Бифуркации установившихся автоколебаний гибких пластин при взаимодействии с потенциальным газовым течением
Для исследования автоколебаний тонкостенных пластинок, взаимодействующих с потенциальным газовым потоком, используются гиперсингулярные интегральные уравнения относительно аэродинамических производных перепада давления. Геометрически нелинейное деформирование пластинок описываeтся уравнениями фон Ка...
Gespeichert in:
| Datum: | 2014 |
|---|---|
| Hauptverfasser: | , , , |
| Format: | Artikel |
| Sprache: | Russian |
| Veröffentlicht: |
Інститут гідромеханіки НАН України
2014
|
| Schriftenreihe: | Прикладна гідромеханіка |
| Schlagworte: | |
| Online Zugang: | http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/116461 |
| Tags: |
Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Zitieren: | Бифуркации установившихся автоколебаний гибких пластин при взаимодействии с потенциальным газовым течением / К.В. Аврамов, Ю.В. Михлин, В.Н. Романенко, А.А. Киреенков // Прикладна гідромеханіка. — 2014. — Т. 16, № 1. — С. 3-9. — Бібліогр.: 7 назв. — рос. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
irk-123456789-116461 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
irk-123456789-1164612017-04-28T03:02:32Z Бифуркации установившихся автоколебаний гибких пластин при взаимодействии с потенциальным газовым течением Аврамов, К.В. Михлин, Ю.В. Романенко, В.Н. Киреенков, А.А. Науковi статтi Для исследования автоколебаний тонкостенных пластинок, взаимодействующих с потенциальным газовым потоком, используются гиперсингулярные интегральные уравнения относительно аэродинамических производных перепада давления. Геометрически нелинейное деформирование пластинок описываeтся уравнениями фон Кармана. Аэроупругое поведение конструкции сводится к нелинейной динамической системе относительно обобщенных координат колебаний пластинки. Полученная система исследуется численным методом пристрелки в сочетании с алгоритмом продолжения. Для дослідження автоколивань тонкостінних пластинок, що взаємодіють з потенційною газовою течією, використовуються гіперсингулярні інтегральні рівняння відносно аеродинамічних похідних перепаду тиску. Геометрично нелінійне деформування пластинок описується рівняннями фон Кармана. Аеропружна поведінка конструкцій зводиться до нелінійної динамічної системи відносно узагальнених координат коливань пластин. Отримана система досліджується чисельними методом пристрілки в сполучені з алгоритмом продовження. Singular integral equations with respect to aerodynamic derivatives of pressure drop are used to investigate self-sustained vibrations of plates interacting with potential gas flow. Geometrical nonlinear plate deformations are described by Von Karman equations. Aeroelastic behavior of the structure is reduced to the nonlinear dynamical system with respect to the plate general coordinates. The obtained dynamical system are analyzed by combination of shooting technique and continuation method. 2014 Article Бифуркации установившихся автоколебаний гибких пластин при взаимодействии с потенциальным газовым течением / К.В. Аврамов, Ю.В. Михлин, В.Н. Романенко, А.А. Киреенков // Прикладна гідромеханіка. — 2014. — Т. 16, № 1. — С. 3-9. — Бібліогр.: 7 назв. — рос. 1561-9087 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/116461 532.595 ru Прикладна гідромеханіка Інститут гідромеханіки НАН України |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| language |
Russian |
| topic |
Науковi статтi Науковi статтi |
| spellingShingle |
Науковi статтi Науковi статтi Аврамов, К.В. Михлин, Ю.В. Романенко, В.Н. Киреенков, А.А. Бифуркации установившихся автоколебаний гибких пластин при взаимодействии с потенциальным газовым течением Прикладна гідромеханіка |
| description |
Для исследования автоколебаний тонкостенных пластинок, взаимодействующих с потенциальным газовым потоком, используются гиперсингулярные интегральные уравнения относительно аэродинамических производных перепада давления. Геометрически нелинейное деформирование пластинок описываeтся уравнениями фон Кармана. Аэроупругое поведение конструкции сводится к нелинейной динамической системе относительно обобщенных координат колебаний пластинки. Полученная система исследуется численным методом пристрелки в сочетании с алгоритмом продолжения. |
| format |
Article |
| author |
Аврамов, К.В. Михлин, Ю.В. Романенко, В.Н. Киреенков, А.А. |
| author_facet |
Аврамов, К.В. Михлин, Ю.В. Романенко, В.Н. Киреенков, А.А. |
| author_sort |
Аврамов, К.В. |
| title |
Бифуркации установившихся автоколебаний гибких пластин при взаимодействии с потенциальным газовым течением |
| title_short |
Бифуркации установившихся автоколебаний гибких пластин при взаимодействии с потенциальным газовым течением |
| title_full |
Бифуркации установившихся автоколебаний гибких пластин при взаимодействии с потенциальным газовым течением |
| title_fullStr |
Бифуркации установившихся автоколебаний гибких пластин при взаимодействии с потенциальным газовым течением |
| title_full_unstemmed |
Бифуркации установившихся автоколебаний гибких пластин при взаимодействии с потенциальным газовым течением |
| title_sort |
бифуркации установившихся автоколебаний гибких пластин при взаимодействии с потенциальным газовым течением |
| publisher |
Інститут гідромеханіки НАН України |
| publishDate |
2014 |
| topic_facet |
Науковi статтi |
| url |
http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/116461 |
| citation_txt |
Бифуркации установившихся автоколебаний гибких пластин при взаимодействии с потенциальным газовым течением / К.В. Аврамов, Ю.В. Михлин, В.Н. Романенко, А.А. Киреенков // Прикладна гідромеханіка. — 2014. — Т. 16, № 1. — С. 3-9. — Бібліогр.: 7 назв. — рос. |
| series |
Прикладна гідромеханіка |
| work_keys_str_mv |
AT avramovkv bifurkaciiustanovivšihsâavtokolebanijgibkihplastinprivzaimodejstviispotencialʹnymgazovymtečeniem AT mihlinûv bifurkaciiustanovivšihsâavtokolebanijgibkihplastinprivzaimodejstviispotencialʹnymgazovymtečeniem AT romanenkovn bifurkaciiustanovivšihsâavtokolebanijgibkihplastinprivzaimodejstviispotencialʹnymgazovymtečeniem AT kireenkovaa bifurkaciiustanovivšihsâavtokolebanijgibkihplastinprivzaimodejstviispotencialʹnymgazovymtečeniem |
| first_indexed |
2025-07-08T10:25:51Z |
| last_indexed |
2025-07-08T10:25:51Z |
| _version_ |
1837074067135397888 |
| fulltext |
ISSN 1561 -9087 Прикладна гiдромеханiка. 2014. Том 16, N 1. С. 3 – 9
УДК 532.595
БИФУРКАЦИИ УСТАНОВИВШИХСЯ АВТОКОЛЕБАНИЙ
ГИБКИХ ПЛАСТИН ПРИ ВЗАИМОДЕЙСТВИИ
С ПОТЕНЦИАЛЬНЫМ ГАЗОВЫМ ТЕЧЕНИЕМ
К. В. А ВРА МОВ∗, Ю. В. М И ХЛ И Н∗, В. Н. РОМ АН Е Н К О∗, А. А. К И РЕ ЕН К ОВ∗∗
∗Институт проблем машиностроения им. А.Н. Подгорного НАН Украины,
61046, Харьков, ул.Д.Пожарского, 2/10
∗∗Институт проблем механики РАН,
119526, Москва, пр. Вернадского, д.101, корп.1
kvavr@kharkov.ua
Получено 07.07.2013 � Пересмотрено 12.11.2013
Для исследования автоколебаний тонкостенных пластинок, взаимодействующих с потенциальным газовым потоком,
используются гиперсингулярные интегральные уравнения относительно аэродинамических производных перепада
давления. Геометрически нелинейное деформирование пластинок описываeтся уравнениями фон Кармана. Аэроу-
пругое поведение конструкции сводится к нелинейной динамической системе относительно обобщенных координат
колебаний пластинки. Полученная система исследуется численным методом пристрелки в сочетании с алгоритмом
продолжения.
КЛЮЧЕВЫЕ СЛОВА: сингулярные интегральные уравнения, геометрически нелинейное деформирование пластин-
ки, хаотические колебания
Для дослiдження автоколивань тонкостiнних пластинок, що взаємодiють з потенцiйною газовою течiєю, викори-
стовуються гiперсiнгулярнi iнтегральнi рiвняння вiдносно аеродинамiчних похiдних перепаду тиску. Геометрично
нелiнiйне деформування пластинок описується рiвняннями фон Кармана. Аеропружна поведiнка конструкцiй зво-
диться до нелiнiйної динамiчної системи вiдносно узагальнених координат коливань пластин. Отримана система
дослiджується чисельними методом пристрiлки в сполученi з алгоритмом продовження.
КЛЮЧОВI СЛОВА: cингулярнi iнтегральнi рiвняння, геометрично нелiнiйне деформування пластин, хаотичнi ко-
ливання
Singular integral equations with respect to aerodynamic derivatives of pressure drop are used to investigate self-sustained
vibrations of plates interacting with potential gas flow. Geometrical nonlinear plate deformations are described by Von
Karman equations. Aeroelastic behavior of the structure is reduced to the nonlinear dynamical system with respect to
the plate general coordinates. The obtained dynamical system are analyzed by combination of shooting technique and
continuation method.
KEY WORDS: singular integral equation, plate straining with geometrical nonlinearity, chaotic vibrations
ВВЕДЕНИЕ
Много усилий сделано для исследования колеба-
ний тонкостенных конструкций, взаимодействую-
щих с потенциальным газовым течением. Подро-
бный обзор публикаций на эту тему представлен
в статье [1]. В большинстве публикаций, посвя-
щенных этим вопросам, поток предполагается по-
тенциальным. Для описания взаимодействия пла-
стин с газовым потоком используются гиперсин-
гулярные интегральные уравнения относительно
плотности циркуляции. В этом случае, с задней
кромки пластинки сходят вихри, которые движу-
тся по течению. Влияние таких вихрей на колеба-
ния пластин учитывается в большинстве моделей,
что приводит к необходимости учета переходных
процессов, возникающих при колебаниях пластин-
ки. При применении такого подхода не удается
использовать конструктивные методы нелинейной
динамики, к которым относится метод гармониче-
ского баланса, численный метод решения двухто-
чечной краевой задачи. Такие методы рассмотре-
ны в монографии [2].
Для применения конструктивных методов нели-
нейной динамики к рассматриваемым системам,
гиперсингулярные интегральные уравнения запи-
сываются относительно аэродинамических прои-
зводных перепада давления. Тогда не учитываю-
тся вихри, сходящие с задней кромки пластинки.
Поэтому можно исследовать установившиеся ав-
токолебания системы с помощью конструктивных
методов нелинейной динамики.
1. ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ
Рассмотрим консольную пластинку, взаимодей-
ствующую с газовым потоком. Если пластинка
находится в области флаттера, то она, в основ-
c© К. В. Аврамов, Ю. В. Михлин, В. Н. Романенко, А. А. Киреенков, 2014 3
ISSN 1561 -9087 Прикладна гiдромеханiка. 2014. Том 16, N 1. С. 3 – 9
Рис. 1. Пластина, обтекаемая газовым течением
ном, совершает геометрически нелинейное дефор-
мирование [1]. Подчеркнем, что граничные усло-
вия на свободной стороне являются нелинейными
функциями относительно перемещений пластины.
Колебания пластинки в потенциальном газовом
потоке с учетом перечисленных выше факторов
будут рассмотрены в этой статье. Для описания
геометрически нелинейного деформирования пла-
стинки используем ее поперечные перемещения
w(x, y, t) и функцию напряжений Φ(x, y, t). То-
гда колебания пластинки описываются двумя не-
линейными уравнениями в частных производных
фон Кармана:
D∇4w + ch ẇ + ρ h ẅ + ∆ p = (1)
=
∂2Φ
∂y2
∂2w
∂x2
− 2
∂2Φ
∂y∂x
∂2w
∂x∂y
+
∂2Φ
∂x2
∂2w
∂y2
;
1
Eh
∇4Φ =
(
∂2w
∂x∂y
)2
−
∂2w
∂x2
∂2w
∂y2
, (2)
где ẇ =
∂ w
∂ t
; ∇4w =
∂4w
∂ x4
+2
∂4w
∂ x2∂y2
+
∂4w
∂ y4
; D−
цилиндрическая жесткость; E, ν−модуль Юнга и
коэффициент Пуассона; ρ− плотность материала
пластинки; h−толщина пластинки; c− коэффици-
ент линейного демпфирования; ∆ p− перепад дав-
лений, действующий на пластинку со стороны по-
тока.
Граничные условия пластинки разделим на гра-
ничные условия изгиба и мембранные граничные
условия [3]. Граничные условия изгиба представим
так:
w(x, 0) =
∂ w(x, 0)
∂ y
= 0;
Qy +
∂MY X
∂ x
∣
∣
∣
∣
y=b
= MY |y=b = 0 ;
MX |x=0 = QX +
∂MXY
∂y
∣
∣
∣
∣
x=0
= 0 ;
MX |x=a = QX +
∂MXY
∂y
∣
∣
∣
∣
x=a
= 0 ,
(3)
где u, v− перемещение точек срединной плоско-
сти пластинки вдоль осей x и y; MX ,MY ,MXY −
изгибающие и крутящие моменты; QX , QY − попе-
речные силы в пластинке.
Мембранные усилия связаны с функцией напря-
жений Φ следующими зависимостями:
NX =
∂2Φ
∂y2
; NY =
∂2Φ
∂ x2
; NX Y = −
∂2Φ
∂ x ∂ y
.
Мембранные усилия можно определить через
перемещения точек срединной поверхности так:
NX =
Eh
1 − ν2
[
∂ u
∂ x
+
1
2
(
∂ w
∂ x
)2
+ ν
∂ v
∂ y
+
ν
2
(
∂ w
∂ y
)2
]
;
NY =
Eh
1 − ν2
[
∂ v
∂ y
+
1
2
(
∂ w
∂ y
)2
+ ν
∂ u
∂ x
+
ν
2
(
∂ w
∂ x
)2
]
;
NXY =
Eh
2(1 + ν)
[
∂ u
∂ y
+
∂ v
∂ x
+
∂ w
∂ x
∂ w
∂ y
]
. (4)
Теперь рассмотрим мембранные граничные
условия для мембранных усилий NX , NY , NXY .
Если мембранные граничные условия записать
через перемещения u, v, w, используя соотноше-
ния (4), то они будут нелинейными. Эти грани-
чные условия преобразуются в линейные, если их
представить относительно функции напряжений
Φ. Конечно, легче решать задачу с линейными гра-
ничными условиями. Поэтому, в данной статье, в
качестве основных неизвестных выбраны Φ и w.
Анализ граничных условий для функции напря-
жений Φ консольной пластинки подробно рассма-
тривается в [3]. Эти граничные условия принима-
ют следующий вид:
∂2Φ
∂y2
∣
∣
∣
∣
y=0
=
∂3Φ
∂y3
∣
∣
∣
∣
y=0
= 0 ;
Φ|y=b =
∂Φ
∂y
∣
∣
∣
∣
y=b
= 0 ;
Φ|x=0 =
∂Φ
∂ x
∣
∣
∣
∣
x=0
= 0 ;
Φ|x=a =
∂Φ
∂ x
∣
∣
∣
∣
x=a
= 0 . (5)
Изгибные колебания пластинки разложим по соб-
ственным формам колебаний ψj(x, y) так:
w(x, y, t) =
N1
∑
j=1
qj(t)ψj(x, y) , (6)
4 К. В. Аврамов, Ю. В. Михлин, В. Н. Романенко, А. А. Киреенков
ISSN 1561 -9087 Прикладна гiдромеханiка. 2014. Том 16, N 1. С. 3 – 9
где qj(t)− обобщенные координаты. Функцию на-
пряжений Φ разложим по базисным функциям,
которые удовлетворяют граничным условиям (5):
Φ =
N2
∑
j=1
N3
∑
ν=1
θj ν(t)Fj ν(x, y) . (7)
В этой работе предполагается, что колебания
пластинки близки к моногармоническим:
qj(t) ≈ γj cos (ω t)+ δj sin (ω t) ; j = 1, ..., N1 . (8)
Пластина обтекается трехмерным потенциаль-
ным несжимаемым течением. На значительном
расстоянии от пластинки поток имеет постоянную
скорость U∞, параллельную оси x. Потенциал ско-
ростей и давление потока удовлетворяют уравне-
ниям Лапласа: ∇2ϕ = 0 ; ∇2p = 0. Рассмотрим
граничные условия для этих уравнений. Возмуще-
ния в скорости газового потока вдали от пластин-
ки стремиться к нулю. Поэтому выполняется сле-
дующее граничное условие: lim
x2+y2+z2→∞
gradϕ = 0.
Граничное условие непротекания представим так:
∂ϕ
∂z
∣
∣
∣
∣
z=0
=
∂ w
∂ t
+ U∞
∂ w
∂ x
. (9)
Перепад давлений
∆ p(x, y, t) = p(x , y, z)|z=0+ − p(x , y, z)|z=0−
на границе пластинки ∂S обращается в нуль:
∆p|∂S = 0.
2. СИНГУЛЯРНЫЕ ИНТЕГРАЛЬНЫЕ
УРАВНЕНИЯ ОТНОСИТЕЛЬНО
АЭРОДИНАМИЧЕСКИХ ПРОИЗВОДНЫХ
ДАВЛЕНИЯ
Потенциал скоростей и давления потока пред-
ставим через аэродинамические производные так
[5]:
ϕ (x, y, z, t) =
N1
∑
j=1
[
ϕ
(0)
j (x, y, z)qj(t)+
+ ϕ
(1)
j (x, y, z)q̇j(t)
]
, (10)
p(x, y, z, t) =
N1
∑
j=1
[
p
(0)
j (x, y, z)qj(t)+
+ p
(1)
j (x, y, z)q̇j(t)
]
. (11)
Подчеркнем, что потенциал скоростей и давле-
ния раскладываются по обобщенным координатам
и обобщенным скоростям пластинки. Отметим,
что аэродинамические производные ϕ
(k)
j (x, y, z) и
p
(k)
j (x, y, z) удовлетворяют уравнениям Лапласа:
∇2ϕ
(k)
j = 0 ; (12)
∇2p
(k)
j = 0 ; k = 0, 1; j = 1, ..., N1 . (13)
Здесь индекс j указывает на номер собственной
моды колебаний, которая индуцирует давление.
Решение уравнения Лапласа (13) представим в ви-
де потенциала двойного слоя так [6]:
p
(k)
j (x , y , z) =
1
4 π
∫
S
∫
∆ p
(k)
j (x1 , y1)
[
∂
∂ z1
(
1
r
)]
z1=0
d x1d y1 ,
(14)
где r =
√
(x− x1)
2 + (y − y1)
2 + (z − z1)
2;
S− область, занимаемая срединной плоскостью
пластинки;∆ p
(k)
j (x1, y1) = p
(k)
j
∣
∣
∣
Z1=0+
− p
(k)
j
∣
∣
∣
Z1=0−
– аэродинамические производные перепада давле-
ния на пластинке. Рассматриваемое течение удов-
летворяет уравнению Бернулли:
p(x, y, z) = −ρ∞
(
∂ϕ
∂ t
+ U∞
∂ϕ
∂ x
)
, (15)
где ρ∞−плотность газа. Уравнение Бернулли (15)
для аэродинамических производных (10), (11)
принимает следующий вид:
U∞
∂ϕ
(0)
j
∂ x
− ω2 ϕ
(1)
j = −
p
(0)
j
ρ∞
;
U∞
∂ϕ
(1)
j
∂ x
+ ϕ
(0)
j = −
p
(1)
j
ρ∞
. (16)
Используя метод вариаций произвольных посто-
янных, решение системы (16) представим так:
ϕ
(1)
j (x, y, z) =
= −
1
U∞ρ∞ω
x
∫
−∞
[
ω p
(1)
j (ξ, y, z) cos
(
ω
U∞
(ξ − x)
)
+
+p
(0)
j (ξ, y, z)si n
(
ω
U∞
(ξ − x)
)]
dξ ;
ϕ
(0)
j (x, y, z) =
=
1
U∞ρ∞
x
∫
−∞
[
− p
(0)
j (ξ, y, z) cos
(
ω
U∞
(ξ − x)
)
+
+ω p
(1)
j (ξ, y , z) cos
(
ω
U∞
(ξ − x)
)]
dξ .
(17)
К. В. Аврамов, Ю. В. Михлин, В. Н. Романенко, А. А. Киреенков 5
ISSN 1561 -9087 Прикладна гiдромеханiка. 2014. Том 16, N 1. С. 3 – 9
Граничное условие непроницания (9) для аэро-
динамических производных принимает следую-
щий вид:
∂ϕ
(0)
j
∂ z
∣
∣
∣
∣
∣
z=0
= U∞
∂ψj
∂x
;
∂ϕ
(1)
j
∂ z
∣
∣
∣
∣
∣
z=0
= ψj . (18)
Уравнение (14) введем в (17), а результат учтем в
(18). В итоге получим следующую систему сингу-
лярных интегральных уравнений:
4 π U2
∞
ρ∞
∂ψj (x, y)
∂ x
=
= −ω
∫∫
S
∆ p
(1)
j (x1, y1)KS(x− x1, y − y1)dx1dy1+
+
∫∫
S
∆ p
(0)
j (x1, y1)KC(x − x1, y − y1)dx1dy1 ;
4 π U∞ρ∞ωψj (x, y) =
= ω
∫∫
S
∆ p
(1)
j (x1, y1)KC(x − x1, y − y1)dx1dy1+
+
∫∫
S
∆ p
(0)
j (x1, y1)KS(x− x1, y − y1)dx1dy1 ,
(19)
где
KC(x− x1, y − y1) =
= −
x−x1
∫
−∞
cos
ω (λ+ x1 − x)
U∞
[λ2 + (y − y1)2]
3/2
dλ ;
KS(x− x1, y − y1) =
= −
x−x1
∫
−∞
sin
ω (λ+ x1 − x)
U∞
[λ2 + (y − y1)2]
3/2
dλ .
К системе уравнений (19) применим следующие
безразмерные переменные и параметры:
χ =
ω a
U∞
; λ̄ =
λ
a
; x̄1 =
x1
a
; ȳ1 =
y1
b
;
x̄ =
x
a
; ȳ =
y
b
; r =
a
b
; τ = ω t ; ϑi =
qi
h
; (20)
KS =
a K̄S
b3
; KC =
aK̄C
b3
;
∆ p̄
(1)
j =
ω a∆p
(1)
j
ρ∞U2
∞
; ∆ p̄
(0)
j =
a∆p
(0)
j
ρ∞U2
∞
,
где χ− число Струхаля. В результате получим
систему уравнений, аналогичную (19) относитель-
но безразмерных переменных и параметров. Тогда
второе уравнение (19) продифференцируем по x̄ и
результат введем в первое уравнение. В результате
получим:
∫∫
S̄
∆p̄
(1)
j (x̄1, ȳ1)dx̄1dȳ1
[r2(x̄− x̄1)2 + (ȳ − ȳ1)2]
3/2
=
= −
8πχ
r2
∂ψj(x̄, ȳ)
∂x̄
. (21)
Теперь первое уравнение системы (19) продиф-
ференцируем по x̄ и результат введем во второе
уравнение системы (19). В результате получим:
∫∫
S̄
∆p̄
(0)
j (x̄1, ȳ1)dx̄1dȳ1
[r2(x̄− x̄1)2 + (ȳ − ȳ1)2]
3/2
=
=
4π
r2
[
χ2ψj(x̄, ȳ) −
∂2ψj(x̄, ȳ)
∂x̄2
]
.
(22)
Динамическое поведение пластин в потоке га-
за исследуется при различных значениях числа
Струхаля. Полученная система сингулярных ин-
тегральных уравнений (21), (22) зависит от числа
Струхаля. Поэтому при исследовании автоколеба-
ний пластин приходится решать систему гипре-
сингулярных интегральных уравнений (21), (25)
при различных значениях числа χ. Это приводит
к значительным вычислительным затратам. Для
избежание этого недостатка получим систему ги-
персингулярных интегральных уравнений, кото-
рая не содержит число Струхаля. Для этого к си-
стеме (21), (22) применим следующую замену пе-
ременных:
∆ p̄
(1)
j = χ∆ p̂
(1)
j ; ∆ p̄
(0)
j = χ2∆ p̂
(0)
j + ∆p̃
(0)
j .
В результате получим следующую систему син-
гулярных интегральных уравнений:
∫∫
S̄
∆ p̂
(1)
j (x̄1, ȳ1)dx̄1dȳ1
[r2(x̄− x̄1)2 + (ȳ − ȳ1)2]
3/2
= −
8π
r2
∂ψj(x̄, ȳ)
∂x̄
;
r2
4π
∫∫
S̄
∆ p̂
(0)
j (x̄1, ȳ1)dx̄1dȳ1
[r2(x̄− x̄1)2 + (ȳ − ȳ1)2]
3/2
= ψj(x̄, ȳ) ;
(23)
r2
4π
∫∫
S̄
∆ p̃
(0)
j (x̄1, ȳ1)dx̄1dȳ1
[r2(x̄− x̄1)2 + (ȳ − ȳ1)2]
3/2
= −
∂2ψj(x̄, ȳ)
∂x̄2
.
Итак, нами получена система трех гиперсингу-
лярных интегральных уравнений (23). Для ее ре-
шения применим метод дискретных вихрей в фор-
ме, представленной в [1].
6 К. В. Аврамов, Ю. В. Михлин, В. Н. Романенко, А. А. Киреенков
ISSN 1561 -9087 Прикладна гiдромеханiка. 2014. Том 16, N 1. С. 3 – 9
3. НЕЛИНЕЙНАЯ ДИНАМИЧЕСКАЯ
МОДЕЛЬ С КОНЕЧНЫМ ЧИСЛОМ
СТЕПЕНЕЙ СВОБОДЫ
Колебания пластинки, взаимодействующей с га-
зовым потоком, опишем нелинейной динамической
системой с конечным числом степеней свободы,
которая выводится методом Бубнова–Галеркина.
Для этого изгибные колебания пластинки раскла-
дываются по собственным формам колебаний (6).
Собственные формы колебаний ψj(x, y) опреде-
ляются из анализа консольной пластинки мето-
дом Релея-Ритца. Рассмотрим выбор базисных
функций в разложении функции напряжений (7).
Следуя [3], базисные функции представим так:
Fjν(x, y) = φj(x)ϕν(y), где φj(x)− собственные
формы колебаний защемленного с двух сторон
стержня; ϕν(y)−собственные формы консольного
стержня. Выбор такого вида базисных функций
определяется граничными условиями (5). Разло-
жения (6),(7) введем в уравнения (2) и восполь-
зуемся методом Бубнова–Галеркина. В результате
получим систему линейных алгебраических урав-
нений относительно обобщенных координат θjν(t):
N2
∑
j=1
N3
∑
ν=1
A r l j νθjν =
N1
∑
i1,i2=1
Br l i1 i2qi1qi2 ;
r = 1, ..., N2 ; l = 1, ..., N3 ,
(24)
где
Ar l j ν =
∫
S
∇4F j νF r ld x dy ;
Br l i1i2 = Eh
∫
S
(ψi1,xyψi2,xy − ψi1,xxψi2,yy)Frldxdy .
Решая систему линейных алгебраических уравне-
ний (24), функцию напряжений представим в виде
квадратичной формы обобщенных координат по-
перечных перемещений пластинки:
Φ =
N1
∑
i1,i2=1
Gi1i2(x, y) qi1qi2 . (25)
Полученную функцию напряжений (25) введем
в уравнение (1) и применим метод Бубнова–
Галеркина. В результате получим нелинейную ди-
намическую систему относительно обобщенных
координат поперечных перемещений пластины:
N1
∑
i=1
ρ h Ij i
(
q̈i +
c
ρ
q̇i + ω2
i qi
)
+
N1
∑
i=1
(
P
(0)
j i qi + P
(1)
j i q̇i
)
+
+
N1
∑
i,i1,i2=1
χj i i1 i2qiqi1qi2 = 0 , (26)
где
Ij i =
∫
S
ψi ψjdx dy ;
P
(0)
j i =
∫
S
∆ p
(0)
i (x, y)ψjdx dy ;
P
(1)
j i =
∫
S
∆ p
(1)
i (x, y)ψjdx dy ;
χj i i1 i2 =
=
∫
S
{2Gi1i2,xyψi,xy −Gi1i2,yyψi,xx −Gi1i2,xxψi,yy}ψjdxdy;
ωi− собственные частоты линейных колебаний
пластинки. Приведем динамическую систему (26)
к следующим безразмерным переменным и пара-
метрам:
x̄ =
x
a
; ȳ =
y
b
; τ = ω t ; ϑi =
qi
h
; (27)
∆ p̄
(1)
j =
ω a∆p
(1)
j
ρ∞U2
∞
; ∆ p̄
(0)
j =
a∆p
(0)
j
ρ∞U2
∞
; χ1 =
ω1a
U∞
.
Динамическая система (26) примет следующий
вид:
N1
∑
i=1
Rj i
(
χ2ϑ′′i + αχ2ϑ′i + χ2
1Ω
2
iϑi
)
+
+ε
N1
∑
i=1
(
χ2π1,jiϑi+ + π2,jiϑi + χπ3,jiϑ
′
i)+ (28)
+χ2
1
N1
∑
i,i1,i2=1
αj i i1i2ϑiϑi1ϑi2 = 0,
где
ϑ′i =
dϑi
dτ
; αjii1i2 =
hχjii1i2
bρ ω2
1a
; ε =
aρ∞
hρ
;
α =
c
ω ρ
; Ωj =
ωj
ω1
;
Rji =
∫
S
ψiψjdx̄dȳ ; π=
1,ji
∫
S
∆ p̂
(0)
i ψjdx̄dȳ ;
π=
2,ji
∫
S
∆ p̃
(0)
i ψjdx̄dȳ ; π=
3,ji
∫
S
∆ p̃
(1)
i ψjdx̄dȳ .
К. В. Аврамов, Ю. В. Михлин, В. Н. Романенко, А. А. Киреенков 7
ISSN 1561 -9087 Прикладна гiдромеханiка. 2014. Том 16, N 1. С. 3 – 9
4. ЧИСЛЕННЫЙ АНАЛИЗ
АВТОКОЛЕБАНИЙ
Для исследования автоколебаний решалась дву-
хточечная краевая задача для системы нелиней-
ных дифференциальных уравнений (28). Для это-
го использовался метод пристрелки в сочетании с
алгоритмом продолжения решения по параметру.
Такое сочетание методов рассмотрено в [2].
В дальнейшем исследуем пластинку-флаг, рас-
смотренную в [7]. В этом случае исследуется кон-
сольная пластинка, защемленная сторона кото-
рой перпендикулярны направлению газового те-
чения. Выберем параметры пластинки, ранее рас-
смотренные в [7]:
a = 0.27 м ; b = 0.127 м ; α = 0.1 ; h = 0.39 · 10−3 м ;
ρ = 2.84 · 103 кг
/
м3 ; ρ∞ = 1.43 кг
/
м3;
E = 70.56 · 109 Па ; ν = 0.3 .
Для расчета собственных частот колебаний
консольной пластинки применялся метод Рэлея-
Ритца. Собственные частоты колебаний этой пла-
стинки в Гц таковы:
ω1 = 4.471 ; ω2 = 20.09 ; ω3 = 27.85; ω4 = 65.19 ;
ω5 = 78.10 ;ω6 = 124.23; ω7 = 134.86 ; ω8 = 154.49.
Анализировалась потеря устойчивости состоя-
ния равновесия пластинки. Для этого исследова-
лась устойчивость тривиального состояния равно-
весия системы (28), в которой отбрасывались не-
линейные слагаемые. Было обнаружено, что при
χ
(H)
1 = 0.25 ; χ = 1.09 наблюдается бифуркация
Хопфа, а в области χ1 < χ
(H)
1 наблюдаются неу-
стойчивые состояния равновесия. При χ1 > χ
(H)
1
состояние равновесия пластинки является устой-
чивым. В точке бифуркации Хопфа χ1 = χ
(H)
1 ро-
ждаются автоколебания, которые будут исследо-
ваться в дальнейшем. Отметим, что на основании
расчетов, представленных в [7], бифуркация Хо-
пфа наблюдается при χ
(H)
1 = 0.257 ; χ = 1.29.
Итак, результаты расчетов потери устойчивости
пластины, полученные нами и в статье [7], близ-
ки.
Для исследования устойчивости и бифурка-
ций автоколебаний пластинки применяется метод
пристрелки. Результаты расчетов приведены на
рис. 2. Устойчивое состояние равновесия пластин-
ки наблюдается при χ
(H)
1 < χ1. В точке H1 при
χ1 = χ
(H)
1 возникает бифуркация Хопфа и от со-
стояния равновесия пластинки отделяются устой-
чивые периодические колебания. Вследствие этой
Рис. 2. Бифуркационная диаграмма автоколебаний
пластинки
бифуркации состояния равновесия пластинки ста-
новятся неустойчивыми. Неустойчивые состояния
равновесия показываются штриховой линией, а
устойчивые – сплошной. Устойчивые автоколеба-
ния пластинки существуют вплоть до точки H2,
где наблюдается бифуркация Неймарка–Сакера
[2]. Эта бифуркация наблюдается при χ1 = χ
(2)
1 .
При дальнейшем квазистатическом уменьшении
χ1 периодические автоколебания являются неу-
стойчивыми. На рис. 2 штрих-пунктирной линией
приводятся результаты расчетов, полученные ме-
тодом гармонического баланса. До точки H2 пове-
дение, полученное методом пристрелки и методом
гармонического баланса, близко. Однако далее ре-
зультаты расчетов, полученные методом гармони-
ческого баланса, существенно отличаются от ре-
ального поведения системы.
Для исследования динамического поведения
при значениях χ1 < χ
(2)
1 проводилось прямое
численное интегрирование динамической системы
(28) из начальных условий неустойчивых колеба-
ний, представленных на рис. 2. Для определения
вида установившихся колебаний рассчитывались
сечения Пуанкаре. Для этого использовалась сле-
дующая плоскость в фазовом пространстве систе-
мы:
Σ =
{(
ϑ1, ..., ϑ8, ϑ̇1, ..., ϑ̇8
)
∈ R16
∣
∣ ϑ̇1 = 0
}
.
Результаты расчета сечений Пуанкаре представ-
лены на рис. 3. По их виду делается вывод о ви-
де установившихся колебаний. Сразу за бифур-
кационной точкой H2 наблюдаются почти пери-
одические колебания. В качестве примера сече-
ния Пуанкаре почти периодических колебаний при
8 К. В. Аврамов, Ю. В. Михлин, В. Н. Романенко, А. А. Киреенков
ISSN 1561 -9087 Прикладна гiдромеханiка. 2014. Том 16, N 1. С. 3 – 9
0.6
0.8
1
1.2
1.4
1.6
1.8
0.6 0.7 0.8 0.9 1 1.1 1.2 1.3
a
-4.00
-3.00
-2.00
-1.00
0.00
1.00
2.00
3.00
0.00 1.00 2.00 3.00 4.00 5.00 6.00
b
Рис. 3. Сечения Пуанкаре почти периодических и
хаотических колебаний, полученные при следующем
значении χ1:
a – χ1=0.23035 ; b – χ1 =0.2293
χ1 = 0.23035 приводятся на рис. 3,а. На этом ри-
сунке представлено 1200 точек. При дальнейшем
уменьшении χ1 почти периодические колебания
преобразуются в хаотические. В качестве приме-
ра, сечения Пуанкаре хаотических колебаний при
χ1 = 0.2293 приводятся на рис. 3, b.
ВЫВОДЫ
В статье предложен метод исследования аэро-
упругих колебаний пластин, взаимодействующих
с потенциальным, несжимаемым газовым пото-
ком. Для исследования установившихся автоколе-
баний получена система сингулярных интеграль-
ных уравнений относительно аэродинамических
производных перепада давлений, которая опи-
сывает взаимодействие пластины с газовым пото-
ком.
Аэроупругие автоколебания пластины сведены
к нелинейной динамической системе с конечным
числом степеней свободы. Для исследования пери-
одических автоколебаний используется метод при-
стрелки в сочетании с методом продолжения, ко-
торый позволяет исследовать устойчивость и би-
фуркации периодических автоколебаний. С помо-
щью этого подхода исследована бифуркация Хо-
пфа и Неймарка–Сакера. В результате бифурка-
ции Неймарка–Сакера возникают почти периоди-
ческие колебания, которые преобразуются в хао-
тические.
Эта работа частично поддержана грантом Наци-
ональной академии наук Украины II-66-12 и гран-
том Президента Украины для докторов наук Ф47/
430-2012.
1. Avramov K. V., Strel’nikova E. A., Pierre C.
Resonant many-mode periodic and chaotic self-
sustained aeroelastic vibrations of cantilever plates
with geometrical nonlinearities in incompressible
flow // Nonlinear Dynamics.– 2012.– 70, N 2.–
P. 1335-1354.
2. Аврамов К.В., Михлин Ю.В Нелинейная динами-
ка упругих систем.– М.-Ижевск: НИЦ “Регуляр-
ная и хаотическая динамика”, 2010.– 704 с.
3. Stavridis. L.T. Dynamic analysis of shallow shells of
rectangular base // Journal of Sound and Vibration.–
1998.– 218, No. 5.– P. 861–882.
4. Фын Я.Ц. Введение в теорию аэроупругости.– М.:
ГИФМЛ, 1950.– 424 с.
5. Белоцерковский С.М., Скрипач Б.К. Аэродина-
мические производные летательного аппарата и
крыла при дозвуковых скоростях.– М.: Физматгиз,
1975.– 423 с.
6. Кантор Б.Я., Стрельникова Е.А. Гиперсингуляр-
ные интегральные уравнения в задачах механи-
ки сплошной среды.– Харьков: Новое слово, 2005.–
253 с.
7. Tang D. M., Yamamoto H., Dowell E. H. Flutter and
limit cycle oscillations of two-dimensional panels in
three-dimensional axial flow // Journal of Fluids and
Structures.– 2003.– N 17.– P. 225–242.
К. В. Аврамов, Ю. В. Михлин, В. Н. Романенко, А. А. Киреенков 9
|