Устойчивость свободной поверхности вязкой намагничивающейся жидкости при многопараметрическом возбуждении

Рассматриваются задачи параметрической и статической неустойчивостей свободной поверхности вязкой нелинейно намагничивающейся жидкости и динамической стабилизации такого рода неустойчивостей с помощью осциллирующих магнитных и гравитационного полей. Предполагается, что жидкость находится в произволь...

Повний опис

Збережено в:

Бібліографічні деталі
Дата:	2014
Автори:	Пацегон, Н.Ф., Поцелуев, С.И.
Формат:	Стаття
Мова:	Russian
Опубліковано:	Інститут гідромеханіки НАН України 2014
Назва видання:	Прикладна гідромеханіка
Теми:	Науковi статтi
Онлайн доступ:	http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/116482
Теги:	Додати тег Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
Назва журналу:	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
Цитувати:	Устойчивость свободной поверхности вязкой намагничивающейся жидкости при многопараметрическом возбуждении / Н.Ф. Пацегон, С.И. Поцелуев // Прикладна гідромеханіка. — 2014. — Т. 16, № 3. — С. 36-51. — Бібліогр.: 22 назв. — рос.

Репозитарії

Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine

id	irk-123456789-116482
record_format	dspace
spelling	irk-123456789-1164822017-04-29T03:02:45Z Устойчивость свободной поверхности вязкой намагничивающейся жидкости при многопараметрическом возбуждении Пацегон, Н.Ф. Поцелуев, С.И. Науковi статтi Рассматриваются задачи параметрической и статической неустойчивостей свободной поверхности вязкой нелинейно намагничивающейся жидкости и динамической стабилизации такого рода неустойчивостей с помощью осциллирующих магнитных и гравитационного полей. Предполагается, что жидкость находится в произвольно ориентированном к ее свободной поверхности магнитном поле, которое состоит из постоянной и осциллирующей частей, а также под воздействием модулированного гравитационного ускорения. Исследуется структура областей неустойчивости для свободной поверхности феррожидкости, которая параметрически возбуждается полигармоническим воздействием. Розглядаються задачі параметричної та статичної нестійкостей вільної поверхні в'язкої рідини, що нелінійно намагнічується, а також динамічної стабілізації такого роду нестійкостей за допомогою осцилюючих магнітних та гравітаційного полів. Припускається, що рідина знаходиться в довільно орієнтованому до її вільної поверхні магнітному полі, яке складається з постійної та осцилюючої частин, а також під впливом модульованого гравітаційного прискорення. Досліджується структура областей нестійкості для вільної поверхні феррорідини, яка параметрично збуджується полігармонічною дією. The problem of parametric and static instabilities of the free surface of viscous nonlinear magnetizable fluid and dynamic stabilization of such instabilities using oscillating magnetic and gravitational fields is considered. It is assumed that the fluid is in an arbitrarily oriented towards its free surface magnetic field, that is consist of a constant and the oscillating parts, as well as under the influence of modulated gravitational acceleration. The structure of the instability regions for the free surface of a ferrofluid, which is parametrically excited by polyharmonic impact is investigated. 2014 Article Устойчивость свободной поверхности вязкой намагничивающейся жидкости при многопараметрическом возбуждении / Н.Ф. Пацегон, С.И. Поцелуев // Прикладна гідромеханіка. — 2014. — Т. 16, № 3. — С. 36-51. — Бібліогр.: 22 назв. — рос. 1561-9087 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/116482 537.84 ru Прикладна гідромеханіка Інститут гідромеханіки НАН України
institution	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
collection	DSpace DC
language	Russian
topic	Науковi статтi Науковi статтi
spellingShingle	Науковi статтi Науковi статтi Пацегон, Н.Ф. Поцелуев, С.И. Устойчивость свободной поверхности вязкой намагничивающейся жидкости при многопараметрическом возбуждении Прикладна гідромеханіка
description	Рассматриваются задачи параметрической и статической неустойчивостей свободной поверхности вязкой нелинейно намагничивающейся жидкости и динамической стабилизации такого рода неустойчивостей с помощью осциллирующих магнитных и гравитационного полей. Предполагается, что жидкость находится в произвольно ориентированном к ее свободной поверхности магнитном поле, которое состоит из постоянной и осциллирующей частей, а также под воздействием модулированного гравитационного ускорения. Исследуется структура областей неустойчивости для свободной поверхности феррожидкости, которая параметрически возбуждается полигармоническим воздействием.
format	Article
author	Пацегон, Н.Ф. Поцелуев, С.И.
author_facet	Пацегон, Н.Ф. Поцелуев, С.И.
author_sort	Пацегон, Н.Ф.
title	Устойчивость свободной поверхности вязкой намагничивающейся жидкости при многопараметрическом возбуждении
title_short	Устойчивость свободной поверхности вязкой намагничивающейся жидкости при многопараметрическом возбуждении
title_full	Устойчивость свободной поверхности вязкой намагничивающейся жидкости при многопараметрическом возбуждении
title_fullStr	Устойчивость свободной поверхности вязкой намагничивающейся жидкости при многопараметрическом возбуждении
title_full_unstemmed	Устойчивость свободной поверхности вязкой намагничивающейся жидкости при многопараметрическом возбуждении
title_sort	устойчивость свободной поверхности вязкой намагничивающейся жидкости при многопараметрическом возбуждении
publisher	Інститут гідромеханіки НАН України
publishDate	2014
topic_facet	Науковi статтi
url	http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/116482
citation_txt	Устойчивость свободной поверхности вязкой намагничивающейся жидкости при многопараметрическом возбуждении / Н.Ф. Пацегон, С.И. Поцелуев // Прикладна гідромеханіка. — 2014. — Т. 16, № 3. — С. 36-51. — Бібліогр.: 22 назв. — рос.
series	Прикладна гідромеханіка
work_keys_str_mv	AT pacegonnf ustojčivostʹsvobodnojpoverhnostivâzkojnamagničivaûŝejsâžidkostiprimnogoparametričeskomvozbuždenii AT poceluevsi ustojčivostʹsvobodnojpoverhnostivâzkojnamagničivaûŝejsâžidkostiprimnogoparametričeskomvozbuždenii
first_indexed	2025-07-08T10:27:56Z
last_indexed	2025-07-08T10:27:56Z
_version_	1837074196131217408
fulltext	ISSN 1561 -9087 Прикладна гiдромеханiка. 2014. Том 16, N 3. С. 36 – 51 УДК 537.84 УСТОЙЧИВОСТЬ СВОБОДНОЙ ПОВЕРХНОСТИ ВЯЗКОЙ НАМАГНИЧИВАЮЩЕЙСЯ ЖИДКОСТИ ПРИ МНОГОПАРАМЕТРИЧЕСКОМ ВОЗБУЖДЕНИИ Н. Ф. П А ЦЕ Г ОН , С. И. ПО ЦЕ Л УЕ В Харьковский национальный университет имени В.Н.Каразина, 61022, Харьков, пл. Свободы, 4 patcegon@gmail.com Получено 12.04.2014 Рассматриваются задачи параметрической и статической неустойчивостей свободной поверхности вязкой нелинейно намагничивающейся жидкости и динамической стабилизации такого рода неустойчивостей с помощью осциллирую- щих магнитных и гравитационного полей. Предполагается, что жидкость находится в произвольно ориентированном к ее свободной поверхности магнитном поле, которое состоит из постоянной и осциллирующей частей, а также под воздействием модулированного гравитационного ускорения. Исследуется структура областей неустойчивости для свободной поверхности феррожидкости, которая параметрически возбуждается полигармоническим воздействием. КЛЮЧЕВЫЕ СЛОВА: нелинейно намагничивающаяся жидкость, параметрическая и статическая неустойчивость, магнитное поле, гравитационное поле Розглядаються задачi параметричної та статичної нестiйкостей вiльної поверхнi в’язкої рiдини, що нелiнiйно на- магнiчується, а також динамiчної стабiлiзацiї такого роду нестiйкостей за допомогою осцилюючих магнiтних та гравiтацiйного полiв. Припускається, що рiдина знаходиться в довiльно орiєнтованому до її вiльної поверхнi магнi- тному полi, яке складається з постiйної та осцилюючої частин, а також пiд впливом модульованого гравiтацiйного прискорення. Дослiджується структура областей нестiйкостi для вiльної поверхнi феррорiдини, яка параметрично збуджується полiгармонiчною дiєю. КЛЮЧОВI СЛОВА: рiдина, що нелiнiйно намагнiчується, параметрична та статична нестiйкiсть, магнiтне поле, гравiтацiйне поле The problem of parametric and static instabilities of the free surface of viscous nonlinear magnetizable fluid and dynamic stabilization of such instabilities using oscillating magnetic and gravitational fields is considered. It is assumed that the fluid is in an arbitrarily oriented towards its free surface magnetic field, that is consist of a constant and the oscillating parts, as well as under the influence of modulated gravitational acceleration. The structure of the instability regions for the free surface of a ferrofluid, which is parametrically excited by polyharmonic impact is investigated. KEY WORDS: nonlinear magnetizable fluid, parametric and static instabilities, magnetic field, gravitational field ВВЕДЕНИЕ Одно из важных направлений в теории вол- новых движений составляют задачи устойчиво- сти поверхности раздела жидкостей, в частнос- ти свободной поверхности, в однородных нестаци- онарных полях различной природы. Периодиче- ская модуляция, обусловливающая возникновение параметрического резонанса (параметры модуля- ции – частота и амплитуда периодических воздей- ствий), представляет значительный интерес как для приложений, в связи с широкой распростра- ненностью в технике (колебания температуры, ме- ханические вибрации, звуковые и электромагни- тные поля и т.д.), так и для идентификации пара- метров, характеризующих саму жидкость. Интерес к задачам устойчивости поверхности жидкости в переменных полях связан также с тем, что во многих гидродинамических системах, неустойчивых в стационарных полях, возможна динамическая стабилизация равновесия параме- трическим воздействием. Таким образом, с помо- щью специально подобранных параметров моду- ляции можно эффективно управлять гидродина- мической устойчивостью. Первые исследования стоячих поверхностных волн принадлежат М. Фарадею [1], обнаруживше- му, что при определенной вынуждающей частоте колебаний сосуда на свободной поверхности возни- кают волны с половинной частотой колебаний (су- бгармонические колебания) либо той же частоты (гармонические колебания), соответствующие па- раметрическому резонансу. Задача устойчивости поверхности раздела двух ньютоновских несмешивающихся вязких жидко- стей, подвергающихся периодическим колебани- ям, сводится к интегро-дифференциальному урав- нению для амплитуды возмущений поверхности [2], что вызывало определенные затруднения в ее исследовании. Окончательно она была решена в 36 c© Н. Ф. Пацегон, C. И. Поцелуев, 2014 ISSN 1561 -9087 Прикладна гiдромеханiка. 2014. Том 16, N 3. С. 36 – 51 работах [3,4], где с использованием теории Фло- ке был предложен метод сведения ее к задаче на собственные значения для матрицы бесконечного порядка и построения нейтральных кривых устой- чивости. Современное состояние проблемы о влиянии ви- браций на гидродинамические системы со свобо- дной поверхностью жидкости или поверхностью раздела несмешивающихся жидкостей представ- лено в работах [5,6]. Рассмотрены различные обоб- щения классической задачи Фарадея о развитии параметрического резонанса в механических си- стемах, находящихся в изотермических условиях. Первые исследования устойчивости свободной поверхности однородно намагничивающейся жид- кости в постоянном магнитном поле принадлежат Р. Розенцвейгу [7]. Он обнаружил, что однородное стационарное магнитное поле, приложенное пер- пендикулярно к плоскому слою магнитной жид- кости, вызывает спонтанное образование на ее по- верхности упорядоченной структуры из острых пиков, когда величина поля превышает критиче- ское значение (неустойчивость Розенцвейга). Влиянию постоянного магнитного поля на устойчивость свободной поверхности магнитной жидкости при вертикальных вибрациях контейне- ра посвящены работы [8,9]. Показано, что меха- низм параметрического возбуждения может при- вести к задержке неустойчивости Розенцвейга в вертикальном магнитном поле, т.е. к увеличению критического значения нормального поля. Обна- ружено, что наложение горизонтального к свобо- дной поверхности стационарного магнитного поля может стабилизировать неустойчивость Фарадея. В случае идеальной нелинейно намагничиваю- щейся жидкости уравнение для амплитуды малых возмущений свободной поверхности в периодиче- ских магнитных полях сводится к обыкновенному дифференциальному уравнению второго порядка с периодическими коэффициентами [10]. В работе [11] определены критические значения напряжен- ности магнитного поля при возникновении пара- метрической и статической неустойчивостей сво- бодной поверхности жидкости во вращающемся в вертикальной плоскости однородном магнитном поле и чисто осциллирующих касательных либо нормальных к свободной поверхности магнитных полях. Проанализирована последовательность на- ступления этих неустойчивостей. Исследованию устойчивости поверхности разде- ла феррожидкости в вертикальном магнитном по- ле, которое состоит из постоянной и осциллирую- щей частей, посвящены работы [12–15]. Экспери- ментально обнаружено, что наложение осциллиру- ющей добавки к постоянному значению напряжен- ности вертикального магнитного поля приводит к ускорению наступления неустойчивости Розен- цвейга. Показано, что уравнение для амплитуды малых периодических возмущений свободной по- верхности сводится к уравнению Хилла, что обоб- щает уравнение Матье для чисто осциллирующих магнитных полей. Двухчастотное параметрическое возбуждение поверхностных волн вертикальным магнитным полем рассмотрено в работе [16]. В отличие от приведенных выше работ, в ко- торых параметрическое возбуждение имеет одну природу (либо гравитационную, либо магнитную), в настоящей работе рассматриваются случаи, ко- гда модулированное гравитационное ускорение, касательная и нормальная составляющие напря- женности магнитного поля представляются в виде синусоидальных процессов, частоты которых на- ходятся в простом кратном отношении. Это по- зволяет проанализировать влияние отношений ам- плитуд и частот различных параметрических во- здействий на изменение структуры областей неу- стойчивости. Кроме того, поскольку в линейном приближении движение нелинейно намагничива- ющейся жидкости является изоэнтропийным при равном нулю коэффициенте теплопроводности, а не изотермическим, как в приведенных выше рабо- тах, мы исследуем влияние температурных изме- нений на границу областей неустойчивости. При этом не учитываются эффекты, связанные с нали- чием внутреннего момента количества движения [17] и конечной скорости распространения тепла [18]. 1. ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ Рассматривается безграничный слой магнитной жидкости, над которой сверху находится немагни- тная среда меньшей плотности, например воздух (см. pис. 1), влиянием которой на движение жид- кости в дальнейшем пренебрегается. Предполагае- тся, что нелинейно намагничивающаяся жидкость находится в произвольно ориентированном к ее свободной поверхности однородном нестационар- ном магнитном поле, а также под воздействием модулированного гравитационного ускорения ~ge. z = ζ(x, y, t) – поверхность раздела двух полубе- сконечных слоев, причем в состоянии относитель- ного равновесия z = 0 – уравнение равновесной по- верхности раздела. Феррожидкость считается вяз- кой, непроводящей, несжимаемой и однородной. Н. Ф. Пацегон, C. И. Поцелуев 37 ISSN 1561 -9087 Прикладна гiдромеханiка. 2014. Том 16, N 3. С. 36 – 51 Рис. 1. К постановке задачи Уравнение изменения энтропии имеет вид: dS dt = κ∆T + 2ηvikvik. В случае нетеплопроводной жидкости (κ = 0) и малых возмущений (vikvik ≈ 0) имеем: dS dt = 0; S = S(ρ, T,H) = const. Следовательно, движение жидкости будет адиа- батическим (изоэнтропийным), если начальное со- стояние феррожидкости является однородным. Для областей, занятых воздухом и вязкой нели- нейно намагничивающейся жидкостью, имеем сис- тему уравнений [7,19]: ÷~v = 0, (1) ρ d~v dt = −∇ ( p0 + φ(ρ) ) +M∇H + η∆~v + ρ~ge, (2) dS dt = 0, S = S0 + 1 ρ ∫ H 0 ∂M ∂T dH = const, (3) ÷ ~B = 0, rot ~H = 0, (4) ~B = µ(ρ, T,H) ~H, ~M = M (ρ, T,H) ~H H , (5) S0 = cv lnT + const, (6) φ(ρ) = ∫ H 0 ( M − ρ ∂M ∂ρ ) dH, (7) где ~ge = ( −g + ω2 eae cos(ωet) ) ~ez – модулированное гравитационное ускорение. Тензор напряжений вязкой намагничивающейся жидкости имеет вид: Pjk = − ( p0 + φ(ρ) + H2 8π ) δjk + + HjBk 4π + 2ηvjk − ρgeζδj3δk3, (8) где последнее слагаемое обусловлено наличием мо- дулированного гравитационного ускорения ~ge. Граничные условия в задаче о параметрической устойчивости поверхности раздела включают ки- нематическое условие, условие непрерывности ка- сательных напряжений и условие Лапласа для нормальных напряжений: vn = D при z = ζ, (9) < Pjkτ1jnk >= 0, < Pjkτ2jnk >= 0 при z = ζ, (10) < p0 + φ(ρ) + 2πM2 n >= −σ÷ ~n при z = ζ, (11) условия для электромагнитного поля: < Bn >= 0, < ~Hτ >= 0 при z = ζ, (12) граничные условия на бесконечности: ~v(i) = 0 при \|z\| → ∞, (13) ~H(i) = ( Hx, Hy, Hz µ ) = ~H(i) ∞ при \|z\| → ∞, (14) где < a >= a(2) − a(1) – скачок соответствующих величин; i = 1, 2 – индекс среды (1 – для воздуха, 2 – для магнитной жидкости); D–скорость распро- странения свободной поверхности, D = −∂ζ ∂t 1√ 1 + ζ2 x + ζ2 y . Внешняя нормаль и касательные векторы к по- верхности раздела имеют вид: ~n = (−ζx,−ζy, 1)√ 1 + ζ2 x + ζ2 y , ~τ1 = (1, 0, ζx)√ 1 + ζ2 x , ~τ2 = (0, 1, ζy)√ 1 + ζ2 y . Величины, входящие в (1)–(14), обозначают: ~v – скорость среды; ρ – плотность; p0 – механическое давление; φ(ρ) – магнитострикционное давление; M – намагниченность среды; µ – магнитная прони- цаемость; ~H – напряженность магнитного поля; η – динамическая вязкость; S – массовая плотность энтропии; cv – теплоемкость; T – температура сре- ды; σ – коэффициент поверхностного натяжения. По повторяющимся индексам производится сум- мирование в пределах их изменения. 38 Н. Ф. Пацегон, C. И. Поцелуев ISSN 1561 -9087 Прикладна гiдромеханiка. 2014. Том 16, N 3. С. 36 – 51 1.1. Постановка задачи в терминах потенциала напряженности магнитного поля Интеграл адиабатичности (3) позволяет опре- делить температуру как функцию напряженности магнитного поля: T (i) = T (i)(ρ,H(i)), i = 1, 2. Поэтому намагниченность в каждой из областей является функцией напряженности поля: M = M(ρ, T (ρ,H), H) = M̃(H). Таким образом, пондеромоторная сила потенци- альна: M∇H = ∇ ∫ H 0 M̃(H)dH. В рассматриваемом случае, при наличии инте- грала адиабатичности течения, задача сводится к исследованию течений жидкости со специаль- ным уравнением магнитного состояния, в котором намагниченность может рассматриваться только функцией плотности среды и напряженности ма- гнитного поля. В силу уравнения rot ~H = 0, напряженность ма- гнитного поля может быть представлена в виде: ~H = ∇Φ, где Φ − потенциал напряженности магнитного по- ля. Тогда из уравнения ÷ ~B = 0 получаем: ∆Φ = −4π ÷ ( M(ρ, T (\|∇Φ\|), \|∇Φ\|) \|∇Φ\| ∇Φ ) . Граничные условия (12),(14) для электромагни- тного поля примут вид: при z = ζ(x, y, t): < µΦz >= ζx < µΦx > +ζy < µΦy >, (15) < Φx > +ζx < Φz >= 0, (16) < Φy > +ζy < Φz >= 0, (17) при \|z\| → ∞: ∇Φ(i) = ~H(i) ∞ i = 1, 2. (18) 1.2. Постановка задачи в терминах функции то- ка Рассмотрим плоский случай: vx = vx(x, z, t), vz = vz(x, z, t). Введем функцию тока ψ = ψ(x, z, t): vx = ∂ψ ∂z , vz = −∂ψ ∂x . Тогда система уравнений и граничных условий преобразуются к виду: ( ∂ ∂t − ν∆ ) ∆ψ+ ( ∂ψ ∂z ∂ ∂x − ∂ψ ∂x ∂ ∂z ) ∆ψ = 0, (19) ∆Φ = −4π ÷ ( M(ρ, T (\|∇Φ\|), \|∇Φ\|) \|∇Φ\| ∇Φ ) ; (20) при z = ζ(x, t): ( ∂ ∂t + ( ∂ψ ∂z ∂ ∂x − ∂ψ ∂x ∂ ∂z )) ζ = −∂ψ ∂x , (21) < p0 + φ(ρ) + 2πM2 n >= −σ ÷ ~n, (22) < µΦz >= ζx < µΦx >, (23) < Φx > +ζx < Φz >= 0; (24) при \|z\| → ∞: ∂ψ ∂x = 0, ∂ψ ∂z = 0, (25) ∇Φ = ~H∞, (26) где ν – кинематическая вязкость. 1.3. Линеаризованная постановка задачи Обозначим ~H ′ = ∇Φ′ = ∇Φ − ~H0 – возмущение магнитного поля. Для исследования устойчивости горизонтальной поверхности z = 0 линеаризуем сформулированную задачу, предполагая, что k 2π \|ζ\|, \|ζx\|, \| ~H ′\| \| ~H0\| ∼ ε� 1, где 2π k – длины волн, возникающих на свободной поверхности при потере устойчивости. В случае общего закона намагничивания (5) для возмущения намагниченности однородной несжи- маемой жидкости получим: ~M ′ = ( M H ~H ) ′ = 1 H2 ( ∂M ∂H + + ∂M ∂T ∂T ∂H − M H ) ~H( ~H ~H ′) + M H ~H ′, где коэффициенты при возмущениях напряженно- сти магнитного поля вычисляются в равновесном состоянии, определяемом значениями параметров при \|z\| → ∞. Из условия адиабатичности течения (3), учи- тывая, что для несжимаемой жидкости выполня- ется (6), получаем: ∂T ∂H = − T cvρ ∂M ∂T . Н. Ф. Пацегон, C. И. Поцелуев 39 ISSN 1561 -9087 Прикладна гiдромеханiка. 2014. Том 16, N 3. С. 36 – 51 Поэтому ~M ′ = 1 H2 [( ∂M ∂H ) ∞ − T cvρ ( ∂M ∂T )2 ∞ − − ( M H ) ∞ ] ( ~H∞ ~H ′) ~H∞ + M∞ H∞ ~H ′. На свободной поверхности имеет место условие отсутствия касательных напряжений (в линейном приближении граничные условия снесены на нево- змущенную поверхность): Pxz = 0 при z = 0. Следовательно, получаем уравнение: η ( ∂2ψ ∂z2 − ∂2ψ ∂x2 ) = 0 при z = 0. Нормальная компонента тензора напряжений (8) удовлетворяет формуле Лапласа. Пренебрегая ве- личинами второго порядка малости, можем запи- сать: Pzz = σ ∂2ζ ∂x2 при z = 0. Подставляя значения компонент тензора напряже- ний (8), на свободной поверхности находим: p0 = −H 2 8π − φ(ρ) + HzBz 4π + +2η ∂vz ∂z − σ ∂2ζ ∂x2 − ρgeζ. (27) Применяя операцию ∂ ∂x к уравнению движения (2), получаем: ∂2 ∂x2 ( p0 + φ(ρ) ) = ( η∆ − ρ ∂ ∂t ) ∂2ψ ∂x∂z . Исключив отсюда давление p0 c помощью (27), по- лучим дополнительное граничное условие на сво- бодной поверхности. Таким образом, линеаризованная задача для функции тока ψ и потенциала напряженности по- ля Φ записывается в виде: ( ∂ ∂t − ν∆ ) ∆ψ = 0, (28) ∆Φ(1) = 0 при z > 0, (29) ∆Φ = −c∞ ~H∞∇( ~H∞∇Φ) при z < 0, (30) при z = 0: η ( ∂2ψ ∂z2 − ∂2ψ ∂x2 ) = 0, (31) ( η∆ − ρ ∂ ∂t ) ∂2ψ ∂x∂z = −σ ∂ 4ζ ∂x4 − 2η ∂4ψ ∂x3∂z − −ρge ∂2ζ ∂x2 − 1 4π ∂2 ∂x2 [ (µ− 1)2 µ H0z ( ∂Φ ∂z − (32) −H0x ∂ζ ∂x ) + (µ− 1)(µ+ c∞H 2 0z) µ H0x ∂Φ ∂x ] , µΦz −Φ(1) z + c∞H0z( ~H0∇Φ) = ( ~H0∇ζ)(µ−1), (33) Φx − Φ(1) x +H0zζx ( 1 µ − 1 ) = 0, (34) ∂ζ ∂t = −∂ψ ∂z , (35) при \|z\| → ∞: ∂ψ ∂x = 0, ∂ψ ∂z = 0, (36) ∇Φ(1) = 0, ∇Φ = 0. (37) Здесь введены обозначения: Φ ≡ Φ(2), c∞ = 4π µ∞H2 ∞ ( ∂M ∂H − T cvρ ( ∂M ∂T )2 − M H ) ∞ . Сформулированная задача позволяет исследовать вопрос о параметрической неустойчивости свобо- дной поверхности магнитной жидкости в случае нелинейной зависимости намагниченности от на- пряженности поля и температуры. 2. РЕШЕНИЕ ЗАДАЧИ Решение задачи (28)–(37) ищем в виде: ψ(t, x, z) = ψ0(t, z)eikx, (38) ζ(t, x) = ζ0(t)eikx, (39) Φ(1) = c(1)(t)ϕ(1)(z)eikx, (40) Φ = c(t)ϕ(z)eikx. (41) Решая уравнения для потенциала напряженности магнитного поля (29)–(30), получим: Φ(1) = c(1)(t)eikx−kz , (42) Φ = c(t)eikx+λz , (43) где λ = k −ic∞H0zH0x + µ √ 1 + c∞H2 0 µ ( 1 + c∞ H2 0z µ ) . (44) Отметим, что в случае µ = const: λ = k. 40 Н. Ф. Пацегон, C. И. Поцелуев ISSN 1561 -9087 Прикладна гiдромеханiка. 2014. Том 16, N 3. С. 36 – 51 Используя граничные условия для потенциала напряженности магнитного поля (33),(34), нахо- дим: c(t) − c(1)(t) = µ− 1 µ H0zζ 0, (45) c(t) = ζ0(µ− 1) [ iH0xk + kH0z µ ] λµ+ k + c∞H0z [ iH0xk + λH0z µ ] . (46) Граничное условие (32) преобразуется к виду: ( −ρ ∂ ∂t + η ∂2 ∂z2 − 3ηk2 ) i ∂ψ0 ∂z = = ρgekζ 0 − σk3ζ0 + FM , (47) где FM = k 4π [ (µ− 1)2 µ H0z ( λc(t) − iζ0H0xk ) + +c(t) (µ− 1)(µ+ c∞H 2 0z) µ ( iH0xk + λH0z µ )] . (48) Подставляя выражения (44)–(46) в (48), получаем: FM = k2(µ− 1)2 4πµ ( H2 0z √ 1 + c∞H2 0 −H2 0xµ 1 + µ √ 1 + c∞H2 0 ) . (49) Следовательно, условие (47) преобразуется к виду: ( −ρ ∂ ∂t + η ∂2 ∂z2 − 3ηk2 ) i ∂ψ0 ∂z = ρgekζ 0 − −σk3ζ0 + k2(µ− 1)2 4πµ ( H2 0z √ 1 + c∞H2 0 −H2 0xµ 1 + µ √ 1 + c∞H2 0 ) . (50) С учетом (38), задача (28), (31), (35), (36) для функции тока примет вид: [ ∂ ∂t − ν ( ∂2 ∂z2 − k2 )]( ∂2 ∂z2 − k2 ) ψ0 = 0, (51) η ( ∂2 ∂z2 + k2 ) ψ0 = 0 при z = 0, (52) ∂ζ0 ∂t = −ikψ0 при z = 0 (53) ikψ0 = 0, ∂ψ0 ∂z = 0 при z → ∞ (54) Функции H0x(t), H0z(t), ge(t) предполагаются периодическими с общим периодом 2π ω . Решение задачи (50)–(54) ищем, используя представление Флоке: ζ0(t) = eγt ∞∑ n=−∞ ζ0 ne inωt, (55) ψ0(z, t) = eγt ∞∑ n=−∞ ψ0 n(z)einωt, (56) где γ = s+ iα – показатель Флоке. Тогда из уравнения (51) получаем: ( ∂2 ∂z2 − k2 )( ∂2 ∂z2 − q2n ) ψ0 n = 0, (57) где q2n = k2 − s+ i(α+ nω) ν . Общее решение уравнения (57) имеет вид: ψ0 n(z) = ane kz + bne −kz + cne qnz + dne −qnz. (58) Неизвестные коэффициенты определяются из гра- ничных условий (52)–(54): bn = 0, dn = 0, an = iν k (q2n + k2)ζ0 n, cn = −2ikνζ0 n. Окончательно для функции тока получаем: ψ0 n(z) = iν ( q2n + k2 k ζ0 ne kz − 2kζ0 ne qnz ) . (59) Подставляя выражения (55), (56), (59) в (50), получим соотношение: ∞∑ n=−∞ ν2 [ −4k3qn + (k2 + q2n)2 ] ζ0 ne [s+i(α+nω)]t = = ∞∑ n=−∞ ζ0 ne [s+i(α+nω)]t ( −σk 3 ρ + ge(t)k+ (60) + k2(µ− 1)2 4πρµ H0z(t) 2 √ 1 + c1∞ −H0x(t)2µ 1 + µ √ 1 + c1∞ ) , где c1∞ = 4π µ∞ ( ∂M ∂H − T cvρ ( ∂M ∂T )2 − M H ) ∞ . Н. Ф. Пацегон, C. И. Поцелуев 41 ISSN 1561 -9087 Прикладна гiдромеханiка. 2014. Том 16, N 3. С. 36 – 51 3. ЧАСТНЫЕ СЛУЧАИ ВНЕШНИХ ПЕРИОДИЧЕСКИХ ВОЗДЕЙСТВИЙ При задании конкретных функциональных за- висимостей H0z(t) и H0x(t), из (60) следуют ре- куррентные соотношения относительно ζ0 n для ра- счета нейтральных кривых устойчивости. Cнача- ла рассмотрим случай µ = const. Во всех ра- счетах принимались типичные значения параме- тров жидкости [11]: ν = 0.1(П), µ = 5, σ = 30 ( эрг см2 ) , ρ = 1 ( г см3 ) . 3.1. Случай стационарного вертикального и осциллирующего горизонтального магнитного поля Рассмотрим случай, когда внешнее магнитное поле состоит из постоянной вертикальной и осцил- лирующей горизонтальной частей, а гравитацион- ная модуляция отсутствует: ge = −g, H0z = const, H0x = mx cos(ωt). (61) Подставляя выражения (61) в (60), получаем: ∞∑ n=−∞ ν2 [ −4k3qn + (k2 + q2n)2 ] ζ0 ne [s+i(α+nω)]t = = ∞∑ n=−∞ ζ0 ne [s+i(α+nω)]t ( −σk 3 ρ − gk+ (62) + k2(µ− 1)2 4πρ(µ+ 1) [ H2 0z µ − m2 x 2 (1 + cos 2ωt) ]) . Отметим, что для случая µ = const : c1∞ = 0. Используя равенство mx cosωt = mx 2 ( eiωt + e−iωt ) и переобозначая индексы суммирования в (62) так, чтобы показатели экспонент в рядах были одина- ковыми, получаем рекуррентное соотношение для коэффициентов ζ0 n ряда (55): Anζ 0 n = m2 x ( ζ0 n + ζ0 n−2 + ζ0 n+2 2 ) , (63) где An = − ( ν2 [ −4kqn + (k2 + q2n)2 k2 ] + + g k + σk ρ ) 8πρ(µ+ 1) (µ− 1)2 + 2H2 0z µ . Рис. 2. Нейтральные кривые устойчивости mx(k) для различных величин H0z: H0z = 0, (a), H0z = 0.99HR, (b), H0z = 1.01HR,(c), H0z = 1.05HR, (d) при частоте осциллирующего поля ω = 50(Гц) 42 Н. Ф. Пацегон, C. И. Поцелуев ISSN 1561 -9087 Прикладна гiдромеханiка. 2014. Том 16, N 3. С. 36 – 51 Соотношение (63) запишем в матричном виде:   . . . ... ... ... ... ... . . . . . . A−2 0 0 0 0 . . . . . . 0 A−1 0 0 0 . . . . . . 0 0 A0 0 0 . . . . . . 0 0 0 A1 0 . . . . . . 0 0 0 0 A2 . . . . . . ... ... ... ... ... . . .     ... ζ0 −2 ζ0 −1 ζ0 0 ζ0 1 ζ0 2 ...   = = m2 x   . . . ... ... ... ... ... . . . . . . 1 0 1 2 0 0 . . . . . . 0 1 0 1 2 0 . . . . . . 1 2 0 1 0 1 2 . . . . . . 0 1 2 0 1 0 . . . . . . 0 0 1 2 0 1 . . . . . . ... ... ... ... ... . . .     ... ζ0 −2 ζ0 −1 ζ0 0 ζ0 1 ζ0 2 ...   или в символьном виде: Aζ0 = m2 xBζ 0, где A – диагональная матрица с комплексными коэффициентами; B – трёхдиагональная матрица. Обратив матрицу A, получим задачу на собствен- ные значения: ( A−1B ) ζ0 = 1 m2 x ζ0. Критерием устойчивости служит значение пока- зателя Флоке γ = s+iα. При s > 0 (s < 0) решение (55) будет возрастать (убывать) с течением време- ни, что соответствует неустойчивости (устойчиво- сти) движения. Для построения нейтральных кри- вых устойчивости в плоскости (k,mx) нужно по- ложить s = 0, а также задать значения α = 0 или α = 1/2, что соответствует случаям гармо- нических и субгармонических колебаний. Матри- цы A и B обрезаются до размеров, обеспечива- ющих необходимую точность вычислений. В про- веденных расчетах размеры матриц не превыша- ли размеров 100 × 100. Из собственных значений выбирается наибольшее или несколько наиболь- ших положительных вещественных собственных значений 1 m2 x , соответствующих минимальной ам- плитуде возбуждения mx. Изложенный метод яв- ляется довольно общим и может быть использован для построения переходных кривых устойчивости в случае произвольного периодического возбужде- ния [3]. Границы областей неустойчивости для магни- тного поля, которое состоит из постоянной верти- кальной и осциллирующей горизонтальной частей, представлены на pис. 2. На pис. 2, a показаны области параметриче- ской неустойчивости свободной поверхности фер- рожидкости только в осциллирующем танген- циальном магнитном поле. Переходные кривые устойчивости образуют области ("языки"), значе- ния параметров внутри (вне) этих областей со- ответствуют неустойчивости (устойчивости) сво- бодной поверхности. Абсолютный минимум ней- тральных кривых определяет критическое волно- вое число kc и критическое значение амплитуды осциллирующего магнитного поля mxc, необходи- мые для возникновения неустойчивости. В результате расчетов обнаружено, что для без- граничного слоя жидкости наложение вертикаль- ного стационарного магнитного поля, меньшего критического поля Розенцвейга, приводит к уве- личению критического волнового числа kc (см. pис. 2, b). Напряженность стационарного магни- тного поля H0z на pис. 2, b меньше критического поля Розенцвейга HR [7] всего на 1%: H2 R = 8π √ σρgµ(µ+ 1) (µ− 1)2 . Таким образом, добавление стационарного вер- тикального магнитного поля H0z < HR к толь- ко осциллирующему горизонтальному приводит к возникновению более мелкомасштабных структур на свободной поверхности при потере устойчиво- сти. При дальнейшем увеличении напряженности вертикального магнитного поля начинает развива- ться статическая неустойчивость (неустойчивость Розенцвейга), что на pис. 2, c и pис. 2, d отра- жается возникновением дополнительной (заштри- хованной) области неустойчивости. При этом из pис. 2, c видно, что для определенного промежу- тка δ значений амплитуды параметрического воз- буждения mx все волновые числа k попадают в область устойчивости. Таким образом, наложени- ем касательного к свободной поверхности осцил- лирующего магнитного поля, заданной амплитуды и частоты, можно отодвинуть порог наступления неустойчивости Розенцвейга. Однако из pис. 2, d видно, что такая возможность существует, если напряженность вертикального магнитного поля не существенно превышает критическое поле Розен- цвейга HR, в противном случае, в зависимости от параметров системы, всегда будут развиваться ли- бо статическая, либо параметрическая неустойчи- вости. Н. Ф. Пацегон, C. И. Поцелуев 43 ISSN 1561 -9087 Прикладна гiдромеханiка. 2014. Том 16, N 3. С. 36 – 51 3.2. Случай вертикального магнитного поля, которое состоит из постоянной и осциллирую- щей частей Пусть параметрическое воздействие имеет вид: ge = −g, H0z = H00z +mz cosωt, H0x = 0. (64) Рассматриваемый случай, при котором осцил- лирующее магнитное поле нормально к свобо- дной поверхности, интересен тем, что помимо неу- стойчивости относительно параметрических коле- баний, может наблюдаться возникновение стати- ческой неустойчивости с образованием пикообра- зной формы свободной поверхности (неустойчи- вость Розенцвейга), даже в отсутствие стационар- ного поля [11]. Подставляя выражения (64) в (60), получаем: ∞∑ n=−∞ ν2 [ −4k3qn + (k2 + q2n)2 ] ζ0 ne [s+i(α+nω)]t = = ∞∑ n=−∞ ( k2(µ− 1)2 4πρµ(µ+ 1) [ H2 00z + 2H00zmz cosωt+ + m2 z 2 (1 + cos 2ωt) ] − σk3 ρ − gk ) ζ0 ne [s+i(α+nω)]t. Откуда следует рекуррентное соотношение для коэффициентов ряда ζ0 n: Cnζ 0 n = mzH00z(ζ 0 n−1 + ζ0 n+1) + +m2 z ( ζ0 n 2 + ζ0 n−2 + ζ0 n+2 4 ) , (65) где Cn = ( ν2 [ −4kqn + (k2 + q2n)2 k2 ] + + g k + σk ρ ) 4πρµ(µ+ 1) (µ− 1)2 −H2 00z. Выражение (65) запишем в матричном виде: ( m2 zA+mzB − C ) ζ0 = 0, (66) где A = 1 4   . . . ... ... ... ... ... . . . . . . 2 0 1 0 0 . . . . . . 0 2 0 1 0 . . . . . . 1 0 2 0 1 . . . . . . 0 1 0 2 0 . . . . . . 0 0 1 0 2 . . . . . . ... ... ... ... ... . . .   , B = H00z   . . . ... ... ... ... ... . . . . . . 0 1 0 0 0 . . . . . . 1 0 1 0 0 . . . . . . 0 1 0 1 0 . . . . . . 0 0 1 0 1 . . . . . . 0 0 0 1 0 . . . . . . ... ... ... ... ... . . .   , C =   . . . ... ... ... ... ... . . . . . . C−2 0 0 0 0 . . . . . . 0 C−1 0 0 0 . . . . . . 0 0 C0 0 0 . . . . . . 0 0 0 C1 0 . . . . . . 0 0 0 0 C2 . . . . . . ... ... ... ... ... . . .   . Уравнение (66) представляет собой уравнение для квадратичного пучка матриц. В дальнейшем удобно перейти к линейной алгебраической зада- че. Введением вектор-столбца ξ0 := mzζ 0 задача (66) сводится к задаче на собственные значения для матрицы c увеличенным вдвое размером: ( −A−1B A−1C I 0 )( ξ0 ζ0 ) = mz ( ξ0 ζ0 ) , (67) где I – единичная матрица такого же размера, как A, B и C. В отличие от предыдущего случая собствен- ным значением задачи (67) является амплитуда параметрического воздействия mz . Для построе- ния границ областей неустойчивости на плоско- сти изменения параметров (k,mz) находим наи- меньшее или несколько наименьших положитель- ных вещественных собственных значений mz за- дачи (67). Области параметрической и статической неу- стойчивостей свободной поверхности феррожид- кости только в осциллирующем вертикальном ма- гнитном поле представлены на pис. 3, a. В низ- кочастотном приближении (при ω → 0) крити- ческая амплитуда параметрического воздействия стремится к критическому полю Розенцвейга ра- звития статической неустойчивости (mzc → HR), при этом наиболее опасными являются возмуще- ния с длиной волнового вектора kR = √ ρg σ . При высокочастотном возбуждении существует диапазон δ значений амплитуды переменного по- ля mz, в котором образуется только характерная для параметрических колебаний волнистая струк- тура свободной поверхности. При дальнейшем уве- личении амплитуды переменного поля наступает 44 Н. Ф. Пацегон, C. И. Поцелуев ISSN 1561 -9087 Прикладна гiдромеханiка. 2014. Том 16, N 3. С. 36 – 51 Рис. 3. Переходные кривые устойчивости mz(k) для значений H00z = 0, (a) и для H00z = 0.5HR/ (b) при частоте осцилляций поля: ω → 0 (сплошные кривые), ω = 50(Гц) (точечные кривые) статическая неустойчивость и формируется пико- образная структура гораздо большей амплитуды. Отметим, что такая последовательность развития неустойчивостей в чисто осциллирующем верти- кальном магнитном поле обсуждалась в работе [11]. Добавление стационарной компоненты к толь- ко осциллирующему вертикальному магнитному полю приводит как к уменьшению критической амплитуды mzc, необходимой для развития па- раметрической неустойчивости, так и к уменьше- нию критической амплитуды mzR развития ста- тической неустойчивости в переменном поле (см. pис. 3, b). В то же время, за счет наложения осциллирующей добавки к постоянному значению напряженности вертикального магнитного поля можно приблизить наступление неустойчивости Розенцвейга, что было экспериментально подтвер- ждено в работе [12]. 3.3. Случай осциллирующего вертикального и стационарного горизонтального магнитных по- лей В этом случае параметрическое воздействие имеет вид: ge = −g, H0z = mz cosωt, H0x = const. (68) Аналогично предыдущим случаям, из (60) с использованием (68) получаем: Anζ 0 n = m2 z ( ζ0 n + ζ0 n−2 + ζ0 n+2 2 ) , (69) где An = ( ν2 [ −4kqn + (k2 + q2n)2 k2 ] + + g k + σk ρ ) 8πρµ(µ+ 1) (µ− 1)2 + 2µH2 0x. Рекуррентное соотношение (69) запишем в ма- тричном виде: ( A−1B ) ζ0 = 1 m2 z ζ0, (70) где A =   . . . ... ... ... ... ... . . . . . . A−2 0 0 0 0 . . . . . . 0 A−1 0 0 0 . . . . . . 0 0 A0 0 0 . . . . . . 0 0 0 A1 0 . . . . . . 0 0 0 0 A2 . . . . . . ... ... ... ... ... . . .   , B = 1 2   . . . ... ... ... ... ... . . . . . . 2 0 1 0 0 . . . . . . 0 2 0 1 0 . . . . . . 1 0 2 0 1 . . . . . . 0 1 0 2 0 . . . . . . 0 0 1 0 2 . . . . . . ... ... ... ... ... . . .   . Граница областей неустойчивости на плоско- сти параметров (k,mz) строится аналогично ранее рассмотренным случаям в результате определения собственных значений задачи (70). В результате расчетов установлено, что для без- граничного слоя жидкости добавление тангенци- ального к свободной поверхности стационарного Н. Ф. Пацегон, C. И. Поцелуев 45 ISSN 1561 -9087 Прикладна гiдромеханiка. 2014. Том 16, N 3. С. 36 – 51 магнитного поля к только осциллирующему вер- тикальному приводит к уменьшению критическо- го волнового числа kc (см. pис. 2, а и pис. 2, b), т.е. к возникновению более крупномасштабных стру- ктур на свободной поверхности при потере устой- чивости. Кроме того, стационарная компонента касательного к свободной поверхности магнитно- го поля отодвигает порог наступления статиче- ской неустойчивости в переменном магнитном по- ле, т.е. приводит к увеличению критического зна- чения амплитуды нормального поля mzR . Рис. 4. Нейтральные кривые устойчивости mz(k) для значений H0x = 0, (a), и для H0x = 0.5HR, (b), при частоте осцилляций поля: ω → 0 (сплошные кривые), ω = 70(Гц) (точечные кривые) 3.4. Случай осциллирующих вертикального и горизонтального магнитных полей Рассмотрим параметрическое воздействие вида: ge = −g, H0z = mz cosnzωt, H0x = mx cosnxωt, (71) где nz, nx – натуральные числа. Аналогично пре- дыдущим случаям, из (60) с использованием (71) получаем рекуррентное соотношение: Anζ 0 n = m2 z ( ζ0 n µ + ζ0 n−2nz + ζ0 n+2nz 2µ ) − −m2 x ( ζ0 n + ζ0 n−2nx + ζ0 n+2nx 2 ) , (72) где An = ( ν2 [ −4kqn + (k2 + q2n)2 k2 ] + + g k + σk ρ ) 8πρ(µ+ 1) (µ− 1)2 . Зафиксировав одну из амплитуд mz либо mx из рекуррентного соотношения (72), получим за- дачу на собственные значения, решение которой позволит построить нейтральные кривые устойчи- вости на плоскости (k,mx) либо (k,mz) соответ- ственно. В зависимости от значений nz и nx будет изменяться структура матриц спектральной зада- чи. Как видно из соотношения (72), номера подди- агоналей матриц будут соответствовать значениям −2nz, 2nz,−2nx, 2nx. Критические значения напряженности магни- тного поля при возникновении параметрической неустойчивости свободной поверхности жидкости в только осциллирующих касательных либо нор- мальных к свободной поверхности магнитных по- лях определены в работе [11]: mxc = 64πηnxω(µ+ 1) (µ− 1)2 , mzc = 64πηnzωµ(µ+ 1) (µ− 1)2 . Границы областей неустойчивости в случае ма- гнитного поля, которое состоит из только осцилли- рующих вертикальной и горизонтальной частей, представлены на pис.5. При одинаковых частотах параметрического воздействия за счет осциллиру- ющего вертикального поля, амплитуда которого mz не превышает критическую mzc, можно ото- двинуть порог наступления параметрической не- устойчивости в тангенциальном магнитном поле (см. pис. 5, a), наиболее опасное волновое число при этом не изменяется. Если же частота вертикального поля вдвое боль- ше частоты горизонтального, то при заданных па- раметрах (см. pис. 5, b) может сложиться бикрити- ческая ситуация, когда одной критической ампли- туде mxc соответствуют два различных волновых 46 Н. Ф. Пацегон, C. И. Поцелуев ISSN 1561 -9087 Прикладна гiдромеханiка. 2014. Том 16, N 3. С. 36 – 51 Рис. 5. Переходные кривые устойчивости mx(k) для значений параметров системы: a − nx = 1, nz = 1, mz = 0(кружочки), mz = 0.97mzc (сплошные кривые); b − nx = 1, nz = 2, mz = 0.93mzc; c − nx = 2, nz = 2, mz = HR; d − nx = 2, nz = 3, mz = 0.7HR; при частоте ω = 40(Гц) числа kcsg (субгармоническое) и kcg (гармониче- ское). Таким образом, может происходить переход от субгармонических к гармоническим колебани- ям системы. В результате расчетов обнаружено, что если ам- плитуда вертикального поля превышает критиче- скую (как параметрическую mzc так и статиче- скую mzR ), возникают дополнительные (заштри- хованные) области неустойчивости (см. pис. 5 ,c и pис. 5, d). При этом для одинаковых частот па- раметрического воздействия осциллирующим ка- сательным магнитным полем можно отодвинуть порог наступления статической неустойчивости в вертикальном поле, тогда как при различных ча- стотах не всегда удается стабилизировать даже параметрическую неустойчивость в нормальном к свободной поверхности поле. 3.5. Случай осциллирующего горизонтального магнитного поля при наличии гравитационной модуляции Пусть параметрическое воздействие имеет вид: ge = −g + a cos(ngωt), H0z = 0, H0x = mx cos(nxωt), (73) где ng, nx – натуральные числа. Подставляя выра- жения (73) в (60), получаем: ∞∑ n=−∞ ν2 [ −4k3qn + (k2 + q2n)2 ] ζ0 ne [s+i(α+nω)]t = = ∞∑ n=−∞ ( k2(µ− 1)2 4πρ(µ+ 1) m2 x 2 [1 + cos(2nxωt)]+ (74) +ka cos(ngωt) − σk3 ρ − gk ) ζ0 ne [s+i(α+nω)]t. Из (74) следует рекуррентное соотношение для коэффициентов ряда ζ0 n: Anζ 0 n = a k 2 (ζ0 n−ng + ζ0 n+ng ) − −m2 x k2(µ− 1)2 4πρ(µ+ 1) ( ζ0 n 2 + ζ0 n−2nx + ζ0 n+2nx 4 ) , (75) где An = ν2 [ −4k3qn + (k2 + q2n)2 ] + gk + σk3 ρ . Аналогично предыдущему случаю, зафиксиро- вав значения ng и nx, а также одну из амплитуд a либо mx из соотношения (75), получим задачу Н. Ф. Пацегон, C. И. Поцелуев 47 ISSN 1561 -9087 Прикладна гiдромеханiка. 2014. Том 16, N 3. С. 36 – 51 Рис. 6. Нейтральные кривые устойчивости a(k) для значений параметров системы: a − mx = 0; b − ng = nx = 1, mx = 0(точечная кривая), mx = 0.9mxc(сплошная кривая); c − ng = nx = 1, mx = 1.5mxc, d − ng = 2, nx = 3, mx = 2mxc при частоте ω = 50(Гц) на собственные значения, решение которой позво- лит построить переходные кривые устойчивости на плоскости (k,mx) либо (k, a) соответственно. На pис. 6, a изображены области параме- трической неустойчивости свободной поверхности феррожидкости при модуляции гравитационного ускорения c амплитудой a и частотой ω в отсут- ствие магнитного поля. При наложении осцил- лирующего горизонтального магнитного поля, за- данной амплитудыmx, меньшей критическойmxc, и той же частоты ω, критическая амплитуда ac увеличивается (см. pис. 6, b). Таким образом, при помощи касательного к свободной поверхности ма- гнитного поля можно отодвинуть порог наступле- ния параметрической неустойчивости в осцилли- рующем гравитационном поле. В результате расчетов также обнаружено, что если амплитуда горизонтального магнитного по- ля mx превышает критическую mxc, то возника- ют дополнительные (заштрихованные) области не- устойчивости (см. pис. 6, c и pис. 6, d). При этом для одинаковых частот параметрического воздей- ствия за счет модуляции гравитационного ускоре- ния можно отодвинуть порог наступления параме- трической неустойчивости в тангенциальном ма- гнитном поле, тогда как для различных частот это не всегда удается. 4. ВОЗБУЖДЕНИЕ ПАРАМЕТРИЧЕСКОЙ НЕУСТОЙЧИВОСТИ В РЕЗУЛЬТАТЕ ГАР- МОНИЧЕСКОГО ВОЗМУЩЕНИЯ ТЕМПЕ- РАТУРЫ ЗА СЧЕТ МАГНИТОКАЛОРИЧЕ- СКОГО ЭФФЕКТА Пусть θ – угол ориентации магнитного поля (см. pис. 1). Тогда в отсутствии гравитационной моду- ляции (ge = −g) для наиболее общего изотропного закона намагничивания (5) из соотношения (60) получаем: ∞∑ n=−∞ ν2 [ −4k3qn + (k2 + q2n)2 ] ζ0 ne [s+i(α+nω)]t = = ∞∑ n=−∞ ζ0 ne [s+i(α+nω)]t ( −σk 3 ρ − gk+ (76) + 4π ρ k2M2 [ sin2(θ) − 1 1 + r ]) , где r = √√√√ ( 1 + 4π M H )( 1 + 4π [ ∂M ∂H − T cvρ ( ∂M ∂T )2 ]) . В качестве модели идеального парамагнетика 48 Н. Ф. Пацегон, C. И. Поцелуев ISSN 1561 -9087 Прикладна гiдромеханiка. 2014. Том 16, N 3. С. 36 – 51 выберем феррожидкость, намагниченность кото- рой можно описать формулой Ланжевена: M = nm ( cth (ξ) − 1 ξ ) , ξ = mH kBT , (77) где n – число частиц в единице объема феррома- гнитного коллоида; m – магнитный момент части- цы; kB – постоянная Больцмана. Начальный участок кривой намагничивания (77), соответствующий значениям напряженности магнитного поля H � kBT/m (т.е. ξ � 1), можно считать линейным [17]: M = nmξ 3 = nm2H 3kBT . При приближении к температуре Кюри TK магнитного материала феррочастицы ее магни- тный момент стремится к нулю по закону m = m0 √ Tk − T , следовательно, намагниченность фер- ромагнитного коллоида стремится к нулю пропор- ционально разности (Tk − T ) [17,20]: M = CK ( Tk T − 1 ) H, CK = nm2 0 3kB . Особый интерес представляют вещества, темпе- ратура Кюри которых близка к комнатной. К ним относят гадолиний и некоторые сплавы, например пермаллой. Кроме того, за счет специальных по- лимерных поверхностно-активных добавок мож- но синтезировать ферроколлоиды c TK ∼ 40◦C, что позволяет использовать их термочувствитель- ность в медицинских целях и в системах преобра- зования энергии [21]. Зададим напряженность магнитного поля таким образом, чтобы она содержала постоянную и коле- блющуюся части: H = H0 ( 1 + h H0 ) , h = εHH0 cosωt, где mH = εHH0 – амплитуда осцилляций напря- женности поля. Тогда температура представляется в виде: T = T0 ( 1 + T ′ T0 ) , T ′ = εTT0 cosωt, где mT = εTT0 – амплитуда колебаний темпера- туры. Из интеграла адиабатичности (3) находим связь между возмущениями температуры T ′ и на- пряженности магнитного поля h: T ′ = − T0 cvρ ( ∂M ∂T ) H0 h = CKTKH0 cvρT0 h. (78) Величины εH = mH H0 и εT = mT T0 предполагаю- тся малыми. Сохраняя εH и εT первого порядка малости, получаем: M2 = a0 + (aHεH + aT εT ) cos(ωt), (79) 1 1 + r = 1 1 + √ b0 − bHεH + bT εT 2 √ b0 ( 1 + √ b0 )2 cos(ωt), (80) где a0 = C2 KH 2 0 ( TK T0 − 1 )2 , aH = 2a0; (81) aT = −C2 KH 2 0 ( TK T0 − 1 ) TK T0 ; (82) b0 = ( 1 + 4πCK ( TK T0 − 1 )) (1 + +4π ( CK ( TK T0 − 1 ) − C2 KT 2 KH 2 0 cvρT 3 0 )) ; (83) bH = 4π ( 1 + 4πCK ( TK T0 − 1 ))( −CKTK T0 − −C 2 KT 2 KH 2 0 cvρT 3 0 ) − 4πCK TK T0 (1+ (84) +4π ( CK ( TK T0 − 1 ) − C2 KT 2 KH 2 0 cvρT 3 0 )) ; bT = 12π ( 1 + 4πCK ( TK T0 − 1 )) C2 KT 2 KH 2 0 cvρT 3 0 . (85) Подставляя выражения (79)–(85) в (76), получа- ем рекуррентное соотношение: ( 2ν2 [ −4kqn + (k2 + q2n)2 k2 + σk ρ + g k ] − −2d0) ζ 0 n = (dHεH + dT εT ) ( ζ0 n−1 + ζ0 n+1 ) , (86) где d0 = 4π ρ a0 ( sin2(θ) − 1 1 + √ b0 ) ; dH = 4π ρ ( aH ( sin2(θ) − 1 1 + √ b0 ) − − bH 2 √ b0 ( 1 + √ b0 )2 ) ; dT = 4π ρ ( aT ( sin2(θ) − 1 1 + √ b0 ) − − bT 2 √ b0 ( 1 + √ b0 )2 ) . Н. Ф. Пацегон, C. И. Поцелуев 49 ISSN 1561 -9087 Прикладна гiдромеханiка. 2014. Том 16, N 3. С. 36 – 51 Связь между амплитудами осцилляций темпе- ратуры mT и напряженности магнитного поля mH , a, следовательно, между коэффициентами εT = mT T0 и εH = mH H0 находим из выражения (78): mT = CKTKH0 cvρT0 mH , εT = CKTKH 2 0 cvρT 2 0 εH . (87) Аналогично раннее рассмотренным случаям, из выражения (86) с использованием (87) получим задачу на собственные значения, решение которой позволит построить нейтральные кривые устойчи- вости на плоскости изменения параметров (k,mH) либо (k,mT ). Для расчетов использовались следующие пара- метры жидкости: TK = 300(K), n = 1017(см −3 ), m0 = 10−16 ( дин см Гс ) , ν = 0.1(П), ρ = 1 ( г см3 ) , σ = 30 ( эрг см2 ) , cv = 4.184 107 ( ерг см3K ) . Рис. 7. Переходные кривые устойчивости mT (k) для значений параметров системы: T0 = 0.95TK , θ = 0, H0 = 100(Э), ω = 50(Гц) На pис.7. показана принципиальная возмож- ность возбуждения параметрической неустойчи- вости свободной поверхности намагничивающейся жидкости в результате гармонического возмуще- ния ее температуры за счет магнитокалорическо- го эффекта. В результате колебаний температуры возникают осцилляции магнитного поля, так что рассматриваемый случай параметрического воз- буждения волн может быть сведен к ранее изу- ченным. Основные результаты настоящей статьи пред- ставлены в работе [22] ЗАКЛЮЧЕНИЕ В терминах потенциала напряженности магни- тного поля и функции тока сформулирована зада- ча параметрической устойчивости свободной по- верхности полубесконечного слоя вязкой капил- лярной нелинейно намагничивающейся жидкости с наиболее общим изотропным законом намагни- чивания и при произвольной ориентации магни- тного поля по отношению к равновесной поверх- ности. Показано, что при пренебрежении тепло- проводностью жидкости эта задача сводится к ис- следованию устойчивости для жидкости со специ- альным уравнением магнитного состояния, зави- сящим только от напряженности поля. Исследованы области неустойчивости для слу- чаев параметрических воздействий различной природы: касательной и нормальной составляю- щих магнитного поля, гравитационной и темпе- ратурной модуляций. Установлены способы стаби- лизации (дестабилизации) равновесной поверхно- сти феррожидкости. Обнаружено, что добавление тангенциального (нормального H0z < HR) к сво- бодной поверхности стационарного магнитного по- ля к только осциллирующему вертикальному (го- ризонтальному), приводит к возникновению более крупномасштабных (мелкомасштабных) структур на свободной поверхности при параметрической неустойчивости. Показано, что за счет наложе- ния осциллирующей добавки к постоянному зна- чению напряженности вертикального магнитного поля можно приблизить наступление неустойчиво- сти Розенцвейга, что было экспериментально под- тверждено в работе [12]. С другой стороны до- бавление стационарной компоненты H0z < HR к только осциллирующему вертикальному магни- тному полю приводит к уменьшению критической амплитуды возникновения параметрической неу- стойчивости. Установлено, что порог наступления параметри- ческой и статической неустойчивостей в верти- кальном магнитном поле, а также параметриче- ской неустойчивости в осциллирующем гравитаци- онном поле можно отодвинуть за счет наложения осциллирующего горизонтального магнитного по- ля. В случае двухчастотного параметрического во- здействия проанализировано влияние отношений амплитуд и частот различных модуляций на стру- ктуру областей неустойчивости, например пере- ход от субгармонических к гармоническим колеба- ниям либо возникновение дополнительных обла- стей неустойчивости. Для нелинейно намагничи- вающейся жидкости показана возможность воз- 50 Н. Ф. Пацегон, C. И. Поцелуев ISSN 1561 -9087 Прикладна гiдромеханiка. 2014. Том 16, N 3. С. 36 – 51 буждения параметрической неустойчивости свобо- дной поверхности в результате гармонического во- змущения температуры за счет магнитокалориче- ского эффекта. 1. Faraday M. On the forms and states assumed by flui- ds in contact with vibrating elastic surfaces.– Phil. Trans. of the Royal Society of London: 121, 1831.– 319—346 p. 2. Любимов Д. В., Любимова Т. П., Черепанов А. А. Динамика поверхности раздела в вибрационных полях.– М.: ФИЗМАТЛИТ, 2003.– 216 с. 3. Kumar K., Tuckerman. L. S. Parametric Instability of the Interface Between Two Fluids.– J. Fluid Mech.: 279, 1994.– 49–68 p. 4. Kumar K. Linear Theory of Faraday Instability in Vi- scous Fluids.– Proc. Roy. Soc. London: A452, 1996.– 1113–1126 p. 5. Ibrahim R.A. Liquid Sloshing Dynamics: Theory and Applications.– Cambridge: Cambridge Universi- ty Press, 2005.– 947 p. 6. Константiнов О. В., Лимарченко О. С. Узагальне- на задача Фарадея про рух резервуару з рiдиною з вiльною поверхнею.– Фiзико-математичне моде- лювання та iнформацiйнi технологiї: 2012, Вип.3.– 100–110 с. 7. Розенцвейг Р. Феррогидродинамика: Пер. с англ.– М.: Мир, 1989.– 368 с. 8. Muller H. W. Parametrically driven surface waves on viscous ferrofluids.– Phys. Rev.: E 58, 1998.– 6199–6205 p. 9. Mekhonoshin V. V., Lange A. Faraday instability on viscous ferrofluids in a horizontal magnetic field: Obli- que rolls of arbitrary orientation.– Phys. Rev.: E 65, 2002.– 061509-1–061509-7 p. 10. Potseluiev S. I., Patsegon M. F. Parametric instabili- ty of the free surface of nonlinear magnetizable fluid.– Contemporary problems of mathematics, mechani- cs and computing sciences: Kharkov, «Apostrophe», 2011.– 104–120 p. 11. Blums E., Cebers A., Maiorov M. M. Magnetic Fluids.– Walter de Gruyter: Berlin, 1997.– 416 p. 12. Mahr T., Rehberg I. Magnetic Faraday instability.– Europhys. Lett.: 43 (1), 1998.– 23–28 p. 13. Bajaj R., Malik S. K. Parametric instability of the interface between two viscous magnetic fluids.– J. Magn. Magn. Mater.: 253, 2002.– 35—44 p. 14. Hennenberg M., Slavtchev S., Weyssow B. Modelling of an oscoillatory magnetic field action on a ferrofluid layer.– Microgravity Sci. Technol.: 21(Suppl.1), 2009.– 45—50 p. 15. Hennenberg M., Slavtchev S., Valchev G. On the Hill Equation Describing Oscillations of a Ferrofluid Free Surface in a Vertical Magnetic Field.– Microgravity Sci. Technol.: 22, 2010.– 455—460 p. 16. Bajaj R. Two frequency parametric excitation of the surface of a viscous magnetic fluid.– J. Magn. Magn. Mater.: 261, 2003.– 29—47 p. 17. Баштовой В.Г., Берковский Б.М, Висло- вич А.Н. Введение в термомеханику магнитных жидкостей.– М.: ИВТАН, 1985.– 188 с. 18. Selezov I.T., Krivonos Yu.G. Modeling the effect of magnetic field on wave propagation in ferrofluids and elastic bodies with void fraction.– Cybernetics and System Analysis: Vol. 49, No. 4, 2013.– 569—577 p. 19. Тарапов И.Е. Механика сплошной среды. В 3 ч. Ч. 2: Общие законы кинематики и динамики.– Харь- ков: Золотые страницы, 2002.– 516 с. 20. Ахиезер А.И. Общая физика. Электрические и ма- гнитные явления : справочное пособие.– Киев: На- укова думка, 1981.– 472 с. 21. Kaiser A.,Gelbrich T.,Schmidt A.M. Thermosensiti- ve magnetic fluids.– J. Phys.: Condens. Matter, 18.– 2006 p.2563–2580 22. Поцелуев С.И., Пацегон Н.Ф. Устойчивость свободной поверхности вязкой намагничиваю- щейся жидкости при многопараметрическом возбуждении.– Матерiали конференцiї: Дифе- ренцiальнi рiвняння, обчислювальна математика, теорiя функцiй та математичнi методи механiки, м. Київ, 23–24 квiтня 2014 р.– 104 с. Н. Ф. Пацегон, C. И. Поцелуев 51

Устойчивость свободной поверхности вязкой намагничивающейся жидкости при многопараметрическом возбуждении

Репозитарії

Схожі ресурси