Модели компактных компенсированных вихревых течений с винтовой симметрией

Представлены одномерные модели компактных компенсированных вихревых течений с винтовой симметрией. Выполнено сравнение с существующими моделями и предложены области их применения....

Повний опис

Збережено в:

Бібліографічні деталі
Дата:	2013
Автор:	Лукьянов, П.В.
Формат:	Стаття
Мова:	Russian
Опубліковано:	Інститут гідромеханіки НАН України 2013
Назва видання:	Прикладна гідромеханіка
Теми:	Науковi статтi
Онлайн доступ:	http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/116443
Теги:	Додати тег Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
Назва журналу:	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
Цитувати:	Модели компактных компенсированных вихревых течений с винтовой симметрией / П.В. Лукьянов // Прикладна гідромеханіка. — 2013. — Т. 15, № 3. — С. 37-42. — Бібліогр.: 15 назв. — рос.

Репозитарії

Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine

id	irk-123456789-116443
record_format	dspace
spelling	irk-123456789-1164432017-04-27T03:02:36Z Модели компактных компенсированных вихревых течений с винтовой симметрией Лукьянов, П.В. Науковi статтi Представлены одномерные модели компактных компенсированных вихревых течений с винтовой симметрией. Выполнено сравнение с существующими моделями и предложены области их применения. Представлені одновимірні моделі компактних компенсованих вихрових течій з гвинтовою симетрією. Виконано порівняння з відомими моделями та запропоновані області їхнього застосування. One-dimensional models for compact compensated vortex flows with helical symmetry have been presented. The comparison of the models with the known ones has been carried out. The application areas of these models have been pointed out. 2013 Article Модели компактных компенсированных вихревых течений с винтовой симметрией / П.В. Лукьянов // Прикладна гідромеханіка. — 2013. — Т. 15, № 3. — С. 37-42. — Бібліогр.: 15 назв. — рос. 1561-9087 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/116443 301.17.15.13, 551.465 ru Прикладна гідромеханіка Інститут гідромеханіки НАН України
institution	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
collection	DSpace DC
language	Russian
topic	Науковi статтi Науковi статтi
spellingShingle	Науковi статтi Науковi статтi Лукьянов, П.В. Модели компактных компенсированных вихревых течений с винтовой симметрией Прикладна гідромеханіка
description	Представлены одномерные модели компактных компенсированных вихревых течений с винтовой симметрией. Выполнено сравнение с существующими моделями и предложены области их применения.
format	Article
author	Лукьянов, П.В.
author_facet	Лукьянов, П.В.
author_sort	Лукьянов, П.В.
title	Модели компактных компенсированных вихревых течений с винтовой симметрией
title_short	Модели компактных компенсированных вихревых течений с винтовой симметрией
title_full	Модели компактных компенсированных вихревых течений с винтовой симметрией
title_fullStr	Модели компактных компенсированных вихревых течений с винтовой симметрией
title_full_unstemmed	Модели компактных компенсированных вихревых течений с винтовой симметрией
title_sort	модели компактных компенсированных вихревых течений с винтовой симметрией
publisher	Інститут гідромеханіки НАН України
publishDate	2013
topic_facet	Науковi статтi
url	http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/116443
citation_txt	Модели компактных компенсированных вихревых течений с винтовой симметрией / П.В. Лукьянов // Прикладна гідромеханіка. — 2013. — Т. 15, № 3. — С. 37-42. — Бібліогр.: 15 назв. — рос.
series	Прикладна гідромеханіка
work_keys_str_mv	AT lukʹânovpv modelikompaktnyhkompensirovannyhvihrevyhtečenijsvintovojsimmetriej
first_indexed	2025-07-08T10:24:13Z
last_indexed	2025-07-08T10:24:13Z
_version_	1837073962495901696
fulltext	ISSN 1561 -9087 Прикладна гiдромеханiка. 2013. Том 15, N 3. С. 37 – 42 УДК 301.17.15.13, 551.465 МОДЕЛИ КОМПАКТНЫХ КОМПЕНСИРОВАННЫХ ВИХРЕВЫХ ТЕЧЕНИЙ С ВИНТОВОЙ СИММЕТРИЕЙ П. В. Л УК Ь ЯН О В Институт гидромеханики НАН Украины, Киев 03680 Киев – 180, МСП, ул. Желябова, 8/4 pavel_lukianov@bigmir.net Получено 07.02.2012 Представлены одномерные модели компактных компенсированных вихревых течений с винтовой симметрией. Выполнено сравнение с существующими моделями и предложены области их применения. КЛЮЧЕВЫЕ СЛОВА: изолированный гауссиан, квазиточечный вихрь Представленi одновимiрнi моделi компактних компенсованих вихрових течiй з гвинтовою симетрiєю. Виконано порiвняння з вiдомими моделями та запропонованi областi їхнього застосування. КЛЮЧОВI СЛОВА: iзольований гауссiан, квазiточковий вихор One-dimrnsional models for compact compensated vortex flows with helical simmetry have been presented. The comparison of the models with the known ones has been carried out. These models areas’ usings have been pointed out. KEY WORDS: isolated Gaussian, quasi-point vortex ВВЕДЕНИЕ В данной работе рассматриваются модели, опи- сывающие компактные вихревые течения с вин- товой симметрией. Для задач, где область тече- ния имеет конечный размер в радиальном направ- лении, компенсированность вихря [1 – 3] позволя- ет удовлетворить граничное условие прилипания на стенках. Поэтому, подобно течению Тейлора- Куэтта между двумя концентрическими цилин- драми, приведенные ниже модели можно исполь- зовать и как решение в рамках модели вязкой жидкости, и как решение без учета вязкости, за- давая на неподвижных границах не равные ну- лю значения скорости. Для безграничной области используется модель, основанная на распределе- нии в виде изолированного гауссиана и по своей сути является приближениями реальных нестаци- онарных компактных вихрей, которые наблюдаю- тся с помощью современной спутниковой и другой измерительной техники. Ее можно использовать для приближенного задания начального поля те- чения и последующего численного решения задачи на установление и дальнейшую эволюцию вихря. В работе автора [4] был рассмотрен класс компа- ктных винтовых вихрей (вихревых течений). Для цилиндрических вихрей компенсированность [2] обеспечивает конечный размер области вращаю- щейся жидкости. В природе существует и другой вид течений – с винтовой симметрией. Это та- кие вихревые течения, поля всех величин в кото- рых сохраняются вдоль винтовой линии, описыва- ющейся следующими соотношеними [5]: r = const, z − θl = const (1) с шагом винтовой симметрии h = 2πl. При l > 0 течение называют с правой винтовой симметрией, при l < 0 – с левой. Указанные течения изучались в работах [6 – 9]. Однако в этих исследованиях поле скорости, а заодно и другие связанные с ней поля, не яв- ляются компактными. Бесконечная кинетическая энергия, получающаяся соглано приведенным там полям скорости, может быть объяснена как ре- зультат действия источника конечной мощности в течение бесконечно долгого времени (стационар- ное приближение). В реальных условиях выхода на стационарный режим течения происходит уста- новление динамического равновесия между прои- зводством количества движения и его диссипаци- ей, что обеспечивает конечность энергии движе- ния. 1. ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ В монографии [5] дан подробный вывод уравне- ний, описывающих течения с винтовой симметри- ей. Приведем лишь полученное там соотношение между продольной Vz и азимутальной Vθ компо- c© П. В. Лукьянов, 2013 37 ISSN 1561 -9087 Прикладна гiдромеханiка. 2013. Том 15, N 3. С. 37 – 42 нентами скорости для таких течений: Vz = V 0 z − r l Vθ, (2) где r – радиальная координата; l – константа вин- товой симметрии. Поскольку в соотношении (2) на азимутальную компоненту скорости не наложено никаких огра- ничений, то можно рассмотреть ряд моделей те- чений с винтовой симметрией. Так, в [5] указывае- тся, что поле Vθ может быть как осесиммтричным, так и неосесимметричным. В данной работе будут рассмотрены лишь модели осесимметричных ви- хревых течений с винтовой симметрией. По дру- гому их еще называют вихрями с прямолинейной осью [5]. Все приведенные ниже одномерные моде- ли вихрей с винтовой симметрией удовлетворяют уравнениям Гельмгольца, преобразуя их в тожде- ства. Что касается граничных условий, то модель, основанная на изолированном Гауссиане, имеет эк- споненциальное убывание и может быть использо- вана лишь для описания вихрей в безграничной области. Все остальные приведенные модели мож- но использовать как для приближенного описания свободных вихрей, так и для точного описания те- чений в круглых каналах (см. введение). В данное время известна модель течения с вин- товой симмметрией, основанная на поле азиму- тальной скорости в виде [5] Vθ = Γ 2πr [ 1 − exp ( − r2 ε2 )] (3) с соответсвующим полем продольной скорости Vz = V 0 z − Γ 2πl [ 1 − exp ( − r2 ε2 )] , (4) где ε – некоторая константа, связанная с масшта- бом вихря. Однако эта модель имеет два существенных не- достатка. Во-первых, поле азимутальной скорости всегда некомпактно – с асимтотитой в виде точе- чного вихря. И, как следствие, во-вторых, кинети- ческая энергия такого течения есть бесконечность, что нефизично. Приведенный профиль азимуталь- ной скорости можно использовать лишь для опи- сания течения в трубе в рамках невязкой моде- ли, поскольку граничное условие прилипания не выполняется. Таким образом, в литературе отсутствуют моде- ли компактных вихревых течений с винтовой сим- метрией. Исходя из сказанного выше, целью дан- ной работы является разработка моделей компа- ктных осесимметричных вихревых течений с вин- товой симметрией, основанных на полученных ра- нее зависимостях для компактных компенсирован- ных полей азимутальной скорости. 2. ПРОСТЕЙШИЕ МОДЕЛИ КОМПА- КТНЫХ ВИХРЕВЫХ ТЕЧЕНИЙ С ВИНТО- ВОЙ СИММЕТРИЕЙ Модель 1. На основе изолированного Гауссиана. Если не принимать во внимание нестационар- ный характер автомодельных решений, описываю- щих ламинарную и турбулентную диффузию ви- хря, можно в качестве начального приближения поля азимутальной компоненты скорости исполь- зовать решение в виде изолированного Гауссина- на: Vθ = r 2 exp ( − r2 2 ) . (5) В соответствии с указанным решением (5), а также соотношением (2), поле продольной скоро- сти, в компактном вихре с винтовой симметрией, имеет следующий вид: Vz = − r2 2l exp ( − r2 2 ) . (6) Решение (6) описывает компактное по Сэффме- ну [10] поле продольной компоненты скорости в тех задачах, где на оси отсутвует движение вооб- ще (рис. 1). Поля всех характеристик во внешней области течения экспоненциально быстро убыва- ют с ростом расстояния от оси вращения. Все последующие модели описывают течения в конечных в радиальном направлении областях. Модель 2. На основе квазиточечного вихря. Эта простая модель описывает течение в тру- бе радиуса R, у которого азимутальная скорость имеет вид квазиточечного вихря [3]: Vθ = Γ 2πr ( 1 − r2 R2 ) , 0 < r ≤ R. (7) С учетом соотношения (2), радиальное распре- деление продольной скорости в таком течении опи- сывается как Vz = V 0 z − Γ 2πl ( 1 − r2 R2 ) , 0 < r ≤ R. (8) 38 П. В. Лукьянов ISSN 1561 -9087 Прикладна гiдромеханiка. 2013. Том 15, N 3. С. 37 – 42 В данной модели на оси вихря азимутальная скорость имеет особенность, как в точечном ви- хре. Полагая первое слагаемое в (8) равным нулю, получаем компактное вихревое течение с винтовой симметрией (рис. 1): вне радиуса вихря r > R те- чение отсутствует вообще. На оси вращения про- дольная скорость имеет постоянное значение: Vz(r = 0) = − Γ 2πl . Выражение (8), равно как и (6), отчетливо ука- зывает на то, что знак продольной скорости на оси зависит от вида винтовой симметрии – правой или левой (см. выше). Представленное распределение продольной скорости совпадает с известным пара- болическим законом ламинарного течения жидко- сти по прямолинейной трубе с круглым сечением. Модель 3. На основе компактного компенсиро- ванного вихря. Распределение азимутальной скорости в таком вихре имеет вид [2, 3]: Vθ =        V0r a , 0 ≤ r ≤ a, V0a ( R2 − r2 ) (R2 − a2)r , a ≤ r ≤ R. (9) В соответствии с выражениями (2), (9), продоль- ная компонента скорости описывается следующи- ми соотношениями: Vz =        V 0 z − V0r 2 al , 0 ≤ r ≤ a, V 0 z − V0a ( R2 − r2 ) lR2 , a ≤ r ≤ R. (10) Представленное решение можно использовать для задач, где на границе (r = R ) продольная скорость равна нулю. Для этого нужно положить V 0 z = 0, что характеризует отсутствие продольной скорости на оси вращения, равно как на внешней границе (стенке). Выражение для продольной ско- рости физически может соответствовать течению в цилиндрической области, вдоль оси которой на- ходится достаточно тонкий (нулевой толщины) ци- линдр или проволока, на поверхности которых бу- дет выполняться условие прилипания. Очень близкой к приведенному распределению азимутальной скорости является формула Эскю- дье, интерполирующая экспериментальные дан- ные [12, 13]: Vθ = Γ 2πr [ 1 − exp ( − r2 R2 ∗ )] + ωr 2 , (11) Рис. 1. Распределения продольной скорости: I – соответсвует соотношению (6), II – соотношению (8); Γ = 3, R = 5, a = 2, l = 1 где ω, R∗ – некоторые константы. В работах [12,13] ничего не сказано об этих константах. И исполь- зовалась она для аппроксимации течения, у кото- рого на оси и на границе продольная скорость не равна нулю. Здесь же используем понятие функ- ции компенсированности [14]: Int(r) = r ∫ 0 ωzrdr = Vθr, (12) согласно которому условием конечности размера вихря есть равентсво: Int(r = R) = 0. Применяя его к соотношению (11), получаем: Vθ = Γ 2πr [ 1 − exp ( − r2 R2 ∗ )] − − Γ 2πR2 [ 1 − exp ( − R2 R2 ∗ )] r. (13) Выражение (13) отсутствует в литературе и приводится впервые. Распределение азимутальной скорости можно трактовать как компенсирован- ный вихрь Бюргерса-Лэмба-Озеена. На рис. 2 при- веден его график. Поле продольной скорости в течении с винтовой симметрией, соответствующее (13), имеет следую- щий вид: Vz = − Γ 2πl [ 1 − exp ( − r2 R2 ∗ )] + П. В. Лукьянов 39 ISSN 1561 -9087 Прикладна гiдромеханiка. 2013. Том 15, N 3. С. 37 – 42 + Γ 2πR2l [ 1 − exp ( − R2 R2 ∗ )] r2. (14) Рис. 2. Продольная (a) и азимутальная (b) компоненты скорости в модели 3: I соответствует (10), II – (14), Γ = 10, V0 = 1, R = 5, l = 1, R∗ = 2 На рис. 2 представлен его график. Преимуще- ство полученного решения в cглаженности поля скорости: азимутальная скорость теперь описыва- ется не составным вихрем (компактным компенси- рованным), а более сложной зависимостью, у кото- рой на всем протяжении вихря есть две различные компоненты завихренности, интегрально компен- сирующие друг друга. Модель 4. На основе полого (кольцевого) компа- ктного компенсированного вихря. Когда течение жидкости происходит в области между двумя цилиндрическими поверхностями с внутренней границей некоторого ненулевого ради- уса, поле азимутальной скорости и завихренности можно, в качестве невязких приближений, аппро- ксимировать полым компактным компенсирован- ным вихрем [2, 5]: Vθ =                        Ω0 ( r2 − r2 0 ) 2r , r0 ≤ r ≤ r0 + a, Ω0 2r ( (r0 + a)2 − r2 0 ) − − Ω0 2r ( (r0 + a) 2 − r2 0 ) ( r2 − (r0 + a) 2 ) ( (r0 + R) 2 − (r0 + a) 2 ) = 0, r0 + a ≤ r ≤ r0 + R. Поле продольной скорости в вихре с винтовой симметрией тогда примет вид: Vz =                        − Ω0 ( r2 − r2 0 ) 2l , r0 ≤ r ≤ r0 + a, − Ω0 2l ( (r0 + a) 2 − r2 0 ) + + Ω0 2l ( (r0 + a)2 − r2 0 )( r2 − (r0 + a)2 ) ( (r0 + R) 2 − (r0 + a) 2 ) = 0 r0 + a ≤ r ≤ r0 + R. Также как и в предыдущем случае, данную модель дополним компенсированным сглаженным аналогом. Для области r0 ≤ r ≤ r0 + R имеем: Vθ = Γ 2π(r − r0) [ 1 − exp ( − (r − r0) 2 R2 ∗ )] − − Γ 2πR2 [ 1 − exp ( − R2 R2 ∗ )] (r − r0). (15) Vz = − Γr 2πl(r − r0) [ 1 − exp ( − (r − r0) 2 R2 ∗ )] + + Γ 2πR2l [ 1 − exp ( − R2 R2 ∗ )] (r − r0)r. (16) Графические зависимости для выражений (15) и (16) не приводятся ввиду подобности соответ- ствующих решений для случая нулевого диаметра внутреннего цилиндра. Модель 5. На основе компактного компенсиро- ванного вихря с противотечением. Наконец, рассмотрим модель, у которой поле азимутальной скорости описывается следующими соотношениями: 40 П. В. Лукьянов ISSN 1561 -9087 Прикладна гiдромеханiка. 2013. Том 15, N 3. С. 37 – 42 Vθ =                          0.5Ω0r, 0 ≤ r ≤ a, Ω0a 2 + Ω1 ( r2 − a2 ) 2r , a ≤ r ≤ R1, Ω0a 2 + Ω1 ( R2 1 − a2 ) 2r − − [ Ω0a 2 + Ω1 ( R2 1 − a2 )] ( r2 − R2 1 ) 2r (R2 2 − R2 1 ) , R1,≤ r ≤ R2. Соответствующие выражения для поля про- дольной скорости суть: Vz =                              −0.5 Ω0r 2 l , 0 ≤ r ≤ a, − Ω0a 2 + Ω1 ( r2 − a2 ) 2l , a ≤ r ≤ R1, − Ω0a 2 + Ω1 ( R2 1 − a2 ) 2l + + [ Ω0a 2 + Ω1 ( R2 1 − a2 )] ( r2 − R2 1 ) 2l (R2 2 − R2 1 ) , R1 ≤ r ≤ R2. Рис. 3. Продольная скорость, соответствующая компенсированному вихрю с противотечением Ω0 = 1, Ω1 = −1, R1 = 3, R2 = 5, a = 2, l = 1 На рис. 3 предсталено распредление продоль- ной компоненты скорости. Видно, что внутрення и внешняя области находятся в противотечении. На внешней границе области обе компоненты ско- рости строго равны нулю. Приведенная модель соответсвует наблюдающимся в эксперименте зо- нам противотечения продольной компоненты ско- рости. ЗАКЛЮЧЕНИЕ И ВЫВОДЫ Приведен ряд простейших одномерных моделей компактных осесимметричных вихревых течений с винтовой симметрией. В отличие от использовав- шихся ранее моделей, где поле одной из компонент скорости было некомпактным, все, без исключе- ния, полученные аналитические выражения опи- сывают полностью компактные поля скорости. Во- первых, течение в виде изолированного гауссиана можно использовать для приближенного описания наблюдающихся в природе реальных нестационар- ных компактных вихрей с целью задания началь- ных условий или для аппроксимации на относи- тельно малых масштабах времени. Во-вторых, все остальные модели компенсированных вихрей со- ответствуют течениям с винтовой симметрией в круглых каналах (трубах). Эти модели можно использовать при описании различных течений в рамках указанных ограни- чений, где наблюдается винтовая симметрия и ось вихря прямолинейна. Автор выражает глубокую признательность докт. физ.-мат. наук А.Г. Стеценко за ряд крити- ческих замечаний, которые были учтены при до- работке статьи. 1. Козлов В.Ф. Стационарные модели бароклинных компенсированных вихрей. // Известия АН ФАО.– 1992.– т.28, № 6.– С. 615-624. 2. Лукьянов П.В. Модели компактных компенсиро- ванных вихрей и их применение в задачах меха- ники жидкости и газа // Прикл.гiдром.– 2011.– Т. 13 (85), №2.– С. 37-43. 3. Лук’янов П.В. Одновимiрнi моделi компактних ви- хрiв // Науковi вiстi НТУУ КПI.– 2010.– №4 (72).– С. 145-150. 4. Лукьянов П.В. Компактные винтовые вихри // Прикл.гiдром.– 2011.– Т. 13 (85), №3.– С. 61-68. 5. Алексеенко С.В. , Куйбин П.А., Окулов В.Л. Введение в теорию концентрированных вихрей.– Новосибирск: Институт теплофизики СО РАН, 2003.– 503 с. 6. Park, W., Monticello, D.A. & White, R.B. Reconnection of magnetic fields including the effects of viscosity // Phys. Fluids.– 1984.– 27.– P. 137-149. 7. Landman, M.J. On the generation of helical waves in circular pipe flow // Phys. Fluids.– 1990.– A2.– P. 738-747. 8. David G. Dritschel Generalized helical Beltrami flows in hydrodynamics and magnetohydrodynamics // J. Fluid. Mech.– 1991.– vol. 222.– P. 525-541. 9. Alekseenko S.V., Kuibin P.A., Okulov V.L., Stork S.I. Helical vortices in swirl flow // J. Fluid Mech.– 1999.– vol. 382.– P. 195-243. П. В. Лукьянов 41 ISSN 1561 -9087 Прикладна гiдромеханiка. 2013. Том 15, N 3. С. 37 – 42 10. Сэффмэн Ф.Дж. Динамика вихрей.– М.: Наука, 2000.– 402 с. 11. Лук’янов П.В. Модель квазiточкового вихору // Науковi вiстi НТУУ КПI.– 2011.– №4 (78).– С. 139- 142. 12. Лейбович С. Устойчивость и разрушение ви- хрей:современное состояние и перспективы // Аэрокосм. текника.– 1985.– Т. 3, № 4.– С. 162-181. 13. Escudier M.P., Borstein J., and Maxworthy T. The Dynamics of Confined Vortices // Proceeding of the Royal Society of London.– 1982.– V. A382.– P. 335- 360. 14. Лукьянов П. В. Квазикомпактные вихреисточник и вихресток // Прикл.гiдром.– 2012.– Т. 14 (86), №1.– С. . 15. Шторк С.И. Экспериментальное исследование ви- хревых структур в тангенциальных камерах // Дисс. канд. физ.-мат. наук .– Новосибирск: ИТ СО РАН, 1994.– 156 с. 42 П. В. Лукьянов

Модели компактных компенсированных вихревых течений с винтовой симметрией

Репозитарії

Схожі ресурси