Г., Заварзин Д. С. Соответствие ме- жду плоскими и осесимметричными кавитацион- ными течениями // Докл. Сибирского отделения Академии наук высшей школы.– 2000.– №1.– С. 10- 17. 13. Гузевский Л. Г. Соответствие плоских и осесим- метричных кавитационных течений Рябушинского в трубах // Гидродинамика больших скоростей.– Чебоксары.– 1985.– С. 45-48. 14. Guzevsky L. G. Calculation of axially symmetric cavity flows // Russian Journal of engineering thermophysics.– 1992.– V.2.- № 3.– P. 193-212. 15. Гузевский Л. Г. Построение аппроксимационно- го решения задачи кавитационного обтекания ди- ска // Прикл. механика и техн. физика.– 2011.– Т.52.- №4.– С. 571-576. 16. Зигангареева Л. М., Киселев О. М. Кавитационное обтекание диска дозвуковым потоком газожидко- стной смеси // Механика жидкости и газа.– 1996.– №2.– С. 202-206. 17. Gilbarg D. Jets and Cavities // Handbuch der Phisik.– Berlin.– 1960. -Vol. 9.– P. 311-445. 18. Serebryakov V. Asymptotic approach for problems of axisymmetric supercavitation based on the slender body approximation // Proc. of the 3th Inter. symp. on cavitation.– Grenoble (France).– Apr., 1998.– P. 61-70. 19. Савченко Ю. Н., Власенко Ю. Д., Семенен- ко В. Н. Экспериментальные исследования высокоскоростных кавитационных течений // Гидромеханика.– 1998.– Вып.72.– С. 103-111. 20. Кожуро Л. А. Расчет осесимметричного струйного обтекания тел по схеме Рябушинского // Ученые записки ЦАГИ.– 1980.– Т. ХI.– №5.– С. 63-67. 21. Мальцев Л. И. О развитой естественной кави- тации // Исследования по развитой кавитации. Сборник научных статей Ин-та теплофизики СО АН СССР.– Новосибирск.– 1983.– С. 82-91. 22. Биркгоф Г., Сарантонелло Э. Струи, следы и каверны.– М.: Мир, 1964.– 466 с. 23. Guzevsky L. G. Wall effects in Riabouchinsky cavi- tation flows // Russian Journal of engineering thermophysics.– 1996.– Vol.6.- № 4.– P. 359-381. 24. Эпштейн Л. А. Приближенный учет влияния сте- нок на мидель каверны, моделируемый по схе- ме Эфроса или Рябушинского // Изв. АН СССР. Мех. жидкости и газа.– 1975.– № 6.– С. 161-163. 25. Логвинович Г. В., Буйвол В. Н., Путилин С. И., Шевчук Ю. Р. Течения со свободными поверхностями.– Киев: Наукова думка, 1985.– 296 с. 26. Воронин В. В., Журавлев Ю. Ф. К вопросу о деформациях тонких осесимметричных каверн // Труды ЦАГИ.– 1985.– Вып. 2272.– С. 27-32. 44 Л. Г. Гузевский

Численный и аналитический анализ кавитационных течений

Institution

Ähnliche Einträge