Моделирование полей скорости и давления в зоне прямоугольной каверны, расположенной на стенке плоского канала. Часть
В работе представлены результаты численного исследования вихревой структуры движения жидкости в области каверны с прямоугольной формой поперечного сечения, расположенной на нижней стенке плоского канала. Метод расчета параметров течения основан на прямом численном решении нестационарных уравнений На...
Saved in:
| Date: | 2013 |
|---|---|
| Main Authors: | , , |
| Format: | Article |
| Language: | Russian |
| Published: |
Інститут гідромеханіки НАН України
2013
|
| Series: | Прикладна гідромеханіка |
| Subjects: | |
| Online Access: | http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/116442 |
| Tags: |
Add Tag
No Tags, Be the first to tag this record!
|
| Journal Title: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Cite this: | Моделирование полей скорости и давления в зоне прямоугольной каверны, расположенной на стенке плоского канала. Часть I / Е.В. Бруяцкий, А.Г. Костин, Е.И. Никифорович // Прикладна гідромеханіка. — 2013. — Т. 15, № 3. — С. 25-36. — Бібліогр.: 21 назв. — рос. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
irk-123456789-116442 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
irk-123456789-1164422017-04-27T03:02:33Z Моделирование полей скорости и давления в зоне прямоугольной каверны, расположенной на стенке плоского канала. Часть Бруяцкий, Е.В. Костин, А.Г. Никифорович, Е.И. Науковi статтi В работе представлены результаты численного исследования вихревой структуры движения жидкости в области каверны с прямоугольной формой поперечного сечения, расположенной на нижней стенке плоского канала. Метод расчета параметров течения основан на прямом численном решении нестационарных уравнений Навье-Стокса в переменных скорость-давление. Детально изучены особенности взаимодействия потока в канале с вихревым полем скоростей внутри каверны и в зоне ее расположения при трех геометрических параметрах каверны, в зависимости от числа Рейнольдса и двух форм профиля продольной скорости во входном сечении канала. В роботі представлені результати чисельного дослідження вихрової структури руху рідини в області каверни з прямокутною формою поперечного перетину, яка розташована на нижній стінці плоского каналу. Метод розрахунку параметрів течії оснований на прямому чисельному рішенні нестаціонарних рівнянь Нав'є-Стокса у змінних швидкість-тиск. Детально вивчені особливості взаємодії потоку у каналі з вихровим полем швидкостей усередині каверни і у зоні її розташування при трьох геометричних параметрах каверни, в залежності від числа Рейнольдса та двох форм профілю поздовжньої швидкості у вхідному перетині каналу. The paper presents results of numerical simulation of a vertical fluid motion in a cavity with a rectangular cross section. The cavity is located on a bottom of a flat channel. The approach to calculate flow parameters is based on a direct numerical solution of nonstationary Navier-Stokes equations in velocity-pressure variables. Detailed investigations of peculiarities are carried out of the channel flow interaction with a vortex structure inside of the cavity and in a zone of its location for three geometrical parameters of the cavity. The calculations are implemented for two shapes of a streamwise velocity profile at the channel entry section depending on a Reynolds number 2013 Article Моделирование полей скорости и давления в зоне прямоугольной каверны, расположенной на стенке плоского канала. Часть I / Е.В. Бруяцкий, А.Г. Костин, Е.И. Никифорович // Прикладна гідромеханіка. — 2013. — Т. 15, № 3. — С. 25-36. — Бібліогр.: 21 назв. — рос. 1561-9087 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/116442 532.526.10 ru Прикладна гідромеханіка Інститут гідромеханіки НАН України |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| language |
Russian |
| topic |
Науковi статтi Науковi статтi |
| spellingShingle |
Науковi статтi Науковi статтi Бруяцкий, Е.В. Костин, А.Г. Никифорович, Е.И. Моделирование полей скорости и давления в зоне прямоугольной каверны, расположенной на стенке плоского канала. Часть Прикладна гідромеханіка |
| description |
В работе представлены результаты численного исследования вихревой структуры движения жидкости в области каверны с прямоугольной формой поперечного сечения, расположенной на нижней стенке плоского канала. Метод расчета параметров течения основан на прямом численном решении нестационарных уравнений Навье-Стокса в переменных скорость-давление. Детально изучены особенности взаимодействия потока в канале с вихревым полем скоростей внутри каверны и в зоне ее расположения при трех геометрических параметрах каверны, в зависимости от числа Рейнольдса и двух форм профиля продольной скорости во входном сечении канала. |
| format |
Article |
| author |
Бруяцкий, Е.В. Костин, А.Г. Никифорович, Е.И. |
| author_facet |
Бруяцкий, Е.В. Костин, А.Г. Никифорович, Е.И. |
| author_sort |
Бруяцкий, Е.В. |
| title |
Моделирование полей скорости и давления в зоне прямоугольной каверны, расположенной на стенке плоского канала. Часть |
| title_short |
Моделирование полей скорости и давления в зоне прямоугольной каверны, расположенной на стенке плоского канала. Часть |
| title_full |
Моделирование полей скорости и давления в зоне прямоугольной каверны, расположенной на стенке плоского канала. Часть |
| title_fullStr |
Моделирование полей скорости и давления в зоне прямоугольной каверны, расположенной на стенке плоского канала. Часть |
| title_full_unstemmed |
Моделирование полей скорости и давления в зоне прямоугольной каверны, расположенной на стенке плоского канала. Часть |
| title_sort |
моделирование полей скорости и давления в зоне прямоугольной каверны, расположенной на стенке плоского канала. часть |
| publisher |
Інститут гідромеханіки НАН України |
| publishDate |
2013 |
| topic_facet |
Науковi статтi |
| url |
http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/116442 |
| citation_txt |
Моделирование полей скорости и давления в зоне прямоугольной каверны, расположенной на стенке плоского канала. Часть I / Е.В. Бруяцкий, А.Г. Костин, Е.И. Никифорович // Прикладна гідромеханіка. — 2013. — Т. 15, № 3. — С. 25-36. — Бібліогр.: 21 назв. — рос. |
| series |
Прикладна гідромеханіка |
| work_keys_str_mv |
AT bruâckijev modelirovaniepolejskorostiidavleniâvzoneprâmougolʹnojkavernyraspoložennojnastenkeploskogokanalačastʹ AT kostinag modelirovaniepolejskorostiidavleniâvzoneprâmougolʹnojkavernyraspoložennojnastenkeploskogokanalačastʹ AT nikiforovičei modelirovaniepolejskorostiidavleniâvzoneprâmougolʹnojkavernyraspoložennojnastenkeploskogokanalačastʹ |
| first_indexed |
2025-07-08T10:24:07Z |
| last_indexed |
2025-07-08T10:24:07Z |
| _version_ |
1837073956999266304 |
| fulltext |
ISSN 1561 -9087 Прикладна гiдромеханiка. 2013. Том 15, N 3. С. 25 – 36
УДК 532.526.10
МОДЕЛИРОВАНИЕ ПОЛЕЙ СКОРОСТИ И ДАВЛЕНИЯ В
ЗОНЕ ПРЯМОУГОЛЬНОЙ КАВЕРНЫ, РАСПОЛОЖЕННОЙ
НА СТЕНКЕ ПЛОСКОГО КАНАЛА. ЧАСТЬ I
Е. В. Б РУЯ Ц К И Й, А. Г. К ОС ТИ Н, Е. И. Н ИК И Ф ОРОВ ИЧ
Институт гидромеханики НАН Украины, Киев
03680 Киев – 180, МСП, ул. Желябова, 8/4
eugenen@kfh.se
Получено 04.02.2013
В работе представлены результаты численного исследования вихревой структуры движения жидкости в области
каверны с прямоугольной формой поперечного сечения, расположенной на нижней стенке плоского канала. Метод
расчета параметров течения основан на прямом численном решении нестационарных уравнений Навье–Стокса в
переменных скорость–давление. Детально изучены особенности взаимодействия потока в канале с вихревым полем
скоростей внутри каверны и в зоне ее расположения при трех геометрических параметрах каверны, в зависимости
от числа Рейнольдса и двух форм профиля продольной скорости во входном сечении канала.
КЛЮЧЕВЫЕ СЛОВА: численное моделирование, уравнение Навье–Стокса, плоский канал, прямоугольная каверна,
поля скорости, вихревые структуры
В роботi представленi результати чисельного дослiдження вихрової структури руху рiдини в областi каверни з
прямокутною формою поперечного перетину, яка розташована на нижнiй стiнцi плоского каналу. Метод розрахун-
ку параметрiв течiї оснований на прямому чисельному рiшеннi нестацiонарних рiвнянь Новьє–Стокса у змiнних
швидкiсть–тиск. Детально вивченi особливостi взаємодiї потоку у каналi з вихровим полем швидкостей усерединi
каверни i у зонi її розташування при трьох геометричних параметрах каверни, в залежностi вiд числа Рейнольдса
та двох форм профiлю поздовжньої швидкостi у вхiдному перетинi каналу.
КЛЮЧОВI СЛОВА: чисельне моделювання, рiвняня Новьє-Стокса, плоский канал, прямокутна каверна, поля швид-
костi, вихровi структури
The paper presents results of numerical simulation of a vortical fluid motion in a cavity with a rectangular cross section.
The cavity is located on a bottom of a flat channel. The approach to calculate flow parameters is based on a direct numerical
solution of nonstationary Navier-Stokes equations in velocity–pressure variables. Detailed investigations of peculiarities
are carried out of the channel flow interaction with a vortex structure inside of the cavity and in a zone of its location
for three geometrical parameters of the cavity. The calculations are implemented for two shapes of a streamwise velocity
profile at the channel entry section depending on a Reynolds number.
KEY WORDS: numerical simulation, Navier-Stokes equations, flat channel, rectangular cavity, velocity field, vorticity
structures
ВВЕДЕНИЕ
Фрагменты течений около твердой поверхности
при наличии на ней геометрической неоднородно-
сти в виде каверны встречаются во многих при-
кладных задачах гидроаэродинамики. При рас-
смотрении такого класса течений различают вне-
шние и внутренние задачи, при этом каверна мо-
жет иметь прямоугольную или другую более сло-
жную криволинейную форму, а жидкость может
быть сжимаемой и несжимаемой.
Характерным примером таких течений являю-
тся обтекание какого-либо тела, крылового профи-
ля или другой твердой стенки, на которой распо-
ложено углубление-каверна. Их особенность со-
стоит в том, что при натекании внешнего потока
на каверну течение в области кромки каверны ча-
сто сопровождается явлением отрыва потока и эф-
фектами нестационарности. Режим отрыва потока
с кромки каверны приводит к появлению в потоке
вихревых образований, которые сносятся вниз по
течению и взаимодействуют с жидкостью, находя-
щейся внутри каверны и за ней.
Имеется множество примеров течений такого
класса в судостроении, в авиастроении. Кроме то-
го, они встречаются в задачах экологии при моде-
лировании процессов переноса и накопления раз-
личных загрязнений в реках, каналах или трубах
при наличии там геометрических неоднородностей
и каверн, или при моделировании движения газо-
аэрозольных выбросов над городскими застройка-
ми, различными каньонами и другими неодноро-
дностями рельефа местности.
Внешний по отношению к каверне поток может
быть ламинарным или турбулентным. Поэтому, в
зависимости от профиля продольной скорости пе-
c© Е. В. Бруяцкий, А. Г. Костин, Е. И. Никифорович, 2013 25
ISSN 1561 -9087 Прикладна гiдромеханiка. 2013. Том 15, N 3. С. 25 – 36
ред каверной, в слое смешения между основным
потоком и жидкостью в каверне может форми-
роваться различная структура течения. Количе-
ственные характеристики процесса смешения и его
механизм имеют важное прикладное значение. По-
этому экспериментальным и теоретическим иссле-
дованием фрагментов таких течений занимается
широкий круг специалистов [1 – 6] с целью более
глубокого понимания физики и механизмов возни-
кновения отрывных течений и вихревых структур
в зависимости от геометрии каверны, числа Рей-
нольдса и профиля скорости перед каверной.
Многие работы посвящены исследованию тече-
ния в зоне каверны для случаев сжимаемого до-
звукового и сверхзвукового потоков [7]. Часть
работ посвящена изучению течения несжимаемой
жидкости в зоне каверны для случаев ламинар-
ного и турбулентного режимов течения основного
потока [8, 9].
Наряду с экспериментальными исследованиями,
задача о течении в области каверны решалась и
численно [3,4,10,11]. При теоретическом изучении
течения в окрестности каверны обычно рассматри-
вают течение в пограничном слое на плоской пла-
стине. Каверна при этом расположена на некото-
ром расстоянии вниз по потоку от носика пласти-
ны. На основе такого подхода выполнено значи-
тельное количество работ. Однако решение зада-
чи с таких позиций требует задания характери-
стик течения в пограничном слое пластины перед
каверной, что увеличивает многопараметричность
задачи. Кроме того, в силу сложности расчета
поля давления многие исследователи для описа-
ния течения используют уравнения Навье–Стокса
в переменных функция тока–вихрь [10,11], что по-
зволяет исключить давление из системы исходных
уравнений. Но такой подход наряду с положитель-
ными сторонами этого способа расчетов приво-
дит к трудности постановки граничных условий
для вихря скорости у твердых стенок и отсут-
ствию возможности обобщения этого подхода на
трехмерные задачи и турбулентные режимы тече-
ния [12]. Поэтому более предпочтительным явля-
ется подход, использующий исходные уравнения
в естественных физических переменных скорость–
давление, так как он лишен отмеченных недоста-
тков и позволяет учесть форму начального про-
филя скорости перед каверной и непосредственно
рассчитывать поля давления. Однако и в этом слу-
чае тоже имеются свои сложности, связанные со
способом определения давления и его согласова-
ния с полем скоростей. На основе этого подхода
также решено определенное количество прикла-
дных задач [1,13]. При этом рассматривались ка-
верны с различной геометрической формой [14].
В настоящее время для численного решения
уравнений Навье–Стокса существуют и использу-
ются несколько десятков разновидностей разно-
стных схем. Поиски наилучших из них продол-
жаются. Недавно в нашей работе [15] был пре-
дложен эффективный метод численного интегри-
рования полной системы нестационарных урав-
нений Навье–Стокса в физических переменных
скорость–давление для несжимаемой жидкости,
который прошел тестирование при решении ряда
задач [16,17]. Цель данной работы состоит в при-
менении этого метода для расчета тонкой вихре-
вой структуры течения в области прямоугольной
каверны, расположенной на нижней стенке пло-
ского канала. При этом ставится задача изучения
не только структуры потока внутри каверны, но и
поля давления в зависимости от двух форм профи-
ля продольной скорости в канале перед каверной
при различных числах Рейнольдса и трех геоме-
трических параметрах каверны. В силу большого
объема полученного материала результаты выпол-
ненных исследований разделены на две части. В
данной работе представлены результаты по расче-
ту поля скоростей и вихревой структуры течений,
а поля давления и эффекты нестационарности бу-
дут рассмотрены отдельно.
1. ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ И ИСХОДНЫЕ
УРАВНЕНИЯ
Обратимся к решению задачи о течении несжи-
маемой жидкости в зоне прямоугольной каверны,
расположенной на твердой стенке, но не в погра-
ничном слое пластины или обтекаемого тела, а на
нижней стенке плоского канала.
Рассмотрим подробнее отличие течений, напри-
мер, на пластине и в плоском канале при нали-
чии геометрической неоднородности в виде кавер-
ны. При течении в плоском канале важным па-
раметром течения является глубина каверны b и
ее длина l по отношению к ширине канала h. В
случае плоской пластины с каверной аналогичным
параметром является отношение b/δ и l/δ, где δ –
толщина пограничного слоя на обтекаемой пласти-
не перед каверной. Однако, из-за неоднозначности
определения толщины δ, в практике расчетов за
характерный размер длины принимается толщи-
на вытеснения δ∗, которая, как и δ, есть функция
продольной координаты x. Таким образом, в слу-
чае канала параметр b/h является постоянным, а в
случае пластины параметр b/δ∗ будет величиной,
зависящей от продольной координаты x. Это об-
26 Е. В. Бруяцкий, А. Г. Костин, Е. И. Никифорович
ISSN 1561 -9087 Прикладна гiдромеханiка. 2013. Том 15, N 3. С. 25 – 36
стоятельство приводит к тому, что структура те-
чения и сопротивление пластины зависят от ме-
ста расположения каверны на ней. В этом состоит
одно из различий между рассматриваемыми слу-
чаями течения.
Специфика нашего подхода заключается в том,
что параметры основного потока, внешнего по
отношению к каверне, в этом случае задаются ка-
ноническим течением в плоском канале, которое
на развитом участке канала имеет универсальный
параболический профиль Пуазейля для продоль-
ной скорости в виде
U(Y ) = 6(1 − Y )Y, U = u/u0, Y = y/h. (1)
Это позволяет сократить число параметров исхо-
дной задачи и однозначно определить масштабы
скорости и длины для рассматриваемого течения,
выбрав для них среднерасходную скорость в кана-
ле и высоту канала. Физическая схема течения и
принятые обозначения приведены на рис. 1. Зада-
ча рассматривается в двумерной постановке. На-
чало введенной декартовой системы координат на-
ходится в левом нижнем углу в точке 0. Высота
канала имеет размер h, а общая длина расчетной
области S состоит из трех участков S =S1+S2+S3.
Глубина каверны b = h1 −h, которая после нор-
мировки на высоту канала h равна B = b/h и в
расчетах в основном принималась B=0.4, а длина
каверны l, нормированная на глубину b, то есть
L = l/b, изменялась в диапазоне L = 1, 2, 4. Тече-
ние в канале происходило слева направо. Рассто-
яние S1 от входной границы AB до левой стен-
ки EF варьировалось и определялось путем чи-
сленного эксперимента, чтобы в сечении AB мож-
но было принять условия невозмущенного потока,
то есть профиль продольной скорости в виде (1).
Горизонтальный размер каверны l=S2. Выходная
граница расчетной области CD удалена от правой
вертикальной стенки каверны KQ на расстояние
S3, достаточное для того, чтобы оно не оказывало
влияние на результаты расчета с заданной точно-
стью ε.
Характерной особенностью течения в канале яв-
ляется то, что движение жидкости происходит под
действием продольного перепада давления, кото-
рый при отсутствии каверны постоянен (∂p/∂x =
= const). Однако заданной величиной в рассма-
триваемой задаче принимается расход жидкости
Q = u0 h через поперечное сечение канала CD1.
При такой постановке задачи число Рейнольдса
Re= u0 h/ν задано, а давление является перемен-
ной величиной и рассчитывается в процессе реше-
ния задачи.
Для описания движения жидкости и анализа
процессов смешения жидкости в каверне с основ-
ным потоком в канале используются нестацио-
нарные уравнения Навье–Стокса для несжимае-
мой жидкости в переменных скорость–давление
без каких-либо упрощающих предположений. При
введении безразмерных величин за масштаб дли-
ны принимается ширина канала h, за масштаб ско-
рости – среднерасходная скорость в канале u0 =
Q/h, за масштаб времени – величина t0 =h/u0, а за
масштаб давления – скоростной напор p0 =ρ ·u2
0. В
безразмерных величинах Vi,P ,Xi система нестаци-
онарных уравнений Навье–Стокса с постоянными
плотностью ρ0 и кинематической вязкостью ν в
консервативной тензорной форме в прямоуголь-
ной декартовой системе координат записывается
в виде:
∂Vi
∂τ
= −
∂P
∂Xi
+
+
∂
∂Xk
[
−ViVk +
1
Re
(
∂Vi
∂Xk
+
∂Vk
∂Xi
)]
,
∂Vk
∂Xk
= 0.
(2)
Здесь по повторяющемуся индексу подразумевае-
тся суммирование. Для рассматриваемой двумер-
ной задачи i, k = 1, 2; X1 = X ; X2 = Y ; V1 = U ;
V2 = V . При этом U = u/u0, V = v/u0, X = x/h,
Y =y/h, τ = tu0/h, P =p/ρ0u
2
0. Здесь U и V – гори-
зонтальная и вертикальная компоненты скорости
соответственно.
Для завершения постановки задачи необходи-
мо задать начальные и краевые условия на всех
границах расчетной области A1BCD1KQEFA1.
Предпологается, что в начальный момент време-
ни во всей расчетной области горизонтальная ско-
рость U имеет параболический профиль, а верти-
кальная скорость V и давление P равны нулю.
Граничными условиями для скорости на входе в
расчетную область AB служат условия невозму-
щенного потока. При этом подробно рассмотрены
два случая, когда профиль продольной скорости
на входе в канал принят в виде параболы Пуазей-
ля (1), и случай, когда профиль скорости на входе
однородный.
На выходе из расчетной области в сечении CD
принимаются безградиентные условия свободного
вытекания в форме Неймана. На всех неподви-
жных твердых стенках принимаются очевидные
граничные условия прилипания U
∣
∣
Γ
= 0 и непро-
текания V
∣
∣
Γ
= 0, где Γ – твердая граница. Основ-
ными параметрами задачи являются число Рей-
нольдса, глубина каверны B = b/h, ее горизон-
Е. В. Бруяцкий, А. Г. Костин, Е. И. Никифорович 27
ISSN 1561 -9087 Прикладна гiдромеханiка. 2013. Том 15, N 3. С. 25 – 36
Рис. 1. Принципиальная схема рассматриваемого течения в плоском канале с прямоугольной каверной
тальная длина L = l/h, а форма профиля скоро-
сти на входе в канал принимается в виде (1), ли-
бо U
∣
∣
AB
= 1. Таким образом, численное решение
системы уравнений (2) будем искать в области
0 ≤ X ≤ S, 0 ≤ Y ≤ H1, где H1 =h1/h (см. рис. 1)
при следующих начальных и граничных условиях:
U(X, Y, 0)=6(1 − Y )Y, V (X, Y, 0)=0,
P (X, Y, 0)=0,
U
∣
∣
A1B
=6(1 − Y )Y ; U
∣
∣
BC
=0;
∂U
∂X
∣
∣
CD1
=0; U
∣
∣
D1K
= 0;
U
∣
∣
KQ
=0; U
∣
∣
QE
=0;
U
∣
∣
EF
=0; U
∣
∣
FA1
=0;
V
∣
∣
A1B
=0; V
∣
∣
BC
=0;
∂V
∂X
∣
∣
CD1
=0; V
∣
∣
D1K
= 0;
V
∣
∣
KQ
=0; V
∣
∣
QE
= 0;
V
∣
∣
EF
=0; V
∣
∣
FA1
=0.
(3)
Во втором варианте задачи U
∣
∣
A1B
=1, а остальные
условия те же.
Следует подчеркнуть, что давление P в рассма-
триваемой системе уравнений не является основ-
ной переменной ни в одном из этих уравнений. При
нашем подходе необходимое уравнение для давле-
ния выводится из уравнения неразрывности в ви-
де уравнения типа Пуассона. При этом необходи-
мые для его решения значения давления в грани-
чных узлах определяются с помощью уравнений
движения в комбинации с граничными условиями
для компонентов скорости [18]. В процессе реше-
ния задачи требуется определить поля скорости
и давления в расчетной области и оценить влия-
ние числа Рейнольдса, формы профиля скорости
и геометрического размера каверны на структуру
течения и поле давления. Стационарное течение
в канале характеризуется тем, что искомые пере-
менные U , V , P не зависят от времени. Расчет па-
раметров течения и структуры вихреобразования
основаны на численном интегрировании системы
уравнений движения (2) при начально-краевых
условиях (3). Отличительная особенность данного
метода состоит в использовании физических пере-
менных скорость–давление и разнесенных сеток.
2. ОСОБЕННОСТИ ЧИСЛЕННОГО МЕТОДА
Общий принцип применяемого метода решения
уравнений Навье – Стокса рассмотрен в нашей ра-
боте [15]. Для решение системы исходных неста-
ционарных уравнений (2) используется метод ко-
нечных разностей. Из-за сложностей согласова-
ния полей скорости и давления для дискретиза-
ции уравнений движения в X , Y направлениях
использовалась разнесенная сетка Это означает,
что компоненты скоростей и давления определяю-
тся в различных узлах подобно методу МАС [19]
и это дает определенные преимущества при расче-
те поля давления [18]. Конечно-разностные ап-
проксимации рассматриваемых уравнений строя-
тся на пятиточечном шаблоне в соответствии с из-
вестной схемой “крест” [20].
Локальная геометрия расположения узлов се-
тки показана на рис. 1 нашей работы [15]. Сето-
чные функции давления P расположены в узлах
основной сетки S0(j, i, n). Сеточные функции ком-
понентов скоростей U и V определены в узлах
вспомогательных полуцелых сеток S1(j + 1/2, i, n)
и S2(j, i + 1/2, n) соответственно. Шаги сеток hxj
28 Е. В. Бруяцкий, А. Г. Костин, Е. И. Никифорович
ISSN 1561 -9087 Прикладна гiдромеханiка. 2013. Том 15, N 3. С. 25 – 36
и hyi могут быть как равномерными, так и пере-
менными в обoих направлениях. В соответствии с
выбранным сеточным шаблоном вводятся следую-
щие компактные обозначения
P (Xj , Yi, τ
n) = Pn
j,i,
U((j + 1/2) · ∆x, i · ∆y, n · ∆τ) = Un
j+1/2,i,
V (j · ∆x, (i + 1/2) · ∆y, n · ∆τ) = V n
j,i+1/2.
Вся расчетная область разбивается на прямоу-
гольные ячейки. Схема их расположения и соо-
тветствующие узлы сеток приведены в работе [15].
Для конечно-разностной аппроксимации исходных
уравнений движения и неразрывности использу-
ются неявная конечно-разностная схема перво-
го порядка точности для производных по време-
ни и второго порядка точности для производных
по пространству. Кроме того, диффузионные сла-
гаемые аппроксимируются по схеме с централь-
ными разностями, а для конвективных слагаемых
используются схемы с односторонними разностя-
ми "против потока". Особенностью дискретизации
является то, что конечно-разностная аппроксима-
ция центрируется в соответствии с выбранным ша-
блоном. При этом сеточные индексы для зависи-
мых переменных оказываются сдвинутыми.
Подстановка конечно-разностных формул в
исходную систему уравнений движения позволя-
ет записать их дискретные аналоги для X и Y
направлений. Эти уравнения, после соответствую-
щей групировки слагаемых, дополненные уравне-
нием неразрывности, имеют следующий конечно-
разностный вид:
dU
j+1/2,iU
n+1
j+1/2,i + cU
1 Un+1
j+3/2,i + cU
0 Un+1
j−1/2,i+
+bU
1 Un+1
j+1/2,i+1
+ bU
0 Un+1
j+1/2,i−1
=
= −∆y(Pn+1
j+1,i − Pn+1
j,i ) + fU ,
(4)
dV
j,i+1/2V
n+1
j,i+1/2
+ cV
1 V n+1
j,i+3/2
+ cV
0 V n+1
j,i−1/2
+
+bV
1 V n+1
j+1,i+1/2
+ bV
0 V n+1
j−1,i+1/2
=
= −∆x(Pn+1
j,i+1 − Pn+1
j,i ) + fV ,
(5)
Un+1
j+1/2,i − Un+1
j−1/2,i
∆x
+
+
V n+1
j,i+1/2
− V n+1
j,i−1/2
∆y
= 0,
(6)
где коэффициенты дискретизации dj+1/2,i,
dj,i+1/2, c1, c0, b1, b0 и свободные члены f с
верхними индексами U , V – известныe величины
по данным с предыдущего шага и находятся по
определенным алгебраическим формулам.
Хотя полученная система уравнений (4)-(6) яв-
ляется основной, однако она пока незамкнута, так
как содержит неизвестное давление.
3. УРАВНЕНИЕ ДЛЯ ДАВЛЕНИЯ
Необходимое уравнение для вычисления давле-
ния можно получить из уравнения неразрывности.
С этой целью будем следовать известной процеду-
ре SIMPLE [21] и преобразуем уравнения (4) и
(5) к следующему виду:
Un+1
j+1/2,i =
[
∆y(Pn+1
j,i − Pn+1
j+1,i) + GU
j+1/2,i
]
dU
j+1/2,i
, (7)
V n+1
j,i+1/2
=
[
∆x(Pn+1
j,i − Pn+1
j,i+1
) + GV
j,i+1/2
]
dV
j,i+1/2
, (8)
где введенные выражения GU
j+1/2,i и GV
j,i+1/2
изве-
стны, так как они зависят от скоростей с пре-
дыдущего шага n. Далее для получения необхо-
димого уравнения для давления на (n + 1) шаге
используем уравнение неразрывности (6). Учи-
тывая его структуру, подставим значения соответ-
ствующих компонентов скорости из (7),(8) в урав-
нение неразрывности (6). Тогда получим выраже-
ние, в котором неизвестными величинами явля-
ются лишь сеточные функции давления в узле с
номером (j, i) и окружающих его соседних узлах.
Выполнив простые преобразования, после группи-
ровки соответствующих слагаемых получим сле-
дующий конечно-разностный аналог для вычисле-
ния сеточных функций давления:
dP
j,iP
n+1
j,i +cP
1 Pn+1
j+1,i+cP
0 Pn+1
j−1,i+
+bP
1 Pn+1
j,i+1+bP
0 Pn+1
j,i−1 =fP ,
(9)
где свободный член fP и коэффициенты дискрети-
зации dP
j,i,c
P
1 ,cP
0 ,bP
1 ,bP
0 известны по данным с пре-
дыдущего шага.
Полученное разностное уравнение для давле-
ния (9) оказывается замаскированным уравнени-
ем Пуассона и представляет собой систему линей-
ных алгебраических уравнений. Система уравне-
ний движения (7)-(9) связывает значения давле-
ния и компонентов скоростей на (n+1) временном
слое и является фундаментальным результатом,
представляющим универсальный дискретный ана-
лог системы общих уравнений движения несжима-
емой жидкости. Отметим, что уравнение Пуасона
Е. В. Бруяцкий, А. Г. Костин, Е. И. Никифорович 29
ISSN 1561 -9087 Прикладна гiдромеханiка. 2013. Том 15, N 3. С. 25 – 36
для давления фактически заменяет уравнение не-
разрывности и система уравнений оказывается за-
мкнутой.
Для решения таких систем алгебраических
уравнений разработаны эффективные итерацион-
ные методы. Например, уравнение Пуассона для
давления решается методом покоординатного ра-
сщепления и использования метода прогонки [20].
4. ПРОЦЕДУРА РЕШЕНИЯ
В настоящем методе компоненты скорости и
давления расщеплены так, что на любом этапе
расчета решаются уравнения относительно одной
зависимой переменной. Это упрощает примене-
ние стандартных методов решения систем линей-
ных алгебраических уравнений полученного ви-
да. Расчеты проводятся для двух основных фи-
зических переменных – скорости, давления. Ите-
рационный вычислительный процесс состоит из
шагов по времени. В начале каждого временно-
го цикла предполагаются известными поля скоро-
сти и давления. Вычислительная процедура ра-
счета каждого шага по времени разбивается на
три этапа и выполняется в следующей последо-
вательности. На первом этапе при заданных на
предыдущем временном шаге значениях Un
j+1/2,i и
V n
j,i+1/2
по соответствующим алгебраическим фор-
мулам рассчитываются коэффициенты дискрети-
зации dU
j+1/2,i, dV
j,i+,1/2
,dP
j,i,c
P
1 ,cP
0 ,bP
1 ,bP
0 и выражения
GU
j+1/2,i(U
n, V n), GV
j,i+1/2
(Un, V n), включая свобод-
ный член fP (j, i). На втором этапе, зная коэффи-
циенты уравнения Пуассона, путем его решения
находится поле давления Pn+1
j,i . Далее, на третьем
этапе, зная коэффициенты дискретизации и поле
давления Pn+1
j,i по уравнениям (7), (8), рассчи-
тываются поля скорости Un+1
j+1/2,i, V n+1
j,i+1/2
на (n+1)
временном слое. На этом первый временной цикл
заканчивается и далее он повторяется. Задача ре-
шается на установление. Критерием окончания ре-
шения служит заданное время счета или условие,
когда максимальная разность между значениями
искомых переменных на предыдущем и следую-
щем временном шаге не превышает заданную ве-
личину ошибки ε.
Алгоритм решения на установление позволяет
получить как стационарное решение, так и иссле-
довать динамику течений во времени. Важным мо-
ментом расчетов является переход в граничных
условиях для U и V к конечным разностям и кон-
троль за выполнением уравнения неразрывности.
Разработанный алгоритм решения эволюционной
гидродинамической задачи для системы двумер-
ных нестационарных уравнений Навье – Стокса ре-
ализован в виде оригинальной компьютерной про-
граммы CLF на языке Фортран. Этот алгоритм
обеспечивает выполнение уравнения неразрывно-
сти с точностью до 10−8 в области основного тече-
ния и до 10−4 вблизи твердых границ.
5. РЕЗУЛЬТАТЫ РАСЧЕТОВ И
ИХ ОБСУЖДЕНИЕ. ПОЛЕ СКОРОСТЕЙ
И ВИХРЕВЫЕ СТРУКТУРЫ
Проведенные численные исследования показа-
ли, что с началом расчета поток жидкости начи-
нает взаимодействовать с твердыми стенками ка-
нала и с жидкостью, находящейся внутри кавер-
ны. В результате в верхней части зоны каверны
образуется своеобразный слой смешения, который
встречается с правой вертикальной стенкой кавер-
ны и приводит к возникновению вихревого цир-
куляционного движения внутри каверны. С этого
момента слой смешения за левой кромкой каверны
формируется при взаимодействии основного пото-
ка в канале с циркуляционным течением внутри
каверны.
Обсуждаемые здесь результаты расчетов вихре-
вой структуры течения выполнены на равномер-
ных сетках с шагами по пространству ∆x = ∆y =
0.02, при значении глубины каверны B = b/h=0.4
для трех вариантов ее длины L= l/b=1, 2, 4. Чис-
ло Рейнольдса изменялось в диапазоне 100 ≤ Re ≤
10000.
Используемый нами численный метод решения
нестационарных уравнений Навье–Стокса в пе-
ременных скорость–давление позволяет рассчи-
тывать мгновенные значения компонентов скоро-
сти и давления в зависимости от времени и основ-
ных параметров задачи, таких как число Рей-
нольдса и геометрических параметров каверны L
и B. Наряду с этим, ставилась также задача оце-
нить влияние формы профиля продольной скоро-
сти перед каверной на процесс формирования слоя
смешения и вихревую структуру течения внутри
каверны. С этой целью рассматривались два слу-
чая. В первом случае профиль продольной ско-
рости как в канале, так и непосредственно перед
каверной соответствовал развитому ламинарному
профилю Пуазейля, а во втором – профиль на вхо-
де в расчетную область был однородным. Поэто-
му в непосредственной близости перед каверной он
был более наполненным по сравнению с параболи-
ческим и похож на профиль для турбулентного по-
тока. Его расчетная форма при различных числах
Рейнольдса и длине каверны L хорошо прослежи-
30 Е. В. Бруяцкий, А. Г. Костин, Е. И. Никифорович
ISSN 1561 -9087 Прикладна гiдромеханiка. 2013. Том 15, N 3. С. 25 – 36
вается на приведенных далее рисунках.
Выполненные расчеты зависимости скорости и
давления от времени в выбранных реперных то-
чках в зоне расположения каверны показали, что
при малых числах Рейнольдса (Re ≤ 400) течение
еще устойчиво, а с ростом числа Re происходит
потеря его устойчивости и возникает нестационар-
ный режим течения. Ниже будут обсуждаться не-
которые из полученных результатов.
В качестве первого примера результатов расче-
та на рис. 2 показана общая картина течения в
виде изолиний равных скоростей в длинном кана-
ле с прямоугольной каверной при параболическом
(первые пять фрагментов вверху) и однородном
профиле скоростей на входе в канал (нижние пять
фрагментов) соответственно для пяти чисел Рей-
нольдса при глубине каверны B = 0.4 и ее дли-
не L=4. Чтобы продемонстрировать возможности
численной модели, на этих рисунках специально
выбрана большая длина расчетной области поза-
ди каверны с целью показать важные особенности
в изменении крупномасштабной структуры потока
в канале вдали от каверны при двух формах про-
филя скорости на входе в канал при различных
числах Рейнольдса.
Из рис. 2 отчетливо видно как с ростом числа Re
картина течения в изолиниях скорости перестраи-
вается от слоистой ламинарной структуры в не-
устойчивый волновой режим и далее напоминает
картину перехода в турбулентный режим. Расчеты
выполнены при длине канала, равной 40, и показа-
ли, что картина течения стабилизируется уже при
X =20.
В дальнейшем результаты расчетов, относящи-
еся к области течения вблизи и внутри каверны,
будут подробно рассмотрены в более крупном мас-
штабе.
В качестве второго примера результатов расче-
та на рис. 3 на верхних двух фрагментах при-
ведены расчетные профили продольной скорости
вдоль оси X в различных поперечных сечениях ка-
нала при числе Рейнольдса Re = 1000 для длины
каверны L = 2. На нижних двух фрагментах по-
казаны соответственно векторные поля скоростей.
При этом верхние фрагменты в обоих случаях со-
ответствуют параболическому начальному профи-
лю продольной скорости в сечении AB(X = 1),
а нижние – однородному начальному профилю.
Нетрудно заметить, что на верхних фрагментах
непосредственно перед началом каверны (X = 1)
профиль скорости имеет параболическую форму,
а во втором варианте (нижние фрагменты) перво-
начально однородный профиль скорости на участ-
ке 0 ≤ X ≤ 1 вследствие вязкого прилипания к
твердой стенке деформируется и становится похо-
жим на турбулентный профиль. Кроме того, на
рисунках видно, что вихревые структуры внутри
каверны при значении праметра L = 2 имеют зна-
копеременный профиль скорости.
Следующим шагом исследования было изучение
влияния геометрического параметра L на вихре-
вую структуру течения в каверне при двух раз-
личных числах Рейнольдса. На рис. 4 приведены
результаты расчетов в виде изолиний равных ско-
ростей для каверн с параметрами L = 1 и L = 2
при двух числах Рейнольдса. Эти расчеты нагля-
дно демонстрируют влияние числа Рейнольдса на
общую картину скоростного поля в зоне каверны
при двух вариантах формы профиля скорости пе-
ред каверной.
Сравнительный анализ приведенных на рис. 4
изолиний скорости показывает, что с ростом числа
Рейнольдса интенсивность циркуляционного тече-
ния увеличивается, а вихревая картина усложня-
ется.
Здесь фрагменты, расположенные сверху, соо-
тветствуют параболическому входному профилю,
а рисунки снизу соответствуют однородному вхо-
дному профилю. Эти рисунки выразительно де-
монстрируют качественное изменение циркуляци-
онной структуры течения в каверне с L = 1 по
отношению к каверне с L = 2. Особенно сложный
режим вихреобразования имеет место при числе
Re = 10000. Анализ полученных расчетных дан-
ных показывает, что для каверны с параметром
L = 2 длина развития слоя смешения больше, а
поэтому время взаимодействия основного потока
с вихревыми структурами в каверне оказывается
большим и это естественно отражается на процес-
се вихреобразования. Поэтому на рис. 5 допол-
нительно приведены фрагменты результатов ра-
счета изолиний полей скорости в зоне каверны с
длиной L = 4 при трех числах Рейнольдса. При
этом данные, приведенные на рис. 5 вверху, соо-
тветствуют параболическому профилю, а данные,
расположенные внизу, соответствуют однородно-
му начальному профилю продольной скорости в
канале.
Эти результаты расчетов, подобно изолиниям
тока, выразительно показывают многообразие ви-
хревых структур поля скоростей как внутри ка-
верны, так и за ее пределами. По изолиниям ско-
рости хорошо прослеживается и геометрия образо-
вания мелких вихревых структур, обусловленных
механизмом дробления локальных циркуляций в
зависимости от числа Рейнольдса.
Представление данных в виде изолиний рав-
ных скоростей с указанием на изолиниях числен-
Е. В. Бруяцкий, А. Г. Костин, Е. И. Никифорович 31
ISSN 1561 -9087 Прикладна гiдромеханiка. 2013. Том 15, N 3. С. 25 – 36
Рис. 2. Изолинии равных скоростей в плоском канале
при параболическом и однородном профилях
скорости на входе в канал при различных числах Re для τ = 100
ного значения скоростей позволяет отчетливо ви-
деть мелкие и крупные вихреобразования. При
этом легко просматриваются картина формирова-
ния слоя смешения и циркуляционное движение
внутрь каверны. На рис. 5 в правой верхней части
каверны видны "языки"проникновения внешней
жидкости внутрь каверны. С ростом числа Рей-
нольдса структура усложняется и хорошо визуа-
лизируется, как показано на рисунках. При этом
отчетливо видна различная картина изолиний в
случаях параболического и однородного входного
профиля.
В целом выполненные расчеты показали, что ха-
рактерной особенностью рассматриваемого тече-
ния является формирование сдвигового слоя сме-
шения в верхней части каверны после отрыва
основного потока от левой кромки каверны. Те-
чение в этом сдвиговом слое с ростом числа Рей-
32 Е. В. Бруяцкий, А. Г. Костин, Е. И. Никифорович
ISSN 1561 -9087 Прикладна гiдромеханiка. 2013. Том 15, N 3. С. 25 – 36
Рис. 3. Фрагменты профилей продольной скорости (два верхних фрагмента) и векторного поля скоростей
(два нижних фрагмента) для длины каверны L = 2 c параболическим (верхние) и однородным (нижние)
профилем скорости на входе в канал при числе Re = 1000 для τ = 100
Е. В. Бруяцкий, А. Г. Костин, Е. И. Никифорович 33
ISSN 1561 -9087 Прикладна гiдромеханiка. 2013. Том 15, N 3. С. 25 – 36
Рис. 4. Фрагмены расчетных изолиний равных скоростей в каверне с L = 1 и L = 2; B=0.4) при
параболическом (слева) и однородном (справа) профилем скорости на входе в канал
при Re = 1000, 10000 для τ = 100
нольдса становится неустойчивым по отношению
к малым возмущениям в соответствии с механи-
змом Кельвина–Гельмгольца и течение в зоне та-
кой каверны вызывает значительные пульсации
скорости и давления, увеличивая локальное сопро-
тивление и возможности возникновения резонан-
сных колебаний.
Профили продольной скорости внутри каверны
являются знакопеременными из-за наличия цир-
куляционных течений внутри каверны. При этом
в зависимости от геометрии каверны (L=1, 2, 4) и
числа Рейнольдса в канале формируется своя ви-
хревая структура течения в каверне, которая мо-
жет быть крупновихревой, а может и дробиться
на мелкие вихри, которые обеспечивают наличие
пульсации скорости и давления в каверне и в зоне
смешения.
Для режима течения с числом Рейнольдса Re=
1000 на рис. 5 наблюдается один большой вихрь,
который при B =0.4 и L=4, занимает почти 60%
объема каверны, центр которого находится в пра-
вой части каверны и хорошо виден визуально. С
ростом числа Рейнольдса вихревая структура те-
чения существенно изменяется и переходит в мно-
говихревую структуру, которая показана на соо-
тветствующих рисунках.
Представленные результаты расчетов полей ско-
рости в виде их профилей, фрагментов векторных
полей и изолиний скоростей наглядно показыва-
ют картину формирования вихревых структур в
зависимости от формы профиля скорости перед
каверной, параметра ее длины L и от числа Рей-
нольдса.
34 Е. В. Бруяцкий, А. Г. Костин, Е. И. Никифорович
ISSN 1561 -9087 Прикладна гiдромеханiка. 2013. Том 15, N 3. С. 25 – 36
Рис. 5. Изолинии равных скоростей в прямоугольной каверне (L = 4, B = 0.4) с параболическим (два верхних
фрагмента) и однородным (два нижних фрагмента) профилем скорости на входе в канал при трех числах
Рейнольдса для τ = 100
ВЫВОДЫ
С помощью численного моделирования исследо-
вано двумерное течение несжимаемой жидкости в
плоском канале с прямоугольной каверной, распо-
ложенной на нижней стенке канала. Изучено вли-
яние двух форм профиля продольной скорости пе-
ред каверной на вихревые структуры течения вну-
три каверны при различных числах Рейнольдса
для трех вариантов геометрии каверны.
Результаты расчетов полей скоростей и вихре-
вых структур широко представлены в графиче-
Е. В. Бруяцкий, А. Г. Костин, Е. И. Никифорович 35
ISSN 1561 -9087 Прикладна гiдромеханiка. 2013. Том 15, N 3. С. 25 – 36
ской форме для каверн с глубиной B = 0.4 для
трех вариантов ее относительной длины L=1, 2, 4
при числах Рейнольдса Re = 400÷10000. Показа-
но, что в зависимости от параметра длины кавер-
ны L в ней образуются один, два и больше вихре-
вых систем. Их центры и размеры хорошо видны
на приведенных рисунках. При всех трех параме-
трах длины каверны существуют крупномасшта-
бные циркуляционные образования внутри кавер-
ны, структура и размер которых зависит от геоме-
трии каверны, профиля скорости перед каверной
и от числа Рейнольдса. Основная крупномасшта-
бная вихревая система образуется у задней верти-
кальной стенки прямоугольной каверны при всех
числах Re и вращается по часовой стрелке.
При L = 1 течение в каверне характеризуется
одним большим вихрем. При соотношении сторон
каверны L = 2 течение характеризуется наличи-
ем двух вихревых структур. Течение в прямоу-
гольной каверне с соотношением сторон L = 4
характеризуется образованием нескольких вихре-
вых структур в зависимости от числа Рейнольд-
са. Рост числа Рейнольдса для каверн с L = 2 и
L = 4 вызывает потерю устойчивости течения в
слое смешения и приводит к возникновению неста-
ционарного режима течения в зоне каверны. Ука-
занные результаты имеют место для обоих форм
профилей продольной скорости перед каверной.
Однако тонкая вихревая структура при этом ра-
злична. Это различие возрастает с ростом числа
Рейнольдса.
Авторы глубоко признательны академику В. Т.
Гринченко за ценные советы и поддержку работы
при ее обсуждении.
1. Ермишина А. В. и Исаева С. А. Управление обте-
канием тел с вихревыми ячейками в приложении к
летательным аппаратам интегральной компонов-
ки (численное и физическое моделирование).– М.:
СПб., 2001.– 360 с.
2. Воропаев Г. А., Воскобойник А. В., Воскобой-
ник В. А., Гринченко В. Т., Исаев С. А., Розум-
нюк Н. В. Источники псевдозвуковых пульсаций
давления при обтекании сферической лунки //
Акустичний вiсник.– 2008.– Вып. 11, № 3.– С. 27–
49.
3. Исаев С. А., Баранов П. А., Кудрявцев Н. А., Уса-
чев А. Е. Анализ вихревого теплообмена при по-
перечном обтекании траншеи на плоскости с помо-
щью моноблочных вычислительных технологий и
различных полуэмпирических моделей турбулен-
тности // Инженерно-физический журнал.– 2004.–
Вып. 77, № 4.– С. 53–63.
4. Быстров Ю. А., Исаев С. А., Кудрявцев Н. А., Ле-
онтьев А. И. Численное моделирование вихревой
интенсификации теплообмена в пакетах труб.– М.:
СПб:Судостроение, 2005.– 392 с.
5. Воропаев Г. А., Воскобойник А. В., Воскобой-
ник В. А., Исаев С. А. Визуализация ламинарно-
го обтекания овального углубления // Прикладна
гiдромеханiка.– 2009.– Т. 11, № 4.– С. 31–46.
6. Халатов А. А. Вихревые технологии аэротермоди-
намики в энергетическом газотурбостроении.– К.:
НАНУ, Ин-т техн. Теплофизики, 2006.– 291 с.
7. Cавельев А. Д. О влиянии задней кромки кавер-
ны на интенсивность пульсаций потока // МЖГ.–
2001.– № 3.– С. 79–89.
8. Pereira J. C. F., Sonsa J. M. M. Experimental
and numerical investigation of flow oscillations in a
rectangular cavity // J. Fluids Engng.– 1995.– 117.–
P. 68–73.
9. Shang K., Constantinescu G., Park S. Analis of the
flow and mass transfer processes for the incompressi-
ble flow past an open cavity with a laminar and
fully turbulent incoming boundary layer // Journal
of Fluid Mechanics.– 2006.– 561,№ 116.– P. 113–145.
10. Воропаев Г. А., Розумнюк Н. В. Численное мо-
делирование вязкого течения над поверхностью с
углублением // Прикладна гiдромеханiка.– 2004.–
Вып. 6, № 78.– С. 17–23.
11. Розумнюк Н. В. Мгновенные и осредненные ха-
рактеристики вязкого потока около прямоуголь-
ной каверны // Прикладна гiдромеханiка.– 2007.–
Вип. 9, № 81.– С. 49–58.
12. Воропаев Г. А., Розумнюк Н. В. Управление
течением в каверне с помощью периодическо-
го вдува // Прикладна гiдромеханiка.– 2010.–
Вип. 12(84), № 3.– С. 3–11.
13. Синха С. Н., Гупта А. К., Оберай М. М. Лами-
нарное обтекание уступов и каверн. Часть II. Об-
текание каверн // Ракетн. техн. и космонавтика.–
1982.– Т. 20, № 4.– С. 78–83.
14. Mercan H., Atalik K. Vortex formation in lid-driven
are-shape cavity flows at high Reynolds numbers //
European J. of Mechanics B/Fluids.– 2009.– 28.–
P. 61–71.
15. Бруяцкий Е. В., Костин А. Г., Никифорович Е. И.,
Розумнюк Н. В. Метод численного решения
уравнений Навье-Стокса в переменных скорость-
давление // Прикладна гiдромеханiка.– 2008.–
Вып. 10(82), № 2.– С. 13–23.
16. Бруяцкий Е. В., Костин А. Г. Численное исследо-
вание течения жидкости в закрытой прямоуголь-
ной полости с движущейся верхней крышкой //
Прикладна гiдромеханiка.– 2009.– Вып. 11(83),
№ 1.– С. 3–15.
17. Бруяцкий Е. В., Костин А. Г. Прямое числен-
ное моделирование течения в плоском внеза-
пно расширяющемся канале на основе уравне-
ний Навье-Стокса // Прикладна гiдромеханiка.–
2010.– Вып. 12(84), № 1.– С. 11–27.
18. Флетчер К. Вычислительные методы в динамике
жидкостей.– M.: Мир, 1991.– 1.-501,2.-552 с.
19. Харлоу Ф. Х. Численный метод частиц в ячейках
для задач гидродинамики, Вычислительные мето-
ды в гидродинамике.– M.: Мир, 1967.– 316–342 с.
20. Самарский А. А. Теория разностных схем.– M.:
Наука, 1977.– 656 с.
21. Патанкар С. Численные методы решения задач те-
плообмена и динамики жидкости.– M.: Энергоато-
миздат, 1984.– 152 с.
36 Е. В. Бруяцкий, А. Г. Костин, Е. И. Никифорович
|