О фотоупругом моделировании задач механики ортотропных тел

Запропоновано спосіб перерахунку динамічних напружень з фотопружної моделі на натурне тіло в плоских задачах механіки ортотропних тіл. Для оцінки способу проведено перерахунок напружень з моделі на натуру в задачі, що має теоретичний розв’язок....

Повний опис

Збережено в:

Бібліографічні деталі
Дата:	2014
Автори:	Малежик, М.П., Войтович, Л.В.
Формат:	Стаття
Мова:	Russian
Опубліковано:	Інститут механіки ім. С.П. Тимошенка НАН України 2014
Назва видання:	Прикладная механика
Онлайн доступ:	http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/116614
Теги:	Додати тег Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
Назва журналу:	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
Цитувати:	О фотоупругом моделировании задач механики ортотропных тел / М.П. Малежик, Л.В. Войтович // Прикладная механика. — 2014. — Т. 50, № 6. — С. 110-116. — Бібліогр.: 12 назв. — рос.

Репозитарії

Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine

id	irk-123456789-116614
record_format	dspace
spelling	irk-123456789-1166142017-05-11T03:02:34Z О фотоупругом моделировании задач механики ортотропных тел Малежик, М.П. Войтович, Л.В. Запропоновано спосіб перерахунку динамічних напружень з фотопружної моделі на натурне тіло в плоских задачах механіки ортотропних тіл. Для оцінки способу проведено перерахунок напружень з моделі на натуру в задачі, що має теоретичний розв’язок. A way of recalculation of dynamic stresses from the photoelastic samplemodel to the full-scale body is proposed for the plane problems of mechanics of orthotropic bodies. To estimate the technique proposed, the recalculation of stresses is carried out for the problem that has the theoretical solution. 2014 Article О фотоупругом моделировании задач механики ортотропных тел / М.П. Малежик, Л.В. Войтович // Прикладная механика. — 2014. — Т. 50, № 6. — С. 110-116. — Бібліогр.: 12 назв. — рос. 0032-8243 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/116614 ru Прикладная механика Інститут механіки ім. С.П. Тимошенка НАН України
institution	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
collection	DSpace DC
language	Russian
description	Запропоновано спосіб перерахунку динамічних напружень з фотопружної моделі на натурне тіло в плоских задачах механіки ортотропних тіл. Для оцінки способу проведено перерахунок напружень з моделі на натуру в задачі, що має теоретичний розв’язок.
format	Article
author	Малежик, М.П. Войтович, Л.В.
spellingShingle	Малежик, М.П. Войтович, Л.В. О фотоупругом моделировании задач механики ортотропных тел Прикладная механика
author_facet	Малежик, М.П. Войтович, Л.В.
author_sort	Малежик, М.П.
title	О фотоупругом моделировании задач механики ортотропных тел
title_short	О фотоупругом моделировании задач механики ортотропных тел
title_full	О фотоупругом моделировании задач механики ортотропных тел
title_fullStr	О фотоупругом моделировании задач механики ортотропных тел
title_full_unstemmed	О фотоупругом моделировании задач механики ортотропных тел
title_sort	о фотоупругом моделировании задач механики ортотропных тел
publisher	Інститут механіки ім. С.П. Тимошенка НАН України
publishDate	2014
url	http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/116614
citation_txt	О фотоупругом моделировании задач механики ортотропных тел / М.П. Малежик, Л.В. Войтович // Прикладная механика. — 2014. — Т. 50, № 6. — С. 110-116. — Бібліогр.: 12 назв. — рос.
series	Прикладная механика
work_keys_str_mv	AT maležikmp ofotouprugommodelirovaniizadačmehanikiortotropnyhtel AT vojtovičlv ofotouprugommodelirovaniizadačmehanikiortotropnyhtel
first_indexed	2025-07-08T10:43:07Z
last_indexed	2025-07-08T10:43:07Z
_version_	1837075150767390720
fulltext	2014 ПРИКЛАДНАЯ МЕХАНИКА Том 50, № 6 110 ISSN0032–8243. Прикл. механика, 2014, 50, № 6 М .П .Ма л е ж и к , Л . В .В о й т о в и ч О ФОТОУПРУГОМ МОДЕЛИРОВАНИИ ЗАДАЧ МЕХАНИКИ ОРТОТРОПНЫХ ТЕЛ Национальный педагогический университет им. М.П. Драгоманова, ул. Пирогова, 9, 06601, Киев, Украина; е-mail: malez@ukr.net Abstract. A way of recalculation of dynamic stresses from the photoelastic sample- model to the full-scale body is proposed for the plane problems of mechanics of orthotropic bodies. To estimate the technique proposed, the recalculation of stresses is carried out for the problem that has the theoretical solution. Key words: photoelastic modeling, orthotropic body, sample-model, full-scale body, recalculation formula, estimation of accuracy. Введение. Поляризационно-оптический метод (ПО-метод) исследования напряженно-дефор- мированного состояния в плоских моделях из оптически-чувствительных ортотроп- ных материалов применен ранее при решении задач статики [5] и динамики [3, 4]. В связи с этим актуальным является вопрос об эффективности и целесообразности применения этого метода для решения нестационарных задач механики разрушения, с последующим переходом от напряжений в модели к напряжениям в элементе или конструкции, изготовленной из натурного конструкционного материала с отличными от модели механическими свойствами. Разработке методов моделирования (методы физического моделирования, использования аналогий, метода размерностей и др.) посвящены многие работы [1]. Вопросы моделирования плоской и пространственных задач механики анизотропных тел рассмотрены также в [5]. К моделированию обра- щаются при использовании других экспериментальных методов [6, 7]. В данной работе основное внимание уделено методам моделирования динамического поведения ани- зотропных тел и числовому переходу от модели к натурному телу. 1. О некоторых общих принципах моделирования, применяемых в методе динамической фотоупругости. При моделировании натурной среды и построении модели, прежде всего, необходимо выбрать материал для модели. В этом случае введем масштабы для размерных величин: 2 2 0 0 0 0 0 0 0 0 0/ ; / ; / ,l t l        где 0 0 0, ,   – масштабы: плотности, скорости и объемной массы, соответственно. Геометрический масштаб длины 0l и масштаб времени 0t определяются одно- значно, что приводить к осложнению при создании требуемой, динамической нагруз- ки и необходимого для метода фотоупругости размера модели. Во избежание этого следует иметь фиксированным геометрический масштаб 0l , или используя принцип суперпозиции, исследовать отдельно напряженное состояние среды при действии ди- намической нагрузки и при действии собственного веса. Рассмотрим некоторые критерии подобия [1]. Если 0 0( / ) ( / )p н p гС a С a поделить на 0 0( / ) ( / ) ,s н s гС a С a то получим равенство отношений скоростей продольных волн к скоростям поперечных волн в натурном теле и модели 111 p p s sн м C C C C             . (1) Отметим, что критерий подобия (1) предусматривает равенство коэффициентов Пуассона  для натурного и модельного материалов, т.е. .н м  (2) Условие (2) справедливо для случая, когда натурная и модельная среды пребыва- ют в одинаковых условиях напряженного состояния. Отметим, что фотоупругое мо- делирование динамических напряжений проводится на плоских моделях [3], т.е. в условиях плоского напряженного состояния. Тогда выполнение равенства (1) приво- дит к условию . 1 м н м     (3) В этом случае связь модулей упругости материалов натуры и модели определяет- ся таким соотношением: 2 (1 2 ) (1 ) м м н м E E      . (4) Согласно общему критерию при моделировании деформаций [1, 9], соответст- вующие смещения во всех точках пропорциональны изменению соответствующих геометрических размеров. Вследствие этого, деформации в модели должны быть рав- ными деформациям в натуре, т.е. .н м  (5) Практически, при моделировании, выполнить условие (5) в большинстве случаев не удается. Тогда масштаб скоростей точек 0V следует выбирать на основе соотношения 0 0 0 0 V t   . (6) Представим масштаб скоростей точек 0V в виде 0 0 0/ ,V u t где 0u – масштаб сме- щений, и подставив в формулу (6), получим 0 0 0 0 0 u l t t   или 0 0 0.u l  (7) Таким образом, при расширенном подобии масштаб смещений 0u определяется не только геометрическим масштабом 0 ,l но и масштабом деформаций. Сложность задачи моделирования напряженного состояния анизотропных тел в значительной мере состоит в зависимости напряженного состояния от упругих посто- янных [2, 5, 8 − 12]. 2. Способ пересчета напряжений с модели на натуру. Предположим, что имеем два однородных тела, изготовленных из разных мате- риалов, которые находятся в обобщенном плоском напряженном состоянии. Примем также, что тела имеют одинаковые форму, размеры и нагружение. Рассмотрим два случая. 1). Область пластины − односвязная или многосвязная, но нагрузка такая, что 0к кХ У  на любом внутреннем контуре. Здесь кХ и кУ – проекции главного вектора заданной нагрузки на к-м контуре, отнесенные к единице длины образующей, т.е. ( ); ( ). k к к x xy к y xy L L X dy dx Y dx dy         (8) 112 2). Область пластины − многосвязная, но нагрузка такая, что отмеченные выше условия не выполняются. Представим условия, в соответствии с которыми должны быть связаны упругие постоянные Sij двух тел, чтобы напряжения , ,х в ху   в них были одинаковые. Посколь- ку функция напряжений Эри Ф в плоской задаче теории упругости ортотропного тела удовлетворяет уравнению совместности деформаций [2]   4 4 4 4 4 22 26 12 66 16 114 3 2 2 42 2 2 0 Ф Ф Ф Ф Ф S S S S S S x x y x y x y y                    (9) и предельным условиям в напряжениях ~ ; d Ф X dS y       ~ , d Ф Y dS x       (10) то для многосвязной области также должны выполняться условия однозначности пе- ремещений, которые через деформации принимаются в виде 0; 2 2 к xy y xyх L dx dy у x x y                        (11) 1 0; 2 2 2 к xy y xyx к xy L dx dy y dx dy y x x y                              (12) 1 0. 2 2 2 к xy y xyx y xy L dy dx x dx dy y x x y                              (13) Согласно закона Гука, выразим в (11) − (13) деформации через напряжения, при- бавим и вычтем из левых частей (12) − (13) величины 66 2 к y L S dx и 66 , 2 к x L S dy соответственно, и учитывая (9), получаем равенства 0 к z L d  ; (14) 2666 16 11 12 16 66 1 2 2 2 2 к yx x y xy z к L SS S S S S dx dy yd Y S                             ; (15) 2666 16 22 12 26 66 1 2 2 2 2 к yx y x xy z к L SS S S S S dy dy yd Y S                             (16) 66 11 12 16 26 1 1 2 2 2 к y yx x z L S d S S S S dx y y x x                          66 22 12 26 16 1 1 0 . 2 2 2 y yx xS S S S S dy x x x y                            113 При выводе уравнений (14) − (16) на основе уравнений равновесия плоской задачи осуществлена замена ( )xy x  на ( )y y   , ( )xy y  на ( )x x   . Четыре безразмерных постоянных 22 11 26 11 16 11 16 66 11/ , / , / , (2 ) /S S S S S S S S S полу- чим, разделив левые и правые части уравнений (10), (14) – (16) на одну из постоян- ных, например S11, при условии, что 0.к кX Y  При 0к кX Y  прибавляется еще одна безразмерная постоянная 66 11/ .S S В системе координат, совмещенной с главны- ми направлениями ортотропии 16 26( 0)S S  для совпадения , , ,х в ху   в случае 0, 0к кX Y  необходимо и достаточно, чтобы совпали главные направления обеих тел и две безразмерные постоянные 1 2 1 12 1/ и / 2E E E G  одного тела были равны соответствующим безразмерным постоянным второго тела. В случае 0, 0к кX Y  должна еще дополнительно совпадать безразмерная постоянная E1/G12. Как видим, подобрать по известным значениям упругих постоянных натурного тела материал для модели так, чтобы выполнялись равенства вышеприведенных постоянных, весьма затруднительно. При выборе модельных оптически-чувствительных материалов эти трудности еще больше усложняются, так как требования к прозрачности материала ограничиваются количеством и оптическими свойствами армирующего элемента. Это ограничивает варьирование величинами упругих констант. 2. Способ пересчета без жестких ограничений на свойства модельных материалов. Примем, что комплексные параметры 1 2 1 2, , ,     [2] характеризуют анизотропию тела и являются основными величинами, от которых зависит распределение напряже- ний в плоских задачах ортотропной теории упругости. При этом, область модели мS подобна области натуры ,нS т.е. все линейные размеры l в области мS изменены в сравнении с теми же размерами в области нS в  раз (геометрическое сходство), т.е. .н мL a l (17) Пусть также усилия, приложенные к контурам модели, подобны усилиям, приложен- ным к контурам натурного тела (силовое подобие) ... .н н н м м м P Q R Р Q R     (18) Общее выражение для напряжений в плоском ортотропном теле представим в виде [5] 1 2 3 1 2 2 3 4 3 5 6 1 ( ) , ( ) , , , P x y Q x y R x y T f f f h l l l l l l                            (19) где , ,P Q R – множители, которые имеют размерность силы; 1 2 3, , f f f – безразмерные функции; ,i il  − величины, которые имеют размерность длины; ( ), ( )    – действи- тельные функции комплекcных параметров; h – толщина. Выразим напряжения в моделях, которые удовлетворяют условиям силового и геометрического подобия по отношению к натуре, в виде 1 2 3 1 1 2 2 3 4 3 5 6 1 ( ) , ( ) , , .i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i P x y Q x y R x y T f f f h l l l l l l                               (20) где , ( ), ( )i i iT     − известные величины, а функции имеют такой же вид, как и в (19). Учитывая условия геометрического (17) и силового (18) подобий, выражение (19) представим в виде 114 1 3 1 1 2 2 3 4 3 5 6 ( ) , ( ) , , .i i i i i i a P x x Q x x R x x T f f h l l l l l l                              (21) В (21) имеют место неизвестные величины 1 1 , P f  2 2 Q f  , 3 3 R f  , которые входят в вы- ражения для напряжений в натурном теле (19). Если из эксперимента известные напряжения іT в трех геометрически подобных и в подобно нагруженных моделях, изготовленных из конструктивно-ортотропных ма- териалов и которые имеют разные упругие постоянные, то из (21) получим три урав- нения для определения трех неизвестных величин 1 1 , P f  2 2 Q f  , 3 3 R f  . Записав уравнение (21) для трех моделей и решая их относительно неизвестных, получим такие зависимости:                 1 1 2 2 1 3 1 1 3 3 1 21 1 1 2 1 3 1 3 1 2 ; T k T k T k T kPf                         (22)                 1 1 2 2 1 3 1 1 3 3 1 22 2 1 2 1 2 1 2 1 3 ; T k T k T k T kQf                         (23) 3 1 2 1 1 1 1 3 1 2 . R f P f Q f T k         (24) В формулах (22) − (24) коэффициенты /i i i ik h a определяем по известным значе- ниям силового i и геометрического ,іа подобия, а напряжения iТ в моделях опре- деляем экспериментально методом динамической фотоупругости. При этом функции комплексных параметров ,i i  определяем по известным величинам упругих кон- стант для моделей. Точное выражение функций ,i i  для данного класса задач или конкретной задачи неизвестно. Поэтому вид этих функций зададим приближенно. Анализ известных теоретических решений некоторых задач [7] показывает, что в вы- ражения для напряжений входят комбинации комплексных параметров 1 2( ),   2 2 1 2 1 2, ,    их произведения, а также коэффициенты Пуассона. Тогда представим функции ( ), ( )u u    в таком виде: 2 2 2 2 2 1 2 1 2 1 2 2 1 2 1 2( ) 1 ( ) ( ) (1 );i i i i i i i                     22 1 22 2 2 2 1 2 1 2 1 2 1 1 1 1 ( ) 1 . ( ) ( )i i i i i                   (25) Отметим, что выражения (25) для функций i и i не единственны. Можно построить другие выраже- ния, например, как это представлено в работе [11]. Ниже приведем перерасчет динамических напря- жений из моделей на натуру в задаче, которая имеет теоретическое решение для случая статической на- грузки [5]. 3. Числовой пример. Рассмотрим пересчет максимальных динамических напряжений применительно к пластине с центральным круговым отверстием, нагруженной с двух противопо- ложных краев импульсом растяжения (рис. 1). Рис. 1 115 Методика и техника экспериментального исследования в такой постановке приве- дена в работе [3], где подробно исследовано влияние анизотропии упругих харак- теристик материала и диаметра отверстия на величину динамического коэффициента концентрации напряжений от действия плоской продольной волны, распространяемой вдоль главных направлений упругости. Для пересчета напряжений на натуру исследованы три модели, изготовленные из оптически-чувствительных анизотропных материалов с разными механическими и оптическими свойствами. Модель 1: Е1 = 4,30103 МПа; E2 = 6,08103 МПа; 12 = 0,33; 21 = 0,47; G = 1,79103 МПа. Оптические постоянные: d1 = 2510-1 МПа см/полоса; d2 = 4110-1 МПа см/полоса; d = 4,9510-4 см/полоса; 1 = 1,91; 1=0,67. Модель 2: Е1 = 6,70103 МПа; E2 = 8,43103 МПа; 12 = 0,31; 21 = 0,39; G = 1,56103 МПа. Оптические постоянные: d1 = 1710-1 МПа см/полоса; d2 = 3210-1 МПа см/полоса; d = 3,9810-4 см/полоса; 1 = 2,08; 2 = 0,54. Модель 3: Е1 = 4,38103 МПа; E2 = 6,40103 МПа; 12 = 0,26; 21 = 0,37; G = 1,4103 МПа. Оптические постоянные: d1 = 1210-1 МПа см/полоса; d2 = 2110-1 МПа см/полоса; d = 4,5510-4 см/полоса; 1 = 2,21; 2 = 0,57. Примем, что натурная пластина, изготовленная из ортотропного материала, имеет механические характеристики: Е1 = 14103 МПа; E2 = 14103 МПа; 12 = 0,47; 21 = 0,47; G = 1,4103 МПа; 1 = 3,1; 2 = 1,1. Нагружение фотоупругих моделей осуществлено приложением к ее торцам им- пульса растяжения при помощи магнитоиндукционного устройства. Длительность фазы нарастания импульса составляла 40 мск, т.е. соблюдалось условие действия на центральное отверстие длинных волн, при котором / 1,d   где: d – диаметр отвер- стия;  – длина участка нарастания напряжений растяжения до максимума. Фото- грамма изохроматических полос на контуре отверстия в точке / 2  (модель 1), полученная в режиме фоторегистратора при 2150 м/с ,рv  представлена на рис. 2. Рис. 2 Подставим в формулу (25) значение комплексных параметров и определим i и i для каждой модели, а также для натуры. Предположим, что натурное тело и мо- дель имеют одинаковые геометрические размеры, а импульсная нагрузка, приложен- ная к натурной пластинке, в два раза больше, чем в каждой из моделей. Величины максимальных динамических напряжений maxТ для некоторых точек на контуре отверстия (0 90 ),    определенные в трех моделях с использованием формул (9) и (10), приведены в таблице. / ср maxТ    1Т 2Т 3Т нТ 0 – 0,92 – 0,88 – 0,82 – 0,35 – 0,29 15 – 0,65 – 0,58 – 0,59 – 0,21 – 0,20 30 0,05 0,04 – 0,02 – 0,15 – 0,15 45 0,57 0,73 0,72 0,16 0,15 60 1,61 1,61 1,69 0,79 0,92 75 3,05 2,82 2,85 2,94 2,99 90 3,75 3,62 3,50 5,20 5,20 116 Здесь же представлены результаты пересчета из модели на натуру с использова- нием формул (19) и (22) − (24) [2, 9], а также значения напряжений в натурной плас- тине с центральным круговым отверстием, в случае статического растяжения. Заключение. Предложен способ пересчета из модели на натуру, который предоставляет воз- можность с достаточной для инженерных расчетов точностью определять динамичес- кие напряжения в натурных деталях из ортотропных материалов. Для этого необхо- димо только иметь значения напряжения в трех геометрически подобных моделях, при этом динамическое нагружение моделей должно быть подобным. Относительно последнего условия, существуют определенные сложности в воспроизведении подо- бия импульсной нагрузки, если использовать для этого взрывные средства. Более все- го это условие удовлетворяется при использовании магнитоиндукционного устройст- ва [5]. Отметим, также, что этот способ пересчета не требует предварительного под- бора упругих констант модельных материалов, а натурные ортотропные тела могут иметь произвольные упругие постоянные. Р Е ЗЮМ Е . Запропоновано спосіб перерахунку динамічних напружень з фотопружної моделі на натурне тіло в плоских задачах механіки ортотропних тіл. Для оцінки способу проведено перера- хунок напружень з моделі на натуру в задачі, що має теоретичний розв’язок. 1. Варданян Г.С. Основы теории подобия и анализа размерности. – M.: Изд-во МИСИ, 1977 – 121 c. 2. Лехницкий Г.С. Анизотропные пластинки. – Л.: Гостехиздат, 1957. – 300 c. 3. Малежик М.П. Динамічна фотопружність анізотропних тіл. – К.: ІГФ НАН України ім. С.І. Суб- ботіна, 2001. – 199 с. 4. Малежик М.П., Зубов В.І., Шеремет Г.П., Губар І.М. Динамічне навантаження моделей імпульсами зі змінними амплітудно-часовими параметрами // Наук. вісті НТУУ «КПІ». – 2003. – № 6. – С. 80 – 85. 5. Нетребко В.П., Васильченко И.П. Поляризационные методы механики композиционных материа- лов. – М.: Изд-во Моск. ун-та, 1990. – 160 c. 6. Budak V.D., Grigorenko A.Ya., Khorishko V.V., Borisenko M.Yu. Natural Vibrations of Cylindrical Shells of Constant Varying Thrickness using Method of Holographic Interferometry // Int. App. Mech. – 2014. – 50, N 1. – P. 68 – 103. 7. Grigorenko A.Ya., Bergulev A.S., Yaremchenko S.M. Numerical Solution of Bending Problems for Rec- tangular Plates // Int. App. Mech. – 2013. – 49, N 1. – P. 101 – 112. 8. Khoma I.Yu., Stradina O.A. Influence of Elastic Properties on the Stress State of a Nonthin Transversely Isotropic Plate // Int. App. Mech. – 2012. – 48, N 1. – P. 67 – 79. 9. Prabrakaran R. Stress-strain models for photoortotropic elasticity // J. Aeronaut. Soc. India. – 1978. – 28. – P. 165 – 169. 10. Prabhakaran R. Fabrication of birefringent anisotropic model materials // Exp. Mech. – 1980. – 20. – P. 320 – 323. 11. Prabhakaran R., Chermahini R.G. Aplication of Least Squares Method to Elastic and Photoelastic Cali- bration of Ortotropic Composites // Exp. Mech. – 1984. – 24. – P. 17 – 21. 12. Prabhakaran, R., Saha, M., Galloway T. Measurement of In-Plane Elastic Moduli of Composites with a circular Disk Specimen and Piezoelectric Sensors // Polymer Composites. – 2005. – 26, N 4. – P. 542 – 551. Поступила 28.12.2012 Утверждена в печать 29.05.2014

О фотоупругом моделировании задач механики ортотропных тел

Репозитарії

Схожі ресурси