Теоретическое обоснование плоскорадиального фильтрования суспензии
Получено приближенное решение осесимметричной задачи фильтрования суспензии при линейной кинетике массообмена и постоянной гидравлической нагрузке. Выполнена оценка его точности путем сопоставления с частными строгими решениями. На многочисленных примерах для идентичных условий проведено сопоставлен...
Gespeichert in:
| Datum: | 2014 |
|---|---|
| 1. Verfasser: | |
| Format: | Artikel |
| Sprache: | Russian |
| Veröffentlicht: |
Інститут гідромеханіки НАН України
2014
|
| Schriftenreihe: | Прикладна гідромеханіка |
| Schlagworte: | |
| Online Zugang: | http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/116483 |
| Tags: |
Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Zitieren: | Теоретическое обоснование плоскорадиального фильтрования суспензии / В.Л. Поляков // Прикладна гідромеханіка. — 2014. — Т. 16, № 3. — С. 52-62. — Бібліогр.: 16 назв. — рос. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
irk-123456789-116483 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
irk-123456789-1164832017-04-29T03:02:55Z Теоретическое обоснование плоскорадиального фильтрования суспензии Поляков, В.Л. Науковi статтi Получено приближенное решение осесимметричной задачи фильтрования суспензии при линейной кинетике массообмена и постоянной гидравлической нагрузке. Выполнена оценка его точности путем сопоставления с частными строгими решениями. На многочисленных примерах для идентичных условий проведено сопоставление плоскорадиального фильтрования с традиционным вертикальным и показано, что реализация первого в загрузке, имеющей форму цилиндрического слоя, в принципе позволяет существенно (в два-три раза) продлить непрерывную и продуктивную работу водоочистных фильтров. Одержано наближений розв'язок вісесиметричної задачі фільтрування суспензії при лінійній кінетиці масообміну і сталому гідравлічному навантаженні. Виконанo оцінку його точності шляхом порівняння з частинними строгими розв'язками. На багаточисленних прикладах для ідентичних умов проведено співставлення плоскорадіального фільтрування з традиційним вертикальним і показано, що реалізація першого в завантаженні, що має форму циліндричного шару, в принципі дозволяє суттєво (в два-три рази) подовжити неперервну продуктивну роботу водоочисних фільтрів. An approximate solution has been obtained to the axesymmetric task of suspension filtration at linear mass exchange kinetics and constant loading rate. Its accuracy estimation has been performed by comparison with a particular exact solution. At numerous examples and identical conditions axesymmetric filtration has been compared with traditional vertical deep-bed filtration and the first one was shown to prolong essentially (by two-three fold) continuous and productive filter operation. 2014 Article Теоретическое обоснование плоскорадиального фильтрования суспензии / В.Л. Поляков // Прикладна гідромеханіка. — 2014. — Т. 16, № 3. — С. 52-62. — Бібліогр.: 16 назв. — рос. 1561-9087 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/116483 532.546:631.4 ru Прикладна гідромеханіка Інститут гідромеханіки НАН України |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| language |
Russian |
| topic |
Науковi статтi Науковi статтi |
| spellingShingle |
Науковi статтi Науковi статтi Поляков, В.Л. Теоретическое обоснование плоскорадиального фильтрования суспензии Прикладна гідромеханіка |
| description |
Получено приближенное решение осесимметричной задачи фильтрования суспензии при линейной кинетике массообмена и постоянной гидравлической нагрузке. Выполнена оценка его точности путем сопоставления с частными строгими решениями. На многочисленных примерах для идентичных условий проведено сопоставление плоскорадиального фильтрования с традиционным вертикальным и показано, что реализация первого в загрузке, имеющей форму цилиндрического слоя, в принципе позволяет существенно (в два-три раза) продлить непрерывную и продуктивную работу водоочистных фильтров. |
| format |
Article |
| author |
Поляков, В.Л. |
| author_facet |
Поляков, В.Л. |
| author_sort |
Поляков, В.Л. |
| title |
Теоретическое обоснование плоскорадиального фильтрования суспензии |
| title_short |
Теоретическое обоснование плоскорадиального фильтрования суспензии |
| title_full |
Теоретическое обоснование плоскорадиального фильтрования суспензии |
| title_fullStr |
Теоретическое обоснование плоскорадиального фильтрования суспензии |
| title_full_unstemmed |
Теоретическое обоснование плоскорадиального фильтрования суспензии |
| title_sort |
теоретическое обоснование плоскорадиального фильтрования суспензии |
| publisher |
Інститут гідромеханіки НАН України |
| publishDate |
2014 |
| topic_facet |
Науковi статтi |
| url |
http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/116483 |
| citation_txt |
Теоретическое обоснование плоскорадиального фильтрования суспензии / В.Л. Поляков // Прикладна гідромеханіка. — 2014. — Т. 16, № 3. — С. 52-62. — Бібліогр.: 16 назв. — рос. |
| series |
Прикладна гідромеханіка |
| work_keys_str_mv |
AT polâkovvl teoretičeskoeobosnovanieploskoradialʹnogofilʹtrovaniâsuspenzii |
| first_indexed |
2025-07-08T10:28:03Z |
| last_indexed |
2025-07-08T10:28:03Z |
| _version_ |
1837074202345078784 |
| fulltext |
ISSN 1561 -9087 Прикладна гiдромеханiка. 2014. Том 16, N 3. С. 52 – 62
УДК 532.546:631.4
ТЕОРЕТИЧЕСКОЕ ОБОСНОВАНИЕ
ПЛОСКОРАДИАЛЬНОГО ФИЛЬТРОВАНИЯ СУСПЕНЗИИ
В. Л. ПО ЛЯ К ОВ
Институт гидромеханики НАН Украины, Киев
03680 Киев – 180, МСП, ул.Желябова, 8/4
polyakov_IGM@list.ru
Получено 23.06.2014
Получено приближенное решение осесимметричной задачи фильтрования суспензии при линейной кинетике массо-
обмена и постоянной гидравлической нагрузке. Выполнена оценка его точности путем сопоставления с частными
строгими решениями. На многочисленных примерах для идентичных условий проведено сопоставление плоскора-
диального фильтрования с традиционным вертикальным и показано, что реализация первого в загрузке, имеющей
форму цилиндрического слоя, в принципе позволяет существенно (в два-три раза) продлить непрерывную и проду-
ктивную работу водоочистных фильтров.
КЛЮЧЕВЫЕ СЛОВА: плоскорадиальное фильтрование, суспензия, фильтрат, потери напора, массообмен, загруз-
ка.
Одержано наближений розв’язок вiсесиметричної задачi фiльтрування суспензiї при лiнiйнiй кiнетицi масообмiну
i сталому гiдравлiчному навантаженнi. Виконанo оцiнку його точностi шляхом порiвняння з частинними строгими
розв’язками. На багаточисленних прикладах для iдентичних умов проведено спiвставлення плоскорадiального фiль-
трування з традицiйним вертикальним i показано, що реалiзацiя першого в завантаженнi, що має форму цилiндри-
чного шару, в принципi дозволяє суттєво (в два-три рази) подовжити неперервну продуктивну роботу водоочисних
фiльтрiв.
КЛЮЧОВI СЛОВА: плоскорадiальне фiльтрування, суспензiя, фiльтрат, втрати напору, масообмiн, завантаження.
An approximate solution has been obtained to the axesymmetric task of suspension filtration at linear mass exchange
kinetics and constant loading rate. Its accuracy estimation has been performed by comparison with a particular exact
solution. At numerous examples and identical conditions axesymmetric filtration has been compared with traditional
vertical deep-bed filtration and the first one was shown to prolong essentially (by two-three fold) continuous and productive
filter operation.
KEY WORDS: radial deep-bed filtration, suspension, filtrate, head loss, mass-exchange, filter medium.
ВВЕДЕНИЕ
Ввиду значительной стоимости фильтрование
воды, содержащей избыточное количество диспер-
сной примеси, через специальные пористые (зер-
нистые) материалы применяется, как правило, на
заключительном этапе ее очистки. Однако осве-
тлительный ресурс водоочистных фильтров очень
часто используется нерационально. При тради-
ционном вертикальном фильтровании взвешен-
ное вещество осаждается преимущественно в не-
посредственной близости от горизонтальной вхо-
дной поверхности загрузки. Вследствие сравни-
тельно быстрого сокращения здесь порового про-
странства ускоренно нарастает гидравлическое со-
противление загрузки, что нередко и становится
причиной преждевременных прекращений работы
фильтровальных сооружений и промывки локаль-
но заиленного фильтрующего материала. Увели-
чить время непрерывного действия фильтра (дли-
тельность фильтроцикла) удается благодаря
устройству слоистой загрузки, верхние слои ко-
торой хуже задерживают взвесь, чем нижние [1-
3]. Тем не менее подобные конструкции не нашли
широкого распространения в практике водоочис-
тки из-за сложностей их эксплуатации и несуще-
ственного повышения эффективности разделения
суспензии. Намного же интенсифицировать удале-
ние взвешенных частиц позволяет плоскорадиаль-
ное фильтрование [4-6]. Кстати, благодаря этому
снижается потребность в химических реагентах,
которые могут представлять опасность для здоро-
вья человека. Реализуется оно в загрузках, имею-
щих форму цилиндрического слоя (рис. 1).
Цель данной работы – получение и апробация
приближенного решения задачи плоскорадиально-
го фильтрования суспензии, а затем демонстрация
с его помощью серьезных преимуществ указанного
малоизученного и в настоящее время не практику-
емого способа осветления природных и дочищае-
мых сточных вод перед традиционным вертикаль-
ным.
52 c© В.Л. Поляков, 2014
ISSN 1561 -9087 Прикладна гiдромеханiка. 2014. Том 16, N 3. С. 52 – 62
1. ПОСТАНОВКА И РЕШЕНИЕ
МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ЗАДАЧИ
Современные исследования фильтрования су-
спензии аналитическими и численными методами
опираются, главным образом, на математическую
модель, которая обе составляющие массообмена
между твердой и жидкой фазами пористой среды
(прилипание и отрыв частиц суспензии) описывает
раздельно [7, 8]. С использованием ряда обосно-
ванных допущений основополагающую сложную
модель удается заметно упростить и в конечном
итоге она принимает следующий вид:
V (r)
∂C
∂r
−
∂S
∂t
= 0, (1)
∂S
∂t
= αV V l (r)C − βV V q (r) S, (2)
V (r) = k (S)
∂h
∂r
, (3)
k (S) = k0
[
1 −
(
γ
S
n0
)m1
]m2
; (4)
t = 0, S = 0; (5)
r = r0, C = C0; (6)
r = re, h = Hd. (7)
Здесь V – переменная в радиальном направлении
скорость фильтрования; C, S – объемные концен-
трации взвешенных и осажденных частиц суспен-
зии; h – пьезометрический напор; αV , βV – при-
веденные коэффициенты скоростей прилипания и
отрыва указанных частиц; γ – соотношение между
объемными концентрациями осадка и содержащи-
хся в нем частиц суспензии; k, k0 – коэффици-
енты фильтрации заиляемой и чистой загрузки;
n0 – пористость чистой загрузки; r0, re – радиу-
сы внешней и внутренней цилиндрических поверх-
ностей загрузки; C0 – исходная объемная концен-
трация взвеси; Hd – напор на выходе из загрузки;
l, q, m1, m2 – эмпирические коэффициенты; су-
спензия подается извне.
Окончательный вид модели (1) – (7) придается
после введения безразмерных переменных и пара-
метров, включающих в качестве масштабов длины
и скорости величины r0 и V0, где гидравлическая
нагрузка V0 = Qf/(2πr0Lf ); Qf – производитель-
ность фильтра; Lf – высота цилиндрической за-
грузки. В итоге получаем:
V̄ (r̄)
∂C̄
∂r̄
−
∂S̄
∂t̄
= 0, (8)
∂S̄
∂t̄
= ᾱV V̄ l (r̄) C̄ − β̄V V̄ q (r̄) S̄, (9)
Рис. 1. Схема плоскорадиального фильтрования
суспензии (подача извне)
V̄ (r̄) = −k̄
(
S̄
)
ln r̄e
∂h̃
∂r̄
, (10)
k̄
(
S̄
)
=
(
1 − γ̄m1 S̄m1
)m2
; (11)
t̄ = 0, S̄ = 0; (12)
r̄ = 1, C̄ = 1; (13)
r̄ = r̄e, h̃ = 0. (14)
Здесь V̄ = V/V0 , C̄ = C/C0, S̄ = S/ (n0C0), r̄ =
r/r0, r̄e = re/r0, t̄ = V0t/ (n0r0), ᾱV = r0V
l−1
0 αV ,
β̄V = n0r0V
q−1
0 βV , k̄ = k/k0, γ̄ = γC0, а также
приведенный напор
h̃ (r̄, t̄) =
h (r, t) − Hd
h (r0, 0) − Hd
= k0
h (r, t) − Hd
r0V0
.
В постановке задачи (8)–(14) не отражена кра-
тковременная начальная стадия фильтрования с
перемещающимся в загрузке фронтом загрязне-
ния. Тем не менее, исходя из (8), (9), несложно
строго найти функцию распределения взвешенно-
го вещества в конце указанной стадии C̄0(r̄), а
именно:
C̄0 (r̄) = exp
−ᾱV
1
∫
r̄
V̄ l−1 (ξ) dξ
. (15)
В.Л. Поляков 53
ISSN 1561 -9087 Прикладна гiдромеханiка. 2014. Том 16, N 3. С. 52 – 62
Данный концентрационный профиль далее по-
стоянно трансформируется, а величина C̄ везде,
за исключением входа в загрузку, монотонно ра-
стет. Из (15) вытекает, что в отсутствии “зарядки”
фильтр в состоянии обеспечить следующие мини-
мальные концентрации взвеси в фильтрате:
при плоскорадиальном фильтровании
C̄0(r̄e) = C̄ (r̄e, 0) = exp
(
αV
r̄2−l
e − 1
2 − l
)
,
при радиальном фильтровании
C̄0(r̄e) = exp
(
αV
r̄3−2l
e − 1
3 − 2l
)
.
Процедура построения приближенного решения
аналогичной задачи традиционного вертикально-
го фильтрования при постоянной гидравлической
нагрузке, а также обоснование его высокой то-
чности изложены в работах [1, 9]. Ниже внима-
ние акцентируется на технологических аспектах
осветления суспензии в случае осесимметричной
формы взвесенесущего фильтрационного потока,
способствующей более равномерному осаждению
взвешенного вещества в объеме загрузки. Поэто-
му громоздкие промежуточные выкладки опуска-
ются.
Прежде всего концентрация S̄ в уравнении (9)
осредняется по расчетному периоду [0, T ], а имен-
но,
S̄c (r̄; T ) =
1
T
T
∫
0
S̄ (r̄, t̄)dt̄.
Тогда концентрация взвеси C̄ после решения урав-
нения (8) с учетом (9) при условии (13) выражае-
тся через нововведенный параметр T и осреднен-
ную характеристику S̄c следующим образом:
C̄ (r̄; T ) =
= e−U(r̄)
1 + β̄V
1
∫
r̄
e−U(η)V̄ q−1 (η) S̄c (η; T )dη
,
(16)
где U (r̄) = ᾱV
1
∫
r̄
V̄ l−1 (ξ)dξ. Благодаря подстанов-
ке (16) в уравнение (9), интегрирования последне-
го и осреднению полученного таким путем выра-
жения для S̄ (r̄, t̄) в итоге выведено интегральное
уравнение относительно S̄c:
[
2 + β̄V T V̄ q (r̄)
]
eU(r̄) · S̄c (r̄; T ) =
= ᾱV β̄V T V̄ l (r̄)
1
∫
r̄
eU(η)V̄ q−1 (η) S̄c (η; T )dη+ (17)
+ᾱV T V̄ l (r̄) .
В результате решения уравнения (17) получено:
S̄c (r̄; T ) =
ᾱV T V̄ l (r̄)
2 + β̄V T V̄ q (r̄)
×
× exp
−2ᾱV
1
∫
r̄
V̄ l−1 (ξ) dξ
2 + β̄V T V̄ q (ξ)
. (18)
Интегрирование уравнения (9), в котором опи-
сывающее отрыв осадка слагаемое осреднено по
времени, при начальном условии (12) и с учетом
(18) дает
S̄ (r̄; t̄) =
2ᾱV t̄V̄ l (r̄)
2 + β̄V t̄V̄ q (r̄)
×
× exp
−2ᾱV
1
∫
r̄
V̄ l−1 (ξ) dξ
2 + β̄V t̄V̄ q (ξ)
. (19)
Наконец, выражение (19) подставляется в уравне-
ние (16), и после ряда преобразований получаем:
C̄ (r̄; t̄) = 2 exp
−2ᾱV
1
∫
r̄
V̄ l−1 (ξ) dξ
2 + β̄V t̄V̄ q (ξ)
−
− exp
−ᾱV
1
∫
r̄
V̄ l−1 (ξ) dξ
. (20)
При плоскорадиальном фильтровании суспен-
зии с постоянной гидравлической нагрузкой име-
ем:
V =
Qf
2πLfr
, V̄ =
1
r̄
. (21)
Тогда формула для расчета выходной концентра-
ции C̄e преобразуется к такому виду
C̄e (t̄) = 2 exp
−2ᾱV
1
∫
r̄e
ξ1+q−ldξ
2ξq + β̄V t̄
−
− exp
ᾱV
(
r̄2−l
e − 1
)
2 − l
. (22)
Выразить интегралы в формулах (19), (20) че-
рез элементарные функции удается лишь при не-
которых значениях показателей l, q. Так, если
массообмен не зависит от скорости фильтрования
(l = q = 0), то
S̄ (r̄; t̄) =
2ᾱV t̄
2 + β̄V t̄
exp
ᾱV
(
r̄2 − 1
)
2 + β̄V t̄
, (23)
54 В.Л. Поляков
ISSN 1561 -9087 Прикладна гiдромеханiка. 2014. Том 16, N 3. С. 52 – 62
C̄ (r̄; t̄) = 2 exp
ᾱV
(
r̄2 − 1
)
2 + β̄V t̄
−exp
ᾱV
(
r̄2 − 1
)
2
. (24)
Если же прилипание примеси наоборот, суще-
ственно зависит от указанной скорости, а ее мо-
билизация нет (l = 1, q = 0), то
S̄ (r̄; t̄) =
2ᾱV t̄
r̄
(
2 + β̄V t̄
) exp
2ᾱV (r̄ − 1)
2 + β̄V t̄
, (25)
C̄ (r̄; t̄) = 2 exp
2ᾱV (r̄ − 1)
2 + β̄V t̄
−exp (ᾱV r̄ − ᾱV ) . (26)
Наконец, если фильтрационный процесс оказыва-
ет сильное влияние на обе стороны массообмена
(l = q = 1), то
S̄ (r̄; t̄) =
2ᾱV t̄
2r̄ + β̄V t̄
(
2 + β̄V t̄
2r̄ + β̄V t̄
)
ᾱV β̄V t̄
2
· eᾱV (r̄−1),
(27)
C̄ (r̄; t̄) =
2 + β̄V t̄
2r̄ + β̄V t̄
eᾱV (r̄−1). (28)
При установленном распределении осажденных
частиц в радиальном направлении легко найти,
опираясь на фильтрационный блок исходной мате-
матической модели, приведенный напор как фун-
кцию от относительных радиуса и времени.Из
уравнения движения (10) с учетом (11) и (18) в
общем случае вытекает, что
h̃ (r̄, t̄) = −
1
ln r̄e
r̄
∫
r̄e
dξ
ξ
[
1 − γ̄m1 S̄m1 (ξ, t̄)
]m2
. (29)
Значение напора h̃ в точке r̄ также имеет
смысл относительных потерь напора на участ-
ке осесимметричного фильтрационного потока
[r̄e, r̄].Таким образом, полные относительные по-
тери напора в загрузке ∆h̄ на любой момент
времени будут составлять h̃(1, t̄). Здесь ∆h̄ =
∆h/∆h0, ∆h0 = h(r0, 0) − Hd.
Ключевую роль при управлении фильтроваль-
ной установкой играет длительность фильтроци-
кла tf [10, 11]. Именно своевременное прекраще-
ние фильтрования (в момент времени tf ) позволя-
ет добиться от нее максимально возможной в рас-
сматриваемых условиях отдачи. Необоснованное
продление работы установки нецелесообразно по
одной из следующих причин: или в фильтрате бу-
дет содержаться чрезмерное количество взвешен-
ного вещества, или потери напора в загрузке ока-
жутся настолько большими, что ее производитель-
ность начнет снижаться. Поэтому искомое вре-
мя tf устанавливается, исходя из двух критериев.
Прежде всего, концентрация взвеси на выходе из
загрузки не должна превышать строго определен-
ного значения C∗, регламентируемого санитарно-
гигиеническими нормами. Отвечающее этому тре-
бованию относительное время защитного действия
загрузки t̄p находится при произвольных значени-
ях l, q путем решения уравнения
2 exp
−2ᾱV
1
∫
r̄e
V̄ l+q−1 (ξ) dξ
2 + β̄V t̄pV̄ q (ξ)
=
= C̄∗ + exp
−ᾱV
1
∫
r̄e
V̄ l−1 (ξ) dξ
. (30)
Для рассмотренных выше частных случаев свя-
зи фильтрационного и массообменного процессов
удается получить формулы для непосредственно-
го вычисления t̄p. Так, при l = q = 0
t̄p =
ᾱV
(
r̄2
e − 1
)
β̄V ln
(
C̄∗
2
+
1
2
exp
ᾱV r̄2
e − ᾱV
2
) −
2
β̄V
; (31)
при l = 1, q = 0
t̄p =
ᾱV (r̄e − 1)
β̄V ln
(
C̄∗
2
+
1
2
eᾱV (r̄e−1)
) −
2
β̄V
; (32)
при l = q = 1
t̄p =
2
β̄V
·
(
1 − C̄∗ + eᾱV (r̄e−1)
)
−ᾱV
(
C̄∗ + eᾱV (r̄e−1)
)
−ᾱV
− 1
. (33)
Вместе с тем нежелательно, чтобы потери напо-
ра в загрузке ∆h превысили величину ∆h∗, что
повлечет за собой снижение производительности
фильтровальной установки. Момент времени th,
когда нарастающие вследствие прогрессирующего
заиления фильтрующего материала потери напо-
ра сравниваются с предельно допустимыми поте-
рями ∆h∗, предлагается вычислять подбором из
уравнения
1
∫
r̄e
dξ
ξ
[
1 − γ̄m1 S̄m1 (ξ, t̄h)
]m2
+ ∆h̄∗ · ln r̄e = 0, (34)
где ∆h̄∗ = ∆h∗/ [h (r0, 0) − Hd].
Поскольку полученное выше аналитическое ре-
шение является приближенным, то, прежде чем
рекомендовать для применения в практике филь-
трования, необходимо оценить его точность. Сде-
лать это удается, привлекая частные строгие ре-
шения исходной математической задачи, найден-
ные в работе [12]. Далее представляются основные
В.Л. Поляков 55
ISSN 1561 -9087 Прикладна гiдромеханiка. 2014. Том 16, N 3. С. 52 – 62
расчетные формулы, вытекающие из них. Так, при
l = q = 0 относительные выходная концентрация
взвеси и распределение концентрации осажденных
частиц описываются следующими зависимостями:
C̄ (r̄, t̄) = e−ᾱV
1−r̄2
e
2
[
e−β̄V t̄I0
(
√
2ᾱV β̄V (1 − r̄2
e)t̄
)
+
+β̄V
t̄
∫
0
e−β̄V λI0
(
√
2ᾱV β̄V (1 − r̄2
e)λ
)
dλ
, (35)
S̄ (r̄, t) = ᾱV V̄ l (r̄) e−ᾱV
1−r̄2
2 ×
×
t̄
∫
0
e−β̄V λI0
(
√
2ᾱV β̄V (1 − r̄2)λ
)
dλ, (36)
где I0 (x) – функция Бесселя мнимого аргумента
первого рода нулевого порядка. Тогда приведен-
ный напор в загрузке h̃1 будет
h̃1 (r̄, t̄) =
1
ln r̄e
r̄
∫
1
dξ
ξ
[
1 − γ̄m1 S̄m1 (ξ, t̄)
]m2
. (37)
Второе подобное решение дает возможность точно
находить вышеупомянутые концентрации при l =
1, q = 0 по формулам
C̄ (r̄, t̄) = e−ᾱV (1−r̄e)
[
e−β̄V t̄I0
(
2
√
ᾱV β̄V (1 − r̄e) t̄
)
+
+β̄V
t̄
∫
0
e−β̄V λI0
(
2
√
ᾱV β̄V (1 − r̄e) λ
)
dλ
, (38)
S̄ (r̄, t) =
ᾱV
r̄
e−ᾱV (1−r̄)×
×
t̄
∫
0
e−β̄V λI0
(
2
√
ᾱV β̄V (1 − r̄)λ
)
dλ, (39)
а напор – по формуле (37), в которой S̄1 следует
заменить на S̄2.
2. ОБСУЖДЕНИЕ РЕЗУЛЬТАТОВ
РАСЧЕТОВ
Обстоятельный количественный анализ плоско-
радиального фильтрования выполнялся на много-
численных примерах с целью показать его высо-
кую эффективность и серьезные преимущества пе-
ред традиционным вертикальным. Поскольку ба-
зировался анализ на построенном выше прибли-
женном аналитическом решении, то особое вни-
мание было уделено вопросу точности последне-
го. Оценивалась она путем сопоставления значе-
ний выходной концентрации взвеси C̄e, рассчитан-
ных по точным формулам (35), (38) и прибли-
женной (22). При этом ключевой массообменный
коэффициент ᾱV варьировался в диапазоне от 4
до 9 и, кроме того, были зафиксированы значе-
ния β̄V (0.005), r̄e (0.333). Строгие и приближен-
ные кривые зависимости C̄e (t̄), отвечающие ча-
стному случаю l = q = 0, изображены на рис. 2.
Следует подчеркнуть, что для полноты сравнения
выбран очень большой расчетный период, так что
его продолжительность намного превосходит вре-
мя защитного действия загрузки. Тем не менее,
даже в конце него разница между приближенным
и эталонным значениями C̄e не превышала 6.7 %.
Если же выполнять прогноз качества фильтрата,
то расчетное время намного сокращается и поэто-
му величина C̄e вычислялась уже с погрешностью
менее 1. . . 1.5%. В тех же пределах, как свиде-
тельствует рис. 3, примерные значения C̄e откло-
няются от точных в другом показательном случае
(l = 1, q = 0), хотя максимальная ошибка в при-
мерах чуть снижается – до 6.3 %. И также она
оказывается ничтожно малой в представляющем
интерес для проектировщиков и технологов вре-
менном интервале. И в заключение обоснования
приближенного решения определялась динамика
осаждения частиц суспензии на входе в загрузку
(r̄ = 1). При этом соответствующая входная кон-
центрация S̄0 рассчитывалась по точной формуле
S̄0(t̄) =
αV
βV
(1 − e−β̄V t̄)
и по приближенной формуле, вытекающей из (19)
с учетом V̄ (1) = 1, так что
S̄0 (t̄) =
2ᾱV t̄
2 + β̄V t̄
. (40)
Следует заметить, что концентрация S̄0 не за-
висит от l, q и в таком смысле результаты сопо-
ставления ее точных и приближенных значений
являются обобщенными. По написанию формула
(40) совпадает с аналогичной формулой для верти-
кального фильтрования. Однако их идентичность
имеет место только благодаря использованию без-
размерных коэффициентов и времени, а при пе-
реходе к размерным формулы для S̄0, естествен-
но, отличаются. Соответствующие трем значени-
ям ᾱV графики зависимости S̄0 (t̄) изображены на
рис. 4. Расхождение между кривыми, вычислен-
ными при одном и том же ᾱV по различным фор-
мулам, также оказалось порядка 1-2 %. Важно
56 В.Л. Поляков
ISSN 1561 -9087 Прикладна гiдромеханiка. 2014. Том 16, N 3. С. 52 – 62
Рис. 2. Рост относительной выходной объемной
концентрации взвеси с течением времени (l = 0):
1, 3, 5 – точный расчет; 2, 4, 6 – приближенный;
1, 2 – ᾱV = 5; 3, 4 – ᾱV = 7; 5, 6 – ᾱV = 9
Рис. 3. Рост относительной выходной объемной
концентрации взвеси с течением времени (l = 1):
1, 3, 5 – точный расчет; 2, 4, 6 – приближенный;
1, 2 – ᾱV = 4; 3, 4 – ᾱV = 6; 5, 6 – ᾱV = 8
отметить, что в рассмотренных примерах факти-
чески охвачен весь диапазон возможных значений
показателя l вследствие выбора его значений 0, 1,
тогда как по литературным данным минимальные
значения l составляют -0.3, -0.2 [13, 14], а макси-
мальные 0.7, 0.875 [7, 15]. Вообще же в последу-
ющем разнообразном анализе будут почти исклю-
чительно задействованы установленные опытным
путем значения – 0.3 и 0.7. Представленные на
рис. 2 – 4 результаты дают основание считать при-
Рис. 4. Рост относительной объемной концентрации
осажденных частиц во входном сечении загрузки с
течением времени:
1, 3, 5 – приближенный расчет; 2, 4, 6 – точный;
1, 2 – ᾱV = 12; 3, 4 – ᾱV = 10; 5, 6 – ᾱV = 8
ближенное решение надежным инструментом для
углубленных теоретических исследований плоско-
радиального фильтрования, а в перспективе и на-
учного обоснования технологических и констру-
ктивных параметров цилиндрических загрузок.
Для дальнейших расчетов привлекались толь-
ко приближенные формулы и уравнения. Вместе
с тем, чтобы оценить значимость пространствен-
ной неравномерности течения суспензии для рабо-
ты фильтра, использовалось аналогичное решение
задачи вертикального фильтрования, изложенное
в работах [9, 10], где даны вытекающие из него
следующие простые и надежные выражения для
относительных функций – концентраций и приве-
денного напора C̄e (t̄), S̄ (z̄, t̄) , h̃ (z̄, t̄):
C̄e(̄t̄) = 2e
−
2ᾱ
2 + β̄¯̄t − e−ᾱ, (41)
S̄(z̄, ¯̄t) =
2ᾱ¯̄t
2 + β̄¯̄t
e
−
2ᾱz̄
2 + β̄¯̄t , (42)
h̃(z̄, ¯̄t) =
z̄
∫
0
dξ
[
1 − γ̄m1 S̄m1(ξ, ¯̄t)
]m2
, (43)
где z̄ = z/L, L−высота колонки фильтрующего
материала. При обезразмеривании в них независи-
мых переменных t, z и коэффициентов α, β при-
менялись другие масштабы длины и скорости. По-
этому для корректности сопоставления традици-
В.Л. Поляков 57
ISSN 1561 -9087 Прикладна гiдромеханiка. 2014. Том 16, N 3. С. 52 – 62
онного и плоскорадиального фильтрования при-
ходилось относительные величины ᾱ, β̄, ¯̄t (вер-
тикальное) пересчитывать, выразив их предвари-
тельно через ᾱV , β̄V , t̄ (плоскорадиальное) и гео-
метрические параметры обеих загрузок следую-
щим образом:
ᾱ = ᾱV Lrl−2
0
(
2πLf
ω
)l−1
,
β̄ = β̄V Lrq−2
0
(
2πLf
ω
)q−1
,
¯̄t =
V t
n0L
=
2πr2
0Lf
ωL
t̄,
где ω – площадь входной поверхности колонки за-
грузки.
Базовая информация, предназначенная для
сравнения двух способов фильтрования в схо-
дных условиях, включала, прежде всего, одина-
ковые значения объемов (Wf = 1 м3) и высот
(L, Lf = 1 м) загрузок, а также производитель-
ности фильтров (Qf = 10 м3/ч). В данной ситу-
ации при поступлении суспензии через внешнюю
цилиндрическую поверхность загрузки величину
Qf можно трактовать как удельный (на едини-
цу ее высоты) расход. Очевидно, что увеличение
Lf при неизменном отношении Qf/Lf обусловит
эквивалентное наращивание производительности
фильтра, которое никак не отразится на техно-
логических характеристиках. Ограничения же на
высоту Lf накладываются, исходя из соображений
экономической, технологической, конструктивной
целесообразности использования высоких колонн-
загрузок. Фильтрационные свойства чистого ра-
бочего материала обеих загрузок характеризова-
лись параметрами: k0 = 10м/ч, n0 = 0.35. Пло-
щадь входной поверхности первой загрузки (ку-
бическая, ω) полагалась равной 1 м2, а внутрен-
ний радиус второй (цилиндрический слой, re) со-
ставил 0.2 м. Тогда при заданном объеме слоя Wf
внешний радиус (r0) равен 0.6 м. Таким образом,
скорость вертикального фильтрования была по-
стоянной V = V0 = 10 м/ч. В цилиндрической
же загрузке на входе в нее скорость V0 оказалась
в несколько раз меньше (2.653 м/ч) и монотонно
росла с уменьшением радиуса вплоть до макси-
мального значения на выходе (7.958 м/ч). Компле-
ксный параметр γ̄, который служит одновременно
мерой содержания частиц суспензии в осадке (γ)
и на входе в загрузку (C0), выбирался или рав-
ным 0.001, или варьировался в широких пределах,
что характерно уже не только для доочистки сто-
чных вод, но и для обработки мутной воды с боль-
шим количеством дисперсной примеси. Наконец, в
выражении для текущего коэффициента фильтра-
ции (11), как обычно, приняты для коэффициен-
тов m1, m2 значения 1 и 3.
Итак, все последующие расчеты проводились
параллельно с помощью приведенных выше фор-
мул, уравнений для традиционного и нетрадици-
онного способов фильтрования. Их предметом ста-
ли относительные величины – выходная концен-
трация взвеси C̄e, потери напора в загрузке ∆h̄
(эквивалентны h̃
(
0, t̃
)
или h̃ (1, t̄)), технологиче-
ские времена t̄p, t̄h, опираясь на которые затем
конкретизировался ключевой технологический па-
раметр (t̄f ).
В первую очередь рассчитывался рост содержа-
ния взвешенного вещества в фильтрате. Графики
зависимости C̄e(t̄), отвечающие разным способам
фильтрования, значениям ᾱV , представлены на
рис. 5 для l = 0.7 и рис. 6 для l = −0.3. Естествен-
но, что в случае усиленного прилипания взвешен-
ных частиц к фильтрующему материалу за счет
большой скорости фильтрования и l > 0 их про-
скок в кубической загрузке сначала заметно мень-
ше, чем в цилиндрической. Однако со временем в
обоих загрузках задерживалось примерно одина-
ковое количество примеси. Если же фильтрацион-
ный процесс тормозит адгезионный (l < 0), то за-
щитная способность второй загрузки оказывалась
намного сильнее. Содержание взвеси в фильтрате
высокое уже в начале осветления суспензии при
меньших значениях ᾱV и l = −0.3. Дольше все-
го обе загрузки в данной серии примеров могли
обеспечивать требуемое качество водоочистки при
ᾱV =10 и l = 0.7.
В еще большей степени отражается ускорение
течения суспензии и вызванное им изменение ско-
рости осаждения взвешенных частиц на распреде-
лении напора и его потерях в обоих рассматрива-
емых загрузках. На рис. 7 и 8 показан рост отно-
сительных потерь напора, в загрузке со време-
нем, рассчитанный по приближенным формулам
для плоскорадиального (19), (29) и вертикально-
го (42), (43) фильтрования при тех же значениях
ᾱV и γ̄ = 0.001. Рис. 7 отвечает особо благопри-
ятным для адгезии частиц суспензии условиям,
а рис. 8, наоборот, неблагоприятным. С гидрав-
лической точки зрения преимущество нетрадици-
онного способа фильтрования в первой ситуации
очевидно. Благодаря более активному участию в
осветлительном процессе периферийного участка
цилиндрической загрузки, что опять-таки связа-
но с относительно малыми скоростями фильтро-
вания в ней, резкое нарастание гидравлического
сопротивления здесь происходило намного позже,
чем в кубической загрузке. Совершенно иначе со-
58 В.Л. Поляков
ISSN 1561 -9087 Прикладна гiдромеханiка. 2014. Том 16, N 3. С. 52 – 62
Рис. 5. Изменение относительной выходной объемной
концентрации взвеси с течением времени при l = 0.7:
1, 2 – ᾱV = 6; 3, 4 – ᾱV = 8; 5, 6 – ᾱV = 10
1, 3, 5 – плоскорадиальное; 2, 4, 6 – вертикальное
Рис. 6. Изменение относительной выходной объемной
концентрации взвеси с течением времени приl = −0.3:
1, 4 – ᾱV = 6; 2, 5 – ᾱV = 8; 3, 6 – ᾱV = 10
1-3 – вертикальное; 4-6 – плоскорадиальное
относятся кривые зависимости ∆h̄ (t̄) для разных
способов фильтрования при ослабленной адгезии
(рис. 8). Так, сначала и весьма длительное время
явно предпочтительнее выглядит плоскорадиаль-
ное фильтрование, но в конце концов чрезмерное
накопление осадка вблизи внешней цилиндриче-
ской поверхности обусловливало быстрое увеличе-
ние потерь напора, которые превышали аналоги-
чные потери во второй загрузке. Однако ценность
Рис. 7. Рост относительных потерь напора в загрузке
с течением времени при l = 0.7:
1, 4 – ᾱV = 10; 2, 5 – ᾱV = 8; 3, 6 – ᾱV = 6
1-3 – вертикальное; 4-6 – плоскорадиальное
Рис. 8. Рост относительных потерь напора в загрузке
с течении временем при l = −0.3:
1, 4 – ᾱV = 10; 2, 5 – ᾱV = 8; 3, 6 – ᾱV = 6
1-3 – вертикальное; 4-6 – плоскорадиальное
использованных выше формул для прогноза ка-
чества фильтрата и затрат механической энергии,
главным образом, состоит в том, что на их базе
удается надежно устанавливать важнейшие техно-
логические параметры – относительные время за-
щитного действия загрузки (t̄p) и время достиже-
ния потерями напора предельно допустимой вели-
чины (t̄h). Поэтому наиболее показательными при
сравнительной оценке разных способов фильтро-
В.Л. Поляков 59
ISSN 1561 -9087 Прикладна гiдромеханiка. 2014. Том 16, N 3. С. 52 – 62
вания являются результаты расчетов указанных
времен, а в итоге – длительности фильтроцикла
t̄f .
Время t̄p для плоскорадиального фильтрования
вычислялось подбором из уравнения (30), а кри-
терием качества фильтрата служило, как обычно,
соотношение C̄e ≤ C̄∗, в котором C̄∗ полагалось
равным 0.1. В случае же вертикального фильтро-
вания t̃p находилось непосредственно по формуле
¯̄tp = 4
ᾱ
β̄
ln
C̄∗ + e−ᾱ
2
−
2
β̄
.
Данные относительно времени t̄p для двух край-
них значений l и совокупности значений коэффи-
циента ᾱV из широкого интервала [2, 12] демон-
стрируются на рис. 9. Если l = 0.7, то несколько
лучше примесь задерживалась кубической загруз-
кой. Но по мере улучшения сорбционных свойств
фильтрующего материала разница в значениях
t̄p при разных способах фильтрования нивелиро-
валась (кривые 1 и 2). Кроме того, при очень
больших значениях ᾱV уже цилиндрическая за-
грузка обеспечивала более продолжительную ра-
боту фильтра (до очередной промывки). При осло-
жненном же прилипании частиц суспензии вслед-
ствие гидродинамического воздействия потока ее
разделение в цилиндрической загрузке происходи-
ло существенно эффективнее, чем в кубической.
Прежде всего граничное значение ᾱV , при кото-
ром предельный уровень осветления суспензии до-
стигается сразу после прохождения фронта загря-
знения через загрузку, в первом случае составля-
ет 5.756, а во втором 7.757. Само же значение t̄p
при одних и тех же значениях ᾱV в несколько раз
больше для цилиндрической загрузки.
Многочисленные вычисления времени t̄h прово-
дились на базе критериальных уравнения (34) и
уравнения, следующего из (43), при той же исхо-
дной информации, что и ранее, включая γ̄ = 0.001.
Ввиду тонкости цилиндрического слоя загрузки
и, как следствие, малости исходных потерь на-
пора принималось большое значение относитель-
ных предельно допустимых потерь ∆h̄∗. Из-за ра-
зличий в масштабировании плоскорадиального и
вертикального фильтрования для второго случая
∆h̄∗ пересчитывалось, и его эквивалентное значе-
ние оказалось равным 2.341. Как видно из рис. 10,
значительный выигрыш в расчетном времени обе-
спечивался за счет неравномерности фильтраци-
онного течения при l = 0.7 (кривые 3 и 4). Нао-
борот, если l = −0.3, то большая гидравлическая
нагрузка способствовала перераспределению зна-
чимой части осадка вглубь кубической загрузки,
Рис. 9. Зависимость t̄p (ᾱV ):
1, 2 – l = 0.7; 3, 4 – l = −0.3;
1, 4 – вертикальное; 2, 3 – плоскорадиальное
Рис. 10. Зависимость t̄h (ᾱV ):
1, 2 – l = 0.7; 3, 4 – l = −0.3;
1, 4 – вертикальное; 2, 3 – плоскорадиальное
так что механическая энергия в таком случае ра-
сходовалась даже экономнее, хотя и незначитель-
но. Следует отметить, что влияние показателя l на
время t̄h, судя по взаимному расположению кри-
вых 2, 3, минимальное, что согласуется с данными
аналогичных исследований на основе частного то-
чного решения задачи плоскорадиального филь-
трования [12].
Но особенно показательным для оценки эффек-
та плоскорадиального фильтрования является со-
поставление длительности фильтроцикла при ра-
зных формах загрузки и фильтрационного пото-
60 В.Л. Поляков
ISSN 1561 -9087 Прикладна гiдромеханiка. 2014. Том 16, N 3. С. 52 – 62
Рис. 11. Зависимость t̄f (ᾱV ):
1, 2 – l = 0.7; 3, 4 – l = −0.3;
1, 4 – вертикальное; 2, 3 – плоскорадиальное
ка, так как именно она наряду с гидравлической
нагрузкой и площадью входной поверхности опре-
деляет количество осветленной суспензии за один
рабочий период и затраты промывной воды. Ре-
зультаты расчетов длительности t̄f , как функции
от ᾱV , приведены на рис. 11. Ломанные кривые
здесь получены путем комбинирования подходя-
щих фрагментов графиков зависимостей t̄p (ᾱV ) и
t̄h (ᾱV ) с рис. 9 и 10, опираясь на представление
для t̄f [11]:
t̄f = min(t̄p, t̄h). (44)
Отсюда очевидно, что вертикальное фильтрова-
ние в состоянии обеспечить более продолжитель-
ное действие фильтра только в случае слабосор-
бирующего материала загрузки (ᾱV < 5, l = 0.7).
Однако уже при ᾱV >7 и l = 0.7 искомая дли-
тельность при нетрадиционном фильтровании бу-
дет в 2-3 раза больше. Еще более убедительно сви-
детельствуют в пользу такого способа фильтрова-
ния кривые 3, 4, которые отвечают l = −0.3.
И в заключение, обсуждаются данные относи-
тельно времени t̄f , полученные на основе уже упо-
минавшихся критериальных уравнений при исхо-
дном содержании взвеси (C0), которое изменялось
в большом для природных и предварительно очи-
щенных сточных вод диапазоне. Здесь при выборе
относительного критериального значения C̄∗ во-
зможны два подхода. При реализации первого, как
и прежде, полагается, что фильтр обязан задержи-
Рис. 12. Зависимость t̄f (C0) при ᾱV = 8:
1, 2 – l = 0.7; 3, 4 – l = −0.3;
1, 4 – вертикальное; 2, 3 – плоскорадиальное
Рис. 13. Зависимость t̄f (C0) при ᾱV = 10:
1, 2 – l = 0.7; 3, 4 – l = −0.3;
1, 4 – вертикальное; 2, 3 – плоскорадиальное
вать 90 % объема поступающей в него дисперсной
примеси. Вместе с тем, можно добиваться, чтобы
выходная концентрация взвеси во всех случаях не
превышала строго определенного (нормативного)
значения. В последующих расчетах как раз при-
нимается единственное значение C̄∗, что облегчает
вычисления и не является принципиальным. При
этом учитывалось, что величины S̄ и γ̄ зависят от
C0 и поэтому выполнялись соответствующие пере-
счеты. Кривые зависимостей t̄f (C0) представлены
на рис. 12 и 13 для умеренно и хорошо сорбирую-
щих загрузок. Видно, что вертикальное фильтро-
В.Л. Поляков 61
ISSN 1561 -9087 Прикладна гiдромеханiка. 2014. Том 16, N 3. С. 52 – 62
вание предпочтительнее в технологическом отно-
шении только при l = 0.7 и очень низком началь-
ном содержании взвеси, а, следовательно, при за-
медленном росте потерь напора. Во всех других
ситуациях безусловно выгоднее для осветления су-
спензии применять плоскорадиальное фильтрова-
ние.
ЗАКЛЮЧЕНИЕ
Осветление суспензий фильтрованием обеспечи-
вается за счет их интенсивного взаимодействия
с фильтрующим (зернистым) материалом. Про-
цессы прилипания взвешенных частиц к элемен-
там загрузки и отрыва осажденных частиц зави-
сят не только от концентраций примеси и осадка,
но в значительной степени и от скорости филь-
трования. Таким образом, целенаправленно изме-
няя ее, можно адгезионный процесс или усили-
вать, или ослаблять. Неравномерное в объеме за-
грузки фильтрационное течение в состоянии обе-
спечить более активное участие в разделении су-
спензии удаленных от входной поверхности участ-
ков загрузки. Тем самым ощутимо уменьшаются
гидравлическое сопротивление слоя загрузки и по-
тери напора в нем. При высокой сорбционной (в
обобщенном смысле) способности материала за-
грузки в принципе можно в несколько раз увели-
чить длительность непрерывной и продуктивной
работы водоочистного фильтра. Добиться этого
позволяет реализация плоскорадиального филь-
трования в загрузках, имеющих форму цилин-
дрического слоя. Уменьшение гидравлической на-
грузки при сохранении высокой производительно-
сти фильтровального сооружения практически не
отражается на защитных свойствах загрузки, но
намного сокращает затраты механической энер-
гии и в итоге способствует его более экономичной
работе. Итак, обстоятельно изученный аналити-
ческими методами нетрадиционный способ филь-
трования природных и первично очищенных сто-
чных вод при научно обоснованном выборе техно-
логических и конструктивных параметров спосо-
бен существенно интенсифицировать технологиче-
ский процесс их осветления и поэтому имеет хоро-
шие перспективы.
1. Поляков В.Л. Инженерный расчет фильтрования
суспензии через двухслойную загрузку при линей-
ной кинетике массообмена // Химия и технология
воды.– 2011.– 33,№4.– С. 367—380.
2. Emelko M.B. Removal of viable and inactivated
Cryptosporidium by dual and trimedia filtration //
Water Res.– 2003.– 37, №12.– P. 2998–3008.
3. Mohanka S.S. Theory of multilayer filtration //
J.Sanit.Eng.Dev. ASCE.– 1969.– 95(6).– P. 1079–
1095.
4. Войтов Е.Л. Доочистка биологически очи-
щенных городских сточных вод на ради-
альных фильтрах.– Автореферат дис. на
соиск.учен.степени канд.техн.наук (05.23.04):
Новосибирск, 1974.– 27 с.
5. Дзюбо В.В., Алферова Л.И. Фильтрование приро-
дных вод в режиме неравномерных скоростей //
Вестник ТГАСУ.– 2007.– №2.– С. 180–190.
6. Поляков В.Л. Теоретический анализ плоскоради-
ального фильтрования суспензии // Доп. НАН
України.– 2013.– №12.– С. 59–66.
7. Минц Д.М. Теоретические основы технологи очис-
тки воды.– М.: Стройиздат, 1964.– 155 с.
8. Saiers J.T., Hornberger G.M. First- and second-order
kinetics approaches for modeling the transport of
colloidal particles in porous media // Water Resour.
Res.– 1994.– 30, №9.– P. 2499–2506.
9. Поляков В.Л. О прогнозе потерь напора в загрузке
фильтра // Доп.НАН України.– 2010.– №3.– С. 70–
76.
10. Журба М.Г. Применение теории фильтрования в
инженерных расчетах // ВСТ. Водоснабжение и
санитарная техника.– Haus technik .– 1993.– С. 2–
6.
11. Поляков В.Л. Теоретический анализ длительно-
сти фильтроцикла // Химия и технология воды.–
2009.– №6.– С. 605–618.
12. Поляков В.Л. Об одном строгом решении за-
дачи плоскорадиального фильтрования суспен-
зии // Проблеми водопостачання, водовiдведення
та гiдравлiки.– 2013.– Вип.22.– С. 124–131.
13. Сенявин М.М., Венецианов Е.В., Аюкаев Р.И.
О математических моделях и инженерных ме-
тодах расчета процесса очистки природных вод
фильтрованием // Водные ресурсы.– 1977.– №2.–
С. 157–170.
14. Ison C.R., Ives K.J. Removal mechanism in deep bed
filtration // Chem.Engng .– 1969.– 21.– P. 337–350.
15. Rajagopalan R., Tien C. Trajectory analysis of deep-
bed filtration with the sphere-in-cell porous media
model // A.J.Ch.E.– 1976.– 22.– P. 523–533.
16. Минц Д.М., Мельцер В.З. Гидравлическое сопро-
тивление зернистой пористой среды // Докл АН
СССР.– 1970.– Т. 192, № 2.– С. 304–306.
62 В.Л. Поляков
|