О внутренних резонансах колебаний жидкости в конических баках

Используя условие возникновения внутренних резонансов для установившихся колебаний жидкости в конических баках, которые возникают при резонансном возбуждении первой собственной частоты, в работе определяется набор геометрических входных параметров (угол полураствора и глубина), для которых за счeт в...

Повний опис

Збережено в:

Бібліографічні деталі
Дата:	2013
Автори:	Луковский, И.А., Солодун, А.В., Тимоха, А.Н.
Формат:	Стаття
Мова:	Russian
Опубліковано:	Інститут гідромеханіки НАН України 2013
Назва видання:	Прикладна гідромеханіка
Теми:	Науковi статтi
Онлайн доступ:	http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/116424
Теги:	Додати тег Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
Назва журналу:	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
Цитувати:	О внутренних резонансах колебаний жидкости в конических баках / И.А. Луковский, А.В. Солодун, А.Н. Тимоха // Прикладна гідромеханіка. — 2013. — Т. 15, № 2. — С. 46-52. — Бібліогр.: 14 назв. — рос.

Репозитарії

Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine

id	irk-123456789-116424
record_format	dspace
spelling	irk-123456789-1164242017-04-27T03:02:28Z О внутренних резонансах колебаний жидкости в конических баках Луковский, И.А. Солодун, А.В. Тимоха, А.Н. Науковi статтi Используя условие возникновения внутренних резонансов для установившихся колебаний жидкости в конических баках, которые возникают при резонансном возбуждении первой собственной частоты, в работе определяется набор геометрических входных параметров (угол полураствора и глубина), для которых за счeт внутренних резонансов может возбуждаться ряд высших собственных форм. Сформулировано рекомендации относительно дальнейшего развития нелинейных модальных методов для баков указанной геометрии. Використовуючи умову виникнення внутрішніх резонансів для усталених рухів рідини в конічних баках, що виникають при резонансному збуренні першої власної частоти, в роботі визначається набір геометричних вхідних параметрів (кут розчину та глибина), для яких за рахунок внутрішніх резонансів може збурюватись ряд вищих власних форм. Сформульовано рекомендації щодо подальшого розвитку нелінійних модальних методів для баків вказаної геометрії. Employing the secondary (internal) resonance condition for steady-state sloshing in a conical tank that appears due to resonant excitation of the lowest natural frequency, the paper establishes a set of input geometric parameters (semi-apex angle and liquid depth) for which the secondary resonance phenomenon can lead to amplification of higher modes. A series of recommendation regarding the forthcoming development of nonlinear modal methods for the indicated tank shape are formulated. 2013 Article О внутренних резонансах колебаний жидкости в конических баках / И.А. Луковский, А.В. Солодун, А.Н. Тимоха // Прикладна гідромеханіка. — 2013. — Т. 15, № 2. — С. 46-52. — Бібліогр.: 14 назв. — рос. 1561-9087 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/116424 534.1:629.764.7 ru Прикладна гідромеханіка Інститут гідромеханіки НАН України
institution	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
collection	DSpace DC
language	Russian
topic	Науковi статтi Науковi статтi
spellingShingle	Науковi статтi Науковi статтi Луковский, И.А. Солодун, А.В. Тимоха, А.Н. О внутренних резонансах колебаний жидкости в конических баках Прикладна гідромеханіка
description	Используя условие возникновения внутренних резонансов для установившихся колебаний жидкости в конических баках, которые возникают при резонансном возбуждении первой собственной частоты, в работе определяется набор геометрических входных параметров (угол полураствора и глубина), для которых за счeт внутренних резонансов может возбуждаться ряд высших собственных форм. Сформулировано рекомендации относительно дальнейшего развития нелинейных модальных методов для баков указанной геометрии.
format	Article
author	Луковский, И.А. Солодун, А.В. Тимоха, А.Н.
author_facet	Луковский, И.А. Солодун, А.В. Тимоха, А.Н.
author_sort	Луковский, И.А.
title	О внутренних резонансах колебаний жидкости в конических баках
title_short	О внутренних резонансах колебаний жидкости в конических баках
title_full	О внутренних резонансах колебаний жидкости в конических баках
title_fullStr	О внутренних резонансах колебаний жидкости в конических баках
title_full_unstemmed	О внутренних резонансах колебаний жидкости в конических баках
title_sort	о внутренних резонансах колебаний жидкости в конических баках
publisher	Інститут гідромеханіки НАН України
publishDate	2013
topic_facet	Науковi статтi
url	http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/116424
citation_txt	О внутренних резонансах колебаний жидкости в конических баках / И.А. Луковский, А.В. Солодун, А.Н. Тимоха // Прикладна гідромеханіка. — 2013. — Т. 15, № 2. — С. 46-52. — Бібліогр.: 14 назв. — рос.
series	Прикладна гідромеханіка
work_keys_str_mv	AT lukovskijia ovnutrennihrezonansahkolebanijžidkostivkoničeskihbakah AT solodunav ovnutrennihrezonansahkolebanijžidkostivkoničeskihbakah AT timohaan ovnutrennihrezonansahkolebanijžidkostivkoničeskihbakah
first_indexed	2025-07-08T10:22:28Z
last_indexed	2025-07-08T10:22:28Z
_version_	1837073857263960064
fulltext	ISSN 1561 -9087 Прикладна гiдромеханiка. 2013. Том 15, N 2. С. 46 – 52 УДК 534.1:629.764.7 О ВНУТРЕННИХ РЕЗОНАНСАХ КОЛЕБАНИЯ ЖИДКОСТИ В КОНИЧЕСКИХ БАКАХ И. А. Л У К ОВС К И Й, А. В. С ОЛ ОД УН, А. Н. Т ИМ ОХ А Институт математики НАН Украины, Киев 01601, Киев 4, ул. Терещенковская, 3 alexander.timokha@ntnu.ru Получен 21.07.2012 Используя условие возникновения внутренних резонансов для установившихся колебаний жидкости в конических баках, которые возникают при резонансном возбуждении первой собственной частоты, в работе определяется набор геометрических входных параметров (угол полураствора и глубина), для которых за счeт внутренних резонансов может возбуждаться ряд высших собственных форм. Сформулировано рекомендации относительно дальнейшего развития нелинейных модальных методов для баков указанной геометрии. КЛЮЧЕВЫЕ СЛОВА: конический бак, колебания жидкости, резонансное возбуждение Використовуючи умову виникнення внутрiшнiх резонансiв для усталених рухiв рiдини в конiчних баках, що виникають при резонансному збуреннi першої власної частоти, в роботi визначається набiр геометричних вхiдних параметрiв (кут розчину та глибина), для яких за рахунок внутрiшнiх резонансiв може збурюватись ряд вищих власних форм. Сформульовано рекомендацiї щодо подальшого розвитку нелiнiйних модальних методiв для бакiв вказаної геометрiї. КЛЮЧОВI СЛОВА: конiчний бак, коливання рiдини, резонансне збурення Employing the secondary (internal) resonance condition for steady-state sloshing in a conical tank that appears due to resonant excitation of the lowest natural frequency, the paper establishes a set of input geometric parameters (semi-apex angle and liquid depth) for which the secondary resonance phenomenon can lead to amplification of higher modes. A series of recommendation regarding the forthcoming development of nonlinear modal methods for the indicated tank shape are formulated. KEY WORDS: conical tank, liquid oscillation, resonant excitation ВВЕДЕНИЕ В предыдущих работах авторов [4, 10] разви- вались нелинейные асимптотические модальные методы, которые сводят задачу описания гидро- динамического отклика жидкости в конических баках к построению и анализу малоразмерных систем обыкновенных дифференциальных урав- нений (модальных систем), относительно обоб- щённых координат, характеризующих возмущён- ное движение жидкости. Практическая важность такого рода исследований связывается, прежде всего, с задачей описания силового взаимодей- ствия между жидкостью и мегалитровыми водо- напорными башнями с коническими баками, кото- рое происходит вследствие ветровых нагрузок или сейсмических воздействий. Прикладные инженер- ные аспекты этой проблемы, а также типичные геометрические и физические параметры можно найти в работах [6, 13]. Общая идеология нелинейных модальных мето- дов, а также история их возникновения деталь- но изложена в монографиях [1, 2]. Достаточно полный обзор этих методов можно также най- ти в недавних статьях [4, 11, 12], где основное внимание уделено асимптотике третьего поряд- ка Нариманова–Моисеева, которая получила наи- более широкое распространение при практиче- ской реализации нелинейных модальных методов. Как проиллюстрировано в [12] на случае кругово- го вертикального цилиндрического бака, для осе- симметричных сосудов такая асимптотика неизбе- жно приводит к нелинейным модальным систе- мам, связывающим бесконечное число обобщён- ных координат второго и третьего порядка мало- сти. Это увеличивает вероятность возникновения комбинаторных внутренних резонансов в системе, когда порождаемые квадратичными и кубически- ми нелинейными членами, возникают супергармо- ники, близкие к одной из собственных частот. Феномену внутренних резонансов в задачах об установившихся резонансных колебаниях жидко- сти посвящена обширная литература. Детальный её обзор можно найти в главах 8 и 9 книги [7]. На возможность возникновения внутренних резонан- сов для сосудов кругового сечения, когда собствен- ные формы колебания жидкости (в цилиндриче- 46 c© И. А. Луковский, А. В. Солодун, А. Н. Тимоха, 2013 ISSN 1561 -9087 Прикладна гiдромеханiка. 2013. Том 15, N 2. С. 46 – 52 ской системе координат (r, θ, x)) можно предста- вить в виде φm,n(r, x, θ) = fm,n(r, x) sin cos (mθ), (1) было обращено внимание в работах [5,14]. В этих работах, в частности, было установлено, что для вертикального кругового цилиндрического бака критическими безразмерными глубинами (отно- шениями глубина–радиус бака), когда возникают внутренние резонансы при резонансном возбужде- нии первой основной частоты, являются 0.831 (для двух собственных форм, отвечающих φ2,2), 0.279 (для φ3,2), 0.455 для (φ3,3) и 0.748 (для φ3,4). Как видно, это практически реализуемые глубины. Это обозначает, что при построении нелинейных модальных систем нельзя пренебрегать обобщён- ными координатами, отвечающими собственным формам φ2,2, φ3,2, φ3,3 и φ3,4 при переходе от бе- сконечномерной модальной системы Нариманова– Моисеева к еe конечномерному приближению. Бо- лее того, для глубин, близких к указанным значе- ниям, результаты, полученные с помощью нели- нейной асимптотической модальной системы типа Нариманова–Моисеева, должны быть подкрепле- ны результатами экспериментов, поскольку сама асимптотика Нариманова–Моисеева предполагает, что гидродинамическая система не претерпевает внутренних резонансов. Несмотря на то, что сам вопрос возникновения внутренних резонансов для конических баков по- днимался авторами в работе [10], ответа на вопрос, при каких значениях глубин заполнения и углов раствора такие резонансы возможны, не получил должного ответа. На него предполагается отве- тить в данной работе путeм анализа соотношений между собственными частотами колебаний жид- кости. Высокоточное определение таких частот стало возможным благодаря развитию численно- аналитических методов решения соответствующей спектральной краевой задачи [3, 8, 9]. Базируясь на результатах анализа, мы укажем критические значения глубин заполнения усеченного кониче- ского бака для трёх типичных углов раствора и, используя эту информацию, укажем, какие имен- но обобщeнные координаты, в дополнении к семи из работы [4], должны быть обязательно исполь- зованы для учёта влияния вторичных резонансов. 1. ТЕОРИЯ Рассмотрим волновые движения идеальной не- сжимаемой жидкости, частично заполняющей аб- солютно жёсткий конический бак с углом полура- створа θ0. Гидростатическое положение жидкости под действием силы тяжести совпадает с областью Q0, изображенной на рис. 1. Вектор сил гравита- ции ~g направлен вниз вдоль оси конуса. Смачива- емые боковые стенки сосуда обозначены через S1, дно бака – через S2, невозмущённая (гидростати- ческая) свободная поверхность жидкости – через Σ0. Начало декартовой системы координат Oxyz размещено в условной вершине конуса O, причeм ось Ox направлена вертикально вверх. Рис. 1. Схема гидростатического положения жидкости в вертикальных круговых усечённых конических баках В качестве характерного линейного размера вы- бран радиус r0. Соотношение между радиусом не- возмущённой свободной поверхности и основанием усеченного конуса (r1 := r1/r0) становится геоме- трической характеристикой глубины заполнения бака. В частности, предел r1 → 1 влечeт за со- бой h → 0. В то же время, при фиксированном r1 глубина h стремится к нулю, если θ0 → π/2. Собственные формы колебаний жидкости суть собственные функции спектральной краевой зада- чи с параметром в краевом условии (см., напри- мер, [1,2]) ∇2φ = 0, ~r ∈ Q0, ∂φ ∂ν = 0, ~r ∈ S0, ∂φ ∂ν = κ φ, ~r ∈ Σ0, ∫ Σ0 ∂φ ∂ν dS = 0. (2) Как было отмечено во введении, данная зада- ча имеет решение вида (1), причём κ, именуемый частотным параметром, связан с собственной ча- стотой соотношением κm,n = σ2 m,n/g. (3) И. А. Луковский, А. В. Солодун, А. Н. Тимоха 47 ISSN 1561 -9087 Прикладна гiдромеханiка. 2013. Том 15, N 2. С. 46 – 52 Целые индексыm ≥ 0 связываются с угловым вол- новым числом, а возрастающий целый индекс n ≥ 1 упорядочивает стоячие волны, соответствующие (1), в порядке уменьшения длины волны в ради- альном направлении. За исключением осесимме- тричных собственных форм (m = 0), каждой соб- ственной частоте системы σm,n соответствуют две собственные формы, а полученные нелинейные модальные уравнения допускают ряд упрощений, связанных с тригонометрической угловой компо- нентой в представлении собственных форм (1). Асимптотика третьего порядка Нарима- нова–Моисеева предполагает, что основной, до- минантный вклад в динамику жидкости вносят лишь две первые собственные формы колеба- ния жидкости φ1,1 sin θ и φ1,1 cos θ, обладающие одной и той же минимальной собственной часто- той σ1,1. Говорят, что эти моды имеют первый порядок малости. Обусловленные тригонометри- ческой угловой компонентой в (1) члены второго порядка малости по отношению к доминантным формам связываются с собственными формами φ0,n, φ2,n sin 2θ и φ2,n cos 2θ, n ≥ 1. Аналогич- но, собственные формы φ1,n sin θ, φ1,n cos θ, n ≥ 2 и φ3,n sin 3θ, φ3,n cos 3θ, n ≥ 1 характеризуются третьим, высшим для данной асимптотики поряд- ком малости. Асимптотика Нариманова–Моисеева пренебрегает вкладом собственных форм, которые имеют асимптотический порядок больший, чем три. Последнее означает, что вклад собственных форм φm,n sinmθ, φm,n cosmθ, m ≥ 4 не учитыва- ется. Асимптотика Нариманова–Моисеева обязатель- но требует учёта бесконечного числа собствен- ных форм колебаний. Однако полная нелиней- ная модальная система, описывающая колебания жидкости в осесимметричных баках, базирующа- яся на асимптотике Нариманова–Моисеева и вов- лекающая бесконечное число обобщённых коорди- нат, соответствующих собственным формам вто- рого и третьего порядка малости, построена лишь недавно и только для вертикального цилиндриче- ского бака [12]. Подобные полные модальные сис- темы отсутствуют для других баков осесимметри- чной формы. Базовой задачей, которая исследуется с помо- щью нелинейных модальных систем, является за- дача описания установившихся (периодических) режимов движения жидкости в том случае, ко- гда колебания бака совершаются по синусоидаль- ному закону с частотой ω и эта частота близка к σ1,1. Для осесимметричных баков простой гармо- нический анализ резонансных решений показыва- ет, что первые две собственные формы характе- ризуются доминантным вкладом первой тригоно- метрической компоненты разложения Фурье пери- одических (установившихся) решений. Доминан- тными компонентами для форм второго и третье- го порядка будут соответственно cos 2ωt, sin 2ωt и cos 3ωt, sin 3ωt. Если 2ω окажется равной одной из собственных частот, соответствующих формам второго порядка малости, т.е. частотам σ2,i или σ0,i, i ≥ 1, то может возникнуть так называемый внутренний (вторичный) резонанс второго поряд- ка. Аналогично, внутренний резонанс третьего по- рядка может возникнуть в случае, когда 3ω совпа- дает с одной из собственных частот σ3,i, i ≥ 1 или σ1,i, i ≥ 2. Пусть частота возбуждения ω близка к первой собственной частоте колебаний жидкости σ1,1, т.е. ω ≈ σ1,1. Необходимыми условиями внутреннего резонан- са второго порядка являются следующие условия: 2ω ≈ σ0,n, n ≥ 1, (4) 2ω ≈ σ2,n, n ≥ 1. (5) Аналогично, для собственных форм третьего порядка ψ3,n, n ≥ 1 и ψ1,n, n ≥ 2, возникновение внутренних резонансов связывается с соотношени- ями 3ω ≈ σ3,n, n ≥ 1, (6) 3ω ≈ σ1,n, n ≥ 2. (7) Предметом наших исследований будет поиск на- бора входных параметров, глубины h (или r1) и углов полураствора θ0 конической полости, для которых выполнено одно из соотношений частот (4)-(7) при условии ω ≈ σ1,1. (8) 2. ЧИСЛЕННЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ Для численного анализа необходимого усло- вия внутреннего резонанса построим функции im,n(θ0, h), зависящие от двух входных геометри- ческих параметров: i0,n(θ0, h) = σ0,n 2σ1,1 = 1 2 √ κ0,n 2κ1,1 , n ≥ 1, (9) i2,n(θ0, h) = σ2,n 2σ1,1 = 1 2 √ κ2,n 2κ1,1 , n ≥ 1, (10) i3,n(θ0, h) = σ3,n 3σ1,1 = 1 3 √ κ3,n 2κ1,1 , n ≥ 1, (11) 48 И. А. Луковский, А. В. Солодун, А. Н. Тимоха ISSN 1561 -9087 Прикладна гiдромеханiка. 2013. Том 15, N 2. С. 46 – 52 1 1.5 2 2.5 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 i 0,n r 1 0.893 i 0,1 i 0,2 i 0,3 i 0,4 i 0,5 1 1.5 2 2.5 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 i 2,n r 1 i 2,1 i 2,2 i 2,3 i 2,4 i 2,5 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 i 1,n r 1 0.812 0.594 i 1,2 i 1,3 i 1,4 i 1,5 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 i 3,n r 1 0.835 0.651 i 3,1 i 3,2 i 3,3 i 3,4 i 3,5 Рис. 2. Графики зависимостей im,n от безразмерного параметра r1 := r1/r0 (соотношение радиусов дна и свободной поверхности). Угол полураствора θ0 = 30 ◦. Значение r1 отложено вдоль вертикальной оси. Критическими значениями, где основной резонанс совпадает с соответствующим внутренним резонансом, являются r1 = 0.8116, r1 = 0.5939, r1 = 0.8926, r1 = 0.835 и r1 = 0.651 i1,n(θ0, h) = σ1,n 3σ1,1 = 1 3 √ κ1,n 2κ1,1 , n ≥ 2. (12) Эти функции не содержат частоты возбуждения ω. Однако легко видеть, что близость значения одной из этих функций к единице, т.е. условие im,n ≈ 1, (13) эквивалентно выполнению условия внутреннего резонанса по собственным формам, соответству- ющим индексам (m,n). На рис. 2–4 приведены зависимости i0,n, i1,n, i2,n и i3,n от безразмерного параметра r1 := r1/r0 (случай r1 = 0 соответствует неусечeнному кону- су, а r1 → 1 отвечает условию мелкой воды) для трeх фиксированных углов полураствора θ0 = 30◦, θ0 = 45◦ и θ0 = 60◦. Значения im,n отложены вдоль горизонтальной оси, а значения безразмерного па- раметра r1 – вдоль вертикальной оси. Как видно из приведённых рисунков, нестро- гое равенство в необходимых условиях внутрен- него резонанса выполняется для всех рассматри- ваемых углов полураствора. Так, для угла полу- раствора θ0 = 30◦ (рис. 2), анализируя внутрен- ние резонансы второго порядка, необходимо выде- лить обязательный учёт собственных форм (0,2) и (2,2) для немалых глубин, а для малых глубин ва- жными становятся формы (0,1) и (2,1). При этом строгое равенство i0,1 = 1 при r1 = 0.8926 означа- ет, что первая осесимметричная форма претерпе- вает вторичный резонанс вместе с основным резо- нансом. Что касается внутренних резонансов тре- тьего порядка, то здесь ситуация ещe более сло- жная. Несомненно, немалый вклад в гидродина- мический отклик будут вносить формы (3,1), (3,2) и (3,3), причeм для r1 = 0.651 собственные фор- мы (3,3) должны характеризоваться резонансным поведением совместно с основным резонансом. Аналогичный вывод можно сделать для соб- ственных форм (3,2) при r1 = 0.835, а также для собственных форм (1,3) при r1 = 0.8116 и (1,4) при r1 = 0.5939. В целом, для данного угла полура- створа можно сделать вывод о том, что асимптоти- ка Нариманова–Моисеева применима для r1/r0 . 0.5, однако ряд высших форм второго и третье- И. А. Луковский, А. В. Солодун, А. Н. Тимоха 49 ISSN 1561 -9087 Прикладна гiдромеханiка. 2013. Том 15, N 2. С. 46 – 52 1 1.5 2 2.5 3 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 i 0,n r 1 0.797 i 0,1 i 0,2 i 0,3 i 0,4 i 0,5 1 1.5 2 2.5 3 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 i 2,n r 1 i 2,1 i 2,2 i 2,3 i 2,4 i 2,5 1 1.5 2 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 i 1,n r 1 0.639 i 1,2 i 1,3 i 1,4 i 1,5 0.5 1 1.5 2 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 i 3,n r 1 0.7 i 3,1 i 3,2 i 3,3 i 3,4 i 3,5 Рис. 3. Графики зависимостей im,n от безразмерного параметра r1 := r1/r0 (соотношение радиусов дна и свободной поверхности). Угол полураствора θ0 = 45 ◦. Значение r1 отложено вдоль вертикальной оси. Критическими значениями, где основной резонанс совпадает с соответствующим внутренним резонансом, являются r1 = 0.6386, r1 = 0.7972 и r1 = 0.7 го порядка, в частности, (0,1), (0,2), (2,1), (2,2), (3,2), (3,3), (1,3) и (1,4), обязательно должны быть включены в выводимые модальные системы. Качественно ситуация не претерпевает суще- ственных изменений для угла полураствора θ0 = 45◦ (рис. 3). Для этого угла полураствора внутрен- ний резонанс имеет место при r1 = 0.6386 (моды (1,3)), r1 = 0.7972 (мода (0,3)) и r1 = 0.7 (моды (3,1)). Однако для усечённых баков с пропорци- ей r1/r0 . 0.6 сохраняются выводы, сформули- рованные для угла полураствора θ0 = 30◦. В то же время для угла полураствора θ0 = 60◦ рис. 4 демонстрирует два безразмерных значения пара- метра r1, для которых можно ожидать внутренний резонанс одновременно с основным. Эти значения r1 = 0.67 (внутренний резонанс второго порядка, собственная форма (0,1)) и r1 = 0.3196 (внутрен- ний резонанс третьего порядка, две моды с инде- ксом (3,1)). Кроме того, из-за близости соответ- ствующих im,n к единице, должны учитывать при выводе модальных систем Нариманова–Моисеева формы второго порядка (0,1), (0,2), (2,1), (2,2), а также формы третьего порядка (3,2), (1,2) и (1,3). ВЫВОДЫ Нами численно проанализированы соотношения между собственными частотами колебания жид- кости в усеченном коническом баке, которые выра- жают условие возникновения внутренних резонан- сов второго и третьего порядка в рамках асимпто- тики Нариманова–Моисеева. На основе такого чи- сленного анализа для углов полураствора конуса θ0 = 30◦, 45◦ и 60◦ были определены соотношения между радиусами дна и невозмущeнной свободной поверхности, для которых, в связи с внутренними резонансами, ряд высших обобщённых координат второго и третьего порядков может давать значи- тельный вклад в гидродинамический отклик. Чис- ло таких критических значений растет с умень- шением угла полураствора, однако даже для угла θ0 = 30◦ эти критические значения связываются с достаточно малыми глубинами жидкости в усе- 50 И. А. Луковский, А. В. Солодун, А. Н. Тимоха ISSN 1561 -9087 Прикладна гiдромеханiка. 2013. Том 15, N 2. С. 46 – 52 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 i 0,n r 1 0.67 i 0,1 i 0,2 i 0,3 i 0,4 i 0,5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 i 2,n r 1 i 2,1 i 2,2 i 2,3 i 2,4 i 2,5 1 1.5 2 2.5 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 i 1,n r 1 i 1,2 i 1,3 i 1,4 i 1,5 0.5 1 1.5 2 2.5 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 i 3,n r 1 0.32 i 3,1 i 3,2 i 3,3 i 3,4 i 3,5 Рис. 4. Графики зависимостей im,n от безразмерного параметра r1 := r1/r0 (соотношение радиусов дна и свободной поверхности). Угол полураствора θ0 = 60 ◦. Значение r1 отложено вдоль вертикальной оси. Критическими значениями, где основной резонанс совпадает с соответствующим внутренним резонансом, являются r1 = 0.67 и r1 = 0.3196 ченном баке. Для всех исследуемых углов полураствора мы отмечаем важность собственных форм с индекса- ми (0,1), (0,2), (2,1), (2,2), (3,2), (3,3), (1,2), (1,3) и (1,4), которые обязательно должны быть учте- ны при построении приближённых нелинейных модальных систем типа Нариманова–Моисеева. В этом смысле, построенная ранее семимодовая не- линейная модальная система [4] может оказаться недостаточно точной при описании установивши- хся резонансных движений жидкости и, вероятно, требует уточнения и дополнения путeм включения ряда форм второго и третьего порядка малости. Работа выполнена при частичной поддержке НДР № 0112 U001015. 1. Луковский И. А. Введение в нелинейную дина- мику тел с полостями, частично заполненными жидкостью.– Киев: Наук. думка, 1990.– 296 с. 2. Луковский И. А. Математические модели нелиней- ной динамики твердых тел с жидкостью.– Киев: Наук. думка, 2010.– 408 с. 3. Луковский И. А., Солодун А. В., Тимоха А. Н. Собственные частоты колебаний жидкости в усеченных конических баках // Акустический вестник.– 2006.– Том 9, № 3.– С. 18–34. 4. Луковский И. А., Солодун А. В., Тимоха А. Н. Не- линейная асимптотическая модальная теория ре- зонансных колебаний жидкости в срезанных ко- нических баках // Акустический вестник.– 2011.– Том 14, № 4.– С. 128–134. 5. Bryant P.J. Nonlinear progressive free waves in a ci- rcular basin // J. Fluid Mech.– 1989.– 205.– P. 453– 467. 6. El Damatty A.A., Saafan M.S., Sweedan A.M.I. Experimental study conducted on a liquid-filled combined conical tank model // Thin-Walled Structures.– 2005.– 43.– P. 1398-1417. 7. Faltinsen O.M., Timokha A.N. Sloshing.– Cambridge: Cambridge University Press, 2009.– 608 p. 8. Gavrilyuk I., Hermann M., Lukovsky I., Solodun O., Timokha A. Natural sloshing frequencies in truncated conical tanks // Engineering Computations.– 2008.– 25, № 6.– P. 518–540. 9. Gavrilyuk I., Hermann M., Lukovsky I., Solodun O., Timokha A. Multimodal method for linear liquid sloshing in a rigid tapered conical tank // Engineeri- ng Computations.– 2012.– 29, № 2.– P. 198–220. 10. Gavrilyuk I., Lukovsky I., Timokha A. Linear and nonlinear sloshing in a circular conical tank // Fluid Dynamic Research.– 2005.– 35.– P. 399–429. И. А. Луковский, А. В. Солодун, А. Н. Тимоха 51 ISSN 1561 -9087 Прикладна гiдромеханiка. 2013. Том 15, N 2. С. 46 – 52 11. Lukovsky I., Timokha A. Combining Narimanov- Moiseev and Lukovsky-Miles schemes for nonlinear li- quid sloshing // J. Numerical & Appl. Math.– 2011.– № 2 (105).– P. 69–82. 12. Lukovsky I., Ovchynnykov D., Timokha A. Asymptotic nonlinear multimodal method for liquid sloshing in an upright circular cylindrical tank. Part 1: Modal equations // Nonlinear Oscillations.– 2011.– 4.– P. 482–495. 13. Moslemi M., Kianoush M.R., Pogorzelski W. Seismic response of liquid-filled elevated tanks // Engineering Structures.– 2011.– 33.– P. 2074–2084. 14. Takahara, H., Kimura, K. Frequency response of sloshing in an annular cylindrical tank subjected to pitching excitation // Jounal of Sound and Vibration.– 2012.– 331.– P. 3199–3212. 52 И. А. Луковский, А. В. Солодун, А. Н. Тимоха

О внутренних резонансах колебаний жидкости в конических баках

Репозитарії

Схожі ресурси