Поверхневi хвилi за рухомою областю поверхневого тиску в каналi з трапецієвидним поперечним перерізом
Розв'язана лiнiйна задача генерацiї та еволюцiї поверхневих хвиль та затухаючих збурень на вiльнiй поверхнi каналу з трапецієвидною формою поперечного перерiзу при стаціонарному русi областi поверхневого тиску прямокутної форми. Для знаходження розв'язку для потенцiалу швидкостей використа...
Gespeichert in:
| Datum: | 2014 |
|---|---|
| Hauptverfasser: | , |
| Format: | Artikel |
| Sprache: | Ukrainian |
| Veröffentlicht: |
Інститут гідромеханіки НАН України
2014
|
| Schriftenreihe: | Прикладна гідромеханіка |
| Schlagworte: | |
| Online Zugang: | http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/116493 |
| Tags: |
Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Zitieren: | Поверхневi хвилi за рухомою областю поверхневого тиску в каналi з трапецієвидним поперечним перерізом / О.Г. Стеценко, В.М. Ільченко // Прикладна гідромеханіка. — 2014. — Т. 16, № 4. — С. 66-78. — Бібліогр.: 24 назв. — укр. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
irk-123456789-116493 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
irk-123456789-1164932017-04-29T03:03:07Z Поверхневi хвилi за рухомою областю поверхневого тиску в каналi з трапецієвидним поперечним перерізом Стеценко, О.Г. Ільченко, В.М. Науковi статтi Розв'язана лiнiйна задача генерацiї та еволюцiї поверхневих хвиль та затухаючих збурень на вiльнiй поверхнi каналу з трапецієвидною формою поперечного перерiзу при стаціонарному русi областi поверхневого тиску прямокутної форми. Для знаходження розв'язку для потенцiалу швидкостей використано змінену систему координат та iнтегральне перетворення по поздовжнiй координатi і розклад у ряд Фур'є по поперечнiй координатi. Одержано в явному виглядi розв'язок як для хвильового поля, так і для затухаючих складових. У результатi виконаних розрахункiв проаналiзовано особливостi формування та структуру корабельних (баричних) хвиль у залежностi вiд режиму руху, трапецієвидності каналу та характеристик рухомої областi. Решена линейная задача генерации и эволюции поверхностных волн и затухаючих возмущений на свободной поверхности канала с трапециевидной формой поперечного сечения при стационарном движении области поверхностного давления прямоугольной формы. Для нахождения решения задачи для потенциала скоростей использовано измененную систему координат, интегральное преобразование по продольной координате и разложение в ряд Фурье по поперечной координате. Получено в явном виде решение как для волнового поля, так и для затухающих составляющих. В результате выполненных расчетов проанализировано особенности формирования и структуру корабельных (барических) волн в зависимости от режима движения, трапециевидности канала и характеристик движущейся области. A linear problem of generation and evolution of the surface waves, and convergent responses on the free surface of a channel of trapezoidal cross-section when the rectangular surface pressure region moves at a constant velocity from the state of rest is solved. In order to solve a problem in respect of a velocity potential, a transformed coordinate system and an integral transformation for longitudinal coordinate, and expansion into a Fourier series for a transverse coordinate are used. The explicit solution bots for a wave field and for damped components is obtained. Based on the calculations performed, the peculiarities of forming and structure of the ship (pressure) waves are analysed depending on the movement mode, trapezoidal channel and characteristics of the moving region. 2014 Article Поверхневi хвилi за рухомою областю поверхневого тиску в каналi з трапецієвидним поперечним перерізом / О.Г. Стеценко, В.М. Ільченко // Прикладна гідромеханіка. — 2014. — Т. 16, № 4. — С. 66-78. — Бібліогр.: 24 назв. — укр. 1561-9087 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/116493 532.5 uk Прикладна гідромеханіка Інститут гідромеханіки НАН України |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| language |
Ukrainian |
| topic |
Науковi статтi Науковi статтi |
| spellingShingle |
Науковi статтi Науковi статтi Стеценко, О.Г. Ільченко, В.М. Поверхневi хвилi за рухомою областю поверхневого тиску в каналi з трапецієвидним поперечним перерізом Прикладна гідромеханіка |
| description |
Розв'язана лiнiйна задача генерацiї та еволюцiї поверхневих хвиль та затухаючих збурень на вiльнiй поверхнi каналу з трапецієвидною формою поперечного перерiзу при стаціонарному русi областi поверхневого тиску прямокутної форми. Для знаходження розв'язку для потенцiалу швидкостей використано змінену систему координат та iнтегральне перетворення по поздовжнiй координатi і розклад у ряд Фур'є по поперечнiй координатi. Одержано в явному виглядi розв'язок як для хвильового поля, так і для затухаючих складових. У результатi виконаних розрахункiв проаналiзовано особливостi формування та структуру корабельних (баричних) хвиль у залежностi вiд режиму руху, трапецієвидності каналу та характеристик рухомої областi. |
| format |
Article |
| author |
Стеценко, О.Г. Ільченко, В.М. |
| author_facet |
Стеценко, О.Г. Ільченко, В.М. |
| author_sort |
Стеценко, О.Г. |
| title |
Поверхневi хвилi за рухомою областю поверхневого тиску в каналi з трапецієвидним поперечним перерізом |
| title_short |
Поверхневi хвилi за рухомою областю поверхневого тиску в каналi з трапецієвидним поперечним перерізом |
| title_full |
Поверхневi хвилi за рухомою областю поверхневого тиску в каналi з трапецієвидним поперечним перерізом |
| title_fullStr |
Поверхневi хвилi за рухомою областю поверхневого тиску в каналi з трапецієвидним поперечним перерізом |
| title_full_unstemmed |
Поверхневi хвилi за рухомою областю поверхневого тиску в каналi з трапецієвидним поперечним перерізом |
| title_sort |
поверхневi хвилi за рухомою областю поверхневого тиску в каналi з трапецієвидним поперечним перерізом |
| publisher |
Інститут гідромеханіки НАН України |
| publishDate |
2014 |
| topic_facet |
Науковi статтi |
| url |
http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/116493 |
| citation_txt |
Поверхневi хвилi за рухомою областю поверхневого тиску в каналi з трапецієвидним поперечним перерізом / О.Г. Стеценко, В.М. Ільченко // Прикладна гідромеханіка. — 2014. — Т. 16, № 4. — С. 66-78. — Бібліогр.: 24 назв. — укр. |
| series |
Прикладна гідромеханіка |
| work_keys_str_mv |
AT stecenkoog poverhnevihvilizaruhomoûoblastûpoverhnevogotiskuvkanaliztrapecíêvidnimpoperečnimpererízom AT ílʹčenkovm poverhnevihvilizaruhomoûoblastûpoverhnevogotiskuvkanaliztrapecíêvidnimpoperečnimpererízom |
| first_indexed |
2025-07-08T10:29:01Z |
| last_indexed |
2025-07-08T10:29:01Z |
| _version_ |
1837074263512711168 |
| fulltext |
ISSN 1561 -9087 Прикладна гiдромеханiка. 2014. Том 16, N 4. С. 66 – 78
УДК 532.5
ПОВЕРХНЕВI ХВИЛI ЗА РУХОМОЮ ОБЛАСТЮ
ПОВЕРХНЕВОГО ТИСКУ В КАНАЛI
З ТРАПЕЦIЄВИДНИМ ПОПЕРЕЧНИМ ПЕРЕРIЗОМ
О. Г. СТЕЦ Е Н К О, В. М. IЛ ЬЧ Е Н К О
Iнститут гiдромеханiки НАН України, Київ
ул. Желябова, 8/4, 03680, ГСП, Киев-180, Украина
office@hydromech.com.ua
Одержано 02.07.2014
Розв’язана лiнiйна задача генерацiї та еволюцiї поверхневих хвиль та затухаючих збурень на вiльнiй поверхнi
каналу з трапецiєвидною формою поперечного перерiзу при стацiонарному русi областi поверхневого тиску прямо-
кутної форми. Для знаходження розв’язку для потенцiалу швидкостей використано змiнену систему координат та
iнтегральне перетворення по поздовжнiй координатi i розклад у ряд Фур’є по поперечнiй координатi. Одержано
в явному виглядi розв’язок як для хвильового поля, так i для затухаючих складових. У результатi виконаних
розрахункiв проаналiзовано особливостi формування та структуру корабельних (баричних) хвиль у залежностi вiд
режиму руху, трапецiєвидностi каналу та характеристик рухомої областi.
КЛЮЧОВI СЛОВА: стацiонарний рух, канал, трапецiєвидний перерiз, збурення, математична модель, функцiї
Бесселя, поверхневi хвилi, потенцiал швидкостi, число Фруда.
Решена линейная задача генерации и эволюции поверхностных волн и затухающих возмущений на свободной
поверхности канала с трапециевидной формой поперечного сечения при стационарном движении области поверхно-
стного давления прямоугольной формы. Для нахождения решения задачи для потенциала скоростей использовано
измененную систему координат, интегральное преобразование по продольной координате и разложение в ряд
Фурье по поперечной координате. Получено в явном виде решение как для волнового поля, так и для затухающих
составляющих. В результате выполненных расчетов проанализировано особенности формирования и структуру
корабельных (барических) волн в зависимости от режима движения, трапециевидности канала и характеристик
движущейся области.
КЛЮЧЕВЫЕ СЛОВА: стационарное движение, канал, трапециевидное сечение, возмущение, математическая мо-
дель, функции Бесселя, поверхностные волны, потенциал скорости, число Фруда
A linear problem of generation and evolution of the surface waves, and convergent responses on the free surface of a
channel of trapezoidal cross-section when the restangular surface pressure region moves at a constant velocity from
the state of rest is solved. In order to solve a problem in respect of a velocity potencial, a transformed coordinate
system and an integral transformation for longitudinal coordinate, and expansion into a Fourier series for a transverse
coordinate are used. The explicit solution bots for a wave field and for damped components is obtained. Based on the
calculations performed, the peculiarities of forming and structure of the ship (pressure) waves are analysed depending on
the movement mode, trapezoidal channel and characteristics of the moving region.
KEY WORDS: stationary movement, channel, trapezoidal cross-section, response, mathematical model, Bessel function,
surface waves, velosity potential, Froude number
ВСТУП
Широке використання судоходних каналiв, як
рукотворних, так i природнього утворення, об-
умовлює iнтерес до вивчення гiдродинамiки руху
суден в умовах обмеженого фарватеру. Особли-
вiстю цього напрямку дослiджень є необхiднiсть
врахування впливу на гiдродинамiку обтiкання су-
дна та його ходовi характеристики не лише наяв-
ностi скiнченостi глибини, але i геометрiї бiчних
стiнок каналу. У той самий час, в такого роду
фарватерах практично важливим стає врахування
процесiв взаємодiї гiдродинамiчних полiв (зокре-
ма, корабельних хвиль), генерованих рухомим су-
дном, з берегами та рiзного роду спорудами, на
них розташованими.
Вивчення корабельних хвиль має достатньо дов-
гу iсторiю, однак iнтерес до цього напрямку до-
слiджень не втратив своєї актуальностi через низ-
ку недостатньо вивчених проблем, обумовлених
вже вiдзначеною обмеженiстю фарватера та необ-
хiднiстю прогнозування результатiв взаємодiї збу-
рень за судном з берегами та розташованими на
них спорудами, а також змiнною топографiєю дна
та нестацiонарнiстю руху суден. Починаючи з пiо-
нерських робiт Л. М. Сретенського [1, 2] до кiн-
ця минулого столiття виконано достатньо вели-
ка кiлькiсть робiт, в яких у лiнiйнiй постановцi
розв’язано ряд задач, що дозволило виявити го-
ловнi особливостi i механiзми формування поля
поверхневих корабельних хвиль у каналах прямо-
кутного поперечного перерiзу та обумовлений ни-
ми хвильовий опiр руху судна [3–8] (див. бiбл. в [3,
4, 8]). У виконаних теоретичних дослiдженнях ру-
66 c© О. Г. Стеценко, В. М. Iльченко, 2014
ISSN 1561 -9087 Прикладна гiдромеханiка. 2014. Том 16, N 4. С. 66 – 78
хоме судно iмiтувалось у рiзний спосiб. Це i вико-
ристання форм обводiв судна, якi описуються про-
стими аналiтичними залежностями [7], i замiна су-
дна рухомою областю поверхневого тиску [5, 6] або
розподiленими вздовж вiсi руху джерелами [4]. В
експериментальних дослiдженнях використовува-
лись моделi суден [9, 10]. Головною направленiстю
вiдмiчених робiт є визначення хвильового опору
при русi суден. Для вузьких каналiв, коли габари-
ти судна та ширина каналу спiврозмiрнi, для по-
будови лiнiйних розв’язкiв можна ефективно вико-
ристовувати розклад шуканого потенцiалу швид-
костi руху в ряд Фур’є по поперечнiй координатi
[8]. Одержаний в такий спосiб розв’язок не мiстить
подвiйних iнтегралiв i тому зручнiший для вико-
ристання.
В рядi виконаних робiт дослiдженi також нелi-
нiйнi ефекти, якi виникають у каналах при до-
сягненнi судном дiапазону чисел Фруда, бiльших
певного критичного значення. Теоретичнi i експе-
риментальнi дослiдження показують, що в таких
дiапазонах має мiсце утворення одиноких хвиль-
солiтонiв або їхнiх систем [11–17]. В теоретичних
роботах рухоме судно iмiтувалось областю поверх-
невого тиску. Проведенi дослiдження дозволили
встановити низку характерних особливостей фор-
мування цих нелiнiйних утворень. Так, виявлено
важливiсть значення величини коефiцiєнта блоку-
вання, рiвного вiдношенню площi поперечного пе-
рерiзу судна до площi поперечного перерiзу кана-
лу [12], та iстотний вплив мiлководдя [15] та то-
пографiї каналу на їхнi характеристики [13]. Вста-
новлено, що нестацiонарнiсть процесу переходу ре-
жиму руху вiд понадкритичного до докритично-
го може супроводжуватись помiтним збiльшенням
амплiтуд солiтонiв [16].
Всi згаданi дослiдження виконанi для каналiв
прямокутного поперечного перерiзу або з верти-
кальними боковими стiнками. Але всi рукотворнi
судоходнi канали мають форму поперечного пе-
рерiзу у виглядi трапецiї, а канали природнього
утворення мають форму улоговин. Для широких
каналiв форма бiчних стiнок практично не впли-
ває на гiдродинамiку обтiкання судна та його ходо-
вi характеристики, а питання взаємодiї корабель-
них хвиль з берегами можна розглядати окремо
вiд руху судна, використовуючи для цього вiдо-
мi представлення цих хвиль для водних аквато-
рiй скiнченої глибини. Для випадкiв руху суден в
обмежених фарватерах, де характернi розмiри су-
дна i каналу одного порядку, вплив геометрiї по-
перечного перерiзу каналу стає iстотним, особли-
во для режимiв руху з числами Фруда, близькими
до критичного, або бiльшими, коли максимально
проявляються нелiнiйнi ефекти. Виконанi в цьому
напрямку дослiдження, достатньо повну бiблiогра-
фiю яких наведено в роботi [18], показують, що в
нелiнiйних задачах у наближеннi мiлкої води кана-
лам зi складнiшою геометрiєю притаманнi також
особливостi формування корабельних хвильових
картин, аналогiчнi вiдмiченим ранiше для каналiв
прямокутного перерiзу. Однак при цьому структу-
ра хвильових картин залежить i вiд особливостей
геометрiї перерiзу. Стосовно каналiв з трапецiєви-
дною формою поперечного перерiзу, слiд вiдмiти-
ти роботи [19, 20]. В першiй з них в гiдравлiчному
наближеннi з використанням експериментальних
коефiцiєнтiв представлено метод визначення вели-
чини гiдродинамiчного опору рухомого судна для
докритичних режимiв руху (Fr< 0.3) i рiзних зна-
чень такого параметра, як вiдношення площi попе-
речного перерiзу каналу до площi поперечного пе-
рерiзу судна. В роботi [20] в нелiнiйнiй постановцi,
з використанням рiвнянь мiлкої води Грiна-Нагдi,
одержанi чисельнi розв’язки хвильових полiв за
рухомою областю поверхневого тиску для режимiв
руху з Fr< 1, де в якостi лiнiйного масштабу вико-
ристано величину вiдношення площi поперечного
перерiзу каналу до ширини водної поверхнi кана-
лу. Показано, що для режимiв руху з Fr, близьких
до одиницi, хвильова картина стає строго нелiнiй-
ною, з формуванням з часом попереду областi оди-
ноких хвиль-солiтонiв, подiбних до тих, що форму-
ються в каналах прямокутного перерiзу. В цiлому
гiдродинамiка корабельних хвиль у каналах з рi-
зною геометрiєю поперечних перерiзiв вивчена не
достатньо повно. Навiть у лiнiйних задачах немає
жодного точного розв’язку для геометрiї попереч-
ного перерiзу, вiдмiнної вiд прямокутника. В свою
чергу, нелiнiйнi розв’язки одержанi поки що лише
для випадку рухiв з використанням наближення
мiлкої води. Таким чином, дослiдження в цьому
напрямку представляються такими, що заслугову-
ють на увагу для всього класу означених задач.
В данiй роботi вперше розв’язана стацiонарна
задача генерацiї лiнiйних поверхневих хвиль за ру-
хомою областю поверхневого тиску в каналi з тра-
пецiєвидною формою поперечного перерiзу. Одер-
жано точний розв’язок цiєї задачi, який включає
в себе як хвильовi, так i затухаючi складовi. При
цьому, як i у [8], використано пiдхiд з розкладом
шуканого розв’язку для потенцiалу швидкостi в
ряд Фур’є по поперечнiй координатi.
1. ПОСТАНОВКА ЗАДАЧI
Розглядається стацiонарне поле лiнiйних кора-
бельних (баричних) хвиль, утворене областю по-
О. Г. Стеценко, В. М. Iльченко 67
ISSN 1561 -9087 Прикладна гiдромеханiка. 2014. Том 16, N 4. С. 66 – 78
верхневого тиску, яка рухається з постiйною швид-
кiстю U вздовж поздовжньої вiсi каналу з тра-
пецiєвидною формою його поперечного перерiзу
(рис. 1). Верхня сторона цiєї трапецiї BC шири-
ною l1 = 2l спiвпадає з вiльною поверхнею во-
ди, нижняя сторона AD – з дном канала шири-
ною l2 < l1, а її висота вiдповiдає глибинi водного
шару в каналi h. Вибирається рухома система ко-
ординат oxyz, початок якої знаходиться в центрi
областi тиску на вiльнiй поверхнi, вiсь ox направ-
лена в сторону, протилежну напрямку швидкостi
руху областi, а вiсь oz – вгору. Геометрiя областi
поверхневого тиску задається у виглядi прямоку-
тника з поздовжньою стороною 2a i поперечною
стороною 2b. Тиск P (x, y) всерединi областi при-
ймається рiвномiрно розподiленим, так що
P (x, y, 0) = P0f(x, y),
де f(x, y) = [H(x+a)−H(x−a)][H(y+b)−H(y−b)].
Тут H() – одиничнi функцiї Хевiсайда i f(x, y, t)
може бути представлена рядом Фур’є по y та iнте-
гральним представленням Фур’є по x.
Рис. 1. Схема руху областi тиску в каналi
Введення безрозмiрних величин, де вибранi в
якостi масштабiв: довжини – глибина каналу h,
тиску – ρU2, потенцiалу швидкостi течiї – Uh, до-
зволяє сформулювати наступну граничну задачу
для визначення потенцiалу швидкостi збуреної те-
чiї φ(x, y, z, t):
∆φ = 0 (1)
з граничними умовами
λ
∂φ
∂z
+
∂2φ
∂x2
+ P0
∂f
∂x
= 0 при z = 0 , (2)
∂φ
∂z
= 0 при z = −1 , (3)
∂φ
∂n
= 0 при (y, z) ∈ (AB iCD) , (4)
та умовою випромiнювання
φ(x, y, z) → 0 при x → −∞. (5)
Тут ∆ =
∂2
∂x2
+
∂2
∂y2
+
∂2
∂z2
- тривимiрний опера-
тор Лапласа, λ =
gh
U2
– обернене значення числа
Фруда; ~n – нормаль до бiчних стiнок каналу.
2. ФОРМУЛЮВАННЯ ЗАДАЧI В НОВIЙ
СИСТЕМI КООРДИНАТ
Нехай прямi, що проходять через сторони AB
i CD, перетинаються в точцi, вертикальна коор-
дината якої z = −H , де H > 1. Введення нової
поперечної координати y1
y1 =
Hy
z + H
дозволяє граничну умову (3) зi змiнними значе-
ннями y замiнити умовою зi сталим значенням
y1 = ±l, що аналогiчно задачi для каналу з прямо-
кутним поперечним перерiзом. Це виходить з того,
що в кожнiй точцi бокових стiнок AB i CD ї ї ко-
ордината y1 дорiвнює величинi тангенса кута мiж
бiчними сторонами каналу i вiссю oz. Отже, в ко-
ординатах y1, z поперечний перерiз каналу наби-
рає прямокутної форми. Геометрiя областi тиску
в новiй системi координат не змiнюється, оскiльки
при z = 0 виконується рiвнiсть y1 = y.
В системi координат x, y1, z рiвняння (1) набирає
вигляду
(z + H)2
∂2φ
∂x2
− (H2 + y2
1)
∂2φ
∂y2
1
+ (z + H)2
∂2φ
∂z2
−
−2y1(z + H)
∂2φ
∂y1∂z
+ 2y1
∂φ
∂y1
= 0 , (6)
а граничнi умови (2)–(4) -
λ
(
∂φ
∂z
−
y1
H
∂φ
∂y1
)
+
∂2φ
∂x2
+ P0
∂f
∂x
= 0 при z = 0 , (7)
∂φ
∂z
−
y1
H − 1
∂φ
∂y1
= 0 при z = −1 , (8)
∂φ
∂y1
= 0 при y1 = ± l . (9)
Умова випромiнювання (5) не змiнює свого вигля-
ду.
68 О. Г. Стеценко, В. М. Iльченко
ISSN 1561 -9087 Прикладна гiдромеханiка. 2014. Том 16, N 4. С. 66 – 78
3. ПОБУДОВА РОЗВ’ЯЗКУ
Розв’язок задачi для φ(x, y1, z) шукається у ви-
глядi iнтегрального перетворення Фур’є по x:
φ =
P0
2π
∞
∫
−∞
φ̃(k1, y1, z)eik1xdk1 . (10)
Пiдстановка (10) у вирази (5)–(9) приводить до за-
дачi знаходження розв’язку рiвняння для функцiї-
образу φ̃(k1, y1, z):
(z + H)2
∂2φ̃
∂z2
− 2y1(z + H)
∂2φ̃
∂y1∂z
+
+(H2 + y2
1)
∂2φ̃
∂y2
1
+ 2y1
∂φ̃
∂y1
− k2
1(z + H)2φ̃ = 0 (11)
з граничними умовами
λ
(
∂φ̃
∂z
−
y1
H
∂φ̃
∂y1
)
− k2
1φ̃ + if̃ = 0 при z = 0 , (12)
∂φ̃
∂z
−
y1
H − 1
∂φ̃
∂y1
= 0 при z = −1 , (13)
∂φ̃
∂y1
= 0 при y = ± l , (14)
де
f̃ = 2 sin(k1a)[H(y1 + b) − H(y1 − b)] .
В силу симетричностi f(x, y) по y вона залишає-
ться симетричною i по y1. Тодi, як це видно з (11)–
(14), функцiя φ̃(k1, y1, z) також має симетричний
по y1 характер i розв’язок для неї можна знаходи-
ти у виглядi розкладу в ряд Фур’є по y1 в iнтервалi
−l ≤ y1 ≤ l, як це зроблено у [8]:
φ̃ =
1
2
φ̄0(k1, z) +
∞
∑
k2=1
φ̄
k2
(k1, z) cos (k2∗y1) , (15)
де k2∗ = πk2/l. Умова (14) при цьому задовольня-
ється автоматично.
В силу симетричностi складових рiвняння (11)
y1
∂φ̃
∂y1
i y2
1
∂2φ̃
∂y2
1
по y1 їх можна також представити
у виглядi розкладiв в ряд Фур’є:
y1
∂φ̃
∂y1
=
∞
∑
n=1
φ̆
n1(k1, z) cos (n∗y1) , (16)
y2
1
∂2φ̃
∂y2
1
=
∞
∑
n=1
φ̆
n2(k1, z) cos (n∗y1) . (17)
На пiдставi представлень (15)–(17) мають мiсце
спiввiдношення
−y1
∞
∑
k2=1
k2∗φ̄k2
sin (k2∗y1) =
∞
∑
n=1
φ̆
n1
cos (n∗y1) ,
−y2
1
∞
∑
k2=1
k2
2∗φ̄k2
cos (k2∗y1) =
∞
∑
n=1
φ̆
n2 cos (n∗y1) ,
де n∗ = πn
l
.
Якщо кожну складову цих спiввiдношень по-
множити на cos(n∗y1), де n дорiвнює деякому k2,
i проiнтегрувати по y1 в iнтервалi вiд −l до l, то
в правих їхнiх частинах всi складовi при n 6= k2
дадуть нуль, а при n = k2 вiдповiдно lφ̆n1 = lφ̆
k2
та lφ̆n2 = lφ̆
k2
. В лiвих частинах отримуються не-
скiнченi ряди складових φ̄k2 з коефiцiєнтами, якi
легко вираховуються. Виконання такої процедури
для всiх 1 ≤ n < ∞ та збирання у лiвих части-
нах всiх складових для видiленого номера n = k2,
якi вiдповiднi всiм iншим номерам n 6= k2, приво-
дить до наступного, справедливого для довiльного
k2, представлення функцiй φ̆n1 та φ̆n2 через образ-
функцiї φ̄k2 для n1 = k2 та n2 = k2, вiдповiдно:
φ̆k21 =
1
2
φ̄
k2
1 − 4
∞
∑
n=1,n 6=k2
k2∗(−1)n+k2
n2
∗ − k2
2∗
,
φ̆k22 = −φ̄
k2
[
1
2
+
π2k2
2
3
+ 4k2
2(−1)k2 φ̄kn
]
,
де
φ̄kn =
∞
∑
n=1,n 6=k2
(−1)n
n2 − k2
2
+ 2k2
2
∞
∑
n=1,n 6=k2
(−1)n
(n2 − k2
2)
2
.
Враховуючи, що [21]
∞
∑
n=1,n 6=k2
(−1)n
n2 − k2
2
=
1
4k2
2
[
2 + (−1)k2
]
,
має мiсце наступне представлення складових φ̄k21
i φ̄k22 через базову функцiю φ̄k2 :
φ̄k2i = r
ki
φ̄k2 (i = 1, 2) , (18)
де
r
k1
=
1
2
{
1 −
1
πk2
[
1 + 2(−1)k2
]
}
,
r
k2
= −
3
2
−
π2k2
2
3
− 2(−1)k2 − 8k4
2(−1)k2r
k2n
,
i
r
k2n
=
∞
∑
n=1,n 6=k2
(−1)n
(n2 − k2
2)
2
.
О. Г. Стеценко, В. М. Iльченко 69
ISSN 1561 -9087 Прикладна гiдромеханiка. 2014. Том 16, N 4. С. 66 – 78
Використання представлень (15)–(17) та зале-
жностi (18) приводить до наступних граничних за-
дач визначення φ̄0(k1, z) та φ̄k2(k1, z):
1) для φ̄0(k1, z)
φ̄′′
0 − k2
1φ̄0 = 0 (19)
з граничними умовами
λφ̄′
0 − k2
1φ̄0 =
ia0
k1
при z = 0 , (20)
φ̄′
0 = 0 при z = −1 , (21)
де
a0 = 4b∗ sin(k1a) ; b∗ =
b
l
;
2) для φ̄k2(k1, z)
(z + H)2φ̄′′
k2
− 2r
k1
(z + H)φ̄′
k2
−
−
[
H2k2
2∗ − 2r
k1
− r
k2
+ k2
1(z + H)2
]
φ̄k2 = 0 . (22)
з граничними умовами
λφ̄′
k2
−
(
λ
H
r
k1
+ k2
1
)
φ̄k2 = ia
k2
при z = 0 , (23)
φ̄′
k2
−
r
k1
H − 1
φ̄k2 = 0 при z = −1 , (24)
де
a
k2
=
4
πk2
sin(k1a) sin(k2∗b) .
Умови випромiнювання в даних задачах аналогi-
чнi умовi (5).
Отже, поставлена задача зведена до розв’язання
звичайних диференцiальних рiвнянь.
4. РОЗВ’ЯЗОК ДЛЯ ФУР’Є-КОМПОНЕНТ
ОБРАЗУ ПОТЕНЦIАЛУ ШВИДКОСТI
Розв’язок граничної задачi (19)–(21) для
φ̄0(k1, z) має вигляд
φ̄0(k1, z) =
ia
0
k1D
[
ek1z + ek1(2−z)
]
, (25)
де
D = e2k1(λ − k1) − λ − k1 .
Незалежнi розв’язки рiвняння (22) представ-
ляються через модифiкованi функцiї Бесселя
Iν[k1(z + H)] i Kν [k1(z + H)], порядок ν яких ви-
значається параметрами рiвняння l, H, k2
ν =
1
2
[
1 + 4r2
k1
+ 4
(
H2k2
2∗ − r
k1
− r
k2
)]
1
2 .
Загальний розв’язок цього рiвняння має вигляд
[22]
φ̄k2(k1, z) = (z + H)
1+2r
k1
2 (C1kIν + C2kKν) . (26)
Сталi iнтегрування C1k та C2k визначаються з гра-
ничних умов (23) i (24) у виглядi
C1k =
iak2
Bk
[Kν1 + 2(H − 1)k1K
′
ν1] ,
C2k = −
iak2
Bk
[Iν1 + 2(H − 1)k1I
′
ν1] ,
де
Bk = [Kν1 + 2(H − 1)k1K
′
ν1] ×
×
[
λHs
k Rk1 −
(
λrk1
H
+ k2
1
)
Hq
k Iν0
]
−
− [Iν1 + 2(H − 1)k1I
′
ν1] ×
×
[
λHs
k Rk2 −
(
λrk1
H
+ k2
1
)
Hq
k Kν0
]
,
Rk1 = r
k1
Iν0 + Hk1I
′
ν0 ,
Rk2 = r
k1
Kν0 + Hk1K
′
ν0 ,
s
k
=
2r
k1
− 1
2
, q
k
=
2r
k1
+ 1
2
.
Iндекси ’0’ та ’1’ бiля порядку функцiй Бесселя
означають визначення їх при значеннях z = 0 i z =
−1 вiдповiдно. Верхнiй iндекс (′) означає похiдну
по z.
5. ПОВЕРХНЕВI ХВИЛI
ЗА РУХОМОЮ ОБЛАСТЮ
Для визначення поля хвиль за рухомою областю
використовується вiдоме спiввiдношення [23] для
амплiтуд змiщення вiльної поверхнi
η(x, y, 0) = −
1
λ
(
∂φ
∂x
+ P0f
)
. (27)
З iнтегрального перетворення Фур’є по x дано-
го виразу вiдповiдна образ-функкцiя η̃(k1, y, 0) =
ik1
λ
φ̃ аналогiчно потенцiалу швидкостi представ-
ляється у виглядi розкладу в ряд Фур’є по попе-
речнiй координатi:
η̃ =
1
2
η̄0(k1, 0) +
∞
∑
k2=1
η̄
k2
(k1, 0) cos (k2∗y1) , (28)
Враховуючи одержаний ряд Фур’є для φ̃, для вiд-
повiдних складових хвильового поля мають мiсце
наступнi представлення:
η̄0 =
4b∗ sin(k1a)
λD
(
e2k1 + 1
)
,
η̄
k2
=
4Hq
k Akk1
πλk2Bk
sin(k1a) sin(k2∗b) ,
70 О. Г. Стеценко, В. М. Iльченко
ISSN 1561 -9087 Прикладна гiдромеханiка. 2014. Том 16, N 4. С. 66 – 78
де
Ak = Iν0 [Kν1 + 2(H − 1)k1K
′
ν1] −
−Kν0 [Iν1 + 2(H − 1)k1I
′
ν1] .
Тодi розв’язок для η(x, y, 0) представляється у
виглядi
η(x, y, 0) =
1
2
η
0
+
∞
∑
k2=1
η
k2
sin(k2∗b) cos(k2∗y1) , (29)
де
η
0
(x, 0) =
P0b∗
πλ
(J01 − J02) , (30)
J01 = Im
∞
∫
−∞
1
D
(
e2k1 + 1
)
eik1(x+a)dk1 ,
J02 = Im
∞
∫
−∞
1
D
(
e2k1 + 1
)
eik1(x−a)dk1 ,
η
k2
(x, 0) =
P0H
q
k
π2λk2
(Jk1 − Jk2) , (31)
Jk1 = Im
∞
∫
−∞
Akk1
Bk
eik1(x+a)dk1 ,
Jk2 = Im
∞
∫
−∞
Akk1
Bk
eik1(x−a)dk1 .
Для обчислення iнтегралiв в одержаних виразах
використовується апарат теорiї лишкiв для аналi-
тичних функцiй комплексного змiнного.
5.1. Розв’язок для складової η
0
(x, 0)
Пiдiнтегральнi функцiї в J01 та J02 в k1-площинi
задовольняють умовам леми Жордана i мають
там особливi точки-полюси при k1 = 0 та k1, вiд-
повiдних розв’язку рiвняння D = 0, або
e2k1(λ − k1) − λ − k1 = 0 . (32)
Рiвняння (31) має один дiйсний корiнь k1 = ζ лише
для режимiв руху, вiдповiдних умовi λ > 1 (Fr
< 1) i нескiнчену множину чисто уявних коренiв
k1 = ±iζ∗i. Корiнь ζ знаходиться безпосередньо
з (32), а коренi ±ζ∗i є розв’язками рiвняння, яке
випливає з рiвностi нулю як дiйсної, так i уявної
частини виразу D(ik∗):
λ[1 − cos(2k∗)]− k∗ sin(2k∗) = 0 . (33)
Слiд вiдмiтити, що множина розв’язкiв ζ∗i вклю-
чає в себе пiдмножину
ζn = nπ .
Вiдповiдний аналiз показує, що полюс k1 = 0 не
дає вкладу у розв’язок. Класичний пiдхiд викори-
стання теореми Кошi для замкнутого контура з
його замиканням у верхнiй або нижнiй пiвплощи-
нi комплексної k1-площини, в залежностi вiд знаку
величин x + a i x− a, з урахуванням умови випро-
мiнювання, дає наступний розв’язок для η0(x, 0):
а) в областi x > a
η0(x, 0) =
P0b∗
λ
[
−8A0 sin(ζx) sin(ζa) + A
(i)
01
]
. (34)
A0 =
e2ζ + 1
2e2ζ
(
λ − ζ − 1
2
)
− 1
,
A
(i)
01 =
∞
∑
i=1
A0i
D0i
[
e−ζ∗i(x+a) − e−ζ∗i(x−a)
]
.
A0i = D0ii[1 + cos(2ζ∗i)] − D0ir sin(2ζ∗i) ,
D0i = D2
0ir + D2
0ii ,
D0ir = (2λ − 1) cos(2ζ∗i) + 2ζ∗i sin(2ζ∗i) − 1 ,
D0ii = (2λ − 1) sin(2ζ∗i) − 2ζ∗i cos(2ζ∗i) .
б) в областi −a < x < a
η0(x, 0) =
P0b∗
λ
{
4A0 cos[ζ(x + a)] + A
(i)
02
}
, (35)
A
(i)
02 =
∞
∑
i=1
A0i
D0i
[
e−ζ∗i(x+a) + eζ∗i(x−a)
]
.
в) в областi x < −a
η
0
(x, 0) = −
P0b∗
λ
A
(i)
0 , (36)
A
(i)
03 =
∞
∑
i=1
A0i
D0i
[
eζ∗i(x+a) − eζ∗i(x−a)
]
.
5.2. Розв’язок для складової η
k2
(x, 0)
Пiдiнтегральнi функцiї складових Jk1 та Jk2
розв’язку (31) в k1-площинi при k1 → ∞ пряму-
ють до нуля як k−1
1 i, отже, задовольняють умовам
леми Жордана. Вони мають особливi точки в цiй
площинi. Це точка розгалуження k1 = 0, характер-
на для всiх функцiй Бесселя, та точки, координати
яких задовольняють рiвняння Bk2 = 0, або
[Kν1 + 2(H − 1)k1K
′
ν1] ×
×
[
λHs
k Rk1 −
(
λr
k1
H
+ k2
1
)
Hq
k Iν0
]
−
О. Г. Стеценко, В. М. Iльченко 71
ISSN 1561 -9087 Прикладна гiдромеханiка. 2014. Том 16, N 4. С. 66 – 78
− [Iν1 + 2(H − 1)k1I
′
ν1]×
×
[
λHs
k Rk2 −
(
λr
k1
H
+ k2
1
)
Hq
k Kν0
]
= 0 . (37)
Вздовж дiйсної пiввiсi k1 ≤ 0 в k1-площинi вико-
нано розрiз.
Рiвняння (37) має корiнь ζ
(r)
k на додатнiй дiй-
снiй пiввiсi, де зручно позначити k1 = k
(+)
1 ≥ 0.
На вiд’ємнiй дiйснiй пiввiсi, яку також зручно по-
значити як k1 = k
(−)
1 ≤ 0, коренi знаходяться за
допомогою представлення k
(−)
1 на кожному з бере-
гiв розрiзу через рiвне по модулю додатнє k
(+)
1 та
використання вiдомих виразiв аналiтичного про-
довження для модифiкованих функцiй Бесселя на
обох берегах розрiзу [24]. На верхньому березi роз-
рiзу, де для рiвних модулiв k
(+)
1 i k
(−)
1 цi величини
виражаються одна через другу як k
(−)
1 = k
(+)
1 eπi,
Iν(k
(−)
1 ) = eνπiIν(k
(+)
1 ) ,
Kν
(
k
(−)
1
)
= e−νπiKν(k
(+)
1 ) − πiIν(k
(+)
1 ) .
На нижньому березi, де k
(−)
1 = k
(+)
1 e−πi,
Iν
(
k
(−)
1
)
= e−νπiIν(k
(+)
1 ) ,
Kν
(
k
(−)
1
)
= eνπiKν(k
(+)
1 ) − πiIν (k
(+)
1 ) .
Пiдстановка цих виразiв у рiвняння (37) показує,
що воно не змiнює свого вигляду на обох берегах
розрiзу. З цього виходить, що на вiд’ємнiй дiйснiй
вiсi, як i у випадку складової η
0
(x, 0), має мiсце
симетричний корiнь −ζ
(r)
k .
Враховуючи вiдомi властивостi спряженостi бес-
селевих функцiй для дiйсних ν ,
Iν(k̄1) = Īν(k1) , Kν(k̄1) = K̄ν(k1) ,
неважко пересвiдчитись, що має мiсце залежнiсть
Bk(k̄1) = B̄k(k1) .
Це означає, що рiвняння (37), окрiм дiйсних коре-
нiв ±ζ
(r)
k , має ще (для кожного значення k2) не-
скiнчену множину чисто уявних коренiв ±iζ
(in)
k .
Вiдповiдний аналiз показує, що величина Ak та-
кож не змiнюється при переходi на другий берег
розрiзу, внаслiдок чого при обходi розрiзу сумар-
ний вклад у величину iнтегралiв Jk1 та Jk2 рiв-
ний нулю. Окрiм того, аналiз асимптотики пiдiн-
тегральних функцiй Ik1 та Ik2 в околi точки розга-
луження (k1 → 0) показує, що вони тут прямують
до величини 2/(2r
k1
+ 1), так що величина iнте-
гралiв при обходi цiєї точки по колу нескiнчено
малого радiуса прямує до нуля. Отже, у розв’язок
для даної складової, як i у випадку для η0(x, 0),
вклад дають лише полюси пiдiнтегральних фун-
кцiй ±ζ
(r)
k та ±iζ
(in)
k .
В результатi виконання стандартної процедури
iнтегрування по замкнутому контуру з використа-
нням теореми Кошi одержано наступний розв’язок
для η
k2
(x, 0):
а) в областi x > a
η
k2
(x, 0) =
2P0
πλk2
Hq
k sin(k2∗b)ηk21
, (38)
η
k21 = −
4A
(r)
k ζ
(r)
k
B
(r)
kp
sin
(
ζ
(r)
k x
)
sin
(
ζ
(r)
k a
)
+
+
∞
∑
n=1
Gkn
[
e−ζ
(in)
k
(x+a) − e−ζ
(in)
k
(x−a)
]
;
б) в областi −a < x < a
η
k2
(x, 0) =
2P0
πλk2
Hq
k sin(k2∗b)ηk22
, (39)
η
k22 =
2A
(r)
k ζ
(r)
k
B
(r)
kp
cos
[
ζ
(r)
k (x + a)
]
+
+
∞
∑
n=1
Gkn
[
e−ζ
(in)
k
(x+a) + eζ
(in)
k
(x−a)
]
;
в) в областi x < −a
η
k2
(x, 0) = −
2P0
πλk2
Hq
k sin(k2∗b∗) ×
×
∞
∑
n=1
Gkn
[
eζ
(in)
k
(x+a) − eζ
(in)
k
(x−a)
]
. (40)
Тут
A
(r)
k = Ak(ζ
(r)
k ) , B
(r)
kp =
dBk
dk1
(ζ
(r)
k ) , (41)
A
(in)
k = Ak(iζ
(in)
k ) , B
(in)
kp =
dBk
dk1
(iζ
(in)
k ) , (42)
Gkn = Re
(
iA
(in)
k ζ
(in)
k
B
(in)
kp
)
. (43)
Вирази (29), (34)–(36) та (38)–(40) дають розв’я-
зок поставленої задачi визначення поля корабель-
них хвиль за рухомою областю тиску.
6. РЕЗУЛЬТАТИ ЧИСЕЛЬНИХ
ЕКСПЕРИМЕНТIВ
Розрахунки характеристик хвильового поля та
амплiтудних картин виконанi для декiлькох хара-
ктерних режимiв руху областi поверхневого тиску,
72 О. Г. Стеценко, В. М. Iльченко
ISSN 1561 -9087 Прикладна гiдромеханiка. 2014. Том 16, N 4. С. 66 – 78
подiбних тим, що були використанi для каналу з
прямокутним поперечним перерiзом шириною 2l.
Це дозволяє провести аналiз впливу трапецiєви-
дностi каналу на характеристики вiдповiдних хви-
льових полiв.
При визначеннi характеристик поверхневих
хвиль для обчислення функцiй Бесселя Iν та Kν
використовувались їхнi iнтегральнi представлен-
ня, а для великих значень ν – їхнi вiдповiднi асим-
птотичнi представлення. Похiднi вiдмiчених фун-
кцiй знаходилися з вiдомих виразiв їхнього пред-
ставлення через самi функцiї [24].
В цiлому, структура амплiтудної картини подi-
бна до випадку прямокутного каналу i включає в
себе поперечнi i розбiжнi хвилi. При цьому попере-
чнi хвилi, вiдповiднi розв’язку для η0, виявились
iдентичними одержаним в [8] для каналу з вер-
тикальними стiнками ширини 2l. Їх не iснує для
режимiв з λ < 1. При λ > 1, що вiдповiдає докри-
тичним значенням числа Фруда Fr< 1, цi хвилi
присутнi по всiй ширинi каналу в областi x > −a.
Вiдповiдна поперечна хвиля з хвильовим числом
ζ, прив’язана до рухомої областi в зонi −a < x < a,
представляється складовою з cos[ζ(x+a)], а позаду
цiєї зони при x > a – складовими з sin(ζa) sin(ζx).
Як випливає з розв’язку для ζ, iнтенсивнiсть цi-
єї складової пропорцiйна параметру b∗, який при
l → ±∞ прямує до нуля.
Рис. 2. Залежнiсть ζ та ζ
(r)
k
вiд λ при H = 1.2
Друга система хвиль (розбiжних), якi iсну-
ють при всiх λ, описується складовими з
sin(ζ
(r)
k x) sin(ζ
(r)
k a) i вона бере участь у формуван-
нi хвильової картини позаду областi тиску. Скла-
довi з cos[k2∗y − ζ
(r)
k x] вiдповiдають хвилям, якi
формуються злiва вiд вiсi руху, потiм вiдбиваю-
ться вiд лiвої стiни каналу i поширюються вправо.
Вiдповiдно, складовi з cos[k2∗y + ζ
(r)
k x] формую-
ться справа вiд вiсi руху, потiм вiдбиваються вiд
правої стiнки каналу i поширюються влiво. Далi
процеси вiдбиття хвиль повторюються.
a
b
Рис. 3. Залежнiсть ζ
(in)
k
вiд λ при: а −H = 1.2;
б−H = 4
В ближнiй до областi тиску зонi цi хвилi, подi-
бно до схем руху без бокових стiнок, також знахо-
дяться всерединi певного сектора, величину кута
якого, на вiдмiну вiд випадку вiдсутностi стiнок,
не вдається визначити явно. На рис. 2 наведена
залежнiсть вiдповiдних значень хвильових чисел
обох типiв хвиль вiд параметра λ при H = 1.2,
одержана iз розв’язку рiвняння (37). З нього ви-
дно, що при фiксованому значеннi λ величини
О. Г. Стеценко, В. М. Iльченко 73
ISSN 1561 -9087 Прикладна гiдромеханiка. 2014. Том 16, N 4. С. 66 – 78
хвильових чисел ζ
(r)
k збiльшуються зi зростанням
номера Фур’є складової k2, а збiльшення вели-
чини параметра λ при фiксованому значеннi k2
дає зростання хвильових чисел генерованих хвиль.
Представленi залежностi дуже близькi до вiдпо-
вiдних залежностей, одержаних для каналу тiєї са-
мої ширини з прямокутною формою поперечного
перерiзу [8] (вiдмiннiсть має мiсце, починаючи з
третього-четвертого значущого числа в дiапазонi
k2 ≤ 60).
Рис. 4. Залежнiсть ν вiд k2 при l = 3
Аналогiчнi розрахунки при H = 2 та H = 4
дають значення хвильових чисел, якi мало вiдрi-
зняються вiд наведених на рис. 2, але ще ближче
до їхнiх значень у випадку прямокутної форми пе-
рерiзу каналу, а при H → ∞ залежнiсть ζ
(r)
k вiд λ
строго вiдповiдає цiй формi. Це означає, що фазо-
ва картина поверхневого хвильового поля форму-
ється спектром хвильових чисел (множина Фур’є-
компонент ζ
(r)
k ), який слабо залежить вiд вели-
чини H при однакових iнших параметрах. Отже,
ефект впливу H на хвильову картину обумовле-
ний, головним чином, механiзмами трансформацiї
хвиль, набiгаючих на похилий берег, крутизну схи-
лу якого ця величина i визначає.
Затухаючi збурення, породженi рухомою обла-
стю тиску, описуються уявними коренями рiвня-
ння (37). Для кожного значення k2 i λ iснує не-
скiнчена кiлькiсть цих коренiв ±iζ
(in)
k . Характер
залежностi цих коренiв вiд λ для двох значень па-
раметра H представлений на рис. 3. Як видно, ця
залежнiсть вiд вказаних параметрiв кардинально
вiдмiнна вiд тiєї, яка має мiсце для дiйсних коре-
нiв ±ζ
(r)
k . В даному випадку уявнi коренi помiтно
залежать вiд значення H i вкрай слабо залежать
вiд значення λ. Враховуючи, що всi ±iζ
(in)
k мають
достатньо великi значення їхнiх модулiв ζ
(in)
k , якi
швидко зростають зi зростанням k2 i H , затухаючi
збурення швидко прямують до нуля зi збiльшен-
ням вiддалi вiд областi тиску, що надалi i пiдтвер-
джують проведенi розрахунки.
На рис. 4 представлена залежнiсть величини по-
рядку функцiй Бесселя ν вiд хвильових чисел k2
для двох значень H . Як видно, зi збiльшенням
H градiєнт зростання значення ν швидко зростає.
Саме цим обумовлене згадуване вище застосува-
ння асимптотичних представлень для великих ν
при обчисленнi функцiй Бесселя.
Характернi картини розподiлу iзолiнiй змiщен-
ня вiльної поверхнi η/P0 = const за рухомою обла-
стю тиску, вiднесеного до величини P0, для рiз-
них значень визначальних параметрiв a, b, l, H, λ
наведенi на рис. 5–9. Аналiз отриманих у резуль-
татi розрахункiв картин хвильових полiв показує,
що для каналiв з трапецiєвидною формою попе-
речного перерiзу формування хвильової картини
зберiгає всi характернi особливостi, властивi для
каналiв з прямокутною формою перерiзу, набува-
ючи, однак, деякi новi особливостi. Як вже вiдмi-
чалось, поле поперечних хвиль у рамках розгля-
нутої лiнiйної постановки в обох випадках спiв-
падає. В ближнiй зонi за рухомою областю фор-
муються системи носових i кормових хвиль, при
цьому кут хвильового сектора, в якому розмiщенi
хвильовi цуги, сформованi iнтерференцiєю розбi-
жних i поперечних хвиль, зростає зi збiльшенням
величини λ. Вiдбувається регулярне вiдбиття по-
верхневих хвиль вiд бокових стiнок. Як i у випад-
ку вiдсутностi бокових стiнок [2, 8, 12], зменше-
ння величини λ зменшує кут хвильового сектора
в ближнiй областi, що, звичайно, змiнює загаль-
ну картину поверхневого збурення. Зi зростанням
величини λ, при однакових iнших параметрах, ам-
плiтуди поверхневих хвиль зменшуються.
Про характер впливу на цi процеси трапецiєви-
дностi каналу можна робити висновки на пiдставi
виконаних розрахункiв.
На рис. 5 представлена картина iзолiнiй змiще-
ння вiльної поверхнi для двох значень λ при не-
змiнних характеристиках областi тиску i каналу.
На обох картинах видно наявнiсть в ближнiй зо-
нi за рухомою областю тиску областi характерної
клиновидної форми, утвореної носовою i кормо-
вою системами хвиль, якi сформованi iнтерферен-
цiєю розбiжних та поперечних хвиль. Останнi, як
вже вiдмiчено, присутнi в означенiй областi кана-
лу. Всерединi областi хвильового поля, де присутнi
74 О. Г. Стеценко, В. М. Iльченко
ISSN 1561 -9087 Прикладна гiдромеханiка. 2014. Том 16, N 4. С. 66 – 78
а
б
Рис. 5. Iзолiнiї змiщення вiльної поверхнi при
λ = 4, a = 1, b = 0.2, l = 3:
а −H = 4; б −H = 1.2
переважно поперечнi хвилi, зi зростанням вiддалi
вiд рухомої областi до початку вiдбиття хвильо-
вих цугiв вiд бiчних стiнок має мiсце зростання
їхнiх амплiтуд при зменшеннi величини H . При
досягненнi хвильовими фронтами бокових стiнок
прослiдковується початок процесу їх вiдбиття. По-
рiвняння наведених полiв iзолiнiй показує також,
що зменшення величини H (що збiльшує протя-
жнiсть зони схилу бокових стiнок каналу) збiль-
шує протяжнiсть переднього фронту хвиль у зо-
нi схилу стiнки каналу. В результатi кут розхилу
областi, зайнятої поверхневими хвилями, зростає
(рис. 5, б), що, в певнiй мiрi, вiдповiдне зменшен-
ню середньої глибини каналу. При цьому, амплiту-
ди поверхневих хвиль зi зменшенням величини H
зростають. Наочно вплив зменшення величини H
найкраще спостерiгається всерединi зони хвильо-
вого клину, де знаходяться переважно поперечнi
хвилi. Там чiтко спостерiгається помiтне зростан-
ня амплiтуд цих хвиль (в наведеному промiжку
пройденого шляху вони зросли приблизно вдвiчi).
На переднiх фронтах хвильового поля також чi-
тко видно зростання, хоч i менш iнтенсивне, їхнiх
амплiтуд над дiлянкою схилу стiнок каналу.
а
б
Рис. 6. Змiщення вiльної поверхнi вздовж поперечних
перерiзiв каналу λ = 4, a = 1, b = 0.2, l = 3 :
а −H = 4; б −H = 1.2
На рис. 6 представлено профiлi збурення вiль-
ної поверхнi в трьох поперечних перетинах кана-
лу для тих режимiв руху областi тиску, що i на
рис. 5. З порiвняння вiдповiдних профiлiв видно,
що найбiльша (бiльш нiж вдвiчi) змiна амплiтуд
має мiсце в уже згадуванiй областi всерединi ка-
налу мiж хвильовими цугами. Вiдомо, що транс-
формацiя хвильових цугiв поверхневих корабель-
О. Г. Стеценко, В. М. Iльченко 75
ISSN 1561 -9087 Прикладна гiдромеханiка. 2014. Том 16, N 4. С. 66 – 78
них хвиль обумовлена дисперсiйним розбiганням
їхнiх хвильових складових. Для каналiв з похили-
ми боковими стiнками на цей процес впливає кру-
тизна та протяжнiсть цих схилiв. В перерiзi кана-
лу при x = 4 змiна амплiтуди в областi передньо-
го фронту починається ранiше для меншого зна-
чення H . Це обумовлено тим, що ширина областi
впливу бiчних стiнок при H = 1.2 ширша, нiж при
H = 4. Це цiлком природно, враховуючи бiльшу
протяжнiсть схилу в цьому випадку. В силу вiдмi-
ченої ранiше малої вiдмiнностi спектрiв генерова-
них хвильових чисел для рiзних H , слiд очiкувати,
що наявнi вiдмiнностi профiлiв η(y) для H = 1.2 i
H = 4 обумовленi, головним чином, впливом кру-
тизни схилу. Цей вплив обумовлює змiну параме-
трiв кожної складової спектру хвильового цуга як
при його набiганнi на похилу стiнку, так i при вiд-
биттi вiд неї.
а
б
Рис. 7. Iзолiнiї змiщення вiльної поверхнi при
H = 1.2, a = 2, b = 0.2, l = 3 :
а −λ = 2; б −λ = 4
При збiльшеннi довжини областi тиску вiдмi-
ченi вище особливостi формування корабельних
хвиль доповнюються збiльшенням ширини обла-
стi, зайнятої розбiжними хвильовими цугами. Це
видно iз порiвняння хвильових картин, представ-
лених на рис. 5 i 7. Вiдносно рис. 7 слiд вiдмiти-
ти, що режим руху з λ = 2 в каналах вiдноситься
до дiапазону двох критичних швидкостей, де гi-
дродинамiка хвильових полiв за суднами має не-
лiнiйну природу i тому не описується в лiнiйнiй
постановцi [4]. Однак для якiсного аналiзу впли-
ву змiни величини λ на картину поля лiнiйних по-
верхневих хвиль використання розв’язкiв лiнiйних
задач допустиме. Для достатньо вузьких каналiв
хвильовi фронти швидко досягають берегiв каналу
i хвильова картина формується, починаючи з де-
якої вiдстанi вiд рухомої областi, як iнтерференцiя
набiгаючих та вiдбитих систем хвиль. Характер-
ний вигляд хвильових картин для таких ситуацiй
наведено на рис. 8, де представлена хвильова кар-
тина для режиму руху областi тиску, вiдповiдному
рис. 5, але для каналу шириною 2l = 4.
а
б
Рис. 8. Iзолiнiї змiщення вiльної поверхнi при
l = 2, λ = 4, a = 1, b = 0.2 :
а −H = 4; б −H = 1.2
В даному випадку характернi вiдмiнностi хви-
льових картин можна видiлити лише на переднiх
фронтах хвильових цугiв до початку їх вiдбиття,
де має мiсце зростання амплiтуд хвиль зi зменше-
нням величини H , та всерединi каналу мiж розбi-
жними хвильовими цугами, де при такiй же змiнi
H помiтно зростають амплiтуди наявних там збу-
76 О. Г. Стеценко, В. М. Iльченко
ISSN 1561 -9087 Прикладна гiдромеханiка. 2014. Том 16, N 4. С. 66 – 78
рених поперечних хвиль. Як видно з рис. 8, остан-
нє зростання всерединi каналу має мiсце i пiсля
першого вiдбиття хвильових фронтiв. При цьому,
як це випливає з представлених тут та на рис. 5 i
7 хвильових картинах, якщо на дiлянцi кiльватер-
ного слiду до початку вiдбиття хвильових фронтiв
зростання амплiтуд завжди бiльше при меншому
значеннi H , то пiсля вiдбиття в зонi iнтерференцiї
вiдбитих хвиль бiльш iнтенсивне зростання амплi-
туд може мати мiсце i при бiльшому значеннi H .
В областi закритичних режимiв руху, при λ < 1,
вплив нелiнiйностi рiзко зменшується. тут вiдсу-
тнi поперечнi хвилi. Тому представляють iнтерес
також особливостi лiнiйного розв’язку для хвильо-
вого поля в умовах руху областi тиску в каналi з
трапецiєвидним поперечним перерiзом i для таких
режимiв. На рис. 9 представленi вiдповiднi поверх-
невi хвильовi картини для двох значень параметра
H .
а
б
Рис. 9. Iзолiнiї змiщення вiльної поверхнi при
λ = 0.5, a = 1, b = 0.2, l = 3 :
а −H = 4; б −H = 1.2
Аналiз структури одержаних хвильових полiв
для даного режиму руху показує її вiдповiднiсть
проаналiзованому вище характеру впливу на них
величини скосу бокових стiнок каналу та величи-
ни λ. Однак, враховуючи малi значення λ i одну
i ту саму область розрахунку вздовж координати
x, зростання амплiтуд в областi переднього фрон-
ту хвиль та всерединi хвильової областi мiж розбi-
жними цугами хвиль та збiльшення кута розхилу
хвильової областi зi зменшенням величини H ви-
ражено слабкiше.
ЗАКЛЮЧЕННЯ
В роботi вперше розв’язана лiнiйна задача роз-
рахунку поля корабельних (баричних) хвиль, ге-
нерованих стацiонарним рухом областi поверхне-
вого тиску в каналi з трапецiєвидною формою по-
перечного перерiзу. Розв’язок задачi знаходився в
перетворенiй системi координат, в якiй граничнi
умови на косих бiчних стiнках трансформуються в
умови на вертикальних стiнках. Застосовано пере-
творення Фур’є по поздовжнiй координатi та роз-
клад образу потенцiала швидкостi в ряд Фур’є по
новiй поперечнiй координатi. Разом зi знайденим
представленням складових перетвореного рiвнян-
ня для функцiї-образу до вигляду, який має то-
чний розв’язок, це дозволило знайти точний ро-
в’язок поставленої задачi у виглядi квадратур. На
пiдставi виконаних чисельних експериментiв мо-
жна сформулювати наступнi висновки стосовно
особливостей формування корабельних хвиль для
розглянутого типу каналiв:
1. Всi особливостi впливу головних параметрiв
задачi (l, λ, a, b) для каналiв прямокутного попе-
речного перерiзу зберiгаються i для каналiв з тра-
пецiєвидним перерiзом.
2. Поперечнi хвилi, генерованi рухомою обла-
стю тиску, аналогiчнi випадку каналу прямоку-
тного перерiзу. Хвильовi числа спектру розбiжних
хвиль, навiть для H , близьких до одиницi, мало (в
третiй-четвертiй значущiй цифрi) вiдрiзняються
вiд випадку прямокутного каналу. Це означає, що
вплив скосу бiчних стiнок проявляється лише че-
рез механiзм трансформацiї розбiжних хвиль в
областi схилiв берегiв каналу як в процесi набi-
гання, так i в процесi їх вiдбиття.
3. При зменшеннi величини H i незмiннiй гли-
бинi каналу h (зменшення крутизни i, вiдповiдно,
збiльшення протяжностi схилу) має мiсце транс-
формацiя хвильового поля зi зростанням амплi-
туд хвиль, що найбiльш помiтно в зонi набiгання
переднього хвильвого фронту на стiнку i всереди-
нi каналу мiж розбiжними хвильовими цугами, та
збiльшення кута розхилу сектора хвильового по-
О. Г. Стеценко, В. М. Iльченко 77
ISSN 1561 -9087 Прикладна гiдромеханiка. 2014. Том 16, N 4. С. 66 – 78
ля. Обидвi особливостi подiбнi до ефекту зменше-
ння величини h.
В цiлому, як випливає з одержаних результатiв,
вплив скосу бiчних стiнок каналу на хвильове поле
за рухомою областю поверхневого тиску зростає зi
зменшенням величини параметра H . В реальних
ситуацiях обмежених фарватерiв для суден вплив
схилiв може бути значно бiльш iстотним, оскiльки
в цьому випадку включається вплив такого пара-
метра як вiдношення середньої площi поперечно-
го перерiзу судна до площi поперечного перерiзу
каналу. Цей клас задач, включно з режимами ру-
ху в дiапазонi критичних швидкостей, представ-
ляє найбiльший iнтерес.
1. Sretensky L.N. On the Wave-making resistance of
a Ship moving along in canal // Philosophical
Megasine.– 1936.– 7, 22.– P. 1005-1013.
2. Сретенский Л.Н. О волновом сопротивлении ко-
рабля при нестационарном движении // В сб. Тео-
ретический сборник ЦАГИ, Труды ЦАГИ.– 1937.–
вып. 4, 301.– С. 16-19.
3. Воробьев Ю.Л. Гидродинамика судна в сте-
сненном фарватере.– С.-Петербург: Судостроение,
1992.– 224 с.
4. Войткунский Я.И. Сопротивление движению
судов.– Л.: Судостроение, 1988.– 287 с.
5. Newman Y.N., Pode F.A.P. The wave Resistance
of a Moving Pressure Distribution in a Canal. //
Shiffstechnik.– 1962.– 45,9.– P. 21–26.
6. Eggers K. Uber die Ermittlung des Wellenwi-
derstandes eines Shiffsmodells durch Analise
Wellensystems. // Shiffstechnik.– 1962.– 46,9.–
P. 79–85.
7. Tuck E.O. Sinkage and trim in shallow water of finite
width. // Shiffstechnik.– 1967.– 14,5.– P. 92–94.
8. Iльченко В.М., Стеценко О.Г. Поверхневi хвилi в
каналi, утворенi рухомою областю поверхневого
тиску // ПГМ.– 2013.– 15(87), 4.– С. 40–48.
9. Kratochvil S. Viny vyvolane plavidiem na omegene
neproudici vode. // Vodohosp. cas.– 1979.– 27, 4.–
P. 359–377.
10. Abdel-Macsoud M., Riech K. Wellensystem eines
Schiffes bei stacionaren Fahrstand // Dresden
Wasserbauliche Mitteilungen Technisce Universitat.–
Dresden, Inst. fur Wassenbau und Techn.
Hidromech.– 1996.– P. 9.55–74
11. Ertekin R.C., Webster W.C., Wehansen J.V. Waves
caused by a moving disturbance in a shallow
channel. // J.of Fl.Mechanics.– 1986.– 69.– P. 275-
292.
12. Pedersen G. Three dimensional wave patterns
generated by mowing disturbances in transcritical
speeds. // J. of Fl.Mechanics.– 1988.– 196.– P. 39-
63.
13. Henn R., Sharma S.D., Yiang T. Influence of Canal
Topography of Ship Waves in shallow Water.– Proc.
16th. Int. Work Shop in Water Waves and Floating
Bodies: 2001.– P. 1-4
14. Li Y., Sclavounes P.D. Three-dimensional nonlinear
solitary waves in shallow water generated by an
advancing disturbance. // J. of Fl. Mechanics.–
2002.– 470.– P. 393-410.
15. Hang G.B., Dai Y., Matsuda H. Numerical study on
breaking Phenomen of Ships waves in narrow and
shallow waterways. // J.Mar.Sci.Technol.– 2005.–
10.– P. 11-21.
16. Torsvik K.T. Influence of variable Froude number on
wawes generated by ships in shallow water // Phys.of
Fluids.– 2006.– 18,062102.– P. 1-11.
17. Мороз В.В., Кочiн В.О. Виникнення та розви-
ток хвиль-солiтонiв перед судном, що рухається
в каналi в дiапазонi критичних швидкостей. //
Доп.НАН України.– 2005.– 1.– С. 50-64.
18. Torsvik T., Pedersen G., Dysthe K. Influence of
cross chanel depth variation on ship wave patters //
Mechanics and Applied Matsematics.//Depth of
Math. University of Oslo.– 2008.– 18, 6.–2102.– P. 1-
23.
19. Jovanovic M. Ship resistance in navigation canals. //
Preprint.– University of Belgrade.– 2014.– P. 9.
20. Liu P.L.-F., Wu T.-R. Waves Generated by Moving
Pressure Disturbances in Rectangular and Trapezoi-
dal Channels. // Journal of Hidraulic Research.–
42(2).– 2004.– P. 163-171.
21. Прудников А.П., Брычков Ю.А., Маричев О.И.
Интегралы и ряды..– М.: Наука, 1981.– 797 с.
22. Камке Э. Справочник по обыкновенным диф-
ференциальным уравнениям..– М.: Наука, 1971.–
576 с.
23. Сретенский Л.Н. Теория волновых движений
жидкости.– М.: Наука, 1977.– 588 с.
24. Справочник по специальным функциям. под ред.
М. Абрамовица и И. Стиган.– М.: Наука, 1979.–
830 с.
78 О. Г. Стеценко, В. М. Iльченко
|