Волны в насыщенном жидкостью пористом вязкоупругом материале

Волны в насыщенном жидкостью пористом вязкоупругом материале

Розв’язувана задача є прямою аналогією задачі, дослідженої раніше для насиченого пружного матеріалу, на випадок пористого насиченого рідиною в’язко-пружного середовища. В якості теоретичної моделі середовища використовується класична лінійна схема Біо. Система зв’язаних інтегрально-диференціальних р...

Ausführliche Beschreibung

Gespeichert in:
Bibliographische Detailangaben
Datum:2014
Hauptverfasser: Исрафилов, Р.М., Савельева, Е.В.
Format: Artikel
Sprache:Russian
Veröffentlicht: Інститут механіки ім. С.П. Тимошенка НАН України 2014
Schriftenreihe:Прикладная механика
Online Zugang:http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/116613
Tags: Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
Назва журналу:Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
Zitieren:Волны в насыщенном жидкостью пористом вязкоупругом материале / Р.М. Исрафилов, Е.В. Савельева // Прикладная механика. — 2014. — Т. 50, № 6. — С. 97-109. — Бібліогр.: 23 назв. — рос.

Institution

Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
id irk-123456789-116613
record_format dspace
spelling irk-123456789-1166132017-05-11T03:02:33Z Волны в насыщенном жидкостью пористом вязкоупругом материале Исрафилов, Р.М. Савельева, Е.В. Розв’язувана задача є прямою аналогією задачі, дослідженої раніше для насиченого пружного матеріалу, на випадок пористого насиченого рідиною в’язко-пружного середовища. В якості теоретичної моделі середовища використовується класична лінійна схема Біо. Система зв’язаних інтегрально-диференціальних рівнянь для переміщень скелета і рідини отримані за допомогою принципу Вольтера і операторного методу Работнова. Поширення лінійно-пружних хвиль вивчається для півпростору, на граничній поверхні якого діє гармонічний короткочасний імпульс заданої частоти. Викладено процедуру розв’язання задачі за методом перетворення Лапласу за часом. Побудований аналітичний розв’язок задачі в просторі зображень Лапласа з врахуванням в’язко-пружності скелета, процедура оберненого перетворення детально описана. The linear viscoelastic waves in the half-space are studied, when the harmonic short-time pulse acts on the boundary surface. The theoretical model is based on the classical linear Biot’s model. A system of coupled integro-differential equations for the displacements of skeleton and the fluid is obtained using the Volterra principle and Rabotnov’s operator method. The problem is solved by the Laplace transform method. The analytical solution in the space of images is obtained taking into account of the skeleton viscoelastic properties. A procedure of inverse transform is described in details. 2014 Article Волны в насыщенном жидкостью пористом вязкоупругом материале / Р.М. Исрафилов, Е.В. Савельева // Прикладная механика. — 2014. — Т. 50, № 6. — С. 97-109. — Бібліогр.: 23 назв. — рос. 0032-8243 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/116613 ru Прикладная механика Інститут механіки ім. С.П. Тимошенка НАН України
institution Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
collection DSpace DC
language Russian
description Розв’язувана задача є прямою аналогією задачі, дослідженої раніше для насиченого пружного матеріалу, на випадок пористого насиченого рідиною в’язко-пружного середовища. В якості теоретичної моделі середовища використовується класична лінійна схема Біо. Система зв’язаних інтегрально-диференціальних рівнянь для переміщень скелета і рідини отримані за допомогою принципу Вольтера і операторного методу Работнова. Поширення лінійно-пружних хвиль вивчається для півпростору, на граничній поверхні якого діє гармонічний короткочасний імпульс заданої частоти. Викладено процедуру розв’язання задачі за методом перетворення Лапласу за часом. Побудований аналітичний розв’язок задачі в просторі зображень Лапласа з врахуванням в’язко-пружності скелета, процедура оберненого перетворення детально описана.
format Article
author Исрафилов, Р.М.
Савельева, Е.В.
spellingShingle Исрафилов, Р.М.
Савельева, Е.В.
Волны в насыщенном жидкостью пористом вязкоупругом материале
Прикладная механика
author_facet Исрафилов, Р.М.
Савельева, Е.В.
author_sort Исрафилов, Р.М.
title Волны в насыщенном жидкостью пористом вязкоупругом материале
title_short Волны в насыщенном жидкостью пористом вязкоупругом материале
title_full Волны в насыщенном жидкостью пористом вязкоупругом материале
title_fullStr Волны в насыщенном жидкостью пористом вязкоупругом материале
title_full_unstemmed Волны в насыщенном жидкостью пористом вязкоупругом материале
title_sort волны в насыщенном жидкостью пористом вязкоупругом материале
publisher Інститут механіки ім. С.П. Тимошенка НАН України
publishDate 2014
url http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/116613
citation_txt Волны в насыщенном жидкостью пористом вязкоупругом материале / Р.М. Исрафилов, Е.В. Савельева // Прикладная механика. — 2014. — Т. 50, № 6. — С. 97-109. — Бібліогр.: 23 назв. — рос.
series Прикладная механика
work_keys_str_mv AT israfilovrm volnyvnasyŝennomžidkostʹûporistomvâzkouprugommateriale
AT savelʹevaev volnyvnasyŝennomžidkostʹûporistomvâzkouprugommateriale
first_indexed 2025-07-08T10:43:02Z
last_indexed 2025-07-08T10:43:02Z
_version_ 1837075145151217664
fulltext 2014 ПРИКЛАДНАЯ МЕХАНИКА Том 50, № 6 ISSN0032–8243. Прикл. механика, 2014, 50, №6 97 Р .М .И с р а ф и л о в , Е . В .С а в е л ь е в а ВОЛНЫ В НАСЫЩЕННОМ ЖИДКОСТЬЮ ПОРИСТОМ ВЯЗКОУПРУГОМ МАТЕРИАЛЕ Институт механики им. С.П.Тимошенко НАНУ, ул. Нестерова 3, 03057, Киев, Украина e-mail: reolog@inmech.kiev.ua Abstract. The linear viscoelastic waves in the half-space are studied, when the harmonic short-time pulse acts on the boundary surface. The theoretical model is based on the classi- cal linear Biot’s model. A system of coupled integro-differential equations for the displace- ments of skeleton and the fluid is obtained using the Volterra principle and Rabotnov’s op- erator method. The problem is solved by the Laplace transform method. The analytical solu- tion in the space of images is obtained taking into account of the skeleton viscoelastic prop- erties. A procedure of inverse transform is described in details. Key words: linear viscoelastic wave, viscoelastic half-space, short-time pulse, Laplace transform method, Rabotnov’s operator method. Введение. В настоящее время в механике неоднородных материалов существует ряд матема- тических моделей и методов исследования связанных динамических процессов на основании заданных механических и кинематических свойств отдельных компонен- тов среды. Основные направления этих исследований и соответствующая библиогра- фия отражены в работах [1 – 4, 9 – 12, 19, 20 – 23]. Среди них отдельное место зани- мают исследования насыщенных жидкостью пористых сред [3 – 7, 11, 12, 19, 20]. В статьях [19, 20] дан обзор экспериментальных и теоретических работ, а также проведен анализ результатов исследования движения линейно-упругих волн в мас- сивном образце, моделирующего волновое движение в полупространстве при воздей- ствии кратковременного гармонического импульса заданной частоты. Ниже подход, развиваемый в [19, 20], применяется для случая вязкоупругого де- формирования скелета. На основе принципа Вольтерра и операторного метода Ю.Н.Работнова [6] записана система связанных интегро-дифференциальных уравне- ний. Построено точное решение нестационарной динамической задачи и получены необходимые аналитические выражения для изучения волн в полупространстве из насыщенного жидкостью пористого вязкоупругого материала. §1. Постановка задачи. По аналогии с [19, 20], рассмотрим полупространство. Средой, заполняющей по- лупространство, является двухфазный континуум, состоящий из твердого деформи- руемого вязкоупругого скелета и вязкой жидкости в порах скелета. В качестве теоре- тической модели среды выбрана классическая линейная схема Био [10]. Граничные условия соответствуют заданию на граничной плоскости равномерного по простран- ственным координатам и гармонического кратковременного колебания частичек сре- ды (перемещений). Математически задача формулируется как задача о нахождении решения системы уравнений движения наследственного типа [19] 98 ( ) ( ) 0 4 , 3 s s пр x xA u  1 1 ( ) ( ) ( ) 2 2 1 0 2 0 0 4 4 4 ( ; ) ( ; ) 3 3 3 t s s s пр пр C C пр C CA A Э t A A Э t                                      ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 11 12, ( ) , , , , ,s f s f s f x x x x t t t t t tu d Qu b u u u u         ; (1.1)  ( ) ( ) ( ) ( ) 0 , ; , ( ) , 1 t s s s f пр x x C C x x x x m K u Э t u d Ru m                   ( ) ( ) ( ) ( ) 12 22, , , ,s f s f t t t t t tb u u u u     при заданных нулевых начальных условиях (естественном начальном состоянии среды)        ( ) ( ) ( ) ( ),0 ,0 , ,0 , ,0 0s f s f t tu x u x u x u x    (1.2) и граничных условиях на координатной плоскости yOz      ( ) ( ) 00, 0, sin ( ) ( )s fu t u t u t H t H t T    . (1.3) С точки зрения практической применимости уравнений (1.1), ядра, входящие в них, должны достаточно точно отвечать результатам опытов, быть сингулярными. Таким свойством обладает экспоненциальная функция дробного порядка Работнова [6]       (1 ) 1 0 ; ( 1)(1 ) n n n Э t t t n                 . (1.4) В формулах (1.1) – (1.4) приняты обозначения:  ( ) ,su x t ,  ( ) ,fu x t – парциальные перемещения скелета (skeleton) и жидкости (fluid); физические постоянные ( ) 0 2, , , , s npQ R A A  и подынтегральные ядра определены и приведены в работах [19, 20]; 2b m K – коэффициент диффузионного взаимодействия твердого и жидкого ком- понентов среды;  – динамический коэффициент вязкости жидкости; K – коэффи- циент проницаемости среды; ( ) ( ) ( ) ( ) 11 12 22 12(1 ) ; ; ,s f s fm m            – плотности отдельно взятых твердого и жидкого компонентов среды; 12 – коэффици- ент присоединенной массы; 0u – амплитуда синусоидального импульса; T – про- должительность импульса; ( )H t – единичная функция; m – пористость среды; 1 0   , 0  – параметры ядра ползучести или релаксации скелета;  ( ) ( ) ( ), ,f s f x xP Qu Ru m   – давление в жидкости. §2. Решение задачи с помощью трансформации Лапласа. После применения к функции (1.4) интегрального преобразования Лапласа по времени имеем     11;Э p p        , (2.1) где p – параметр преобразования Лапласа. 99 Исходя из (2.1), в пространстве изображений необходимо решать систему связан- ных уравнений   1( ) ( ) 1 ( ) 0 1 2 4 4 , 3 3 s s s пр C пр C xxA A A p u                     ( ) ( ) ( ) 11 12, 0s f f xxp p b u Qu p p b u         ; (2.2)       1( ) 1 ( ) ( ) ( ) ( ) 12 221 , , 0 1 s s s f f пр C C xx xx m K p u p p b u Ru p p b u m                    с такими граничными условиями:       0 ( ) ( ) 0 2 2 0, 0, cos sin ( )s f pTu u p u p T p T e u p p               . (2.3) Отметим, что при выводе формул (2.2) использована теорема о свертке. Решение системы уравнений (2.2), удовлетворяющее граничным условиям (2.3), аналогично [15], имеет вид      1 2( ) 0 12 22 0 0 , ,( ) ,s Ptx p x pu p u x p e R Q p a p a                ; (2.4)      3 4( ) 0 12 22 0 0 , ,( ) ,f Ptx p x pu p u x p e R Q p a p a                ; (2.5)      ( ) ( ), ,1 , s fu x p u x p P x p Q R m x x             . (2.6) Здесь    1 1, ,x p x p   ,      2 1, cos sin ,x p T p T x p       ;    3 2, ,x p x p   ,      4 2, cos sin ,x p T p T x p       ;      1 2 2 2 2 1 1 2, ( ) ( )x p p k p k p                1( )2 2 2 12 22 1 22 2 1 2( ) ( ) ( ) ( ) ( ) k p xR pk p R Q p b k p a p p a p p e                 2 ( )2 2 2 12 22 2 22 1 1 2( ) ( ) ( ) ( ) ( ) k p xR pk p R Q p b k p pa p a p p e           ,  2 ,x p     1 2 2 2 2 1 2( ) ( )p k p k p           2 2 12 22 1 12 2( ) ( ) ( )Q p k p R Q p b k p             1( )2 2 2 3 4 12 22 2 12 1( ) ( ) ( ) ( ) ( )k p xpa p a p p e Q pk p R Q p b k p            2 ( )2 3 4( ) ( ) k p xpa p a p p e  , 100 где для вычисления величин 1,2 ( )k p получены формулы 1 2 2 1,2 0 1 2 3( ) ( ) ( ) ( ) ( )k p M p M p M p M p       , (2.7) 1 2 2 21 1 2 0 2 31 ( ) ( ) 1 ( ) ( ) L k p k p p RL M p M p p                  . (2.8) В формулах (2.4), (2.5) и (2.7) введены обозначения     1 1 1 2` 112 0 0 1( ) 2 1M p R L p L p               ,   11 1 0 1( ) 1M p L L p             22 2 3( )p b L p L    ,       11 2 0 1 22 2 3( ) 1 ( )M p L L p p b L p L            ,     1 22 1 3 0 1 4 5( ) 4 1 ( )M p R L L p L p L         , 2 0 ( 2 )L A N R Q   ; 1 1 04 (3 )SL N R L  ; 2 2 2 11 22 122L R Q QR     ;  2 2 3 2L R Q QR b   ; 4 12 22 Q L R    ; 5 1 Q L b R       ; 0 22 12 ( )b R Q a Q R     ;         111 1 2 1 0 1 12 11 22 22 12 22( ) 1a p R R Q L L p                    ;       111 1 2 12 22 0 1 11 22 12( ) 1 2a p R R Q L L p b                       ;       111 1 2 3 0 1 12 11 22( ) 1a p Q R Q L L p               ;       111 1 4 12 22 0 1 11 22 12( ) 1 2a p Q R Q L L p b                        . §3. О процедуре реализации обращения полученного решения. Записанное формально через обратные преобразования решение задачи (2.4), (2.5) имеет вид 0 0 ( , ) ( , )1 ( , ) ( , ) 2 p i S f pt S f p i u x t e u x p dp i        . (3.1) Подынтегральные функции известны, задаются формулами (2.3), (2.4) и имеют такие особые точки в комплексной плоскости: 1) три простых полюса в точках 101 0, 0p i p a     ; 2) четыре точки разветвления в нулях функции 1 2( ) ( ) 0k p k p  0 1 2( 0; ; ; )p       ,   12 0 11 22 12 12 22 122 0               ,  33 1 2 10, 0         и, согласно записи (2.8), две точки разветвления 3 4;p   (комплексные) в нулях трансцендентного относительно p уравнения 2 2 1 2( ) ( ) 0k p k p  ; 3,4 1 2m i m    ; 1 2 1 20; 0; ;m m m m   1 1 1 6 1 2 2 cos( ) r L m L r       ; 1 1 2 7 1 2 2 sin( ) r L m L r       ;       122 2 2 6 0 4 5 0 3 0 22 2 0 22 2 0 44 4L R L L L L b L L L L L R L L               ;       12 2 2 7 0 0 3 4 0 22 2 5 0 22 2 0 42 4L L R L b L L L L L L L R L L              ;      1 2 2 2 1 0 6 22 0 4 7 0 7 22 0 5 4 6r L b L R L L L L L R L L L L             ;         1 2 2 2 2 1 0 22 2 2 0 4 2 0 22 2 1 0 41 2 1 2r d L L Rd L L d L L d R L L               ;  1 1 1 0 6 22 0 4 7cos r L b L R L L L       ; 1 1 1 0 7 22 0 5 4 6sin (r L L R L L L L       ;    1 2 2 1 0 22 2 2 0 4cos 1 2r d L L Rd L L        ;    1 2 2 2 0 22 2 1 0 4sin 1 2r d L L d R L L        ; 1 1 0 cosd r  , 1 2 0 sind r  ;   1 2 2 2 0 6 7r L L      , 1 6 0cos L r   , 1 7 0sin L r  , 6 0L  , 7 0L  , 6 7L L , 1   . Простой полюс 0p a  неудобен для прямого обращения [7]. Поэтому обраще- ние каждого слагаемого из правых частей функций (2.3), (2.4) проводилось отдельно. Большая часть этих слагаемых может быть вычислена по теореме о свертке   0 1 ( ) 0 0 ( , ) ( , ) t a t k kp a x p e x d        ( 1 4)k   . (3.2) Реализованный далее общий подход к вычислению обратного преобразования ос- нован на последовательном применении леммы Жордана и теоремы Коши о вычетах. 102 На первом шаге обычно строят замкнутый контур, обходящий все указанные особые точки, внутри которого подынтегральная функция является однозначной и аналитиче- ской (рис. 1). Рис. 1 Рис. 2 Применяя для этого контура теорему Коши о вычетах, получаем формулу для вы- числения ( , )K x t . ( , ) Res ( , ), ( ) Res ( , ), ( )pt pt K k kx t e x p i e x p i                12 15 1 1 1 1 ( , ) ( , ) 2 2 j j pt pt k k j jS S e x p dp e x p dp i i               ( 1 4)k   . (3.3) Как показано в работе [19], интегралы по дугам jS , согласно условиям леммы Жордана, равны нулю. Таким образом, в правой части формулы необходимо вычислить вычеты в двух точках i и интегралы по двенадцати отрезкам 1 12, ,S S ; 12 1 1 ( , ) Re ( , ), ( ) Re ( , ), ( ) ( , ) 2 j Pt Pt pt K K K K j S x t s e x p i s e x p i e x p dp i                        . (3.4) Реализация обращения подынтегральных функций (3.4), имеющих комплексные точки разветвления вида 3 1 2m im    и 4 1 2m im    , представляет достаточно сложную задачу. Интегралы, входящие в формулу (3.4), были вычислены следующим образом. Так как они не зависят от выбора постоянной 0p p , то в (3.4) была введена новая переменная 1p m p  . Подынтегральные функции изменяются следующим образом. 103 В новых переменных подынтегральные функции ( , )K x p  имеют следующие точки разветвления:  0 1 2 1 2; ; ; ;p m im        , 2 1 3 3 0 11 22 12 11 22 12 1 1 1 2 1( 2 )( ) 0, 0, ( ) 0m m m                           . Далее был построен удобный замкнутый контур с разрезами на положительной и отрицательной части действительной и мнимой осей координат, обходящий все при- веденные точки разветвления, внутри которого подынтегральные функции ( , )K x p  – однозначны и аналитичны. Такой контур интегрирования изображен на рис. 2. После замены переменных выражение (3.4) было записано в виде ( , ) Res ( , ), ( ) Res ( , ), ( )pt pt K K Kx t e x p i e x p i               – 1 14 ( ) 1 1 ( , ) 2 j p m t K j S e x p dp i             . (3.5) §4. Вычисление вычетов и интегралов. Далее был получен полный комплект формул для вычисления вычетов функций: в полюсе i – согласно формулам        1 1Res , , lim ,pt pt p i e x p i p i e x p             ;          2 1 1 Res , , Res cos sin , ,pt pte x p i e T P T x p i                   ;        3 3Res , , lim ,pt pt p i e x p i p i e x p             ;          4 3 1 Res , , Res cos sin , ,pt pte x p i e T P T x p i                   . (4.1) В полюсе i :        1 1Res , , lim ,pt pt p i e x p i p i e x p                      2 1 1 Res , , Res cos sin , ,pt pte x p i e T P T x p i                   ;        3 3Res , , lim ,pt pt p i e x p i p i e x p             ;          4 3 1 Res , , Res cos sin , ,pt pte x p i e T P T x p i                   . (4.2) 104 Далее, путем исследования характера многозначности комплексных выражений (4.1), (4.2), после вычисления и упрощения вычетов в полюсах  i , получаем фор- мулы для          , Res , , Res , ,pt pt i i ix t e x p i e x p i              . (4.4) Вычисление интегралов по отрезкам    0 0; , , ;     (по горизонтальным и вертикальным дугам  1,...,14js j  ) выполнялось при условии R  , а 0  . При этом далее использована обычная методика вычисления интегралов из формул (3.5) (т. е. отдельно рассматривались нижние, верхние, левые и правые берега надреза). Вводя замену переменной p ip  на положительной и отрицательной частях мнимой оси координат, что соответствует повороту контура интегрирования, по часо- вой стрелке, на 2 , для реализации указанных операций получаем формулу 1 14 ( ) 1 1 ( , ) 2 j p m t k j S e x p dp i            = 0 1 1( ) ( ) 0 1 ( , ) ( , ) 2 i i p m t p m t k k p r e p r e e x p e x p dr i                              1 1 0 ( ) ( )1 ( , ) ( , ) 2 i i p m t p m t k k p r e p r e e x p e x p dr i                               1 1 1 0 2 ( ) ( ) 0 1 ( , ) ( , ) 2 i i m p m t p m t k k p r e p r e e x p e x p dr i                           1 1 1( ) ( ) 0 1 ( , ) ( , ) . 2 i i m ip m t ip m t k kp r e p r e e x p e x p dr                         Таким образом, исследуя характер неоднозначности подынтегральных функций, в итоге вычислений и упрощений на нижних и верхних границах разреза получаем 0 1 1 1 0 14 ( ) ( ) ( ) 1 1 1 0 1 1 ( , ) ( , ) ( , ) 2 j p m t r m t r m t k k k j S e x p dp e x r dr e x r dr i                                       1 2 1 1( ) 2 3 0 0 1 ( , ) ( , , ) m m r m t m t k ke r x dr e x r t dr           . (4.5) Согласно результатам (4.4), (4.5), подставляя (3.5) в интегральные комбинации (3.2), получаем формулы для вычисления свертки в виде              0 01 ( ) 0 1 1 11 1 0 0 , , , , t t a t a t вычp a x p e x d x t e x d                                0 1 10 0 11 11 0 0 0 0 1 1 , , t t r m r ma t a te e x r dr d e e x r dr d                                          105           1 2 10 0 1 12 13 0 0 0 0 1 1 , , , 2 m mt t r ma t a t me e r x dr d e e x r dr d                                     . Прежде чем вычислять свертки, рассмотрим следующие представления, записан- ные в символической форме:  0 1 2 3coste x t T      ; (4.6)       0 02 1 2 3 1 32 2 0 0 2 sin sint a te x t T e x T a                     0 0- -0 0 1 2 3 1 3 2 e cos e cost a ta x t T x T               ; (4.7)  0 1 2 3sinte x t T      ; (4.8)       0 02 1 2 3 1 32 2 0 0 2 cos cost a te x t T e x T a                     0 0- -0 0 1 2 3 1 3 2 e sin e sint a ta x t T x T               , (4.9)    0 ( ) 1 0 , t a t вычe x d     получим из  ( ) 1 ,выч x  , заменив, соответственно, (4.6) на (4.7) и (4.8) на (4.9) при 0 1 210,T L    и 2   ,           10 0 10 11 11 0 10 0 0 , , r m tt t a t r ma t e e e e x r dr d x r dr a r m                              ;           11 1 0 10 12 12 0 10 0 0 , , r m tm mt a t r ma t e e e e r x dr d x r dr a r m                            ;     2 0 1 13 0 0 , , mt a t me e x r dr d                 получим из   2 1 13 0 , , m me x r dr    , заменив, соответственно, (4.6) на (4.7) и (4.8) на (4.9) при 0 1m  , 2 r  и ( ) 1 47L  , 3 0  . Аналогично вычисляется    1 0 1,p a x p    ( 2,3,4  ). Принимая во внимание, что 0 при 0 ; ( ) ( ) при ST t T e S t T t T          (4.10) 106 и учитывая          01 0 1 0 , , , t a t k k kp a x p e x d x t           ( 1,4)k  , опреде- лим кусочно-непрерывные по времени решения данной задачи в следующем виде: для перемещения скелета  ( ) 0 11 12 22 ( , ) ,s u u x t x t R Q      , 0 t T  ;    ( ) 0 11 12 12 22 ( , ) , ,s u u x t x t x t T R Q        , t T ; (4.11) для перемещения жидкости –  ( ) 0 13 12 22 ( , ) ,f u u x t x t R Q       , 0 t T  ;    ( ) 0 13 14 12 22 ( , ) , ,f u u x t x t x t T R Q         , 0 t T  . (4.12) Давление жидкости в порах определяется из соотношения      ( ) ( ), ,1 , s fu x t u x t P x t Q R m x x            . (4.13) Часто вычисляют действительный оп- ределенный интеграл ( ) b a f x dx , рассмат- ривая его как часть комплексного контур- ного интеграла ( ) C f z dz , принимая, что контур C включает интервал ( , )a b дейст- вительной оси. Поэтому для применения теории вычетов продолжим аналитически подынтегральные функции в комплекс- ную плоскость. В качестве примера запишем интеграл следующего вида:       10 00 11 11 0 10 0 , , r m ta te e I x r dr x r dr a r m                     . (4.14) Рассмотрим расширенную комплексную плоскость  D P с разрезом 00;    и замкнутым контуромC , имеющим вид «гантели». Контур состоит из окружностей  C P    ,  0 0C P          и отрезков  10 0l r       ,  20 0l r       , лежащих, соответственно, на верхнем и нижнем берегах разреза (рис. 3). Подынтегральная функция 11 однозначна внутри контура C и имеет полюсы 1p m i    , 0 1p a m   . Рис. 3 107 По второй теореме о вычетах для расширенной комплексной плоскости имеем [19]:  11 C p dp              1 1 0 1 11 11 11 112 Res Res Res Res p m i p m i p a m p i p p p p                                     , (4.15) причем  выбрано настолько малым, чтобы все полюсы функции  11 p  лежали вне разреза. Так как при p   ,  11 0p   , то  11Res 0 p p      . Положим ip r e   , на верхнем крае разреза: 0  и функция  11 p  – поло- жительна, на нижнем крае разреза: 2  и функция  11 p  – отрицательна. С другой стороны, левая часть выражения (4.15) равна сумме интегралов           0 0 11 11 11 11 11 C C C p dp p dp r dr p dp r dr                                            . (4.16) На окружностях C  и C  подынтегральная функция ограничена. Поэтому инте- гралы по окружностям C  и C  стремятся к нулю при 0  . Переходя в равенстве (4.16) к пределу при 0  , из (3.2) получим         0 1 1 0 1 11 11 11 11 0 Res Res Res s m i p m i p a m I r dr i p p p                                      . Процедура вычисления этих вычетов подобна уже изложенной. Результаты, в свя- зи с их громоздкостью, не приводим. §5. Обсуждение результатов. Решением поставленной задачи являются формулы (4.11) – (4.13), содержащие выражения для перемещений и давления жидкости и скелета. К основным результа- там относятся также формулы (2.4) – (2.6), дающие выражения для них в пространст- ве изображений Лапласа. Подробное описание процедуры получения указанных фор- мул, наряду с полученными на их основании выводами физико-механического и ки- нематического характера, является основными результатами исследования. Прежде всего, отметим, что процесс движения волн на стадии воздействия на- чального импульса T отличается от процесса движения после прекращения такого воздействия. Об этом свидетельствуют две различные записи, (4.11) и (4.12), для со- ответствующих стадий. Записи аналитически различны, но первая непрерывно пере- ходит во вторую. Из анализа результатов видно, что полученное решение обобщает результаты, из- ложенные в [19, 20], дополняя их новыми составляющими, которые описывают новые механические эффекты и более полно отражают реологические свойства смеси. 108 В отличие от существующих исследований для случая постоянного оператора ди- латации, в данном исследовании учтено, следуя [18], развитие объемной деформации во времени. С учетом вязкоупругости матрицы, в формулах (4.11), (4.12) появился ряд кине- матических изменений, в частности, замедление фильтрационных динамических про- цессов. В результате вычисления вычетов в полюсах i описаны гармонические волны частоты  , зависящие от параметров ползучести. Стационарная часть решения состоит из двух гармонических волн с существенно отличающимися фазовыми переменными    21 21,L x t L x T t       . Кроме того, каждая стационарная волна имеет амплитуду, содержащую экспоненциальный мно- житель вида 20L xe , и затухает по мере возрастания переменной x . Волновое число 21L и показатель 20L нелинейно зависят от частоты  и  ( 1   ), а также от параметров ползучести , ,   . Вторая часть решения состоит из двух стоячих волн с амплитудами, экспоненци- ально затухающими со временем  0 21cosa te a x ,  0 21cosa te a x T  ,  0 21sina te a x ,  0 21sina te a x T  ( 0 22 12 R Q a b Q R     ). Причем затухание прямо определяется че- рез коэффициент межфазового взаимодействия и не зависит от частоты  . Диффузионное взаимодействие в модели Био имеет следствием затухание всех волн. Это следует из формул (2.4) – (2.6). Показатели, содержащие параметр ползучести  ( 1   ), существенно влияют на характер распределения напряжений и перемещений в среде. Эта особенность при- водит к новым интегралам, вследствие чего изменяется нестационарная часть реше- ния задачи. (Общее изложение процедуры вычисления интегралов с помощью теории вычетов также приведено выше). Результаты исследования могут быть использованы при решении задач механики насыщенных пористых сред и пористых композитных материалов, матрицы которых обладают свойством последействия. РЕЗЮМЕ . Розв’язувана задача є прямою аналогією задачі, дослідженої раніше для насиченого пружного матеріалу, на випадок пористого насиченого рідиною в’язко-пружного середовища. В яко- сті теоретичної моделі середовища використовується класична лінійна схема Біо. Система зв’язаних інтегрально-диференціальних рівнянь для переміщень скелета і рідини отримані за допомогою прин- ципу Вольтера і операторного методу Работнова. Поширення лінійно-пружних хвиль вивчається для півпростору, на граничній поверхні якого діє гармонічний короткочасний імпульс заданої частоти. Викладено процедуру розв’язання задачі за методом перетворення Лапласу за часом. Побудований аналітичний розв’язок задачі в просторі зображень Лапласа з врахуванням в’язко-пружності скелета, процедура оберненого перетворення детально описана. 1. Вялов С.С. Реологические основы механики грунтов.  М.: Высшая шк., 1978.  477 с. 2. Городецкая Н.С. Волны в пористо-упругих насыщенных жидкостью средах // Акуст. вестник. – 2007. – 10, №2. – С.43 – 63. 3. Исрафилов Р.М., Савельева Е.В. Определение материальных функций пористой среды наследст- венного типа // Theses of the XV Int. Conf. “Dynamical system modeling and stability investigation”. May 25–27, 2011. – Kyiv – 2011. – P. 276. 4. Исрафилов Р.М., Савельева Е.В. К определению ядер наследственного уравнения насыщенной жидкостью пористой среды (Био) // Тези XIV міжнарод. конф. ім. акад. М.Кравчука (Київ). – 2012. – І. – С.194 – 197. 5. Николаевский В.Н., Басниев К.С., Горбунов А.Г., Зотов Г.А. Механика насыщенных пористых сред.  М.: Наука, 1970. – 335 с. 109 6. Работнов Ю.Н. Ползучесть элементов конструкций.  М.: Наука, 1966.  752 с. 7. Сидоров Ю.В., Федорюк М.В., Шабунин М.И. Лекции по теории функций комплексного перемен- ного.  М.: Наука, 1982.  488 с. 8. Berryman J. G. Confirmation of Biot's theory // Appl. Phys. Lett. – 1980. – 37. – P.382 – 384. 9. Biot M. A. Theory of elasticity and consolidation of an anisotropic porous medium // Collection of transla- tions and reviews of foreign periodicals. – 1956. N 1.  P. 140  146. 10. Biot M. A. Theory of propagation of elastic waves in fluid-saturated porous solid // J. Acoust. Soc. Amer. – 1956.  28, N 2.  P. 168 191. 11. Boyle F. A., Chotiros N. P. Experimental detection of a slow acoustic wave in sediment at shallow graz- ing angels // J. Acoust. Soc. Am. – 1992. – 91. – P. 2615 – 2619. 12. Chabot L. Single-Well Imaging Using Full-Waveform Sonic Data // PhD Thesis. University of Calgary. – 2003. 13. Golub V.P., Pavluk Ya.V. , Fernaty P.V. Determining the Parameters of Fractional Exponential Heredi- tary Kernels of Nonlinear Viscoelastic Materials // Int. Appl. Mech. – 2013. – 49, N 2. – Р. 220 – 232. 14. Golub V.P., Kobzar` Yu.M. , Ragulina V.S. Determining the Parameters of the Heredity Kernels of Nonmlinear Viscoelastic Materials in Tension // Int. Appl. Mech. – 2013. – 49, N 1. – Р. 102 – 109. 15. Hashin Z., Shtrickman S. Note on a variational approach to the theory of composite elastic materials // J. Franklin Inst. – 1961. – 271 p. 16. Khoroshun L.P., Shikula E.N. Deformation and Long-Term Damage of Homogeneous and Composite Materials of Stochastic Structure (Review) // Int. Appl. Mech. – 2012. – 48, N 1. – Р. 7 – 55. 17. Khoroshun L.P., Shikula E.N. Deformation and Damage of Composit materials of Stochastic Structure: Physically Nonlinear Problems (Revew) // Int. Appl. Mech. – 2013. – 49, N 4. – Р. 130 – 142. 18. Mavko G., Mukerji T., Dvorkin J. The Rock Physics Handbook. – Cambridge: Univ. Press, 1998. – 648 p. 19. RushchitskiyYa.Ya., Israfilov R.M. Waves in Saturated Porous Half-Space. Part I // Int. Appl. Mech. – 2001. – 37, N 4. – Р. 520 – 527. 20. RushchitskiyYa.Ya., Israfilov R.M. Waves in Saturated Porous Half-Space. Part II // Int. Appl. Mech. – 2001. – 37, N 5. – Р. 570 – 681. 21. Stoll R. Acoustic waves in ocean sediments // Geophysics. – 1977. – 42, N 4. – P. 715 – 725. 22. Tsiklauri D. Phenomenological model of propagation of the elastic waves in a fluid-saturated porous solid with non-zero boundary slip velocity // J. Acoust. Soc. Am. – 2002. – 112. – P.843 – 849. 23. Tsiklauri D., Beresnev I. Properties of Elastic Waves in a Non-Newtonian Fluid Saturated Porous Me- dium // Transport in Porous Media. – 2003. – 53. – P. 39 – 50. Поступила 05.09.2011 Утверждена к печати 29.05.2014

Ähnliche Einträge