Устойчивость и нелинейные колебания замкнутых оболочек цилиндрической формы при взаимодействии с протекающей жидкостью (обзор)

Наведено результати систематичних досліджень стійкості та нелінійних коливань тонких циліндричних оболонок при взаємодії з протікаючою рідиною. Розглянуто основні закономірності динамічного деформування оболонок при втраті стійкості типу дивергенція та флатер; проаналізовано вплив різного роду конст...

Ausführliche Beschreibung

Gespeichert in:

Bibliographische Detailangaben
Datum:	2015
Hauptverfasser:	Кубенко, В.Д., Ковальчук, П.С.
Format:	Artikel
Sprache:	Russian
Veröffentlicht:	Інститут механіки ім. С.П. Тимошенка НАН України 2015
Schriftenreihe:	Прикладная механика
Online Zugang:	http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/116639
Tags:	Tag hinzufügen Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
Назва журналу:	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
Zitieren:	Устойчивость и нелинейные колебания замкнутых оболочек цилиндрической формы при взаимодействии с протекающей жидкостью (обзор) / В.Д. Кубенко, П.С. Ковальчук // Прикладная механика. — 2015. — Т. 51, № 1. — С. 19-78. — Бібліогр.: 70 назв. — рос.

Institution

Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine

id	irk-123456789-116639
record_format	dspace
spelling	irk-123456789-1166392017-05-12T03:02:42Z Устойчивость и нелинейные колебания замкнутых оболочек цилиндрической формы при взаимодействии с протекающей жидкостью (обзор) Кубенко, В.Д. Ковальчук, П.С. Наведено результати систематичних досліджень стійкості та нелінійних коливань тонких циліндричних оболонок при взаємодії з протікаючою рідиною. Розглянуто основні закономірності динамічного деформування оболонок при втраті стійкості типу дивергенція та флатер; проаналізовано вплив різного роду конструктивних особливостей: початкових недосконалостей геометричної форми, приєднаних зосереджених мас, крайових умов та поздовжніх і поперечних статичних навантажень на критичні швидкості дивергенції та флатеру; побудовано та досліджено на стійкість амплітудно-частотні характеристики даних оболонок при дії зовнішніх радіальних періодичних навантажень та внутрішнього періодичного тиску, зумовленого малими пульсаціями швидкості руху рідини. Запропоновано методику, з використанням якої розглянуто нелінійні задачі про нестаціонарні процеси проходження через резонансні області оболонок при взаємодії їх з рідинним потоком. The results of systematic study of stability and non-linear vibrations of thin cylindrical shells interacting with flowing fluid are presented. The main regularities of dynamical deformation of shells are considered for the buckling of divergence type and flutter type. An effect of different kinds of structural features (the initial imperfections of geometrical shape, the virtual concentrated masses, boundary conditions, and longitudinal and transverse statical loadings) on the critical velocities of divergence and flutter is analyzed. The amplitude-frequency characteristics of shells in hand are constructed and studied under action of the external periodic loadings and the internal periodic pressure that is caused by the small pulsations of velocity of the fluid motion. A technique is proposed that is used for studying the nonlinear problems on non-stationary processes of passing over the resonant areas of shells, while the shell being interacted with the fluid flow. 2015 Article Устойчивость и нелинейные колебания замкнутых оболочек цилиндрической формы при взаимодействии с протекающей жидкостью (обзор) / В.Д. Кубенко, П.С. Ковальчук // Прикладная механика. — 2015. — Т. 51, № 1. — С. 19-78. — Бібліогр.: 70 назв. — рос. 0032-8243 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/116639 ru Прикладная механика Інститут механіки ім. С.П. Тимошенка НАН України
institution	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
collection	DSpace DC
language	Russian
description	Наведено результати систематичних досліджень стійкості та нелінійних коливань тонких циліндричних оболонок при взаємодії з протікаючою рідиною. Розглянуто основні закономірності динамічного деформування оболонок при втраті стійкості типу дивергенція та флатер; проаналізовано вплив різного роду конструктивних особливостей: початкових недосконалостей геометричної форми, приєднаних зосереджених мас, крайових умов та поздовжніх і поперечних статичних навантажень на критичні швидкості дивергенції та флатеру; побудовано та досліджено на стійкість амплітудно-частотні характеристики даних оболонок при дії зовнішніх радіальних періодичних навантажень та внутрішнього періодичного тиску, зумовленого малими пульсаціями швидкості руху рідини. Запропоновано методику, з використанням якої розглянуто нелінійні задачі про нестаціонарні процеси проходження через резонансні області оболонок при взаємодії їх з рідинним потоком.
format	Article
author	Кубенко, В.Д. Ковальчук, П.С.
spellingShingle	Кубенко, В.Д. Ковальчук, П.С. Устойчивость и нелинейные колебания замкнутых оболочек цилиндрической формы при взаимодействии с протекающей жидкостью (обзор) Прикладная механика
author_facet	Кубенко, В.Д. Ковальчук, П.С.
author_sort	Кубенко, В.Д.
title	Устойчивость и нелинейные колебания замкнутых оболочек цилиндрической формы при взаимодействии с протекающей жидкостью (обзор)
title_short	Устойчивость и нелинейные колебания замкнутых оболочек цилиндрической формы при взаимодействии с протекающей жидкостью (обзор)
title_full	Устойчивость и нелинейные колебания замкнутых оболочек цилиндрической формы при взаимодействии с протекающей жидкостью (обзор)
title_fullStr	Устойчивость и нелинейные колебания замкнутых оболочек цилиндрической формы при взаимодействии с протекающей жидкостью (обзор)
title_full_unstemmed	Устойчивость и нелинейные колебания замкнутых оболочек цилиндрической формы при взаимодействии с протекающей жидкостью (обзор)
title_sort	устойчивость и нелинейные колебания замкнутых оболочек цилиндрической формы при взаимодействии с протекающей жидкостью (обзор)
publisher	Інститут механіки ім. С.П. Тимошенка НАН України
publishDate	2015
url	http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/116639
citation_txt	Устойчивость и нелинейные колебания замкнутых оболочек цилиндрической формы при взаимодействии с протекающей жидкостью (обзор) / В.Д. Кубенко, П.С. Ковальчук // Прикладная механика. — 2015. — Т. 51, № 1. — С. 19-78. — Бібліогр.: 70 назв. — рос.
series	Прикладная механика
work_keys_str_mv	AT kubenkovd ustojčivostʹinelinejnyekolebaniâzamknutyhoboločekcilindričeskojformyprivzaimodejstviisprotekaûŝejžidkostʹûobzor AT kovalʹčukps ustojčivostʹinelinejnyekolebaniâzamknutyhoboločekcilindričeskojformyprivzaimodejstviisprotekaûŝejžidkostʹûobzor
first_indexed	2025-07-08T10:45:25Z
last_indexed	2025-07-08T10:45:25Z
_version_	1837075296696664064
fulltext	2015 ПРИКЛАДНАЯ МЕХАНИКА Том 51, № 1 ISSN0032–8243. Прикл. механика, 2015, 51, № 1 19 В .Д .К у б е н к о , П .С .К о в а л ь ч у к УСТОЙЧИВОСТЬ И НЕЛИНЕЙНЫЕ КОЛЕБАНИЯ ЗАМКНУТЫХ ОБОЛОЧЕК ЦИЛИНДРИЧЕСКОЙ ФОРМЫ ПРИ ВЗАИМОДЕЙСТВИИ С ПРОТЕКАЮЩЕЙ ЖИДКОСТЬЮ (ОБЗОР) Институт механики им. С.П.Тимошенко НАНУ, ул. Нестерова, 3, 03057, Киев, Украина; e-mail: volna@inmech. кiev. ua Abstract. The results of systematic study of stability and non-linear vibrations of thin cylindrical shells interacting with flowing fluid are presented. The main regularities of dy- namical deformation of shells are considered for the buckling of divergence type and flutter type. An effect of different kinds of structural features (the initial imperfections of geomet- rical shape, the virtual concentrated masses, boundary conditions, and longitudinal and transverse statical loadings) on the critical velocities of divergence and flutter is analyzed. The amplitude-frequency characteristics of shells in hand are constructed and studied under action of the external periodic loadings and the internal periodic pressure that is caused by the small pulsations of velocity of the fluid motion. A technique is proposed that is used for studying the nonlinear problems on non-stationary processes of passing over the resonant areas of shells, while the shell being interacted with the fluid flow. Key words: cylindrical shell, ideal incompressible fluid, stability, critical velocity, di- vergence, flutter, virtual mass, initial imperfection, resonance, amplitude-frequency charac- teristic, non-stationary process. Введение. Задачи об устойчивости, колебаниях и нестационарном (непериодического типа) деформировании тонких оболочек цилиндрической формы при взаимодействии с движущейся внутри них жидкостью представляют существенный интерес для расчетов на динамическую прочность и эксплуатационную надежность разнообразных трубо- проводных систем. Сложности постановок и решения такого рода задач обусловлены рядом факторов и обсуждались ранее во многих работах отечественных и зарубежных авторов. Наиболее полно такое обсуждение представлено в обзоре [32]. Известны также другие публикации [40, 62 и др.], в которых рассматривались проблемы взаи- модействия различных структур с жидкостным потоком. В общем случае указанные задачи необходимо рассматривать в нелинейной по- становке, учитывать, в частности, геометрическую нелинейность оболочек, a также нелинейное демпфирование. Это позволит более адекватно описывать процессы дина- мического деформирования этих оболочек как в моменты потери устойчивости, так и в закритических областях, т.е. после потери устойчивости, когда перемещения точек оболочки становятся конечными. С другой стороны, для корректного учета гидроди- намических сил, действующих на оболочку со стороны жидкостного потока, необхо- димо рассматривать многомерные расчетные модели системы оболочка – жидкость [6, 8, 33 и др.]. Такие силы согласно общепринятой в теории устойчивости механиче- ских систем терминологии принадлежат к классу специфических неконсервативных нагрузок [6, 9, 25, 28] и структурно характеризуются несимметричными матрицами коэффициентов при первых производных от обобщенных координат несущей оболочки. Специфика этих нагрузок состоит в том, что они при определенных скоростях движе- ния жидкости могут «дестабилизировать» несущий упругий объект – его исходное невозмущенное состояние становится неустойчивым, вследствие чего возникает не- осесимметричное динамическое выпучивание, возрастающее со временем по различ- ным законам. 20 Вопросы устойчивости и колебаний цилиндрических оболочек при взаимодейст- вии с протекающим внутри или с внешней стороны жидкостным потоком рассматри- вались ранее многими известными учеными-механиками. Наиболее существенные результаты в данной области получены ранее В.В.Болотиным [6], А.С. Вольмиром [8], Э.И. Григолюком и А.Г. Горшковым [12], М.А. Ильгамовым [15], Н.А. Кильчевским и его учениками [26], В.И. Феодосьевым [27], Я. Горачеком и И.А.Золотаревым [10, 11, 14, 42, 43, 70], В.А. Джупановым и С.В. Лилковой − Марковой [41], С. Ченом и Ц. Розенбергом [38], Д. Уивером и Т. Юнни [69], У. Матсузаки и У. Фыном [60], Ф. Пелликано и др. [67], другими авторами. При решении соответствующих задач ис- пользовались как линейные, так и нелинейные динамические расчетные модели, для ис- следования которых применялись различные аналитические, а также численные методы. Современные численно-аналитические подходы к исследованию устойчивости и нелинейных колебаний цилиндрических оболочек (изотропная и ортотропные модели), взаимодействующих с протекающей внутри жидкостью, достаточно подробно изло- жены в цикле работ М. Амабили, Ф. Пелликано и М. П. Паидоуссиса [33 – 36 и др.]. Расчетная нелинейная модель оболочек строилась в данных работах на базе многомо- довой аппроксимации искомого динамического прогиба w , в котором учитывались неосесимметричные «сопряженные» формы (изгибные формы с одним и тем же коли- чеством полных волн в окружном направлении n , но сдвинутые в этом же направле- нии по фазе на 0 / 2n  ) в сочетании с осесимметричными формами:     1 2 , , 1 ,0 1 ( , , ) ( ) cos( ) ( )sin( ) sin ( )sin . N m n m n m m N m m m w x t A t n B t n x A t x                Здесь . . .( ), ( ), ( )m n m n m oA t B t A t  неизвестные функции времени, имеющие смысл обобщен- ных координат оболочки; /m m l  – параметр волнообразования в продольном на- правлении; , ,x r   цилиндрические координаты ( r  полярная координата); 1 2,N N  количество удерживаемых в функции прогиба неосесимметричных и осесимметрич- ных форм, соответственно. При проведении численных расчетов авторы [33 − 36] учитывали в представленной выше функции прогиба семь членов ряда: две пары сопряженных форм ( 1, 2; 0)m n  в сочетании с тремя осесимметричными формами ( 1, 3, 5; 0m n  ). Для решения полученной методом Бубнова – Галеркина системы обыкновенных нелинейных диф- ференциальных уравнений использовались численные методы (в частности, про- граммный пакет AUTO [39, 33]). В результате детально исследованы наиболее харак- терные особенности потери устойчивости и закритического деформирования несущих оболочек как при их свободных колебаниях, так и при действии на конструкцию внешней периодической нагрузки. Аналогичные или близкие подходы к исследованию процессов взаимодействия оболочек с протекающей жидкостью применялись также в ряде других публикаций. В работах [59, 68] рассмотрены нелинейные задачи о взаимодействии анизотропных цилиндрических оболочек с протекающей жидкостью. Задачи динамики коаксиаль- ных цилиндрических оболочек, заполненных подвижной жидкостью, приведены в работах [61, 63 – 65]. Некоторые результаты исследования влияния статических и пе- риодических осевых нагрузок на устойчивость и колебания заполненных жидкостью цилиндрических оболочек изложены в [66]. В работе [37] рассмотрена нелинейная задача об устойчивости упругой цилиндрической оболочки конечной длины при взаимодействии ее с осевым жидкостным потоком, ограниченным с внешней стороны жестким (недеформируемым) цилиндром. 21 В целом следует отметить, что задачи динамики связанных систем оболочки – протекающая жидкость характеризуются большим разнообразием, прежде всего, в постановках и целях предполагаемых исследований, а также в методах решения. В преобладающем большинстве случаев жидкостная среда моделируется идеальной и несжимаемой структурой, движение жидкости в оболочке предполагается потенци- альным. Деформирование оболочечных объектов описывается обычно с использова- нием упрощенных математических моделей, полученных в результате сведения трех- мерной теории упругого изотропного или анизотропного тела к уравнениям для двух измерений [1, 5 − 7, 30, 31, 52 и др.]. Рядом авторов при этом использована также од- номерная идеализация оболочек типа «балочной модели» [27 и др.], которая по неко- торым опубликованным оценкам может быть справедливой, если длина оболочки пре- вышает ее диаметр не менее чем, в 6 раз. Наиболее распространенным в расчетной практике является вариант описания динамического деформирования несущих оболочек с использованием классических гипотез Кирхгофа – Лява. Исходные уравнения представляются при этом либо в пе- ремещениях , ,u v w , либо в смешанной форме [1, 7]. Одной из главных целей во всех задачах о взаимодействии оболочек с потоком жидкости являлось определение на основе линеаризованных уравнений деформиро- вания условий, при которых исходная невозмущенная форма несущей оболочки ста- новится неустойчивой. Неустойчивость проявляется либо в монотонном (непериоди- ческого типа), либо динамическом (колебательного типа) выпучивании оболочки. Возрастание амплитуд деформирования оболочки в рамках линейной модели в пер- вом случае будет происходить по экспоненциальному закону (неустойчивость типа дивергенция, если использовать терминологию из теории аэроупругости [6 – 8 и др.)]), во втором – в виде колебательного режима с прогрессирующими во времени ампли- тудами (неустойчивость типа флаттер). Таким образом, связанная система оболочка – жидкостной поток при определенных («критических» или превышающих их по величине) скоростях движения жидкости может трактоваться как автоколебательная система. Незатухающие колебания обо- лочки возникают не при действии внешних периодических нагрузок (таковы в данном случае отсутствуют), а вследствие воздействия специфического механизма обратной связи, осуществляемой между процессом деформирования несущей упругой конст- рукции, с одной стороны, и специфическим внутренним давлением жидкостного по- тока, с другой. Второй основной целью обсуждаемых задач является разработка специальных аналитических и численных методов исследований и определение на их основании характеристик как нестационарного, так и установившегося деформирования оболо- чек после потери устойчивости. Ограничение амплитуд монотонно возрастающего или флаттерного выпучивания произойдет вследствие воздействия на динамический процесс нелинейных факторов, о которых шла речь ранее – геометрической нелиней- ности и нелинейного демпфирования, существенно проявляющихся при больших прогибах. Решение нелинейных задач зависит в этом случае от того, в какой области неустойчивости – дивергентной или флаттерной изучается поведение оболочки. По- скольку в дивергентной области порождающая система нелинейных уравнений обо- лочки не имеет периодических решений, то для определения параметров деформиро- вания здесь необходимо применять численные методы (аналитические методы по- строения решений данных уравнений в этом случае пока не разработаны). В области флаттера взаимодействующая с потоком жидкости оболочка при установлении будет совершать самовозбуждающие колебания, амплитуда и частота которых (учитывая малость нелинейных упругих и диссипативных сил по сравнению с соответствующими линейными силами) может быть определена с использованием одночастотных асимпто- тических методов нелинейной механики, в частности, метода усреднения [4, 44, 56]. Между тем, до последнего времени такой «аналитический» подход к решению нели- нейных задач динамики системы оболочка – жидкостной поток практически не при- менялся. Как уже отмечалось, использовались эффективные численные методы, свя- занные с непосредственным интегрированием разрешающих уравнений несущей обо- лочки, полученных методом Бубнова – Галеркина (Б – Г). 22 В настоящей работе излагаются новые, установленные с применением как анали- тических, так и численных методов результаты исследований потери устойчивости, а так- же линейных и нелинейных колебаний тонких цилиндрических оболочек конечной длины при взаимодействии с подвижной жидкостью. При анализе используются уточненные многопараметрические расчетные модели совокупной системы (искомый прогиб несущей оболочки аппроксимировался четырьмя – шестью различными осе- и неосесимметрич- ными формами несущей оболочки; функция демпфирования предполагалась как линейной, так и нелинейной). Рассматриваются различные варианты движения жидкости. Предполагается, в частности, что скорость движения жидкости в оболочке постоянная либо содержит «накладывающиеся» на постоянную величину малые пульсационные сла- гаемые. При этом частота пульсаций может быть как неизменной, так и медленно изменяющейся со временем величиной. Построение соответствующих нестационарных и установившихся решений исходных нелинейных уравнений проводилось асимптотическим методом Боголюбова – Митропольского (Б – М), ориентированным на исследование одночастотных режимов колебаний в системах со многими степенями сво- боды. Предварительно на основе линеаризованных уравнений определены значения кри- тических скоростей движения жидкости, при которых исходная (невозмущённая) форма оболочки становится неустойчивой. Решение нелинейных уравнений построено в окрест- ности данных критических скоростей. В случае постоянных значений скоростей жидко- сти получены аналитические формулы для определения стационарных амплитуд и частот самовозбуждаемых колебаний оболочек в зоне флаттера и исследована устойчивость ус- тановившихся режимов. При пульсирующей скорости движения жидкости с фиксирован- ной частотой построены и проанализированы критерии, на основании которых установ- лены области динамической неустойчивости оболочки, порожденные одновременно дву- мя факторами – влиянием движения жидкости с критической скоростью и воздействием пульсаций скорости, частота которых «резонирует» с собственной частотой оболочки с жидкостью (реализуется параметрический резонанс). Исследованы построенные для этого случая амплитудно-частотные характеристики (АЧХ), соответствующие установившимся режимам параметрически возбуждаемых колебаний. Если частота пульсаций переменная (в работе рассмотрен случай ее линейного изменения во времени), выведены уравнения, позволяющие устанавливать в первом приближении величины амплитуд колебаний обо- лочки при медленном прохождении резонансных зон. Рассмотрены характерные особен- ности нестационарного деформирования оболочки при прямом и обратном прохождении указанных зон, задавая различные скорости прохождения. Приведены также некоторые результаты исследования прохождения оболочки с жидкостью через дивергентную и флаттерную области. При выборе материала предпочтение было отдано задачам, которые рассматривались непосредственно авторами статьи или выполненными совместно с коллегами по работе. Естественно, что результаты многих, в том числе важных и интересных как с научной, так и с практической точек зрения, полученных другими авторами исследований, не нашли в статье отражения. В частности, в обзоре не представлены исследования по динамике и устойчивости несущих оболочек, моделируемых упрощенными («балочными») структу- рами; не отражены исследования взаимодействия оболочек с вязкой и сжимаемой жидко- стью, отсутствуют результаты исследований хаотических режимов колебаний и др. §1. Исходные нелинейные динамические уравнения системы оболочка – жид- кость. 1.1. Уравнения деформирования оболочек. Рассмотрим замкнутую упругую цилинд- рическую оболочку конечной длины, заполненную полностью жидкостью, движущейся с некоторой скоростью U, постоянной или изменяющейся со временем. Соответст- вующие геометрические размеры оболочки представлены на рис. 1.1. Предполагаем, что оболочка подвергается действию внешней, неравномерно распределенной по бо- ковой поверхности, радиальной периодической нагрузки вида 0 0( , ) cosq q x y t  . Здесь 0 ( , )q x y – некоторая функция пространственных координат x и y ( ,x y – коор- динаты точек срединной поверхности, отсчитываемые, соответственно, вдоль обра- зующей и по дуге); 0 const.  23 В дальнейшем полагаем, что матери- ал оболочки соответствует ортотропной или изотропной модели. Принимаем так- же, что обозначенные на рис. 1.1 штрихо- выми линиями участки вне оболочки ( 0, )x x l  , не оказывают через крепле- ния на торцах (т.е. через граничные усло- вия) никакого влияния на напряженно- деформированное состояние рассматри- ваемой модели (когда 0 x l  ). Для описания динамического дефор- мирования оболочки выберем геометриче- ски нелинейные уравнения классической теории, представленные в перемещениях , ,u v w . В случае ортотропной модели эти уравнения имеют вид [1, 7, 13]: 2 2 2 2 2 11 12 66 12 2 2 1 ; u u v w u v h C C C F t x x y R x y x y                              2 2 2 2 2 22 12 66 22 2 2 2 4 4 4 11 12 222 4 2 2 4 21 22 1 3 1 ; 2( 2 ) 1 1 1 . G г v v w u u v h C C C F t y R y x y x y x w w w w h D D D D t x x y y u v C C w q P F R x R y R                                                            (1.1) Здесь использованы традиционные в теории композитных (ортотропной структуры) оболочек обозначения [1, 13]: 3 1 2 1 2 ; ( 1, 2); 12(1 ) 1 k k kk kk E h E h D C k          3 1 2 2 1 12 21 66 12 11 2 1 2 1 2 ; ; ; , 1 1 12G E h E h Gh C C C Gh D D D                (1.2) где 1 2,E E  модули упругости в направлении осей x и y , соответственно; G – модуль сдвига; 1 2,  – коэффициенты Пуассона, причем 1 2 2 1E E  . Кроме того, обозначено: 1 0 w q h q t        (  плотность материала оболочки; 0 − коэффициент конструк- ционного демпфирования; 0 0  ); гP – гидродинамическое давление жидкостного потока на оболочку; ( 1, ... , 3)kF k  – нелинейные, зависящие от перемещений , ,u v w функции, имеющие вид [1, 13]   2 2 2 1 11 12 66 662 2 ; w w w w w w F C C C C x x y x y x y                    2 2 2 2 22 12 66 662 2 ; w w w w w w F C C C C x y x x y y x                  Рис. 1.1 24 2 22 2 12 22 3 11 12 1 1 2 2 2 2 C w C w w u w w v w w F C C R x R y x x x x x y R y                                                      2 66 22 1 2 w u w w w v w w C C y y x x y y y y R y                                          (1.3) 2 12 66 1 . 2 w u w w u v w w C C y x x x y x x y                                     Если в системе (1.1) с учетом (1.2) положить [1, 7]  1 2 1 2; ; 2(1 ) ,E E E G E         (1.4) получим динамические уравнения, соответствующие изотропным оболочкам, цилин- дрическая жесткость которых  3 2( ) 12(1 ) .D Eh   Как известно, во многих случаях динамические процессы в тонких оболочках можно рассматривать без учета распространения упругих волн в материале, вследст- вие чего становится возможным отбросить инерционные члены в первых двух урав- нениях (1.1). Указанные два уравнения при этом тождественно удовлетворяются, если учесть соотношения [7] 2 2 2 2 2; ; ,yx NNФ Ф Ф T y h x h x y h            (1.5) в которых , ,x yN N T – соответственно, нормальные и касательное усилия, действую- щие на площадках главных нормальных сечений, причем [1, 5] 22 11 12 1 1 ; 2 2x x u w v w w N h C C x x y R y                                2 2 22 12 66 1 1 ; 2 2 , y y xy v w w u w N h C C y R y x x u v w w T h C y x x y                                              (1.6) где , ,x y xy   – нормальные и касательное напряжения, соответственно. На основании системы (1.1) с учетом соотношений (1.3), (1.5), (1.6) тогда получим систему нели- нейных уравнений для определения прогиба w и функции напряжений в срединной поверхности Ф [1, 7] 2 2 2 2 2 2 2 2 4 1 2 2 2 2 2 2 22 2 2 2 4 2 2 2 1 1 2 ; 1 . г D Pw Ф w Ф w Ф Ф w q w h x y y x x y x y R x t h h w w w w Ф x y x y R x                                          (1.7) Здесь 4 D , 4  – дифференциальные операторы вида 25   4 4 4 4 4 4 4 4 11 3 22 2 3 14 2 2 4 4 2 2 4 3 12 66 1 1 2 2 3 1 1 2 ; 2 2 ; 1/ ; 1 / ; 2 1/ 2 / . D D D D x x y y x x y y D D D E E G E                                     Аналогичные (1.7) уравнения выводим из (1.1) с учетом (1.3) и в случае изотроп- ной оболочки, когда выполняются соотношения (1.4). В этом случае операторы 4 D и следует заменить на такие операторы: 4 D  4 ;D 4  4 E , где 4 = 2 2 = = 4 4 4 4 2 2 42 x x y y          . Динамические уравнения рассматриваемой оболочки при наличии конструктив- ных особенностей типа присоединенных масс или начальных несовершенств (малых отклонений от идеальной цилиндрической с круговым поперечным сечением формы) представлены ниже (§3). 1.2. Гидродинамическая нагрузка на оболочку. При рассмотрении «гидродина- мической» части задачи в большинстве практических случаев вводится предположение, что заполняющая оболочку жидкость является идеальной и несжимаемой, а ее движение – потенциальное. Гравитационным эффектом, обусловленным действием веса жидкости на оболочку (здесь и далее рассматриваются оболочки средней длины [7, 8, 23]), пре- небрегаем [33 – 36 и др.]. Учитывая то, что оболочка имеет конечную длину, представим потенциал возму- щенных скоростей жидкости  в виде двух слагаемых [6, 8, 33] Ux    ( 0 x l  ), второе из которых,  надлежит определить из уравнения Лапласа 2 2 2 2 2 2 2 1 1 0, x r r r r                    (1.8) где , ,x r  – цилиндрические координаты (0 , 0 , 0 2 ).x l r R        Для определения неизвестного давления гP на оболочку используется уравнение Бернулли (его линеаризованный вариант), из которого получено следующее соотно- шение [6, 8, 33]: 0 0( плотность жидкости).г r R P U t x              (1.9) 1.3. Общая и упрощенная расчетные модели нелинейного деформирования оболочки, взаимодействующей с потоком жидкости. Пусть на краях рассматривае- мого участка оболочки реализуются наиболее часто используемые при расчетах усло- вия «классического» свободного опирания (SS1/SS1), имеющие следующий вид [1, 7]: 0; 0; 0; 0x xw v M N    при 0, .x x l  (1.10) Напомним, что v – перемещение точек срединной поверхности в окружном направле- нии; xM   2 2 2 2 11 2( ) ( ) ( ) ( )D w x w y     – изгибающий момент; xN  приходя- щееся на единицу длины продольное усилие. Учитывая условие замкнутости оболочки для перемещения 2 0 [7 ]: R v v dy y     22 2 2 22 2 20 1 1 0 2 R w w dy E x y y R                            ее динамический прогиб w в рассмат- риваемом случае можно представить в виде двухпараметрического разложения [7, 13, 23, 33] 26 1 2 0 1 ( cos sin )sin ,nm nm n n m n m w f s y f s y x       (1.11) где 1,2 nmf – неизвестные функции времени, имеющие смысл обобщенных координат обо- лочки; / , /n ms n R m l    параметры волнообразования в окружном и продольном направлениях, соответственно. Принимая во внимание условие непроницаемости [6, 8] , r R w w U r t x                   (1.12) а также известное физическое ограничение   0 , r r      из уравнения (1.8) с уче- том (1.11), (1.12) получаем такое выражение потенциала  [44, 51, 57]: 1 2 0 1 1 2 ( ) ( cos sin )sin ( ) ( cos sin )cos . nm nmn m n n m n m m n m nm nm m n n m I r f s y f s y x I R U f s y f s y x                     (1.13) Здесь nI модифицированные функции Бесселя n -го порядка;  1 1( ) ( ) ( ) 2,n n nI I I      ( mR  ). Учитывая (1.9), (1.11), (1.13), и реализуя метод Б − Г к исходным динамическим уравнениям (1.7) получим окончательно следующую систему уравнений для опреде- ления искомых функций 1,2 nmf [24, 33, 44, 45]:   2 2 ( ) 1 1 1 1 1 1 2 1 2 1 0 ( ) { }, { }, { }, { } cos ; nm nm nm nm m nm nm nm nq q q nm pk pk pk pk nm f U f f Uf F f f f f Q t                        2 2 ( ) 2 2 2 1 2 1 2 1 2 2 0 ( ) { }, { }, { }, { } cos 0,1, ... ; 1, 2, ... . nm nm nm nm m nm nm nm nq q q nm pk pk pk pk nm f U f f Uf F f f f f Q t n m                      (1.14) Здесь nm  частоты собственных колебаний оболочки, заполненной жидкостью;   4 2 4 2 2 4 11 3 22 2 0 1 1 2 ; ( , ) m nm m m n nnm m n D D s D s hm R s               0 nmm – параметр присоеди- ненной массы жидкости 0 0 ( )1 1 ; ( ) nm n m m n m I R m h I R         ( ), m nm nq  − параметры гидродина- мического давления на оболочку 0 0 ( ) ; ( ) m n m nm nm n m I R h m I R        ( ) 0 2 2 0 4 [1 ( 1) ] ( ) m q m m nq nm m qhl m           ( ) ( ) n m n m I R I R     ( )m q ; nm – приведенные параметры линейного демпфирования nm = 0 0/ nmm ; 1,2 nmF  нелинейные функции переменных 1,2 1,2,pk pkf f ) ( 0,1, 2, ... ;p  1, 2, ...)k  до третьей степени включительно, характеризующие геометрическую не- линейность и нелинейное демпфирование; 27 2 1 0 0 0 0 2 2 0 0 0 0 2 ( , ) cos sin ; 2 ( , )sin sin . Rl nm n mnm Rl nm n mnm Q q x y s y x dx dy Rl hm Q q x y s y x dx dy Rl hm               Уравнения (1.14) являются исходными для решения как задач устойчивости не- сущих оболочек вследствие взаимодействия их с протекающей внутри жидкостью, так и задач о нелинейном деформировании данных оболочек, реализуемых после по- тери устойчивости (в закритической области). Кроме того, на основании этих уравне- ний можно исследовать особенности резонансных колебаний несущих оболочек при действии на них внешних периодических и квазипериодических (когда частота 0 медленно изменяются во времени) нагрузок, при «пульсирующем» гидродинамиче- ском давлении на оболочку со стороны жидкостного потока и др. При практическом решении всех этих задач рассматриваются, как отмечалось уже ранее, упрощенные расчетные динамические модели системы оболочка – жидкость, позволяющие, тем не менее, выявить все наиболее существенные особенности взаи- модействия оболочечного объекта и протекающей жидкости. В преобладающем боль- шинстве случаев динамический прогиб w представляется в виде такой аппроксима- ции [20, 24, 45 − 47, 51 и др.]: w 1 2 1 3 4 2 0( cos sin )sin ( cos sin )sin ( , )w f sy f sy x f sy f sy x W t x      (1.15) или в виде более простого выражения [17, 50, 57, 58] 1 1 3 2 0cos sin cos sin ( , ).w f sy x f sy x W t x    (1.16) Здесь 1 1 2 2( 0); / ; /ns s n R n m l m l        ( при этом рассматриваются обычно низшие осевые формы: 1 1m  ; 2 2m  ); 0W ( , )t x  корректирующее слагаемое, при- званное отразить специфику нелинейного деформирования оболочек («преимущест- венное выпучивание вовнутрь» [7, 22, 23]). В последующем функцию 0 ( , )W t x зада- дим в форме 4 4 0 5 1 6 2( ) sin sin ,W x f x f x   (1.17) которая строго удовлетворяет принятым граничным условиям (в более ранних рабо- тах данная функция удовлетворяла условиям (1.10) лишь в первом приближении, по- скольку требование 0xM  не было выполнено). Слагаемое 0 общего потенциала  , отвечающее осесимметричному прогибу (1.17), имеет вид [46] 01 02 03 04 0 5 1 6 2 5 1 6 2 1 2 1 2 cos2 cos 2 cos4 cos 4 4 4 32 32 K K K K f x f x f x f x                    2 2 5 6 01 02 03 04 5 1 6 2 5 1 6 2 3 (2 )( ) 16 sin 2 sin 2 sin 4 sin 4 2 2 8 8 x r f f R K K K K f x f x f x f x U                    0 1 0 2 0 1 0 2 01 02 03 04 0 1 0 2 0 1 0 2 (2 ) (2 ) (4 ) (4 ) ; ; ; . (2 ) (2 ) (4 ) (4 ) I r I r I r I r K K K K I R I R I R I R                    Отметим, что аппроксимация (1.15) позволяет исследовать как традиционные фор- мы потери устойчивости и закритических колебаний – в виде стоячих (с неподвиж- ными узловыми линиями) волн, так и более сложные формы – в виде бегущих изгиб- ных волн, распространяющихся в окружном направлении [7, 13, 16, 21, 23, 53 – 55]. 28 Бегущие волны являются результатом наложения с определенным сдвигом фаз двух стоячих волн с одними и теми же параметрами волнообразования в продольном и ок- ружном направлениях (например, волн 1 cos sin pf sy x и 2 sin sin ( 1, 2)pf sy x p  , которые в научной литературе именуются «сопряженными» изгибными формами [9, 16]) (в зарубежной литературе сопряженную форму, которая возбуждается благодаря нелинейным связям между обобщенными координатами называют иногда формой «наложенных» колебаний или companion mode [33]). Система разрешающих уравне- ний для определения функций 1 6, ... ,f f примет в данном случае вид [46] 4 2 2 ( ) 0 1 ( ) (...) cos ;k k k k k k k q q k k q f U f f U f F Q t              6 6 6 6 2 2 ( ) ( ) ( ) ( ) 1 2 0 5 5 5 5 ( ) (...) cosj j j j j j j j q q q q q q q q j j q q q q f U f f U f f f F Q t                         ( 1, 2, 3, 4; 5, 6).k j  (1.18) Здесь в первых четырех уравнениях обозначено: 1 2 1 2 11 2 3 4 1 2 3 4 1 2; ; ; ; ;nm nm nm nm nm                        2 (1) (2) (3) (4)2 1 3 4 3 4 1 2 2 2 1 1 ( ) ( )16 1 16 1 ; ; 3 ( ) 3 ( ) n n nm n n I R I R hl I R hl I R                      ( )(остальные 0).k q  Постоянные коэффициенты ( ) ( ) ( ) ( ) 1 2, , , , , , ( 5, 6)j j j j j j q q q q jQ j       в последних двух «корректирующих» уравнениях (1.18) являются результатом реализации проце- дуры Б − Г с использованием весовых функций 4 1sin x и 4 2sin x , соответственно, (из-за громоздкости не приводятся). Функции ,k jF F являются нелинейными функ- циями переменных 1 6, ... ,f f и их производных до третьей степени включительно. Из (1.14) нетрудно получить уравнения для ( 1, 3, 5, 6)if i  , соответствующие ап- проксимации (1.16). Если при этом учесть, что частоты 5 и 6 значительно превы- шают частоты 1 и 3 [7, 22], то определение функций 5 6,f f можно свести к реше- нию соответствующей «квазистатической» задачи, полагая 5 60, 0.f f   В результате для определения основных функций 1 3,f f получим, если учесть геометрически нели- нейные члены до третьей степени включительно и не принимать во внимание нели- нейное демпфирование, следующую систему уравнений [58]: 1 11 1 1 1 1 3 11 1 3 1 0 3 33 3 3 3 2 1 33 1 3 3 0 ( , ) cos ; ( , ) cos ). f f f Uf F f f Q t f f f Uf F f f Q t                             (1.19) 2 2 2 2 11 1 1 33 3 3; ;U U          0 0/ ( 1, 3);k k kQ Q hm к  3 2 11 1 3 1 1 2 1 3( , ) ;F f f f f f   3 2 33 1 3 3 3 4 3 1( , ) ,F f f f f f   где 1 4, ... ,  – зависящие от физических и геометрических параметров оболочки, заполненной жидкостью, а также от скорости жидкостного потока U постоянные коэффициенты  58  . При выводе уравнений (1.19) принято, что внешняя нагрузка q возбуждает непо- средственно лишь первые две формы колебаний в прогибе (1.16), т.е. функция 0 ( , )q x y имеет вид 0 10 1 30 2 0( , ) cos sin cos sin , const,kq x y Q sy x Q sy x Q    ( 1,3).k  29 Аналогичные уравнения можно получить и для определения функций kf ( 1, 2, ... , 4)k  , описываемых системой (1.18). В последующем на основании представленных выше расчетных уравнений в форме (1.14), (1.18) или (1.19) изложены результаты исследований критических ско- ростей движения жидкости в оболочечных объектах; изучены особенности влияния на потерю устойчивости различных конструктивных факторов; воздействия внешней среды; рассмотрены особенности нелинейного и нестационарного деформирования несущих оболочек и др. §2. Критерии и формы потери устойчивости оболочек при взаимодействии с подвижной жидкостью. 2.1. Вводные замечания. Решение вопроса о квазистатической, динамической или комбинированного вида потере устойчивости несущей оболочки вследствие взаимодей- ствия с внутренним потоком жидкости проводится путем анализа соответствующих линеаризованных автономных ( 0)q  динамических уравнений, приведенных в §1. Известно, что для суждения об устойчивости необходимо располагать непосредственно либо решениями этих уравнений, либо точными сведениями о знаках вещественных частей корней характеристического уравнения. Следует при этом иметь в виду, что построение решений в ряде случаев (в частности при рассмотрении уравнений высо- ких степеней) представляет подчас трудоемкую задачу, поскольку требует непосред- ственного вычисления корней указанного уравнения. Поэтому на практике чаще ис- пользуются критерии, устанавливающие условия, при которых вещественные части всех корней будут отрицательны. Наибольшее распространение при этом получил алгебраический критерий Гурвица [25]. В свою очередь, формы потери устойчивости несущей оболочки зависят от того, в какой области реализуется пере- ход характеристического показателя  из левой полуплоско- сти комплексного переменного на правую полуплоскость [6, 28]. Если этот переход происходит через начало координат ( Im 0  ), то потеря устойчивости оболочки будет соответ- ствовать дивергентной форме (траектория 2 на рис. 2.1). Если же в момент перехода указанный показатель по-прежнему остается комплексным числом ( Im 0  ) (траектория 1), то наступит неустойчивость флаттерного типа (возникнут ко- лебания с прогрессирующими во времени амплитудами). 2.2. Преобразование динамических уравнений к нормальным («бинормальным») координатам. Для определения в аналитическом виде форм деформирования несу- щей оболочки при потере устойчивости того или иного вида целесообразно преобразо- вать линеаризированную систему (1.14) или ее упрощенные варианты (1.18), (1.19) к нормальным координатам. Сложности такого преобразования обусловливаются тем, что рассматриваемая система принадлежит к классу несамосопряженных систем [4, 6, 29]. Формулы преобразования зависят от значений скоростей движения жидкости, посколь- ку при различных скоростях качественно различными (действительными или ком- плексными) будут и корни соответствующих характеристических уравнений. Учитывая актуальность данной задачи, проиллюстрируем кратко методику сведения неконсервативной системы к нормальной форме на примере линейной модели (1.19) 1 11 1 1 1 1 3 11 3 33 3 3 3 2 1 33( ); ( )f f f Uf q t f f f Uf q t                  0( cos ; 1, 3).kk kq Q t k   (2.1) Дополнительно рассмотрим сопряженную по отношению к автономным уравнениям (2.1) систему 11 11 11 1 11 1 33 33 33 33 3 33 2 110; 0f f f Uf f f f Uf                  0 3 0 1 1 2 01 3 3 03 1 1 ( ) ( )16 1 16 1 ; . 3 ( ) 3 ( ) n n n n I R I R m hl I R m hl I R                   (2.2) Рис. 2.1 30 Собственные формы для каждой из систем (2.1) (при условии 0, 1, 3)kkq k  и (2.2) после нормировки можно представить так: 22 2 21 3 11 1 31 11 1 1 2 11 1 2 4 11 1 4 1 1 1 2 1 3 1 4 1 1 1 1 Ф U U U U                                         ; 22 2 22 3 11 1 31 11 1 1 2 11 1 2 4 11 1 4 2 1 2 2 2 3 2 4 1 1 1 1 ,Ф p pp p p p p p Up Up Up Up                              где 1 4, ... ,  – корни характеристического уравнения исходной системы 4 3 2 1 2 3 4 0,c c c c        (2.3) а коэффициенты jc выражаются так: 2 1 1 3 2 11 33 1 3 1 2 3 1 33 3 11 4 11 33; ; ; ;c c U c c                      (2.4) 1 4, ... ,p p – корни характеристического уравнения сопряженной системы ( )k kp   . Пусть корни уравнения (2.3) являются комплексными и имеют в общем случае вид 1.2 1 2 3.4 3 4; .s is s is      Здесь ( ) ( 1, ... , 4)j js s U j  – некоторые действи- тельные параметры, зависящие от величины скорости потока, 1.i   Вводя замену переменных   1 1 1 1 3 2 2 f Ф f                      (2.5) (здесь и в дальнейшем звездочкой обозначены комплексно сопряженные величины) и используя процедуру преобразования неконсервативных систем к нормальным («би- нормальным») координатам [4, 29], сведем уравнения (2.1) к такой форме [50]: 2 2 2 2 1 1 2 1 1 1 1 1 1 2 1 1 1 2 2 2 2 2 2 3 4 2 3 2 3 2 3 4 2 3 2 4 ( ) 2 ; ( ) 2 ; ( ) 2 ; ( ) 2 , s s s q s s s q s s s q s s s q                                     (2.6) где 1 2 1 2, , ,    − действительные переменные, причем 1 1 1 2 2 2; ;          1 1 1( );i      2 2 2( ),i      ( 1,2, ... , 4)kq k  − функции времени, выражающиеся через правые части уравнений (2.1): 1 1 1 2 1 1 1 2 1 1 2 1 1 1( ) ( ); ( ) ( );q A A A A q A A i A A               3 2 2 4 2 3 2 4 2 2 4 2 3 2( ) ( ) ; ( ) ( ).q A A A A q A A i A A                (2.7) Функции 1 2,A A выражаются здесь так: 1 11 11 12 33 2 21 11 22 33; ,A p q p q A p q p q    причем jkp – действительные постоянные коэффициенты, зависящие от параметров корней характеристического уравнения 1 2 3 4, , ,s s s s [29, 50]. Следует отметить, что правые 31 части уравнений (2.6) kq ( 1, 2, ... , 4k  ) зависят не только от исходных функций 11( )q t и 33( )q t , но и от их производных, что характерно лишь для неконсервативных систем. Такая же ситуация будет характерна и для случая, если в правых частях урав- нений (2.1) учесть также нелинейные члены 1 3( , )kkF f f ( 1, 3).k  Таким образом, получена система независимых уравнений, на основании которых можно определить непосредственно значения критических скоростей потока, при кото- рых наступит неустойчивость оболочки типа флаттер. Из (2.6), в частности, следует, что колебательная потеря устойчивости оболочки наступит при выполнении одного из условий 1 2( ) 0, ( ) 0s U s U  или 3 4( ) 0, ( ) 0.s U s U  При этом динамический про- гиб w (1.19) (линейная составляющая) при потере устойчивости надлежит предста- вить с учетом замен [29, 50] 1 1 2 2 1 1 2 1 3 2 4 2;f f d d d d           (2.8) 2 22 2 11 1 2 21 2 1 1 11 1 1 22 2 2 2 1 1 2 1 1 2 2 22 2 11 3 4 43 4 3 1 11 3 3 42 2 2 2 1 3 4 1 3 4 ( )( )( ) ; ; ( ) ( ) ( )( )( ) ; . ( ) ( ) s s ss s s s d d U s s U s s s s ss s s s d d U s s U s s                                  (2.9) Если оболочка находится в зоне дивергентной формы потери устойчивости (урав- нение (2.3) в этом случае будет иметь одновременно действительные и комплексные корни: 1 1 2 2 3,4 3 4( ); ( ); ( ) ( ),U U s U is U        где 1 2, const   ), то вместо (2.6) получим такие уравнения: 2 2 2 2 1 1 1 11 1 2 1 21 2 3 4 2 3 2 31 2 2 2 3 4 2 3 2 41 ; ; ( ) 2 ; ( ) 2 . q q s s s q s s s q                              Здесь 1( 1, 2, ... , 4)kq k  − функции времени, структура которых аналогична (2.7). Вме- сто замен (2.8) в данном случае будем иметь 1 1 1 2 3 1 1 2 1 3 2 4 2; ,f f d d d d             (2.10) причем 2 1,2 1,2 11 1 1,2 1 1,2( ) ( ) ,d U        а коэффициенты 3 4,d d по-прежнему опре- деляются формулами (2.9). Отметим, что, используя (1.16) и соотношения (2.8) и (2.10) (или в общем случае (2.5)), можно определить формы нестационарного деформирования (при дивергенции) и формы колебаний (при флаттере) рассматриваемых оболочек при потере устойчивости. Например, формы колебаний оболочки при флаттере соответствуют одному из соот- ношений [50]  1 1 1 1 1 2 2( , ) ( ) cosW x y C sm x d K d sm x sy    или  2 2 1 3 2 4 2( , ) ( ) cosW x y C sm x d K d sm x sy    1 2( , const),C C  где 1 2,K K − постоянные величины, определяемые заданными начальными условиями 0 0( ), ( ).w t w t 2.3. Алгебраическая форма критериев устойчивости. Такие критерии проиллю- стрируем на примере автономных уравнений (2.1) при 0 ( 1, 3)kkq k  . Характери- стическое уравнение (2.3) будет в данном случае иметь корни с отрицательными ве- щественными частями при одновременном выполнении следующих условий [25]: 32 2 2 2 3 4 1 2 3 3 4 10; 0; 0; 0,c c c c c c c c c      (2.11) на основании которых выводим четыре критерия [50, 57]: 1) 2 2 2 2 2 21 3 1 3 1 3 3 1 0 1 3 3 1 ; 2) ;U U                    3) 2 2 2 2 4 2 1 1 3 3 0 1 2( )( ) 0; 4) 0,U U e U e U e         (2.12) где 0 1 2, ,e e e – постоянные коэффициенты, имеющие вид 2 2 0 1 3 1 3 3 1 0 1 3 3 1 1 3 1 3 2 2 2 2 1 1 3 1 2 3 1 1 3 3 1 0 1 3 3 1 1 3 3 1 2 2 2 1 3 1 3 3 1 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 3 1 3 3 1 0 1 3 1 3 1 3 3 1 ( )( ) ( ) ( ) ; ( )[( ) ( ) ] 2( )( ) ( ) ( ) ; ( )( ) ( ) ( ) ; e e q e                                                                                   2 2 0 1 3 1 2 0 1 3 1 3; .               Если демпфирование отсутствует ( 0 0  ), то критерии устойчивости (2.11) упро- щаются, требуя одновременного выполнения лишь двух условий [24, 50, 57] 4 2 40; 2 .c c c  (2.13) 2.4. Дивергентная форма потери устойчивости. Как следует из анализа уравне- ния (2.3), монотонная (дивергентного типа) форма потери устойчивости реализуется при нарушении третьего критерия (2.12). Критические скорости на левой и правой границах дивергентной области определяются из соотношений [24, 50] (1) 1 1 ;дU   (2) 2 3 .дU   (2.14) Существенно подчеркнуть, что эти ско- рости вообще не зависят от параметра демп- фирования 0 , даже если оно в исходных динамических уравнениях учитывается. Пусть несущая жидкость ( 3 0 10  кг/м3) оболочка характеризуется параметрами [58] 11 3 30,67 10 Па; 2,7 10 кг/м ; 0,16м;E R     40,32; 0,8м ; 6,4 10 м.l h     (2.15) Рис. 2.2, 2.3 иллюстрируют результаты вычислений критических скоростей движе- ния жидкости, при которых будет происхо- дить та или иная потеря устойчивости ис- следуемой оболочки. На рис. 2.2, а показаны графики зависимостей 2( )U , построенных на основании уравнения (2.3) при варьиро- вании волнового параметра n (указан на рисунке). Увеличенный фрагмент этого ри- сунка в области перехода величины 2 в зону отрицательных значений показан на рис. 2.2, б. При построении использованы Рис. 2.2 33 безразмерные параметры: 0 0/ , /l k U U k    , где  1/22 0 ( ) ( )k l D h  [33]. Границы дивергентной области соответствуют пересечению изображенных на рисунках кри- вых с горизонтальной осью. В табл. 2.1 приведены безразмерные численные значения граничных критических скоростей дивергенции, из которых следует, что дивергентная потеря устойчивости ранее всего наступит при 4,32дU  , 4.n  Минимальная ширина всей дивергентной области наблюдается при возбуждении в оболочке изгибной формы с числом окруж- ных волн 5.n  При увеличении параметра n (начиная с 5n  ) область дивергентной неустойчи- вости будет расширяться. Таблица 2.1 n дU 2 3 4 5 6 7 8 9 (1) дU 8,89 5,23 4,32 5,27 5,28 6,33 8,16 10,61 (2) дU 14,52 9,20 6,48 5,36 7,71. 11,07 15,33 20,51 Рис. 2.3 иллюстрирует харак- тер нестационарного выпучивания оболочки во времени при скоростях движения жидкости из дивергентной зоны 5,27 5,36U  при 5.n  Представленные здесь безразмер- ные прогибы /w w h (предпола- галось, что функция w имеет вид (1.16)) получены в результате чис- ленного интегрирования линейных уравнений (2.1) при 0( 1, 3)kkq k  ; / 4, 0)x l y  и начальных усло- виях (0) 0,34 ,w h (0) 0.w  Кривые 1 − 5 построены, соответственно, при 1 5,27;U  2 5,30U  ; 3 5,32;U  4 5,34;U  5U  5,36. Как следует из рис. 2.3, возрастание прогиба в выбранной зоне скоростей потока происходит относительно медленно и монотонно (по экспоненциальным или близким к ним законам). В то же время максимальный рост данного прогиба реализуется в сре- динной части дивергентной зоны ( т.е. при (1) (2)( ) 2д дU U U  ). 2.5. Потеря устойчивости оболочек по типу флаттер. Если пренебречь демп- фированием ( 0 0  ), то критические скорости флаттера фU определяются из второго критерия (2.13) [24, 57]: 2 32 2 1 1 1 . 2 2ф dd d U d d d          (2.16) Здесь обозначено: 2 2 2 2 2 2 2 2 1 0 1 3 2 1 3 0 1 3 3 1 3 1 34 ; 2( ) 4( ); ( ) .d d d                    Подкоренное выражение в (2.16) должно быть положительным. Частота ф возбуждае- мых в момент флаттерной потери устойчивости колебаний выражается формулой [24] 2 2 2 1 2 0 . 2 ф ф U       (2.17) Рис. 2.3 34 В табл. 2.2 приведены численные значения безразмерных величин , (ф ф фU    0/ )фl k , полученные для оболочки с параметрами (2.15). Частота ф соответствует моменту появления кратных корней характеристического уравнения (2.3) при 0 0  [6, 24]. Таблица 2.2 n ,ф фU  2 3 4 5 6 7 8 9 фU 16,121 10,078 7,174 6,343 7,822 11,066 15,362 20,598 ф 42,008 25,991 18,307 15,038 11,916. 2,704 15,471 24,743 Сравнивая результаты, представленные в табл. 2.1 и 2.2, можно заключить, что критические скорости (max) дU и ,фU при которых произойдет потеря устойчивости оболочки, при увеличении числа окружных волн n приближаются друг к другу и при относительно больших значениях n могут практически совпадать. На рис. 2.4 показан процесс раз- вития прогибов при неустойчивости типа флаттер. Исходные данные здесь такие же, как и при построении рис 2.3. Кривым 1 – 3 соответствуют такие значения скоростей потока: 1U  6,28 2U  6,36; 3U  6,38. Таким образом, потеря устойчивости оболочки при вы- бранных скоростях потока соответст- вует колебательному процессу с про- грессирующими во времени амплиту- дами. Чем больше величина «расстрой- ки» 0фU U    , тем существеннее рост указанных амплитуд, и наоборот. 2.6. Зависимость критических скоростей потока от геометрических пара- метров оболочки. Как формы потери устойчивости оболочек, транспортирующих жидкость, так и величины критических скоростей жидкостного потока существенно зависят от геометрических параметров каждой из данных оболочек. Ранее всего такая задача была рассмотрена с использованием модели Флюгге в работе [69]. Авторами данной работы установлено, что с увеличением толщины и длины несущих оболочек количество окружных волн n , соответствующих моменту наступления неустойчиво- сти, постепенно уменьшается. В пределе оболочка может потерять устойчивость даже по стержневой (балочной) форме. Ниже представлены некоторые результаты исследований влияния геометрических параметров оболочки на критическую скорость потока жидкости, при которой реали- зуются флаттерные колебания, а также на частоту этих колебаний [24, 50]. Расчеты проводились, исходя из анализа автономных линейных уравнений (1.7) при учете в них соотношений (1.4). Рисунки 2.5, а, б иллюстрируют влияние безразмерных параметров оболочки – отно- сительных длины /l l R и толщины /h h R – на величину критической скорости флаттера 3U  фU = 0/фU k при варьировании волнового параметра n (указан на рисун- ках). Построения проведены с использованием формулы (2.16), полученной исходя из анализа характеристического уравнения, составленного для системы (1.19). В первом случае (рис. 2.5, а) рассмотрена оболочка постоянной толщины 46,4 10 м,h   во вто- Рис. 2.4 35 ром (рис. 2.5, б) – оболочка постоянной длины 5 .l R Остальные параметры соответ- ствовали (2.15). При определении безразмерного параметра 0k во всех случаях при- нято 0,80l  м. Рис. 2.5 Представленные графики свидетельствуют о более сильном влиянии на динамичес- кую неустойчивость оболочки изменения ее длины, чем толщины. Из рис. 2.5, а вид- но, например, что при варьировании параметра l в пределах 1 5l  кри- тическим скоростям фU (им соответ- ствует нижняя огибающая ...AB F всех показанных кривых) будут отве- чать формы с пятью различными зна- чениями параметра :n на участке 9;AB n  8BC n  и т. д. Во втором случае (рис. 2.5, б) волновой параметр n при потере устойчивости оболочек с относительной толщиной 0,0035  0,005h  остается одним и тем же для всех возможных в данной области значений критической скорости фU . На рис. 2.6 показано как изменя- ются частоты самовозбуждаемых ко- лебаний оболочки 0/фl k  , возни- кающих в момент флаттерной потери устойчивости при увеличении относи- тельных длины l (рис. 2.6, а) или толщины h (рис. 2.6, б). Обозначенные здесь жирными уча- стки частотных кривых 1 1, , ,AB B C C D 1 1,D E E F соответствуют минимальным Рис. 2.6 36 значениям критических скоростей фU и определяют частоту флаттерных колебаний  для каждого из выбранных параметров n . Наблюдаемые при этом «скачки» частот при определенных величинах длин оболочки объясняются изменением в этот момент формы ее волнообразования в окружном направлении при динамической потере устойчивости. 2.7. Частотные спектры оболочек, взаимодействующих с потоком жидкости. Внутренние резонансы. При практических расчетах флаттерной потери устойчиво- сти оболочек вследствие взаимодействия их с жидкостным потоком ограничиваются, как уже отмечалось, учетом в расчетной математической модели двух низших осевых форм ( 1 21, 2m m  ). Такой упрощенный подход можно считать правомерным, если в разрешающих динамических уравнениях, построенных на основании (1.15) или (1.16), отсутствуют внутренние резонансы [13, 23] (нет близких или кратных частот, соответ- ствующих флаттерным колебаниям оболочки). Между тем, многие реальные оболочки, заполненные подвижной жидкостью, не всегда удовлетворяют этим требованиям. В результате установленные при решениях соответствующих задач значения критиче- ских скоростей потока могут оказаться далекими от истинных значений. Так, в табл. 2.3 приведены, например, полученные из соотношения (2.16) с учетом (2.15) численные значения безразмерных критических скоростей потока жидкости фU , отвечающих различным комбинациям окружных ( )n и осевых 1 2( , )m m волновых параметров [24]. Как обычно, здесь выделены величины минимальных скоростей фU , при которых ранее всего возникнут неосесимметричные колебания оболочки с прогрессирующими во времени амплитудами для каждой из серий параметров. Отметим, что эти скорости соответствуют взаимодействию «соседних» осевых форм, т.е. форм с параметрами 1m и 2 1 1.m m  Учет в аппроксимациях (1.15) или (1.16) форм с какими-либо другими комбинациями параметров 1 2,m m (например, 1 21, 3;m m  1 22, 4m m  и т.д.) обу- словит возникновение флаттера при бо'льших значениях скоростей .U Отметим также, что соответствующая минимальной скорости потока (min) фU (min)( 6,003)фU  потеря устойчивости оболочки в рассматриваемом случае произойдет вследствие взаимодей- ствия осевых форм 1 2m  и 2 3m  , которые не отвечают низшим осевым формам оболочки. Отсутствие в некоторых случаях положительных решений U в (2.16) озна- чает, что уравнение (2.3) не имеет кратных корней. Следовательно, потеря устойчиво- сти оболочки по флаттерному типу в даной ситуации вообще невозможна. Реализо- ванной может быть лишь дивергентная форма потери устойчивости. Таблица 2.3 n 1m 2m 2 3 4 5 6 7 8 9 2 16,121 10,078 7,174 6,343 7,822 11,066 15,362 20,598 3 36,852 25,697 18,316 13,185 – – – – 1 4 23,815 18,207 13,852 10,665 – – – – 3 17,546 12,114 8,800 6,163 6,003 6,402 8,226 10,974 4 38,539 30,860 23,760 18,409 14,309 10,559 – – 2 5 23,788 20,198 16,364 13,222 10,748 8,641 – – 4 18,295 13,732 10,483 8,281 6,888 6,235 6,471 7,787 5 35,555 32,321 26,870 21,902 17,854 14,504 11,344 – 3 6 21,794 20,534 17,730 14,953 12,579 10,602 8,838 – 37 Таблица 2.4 n 1m 2m 2 3 4 5 6 7 8 9 2 42,008 25,991 18,307 15,038 11,916 2,704 15,471 24,743 3 183,457 127,86 90,058 61,677 – – – – 1 4 114,899 89,197 67,040 48,140 – – – – 3 43,181 25,838 17,357 14,444 14,822 12,302 17,062 34,297 4 305,41 248,95 191,701 147,155 111,051 72,754 – – 2 5 167,1 154,42 127,363 102,172 79,363 52,827 – – 4 46,646 23,359 3,422 7,917 5,970 13,826 13,767 20,207 5 369,803 350,84 294,438 239,674 193,349 15 2,60 108,812 – 3 6 171,298 199,78 181,48 155,100 129,198 103,85 73,453 – Величины безразмерных частот ф флаттерных колебаний оболочки, полученные на основании формулы (2.17), приведены в табл. 2.4. Как следует из представленных в таблице результатов , возбуждаемые вследствие потери устойчивости колебания обо- лочки в зависимости от волновых параметров 1 2, ,m m n могут характеризоваться бли- зкими, а также кратными частотами. Например, близкими можно считать выделенные в табл. 2.4 частоты 14,444ф  и 14,822ф  , соответствующие комбинированным формам: 1 22, 3, 5m m n   и 1 22, 3, 6.m m n   Безразмерная скорость движения жидкости при этом – 6.U  В таблице можно также обнаружить немало и кратных частот. Однако, такая ситуация менее опасна с точки зрения динамической прочности рассматриваемой оболочечно-жидкостной конструкции, поскольку может быть реа- лизована в достаточно узкой частотной зоне [23]. Физически близость (кратность) частот означает, что динамическая потеря устой- чивости оболочки может происходить при одновременном участии в данном процессе изгибных форм с разными как осевыми ( 1 2,m m ), так и окружными ,k jn n ( )k j па- раметрами. Энергетически эти формы сильно связаны между собой при колебаниях − возбуждение каким-либо внешним источником некоторой одной из них обусловит немедленное возбуждение других форм, частоты которых находятся в резонансных соотношениях с частотой исходной формы. Отметим, что эта особенность обязатель- но должна учитываться при построении достоверных нелинейных расчетных моделей оболочек, взаимодействующих с жидкостным потоком. Из табл. 2.4 также следует, что действительные значения ф отсутствуют при тех же значениях n ( 6n  ), при которых нет положительных решений для фU (табл. 2.3). 2.8. Влияние диссипативных сил на устойчивость оболочек. Эффект «деста- билизации». Задача об определении критических скоростей движения жидкости в несущей оболочке усложняется при учете в динамических уравнениях демпфирова- ния (т.е. когда 0 0  ). Устойчивость оболочки регламентируется в данном случае общими критериями (2.11) или (2.12). Некоторые особенности влияния демпфирования на потерю устойчивости упругих систем при наличии неконсервативных (зависящих от перемещений упругого объекта) сил детально ранее исследованы В.В.Болотиным [6], Г.Циглером [28], другими авторами [3, 8]. Было обнаружено специфическое явление «дестабилизации», заключающееся в том, что эти системы при учете достаточно малого демпфирования могли потерять устойчивость при меньших значениях сжимающих «следящих» нагрузок или меньших уровнях аэродинамического давления (по сравне- нию со случаем, когда демпфирование вообще не принималось во внимание). Такого 38 же рода явления следует ожидать и при взаимодействии цилиндрических оболочек с протекающей внутри жидкостью, несмотря на качественное различие сил аэродина- мического и гидродинамического давлений (первые из них структурно являются «пози- ционными» [6, 25], вторые − имеют «гироскопическую» структуру). Эффект «дестабилизации» применительно к оболочкам с жидкостью иллюстрируется рис. 2.7 (а, б), 2.8 (а, б), на которых показаны траектории действительных ( Re ) и мнимых ( Im ) частей всех четырех корней характеристического уравнения (2.3) в случае 4n  при 0 0  и 0 0  ,108  0 0 1 01(2 )m   [33], соответственно, при уве- личении скорости потока жидкости от 0 до 100 м/с. Рассмотрена изотропная оболочка с параметрами (2.15). Таким образом, как следует из рисунков, потеря устойчивости оболочки при 0 0  и 0 0  реализуется по качественно различным сценариям. В частности, при 0 0  существует лишь одна область скоростей 1(0 )AM U U  , в которой оболочка будет устойчивой. Если же 0 0  , таких непересекающихся областей устойчивости две: 0 ,AU U  .B CU U U  а б Рис. 2.7 а б Рис. 2.8 Дивергентная неустойчивость наступит при скорости потока AU U , величина которой в рамках принятой модели не зависит от параметра демпфирования. Правая граница дивергентной области 1BU U незначительно превышает величину BU , уста- новленную при 0 0  . При этом в случае малого демпфирования потеря устойчивости по типу флаттер в случае малого демпфирования практически наступит сразу после окончания дивергентной зоны, т.е., при 1BU U . 39 Для определения величины действительной части характеристического показателя  в точке 1B следует в уравнении (2.3) принять [57] 1,2 1 2 ,s i s   3 4 00 0a     00 11 12( )a a a  . В результате из (2.3) получим такую систему: 4 3 2 4 3 00 1 00 2 00 4 00 1 00 3 00 43 2 0; 2 2 0; a c a c a c a c a c a c        3 2 00 1 00 2 00 34 3 2 0,a c a c a c    которая имеет действительные решения 00a лишь при определенных скоростях жид- костного потока 0.U U Данная система эквивалентна двум уравнениям с двумя неи- звестными величинами 00a и 0U [57]: 2 0 00e a 1 00 2 0e a e   ; 2 3 00e a 4 00 5 0e a e   . (2.18) 2 0 2 1 1 3 1 2 2 4 1 3 3 4 1 38 3 ; 2(6 ); 16 ; 16 ;e c c e c c c e c c c e c c c         2 4 1 4 2 3 5 2 4 32(6 ); 8 3 ,e c c c c e c c c    причем зависимость коэффициентов 1 4, ... ,c c от 0U устанавливается соотношениями (2.4) . В табл. 2.5 приведены численные значения искомых параметров 00a и 0U для рас- сматриваемой оболочки при n = 4 в зависимости от коэффициента демпфирования 0 . Таблица 2.5 0 , 1/с 00a , 1/с 0U , м /с 0,2 0,4 0,6 1,0 00a ·102 0,107 0,215 0,324 0,539 0U 77,558 77,558 77,558 77,558 Таким образом, с ростом параметра 0 величина 00a также возрастает, что обусловит соответствующее увеличение темпа возрастания амплитуды колебаний оболочки в момент появления флаттера. При этом скорость 0U при рассматрива- емых относительно малых значениях 0 остается практически неизменной (отли- чие наблюдается в четвертой − пятой значащей цифре после запятой). Описанное выше явление дестабили- зации может быть устранено путем уве- личения коэффициента демпфирования 0 (эффект «больших сил трения»). Кри- тическое значение параметра 0 , при котором указанный эффект исчезает, оп- ределяем из соотношения 0 0( ) ,фU U  где 0 0( )U  − скорость потока, вычис- ляемая из уравнений (2.18), фU − крити- ческая скорость флаттера, определяемая формулой (2.16). На рис. 2.9 показаны Рис. 2.9 40 построенные при относительно большом демпфировании 0 0( 10,8)   траекто- рии корней характеристического урав- нения, соответствующие волновому па- раметру 6.n  Здесь показан фрагмент, иллюстрирующий поведение корней ( 1, 2, ... , 4)k k  непосредственно в области перехода от неустойчивости дивергентного типа к флаттеру. Для сравнения на рис. 2.10 показаны траек- тории корней, построенные в случае 0 0  . Из анализа приведенных резуль- татов можно сделать вывод, что колеба- тельная потеря устойчивости оболочки при учете демпфирования произойдет при скоростях потока, превышающих соответствующие критические скоро- сти. Например, вычисления показыва- ют, что 90,36фU  м/с, если 0 0  , и 91,4фU  м/с при 0 0  . Важно также подчеркнуть, что возникшие при флаттере колебания вначале (при )фU U будут характеризоваться очень низкими частотами. В последующем, по мере удаления от гра- ницы флаттера, частоты данных колебаний будут возрастать, устремляясь к некото- рому стационарному значению, соответствующему установившимся режимам. §3. Влияние конструктивных особенностей на квазистатическую и динами- ческую формы потери устойчивости несущих оболочек. В большинстве исследований по проблемам устойчивости оболочек при взаимо- действии с протекающей жидкостью используются некоторые упрощенные расчетные модели этих оболочек. Материал оболочек предполагается обычно изотропным, что не всегда соответствует действительности. Нередко встречающиеся на практике малые, жестко присоединенные к оболочкам массы при динамических расчетах на устойчи- вость не принимались во внимание. Не учитывались начальные несовершенства гео- метрического характера (т.е. некоторые малые геометрические отклонения от принятой в проекте идеальной цилиндрической формы). Задачи устойчивости оболочек рас- сматривались обычно при реализации на краях, в основном, условий свободного опира- ния. Влияние других вариантов краевых условий на потерю устойчивости исследованы недостаточно. Между тем перечисленные выше конструктивные особенности могут существенно повлиять как на значения критических скоростей потока жидкости, при которых произойдет тот или иной вид потери устойчивости оболочек (квазистатический или динамический), так и на формы волнообразования при потере устойчивости, а так- же на частоты самовозбуждаемых колебаний, характер переходных процессов, предше- ствующих установлению стационарных режимов деформирования, и пр. Ниже кратко изложены некоторые результаты решения такого рода задач, исполь- зуя приведенные в §1 линеаризованные динамические уравнения оболочек с жидко- стью [19, 47 − 49, 51 и др.]. 3.1. Оболочки, загруженные присоединенными массами. Пусть на краях оболочки (рассматривается изотропная модель) реализованы условия 1 / 1.SS SS На рис. 3.1 по- казаны наиболее часто встречающиеся на практике варианты жесткого крепления масс к развернутой поверхности оболочки (здесь 1 – масса M , сосредоточенная в точке с координатами 0 0( , )x y ; 2, 3 – эта же масса равномерно распределена вдоль образующей или вдоль замкнутого поперечного кольца, соответственно; 4, 5 – масса Рис. 2.10 41 равномерно распределена вдоль замкнутых прямоугольного и эллиптического конту- ров). Предполагается, что присоединен- ные массы в каждом месте контакта (точ- ке, линии, дуге) «передают» на оболочку только радиальную (поперечную) реак- цию [2, 19, 47, 51]. Инерцией поворота массы пренебрегаем [2, 9, 22]. Исходные, полученные на основе системы (1.7), линеаризованные уравне- ния свободных колебаний изотропной оболочки, несущей присоединенные мас- сы, имеют в рассматриваемом случае вид [7, 9, 19, 22, 47, 51] 4 4 4 4 2 2 4 2 2 2 02 2 2 4 4 4 2 4 2 2 4 2 2 1 ; 1 1 2 . R г D w w w h x x y y Pw w w K R x t t t h w E x x y y x                                                  (3.1) Здесь  2 2( ) ( )K w t  – функция, харак- теризующая «дополнительное» инер- ционное воздействие со стороны масс на оболочку в зоне жесткого контакта. Вы- ражение этой функции зависит от способа и места крепления массы M к оболочке; в частности, [9, 47, 51]   2 0 0 2, M w K x x y y h t        для варианта 1 (на рис. 3.1); 2 0 2( ) 2 M w K x x Rh t       – для варианта 2 ( 0x x – продольная координата кругового кольца); 2 0 2( ) M w K y y h l t       для варианта 3 ( 0y y – окружная координата образующей, вдоль которой распределена масса M ). Здесь  ─ соответственно, одно- или двухмерная дельта-функция. Систему (3.1) можно привести к одному разрешающему уравнению восьмого по- рядка относительно функции прогиба :w 4 2 2 8 4 4 02 4 2 2 .гPD E w w w w w K h R x t t h t                              (3.2) а б в Рис. 3.1 42 Если прогиб w аппроксимировать рядом (1.11), то полученные на основании (3.2) уравнения для определения функций (1),(2) nmf могут быть сведены к виду [19, 51] 2 2 ( ) 00 1 1 1 1 1 1 0 2 ( ) 0; nm nm nm nm nm m nq nm nm nq nm q k G f U f f Uf m               2 2 ( ) 00 2 2 2 2 1 1 0 2 ( ) 0. nm nm nm nm nm m nq nm nm nq nm k k G f U f f Uf m               (3.3) Параметры ( ), , , ,m nm nm nm nq    входящие в эти уравнения, совпадают с соответствую- щими коэффициентами системы (1.14), отвечающей изотропной модели; 00 02 /k M M , где 0 2M Rl h   масса оболочки. Функции 1,2 nmG надлежит опреде- лить из таких соотношений [47, 51]: 2 2 1 2 0 0 0 0 cos sin ; sin sin . l R l R nm nm n m n m h h G K s y x dx dy G K s y x dx dy M M         После интегрирования эти функции, в общем случае, будут иметь вид 1 1 1 2 2 2 3 1 4 2 0 1 0 1 ( ) ; ( ) ,nm nm ij nm ij nm nm ij nm ij ij ij ij ij i j i j G f f G f f                    (3.4) где параметры ( 1,2,...,4)mn ijpk p  выражаются через координаты крепления массы к оболочке. Например, в случае крепления к оболочке сосредоточенной массы (вариант 1) получим 2 2 1 0 02cos sin ;nm nm n ms y x  2 2 0 0sin 2 sinnm nm n ms y x  и т. д. Проанализировав уравнения (3.3), были выявлены особенности влияния различ- ных присоединенных масс на потерю устойчивости оболочек, взаимодействующих с жидкостью. При расчетах рассматривалась упрощенная аппроксимация прогиба w в форме (1.16). Если масса контактирует с оболочкой в одной точке ( 0 0, )x y то, как показано в [51], характеристическое уравнение, полученное на основании (3.3), примет вид 4 2 4 3 2 11 22 1 2 11 22 1 2 3 4( ) 0U h h h h                       (3.5) 2 2 1 1 1 0 2 2 01 sin sin ;h x x       2 1 1 0 2 1 0 2 0( )sin sinh U x x       ; 2 2 2 3 1 1 0 22 2 2 0 11 1 2 4 11 22 1 00 01(1 sin ) (1 sin ) ; ; 2 / ;h x x U h k m                 2 00 02 00 02 ; 2 / ,k m k M M   остальные параметры такие же, как и в уравнениях (1.19) . Таким образом, характеристические показатели в данном случае следует определить из двух различных уравнений, первое из которых не зависит от параметра присоеди- ненной массы 00k . Такой результат является следствием того, что в данном случае масса контактирует с оболочкой в узловой точке. Второе, вытекающее из (3.5), уравне- ние зависит и от массы, и от скорости движения жидкости .U Из первого уравнения получаем приведенную ранее формулу для критической скорости флаттера ненагружен- ной оболочки (2.19). Из второго уравнения можно определить условия, регламентирую- щие динамическую потерю устойчивости в зависимости от обоих параметров 00k и U . Если, например, масса крепится к оболочке в среднем сечении, то критическая ско- рость флаттера фU выражается так [51]:  2 2 1 2 1 3 12 2фU d d d d d d    43  2 1 1 2 1 1 2 1 2 1[ (1 ) ] 4 (1 );d                2 2 2 2 2 1 2 1 2 1 1 2 1 1 2 12 (1 ) (1 ) (1 ) ;d                         2 2 2 3 1 2 1[( (1 )] .d      Одновременно устанавливаем, что присоединенная масса вообще не влияет на ве- личины критических скоростей дивергенции (1) дU и (2) дU , определяемых из биквад- ратного уравнения 4 2 2 2 2 2 1 2 1 2 2 1 1 2( ) 0.U U           Аналогичную структуру будут иметь характеристические уравнения, составлен- ные для вариантов 2 и 3. В табл. 3.1 – 3.3 приведены значения соответствующих вари- антам 1, 2, 3 безразмерных критических скоростей потока U ( 0/ )U U k , при кото- рых наступит динамическая (колебательного вида) неустойчивость оболочки, харак- теризуемой параметрами (2.18). При расчетах предполагалось, что в первом варианте (табл. 3.1) масса крепилась к оболочке в точке с координатой 0 / 2x l ; во втором (табл. 3.2) − вдоль замкнутого поперечного кольца с координатой 0 / 2;x l в третьем (табл. 3.3) − вдоль образую- щей (в этом случае на рис. 3.1 следует принять , 0).c l b  Жирным шрифтом выде- лены значения критических скоростей флаттера, соответствующих наиболее ранней (при наименьшей скорости потока) потере устойчивости. В целом из представленных результатов можно заключить, что влияние различных способов контакта массы с оболочкой на величины критических скоростей потока становится заметным лишь при относительно больших (по сравнению с массой оболочки) значениях этой массы. В большей степени это влияние будет проявляться при креплении массы вдоль попе- речного кольца, в меньшей − вдоль образующей (в обоих случаях «суммарная» при- соединенная масса предполагается одной и той же – M ). Таблица 3.1 n 00k 2 3 4 5 6 7 0 16,140 10,090 7,183 6,351 7,821 11,079 0,05 16,133 10,084 7,177 6,342 7,821 11,080 0,15 16,119 10,073 7,165 6,323 7,803 11,088 0,25 16,106 10,062 7,1154 6,305 7,786 11,101 Таблица 3.2 n 00k 2 3 4 5 6 7 0,05 16,118 10,070 7,163 6,322 7,783 11,012 0,15 16,074 10,032 7,124 6,264 7,686 10,877 0,25 16,030 9,993 7,085 6,208 7,590 10,743 Таблица 3.3 n 00k 2 3 4 5 6 7 0,05 16,133 10,084 7,177 6,342 7,821 11,080 0,15 16,119 10,073 7,165 6,323 7,803 11,088 0,25 16,106 10,062 7,154 6,317 7,805 11,102 44 Аналогичный подход к расчету устойчивости несущих оболочек применен и в случае крепления дополнительных масс вдоль замкнутых прямоугольного (рис. 3.1, б) или эллиптического (рис. 3.1, в) контуров [47]. В первом случае функцию K в соот- ношениях (3.3) следует определить из соотношения    ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) , 2 (2 ) a c b a b M K y b y b x d x a x a c y d b c                                  где , 2c b – длины сторон прямоугольника. Уравнения для определения неизвестных функций 1,2 nmG структурно также будут иметь вид (3.4) с коэффициентами, зависящи- ми от размеров прямоугольника и места его расположения на поверхности оболочки, например,   2 1 1 1 2 2 1 1 1 1 ( ) (sin 2 sin 2 ) cos 2 1 1 sin 2 (sin sin ) , 2(2 ) и т.д. 2 nm nm m m n m n m m n c a c a s b d b s b a c c a c d b c с d s                                Такое же заключение справедливо и по отношению к 5-му варианту крепления массы к оболочке (вдоль эллиптического контура). Функции 1 2,nm nmG G в уравнениях (3.2) в данном случае определяем из соотношений [47]   0 1 0 1 2 1 1 12 0 1 ( , , ) ( ) ( ) ( )cos sin ; x d nm n m x d w x y t G y y y y F x s y x dx l h t                 0 1 0 1 2 2 1 12 0 1 ( , , ) ( ) ( ) ( )sin sin , x d nm n m x d w x y t G y y y y F x s y x dx l h t               где 0 0,l x – периметр эллипса и координата его центра; 12d и 12b – большая и малая оси эллипса; 2 21 1 1 0 1 ( ) ; b y d x x d    4 2 2 2 1 1 1 0 2 2 2 1 1 0 ( )( ) ( ) ( ) d b d x x F x d d x x         . Полагая 1 1b d , нетрудно получить выражение функции K для случая, когда масса равномерно распределена вдоль окружности радиуса 1R d . 3.2. Влияние начальных прогибов. Как известно, практически каждая цилиндри- ческая оболочка характеризуется малыми отклонениями от идеальной геометриче- ской формы [9, 13, 22, 23, 49]. Естественно, что эти отклонения необходимо учиты- вать при динамических расчетах транспортирующих жидкость оболочек с целью оп- ределения истинных значений критических скоростей потока. Устойчивость оболочки в данном случае можно исследовать с использованием соответствующих линеаризо- ванных динамических уравнений. В случае ортотропной оболочки эти уравнения примут следующий вид [13]: 2 2 22 2 2 2 2 4 0 0 0 1 1 1 02 2 2 2 2 2 1 1 2 ;гD w w w Pw w w h R x x y y x x y x y t t h                                  2 2 22 2 2 2 4 0 0 01 1 1 2 2 2 2 2 1 2 . w w ww w w w x y y x x y x y R x                       (3.7) Здесь 0 0 ( , )w w x y – начальный прогиб, не вызывающий в оболочке предварительных напряжений; 1w  «дополнительный» упругий прогиб ( w 1 0w w  – полный прогиб). 45 Задачи об устойчивости квазицилиндрических (с малым начальным прогибом) оболо- чек при отсутствии жидкостного наполнителя рассмотрены ранее [9, 22, 23 и др.]. Совместное влияние давления протекающей жидкости и начальных геометрических несовершенств на потерю устойчивости оболочек исследовано в [17, 49]. Рассмотре- ны два вида несовершенств − неосесимметричный и осесимметричный. В первом случае начальный прогиб задан в форме 0 10 0 0 20 0 0cos sin sin sinw f s y x f s y x   , где 10 20, const,f f  0 0,s   параметры волнообразования. Если аппроксимировать ди- намический прогиб 1w четырехчленным выражением [49] 1 1 1cos sinw f sy x  2 1 3 2 4 2sin sin cos sin sin sinf sy x f sy x f sy x     , и применить метод Б − Г, то для определения неизвестных функций kf получим, в общем случае, систему уравнений 4 4 2 2 1 1 0 ( 1 , ... , 4),( )k k k k k k kj j kj j j j f U f f c f Uf k               в которой kjc – полученные в результате проведенного интегрирования коэффициенты, зависящие от амплитудных параметров начального прогиба 10 20,f f (при 10 20 0f f  все 0kjc  ). Oстальные параметры совпадают с соответствующими параметрами сис- темы (1.18). Конкретные значения коэффициентов kjc определяются соотношениями между волновыми параметрами начального 0 0,s  и динамического 1 2, ,s   проги- бов. Проведенный анализ позволил установить шесть качественно различных вариан- тов данных соотношений [23, 49]: 1) 0 1 0,s s    ; 0 2 02) , ;s s    0 1 03) , ;s s    0 2 04) , ;s s    5) 0 1 0, ;s s    6) 0 2 0,s s    . Приведенные в [49] расчеты показывают, что наличие начального прогиба, «по- вторяющего» по форме динамический прогиб, (вариант 1) несущественно повлияет на величины критических скоростей дU и фU . В табл. 3.4 представлены значения мини- мальных скоростей дивергентной неустойчивости дU , соответствующие различным безразмерным амплитудам начального прогиба 0 10 /f f h и параметрам волнообразова- ния n (при расчетах принято 20 0f  ). Рассмотрена оболочка с параметрами [49] Е1 = 2,15·109 Па; Е2 = 1,23·109 Па; G = 0,21·109 Па; 1 = 0,19;  =1,65· 0 ; 0 = 103кг/м3; R = 0,16м; l = 5 R; 100.h R (3.8) Таблица 3.4 n 0f 2 3 4 5 0 23,675 17,066 18,868 19,977 1 23,677 17,075 18,874 19,986 2 23,691 17,104 18,896 20,011 Как следует из табл. 3.4, относительное увеличение критических скоростей дU неидеальной оболочки по сравнению со случаем идеальной оболочки (когда 0 0f  ) не превышает 0,22%. Такое же заключение справедливо и по отношению к значениям критических скоростей флаттера. Рис. 3.2, 3.3 иллюстрируют влияние начального прогиба на критические скорости дивергенции и флаттера, cоответственно, при рассмотрении более сложного «геомет- рического» выражения функции 0w : 0 10 0 0cos sinw f s y x , 0 03, 7m n  [49]. 46 Из представленных графиков следует, что влияние начального прогиба на величины дU и фU существенно возрастает (по сравнению со случаем идеальной оболочки) при относительно больших значениях волнового параметра ( 5).n n  Кроме того, с рос- том параметра начального прогиба 0f наблюдается тенденция к сближению критиче- ских скоростей флаттера, отвечающих двум формам 3n  и 4n  одновременно. В частности, проведенные исследования показали, что пока 0f 2,6 , потеря устойчи- вости оболочки типа флаттер будет сопровождаться возбуждением окружной формы 4n  . При 0f  2,6 качественно изменится конфигурация формы потери устойчиво- сти – в этот момент возбудится форма с меньшим количеством окружных волн 3n  , чем это имело место в предыдущем случае. а б Рис. 3.4 Влияние осесимметричного начального прогиба ( 0 10 0sinw f x ) на флаттерную потерю устойчивости иллюстрируется графиками, приведенными на рис. 3.4, а, б. Штриховые кривые на этом рисунке построены при 10 0f  , сплошные − при 10 0f  . Таким образом, критическая скорость флаттера фU в случае 10 0f  (когда оболочка вследствие начального прогиба становится слабо выпуклой, т.е. «бочкообразной»), Рис. 3.2 Рис.3.3 47 несколько увеличивается по сравнению со случаем 0 0.w  И, наоборот, если 10 0f  (оболочка с отрицательной гауссовой кривизной), то начальный прогиб обусловит уменьшение величины фU по сравнению со случаем идеальной оболочки. Таблица 3.5 n 10f 2 3 4 5 h h 23,14 24,23 16,33 17,84 18,75 18,97 19,91 20,08 2h 2h 22,60 24,78 15,60 18,61 18,62 19,07 19,85 20,18 Аналогичные в качественном отношении результаты получены и в отношении скоростей дU дивергентной формы потери устойчивости оболочки с осесимметрич- ным начальным прогибом. Значения этих скоростей при 10 , 2 ,f h h   0 1m  приве- дены в табл. 3.5. 3.3. Влияние граничных условий на потерю устойчивости. Преобладающее большинство исследований по проблеме устойчивости оболочечных объектов, транс- портирующих жидкость, посвящено решению соответствующих задач при реализации простейших краевых условий, (обычно условий свободного опирания на обоих краях). Между тем, в практике нередко встречаются случаи применения других краевых усло- вий, в частности, жесткого защемления на обоих торцах, а также варианты комбини- рованных, иначе «несимметричных» условий, когда на одном краю реализован один способ крепления (например, жесткое защемление), на другом – качественно иной (например, шарнирное закрепление или свободное опирание), и наоборот. Некоторые задачи о влиянии различных как «симметричных», так и «несимметричных» граничных условий на процессы взаимодействия цилиндрических оболочек с внутренним и внеш- ним потоком жидкостей рассмотрены ранее в [10, 11]. Решение задач об устойчивости несущих оболочек проведено в этих работах на основе полубезмоментной теории с использованием некоторых математических упрощений при вычислении собственных частот. При аппроксимации прогибов применялись балочные функции (функции А.Н.Крылова). В работе [48] для расчёта устойчивости заполненных подвижной жид- костью цилиндрических оболочек (ортотропная модель) используются линеаризован- ные уравнения (1.7). Для различных краевых условий построены аналитические фор- мулы, позволяющие определять значения критических скоростей потока жидкости, при которых происходит та или иная форма потери устойчивости несущих оболочек. Анализируется зависимость величин критических скоростей от собственных частот оболочек с жидкостью, а также всестороннего статического нагружения. Искомый ди- намический прогиб w аппроксимирован двухпараметрическим разложением 0 1 ( ) ( ) cos ,nm m n n m w f t X x s y       (3.9) где ( )mX x – собственные осевые формы, удовлетворяющие задаваемым краевым усло- виям; /ns n R – параметры окружного волнообразования. При расчетах рассмотрено четыре варианта крепления оболочек на торцах [7, 48]: 1) 0, 0, 0, 0x xv w M N    при 0, ;x x l  2) 0,v  0, 0, 0, 0xv w w x N      при 0, ;x x l  3) 0, 0, 0xv w N   при 0, ;x x l  0xM  при 0; 0x w x    при ;x l 4) 0, 0, 0xv w N   при 0, ;x x l  0w x   при 0;x  0xM  при .x l (3.10) 48 Соответствующие этим условиям осевые формы с использованием тригонометри- ческих функций заданы в форме [48]:  21. ( ) sin ; 2. ( ) sin ; 3. ( ) sin 2 0,5sin 4 ;m m m m m m m m m mX x C x X x C x X x C x x          4. ( ) sin 0,5sin 2 const .m m m m mX x C x x C    (3.11) Потенциалы скоростей жидкости, отвечающие каждой из этих форм, будут такими: 1)   0 1 sin cos cos ;nm nm m nm m m n n m m T f x f U x s y             2) 1 0 1 1 cos 2 sin 2 cos ; 4 2 2 n nm nm m nm nm m nm nn n m m Q r f x f Q U x f s y nR                     0 1 sin 2 sin 4 2 8 3) cos ; cos2 cos4 2 nm nm nm m m m m n n m nm nm nm m m Q F f x x s y F f Q x x U                                     (3.12) 4) 0 1 sin sin 2 4 cos . cos cos2 2 nm nm nm m m m m n n m nm nm nm m m T Q f x x s y Q f T x x U                                     Функции ,nm nmQ T и nmF определяются из соотношений (2 ) ; (2 ) n m nm n m I r Q I R     ( ) ; ( ) n m nm n m I r T I R     (4 ) . (4 ) n m nm n m I r F I R     После подстановки (3.9) с учетом (3.11) , (3.12) в исходное динамическое уравне- ние и реализации метода (Б – Г) получим систему обыкновенных дифференциальных уравнений, из которой надлежит определить неизвестные величины ( ) :nmf t 2 2 0 1 ( , ) 0 1 0 1 ( , ) ( ) 0 ( 0,1, 2, ... ; 1, 2, ...) , nm nm nm nm nm nm nm pq pq p q p n q m nm pq pq pq pq p q p q p n q m f U f f f f f n m                                           (3.13) где nm − собственные частоты оболочки с учетом влияния присоединенной массы жидкости, nm − приведенные коэффициенты демпфирования; , , ,nm nm nm nm pq pq pq pq    − постоянные коэффициенты, зависящие от способа крепления оболочки на краях. На основании системы (3.13) с использованием изложенных в §2 данного обзора соответ- ствующих методик, определены значения критических скоростей потока, которые отвечают той или иной (дивергентной или флаттерной) форме потери устойчивости. Результаты соответствующих расчетов безразмерных скоростей дU , фU ( 0/ )U U k для оболочки с параметрами 49 Е1 = 2,15·109 Па; Е2 = 1,23·109 Па; G = 0,21·109 Па; 1 =0,19;  = 1,65· 0 ; 0 = 103кг/м3; R = 0,16м; l = 5 R; h = R/64 (3.14) в случае симметричных краевых условий (свободное опирание − свободное опирание С − С, жесткое защемление − жесткое защемление Ж − Ж (варианты 1 и 2 в (3.10)) приведены, соответственно, в табл. 3.6, 3.7. Как обычно, жирным выделено наимень- шие значения указанных скоростей. Таблица 3.6 n U 2 3 4 5 6 7 8 9 10 (1) дU 2,93 2,41 3,43 5,62 8,74 12,79 17,82 23,89 31,06 (2) дU 3,76 2,83 2,65 3,29 4,65 6,59 9,08 12,10 15,69 фU 4,25 3,23 3,57 5,62 8,80 12,95 18,13 24,42 31,90 Таблица 3.7 n U 2 3 4 5 6 7 8 9  1 дU 3,78 3,01 2,83 2,90 3,45 4,46 5,88 7,67  2 дU 4,27 3,43 3,72 5,46 8,22 11,90 16,51 22,09 фU 5,96 4,66 3,88 3,42 3,18 3,21 3,79 5,21 Сравнение приведенных в таблицах данных свидетельствует о том, что потеря устойчивости оболочки по дивергентному типу при краевых условиях Ж − Ж прои- зойдет при больших значениях скоростей U в сравнении со случаем краевых условий С − С. Кроме того, более сложной является форма деформирования оболочки при по- тере устойчивости. Значительно усложняется мода, по которой будет происходить флаттерная потеря устойчивости ( если для опертой оболочки этой моде отвечают волновые параметры 1 21, 2, 3,m m n   то для жестко закрепленной оболочки, соот- ветственно, имеем 1 21, 2, 6m m n   . Таблица 3.8 n U 2 3 4 5 6 7 8 9  1 дU 4,67 3,73 3,15 2,86 3,08 4,37 6,33 8,80  2 дU 4,17 3,05 2,36 2,17 2,60 3,06 3,76 4,76 фU 4,73 3,77 3,20 2,96 – – – – В таблицах 3.8, 3.9 приведены результаты вычислений соответствующих кри- тических скоростей потока для оболочек с «несимметричными» краевыми условиями 3 и 4 из (3.10). Таблица 3.9 n U 2 3 4 5 6 7 8 9  1 дU 5,49 4,28 4,17 5,78 8,20 11,60 15,94 21,22 Как видно, в первом случае (табл. 3.8) и дивергентная и флаттерная неустойчи- вости оболочки произойдут при возбуждении в ней одной и той же окружной моды n  5. При этом критические скорости потока дU несколько превышают значения соответствующих скоростей, вычисленных для оболочки со свободными или жестко защемленными краями. Очевидно также, что при 2,96U  возможна лишь дивергент- ная потеря устойчивости (флаттер оболочки здесь не будет реализован, если 6).n  50 Во втором случае (табл. 3.9) отсутствуют значения критических скоростей (2) дU и фU , поскольку действительных корней в соответствующих уравнениях, из которых находим эти величины, не было получено. Это означает, что оболочка при всех вы- бранных значениях окружного волнового параметра n будет терять устойчивость лишь по типу дивергенция. Таким образом, формы потери устойчивости оболочек при «несимметричных» краевых условиях существенно зависят от того, в каком направлении протекает жид- кость в оболочке − от защемленного края к свободно опертому или, наоборот, от сво- бодно опертого к жестко защемленному. §4. Влияние внешней среды на потерю устойчивости. В процессе эксплуатации цилиндрические оболочки, транспортирующие жидкость, нередко подвергаются действию внешних статических или динамических нагружений, в частности, распределенному по всей боковой поверхности давлению окружающей среды, осевому статическому сжатию, влиянию внешних подвижных ударных волн и др. Поэтому актуальными представляются задачи о выяснении влияния такого вида нагруже- ний на потерю устойчивости несущих оболочечных конструкций при взаимодействии их с протекающей внутри жидкостью. 4.1. Оболочки при действии всестороннего радиального давления и осевого сжатия. Для изучения особенностей воздействия внешних статических сил на харак- тер потери устойчивости оболочек используем линеаризованные динамические урав- нения, полученные на основании системы (1.7). В случае изотропной модели эти уравнения имеют вид [7, 8, 57] 2 2 2 2 4 0 0 02 2 2 2 1 ;г q R PD w w w w w N h R x h y x t t h                     2 4 2 1 1 w E R x       . (4.1) Здесь 0 constq  – всестороннее внешнее радиальное давление на оболочку (рис. 4.1), 0 constN  − равномерно распределенное вдоль дуговых кромок осевое сжатие (ос- тальные обозначения общепринятые). Для исследования основных особен- ностей потери устойчивости оболочек непосредственно в дивергентной и флат- терной зонах достаточно использовать упрощенную (двухмодовую) аппрокси- мацию прогиба w [57] w 1 1 3 2cos sin cos sinf sy x f sy x  , (4.2) учитывающую две низшие осевые формы 1 2( , 2 ).l l     Полученные из (4.1) уравнения, на основании которых надлежит исследовать устойчивость оболочки, имеют в данном случае вид 1 11 1 1 1 1 3 3 33 3 3 3 2 10; 0,f f f Uf f f f Uf                  2 2 0 0 1 ( ( ) ) ( 1, 3).kk kk k ok N q Rs h k m         (4.3) Остальные параметры в системе (4.3) выражаются так же, как и в системах (1.18) или (1.19). Очевидно, что критерии устойчивости в рассматриваемом случае по форме сов- падут с (2.11) с учетом замен 11 11  и 33 33  , т.е. будут зависеть также и от параметров внешнего нагружения. Зона дивергентной неустойчивости оболочки по- Рис. 4.1 51 прежнему будет определяться из третьего критерия (2.12), т.е. из условия 11 33 0   . Минимальная критическая скорость флаттера (min) фU , в свою очередь, должна быть установлена, исходя из условия появления первого комплексного характеристическо- го показателя  с положительной действительной частью. Для определения этой скорости следует использовать справедливую при 0 0  формулу [57] 2 11 33 1 2 11 33( ) 2 .U        (4.4) В табл. 4.1 приведены численные значения критических скоростей дивергенции (1) дU (верхняя строка) и (2) дU (нижняя строка) для оболочки c параметрами (2.15), подверженной изолированному и совместному действию внешних нагрузок 0N и 0q (указаны в таблице) при 3 7.n  Традиционно жирным шрифтом выделены мини- мальные величины данных скоростей, реализуемые при определенных волновых пара- метрах .n Очевидно, что радиальная нагрузка 0q более существенно влияет на крити- ческую скорость дивергенции по сравнению с осевой нагрузкой 0N . Такая нагрузка, кро- ме того, что значительно снижает минимальные величины (1) дU и (2) дU , может обусло- вить изменение формы волнообразования оболочки при потере устойчивости. Напри- мер, если незагруженная оболочка теряет устойчивость по моде с числом окружных волн 4,n  то при определенных значениях 0q форма ее окружного деформирования при (1) дU U усложняется и соответствует 5n  . Таблица 4.1 n 0,N Па 0q , Па 3 4 5 6 7 0 0 62,66 10,32 51,82 77,56 63,14 64,02 63,31 92,38 75,84 132,62 0 104 56,84 109,47 32,37 74,80 30,19 56,35 51,13 55,10 59,58 94,17 3 610 0 62,37 110,13 51,35 77,24 62,65 63,55 62,72 91,98 75,28 132,30 3 610 10 4 56,52 109,30 31,61 74,46 29,17 55,80 50,41 54,44 58,86 93,73 Табл. 4.2 иллюстрирует влияние статических нагружений на критическую ско- рость флаттера фU , вычисленную на основании формулы (4.4). Как и в рассмо- тренном выше случае, величина фU более «чувствительна» к действию на оболочку радиальной загрузки 0q . Таблица 4.2 n 0,N Па 0q , Па 3 4 5 6 7 0 0 120,78 85,98 76,02 93,74 132,62 0 104 119,19 80,60 61,23 62,86 94,51 3 610 0 120,56 85,58 75,44 93,26 132,30 3 610 104 118,97 80,19 60,55 62,03 94,01 52 Количественное влияние статического нагружения на обе формы потери устойчивос- ти (дивергенцию и флаттер) в случае 0 0  , 5n  проиллюстрировано графически на рис. 4.2 а, б. Здесь показаны траектории действительных и мнимых частей всех 4-х безразмерных ( 0/l k  ) корней характеристического уравнения (2.3) при изменении скорости движения жидкости в пределах 4,175 6,68U  и 1,67 6,68U  . Рис. 4.2, а при этом соответствует незагруженной статическими усилиями оболочке, а рис. 4.2, б – оболочке, подверженной комбинированному нагружению 6 4 0 0( 3 10 Па, 10 Па).N q   Рис. 4.2 Отметим, что дивергентная неустойчивость оболочки в обоих случаях реализует- ся в области (АВ), причем эта область вследствие действия внешней нагрузки сущест- венно расширяется. Одновременно происходит ее смещение в область меньших ско- ростей потока жидкости. Флаттер оболочки, в свою очередь, наступит при CU U и, как видно из рис. 4.2, б, неустойчивость этого вида при статическом нагружении реали- зуется при значительно меньших скоростях по сравнению со случаем 0 00, 0.N q  При 0 0  критические скорости дивергенции нагруженной оболочки не изменятся (будут такими же, как и в случае 0 0).  Критические скорости флаттера при относи- тельно малом коэффициенте демпфирования, как уже отмечалось ранее в §2, практиче- ски совпадут с критическими скоростями дU на правой границе дивергентной области. При этом установлено, что эффект «дестабилизации» в большей степени проявляется тогда, когда оболочка свободна от внешних нагружений. Это непосредственно следует из сравнения соответствующих траекторий частот, приведенных на рис. 2.8 и 4.2, по- строенных, соответственно, при отсутствии и наличии внешних давлений на оболочку. Сравнительная характеристика величин частотного параметра 1 1Res   , опреде- ляющего «темп» возрастания амплитуд колебаний статически сжатых оболочек в об- ласти дивергенции 1 ( )A BU U U  (см. рис. 2.8) и флаттера 1 ( )BU U , представлена на рис. 4.3. Рис. 4.3, а построен при нагружении вида 0 00, 0,29;q N  рис. 4.3, б − при 0 00, 15N q  Па; рис. 4.3, в − при 0 015, 0,29.q N  При построении использованы 53 следующие безразмерные параметры: 0 0 0 0 0 0, ,q q q N N N   где 0q , * 0N − величины критических нагрузок, которые выражаются следующим образом [7]: 2 2 0 1( ) ( ) ,q h Rs  * 2 2 0 1 1( ) .N   Нагрузки 0q , * 0N отвечают здесь стати- ческой потере устойчивости заполнен- ной жидкостью оболочки по низшей осевой форме 1 l  при изолирован- ном действии каждой из них, т.е. при 0 0,q  * 0N =0 и 0 0,q  * 0N  0, соответ- ственно). Во всех случаях предполага- лось 4n  , 0 = 0,108 0 0 1 01( / (2 )m   [33]). Из результатов рис. 4.3 также сле- дует, что действительная часть характе- ристического показателя 1 принимает максимальные значения при комбиниро- ванном (совместном продольно-попе- речном) нагружении. В других случаях (в большей степени это относится к дей- ствию радиального давления) величина 1max ( Re ) всегда ниже соответствующих параметров, показанных на рис. 4.3, в. 4.2. Оболочки с жидкостью при действии набегающей волны давления. В послед- ние годы все более актуальными становятся практически важные задачи об устойчивости и закритическом деформировании взаимо- действующих с внутренним потоком жид- кости оболочек, испытывающих одновре- менно действие внешних подвижных ударных нагрузок в сочетании с внешним статическим давлением (рис. 4.4). Особенностью этих задач является то, что потеря устойчивости несущей конст- рукции может быть вызвана как влиянием неконсервативных гидродинамических сил, инициируемых протекающей жидко- стью, так и воздействием на объект волны давления, распространяющейся вдоль оси, или в поперечном направлении [7, 12, 15]. Ниже при изучении потери устойчи- вости несущей оболочки (для определен- ности полагаем ее изотропной) использу- ем линеаризованные динамические урав- нения типа (1.7) 2 2 2 2 4 40 1 02 2 2 2 1 1 1 ; ,гq R PD w w w q w w h R x t t h y h h E R x                         (4.5) где 4  известный дифференциальный оператор; 1q − интенсивность волновой на- грузки, обусловленной действием ударной волны, распространяющейся в продольном направлении; остальные обозначения общепринятые. В работах [7, 12,15 и др.] изло- жены различные подходы к определению функции давления 1q . В большинстве прак- тических случаев при расчетах используется следующая формула: Рис. 4.3 Рис. 4.4 54     2 1 , 2 ct x c ф c cw q q e H ct x c w t R          (4.6) где фq – давление на фронте волны;  – показатель экспоненты, определяющей закон изменения давления за фронтом; c – скорость распространения волны в окружающей оболочку среде; c – плотность среды; H – функция Хевисайда. Для изучения характерных особенностей динамического поведения рассматри- ваемой оболочки в момент потери устойчивости можно использовать упрощенную аппроксимацию прогиба w в форме (4.2) (предполагается выполнение на краях оболочки условий свободного опирания). Система разрешающих уравнений, по- лученных в результате применения к системе (4.5) с учетом (4.6) метода Б − Г, примет тогда следующий вид: 1 11 1 1 1 1 3 11 1 12 3 3 33 3 3 3 2 1 21 1 22 3 ( ) ( ) ; ( ) ( ) f f f Uf p t f p t f f f f Uf p t f p t f                       (4.7) 2 2 2 0 1 ; ; 2 c kk kk kk k k k c U h m R                   2 0 1 k km    4 2 0 2( , ) ; ( , ) k k k E q RsD s h R s h             0 0 1 ;nk k k K m h      0 0 ;k nk nk k K h m     0 0 0 ; ;c k k k k k c hm m         2 2 2( , ) ( ) ;k ks s    0 0 1 2 2 1 01 2 02 1 16 1 16 1 ; ; 3 3n nK K m hl m hl          1 1 2 ( ) ( 1, 3); ( ) ( ) n k nk n k n k I R K k I R I R        2 11 1 12 2 21 2 22 3 01 01 02 02 2 ( ) ; ( ) ; ( ) ; ( ) ; ; ct фs Rq eT T T T p t H p t H p t H p t H T m m m m lh         1 1 2 H   ( 1)cte  e− 2 2 1 1 2( 4 )   1 1 1cos2 2 sin 2 ;cte ct c t             2 1 1 12 2 1 1 1 12 2 1 1 1 cos sin 2 1 cos3 3 sin 3 ; 9 ct ct H ct ct e ct ct e                                 (4.8) 3 1 2 H   ( 1)cte  e− 2 2 2 1 2( 4 )   2 2 2cos2 2 sin 2 ;cte ct ct         22 . ct фs Rq e T l h       55 Из (4.7), (4.8) и материалов §2 настоящего обзора следует, что при отсутствии ударной волны ( 1 0)q  наиболее ранняя потеря устойчи- вости оболочки по типу дивергенция произойдет при скорости потока жидкости min дU U  1 1 2 3min( , )    . Флаттерная неустой- чивость наступит при скорости U , определяе- мой из уравнения (2.16) , если 0 0  , или, в случае малого демпфирования, − при фU U  1 1 2 3max ( , ).    На рис. 4.5 показано взаимное расположение критических скоростей ких скоростей дивергенции (кривые 1 и 2) и флаттера (кривая 3), соответствующие различным значениям волнового параметра n ( 2 7n  ) (рассматривалась оболочка с параметрами (2.18)). Такие графики харак- терны для всех рассмотренных в предыдущих главах данного обзора задач об устой- чивости взаимодействующих с жидкостным потоком оболочек в предположении, что отсутствует демпфирование 0( 0)  . Из графиков можно сделать вывод о том, что ми- нимальной скорости флаттера фU соответствует момент, когда выполняется условие 1 2 1 3/ /    . Кроме того, при каждом значении параметра n скорость фU всегда превышает скорости (1) дU и (2) дU , причем с ростом n , начиная с n = 5, происходит сближение величин фU и (1) дU . При относительно больших параметрах n эти величи- ны практически совпадают. При учете в исходных уравнениях малого демпфирования практически совпадут величины фU и дU как при малых так и при больших значениях волнового параметра n . При 5n  имеет место равенство (2) ;ф дU U при 5n  выполняется условие (1) .ф дU U При действии на оболочку ударно-волновой нагрузки (жидкость в оболочке не- подвижна) задача об устойчивости системы сводится к исследованию системы урав- нений с переменными коэффициентами: 1 1 1 1 1 11 1 12 3 3 3 3 3 3 21 1 22 3 2 2 0 ( ) ( ) ; ( ) ( ) . 1 , 1, 3. 2 c k k k f f f p t f p t f f f f p t f p t f c k h m R                            (4.9) Построение в аналитическом виде решений этих уравнений затруднительно из-за отсутствия соответствующего метода. Поэтому используется метод численного ин- тегрирования, ориентированный на поиск такого сочетания параметров системы (ско- рости распространения волны c , параметров волнообразования 1 2, , s  ), при кото- ром будет иметь место наибольшая реакция оболочки на внешнее динамическое и статическое воздействия. Если при этом упростить задачу, приняв 1 / l  и 2 2 / l  , то динамический прогиб (4.2) при потере устойчивости будет, в данном случае, в начальные моменты времени возрастать по законам, близким к представлен- ным на рис. 2.3. Кроме того, интегрирование уравнений (4.9) методом Рунге − Кутта показывает, что темп возрастания во времени прогибаw пропорционален параметру  , определяющему «крутизну» изменения давления за фронтом волны. При совместном действии обоих факторов − внутреннего потока и подвижной волны (уравнения (4.7)) – поведение оболочки при потере устойчивости существенно Рис. 4.5 56 зависит от соотношений между скоростями U и с. Наиболее неблагоприятной ситуации (максимального возрастания во времени прогиба) следует ожидать при критических скоростях жидкостного потока, в которых реализуется неустойчивость дивергентного или флаттерного типа (вследствие взаимодействия с жидкостным потоком), с одной стороны, и одновременно происходит неустойчивость из-за влияния набегающего фронта волны – с другой. В заключение отметим, что ограничение амплитуд динамического деформирования несущей оболочки как при изолированном, так и при совместном действии перечис- ленных выше источников, обусловливающих неустойчивость, произойдет при учете в исходных уравнениях этой оболочки тех или иных нелинейных факторов. §5. Нелинейные колебания цилиндрических оболочек при взаимодействии с жидкостным потоком. 5.1. Построение усредненных уравнений, описывающих флаттерные колеба- ния оболочек. Как ранее отмечено, в момент потери устойчивости оболочки по типу флаттер возникнут ее неосесимметричные изгибные колебания с увеличивающимися во времени амплитудами. Ограничение этих амплитуд произойдет вследствие влия- ния на динамический процесс нелинейных факторов − геометрической нелинейности и нелинейного демпфирования. В работах [33 − 36 и др.] рассмотрены нелинейные задачи об определении пара- метров колебаний взаимодействующих с потоком жидкости цилиндрических оболо- чек в закритических областях, т.е. при фU U . Методика решения таких задач пред- полагает предварительное сведение с использованием метода Б − Г исходной кон- тинуальной модели оболочки к некоторой конечномерной системе нелинейных обык- новенных дифференциальных уравнений. Для определения решений этих уравнений применялись непосредственно современные, ориентированные на компьютерный анализ, численные методы (программный пакет AUTO [39, 33 и др.]), в результате чего устанавливались конкретные численные значения максимальных амплитуд и частот колебаний, соответствующих каждой из учитываемых в функции прогиба из- гибных форм; строились амплитудно-частотные характеристики для свободных и вы- нужденных колебаний; определялись области устойчивости (неустойчивости) полу- ченных стационарных решений; строились фазовые портреты, позволяющие устано- вить «регулярность» или «хаотичность» возникающих при потере устойчивости коле- бательных процессов, и т.д. Однако, несмотря на то, что численные методы являются наиболее универсаль- ными методами решения нелинейных задач динамики упругих и особенно упруго- жидкостных систем, они не лишены существенных недостатков. Главный из них со- стоит в сложности обобщения и анализа полученных численных результатов, по- скольку указанные методы каждый раз направлены на решение конкретных приме- ров. В этой связи актуальной представляется разработка аналитических методов ре- шения систем разрешающих уравнений (1.14) (или их упрощенных вариантов (1.18) и (1.19)).Эти системы принадлежат к классу квазилинейных систем, поскольку нели- нейные члены в них являются малыми по сравнению с линейными членами. Для по- строения таких решений наиболее эффективным представляется применение разрабо- танного Н.Н. Боголюбовым и Ю.А. Митропольским асимптотического метода, ориен- тированного на исследование одночастотных режимов в нелинейных системах со многими степенями свободы [4, 56]. Как показано в [44, 56], все три сформулирован- ных в [4] условия, необходимые для применения данного метода к нелинейным сис- темам типа (1.14) (или упрощенных их вариантов), полностью выполняются. Проиллюстрируем кратко применение этой методики применительно к автономной системе (1.14), полагая в ней 1 0,nmQ  2 0nmQ  ( 0,1, 2, ... , 1, 2, ...).n m  Для удобст- ва изложения методики представим эту систему в виде  2 2 ( ) 1 ( ) { }, { } ( 1, 2, ...),k k k k k k k q q k p p q f U f f U f F f f k               (5.1) 57 т.е. вместо двух индексов m и n используем один «суммарный» индекс k . Отметим, что параметры ( )k q можно здесь всегда представить так: ( )k q = (1) (2) qk qk  , где (1) (1) ;qk kq  (2) (2) qk kq   . Функции kF имеют, в общем случае, вид ( ) ( ) ( ) ( ) 0 0 0 ( ) ( , const).k k k k k pqr p q r pqr p q r pqr pqr p q r F f f f f f f              (5.2) Для построения одночастотных асимптотических решений общей системы (5.1) рассмотрим в соответствии с [4] соответствующую ей невозмущенную систему 2 2 ( ) 1 ( ) 0 ( 1, 2, ...),k k k k k k k q q q f U f f U f k              (5.3) полученную из (5.1) при kF 0 ( 1, 2, ...).k  Эта система не имеет «статических» решений, отличных от тривиального (случай 2 2 0k kU   соответствует неколеба- тельным, типа дивергенция, формам деформирования [6, 56] и поэтому из рассмотре- ния исключается). Кроме того, вследствие учета демпфирования внутренние резонан- сы в системе (5.3) будут отсутствовать. И, наконец, третье условие применимости одночастотного метода требует существования описываемых уравнениями (5.3) неза- тухающих гармонических колебаний, зависящих от двух произвольных постоянных. Такие колебания возможны лишь при определенных значениях скоростей U , а имен- но, при .фU U Величину фU и соответствующую ей частоту указанных колебаний ф следует определить из составленного для (5.3) характеристического уравнения \|\| (− 2 2 2 )ф k k ф k ф jk jk ф фU i U i           \|\| = 0 ( , 1, 2, ...), 1.j k i   С учетом всех изложенных выше предположений и замечаний ( )( )k jk j  одно- частотное, с базовой частотой ф  , решение уравнений (5.1) в соответствии с [4, 56] на уровне первого приближения можно представить в виде ( )i i k k kf a e e     ( 1,2,...)k  , (5.4) где k  нетривиальные решения системы уравнений  2 2 2 1 0ф k k ф k ф jk jk ф ф j j U i U i                   ( , 1,2,...)k j  ; k – комплексно-сопряженные величины; a и   неизвестные функции времени, определяемые из уравнений 1( ); da A a dt  1( ).ф d B a dt     (5.5) Здесь   формально введенный малый параметр (0 1)  (этому же параметру предполагаются пропорциональными и нелинейные функции (...)[23]).kF Неизвестные величины 1 1( ), ( )A a B a  определяются по специальной методике, изложенной в [4, 56]. Подставляя (5.4) в систему (5.1) и, учитывая (5.5), после группирования членов при ie  получим систему уравнений 2 2 2 1 1 ( ) ( )k ф k ф k ф k ф ф jk j k j U i a i U a G a                3 1 1 1 1 1 ( ) ( ) (2 )k k ф k k ф jk j j G a M a A iaB i U                       58 1 1 (2 ) ( 1, 2, ...) .k ф k ф jk j j U i a k              Здесь обозначено: 1 1;ф kU U M   – постоянные коэффициенты в разложении функций kF по гармоникам 3 3 3 3 3 3 11 1 1; i i i i kk k k kki F M a e M a e N a e N a e          1 1( ,k kM N  комплексно-сопряженные величины). Для существования периодических решений kf и однозначного определения функ- ций 1 1,A B необходимо и достаточно выполнение условия [4, 6, 44, 56] 1 1 ( ) 0,k k k G a     (5.6) где k – нетривиальное решение сопряженной по отношению к линейной части сис- темы (5.1) системы 2 2 2 1 ( ) 0 ( 1, 2, ...).k k ф ф k ф jk kj ф ф j j U i U i k                   В результате из соотношения (5.6), выделяя действительную и мнимую части, по- лучаем выражения для искомых величин 1 1( ), ( )A a B a  3 2 1 11 1 12 1 21 1 22( ) ; ( ) ,A a a a B a a           (5.7) где коэффициенты jk имеют вид [56] 11 3 5 4 6 12 1 3 2 42 2 0 0 2 2 2 21 3 6 4 5 22 2 3 1 4 0 3 42 2 0 0 1 1 ( ); ( ); 1 1 ( ); ( ); . k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k               (5.8) Здесь 1 6, ... ,k k – действительные параметры, определяемые из равенств 1 1 2 5 6 1 1 1 3 4 1 1 ; (2 ) ; (2 ) . k k k ф k ф jk j k k k j n ф k k ф jk j k k j M k ik U i k ik i U k k                                       Аналогичные (5.7) соотношения можно получить, приравнивая в (5.6) члены при .ie  Таким образом, выведены уравнения, позволяющие определять на уровне первого приближения амплитуды и фазы колебаний, описываемых системой (5.1) вблизи грани- цы динамической (флаттерной) потери устойчивости (когда «расстройка» скоростей 1 фU U   является малой, пропорциональной параметру  величиной). Установившиеся незатухающие колебания здесь возможны при выполнении условий 11 0,  12 0,  ко- торые в случае фU U обычно выполняются для реальных, заполненных жидкостью оболочечных (оболочки средней длины) систем [45, 46, 58]. Амплитуда стационарных флаттерных колебаний оболочки 0a в общем случае будет такой: 0 11 1 12( ) .a     (5.9) 59 Соответствующая частота этих колебаний равна: 2 0 21 1 22 0( ) .ф фa a       (5.10) Из последнего соотношения следует, что в зависимости от знака параметра 22 частота нелинейных колебаний (автоколебаний) с увеличением их амплитуды может либо увеличиваться (при 22 >0), либо уменьшаться (при 22 < 0). Вместе с тем, час- тота соответствующих линейных (не зависящих от амплитуд) колебаний при измене- нии «расстройки» скоростей 1 будет смещаться в одну или другую стороны от ис- ходной величины ф (смещение будет отсутствовать лишь на границе флаттерной зоны, т.е. при фU U ). 5.2. Одночастотные автоколебания оболочки при упрощенной аппроксимации прогиба. Мягкий и жесткий режимы возбуждения. Пусть w имеет вид (1.16) с уче- том (1.17). При выводе уравнений, составленных относительно доминантных коорди- нат 1f и 3f , учтем (в отличие от (1.19)) нелинейности до 5-й степени включительно. В этом случае правые части уравнений (1.19) будут иметь при 0q  вид 3 2 5 4 3 2 2 2 11 1 1 2 1 3 5 1 6 1 3 7 1 3 1 1 2 1 3 2 5 4 3 2 2 2 33 3 3 4 3 1 8 3 9 3 1 10 3 1 2 2 1 2 (3 ) ; (3 2 ) . F f f f f f f f f d f f f F f f f f f f f f d f f f                             Здесь 1 10, ... ,  – постоянные, характеризующие геометрическую нелинейность оболоч- ки; 1 2,d d – параметры нелинейного демпфирования, полученные в результате учета в правой части первого уравнения (1.7) известного выражения [5]: 2 0 0 0( ) ,F h w w     где 0 00, 0.h   При этом 03 16 ;k okd h m  0 ( 1, 2).k okm k   Используя изложенную в п. 5.1 методику, получаем следующие уточненные ус- редненные уравнения для определения амплитуды a и фазы  в решении (5.4): 3 5 2 4 11 1 12 13 21 1 22 23; .ф da d a a a a a dt dt                (5.11) Здесь 13 23,  – обусловленные нелинейностями пятого порядка постоянные коэффици- енты, пропорциональные малому параметру  , остальные параметры совпадают с (5.8). Из (5.11) следует, что установление амплитуд автоколебаний оболочки будет происходить при 2 12 1 11 134    в соответствии с уравнением 2 2 2 22 01 00 0212 2 2 2 2 2 2 2 00 13 01 02 02 00 01 2 2 2 2 01 02 1 112 2 2 2 00 02 00 01 ( )( )1 ln ln 2 ( ) ( )( ) ( )( )1 ln 2 , 2 ( )( ) a a a aa a a a a a a a a a a a t a a a a                  (5.12) 2 212 01 12 1 11 13 13 13 2 212 02 12 1 11 13 00 13 13 1 4 ; 2 2 1 4 ; (0) . 2 2 a a a a                             (5.13) Анализируя выражение (5.12) устанавливаем, что колебания оболочки с началь- ной амплитудой 00 01a a со временем будут постепенно затухать. При 00 01a a ам- 60 плитуды ( )a t стремятся к стационарному решению 02a (5.13). Отметим, что действи- тельные значения стационарных амплитуд 01 02,a a возможны в рассматриваемом слу- чае при 13 0  . Таким образом, возбуждение жидкостным потоком колебаний оболочки может быть реализовано как при фU U , так и при фU U , т.е. в докритической области. Такая ситуация обусловлена специфическим влиянием геометрических нелинейно- стей пятого порядка [55] (в случае линейной системы или при учете нелинейностей третьего порядка вида (5.2) потеря устойчивости колебательного типа возможна лишь при фU U ). Если 2 12 1 11 134    , то уравнение (5.12) не будет иметь других устой- чивых стационарных решений, кроме тривиального решения. Итак, при учете нелинейностей высокого (выше третьего) порядка, в зависимости от параметров связанной системы оболочка – жидкость, наряду с «мягким» возбуждени- ем автоколебаний несущей оболочки, возможно также «жесткое» возбуждение, наблю- даемое в докритической (с точки зрения линейной теории) области, т.е. при фU U . Рис. 5.1 61 Рис. 5.1 иллюстрируют фазовые портреты ( , )k kdf dt f   и отвечающие им графические представления 1( )A a , вытекающие из (5.11), построенные для двух типов возбуждений: «мягкого» (рис. 5.1, а) и «жесткого» (рис. 5.1, в). Как видно, в первом случае система (5.11) характеризуется одним устойчивым предельным циклом, во втором – двумя предельными циклами, из которых цикл 1 является неустойчивым, 2 – устойчи- вым. Предельный случай, реализуемый при 2 12 1 11 134    , изображен на рис. 5.1, б. Если ограничиться учетом нелинейностей до третьего порядка 13 23( 0, 0),   то после интегрирования (5.11) получим сравнительно простое решение для ( )a t : 11 1 11 1 22 2 00 11 1 22 11 1 12 00 (1 ) t t a e a a e             , (5.14) Из соотношения (5.14) следует, что при 11 1 0   единственным устойчивым ста- ционарным решением для a будет тривиальное решение 0a  . В свою очередь, при 11 1 0   устойчиво решение 2 11 1 12( ) ,a     к которому независимо от значения 00a будут стремиться амплитуды колебаний ( )a t . В работе [56] изложены методики построения улучшенного первого и более высо- ких приближений для определения уточненных одночастотных решений системы (5.1). Все представленные выше особенности нелинейного по типу флаттер деформиро- вания несущих жидкость оболочек окажут влияние и на значения частот автоколеба- ний (5.10) при изменении амплитуд. В зависимости от параметров совокупной систе- мы оболочка − жидкость и величин «расстройки» 1 фU U   возможны самые раз- личные варианты проявления «неизохронности» колебаний, аналогичные тем, кото- рые характерны для колебаний соответствующих «сухих» оболочек [9, 22, 23 и др.]. §6. Вынужденные нелинейные колебания оболочек при взаимодействии с жидкостным потоком. 6.1. Одночастотные решения неавтономных уравнений колебаний оболочек. Резонансный случай. Изложенный в §5 подход используем для расчета одночастот- ных колебаний несущих жидкость оболочек при действии на них внешних периоди- ческих нагрузок, неравномерно распределенных по боковой поверхности. Вместо раз- решающих уравнений (5.1) в данном случае имеем такую систему:  2 2 ( ) 0 1 ( ) { }, { } cos ( 1, 2, ....).k k k k k k k q q k p p k q f U f f U f F f f Q t k                 (6.1) Как и ранее, будем строить периодическое решение уравнений (6.1) при значени- ях скоростей потока фU U . При этом рассмотрим резонансную ситуацию вида ф   , представляющую наибольший практический интерес с точки зрения динами- ческой напряженности конструкции из-за максимальных амплитуд колебаний. Неиз- вестные функции kf представим в форме, аналогичной (5.4), т.е. ( ),i i k k kf a e e     (6.2) где 0t    , а амплитуда a и фаза  должны быть, в отличие от (5.5), определе- ны из системы уравнений 1 0 1( , ); ( , ),ф da d A a B a dt dt         (6.3) в которой функции 1 1,A B находим из соотношения (5.6), записанного с учетом (6.2) и равенства    cos cos sin cos sin 2 i ik k Q Q t i e i e            . (6.4) 62 Отметим, что периодическое воздействие (6.4) предполагается величиной, имеющей по- рядок нелинейных сил в системе (6.1), т.е. пропорциональной малому параметру [4]. В конечном результате получим такие решения [44, 45]:     3 1 11 1 12 1 1 2 1 21 1 22 1 1 ( , ) cos sin ; 1 ( , ) cos sin . A a a a R S B a a S R a                       (6.5) Здесь использованы обозначения, примененные в предыдущей главе; постоянные па- раметры 1R и 1S , соответственно, равны [58] 1 3 2 4 2 3 1 4 1 12 2 0 0 ; q k q k q k q k R S k k     1 2 1 1 Re ; Im ; . 2 k k k q T q T T Q             (6.6) Приравнивая правые части (6.3) нулю, выводим с учетом (6.5) АЧХ для стацио- нарных режимов [44, 58] 2 2 2 2 0 21 1 22 11 1 122 ( ) , Q a a a             (6.7) где 2 2 2 1 1 0 0; .фQ R S      Решения 0( )a a  этого уравнения будут устойчивы, если удовлетворяют одновременно таким двум критериям [4, 44, 56]: 1 1A B a       <0, 1 1 1 1A B A B a a           >0, из которых следуют такие условия: 2 2 0 / 2;a a 2 2 2 2 11 1 12 11 1 12 22( 3 )( ) ( ) 2 ( ) 0.a a H a H a a           (6.8) Здесь 2 2 0 21 1 22 0 11 1 12( ) ; /H a a a           ; 0a – амплитуда установившихся авто- колебаний несущей оболочки, возникающих в ней при отсутствии внешнего периоди- ческого воздействия ( 0)q  с учетом условия 11 1 12/ 0.   Из (6.7), (6.8) следует, что устойчивый одночастотный (с частотой 0 ) режим ко- лебаний оболочки при фU U возможен лишь в некотором узком интервале частот  , близких к частоте ф [9, 44]. При этом амплитуды резонансных колебаний всегда будут превышать величину 0 / 2.a Ниже этой величины установившиеся вынужден- ные резонансные колебания оболочки будут всегда неустойчивы. Второй критерий (6.8) представляет в координатах 0,a  некоторый эллипс, пересекающий АЧХ (6.7) в точках, где касательные к ней вертикальны [22]. Эти точки и разделяют устойчивые и неустойчивые участки АЧХ (при условии 0 / 2a a ). На рис. 6.1 показан общий вид АЧХ 0( )a a  , построенных на основании уравнения (6.7) при выполнении условий 1 0( )a  и 1 0( ),б  соответственно [68]. В обоих случаях предполагалось 11 120, 0,   что, как отмечалось ранее, обычно выполняется для оболочек средней длины. Устойчивые участки кривых обозначены сплошными линиями, неустойчивые − штриховыми. Кривые 1, 2, 3 построены при различных значениях амплитудного параметра внешней силы Q : 1 2 3, ,Q Q Q , причем 3 2 1.Q Q Q  Параметр частотной «расстройки» 01 в обоих случаях равен 01 = 21 1.  Показанная на рис. 6.1, а АЧХ является типичной для нелинейных неавтоколеба- тельных систем с одной степенью свободы с «мягкой» характеристикой нелинейной восстанавливающей силы [9, 22, 23]. Качественно иную форму имеют АЧХ, приве- денные на рис. 6.1, б. А именно, при относительно малых значениях Q 2( )Q Q уравнению (6.7) соответствуют две «изолированные» одна от другой частотные харак- 63 а б Рис. 6.1 теристики 0( )a a  (кривые 1). Соприкосновение этих характеристик произойдет при 3 2 2 0 22 11 22 1 12 0( )( )Q Q           , где 0 0   21 1  . Амплитуда a в точке соприкосновения равна: 2 0 22/a a    . В целом, представленный на рис. 6.1, б режим устойчивых стационарных колебаний именуют иногда режимом «принудительной синхронизации» или режимом «захваты- вания» автоколебаний с частотой ф вынужденными колебаниями, реализуемыми с частотой 0 [9, 22,45]. 6.2. Бигармонические режимы колебаний несущей оболочки в околорезонанс- ной области. В областях неустойчивости (6.8) моногармонического режима (6.2), которые могут быть нарушены непосредственно в резонансной зоне, следует по аналогии с теорией классических (с механизмом «отрицательного» трения) автоколебательных систем [9] ожидать реализации двухчастотного режима [22] – появления сложных колебаний оболочки с двумя частотами: частотой внешнего возбуждения 0 и частотой собственно автоколебаний ф . При построении двухчастотных решений здесь также можно использовать идею применявшегося в предыдущем разделе одночастотного асимптотического метода Б − М. При этом необходимо предварительно преобразовать систему исходных разрешающих уравнений к виду, который удовлетворял бы всем требованиям для применения указанного метода. Рассмотрим, к примеру, двухмодовую расчетную модель несущей оболочки в виде (1.19), приняв для упрощения 3 0,Q  т.е. 1 11 1 1 1 1 3 11 1 3 1 0 3 33 3 3 3 2 1 33 1 3 ( , , ) cos ; ( , ), f f f Uf F f f Q t f f f Uf F f f                       (6.9) Тогда поставленную задачу решает замена переменных [4, 9, 22] 1 1 0 1 0 1cos sin ;f M t N t z     3 2 0 2 0 3cos sin ,f M t N t z     (6.10) где 1 2 1 2, , ,M M N N − постоянные величины, удовлетворяющие системе алгебраиче- ских уравнений 2 11 0 1 1 0 2 1 0 1 1( ) ;M U N N Q        2 1 0 1 11 0 1 1 0 2( ) 0 ;M N U M          64 2 2 0 1 22 0 2 2 0 2( ) 0;U N M N        (6.11) 2 2 0 1 2 0 2 33 0 2( ) 0.U M M N         Функции 1 2,z z представляют новые переменные, подлежащие определению. Решения уравнений (6.11) имеют вид 1 11 00 1 22 00 2 33 00; ; ;M N M         2 44 00 ,N    с учетом обозначений 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 4 4 2 2 4 2 4 00 1 2 2 0 1 2 1 2 0 2 1 0 1 2 0 1 2 0 1 2 1 2 0 2 2 2 2 2 11 1 1 2 1 2 2 0 1 2 0 ( ) 2 ; ; p p p p U p U U Q p p p U p                                       2 2 2 2 2 2 22 1 2 1 1 2 2 0 1 2 0 33 1 2 0 2 1 1 2 2 2 2 2 2 44 1 2 0 1 2 1 2 0 1 2 0 1 11 0 2 33 0 [ ]; ; ( ) ; ; . Q p U Q U p p Q U p p U p p                                         Нелинейные уравнения, составленные относительно неизвестных функций 1 1( ) ,z z t 2 2 ( )z z t , можно записать так [9]: 1 11 1 1 1 1 2 11 ;z z z U z F        2 22 2 2 2 2 1 22 .z z z U z F        (6.12) Для решения этих уравнений уже можно применять метод Б − Г, ориентирован- ный на построение одночастотных режимов колебаний. В их правой части представ- лены пропорциональные малому параметру  нелинейные функции 11 22,F F , полу- ченные в результате подстановки замены (6.10) в правые части системы (6.9). Оче- видно, что эти функции зависят от параметров, характеризующих геометрическую нелинейность оболочки, а также и от «амплитудных» параметров 1 1 2 2, , ,M N M N , порожденных внешним нагружением, и от времени t [9]. Последующая схема решения задачи аналогична изложенной в п. 6.1. При этом предполагается, что частота 0 не близка и не кратна по отношению к частоте авто- колебаний ф (т.е. субгармонические резонансы отсутствуют). Решение уравнений (6.12) по аналогии с (6.2 ) можно представить на уровне первого приближения в виде 1 1 1( ) ( 1, 2),i i k k kz a e e k      (6.13) где, как обычно, k – собственные функции ( k  комплексно сопряженные величи- ны); 1 1ф t    , ф – частота автоколебательной слагаемой, которую находим из составленного для линеаризованной системы (6.12) характеристического уравнения. Уравнения для определения неизвестных величин – амплитуды 1a и фазы 1 – при- мут, в отличие от (6.3) несколько иную форму [4] 1 1 11 1 11 1( ); ( ).ф da d A a B a dt dt      (6.14) Функции 11 1( )A a и 11 1( )B a находим, используя приведенное ранее условие «орто- гональности» (5.6). В результате получим 3 2 11 1 11 1 1 12 1 13 1 11 1 21 1 22 1 23( ) ; ( ) .A a a a a B a a             (6.15) Здесь jk ( , 1, 2)j k  − постоянные коэффициенты, которые совпадают с соответствую- щими коэффициентами в соотношениях (5.11); 13 23,  – зависящие от амплитуды 1Q внешнего возбуждения постоянные параметры, причем 13 1 1Re ( );T Q  23 1 1Im ( ),T Q  65 где    2 2 2 2 1 0 2 0 1 1 4 0 3 0 2 2 1 2 1 2 2 2 1 3 1 2 1 1 1 1 2 2 2 2 1 2 1 2 1 0,5 (3 ) (3 ) ; (2 ) (2 ) ( )ф ф ф A B B A M M N N T i i U                                          1 2,  – собственные функции линейной системы, сопряженной с соответствующей системой (6.12), 2 2 0 1 1A M N  , 2 2 0 2 2B M N  . Таким образом, как следует из (6.14), (6.15), стационарная амплитуда «флатте- рной» компоненты нерезонансных колебаний оболочки 1a выражается следующим образом: 11 1 13 132 1 0 12 12 ,a a             (6.16) а частота этих колебаний 1 в зависимости от амплитуды будет выражаться так: 1 1( )a  2 21 1 22 1 23ф a       . Процесс установления стационарных колебаний будет происходить согласно закону 11 11 22 2 2 11 10 1 1 2 2 11 12 10 ( ) (1 ) t t a e a a t e a          11 11 1 13 10 1( , (0))a a      . (6.17) Таким образом, процесс деформирования несущей оболочки, выражаемый соот- ношением (1.16), в нерезонансной области соответствует наложению следующих трех компонент: 1 0 2 0 0( , , ) ( , , ) ( , )w w t x y w t x y W t x     (6.18)   1 0 10 1 0 20 2 2 1 1 2 2 cos( )sin cos( )sin cos ; ( )sin ( )sin cos , w A t x B t x sy w z t x z t x sy                   причем 10 20,  − постоянные фазы, определяемые из соотношений 10 1 1tg ;N M  20 2 2tg N M  ; 0 0( , )W t x − «корректирующий» осесиметричный прогиб, имеющий вид (1.17). Первая компонента в (6.18) 1w характеризует чисто вынужденные колебания обо- лочки, частота которых совпадает с частотой внешнего возбуждения 0. «Автоколеба- тельная» слагаемая 2w общего колебательного процесса (6.18) будет известной, если построено периодическое решение (6.13) системы (6.12), т.е. если будут определены функции 1z и 2z . Из (6.16), (6.17) следует, что при условии 11 1 13 0    амплитуда 1a флаттер- ных колебаний со временем t будет стремиться от задаваемого начального значения 10a к нулю. В итоге в общем решении (6.18) при установлении останется только пе- риодическая (с периодом 02T   ) компонента. Такой режим обычно называют режимом «асинхронного гашения» колебаний. Если 11 0  , колебания оболочки будут происходить одновременно с двумя частотами 1 и 0. Устойчивость двухчастотного режима регламентируется исполнением лишь одного критерия 2 11 1 13 12 13 0.a      Таким образом, действие гармоничной силы на оболочку при взаимодействии ее с движущейся жидкостью, в общем случае может привести к возбуждению одночастот- ного режима синхронизации, который реализуется непосредственно в резонансной 66 области, а также к появлению в зоне неустойчивости указанного одночастотного ре- жима бигармонических колебаний с различными некратными частотами. Кроме того, при определенных условиях в области неустойчивости возможен также специфиче- ский режим «асинхронного гашения» колебаний. §7. Устойчивость и колебания оболочек при пульсирующей скорости движе- ния жидкости. 7.1. Вводные замечания. В большинстве случаев скорость движения жидкости U в оболочечных конструкциях предполагается постоянной величиной ( 0 const)U U  . Значительно меньше внимания уделялось весьма важной проблеме взаимодействия оболочек с жидкостью, движущейся с переменной во времени скоростью. Изменение во времени скорости жидкостного потока может быть обусловлено, например, «пуль- сирующими» режимами работы компрессоров, насосов, других нагнетательных уст- ройств, предназначенных для создания соответствующего переменного давления в несущем упругом объекте на одном из его краев. В работах [8, 26] рассмотрены некоторые задачи, посвященные исследованию ус- тойчивости цилиндрических оболочек при взаимодействии с «пульсирующим» пото- ком жидкости. Скорость движения жидкости изменялась во времени согласно закону 0 0 0( ) (1 cos ) ( , const).U U t U t       (7.1) Основное внимание в этих работах уделено определению, исходя из анализа линеари- зированных динамических уравнений оболочек, областей их динамической неустой- чивости (ОДН). Ниже изложена и проиллюстрирована численным примером методика расчета закритических, реализуемых после потери устойчивости, нелинейных коле- баний цилиндрических оболочек при наличии пульсаций скорости жидкости в виде (7.1) при условии 0 1.  Как и в предыдущих двух главах, полагаем 0 фU U и од- новременно примем 2 ,ф  т.е. будем исследовать поведение оболочки в области главного параметрического резонанса при скорости потока, близкой к критической скорости флаттера [7, 18, 46]. 7.2. Построение усредненных уравнений. По аналогии с рассмотренными в §§5, 6 задачами для построения приближенного решения системы (5.1), в которой скорость потока U имеет вид (7.1), используем одночастотный метод, обобщенный на случай нелинейных уравнений с переменными параметрами [4, 56]. Представим это решение с учетом сформулированных выше предположений в виде ( ); / 2 ( 1, 2, ...),i i k k kf a e e t k          (7.2) где амплитуда и фаза a и  должны быть определены из системы уравнений 1 1( , ); ( , ). 2ф da d A a B a dt dt          (7.3) Функции 1 1, ,A B как и ранее, получим из построенного с учетом (7.2) условия (5.6) с использованием замены 2 2 0 0cos 2 (cos 2 sin 2 ) (cos2 sin 2 ) .i it i e i e              В итоге уравнения (7.3) можно тогда представить в виде [44, 46, 56]: 3 11 1 12 2 2 2 0 21 1 22 2 2 ( cos 2 sin 2 ) ; 1 ( cos2 sin 2 ), da a a R S a dt d a S R dt a                      (7.4) где 0 1 02 ,ф фU U       ; коэффициенты ( , 1, 2)jk j k  имеют вид (5.8); посто- янные параметры 2 2,R S определяются из равенств 67 3 7 4 8 3 8 4 7 2 22 2 0 0 ; k k k k k k k k R S k k     7( Re );k T 8 0 1 1 Im ; . 2 ф ф k ф k jk j n n j i k T T U a U                     (7.5) Полученные уравнения (7.4) являются исходными и для расчета областей устой- чивости оболочек вследствие влияния пульсаций жидкостного потока, и для опреде- ления характера поведения данных оболочек в областях неустойчивости. 7.3. Устойчивость оболочки при малых градиентах смещений. Области дина- мической неустойчивости оболочки, т.е. частотные зоны, в которых имеет место само- возбуждение колебаний данной оболочки, определяются на основе соответствующего анализа линеаризованных уравнений (7.4). Вводя новые переменные 1u и 1v : 1 0cos( )u a    ; 1 0v sin( )a    ; ( 0 2 20,5 arc tg R S  ) и полагая в (7.4) 12 0,  22 0  , получаем  1 11 1 1 0 21 1 1( ) ( )v ; du M u dt          1 11 1 1 0 21 1 1 v ( ) v ( d M u dt         2 2 2 2 7 8 2 2 2 0 . k k M R S k           (7.6) Анализируя корни характеристического уравнения, составленного для системы (7.6), устанавливаем, что несущая оболочка будет находиться в зоне устойчивости при выполнении двух неравенств [46] 1) 2 11 1 0 21 10 при ( );M       2) 2 2 11 1 0 21 1 0 21 1( ) 0 при ( ).M M             (7.7) Очевидно, что оба критерия (7.7) существенно зависят от соотношений обоих «расстроек» − 0 и 1 . В частности, при условии 11 0  неустойчивость оболочки всегда наступит при 1 0  . Если 1 0  , ОДН определяется так: 1 2 ,    где 1,2 2( ).ф M   Если же 1 0  , областью неустойчивости оболочки будет область 3 4 ,    где 2 2 3,4 21 1 11 12 ( ) .ф M            В качестве иллюстрации на рис. 7.1 приведены ОДН ортотропной оболочки с параметрами (3.14) при 3n  , обусловленные взаимодействием с протекающей жид- костью при наличии пульсаций скорости. При расчете использована шестимодовая аппроксимация прогиба w в виде (1.15). Области A и B построены при 1 0  и 1 0,9м/с   , соответственно, безразмер- ный частотный параметр 2 ф   . Та- ким образом, при 1 0  существует не- который амплитудный «порог» пульса- ций скорости, ниже которого несущая оболочка всегда будет находиться в зоне устойчивости. Этот «порог» определяется формулой [46] 11 1 .M M    Рис. 7.1 68 7.4. Амплитудно-частотные характеристики параметрических колебаний оболочки в зоне демультипликационного резонанса. Полагая, как обычно, 0,da dt  0d dt  на основании исходной системы (7.4) получим АЧХ оболочки, соответст- вующую установившимся режимам колебаний [46] 2 2 2 2 0 21 1 22 11 1 12( ) ( ) ,a M a            (7.8) Полученные при этом стационарные решения 0( )a a  будут устойчивыми (прак- тически реализуемыми), если одновременно выполняются следующие два критерия: 2 2 2 2 12 11 1 12 22 12 11 21 22 1 22 02 0; ( ) ( ) 0.a a                  (7.9) Эти критерии получены исходя из анализа уравнений в вариациях, составленных для исходной системы (7.4). На рис. 7.2, 7.3 представлены АЧХ (7.7) для рассматриваемой оболочки, построенные с учетом условий (7.9) [46]. Здесь использованы безразмерные переменные 0 ,a a h 0 0 .ф   Рис. 7.2 построен при 1 0,9м/с,  0 34,12м/с.U  Кривые 1 – 5 отвечают, соответственно, таким значениям параметра 1 1 1 1 1: 1 ; 5 ; 10 ; 15 ; 20 .M M c c c c c     Традиционно устойчивые участки частотных кривых обозначены сплошными линиями. Рис. 7.2 Рис. 7.3 Таким образом, с увеличением уровня амплитудной модуляции скорости движе- ния жидкости, начиная с малых значений, резонансная зона, в которой реализуются установившиеся незатухающие колебания несущей оболочки, расширяется пропор- ционально росту параметра M . Ниже границы устойчивости MN , которой, как сле- дует из (7.9),отвечает амплитуда a  \|− 11 1 12(2 )  \|, установившиеся одночастотные колебания несущей оболочки при каком-либо заданном значении «расстройки» 1 0  невозможны. Качественно иную форму имеют АЧХ данной оболочки при 1 0  , т.е. в областях ее динамической устойчивости. На рис. 7.3 эти характеристики построены, соответственно, при 1 0,9м/с   (кривая 1); 1 0,5м/с   (2); 1 0,3м/с   (3); 1 0,1м/с   (4); 1 0 (5)  . Амплитудный параметр пульсаций скорости движения жидкости M во всех случаях предполагался равным 120c . С удалением от границы области динамической неустойчивости оболочки проис- ходит некоторое смещение «скелетных» частотных кривых i iO C в сторону увеличе- ния частот параметрического возбуждения (частот пульсаций скорости движения 69 жидкости). Одновременно уменьшаются амплитуды изгибных колебаний оболочки, поскольку поток жидкости в данном случае «демпфирует» колебания этой оболочки. В резонансных областях, где неустойчивы одночастотные колебания оболочек (рис. 7.2), будут реализованы более сложные колебательные режимы, для теоретиче- ского изучения которых необходимо использовать специальные функции, в частно- сти, почти периодические функции типа Матье и Флоке [9]. 7.5. Случай комбинированного нагружения. Если взаимодействующая с потоком оболочка подвергается совместному действию «пульсирующей» гидродинамической нагрузки и поперечного периодического давления, наибольший практический интерес представляет случай «двойного» резонанса, когда 0ф   и одновременно / 2ф  . В этом случае следует ожидать максимальных значений амплитуд колебаний оболочки, что в итоге может привести к появлению опасных напряжений [13]. Амплитуду и фазу установившегося режима при этом надлежит определить из системы уравнений [17, 44] 1 1 2 2 1 1 2 2 ( ) ( cos sin ) ( cos 2 sin 2 ) 0; 1 ( ) ( cos sin ) ( cos 2 sin 2 ) 0 G a R S R S a H a S R S R a                   (7.10) ( 3 11 1 12( ) ;G a a a    2 0 21 1 22( ) ;H a a      0 0ф   , 0 / 2  ). Параметры 1 1,R S и 2 2,R S определяются, соответственно, из формул (6.6) и (7.5). Учитывая 1 2 2 1 0R S S R  и вводя обозначения 2 2 2 ( 1, 2);k k kM R S k   ( )K a  2 2 2 2 2 2G H a M a   , из (7.10) получим, в общем случае, уравнение, устанавливающее зависимость стационарных амплитуд a от частоты 0 : 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 1 1 2 1 1 24( ) ( ) 4 .R Ha GS M M a K K M M M K a    (7.11) Стационарная фаза  одночастотного режима определяется, в свою очередь, из соотношения [44] 2 2 2 2 2 1 1 2sin ( ) ( ).R Ha GS G H a M a     Полученные из (7.11) стационарные решения 0( )a a  будут устойчивы при од- новременном выполнении следующих двух критериев [44]: 2 12 11 12 0;a        2 2 4 2 2 4 2 12 22 12 22 12 11 0 22 0 21 1 2 2 21 1 1 11 1 1 0 21 12 2 1 2 1 1 1 11 1 1 0 21 12 4( ) 4 ( ) 4 ( ) 1 ( ) ( ) 2( ) ( ) 0. a a a M Ka M R S a M M a R H S G S R Ka                                          (7.12) В заключение отметим, что в качественном отношении описываемое уравнением (7.11) с учетом условий (7.12) поведение несущей оболочки будет соответствовать поведению автоколебательных систем с одной степенью свободы при их взаимодей- ствии с источниками внешнего возбуждения, которые генерируют одновременно вы- нужденные и параметрические колебания этой системы [9]. §8. Нестационарные процессы медленного прохождения системы оболочка – жидкость через резонансные области и области неустойчивости. Современные требования к прочности и эксплуатационной надежности трубопровод- ных систем приводят к необходимости рассмотрения некоторых новых, малоизучен- ных пока на данном этапе нелинейных задач о взаимодействии оболочек цилиндриче- ской формы с протекающей внутри жидкостью. Речь идет об исследованиях неста- 70 ционарных процессов деформирования данных оболочек, обусловленных действием на них как внешних, так и внутренних «квазипериодических» (характеризуемых мед- ленно изменяющимися во времени параметрами) нагрузок. Динамические нагрузки такого рода могут быть вызваны, например, работой различных, упомянутых в пре- дыдущей главе нагнетательных устройств в режимах «разгона» или «торможения» жидкостного потока. Задачи такого рода представляют существенный интерес для исследования особенностей «прохождения» несущей конструкции через различные резонансы (гармонические, параметрические, комбинационные), при реализации кото- рых амплитуды колебаний достигают максимальных значений. Кроме этих задач ак- туальными на современном этапе являются также нестационарные задачи, связанные с изучением особенностей медленного (или быстрого) прохождения оболочек с жид- костью через области дивергентной или флаттерной форм неустойчивости. Ниже кратко изложены некоторые результаты аналитического и численного ре- шения обоих классов задач, отдельные аспекты которых рассматривались в последние годы [18, 46, 58]. 8.1. Переход через основной гармонический резонанс при поперечном квазипе- риодическом возбуждении. Предложенный в §§6, 7 подход к расчету с использова- нием одночастотного асимптотического метода нелинейных вынужденных и пара- метрических колебаний оболочек при их взаимодействии с протекающей жидкостью может быть применен и в случае, когда действующие на оболочку внешние (распре- деленные по боковой поверхности) и внутренние (обусловленные пульсациями ско- рости потока) нагрузки являются «квазипериодическими» [4]. Рассмотрим сначала действие на несущую оболочку внешнего поперечного, с медленно изменяющейся частотой, давления. В качестве исходной системы разрешающих динамических уравнений выбрана система (6.1) с измененной правой частью [58]: 2 2 ( ) 1 1 ( ) ({ }, { }) cos ( 1, 2, ...).k k k k k k k q q k p p k q f U f f U f F f f Q k                 (8.1) Здесь 1 – медленно изменяющаяся функция времени [4], причем 1 1( ),d dt   где   «медленное» время ( t  , 0 1  ); 1 – «мгновенная» частота внешнего ква- зипериодического воздействия. Как и в §6, полагаем выполненным условие 1 ф  . Приближенное одночастот- ное решение уравнений (8.1) построим при фU U , т.е. исследуем нестационарные процессы в оболочке в окрестности критического значения скорости жидкостного потока, с одной стороны, и в окрестности основного резонанса, с другой. В соответст- вии с одночастотным асимптотическим методом неизвестные функции kf представ- ляем в форме, аналогичной по структуре (6.2), т.е. 1 1( ),i i k k kf a e e     (8.2) но с учетом замены 1 1    [58]. Неизвестные величины a и  определим из уравнений 1 1 1( , , ); ( ) ( , , ),ф da d A a B a dt dt             (8.3) в которых функции 1 1,A B находим, используя изложенный в §5 подход. А именно, из условия «ортогональности» (5.6), построенного с учетом (8.2), (8.3), получим такую систему уравнений для определения указанных функций [4, 58]: 31 1 7 8 0 3 1 4 1 1 1 5 1 2( ) cos sin ; A B k k a k A k aB k a k a q q                     31 1 8 7 0 4 1 3 1 2 1 6 1 2( ) sin cos . A B k k a k A k aB k a k a q q                     (8.4) 71 Здесь использованы обозначения, примененные ранее в §§5, 6; кроме того, обозначено 0 1( )ф     . Действительные параметры 7 8,k k определяем из приведенного в [58] соотношения 7 8 1 j j j k ik        . Интегрируя (8.4) с использованием метода неопределенных коэффициентов, окончательно получаем     3 1 11 1 12 11 11 2 1 21 1 22 11 11 ( , ) cos sin ; 1 ( , ) cos sin , A a a a R S B a a S R a                       (8.5) где ( , 1, 2)pq p q  имеют вид (5.8), а постоянные параметры 11R и 11,S соответственно, равны [58] 1 3 1 8 2 4 1 7 11 00 2 3 1 8 1 4 1 7 11 00 2 2 00 3 1 8 4 1 7 [ ( ) ] [ ( ) ] ; [ ( ) ] [ ( ) ] ; [ ( ) ] [ ( ) ] . ф ф ф ф ф ф q k k q k k R q k k q k k S k k k k                                  Таким образом, полностью определены правые части системы (8.3), что позволяет получить конкретные значения амплитудного ( )a и фазового ( ) параметров неста- ционарного деформирования несущей оболочки при медленном изменении «мгновен- ной» частоты 1 нестационарного внешнего воздействия на нее в резонансной зоне и в ее окрестности. В конечном итоге известными будут и все характеристики динами- ческого прогибаw , выбранного в одной из форм (1.11), (1.15) или (1.16). Если предположить, что 1 = const,  то на основании (8.3) с учетом (8.5) можно получить АЧХ (6.7), соответствующую стационарному режиму вынужденных коле- баний оболочки. На рис. 8.1 приведены типичные результаты исследования нестационарных про- цессов прохождения оболочки с параметрами (2.15) через основной гармонический резонанс при различных режимах изменения скорости. Эти результаты получены пу- тем численного интегрирования методом Рунге – Кутта представленных выше урав- нений (8.3), (8.5) при аппроксимации прогиба w упрощенным выражением (1.16). Предполагалось, что «мгновенная» частота внешнего квазипериодического возбужде- ния 1 является линейной возрастающей или убывающей функцией времени, т.е. 1 0 0t    , ( 0 0, const  ). Графики зависимостей 0( )a a  (рис. 8.1, а) построены при U = 72 м/с; (рис. 8.1, б – при U = 80 м/с). Кривые 1, 2 на обоих рисунках соответствуют прямому прохожде- нию резонансной зоны (параметр 0 здесь принят равным, соответственно, 0 = 4,5 и 0 = 6 1/с2, 0 00,9   ); кривые 1′, 2′ – обратному прохождению этой зоны ( 0 = – 4,5 и 0 = – 6 1/с2 , 0 01,1   ). Начальные условия (0)a соответствуют стационарным значениям амплитуд, вычисленным на основании формулы (6.7), которая справедлива в случае 0 = 0. Соответствующие этому случаю частотные кривые выделены на ри- сунке жирными линиями. 72 Рис. 8.1 Таким образом, кривые прохождения через резонанс в докритической * 0( )U U и закритической * 0( )U U зонах существенно различаются между собой. Это естествен- но, поскольку в первом случае система (1.19) (на ее основании получены соотноше- ния (8.5)) не является при 1 30, 0Q Q  автоколебательной системой, во втором – в ней на границе потери устойчивости (при * 0 76,02м/с, 5)U n  возникнут флаттер- ные колебания. При увеличении скорости изменения частоты внешней силы макси- мумы амплитуд нестационарных процессов, соответственно, уменьшаются. Отметим также, что эти максимумы при 1 0  и 1 0  реализуются при различных значениях расстройки 0. В частности, при 1 0  максимальные амплитуды колебаний обо- лочки при переходе через резонанс достигаются в более поздние моменты времени по сравнению со случаем 1 0.  Это обусловлено тем, что при переходе от отрицатель- ных значений величины 1 к положительным происходит некоторое смещение ста- ционарной АЧХ 0( )a a  в сторону бо'льших значений частоты внешнего возбужде- ния 0 и наоборот. Еще одна характерная особенность исследуемых процессов со- стоит в том, что максимальные амплитуды колебаний оболочки при 1 0  всегда превышают амплитуды, вычисленные при 1 0  . По-видимому, здесь проявляется известный из теории нелинейных систем с самовозбуждением (автоколебательных систем) эффект «захватывания» колебаний, обусловленный специфическим взаимо- действием чисто вынужденных колебаний и автоколебаний (вынужденные колебания в резонансной области, реализуемые с частотой 0 , «подавляют» автоколебания с частотой ф ) [9, 22]. Другие, описываемые системой (8.3) особенности прохождения несущей оболоч- ки через резонанс, в качественном отношении согласуются с обнаруженными ранее при анализе нелинейных систем с одной степенью свободы [4]. В частности, после достижения первого максимума наблюдаются биения амплитуд колебаний оболочки как в до, так и в закритической зонах, причем со временем размахи этих биений и их периоды постепенно уменьшаются. Амплитудные кривые при прямом прохождении резонанса существенно отличаются от кривых, полученных при обратном прохожде- нии этого резонанса. Различие кривых в большей степени проявляется в случае мед- ленного прохождения резонансной области. Отметим также, что резкие изменения во времени амплитуд колебаний оболочки реализуются в окрестности частотной облас- ти, в которой наблюдаются срывы стационарных амплитуд на АЧХ (6.7). 73 8.2. Переход через параметрический резонанс. Используя изложенные в §7 ре- зультаты, построим далее разрешающие (усредненные) уравнения, описывающие не- стационарные колебания оболочки с протекающей жидкостью при наличии пульсаций скорости. При этом предполагаем, что частота пульсаций медленно изменяется со вре- менем [18]. Рассмотрен нестационарный процесс перехода совокупной оболочечно- жидкостной системы через главный параметрический резонанс в случае, когда скорость движения жидкости U представляла медленно изменяющуюся функцию времени вида  0 0 21 cos .U U    (8.6) Здесь 2 2 ( ),d dt t      0 0 0( , const; 0 1).U     Одновременно принято выпол- ненным известное резонансное соотношение ф  2 / 2 [4, 6] и традиционное условие 0 фU U . Соответствующее этим условиям решение уравнений (5.1) с учетом (8.6) представим в виде 2 2 2 2( ) ( ),i i k k kf a e e         (8.7) где неизвестные функции a и  следует определить из системы уравнений 1 2 1( , , ); 2 ( ) ( , , ).фda dt A a d dt B a             (8.8) Входящие в (8.8) функции 1 1,A B по-прежнему определяем из условия (5.6) главы 5. В результате получим аналогичную (8.4) систему уравнений 31 1 7 8 0 3 1 4 1 1 1 5 1 2( ) cos 2 sin 2 ; A B k k a k A k aB k a k a p p                     31 1 8 7 0 4 1 3 1 2 1 6 1 2( ) sin 2 cos2 . A B k k a k A k aB k a k a p p                     (8.9) Здесь также использованы обозначения, принятые в §5. Постоянные параметры 1,p 2p определяем из соотношений 1 1 2 1Re ; Imp T p T  , где функция 1T совпадет с функцией T (см гл. 7). После интегрирования (8.9) получим такие решения: 3 1 11 1 12 22 22( cos2 sin 2 ) ;A a a R S a         2 1 21 1 22 22 22( cos2 sin 2 ) ,B a S R         (8.10) в которых медленно изменяющиеся функции 22 22,R S выражаются так: 3 2 8 1 4 2 7 2 22 00 [ 2( / 2) ] [ 2( / 2) ] ;ф фk g p k k p R           3 2 8 2 4 2 7 1 22 00 [ 2( / 2) ] [ 2( / 2) ] ,ф фk g p k k p S           2 2 00 3 0 8 4 0 7 0 2( ) ( ) ; / 2.фk k k k           Таким образом, выведены уравнения, позволяющие исследовать особенности не- стационарного деформирования несущей оболочки в зоне главного параметрического резонанса при медленном изменении частоты пульсаций жидкостного потока. В качественном отношении описываемые уравнениями (8.8) совместно с (8.10) кривые прохождения оболочки через параметрический резонанс аналогичны соответ- ствующим кривым прохождения через основной гармонический резонанс, представ- ленным на рис. 8.1. 74 8.3. Переход оболочечно-жидкостной системы через области динамической неустойчивости. Практически важными являются также задачи об исследовании нестационарных процессов перехода несущей оболочки через область дивергентной неустойчивости или область флаттера в режимах «разгона» или «торможения» cкорости жидкостного потока. Некоторые типичные результаты таких исследований представлены на рис. 8.2 и 8.3 [58]. Здесь показаны графики изменения во времени безразмерного прогиба /w w h , выбранного в форме (1.16), при медленном прямом и обратном про- хождении критических скоростей дивергенции и флаттера. Рассмотрена заполненная подвижной жидкостью оболочка с параметрами (2.15). В расчетных динамических урав- нениях оболочки (1.19) учитывались геометрически нелинейные члены до третьего порядка включительно и линейное демпфирование с параметром 0 0,1 (1/ ).c  Внешнее периодическое воздействие предполагается отсутствующим ( 1 30, 0).Q Q  Функции 3f и 4 ,f характеризующие осесимметричную составляющую 0 ( )W x (1.17) общего прогиба (1.16),w определены из решения «квазистатической» задачи [7]. Рис. 8.2 Рис. 8.2 соответствует процессу прямого прохождения областей неустойчивости, рис. 8.3 − случаю обратного прохождения указанных областей. В первом варианте скорость движения жидкости изменялась в соответствии с законом 01 1( ) ,U t U t  где 01U  60,64 м/с; во втором (рис. 8.3) принято 03 1( ) ,U t U t  где 03 76,16U  м/с. Напомним, что минимальная скорость дивергенции для рассматриваемой оболочки (1) 63,15м/сдU  (потеря устойчивости при этом произойдет по окружной форме с па- раметром волнообразования 4),n  а минимальная скорость флаттера 76,02 м/с,фU  ( 5)n  Параметр 1 , определяющий «темп» прохождения оболочкой соответствую- щих зон неустойчивости, принят равным: 1 2,5  м/с2. Интегрирование уравнений (8.1) проведено при начальных условиях (0) 0,34 ; (0) 0w h w  (одновременно пред- полагалось / 4; 0).x l y  Точки 0 1 2, ,A A A на обоих рисунках соответствуют полу- ченным ранее (см. §2) критическим скоростям флаттера и дивергенции фU , (1) (2), ,д дU U вычисленным по формулам (2.14) и (2.16), соответственно. Из данных рис. 8.2 видно, что с увеличением скорости U , начиная с малых (докри- тических) значений (U  фU ), прохождение дивергентной зоны (область 1 2A A ) при 75 выбранном параметре ускорения 1 происходит без развития больших амплитуд про- гиба w. С уменьшением 1 величина прогиба в этой зоне будет, соответственно, уве- личиваться, и наоборот. В области 2 0A A сначала также наблюдается относительно медленное развитие амплитуд колебаний флаттерного типа, являющихся следствием влияния на процесс демпфирования. Одновременно происходит постепенное увели- чение частоты нестационарных колебаний. При приближении к критической скорости фU амплитуды колебаний оболочки резко возрастают, достигая при фU U за корот- кий промежуток времени достаточно больших значений. Этот процесс именуют ино- гда «бурным» или классическим флаттером [6, 11], в формировании которого прини- мают одновременно участие две взаимодействующие между собой доминирующие формы в аппроксимации (1.16), отвечающие обобщенным координатам 1f и 3f . Рис. 8.3 Рис. 8.3 иллюстрирует нестационарный процесс обратного прохождения обо- лочкой областей неустойчивости. Как видно, этот процесс качественно отличается от изображенного на рис. 8.2. В области, расположенной между точками 0A и 2A , коле- бания оболочки имеют нерегулярный характер и лишь при (1) дU U (скорости (1) дU отвечает точка 1A ) они преобразуются в колебания, близкие к гармоническим. Заключение. В настоящей статье приведены обзор и краткий анализ результатов теоретических исследований устойчивости и колебаний изотропных и композитных (ортотропная модель) цилиндрических оболочек конечной длины при взаимодействии с внутрен- ним потоком жидкости. Сформулированы постановки различных линейных и нели- нейных задач о потере устойчивости и закритическом деформировании несущих жид- кость оболочек; построены общие и упрощенные расчетные модели, описывающие процессы взаимодействия оболочек с протекающей жидкостью. Предложены крите- рии, позволяющие устанавливать моменты наступления неустойчивости «квазистати- ческого» (дивергентного) и динамического («флаттерного») видов. Проведен анализ влияния конструктивных особенностей жестко присоединенных к несущей оболочке масс и начальных несовершенств геометрического характера на потерю устойчиво- сти. Рассмотрено влияние окружающей среды (внешнего статического давления) на значения критических скоростей движения жидкости, при которых реализуется поте- ря устойчивости. С использованием одночастотного асимптотического метода по- 76 строены решения разрешающих уравнений несущих оболочек, соответствующие их самовозбуждаемым и вынужденным колебаниям. Изучены особенности динамиче- ской потери устойчивости и закритического деформирования оболочек при взаимо- действии с пульсирующим потоком жидкости. Рассмотрены некоторые задачи о не- стационарных процессах медленного прохождения системы оболочка – протекающая жидкость через гармонический и параметрический резонансы. Aвторы выражают глубокую признательность кандидатам физико-математичес- ких наук, доцентам Л.А. Крук и Н.П. Подчасову, принимавшим участие в проведении совместных исследований по динамике и устойчивости оболочек, взаимодействующих с протекающей жидкостью, и что отражено в ряде публикаций [20, 24, 45 − 50, 56 − 58]. Р Е ЗЮМ Е . Наведено результати систематичних досліджень стійкості та нелінійних коливань тонких циліндричних оболонок при взаємодії з протікаючою рідиною. Розглянуто основні закономі- рності динамічного деформування оболонок при втраті стійкості типу дивергенція та флатер; про- аналізовано вплив різного роду конструктивних особливостей: початкових недосконалостей геомет- ричної форми, приєднаних зосереджених мас, крайових умов та поздовжніх і поперечних статичних навантажень на критичні швидкості дивергенції та флатеру; побудовано та досліджено на стійкість амплітудно-частотні характеристики даних оболонок при дії зовнішніх радіальних періодичних на- вантажень та внутрішнього періодичного тиску, зумовленого малими пульсаціями швидкості руху рідини. Запропоновано методику, з використанням якої розглянуто нелінійні задачі про нестаціонар- ні процеси проходження через резонансні області оболонок при взаємодії їх з рідинним потоком. 1. Амбарцумян С.А. Общая теория анизотропных оболочек. – М.: Наука, 1974. – 446 с. 2. Амиро И.Я., Заруцкий В.А., Паламарчук В.Г. Динамика ребристых оболочек. − К.: Наук. думка, 1983. − 204 с. 3. Байков А.Е.,Красильников П.С. Об эффекте Циглера в неконсервативной механической системе // Прикл. математика и механика. − 2010. − 74, № 1. − С. 74 − 88. 4. Боголюбов Н.Н., Митропольский Ю.А. Асимптотические методы в теории нелинейных колебаний. – М.: Наука, 1974. – 504 с. 5. Болотин В.В. Динамическая устойчивость упругих систем. – М.: Гостехиздат, 1956. – 600 с. 6. Болотин В.В. Неконсервативные задачи теории упругой устойчивости. – М.: Физматгиз, 1961. – 340 с. 7. Вольмир А.С. Нелинейная динамика пластинок и оболочек.– М.: Наука, 1972. – 432с. 8. Вольмир А.С. Оболочки в потоке жидкости и газа. Задачи гидроупругости.– М.: Наука, 1979. – 416 с. 9. Ганиев Р.Ф., Ковальчук П.С. Динамика систем твердых и упругих тел. – М.: Машиностроение, 1980. – 208с. 10. Горачек Я., Золотарев И.А. Влияние закрепления краев цилиндрической оболочки с протекающей жидкостью на ее динамические характеристики // Прикл. механика. – 1984. – 20, № 8. – С. 88 – 98. 11. Горачек Я., Золотарев И.А. Собственные колебания и устойчивость цилиндрических оболочек при взаимодействии с протекающей жидкостью // Динамика тел, взаимодействующих со средой / Под ред. акад. АН УССР А.Н.Гузя. – К.: Наук. думка, 1991. – С. 215 – 272. 12. Григолюк Э.И., Горшков А.Г. Нестационарная гидроупругость оболочек. − Л: Судостроение, 1974. − 208 с. 13. Динамика элементов конструкций / Под ред. чл.-корр. НАН Украины В.Д.Кубенко. – К.: «АСК», 1999. – 379 с. (Механика композитов. В 12-ти томах. Т. 9). 14. Динамика тел, взаимодействующих со средой / Гузь А.Н., Маркуш Ш., Пуст Л. и. др. / Под ред. А.Н.Гузя. − К.: Наук. думка, 1991. − 392 с. 15. Ильгамов М.А. Введение в нелинейную гидроупругость. – М.: Наука, 1991. – 196 с. 16. Ковальчук П.С. Нелинейные изгибные волны в ортотропных оболочках вращения (распростране- ние и взаимодействие) // Динамика элементов конструкций / Под ред. В.Д.Кубенко. – К.: «АСК».– 1999. – С. 224 – 246. (Механика композитов: в 12-ти т., Т.9). 17. Ковальчук П.С. , Ковтун С.С. Вимушені коливання циліндричних оболонок, що взаємодіють із пульсуючим потоком рідини // Наук. вісник націон. аграрного ун-ту. – 2007. – 112. – С. 65 – 71. 18. Ковальчук П.С., Ковтун С.С. Про розрахунок нестаціонарних процесів проходження через пара- метричний резонанс трубопроводу з протікаючою рідиною // Наук. вісник націон. аграрного ун- ту. – 2008. – 113. – С. 86 – 92. 19. Ковальчук П.С., Ковтун С.С., Пучка Г.Н. Про розрахунок стійкості циліндричних оболонок з приєднаною масою при взаємодії з рухомою рідиною // Наук. вісник націон. ун-ту біоресурсів та природокористування України. – 2009. – 137. – С. 55 – 60. 77 20. Ковальчук П.С., Крук Л.А. Анализ нелинейного взаимодействия изгибных форм композитных цилиндрических оболочек, заполненных жидкостью //Доп. НАН України. – 2007. – № 4. – С. 65 – 71. 21. Кубенко В.Д., Ковальчук П.С., Бояршина Л.Г и др. Нелинейная динамика осесимметричных тел, несущих жидкость. – К.: Наук. думка, 1992. – 184 с. 22. Кубенко В. Д., Ковальчук П.С., Краснопольская Т.С. Нелинейное взаимодействие форм изгибных колебаний цилиндрических оболочек. – К.: Наук. думка, 1984. – 220 с. 23. Кубенко В .Д., Ковальчук П.С.,Подчасов Н.П. Нелинейные колебания цилиндрических оболочек. – К.: Вища шк., 1989. – 208 с. 24. Кубенко В.Д., Ковальчук П.С., Подчасов М.П. Аналіз стійкості циліндричних оболонок при взає- модії з рухомою рідиною // Доп. НАН України. – 2010. – № 5. – С. 50 – 56. 25. Меркин Д.Р. Введение в теорию устойчивости движения. – М.: Наука, 1976. – 320 с. 26. Механика систем оболочка – жидкость – нагретый газ / Под ред. Н.А.Кильчевского. – К.: Наук. думка, 1970. – 328 с. 27. Феодосьев В.И. О колебаниях и устойчивости трубы при протекании через нее жидкости // Инж. сб. – 1951. – № 94. – С. 169 – 170. 28. Циглер Г. Основы теории устойчивости конструкций. – М.: Мир, 1971. – 192 с. 29. Халфман Р. Динамика. – М.: Наука, 1972. – 568 с. 30. Amabili M. Nonlinear Vibration and Stability of Shells and Plates. – Cambridge: Cambridge University Press, 2008. – 402 p. 31. Amabili M. A comparison of shell theories for large-amplitude vibrations of circular сylindrical shells: Lagrangian approach // J. of Sound and Vibr. – 2003. – 264. – P. 1091 – 1125. 32. Amabili M., Paїdoussis M.P. Review of studies on geometrically nonlinear vibrations and dynamics of circular cylindrical shells and panels, with and without fluid-structure interaction // Appl. Mech. Rev. – 2003. – 56, N 4. – P. 349 – 381. 33. Amabili M., Pellicano F., Paїdoussis M.P. Non-linear dynamics and stability of circular cylindrical shells containing flowing fluid. Part I: Stability // J. of Sound and Vibr. – 1999. – 225, N 4. – P. 655 – 699. 34. Amabili M., Pellicano F., Paїdoussis M.P. Non-linear dynamics and stability of circular cylindrical shells containing flowing fluid. Part II: Large amplitude vibrations without flow // J. of Sound and Vibr. – 1999. – 228, N 5. – P. 1103 – 1124. 35. Amabili M., Pellicano F., Paїdoussis M.P.Non-linear dynamics and stability of circular cylindrical shells containing flowing fluid. Part III: Truncation effect without flow and experiments // J. of Sound and Vibr. – 2000. – 237, N 4. – P. 617 – 640. 36. Amabili M., Pellicano F., Paїdoussis M.P. Nonlinear dynamics and stability of circular cylindrical shells containing flowing fluid. Part IV: Large amplitude vibrations with flow // J. of Sound and Vibr. – 2000. – 237, N 4. – P. 641 – 666. 37. Amabili M., Pellicano F., Paїdoussis M.P. Nonlinear stability of circular cylindrical shells in annual and unbounded axial flow // J. of Appl. Mech. – 2001. – 66. – P. 827 – 834. 38. Chen S.S., Rosenberg C.E. Free vibrations of fluid-conveying cylindrical shells// Trans ASME, J. of Engineering for Industry. – 1974. – 96. – P. 420 – 426. 39. Doedel E.J., Champneys A.R., Fairgrieve T.F., Kuznetsov Y.A., Sandstede B., Wang X. Continuation and Bifurcation Software for Ordinary Differential Equations (with Hom-Cont). – Canada: Concordia Uni- versity Auto 97. – Montreal, 1998. – 157 p. 40. Dowell E.H., Hall K.C. Modeling of fluid structure interaction // Annual Review of Fluid Mechanics. – 2001. – N 33. – P. 445 – 490. 41. Dzupanov V.A., Lilkova-Markova S.V. Divergent Instability Domains of a Fluid-Conveying Cantilevered Pipe with a Combined Support the Moving and Rested on Combined Bearing // Int. Appl. Mech. – 2004. – 40, N 3. – P. 319 – 323. 42. Horachek J., Zolotarev I. Stability and bending wave propagation in a long cylindrical shell containing a flowing fluid ( in Czech) // Strojnicky casopis. – 1981. – 32, N 6. – P. 687 − 700. 43. Horachek J., Zolotarev I. Natural frequencies, damping and stability of a structurally damped cylindrical shell conveying fluid (in Czech) // Strojnicky casopis. – 1983. – 34, N 1 – 2. – P. 189 – 204. 44. Kovalchuk P.S. Nonlinear Vibrations of a Cylindrical Shells Containing a Flowing Fluid // Int. Appl. Mech. – 2005. – 41, N 4. – P. 405 − 412. 45. Kovalchuk P.S., Kruk L.A. Forced Nonlinear Oscillations of Cylindrical Shells Interacting with Fluid Flow // Int. Appl. Mech. – 2006. – 42, N 4. – P. 447 – 454. 46. Kovalchuk P.S., Kruk L.A. Nonlinear Parametric Vibrations of the Orthotropic Cylindrical Shells Inter- acting with a Pulsating Fluid Flow // Int. Appl. Mech. – 2009. – 45, N 9. – P. 1007 – 1015. 78 47. Kovalchuk P.S., Kruk L.A., Pelykh V.A The Stability of Composite Cylindrical Shells with Added Mass in Fluid Flow // Int. Appl. Mech. – 2014. – 50, N 5. – P. 101 − 110. 48. Kovalchuk P.S., Kruk L.A., Pelykh V.A. The Stability of Composite Cylindrical Shells with Different Boundary Conditions // Int. Appl. Mech. – 2014. – 50, N 6. – P. 670 – 678. 49. Kovalchuk P.S., Podchasov N.P. Influence of Initial Deflections on the Stability of Composite Cylindri- cal Shells Interacting with a Fluid Flow // Int. Appl. Mech. – 2011. – 47, N 8. – P. 902 – 911. 50. Kovalchuk P.S., Podchasov N.P. On Stability of Elastic Cylindrical Shells Interacting with Flowing Fluid // Int. Appl. Mech. – 2010. – 46, N 1. – P. 73 – 82. 51. Kovalchuk P.S., Puchka G. N. Stability of Cylindrical Shells with Added Mass in Fluid Flow // Int. Appl. Mech. – 2010. – 46, N 5. – P. 546 − 555. 52. Kubenko V.D., Kovalchuk P.S. Nonlinear Problems of the Cylindrical Shells (Review) // Int. Appl. Mech. – 1998. – 34, N 8. – P. 703 – 728. 53. Kubenko V.D., Kovalchuk P.S. Nonlinear Problems of the Dynamics of Elastic Shells Partially Filled with a Liquid // Int. Appl. Mech. – 2000. – 36, N 4. – P. 421 − 448. 54. Kubenko V.D., Koval'chuk P.S. Modelling Nonlinear Interaction of Standing and Traveling Bending Waves in Fluid-Filled Cylindrical Shells Subject to Internal Resonances // Int. Appl. Mech. − 2014. − 50, N 4.− P. 353 − 364. 55. Kubenko V.D., Kovalchuk P.S., Kruk L.A. Nonlinear interaction of bending deformation of free oscillat- ing cylindrical shells // J. of Sound and Vibr. – 2003. – N 265. – P. 245 – 268. 56. Kubenko V.D., Kovalchuk P.S., Kruk L.A. Application of the asymptotic methods for investigation of the one-frequency nonlinear vibrations of the cylindrical shells, containing a flowing fluid // Ukr. Math. J. − 2007. − 59, N 4. − P. 476 – 487. 57. Kubenko V.D., Kovalchuk P.S., Kruk L.A. Influence of External Loading on the Stability of a Fluid- Conveying Pipeline // Int. Appl. Mech. – 2011. – 47, N 6. – P. 636 – 644. 58. Kubenko V. D., Kovalchuk P.S., Podchasov N.P. Analysis of Non-Stationary Processes in Cylindrical Shells Interacting with a Fluid Flow // Int. Appl. Mech. – 2011. – 47, N 10. – P. 1119 – 1131. 59. Lakis A.A., Laveau A. Non-linear dynamic analysis of anisotropic cylindrical shells containing a flowing fluid // Int. J. of Solids and Struct. – 1991. – 28. – P. 1079 – 1094. 60. Matsuzaki Y., Fung Y. C. Unsteady fluid dynamic forces on a simply-supported circular cylinder of finite length conveying a flow, with applications to stability analysis // J. of Sound and Vibr. – 1977. – 54. – P. 317 – 330. 61. Nguyem V.B., Paїdoussis M.P., Misra A.K. An experimental study of the stability of cantilevered coaxial cylindrical shells conveying fluid // J. Fluid. Struct. − 1993. − N 7. − P. 913 − 930. 62. Paїdoussis M.P. Fluid Structure Interaction. Slender Structures and Axial Flow. 2. − London: Elsevier Academic Press, 2004. 63. Paїdoussis M.P., Chan S.P., Misra A.K. Dynamics and stability of coaxial cylindrical shells containing flowing fluid // J. Sound. Vibr. − 1984. − 97. − P. 201 − 235. 64. Paїdoussis M.P., Misra A.K., Nguyem V.B. A CFD - based model for the study of the stability of cantilevered coaxial cylindrical shells conveying viscous fluid // J. Sound. Vibr. − 1994. − 176. − P. 105 − 235. 65. Paїdoussis M.P., Nguyem V.B., Misra A.K. A theoretical study of the stability of cantilevered coaxial cylindrical shells conveying fluid // J. Fluid. Struct. − 1991. − N 5. − P. 127 − 164. 66. Pellicano F., Amabili M. Stability and vibration of empty and fluid-filled circular cylindrical shells under static and periodic axial loads // Int. J. of Solids and Structures. – 2003. – 40. – P. 3229 – 3251. 67. Pellicano F, Mikhlin Y., Zolotarev I. Nonlinear dynamics of shells with fluid structure interaction con- taining flowing fluid // Publ. Inst. оf Thermomechanics AS CR, Prague. – 2002. 68. Selmane A., Lakis A.A. Non-linear dynamic analysis of orthotropic cylindrical shells subjected to a flow- ing fluid // J. of Sound and Vibr. – 1997. – N 202. – P. 67 – 93. 69. Wearer D.S., Unny T. E. On the Dynamic Stability Domains of Fluid – Conveying Pipes with a Com- bined Support the Moving and Rested on Combined Bearing // Trans ASME, J. of Applied Mech. – 1973. – 40, N 3. – P. 48 – 52. 70. Zolotarev I. Natural vibrations of cylindrical shell conveying fluid with spring supported ends (in Czech) // Strojnicky casopis. – 1987. – 38, N 5. – P. 533 – 550. Поступила 24.01.2014 Утверждена в печать 30.09.2014

Устойчивость и нелинейные колебания замкнутых оболочек цилиндрической формы при взаимодействии с протекающей жидкостью (обзор)

Institution

Ähnliche Einträge